# Una exploracion intelectual sobre las posibles nuevas versiones modernas ocultas de la elipse de elasticidad de Culmann-Richter.

Modern structural engineering has been virtually ovewhelmed by linear analysis methods, especially by linear algebra. Their methods have been conditioned for computer use, but not for human use. None of of these disciplines show the operational visibility given by the old abandoned geometrical methods. One of them, the Culmann ellipse, brings undeniable advantages when dealing with the problems of flexotorsion in bulding storeys, when used as an optimization or grading tool for structural configurations in seismis areas. Culmann's ellipse is a quadratic form, one of the many associated with any linear equations system. This paper shows how, using the formal homorphisms between the classical Rankine formulation for excentric Ioading of column sections and the Culmann elipse, both based on a projective geometry concept, Polarity; it is entirely feasible to perform the formal analysis of buiding storeys having eccentric Ioadings by horizontal forces in their own planes, taking into account, as it is not done by most seismic codes, the configurational properties of the tridimensional skeletons now used in buildings. The author of this paper initiated this way of thinking in Chapter 9 of his book Dimensionamiento de edificios altos de concreto armado, published in 1992. It has been a Iong way, about one dozen of undergraduate thesis during a period of 20 years, to come to terms with a tool which tries to amalgamate old geometrical knowledge with modern computer programs. This paper attempts to explain the followed path.

Key words: polarities, affine transforms, quadratic forms, structural configurations.

An intellectual exploration about the possible new and hidden modem versions of the Elasticity Ellipse of Culmann--Richter

1. Motivaciones

Practicamente toda esa disciplina que se llama analisis estructural es una de las tantas aplicaciones de lo que llamamos, en la teoria de conjuntos, transformaciones lineales. Muy pocos nos atrevemos a incursionar en los campos del analisis no--lineal, y casi siempre esas nolinealidades se las atribuimos totalmente a las respuestas de los materiales. Solemos olvidar que, especiamente en el campo de las megaestructuras o de las modernas estructuras extremas, la forma predomina sobre la funcion, y no como antes, cuando la funcion debia predominar sobre la forma. Ademas, como una simple consecuencia del principio de la debilidad de los gigantes, expresado por primera vez por Galileo, existen tambien las no--linealidades de origen puramente geometrico, que pueden ser el germen primario de muchas catastrofes, pues se olvida el que las cargas permanentes (y las tensiones) crecen linealmente con la escala, y que podemos obtener materiales cada vez mas resistentes, pero no cada vez mas rigidos. Ello origina el aumento del predominio de las deformaciones sobre las fuerzas en el comportamiento estructural, y la aparicion de inestabilidades inesperadas para un mundo que solo mira a las fuerzas y solo da una ojeada rapida a las deformaciones.

Se suele decir que no utilizamos los metodos computacionales no lineales, que ya tenemos, porque pueden ser hasta diez veces mas caros que los metodos lineales y que, por tanto, las finanzas de la construccion no los toleran. El intento de sustituirlos con incontables combinaciones de cargas o con el calculo de incontables modos de vibracion, no ha sido exitoso. La abundancia de informacion numerica no sustituye a la vision de conjunto y al lenguaje simple, breve y preciso que la geometria clasica, la disciplina mas vieja de la ingenieria, permite.

La casi completa desaparicion de la geometria de los pensa de estudios ingenieriles modernos, junto con la sobreabundancia de las formulaciones puramente analiticas, arregladas para complacer a las maquinas (computadoras) y no a los humanos ingenieros, nos ha llevado a esto, a la era de los "catecismos estructurales" sin sus correspondientes "teologias". Es decir, a aprender las reglas solamente, sin preocuparse por sus fundamentos fisicos (la naturaleza).

Podriamos decir lo mismo de otras cosas, quiza una de ellas es la mala costumbre de no dictar un curso elemental de vibraciones en pregrado de Civil, para luego tratar de proponerle al estudiante de post--grado una extrana combinacion de analisis matricial y dinamica, cuando el alumno no posee ni el lenguaje de la dinamica elemental ni sabe que es lo que hacen las matrices, pues el algebra lineal queda ahogada por el analisis. Pero sabemos que es mucho mas importante el saber que hacen esas matrices (geometricamente) que el saber como operar con ellas con reglas puramente algebraicas aplicables a la computacion. Conozco muchas frustraciones en este campo a traves de mis ex--alumnos.

Las cosas se han ido complicando: a fines del siglo XlX y comienzos del siglo XX los ingenieros DIBUJABAN las fuerzas y LUEGO las median en un grafico; hoy las CALCULAMOS Y NI SIQUIERA LAS GRAFICAMOS mas alla de los diagramas que nuestros programas nos suministren. Cuando uno dibujaba con sus manos, la informacion quedaba grabada en alguna parte del cerebro en dos formas diferentes, con los movimientos de la mano y con la vision de dibujos completos, que se interpretaban como una sola cosa, no como una suma de partes. Los numeros como tales no se ven, no tenemos vision digital. Estamos hechos para ver figuras como analogos de realidades.

No le resulta raro al que esto escribe el que la inmensa mayoria de las referencias sobre estos metodos anejos que ha encontrado en Internet, esten escritas en italiano, en frances, en espanol y en aleman. Al fin y al cabo, las lenguas de los tradicionales competidores no suelen ser del agrado de sus contrarios, y Culmann escribio en aleman e inmediatamente se lo tradujo al italiano y al frances, las dos lenguas con mayor tradicion en las geometrias clasicas, en especial la geometria proyectiva. Tambien ha sido satisfactorio el comprobar que la tradicion geometrica, como tal, aun perdura en los textos espanoles formales sobre geometria clasica y sobre conicas.

