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Un esquema de diferencias finitas que conserva la positividad de una ecuacion modificada de Fisher-KPP.

INTRODUCCION

Las condiciones de no negatividad en las soluciones de modelos matematicos son de gran importancia cuando las variables a estudiar son medidas en unidades absolutas. Por ejemplo, cuando la variable de interes es la densidad de poblacion en biologia matematica o, cuando la temperatura es manipulada en Kelvin, entonces, el requerimiento de positividad en las soluciones se convierte en una condicion fisica significativa que debe ser observada.

Hoy dia, algunos problemas fisicos asociados a la ecuacion de onda con amortiguamiento (Mickens y Jordan) y la evolucion temporal de poblaciones (Mickens, Moghadas y Moghadas) han sido resueltos a traves de varias tecnicas numericas que fueron disenadas con el objetivo de garantizar que las aproximaciones fuesen no negativas. En su mayoria, la construccion de estas tecnicas esta basada en la nocion de esquemas de diferencias finitas no estandares introducidas (Mickens). Estos metodos han generado resultados satisfactorios tanto para ecuaciones diferenciales parciales parabolicas de segundo orden como para elipticas. En este trabajo se estudia un modelo hiperbolico que describe la densidad de ciertas poblaciones, basado en una generalizacion de un metodo no estandar de diferencias finitas propuesto (Mickens y Jordan).

Los modelos parabolicos han sido empleados con un exito parcial en cuanto a la descripcion de fenomenos difuso-reactivos. Como ejemplo, Fisher y Kolmogorov et al. estudiaron simultaneamente la propagacion de genes mutantes que son cruciales para la supervivencia de poblaciones distribuidas en habitats lineales. Su modelo llego a ser conocido como la ecuacion de Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (en la literatura tambien se puede encontrar como la ecuacion de Fisher-KPP o simplemente como la ecuacion de Fisher). Su expresion es la siguiente:

[derivada parcial]u/[derivada parcial]t = [kappa] [[derivada parcial].sup.2]u/[derivada parcial][x.sup.2] + f(u) (1)

Aqui [kappa] juega el papel del coeficiente de difusion, el cual es un numero real positivo, y, f(u)= mu(l - u), siendo m una constante tambien positiva. La ecuacion de Fisher-KPP es el caso mas simple de una reaccion no lineal difuso reactiva y ha sido extensivamente estudiada tanto por la literatura matematica como por la fisica y biologica. A pesar de la importancia que ha tenido desde su concepcion, en 1937, la ecuacion de Fisher presenta la desventaja de que cualquier perturbacion en el medio descrito por este modelo, se propaga con una rapidez infinita. Para poder salvar esta dificultad, se han propuesto varias modificaciones de la misma, siendo las generalizaciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales hiperbolicas las mas interesantes. De hecho, la inclusion de un tiempo de relajacion ha sido aplicada satisfactoriamente en el estudio de la dinamica de poblaciones de parasitos (Hadeler y Dietz), la propagacion de virus en placas cuando se considera el tiempo de retraso atribuido a la reproduccion del mismo (Fort y Mendez) y la migracion de poblaciones durante el periodo Neolitico en Europa (Fort y Mendez), entre otras situaciones realistas.

El modelo postulado en este articulo puede ser considerado como una generalizacion de la ecuacion de Heaviside propuesta para el estudio del fenomeno de transferencia de calor para escalas de tiempo del orden de zeptosegundos (Marciak-Kozlowska y Koslowski), la investigacion de la ecuacion modificada de Schrodinger propuesta para describir las interacciones de los electrones dentro de los atomos en una escala de tiempo de los attosegundos (Marciak-Kozlowska y Koslowski), y de la ecuacion modificada de Klein-Gordon que fue empleada para estudiar la propagacion del estado termico inicial del universo (Koslowski y Marciak-Kozlowska). Como se mencionara al final de este trabajo, este articulo intenta construir un puente que comunique el estudio de la ecuacion de onda amortiguada a traves de esquemas no estandares de diferencias finitas que conservan la positividad de las soluciones, y el correspondiente estudio de las versiones hiperbolicas generalizadas de la ecuacion de Fisher-KPP que incluyen, entre otras caracteristicas, la presencia de coeficientes no constantes.

