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Transformacion de la no-Complejidad a la Complejidad.

Transformation of non-Complexity to Complexity

Preambulo

Cabe distinguir tres clases de sistemas, fenomenos o comportamientos asi: sistemas simples, complicados y complejos. Un sistema simple es aquel que puede ser entendido--y en el orden de la praxis gestionado--, en terminos agregativos o compositivos. Sin embargo, al mismo tiempo, es simple todo aquello que se puede comprender y manejar en terminos de analisis, pues analizar consiste en dividir, compartimentar, fragmentar, segmentar.

Conjuntos de sistemas simples dan lugar a sistemas complicados. En este sentido, entonces, la manera habitual de tratar a los sistemas complicados es en terminos, por ejemplo, de distribuciones normales, estadistica descriptiva e inferencial, promedios, estandares, matrices y vectores. En el corpus de complejidad (complexity science) es habitual distinguir tal clase de fenomenos o comportamientos. Kuhnianamente hablando los sistemas simples y complicados constituyen ciencia normal.

Otra manera de entender a ambos sistemas es que, en el marco del trabajo e interes por las ciencias de la complejidad, sirven sencillamente como grupo de control. Toda la atencion, en contraste, se desplaza hacia el tercer grupo: sistemas, fenomenos o comportamientos complejos. Este articulo trata del tercer grupo a partir de un problema central: comprender como los sistemas no-complejos--por definicion, simples o complicados--, dan lugar, o pueden ser transformados en sistemas complejos en el sentido propio de la palabra. Como es sabido, no existe una unica definicion de complejidad y la buena ciencia no parte de, ni trabaja tampoco con definiciones. La manera habitual de comprender a un sistema complejo es por sus atributos o propiedades; entre otros, no-linealidad, emergencia, autoorganizacion, turbulencias, fluctuaciones, comportamiento colectivo complejo y adaptacion.

1. Introduccion

Los dos problemas fundamentales de la complejidad son (1): el tiempo y la no-linealidad. Presento la expresion "los dos problemas fundamentales de la complejidad" en analogia al estudio clasico de K. Popper--Los dos problemas fundamentales de la epistemologia, redactado originalmente en 1930-33--, solo que el contexto y los problemas son diferentes. Mientras que para Popper los dos problemas fundamentales de la epistemologia eran el problema de la induccion y el criterio de demarcacion, para nosotros el tema es el de las ciencias de la complejidad. Vale recordar que Popper logra resolver el primer problema pero deja abierto el segundo.

Pues bien, el primer problema de la complejidad, el tiempo, constituye el motivo central de la primera de las ciencias de la complejidad (2) a saber: la termodinamica del no-equilibrio; pero en el corpus de los clasicos de la complejidad termina en la exploracion y formulacion de la cuarta ley de la termodinamica por parte de S. Kauffman [1]. Al fin y al cabo, por ejemplo cuando en 1977 la Academia de Ciencias de Noruega le confiere el Premio Nobel a I. Prigogine especifica: "Prigogine introdujo en la ciencia lo que la ciencia no tenia: tiempo, historia". Toda la obra de Prigogine pivota, notablemente, en torno a la importancia del tiempo: desde sus estudios sobre la fisica del ser a la fisica del devenir, la discusion sobre si el tiempo es o no una ilusion, como lo sostenia Einstein, y su importancia en la metamorfosis de la ciencia (lease, revolucion cientifica). Un espacio al primer problema fundamental de la complejidad se encuentra en [2], [3].

Asi pues, quiero plantear que el segundo problema fundamental de la complejidad consiste, sin lugar a dudas, en el estudio acerca de si y como la linealidad se transforma o puede transformarse en no-linealidad. Este texto se ocupa de dicho problema y contribuye a resolverlo, que es malgre Prigogine, el mas importante y dificil. A continuacion, de manera inmediata, este texto aborda la elucidacion del enunciado que se acaba de introducir. En este sentido, el nucleo apunta hacia la geometria de fractales como a la instancia en la cual y gracias a la cual es posible resolver el segundo problema mencionado.

A fin de estudiar este problema, este texto se articula en cinco partes, asi: en un primer momento se aborda la importancia de la fenomenologia en la complejidad, algo que es particularmente importante en Prigogine y en Mandelbrot; en segunda instancia, el argumento gira hacia la topologia y los fractales, mostrando como la geometria de fractales constituye un paso radical hacia adelante relativamente a la topologia; gracias a este segundo argumento es posible sostener, en tercer lugar, la historia del pensamiento fractal, tanto a la luz de lo expuesto por el propio B. Mandelbrot, como por parte de la historia de la matematica y la logica; el cuarto argumento destaca la importancia de los fractales para pensar patrones, pautas (patterns); al final se elaboran unas conclusiones generales y el texto termina con una coda, en estrecha relacion con lo tratado, abriendo la referencia, o complementandola, en otra direccion.

2. ?Por que razon la no-linealidad se revela como mas importante que el tiempo?

En la comunidad de complejologos hace rato que el problema del tiempo ha sido reconocido como fundamental (Kauffman, Sole, Goodwin, y muchos otros). De hecho, sin duda, el primero de los rasgos que abre de manera definitiva la puerta a la consolidacion de las ciencias de la complejidad como una novedosa inflexion en la historia de la ciencia [4] es el tiempo. De manera puntual, se trata, en contraste con el papel negativo que le asigna al tiempo la termodinamica clasica y mas especificamente el segundo principio de la entropia, del reconocimiento del papel creador o generador de estructuras de complejidad creciente por parte del tiempo. Anticipado por Darwin, este papel creador del tiempo es el resultado de la obra de Prigogine y de lo que ha llegado a conocerse como la termodinamica del no-equilibrio. Dicho sin mas, en complejidad el tiempo: a) no es una variable y b) es (lo que determina) la complejidad misma de un fenomeno o sistema.