Tambien hay un hecho curioso: cuando algo se ensena intensa y profundamente porque permite manejar muchos problemas cotidianos (el calculo de secciones de miembros estructurales, p. ej.), uno termina pensando que ese algo vale solo para eso que se ensena, y no da para mas. El que esto escribe no ha encontrado ninguna referencia bibliografica que diga que esos mismos metodos son generalizables a edificios y que las informaciones necesarias para su aplicacion al analisis estructural provienen de los mismos programas de computacion que se usan para el dia a dia del ingeniero estructural. Ese algo, en este caso, es la Elipse de Culmann y otras elipses asociadas que permiten visualizar las propiedades estructurales de los edificios, esta vez usando programas modernos como primer paso.

2. Origen historico de la elipse de Culmann--Richter

Como en muchos teoremas o formulas que usamos en ingenieria, tales como el teorema de Buckingham en Modelistica; los principios termodinamicos de William Gibbs; los principios estructurales de Betti y Maxwell y el teorema de Castigliano, practicamente hemos perdido en el camino sus formas originales de planteamiento. Lo mismo ha ocurrido con la Elipse de Culmann, pues los textos que la citan no nos dicen cuales fueron las bases originales de la misma. Solo se nos explica como usarla y se nos dice que proviene de la geometria proyectiva, como un caso particular de unas oscuras cosas llamadas involuciones. Oscuras porque la geometria proyectiva, o mejor dicho, su idioma particular, es hoy una lengua tan muerta como el koine del periodo helenistico mediterraneo.

Las relaciones entre polos, polares y antipolos se determinan, una vez conocida la Elipse de Culmann, a traves de operaciones sencillas de geometria descriptiva, tales como trazar las tangentes a una elipse desde un punto (el polo). Lo demas es como aquel dicho clasico, dime como se mueve una estructura y te sabre decir como trabaja y cuanto aguanta. Esa es la regla que utilizabamos los modelistas estructurales antes de que el computador acabara con el oficio y con los laboratorios dedicados a ello. Si queremos verlo de algun modo distinto, diriamos que lo que hemos hecho es repetir las reglas de la modelacion estructural, en particular el analisis dimensional, para desarrollar por analogia, esta vez sobre un modelo VIRTUAL, no real, la extension del uso de viejas tecnicas para nuevos usos. Vino viejo en odres nuevos, mejor aprovechados.

3. La elipse de Culmann--Richter como instrumento moderno de optimizacion de estructuras de edificios

Hace ya casi ciento cuarenta anos desde que la Elipse de Culmann abrio un nuevo campo en el analisis de estructuras, al permitir que metodologias de analisis puramente graficas, basadas en metodos totalmente geometricos, en particular la geometria proyectiva, pudiesen abarcar tambien a las estructuras hiperestaticas y que, ademas, permitieran el diseno mas rapido de secciones, a traves del concepto de los nucleos centrales. Su importancia fue tal que, en muchos paises, esa era la casi unica base de la ensenanza del analisis estructural. En Italia, y en pequena parte en Francia y Alemania tambien la usan todavia, asi como, en el Este de Europa, simplemente manteniendo ese metodo en vida.

La abrumadora influencia del calculo en los pensa de Ingenieria y de algunos aspectos restringidos del algebra lineal, es decir el analisis matricial, con los autovalores y los autovectores, vistos como disciplinas puramente simbolicas y operativas, termino por practicamente liquidar los metodos geometricos. La geometria siempre ha trabajado con figuras COMPLETAS, es decir sistemicamente, no con el simple ensamble de piezas susceptibles de rutinizaciones computacionales, como lo hace el analisis. Recordemos que esta palabra significo originalmente en griego "dividir' o "seccionar', o "cortar' o "descomponer'. La Geometria tambien ensenaba a buscar en los dibujos la informacion pertinente en ambientes con elevados niveles de "ruido", constituido por todas las lineas auxiliares que habia que incluir y que raramente se borraban. Esa eliminacion tambien redujo considerablemente la propagacion de esa habilidad que Ilamabamos "percepcion espacial", que se adquiria con su estudio.

La Elipse de Culmann, utilizando los modernos programas de computacion, es todavia un instrumento vivo y susceptible de ser aplicado a necesidades muy modernas, sorprendentemente basandonos en cosas muy conocidas antes, pero que no se desarrollaron o que se escondieron dentro de la voragine metodologica que caracterizo al siglo XX en la ingenieria.

```   Hoy el autor tiene que reconocer algo que es simple y obvio
(despues de haberlo visto demostrado), y es que las
transformaciones lineales vistas como problemas algebraicos y las
transformaciones lineales vistas, como problemas geometricos son,
simplemente, el anverso y el reverso de una misma moneda.
```

No era tampoco ni obvio ni claro el hecho de que todas las operaciones de analisis estructural (analisis matricial) que realizamos son transformaciones AFINES, no son ni proyectivas ni perspectivas, pues estas ultimas no son lineales sino semilineales. Esto explica ahora el por que, a lo largo de esos 18 anos que transcurrieron entre la primera idea y los resultados actuales, hayan aparecido en los trabajos ya publicados, siempre, elipses, elipsoides, circulos, rizos, etcetera, (formas cuadraticas), y explica tambien por que un analisis estructural lineal no puede, facil y visiblemente, mostrar cuando en estructuraciones extremas de edificios, aparezcan las senales de posibles inestabilidades, a menos que nos dediquemos a examinar los determinantes de sistemas de ecuaciones que manejamos con las matrices, o que caigamos en la cuenta (parece que nadie lo habia notado antes) de que todo nodo de una estructura que suponemos elastica y lineal, tiene, embebidas en sus matrices de rigidez y de flexibilidad, formas cuadraticas cerradas, abiertas y degeneradas. No encontramos ningun libro que nos mostrara como se ven las multiplicaciones matriciales en estructuras de forma solo simbolica y no numerica, tal que permita ver que patrones hay dentro de esas agrupaciones simbolicas. Dos TEG de la serie hecha lo demostraron.

