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The strategies used by children Tee Savi in solving arithmetic problems/Las estrategias utilizadas por los ninos Tee Savi en la resolucion de problemas aritmeticos.

1. INTRODUCCION

Mexico es un pais con gran diversidad cultural y linguistica. De hecho, se reconoce la existencia de 62 grupos etnicos (Lopez y Tinajero, 2011); cada uno con costumbres y lengua propia, asi como las respectivas variantes de esta. Segun Navarrete (2008), en 2005 existian aproximadamente 9 854 301 hablantes de alguna lengua etnica (ver Tabla I).

Por su parte Mindek (2003) senala que por el numero de hablantes de lenguas etnicas, los cuatro grupos mas numerosos son los nahuas, mayas, zapotecos y mixtecos (Tee Savi). Estos ultimos autodenominan a su territorio como Nuu Savi, cuya traduccion al espanol es "comunidad o pueblo de la lluvia"; como lengua materna emplean el Tu 'un Savi (mixteco) que significa "palabra de la lluvia". En las comunidades mixtecas normalmente se tiene un dominio bajo del espanol, pues este es aprendido solo por aquellas personas que interactuan con la cultura dominante--cuya lengua materna es el espanol-. Esto sucede con frecuencia al realizar actividades de compra-venta, al conseguir un empleo, o bien, en la gestion para beneficio de la comunidad. Es asi como algunos pobladores de las comunidades mixtecas, aprenden la segunda lengua (el espanol) por necesidad; mientras que los ninos, en algunos casos lo aprenden en la informalidad y otros, de sus respectivos profesores de educacion basica (primaria).

La poblacion Nuu Savi se concentra en los estados de Puebla, Oaxaca y Guerrero (Mindek, 2003). En el estado de Guerrero, el grupo de los Tee Savi (mixtecos) ocupa el tercer lugar en numero de hablantes; sin embargo, el Tu'un Savi de este lugar, tiene multiples variantes en cuanto a sus diferentes tonos, segun la zona donde se hable. En ocasiones, no solo el tono cambia, sino tambien el sonido y el significado de las palabras.

Esta diversidad cultural y linguistica de Mexico ha permitido que sea reconocido como pluricultural por las autoridades educativas y gubernamentales (Lopez y Tinajero, 2011), es decir, asumen la diversidad cultural como un derecho y un recurso que enriquece a toda sociedad, y posibilita una educacion para la interculturalidad (Hamel, 2001). Esto significa, ademas de reconocer dicha pluralidad, incorporar plenamente a las poblaciones autoctonas en la toma de decisiones nacionales. Si bien el curriculum oficial (SEP, 2011a; 2011b; 2011c; 2011d) sugiere a los alumnos asumir y practicar la interculturalidad como riqueza y forma de convivencia en la diversidad social, cultural y linguistica, la realidad dista de la retorica oficial.

Al respecto, cabe mencionar que la situacion que guarda el proceso educativo dirigido a las poblaciones originarias (o etnicas) es totalmente distinta. En ese sentido, en las poblaciones con estudiantes hablantes de alguna lengua originaria permea una practica castellanizadora. Las practicas escolares fungen como medio para ello. Asimismo, a estos alumnos se les ensena a traves de situaciones que culturalmente le son ajenas. En ese contexto, se inscribe el proceso de ensenanza y aprendizaje de las comunidades Nuu Savi, donde los profesores, en algunos casos imparten sus clases totalmente en espanol, bajo el argumento de que es la lengua oficial en Mexico, profesando asi una practica integracionista de estas poblaciones a la cultura dominante de nuestro pais. En dichas escuelas, pocas veces se considera a la lengua materna como objeto y medio comunicativo en la ensenanza y aprendizaje. En cambio, los procesos educativos giran en torno al curriculo de las primarias hispanas monolingues del pais, donde el libro de texto oficial manejado por la SEP (Secretaria de Educacion Publica) es el principal recurso didactico (Hamel, 2001, citado por Lopez y Tinajero, 2011, p. 6). Sin embargo, estos materiales plantean problemas que evocan conceptos no familiares para los ninos Tee Savi en particular, y de los hablantes de una lengua originaria en general.

Asimismo, "los indicadores educativos muestran las pocas oportunidades de aprendizaje que tienen los ninos indigenas y el rezago que exhibe el funcionamiento del sistema indigena" (Lopez y Tinajero, 2011, p. 6). Por ejemplo, ENLACE (1) (2010) da cuenta de que entre los ninos con el mas bajo rendimiento en Matematicas a nivel primaria, se encuentran aquellos hablantes de una lengua etnica. Sin embargo, se reconoce que esta evaluacion, se centra solo en que responde el alumno, informacion sin duda valiosa pero no suficiente, ya que se deja de lado el como procede y el porque lo hace de esa manera, principalmente en la resolucion de problemas.

Bajo las consideraciones anteriores, resulta importante identificar que estrategias utiliza el alumno Tee Savi de primaria cuando resuelve problemas que evocan conceptos no familiares (problemas aritmeticos formales) para el, presentes en los libros de texto; pero atendiendo tambien aquellos que si evocan conceptos familiares a su vida cotidiana (problemas aritmeticos practicos) o para su cultura. Este interes genuino es relevante, puesto que estudiantes de otras culturas, muestran un rendimiento diferente cuando resuelven problemas dados en contextos distintos (Carraher, Carraher y Schliemann, 2007; Blanco y Blanco, 2009). En ese proceso de identificar las acciones que desarrolla el alumno al resolver problemas, emergen las estrategias que estos utilizan. Un estudio que aisle estas estrategias permitiria identificar algunos procedimientos poco usuales o no ensenables en el aula de clases. Es necesario mencionar que existen diversas investigaciones (Arteaga y Guzman, 2005; Blanco y Blanco, 2009; Carpenter, Fennema, Franke, Levi & Empson, 1999; Cervera, 1998; Che, Wiegert & Threlkeld, 2012; Dorantes, 2005; Fonte, 2003; Massone y Gonzalez, 2003; Monaco y Aguirre, 1996; Morales, 2010; Rizo y Campistrous, 1999; Silva, Rodriguez y Santillan, 2009) que reportan las estrategias que alumnos de distintos niveles educativos utilizan al resolver problemas; sin embargo, en relacion con las poblaciones etnicas de Mexico existen nulos trabajos en nuestra disciplina.

En este contexto, se inscribe la investigacion aqui descrita, misma que responde a la pregunta: ?cuales son las estrategias que utilizan los ninos Tee Savi (mixtecos) de primaria en la resolucion de problemas aritmeticos? En consecuencia, el objetivo de este articulo es mostrar las estrategias identificadas en la actividad de resolucion de problemas--clasificados en aritmeticos formales y practicos--de los ninos Tee Savi, como un primer acercamiento al quehacer matematico de estos en el contexto escolar y un esfuerzo por dirigir la mirada de la Matematica Educativa a una poblacion autoctona con este interes. Resta mencionar, que la investigacion se vio en gran medida consolidada gracias a que uno de los autores del presente estudio pertenece a esta cultura, lo cual dio fluidez a la interpretacion y comunicacion con la comunidad estudiada.

2. Marco conceptual

2.1. Sobre la definicion de estrategia

El termino estrategia en el campo educativo fue acunado alrededor de los anos 70's, creyendose que podria contribuir a solventar el problema de aprender a aprender (Diaz-Barriga y Hernandez, 2010). Desde entonces, juega un rol importante en el contexto escolar: como en la ensenanza y aprendizaje, en la evaluacion y en la resolucion de problemas.

Autores como Ocampo (2000), Diaz-Barriga y Hernandez (2010), Monereo, Castello, Clariana, Palma y Perez (2009) distinguen la existencia de estrategias de aprendizaje y de ensenanza. En terminos mas o menos coincidentes, se plantea que una estrategia de aprendizaje:

Es un procedimiento (conjunto de pasos o habilidades) y al mismo tiempo un instrumento psicologico que un alumno adquiere y emplea intencionalmente como recurso flexible, para aprender significativamente y para solucionar problemas y demandas academicas [...]. Su empleo implica una continua actividad de toma de decisiones, un control metacognitivo y esta sujeto al influjo de factores motivacionales, afectivos y de contexto educativo-social (Diaz-Barriga y Hernandez, 2010, p. 180).

