Printer Friendly

Viejos y nuevos resultados sobre integrales singulares e hipersingulares.

Resumen

Exposicion de algunos trabajos del autor sobre integrales singulares e hipersingulares, publicados entre 1953 y 1987, completada con resultados nuevos, observaciones sobre contribuciones de otros matematicos, simplificaciones y algunas correcciones.

Palabras clave: Operadores integrales singulares, transformada de Hilbert, distribuciones, convolucion de distribuciones.

Abstract

Exposition of some works of the author on singular and hypersingular integrals, published between 1953 and 1987, complemented with new results, and remarks on contributions by other mathematicians, simplifications, and some amendments.

Key words: Singular integral operators, Hilbert transforms, distributions, convolution of distributions.

1.

Mi intencion es dar en estas paginas un resumen de algunos de mis trabajos sobre integrales singulares e hipersingulares, publicados entre 1953 y 1987, completandolo con algunos resultados nuevos, observaciones sobre las contribuciones de mis colaboradores y de otros matematicos, simplificaciones de varias demostraciones y correcciones de errores.

Si bien me acuerdo, fue alrededor de 1948 que Jean Leray me hablo de Georges Giraud y de sus trabajos sobre ecuaciones integrales con valores principales. Me dijo que valdria la pena estudiar estos trabajos porque habia mucho que hacer. Yo no segui inmediatamente este consejo y fue solo en 1955 que me interese por las investigaciones de Giraud, de manera que hablare de el mas abajo en la seccion 11.

Marcel Riesz fue quien me dio el impulso para ocuparme con integrales singulares. El estuvo en Paris en el verano de 1949 y una segunda vez al principio de 1951. Ya con ocasion de su primera visita menciono que tenia una idea de como se podria generalizar la transformada de Hilbert a varias variables, y el 12 de febrero de 1951, durante un almuerzo me explico de que se trataba.

Antes de contar lo que Marcel Riesz me dijo durante aquel almuerzo, tengo que recordar los conceptos de funcion conjugada y transformada de Hilbert. Sea [gulden] una funcion integrable en el sentido de Lebesgue en el intervalo [-[pi], [pi]] (o bien una funcion localmente integrable, periodica sobre la recta R, con periodo 2[pi]). Su serie de Fourier

S([theta) ~ [a.sub.0]/2 + [[infinito].[suma de](k=1)]([a.sub.k] cos k[theta] + [b.sub.k] sin k[theta])

con coeficientes

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

determina completamente (es decir en casi todos los puntos) la funcion [gulden], aunque no es necesariamente convergente (maximalidad del sistema trigonometrico). Consideremos ahora la serie de potencias

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde z = [re.sup.i[theta]. Si ponemos [[gamma].sub.k] = [[alpha].sub.k] + [i[beta].sub.k], obtenemos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Por lo tanto, se define la serie conjugada de S([theta]) por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Cuando esta serie converge, su suma se llama la funcion conjugada [??] de f. Si por ejemplo f [elemento de] [L.sup.2], entonces [suma][[valor absoluto de [a.sub.k]].sup.2] [[valor absoluto de [b.sub.k]].sup.2] < [infinito] y por consiguiente [??] converge hacia la funcion [??] [elemento de] [L.sup.2]. Se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

y se comprueba utilizando la parte imaginaria de la progresion geometrica [[suma].sup.n.sub.1] [e.sup.ikt] que

[n.[suma de](k=1)] sin kt = cos t/2 - cos (n + 1/2)t/2 sin t/2

Esta expresion se simplifica si restamos la mitad del ultimo termino de la suma:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

Asi la n-esima suma parcial modificada de [??] es

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

y la funcion conjugada, si existe, esta dada por el valor principal de Cauchy:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (1)

2.

Otro camino para llegar a la expresion (1) de la funcion conjugada es la sumacion de Abel de la serie de Fourier. Para esto es preferible servirse de la forma compleja de la serie y escribir

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde

[c.sub.k] = 1/2[pi][[integral].sup.[pi].sub.-[pi]] f(t)[e.sup.-ikt] dt,

es decir [a.sub.k] = [c.sub.k] + [c.sub.-k], [b.sub.k] = i([c.sub.k] - [c.sub.-k]), o sea [c.sub.k] = l/2 ([a.sub.k]-[ib.sub.k]) para k [mayor que o igual a] 0 y [c.sub.-k] = [[bara.c].sub.k]. Poniendo z = [re.sup.i[theta], la serie

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

converge para r < 1, ya que por el lema de Riemann los coeficientes [c.sub.k] tienden a cero, ademas u es una funcion armonica en [valor absoluto de z] < 1. La formula para la suma de la serie geometrica da

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

y por lo tanto

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Reemplazando el valor de [c.sub.k] en la serie que define u([re.sup.i[theta]]) se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

desde luego obtenemos para la suma de Abel de la serie S([theta]) la expresion

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

La expresion a la derecha es la integral de Poisson de la funcion f.

A hora bien,

====== T 1 + [re.sup.it]/1 - [re.sup.it] = 2r sin t/1 - 2r cos t + [r.sup.2],

y por lo tanto la funcion armonica conjugada de u(z) es

v([re.sup.i[theta]) = 1/[pi] [[integral].sup.[pi].sub.-[pi]] f(t)r sin ([theta] - t)/1 - 2r cos ([theta] - t) + [r.sup.2] dt,

donde a la derecha tenemos la integral conjugada de Poisson de f. Observemos que cuando r [flecha diestra] 1, la integral v([re.sup.i[theta]) tiende formalmente a

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es decir a la integral cuyo valor principal define [??]([theta]) en (1), ya que

sin t/ 1 - cos t = 2 sin (t/2) cos (t/2)/2 [sin.sup.2] (t/2) = 1/tan(t/2).

3.

Seria facil demostrar ahora el teorema de A. Plessner [67] segun cual si f [elemento de] [L.sup.2], entonces [??] existe, pertenece a [L.sup.2] y se tiene [[paralelo] f [paralelo].sub.2] = [[paralelo][??][paralelo].sub.2]. Sin embargo prefiero hacer esto en el caso analogo, casi identico, en que f es una funcion definida sobre la recta R en vez del "toro" porque las formulas son mas sencillas. Sea pues f una funcion medible sobre R tal que [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1] f es integrable. Su integral de Poisson

u(x,y) = 1/[pi] [[integral].sub.R] f(t) y/[(x - t).sup.2] + [y.sup.2]dt

resuelve el problema de Dirichlet para el semiplano superior, es decir u(x, y) es armonico para x [elemento de] R, y > 0 y el limite de u(x, y) es f(x) para casi todo x [elemento de] R cuando y [flecha diestra] 0+, como lo veremos mas abajo. La funcion u(x, y) es la convolucion con respecto a la variable x de la funcion f y del nucleo de Poisson [P.sub.y](x) = 1/[pi] y/[x.sup.2] + [y.sup.2].

Ahora bien para z = x + iy [elemento de] C se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Por consiguiente el nucleo conjugado de Poisson se define como [Q.sub.y](x) = 1/[pi] x/[x.sup.2] + [y.sup.2], y la integral conjugada de Poisson de f es

v(x,y) = [Q.sub.y] * f (x) = 1/[pi] [[integral].sub.R] f(t) x-t/[(x -t).sup.2] + [y.sup.2] dt,

la cual tiende cuando y [flecha diestra] 0+ hacia la integral (en general divergente

1/[pi] [[integral].sub.R] f(t) dt/x - t.

La funcion conjugada (o transformada de Hilbert) de f se define por el valor principal

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Marcel Riesz me explico una vez que esta transformacion lleva el nombre de Hilbert por la razon de que el considero en su curso sobre ecuaciones integrales el analogo discreto: sea a = ([a.sub.k]) [elemento de] [l.sup.2], es decir [paralelo]a[[paralelo].sup.2.sub.2] = [suma][[valor absoluto de [a.sub.k]].sup.2] < [infinito], y pongamos [b.sub.j] = [[suma].sub.k] [a.sub.k]/j + k. Hilbert demostro que b = ([b.sub.j]) [elemento de] [l.sup.2] y se tiene [[paralelo]b[[paralelo].sub.2] [menor que o igual a] [pi][paralelo] a [[paralelo].sub.2] ([20, pag. 226]). Quiero demostrar el analogo del teorema de Plessner:

Teorema. Si f [elemento de] [L.sup.2](R) entonces [??] existe en casi todas partes, pertenece a [L.sup.2](R) y [[paralelo]f[[paralelo].sub.2] = [[paralelo][??][[paralelo].sub.2].

Reproducire la demostracion que se encuentra en el libro de Titchmarsh ([96], 5.3, Theorem 91, pag. 122), la cual utilice para generalizar el teorema a varias variables. Desgraciadamente la referencia a Titchmarsh se omitio accidentalmente en [28].

Lema 1. Sea f una funcion medible sobre R tal que [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1] f(x) es integrable. Entonces para casi todo x [elemento de] R se tiene u(x, y) = [P.sub.y] * f(x) [flecha diestra] f(x) cuando y [flecha diestra] 0+.

Demostracion. Observemos ante todo que segun un teorema de Lebesgue ([106, II.(11.1), pag. 65]) para casi todo x [elemento de] R se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (2)

Ya que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

podemos escribir

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Partimos la integral en tres: [I.sub.1], [I.sub.2], [I.sub.3] correspondientes a los conjuntos de integracion [valor absoluto de x - t] [menor que o igual a] y, y < [valor absoluto de x - t] [menor que o igual a] 1, [valor absoluto de x - t] > 1 y suponemos que para x se cumple la condicion (2) de Lebesgue.

Se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

y esta expresion en virtud de (2) tiende a cero cuando y [flecha diestra] 0+.

Para tratar [I.sub.2] introduzcamos la funcion

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Entonces

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Ahora bien,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

cuando y [flecha diestra] 0+. Por otra parte

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Puesto que [fi]([rho])/[rho] [menor que o igual a] [epsilon] si [rho] es suficientemente pequeno, se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Sea [fi]([rho])/[rho] [menor que o igual a] M. Entonces

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Luego [I.sub.2] [flecha diestra] 0 cuando y [flecha diestra] 0+. Finalmente

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

cuando y [flecha diestra] 0+, con lo cual el lema queda demostrado.

Lema 2 ([96, Theorem 92, pag. 124]). Sea f una funcion medible sobre R tal que [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1] f(x) sea integrable. Entonces para casi todo x [elemento de] R se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

cuando y [flecha diestra] 0+.

Demostracion. Descompongamos la diferencia en dos integrales [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Observemos de una vez que para 0 < a < b tenemos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

porque las funciones a integrar toman valores opuestos en puntos simetricos con respecto a x. Entonces

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

cuando y [flecha diestra] 0+. Por otro lado

x - t/[(x - t).sup.2] + [y.sup.2] - 1/x -t = [-y.sup.2]/(x - t)([(x -t).sup.2] + [y.sup.2]

y, por consiguiente,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde hemos usado la notacion utilizada en la demostracion del Lema 1. Se ve similarmente como en aquella demostracion que la ultima cantidad tiende a cero cuando y [flecha diestra] 0+. Finalmente tenemos que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

cuando y [flecha diestra] 0+.

La idea de introducir la funcion [fi]([rho]) e integrar por partes me fue sugerida por Marcel Riesz quien tenia gran experiencia en este tipo de computos por haber investigado la sumacion de series de Fourier ([71]; [74, No. 25, pags. 104-113]; [106, III.5]).

4.

Para continuar la demostracion del Teorema, necesito recordar algunos hechos del analisis de Fourier. Considerare funciones definidas sobre la recta real R, pero todo es casi lo mismo sobre [R.sup.n], o sobre el toro T = R/Z, o mas generalmente sobre un grupo conmutativo localmente compacto [40], [76], [92].

Sea p un numero real, p [mayor que o igual a] 1. Por [L.sup.p] = [L.sup.p](R) denotaremos el espacio vectorial de las funciones f definidas sobre R que son medibles (en el sentido de Lebesgue) y tales que [[valor absoluto de f].sup.p] es integrable. En verdad no son las funciones mismas los elementos de [L.sup.p], sino las clases de funciones, considerando equivalentes dos funciones cuando toman el mismo valor con la excepcion posible de un conjunto de medida cero (es decir, cuando son iguales en casi todas partes). La expresion [[paralelo]f[paralelo].sub.p] = [([integral].sub.R][[valor absoluto de f(x)].sup.p] dx).sup.1/p] es una verdadera norma sobre [L.sup.p]: si [[paralelo]f[paralelo].sub.p] = 0, entonces f es el elemento 0.

La primera cosa a senalar es la desigualdad de Holder: Si f [elemento de] [L.sup.p],g [elemento de] [L.sup.q] y los exponentes satisfacen a 1/p + 1/q = 1, entonces f g [elemento de] [L.sup.1] y [[paralelo]fg[paralelo].sub.1] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.p][[paralelo]g[paralelo].sub.q]. La desigualdad vale tambien para p = 1 y q = [infinito], donde [L.sup.[infinito]] denota el espacio de las (clases de) funciones acotadas y medibles y [paralelo]g[[paralelo].sub.[infinito]] es el extremo inferior de los numeros M tales que [valor absoluto de g(x)] [menor que o igual a] M para casi todo x [elemento de] R. Si p = q = 2, la desigualdad lleva el nombre de H. A. Schwarz (sin la letra t). La generalizacion siguiente es inmediata: si f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q] y 1/p + 1/q = 1/r [menor que o igual a] 1, entonces fg [elemento de] [L.sup.r] y [[paralelo]fg[paralelo].sub.r] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.p][[paralelo]g[paralelo].sub.q]. En efecto

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

La transformada (o integral) de Fourier F f = [??] de una funcion f [elemento de] [L.sup.1](R) se define por

F f([xi]) = [??]([xi]) = [[integral].sub.R] f(x)[e.sup.2[pi]ix[xi]] dx.