Esto mismo esta apareciendo en los ultimos TEG que hemos dedicado a ello, el hecho de que aquellas plantas de edificios que posean, como elipses de Culmann, elipses muy alargadas o muy achatadas, pueden pasar, de golpe y porrazo, a ser parabolas, o cilindros parabolicos (figuras que no pueden ser afines a las elipses) con pequenisimas variaciones de algun parametro focal; o que plantas de edificios que tengan forma de segmentos de corona circular sean tendencialmente inestables ante sismos, si sus porticos tangenciales no son suficientemente rigidos y sus porticos radiales son muy fuertes y concurrentes a un punto, que a su vez puede convertirse en un centro de rigidez externo a la planta y que podria requerir, en teoria, hasta 6 o 7 veces mas acero de refuerzo que una planta normal, debido a la influencia de la excentricidad inherente dada por la posible gran distancia mutua entre los centros de rigidez y de masa. No todos los programas ahora populares avisan cuando esto ocurre, y algunas veces mas de un ingeniero ha confundido los munequitos bailantes que muestran como se mueve un edificio con los verdaderos movimientos que este sufre. Hay mas de un edificio en forma de segmento de corona en Caracas que permite, al verlos, pensar que esto ocurrio, a juzgar por los miembros "correctores" visibles.

Lo dicho hasta ahora significa que no solo se ha llegado de nuevo a una forma sencilla y facil de entender para gradar o calificar configuraciones de planta extremas (con inestabilidades potenciales inherentes), o a comparar entre si cambios formales de estructuraciones de un mismo edificio, pues creo sinceramente que se ha destapado una olla de grillos y que hay que ponerse a pensar otra vez en terminos geometricos y no solo en terminos numericos, pues una lista de resultados numericos no tiene forma, y son solo los cambios de forma los que, de un golpe, nos dicen si algo es mejor o peor que otro algo.

En resumen, no tengamos pena en el volver a a usar algo ya viejo y pasado de moda, y ademas demonos cuenta de que si ensenamos solo destrezas (como alimentar una computadora con un programa dado) sin ensenar mas bases, podemos Ilevarnos tremendas sorpresas. Hay que volver a las bases matematicas de la Ingenieria Civil.

Los breves parrafos o capitulos que siguen, no necesariamente ordenados cronologica o metodologicamente, son explicaciones de los varios aspectos que han surgido a lo largo de este camino intelectual. Hay otros aspectos aun en estudio que no aparecen aqui, y que cada vez se han ido aclarando mas.

4. Explicaciones sobre las diferentes elipses de utilidad estructural asociadas a la elipse de Culmann

A continuacion explicaremos como se pueden obtener elipses de utilidad estructural utilizando un programa de computacion tal como SAP o ETABS.

En principio se trata de aplicar una fuerza rotante constante en el tope de una estructura cuyos pisos puedan considerarse como diafragmas rigidos, es decir, sin rigidez vertical pero capaces de compatibilizar las deflexiones horizontales x y y que se produzcan en cada piso. Obviamente tambien se pueden utilizar elementos compatibilizantes tipo losa. Tambien se debera aplicar un momento puro en la planta cimera, o bien un par de fuerzas iguales y contrarias. Recordemos de Estatica el que un momento no modifica las respuestas estructurales si se aplica como momento puro en cualquier punto de esa losa cimera rigida, o bien que en el par de fuerzas estas sean paralelas entre si, obviamente con sentidos contrarios, y ademas que el brazo (virtual) de union sea perpendicular a dicha pareja de fuerzas. Cada piso tendra su propia secuencia de elipses determinables con estos procedimientos. Si se aplican en el tope, es obvio que todas esas acciones se transmiten a todas las plantas que esten por debajo de la planta cimera (tope del edificio). Para algunos propositos podria ser conveniente aplicar estas "calibraciones" losa a losa. Sabemos que en un analisis estructural las fuerzas de piso no solo se transmiten hacia abajo, sino tambien hacia arriba, para luego bajar por otros caminos.

Antes de aplicar los procedimientos que siguen, es necesario encontrar los centros de rigidez de las plantas, ello se logra aplicando un Momento o un Par y determinando el punto de cada planta que no sufra desplazamientos (son los centros de giro o de rigidez). Tambien es necesario obtener el angulo de giro de cada planta, producido por el momento aplicado, a traves de las salidas del programa que se utilice. El cociente entre el momento aplicado y el giro producido (medido en radianes) nos determinara la rigidez torsional de cada planta de la estructura. Esta rigidez normalmente crece cuando analizamos los resultados en orden descendente de pisos.

4.1. Elipse de deflexiones

Si la fuerza rotante es constante en magnitud, ese vector rotante generara una circunferencia, y las deflexiones que se midan en el centro de rigidez de cada planta formaran una figura eliptica afin a la circunferencia de las fuerzas. Si las fuerzas tuviesen tambien un perfil eliptico, las deflexiones horizontales que causasen tambien formarian una elipse. Solo en las direcciones principales de cada planta los vectores deflexion seran colineales con los vectores fuerza; en las demas direcciones no lo seran. Si tratamos de graficar en un diagrama polar las magnitudes de las deflexiones en funcion de las mismas direcciones de las fuerzas aplicadas, obtendremos una figura que no sera eliptica. Aesa figura suele Ilamarsele "Hueso de Perro" (Dogbone en ingles). Este procedimiento es capaz de determinar con suficiente precision los ejes principales con sus direcciones y sus magnitudes, y con ellas se puede obtener la ecuacion de la elipse de deflexiones en su forma canonica:

([x.sup.2]/[a.sup.2]+[y.sup.2]/[b.sup.2]) = 1, siendo a y b las magnitudes de los semiejes principales. La elipse de deflexiones se expresa en unidades de longitud [L].