En contraste con el tiempo, la no-linealidad se encuentra lejos de ser un problema evidente o resuelto, incluso en buena parte de la comunidad de complejologos. Parcialmente, esto se debe porque no existe una unica comprension de la no-linealidad, si bien si hay un espacio amplio gracias al cual es posible explicarla y entenderla. Sin embargo, la principal dificultad con respecto a la no-linealidad estriba en el hecho de que en la ciencia normal -en el sentido mas amplio e incluyente de la palabra- existen metodos analiticos de tratar y de trabajar con sistemas y fenomenos no-lineales. En rigor, estos metodos consisten en una linealizacion de la no-linealidad. Los ejemplos mas conspicuos son: sistemas estocasticos, analisis numerico, constante de Liapunov y sistemas L (de Lindenmeier), aunque puede mencionarse, sin dificultad alguna, la asuncion habitual de quienes trabajan en modelamiento y simulacion de sistemas complejos, en una amplia mayoria, optan de entrada por parametrizar las dinamicas no-lineales, echando asi por la borda la no-linealidad. De hecho, campos vecinos a la complejidad como la cibernetica en general, y la cibernetica de segundo y de tercer orden en particular, al igual que los enfoques sistemicos le hacen el juego a la ciencia normal en esta direccion o, lo que es equivalente, le hacen un flaco favor a la comprension de la complejidad misma de la no-linealidad, puesto que, en el mejor de los casos la asumen como una cuestion de lenguaje (semantics).

En propiedad, en complejidad se debe hablar de la no-linealidad de fenomenos y sistemas complejos. En otras palabras, la no-linealidad es un atributo propio de la complejidad. De esta suerte se apunta al no-reduccionismo y no linealizacion de la no-linealidad. Hay autores que incluso, debido a esta observacion prefieren hablar no de ciencias de la complejidad sino de ciencias no-lineales, a saber: exactamente en el sentido de lano linealizacion de la no-linealidad [5].

La clave mediante la cual es posible entender el caracter fundamental de la no-linealidad en complejidad estriba en el reconocimiento explicito de que un fenomeno no-lineal se caracteriza porque gana informacion (aunque no necesariamente memoria). Asi, la no-linealidad y la ganancia de informacion son mutuamente complementarios. Naturalmente que otras caracterizaciones de la no-linealidad han sido posibles, pero para efectos de este texto, baste con la comprension senalada: la no-linealidad es informacion ganada y asi, si se prefiere, una no proporcionalidad entre causa(s) y efecto(s).

Digamoslo de manera franca: el problema medular de la complejidad que aqui nos interesa es el de la(s) transformacion(es) de la linealidad en no linealidad. Mas exactamente, el problema consiste en lo siguiente: se trata de determinar:

Si, cuando y como un sistema lineal se convierte en uno no-lineal; o bien,

Si, cuando y como un sistema lineal puede ser transformado en uno no-lineal.

En el primer caso, se trataria de estudiar como sucede, digamos fisica u objetivamente, que un sistema determinado rompe la/su linealidad y se torna en un fenomeno no-lineal. Las contribuciones mas clasicas al respecto provienen del caos y, mas recientemente, de las redes complejas, por ejemplo gracias al estudio de los fenomenos de percolacion o las cascadas de errores. El estudio de los solitones, por ejemplo [5] y la produccion o emergencia de tsunamis constituye un caso especifico. No es este mi interes aqui. Tanto menos cuanto que, en el mejor de los casos, la explicacion de esta clase de fenomenos o de situaciones se explica o se entiende ex post.

Por el contrario, me propongo dirigir la mirada hacia el segundo de los casos mencionados, esto es, establecer si y como un sistema lineal puede ser transformado en uno no-lineal, ello independientemente de si el agente que lleva a cabo dicha transformacion es humano, natural o artificial. La transformacion de un fenomeno lineal en uno no-lineal es, en terminos matematicos, una transformacion geometrica, pero en terminos practicos se traduce en planos apasionantes como la politica o la sociologia y que deben, sin embargo, quedar aqui de lado por motivos de espacio.

Mientras que la geometria euclidiana es una abstraccion humana cuyo resultado consiste en negar la naturaleza e imponerle formas rigidas, poligonos regulares y construcciones antinaturales, la geometria de fractales corresponde a una naturalizacion de la geometria. Asistimos asi al transito de una antropologizacion de la geometria (= Euclides), esto es, del espacio y por tanto del mundo y la naturaleza, a una naturalizacion de los mismos (Mandelbrot). El resultado es una revolucion magnifica en dos planos.

En verdad, de un lado, se trata del transito de un modelo continuo del espacio, el mundo y la naturaleza, a una comprension discreta de los mismos. Asi, la busqueda e identificacion de patrones se corresponde, plano por plano con el descubrimiento de las matematicas discretas o, lo que es equivalente, de las matematicas de sistemas discretos. Con seguridad, los componentes centrales de esta clase de matematicas comprenden los teselados, conjuntos extremos, conjuntos parcialmente ordenados, enumeracion, teoria de redes, grafos e hipergrafos y la teoria de la codificacion.

De otra parte, al mismo tiempo, la busqueda de patrones abre una perspectiva mas natural, o naturalista si se prefiere, de la geometria y, por tanto, del estudio y comprension del espacio. El resultado habra de ser el re-descubrimiento de la armonia como un criterio cientifico y, con ella y mas alla de ella, el redescubrimiento de la belleza como un criterio mismo de verdad y validez [6].

3. Complejidad y fenomenologia, un nexo solido

Las relaciones entre la fenomenologia, como metodo cientifico y las ciencias de la complejidad en general es solido, si bien no muy extendido. En diversas ocasiones, I. Prigogine menciona la importancia de las descripciones fenomenologicas en el desarrollo de sus investigaciones (cfr. La nueva alianza, El nacimiento del tiempo y el libro escrito conjuntamente con G. Nicholis, La estructura de lo complejo) (3). Algo similar puede evidenciarse en algunos pasajes de la obra de Mandelbrot. Ello, sin embargo, no significa que la complejidad se funde en metodos y aproximaciones fenomenologicos como quisieran considerarlo filosofos fenomenologos que si trabajan sobre ese fundamento en otras areas del conocimiento [7]; (4) es decir, a la fenomenologia en el sentido ya sea de Husserl, Heidegger, Merleau-Ponty o Levinas, para mencionar los nombres mas destacados.