Obviamente [??] [elemento de] L[infinito] (R) y [[paralelo][??][paralelo][infinito] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.1]. Ademas [??] es continua por una aplicacion directa del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. De hecho, si [xi] [flecha diestra] [alfa], entonces f(x)[e.sup.-2[pi]ix[xi]] [flecha diestra] f(x)[e.sup.-2[pi]ix[alfa] y [valor absoluto de f(x)[e.sup.-2[pi]ix[xi]] [menor que o igual a] [valor f(x)], luego [??]([xi]) [flecha diestra] [??] ([alpha]). Analogamente al Lema de Riemann en la teoria de las series de Fourier, [??]([xi]) tiende a cero cuando [valor absoluto de [xi]] [flecha diestra] [infinito].

La transformada conjugada de Fourier se define por

[bara.F]g(xi] = [[integral].sub.R] g(x)[e.sup.e[pi]ix[xi]] dx.

Si [??] pertenece tambien a [L.sup.1], entonces vale la relacion de reciprocidad

[bara.F] F f(x) = [[integral].sub.R] [??]([xi])[e.sup.e[pi]i[xi]x] d[xi] = f(x).

En general [??] no es integrable, de manera que para obtener f a partir de [??] se necesita algun metodo de sumacion, por ejemplo el de Cesaro:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

([40, VI, 1.11, pag. 125]).

Sea ahora 1 < p [menor que o igual a] 2 y p' el exponente conjugado, es decir 1/p + 1/p' = 1. Para definir la transformada de Fourier de un elemento f [elemento de] [L.sup.p] se utiliza el hecho de que [L.sup.1] [interseccion] [L.sup.p] es denso en [L.sup.p]. Dado f [elemento de] [L.sup.p] se considera por ejemplo la sucesion ([f.sub.k]) definida de la manera siguiente: [f.sub.k](x) = f(x) si [valor absoluto de x] [menor que o igual a] k y [f.sub.k](x) = 0 si [valor absoluto de x] > k. Entonces los elementos F [f.sub.k] pertenecen a [L.sup.p'] y cuando k [flecha diestra] [infinito] tienden hacia un elemento de [L.sup.p'] en el sentido de la norma, este elemento es por definicion F f = [??] [elemento de] [L.sup.p']. Se tiene [[paralelo][??][paralelo].sub.p] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.p]: desigualdad de Hausdorff--Young ([40, pag. 142]; [92, V, [seccion]1, pag. 178]; [96, Chap.IV, pag. 96]). En particular para p = p' = 2 la aplicacion f [flecha diestra] F f es un isomorfismo isometrico de [L.sup.2] sobre si mismo, es decir [[paralelo][??][paralelo].sub.2] = [[paralelo]f[paralelo].sub.2] (Teorema de Parseval-Plancherel).

La convolucion de dos funciones integrables f y g se define por

f * g(x) = [[integral].sub.R] f(x - y)g(y)dy.

Puesto que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

se tiene [paralelo]f * g[[paralelo].sub.1] [[paralelo]f[paralelo].sub.1][[paralelo]g[paralelo].sub.1]. Mas generalmente, si 1/p + 1/q [mayor que o igual a] 1, f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q], entonces se puede definir f * g que pertenecera a [L.sup.r] con 1/r = 1/p + 1/q - 1 y satisface a [paralelo]f * g[[paralelo].sub.r] [menor que o igual a] [paralelo]f[paralelo][[paralelo].sub.g][[paralelo].sub.q] (desigualdad de Young, [92, pag. 178]).

Formalmente se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

es decir

F(f * g) = F(f) x Fg

([96, pag. 51]). Esta formula vale por ejemplo cuando f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q], p [menor que o igual a] 2, [menor que o igual a] 2 ([96, 4.7, Th.77, pag. 106]).

La relacion entre el producto y la convolucion aclara por que f * g pertenece a [L.sup.r]. Si f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q], entonces [??][elemento de] [L.sup.p'], [??] [elemento de] [L.sup.q'] y por la desigualdad de Holder [??}[??] [elemento de] [L.sup.s], donde 1/s = 1/p' + 1/q' = 2 - 1/p - 1/q. Desde luego f * g = [barra.F]([??][??]) [elemento de][L.sup.r] con 1-r = 1 - 1/s = 1/p + 1/q - 1.

5.

Ahora podemos seguir con la demostracion del Teorema. Nuestra primera tarea es encontrar la transformada de Fourier del nucleo de Poisson [P.sub.y] y del nucleo conjugado [Q.sub.y]. Una aplicacion sencilla del teorema del residuo muestra que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (3)

En efecto

1/[x.sup.2] + 1 = i/2 (1/x + i - 1/x - i).

Si a > 0, integramos a lo largo de un semicirculo [C.sup.+.sub.R] en el semiplano superior cuyo diametro es el intervalo [-R, R] del eje real. Si R > 1 entonces el polo z = i esta en el interior de [C.sup.+.sub.R], desde luego

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Puesto que [valor absoluto de [e.sup.iaz] = [valor absoluto de [e.sup.iax] x [e.sup.-ay]] = [e.sup.-ay] < 1, la integral sobre la parte curva de [C.sup.+.sub.R] tiende a cero cuando R [flecha diestra] [infinito] y se obtiene (3).

En el caso a < 0 se integra sobre el semicirculo [C.sup.-.sub.R] en el semiplano y < 0. Si R > 1, entonces [C.sup.-.sub.R] contiene el polo z = -i en su interior. Ahora tambien ay > 0, luego [valor absoluto de [e.sup.iaz]] < 1 y la integral sobre la parte curva [flecha diestra] 0. Puesto que a = -[valor absoluto de a] y la direccion de la integracion sobre el diametro es opuesto a aquella en la cual integramos sobre R, obtenemos otra vez (3).

Un cambio de variables nos da ahora la transformada de Fourier de [P.sub.y]. En primer lugar con y > 0 tenemos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

por consiguiente

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Para calcular la transformada de Fourier de [Q.sub.y](x) = x/y [P.sub.y] (x) utilizaremos la formula

F(x f(x)) = 1/2[pi]i [derivada parcial]/derivada parcial][xi][??]([xi]) (4)

la cual se obtiene derivando bajo el signo integral cuando x f(x) es integrable, y cuya validez general resultara de las consideraciones de la seccion 10. Se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

Pongamos G([xi]) = -isgn[xi][??]([xi]) y sea g(x) = ([bara.F]G)(x). Se tiene

(f * [Q.sub.y])(x) = (g * [P.sub.y])(x) (5)

ya que las transformadas de Fourier de ambos lados son iguales a

-isgn [xi] [e.sup.-2[pi]y[valor absoluto de [xi]] [??] ([xi]).

Por el Lema 1, g * [P.sub.y] converge hacia g [elemento de] [L.sup.2] cuando y [flecha diestra] 0+. Del Lema 2 y de (5) resulta que

1/[pi] [[integral].sub.[valor absoluto de t-x][mayor que o igual a] y f(t) dt/x - t [flecha diestra] g(x)

para casi todo x [elemento de] R cuando y [flecha diestra] 0+, es decir [??] existe y pertenece a [L.sup.2]. Ademas

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

con lo cual el Teorema queda completamente demostrado.

6.

La generalizacion de la transformada de Hilbert que Marcel Riesz me propuso en febrero de 1951 esta definida por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

La funcion g = Hf toma sus valores en [R.sup.n], es decir es una funcion vectorial g(x) = ([g.sub.1](x), ... ,[g.sub.n](x)). Riesz conjeturo que si f [elemento de] [L.sup.2]([R.sub.n]) = [L.sup.2], entonces (Hf)(x) existe para casi todo x [elemento de] [R.sup.n], que g [elemento de] [L.sup.2]([R.sup.n]) = [L.sup.2], donde sobre [L.sup.2] se considera la norma [[paralelo]g[paralelo].sub.2] = [([[integral].sub.R.sup.n] [suma].sup.n.sub.j=1 [[valor absoluto de g j(x)].sup.2]dx).sup.1/2], que [[paralelo]g[paralelo].sub.2] = [[paralelo]f[paralelo].sub.2], y finalmente que [??](Hf) = -f, donde para definir [??] se considera el producto escalar g(x) * (x - t) = [[suma].sup.n.sub.j=1] [g.sub.j] (t)([x.sub.j] - [t.sub.j]) bajo la integral (6). Fue solo algunos dias mas tarde que nos pusimos de acuerdo sobre la manera de definir el valor principal: se debe integrar fuera de una bola [valor absoluto de x] < [rho] y tomar el limite cuando [rho] [flecha diestra] 0.

El argumento heuristico con el cual Riesz llego a su conjetura esta basado sobre su generalizacion de la integral de Riemann-Liouville, llamado tambien potencial de orden [alfa], que para una funcion f apropiada sobre [R.sup.n] se define por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Si f decrece muy rapidamente al infinito, la integral tiene sentido para 0 < R[alfa] < n, y por prolongacion analitica para los otros valores de [alfa] [elemento de] C, como lo veremos muy detalladamente mas abajo ([73], [74, No. 47, pags. 571-793]). Las propiedades esenciales del operador [R.sub.[alfa]] son: [R.sub.[alfa]] (R.sub.[beta]] f) = [R.sub.[alfa] + [beta]] f, [R.sub.0] f = f y [R.sub.-2] f = [DELTA] f.

Si n [desigual a] 1, entonces para el valor [alfa] = 1 obtenemos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Esto es lo que Pierre Humbert [39] llama un prepotencial: Si consideramos el espacio (n + 1)-dimensional y notamos por (x, y) = ([x.sub.1], ... , [x.sub.n], y) los vectores de [R.sup.n+1], entonces

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es el valor en (x, y) del potencial newtoniano de una masa o carga repartida sobre el hiperplano y = 0 con

densidad f. El limite de [FI] (x,y) cuando y [flecha diestra] 0 es [R.sub.1] f(x). Llamando ahora

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

los gradientes parciales, - [gradacion] x [R.sub.1] f es la expresion (6) que desde el articulo [9, pag. 906] de Calderon y Zygmund se llama la transformada de Riesz. El calculo formal [gradacion] x [R.sub.1]l * [gradacion] x [R.sub.1] = [gradacion][R.sub.1] * [R.sub.1] = [gradacion][R.sub.2] = [R.sub.0] rinde verosimil la reciprocidad conjeturada por Riesz.

Es razonable suponer que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

tiende hacia Hf(x) cuando y [flecha diestra] 0+, es decir

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es ahora nuestro nucleo conjugado de Poisson. La integral de Poisson

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

resuelve el problema de Dirichlet para el semi-espacio y > 0, es decir [DELTA]U = 0 y U(x,y) [flecha diestra] f(x) cuando y [flecha diestra] 0+. El nucleo de Poisson es pues

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Cuando n = 1, debemos considerar en vez del potencial newtoniano el potencial logaritmico en el plano, que corresponde al prepotencial

[R.sub.1]f(x) = 1/[pi] [[integral].sup.[infinito].sub.-[infinito]] f(t) log [valor absoluto de x - t] dt.

Entonces la expresion para la funcion conjugada es

[??] (x) = 1/[pi] d/dx [[integral].sup.[infinito].sub.-[infinito]] f(t) log [valor absoluto de x - t] dt

y es bajo esta forma que Titchmarsh la introduce al principio de su discusion ([96, 5.2, Theorem 90, pag. 121]).

7.

La demostracion dada en [28] a las conjeturas de Marcel Riesz sigue paso por paso la demostracion dada arriba en el caso n = 1. En primer lugar, hay que averiguar si el coeficiente que figura en la definicion de [P.sub.y](x) es correcto, es decir si es cierto que [[integral].sub.R.sup.n]]- [P.sub.y](x)dx = 1. Con el cambio de variables t = x/y e introduciendo coordenadas polares se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde dw es el elemento de superficie sobre la esfera S(r) con radio r. Con el cambio de variable s = 1/r se ve que la ultima expresion es igual a

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Todavia en Paris, calcule esta ultima integral separadamente para n par y para n impar, reduciendo el exponente integrando por partes. Una vez llegado a Bogota en el verano de 1951, ensene el curso de Analisis de tercer semestre en la Universidad de los Andes utilizando el texto de Reddick y Miller, de donde aprendi que la integral vale

[GAMMA](n/2)/[GAMMA](n+1/2) [raiz cuadrada de [pi]/2].

Entonces nuestra integral original es igual a

[[pi].sup.(n+1)/2/[GAMMA](n+1/2)

que es efectivamente el reciproco del coeficiente en [P.sub.y] (x).

Los analogos n-dimensionales de los Lemas 1 y 2 se demuestran casi palabra por palabra como en el caso de una dimension.

Las transformadas de Fourier de los nucleos de Poisson son

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

La primera se encuentra en el libro de S. Bochner ([3, (21), pag. 189]). Pero como el utiliza la funcion de Bessel, di una nueva deduccion empleando una formula debida a Leray concerniente a la transformada de Fourier de una funcion radial, que aprendi el ano anterior en su curso sobre ecuaciones diferenciales parciales del tipo hiperbolico ([47, No. 13, pags. 29-30]). Para la transformada de [Q.sub.y] utilice tambien la formula de Leray, pero no directamente ya que [Q.sub.y] no es radial. En el curso de la computacion me tope con una integral que me parecia imposible de calcular. Por pura casualidad encontre en el libro de Magnus y Oberhettinger [49] que la integral se puede expresar mediante la funcion modificada de Hankel, que despues se elimina del resultado final. Fue solo treinta anos mas tarde, al leer el libro de George O. Okikiolu ([59, Chap. 5.2, pag. 328]), que me di cuenta que mis esfuerzos eran inutiles ya que F([Q.sub.y]) se deduce en una manera muy sencilla de F([P.sub.y]) utilizando el analogo n-dimensional de (4).

La demostracion se termina como en el caso n = 1. Se define G([xi]) = -i[xi]/[valor absoluto de [xi]] [??] ([xi]), es decir, G = ([G.sub.1], ..., [G.sub.n] es una funcion vectorial, con componentes [G.sub.j]([xi]) = -i [xi]j/[valor absoluto de [xi]] [??] ([xi]), que satisface a

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Sea g = ([g.sub.1], ..., [g.sub.n]) [elemento de] [L.sup.2] tal que [[??].sub.j] = [G.sub.j] (1 [menor que o igual a] j [menor que o igual a] n).