Se obtiene simplemente dividiendo las Iongitudes de los ejes principales entre las magnitudes de las fuerzas aplicadas segun esas mismas direcciones. Sus dimensiones son Longitud/Fuerza [L/F].

4.3. Elipse de rigidez

Las magnitudes de sus ejes principales son los inversos de las de los ejes pricipales de las elipse de flexibilidad. Sus dimensiones son las de Fuerza/longitud: [F/L.]. Puede tambien obtenerse directamente de la elipse de deflexiones, dividiendo la magnitud de la fuerza rotante aplicada entre las correspondientes deflexiones (en los ejes principales).

4.5. Elipses de radios de giro

Sus ejes principales se obtienen utilizando las raices cuadradas de los valores de los ejes principales de las elipses anteriores con [r.sup.2] cuadrado. Estas elipses serian los analogos de las elipses de Culmann tradicionales, pero aplicandolas a una planta de edificio sujeta a flexotorsion. Estas elipses tienen dimensiones de longitud [L], y pueden dibujarse directamente sobre las plantas de los edificios representadas en los planos constructivos de una obra(2).

4.6. Elipses de torsion

Las hay derivables de la elipse de radios de giro al cuadrado ([r.sub.2]/[c.sub.i])y ([r.sub.2]/[e.sub.i]), es posible elaborar una para cada portico. Estas elipses serian aplicables cuando el momento torsor entre como momento puro. Tienen dimension de longitud [[L.sub.2]/L] = [L]. Su utilidad practica y frecuente es debatible.

4.7. Nucleos centrales limites

Aplicables a las posiciones del centro de masas que no produzcan retrocesos de porticos (factores de amplificacion menores que dos). Esta ultima es una herramienta de optimizacion de configuraciones. Requiere del empleo de polos y polares. Estas elipses han sido objeto de investigacion a traves de TEG de pregrado en la UNIMET y en la UCAB, y continuan en desarrollo. Hasta la fecha no han podido ser ubicados antecedentes bibliograficos, con excepcion de un libro en italiano dedicado a efectos flexotorsionales en miembros estructurales, no en edificios. Esto quiza se explica por la creencia generalizada de que la Elipse de Culmann es hoy dia un instrumento de calculo estructural obsoleto. La mayoria de las referencias a metodos geometricos de fecha reciente tienen bibliografias en italiano, no en ingles. Hay si bibliografias en ingles sobre transformaciones algebraicas y geometricas que comprueban el absoluto paralelismo entre ambas formas de ataque (Ver Baer, Reinhold; Linear Algebra and Projective Geometry. DOVER N.Y., 2005).

5. Descripcion de las transformaciones rigidas, afines, proyectivas y perspectivas

A causa de los movimientos como figuras rigidas que aplica la geometria euclidea al demostrar sus teoremas, podriamos decir que las transformaciones que induce en sus figuras no existen. Si hay una relacion de congruencia, todo punto o esta relacionado con si mismo o con otro punto equivalente desplazado; se preservan ademas las intersecciones, las colinealidades, las relaciones metricas entre segmentos y los angulos. Es decir, una figura simplemente se desplaza o rota, cambiando de lugar en un espacio homogeneo.

Cuando pasamos a las transformaciones afines puede haber cambios de escala diversos entre los ejes coordenados, y estos pueden dejar de ser ortogonales y tomar cualquier angulacion. Las relaciones metricas pueden cambiar, pero hay correspondencias punto a punto; se preservan las intersecciones de rectas, las colinealidades de puntos y las relaciones entre las partes de un segmento que contenga un punto que lo divida en dos partes. No necesariamente se preserva los angulos. El paralelismo tambien se preserva.

Las transformaciones perspectivas difieren de las simplemente afines en que no se preservan las relaciones metricas, ni las angulaciones ni los paralelismos, si se preservan las colinealidades y las relaciones de relaciones metricas entre los segmentos que se forman al colocar cuatro puntos alineados a lo largo de una recta.

Las transformaciones conformes solo preservan los angulos de interseccion entre dos rectas o dos curvas, al operar una transformacion que haga pasar una primera imagen a una segunda que solo se le parece por la preservacion de las conectividades.

Las operaciones matriciales que realizamos con las estructuras estables con fines puramente estructurales (analisis estructural) no van mas alla de aplicar una afinidad entre fuerzas y deformaciones.

Esto lo que quiere decir es que el grafo original de la estructura sin deformar es isomorfo con el grafo de la estructura deformada, es decir que se preservan las conectividades de la red total, y ademas, que cualquier grupo o funcion de los desplazamientos nodales es afin con la funcion de carga. Por ejemplo, un vector fuerza genera un vector desplazamiento (no necesariamente en la misma direccion) y, por ejemplo, una carga rotante con magnitud constante o variable genera una trayectoria de desplazamientos que es afin a la trayectoria de la carga. Si la trayectoria de la carga es circular, la trayectoria de los desplazamientos es tambien circular o eliptica.

6. Definiciones aplicables a las transformaciones afines en estructuras (3)

6.1. ? Que es una transformacion afin ?

* Una transformacion afin general del plano es aquella en la cual una red dada de paralelogramos iguales entre si es transformada en otra red arbitraria de otros paralelogramos iguales entre si.

* Mas precisamente, es una transformacion del plano bajo la cual un marco de coordenadas O[e.sub.1][e.sub.2] se transforma en otro cierto marco (hablando en general, con otra "metrica", con diferentes Iongitudes para los vectores [e'.sub.1]y[e'.sub.2] y un angulo mutuo diferente entre ellos diferente del original) y un punto arbitrario M es enviado al punto M', conservando las mismas coordenadas (numericas) relativas en el nuevo marco de referencia. (Equivale a un cambio de unidades en los nuevos ejes respecto a los originales.)