Es importante mencionar que los metodos numericos que se presentan en este trabajo han sido disenados siguiendo los paradigmas postulados por Mickens. En particular, se aprovecha la idea de representar a las derivadas parciales de primer orden como una suma distribuida de diferencias adelantadas y centradas. Ademas, se aproximan las derivadas parciales de segundo orden con respecto a una variable fija utilizando la aproximacion de Dufort-Fraenkel (Lari), esto con el objetivo de simplificar la expresion de los esquemas explicitos que resulten.

En la segunda seccion de este articulo, presentamos la ecuacion lineal hiperbolica de interes. A continuacion, se introduce la notacion numerica y los esquemas no estandares de diferencias finitas para aproximar nuestro problema. Luego, se lleva a cabo una validacion sistematica y detallada del codigo computacional, contrastandolo con soluciones exactas derivadas anteladamente. Finalmente, el trabajo termina con una seccion de conclusiones.

Problema matematico

Sean [tau], [kappa] y [beta] numeros reales positivos, sea una constante no negativa y sea I un intervalo cerrado y acotado del sistema de los numeros reales R. Asumase que u es una funcion de (x,t), donde x [elemento de] I y t > 0. El punto de partida de esta investigacion es la ecuacion diferencial lineal parcial y homogenea con coeficientes constantes:

[tau][[derivada parcial].sup.2]u/[derivada parcial][t.sup.2] - [kappa][[derivada parcial].sup.2]u/[derivada parcial][x.sup.2] + [gamma] [derivada parcial]u/[derivada parcial]t - [[beta].sup.2]u = 0. (2)

Cabe mencionar que esta ecuacion puede ser facilmente identificada con otras en ciertos casos especiales. Por ejemplo, esta se transforma en la ecuacion de onda clasica con rapidez de propagacion igual a [raiz cuadrada de [kappa]/[tau]] en el caso en que ambos [gamma] y [beta] sean iguales a cero; la ecuacion de onda amortiguada con la misma rapidez de propagacion aparece en la ecuacion (2) si [beta] = 0. La ecuacion de Helmholtz (Zwillinger) --una expresion derivada de la ecuacion de Maxwell para estudiar la propagacion de ondas--es obtenida si ambos, [tau] y [gamma], son iguales a cero. La ecuacion clasica de Schrodinger con potencial constante V = -[[beta].sup.2] aparece cuando [tau] = 0, [gamma] = -i[??] y [kappa] = [[??].sup.2]/(2m)donde [??] denota la constante original de Planck dividida por 2[pi], y m representa la masa; por otro lado, la ecuacion de Klein-Gordon amortiguada de la mecanica cuantica relativista resulta de (2) si [beta] es un numero complejo puro. Sin embargo, como se menciono anteriormente, en este trabajo se enfoca la atencion al caso cuando y es un numero real no negativo y [tau], [kappa] y [[beta].sup.2] son positivos.

Otras variantes de (2) ecuacion aparecen en varias ramas de la fisica, quimica y biologia. Como ejemplo, la ecuacion linealizada de Landau-Ginzburg de la superconductividad (Kudryavtsev), se obtiene si [gamma] = 0, y la ecuacion de Maxwell-Cattaneo con uso en la termodinamica se deriva de (2) cuando [beta] = 0. Mas relevantemente, (2) es una modificacion de la ecuacion de Heaviside (tambien conocida como la ecuacion del telegrafo), la ecuacion clasica de Heaviside siendo obtenida de (2) si [beta] es un numero complejo puro.

Problema en un dominio acotado

En el terreno de la fisica, [gamma] es dificilmente cero. Ademas, la ecuacion (2) esta acompanada de las condiciones iniciales y/o de frontera en el conjunto I. Para propositos de validacion sera de particular importancia considerar el conjunto de condiciones iniciales y de frontera

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (3)

asociadas con la ecuacion modificada de Fisher-KPP bajo estudio, en el intervalo I = [0,1]. Despues de aplicar la tecnica de separacion de variables, la solucion analitica con las condiciones de valor inicial y de frontera generada por la ecuacion (2) y las condiciones (3), es:

u(x,t) = exp(-[gamma]t/2[tau]) sin([pi]x)[PSI](t) (4)

donde

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (5)

y

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

Esquema de diferencias finitas --Nomenclatura

En la presente seccion, se introduce el esquema de diferencias finitas no estandar utilizado para aproximar las soluciones de (2). En lo que resta de la misma, I representara un intervalo fijo y cerrado de la forma [a,b], y las soluciones de la ecuacion modificada de Heaviside seran aproximadas en el intervalo temporal [0,T]. Con este fin, fijaremos particiones regulares a = [x.sub.0] < [x.sub.1] < ... < [x.sub.N] = b y 0 = [t.sub.0] < [t.sub.1] < ... < [t.sub.M] = T de los intervalos I y[0,T], respectivamente, de norma [incremento de x] y [DELTA]t en cada caso. Con esta notacion, [u.sup.k.sub.n] denotara la aproximacion numerica del valor de u en {[x.sub.n], [t.sub.k]), para n = 0,1, ..., N y k = 0,1, ..., M.