Entonces [[paralelo]g[paralelo].sub.2] = [[paralelo]G[paralelo].sub.2] = [[paralelo]f[paralelo].sub.2]. Por otro lado

f * [Q.sub.y] = g * [P.sub.y]

ya que la transformada de Fourier de cualquier lado es -i [xi]/[valor absoluto de [xi]][e.sup.-2[pi]y[valor absoluto de [xi]] [??] ([xi]). Para casi todo x [elemento de] [R.sup.n] el miembro a la izquierda tiende hacia Hf, el de la derecha hacia g [elemento de] [L.sup.2]. Luego H f(x) existe, Hf pertenece a [L.sup.2] y su norma es igual a [[paralelo]f[paralelo].sub.2]. La reciprocidad sigue de que

-i [xi]/[valor absoluto de [xi]] * -i [xi]/[valor absoluto de [xi]] = -1.

8.

En 1924 Marcel Riesz ([72]; [74, No.29, pags. 360-362; No. 33, pags. 410-436]) generalizo el resultado de Plessner. Ya Plessner demostro que si 1 < p < [infinito] y f [elemento de] [L.sup.p], entonces [??](x) existe en casi todo x [elemento de] R. Riesz demuestra que [??] tambien pertenece a [L.sup.p] y que [[paralelo][??][paralelo].sub.p] [menor que o igual a] [M.sub.p][paralelo]f[paralelo].sub.p], donde la constante [M.sub.p] depende solo de p. Dame Mary Lucy Cartwright [10] publico la correspondencia entre G. H. Hardy y Marcel Riesz acerca del teorema. Hardy quiso ver la demostracion ya que el y su alumno Titehmarsh habian ensayado demostrar el resultado sin exito. Marcel Riesz le envio la demostracion detallada con el cuento muy divertido de la manera en que la habia encontrado: "el paso mas importante es olvidar el teorema de Parseval". Relata que en un examen dio a un alumno con poco talento el problema mucho mas facil que corresponde al caso p = 2. Empezo a reflexionar como podria este demostrarlo si no conocia el teorema de Parseval, y esto le dio la idea de la marcha a seguir. Hardy le contesto el 5 de enero de 1924 que la vida del alumno no sera sin valor (pero nunca entendera por que). El gran matematico argentino Alberto P. Calderon dio una nueva demostracion del teorema de Marcel Riesz [5] con la cual empezo su brillante carrera, como lo relata Robert Fefferman en la introduccion de la tercera edicion del libro de Zygmund [106].

En un trabajo historico, dedicado a Marcel Riesz con la ocasion de su sexagesimo quinto cumpleanos, el susodicho Calderon y Antoni Zygmund [6] demostraron el analogo n-dimensional del teorema de Riesz. Yo me encontre con Zygmund en 1951 en Paris y el me hablo del articulo que estaba por aparecer, de manera que no lo habia visto cuando redacte mi nota [28]. Asi no sabia que como motivacion ellos tambien se refieren (en el caso n = 2) al comportamiento de la funcion notada V (x, y) mas arriba, cuando y [flecha diestra] 0+.

Calderon y Zygmund toman una funcion [OMEGA] definida sobre la esfera unidad [S.sub.n-1] de [R.sup.n] que satisface

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

condicion que figura ya en obras anteriores([50,Chap II, Th.1, pag. 156]) y cuyo verdadero significado se entiende solo a base de la teoria de las funciones holomorfas con valores distribuciones. Suponen ademas que [OMEGA] satisface una cierta condicion de tipo de Lipschitz y consideran para [epsilon] > 0 las integrales

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Demuestran el siguiente resultado:

Si 1 < p < [infinito] y f [elemento de] [L.sup.p] ([R.sup.n]), entonces [??] [epsilon] tiende, cuando [epsilon] [flecha diestra] 0+, en el sentido de la norma de [L.sup.p]([R.sup.n]) y en casi todo x [elemento de] [R.sup.n] hacia una funcion [??] que pertenece a [L.sup.p]. Ademas, [[paralelo][??][paralelo].sub.p] [menor que o igual a] C[[paralelo]f[paralelo].sub.p], donde C > 0 depende solo de n, p y [OMEGA].

El caso de la transformada de Riesz corresponde a [OMEGA](w) = w = ([w.sub.1], ..., [w.sub.n]) [elemento de] [S.sub.n-1]. Calderon y Zygmund volvieron en otro articulo [8] a integrales singulares, en el cual presentan demostraciones simplificadas de algunos resultados usando la transformada de Riesz. Desde entonces el numero de los trabajos dedicados a las integrales singulares ha llegado seguramente a mas de mil. Gran parte de su teoria se puede estudiar en los libros de E. M. Stein [88], [89], Stein y Weiss [92], Christ [11] y los apuntes de Alejandro Ortiz F. [60].

Puesto que conocia el teorema de Calderon-Zygmund, trate de demostrar en [28] que la reciprocidad [??](H(f) = -f vale tambien para f en [L.sup.p], 1 < p < [infinito]. G. O. Thorin, quien dio una famosa demostracion de una generalizacion del teorema de convexidad de Marcel Riesz ([94], [95]), que segun J. E. Littlewood ([48, pag. 20]) se basa sobre la idea mas impudente en matematicas, encontro un error en mi demostracion. A pesar de no tener puesto academico (trabajaba para una compania de seguros), Thorin mantenia contacto con la vida matematica, y Riesz le presto mi manuscrito. Quisiera dar ahora una demostracion correcta, basada sobre la sugestion de Thorin en su carta a Riesz del 2 de febrero de 1953.

Sea pues f [elemento de] [L.sup.p] con 1 < p < [infinto]. Consideremos una sucesion ([f.sub.v]) de elementos de [L.sup.p] [interseccion] [L.sup.2] que converge hacia f cuando v [flecha diestra] en el sentido de [L.sup.p] y en casi todo punto x [elemento de] [R.sup.n]. Pongamos g = H f, [g.sub.v] = H [f.sub.v]. Entonces por el teorema de Calderon-Zygmund g pertenece a [L.sup.p]([R.sup.n]) y [[paralelo]g[paralelo].sub.p] [menor que o igual a] [M.sub.p] [[[paralelo]f[paralelo].sub.p]. Por otro lado [g.sub.v] [flecha diestra] [L.sup.p] [elemento de] [L.sup.p] [interseccion] [L.sup.2] y [[[paralelo]g - [g.sup.v][paralelo].sup.p] [menor que o igual a][M.sub.p] [[paralelo]f[paralelo].sub.p], asi que [g.sub.v] [flecha diestra] g en [L.sup.p]([R.sup.n]). Por el resultado que vale para p = 2 se tiene H[g.sub.v] = - [f.sub.v]. Por el teorema de Calderon-Zygmund

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

existe, pertenece a [L.sup.p] y se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

cuando v [flecha diestra], [infinito]. Finalmente

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

9.

En nuestra conversacion de febrero de 1951, Marcel Riesz insistio sobre el hecho de que la funcion

W(x, y) = U(x, y) + V(x, y) = U(x, y)[e.sub.0] + [V.sub.1](x, y)[e.sub.l] + ... + [V.sub.n](x, y)[e.sub.n]

de la seccion 6 satisface a un sistema de ecuaciones diferenciales que generaliza el de Cauchy-Riemann y que fue introducido por el matematico suizo R. Fueter [17] y sus discipulos [79], [87] para definir funciones regulares en algebras:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es decir divW = 0, rotW = 0. E. M. Stein y Guido Weiss [90], [91], [101] construyeron una gran teoria de espacios [H.sup.p] en el semi-espacio superior [R.sup.n] x [R.sub.+] y en su borde [R.sub.n] que generaliza los espacios de Hardy introducidos por Frigyes Riesz [70], hermano de Marcel, y que tiene una enorme importancia en analisis armonico. Mas tarde Stein escribio un articulo en colaboracion con Charles Fefferman [15] quien demostro que el dual de [H.sup.1] es el espacio BMO de funciones cuyo promedio tiene una oscilacion acotada, introducido poco antes por John y Nirenberg, lo que le valdria la Medalla Fields a Fefferman. La teoria esta expuesta de manera muy clara y detallada en los libros de Stein [88], [89] y de Stein-Weiss [92]. Con un desliz curioso de terminologia, Stein y Weiss dan al sistema de Fueter el nombre "sistema de Riesz"([92, pag. 234]) y Ch. Fefferman en su elogio de la obra de E. M. Stein ([16, pag. 10]) lo llama "ecuaciones de Stein-Weiss".

10.

En los anos 1952 y 1956 el matematico frances Laurent Schwartz (con la letra t) visito Bogota y enseno varios cursos en los cuales se sirvio de la teoria de las distribuciones que el invento [80], y por la cual recibio la Medalla Fields en 1950. Este contacto me hizo caer en cuenta que la mejor manera de tratar las transformadas de Riesz era considerarlas como la covolucion de la distribucion v.p. x/[[valor absoluto de x].sup.n+1] con una funcion f (o, mejor, con una distribucion).

Dare cuenta de los resultados obtenidos relativos a integrales singulares e hipersingulares empezando con un breve bosquejo de la teoria de las distribuciones (fuera del libro de Schwartz citado arriba, recomiendo [26]). Notamos por 79 (o por D([R.sup.n]) si es necesario) el espacio vectorial de las funciones [fi] definidas sobre [R.sup.n], con valores en R o C, que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes y cuyo soporte

Supp [fi] = {x [elemento de][R.sup.n] : [fi](x) [desigual a]0}

es compacto. Una distribucion (de Schwartz) T sobre [R.sup.n] es una aplicacion lineal [fi] [flecha diestra] < T, [fi] > de D en R o C que satisface la condicion siguiente: para todo conjunto compacto K [subconjunto] [R.sup.n] existe una constante M > 0 y un numero entero m [mayor que o igual a] 0 tal que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (7)

para todo [fi] [elemento de] D con Supp [fi] [subconjunto] K. Aqui nos servimos de una notacion hoy generalmente utilizada: [rho] = ([rho] 1, ... , [rho]a) [elemento de] [N.sup.n] es un multi-indice, es decir una n-tupla de numeros enteros [[rho].sub.j] [mayor que o igual a] 0, y [valor absoluto de [rho]] = [rho]1 + ... + [rho]n

es su orden; [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

La desigualdad (7) expresa el hecho de que T es una forma lineal continua sobre D para una cierta topologia localmente convexa. Una sucesion ([[fi].sub.v]) en D converge a cero para esta topologia si existe un conjunto compacto K [subconjunto] [R.sup.n] tal que Supp [[fi].sub.v] [subconjunto] K para todo v, y si para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la sucesion ([[derivada parcial].sup.[rho][[fi].sub.v](x)) converge uniformemente hacia cero. Desde luego el espacio D' = D'([R.sup.n]) de las distribuciones es el dual topologico de D.

Ejemplo 1. Sea f una funcion localmente integrable sobre [R.sub.n], es decir integrable sobre cada conjunto compacto K [subconjunto] [R.sup.n]. Entonces

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

para todo [fi] elemento de] D con Supp [fi] [subconjunto] K. De esta manera f define una distribucion que podemos notar [T.sub.f] o simplemente f si no hay peligro de confusion.

Ejemplo 2. La distribucion de Dirac [delta] se define por < [delta], [fi] > = [fi](0).

Inspirado por los casos cuando T = [T.sub.f] para una funcion f apropiada, Laurent Schwartz introdujo las operaciones siguientes para distribuciones.

Diferenciacion. Si T [elemento de] D' [rho] [elemento de] [N.sup.n], entonces

< [[derivada parcial].sup.[rho], fi] > = [(-1).sup.[valor absoluto de [rho]] < T, [[derivada parcial].sup.[rho][fi] >

para todo [fi] [elemento de] D. Asi por ejemplo < [[derivada parcial].sup.[rho]][delta], [fi] > = [(-1).sup.[valor absoluto de [rho] [[derivada parcial].sup.[rho]][fi](0).

Multiplicacion. Se nota por [epsilon] o [epsilon] ([R.sup.n]) el espacio de todas las funciones definidas en [R.sup.n], con valores en R o C, que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes. Una sucesion ([f.sub.v]) de elementos de [epsilon] tiende hacia f [elemento de] [epsilon] si para todo conjunto compacto K [subconjunto] [R.sup.n] y para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la sucesion ([[derivada parcial].sup.[rho]][f.sub.v]) converge hacia [[derivada parcial].sup.[rho]]f uniformemente sobre K.

Si T [elemento de] D' y f [elemento de] [epsilon], entonces la distribucion f T se define por < f T, [fi] > = < T, f [fi] > para todo [fi] [elemento de] D. Esta claro que f [fi] [elemento de] D, y la regla de Leibniz muestra que f T es en efecto una distribucion.

Las ultimas dos operaciones, y mayoria de las operaciones con distribuciones en general, se pueden definir igualmente por continuidad aprovechando el hecho de que por ejemplo D o [epsilon] es denso en D'.

Soporte. Si [OMEGA] es un subconjunto abierto de [R.sup.n], se dice que T [elemento de] D' es cero en [OMEGA] si < T, [fi] > = 0 para todo [elemento de] D con Supp [fi] [subconjunto] [OMEGA]. El soporte Supp T de T es el complemento de la reunion de todos los conjuntos abiertos en los cuales T vale cero. Obviamente Supp T es un conjunto cerrado. Por ejemplo Supp [delta] = {0}.

Las distribuciones con soporte compacto forman el espacio [epsilon]', dual topologico de [epsilon].

Producto tensoria. El producto tensorial de dos funciones f y g definidas en [R.sup.n] es la funcion definida en [R.sup.n] x [R.sup.n] = [R.sup.2n] por (f [producto cruzado] g)(x,y) = f(x) x g(y). Desde luego el producto tensorial de las distribuciones S, T [elemento de] D'([R.sup.n]) es la distribucion S[producto cruzado]T [elemento de] D'([R.sup.2n]) definida por

< S[productor cruzado]T, [fi] [productor cruzado] [psi] > = < S, [fi] >< T,[psi] >

para [fi], [psi] [elemento de] D([R.sup.n]). Para averiguar que la definicion tiene sentido, es menester probar que las sumas finitas [[suma].sub.j.sub.k = 1 [[fi].sub.j] (x)[[psi].sub.j (y) forman un conjunto denso en D([R.sup.2n]).

