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Un sistema no lineal con ancho de banda prohibida que no presenta supratransmision.

INTRODUCCION

A casi cinco anos de la publicacion de aquel articulo de Geniet y Leon (2002), el fenomeno de supratransmision no lineal de energia ha sido estudiado ampliamente en muchos sistemas fisicos unidimensionales (para una introduccion al concepto de supratransmision ver Macias-Diaz, 2007). El proceso de supratransmision no lineal consiste en el incremento repentino de la amplitud de las senales de onda transmitidas en una cadena de osciladores acoplados, debida a una perturbacion armonica en uno de los extremos que irradia con una frecuencia en el ancho de banda prohibida, y la investigacion mas fructifera en el area se ha concentrado en medios discretos, tales como cadenas mecanicas de osciladores armonicos simples descritas por sistemas acoplados de ecuaciones de seno-Gordon o Klein-Gordon (Geniet y Leon, 2002), ecuaciones acopladas de seno-Gordon dobles (Geniet y Leon, 2003), cadenas no lineales de Fermi-Pasta-Ulam (Khomeriki et al., 2004), y medios de Bragg en el regimen no lineal de Kerr (Leon y Spire, 2004). Sin embargo, es menester reconocer que tambien se han llevado a cabo algunas investigaciones en el caso continuo y que la ecuacion de seno-Gordon ha sido un denominador comun en dichas investigaciones (Khomeriki y Leon, 2005; Chevrieux et al., 2006a).

La importancia del estudio del proceso de supratransmision no lineal en sistemas de seno-Gordon ha quedado doblemente de manifiesto en el desarrollo de nuevas tecnicas matematicas para su investigacion y en el estudio de aplicaciones fisicas novedosas. Por ejemplo, el desarrollo de tecnicas computacionales innovadoras ha sido un camino ciertamente transitado en la investigacion numerica del campo (Macias-Diaz y Puri, 2007a; Macias-Diaz, 2007a). Aun mas, tras la sugerencia de que el proceso de supratransmision no lineal de energia se encuentra presente en sistemas bidimensionales de arreglos discretos de conjunciones de Josephson (Chevrieux et al., 2006a), se han propuesto recientemente generalizaciones de las tecnicas computacionales mencionadas (Macias-Diaz, 2007b; Macias-Diaz, 2007c).

Desde una perspectiva mas pragmatica, varias aplicaciones del proceso de supratransmision han sido realizadas o sugeridas al diseno de amplificadores digitales de senales ultra debiles (Khomeriki et al., 2006), detectores de luz sensibles a excitaciones ultra debiles (Chevrieux et al., 2006b), arreglos opticos (Khomeriki, 2004) y filtros de luz (Khomeriki y Ruffo, 2005), y el analisis de la propagacion de senales binarias en arreglos discretos de osciladores armonicos simples amortiguados (Macias-Diaz y Puri, 2007b) y sin amortiguamiento (Macias-Diaz y Puri, 2007c), y arreglos discretos de conjunciones de Josephson en paralelo (Macias-Diaz y Puri, 2007d). En este punto, cabe senalar que la literatura especializada en el area contara con realizaciones de aplicaciones para el caso multidimensional en un futuro no muy lejano.

En vista de la importancia que reviste el proceso de supratransmision de energia, es importante determinar que medios fisicos son susceptibles a conllevarlo. Geniet y Leon sugirieron que cualquier sistema no lineal con un ancho de banda prohibido es capaz de sostener supratransmision cuando se perturba armonicamente con una frecuencia dentro de dicho ancho de banda (Geniet y Leon 2002). Esta afirmacion ha sido verificada en muchos sistemas fisicos. Sin embargo, en este trabajo se verificara numericamente que dicho proceso se encuentra ausente en medios continuos tridimensionales, regidos por ecuaciones de seno-Gordon o Klein-Gordon que son perturbados armonicamente en el origen.

Modelo matematico

En este articulo se considera un medio continuo en tres dimensiones espaciales, inicialmente en reposo y gobernado por la ecuacion de Klein-Gordon modificada

[[derivada parcial].sup.2]/[derivada parcial][t.sup.2] - [[gradacion].sup.2] u + [gamma] [derivada parcial]u/[derivada parcial]t + V'(u) = 0, (1)

donde U es una funcion definida en [R.sup.3] x R, y R representa el campo de los numeros reales. La constante [gamma] es el coeficiente de amortiguamiento externo, y V es, en general, una funcion continuamente diferenciable. Particularmente, es conveniente fijar V(u) = 1 - cos u para el caso de sistemas de seno-Gordon, y V(u) = [u.sup.2]/2! - [u.sup.4]/4! para el caso de ecuaciones de Klein-Gordon no lineales. El medio es sometido a perturbaciones armonicas en el origen, descritas por la relacion [fi](t) = A sin ([OMEGA]t), donde [OMEGA] es una frecuencia en el ancho de banda prohibida, esto es, [OMEGA] < 1. Dicho ancho de banda no es sino el conjunto de frecuencias prohibidas en la relacion de dispersion lineal (Geniet et al. 2002).