Despues de haberse desarrollado el analisis no dimensional de (2), es facil observar que una simplificacion para su estudio se encuentra al alcance al tomar [kappa] = [gamma] = 1, una convencion que se seguira a partir de este punto en adelante. Ademas, por simplicidad, se empleara la siguiente notacion estandar:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (7)

asi como la nomenclatura (no tan estandar)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (8)

donde se sobreentiende que [alfa] es un numero real. Es claro que las formulas para las segundas diferencias centrales en (7) aproximan las segundas derivadas parciales de u respecto a x y t, respectivamente, mientras que la primera expresion en la ecuacion (8) aproxima la primera derivada parcial de u respecto a t, y la segunda aproxima la segunda derivada respecto a x. Cabe senalar que el parametro a es un parametro de ponderacion entre dos aproximaciones de la primera derivada con respecto al tiempo. En estos terminos, la primera ecuacion en (8) es una manera no estandar de aproximacion a la primera derivada temporal.

--Esquema de diferencias finitas

El esquema de diferencias finitas no estandar utilizado para aproximar las soluciones de (2) es:

[tau][[delta].sup.(2).sub.t][u.sup.k.sub.n] - [[??].sup.(2).sub.x][u.sup.k.sub.n] + [[delta].sub.t,[alfa]][u.sup.k.sub.n] - [[beta].sup.2]/2 [[u.sup.k.sub.n+1] + [u.sup.k.sub.n-1]] = 0. (9)

Es importante mencionar que el tipo de segunda diferencia utilizada en este esquema para aproximar la segunda derivada parcial de u respecto x es conocida como la aproximacion de Dufort-Frankel (Lari), la cual fue empleada exitosamente en el estudio de la ecuacion de onda clasica con amortiguamiento (Mickens y Jordan). Esta ultima expresion es obtenida de la anterior al reemplazar [u.sup.k.sub.n] por ([u.sup.k.sub.n+1] + [u.sup.k.sub.n-1])/2. Una aplicacion de los criterios de Neumann facilmente expone que el esquema antes presentado es estable bajo la correcta seleccion de los parametros computacionales. No es dificil comprobar que el esquema de diferencias finitas puede ser reescrito de la manera siguiente:

[k.sub.1][u.sup.k+1.sub.n] = [k.sub.2][u.sup.k.sub.n] + [k.sub.3][u.sup.k-1.sub.n] + [k.sub.4]( [u.sup.k.sub.n+1] + [u.sup.k.sub.n-1]), (10)

donde las constantes [k.sub.1] [k.sub.2], [k.sub.3] [k.sub.4] [elemento de] R dependen de los parametros computacionales [incremento de x] y [DELTA]t, y de los del modelo [tau], [kappa], [gamma] y [[beta].sup.2]. De hecho, la Tabla 1 proporciona una expresion concreta para cada constante.

--Positividad

En la esta seccion, se establecen condiciones en los parametros [k.sub.1], [k.sub.2], [k.sub.3] y [k.sub.4] en (21), con el objeto de garantizar que las aproximaciones en el (k + 1)--esimo paso de tiempo sean no negativas, asumiendo que las aproximaciones en los k - y (k - 1)--esimos pasos son no negativas. Definase

R = [DELTA]t/[([incremento de x]).sup.2]. (11)

Sea [k.sub.3]--el coeficiente de [u.sup.k-1.sub.n]--igual a R. Es posible establecer rapidamente que el valor de [alfa] y los valores de los coeficientes de [u.sup.k+1.sub.n] y [u.sup.k.sub.n] son, respectivamente,

[alfa] = 2(2R + [tau]/[DELTA]t), [k.sub.1] = 1 - R, [k.sub.2] = 1 - 4R (12)

Se opta por forzar la igualdad con el objetivo de simplificar la expresion del esquema explicito; es decir, igualamos R = 1/4. Bajo estas circunstancias, el esquema se transforma en:

[u.sup.k+1.sub.n] = [u.sup.k-1.sub.n] + ([beta] + 2[[beta].sup.2][DELTA]t)([u.sup.k.sub.n+1] + [u.sup.k.sub.n-1])/3 (13)

Por conveniencia, la Tabla 2 presenta el valor de [alfa] que hace que el coeficiente [k.sub.3] ser igual a R, y los valores de los coeficientes [k.sub.1], [k.sub.2] y [k.sub.3] en terminos de [alfa].