La definicion de la convolucion, que para nosotros tiene mayor importancia, es mas delicada. Si f y g son dos funciones integrables sobre [R.sup.n], entonces de la definicion de su convolucion (vease seccion 4) resulta que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Esto sugiere definir la convolucion de S, T [elemento de] D'([R.sup.n]) por

< S * T, [fi] > = < S [producto cruzado]T, [[fi].sup.[DELTA]]>

para [fi] [elemento de] D([R.sup.n]), donde [[fi].sup.[DELTA] es la funcion (x,y) [flecha diestra] [fi](x + y) sobre [R.sup.2n]. El problema con esta definicion es que [[fi].sup.[DELTA] tiene soporte compacto unicamente cuando [fi] es identicamente cero.

Laurent Schwartz en su seminario sobre la tesis doctoral de Alexander Grothendieck ([81, Expose 22]) propuso una definicion muy general de la convolucion de dos distribuciones.

Notemos por [beta] el espacio de las funciones [fi] cuyas derivadas de todos los ordenes existen, son continuas y acotadas. Una sucesion ([[fi].sub.v]) en B tiende a cero en el sentido de la topologia de B si para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la sucesion ([[derivada parcial].sup.[rho][[fi].sub.v](x)) tiende uniformemente a cero sobre [R.sup.n] cuando v [flecha diestra] [infinito].

Designamos por [[beta].sub.0] el subespacio cerrado de [beta] que consiste de las funciones [fi] tales que para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la derivada [[derivada parcial].sup.[rho] [fi] tiende a cero al infinito, es decir dado [epsilon] > 0 existe R > 0 tal que [valor absoluto de x [[derivada parcial].sup.[rho]][fi](x)] [menor que o igual a] [epsilon] cuando [mayor que o igual a] R. Obviamente D [subconjunto] [[beta].sub.0], ademas D es denso en [[beta].sub.0] y la inyeccion D [flecha diestra] [[beta].sub.0] es continua, por lo tanto el dual topologico [[beta'].sub.0] de [[beta].sub.0] se puede considerar como un sub-espacio de D', es decir sus elementos son distribuciones.

Sea T [elemento de] [[beta'].sub.0] y [fi] [beta]. Si ([[fi].sub.v]) es una sucesion en [[beta].sub.0] tal que para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la sucesion ([[derivada parcial].sup.[rho][[fi].sub.v] converge hacia [[derivada parcial].sup.[rho][fi], uniformemente sobre cada subconjunto compacto de [R.sup.n], entonces la sucesion (< T, [[fi].sub.v] >) converge hacia un valor que por definicion es igual a < T, [fi] >.

En particular si notamos por 1 la funcion que vale uno en todo punto x [elemento de] [R.sup.n], entonces tiene sentido la expresion < T, 1 > que se llama la integral de T y se nota tambien [integral] T. Por consiguiente la distribuciones en [[beta'].sub.0] se dicen integrables. (Laurent Schwartz escribe [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] vez de [[beta'].sub.0].

Dos distribuciones S, T [elemento de] D'([R.sup.n]) son convolubles si para todo [fi] [elemento de] D([R.sup.n]) la distribucion [[fi].sup.[DELTA] [producto cruzado] T es integrable. Su convolucion se define entonces por

< S * T, [fi] >=< [[fi].sup.[DELTA]S[producto cruzado]T, 1 >= [integral][[fi].sup.[DELTA]S[producto cruzado]T.

Por ejemplo S y T son convolubles siempre cuando para todo conjunto compacto K [subconjuntro] [R.sup.n] la faja [K.sub.[DELTA]] = {(x, y) [elemento de] [R.sup.2n] : x + y [elemento de] K} intersecta Supp S x Supp T en un conjunto compacto.

Norbert Ortner observo que equivale decir que para todo [fi] [elemento de] D([R.sup.n] la distribucion [[fi].sub.][DELTA]S [producto cruzado] T tiene soporte compacto. Puesto que [epsilon'] [subconjunto] [[beta'].sub.0], la condicion implica efectivamente aquella de la definicion. En particular S y T son convolubles si uno de ellos tiene soporte compacto.

Durante el ano escolar 1950/51 Claude Chevalley, el gran algebrista frances, enseno un curso sobre las distribuciones de Laurent Schwartz en la Columbia University de Nueva York, en la cual introdujo otra definicion de la convolucion. Si f es una funcion definida sobre [R.sup.n], entonces se suele escribir [??](x) = f(-x) y ([[tau].sub.a]f)(x) = f(x-a). La regularizada T * [fi] de T [elemento de] D'([R.sub.n]) por [fi] [elemento de] D([R.sub.n]) es la funcion infinitamente diferenciable dada por

(T * [fi])(x) = < T, [[tau].sub.x][fi] >.

Chevalley dice que S y T son convolubles si para todo [fi] y [psi] en D[R.sup.n]) la funcion (S * [fi]). (T * [psi]) es integrable sobre [R.sup.n], donde < [??], [fi] >=< T, [??] >. Entonces S * T es

la distribucion determinada por

< (S * T)[fi], [psi] >= [integral](S * [fi] x ([??] * [psi] dx.

Del curso de Chevalley se publicaron apuntes que yo nunca tuve la oportunidad de consultar, pero que llegaron al Japon, donde un grupo de matematicos: Y. Hirata, M. Itano, H. Ogata, R. Shiraishi y K. Yoshinaga escribieron una serie de trabajos sobre convolucion y multiplicacion de distribuciones [21], [22], [85], [103]. En particular, introdujeron nuevas maneras de definir la convolucion de distribuciones y demostraron que las definiciones son equivalentes. Hirata y Ogata anticiparon un resultado del que hablare mas abajo, a saber que Pf[[valor absoluto de x].sup.[alfa] y Pf[[valor absoluto de x].sup.[beta] son convolubles cuando R([alpha] + [beta]) < -n ([22, pag. 148, ejemplo 2]).

Mientras tanto Laurent Schwartz publico su gran trabajo sobre distribuciones con valores vectoriales [82], [83]. En la primera de las dos entregas introduce el concepto de distribucion parcialmente integrable y a base de esto da otra definicion de la convolucion. El matematico ruso W. S. Wladimirow ha dado todavia otra definicion de dicha operacion. En un bellisimo trabajo [13], P. Dierolf y J. Voigt demuestran de manera sencilla que todas las definiciones son equivalentes.

A pesar de haber estudiado el seminario [81] de Schwartz en los anos cincuenta, presente en 1974 la definicion general de S * T como si fuera nueva [35]. En esta nota demostre que las definiciones usuales de la convolucion (por ejemplo cuando f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q], 1/p + 1/q [mayor que o igual a] 1) son casos particulares de la definicion general. Bernhard Roider en una nota [75] que complementa [35], demuestra de manera sencilla el hecho ya demostrado por Shiraishi [85] que las dos definiciones dadas por Laurent Schwartz son equivalentes. Los dos presentamos propiedades de la convolucion, de los cuales quiero enumerar algunas:

Si las distribuciones S y T son convolubles, entonces T y S son convolubles y se tiene S * T = T * S.

[delta] * T = T para todo T [elemento de] D'([R.sup.n]).

Definicion. Se dice que la tripla (R, S, T) de distribuciones en D'([R.sup.n]) es convoluble si [[fi].sup.2[DELTA] [producto cruzado] T [elemento de] [[beta'].sub.0]([R.sup.3n), donde [[fi].sup.3[DELTA]](x, y, z) = [fi](x + y + z), y entonces < R * S * T, [fi] >=< [[fi].sup.3[DELTA]]R[producto cruzado]S[producto cruzado]T, 1 > para [fi] [elemento de] D([R.sup.n]).

Si la tripla (R, S, T) es convoluble, entonces son convolubles R y S, S y T, R * S y T, R y S * T, y se tiene R * S * T = R * (S * T) = (R * S) * T.

Esto es interesante porque el famoso ejemplo de Laurent Schwartz:

Y * ([derivada parcial][delta]* 1)= 0 (Y * [[delta] * [derivada parcial][delta]* 1 = [delta] * 1 = 1,

donde Y es la funcion de Heaviside: Y(x) = 1 para x [mayor que o igual a] Y(x) = 0 para x < 0, muestra que si la tripla no es convoluble, la convolucion no es necesariamente asociativa.

Si S y T son convolubles, entonces para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] las distribuciones [[derivada parcial].sup.[rho]] y T son convolubles y se tiene [[derivada parcial].sup.[rho] (S * T) = [[derivada parcial].sup.[rho] S * T.

Teorema de N. Ortner [62], [63]. Sean S y T dos distribuciones sobre [R.sup.n] de los cuales no suponemos que son convolubles. Sea j un indice (1 [menor que o igual] j [menor que o igual] n) y supongamos que se cumplen las condiciones siguientes:

(a) [[derivada parcial].sub.j]S y T son convolubles;

(b) S y [[derivada parcial].sub.j] T son convolubles;

(c) ([fi] * S). T pertenece a la cerradura de [epsilon'] en [D'.sub.L[infinito]] para todo [fi] [elemento de] D.

Entonces [[derivada parcial].sub.j]S * T = S * [[derivada parcial].sub.j]T.

Laurent Schwartz descubrio una teoria muy satisfactoria de la transformacion de Fourier definiendo F para todas las distribuciones sino solo para aquellas que pertenecen a un cierto subespacio de D'([R.sup.n]). Notemos S([R.sup.n]), o sencillamente S si no hay posibilidad de confusion, el espacio vectorial de todas las funciones definidas en [R.sup.n] que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes y que son tales que

(1 + [[[valor absoluto de x].sup.2]).sup.m][[valor absoluto de [[derivada parcial].sup.[rho][fi](x)

es acotado para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] y m [elemento de] N. Una sucesion ([[fi].sub.v]) tiende a cero en S si para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] y m [elemento de] N la sucesion [((1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.m[derivada parcial].sup.[rho]][[fi].sub.v](x)) tiende a cero uniformemente sobre [R.sup.n] cuando v [flecha diestra][infinito]. Los elementos del dual topologico S'([R.sup.n]) = S' de S se llaman distribuciones temperadas. Puesto que el espacio D es denso en S y la inclusion D [flecha diestra] S es continua, los elementos de S' pueden efectivamente considerarse como distribuciones. Una distribucion T es temperada si para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] y m [elemento de] N existe M > 0 tal que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para todo [fi] [elemento de] D (o todo [fi] [elemento de] S).

La transformada de Fourier de una funcion [fi] [elemento de] S se define naturalmente por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde [xi] x x = [[xi].sub.1][x.sub.1] + ... + [[xi.sub.n][x.sub.n] es el producto escalar. La funcion F [fi] tambien pertenece a S y de hecho la aplicacion [fi] [flecha diestra] F [fi] es un isomorfismo lineal y continuo en ambas direcciones, cuyo inverso es la transformada de Fourier conjugada

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

es decir [barra.F] o F = F o [barra.F] es la aplicacion identidad.

Si f [elemento de] [L.sup.1]([R.sup.n]), entonces Ff [elemento de] [L.sup.[infinito]([R.sup.n]) define una distribucion tal que para todo [fi] [elemento de] S se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Esta identidad es la motivacion para definir la transformada de Fourier de T [elemento de] S'([R.sup.n]) por transposicion:

< FT, [fi] > = < T, F [fi] >

para [fi] [elemento de] S. La transformada conjugada se define por una relacion semejante. De manera equivalente se puede definir FT por continuidad ya que hay una inclusion continua S [flecha diestra] S' y S es denso en S'. Esta definicion de la transformada de Fourier abarca aquella dada para [L.sup.p] (1 < p [menor que o igual a] 2) en la seccion 4.

F es un isomorfismo de S' sobre si mismo cuyo inverso es [barra.F]. Cuando T tiene soporte compacto, su transformada de Fourier es la funcion infinitamente diferenciable [xi] [flecha diestra] FT([xi]) =< T, exp2[pi]i[x] x >, donde exp 2[pi]i[x] x es la funcion x [flecha diestra] exp 2[pi]i[x] x x de [epsilon]([R.sup.n]).

Un ejemplo importante es F([delta]) = 1. La transformada de Fourier intercambia la multiplicacion por un monomio [[xi].sup.[rho] = [[xi].sub.n.sup.[rho]n] y la diferenciacion. Si ponemos

[D.sub.j] = 1/2[pi]i[[derivada parcial].sub.j], entonces

F([D.sup.[rho]T)([xi] = [[xi].sup.[rho]FT,

lo que muestra la validez general de la formula (4). Mas generalmente, si P(D) = [[Suma].sub.[valor absoluto de [rho]][menor que o igual a]m [a.sub.[rho]][D.sup.[rho]] es un operador diferencial parcial con coeficientes constantes y P([xi] = [[Suma].sub.[valor absoluto de [rho]][menor que o igual a]m [a.sub.[rho][[xi].sup.[rho]]es el polinomio que le corresponde, entonces

F(P(D)T) = P([xi]) x F (T).

Sea [O.sub.M] el espacio vectorial de las funciones f sobre [R.sup.n] cuyas derivadas de todos los ordenes son continuas y tales que para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] existe un numero m = m([rho]) [elemento de] Z tal que

[(1 + [[valor absoluto de x].sup.2].sup.m][[valor absoluto de [[derivada parcial].sup.[rho]f(x)] (8)

es acotada. Este es el espacio de multiplicadores de S' es decir si f [elemento de] [O.sub.M] y T [elemento de] S', entonces fT [elemento de] S' y [O.sub.M] es el subespacio mas grande de [epsilon] que tiene esta propiedad.

Por otro lado, sea [O.sub.C] el espacio vectorial de las funciones f que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes y para los cuales existe un m [elemento de] Z tal que la funcion (8) es acotada para todo p [elemento de] [N.sub.n]. Obviamente [O.sub.C] [subconjunto] [O.sub.M], Y el ejemplo de la funcion [e.sup.i[[valor absoluto x].sup.2]] muestra que la inclusion es estricta. Una sucesion ([f.sub.v]) tiende a cero en [O.sub.C] si existe m [elemento de] Z tal que para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la sucesion [((1 + [valor absoluto de].sup.2).sup.m][[derivada parcial].sup.[rho]][f.sub.v](x))tiende a 0 uniformemente sobre [R.sup.n] cuando v [flecha diestra][infinto].