* Bajo una transformacion afin toda linea recta es enviada como linea recta, todas las rectas paralelas son enviadas como paralelas. Si un punto divide a un segmento de recta en dos partes en proporcion conocida, esa misma proporcion entre sus partes se mantiene al enviar ese segmento.

* Un teorema de geometria afin muy importante nos dice que cualquier transformacion afin plana puede obtenerse realizando una cierta mocion rigida del plano dentro de el mismo, y luego realizando dos "contracciones" de ese espacio plano, con diferentes coeficientes de contraccion para los ejes coordenados perpendiculares iniciales. (Esa cierta mocion rigida quiere decir que hay dos sistemas distintos de rectas paralelas dentro de ese plano y que esos sistemas cambian angulaciones mutuas manteniendo sus paralelismos propios y su pertenencia al plano original; es lo que llamamos en la resistencia de materiales clasica una distorsion de cortante en una seccion.)

* Estas ideas se pueden generalizar a espacios de varias dimensiones.

* Si comparamos las arquitecturas de las matrices que resultan de aplicar estos conceptos a las transformaciones afines multidimensionales y las comparamos con las arquitecturas de las matrices estructurales, veremos que son totalmente semejantes, y en ambos casos los determinantes de esas matrices son no nulos, si la transformacion es posible en el campo real.

6.2. ?Que significa la afinidad para las conicas?

Todas las elipses son afines entre si; todas las parabolas son afines entre si; todas las hiperbolas son afines entre si, pero es imposible convertir por ejemplo una elipse en una parabola con la aplicacion de transformaciones afines solamente. En el campo estructural usamos este principio sin nombrarlo, cuando suponemos que una estructura cambia solo muy poco su configuracion original al ser cargada. Tambien implica que siempre suponemos, en los calculos ordinarios, que tenemos una situacion estable. Cuando hay inestabilidades estructurales tenemos que admitir que no podemos ya considerar las transformaciones afines como descriptores de la conducta estructural esperada; el comportamiento lineal ya no existe en condiciones inestables.

6.3. Diferencias entre una transformacion afin y una perspecfividad

* En una perspectividad (un dibujo lineal por ejemplo) existe un punto, o mas de uno, por los cuales pasan los "rayos visuales", esto no ocurre en una afinidad, pues no hay proyecciones sino cambios tipo zoom. El zoom es una transformacion afin sin distorsion angular, pero con "estiramientos" o "contracciones" normales entre si. Cuando dibujamos en computadora y aplicamos lo que se llama en computacion shear (cortante), hemos cambiado la angulacion relativa de las lineas horizontales y verticales de las figuras.

* En la afinidad las relaciones entre dos partes de un segmento de recta se mantienen en las transformaciones. En las perspectividades eso no ocurre, se mantienen otras relaciones entre cuatro puntos cualesquiera de una recta. Esas "relaciones" son, a su vez, cocientes de dos relaciones entre pares de puntos de ese cuarteto.

* En las perspectividades las relaciones entre las coordenadas "viejas" y "nuevas" vienen dadas por terminos que son cocientes de ecuaciones lineales y no directamente por terminos fijos de ecuaciones lineales simples.

* Los determinantes de los sistemas de ecuaciones que permiten cambiar coordenadas en las perspectividades tienen significados diferentes. Si los determinantes son nulos en las perspectividades, los puntos transformados son "ideales" (se van al infinito).

Son bastante frecuentes, las aplicamos al referimos a momentos de inercia de figuras afines (distorsiones de cortante); las aceptamos al aplicar la teoria de la Elipse de Elasticidad de Culmann, al decir que todas esas figuras que se pueden formar utizando lo que dimensionalmente Ilamariamos radios de giro, son necesariamente elipses afines a la elipse de cargas y a la elipse de deformaciones. Los diagramas de interaccion en columnas de concreto armado, o en columnas de acero, los suponemos como afinizables, es decir, extensibles a secciones afines. Todas las respuestas locales de una estructura son afinidades de la respuesta global. Las diferentes configuraciones estructurales afines poseen respuestas afines. ESAS AFINIDADES SE DAN ENTRE LA FUNCION DE CARGA Y LAS FUNCIONES DE RESPUESTA. No hay afinidades obvias entre las geometrias estructurales y las conectividades de sus miembros y las respuestas esperadas.

La afinidad solo se aplica al cargarlas. Pero si podemos decir que hay afinidades entre las respuestas de estructuras semejantes. Por ejemplo, una celosia tiene esfuerzos (fuerzas membrales) que son semejantes entre todas las celosias cargadas con cargas semejantes.

Existen muchas practicas usuales de configurar estructuras en donde, erroneamente, se supone que, por ejemplo, la orientacion caprichosa de las columnas rectangulares puede ser favorable al comportamiento estructural. Tampoco se suele considerar que la traslacion sismica y la torsion sismica son, desde el punto de vista puramente estructural, interdepen dientes. Por ello un edificio optimizado para cargas verticales solamente, no necesariamente es bueno para la respuesta sismica, y viceversa.

Las afirmaciones siguientes provienen del estudio de los libros "AppliedAnalysis de Cornelius Lanczos (reimpresion del 2005, Dover); y Linear AIgebra and Projective Geometry de Reinhold Baer (reimpresion 2005, Dover).

7.1. El algebra lineal que utilizamos en los analisis estructurales solo produce transformaciones afines. Las transformaciones afines y perspectivas son semilineales (las dualidades de los teoremas de geometria proyectiva). Las colineaciones son tambien parte de las afinidades.

7.2. Un par de matrices tales que sus ejes principales (obtenidos con un proceso de diagonalizacion) sean paralelos, poseen la conmutabilidad mutua de sus multiplicaciones matriciales. Esto explica el porque en este trabajo, al calcular las sucesivas distintas elipses que manejamos, se pueda trabajar directamente con los ejes principales (inversion directa o por otras operaciones tales como la radicacion y la transposicion).