Por ello, asume intrinsecamente que las soluciones de (1) poseen simetria esferica., es decir las soluciones pueden ser expresadas en la forma u = u(r, t), donde r representa la distancia entre el origen y el punto en cuestion. Entonces, el medio es descrito en coordenadas esfericas a traves de la ecuacion:

[[derivada parcial].sup.2]/[derivada parcial][t.sup.2] - ([[derivada parcial].sup.2]u/[derivada parcial][r.sup.2] + 2/y [derivada parcial]u/[derivada parcial]r) + [derivada parcial]u/[derivada parcial]t + V'(u) = 0. (2)

El hamiltoniano de la porcion conservativa del modelo (1) esta dado por

H = 1/2 {[([derivada parcial]u/[derivada parcial]t).sup.2] + [[[valor absoluto de [gradacion]u].sup.2] + V(u); (3)

la energia total E(t) del sistema en cualquier instante de tiempo t se obtiene integrando el hamiltoniano sobre el espacio [R.sup.3]. Para propositos de computo, E(t) puede ser expresada convenientemente en coordenadas esfericas mediante el uso de la transformacion V(r,t) = ru(r,t), en cuyo caso:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (4)

Tecnica computacional

Es menester observar que el problema de resolver la ecuacion (1) con condiciones iniciales nulas conlleva a la resolucion del siguiente problema de valores iniciales y en la frontera:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]; (5)

donde V esta dado como en la seccion anterior. Uno debe observar aqui que la perturbacion armonica en el origen se transforma en la ultima condicion del problema (5), lo cual conduce obviamente a la solucion nula. Asi pues, con el objeto de evitar trivialidades, es menester reemplazar dicha condicion por la identidad v([epsilon],t) = [epsilon][fi](t), siendo [epsilon] un numero real positivo muy cercano a cero.

Hecho esto, las soluciones de (5) pueden ser obtenidas a traves de una modificacion simple de un metodo numerico para aproximar soluciones con simetria esferica (Macias-Diaz, 2005). Las ventajas del metodo a emplearse con respecto a otros esquemas existentes son sus propiedades numericas de consistencia y estabilidad, asi como el hecho de que, asociado a el, existe un esquema para el calculo consistente de la energia del medio.

Sean [epsilon] = [r.sub.0] < [r.sub.1] < ... < [r.sub.M] = L y 0 = [t.sub.0] < [t.sub.1] < ... < [t.sub.N] = T dos particiones regulares consistentes de M y N subintervalos, respectivvamente, de los intervalos radial y temporal [[epsilon],L] y [0,T], respectivamente. El esquema numerico empleado en la aproximacion de las soluciones del problema alternativo (5) con condicion adicional v ([epsilon], t) = [epsilon][fi](t) se describe por medio de la expresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

donde [v.sup.n.sub.j] es la aproximacion de v([r.sub.i], [t.sub.n]) proporcionada por el metodo, [DELTA]r = L/M y [DELTA]f = T/N.

Por su parte, la energia del sistema en el n -esimo instante de tiempo es aproximada consistentemente por la relacion:

[E.sup.n] = 4[pi][E.sup.n.sub.0], (7)

donde:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (8)

Finalmente, el esquema numerico a emplearse tiene la propiedad de que ([E.sup.n+1] - [E.sup.n])/[DELTA]t proporciona una estimacion consistente de la razon de cambio de la energia del sistema con respecto al tiempo. Ademas, el esquema mismo es consistente y condicionalmente estable, con condicion de estabilidad descrita por la igualdad:

[([DELTA]t/[DELTA]r).sup.2] < 1 + [gamma] [DELTA]t/4. (9)

RESULTADOS

Fijese un tamano de paso [DELTA]t en el tiempo igual a 0.02, y tomese un tamano de paso radial y un numero [epsilon] ambos iguales a [DELTA]t. En todos los calculos numericos realizados en el presente trabajo se considera un periodo de tiempo fijo. Mas aun, con el objeto de evitar la creacion de ondas de choque en el origen, la amplitud de la perturbacion armonica es incrementada linealmente desde cero hasta su valor actual A , durante un periodo de tiempo relativamente corto y anterior al instante t = 0. Se asume ademas que el medio no posee amortiguamiento externo.