Hirata y Ogata ([22, pag. 148]) introdujeron la definicion siguiente: las distribuciones temperadas S y T son S'-convolubles si para todo [fi] [elemento de] S la distribucion [[fi].sup.[DELTA] [producto cruzado] T is integrable. En este caso tambien se define S * T por la misma formula que antes:

< S * T, [fi] >=< [[fi].sup.(DELTA](S [producto cruzado] T), 1 >,

pero se puede afirmar ademas que S * T es temperada. Dierolf y Voigt [13] contestaron una pregunta de Shiraishi ([85, pag. 20]) exhibiendo un ejemplo bastante complicado de dos distribuciones temperadas convolubles S y T tales que S * T no es temperada, es decir S y T no son S'-convolubles. Un poco mas tarde, N. Ortner y P. Wagner observaron que en [R.sup.2] las distribuciones

S = arctan (exp(2[x.sup.2]/[y.sup.2]) y T = [[delta].sub.x] [producto cruzado] [1.sub.y]

son convolubles pero S * T no es temperada.

Una distribucion T [elemento de] S', es S'-convoluble con toda distribucion S que pertenece al dual topologico [O'.sub.C] de [O.sub.C]. Inversamente [O'.sub.C] es el subespacio de D' mas grande cuyos elementos son S'-convolubles con toda distribucion temperada.

La transformacion de Fourier es un isomorfismo de [O'sub.C] sobre [O.sub.M]. Para S [elemento de] [O'sub.C] y T [elemento de] S' se tiene la formula de canje de Laurent Schwartz:

F(S * T) = FS x FT. (9)

Para generalizar esta formula, Hirata y Ogata ([22, pag. 150]) introdujeron una multiplicacion para ciertas distribuciones. Una sucesion ([[psi].sub.v]) en D es una regularizacion si [[psi].sub.v] [myor que o igual a] 0, [integral] [[psi].sub.v] (x) dx = 1 y Supp [[[psi].sub.v][flecha diestra]{0} cuando v [flecha diestra] [infinito]. Si para dos regularizaciones ([[psi].sub.v]), ([X.sub.v]) las sucesiones (([psi].sub.v]* S) x T) y (S x ([X.sub.v] * T)) convergen en D' hacia el mismo limite P cuando v [flecha diestra] [infinito], entonces se dice que el producto de S, T [elemento de] D' existe y se pone S x T = P. Shiraishi e Itano han demostrado que S x T existe si y solo si para cada [fi] [elemento de] D existe una vecindad V de 0 en [R.sup.n] tal que [fi] S * T es una funcion acotada en V, continua en el punto 0. En este caso < S x T, [fi] >= ([fi]S * T)(0). Vale entonces la siguiente generalizacion del teorema de canje: Si S y T son S-convolubles, FS x FT existe y se tiene (9) ([22, pag. 151]).

Sea p un numero real, 1 < p < [infinito]. Schwartz nota [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] el espacio vectorial de las funciones f definidas sobre [R.sup.n] que tienen derivadas continuas de todos los ordenes pertenecientes a [L.sup.p]([R.sub.n]). Una sucesion ([f.sub.v]) de elementos de [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] tiende a cero en [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] si para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la sucesion de los [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] tiende a 0 cuando v [flecha diestra] [infinito].

Las funciones que pertenecen a [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] son acotadas, de donde sigue que p [menor que o egual a] q implica [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

El dual topologico de [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] se nota [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] cuando 1/p + 1/q = 1, es decir ([EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII])' = [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] donde 1/p + 1/p' 1. (Nota: es por eso que no me gusta designar el espacio [[beta'].sub.0] de las distribuciones integrables por [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] como lo hace Schwartz: no es el dual de [beta] = [D.sub.L[infinito] sino de [[beta].sub.0].) Una aplicacion lineal T : [D.sub.Lq] [flecha diestra] R o C pertenece a [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] si existen una constante C > 0 y un numero entero m > 0 tales que [valor absoluto < T, [fi] > [menor que o igual a] C [[Suma].sub.[valor absoluto.sub.[rho]] [menor que o igual a]m [paralelo][[derivada parcial].sup.[rho]][fi][paralelo].sub.q]. Los elementos de [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] son distribuciones y se tiene D [elemento de] [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], las inclusiones son continuas y D es denso en cada uno de los espacios. Si p [menor que o igual a] q, entonces q' [menor que o igual a] p', es decir [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], y por lo tanto [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Una distribucion T [elemento de] D' pertenece a [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] si y solo si se cumple cualquiera de las dos condiciones:

(a) Para todo [fi] [elemento de] D la distribucion [fi] * T pertenece a [L.sup.p].

(b) T es una suma finita de derivadas (en el sentido de distribuciones) de funciones que pertenecen a [L.sup.p].

Si [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], entonces f x T pertenece a [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], donde 1/r = 1/p + 1/q (vease la seccion 4), y por lo tanto a todos los espacios [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] con s [mayor que o igual] r.

Ya que obviamente [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para todo p y la inclusion es continua, se tiene [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] S' y las dos propiedades siguientes tienen sentido.

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] con 1/p + 1/q [mayor que o igual a] 1, entonces S y

T son S' -convolubles y [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para 1/r = 1/p + 1/q - 1.

Si [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] con 1 p [menor que o igual a] 2, 1 [menor que o igual a] q [menor que o igual a] 2, entonces F(S * T) es una funcion igual a F(S). F(T).

11.

En 1954 llegue finalmente a estudiar la obra de Georges Giraud, no solo a traves de sus propias publicaciones, sino sobre todo en la presentacion de S. (3. Mihlin [50] sobre la cual Zygmund me llamo la atencion.

Giraud considera una funcion continua [OMEGA](x,w) definida sobre [R.sup.n] x [S.sub.n-1] tal que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

para todo x [elemento de] [R.sup.n] ([50, pag. 156]) y define el operador "con integral principal"

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Desarrollando [OMEGA] en una serie de polinomios armonicos [OMEGA](x,w) = [[suma].sub.k][a.sub.k][Y.sub.k](w), donde k es el grado de [Y.sub.k], se tiene formalmente

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Sin dar alguna indicacion, Giraud [18], [19] define el simbolo de [kappa] por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

R. S. Seeley ([84, pag. 311]) dice lo siguiente: "la naturaleza misteriosa del simbolo no fue eliminada hasta dieciseis anos mas tarde por la obra de Calderon y Zygmund [6], [7], [9], de Horvath [28], [29], [31] y de Kohn [42]. En efecto por el teorema de canje S * T = [bar.F](FS x FT) podemos escribir

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

y en [29] demostre que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (10)

Substituyendo en la integral y escribiendo a en vez de [sigma]([kappa]) obtenemos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

La expresion a la derecha es un operador pseudodiferencial con simbolo a. Estos operadores fueron introducidos alrededor de 1965 por A. Unterberger y J. Bokobza [98], por J. J. Kohn y L. Nirenberg [43] y por Lars Hormander [23], [24], [25], y tienen una enorme importancia en la teoria de las ecuaciones diferenciales parciales lineales. Sus propiedades se pueden estudiar por ejemplo en las monografias de Eskin [14], Hormander [27], Kumano-Go [44], Simanca [86], Taylor [93], Treves [97] y Zaidman [104], [105].

Considerare solo el caso cuando [OMEGA] no depende de x. La distribucion K = v.p. [OMEGA](w]/[[valor absoluto de x].sup.n] se define por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde w = x/[valor absoluto de x] y [fi] [elemento de] D([R.sup.n]). Poniendo [psi](t) = [fi](tx), de [psi](1) - [psi](0) = [[integral].sup.1.sub.0] [psi'](t)dt resulta que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

Sea [[fi].sub.k](x) = [[integral].sup.1.sub.0][derivada parcial][fi]/[derivada parcial][x.sub.k](tx)dt y [fi](x) = 0 para [valor absoluto de x] > R.

Puesto que

[[integral].sub.[valor absoluto de x] [mayor que o igual a] [omega](w)/[[valor absoluto de x].sup.n] [fi](0)dx = 0,

utilizando coordenadas polares x = rw podemos escribir:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

de donde se ve que el limite existe cuando [epsilon] [flecha diestra] 0 + y que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

es decir K es una distribucion.

Supongamos adicionalmente que [OMEGA] pertenece a un espacio [L.sup.s]([S.sub.n-1]) para un indice s con 1 < s < [infinito]. En este caso K pertenece a todos los espacios [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] con 1 < p < [infinito], y en particular a S', desde luego es licito hablar de F(K). Del teorema de Calderon- Zygmund resulta que T [??] K * T es una aplicacion continua de [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] en [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. En la pagina 55 de [29] me refiero al teorema de la grafica cerrada relativa a espacios metrizables. Ahora bien, los espacios [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] no son metrizables, pero el teorema vale igualmente para limites inductivos de espacios metrizables.

Para obtener (10) introduje un algebra conmutativa Q sobre el cuerpo R de los numeros reales engendrada por n elementos [e.sub.1], ..., [e.sub.n] que satisfacen a

[e.sup.2.sub.1] + [e.sup.2.sub.2] + ... + [e.sup.2.sub.n] = 0.

Q es un algebra graduada, es decir la suma directa de subespacios [Q.sub.j] engendrados por los productos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde [valor absoluto de K] = [k.sub.1] + ... + [k.sub.n] = j y [k.sub.n] es igual a cero o a uno. Si ponemos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

entonces los polinomios [Y.sub.K](x) son armonicos ya que

[DELTA][x.sub.j] = j(j - 1)[x.sup.j-2]([e.sup.2.sub.1] + ... + [e.sup.2.sub.n]) = 0.

Ademas los [Y.sub.K] son linealmente independientes por la manera de haber escogido la base de [Q.sub.j] y su numero es exactamente el numero de un sistema maximal linealmente independiente de polinomios armonicos de grado j.

Basta pues calcular la transformada de Fourier de [x.sup.k][[valor absoluto de x].sup.-n-k]. Laurent Schwartz encontro que F([[valor absoluto de x].sup.-n-k]]) es igual a

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

si k es impar ([80, VII.7.13, pag. 257]) y a

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

si k es par ([80, VII.7.14, pag. 258]), donde C(n, k) es una constante. Schwartz dice que para k > 0 hay que meter Pf delante de la integral que define [[valor absoluto de x].sup.-n-k]]; explicare mas abajo el significado de esta notacion.

De la formula

F([x.sup.j]T} = [(-1).sup.j]/[(2[pi]i].sup.j] [D.sup.j]F(T)

con

D = [e.sub.1] [derivada parcial]/[derivada parcial][[xi].sub.1] + [e.sub.2] [derivada parcial]/[derivada parcial][[xi].sub.2] + ... + [e.sub.n] [derivada parcial]/[derivada parcial][[xi].sub.n]

resulta (10) considerando componentes.

Con el mismo metodo S, G. Samko ([77], [78, pag. 111]) demostro que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

cuando [alfa] [desigual a] -k - 2l y [alfa] [desigual a] n + k + 2l (l [elemento de] N), y encontro tambien las formulas en los casos excepcionales. Ya en 1951 S. Bochner [4] demostro estas formulas utilizando relaciones modulares sin conexion con integrales singulares.

Quiero aprovechar de esta oportunidad para senalar tres errores de imprenta en [29]:

--pag. 57, linea 4: tachar la palabra "orthogonal";

--pag. 58, linea 5: tachar "(13)[??] meter al final: "which satisfy (13)";

--pag. 60, linea 7: reemplazar "[sigma] [my]" por "[[sigma].sub.[my]]".

12.

El metodo que nos sirvio para encontrar un sistema total de polinomios armonicos en n variables sirve tambien para construir un sistema total de soluciones polinomiales de una ecuacion diferencial parcial lineal homogenea con coeficientes constantes.

Sea m un numero entero [mayor que o igual a] 1 y

P([derivada parcial]) = [[suma de] ([valor absoluto de ([alfa])] = m] [a.sub.[alfa][[derivada parcial].sup.[alfa]].

Para simplificar supondremos que [a.sub.M] = 1, donde M = (m, 0, .., 0). Por consiguiente [[alfa].sub.1] < m para todo [alfa] [desigual a] M. Sea como antes Q = [union][Q.sub.j] el algebra sobre R engendrada por los elementos [e.sub.1], ..., [e.sub.n] que satisfacen a [[suma].sub.[valor absoluto de [alfa]] = m [a.sub.[alfa]][e.sup.[alfa]] = 0. Ponemos [Q.sub.0] = R y para j [mayor que o igual a] 1 el subespacio vectorial [Q.sub.j] engendrado por los [e.sup.J] con [valor absoluto de J] = [j.sub.1] + ... + [j.sub.n] = j tiene por base los productos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

con [valor absoluto de J] = j y 0 [menor que o igual a] [j.sub.1] < m. Estos vectores son obviamente linealmente independientes y en virtud de la relacion

[e.sup.m.sub.1] = - [suma de ([[alfa].sub.1] < m]] [a.sub.[alfa]][e.sup.[alfa]]

cada producto [e.sup.J] con [j.sub.1] [mayor que o igual a] m se puede expresar como combinacion lineal de tales productos con [[alfa].sub.1] < m. Para todo j [elemento de] N se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Entonces poniendo

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

los polinomios [Y.sub.J](x) de grado [valor absoluto de J] = j satisfacen a P([derivada parcial])[Y.sub.J](x) = 0.

Los polinomios [Y.sub.J](x), [valor absoluto de J] = j, forman un sistema maximal linealmente independiente de soluciones polinomias de grado j de la ecuacion P([derivada parcial])Y = O.

Dare la demostracion detallada de este resultado ya que aquella que se encuentra en [30] es demasiado sucinta y ademas contiene un error descubierto por Walter Strodt (vease [32, pag. 45, nota]).