7.3. Todo sistema de ecuaciones lineales tiene una conica, una conicoide o una hiperconicoide asociada. En el caso de estructuras estables, esas formas cuadraticas son elipticas y cerradas. Lo laborioso es diagonalizar esas matrices originales.

7.4. Ningun libro de estructuras de los que el autor haya consultado a lo largo de su vida profesional se preocupa de estas cosas. La mayoria de ellos estan destinados a ensenar destrezas, no bases de partida. Queda mucho por hacer al tratar de aplicar estos conocimientos matematicos nuevos al analisis estructural.

8. Aplicaciones de la clasica elipse de Culmann--Richter y su justificacion como instrumento moderno del analisis de comportamientos estructurales

8.1. La Elipse de Culmann--Richter fue y en ciertos medios europeos es parte de la ensenanza de la ingenieria estructural. Fue por mucho tiempo un instrumento de analisis para toda clase de estructuras. En casi todos los textos italianos todavia se menciona.

Si hoy tratasemos de demostrar la pertinencia de esa Elipse de Culmann o Elipse de Elasticidad utilizando los argumentos originales de Culmann o Rankine, nos encontrariamos con que mas de un 99% de los posibles lectores actuales no podria entender los argumentos de estatica grafica y de geometria proyectiva que la originaron, por la sencilla razon de que hablariamos unas "lenguas muertas" con terminos de "disciplinas fosiles". Trataremos entonces de ilustrar su origen en experimentos mentales con principios fisicos o, simplemente, en el manejo de resultados de analisis estructurales realizados por metodos matriciales implementados en programas modernos de aceptacion general. Esta via ha sido la seguida por el autor durante el ultimo decenio. Los viejos metodos dicen por donde hay que ir, los modernos metodos nos permiten hacerlo de maneras rapidas y faciles.

Meditemos entonces sobre las siguientes afirmaciones, todas ellas comprobables a traves de la resolucion de casos--modelo o a traves de lo aprendido en los cursos iniciales de mecanica racional.

8.2. Si suponemos un miembro o una estructura cuya seccion terminal (o cimera) se considere rigida y plana y a la cual le aplicamos un momento puro, materializado por ejemplo en dos fuerzas situadas en ese plano, paralelas, iguales y contrarias, situadas a una cierta distancia mutua (un par puro), dicha seccion rotara un cierto angulo alrededor de un punto situado en esa seccion plana o fuera de ella, sin que en ese punto ocurran desplaza mientos. A ese punto lo llamaremos centro de rigidez (o centro de torsion). Al cociente entre el valor del par aplicado y el angulo de giro de la seccion lo llamaremos rigidez torsional seccional o plantar (Existencia de un centro de rigidez). Al cociente entre una fuerza y un desplazamiento lo llamamos rigidez lineal seccional o plantar (Es una propiedad direccional).

8.3. Si aplicamos una fuerza pura contenida en el plano de esa seccion terminal, tal que su recta de accion pase por el centro de rigidez anteriormente definido, ese punto (y toda la seccion o la planta) se desplazaran sin rotar, segun una direccion que no necesariamente coincidira con la direccion de la fuerza aplicada. Ello solo puede ocurrir cuando la fuerza posea una de las dos direcciones que llamamos principales (las de los diametros de las elipses que se nombran a continuacion).

8.4. Si aplicamos una fuerza contenida en el plano de la seccion terminal y dicha fuerza no pasa por el centro de rigidez, la seccion o la planta se traslada y rota a la vez, como si hubiese la superposicion de los casos (1) y (2). Como sabemos de la cinematica, esa traslacion y rotacion simultaneas equivalen a un giro alredor de un centro de rotacion instantaneo que no puede estar situado sobre la linea de accion de la fuerza aplicada, pues si ello ocurriese, la fuerza aplicada no realizada trabajo al desplazarse la seccion.

8.5. Si repetimos la operacion anterior, pero esta vez girando un vector fuerza alrededor de un punto fijo cualquiera situado en la linea de accion de esa fuerza inicial, veremos que los centros de giro correspondientes a cada direccion angular se iran alineando sobre una recta, que tendra una posicion y una orientacion unica para cada angulo de giro y que esas rectas van cambiando posicion y orientacion segun donde este cada punto de giro de la fuerza. Esto equivale a decir que hay una relacion biunivoca entre las rectas que contienen los centros de giro de la seccion y los puntos de aplicacion de las fuerzas giratorias.

Esa relacion es una antipolaridad, hablando en el idioma de la geometria proyectiva. La recta donde estan los centros de giro es la antipolar del punto donde se aplica la fuerza rotante. Esa relacion es independiente de la magnitud de las fuerzas aplicadas y se asocia a una elipse (de Culmann), la cual depende de la estructura,

8.6. Es logico pensar que esa relacion biunivoca ira cambiando de acuerdo con las propiedades de cada estructura o viga que estemos analizando u observando. Es tambien logico pensar que cuando esas relaciones presenten semejanzas geometricas de algun tipo, estaremos ante una situacion de semejanza estructural de algun otro tipo.

8.8. Si no queremos utilizar esos argumentos podemos apelar a otros, tomados de trabajos recientes, pertenecientes a esta linea de investigacion del autor.