Validacion computacional

Considerese el problema con valor inicialfrontera descrito por la version no lineal de la ecuacion diferencial (2) y las condiciones (6). Ademas, con el proposito de generar soluciones no negativas de este problema de valor mixto, se seleccionan los parametros [beta] = 1 y [tau] = 0.0001/[(2[pi]).sup.2]. Computacionalmente, se fijan [DELTA]t = 0.0004 y [incremento de x] = 0.04, de forma que R = 1/4. Bajo estas circunstancias, el coeficiente [k.sub.2] para este esquema es cero. Se procede a aproximar las soluciones del problema con valor inicial y de frontera, utilizando el esquema para diferentes valores de tiempo. Los resultados de las simulaciones y las soluciones exactas son presentados en la Figura 1. Estos, exhiben que, bajo las condiciones computacionales antes mencionadas, las aproximaciones se encuentran en excelente acuerdo con los resultados esperados.

Cabe mencionar que las tecnicas computacionales estandares de orden superior pueden generar soluciones negativas para problemas que son no negativos (como el que se estudia en esta seccion), o bien, resultar inestables. Por ejemplo, considerese el siguiente esquema estandar de diferencias finitas para aproximar las soluciones de (2):

[tau][[delta].sup.(2).sub.t][u.sup.k.sub.n] - [[delta].sup.(2).sub.x][u.sup.k.sub.n] + [[delta].sub.t,1][u.sup.k.sub.n] - [[beta].sup.2]/2 [[u.sup.k+1.sub.n] + [u.sup.k-1.sub.n]] = 0 (14)

[FIGURA 1 OMITIR]

Es claro que este metodo es consistente de orden O([([DELTA]t).sup.2] + [([incremento de x]).sup.2]); sin embargo, presenta una region reducida de estabilidad, tal y como es evidenciado por simulaciones (no incluidas).

En vista de la necesidad de proveer una comparacion computacional entre el metodo propuesto y (14), se considera de nuevo la ecuacion diferencial (2) definida en el intervalo espacial [0,1] y tiempo t = T, junto con las condiciones (6). Subsecuentemente, se toman los mismos valores parametricos que en el comienzo de la seccion, y se consideran diferentes valores para [incremento de x]; adicionalmente, para cada tal valor, se permite que [DELTA]t tome diferentes valores. Ademas, para [incremento de x] y [DELTA]t y fijos, se calcula la diferencia entre la solucion y el problema con valor inicial y de frontera u en el tiempo T y la correspondiente aproximacion [([u.sup.M.sub.n]).sup.N.sub.n=0] provista por el metodo numerico, a traves de :

[[paralelo]u - (u - ([u.sup.M.sub.n])[paralelo].sub.[infinito]] = max[valor absoluto de{u([x.sub.n], T) - [u.sup.M.sub.n]] = 0,1, ..., N} (15)

Por ello, la Tabla 3 presenta los resultados numericos para el metodo no estandar propuesto, y el metodo estandar (14). Los resultados muestran que, al menos para los parametros numericos empleados y el problema con valor inicial y de frontera estudiado, los metodos no estandares proporcionan resultados que son ligeramente mas acertados que los del estandar.

Finalmente, considerese el ejemplo mas simple y estandar de orden cuadratico para aproximar soluciones de (2). Para propositos practicos, considere el problema de valores mixtos descrito por (3), con los parametros usados en la presente seccion. Fijese un tamano de paso en el espacio igual a 0.2, y uno de paso temporal igual a 0.1. La Figura 2 muestra la aproximacion dada por dicho metodo al tiempo 5. La simulacion muestra que, aun cuando la solucion deberia ser no negativa, el metodo estandar arroja aproximaciones negativas.

[FIGURA 2 OMITIR]

CONCLUSIONES

Se ha presentado un esquema de diferencias finitas con el objetivo de aproximar las soluciones de una ecuacion diferencial que aparece en la dinamica de poblaciones. El modelo estuvo basado en una ecuacion modificada de Heaviside en (1 + 1)-dimensiones, y el desarrollo del metodo numerico propuesto para resolver el modelo esta basado en metodos de diferencias finitas no estandares.

[ILUSTRACION OMITIR]

El metodo propuesto en este trabajo es consistente de orden O([DELTA]t+[([incremento de x]).sup.2]). Sin embargo, las comparaciones computacionales contra las tecnicas de orden superior muestran que estas ultimas no son capaces de identificar el caracter de positividad de las soluciones en algunas instancias, problema que puede ser evitado utilizando nuestro metodo a costa de perder orden de consistencia. El metodo fue sistematica y detalladamente validado contra soluciones analiticas conocidas. Sin embargo, aun quedan varias direcciones abiertas a la investigacion. Por ejemplo, es altamente deseable disenar esquemas no estandares de diferencias finitas que conserven la positividad de las soluciones de la ecuacion generalizada de Fisher-KPP, la cual es una ecuacion diferencial parcial hiperbolica no lineal que generaliza a la ecuacion clasica de Fisher-KPP. Su expresion es:

[tau][[derivada parcial].sup.2]u/[derivada parcial][t.sup.2] + [derivada parcial]u/[derivada parcial]t(1 - [tau]f'(u)) = [kappa][[derivada parcial].sup.2]u/[derivada parcial][x.sup.2] + f(u), (16)

donde el termino de retardo [tau] es un numero real positivo pequeno, [kappa] representa la constante de difusion, y el termino no lineal asume la forma logistica generalizada f(w) = m(u - [u.sup.p]), con m [elemento de] R, siendo un entero positivo.

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Jorge Eduardo Macias Diaz (1) Javier Ruiz Ramirez (1)

Recibido: 13 de agosto de 2009, aceptado: 6 de enero de 2010

(1) Departamento de Matematicas y Fisica, Centro de Ciencias Basicas, Universidad Autonoma de Aguascalientes, jemacias@correo.uaa.mx., j_soulmind@yahoo.com.
Tabla 1. Relacion de la expresion de cada parametro
[k.sub.1], [k.sub.2], [k.sub.3] [k.sub.4] [elemento de] R
con la expresion explicita del esquema considerado

Coeficientes

[k.sub.1]        [k.sub.2]    [k.sub.3]      [k.sub.4]

[tau] /          2[tau] /     [alfa] /       R +
[DELTA]t + R +   [DELTA]t +   2 - [tau] /    [[beta].sup.2]
1 - [alfa] / 2   1 - [alfa]   [DELTA]t - R   [DELTA]t / 2

Por simplicidad se define a R = [DELTA]t/[([incremento de x]).sup.2].

Tabla 2. Expresion de cada coeficiente [k.sub.1] [k.sub.2], [k.sub.3]
[k.sub.4] en el esquema explicito de diferencias finitas, y la
eleccion de [alfa]

                        Parametros

[alfa]      [k.sub.1]   [k.sub.2]   [k.sub.3]   [k.sub.4]

2(2R +      1 - R       1 - 4R      R           R +
[tau] /                                         [[beta].sup.2]
[DELTA]t)                                       [DELTA]t / 2

El parametro a se escogio de forma que [k.sub.3] fuese igual a R.

Tabla 3. Maximo valor absoluto del metodo numerico para distintos
valores de [incremento de x] y [DELTA]t obtenidos al aproximar la
solucion exacta de (2) sujeto a las condiciones de valor inicial-
frontera (6) en el tiempo t=0.08

                                [incremento de x]

                                       0.04

                                     [DELTA]t

Esquema     1 x [10.sup.-4]      5 x [10.sup.-5]     2.5 x [10.sup.-5]
           1.50 x [10.sup.-7]   1.82 x [10.sup.-6]   1.65 x [10.sup.-6]
Estandar       [infinito]       9.08 x [10.sup.-6]   9.35 x [10.sup.-6]

                                [incremento de x]

                                       0.02

                                     [DELTA]t

Esquema     5 x [10.sup.-5]     2.5 x [10.sup.-5]     1 x [10.sup.-5]
           7.13 x [10.sup.-7]   1.22 x [10.sup.-7]   8.75 x [10.sup.-7]
Estandar       [infinito]       1.88 x [10.sup.-7]   2.05 x [10.sup.-6]
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Author:Macias Diaz, Jorge Eduardo; Ruiz Ramirez, Javier
Publication:Investigacion y Ciencia
Date:Jan 1, 2010
Words:4402
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