El numero de todos los monomios [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] con [valor absoluto de [alfa]] = [[alfa].sub.1] + ... + [[alfa].sub.n] = j es

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (11)

Efectivamente, si ponemos

[j.sub.1] = [[alfa].sub.1] [menor que o igual a] [j.sub.2] = [[alfa].sub.1] + [[alfa].sub.2] [menor que o igual a] ... [menor que o igual a] [j.sub.n] = [[alfa].sub.1] + ... + [[alfa].sub.n] = j,

entonces ([j.sub.1], ..., [j.sub.n-1]) es una combinacion con repeticiones tomando n - 1 elementos entre los j + 1 elementos 0, 1, ..., j. Si ahora consideramos ([j.sub.1], [j.sub.2] + 1, ..., [j.sub.n-1] + n - 2), vemos que el numero de estas combinaciones con repeticiones es el mismo que el numero de combinaciones sin repeticiones de n - 1 elementos escogidos entre los j + n - 1 elementos (0, 1, ..., j + n - 2), o sea

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es decir (11).

Para averiguar la dimension de [Q.sub.j] se necesita calcular el numero de soluciones de

[[alfa].sub.1] + [[alfa].sub.2] + ... + [[alfa].sub.n] = j (12)

con [[alfa].sub.1] < m. Ahora bien, si j < m, la ecuacion (12) no tiene ninguna solucion con [j.sub.1] [mayor que o igual a] m. Si j [mayor que o igual a] m, entonces (12) tiene tantas soluciones con [[alfa].sub.1] [mayor que o igual a] m como

[[beta].sub.1] + [[beta].sub.2] + ... + [[beta].sub.n] = j - m

tiene soluciones en total, es decir

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (13)

Desde luego la dimension de [Q.sub.j] es la diferencia entre (11) y (13).

Por la primera computacion de arriba, el numero de los terminos en el polinomio general homogeneo en n variables

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es igual a (11). Consideremos los coeficientes indeterminados como un punto ([[beta].sub.J]) del espacio vectorial sobre R de dimension (11). La relacion

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

da relaciones lineales [gamma]K = 0 entre los coeficientes cuyo numero es igual a (13). Miremos cuales son los [[beta].sub.J] que entran en un termino

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

dado.

En primer lugar, el termino [[derivada parcial].sup.m.sub.1] de P([derivada parcial]) produce un termino que proviene de

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

en [Y.sub.j](x). Despues los terminos de la forma

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

contribuiran el termino

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

a la combinacion lineal [gamma]K de los [[beta].sub.J]. En [gamma]K un solo [[beta].sub.J] tiene el primer indice [j.sub.i] = [k.sub.1] + m. Para los otros [k.sub.1] + [[alfa].sub.1] < [k.sub.1] + m ya que [[alfa].sub.1] < m. Llamemos este [[beta].sub.J] el termino conductor. Los terminos conductores de dos relaciones [gamma]K = 0 y [gamma]L : 0 son distintos. En efecto, si

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

entonces ([k.sub.1] + m, [k.sub.2], ..., [k.sub.n]) = ([l.sub.1] + m, [l.sub.2], ..., [l.sub.n]), es decir K = L.

Desde luego, las relaciones lineales [gamma]K = 0 son linealmente independientes, en consecuencia el numero que da las soluciones linealmente independientes de P([derivada parcial])[Y.sub.J] = 0 con [valor absoluto de J] = j es exactamente dim[Q.sub.j].

Un poco antes, E. P. Miles, jr. y E. Williams ([53], [54]) encontraron el mismo sistema basico de polinomios armonicos que yo, sin servirse del algebra Q. E. P. Miles jr. encontro soluciones polinomiales de otros operadores diferenciales, aun con coeficientes variables, y aplicaciones de estas soluciones, solo [51], [52], en colaboracion con E. Williams [551, [56], [57], y con Eutiquio C. Young [58]. En los anos cincuenta varios otros autores presentaron sistemas de soluciones polinomias de ecuaciones diferenciales: Joaquin B. Diaz [12], E. Lammel [45], [46], M.H. Protter [68], [69] y M. C. Wicht [102]. En el caso n = 3 ya en 1929 Ketchum [41] obtuvo 2j + 1 soluciones polinomiales linealmente independientes de grado j de la ecuacion [DELTA]y = 0 considerando potencias [w.sub.j] de una hipervariable w.

13.

Formalmente, el potencial [R.sub.[alfa]] f de orden [alfa] de Marcel Riesz es --dejando de lado por el momento el factor numerico-- la convolucion [[valor absoluto de x].sup.[alfa]-n] * f. Es entonces natural considerar mas generalmente la convolucion de [[valor absoluto de x].sup.[alfa].sub.n] con una distribucion. Para [alfa] > 0 la funcion x [??][[valor absoluto de x].sup.[alfa].sub.n] es localmente integrable, pero tenemos interes en definir la distribucion [[valor absoluto de x].sup.[alfa].sub.n] tambien para [alfa] [menor que o igual a] 0.

Marcel Riesz definio su operador [R.sub.[alfa]] para aquellos valores de [alfa] para los cuales la integral no converge, por prolongacion analitica. De nuestro punto de vista es preferible considerar [[valor absoluto de x].sup.[alfa].sub.n] como funcion holomorfa de la variable [alfa] cuyos valores estan en D'([R.sup.n]) y considerar su prolongacion analitica. Por tal motivo tengo que resumir algunos hechos de la teoria de las funciones holomorfas con valores distribuciones. Tratare de hacerlo de la manera mas breve posible porque ya publique en castellano un articulo muy detallado sobre el asunto en la Revista Colombiana de Matematicas [34]. Un resumen del articulo salio anteriormente [33].

Notemos por E uno cualquiera de los espacios de "funciones de prueba" D, S, E, y por E' su dual topologico, es decir el espacio correspondiente de distribuciones D', S' o E'. Sea [LAMBDA] un subconjunto abierto y conexo del plano complejo C. Una funcion [lambda] [??] [T.sub.[lambda] definida en [LAMBDA] y con valores [T.sub.[lambda]] [elemento de] E' es holomorfa en A si para todo [[lambda].sub.0] [elemento de] [LAMBDA] el limite

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

existe; en tal caso el limite se nota [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Las propiedades de las funciones holomorfas con valores distribuciones se deducen del principio fuerte-debil de Grothendieck ([34,(1.1.4)]): La funcion [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] E' es holomorfa en [LAMBDA] si y solo si para todo [fi] [elemento de] E la funcion [lambda] [??] < [T.sub.[lambda]], [fi] > [elemento de] C es holomorfa en [LAMBDA].

Una funcion holomorfa es analitica en el sentido que tiene desarrollo en serie de potencias. Mas precisamente, sea [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] E' una funcion holomorfa en [LAMBDA]. Para [[lambda].sub.0 [elemento de] [LAMBDA] sea [rho] el radio de un disco abierto con centro [[lambda].sub.0] contenido en A. Para cualquier [sigma] < [rho] la serie

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

converge en E' hacia [T.sub.[lambda]], uniformemente para [valor absoluto [lambda - [[lambda].sub.0]] [menor que o igual a] [sigma].

Sea ahora [[LAMBDA].sub.1] otro subconjunto abierto y conexo de C tal que [LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA], y sea [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] E' una funcion holomorfa definida en [LAMBDA]. Para [lambda] [elemento de] [LAMBDA] Y [fi] [elemento de] E pongamos g([lambda]; [fi]) =< [T.sub.[lambda]], [fi] >. Si para todo [fi] [elemento de] E existe una funcion holomorfa [lambda] [??] h([lambda];[fi]) en [[LAMBDA].sub.1] que coincide con g([lambda];[fi]) en [LAMBDA] (es decir, si h(x;[fi]) es prolongacion analitica de g(x;[fi])), entonces existe una funcion holomorra [lambda] [??] [S.sub.[lambda]] en [[LAMBDA].sub.1] con valores en E' tal que [S.sub.[lambda]] = [T.sub.[lambda]] para [lambda] [elemento de] [LAMBDA] y < [S.sub.[lambda], [fi] >= h([lambda];[fi]) para [lambda] [elemento de] [[LAMBDA].sub.1] y [fi] [elemento de] E. Se dice que [S.sub.[lambda]] la prolongacion analitica de [T.sub.[LAMBDA] en [LAMBDA].

Supongamos que [[lambda].sub.0] [elemento de] [LAMBDA] y que [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] E' es holomorfa en [LAMBDA] \ {[[LAMBDA].sub.0]}. Si para [lambda] [desigual a] [[lambda].sub.0] en un disco con centro [[lambda].sub.0] se tiene

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde m [elemento de] N, las [S.sub.k], (k [mayor que o igual a] -m) son distribuciones en E' y [S.sub.-m] [desigual a] 0, entonces si m > 0, se dice que [T.sub.[lambda]] tiene un polo de orden m en [[lambda].sub.0], en particular si m = 1 se dice que el polo [[lambda].sub.0] es simple. La distribucion [S.sub.-1] es el residuo de [T.sub.[lambda]] en [[lambda].sub.0] y [S.sub.0] su parte finita:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

que se nota tambien [PfT.sub.[lambda]0]. Cuando en el desarrollo arriba los terminos que contienen [S.sub.k] con k < 0 faltan, se dice que [T.sub.[lambda]] es regular en [[lambda].sub.0]. Obviamente [T.sub.[lambda]0] es entonces [S.sub.0].

El caso mas frecuente es cuando en [LAMBDA] la distribucion [T.sub.[lambda]] esta dada por una familia ([f.sub.[lambda]]) de funciones localmente integrables tal que < [T.sub.[lambda]], [fi] >= [integral] [f.sub.[lambda]](x)[fi](x)dx y [lambda] [??] [integral] [f.sub.[integral]](x)[fi](x)dx es una funcion holomorfa en [LAMBDA] para todo [fi] [elemente de] E. La prolongacion analitica [S.sub.[lambda]] en [[LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA] de [T.sub.[lambda]] ya no esta dada en general por funciones localmente integrables. Se dice que [S.sub.[LAMBDA]] es una pseudofuncion. Si [S.sub.[lambda]] es regular en [[lambda].sub.0], se escribe [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] donde Pf tiene el significado "pseudofuncion'. Si [S.sub.[lambda]] tiene polo en [[lambda].sub.0], se escribe [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] ahora Pf es abreviatura para "parte finita". A Schwartz le ha gustado mucho este juego de palabras.

Si [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] E' es holomorfa en [LAMBDA], entonces para todo [rho] [elemento de] [N.sup.n] la funcion [lambda] [??] [[derivada parcial].sup.[rho]][T.sub.[lambda]] es holomorfa en [LAMBDA]. Si [T.sub.[lambda]] tiene una prolongacion analitica [S.sub.[lambda]] en [[LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA], entonces para cualquier [rho] [elemento de] [N.sup.n] la funcion [lambda] [??] [[derivada parcial].sub.[rho]][T.sub.[lambda]] tiene prolongacion analitica en [[LAMBDA].sub.1] la cual es igual a [[derivada parcial].sup.[rho]][S.sub.[lambda]]. Si [T.sub.[[lambda] tiene polo en [[lambda].sub.0], entonces [[derivada parcial].sup.[rho]][T.sub.[lambda]] tambien lo tiene y [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Sea [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] S'([R.sup.n]) una funcion holomorfa en [LAMBDA]. Entonces [lambda] [??] [FT.sub.[lambda] es tambien holomorfa en [LAMBDA]. Si [T.sub.[lambda]] tiene prolongacion analitica [S.sub.[lambda]] en [[LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA], entonces [FT.sub.[lambda]] tambien tiene prolongacion analitica [R.sub.[lambda]] en [[LAMBDA].sub.1] y [R.sub.[lambda]] = F[S.sub.[lambda]]. Si [T.sub.[lambda]] tiene polo en [[LAMBDA].sub.0], entonces [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Sea [([alfa].sub.[lambda]]).sub.[lambda] [elemento de] [LAMBDA]] una familia de funciones que pertenecen a E([R.sub.n]). Supongamos que [LAMBDA] [??] [[alfa].sub.[lambda]] [elemento de] E es holomorfa en [LAMBDA] en un sentido analogo a la definicion dada arriba. Si [LAMBDA] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] D' es holomorfa en [LAMBDA], tambien [lambda] [??] [[alfa].sub.[lambda]] x [T.sub.[lambda]] [elemento a] D' lo es.

Si [lambda] [??] [S.sub.[lambda]] [elemento de] D'([R.sup.n]) y [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] D'([R.sup.n]) son funciones holomorfas en [LAMBDA], entonces [lambda] [??] [S.sub.[lambda]] [producto cruzado] [T.sub.[lambda]] = [R.sub.[lambda]] es holomorfa con valores en D'([R.sup.2n]). Si [S.sub.[lambda]] y [T.sub.[lambda]] tienen prolongaciom analitica en [[LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA], entonces [R.sub.[lambda]] tambien tiene y sigue siendo [R.sub.[lambda]] = [S.sub.[lambda]] [producto cruzado] [T.sub.[lambda]] para [lambda] [elemento de] [[LAMBDA].sub.1].

Una funcion [LAMBDA] [??] [S.sub.[lambda]] [elemento de] E' holomorfa en [LAMBDA] se puede considerar como funcion holomorfa con valores en D' si la componemos con la inclusion E' [reune a] D'. Si [S.sub.[lambda]] tiene prolongacion analitica en [[LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA] en tanto que funcion con valores en D', entonces [S.sub.[lambda]] [elemento de] E' tambien para [lambda] [elemento de] [[LAMBDA].sub.1] y [lambda] [??] [S.sub.[LAMBDA]] [elemento de] E' es holomorfa en [[LAMBDA].sub.1]. Sean ahora [lambda] [??] [S.sub.[lambda]] [elemento de] E'([R.sup.n]) y [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] D'([R.sup.n]) funciones holomorfas en [LAMBDA]. Entonces [LAMBDA] [??] [R.sub.[lambda]] = [S.sub.[lambda]] * [T.sub.[lambda]] es holomorfa. Si [S.sub.[lambda]] y [T.sub.[lambda]] tienen prolongacion analitica en [[LAMBDA].sub.1] [reune a] [LAMBDA], entonces [R.sub.[lambda]] tambien tiene una y [R.sub.[lambda]] = [S.sub.[lambda]] * [Tx.sub.[lambda]] para [lambda] [elemento de] [[LAMBDA].sub.1].