En cualquier caso, en el mejor espiritu de la fenomenologia como metodo cientifico y filosofico el problema de base se formula en los siguientes terminos: se trata de distinguir si vemos lo que conocemos o bien si conocemos lo que vemos, un problema que se encuentra en la medula del espiritu, actitud y metodos de la fenomenologia en toda la linea de la palabra.

El problema no es trivial, y consiste en clarificar si lo nuevo visto en el mundo se reduce a lo ya conocido y se explica por tanto en terminos de lenguajes y experiencias ya adquiridas, o bien si, por el contrario, el investigador se da a la tarea de ver verdaderamente lo nuevo e intentar comprenderlo sin reducirlo a juicios y conceptos ya establecidos. Una ilustracion de este problema, sin hacer referencia explicita al cuerpo de la fenomenologia, se encuentra en S. Kauffman cuando recuerda la experiencia de los aztecas en su encuentro con los espanoles [1] (dicha historia y su significado ha sido estudiada numerosas veces, una muy afortunada referencia es T. Todorov, [17]).

Como se entendera facilmente a la luz de una mirada reflexiva, el problema concierne a la capacidad de visualization, enfrentamiento y explicacion de novedad supuesta la tendencia, natural, a explicar lo nuevo en terminos usualmente de analogia o comparacion con lo ya conocido.

Pues bien, existe un problema analogo en ciencia. Se trata, expresado, por ejemplo por Einstein, de la disyuncion acerca de si pensamos en/con palabras (= signos), o bien en/con diagramas (= simbolos). En el primer caso, puede decirse sin dificultad que se trata de un tipo de pensamiento que favorece aspectos analiticos, en tanto que en el segundo caso se trataria de un acercamiento mas visual o sintetico a problemas, situaciones, planos del mundo o de la naturaleza.

El padre de la geometria de fractales se inscribe exactamente en este segundo plano y, a traves suyo, resuelve el primer problema formulado. En efecto, Mandelbrot expresa en varios lugares que el mismo piensa en terminos de diagramas o esquemas y que favorece este tipo de razonamiento sobre el estrictamente analitico, o basado en signos. Extrapolando, y en referencia a la filosofia de las matematicas en su interpretacion mas clasica, puede decirse que la geometria de fractales se situa, asi, mas cerca de las tesis intuicionistas (H. Poincare, Brown) que de las estrictamente formalistas (D. Hilbert). En verdad, el trabajo con fractales es, de plano a plano, el estudio, investigacion y disfrute de formas, diagramas, estructuras y graficos que, si bien, tienen una formulacion logica y matematica, se despliegan ante todo como juegos visuales de gran significado en diversos planos del conocimiento. Gracias a los fractales aprendemos otro tipo de transformacion del espacio que el que habia sido habitual con Euclides.

Como es sabido, una especificidad de la geometria de fractales es que lleva a cabo operaciones especiales con el espacio. Ya no, como en el caso de Euclides, traslacion, reflexion y rotacion, y tampoco simplemente como en la topologia: torcer, estirar, comprimir. La geometria de fractales lleva a cabo un tercer tipo de operaciones: iteraciones. Ahora bien, en rigor, cabe distinguir dos clases de iteraciones: lineales y no-lineales. Manifiestamente que la iteracion constituye un metodo de resolucion de sistemas lineales. Sin embargo, de otro lado, existen igualmente las iteraciones fractales no-lineales cuyo resultado ni es simple, ni complicado y manifiestamente no lineal. Volvere sobre este asunto en la cuarta seccion.

4. Topologia y fractales

La geometria de fractales se encuentra, en sus origenes, en algun lugar intermedio entre la topologia y la geometria. La historia y la importancia de la geometria coinciden, plano por plano, con la historia misma de la humanidad occidental y, mas radicalmente, con la historia misma del espiritu humano. Tanto mas cuanto que la geometria es la ciencia del espacio, el estudio del espacio y mas alla de las discusiones entre fisicos y matematicos acerca de si la geometria pertenece al dominio de unos o de otros.

Como es sabido, grosso modo, lahistoria de la geometria tiene dos grandes capitulos: la geometria euclidiana, formulada originariamente en el libro Elementos de Euclides y, a raiz de las discusiones sobre el quinto postulado de Euclides, el desarrollo de las geometrias llamadas no-euclidianas, que nacen en el curso del siglo XIX. Esto es, la geometria de Riemann y de Lobachevsky, con las contribuciones de Bolyai. Solo que, gracias al surgimiento de las geometrias no euclidianas, entonces se abren tres capitulos nuevos: los fractales, el hiperespacio y la teoria de cuerdas [8]. Dejaremos aqui por razones de delimitacion de nuestro tema las referencias al hiperespacio y a la teoria de cuerdas [18]. Dejo aqui de lado las relaciones y distinciones entre la topologia estructural y la algebraica, topologia de redes, topologia dimensional y otros debido a la tesis que define el caracter de este texto.

Por su parte, de manera sucinta, con el nacimiento de las geometrias no-euclidianas, la topologia contemporanea se inicia con los trabajos de Buler, pero alcanza su pleno reconocimiento mucho tiempo despues, particularmente gracias a los trabajos de S. Smale. Es indudable, sin embargo, que la topologia constituye un capitulo fundamental, propio, al interior de la geometria.

El trabajo de la geometria tanto como de la topologia coincide en un punto, a saber: en el trabajo con transformaciones en el espacio; transformaciones geometricas, en un caso, y transformaciones topologicas, en el otro. Es fundamental atender a que, particularmente en el caso de la topologia, no debe haber rupturas en el espacio, esto es, en, durante o despues de las transformaciones operados en la topologia. Esta idea permite precisar un concepto general: la geometria es la ciencia del espacio, como la ciencia de las transformaciones en/del espacio, en las que no tienen lugar rupturas del espacio. Estrictamente, se trata de ciencia(s) de sistemas continuos.