8.8.1. La existencia de un paraboloide eliptico como superficie de energia del caso de una planta aporticada estable, en lugar de un cilindro parabolico o un paraboloide hiperbolico en el caso de arreglos inestables en la orientacion de los porticos. Esas conicoides representan la cantidad de energia que es necesaria para producir un determinado giro, si cambiamos las posiciones de los centros de giro, dejando el resto igual, pues el tradicionalmente llamado centro de rigidez es el punto de energia minima al girar la planta, es decir el vertice inferior de un paraboloide eliptico, o de una recta basal de un cilindro parabolico o un punto de pendiente nula de un paraboloide hiperbolico (superficies de energia). Esas figuras contienen todos los casos posibles de fuerzas horizontales aplicables a una planta de edificio, variando sus posiciones y orientaciones. Obviamente, en ingenieria estructural deberiamos trabajar solo con el caso del paraboloide eliptico, los demas casos son inestables.

8.8.2. Dos TEG de la Unimet (Pedro Jimenez) y Ucab (Antonio Osteicoechea) demuestran que las matrices de rigidez de una estructura contienen elipsoides como expresiones matematicas embebidas dentro de los resultados de las operaciones matriciales que realizamos con las matrices. Eso era de esperarse, pero no suele mencionarse, o no se menciona en absoluto en los textos deAnalisis Matricial de Estructuras, el cual se ha ocupado cada vez mas del como hacerlo en lugar del por que esto ocurre y como lo describimos.

8.8.3. Si buscamos las respuestas de las deflexiones en un punto de un sistema estructural dado, sea continuo o discreto y ante fuerzas constantes rotantes situadas en un plano, encontraremos que el lugar geometrico de las deflexiones es una elipse, la elipse de deflexiones (no necesariamente en el mismo plano de la fuerza rotante), de la cual se pueden deducir elipses de rigidez y elipses de flexibilidad, y de las elipses de rigidez se pueden deducir las elipses de radios de giro al cuadrado, y de estas, las elipses de radios de giro, que son las unicas que se pueden dibujar con la misma escala sobre la planta de un edificio o sobre la superficie de una seccion. Estas transformaciones geometricas son afines entre si. Si trabajamos con los planos y con los ejes principales, la conica de fuerzas y la conica de deflexiones seran coplanares.

8.8.4. Un sistema estructural es direccionalmente isotropo en un plano si la elipse de deflexiones es una circunferencia y ortotropo si es una elipse. No son posibles formas cuadraticas abiertas, como las parabolas y las hiperbolas, si manejamos estructuras estables. La transicion desde una elipse alargada hacia una parabola o a una hiperbola indicada que manejamos una estructura que ya no es estable, su elipse de deflexiones ya no es una figura cerrada.

8.8.5. Las formas cuadraticas en las estructuras provienen de la capacidad de absorber o almacenar trabajo, si las estructuras son lineales esas formas son forzosamente cuadraticas. La energia es una funcion cuadratica en las estructuras lineales.

9. Una relacion de polaridad implica que hay tres distancias que estan relacionadas por esta expresion: por ejemplo, en la seccion de una viga esa relacion se suele escribir como [r.sup.2]=ec siendo [r.sup.2]=l/A (momento de inercia seccional / area seccional); e= la excentricidad de la fuerza y c la distancia del eje baricentrico al borde de la seccion (usualmente el mas alejado). Esa expresion se usa normalmente de esta forma: s=P/A(l+ec/[r.sub.2]). En el caso de una circunferencia, las relaciones polopolar serian siempre las siguientes: r= radio del circulo; e=distancia desde la recta polar al centro del circulo (tambien vale para una relacion antipolar); c=distancia del polo (o antipolo) del centro de la circunferencia, s es una tension en un punto dado. (l+ec/[r.sub.2]) es un parametro adimensional que podemos llamar Factor de Amplificacion de Tensiones. En el caso de una elipse, esas relaciones se mantienen pero referidas a diametros conjugados de elipses.

10. Es interesante notar que las relaciones de polaridad se mantienen cuando se realicen transformaciones afines sobre las figuras que se manejen, y una elipse se obtiene de una transformacion afin de una circunferencia. Por ello es posible trabajar con circunferencias y luego pasar a una elipse aplicando esas transformaciones, que son posibles en muchos programas de dibujo.

11. Si tenemos una circunferencia y desde un punto externo a ella trazamos dos tangentes a la misma, la recta polar pasa por los puntos de tangencia y el polo es el punto escogido. Si el polo es externo, la polar es secante a la circunferencia; si el polo es interno, la polar es externa; si la polar es tangente a la circunferencia, el polo esta en el punto de tangencia. El antipolo es el punto simetricamente opuesto al polo con respecto al centro de la circunferencia. La antipolar es, a su vez, la simetrica central de la Polar. Iguales relaciones valen para todas las elipses.

12. En toda estructura de comportamiento lineal hay relaciones entre las elipses aqui mencionadas que siguen la ley de Maxwell, al comparar las que se generen en puntos reciprocos (punto de aplicacion de la fuerza vs. punto de medicion de un desplazamiento). Todas las relaciones estructurales de este tipo son relaciones de afinidad entre las elipses que resulten.

13. Cerramos estas notas definiendo de la manera clasica a la Elipse de Culmann: si tenemos una cierta elipse de radios de giro, asociada a un cierto miembro o a una seccion estructural o a una estructura dada, y dibujable a la misma escala del referente, y trazamos una secante a esa elipse, y esa secante esta asociada al antipolo correspondiente, el antipolo es el centro de rotacion del movimiento que la fuerza induzca sobre la seccion o estructura correspondiente. Si la recta es tangente, el antipolo esta del lado opuesto al punto de tangencia, en el contorno de la elipse. Si la recta esta fuera de la elipse, el antipolo estara fuera de la elipse y del lado opuesto al de la recta. Si la recta (fuerza) esta en el infinito, el polo estara en el centro de la elipse.

14. La unica diferencia entre esta vision clasica y la version moderna que hemos considerado aqui, es que la Elipse de Culmann ya no es un instrumento de calculo de tediosa determinacion, como lo era en su epoca, sino que, al poder ser determinable con el uso de los modernos programas de computacion, se convierte en un instrumento de caracterizacion, es decir en un descriptor sistemico de la estructura o seccion que estudiemos. Ello permite el manejo de los "puntos" resultantes de los "casos de carga estudiados", como pertenecientes a unas funciones conocibles, y no a un conjunto amorfo de datos individuales.