Quiero terminar esta seccion con un resultado muy reciente de Norbert Ortner y Peter Wagner. Primero hay que notar la condicion siguiente ([13, (1.3), pag. 190]): Las distribuciones S y T son eonvolubles si y solo si para todo [fi] [elemento de] D la distribucion ([fi] * [??])T es integrable y entonces se tiene < S * T, [fi] > =< ([fi] * [??])T, 1 >. He aqui el teorema de Ortner y Wagner ([65, Prop. 9, pag. 372]):

(a) Sea [LAMBDA] un conjunto abierto, conexo en C y [lambda] [??] [S.sub.[lambda]] [elemento de] D', [lambda] [??] [T.sub.[lambda]] [elemento de] D' dos funciones holomorfas en [LAMBDA]. Si se cumple la condicion:

([[GAMMA].sub.[LAMBDA]) para todo [fi] [elemento de] D la aplicacion [lambda] [??] ([fi] * [[??].sub.[lambda]])[T.sub.[lambda]] de [LAMBDA] en [B'.sub.0] es debilmente continua,

entonces la aplicacion [LAMBDA] [??] [R.sub.[lambda]] = [S.sub.[lambda]] * [T.sub.[lambda]] de [lambda] en D' es holomorfa.

(b) Sea [[[LAMBDA].sub.1] un subconjunto abierto, conexo de C que contiene [LAMBDA]. Si [S.sub.[LAMBDA]] y [T.sub.[lambda]] tienen prolongaciones analiticas en [[LAMBDA].sub.1] y si la condicion ([EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]) (es decir ([[GAMMA].sub.[LAMBDA]]) con [lambda] reemplazado por [[LAMBDA].sub.1]) se cumple, entonces [R.sub.[lambda]] tiene prolongacion analitica en [[LAMBDA].sub.1] y [R.sub.[lambda]] = [S.sub.[lambda]] * [T.sub.[lambda]] vale para [lambda] [elemento de] [[[LAMBDA].sub.1].

Wagner ha dado un ejemplo (todavia no publicado) que muestra que la condicion ([fi] * [S.sub.[lambda]])[T.sub.[lambda]] [elemento de] [B.sub.0]' no implica la continuidad debil contenida en ([GAMMA].sub.[LAMBDA]]) y que entonces la convolucion no es holomorfa.

14.

Para R[lambda] > -n la funcion x [??] [[valor absoluto de x].sup.[lambda]] es localmente integrable sobre [R.sup.n], asi define una distribucion que notaremos por [[valor absoluto de x].sup.[lambda]], es decir

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

En realidad [[valor absoluto de x].sup.[lambda]] es temperada y la funcion [lambda] [??][[valor absoluto de x].sup.[lambda]] [elemento de] S' es holomorfa en el semiplano R[lambda] > -n. La prolongacion analitica de la funcion al plano C tiene polos simples en los puntos [lambda] = -n - 2k(k [elemento de] N), en los cuales sus residuos son

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (14)

Haciendo el cambio de variables [lambda] = [alfa] - n, obtenemos la funcion [alfa] [??] [[valor absoluto de x].sup.[alfa]-n] que tiene polos simples en los puntos [alfa] = -2k(k [elemento de] N). La funcion [alfa] [??] [GAMMA] ([alfa]/2) tiene polos simples en los mismos puntos, de manera que el cociente [[valor absoluto de x].sup.[alfa]-n]/[GAMMA]([alfa]/2) es regular en todos los puntos de C: es una funcion entera. De (14) y del valor del residuo de [GAMMA] ([alfa]/2) (2) resulta que el valor de [[valor absoluto de x].sup.[alfa]-n]/[GAMMA] ([alfa]/2) en [alfa] = -2k es

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Por tal razon es natural considerar la pseudofuncion eliptica de Mareel Riesz

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

cuyo valor en el punto [alfa] = -2k es [R.sub.-2k] = [(-[DELTA]).sup.k][delta]. El factor [GAMMA] (n-[alfa]/2) en el numerador causa que [alfa] [??] [R.sub.[alfa]] tenga polos simples en los puntos [lambda] = n + 2k (k [elemento de] N).

La pseudofuncion vectorial [N.sub.[alfa]] = - [gradacion] [R.sub.[alfa]+1] esta definida para R[alfa] > 0, [alfa] [desigual a] n + 2k + 1 por la funcion localmente integrable

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Observese que [N.sub.0] es el nucleo de la transformada de Riesz H de (6).

Generalizando los dos ejemplos anteriores, sea [OMEGA] una funcion integrable sobre la esfera unidad [S.sub.n-1] de [R.sup.n]. Introduzcamos los momentos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

de [OMEGA], donde [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Ahora no suponemos que [M.sub.0] = 0 como en la seccion 11. Para R[lambda] > -n definimos la distribucion [K.sup.[OMEGA].sub.[lambda] [elemento de] S' por

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

La funcion [lambda] [flecha diestra], [K.sup.[OMEGA].sub.[lambda]] [elemento de] S' tiene prolongacion analitica con polos simples en los puntos [lambda] = -n - k(k [elemento de] N) donde sus residuos son

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde [alfa]! := [[alfa].sub.1]! ... [[alfa].sub.n]!. En particular, para [lambda] = -n se tiene ([36, pag. 175])

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Vemos entonces que la condicion [M.sub.0] = 0 usada por Giraud, Mihlin y otros significa que [K.sup.[OMEGA].sub.[lambda]] es regular en el punto [lambda] = -n y la "parte finita. es un "valor principal" de Cauchy.

Teorema ([36, Th. 3, pag. 185]; [61, Satz 1, pag. 23]). Sea [OMEGA] acotada y medible sobre [S.sub.n-1] y pongamos [my] = R[lambda]. Si T [elemento de] D'([R.sup.n]) es tal que [(1 + [valor absoluto de x].sup.2]).sup.[my]/2] T es integrable, entonces T y [K.sup.[OMEGA].sub.[lambda] son S'--convolubles y se tiene F(T * [K.sup.[OMEGA].sub.[lambda]]) = F(T) x F([K.sup.[OMEGA].sub.[lambda]]) en el sentido de Hirata y Ogata.

Yo demostre solamente que son convolubles. La S'--convolubilidad se debe a Norbert Ortner. Peter Wagner ([99, pag. 474]) mostro que la condicion [OMEGA] [elemento de] [L.sup.1]([S.sub.n-1]) no es suficiente para que el teorema sea cierto.

Reciproco ([61, Satz 4, pgg. 29]). Si T [elemento de] D' y Pf[[valor absoluto de x].sup.[lambda]] son convolubles, entonces [(1 + [[valor absoluto x].sup.2]).sup.[my]/2] [elemento de] [B.sub.0]' ([my] = R[lambda]).

Corolario ([36, Corol. del Th.3, pag. 189]). Sean [[OMEGA].sub.1] y [[OMEGA].sub.2] dos funciones acotadas y medibles sobre [S.sub.n-1], y [K.sup.(1).sub.[lambda], [K.sup.(2).sub.v] las distribuciones que les corresponden. Si R([lambda] + v) < -n, entonces [K.sup.(1).sub.[lambda] y [K.sup.(2).sub.v] son convolubles.

En particular ([61, Satz 6, pag. 31]):

1) Si [alfa] = -2k o [beta] = -2k, entonces [R.sub.[alfa]] y [R.sub.[beta]] son S'-convolubles (obvio);

2) Si [alfa] [desigual a] -2k y [beta] [desigual a] -2k, entonces [R.sub.[alfa]] y [R.sub.[beta]] son convolubles si y solo si R([alfa] + [beta]) < n.

En ambos casos se tiene [R.sub.[alfa]] * [R.sub.[beta]] = [R.sub.[alfa]+[beta]] ([61, Satz 9, pag. 40, pag. 44]).

La pseudofuncion [N.sub.[alfa]] = - [gradacion] [R.sub.[alfa]+1] corresponde a la funcion vectorial [OMEGA](w]) = w sobre [S.sub.n-1]. Se tiene [N.sub.2k-1] = [(-1).sup.k+1] [gradacion] ([[DELTA].sup.k][delta]) para k [elemento de] N, y en particular

[N.sub.-1] = - [gradacion][delta] = [derivada parcial]/[derivada parcial][x.sub.1] el - ... - [derivada]/[derivada][x.sub.n] en.

Las [N.sub.[alfa]] son S'-convolubles en los casos siguientes [61], [63], [65]:

1) Si [alfa] = 2k - 1 o [beta] = 2k - 1, entonces [N.sub.[alfa]] y [N.sub.[beta]] son S'-convolubles;

2) Si [alfa] [desigual a] 2k - 1 y [beta] 2k - 1 entonces [N.sub.[alfa]] y [N.sub.[beta]] son S'-convolubles si y solo si R([alfa] + [beta]) < n.

En todos los casos se tiene [N.sub.[alfa] * [N.sub.[beta]] = -[R.sub.[alfa]+[beta]], lo que contiene el caso particular [N.sub.0] * [N.sub.0] = -[delta], es decir la reciprocidad del operador H de Riesz. En efecto

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Cuando n-2 [mayor que o igual a] [alfa] + [beta] < n, es decir n [mayor que o igual a] [alfa] + [beta] + 2 < n + 2, las distribuciones [R.sub.[alfa]+1] y [R.sub.[beta]+1] no son convolubles: es entonces que el Teorema de Ortner de la seccion 10 sirve.

Josefina Alvarez y Christine Carton-Lebrun [1] dieron una demostracion circular del teorema siguiente:

Sea T [elemento de] S'. Entonces las tres condiciones que siguen son equivalentes: (a) [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-n/2] T [elemento de] [B.sub.0]'; (b) T es S'-convoluble con [N.sub.0]; (c) [(1+ [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1/2] T es S'-convoluble con [R.sub.1].

Ellas investigaron tambien la S'--convolubilidad de T [elemento de] S' con una componente de la distribucion vectorial [N.sub.0] ([1, Th. 15.6, pag. 246]).

En un articulo escrito en colaboracion con Norbert Ortner y Peter Wagner([38]; vease tambien [64]) hemos considerado las distribuciones

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde la potencia [x.sup.i] se entiende en el sentido del algebra Q asociada al operador de Laplace [DELTA] (vease la seccion 12). Las componentes de esta distribucion vectorial son las escalares [PfY.sub.j](x)[[valor absoluto de x].sup.[lambda]-j], donde las [Y.sub.j] son un sistema linealmente independiente maximal de polinomios armonicos de grado j. Hemos calculado las transformadas de Fourier de estas distribuciones y demostrado la regla de convolucion [K.sub.[lambda],j] * [K.sub.v,k] = [K.sub.[lambda]+v,j,+k].

Para concluir, observemos que el metodo de Marcel Riesz consiste en encontrar un semigrupo [R.sub.[alfa]] que liga el operador diferencial -[DELTA] = [R.sub.-2] con su solucion elemental (o fundamental) [R.sub.-2] que satisface -[DELTA] [R.sub.2] = [R.sub.0] = [delta]. Se puede decir que [R.sub.[alfa]] = [(-[DELTA]).sup.-[alfa]/2]. Riesz construyo un semigrupo amilogo para el operador de ondas [] = [[derivada parcial].sup.2.sub.1] - [[derivada parcial].sup.2.sub.2] ... - [[derivada parcial].sup.2.sub.n].

En un articulo, desgraciadamente poco conocido [100], Peter Wagner conside-ro un polinomio arbitrario P de n indeterminadas con coeficientes reales. Con la ayuda de polinomios asociados a P, debidos a Joseph Bernstein y Mikio Sato [2], se ve que [P.sup.[lambda]], definido originalmente para NA > 0, tiene prolongacion analitica meromorfa a todo el plano complejo. Wagner llama [T.sub.[lambda]] = F[P.sup.[lambda]] el grupo de convolucion (Faltungsgruppe) del operador P(-1/2[pi]i[derivada parcial]). Se tiene P(-1/2[pi]i[derivada parcial])[T.sub.[lambda]] = [T.sub.[lambda]+1] y en particular [T.sub.-1] es solucion elemental de [P(-1/2[pi]i[derivada parcial]).sup.l] para l [elemento de] N. Si P es un polinomo homogeneo de grado m, P(x) > 0 para x [elemento de] [R.sup.n], x [desigual a] 0, y P no es una potencia de otro polinomio, entonces [T.sub.[lambda]] y [T.sub.v] son convolubles si y solo si [lambda] o v es un numero entero [mayor que o igual a] 0 o bien R([lambda] + v) > -n/m. En estos casos [T.sub.[lambda]] * [T.sub.v] = [T.sub.[lambda]+v]. En un trabajo todavia no aparecido Ortner y Wagner [66] investigan el grupo de convolucion para un sistema casihiperbolico de operadores diferenciales.

Recibido el 5 de julio de 2004

Aceptado para su publicacion en mayo de 2005

REFERENCIAS

[1] Alvares Josefina; Carton-Lebrun, Christiane: Optimal spaces for the S'-convolutions with Marcel Riesz kernels and the N-dimensional Hilbert kernel. Analysis of divergence (Orono, ME, 1997), Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhauser, pags. 233-248.

[2] Bjorck, Jan-Erik: Rings of differential operators. North-Holland, Amsterdam, 1979.

[3] Bochner, Salomon: Vorlesungen uber Fouriersche Integrale. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1932.

[4] --: Theta relations with spherical harmonics. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 37 (1951), 804-808.

[5] Calderon, Alberto P.: On theorems of M. Riesz and Zygmund. Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950), 533-535.

[6] Calderon, A. P; Zygmund, A.: On the existence of certain singular integrals. Acta Math. 88 (1952), 85-139.

[7] --: On a problem of Mihlin. Trans. Amer. Math. Soc. 78 (1955), 209-224.

[8] --: On singular integrals. Amer. J. Math 78 (1956), 289-309.

[9] --: Singular integral operators and differential equations. Amer. J. Math. 79 (1957), 901-921.