Pues bien, en el mismo y en el mejor espiritu de la geometria, el estudio de los fractales tambien consiste en el estudio de transformaciones geometricas. Mas especificamente, las transformaciones que llevan a cabo los fractales son iteraciones. A continuacion me ocupare con mayor detalle de las mismas; su significado estriba en el hecho de que, en contraste con las operaciones de la geometria euclidiana y de la topologia, permite acceder, por via directa, al problema y su resolucion de las relaciones entre linealidad y no-linealidad. O bien, como cabe decirlo igualmente, en la transformacion de lo no- complejo a la complejidad.

Antes de continuar se impone un pequeno parentesis historico. Se trata de esbozar rapidamente los trazos mas importantes de los antecedentes y la anatomia de la geometria de fractales. Dicho esbozo es, sin embargo, de gran ayuda, para entender el significado real de las transformaciones fractales que, como lo digo, permiten la transformacion de la linealidad en no-linealidad, o bien, lo que es equivalente, de la no-complejidad en complejidad.

4.1. Breve historia del pensamiento fractal

La mejor fuente acerca de los antecedentes del pensamiento fractal ha sido elaborada por B. Mandelbrot, notablemente en los capitulos 40-42 de La geometria fractal de la naturaleza: "De los hombres e ideas". Pero este breve recuento historico se complementa con el "Epilogo" (capitulo 42) en el que resume su propia trayectoria, que habria de conducir a Mandelbrot hasta la redaccion y publicacion del libro en 1977, marcando una inflexion fundamental en la historia de la ciencia y, por consiguiente, en la historia de la humanidad occidental.

El principio filosofico fundamental de la geometria de fractales es el mismo que el de las transformaciones geometricas en general ya mencionadas, a saber: el principio de continuidad, que se expresa en la formula clasica: Natura nonfacit saltus. Desde este punto de vista, los fractales, en la vision del propio Mandelbrot, se situan en una historia que une a Aristoteles con Leibniz y a Euclides con Cantor.

En consecuencia, la geometria de fractales quiere exponer una idea contundente: existe un orden en la naturaleza que, sin embargo, no es numerable. En otras palabras, se trata de un orden con respecto al cual no cabe una demostracion en el sentido tradicional, axiomatico, deductivo, por tanto descendiente, de la palabra. Este orden se expresa adecuadamente en terminos de grupos y de cuerpos o relaciones conmutativos que, con la ayuda del computador, se manifiestan ulteriormente en terminos de simetrias dinamicas. Eso son los conjuntos de Mandelbrot. La ayuda del computador es determinante en un duplice sentido: de un lado, se trata de la puerta de entrada a las matematicas de sistemas discretos; y de otra parte, al mismo tiempo, del basamento mismo de las ciencias de la complejidad.

Desde el punto de vista filosofico (= filosofia de las matematicas), los numeros reales aparecen como numeros racionales e irracionales con lo cual se quiere atender a una idea clara: asistimos al nacimiento de una nueva dimension en la naturaleza que no habia sido considerada anteriormente en la historia de la humanidad. A mi modo de ver, la idea de continuidad es mas el resultado de una interpretacion que le debe mucho al pasado, antes que de un reconocimiento acerca de la terra incognita que se abre con la geometria de los fractales. (5)

Dos elementos importantes adicionales en los que se incuba la geometria de fractales son la distribucion de Gibbs y la invariancia de cambios de escala. La primera permite derivar todas las relaciones termodinamicas clasicas y cuanticas, algo que no tiene una repercusion inmediata en el estudio de los fractales, pero si para dirigir la mirada hacia los cambios de escala en el uso y estudio de la funciones; la segunda, por su parte, se ocupa de la ausencia de cambios en la escala de tamano o en la escala de energia. Pues bien, cuando se estudian los fenomenos fractales y en particular cuando se pone claramente sobre la mesa a plena luz del dia la nocion de dimension fractal, observamos justamente las estructuras fractales gracias a las cuales la escala de la parte se corresponde (!fractalmente!) con la escala del todo.

Lo que debe quedar en claro es que la distribucion de probabilidad que caracteriza a los fractales es hiperbolica. El estudio de los fractales esta lleno de leyes de potencia y, sin la menor duda, la presencia de leyes de potencia constituye un rasgo distintivo de la existencia o la presencia de un sistemas, un fenomeno o un comportamiento complejo.

No en vano, entre los antecedentes mas directos de los fractales esta el trabajo de Zipf, la ley de Zipf, que la comunidad de complejologos tan solo acogera ampliamente a partir de los trabajos de P. Bak [9].

En cualquier caso, como lo observa Mandelbrot a proposito del libro de 1977, se trata de escritos que "empiezan sin prologo y acaban sin conclusiones" [19]. "Hoy en dia, los casos en que tecnicas y conceptos nuevos entran en la ciencia a traves de ramas poco competitivas son raros, y por ende anomalos. La geometria fractal es un ejemplo mas de tal anomalia historica" [10].

4.2. Pensar en patrones

Pensar en sistemas, fenomenos y comportamientos complejos corresponde a identificar patrones (patterns) (aunque no unicamente). Y precisamente por ello, en este marco, equivale a pensar en terminos de conjuntos; asi, el marco es, genericamente, la geometria. Sin embargo, la busqueda de patrones no es exclusiva de los trabajos en torno a complejidad. Un antecedente notable es el trabajo de G. Bateson [11] en tomo a "la pauta que conecta" (the eonneting pattern); igualmente, Bateson es un autor que nada tiene que ver con complejidad. La ciencia clasica, en contraste, consistio esencialmente en la busqueda de leyes (laws) que marca un espiritu fisicalista en ciencia e investigacion.

En rigor, el desarrollo de y el trabajo con patrones constituye el merito de la logica y de la matematica de finales del siglo XIX y comienzos de siglo XX. Antes, la ciencia en general estaba marcada por la idea de leyes y legalidad, de objetos y a lo sumo de relaciones entre ellos. Sin duda, el paradigma es el de la mecanica clasica con Newton y su epitome.

Los nombres que inauguran la tradicion que pivota en torno a la busqueda e identificacion de patrones son, con seguridad, Cantor, Peano, Koch, Klein, Julia, todos nombres que se encuentran entre los antecedentes, directos o indirectos de la geometria de fractales. En consecuencia, una observacion puntal se impone: una cosa es una iteracion de Peano o Cantor, por ejemplo, y otra muy distinta la de Mandelbrot. Aquella es lineal, en tanto que su merito consiste en haber subrayado el papel de las iteraciones, cuyo resultado es la fractalidad misma. Digamoslo de forma directa: la fractalidad constituye otro de los rasgos distintivos de un sistema complejo.

La idea que emerge inmediatamente es la del trabajo con conjuntos como el trabajo mismo con iteraciones, gracias a las cuales, por lo demas, con Cantor logramos ganar la idea de infinito y, mas exactamente, de infinitos infinitos (6). Como se aprecia, con Cantor, la iteracion de una misma operacion, o de un mismo patron, permite al cabo encontrar el infinito (conjuntos infinitos). Por su parte, H. von Koch desarrolla hacia 1904 el famoso conjunto de Koch que corresponde a la geometria de un copo de nieve, el cual es posible igualmente sobre la base de un proceso iterativo. Sin embargo, como quiera que sea, el primero que lleva a cabo un trabajo de transformacion del espacio en terminos de identificacion de patrones fue Mobius en 1858 [12].

Entre los trabajos pioneros de conjuntos que habrian de conducir, ulteriormente, al desarrollo de los fractales y, de manera puntual a las transformaciones realizadas por y en fractales, es indispensable tener en cuenta los antecedentes de Dedekind, Zermelo y Godel.

El conjunto de Zermelo se expresa en los siguientes terminos: {{{***}}} O, lo que es equivalente, asi: {f(x) \ x e A}

Como es sabido, la diagonal, de la serie W y W muestra la distribucion creciente y por tanto la transformacion del conjunto en las variaciones 250, etc.

El conjunto de Godel, por su parte, se expresa en los siguientes terminos: {x | Phi(x)}

Ahora, si se considera un damero, esto es, un plano dividido en casillas se aprecia transformaciones consistentes en traslacion, rotacion, dilatacion e inversion. Es exactamente lo que acontece con una transformacion de Mobius.

En cualquier caso, lo que resulta claro a la luz de lo que precede es que el tema fundamental es el espacio, lejos de ser una entidad solida y rigida, implica, permite, admite transformaciones. Pues bien, la idea que quiero sostener es que las transformaciones del espacio que son, de base, el tema de la geometria, permiten de una manera gradual, si cabe, un desplazamiento de estructuras, formas y sistemas eminentemente lineales hacia dinamicas no-lineales. Este es el tema central de la siguiente seccion. Pero antes puntualicemos: las iteraciones de Zermelo, Peano, Dedekind y Cantor son iteraciones fractales lineales y sus resultados son igualmente lineales. Pero algo distinto sucede con Mandelbrot.

4.3. Patrones y discrecion

El motivo que gatilla en la historia de la geometria el trabajo con la elaboracion de patrones y que al cabo conducira al descubrimiento de la iteracion fractal, tiene que ver con la discusiones generadas en torno al quinto postulado de Euclides, en contraste con la aceptacion de los primeros cuatro postulados de los Elementos.

Especificamente, la dificultad se encuentra en el hecho de que Euclides plantea las definiciones y los axiomas de la geometria clasica como hechos consumados y sin continuidad entre una dimension y otra. Sencillamente, es imposible que una linea recta coincida con un plano, o que un plano sea congruente con un solido, por ejemplo. De manera taxativa: el punto carece de dimensiones, la linea recta es la dimension uno, el plano es la dimension dos, el solido es dimension tres. Cada dimension es una estructura logica y ontologica propia y suficiente.

Con seguridad, la primera transformacion radical de los espacios de Euclides es la que llevan a cabo los conjuntos de Peano, que permite ver como acontece la transformacion de la dimension uno, en terminos euclidianos, en dimension dos, hasta llenar o convertirse una linea recta en un plano:

Es el momento para formular lo que puede ser considerado como una sub-tesis, relativa al problema formulado al comienzo. En contraste con lo que precede, de acuerdo con la idea del mismo Mandelbrot, es que los fractales trabajan, abierta o tacitamente, sobre sistemas continuos, natura non facit saltus; quiero sostener que los sistemas, fenomenos y comportamientos complejos tienen en su base matematicas discretas. Mejor aun, los sistemas complejos son fenomenos discretos. Sus componentes mas destacados pueden ser claramente identificados: conjuntos parcialmente ordenados, conjuntos extremos, geometria discreta y combinatoria, teoria de probabilidades discreta, problemas combinatorios (complejidad combinatoria), teoria de juegos y teoria de la decision racional, topologia, algunas de las logicas no clasicas y las matematicas de los sistemas computacionales. La geometria de fractales, contra la interpretacion de su propio descubridor, no trata de sistemas continuos, sino de sistemas discretos (7).

De manera sintomatica, pensar en terminos de fenomenos, sistemas y dinamicas discretas equivale a pensar en terminos de armonia. El estudio de invariancia/simetria se revela como fuente profunda de una armonia comun a muchas estructuras. El descubrimiento de la geometria de fractales, por parte de Mandelbrot, ha arrojado nuevas y sugerentes luces en campos diversos como las matematicas, las finanzas, las ciencias en general, el arte y, de manera puntual, en antropologia y arqueologia [13].

En efecto, contra el encerramiento del mundo, en terminos de patrones y criterios occidentales a partir de los postulados de Euclides, el encuentro de los fractales (notablemente fractales escalantes, multi fractal es, etc.), puso de manifiesto, con toda claridad, la ubicuidad de la aspereza. En palabras de Mandelbrot: "In one field after another, fractal geometry became the first tool which made it possible to help shape a theory of roughness" [14]. Y mas adelante:
   Roughness is ubiquitous in Nature. In the works of Man, it may not
   be welcome, but is not always avoided, and may sometimes be
   unavoidable. Examples are found in some parts of mathematics, where
   they were at one time described as 'pathological' or 'monstruous'
   ... [14].


En otras palabras, la geometria de fractales pone de manifiesto que la aspereza en la naturaleza es, paradojicamente cuando se lo observa desde los ojos de la tradicion euclidiana, el resultado mismo de la armonia. Pues bien, como es sabido, la aspereza fractal coincide exactamente con, o se funda en, la dimension fractal.

5. Iteracion fractal como transformacion de la linealidad

La transformacion del espacio operada por los fractales es la iteracion. Iteraciones, en rigor. Radicalmente, las operaciones de traslacion, reflexion y rotacion no alteran absolutamente para nada la linealidad. Otro tanto puede y debe decirse las operaciones llevadas a cabo en y por la topologia: torcer, estirar y comprimir, no alteran significativamente la linealidad de un sistema o fenomeno determinados. Las transformaciones operadas en la geometria euclidiana tanto como en la topologia corresponden a un pensamiento y ontologia de sistemas continuos.

En contraste, las iteraciones fractales corresponden a una ontologia discreta y tanto exigen como ponen de manifiesto un modo de pensar especifico: pensar en sistemas discretos. Precisamente por ello emergen la aspereza y la armonia. La belleza del universo se naturaliza de manera evidente.

En la base misma de los fractales se encuentra la famosa ecuacion: f(z) = [z.sup.2] + c

Pues bien, la ecuacion productora de fractales consiste exactamente en una iteracion mediante la cual accedemos a una nocion novedosa en la historia de la geometria, a saber: la idea de equilibrios dinamicos o, lo que es equivalente, la nocion de simetrias dinamicas. Sin lugar a duda, el papel cultural, ademas de cientifico, del computador, desempena un rol protagonico, que permite marcar una distancia enorme con respecto a la existencia y desarrollo de patrones e iteraciones, notablemente, en el arte precolombino, desde los Aztecas hasta los Incas, pasando por los Mayas y los Muiscas, por ejemplo. H. Pagels [15] llamo en su momento la atencion acerca del papel del computador en el desarrollo de las ciencias de la complejidad y, por extension, en relacion con la forma de pensar que es la complejidad.

Mandelbrot permanecio casi toda su vida con la preocupacion acerca de: a) las deudas con el pasado y b) la novedad que representaban sus propios desarrollos. A los mencionados capitulos historicos de geometria fractal de la naturaleza es indispensable agregar un amplio volumen, compuesto en su mayoria por articulos publicados en prestigiosas revistas. En 2004 afirma sucintamente: "The most importarnt results, due to the autor, consist in extensions of the Fatou-Julia theory" [14].

Mandelbrot no hizo referencia en ningun lugar de su obra expresamente a las relaciones entre fractalidad y complejidad, pero si entre fractalidad y caos. Mi proposito aqui consiste en senalar de manera expresa, incluso contra Mandelbrot mismo, que la geometria de fractales es un modo propio de las ciencias de la complejidad y que las iteraciones fractales son operaciones mediante las cuales lo no-complejo puede ser transformado en complejidad creciente; al cabo, complejidad no-lineal, complejidad emergente, complejidad creciente, etc.

La ecuacion que expresa la transformacion no-lineal de un fenomeno lineal es, por tanto, la misma ecuacion que produce fractalidad, valida igualmente para sistemas multifractales. Una manera en ciencia, en general, de introducir una novedad consiste en extender un modelo determinado, pre-existente.
   ... Every reader of mystery novels recalls many cases in which the
   sequence of the visits of a suspect to a house looks complex, but
   the sequence of the supect's displacements about town obeys simple
   rules. Therefore, it is not totally surprising that when one is
   faced with phenomena restrcited to the line, a frequently effective
   way to simplify cnsists in interpreting them as the trace left upon
   the line by the corresponding phenomena residing in the plane.
   Using again the peculiar vocabulary of mathematicians, many
   mathematical theories can be simplified by being "complexified" by
   which a real number x is changed to a complex number z [14].


Sorprendentemente, Mandelbrot [14] desarrolla la ecuacion generadora de fractalidad (8) pero no llega a interpretarla como transformacion de la linealidad en no-linealidad, o de lo no-complejo en complejo. Huelga decir que un numero complejo no tiene la misma acepcion de un fenomeno de complejidad creciente en sentido estricto.

6. Metodologia

Como se aprecia, este articulo se situa en el centro del trabajo con las ciencias de la complejidad, es una investigacion eminentemente teorica y abarca uno de los mas dificiles problemas en complejidad, sobre el cual, paradojicamente, no existe practicamente ningun trabajo en el mundo, a saber: estudiar si, y si si, como, es posible la transformacion de un sistema no-complejo en uno complejo. Este articulo ha sostenido que es posible y como lo es. El enfasis aqui ha sido al mismo tiempo historico y heuristico.

Luego de un trabajo sobre el estado del arte y sobre las principales fuentes de trabajo en sistemas no-lineales, el articulo ha identificado en los fractales, a partir de los trabajos de B. Mandelbrot, la condicion mas idonea para estudiar y resolver problema identificado. Al fin y al cabo, uno de los ejes y acaso el mas importante, en el trabajo de los complejologos consiste en complejizar los fenomenos. Eso es, de manera central, lograr que ganen grados de libertad.

La iteracion fractal, una transformacion habitual en topologia, y acaso el fundamento mismo de las estructuras fractales, caracterizadas por autosimilitud, sostiene el articulo, es la forma mas expedita de transformacion de un fenomeno no-complejo a uno complejo. Por tanto, cabe decir en propiedad, a un fenomeno fractal. A fin de estudiar como acontece se ha tomado la ecuacion generadora de fractales.

Sobre la base de haber ilustrado en que consisten los patrones y los fenomenos de discrecion, se logra demostrar la muy fuerte relacion entre complejidad, no-linealidad y fractalidad. En sintesis, la metodologia, para el nucleo duro del problema considerado ha sido una combinacion de logica y matematicas, muy especificamente, de sistemas discretos.

7. Conclusiones

El descubrimiento de los patrones no es exclusivo de la geometria de fractales, sino, se inicia, como he querido mostrarlo, de manera puntual con Peano. Sin embargo, la geometria de fractales nos permite resolver el segundo de los dos problemas fundamentales de los sistemas complejos: la transformacion de la linealidad en no-linealidad o tambien de la no-complejidad en complejidad. La puerta es clara y la clave, no admite dudas: se trata de la iteracion fractal. Las iteraciones fractales son transformaciones mediante las cuales los sistemas/nosotros ganan/ganamos grados de libertad. La deuda inmediata es con la geometria de fractales, un fenomeno sobre el cual el propio Mandelbrot parece no haber caido en la cuenta (9)

8. Coda

El descubrimiento de la transformacion fractal de la linealidad en no-linealidad sufre una situacion analoga a lo que, en otro plano y contexto pusiera de manifiesto A. Axelrod con respecto a la solucion al Dilema del prisionero: la cooperacion puede ser alcanzada gracias a juegos iterativos. Esto es, sencillamente: debido a que debemos jugar un mismo juego a largo plazo, la mejor alternativa que hay/que queda es la cooperacion. Axelrod logra demostrar esta idea justamente gracias a simulaciones de juegos iterativos [16].

No en vano la teoria de juegos es uno de los elementos constitutivos de las matematicas de sistemas discretos. Pues bien, la transformacion de la linealidad en no-linealidad consiste en la transformacion de un universo continuo a una comprension discreta de la realidad. Las consecuencias de esta idea no son pocas y, sin embargo, permanecen apenas esbozadas en la historia de la ciencia en general y de las matematicas y la geometria en particular.

DOI: http://dx.doi.org/10.14483/udistrital.jour.reving.2016.3.a10

Agradecimientos

Quiero agradecer, de un lado a la editora invitada de la revista por la calidad de los evaluadores que obtuvo para mi articulo y, de otra parte, al mismo tiempo quiero agradecer a los evaluadores. En particular, uno de ellos me ayudo a comprender mayor mi propio problema y mi propia tesis. Segun ese concepto, una iteracion lineal siempre produce un resultado lineal. Tiene absolutamente toda la razon. Pero olvida que una iteracion fractal o bien admite, o bien implica no-linealidad. Es, particularmente, el caso con los fractales de Mandelbrot. Ciertamente que el caso de Peano o de Mobius no sean del caso. Pero como se desprende del marco de mi articulo, el enfasis se situa en la obra de Mandelbrot y sus deudas y distancias notablemente con G. Julia y P. Fatou.

Referencias

[1] S. Kauffman, Investigations. Oxford, Oxford University Press, 2000.

[2] C. E, Maldonado, Termodinamica y complejidad. Una introduccion para las ciencias sociales. Bogota, D.C. Desde Abajo [primera edicion 2005], Ed. Universidad Externado de Colombia, 2011.

[3] C. E. Maldonado, "Ciencias de la complejidad: Ciencias de los cambios subitos", Odeon. Observatorio de Economia y Operaciones Numericas, Universidad Externado de Colombia, 2005, pp. 85-125.

[4] D. Campos, "Caos y complejidad en el marco de cuatro revoluciones cientificas", Maldonado, C. E, (Ed.), Complejidad: revolucion cientifica y teoria, Bogota, D.C., Ed. Universidad del Rosario, 2009, pags, 21-33.

[5] A. C. Scott, The Nonlinear Universe. Chaos, Emergence, Life. Springer Verlag, 2007.

[6] E. Tiezzi, La belleza y la ciencia. Hacia una vision integradora de la naturaleza. Barcelona, Icaria, 2006,

[7] D. Zahavi, "Beyond Empathy: Phenomenological Approaches to Intersubjectivity". Journal of Consciousness Studies, 8, 2001, pp. 151-167.

[8] L. Mlodinow, Euclid's Window. The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace. New York, The Free Press, 2001.

[9] P. Bak How Nature Works. The New Science of Self-organized Criticality. Copernicus, 1996

[10] B. Mandelbrot, La geometria fractal de la naturaleza. Barcelona, Tusquets, 1997.

[11] G. Bateson, Espiritu y naturaleza. Buenos Aires: Amorrortu, 2004.

[12] C. A. Pickover, La banda de Mobius. Todo sobre la maravillosa banda del Dr. Mobius: matematicas, juegos, literatura, arte, tecnologia y cosmologia. Almuzara, 2009.

[13] F. Lopez Aguilar y F. Brambila Paz, (Eds.). Antropologia fractal. Mexico, Sociedad Matematica Mexicana, 2007.

[14] B. Mandelbrot, Fractals and Chaos. The Mandelbrot Set and Beyond. Springer Verlag (with a Foreword by P. W. Jones and texts co-authored by C. J. G. Evertz and M. C. Gutzwiller), 2004.

[15] H. Pagels,Los suenos de la razon. El ordenador y los nuevos horizontes de las ciencias de la complejidad. Bacelona, Gedisa, 1991.

[16] R. Axelrod, The Complexity of Cooperation. Agent-Based Models of Competition and Collaboration. Princeton, NJ, Princeton University Press, 1997.

[17] T. Todorov, La conquete de l' Amerique. La question de l' autre, Paris, Seuil, 1982.

[18] B. Greene, El universo elegante: Supercuerdas, dimensiones ocultasy la busqueda de una teoria final, Barcelona, Critica, 2001

[19] Mandelbrot, B., (1997), La geometria fractal de la naturaleza. Barcelona: Tusquets, pag, 586.

Carlos Eduardo Maldonado (1)

(1) Profesor Titular, Facultad de Ciencia Politica y Gobierno, Universidad del Rosario.

Correo electronico: carlos.maldonado@urosario.edu.co

Recibido: 23-11-2015. Modificado: 13-04-2016. Aceptado: 25-07-2016

Carlos Eduardo Maldonado.

Ph.D. en Filosofia por la KULeuven (Belgica), post-doctorado como Visiting Scholar en la Universidad de Pittsburgh (EE.UU); postdoctorado como Visiting Research Professor en la Catholic University of America (Washing- ton, D.C.), Academic Visitor, Facultad de Filosofia, Universidad de Cambridge (Inglaterra); profesor titular, Facultad de Ciencia Politica y Gobierno, Universidad del Rosario; ha sido reconocido con la "Distincion al Merito", por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Peru, por sus contribuciones a la filosofia y a la complejidad (2008); premio Portafolio, Mencion de Honor Categoria Mejor Docente (2008); "Profesor Distinguido", titulo conferido por la Universidad del Rosario (2009); Investigador Senior (Colciencias); Senior Member-IEEE. Doctor Honoris causa, Universidad de Timisoara (Rumania), 2015.

(1) Este articulo forma parte del proyecto de investigacion "Complejidad y ciencias sociales", financiado por el CEPI de la Facultad de Ciencia Politica y Gobierno de la Universidad del Rosario.

(2) La termodinamica del no-equilibrio es cronologica o historicamente hablando la primera de las ciencias de la complejidad, algo que, a su manera, pone en claro L, Margulis (What is Life?). Las ciencias de la complejidad se componen, a mi modo de ver, de la termodinamica del no-equilibrio, el caos, los fractales, la teoria de catastrofes, la vida artificial, las redes complejas y las logicas no-clasicas [3].

(3) De manera puntual, hablamos de fenomeno complejo, fenomeno irreversible, fenomenos de intercambio, fenomenos de regulacion, fenomenos de relajacion, por ejemplo. Digamos, por lo demas, que en el libro con Nicholis, Prigogine prefiere hablar de fenomenos, sistemas y dinamicas complejos en lugar de hacer referencia, genericamente, de "ciencias de la complejidad", una expresion que se acuna en el Instituto Santa Fe, en Nuevo Mexico. Parte de la explicacion por esta eleccion por parte de Prigogine esta una disputa que tuvo con M. Gell-Mann, pero sobre la cual no cabe aqui hablar.

(4) Dejo aqui de lado cualquier consideracion acerca de discusiones mas tecnicas al interior de la escuelas fenomenologicas, tales como referencias a la fenomenologia husserliana o de corte heideggeriano, a la fenomenologia francesa del tipo de M. Merleau-Ponty o de E. Levinas, o acaso tambien a aproximaciones anglosajonas como las de R. Sokolowski y D. Ihde, B. Benson, entre otros.

(5) En verdad, como lo mostrare a continuacion, la geometria de fractales permite abrir la puerta y cruzar el umbral que conduce hacia los sistemas discretos y con ellos a las matematicas discretas. Quizas el temor al rechazo por parte de la comunidad cientifica acerca de sus ideas--algo de lo que habra de lamentarse incluso veinte anos despues Mandelbrot--, lo obliga a mirar en la direccion de la continuidad. Aunque, de otra parte, es evidente que cuando Mandelbrot publica en 1977 el texto fundamental sobre los fractales, las matematicas discretas aun no habian alcanzado un derecho al voto propio o licencia de conduccion, por asi decirlo.

(6) El infinito es descubierto o inventado tres veces en la historia de la humanidad y siempre por parte de las matematicas. La primera vez fue gracias a G. Bruno, en particular en su obra El universo infinito y los mundos, en el siglo XVI. El trabajo de Bruno se plasmo en la astrofisica y la cosmologia. El Cardenal Bellarmino (!esuita) juzgo y condeno a la hoguera a Bruno por considerar conceptos contrarios a la Iglesia catolica. En efecto, el concepto mismo de "infinito" no aparece en el Libro de los Libros. La segunda vez tuvo lugar gracias a G. Cantor, quien no solamente descubre o inventa el infinito sino, mejor aun, infinitos infinitos. La tercera vez tiene lugar gracias a la geometria de politopos desarrollada por D. Coxeter, entre los anos 1930 y 1970.

(7) Una observacion larga se impone aqui en el espiritu de la filosofia de la ciencia. En fractales, sostengo, sucede algo analogo a lo que vemos con la teoria de la evolucion, Darwin interpreta su teoria en terminos gradualistas, y Darwin mismo es gradualista a pesar suyo y a pesar de su propia teoria. M. Ruse ha llamado fuertemente la atencion en distintos libros sobre este hecho (por ejemplo, The evolution wars: a guide to the debates (2003), Darwin and Design: Does evolution have a purpose? (2003), The Evolution-Creation Struggle (2005), Darwinism and its Discontents (2006)). Mas radicalmente, S. J. Gould ha puesto suficientemente de manifiesto que la teoria de la evolucion es catastrofista y que Darwin termina siendo gradualista por motivos extra-cientificos, a saber: por el peso de la Inglaterra Victoriana.

(8) Una observacion puntual pero importante se impone: no por ser caotologo se es complejologo, asi como no por ser paraconsistentista se es complejologo, por ejemplo. Pues bien, exactamente en este mismo sentido, no por trabajar fractales se trabaja necesariamente en complejidad. Pero, por el contrario, cuando se trabaja en complejidad si se atraviesa o se puede atravesar por caos, fractales, termodinamica del no-equilibrio y demas ciencias de la complejidad. En otras palabras, sencillamente, y a titulo general: existen descubrimientos en la historia de la ciencia de los cuales sus propios autores no han sido conscientes. Los ejemplos abundan desde la fisica hasta las matematicas, desde la biologia hasta la sociologia, por ejemplo.

(9) A titulo especulativo, creo que la razon por la cual Mandelbrot no se percata de la transformacion fractal de la linealidad en no-linealidad tiene que ver con su asuncion de que los fractales, y por derivacion la complejidad, trata de sistemas continuos, cuando, en realidad, ponen de manifiesto que vivimos en un universo esencialmente probabilistico, no-ergodico y discreto. En otro trabajo aparte en curso me ocupo de este ultimo problema, es decir: del caracter discreto del mundo, en union con la no-ergodicidad y la contingencia.
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Title Annotation:Articulo de reflexion
Author:Maldonado, Carlos Eduardo
Publication:Ingenieria
Date:Sep 1, 2016
Words:8482
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