15. No es aceptable la tendencia dominante en el mercado del diseno estructural actual el "ver" la estructura como un simple conjunto de resultados buscados y no como unas ciertas "formas" impuestas por la misma naturaleza de los problemas, las hipotesis y las tecnicas de resolucion que utilicemos. Un ingeniero no solo analiza, tambien decide estrategias y aplica tacticas; en otras palabras, crea, no solo mira.

Comenzaremos con los resultados mas recientes, los cuales se refieren a la creacion de una metodologia de diagnostico, caracterizacion y optimizacion de plantas diafragmadas de edificios irregulares, partiendo del analisis directo de la flexotorsion de plantas de edificios.

El capitulo del diseno de edificios ante solicitaciones sismicas torsionales concomitantes con las traslacionales ha sido hasta ahora uno de los aspectos menos claros, mas sujetos a correciones en las normas y, tambien debemos decirlo, incompletos, pues no siempre se han manejado en las metodologias propuestas, que vienen y se van, todas las variables que influyen marcadamente en el problema.

Si queremos decirlo de otra manera, se tiende a suponer que el problema del sismo traslacional se sabe resolver satisfactoriamente, y luego se intenta, a traves de alguna variable geometrica sencilla de definir, tal como una excentricidad, la caracterizacion de la torsion. En otras palabras, se suele suponer que la torsion y la flexion son dos cosas superponibles y no el resultado de una combinacion de factores, el mas olvidado siendo la rigidez torsional de la planta, la cual esta intimamente ligada a las rigideces traslacionales. Tambien a veces se ha tomado la posicion de suponer que es solo la forma de la planta, sin tomar en cuenta su estructuracion, la que determina la via de ataque.

Referencias

ALEKSANDROV, A.D.; KOLGOMOROV, A.N. y LAURENT' EVE, M.A. (1969). Mathematics Its Contents, Methods and Meanings. Editorial Dover Publications INC.

BAER, REINHOLD (2005). LinearAIgebra and Projective Geometry. New York: Editorial Dover.

BARTISAN, U., Guardini, M. Riflettendo sulla vita de Karl Culmann. Tecnologos. Recuperado de http://www.tecnologos.it/Articoli/articoli/numero_001b/ CULMANN.asp.

BELLUZI, O. (1942). Scienza delle Costruzioni: La Teoria dell'Elisse di Elasticita (Volumen II). Bologna: Zanichelli.

DOWNS, J.D. (1993). Practical Conic Sections, the Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. New York: Dover Publications.

JIMENEZ, PEDRO (2004). Extension del metodo matricial simplificado en tres dimendiones (Miembros prismaticos rectilineos). Trabajo especial de grado, Ingenieria Civil. Caracas: Universidad Metropolitana.

KLEIN, F. (1939). Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: GEOMETRY. New York: Dover Publications.

LANCZOS, CORNELIUS (2005). AppfiedAnalysis. New York: Editorial Dover.

LAREDO, M. (1970). Resistance de Materiaux: La theorie des grandes Charpentes pur Batiments. Francia: Dunod.

LAY, D.C.; WELLESLEY, A. (2000). Linear Algebra and its Applications (2a edicion). USA: Reading Mass.

LUTHER PFAHLER, EISENHART (1939). Coordinate Geometry. New York: Dover Publications.

MESERVE, B. (1989). Fundamental Concepts of Geometry (2a edicion). New York: Bruce E. Meserve. New York: Dover Publications.

OSTEICOECHEA, ANTONIO (2006). Formas cuadraticas en el analisis estructural. Trabajo Especial de Grado, Ingenieria Civil. Caracas: Universidad Catolica Andres Bello.

PAPARONI y HUMMELGENS. "Un tratamiento matematico de la rigidez torsional de una planta de edificio con porticos en direcciones arbitrarias", Revista Tekhne (UCAB), numero 4, ano 2000, pp. 79--85.

PEDOE, D. (1970). Geometry: a Comprehensive Course. New York: Dover Publications.

PETTOFREZZO, A. (1992). Matrices and Transformations. New York: Dover Publications.

STRANG, G. (1998). Introduction to Linear Algebra. Massachussets: Wellesley Cambridge Press.

XAMBO, S. (2000). Geometria. Catalunya: Alfa Omega Ediciones UPC.

MARIO PAPARONI M. (1)

mpaparoni@unimet.edu.ve

Recibido: 21/07/2011

(1) Graduado de Ingenieria de la Universidad Central de Venezuela en 1956. Graduado en Maestria en 1957 en el Politecnico di Milano. Profesor titular de la UCV por 30 anos, de la UCAB por 15 anos y de la UNIMET por 20 anos. Miembro de la junta directiva del Colegio de Ingenieros de Venezuela. Decano de la Facultad de Ingenieria de la UNIMET durante ocho anos. Director del IMME (Instituto de Materias y Modelos Estructurales).

(2)Para poder utilizar esta elipse asi lograda como una Elipse de Culman propiamente dicha, es decir, que sirva directamente para trabajar con excentricidades y distancias de trazas de porticos, debemos trasponerla, que es lo mismo que decir que tenemos que girarla 90[grados].

(3)Esta parte del trabajo se ha basado, fundamentalmente, en el el estudio de libros de analisis y geometria) Traduccion parcial glosada del texto "Mathematics Its Contents, Methods and Meanings", por A.D. Aleksandrov, A.N. Kolgomorov y M.A. Laurent' en version inglesa del original ruso, Editorial Dover Publications INC., 1969. Corresponde solo a los puntos 6.1, 6.2 y 6.3.