[FIGURA 1 OMITIR]

Con el objeto de simular un medio no acotado, los resultados computacionales son obtenidos aproximando la solucion del problema en una esfera cerrada, con centro situado en el origen y radio igual a 6, en el que el parametro [gamma] lentamente es incrementado en magnitud de 0 a 1 fuera de la esfera abierta con centro en el origen y radio 5, simulando, de tal forma, una frontera absorbente. Mas precisamente, definimos:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (10)

Cabe senalar que si la funcion de potencial V es aquella para un sistema de seno-Gordon, entonces rV'(v/r) es aproximadamente igual a cero para valores positivos de r suficientemente cercanos a cero. Por tanto, el medio se comporta linealmente en la vecindad del origen y, particularmente, se especula que el sistema bajo estudio es incapaz de producir el fenomeno de supratransmision en presencia de perturbaciones armonicas en el origen. Por supuesto, esta afirmacion se verificara numericamente a continuacion, para medios gobernados por ecuaciones de seno-Gordon y Klein-Gordon.

[FIGURA 2 OMITIR]

RESULTADOS

Comenzamos proporcionando una prueba numerica en el que el proceso de supratransmision no esta presente en el sistema (1). Para tal efecto, se ha perturbado el sistema armonicamente con una frecuencia de 0.9 y una amplitud de 3, y se han registrado los resultados para seis tiempos distintos. Los resultados se muestran en la figura 1, la cual evidencia el hecho que no existe transmision de energia en el sistema.

Por el resto de esta seccion, el parametro A tomara valores en el intervalo [0.20].

Fijese una frecuencia [OMEGA] = 0.8 en el ancho de banda prohibida de un sistema de seno-Gordon descrito por (1). Se calcula la energia total del sistema durante un periodo de tiempo igual a 20, y la figura 2 muestra los resultados obtenidos en los calculos. La grafica demuestra un incremento continuo en el monto de energia inyectado en el sistema debido a la perturbacion armonica en el origen, sin ningun incremento drastico aparente.

[FIGURA 3 OMITIR]

A continuacion se permite a la frecuencia [OMEGA] tomar valores en el intervalo [0,1]. La grafica de energia total del sistema sobre el intervalo de tiempo especificado vs. la frecuencia y la amplitud de la perturbacion en el origen es presentada en la figura 3. Los resultados muestran nuevamente una dependencia continua de la energia total del medio con respecto a la frecuencia y la amplitud. Este hecho apoya la afirmacion de que el proceso de supratransmision no lineal de energia se encuentra ausente en sistemas de Klein-Gordon descritos por (1).

Enseguida se procede a examinar el caso de sistemas del tipo de seno-Gordon. Resultados preliminares que no han sido incorporados en este trabajo indican que, para una frecuencia igual a 0.8, la energia total del sistema durante un periodo de tiempo de longitud 20 se incrementa suavemente con respecto a A. Variando [OMEGA] entre 0 y 1, y calculando la energia total del medio sobre el periodo de tiempo seleccionado para varias parejas ([OMEGA], A), es posible obtener la figura 4, la cual demuestra que el proceso de supratransmision no lineal tambien se encuentra ausente en el caso de ecuaciones de seno-Gordon.

CONCLUSIONES

Este trabajo aporta evidencia numerica relevante respecto a que el proceso de supratransmision no lineal de energia no se encuentra presente en medios descritos por ecuaciones continuas de seno-Gordon en tres dimensiones, en las que las condiciones iniciales son nulas y en las que el origen es perturbado armonicamente con una frecuencia en el ancho de banda prohibida. De este modo, se establece que no todo sistema no lineal con un ancho de banda prohibida es capaz de presentar el fenomeno de supratransmision. Los calculos son apoyados empiricamente por el hecho que un sistema de seno-Gordon con simetria esferica se comporta linealmente cerca del origen, y analiticamente por el hecho que el origen de dichos sistemas es incapaz de producir estructuras coherentes localizadas.

[FIGURA 4 OMITIR]

Agradecimientos:

El presente articulo fue realizado bajo las siglas del proyecto de investigacion PIMO8-1 en la Universidad Autonoma de Aguascalientes.

BIBLIOGRAFIA

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(10.) LEON, J.; SPIRE, A., Gap soliton formation by non-linear supratransmission in Bragg media, Physics Letters A. 327, 474-480, 2004.

(11.) MACIAS-DIAZ, J. E., A symplectic method for discrete systems of modified sine-Gordon equations, Applied Numerical Analysis. Sometido a revision, 2007a.

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(19.) MACIAS-DIAZ, J. E.; PURI, A., On the transmission of binary bits in discrete Josephson-junction arrays, Physical Review B. Sometido a revision, 2007d.

Dr. Jorge Eduardo Macias Diaz [1]

Recibido: 15 de junio de 2007, aceptado: 5 de febrero de 2008

[1] Universidad Autonoma de Aguascalientes, Centro de Ciencias Basicas, Departamento de Matematicas y Fisica, correo electronico: jemacias@correo.uaa.mx.
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Author:Macias Diaz, Jorge Eduardo
Publication:Investigacion y Ciencia
Date:Jan 1, 2008
Words:2788
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