De esta cita, se destaca que las estrategias son ejecutadas voluntaria e intencionalmente por un aprendiz cualquiera que este sea, siempre que se le demande aprender, recordar o resolver problemas. Ademas, estas surgen cuando existe una "demanda"; es decir, un requerimiento o instruccion al estudiante. Sin embargo, para el estudio realizado, el alcance de la concepcion anterior es muy general, ya que no se busco que el escolar construyera cierto concepto, sino caracterizar el proceso que sigue para resolver un problema aritmetico. En ese mismo sentido, el concepto de estrategia de ensenanza que tiene ver con las acciones intencionales que desarrolla el profesor para lograr que los estudiantes construyan cierto concepto matematico en situacion escolar, tambien dista de lo que se busca en este escrito.

Por otra parte, la revision de las posturas (Cervera, 1998; Diaz-Barriga y Hernandez, 2010; Fonte, 2003; Monereo et al., 2009; Ocampo, 2000; Rizo y Campistrous, 1999) sobre la nocion de estrategia indica que los autores tienen puntos de coincidencia. Las caracteristicas (comunes) que le atribuyen a la estrategia son las siguientes:

--es ejecutada voluntaria, consciente e intencionalmente;

--implica una toma de decisiones, un control metacognitivo, y se asocia a factores motivacionales, afectivos y de contexto educativo-social;

--requiere el uso de determinados conocimientos;

--se busca asegurar el logro de ciertos resultados y no otros;

--puede ser reflexiva o irreflexiva;

--son acciones o decisiones realizadas en determinado orden.

Retomando dichas concepciones, asi como el contexto escolar al que se enfoco el estudio realizado, la poblacion de estudio (ninos Tee Savi) y la actividad de la resolucion de problemas, se asume en este escrito que una estrategia es un conjunto de acciones intencionales, desarrolladas por una persona para resolver cierto problema, permeadas por los conocimientos disponibles, de su experiencia, de lo afectivo y del contexto social en el que se desenvuelve.

La persona podra llegar o no a la solucion del problema segun el analisis que realice del mismo. En ese sentido, la estrategia podra ser reflexiva o irreflexiva. Sera irreflexiva, si la persona responde a un proceder practicamente automatizado, sin que pase por un proceso previo de analisis u orientacion en el problema; es decir, la via de solucion se asocia a factores puramente externos. En caso contrario, sera una estrategia reflexiva (Rizo y Campistrous, 1999).

2.2. Sobre la definicion de problema

En la literatura referente al concepto de problema (Cabanas, 2000; Echenique, 2006; Ortiz, 2001; Rizo y Campistrous, 1999; Santos, 2010), se observan distintas precisiones, algunas de ellas muy relacionadas. Sin embargo, para nuestros fines fue necesario caracterizar el concepto de problema considerando rasgos esenciales de las definiciones que reporta la literatura mencionada, pero asumiendo una acepcion flexible y realista respecto de las condiciones predominantes en el aula, que incorpora de alguna manera las particularidades del contexto mixteco. En ese sentido, un problema es una tarea o situacion que reune los siguientes componentes:

--existe una demanda o accion a realizar, para la cual existe una persona o grupo de personas que quieren o necesitan cumplimentarla. La demanda sera adecuada al nivel de formacion de la(s) persona(s);

--hay un proceso que hay que poner en juego para cumplir la demanda, pero que en primera instancia parece desconocido, es decir, se necesita realizar cierto proceso de analisis para comprender lo que se le pregunta y la situacion en general;

--la situacion puede tener varios, uno o ningun resultado final, lo cual debera determinar la persona haciendo uso de alguna estrategia.

Por otra parte, en el escrito se habla de resolucion de problemas en detrimento de solucion de problemas. El primero alude a todo el procedimiento que lleva a cabo el estudiante para encontrar la respuesta a la situacion que se le plantea; mientras que el segundo se refiere solo al resultado final, donde poco importa el como se procede para llegar a este. En otras palabras, en la resolucion de problemas importa ademas de que responde el alumno, como lo hace y por que procede asi, mientras que en la solucion de problemas solo interesa que responde.

2.3. Sobre los problemas aritmeticos: formales y practicos

Se entiende por problemas aritmeticos (PA), en el sentido de Echenique (2006), aquellos problemas en los cuales en su enunciado presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinacion de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realizacion de operaciones basicas (suma, resta, multiplicacion o division) para su resolucion. En el presente estudio, se distingue a estos problemas en formales (PAF) y practicos (PAP).

Al respecto, se asume que un problema aritmetico es:

--Formal: si plantea una situacion cuyo contexto no es familiar para el alumno, es decir, en su enunciado evoca conceptos que resultan ajenos a lo conocido por el nino, dado que no es parte de su cotidianidad ni de su cultura, pero que si estan presentes en los libros de texto.

--Practico: si es una situacion cuyo contexto es familiar para el alumno, es decir, evoca solo conceptos conocidos por el. La cuestion planteada en el problema esta relacionada con su cultura.

Sin embargo, ademas de clasificar los problemas aritmeticos en formales y practicos, se consideran problemas de dos tipos, dentro de los problemas que solo involucran numeros naturales:

--de primer nivel (PN) o de un solo paso: aquellos que requieren de la aplicacion de una sola operacion basica para su resolucion;

--de segundo nivel (SN) o combinados: aquellos que en su resolucion requieren del uso de dos o mas operaciones basicas (Echenique, 2006).

Los instrumentos elaborados para la recoleccion de datos estaban compuestos de problemas aritmeticos. Para la seleccion de estos ultimos se considero la caracterizacion, por un lado, de los problemas PN o SN y, por el otro, la sub-clasificacion de los niveles anteriores (ver Tabla II) que realiza Echenique (2006).

Al respecto, se precisa la tipologia de problemas aritmeticos de PN y SN que se consideraron para lograr el objetivo que se trazo para el presente trabajo:

TABLA II

Subclasificacion de los problemas aritmeticos

Nivel   Subclasificacion       Caracterizacion

PN      Problemas de cambio    Los enunciados incluyen una
                               secuencia temporal, muchas veces
                               manifestada a traves de los tiempos
                               verbales utilizados. Parten de una
                               cantidad inicial (Ci), que se ve
                               modificada en el tiempo, para dar
                               lugar a otra cantidad final (Cf).
                               De las tres cantidades que deben
                               aparecer en el problema (Ci y Cf),
                               dos seran datos y la otra incognita.

        Problemas              Describen una relacion entre
        de combinacion         conjuntos (P1) y (P2) que unidos
                               forman el todo (T). La pregunta
                               del problema hace referencia a la
                               determinacion de una de las partes
                               (P1) o (P2) o del todo (T).

        Problemas              Una cantidad debe repartirse entre
        de reparto             un cierto numero de grupos, de
        equitativo o de        modo que cada uno reciba la misma
        grupos iguales         cantidad de elementos. Se aporta
                               como informacion: la cantidad
                               a repartir, el numero de grupos
                               a formar o los elementos por cada
                               grupo; dos de estos seran datos
                               y el tercero la incognita.

        Problemas de           Plantean la busqueda de todas las
        producto cartesiano    formas posibles (T) de combinar
                               los objetos de un tipo (C1) con
                               los objetos de otro tipo (C2).

SN      Problemas              Todos los calculos a realizar para
        combinados puros       resolver el problema pertenecen al
                               mismo campo operativo-conceptual,
                               es decir, solo sumas y/o restas,
                               o bien, multiplicaciones
                               y/o divisiones.

        Problemas              En su resolucion intervienen
        combinados mixtos      distintas operaciones
                               pertenecientes a campos
                               operativo-conceptuales diferentes.


3. METODO DE INVESTIGACION

La investigacion es de tipo cualitativa y utiliza el metodo de estudio de caso para su analisis. De acuerdo con Vasilachis (2006), los estudios cualitativos se interesan por la vida de las personas, en sus perspectivas subjetivas, en sus experiencias, interacciones, acciones, interpretando a todos ellos en el contexto particular en el que tienen lugar. El presente estudio se puede considerar tambien descriptivo (Hernandez, Fernandez y Baptista, 2010) porque se busca desarrollar una representacion (descripcion) del fenomeno estudiado a partir de sus caracteristicas, que para la investigacion realizada, reside en estudiar las estrategias que emergen cuando los ninos Tee Savi de primaria resuelven problemas aritmeticos (PA).

Asimismo, el estudio de caso es empleado para estudiar un individuo o una institucion en un entorno o situacion unica y de una forma lo mas intensa y detallada posible (Castillo, 2007). Ofrece ventajas considerables como la caracteristica de enfocarse hacia un solo individuo o cosa, lo cual permite un examen y escrutinio proximo y la recopilacion de una gran cantidad de datos detallados; fomenta el uso de diversas tecnicas para obtener la informacion necesaria; y permite obtener una imagen robusta de lo que esta ocurriendo. En ese contexto, se adopto como metodo de investigacion al estudio de casos. Sin embargo, es un estudio es de casos multiples (Morales, 2010), puesto que participan 70 ninos.

3.1. Los participantes

Los casos de estudios fueron 70 ninos de 4, 5 y 6 grado de primaria, distribuidos 13 en la escuela "10 de Octubre del 83" y 57 en la "Dr. Alfonso Cazo", ubicadas en dos comunidades Nuu Savi del municipio de Ayutla de los Libres, Guerrero, Mexico. Esto por razones de disposicion y porque en estas escuelas solo acuden ninos que hablan el Tu 'un Savi.

La seleccion de los grados proviene de una revision de los libros de texto de primaria de cuarto (Castillo et al., 2011), quinto (Hernandez, Garcia, Leon, et al., 2011) y sexto (Hernandez, Garcia, Perrusquia, et al., 2011) grado, en la cual se encontro que los PA de primer y segundo nivel que requieren del uso de las cuatro operaciones basicas (suma, resta, multiplicacion, division) para su resolucion son abordados en los grados 4, 5 y 6.

3.2. La colecta de datos

Para la recoleccion de datos se hizo uso de cuestionarios escritos en espanol que corresponden con la instruccion formal declarada por el sistema educativo mexicano, y de entrevistas grupales video-grabadas, en la lengua materna del nino. Los primeros permiten obtener informacion precisa en torno a un topico especifico, construido con preguntas de respuestas abiertas para que las respuestas de los alumnos sean amplias y libres (Quintana, 2006). Con ellos es posible observar que y como responde el nino, es decir, se recogen evidencias escritas de las estrategias que utilizaron los ninos Tee Savi. Mientras que con las entrevistas se identifica por que el nino responde como lo hace. Por ello, ambos instrumentos son esenciales para el estudio.

En cuanto a los problemas planteados en los cuestionarios, los aritmeticos formales se retomaron de los libros de texto proporcionados por la SEP, principalmente de los grados cuarto (Castillo et al., 2011), quinto (Hernandez, Garcia, Leon, et al., 2011) y sexto (Hernandez Garcia, Perrusquia, et al., 2011); mientras que los problemas practicos fueron planteados por los autores de la investigacion. Para estos ultimos, se aplico previamente un cuestionario a algunos docentes que laboran en comunidades Nuu Savi para conocer el tipo de actividades en las que participan los ninos Tee Savi de la region donde se realizo el estudio.

Una vez seleccionados los problemas formales y planteados los practicos, se disenaron dos cuestionarios, cada uno con 5 problemas (4 de primer nivel y 1 de segundo nivel). Estos se aplicaron a algunos ninos de cuarto, quinto y sexto grado de la escuela "10 de Octubre del 83", como una prueba piloto (o validacion de los cuestionarios). Para ello, los criterios que se tomaron en cuenta en esta etapa llamada prueba piloto o validacion fueron:

--identificar si el lenguaje manejado en el cuestionario era entendible para los participantes en el estudio (se observo que la mayoria de ellos requerian que se les tradujera el problema a su lengua materna);

--indagar si los datos numericos permitian un buen trabajo operatorio por parte de los ninos y las posibles dificultades que pudieran ocasionar las situaciones planteadas, para su posible replanteo antes de su aplicacion final.

Esta validacion de los cuestionarios fue una etapa necesaria para reestructurar los primeros cuestionarios y asi tener una version final de los mismos. Estos ultimos fueron los que se aplicaron a los 70 ninos y que ayudaron a lograr el objetivo que se persigue en este escrito.

Los problemas presentes en los cuestionarios finales, tambien eran solo de primer y segundo nivel, y eran del tipo descritos en la Tabla II. A manera de ejemplo, se menciona enseguida un problema de cada tipo (formal y practico) que formaron parte del cuestionario final:

--En una neveria se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limon y chocolate. Encuentra todas las formas diferentes de servir un helado de dos sabores (problema aritmetico formal de PN, tipo: producto cartesiano).

--Don Juan tiene 122 chivos. Don Pedro tiene 43. ?Cuantos chivos mas debe tener don Pedro para tener los mismos que don Juan? (problema aritmetico practico de PN, tipo: problema de cambio).

3.3. La aplicacion de los cuestionarios

La aplicacion de los cuestionarios en las dos escuelas (Tabla III y IV) se hizo en dos dias habiles, de la siguiente forma:

TABLA III

Forma de aplicacion del cuestionario en
la escuela "10 de Octubre del 83"

Grado    Dia 1   Dia 2   Modo de aplicacion   Participantes

Cuarto    PAP     PAF      Vefbal-Escrito           4

Quinto    PAF     PAP         Escrito               4

Sexto     PAF     PAP         Escrito               5


La Tabla III ilustra que en cuarto grado, 4 ninos, en el primer dia los problemas que se trabajaron eran del tipo practicos y se aplicaron de forma oral; mientras que en el segundo dia eran del tipo formal escritos. Respecto a los ninos de quinto y sexto, ambos grupos en el primer dia resolvieron problemas de tipo formal escrito y en el segundo de tipo practico escrito, con la salvedad de que en el grupo de quinto eran 4 ninos y en el de sexto eran 5.

La forma de aplicacion para la segunda escuela se esboza en la Tabla IV.

La Tabla IV indica que en cuarto grado fueron 15 los participantes. Tanto en el primer como en el segundo dia resolvieron cuestionarios que incluyeron tanto problemas formales como practicos a traves de una aplicacion escrita.

Es necesario resaltar que pese a que los cuestionarios estaban escritos en espanol, en el momento de aplicarlos se tradujo cada problema al Tu'un Savi (mixteco), ya que en su mayoria, los alumnos pedian esto para asi interpretar cada situacion y ejecutar alguna estrategia de resolucion. Esta cuestion es importante mencionarla, ya que en las comunidades de los alumnos participantes, el Tu'un Savi solo vive en la oralidad y no ha sido desarrollado en la escritura. Por otra parte, despues de aplicar los cuestionarios a los ninos, se hizo la entrevista grupal, con el fin de que estos expresaran el porque de sus acciones en la resolucion de los problemas. Esta se realizo solo en la primera escuela y fue grupal, porque de esta manera los alumnos expresaban con mayor libertad sus ideas.

4. RESULTADOS DEL ESTUDIO

Una vez analizadas las evidencias escritas recabadas en los cuestionarios, se identificaron distintas estrategias utilizadas por los alumnos en la resolucion de problemas aritmeticos: formales y practicos. En esta actividad, se constato que dichas estrategias estuvieron supeditadas por los conocimientos que disponian los estudiantes, asi como de su experiencia en la resolucion de problemas, entre otros factores. El analisis se hizo pregunta por pregunta por cada caso estudiado, es decir, se revisaron las producciones escritas de los 70 alumnos. Finalmente, se caracterizaron las estrategias identificadas, se clasificaron en reflexivas e irreflexivas, asi como por su respectivo nombre.

4.1. Estrategias reflexivas

En el caso de las estrategias reflexivas, se identificaron nueve (Tabla V):

TABLA V

Estrategias reflexivas identificadas
en las producciones escritas

Estrategia identificada     Tipo de problema
                            donde se observa

Selecciona la operacion     Formal y practico
cuyo significado es
apropiado al texto
del problema

Selecciona la operacion     Formal y practico
a efectuar a partir
de una palabra clave ad
hoc

Enlista los casos                Formal
posibles de solucion

Conteo a partir de un            Formal
modelo (3) que construye
el alumno

Realiza un calculo          Formal y practico
mental

Resuelve de manera          Formal y practico
parcial el problema

Se apoya en el diseno            Formal
de dibujos

Recurre a hechos                 Formal
numericos

Resuelve el problema            Practico
mediante un tanteo
inteligente

Estrategia identificada            Grados donde emerge

Selecciona la operacion                4, 5 y 6
cuyo significado es
apropiado al texto
del problema

Selecciona la operacion                4, 5 y 6
a efectuar a partir
de una palabra clave ad
hoc

Enlista los casos                        5 y 6
posibles de solucion

Conteo a partir de un                    4 y 5
modelo (3) que construye
el alumno

Realiza un calculo                       4 y 5
mental

Resuelve de manera                     4, 5 y 6
parcial el problema

Se apoya en el diseno                     4
de dibujos

Recurre a hechos                         4 y 6
numericos

Resuelve el problema                      6
mediante un tanteo
inteligente


Enseguida se describe cada una de las estrategias mostradas anteriormente.

1. Selecciona la operacion cuyo significado es apropiado al texto del problema:

La estrategia consiste en que una vez que el estudiante analiza la situacion reflejada en el problema, es capaz de identificar que operacion requiere para resolverla. De esta manera, la seleccion de la operacion basica esta supeditada por el analisis realizado al texto del problema. Por los conocimientos de que dispone el nino y su experiencia en la resolucion de problemas, se pueden presentar dos casos al utilizar esta estrategia: a) el alumno identifica la operacion basica requerida por el texto, con lo cual es capaz de resolver satisfactoriamente el problema; o b) selecciona la operacion que resuelve el problema, pero probablemente por los conocimientos de los que dispone, presenta dificultades en el proceso de resolucion.

2. Selecciona la operacion a efectuar a partir de una palabra clave ad hoc:

Consiste en que la seleccion de la operacion a utilizar para resolver un problema, obedece ademas de una palabra clave al analisis de la situacion. Por tanto, si se sustituyera esta (la palabra clave) por otra que no este asociada directamente a una operacion basica, el alumno sigue haciendo la misma seleccion que sugiere al principio.

3. Enlista los casos posibles de solucion:

Esta estrategia se observa en problemas que tienen varias respuestas, a saber, los problemas de primer nivel de tipo producto cartesiano. Consiste en ofrecer una lista de las posibles respuestas del problema, en este caso, de posibles combinaciones segun sea la situacion planteada.

4. Conteo a partir de un modelo que construye el alumno:

Esta estrategia consiste en que el estudiante construye un modelo como apoyo para la resolucion de la situacion descrita en el texto del problema, y sobre la base de este opera mediante conteo. En general, se ubicaron dos modelos construidos por los alumnos. En cuarto grado, observamos que se presento el siguiente caso en la suma: el nino utiliza los dedos de las manos como modelo y sobre la base de estos, realiza el conteo extendiendo o doblando los mismos. Mientras que en quinto grado esta estrategia emerge de manera diferente: el nino realiza un modelo sobre la base de los datos dados en el problema, pero sin usar los dedos de la mano.

5. Realiza un calculo mental:

Consiste en que la resolucion del problema obedece a un conteo o la realizacion de una operacion mentalmente sin representar los terminos de la operacion de ninguna manera, lo cual, la distingue de la estrategia anterior. En problemas que requieren de la suma para su resolucion, la estrategia se presenta de las siguientes formas: a) el estudiante realiza un conteo mental a partir del primer sumando, sin importar si es menor o mayor; o b) realiza un conteo mental a partir del sumando mayor.

6. Resuelve de manera parcial el problema:

Esta estrategia se presenta solo en los problemas aritmeticos de segundo nivel mixtos, donde se requiere el uso de mas de una operacion basica para su resolucion, lo cual es desapercibido por el nino. En lugar de ello, considera alguna(s) parte(s) del problema, seleccionando las operaciones a efectuar pero resuelve parcialmente la situacion, es decir, le hace falta efectuar mas calculos para llegar a la solucion del problema. Consideramos la resolucion de manera parcial de un problema como una estrategia, porque es evidente que para ello, el estudiante desarrolla un conjunto de acciones intencionales para la resolucion, aunque limitado por sus conocimientos no logra arribar a la solucion. Es reflexiva, porque se realiza un analisis de la situacion para seleccionar adecuadamente las operaciones a utilizar, pero a la luz de varias exigencias dadas, solo considera algunas.

7. Se apoya en el diseno de dibujos:

Esta se observa en alumnos de cuarto grado. Consiste en representar mediante dibujos los datos que ofrece el problema y con este apoyo, buscar responder la pregunta planteada en el texto del mismo. Se diferencia de la estrategia conteo a partir de un modelo que construye el alumno porque en esta no se efectua conteo alguno.

8. Recurre a hechos numericos:

Esta estrategia esta muy ligada a los conocimientos de que dispone el nino. Se puede presentar en dos formas: a) el alumno recurre a hechos numericos conocidos, es decir, se presenta cuando el nino despues de que selecciona la operacion a utilizar y ubica los datos del problema, recuerda el resultado del calculo que resuelve la situacion. De esta manera, los conocimientos de que dispone, le permiten recordar el resultado de la operacion que a su ver le resuelve el problema; o b) recurre a hechos numericos derivados, que consiste en que el nino obtiene el resultado del calculo que sugiere mediante procedimientos de composicion y descomposicion, siempre que primero seleccione la operacion pertinente a utilizar asi como los datos para ello.

9. Resuelve el problema mediante un tanteo inteligente:

Consiste en resolver el problema por ensayo y error, pero de manera inteligente, es decir, se presenta siempre que el nino sea capaz de seleccionar una operacion congruente con el texto, pero limitado por sus conocimientos, se aproxima a la solucion mediante otros procedimientos (por ejemplo, cuando en lugar de la division recurre a la multiplicacion, etc.).

A manera de ejemplo, se describen algunas soluciones dadas por los ninos, donde se ilustra el uso de algunas de las estrategias ya descritas:

Primer ejemplo:

Problema 2(C3). Don Juan tiene $270 pesos y lo quiere repartir entre 5 hijos que van ir a la feria de Ayutla. ?De cuanto le tocara a cada hijo si todos reciben la misma cantidad?

La figura 1 ilustra la resolucion dada por un alumno de quinto grado. En el enunciado del problema se ofrece una palabra clave: repartir. El alumno que ofrecio la solucion anterior, argumento que su solucion obedecio a ella; pero ademas pudo reformular el problema en su lengua materna (Tu'un Savi) mostrando que entendia lo que se le planteaba, asi como la operacion que debia efectuar. Por ello, el ejemplo corresponde al uso de la estrategia selecciona la operacion a efectuar a partir de una palabra clave ad hoc. Sin embargo, el uso de la estrategia es mas claro en el siguiente caso (Figura 2).

Problema 3 (C3). Don Pedro recoge lena para moler sus canas y hacer piloncillos. El ha logrado reunir 34 cargas de lenas. Si cada carga tiene 20 lenas. ?Cuantas lenas ha logrado reunir en total?

La figura 2 ilustra la resolucion dada por un alumno de sexto grado. En ella se presenta la palabra clave reunir, la cual pudo orillar al alumno a realizar una suma. Sin embargo, se infiere que realizo cierto analisis del enunciado del problema para seleccionar la operacion que finalmente utiliza, puesto que no se guio por la palabra clave sino que realizo correctamente una multiplicacion que le permitio llegar a la solucion. El concepto que ayuda a generar la idea de que se debe efectuar una multiplicacion es carga, dado que la practica de colectar lenas es muy usual en una comunidad Nuu Savi. Es asi, como es esta la palabra clave ad hoc que permite al alumno hacer una seleccion de la operacion a efectuar de manera correcta.

Segundo ejemplo:

Enseguida se ilustran dos casos donde el alumno realiza un conteo a partir de un modelo que el construye. El primero (Figura 3) corresponde a la produccion escrita de un nino de cuarto grado, donde este utiliza los dedos de las manos como modelo y sobre la base de estos, realiza el conteo extendiendo o doblando los dedos, segun la operacion a realizar. El uso de este modelo se observo solo en la suma, toma como referente un sumando y enseguida extiende o dobla los dedos que sugiere el siguiente sumando.

Problema 1 (C3). Miguel jugo con Alonso a las canicas. El primero inicio el juego con 36 canicas y gano 8. ?Con cuantas canicas se quedo Miguel al final?

En la figura 3 se aprecia que el nino escribe los sumandos de manera horizontal con su respectivo resultado, frente a lo cual se le planteo lo siguiente:

Investigador: ?Como hiciste la suma para obtener ese 44?

Alumno: Con mis dedos.

Investigador: A ver ?como?

Alumno: Asi [extiende 8 dedos y partiendo de 36, realiza el conteo mientras va doblando los dedos ya contados: 37, 38, ..., 44]

De esta forma, el modelo formado por los dedos del nino, le sirven de apoyo para realizar un conteo. El segundo ejemplo (Figura 4), corresponde a lo elaborado por un alumno de quinto grado, donde realiza un modelo a partir de una sucesion de numero pares, a partir del cual, realizo el conteo. Dicho proceder, emergio en el siguiente problema aritmetico formal:

Problema 4. Un pintor necesita 90 litros de pintura para pintar una casa. Si cada lata contiene 2 litros, ?Cuantas debe comprar?

Respuesta: 45

La figura 4 sugiere que el alumno solo efectuo una operacion inversa a la division y con ello pudo responder a la situacion que se le propuso; sin embargo, la figura 4 ilustra solo la comprobacion de su resultado, puesto que para llegar a la solucion se apoyo del siguiente modelo (Figura 5):

De esta manera, el modelo propuesto por el nino es la sucesion: [a.sub.n] =2n con n ={1,2,3, ..., 45} donde el 2 representa el divisor, [a.sub.45] el dividendo y n =45 el cociente. Sobre la base de esta sucesion de numeros pares, el nino realiza un conteo para darse cuenta que requiere 45 pares para llegar a 90, que es el ultimo termino de la misma y es la cantidad a repartir. Curiosamente, en cada linea coloca de 10 en 10 los terminos de la sucesion y se detiene cuando llega a 45, porque en este llega al ultimo termino de la misma. Finalmente, es claro que el nino no aplica el algoritmo formal de la division; sin embargo, usa un procedimiento alterno para resolver el problema. Es importante mencionar que las acciones desarrolladas por este nino Tee Savi es una primera aproximacion a la idea de sucesion y resulta ser una estrategia muy ingeniosa, ademas de ser el unico caso presentado.

Tercer ejemplo:

Los alumnos de cuarto grado, en un problema de primer nivel de tipo producto cartesiano hicieron uso de un dibujo para intentar responder el problema. Es asi como recurren al uso de la estrategia se apoya en el diseno de dibujos (Figura 6). Como se describio con anterioridad, se diferencia de la estrategia conteo a partir de un modelo que construye el alumno, porque en esta no se efectua conteo alguno. La estrategia solo emerge en el siguiente problema aritmetico formal.

Problema 3 (C3). Un nino tiene tres camisas: una roja, una azul y una verde; tres pantalones: uno blanco, uno negro y uno cafe y cuatro gorras: una roja, una azul, una beige y una negra. ?Cuantas combinaciones diferentes puede formar con las camisas, los pantalones y las gorras?

La figura 6 ilustra que el alumno represento con ciertos dibujos los datos que ofrece el problema. Sin embargo, quizas le hubiera favorecido utilizar colores para pintar las prendas, para asi identificar algun patron que permita responder al problema planteado. Si bien, el nino escribe que existen 9 veces, es decir, nueve posibles combinaciones, no sabe explicar la razon de porque cree que esta es la respuesta.

Cuarto ejemplo:

Por ultimo, se presenta un caso donde se observa el uso de la estrategia de tanteo inteligente. Esta se observa en un problema aritmetico de primer nivel de tipo practico (Figura 7), la cual se presenta siempre que el nino sea capaz de seleccionar una operacion congruente con el texto, pero limitado por sus conocimientos llega a la solucion mediante varias aproximaciones.

Problema 2(C3). Don Juan tiene $270 pesos y lo quiere repartir entre 5 hijos que van a ir a la feria de Ayutla. ?De cuanto le tocara a cada hijo si todos reciben la misma cantidad?

En el caso anterior (Figura 7), el alumno identifica que debe efectuar una division, donde el dividendo es 270 y el divisor es 5; pero limitado por sus conocimientos, realiza la reparticion como suma de sumandos iguales, considerando los datos descritos. De esta manera, se podria argumentar que se aproxima a la solucion del problema por exceso y por defecto, empezando a sumar primeramente cinco veces 25, y asi se va aproximando por defecto, probando con los valores de 30, 40, 45 y 50 sumados cinco veces cada uno, respectivamente. Por exceso, empieza sumando cinco veces 58, 56, 55 y 54, respectivamente. Al llegar con la suma de 54+54+54+54+54 se da cuenta que el resultado es 270, que es la cantidad a repartir. Por tanto, entiende que ha resuelto el problema.

Es interesante observar que el procedimiento realizado por el estudiante es engorroso, pero se acompana de ciertos conocimientos previos, a saber, que la division puede ser vista como un producto del cociente por el divisor, y que este se puede expresar como suma de sumandos iguales. Lo anterior sirve para argumentar que el nino sabe que la operacion requerida para hallar la solucion del problema es una division; sin embargo, al no poder realizarla algoritmicamente, recurre a un tanteo apropiado, acompanado de los conocimientos necesarios para deducir si ha llegado o no a la solucion del problema.

4.2. Estrategias irreflexivas

En el caso de las estrategias irreflexivas se identificaron tres (Tabla VI):

Enseguida se describe cada una de las estrategias:

TABLA VI

Estrategias irreflexivas identificadas en las producciones escritas

Estrategia identificada     Tipo de problema    Grados donde emerge
                            donde se observa

Opera con los datos
dados en el problema

Contesta sin realizar       Formal y practico        4, 5 y 6
operaciones o implanta
un algoritmo

Selecciona la operacion
a efectuar a partir
de una palabra clave


10. Opera con los datos dados en el problema:

La estrategia consiste en que el alumno opera de manera irreflexiva con los datos dados en el problema, es decir, omite realizar el analisis del mismo para identificar la operacion a utilizar para la resolucion. En los casos de estudio se observaron dos formas de proceder, a saber: a) el estudiante opera con los datos tal cual estan dados en el problema; o b) forma nuevos numeros ocupando los datos dados en el problema, ya sea descomponiendo estos o agregando otros, y opera con los nuevos numeros.

11. Contesta sin realizar operaciones o implanta un algoritmo: Consiste como su nombre lo indica, en contestar sin hacer operaciones, o bien, el nino establece un algoritmo con el cual opera. Esto ultimo, puede deberse a que el nino cree que como son problemas matematicos y en Matematicas se efectuan calculos algoritmicos, implanta uno con el cual opera, pero los datos que contempla nada tienen que ver con el problema. En el caso en que contesta sin realizar operaciones, segun el nino, el problema no requiere de un calculo para hallar la solucion, sino que le basta dar una respuesta logica, porque la situacion asi lo establece. Este proceder emerge en forma similar en los tres grados. Cuando implantan un algoritmo, normalmente recurren a la suma o resta, porque al parecer son las operaciones con las que estan mas familiarizados.

12. Selecciona la operacion a efectuar a partir de una palabra clave:

Esta estrategia es otra version de las palabras claves; sin embargo, a diferencia de la primera, en este caso la unica justificacion de utilizar una operacion basica reside en identificar la palabra clave en el texto del problema y en consecuencia ejecutar el calculo que ella sugiere. Es irreflexiva, porque el hecho de guiarse solo por ella para seleccionar la operacion a utilizar, implica que no se realizo un proceso de analisis de la situacion.

Para ejemplificar, enunciaremos el caso de la estrategia contesta sin realizar operaciones o implanta un algoritmo:

Problema 2. Dona Estela tenia $850 y gasto cierta cantidad en comprar ropa. Despues de esa compra conservo $225. ?Cuanto dinero gasto?

Figura 8. Resolucion de un problema aritmetico formal de primer nivel tipo combinacion

La figura 8 ilustra claramente que el alumno implanta un algoritmo, cuyos datos nada tienen que ver con los dados en el problema, aunque la solucion que ofrece de la operacion que sugiere es correcta. De esta forma, emplea la estrategia contesta sin realizar operaciones o implanta un algoritmo. Este proceder del nino puede surgir por varias razones, entre estas por la dificultad que implica resolver un problema cuando no se les facilita el algoritmo. Por otra parte, esta estrategia en su version de contesta sin realizar operaciones, puede emerger tambien porque desde la logica del estudiante el problema no requiere de un calculo para hallar la solucion. Esto viene a colacion por el siguiente caso (Figura 9) referente a un problema formal, ubicado en quinto grado:

Problema 1. A la fiesta de cumpleanos de Antonio asistiran 18 mujeres y 15 hombres.

?Cuantas parejas diferentes de baile se podran formar con los invitados?

Figura 9. Resolucion de un problema formal de primer nivel tipo producto cartesiano.

En la situacion anterior, se ofrecen como datos la existencia de 15 hombres y 18 mujeres con los cuales se deberan encontrar la cantidad de parejas que se pueden formar. En la logica del nino, para el baile se pueden formar 15 parejas y sobrarian 3 mujeres, ya que toma como referente la cantidad de hombres y considera que estos solo tienen una posibilidad de elegir a su respectiva pareja. En esta respuesta, la idea que subyace es que en un baile solo se pueden formar parejas unicas, sin considerar que existen varias combinaciones que se pueden establecer.

4.3. Resumen de las estrategias

En resumen, en las producciones escritas de los ninos (cuestionarios) se identificaron nueve estrategias reflexivas (Tabla V) y tres irreflexivas (Tabla VI). Estas se presentan enseguida (Tabla VII), clarificando la frecuencia con que emergen en cada tipo de problema y en los grados donde se observaron:

TABLA VII

Estrategias reflexivas que emergieron en los cuestionarios

                                        Frecuencia

N/P          Estrategia            Problemas    [F.sub.%]
                                  aritmeticos
                                   formales

1     Selecciona la                   103         43.6%
      operacion cuyo
      significado es
      apropiado al texto
      del problema.

2     Selecciona la                   20          60.6%
      operacion a efectuar
      a partir de una palabra
      clave ad hoc.

3     Enlista los casos                9          100%
      posibles de solucion.

4     Conteo a partir                  5          100%
      de un modelo que
      construye el alumno.

5     Realiza un calculo               5          71.4%
      mental.

6     Resuelve de manera               4          26.7%
      parcial el problema.

7     Se apoya en el diseno            4          100%
      de dibujos.

8     Recurre a hechos                 3          100%
      numericos.

9     Resuelve el problema             0           0%
      mediante un tanteo
      inteligente.

10    Opera con los datos             149         60.1%
      dados en el problema.

11    Contesta sin realizar           25          69.4%
      operaciones o implanta
      un algoritmo.

12    Selecciona la operacion          8          19.5%
      a efectuar a partir
      de una palabra clave.

             Frecuencia

N/P    Problemas    [F.sub.%]        Grados donde
      aritmeticos                       emerge
       practicos

1         133         56.4%            4, 5 y 6

2         13          39.4%            4, 5 y 6

3          0           0%               5 y 6

4          0           0%               4 y 5

5          2          28.6%

6         11          73.3%            4, 5 y 6

7          0           0%                 4

8          0           0%               4 y 6

9          2          100%                6

10        99          39.9%

11        11          30.6%            4, 5 y 6

12        33          80.5%


En la Tabla VII se aprecia que la estrategia reflexiva selecciona la operacion cuyo significado es apropiado al texto, se presenta con mayor frecuencia en los problemas aritmeticos practicos en comparacion con los formales. Curiosamente surge mas variedad de estrategias reflexivas en los formales que en los practicos. Esto es posible porque al desconocer el estudiante estas situaciones (los problemas aritmeticos formales) busca mas acciones para llegar a la solucion. Mientras que en los practicos, solo tiene dos opciones: si puede resolver el problema, lo hace usando sus conocimientos y experiencia, en consecuencia utiliza una estrategia reflexiva, y si no, entonces da una respuesta solo por darla, por tanto emplea una estrategia irreflexiva. Por otra parte, las estrategias irreflexivas contesta sin realizar operaciones o implanta un algoritmo y selecciona la operacion a efectuar a partir de una palabra clave, emergen con mayor frecuencia en los problemas aritmeticos formales que en los practicos (Tabla VII). Asimismo, se observa en la tabla mencionada que existen estrategias (enlista los casos posibles, conteo a partir de un modelo que construye el alumno, apoyo en el diseno de un dibujo, recurrir a hechos numericos y resolver el problema mediante un tanteo inteligente) que solo emergen en uno de los dos tipos de problema.

Haciendo una distincion entre la frecuencia con que emergieron todas las estrategias reflexivas e irreflexivas, se obtiene lo siguiente (Tabla VIII):

TABLA VIII

Estrategias reflexivas e irreflexivas que emergieron

          Problemas Aritmeticos Formales

         E. reflexives    E. irreflexivas

Total    153     48.7%     182      56%

        Problemas Aritmeticos Practicos

         E. Reflexivas     E. Irreflexivas

Total    161     51.3%      143       44%


En la Tabla VIII se observa que en los problemas aritmeticos formales (PAF) emergen mas estrategias irreflexivas que reflexivas, lo cual resulta ser contrario en los practicos (PAP) puesto que se observa una mayor presencia de las reflexivas. Una explicacion de que aflore un porcentaje alto (44%) de irreflexivas en los problemas practicos, es que se busco atender a la diversidad de actividades que se dedica la comunidad Nuu Savi, por lo que no todos los ninos estaban familiarizados con todas estas. Pese a lo anterior, se observa que existe una diferencia en cuanto al uso de estrategias reflexivas e irreflexivas en ambos tipos de problemas, de donde se infiere que el contexto social, la lengua y la cultura del estudiante, juegan un papel importante en su desempeno en dichas situaciones.

Si bien, algunas estrategias--tanto reflexivas como irreflexivas--que se identificaron en los casos de estudio, ya han sido reportadas (Monaco y Aguirre, 1996; Rizo y Campistrous, 1999; Cervera, 1998; Dorantes, 2005; Arteaga y Guzman, 2005; Silva, Rodriguez y Santillan, 2009); este trabajo presenta algunas nuevas. Esto hace suponer que hay estrategias que aun no han sido caracterizadas. Al menos en los casos de estudio, encontramos estrategias como el conteo a partir de un modelo que construye el alumno y resuelve el problema mediante un tanteo inteligente, cuyo uso es ingenioso y preciso de su estudio.

4.4. Entrevistas

Las entrevistas se realizaron inmediatamente despues de aplicar los cuestionarios, sin embargo, en el primer dia se observo que en relacion con la resolucion de los problemas aritmeticos formales, los alumnos poco respondian de ello, mas particularmente, en lo concerniente al por que proceden asi como lo hacen en su resolucion. Bajo esta situacion, en el segundo dia de la entrevista se priorizo en los problemas practicos, donde se indago que operacion utilizan los alumnos, como y por que la utilizan al resolver los problemas aritmeticos. Asimismo, la entrevista fue grupal en la lengua materna del estudiante (Tu'un Savi) y fue videograbada. En ese contexto, se observo que en la actividad solo emergen estrategias reflexivas, como se puede apreciar del siguiente extracto (donde E es entrevistador y A1, A2 y A3 alumnos, G6 grupo de sexto grado), dialogo que se suscito con alumnos de sexto grado en la escuela "10 de Octubre del 83":

E: Si tuvieramos una moneda de 10 pesos y compramos una paleta que cuesta 3, ?cuanto nos daran de cambio?

A3: 7.

E: ?Como lo sabes?

A1: Contando los dedos.

E: A ver, ?como?

A3: Asi [extiende los 10 dedos de las manos y dobla 3, enseguida, cuenta uno a uno los dedos que quedan que son 7].

E: Bien ... Ahora imaginense que tengo 30 pesos y compro un kilo de frijol. El kilo cuesta 12 pesos. ?Cuanto me regresan de cambio?

A2: 18.

E: ?Pero como sabemos que son 18?

A3: Haciendo una resta.

E: Aja, ?pero como saben que es una resta?

A3: Porque estamos comprando.

E: Comprando. ?Comprando que? [Silencio]

E: Mmm ... bueno. ahora piensen que van a comprar dos kilos de carne, cada kilo a 40 pesos. ?Como sabemos cuanto debemos pagar?

A2: 80.

E: ?Pero como lo sabes?

A2: Sumando dos veces 40 (como es una multiplicacion sencilla, le basta sumar; sin embargo, otra razon es que presenta problemas al efectuar calculos distintos a la suma o resta).

E: Bueno. Imaginate que llevo un billete de 200 pesos. ?Cuanto me daran de cambio?

A2: 120.

E: ?Como le haces?

A2: [Murmurando] Ochenta ... veinte para 100, 100 para 200 [entonces parece que primero efectua la resta 100-80=20 y despues 200-100= 100 y finalmente, 100+20=120 Y finalmente dice ...] sacando las cuentas con la cabeza [calculo mental].

E: Bueno. ahora piensen en que compre 50 paletas y las quiero repartir entre mis conocidos que son 5. ?Que cantidad de paletas le tocara a cada uno?

A2: [Empieza contando 5 dedos dandole el valor de 10 a cada uno, asi mientras va senalando uno a uno, dice 10, 20, 30, 40, 50; finalmente responde. Es decir, para un problema de reparto supone cierta cantidad y verifica su validez] 10.

E: ?Como lo sabes?

A3: Haciendo una division.

E: ?Como sabes que es una division?

A3: Estamos repartiendo cosas [se observa que la palabra clave

"repartir" permea en este nino para que piense de inmediato en la division]

E: ?Y que pasaria si solo tuviera 40 paletas, y siguen siendo 5 personas?, ?les tocara la misma cantidad?

A1: Les toca 8.

E: ?Por que?

A3: Es una division.

E: ?Como saben que es 8 la respuesta?

A3: [Comprobando con su tabla de multiplicar y dice] 8 por 5, 40.

A2: Dice 8. [Se le observo sumando 5 veces el 8]

E: Muy bien. Ahora imaginense que van a vender un marrano a 300 pesos y un chivo a 500 pesos. ?Que cantidad de dinero obtendria de esa venta?

A3: $800.

E: ?Y como sabes que se debio hacer una suma?

A3: [.Risas...]

E: ?Entonces les podrian dar solo 100 pesos por el chivo y el marrano?

A1 y A3: !NO!

E: ?Pero entonces, como supieron que debian sumar?

A3: Sacando cuentas mentalmente. Estamos vendiendo.

E: Bueno. Ahora piensen que van a vender 20 cadenas de cempasuchil a la ciudad de Ayutla, cada cadena a $7 pesos. ?Como saben que cantidad van a reunir en esa venta?

A3: Por [refiriendose a la multiplicacion].

E: Pero ?que multiplicas?

A3: 20 por 7.

E: Esta bien. ?Pero cual seria el resultado?

A3: 140.

A2: !Pero esta escribiendo! [Refiriendose al uso de papel y lapiz para sacar cuenta]

A3: !No! Solo vi que 7 por 0 es cero y 7 por 2 es 14 [revisando su tabla de multiplicar].

E: Bueno. Si te diera 150 pesos. ?Cuanto me daras de cambio?

A3: [De inmediato] 10 [al parecer solo se fija que para completar 150 necesita 10]

E: ?A ver por que no me das 50 de cambio?

G6: [Sin respuesta. Solo risas]. Quizas por la obviedad de la situacion.

El extracto anterior ilustra la respuesta dadas por tres alumnos, asi como aquella que se ofrece en coro. De lo anterior, se observa que si la actividad resulta familiar para el nino, este responde de manera casi inmediata obteniendo un resultado correcto. En las explicaciones anteriores se identifican las siguientes estrategias:

--Conteo a partir de un modelo que construye el alumno

--Selecciona la operacion cuyo significado es apropiado al texto del problema

--Realiza un calculo mental

--Selecciona la operacion a efectuar a partir de una palabra clave ad hoc

--Recurre a un hecho numerico

En los demas grados, las respuestas son similares y las estrategias empleadas se caracterizan solo como reflexivas. En su mayoria, los problemas son resueltos correctamente, a excepcion de uno donde se comete un error de calculo.

5. LA INFLUENCIA DE LA LENGUA MATERNA, EL CONTEXTO Y LA CULTURA SOBRE EL ALUMNO AL RECURRIR AL USO DE ESTRATEGIAS.

Los resultados obtenidos en el analisis de las evidencias tanto escritas (cuestionarios) como orales (entrevista) permiten plantear algunas reflexiones. En la aplicacion de los cuestionarios, un paso importante para la comprension de la situacion descrita en los textos del problema, es su traduccion al Tu'un Savi (mixteco). Esta traduccion es solicitada por la mayoria de los alumnos, sin importar el grado. Este hecho sugiere la idea de una posible influencia de la lengua materna del estudiante en el proceso de utilizar alguna estrategia para la resolucion de problemas aritmeticos.

Si bien es cierto que la traduccion al Tu'un Savi de los problemas planteados es requerido por la mayoria de los ninos, se descarta el hecho de que sea para todos, ya que posiblemente una minoria que no requiere la traduccion ha logrado incorporarse a la practica castellanizadora de los docentes, quienes buscan los medios para adentrarlos a la cultura dominante. Esta apreciacion parece muy sutil, sin embargo, no lo es ya que desde el punto de vista de la Matematica Educativa, considerar las Matematicas como un producto cultural constituye un paso importante para un aprendizaje significativo.

En las entrevistas se observo que en las actividades de compra-venta donde el nino se involucra activamente, es habil para resolverlas. En su resolucion, emplea solo estrategias reflexivas, aunque con cierta influencia de la escuela en el procedimiento. De esta manera, la experiencia extraescolar de los alumnos, donde son capaces de emplear distintas estrategias reflexivas, es un area importante para ser incorporada al contexto escolar. Creemos que ayudaria a asumir la interculturalidad como algo que enriquece la ensenanza-aprendizaje de las Matematicas donde vive la cultura Nuu Savi (mixteca), es decir, permitiria interpretar a las Matematicas como producto sociocultural.

Sin embargo, interpretar las Matematicas como producto sociocultural implica reconocer la influencia del contexto social, la cultura del estudiante, asi como su lengua materna en su aprendizaje. Ello requiere del docente un esfuerzo mayor para incorporar en sus planeaciones lo que en este estudio se denomina resolucion de problemas aritmeticos formales y practicos. Puesto que centrarse en solo uno de ellos, significa desaprovechar la potencialidad del nino para aprender, ya que este tiene ciertos conocimientos, producto de su quehacer cotidiano y de su cultura.

Retomando lo reportado por Cruz y Butto (2011), de que los ninos mixtecos emplean el sistema de numeracion vigesimal; situacion conocida por el primer autor, puesto que pertenece a la cultura Nuu Savi. Es importante establecer puentes para que el nino Tee Savi sea capaz de trabajar en el aula con este sistema, asi como con el decimal, que es el planteado en los libros de texto. Se sugiere esto porque durante la entrevista, se observo que los casos de estudio van olvidando el sistema de numeracion vigesimal, privilegiando el uso del sistema decimal incluso en actividades cotidianas propias de su contexto y su comunidad. Esto se fundamenta con base en la entrevista, ya que al darle al nino una cantidad en Tu'un Savi (mixteco), solia pedir que se le traduzca esto al castellano. Incluso, algunos de ellos al dar su respuesta, todo lo daban en mixteco excepto la cantidad numerica.

En la tarea que realiza el nino en el aula, tambien resulta necesario tener en cuenta las motivaciones y las implicaciones de la naturaleza social en su aprendizaje. Es posible considerar al aula de matematicas como un escenario social, y la ensenanza-aprendizaje de la disciplina como procesos sociales. Asi, el alumno es un ser social que participa en un microcontexto que es el aula de clases, donde interactua junto con sus pares y el profesor. En dicho proceso, es importante la participacion del nino en la discusion matematica, donde el significado de los objetos matematicos juega un papel primordial.

De esta manera, el significado de las operaciones basicas en el contexto escolar debe jugar un papel esencial para la resolucion de problemas aritmeticos, puesto que estos fungiran como medio para el empleo de estrategias que permitan resolver las situaciones planteadas. El significado de cada operacion basica desde nuestro punto de vista, implica reconocer para cada una, su utilidad para resolver ciertos problemas aritmeticos, pero esto debe estar acompanado de una explicacion, es decir, el alumno debe ser capaz de identificar que operacion utilizar, como y por que utilizarla. Para esto, la negociacion de significados es importante, donde se puede establecer un puente entre los conocimientos que construyen los ninos fuera del aula con los que marca el curriculo, contenido en los libros de texto.

Es necesario que el nino Tee Savi no solo tenga que aprender lo que el curriculum oficial establece, cuya importancia no se puede negar, puesto que le permitira relacionarse con miembros de otras culturas, la dominante incluida; sino que tambien se tomen en cuenta los conocimientos construidos por su cultura, practicando de esta forma, realmente la interculturalidad que se pregona en los planes de estudio. Esto es necesario para construir conjuntamente una cultura de aula que tendiese puentes para acortar la distancia existente entre la vida cotidiana y la escolar, que para el estudio implicaria la resolucion de los problemas aritmeticos formales y practicos, escritos y verbales.

6. REFLEXIONES FINALES

Las producciones escritas (cuestionarios) y orales (entrevistas) de los estudiantes permiten responder la pregunta: ?cuales son las estrategias que utilizan los ninos Tee Savi (mixtecos) de primaria cuando resuelven problemas aritmeticos formales y practicos? Cuya primera respuesta es que estos alumnos, emplean tanto estrategias reflexivas como irreflexivas en las producciones escritas. En ese sentido, en los cuestionarios emergieron nueve estrategias caracterizadas como reflexivas y tres irreflexivas. Las reflexivas se presentan con mayor frecuencia en los problemas aritmeticos practicos, mientras que las irreflexivas en los formales (Tabla VII). Por otra parte, en las producciones orales, se observo que en los problemas aritmeticos practicos verbales afloran solo estrategias reflexivas, donde las comunes a los tres grados son: conteo a partir de un modelo construido y realiza un calculo mental. Mientras que aquellas que son comunes en dos grados son:

Para cuarto grado y sexto:

--Recurre a un hecho numerico Para quinto y sexto grado:

--Selecciona la operacion cuyo significado es apropiado al texto

--Selecciona la operacion a efectuar a partir de una palabra clave ad hoc

Finalmente, la que sigue solo se presenta en sexto grado:

--Resuelve el problema mediante un tanteo inteligente

Del analisis de estos resultados podemos inferir una diferencia entre las estrategias que utilizan los ninos Tee Savi en la resolucion de problemas aritmeticos formales y en los practicos, asi como en situaciones escritas y verbales. En los problemas practicos verbales, es posible que emerjan solo estrategias reflexivas por la influencia que la cultura y la practica cotidiana ejercen sobre el estudiante. Puesto que los conocimientos que utiliza para resolver este tipo de problemas, principalmente son los que aprende en el contexto comunitario y en menor grado en el aula de clases. En ese sentido, se habla de la influencia de la lengua materna, el contexto y la cultura del estudiante, porque es claro que en situaciones en las que participa directamente como en la compra-venta, es muy habil para resolver estos problemas, donde normalmente recurre al calculo mental.

Por otra parte, en los casos estudiados, las dificultades que presenta al resolver los problemas aritmeticos, estriba mas en lo linguistico que en cuestiones meramente matematicas. Esto viene a colacion, porque antes de traducir el texto de los problemas al Tu'un Savi, la mayoria de los alumnos no comprenden lo que deben realizar, sin embargo, despues de ello, son capaces de emplear alguna estrategia para la resolucion de la situacion planteada.

Cabe subrayar que los ninos Tee Savi van olvidando su sistema de numeracion que es el vigesimal, privilegiando el uso del sistema decimal incluso en actividades propias de su contexto y su comunidad. Ello se constata, porque en la entrevista al darle al nino una cantidad en Tu'un Savi, suele pedir que se le traduzca esto al castellano. Incluso, algunos de ellos al dar su respuesta, todo lo dan en su lengua materna excepto la cantidad numerica.

Finalmente, los resultados que derivan del estudio, permiten plantear que pese al ingenio mostrado en algunas estrategias usadas por los alumnos Tee Savi, al parecer estas son desaprovechadas o ignoradas por los docentes. Por tanto, resulta medular considerar que, como y por que responde el estudiante asi como lo hace al resolver problemas, lo cual permitira detectar las estrategias personales que utiliza, que sin duda se puede aprovechar en la ensenanza-aprendizaje. De esta manera, es fundamental establecer un puente entre las estrategias usadas en los problemas aritmeticos practicos a los formales y viceversa, para armonizar asi con los conocimientos que construye y usa el nino, tanto en su cotidianidad como en el aula y fuera de ella.

Recepcion: Marzo 29, 2013 / Aceptacion: Julio 25, 2014. DOI: 10.12802/relime.13.1823

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Autores

Javier Garcia-Garcia. Universidad Autonoma de Guerrero, Mexico. libra_r75@hotmail.com

Flor Monserrat Rodriguez Vasquez. Universidad Autonoma de Guerrero, Mexico. flor.rodriguez@uagro.mx

Catalina Navarro Sandoval. Universidad Autonoma de Guerrero, Mexico. nasacamx@yahoo.com.mx

(1) Evaluacion Nacional de Logro Academico en Centros Escolares. Es una prueba del Sistema Educativo Nacional mexicano que se aplica a planteles publicos y privados de nuestro pais Mexico, y que en primaria se consideran cuatro modalidades para su aplicacion: CONAFE (Consejo Nacional de Fomento Educativo), general, indigena y particular.

(2) En este grado, se estructuraron los cuestionarios (solo para cuarto grado) incluyendo al mismo tiempo PAF y PAP, con el fin de indagar si los ninos manifestaban un desempeno distinto en ellos comparado con la primera escuela, quienes habian resuelto los problemas por separado, cosa que no sucedio.

(3) Un modelo es un sistema figurativo numerico, grafico, mimico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquematica para hacerla mas comprensible. Es un sistema que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender; una imagen analogica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiacion y manejo (MEN, 2006, citado por Villa-Ochoa, Bustamante, Berrio, Osorio y Ocampo, 2009, p. 1444).

TABLA I

La poblacion etnica en 2005 en Mexico

Poblacion total                                   103 263 388
Poblacion indigena                                  9 854 301
Porcentaje respecto al total                            9.54%
Grupos etnolinguisticos                                    62
Hablantes de lengua indigena                         5 988557
Poblacion bilingue                                  5 131 226
Poblacion monolingue                                   719645
No especificados                                       137686
Porcentaje de analfabetismo 15 anos y mas               25.4%
Porcentaje de inasistencia escolar 6 a 14 anos           8.4%

TABLA IV

Forma de aplicacion del cuestionario
en la escuela "Dr. Alfonso Cazo"

Grado          Dia 1     Dia 2     Modo de     Participantes
                                  aplicacion

Cuarto (2)    PAF-PAP   PAP-PAF    Escrito           15
Quinto          PAF       PAP      Escrito           24
Sexto           PAP       PAF      Escrito           18
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Author:Garcia-Garcia, Javier; Vasquez, Flor Monserrat Rodriguez; Sandoval, Catalina Navarro
Publication:Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa
Date:Jul 1, 2015
Words:11426
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