[10] Cartwright, Mary Lucy: Manuscripts of Hardy, Littlewood, Marcel Riesz and Titchmarsh. Bull. London Math. Soc. 14 (1982), 472-532.

[11] Christ, Michaeh Lectures on singular integral operators. Conf. Board of the Math. Sciences, Regional Conferences in Math., No. 77. Amer. Math. Soc., 1990.

[12] Diaz, Joaquin B.: On a class of partial differential equations of even order. Amer. J. Math. 68 (1946), 611-659.

[13] Dierolf, Peter; Voigt, Jurgen: Convolution and S'-convolution of distributions. Collect. Math. 29 (1978), 185-196.

[14] Eskin, G. I.: Boundary value problems for elliptic pseudo-differential equations. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 52. Amer Math. Soc., 1981.

[15] Fefferman, C.; Stein, E. M.: [H.sup.p] spaces of several variables. Acta Math. 129 (1972), 137-193.

[16] Fefferman, Charles: Selected theorems by Eli Stein. Essays on Fourier analysis in honor of Elias M. Stein, ed.: Ch. Fefferman, R. Fefferman, St. Wainger. Princeton University Press, 1995, pags. 1-35.

[17] Fueter, R.: Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen [DELTA]u = 0 und [DELTA][DELTA]u = 0 mit vier reellen Variablen. Commentarii Math. Helvetici 7 (1934/35), 307-330.

[18] Giraud, Georges: Sur une classe generale d'gquations a integrales principales. C.R. Acad. Sci. Paris 202 (1936), 2124-2127.

[19] --: Complement a un resultat sur les equations a integrales principales. C.R. Acad. Sci. Paris 203, 292-294.

[20] Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Polya, G.: Inequalities. Cambridge University Press, 1934.

[21] Hirata, Yukio: On convolutions in the theory of distributions. J. of Science of the Hiroshima University, Ser. A, 22 (1958), 89-98.

[22] Hirata, Y.; Ogata, Hayao: On the exchange formula for distributions. Journal of Science of the Hiroshima University, Ser. A. 22 (1958), 147-152.

[23] Hormander, Lars: Pseudo-differential operators. Comm. Pure Applied Math. 18 (1965), 501-517.

[24] --: Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems. Ann. of Math. 83 (1966), 129-209.

[25] --: Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. Singular Integrals, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 10. Amer. Math. Soc., 1967, pags. 138-183.

[26] --: The analysis of linear partial differential operators I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256. Springer, 1983.

[27] --: The analysis of linear partial differential operators III. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 274. Springer, 1985.

[28] Horvath, J.: Sur les fonctions conjuguees a plusieurs variables. Indag. Math. 15 (1953), 17-29.

[29] --: Singular integral operators and spherical harmonics. Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), 52-63.

[30] --: Basic sets of polynomial solutions for partial differential equations. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 569-575.

[31] --: On some composition formulas. Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 433-437.

[32] --: A generalization of the Cauchy-Riemann equations. Contributions to Diff. Equations 1 (1961), 39-58.

[33] --: Finite parts of distributions. Linear operators and approximations (Oberwolfach, August 14-22, 1971). Internat. Series Num. Math., Vol. 20. Birkhauser, 1972, pags. 142-158.

[34] --: Distribuciones definidas por prolongacion analitica. Rev. Colombiana Mat. 8 (1974), 47-95.

[35] --: Sur la convolution des distributions. Bull. Sci. Math. 98 (1974), 183-192.

[36] --: Composition of hypersingular integral operators. Applicable Analysis 7 (1978), 171-190.

[37] --: Convolution des noyaux hypersinguliers. G. Choquet, M. Rogalski, J. Saint-Raimond (Eds.), Seminaire initiation a l'analyse, 19e annee, 1979/80, expose no. 8. Univ Paris VI, 1980, pags. 1-17.

[38] Horvath, J.; Ortner, N.; Wagner, P.: Analytic continuation and convolution of hypersingular higher Hilbert-Riesz kernels. J. Math. Anal. Appl. 123 (1987), 429-447.

[39] Humbert, Pierre: Potentiels et prepotentiels. Cahiers Scientifiques, fasc. 15. Gauthier-Villars, Paris, 1936.

[40] Katznelson, Yitzhak: An introduction to harmonic analysis. Dover, New York, 1976.

[41] Ketchum, P. W.: A complete solution of Laplaee's equation by an infinite hypervariable. Amer. J. Math. 51 (1929), 179-188.

[42] Kohn, J. J.: Singular integral equations for differential forms on Riemannian manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 42 (1956), 650-653.

[43] Kohn, J. J.; Nirenberg, L.: An algebra of pseudo-differential operators. Comm. Pure Applied Math. 18 (1965), 269-305.

[44] Kumano-go, Hitoshi: Pseudo-differential operators. MIT Press, Cambridge, MA, 1974.

[45] Lammel, Ernst: Uber eine zur Differentialgleiehung ([a.sub.0] ([[derivada parcial].sup.n]/[derivada parcial][x.sup.n]) + [a.sub.1] ([[derivada parcial].sup.n]/ [derivada parcial][x.sup.n-1] [derivada parcial]y) + ... + [a.sub.n]( [[derivada parcial].sup.n]/[derivada parcial][y.sup.n]))u(x, y) = 0 gehorige Funktionentheorie I. Math. Ann. 122 (1950), 109-126.

[46] --: Generalizaciones de la teoria de las funciones de variables complejas. Segundo symposium sobre algunos problemas matematicos que se estan estudiando en Latino America, Villavicencio-Mendoza, 1954. UNESCO, pags. 191-197.

[47] Leray, Jean: Hyperbolic differential equations. The Institute of Advanced Study, Princeton, N.J., 1953, 1955.

[48] Littlewood, J. E.: A mathematicians miscellany. Methuen, London, 1953, 1957.

[49] Magnus, W; Oberhettinger, F.: Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics. Chelsea, New York, 1949.

[50] Mihlin, S. G.: Singular integral equations. Amer. Math. Soc. Translations, Ser 1, Vol. 10, 1962, pags. 84-198.

[51] Miles, E. P. jr.: Three dimensional harmonic functions generated by analytic functions of a hypervariable. Amer. Math. Monthly 61 (1954), 694-697.

[52] --: The analytic Cauchy problem for the iterated wave equation. Portugaliae Math. 18 (1959), 111-119.

[53] Miles, E. P.; Williams, Ernest: A basic set of of homogeneous harmonic polynomials in k variables. Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 191-194.

[54] --: A note on basic sets of homogeneous harmonic polynomials. Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 769-770.

[55] --: The Cauchy problem for linear partial differential equations with restricted boundary conditions. Canadian J. Math. 8 (1956), 426-431.

[56] --: A basic set of polynomial solutions for the Euler-Poisson-Darboux and Beltrami equations. Amer. Math. Monthly 63 (1956), 401-404.

[57] --: Basic sets of polynomials for the iterated Laplace and wave equations. Duke Math. J. 26 (1959), 35-40.

[58] Miles, E. P.; Young, E. C.: Basic sets of polynomials for generalized Beltrami and Euler-Poisson-Darboux equations and their iterates. Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 981-986.

[59] Okikiolu, George O.: Special integral operators, Vol. II--Poisson operators, conjugate operators and related integrals. Okikiolu Sci. and Industr. Org., London, 1981.

[60] Ortiz F., Alejandro: Operadores integrales singulares. Universidad Nacional de Trujillo, Depto. de Matematica, Trujillo, Peru, 1972.

[61] Ortner, Norbert: Faltung hypersingularer Integraloperatoren. Math. Ann. 248 (1980), 19-46.

[62] --: Sur la convolution des distributions. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser A-B 290 (1980), 533-536.

[63] --: Convolution des distributions et des noyaux euclidiens. G. Choquet, M. Rogalski, J. Saint- Raimond (Eds.), Seminaire initiation a l'analyse, 19e annee, 1979/1980, expose no. 12. Univ Paris VI, 1980, pags. 1-11.

[64] --: Analytic continuation and convolution of hypersingular higher Hilbert-Riesz kernels. Alfred Haar memorial conference, Budapest, 1985, pags. 675-685.

[65] --: On some contributions of John Horvath to the theory of distributions. J. Math. Anal. Appl. 297 (2004), 353-383.

[66] Ortner, N.; Wagner, P.: Convolution groups for quasihyperbolic systems of differential operators. Por aparecer.

[67] Plessner, A.: Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Mitteilungen Math. Seminar Giessen 10 (1923), 1-36.

[68] Protter, M. H.:Generalized spherical harmonics. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 314-341.

[69] --: On a class of harmonic polynomials. Portugaliae Math. 10 (1951), 11-22.

[70] Riesz, Frigyes: Uber die Randwerte einer analytisehen Funktion. Math. Zeitschrift 18 (1923), 117-124; CEuvres completes, Budapest, 1960, D7, pags. 645-653.

[71] Riesz, Marcei: Sur la sommation des series de Fourier. Acta Sci. Math. Szeged 1 (1923), 104-113.

[72] --: Sur les fonctions conjuguees Math. Zeitschrift 27 (1927), 218-244.

[73] --: L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy. Acta Math. 81 (1949), 1-223.

[74] --: Collected papers. Springer-Verlag, 1988.

[75] Roider, Bernhard: Sur la convolution des distributions. Bull. Sci. Math. 100 (1976), 193-199.

[76] Rudin, Walter: Fourier analysis on groups. Wiley, 1962, 1990.

[77] Samko, S. G.: On the Fourier transform of the function Ym (x/[valor absoluto de x])/[[valor absoluto de].sup.n+a] Izv. Vuzov. Matematika, no.7 (1978), 73-78; Soiviet Math (Izv. VUZ).

[78] --: Hypersingular integrals and their applications. Taylor and Francis, London, 2002.

[79] Schaad, Margrit: Uber eine Klasse ron rechtsregularen Funktionen mit 2n reellen Variablen. Disertacion, Zurich, 1944.

[80] Schwartz, Laurent: Theorie des distributions. Nouvelle edition. Hermann, Paris, 1966.

[81] --: Produits tensoriels topologiques d'espaces vectoriels topologiques. Espaces vectoriels topologiques nucleaires. Applications. Seminaire, Institut Henri Poincare, Paris, 1954.

[82] --: Distributions a valeurs vectorielles L Ann. Institut Fourier Grenoble 7 (1957), 1-141.

[83] --: Distributions a valeurs vectorielles II. Ann. Institut Fourier Grenoble 8 (1959), 1-209.

[84] Seeley, R. T.: Elliptic singular integral equations. Singular Integrals, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 10, Amer. Math. Soc. 1967, pags. 308-315.

[85] Shiraishi, Risai: On the definition of convolutions for distributions. J. Sci. Hiroshima University, Ser. A 23 (1959), 19-32.

[86] Simanca, S. R.: Pseudo-differential operators. Pitman Research Notes in Math. Series 236. Longman Scientific and Technical, Harlow, Essex, UK, 1990.

[87] Staub, Alfred: Integralsatze hyperkomplexer, regularer Funktionen ron 2n reellen Variablen. Disertacion, Zurich, 1946

[88] Stein, Elias M.: Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press, 1971.

[89] --: Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality and oscillatory integrals. Princeton University Press, 1993.

[90] Stein, E. M; Weiss, G.: On the theory of harmonic functions of several variables I, The theory of Hp spaces. Acta Math. 103 (1960), 25-62.

[91] --: On the theory of harmonic functions of several variables II, Behavior near the boundary. Acta Math. 106 (1961), 137-174.

[92] --: Introduction to Fourier analysis in Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971.

[93] Taylor, Michael E.: Pseudodifferential operators. Princeton University Press, 1981.

[94] Thorin, G. O.: An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. Kungl. Fysiografiska Salskapets i Lund Forhandlinger 8 (1938), no. 14.

[95] --: Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard, with some applications. Disertacion Lund, Meddelanden fran Lunds Universitets Matematiska Seminarium, Vol. 9 (1948).

[96] Titchmarsh, E. C.: Introduction to the theory of Fourier integrals. Cambridge University Press, 1948.

[97] Treves, Francois: Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vol. 1, Pseudodifferential operators. Plenum, New York, 1980.

[98] Unterberger, A; Bokobza, J.: Les operateurs de Calderon-Zygmund precises. C.R. Acad. Sci. Paris 259 (1965), 1612-1614.

[99] Wagner, Peter: Zur Faltung ron Distributionen. Math. Ann. 276 (1987), 467-485.

[100] --: Bernstein-Sato-Polynome und Faltungsgruppen zu Differentialoperatoren. Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen 8 (1989), 407-423.

[101] Weiss, Guido: Analisis armonico en varias variables. Teoria de los espacios [H.sup.p]. Cursos y seminarios matematicos, fasc. 9, Universidad de Buenos Aires, 1960.

[102] Wicht, M. C.: Recursion and interrelation for Miles-Williams biharmonics. Amer. Math. Monthly 64 (1957), 463.

[103] Yoshinaga, Kyoichi; Ogata, Hayao: On convolutions. J. of Science of the Hiroshima University, Ser A 22 (1968), 15-24.

[104] Zaidman, S.; Distributions and pseudo-differential operators. Pitman Research Notes in Math. Series 248, Longman Scientific and Technical, Harlow, Essex, UK, 1991.

[105] --: Topics in pseudo-differential operators. Pitman Research Notes in Math. Series 359, Longman, Harlow, Essex, UK, 1996.

[106] Zygmund, Antoni: Trigonometric series, Second edition. Cambridge University Press, 1959.

J. Horvath (1)

(1) University of Maryland, Department of Mathematics, College Park, MD, 20742-4015, USA. Correo electronico: jhorvath@wam.umd.edu. AMS Classification 2000: 46F12, 46F10, 44A15, 44A35, 47G10, 42B20.
COPYRIGHT 2005 Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2005 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Title Annotation:Matematicas
Author:Horvath, J.
Publication:Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales
Date:Dec 1, 2005
Words:17677
Previous Article:La malaria: estrategias actuales para el desarrollo de una vacuna efectiva.
Next Article:Efecto del etanol y de la concentracion inicial de precursor de aluminio en la obtencion de [alfa]-[Al.sub.2][O.sub.3] por el metodo de precipitacion...
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2019 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters