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Testing the predict power of VIX: an application of multiplicative error model/Testando o poder preditivo do VIX: uma aplicacao do modelo de erro multiplicativo.

1. Introducao

A crise no setor imobiliario americano gerou serias consequencias para a economia global. A falencia do mercado de credito neste segmento rapidamente contaminou todo o sistema financeiro mundial, criando uma recessao comparada por muitos a crise de 1929. Segundo o FMI, Estados Unidos, Japao e Reino Unido apresentaram retracoes no PIB de 2,6%, 5,2% e 4,9% em 2009, respectivamente. Somente em janeiro de 2009, as bolsas mundiais acumularam perdas de US$ 5,2 trilhoes, segundo a agencia de classificacao americana Standard & Poor's.

Para Gorton (2008), a crise se iniciou com o aumento da inadimplencia em hipotecas de alto risco, os chamados subprime mortgages, ainda em 2006. Mesmo com esta indicacao de problemas num setor de importancia significativa, a economia mundial continuou a apresentar altas taxas de crescimento ate meados de 2008. Os PIBs americano, japones e ingles subiram 2,0%, 2,4% e 3,0% em 2007. Em outubro do mesmo ano, o indice S&P500 atingiu seu recorde historico, acima dos 1.500 pontos. Em julho, o indice Nikkei 225 ultrapassava os 18 mil pontos. No dia 9 de marco de 2009, os indices cederam para 676,53 e 7.083,06 pontos, respectivamente. O mes de outubro de 2008 concentrou grande parte das perdas, com o S&P500 caindo 27% e o Nikkei 37% (1).

Durante o periodo de alta nos precos dos ativos, o VIX, um indice de volatilidade implicita das opcoes do S&P500, apresentou dois momentos de alta, um em junho de 2006 e outro em marco de 2007, como pode ser observado na figura 1.

Dado que a correlacao entre volatilidade e preco dos ativos e negativa, o aumento em um indice de volatilidade significaria que o mercado estava esperando uma queda nos precos dos ativos, causada pelos disturbios no mercado imobiliairio americano.

Uma questao que se levanta e se a volatilidade obtida de forma implicita representa fielmente a volatilidade futura e, portanto, se e capaz de ajudar na previsao dos precos dos ativos. Engle e Gallo (2006) afirmam que como este tipo de volatilidade e construido a partir dos precos das opcoes negociadas pelos operadores, e estes embutem eventos futuros em suas anailises, a volatilidade implicita supera, em termos de previsao, a volatilidade obtida pelos modelos de series temporais dado que o econometrista utiliza nestes modelos somente informacoes passadas, incapazes de absorver mudancas futuras. Por outro lado, modelos de volatilidade implicita estao disponiveis apenas para ativos que apresentam derivativos, como opcoes, por exemplo. Ja modelos de series temporais apenas necessitam da serie de precos, estando entao disponivel para uma gama muito maior de ativos.

O objetivo deste artigo e comparar a aderencia da volatilidade implicita e de modelos de volatilidade baseados em series temporais a proxies da verdadeira volatilidade, aqui representada pela volatilidade realizada, tanto dentro como fora da amostra. A volatilidade implicita utilizada foi o VIX, pois elimina uma serie de problemas encontrados nos modelos Black-Scholes. Este indice sera analisado como variavel previsora, testando se ele contem informacoes relevantes para a verdadeira volatilidade que nao sao observaveis em modelos de erro multiplicativo para variaveis nao-negativas. Poon e Granger (2003) citam que o periodo de analise pode influenciar a escolha do melhor modelo, como periodos de baixa e alta volatilidade, por exemplo. Por isso, os mesmos testes neste artigo sao feitos para um periodo sem crise, onde o VIX permaneceu abaixo dos 20% e para periodo da crise imobiliaria americana, onde o VIX ficou acima deste patamar.

O poder de previsao do indice cai ao se passar do periodo sem crise para o de crise, igualando-se aos modelos tradicionais de series temporais. Porem, encontram-se evidencias de que o VIX passa a conter informacoes relevantes para a verdadeira volatilidade no periodo de crise, pelo menos para um curto horizonte de tempo, que nao sao captadas pelos outros modelos, fato nao presente no periodo sem crise.

Este artigo esta dividido como se segue: na Secao 2 sao apresentados os modelos de volatilidade mais conhecidos e a evolucao cronologica do tema, assim como os principais trabalhos que realizam comparacoes entre eles. Modelos de volatilidade implicita sao abordados na Secao 3, comecando com o modelo Black-Scholes na Subsecao 3.1, VIX na Subecao 3.2 e a comparacao entre ambos na Subsecao 3.3, demonstrando os problemas do Black-Scholes que o VIX tenta mitigar. A volatilidade realizada em tempo discreto e apresentada na Secao 4. A Secao 5 apresenta as series utilizadas no artigo, assim como as justificativas na determinacao do periodo sem crise e de crise. Na Secao 6 desenvolvem-se os testes do VIX como um previsor da volatilidade futura, com a demonstracao do Modelo de Erro Multiplicativo, seguido da estimacao na Subsecao 6.1, a inferencia na Subsecao 6.2, o modelo utilizado nos testes empiricos, baseados no modelo de Engle e Gallo (2006), na Subsecao 6.3 e finalmente os resultados obtidos na Subsecao 6.4. A conclusao encontra-se na Secao 7.

2. Volatilidade implicita versus volatilidade de series temporais

Com a difusao dos modelos de series temporais da familia Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) durante a decada de 80, a partir dos trabalhos seminais de Engle (1982) e Bollerslev (1986), surgiram concorrentes a altura na modelagem e previsao de volatilidade para os modelos de volatilidade implicita da decada anterior, como o modelo de Black e Scholes (1973). Antes desta classe de modelos, as previsoes eram baseadas nos desvios padroes passados, fossem eles apenas uma media historica ou uma media movel dos desvios padroes ponderados exponencialmente, com maior peso para as observacoes mais recentes, conhecido como Exponentially Weighted Moving Average (EWMA). Ambos metodos podem carregar por muito tempo um choque passado ja dissipado, e o EWMA apresenta o problema de que o parametro de persistencia do modelo deve ser escolhido de maneira arbitraria, nao sendo possivel entao fazer inferencia sobre as estimativas do modelo. Taylor (1986) propos utilizar modelos ARMA para o retorno absoluto e ao quadrado, podendo entao realizarse previsoes para a volatilidade. Mais recentemente, como em Andersen e Bollerslev (1998), a volatilidade realizada passou a ser utilizada como proxy da volatilidade ao inves do retorno absoluto e ao quadrado.

Os modelos ARCH nao utilizam os desvios padroes passados, mas atribuem uma lei de formacao para a variancia condicional nao observada da serie. Como se tem o valor da variancia condicional estimada ate a data t, e possivel realizar diretamente a previsao para t + 1, apenas utilizando os parametros estimados da variancia condicional e, realizando procedimentos iterativos, obtem-se previsoes para horizontes de tempo mais longos. Akgiray (1989), um dos primeiros a analisar o poder preditivo dos modelos GARCH, encontra evidencias de que as previsoes feitas por esses modelos superam de forma consistente os modelos EWMA e a simples volatilidade historica. Ainda dentro da classe de modelos ARCH, existe o consenso de que modelos que permitem assimetria, ou seja, a relacao negativa entre retorno e volatilidade, como os modelos EGARCH de Nelson (1991) e GJR de Glosten, Jagannathan e Runkle (1993), apresentam um melhor desempenho do que os modelos sem assimetria. Apesar de capturar a persistencia da volatilidade, existem evidencias empiricas de que a memoria da volatilidade pode ser maior do que a apresentada nos modelos ARCH. Visando capturar este efeito, foram criados os modelos FIGARCH de Baillie, Bollerslev e Mikkelsen (1996) e o FIEGARCH de Bollerslev e Mikkelsen (1996) com ordem de integracao entre 0 e 1.

No final da decada de 80 surgiram outros modelos baseados em series temporais: os modelos de volatilidade estocastica. Propostos por Hull e White (1987), estes modelos permitem que a volatilidade esteja sujeita a choques, que podem ou nao estar ligados aos choques que afetam os proprios retornos, o que gera um maior grau de flexibilidade do modelo frente aos modelos ARCH. Segundo Poon e Granger (2003), esta flexibilidade gera dificuldades na estimacao do modelo, pois nao ha uma forma fechada para a funcao de verossimilhanca, ao contrario dos modelos ARCH, sendo entao necessaria a utilizacao de outros metodos de estimacao, como, por exemplo, o de quase-verossimilhanca. Devido a esta dificuldade no calculo, a difusao destes modelos se deu apenas com o avanco computacional, durante a decada de 90. Na comparacao com modelos GARCH, nao ha um consenso de qual modelo e superior. Lehar, Scheicher e Schittenkopf (2002) afirmam que modelos GARCH sao superiores aos modelos de volatilidade estocaistica, enquanto que Nakajima (2010) dai suporte aos modelos de volatilidade estocaistica, utilizando econometria bayesiana.

Em uma edicao especial, a Revista de Econometria publicou em novembro de 1999 uma serie de estudos comparando diversos modelos de volatilidade para os principais ativos brasileiros, incluindo acoes, cambio, titulos publicos e commodities. Issler (1999) encontra evidencias de que o EGARCH (1,1) na sua versao gaussiana supera os demais modelos ARCH em se tratando de previsoes. Utilizando diferentes funcoes perda para avaliar o melhor modelo, Valls Pereira et al. (1999) apresentam resultados em favor de modelos de volatilidade estocaistica frente a modelos da familia XARCH.

Modelos de volatilidade implicita utilizam o preco de derivativos de um certo ativo para obter, implicitamente, a volatilidade que os operadores atribuem ao ativo. O modelo mais famoso para a captura da volatilidade implicita e o modelo de Black-Scholes, onde o preco de uma acao segue um processo estocastico com uma distribuyo log-normal. Sob uma serie de hipoteses, dentre elas da volatilidade do ativo ser considerada constante ou ser uma funcao deterministica do tempo, e possivel obter os precos das opcoes. Como estes precos sao observados, e possivel extrair a volatilidade do ativo inferida pelos operadores (2). Outra forma mais recente de calculo da volatilidade implicita e o VIX (sigla para Volatility Index), feito pela Chicago Board Options Exchange, visando eliminar a serie de hipoteses assumidas no modelo Black-Scholes. Na comparacao com os demais modelos citados, a maioria dos trabalhos encontra evidencias a favor da volatilidade implicita na previsao de volatilidade. Hol e Koopman (2002) comparam as previsoes de um modelo de volatilidade estocastica, com e sem a adicao do VIX como variavel explicativa, e a propria volatilidade implicita, com resultados a favor da ultima frente aos outros modelos.

Na comparacao da volatilidade implicita com modelos GARCH, trabalhos como Canina e Figlewski (1993) afirmam que praticamente nao existe correlacao entre a volatilidade implicita a e futura volatilidade realizada. Ao incrementarem modelos de series de tempo com dados intradiarios em modelos de memoria longa, Martens e Zein (2003) concluem que estes modelos competem de forma igual aos modelos de volatilidade implicita, chegando atei mesmo a superai-los em alguns casos. Mas uma gama bem maior de trabalhos segue na direcao oposta. Christensen e Prabhala (1998) utilizam amostras mais longas e mostram que a volatilidade implicita e superior aos demais modelos. Para eles, o nao tratamento do crash de 1987 no trabalho de Canina e Figlewski (1993) levou ao resultado equivocado. Szakmary et al. (2002) encontra resultado semelhante analisando 35 mercados de opcoes e 8 mercados de cambio diferentes. Alem de testar o poder de cada modelo separadamente, alguns trabalhos agregam a volatilidade implicita a modelos de seiries de tempo, visando aumentar o poder de previsao destes. Blair, Poon e Taylor (2001) adicionam o VIX e a volatilidade realizada ao modelo GJR (1,1) de Glosten, Jagannathan e Runkle (1993) como variaveis explicativas na equacao da variancia condicional, encontrando evidencias de que a primeira apresenta uma importancia maior no modelo, tanto em analises dentro ou fora da amostra.

A explicacao para esta superioridade da volatilidade implicita, segundo Engle e Gallo (2006), e que os operadores de opcoes sao capazes de mensurar eventos futuros ate a maturidade das opcoes e adicionar seus efeitos nos precos das mesmas, algo impossivel para um econometrista que esta analisando uma serie passada de precos. Desta forma, a volatilidade implicita em si e um melhor previsor da volatilidade futura do que modelos de series temporais. Neste trabalho, os autores buscam modelos de series de tempo capazes de aderirem ao VIX, mas a regressao do VIX nas previsoes obtidas por eles apresentam correlacao serial, fato interpretado como uma superioridade do VIX na capacidade de previsao da volatilidade.

Utilizando outros modelos de previsao diferentes dos usados por Engle e Gallo (2006), Becker, Clements e White (2007) testam se este residuo e ortogonal a volatilidade realizada real, ou seja, se a parte do VIX nao explicada por modelos de series temporais contem algum poder explicativo sobre os dados reais. A conclusao dos autores e de que o VIX nao contem esta informacao adicional.

3. Volatilidade Implicita

3.1 Black-Scholes

Nesta secao sera desenvolvida uma breve descricao do modelo Black-Scholes, evidenciando-se seus principais pressupostos para que seja possivel apresentar as diferencas e as vantagens do VIX sobre esta formula de calculo da volatilidade implicita. Conforme apresentado em Hull (2008), as hipoteses do modelo sao:

1. O preco de um ativo segue um movimento Browniano geometrico com tendencia [mu] e volatilidade [sigma] constantes

2. E possivel a utilizacao de venda a descoberto

3. Nao ha custos de transacao ou taxas e os ativos sao perfeitamente divisiveis

4. Nao ha o pagamento de dividendos durante a vida do derivativo

5. Nao existe oportunidade para arbitragem

6. As transacoes ocorrem de forma continua

7. Existe uma taxa de juros livre de risco r, constante e igual para todas as maturidades

Em um periodo de tempo pequeno, a variacao do preco do ativo e do derivativo sao perfeitamente correlacionados. E possivel entao formar um portfolio livre de risco, comprando uma certa quantidade do ativo e ficando vendido nas opcoes de compra do mesmo ativo.

Sendo S o preco do ativo, f (S, t) o preco de um derivativo em funcao do preco do ativo subjacente e do tempo, c e p os precos de opcoes de compra e venda de uma opcao europeia, respectivamente, K o preco de exercicio da opcao, r a taxa de juros livre de risco anualizada, com capitalizacao continua, [mu] a tendencia anualizada de S, [sigma] a volatilidade do ativo, calculada como o desvio padrao do logaritmo de S, t o tempo em anos, sendo 0 o tempo inicial e T o tempo final e [PI] o valor de um portfolio.

O modelo parte do principio que o preco S de um ativo segue a um movimento Browniano geometrico

dS = [mu]Sdt + [sigma]SdW (1)

onde W e um Browniano. Aplicando o lema de Ito (3) no preco do derivativo f (S,T), usando o retorno de uma carteira teorica na estrategia delta-hegde com uma posicao vendida na opcao e [partial derivative]f/[partial derivative]S acoes compradas e para nao haver possibilidade de arbitragem temos

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (2)

A equacao (2) e conhecida como a equacao diferencial de Black-Scholes-Merton e corresponde aos diferentes derivativos baseados no ativo subjacente. Resolvendo esta equacao (4) chega-se ao preco da opcao de compra e de venda

c = [S.sub.0]N ([d.sub.1]) - [Ke.sup.-rT]N ([d.sub.2])

p = [Ke.sup.-rT]N (-[d.sub.2]) - [S.sub.0]N (-[d.sub.1])

onde

[d.sub.1] = ln ([S.sub.0]/k) + (r + [[sigma].sup.2]/2)T/[sigma][square root of T]

[d.sub.2] = ln ([S.sub.0]/k) + (r - [[sigma].sup.2]/2)T/[sigma][square root of T] = [d.sub.1] - [sigma] [square root of T]

e N (x) e a funcao de distribuicao acumulada da normal padrao.

A volatilidade [sigma] da serie de precos utilizada na formula nao e diretamente observada, sendo necessaria sua estimacao a priori. A estrategia utilizada pelos operadores e retirar esta volatilidade atraves dos precos observados das opcoes, ou seja, de forma implicita. Como nao e possivel isolar [sigma] nas equacoes acima, utiliza-se de procedimentos interativos para obter a volatilidade implicita do ativo, dado o seu preco, o preco de exercicio da opcao, a taxa de juros livre de risco e o tempo de maturidade.

3.2 VIX

Em 1993, o Chicago Board Options Exchange (CBOE) introduziu o CBOE Volatility Index denotado por VIX, que foi originalmente concebido para medir a expectativa de volatilidade implicita dos precos das opcoes dentro do dinheiro de 30 dias do Indice S&P100. O indice VIX logo se tornou referencia principal para a volatilidade do mercado de acoes dos EUA.

Dez anos mais tarde, em 2003, CBOE juntamente com o Goldman Sachs, atualizou o VIX para refletir uma nova maneira de medir a volatilidade esperada. O novo VIX e baseado no indice S&P500, o rnicleo do indice de acoes dos EUA, e as estimativas de volatilidade pela media ponderada dos precos das opcoes de compra e venda do SPX para diversas maturidades.

Em 2014, CBOE VIX aumentou o indice para incluir serie de SPX semanal. Introduzido pela primeira vez pela CBOE em 2005, opcoes semanais ja estao disponiveis em centenas de indices, acoes, ETFs e ETNs e tornaram-se uma ferramenta de gestao de risco muito popular e ativamente negociado. Hoje, SPX Semanal respondem por um terco de todas as opcoes SPX negociados, e media ao longo de um quarto de milhao de contratos negociados por um dia.

O indice de volatilidade VIX e calculado pela Chicago Board Options Exchange atraves das opcoes do S&P500 com base na seguinte formula:

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onde VIX = [sigma] * 100, T e o tempo ate o vencimento, F e o valor do indice futuro do S&P500, [K.sub.0] e o primeiro preco de exercicio (strike) abaixo de F, [K.sub.i] e o preco de exercicio da i-esima opcao fora do dinheiro, sendo uma opcao de compra se [K.sub.i] > [K.sub.0], uma opcao de venda se [K.sub.0] > [K.sub.i] ou ambas se [K.sub.0] = [K.sub.i], [DELTA][K.sub.i] = = [K.sub.i+1] - [K.sub.i]/2 R e a taxa livre de risco ate o vencimento, em torno de 30 dias corridos, ou seja, 1 mes e Q ([K.sub.i]) e o ponto medio da diferenca entre o preco de compra e venda (spread bid-ask).

Foram criados derivativos baseados no indice, como contratos futuros em 2004 e opcoes em 2006, por exemplo. Como ha uma relacao negativa entre retorno e volatilidade, o indice e seus derivativos sao usados como uma forma de reduzir a variancia de carteiras de ativos (5).

3.3 VIX x Black-Scholes

Com a posse das diferencas metodologicas do VIX e do Black-Scholes, e possivel observar os pontos criticos no calculo da volatilidade implicita do modelo Black-Scholes e as correcoes que a metodologia do VIX aplica neste calculo. A primeira diferenca aparece no fato do VIX usar uma soma ponderada de precos de opcoes, e nao apenas uma serie de precos como no Black-Scholes.

Exceto pela hipotese de volatilidade constante, a violacao de qualquer outra hipotese transforma o preco teorico em uma banda de precos, sendo entao impossivel retirar a volatilidade implicita do modelo. Outro problema no calculo da volatilidade implicita de um ativo e o fato de que opcoes com o mesmo tempo de vida para um mesmo ativo podem apresentar volatilidades diferentes conforme o preco de exercicio e alterado, o chamado sorriso da volatilidade, mas podendo acontecer o contrario, sendo conhecido como smirk. Na teoria, a volatilidade deveria ser igual para todos os precos de exercicio. As volatilidades das opcoes mais proximas do dinheiro sao menores do que as opcoes dentro ou fora do dinheiro. A explicacao para este efeito vao desde a hipotese de que os retornos sao normais (fato nem sempre verdadeiro), da volatilidade da equacao diferencial ser estocastica, problemas de microestrutura e erros de medida, como liquidez, bid-ask spread, espaco entre as observacoes e preferencia pelo risco por parte dos investidores.

Estes problemas nao estilo presentes no calculo do VIX. O fato de serem utilizadas tanto opcoes dentro ou fora, com ponderacoes que tornam o indice mais proximo das opcoes no dinheiro, acaba por eliminar o sorriso de volatilidade. O uso do ponto medio no bid-ask spread ao inves do proprio preco da negociacao e usado no calculo para mitigar o problema de mudancas espurias de precos (bid-ask bounce). Segundo Fleming et al (1995), o modelo Black-Scholes tambem nao leva em conta o exercicio antecipado das opcoes e/ou dividendos pagos pelo ativo subjacente.

4. Volatilidade Realizada

Reproduzindo o modelo simples para tempo discreto encontrado em McAleer e Medeiros (2008), os retornos diarios sao dados por

[r.sub.t] = [h.sup.1/2.sub.t] [[eta].sub.t]

onde [h.sub.t] e a variancia condicional, [{[[eta].sub.t]}.sup.T.sub.t=1] uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e normalmente distribuidas com media zero e variancia unitaria, [[eta].sub.t] ~ NID (0,1).

Suponha que, em um dia de negociacao t, o logaritmo dos precos e observado tick-by-tick. Considere a grade [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] contendo todos os pontos de observacao e o conjunto [p.sub.i,t], i = 1, ..., [n.sub.t] sendo o i-esimo preco observado durante o dia t, onde [n.sub.t] e o numero total de observacoes no dia t. Aleim disso, suponha que

[r.sub.t,i] = [h.sup.1/2.sub.t,i], [[eta].sub.t,i]

onde [[eta].sub.t,i] ~ NID (0, [n.sup.-1.sub.1]), [r.sub.t,i] = [p.sub.t,i] - [p.sub.t,i-1] e o i-esimo retorno intraperiodo do dia t tal que

[r.sub.t] = [[n.sub.t].summation over (i=0)] [r.sub.t,i]

e

[h.sub.t] = 1/[n.sub.t] [[n.sub.t].summation over (i=1)]

Definindo o conjunto de informacao [T.sub.t,i] [equivalent to] T [{[p.sub.a,b]}.sup.a=t,b=i.sub.a=-[infinity]] como a [sigma] - algebra gerado por toda a informacao para o i-esimo tick no dia t. Portanto, [T.sub.t,0] e o conjunto de informacao disponivel antes do inicio do dia t. Segue-se dai que E([r.sup.2.sub.t] | [T.sub.t,0]) = [h.sub.t] e V([r.sup.2.sub.t] | [T.sub.t,0]) = 2[h.sup.2.sub.t].

A variancia realizada e definida como a soma de todos os quadrados dos retornos intradiarios de alta frequencia:

RV [ol.sup.(all).sub.t] = [[n.sub.t].summation over (i=0)] [r.sup.2.sub.t,i] (3)

O retorno diario ao quadrado pode ser escrito como

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tal que

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e se os retornos intradiarios sao nao-correlacionados

E ([r.sup.2.sub.t] | [T.sub.t,0]) = E (RV [ol.sup.(all).sub.t] | [T.sub.t,0]) = [h.sub.t]

Tem-se entao dois estimadores nao viesados para a variancia media do retorno no dia t: o retorno ao quadrado do dia t e a variancia realizada definida em (3). Entretanto, pode-se mostrar que

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dado que

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ou seja, a variancia media dos retornos diarios pode ser estimada com maior acuracia somando-se os retornos intradiarios ao quadrado do que apenas calcular o retorno diario ao quadrado. Alem disso, quando os retornos sao observados em qualquer frequencia arbitraria, e possivel estimar a variancia media diaria livre de erros de medida como

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

O unico requisito necessario sobre a dinamica da variancia dos retornos intradiairios para que o resultado acima seja valido e que

[[n.sub.t].summation over (i=1)] [h.sup.2.sub.t,i] [varies] [n.sup.1+c.sub.t]

onde 0 [less than or equal to] c < 1. A metodologia em tempo continuo, baseada na variacao quadraitica, pode ser encontrada no mesmo trabalho dos autores.

Pela propria definicao da metodologia, quanto maior a frequencia dos dados, maior a acuracia na estimacao da volatilidade. O ideal, portanto, e utilizar todos os tick-bytick no calculo. Mas podem existir ruidos de microestrutura nestes dados (como descasamento de compra e venda (bid-ask bounce), negociacao assincrona, negociacoes infrequentes, precos discretos, dentre outros fatores). Estes problemas de microestrutura sao minimizados ao aumentar o tempo de coleta de dados. Temos entao um trade-off entre acuracia e ruidos de microestrutura. Andersen e Bollerslev (1998), Madhavan (2000) e Biais, Glosten e Spatt (2005) mostram que o intervalo (otimo de dados para o S&P500, indice utilizado neste artigo, e de 5 em 5 minutos.

O artigo de Andersen et al. (2007) examina a informacao contida nas previsoes mensais da volatilidade usando precos de opcoes e previsoes de series de tempo de volatilidade realizada. Os resultados destes autores sugerem que previsoes de volatilidade realizada baseadas no passado destas volatilidades sao nao viesadas e mais eficientes que as volatilidade implicitas do VIX e tao eficiente quanto as volatilidades implicitas do Black & Scholkes. Eles tambem mostram que previsoes de volatilidade condicionais em diferentes previsores de volatilidade podem implicar em ganhos preditivos. Eles tambem mostram que a utilizacao regressoes de previsoes de volatilidade realizada em volatilidade implicitas de opcoes apresentam problemas de falta de especificacao devido a memoria longa e variancia do premio de risco. Como neste trabalho controlamos por memoria longa estes problemas de falta de especificacao nao estao presentes neste trabalho.

No artigo de Andersen et al. (2011) sao explorados os resultados analiticos para as previsoes baseadas na forma reduzida da volatilidade realizada como em Andersen, Bollerslev & Meddahi (2004) para permitir fricoes de microestrutura de mercado nos retornos de alta frequencia observados. Os resultados construidos usando a representacao de autovetores da classe de modelos de volatilidade estocastica desenvolvidos por Meddahi (2001). Alem das medidas tradicionais volatilidade realizada e o papel da amostragem subjacente as frequencias, eles tambem explorarmos o desempenho de previsao de varias medidas de volatilidade alternativas de forma a atenuar o impacto do ruido de microestrutura. A analise e facilitada por uma simples unificada representacao forma quadratica para todos estes estimadores. Os resultados sugerem que o impacto negativo do ruido sobre a precisao das previsoes pode ser substancial. Alem disso, as previsoes lineares com base no estimador da media (ou sub-amostra) obtido por media de medias de volatilidade realizadas geralmente tem desempenho semelhante as melhores medidas robustas alternativas. Como neste artigo nao controlamos por micro-estrutura algumas das criticas de Andersen et al (2011) sao pertinentes e nossas conclusoes devem ser relativizadas.

No artigo de Becker et al. (2007) e examinado se o VIX contem informacao relevante pra a previsao futura da volatilidade alem das previsoes da volatilidade baseadas em modelos Eles mostram que o VIX nao contem informacao adicional nas previsoes da volatilidade. Este resultado, como mostrado neste artigo, depende se estamos em momentos de crise ou de calmaria, sendo uma das contributes deste artigo esta comprovacao.

O criterio adotado para a definicao do periodo de crise foi o patamar de 20% para o VIX. Desconsiderando alguns picos de curto prazo, de 9 de maio de 2003 a 25 de julho de 2007 o indice permaneceu abaixo do valor de 20%, ultrapassando a marca a partir do dia 26 de julho de 2007, ficando acima deste valor ate o final da amostra em 30 de julho de 2010, novamente desconsiderando alguns poucos dias onde o valor foi inferior a 20%. Portanto temos 1060 dias no periodo sem crise e 760 no periodo de crise.

5. Modelo de Erro Multiplicativo

Modelos GARCH podem ser utilizados em outras variaveis que nao simplesmente o retorno das series. Um dos pioneiros e o mais conhecido e o Autoregressive Conditional Duration (ACD) de Engle e Russell (1998), onde a duracao irregular entre eventos e tratada atraves de modelos ARCH. A duracao e um caso especifico de variaveis nao-negativas. Uma generalizacao do ACD e o modelo de erro multiplicativo (Multiplicative Error Model--MEM) desenvolvido por Engle (2002). A especificacao deste modelo ei dada por

[x.sub.t] = [[mu].sub.t] [[epsilon].sub.t]

onde [x.sub.t] e um processo univariado nao-negativo. Condicional ao conjunto de informacao [T.sub.t-i], com informacao disponivel ate t - 1, [[mu].sub.t] e um processo nao-negativo previsivel, dependente do vetor de parametros desconhecidos [theta]

[[mu].sub.t] = [[mu].sub.t] (9)

e o erro [[epsilon].sub.t] e um processo i.i.d. estocastico condicional, com suporte naonegativo para a densidade, com media 1 e variancia desconhecida

[[sigma].sup.2.sub.t] [[epsilon].sub.t] | [T.sub.t-1] ~ D(1, [[sigma].sup.2.sub.t])

E([x.sub.t] | [T.sub.t-1]) = [[mu].sub.t]

V([x.sub.t] | [T.sub.t-1]) = [[sigma].sup.2.sub.t][[mu].sup.2.sub.t]

Torna-se necessario entao adotar uma funcao de densidade parametrica para [[epsilon].sub.t] e especificar uma equacao para [[mu].sub.t]. Assumindo uma distribuyo Gama para o erro com parametros [phi] tem-se

[[epsilon].sub.t] | [T.sub.t-1] ~ Gama([phi], [phi])

com E([[epsilon].sub.t] | [T.sub.t-1]) = 1 e V([epsilon]t | [T.sub.t-1]) = 1/[phi]. Logo, utilizando-se das propriedades da funcao de distribuicao Gama temos:

[x.sub.t] | [T.sub.t-1] ~ Gama([phi], [phi]/[[mu].sub.t]) (4)

Para facilitar a estimacao, a relacao dada entre a funcao Gama e a distribuicao generalizada do erro (GED), nos da a seguinte relacao

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Logo, a correspondencia da densidade condicional de [x.sub.t] e [x.sup.[phi].sub.t] e dado por

[x.sup.[phi].sub.t] = [[mu].sup.[phi].sub.t] [v.sub.t]

onde [v.sub.t] | [T.sub.t-1] ~ 0.5-GED(0,1, [phi])

Fazendo [phi] = 1/2 temos

[square root of [x.sup.t]] = [square root of [[mu].sub.t][v.sub.t]]

onde

[v.sub.t] | [T.sub.t-1] ~ 0.5 - Normal(0,1)

ou seja, os modelos devem ser estimados utilizando os segundos momentos condicionais da raiz quadrada das variaveis, impondo-se media zero e assumindo normalidade nos erros, usando rotinas habituais de estimacoes de modelos GARCH.

A media pode ser especificada na forma (p, q) como em Engle (2002)

[[mu].sub.t] = [omega] + [p.summation over (j=1)] [[alpha].sub.j] [x.sub.t-j] + [q.summation over (j=1)] [[beta].sub.j][ [mu].sub.t-j] + [gamma]'[z.sub.t]

com [z.sub.t] sendo um vetor de variaveis exogenas fracas ou, como no caso deste artigo, variaveis predeterminadas, dado que as variaveis a serem incluidas sao defasadas em um periodo.

Uma condicao suficiente para garantir que [x.sub.t] seja nao-negativo, caso todas variaveis em [z.sub.t] sejam positivas, e que os parametros do modelo sejam positivos. Para assegurar que [x.sub.t] seja estacionario em covariancia, e condicao suficiente que tambem [z.sub.t] o seja e

[p.summation over (j=1)] [[alpha].sub.j] + [q.summation over (j=1)] [[beta].sub.j] < 1

Neste artigo sera usado o GARCH na forma (1,1) (6).

5.1 Estimacao

Dado (4), a contribuicao de [x.sub.t] para o log da funcao de verossimilhanca e dado por

lt = ln Lt = [phi] ln [phi] - ln[GAMMA] ([phi]) + ([phi] - 1) ln [x.sub.t] - [phi] (ln [[mu].sub.t] + [x.sub.t]/[[mu].sub.t])

enquanto que a contributo para o score e

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sendo

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onde [psi] ([phi]) = [GAMMA]'([phi])/[GAMMA]([phi]) e a funcao Digama e o operador [[nabla].sub.[lambda]] sao as derivadas em relacao aos componentes de [lambda], com [lambda] = ([theta]; [phi]).

A contribuicao de [x.sub.t] para a matriz Hessiana e

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sendo

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onde [psi]' ([phi]) e a funcao Trigama.

As condicoes de primeira ordem para [theta] e [phi] sao dadas por

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII].

Observa-se que as condicoes de primeira ordem para [theta] nao dependem de [phi], o que implica que, independentemente do valor assumido de [phi], as estimativas para [theta] serao as mesmas. A estimacao por maxima verossimilhanca de [phi] pode ser feita apos a estimacao de [theta].

Alem disso, se [[mu].sub.t] = E ([x.sub.t] | [T.sub.t-1]), o valor esperado do score de [theta] avaliado no parametro verdadeiro e zero, independentemente da hipotese de [[epsilon].sub.t] | [T.sub.t-1] ter distribuicao Gama. Desta forma, estas funcoes de verossimilhanca podem ser interpretadas como quase-verossimilhanca e, portanto, o estimador [??] e um estimador de quase-verossimilhanca.

5.2 Inferencia

A matriz de variancia-covariancia assintotica do estimador de maxima verossimilhanca e dada por (7)

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Nota-se que mesmo [phi] nao estando envolvido na estimativa de [theta], a variancia de [??] e proporcional a 1/[phi]. Tambem pode-se observar que os estimadores de maxima verossimilhanca de [??] e [??] nao sao correlacionados assintoticamente.

Explorando a ortogonalidade de [theta] e [phi], e possivel o uso de diversos estimadores de [phi]. Um deles, proposto por Cipollini et al. (2006), apos definir [u.sub.t] = [x.sub.t]/[[mu].sub.t-1], tem-se V ([u.sub.t] | [T.sub.t-1]) = [[phi].sup.-1], o que leva ao estimador do meitodo de momentos

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A inferencia sobre [theta] e [phi] e baseada nas estimativas de [V.sub.[infinity]], que podem ser obtidas atraves das medias das Hessinas ou do produto dos gradientes avaliado nas estimativas [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII].

O estimador sanduiche de Huber-Eicker-White e dado por

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

onde

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elimina a dependencia da submatriz relativa a [theta] e [phi].

Portanto, para a estimacao, basta impor media zero a raiz quadrada da variaivel de interesse e estimar um GARCH em qualquer software econometrico. Os erros padroes utilizados devem ser os erros padroes robustos de Bollerslev-Wooldridge, pois se a equacao da media e da volatildade estiverem corretamente especificadas, o estimador de quase-verossimilhanca e consistente e assintoticamente normalmente distribuido (8).

5.3 Modelo de Engle e Gallo

Nesta secao, a metodologia utilizada para testar o poder preditivo do VIX serai semelhante a apresentada por Engle e Gallo (2006). A proposta dos autores e criar um modelo GARCH, cuja sua previsao seja capaz de aderir a volatilidade implicita dada pelo VIX. As variaveis utilizadas em conjunto no trabalho foram retorno absoluto diario, o intervalo entre o maximo e o minimo diario e a volatilidade realizada diaria, todas naonegativas. A justificativa para o uso de tais variaveis e que a dinamica entre as tres pode variar significativamente ao longo dos dias. Como exemplo, pode-se ter um retorno diario zero, mas com alta ou baixa volatilidade durante o dia. Alem disso, a amplitude pode ser alta, mesmo num dia de baixa volatilidade. A figura 2 sintetiza a discussao.

Cada grafico apresenta a dinamica de um particular dia, com as cotacoes dadas a cada meia hora. Ambos apresentam retornos absolutos diarios iguais a zero, com o preco de fechamento sendo igual ao fechamento do dia anterior. O maximo e o minimo dos dias tambem e o mesmo, 12 e 8, respectivamente. Mas a volatilidade durante o dia ei muito maior no primeiro grafico. Outras combinacoes podem acontecer, mostrando a importancia de cada variavel na caracterizacao das negociacoes durante o dia.

Para cada uma das tres variaveis tem-se

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onde [r.sub.t] = ln([C.sub.t]/[C.sub.t-1]), com [C.sub.t] sendo o preco de fechamento do dia, H [L.sub.t] = ln([H.sub.t]/[L.sub.t]), onde [H.sub.t] e [L.sub.t] sao o maximo e o minimo dos precos durante o dia, respectivamente, e [v.sub.t] e a raiz quadrada da variancia realizada dada por RV [ol.sub.t] = [[summation].sup.M.sub.j=1] [r.sup.2.sub.t,j].

O sistema destas variaveis e dado por

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onde [dot encircle] indica o produto de Hadamard e [THETA] e uma matriz de varianciacovariancia diagonal 3 x 3, nao apresentando perda de consistencia, mas de eficiencia no modelo. Segundo Davidian e Carroll (1987), a utilizacao do retorno absoluto apresenta maior robustez frente a assimetria e naonormalidade do que os retornos ao quadrado na estimacao da variancia. Um dos primeiros trabalhos a utilizar os dados de preco maximo e minimo diairio foi Garman e Klass (1980).

Cada variavel e modelada com a inclusao das demais variaveis defasadas, alem de permitir assimetria nos retornos, seja com o uso da variavel dummy [d.sub.t] = I ([r.sub.t] < 0) e/ou o retorno defasado [r.sub.t-1], como no modelo APARCH de Ding et al. (1993).

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Pelas equacoes acima, podemos observar que ate seis variaveis predeterminadas sao introduzidas na especificacao GARCH (1,1). Este ultimo modelo sera utilizado como base para a posterior comparacao com os modelos aumentados pelas variaveis predeterminadas. O total de modelos a serem estimados e de [2.sup.6] = 64. O melhor modelo foi escolhido conforme o menor criterio de Schwartz (BIC).

Com posse dos melhores modelos, sao feitas previsoes para 1 dia, 2 dias, ..., 20 dias a frente, considerando a lei de formacao em que cada variavel predeterminada e mantida constante ao longo do periodo de previsao (naive). As previsoes sao somadas a fim de se obter a previsao de um mes a frente, para fins de comparacao com o horizonte temporal do VIX.

Os resultados encontrados em Engle e Gallo (2006) indicam que o modelo GARCH (1,1) aumentado e superior ao GARCH (1,1) nao aumentado, apresentando uma maior aderencia ao VIX. Mesmo assim, o modelo apresenta correlacao nos residuos, um sinal para os autores de que o VIX realmente contem informacoes adicionais nao captados pelos modelos GARCH. Tem-se entao

[VIX.sub.t] = [VIX.sup.MST.sub.T] + [VIX *.sub.t]

ou seja, o VIX conteim dois componentes: um que pode ser captado por modelos de series temporais (MST) e outro componente proprio, atribuido a precificacao dos operadores de opcoes. Ambos os componentes sao ortogonais entre si.

Uma forma equivalente desta equacao e

[VIX.sub.t] = [[gamma].sub.0] + [[gamma].sub.1][[omega].sub.t] + [[epsilon].sub.t] (5)

com [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Portanto, o VIX apresentara mais informacoes do que modelos de series temporais se [VIX.sup.*.sub.t] apresentar algum poder explicativo da volatilidade realizada.

Esta hipotese de informacao adicional do VIX foi testada por Becker, Clements e White (2007) utilizando estimacoes por GMM. Os autores estimam 8 modelos de volatilidade e obtem a previsao dos mesmos. Os modelos sao: i) GARCH ([GAR.sub.t]), ii) GARCH adicionado de volatilidade realizada como variavel explicativa na equacao da variancia condicional ([GAR.sup.+.sub.t]), iii) volatilidade estocastica ([SV.sub.t]), iv) volatilidade estocastica com a adicao da volatilidade realizada como variavel explicativa ([SV.sub.t.sup.+]), v) modelo ARMA ([AR.sub.t]), vi) modelo ARFIMA ([ARF.sub.t]), vii) MIDAS ([MAR.sub.t]), viii) volatilidade realizada (RV [o.sub.lt]).

[[omega].sub.t] = ([GAR.sub.t], [GAR.sup.+.sub.t], [SV.sub.t], [SV.sub.t.sup.+], [AR.sub.t], [ARF.sub.t], [MAR.sub.t], RV [o.sub.lt])

Com posse das 8 previsores, e possivel testar diretamente a ortogonalidade De [VIX.sup.*.sub.t] com a proxy da verdadeira volatilidade, no caso a volatilidade realizada, pelo metodo de momentos generalizados (GMM).

O estimador de GMM de [gamma] = ([[gamma].sub.0], [[gamma]'.sub.1])' em (5) minimiza V = M'HM, onde M = [T.sup.-1] ([[epsilon].sub.t] ([gamma])' [Z.sub.t]) e um vetor k x 1 de condicoes de momentos, H e uma matriz de pesos k x k e [Z.sub.t] e um vetor de instrumentos. Para minimizar a variancia dos coeficientes, H e escolhida como sendo a matriz de variancia-covariancia da condicao de momento [kappa] em M, permitindose correlacao nos residuos. Sempre que k for maior que a dimensao de [gamma], o teste de restricoes sobre-identificadas J = TM'HM e distribuido como uma [chi square] com [kappa] menos a dimensao de [gamma] graus de liberdade sob a hipotese nula de que os residuos em (5) nao apresentam correlacao com os elementos de [Z.sub.t]. Neste vetor de instrumentos estao contidas as variaveis de [[omega].sub.t] e RV [ol.sub.t+20], a volatilidade realizada para diversos periodos, dada pela variancia realizada calculada com dados intradiarios

[Z.sub.t] = ([[omega]'.sub.t], RV [ol'.sub.t+20])'

Chernov (2002) afirma que a volatilidade implicita reflete a volatilidade do premio de risco. Isto significa que o VIX pode ter um vies positivo em relacao a futura volatilidade. Por isso, faz-se necessario a inclusao de uma constante em [[omega].sub.t]. Alem disso, o autor sugere que o premio de risco pode variar e ser correlacionado com o nivel corrente da volatilidade. Para evitar este tipo de problema, uma proxy da volatilidade corrente, a volatilidade realizada, ei adicionada ao vetor de instrumentos.

Ja o vetor RV [ol.sub.t+20] contem os valores realizados da volatilidade no periodo de ate 20 dias apos a data t. A inclusao de mais dias, e nao somente o valor do vigesimo dia, foi utilizada para testar se o VIX possui algum poder explicativo tambem para horizontes mais curtos. Assim, RV [ol.sub.t+20] e definido como

RV [ol.sub.t+20] = {bar.RV [ol].sub.t+1], [bar.RV [ol].sub.t+5], [bar.RV [ol].sub.t+10], [bar.RV [ol].sub.t+15], [bar.RV [ol.sub.t+20]]}

onde [bar.RV [ol].sub.t+j] e a media dos dias t + 1 a t + j.

Basta entao regredir o VIX sobre os instrumentos [Z.sub.t]. Caso o teste de sobre-identificacao apresente um p-valor alto para a estatistica J, concluise que o componente nao explicado e ortogonal ao valor real da variancia realizada, ou seja, o VIX nao contem nenhuma informacao adicional que os demais modelos na previsao da volatilidade.

Utilizando-se dos 8 modelos citados, os autores chegam a conclusao de que o VIX nao contem maiores informacoes do que os modelos tradicionais ja proporcionam. O mesmo teste sera realizado neste artigo, mas levando em conta as previsoes dos 3 modelos propostos por Engle e Gallo (2006) e a soma das previsoes, nao mais a media, o que faz com que o nosso teste englobe tanto o de Engle e Gallo (2006) quanto o de Becker et al (2007).

6. Resultados

A figura 3 e a tabela 2 de estatisticas descritivas apresentam as series utilizadas no modelo, tanto para o periodo sem crise quanto para o de crise. As series foram transformadas para apresentar a mesma media que a serie do S&P500.

Os modelos escolhidos para o periodo sem crise conforme o criterio de informacao de Schwarz sao:

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enquanto que para o periodo de crise sao:

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Para fins de comparacao com o VIX, que representa opcoes com um mes para vencimento, foi feita a previsao ate 20 dias a frente para cada equacao, periodo relativo a um mes de negociacoes, tanto para o modelo aumentado quanto para o modelo GARCH nao aumentado, chamado de modelo base. Feita a previsao para os dias selecionados, a amostra e deslocada um periodo a frente, mantendo-se o tamanho de 700 observacoes, sendo obtidas novas previsoes. O procedimento e repetido entao ate o final da amostra, 360 vezes para o periodo sem crise e 760 para o periodo de crise. As previsoes e o VIX sao mostrados na figura 4.

Para testar a qualidade das previsoes tendo como referencia o VIX, realiza-se uma regressao do VIX em um AR (1), na constante e nas previsoes de volatilidade. A tabela 3 mostra os resultados para o periodo sem crise.

A afirmacao de Engle e Gallo (2006) de que as previsoes dos modelos GARCH aumentados com as variaveis predeterminadas apresentam maior aderencia ao VIX do que os modelos base e confirmada no periodo sem crise. A constante e o termo autorregressivo sao significantes em todas as regressoes. O BIC da primeira regressao e de 2,868, o [R.sup.2] e de 0,808 e o termo AR (1) ultrapassa os 0,9. Ao serem adicionadas as previsoes dos modelos aumentados, ha um ganho tanto no [R.sup.2], que chega a 0,903, quanto no BIC, que e de 2,235. O coeficiente autorregressivo cai para 0,817 e das tres previsoes, apenas [SP500.sub.a] nao e significativa a 5%. Se forem adicionadas previsoes obtidas de modelos base, ha uma piora no criterio de informacao, que fica em 2,906, sinalizando nao so que a escolha do melhor modelo entre os 64 modelos possiveis com a adicao das variaveis predeterminadas contribuiu para uma melhor aderencia ao VIX, como tambem que o AR (1) e superior aos modelos base, devido ao fato das tres previsoes nao serem significativas a 5%. A ultima linha apresenta a inclusao de todas as variaveis no modelo, e as previsoes do SP500, seja no modelo aumentado ou no base, nao sao significativas.

Observa-se que os residuos apresentam correlacao serial em todas as regressoes, como verificado pelo teste LM de Breusch-Godfrey com quatro defasagens. Para os autores, esta auto-correlacao e um indicio de que o VIX apresenta um componente extra que nao pode ser capturado por modelos tradicionais de volatilidade, fato que sera discutido mais a frente.

Nos dados para o periodo de crise, mostrados na tabela 4, as constantes e os coeficientes autorregressivos continuam significativos, e os ultimos apresentam um aumento frente ao periodo sem crise, chegando ate 0,974 na primeira e na ultima regressao. As tres previsoes dos modelos aumentados sao significativas a 5%, mas o ganho no [R.sup.2] e no BIC sao minimos frente a primeira regressao. Ja em relacao a terceira regressao, mesmo as previsoes nao sendo significativas, o poder explicativo e o mesmo da primeira regressao e apenas um pouco inferior a segunda regressao. Na ultima regressao, apenas a previsao obtida do modelo do [SP500.sub.b] nao aumentado nao e significativa. Pode-se afirmar entao que a escolha do melhor modelo aumentado nao gera ganhos tao grandes no periodo de crise como no periodo sem crise.

Tambem foi analisada a aderencia de todas as previsoes, incluindo o VIX, frente a variancia realizada acumulada durante 20 dias, uma proxy da verdadeira volatilidade ocorrida em cada periodo, utilizando o metodo de minimos quadrados ordinarios, regredindo a variancia realizada acumulada em 20 dias sobre cada variavel de forma individual e com a adicao do VIX como segunda variaivel explicativa, aleim da constante.

Como apontado na tabela 5, no periodo sem crise, todas as quatro variaveis e as constantes sao positivas e significativas a 5% nas regressoes com apenas uma variavel explicativa, e o VIX apresenta apenas o terceiro maior poder explicativo, com um [R.sup.2] de 0,161. A partir da quinta regressao, o VIX e adicionado como segunda variavel explicativa. Sua adicao aumenta o poder explicativo de SP500a em 2,5% (0,144 para 0,169 de [R.sup.2]), de H [L.sub.a] em 1,2% e RVola em 2,8%. O VIX deixa de ser significativo quando adicionado a H [L.sub.a] e RV[ol.sub.a.] Na adicao ao [SP500.sub.a], o VIX continua significante, a contrario do proprio [SP500.sub.a]. A parte final da tabela apresenta a matriz de correlacao das quatro variaveis. Como ha uma grande correlacao entre elas, [SP500.sub.a], H [L.sub.a] e VIX acabam perdendo significancia na regressao completa, nao sendo possivel a analise da mesma. A ultima linha da primeira parte da tabela mostra que apenas RV[ol.sub.a] e significante, e apesar do [R.sup.2] ser o maior de todos os modelos, o BIC e apenas o terceiro menor.

Nos modelos base, apresentados na tabela 6, apenas o VIX e RV [ol.sub.b] sao significativos nas regressoes com apenas uma variavel explicativa, e o [R.sup.2] e o BIC do modelo com o VIX apresentam grande superioridade aos demais. Todas as constantes sao significativas. A adicao do VIX como segunda explicativa aumenta o poder explicativo das tres previsoes em mais de 10 pontos percentuais. Alem disso, o VIX concentra todo o poder explicativo, dado que as previsoes nao sao significantes. Conclui-se entao que aumentar os modelos no periodo sem crise gera um ganho significativo no poder explicativo frente a volatilidade realizada. E possivel observar tambem que a correlacao entre as variaveis apresenta grande reducao, nao sendo superior a 66% entre H [L.sub.b] e RV[ol.sub.b]. Apenas o VIX e [SP500.sub.b] sao significativos, e o segundo apresenta sinal negativo. O [R.sup.2] ei o maior de todos e o BIC e semelhante aos modelos com a presenca do VIX.

A tabela 7 apresenta os mesmos dados da tabela 5, mas agora para o periodo de crise. De forma individual, e possivel observar que o VIX nao apresenta grandes diferencas frente as outras tres previsoes, apresentando um [R.sup.2] maior e um BIC menor apenas em relacao a H [L.sub.a]. Ja a adicao como segunda variavel explicativa apresenta ganhos significativos de [R.sup.2] em H [L.sub.a] e RV[ol.sub.a] e ganhos mais modestos em [SP500.sub.a]. As constantes nas regressoes com apenas o VIX como explicativa e do VIX com [SP500.sub.a] e H [L.sub.a] nao sao significativas, indicando que nao ha a presenca de vies nestes modelos. A correlacao agora e muito alta, chegando a atingir 95% entre [SP500.sub.a] e H [L.sub.a], sinalizando problemas de multicolinearidade, possivel causador do sinal negativo em HLa. Apenas [SP500.sub.a] nao e significativa, e o [R.sup.2] chega a 0,618, o maior dentre todos. O BIC tambem sinaliza que o modelo ei o melhor na tabela.

A tabela 8 para o periodo de crise com as previsoes dos modelos base confirmam os dados apresentados nas tabelas 3 e 4, pois nao ha novamente uma melhora significativa dos modelos base para os aumentados. Os [R.sup.2] de [SP500.sub.a], H [L.sub.a] e RV[ol.sub.a] sao de 0,550, 0,481 e 0,544 na tabela 7, enquanto os [R.sup.2] de [SP500.sub.b], H [L.sub.b] e RV[ol.sub.b] sao de 0,559, 0,524 e 0,515 na tabela 8, respectivamente, mostrando que apenas RVol apresentou melhora ao aumentar o modelo. A correlacao entre H [L.sub.b] e RV[ol.sub.b] ultrapassa os 95%, mais uma vez apontando multicolinearidade, fazendo com que a anailise individual das variaveis seja mais relevante. Todas as variaveis sao significativas e os criterios de informacao desta regressao sao os melhores da tabela. Novamente H [L.sub.a] apresenta sinal negativo, causado pelo problema de multicolinearidade.

Pela metodologia de Becker, Clements e White (2007), a afirmacao de Engle e Gallo (2006) de que o residuo apresentado nas tabelas 3 e 4 contem informacoes relevantes que os operadores sao capazes de embutir nos precos dos ativos e testada na tabela 9 para os modelos aumentados no periodo sem crise.

Na primeira equacao, como nao ha variaveis instrumentais, os estimadores sao os mesmos que uma regressao por minimos quadrados ordinarios pois o sistema e exatamente identificado, nao apresentando, portanto, a estatistica J. Este modelo foi colocado na tabela para servir como referencia na comparacao com os demais. As variaveis explicativas no modelo sao as previsoes obtidas nos modelos GARCH aumentados e o valor real da variancia realizada, alem da constante.

Para a estimacao da matriz de pesos H, foi utilizado o algoritmo de Andrews e Monahan. Como teste de robustez, a matriz H tambem foi calculada utilizando-se do estimador de Newey-West com a largura da banda de 20 e 40, alem da escolha automatica definida conforme a amostra. Assim como o encontrado em Becker, Clements e White (2007) para os 8 modelos, os 3 modelos de Engle e Gallo (2006) conseguem captar as mesmas informacoes sobre a volatilidade que o VIX e capaz. O p-valor da estatistica J, apresentado na ultima coluna, indica que nao e possivel rejeitar a hipotese de que o VIX nao contem informacao relevante frente as previsoes dos 3 modelos, a um nivel de significancia de 5%. Na ultima regressao, a estatistica J e de 0.062, indicando que o VIX pode ter alguma informacao a mais do que os modelos de serie de tempo no curto prazo, ainda que apenas marginalmente. Exceto pelas constantes e por RVol, todas as variaveis sao significantes e positivas.

Na tabela 10 sao apresentadas as estatisticas J nas quatro formas estimadas da matriz H. O resultado e mantido, independentemente do criterio de estimacao.

Na tabela 11 foram utilizadas as previsoes obtidas atraves dos modelos base, ou seja, um GARCH (1,1) sem variaveis explicativas predeterminadas. Observa-se que a hipotese nula e rejeitada a 5% para todos os periodos utilizados como instrumentos, ou seja, deixando-se de melhorar o modelo com a inclusao das variaveis explicativas, perde-se informacao relevante sobre a volatilidade futura, comprovando a importancia citada por Engle e Gallo (2006) de aumentar o modelo GARCH. A previsao H [L.sub.b] e a tinica variavel nao significativa, alem da constante.

Mas, ao realizar a estimacao da matriz H com outro metodo, o resultado nao se mantem, como observado na tabela 12. A estatistica J aumenta da esquerda para a direita, ou seja, conforme o metodo de estimacao, as previsoes dos modelos base podem ou nao conter todas as informacoes relevantes que o VIX contem. Mesmo assim, e possivel observar que o p-valor e reduzido conforme a reducao do horizonte de previsao, constatado pela queda do valor ao longo das colunas, sinalizando que o VIX pode conter informacoes relevantes no curto prazo.

As estimativas para os modelos aumentados para o periodo de crise sao apresentadas na tabela 13. Observa-se que, durante a crise, o VIX apresenta informacoes frente a verdadeira volatilidade que os modelos utilizados nao sao capazes de capturar, dado o baixo p-valor apresentado em todos os periodos. H [L.sub.a] nao e significativo em nenhum dos horizontes, enquanto que [SP500.sub.a] nao o e apenas naregressao com RV[ol.sub.t+20] como instrumento. Os coeficientes de RV[ol.sub.a] sao negativos e estao mais proximas de zero do que os coeficientes das demais variaveis.

Assim como na analise anterior dos modelos base para o periodo sem crise, o metodo de estimacao de H altera os resultados, como mostrado na tabela 14. Para a estimacao com todos os instrumentos e para o horizonte de 20 dias, a estatistica J ultrapassa os 5% ao utilizar o metodo de NeweyWest. Ja para horizontes inferiores, o VIX apresenta informacoes a mais, independente do metodo de estimacao.

Os dados para o periodo de crise com previsoes dos modelos base sao apresentados na tabela 15. Nas regressoes com RV[ol.sub.t+20], RV[ol.sub.t+15] e RV[ol.sub.t+10] como instrumentos individuais nao e possivel rejeitar a hipotese de que o VIX nao contem mais informacoes do que os modelos GARCH, dado os p-valores de 0,836, 0,739 e 0,318 da estatistica J. Japara RV[ol.sub.t+5] e RV[ol.sub.t+1], o VIX contem estas informacoes, fazendo com que o p-valor da regressao com todos os instrumentos tambem seja baixo. RV[ol.sub.b] nao e significativo em nenhum momento, enquanto H [L.sub.b] nao apresenta significancia com todos os instrumentos e com apenas RV[ol.sub.t+20] como instrumento. A variavel tambem e a unica negativa na tabela, para qualquer que seja o horizonte.

A tabela 16 apresenta os testes de robustez para os modelos base durante a crise. Observa-se que a informacao extra que o VIX tem a mais que as previsoes nao e mantida ao se mudar o metodo de estimacao. O padrao de reducao da estatistica J com a diminuicao do horizonte permanece.

Conclui-se entao que aumentar os modelos GARCH com a adicao das variaveis predeterminadas apresenta resultados positivos apenas no periodo sem crise, pois os modelos aumentados apresentaram uma melhor aderencia ao VIX, assim como o encontrado por Engle e Gallo (2006). Ja no periodo de crise, nem os modelos aumentados quanto os base conseguiram captar toda a informacao relevante que o VIX contem, pelo menos para curtos horizontes de tempo.

7. Conclusao

Este artigo buscou testar se a volatilidade implicita e a melhor previsora da volatilidade futura em comparacao a modelos de series temporais durante o periodo da crise imobiliaria americana. Para realizar a comparacao foi necessaria a definicao de quais modelos seriam utilizados dentro de cada grupo. Para a volatilidade implicita, o indice de volatilidade VIX foi escolhido por mitigar diversas hipoteses necessairias na formulacao do tradicional modelo de volatilidade implicita de Black-Scholes.

O VIX foi testado como uma possivel variavel preditiva da volatilidade futura. Seguindo Engle e Gallo (2006), foram criados modelos GARCH aplicados a variaveis nao-negativas, com a permissao de assimetria e adicao de variaveis explicativas na variancia condicional. Assim como encontrado pelos autores, estes modelos apresentam maior poder preditivo frente a simples modelos GARCH sem assimetria ou nao adicao de variaveis explicativas, mas apenas para o periodo sem crise. No periodo de crise, nao ha ganhos no aumento dos modelos GARCH. Os mesmos autores afirmam que, por conter as visoes dos operadores de opcoes sobre eventos futuros, a volatilidade implicita e o melhor previsor da volatilidade. Esta afirmacao foi analisada segundo a metodologia de Becker, Clements e White (2007), onde foi testado se o componente do VIX nao explicado pelos modelos GARCH, sejam aumentados ou nao, apresenta algum poder preditivo. Encontram se evidencias de que isto e verdade apenas para curtos horizontes de tempo durante o periodo de crise.

Tem-se entao que a conclusao sobre a qualidade das previsoes pode variar significativamente conforme o periodo de analise. No periodo onde a volatilidade e baixa, os resultados encontrados corroboram as opinioes dos autores citados, fato nao obtido de meados de 2007 a meados de 2010.

Referencias

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Submetido em 7 de dezembro de 2015. Reformulado em 18 de dezembro de 2015. Aceito em 18 de dezembro de 2015. Publicado on-line em 20 de Janeiro de 2015. O artigo foi avaliado segundo o processo de duplo anonimato alem de ser avaliado pelo editor. Editor responsavel: Marcio Laurini.

Luis Fernando Pereira Azevedo, Escola de Economia de Sao Paulo--FGV e CEQEF-FGV E-mail: lfavezedo@ gmail.com

Pedro L. Valls Pereira, Escola de Economia de Sao Paulo--FGV e CEQEF-FGV. E-mail: pedro.valls[R] fgv.br. Ambos os autores agradecem financiamento do CNPq e o segundo autor agradece tambem o financiamento da FAPESP. Os autores agradecem ao editor e a dois pareceristas anonimos desta revista pelos comentarios e sugestoes. Erros remanescentes sao de responsabilidade dos autores

(1) Fonte: Yahoo Finance

(2) Mais detalhes sobre o modelo Black-Scholes serao abordados na Secao 3.1.

(3) Maiores detalhes sobre o lema de Ito podem ser obtidos em Ito (1951).

(4) A demonstracao da solucao da equacao diferencial foge do escopo deste artigo. Maiores detalhes podem ser obtidos em Black e Scholes (1973).

(5) Para maiores detalhes ver The CBOE Volatility Index--VIX, disponivel em https://www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf

(6) Outros modelos foram usados mas os resulatdos permanecem similares.

(7) Cipollini, Engle e Gallo (2006)

(8) Bollerslev e Wooldridge (1992).

Tabela 1

Estatisticas Descritivas

Estatistica          Periodo sem Crise
                S&P500      VIX       RVol

Media           1218,71    14,46    5,49E--03
Mediana         1203,30    13,97    5,13S--03
Maximo          1553,08    23,81    1,41s--02
Minimo          919,73     9,89     1,66S--03
Desvio Padrao   142,60     2,86     1,78S--03
Assimetria       0,36      0,60       1,00
Curt ose         2,58      2,54       4,26
Jarque Bera      30,05     73,89     247,84
                [0,000]   [0,000]    [0,000]
No. Obs.         1060      1060       1060

Estatistica          Periodo de Crise
                S&P500      VIX       RVol

Media           1149,70    29,12    1,21s--02
Mediana         1114,45    24,97    9,87S--03
Maximo          1565,15    80,86    7,13S--02
Minimo          676,53     15,58    2,53S--03
Desvio Padrao   221,22     11,97    7,89S--03
Assimetria       0,06      1,76       2,50
Curt ose         1,94      5,93       11,95
Jarque Bera      35,99    665,94     3327,12
                [0,000]   [0,000]    [0,000]
No. Obs.          760       760        760

Estatistica           Amostra Completa
                S&P500      VIX       RVol

Media           1189,89    20,58    8,24S--03
Mediana         1187,73    17,55    6,40S--03
Maximo          1565,15    80,86    7,13S--02
Minimo          676,53     9,89     1,66S--03
Desvio Padrao   182,80     10,81    6,20S--03
Assimetria       -0,10     2,25       3,41
Curt ose         2,55      9,09       20,11
Jarque Bera      18,39    4344,90   25722,62
                [0,000]   [0,000]    [0,000]
No. Obs.         1820      1820       1820

Obs: Valores entre colchetes representam o p-valor da estatistica de
Jarque-Bera. O periodo sem crise vai de 9 de maio de 2003 a 25 de
julho de 2007, enquanto que o periodo de crise inicia-se em 26 de
julho de 2007 e segue ate o final da amostra, em 30 de julho de 2010.
RVol representa a Volatilidade Realizada

Tabela 2 Estatisticas Descritivas--Modelo de Engle e Gallo

Estatistica             Periodo sem Crise
                 S&P500        HL         RVol

Media            124,51      124,51      124,51
Mediana           42,27       88,03       98,39
Maximo           3147,75     2090,30     739,31
Minimo            0,00        6,73        10,32
Desvio Padrao    209,91      126,16       86,92
Assimetria        4,82        4,88        2,04
Curtose           49,24       60,54       9,09
larque Bera     98542,02    150439,90    2372,71
                 [0,000]     [0,000]     [0,000]
No. Obs.          1060        1060        1060

Estatistica              Periodo de Crise
                  S&P500         HL         RVol

Media             544,91       544,91      544,91
Mediana            79,77       171,10      192,37
Maximo           30255,16     16215,23    22666,11
Minimo             0,00         7,80        12,33
Desvio Padrao     1890,86      1410,55     1262,48
Assimetria         9,08         6,83        7,61
Curtose           109,08        59,30       91,10
larque Bera      704639,90    204209,40   486231,30
                  [0,000]      [0,000]     [0,000]
No. Obs.           1460         1460        1460

Obs: Valor es entre colchetes representam o p-valor das estatisticas
Jarque-Bera. O periodo sem crise vai de 9 de maio de 2003 a 25 de
julho de 2007, enquanto que o periodo de crise vai 13 de outubro de
2004 a 30 de julho de 2010. S&P500 e o indice S&P500, HL representa o
Intervalo entre Maximo e Minimo e RVol a Volatilidade Realizada

Tabela 3 Periodo sem crise--Aderencia ao VIX

                            Variavel Dependente: VIX

Constante    AR(1)    [SP500.sub.a]   H [L.sub.a]   RV [ol.sub.a]

13,139       0,908
(22,31)     (37,78)
3,965        0,817        0,008         0,390          0,136
(6,47)      (24,59)      (0,36)        (11,18)        (8,11)
11,067       0,900
(9,64)      (34,71)
6,094        0,863       -0,012         0,456          0,167
(6,98)      (29,24)      (-0,63)       (10,82)        (7,59)

                              Variavel Dependente: VIX

Constante    AR(1)    [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]   RV [ol.sub.b]

13,139       0,908
(22,31)     (37,78)
3,965        0,817
(6,47)      (24,59)
11,067       0,900        0,032         0,059         -0,003
(9,64)      (34,71)      (1,29)         (1,87)        (-0,11)
6,094        0,863        0,015         -0,123        -0,090
(6,98)      (29,24)      (0,88)        (-4,43)        (-3,72)

                        Variavel Dependente: VIX

Constante    AR(1)    [R.sup.2]    BIC    Teste LM

13,139       0,908      0,808     2,868   3,40E--03
(22,31)     (37,78)
3,965        0,817      0,903     2,235   3,04E--06
(6,47)      (24,59)
11,067       0,900      0,811     2,906   1,74E--04
(9,64)      (34,71)
6,094        0,863      0,915     2,160   6,42E--03
(6,98)      (29,24)

Obs.: Regressoes por MQO. O subscrito 'a' refere-se as previsoes dos
modelos aumentados, enquanto que 'b' refere-se aos modelos base.

[R.sup.2] e o coeficiente de determinacao da regressao. BIC e o
Criterio de Schwartz

O Teste LM para correlacao serial foi realizado com 4 defasagens e o
valor apresentado e o p-valor. A estatistica t-robusta encontra-se
entre parenteses.

Tabela 4 Periodo de crise--Aderencia ao VIX

                                Variavel Dependente: VIX

Constante    AR(1)     [SP500.sub.a]   H [L.sub.a]   RV [ol.sub.a]

29,998       0,974
(7,84)      (118,00)
20,859       0,936         0,063         0,030          0,022
(11,72)     (68,17)       (5,08)         (3,32)        (3,96)
29,245       0,972
(7,53)      (108,69)
27,241       0,974         0,067         0,112          0,062
(7,44)      (114,34)      (5,85)         (9,78)        (7,85)

                               Variavel Dependente: VIX

Constante    AR(1)     [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]   RV[ol.sub.b]

29,998       0,974
(7,84)      (118,00)
20,859       0,936
(11,72)     (68,17)
29,245       0,972         0,012         -0,017        0,012
(7,53)      (108,69)      (0,57)        (-0,91)        (1,35)
27,241       0,974        -0,031         -0,122        -0,045
(7,44)      (114,34)      (-1,72)       (-6,12)       (-4,30)

                         Variavel Dependente: VIX

Constante    AR(1)     [R.sup.2]    BIC    Teste LM

29,998       0,974       0,950     4,855   1,58P--08
(7,84)      (118,00)
20,859       0,936       0,955     4,769   4,23P--14
(11,72)     (68,17)
29,245       0,972       0,950     4,881   2,44P--11
(7,53)      (108,69)
27,241       0,974       0,962     4,627   4,62P--14
(7,44)      (114,34)

Obs.: Regressoes por MQO. O subscrito 'a' refere-se as previsoes dos
modelos aumentados, enquanto que 'b' refere-se aos modelos base.

[R.sup.2] e o coeficiente de determinacao da regressao. BIC e o
Criterio de Schwartz

O Teste LM para correlacao serial foi realizado com 4 defasagens e o
valor apresentado sao os p-valores. A estatistica t-robusta
encontra-se entre parenteses.

Tabela 5 Periodo sem crise--Poder Preditivo dos Modelos Aumentados

Variavel dependente: RV [ol.sub.20d]

Constante       [SP500.sub.a]   H [L.sub.a]   RV[ol.sub.a]

22,791              0,803
(3,23)             (3,36)
20,173                            1,431
(3,66)                            (4,75)
32,138                                          1,019
(9,82)                                          (4,38)
22,844
(3,75)
20,793              0,318
(2,85)             (1,07)
19,391                            0,820
(3,40)                            (2,09)
24,311                                          0,646
(3,83)                                          (2,63)
20,813              0,243         0,439         0,608
(6,44)             (1,25)         (1,26)        (3,69)

[SP500.sub.a]         1           0.805         0.547
H [L.sub.a]          0.805           1           0.644
RV[ol.sub.a]        0.547         0.644           1
VIX                 0.823         0.845         0.674

Variavel dependente: RV [ol.sub.20d]

Constante        VIX     [R.sup.2]    BIC

22,791                     0,144     7,321
(3,23)
20,173                     0,165     7,296
(3,66)
32,138                     0,171     7,288
(9,82)
22,844          1,764      0,161     7,300
(3,75)          (3,88)
20,793          1,222      0,169     7,308
(2,85)          (2,42)
19,391          0,901      0,177     7,298
(3,40)          (1,21)
24,311          0,987      0,199     7,271
(3,83)          (1,67)
20,813          0,158      0,211     7,290
(6,44)          (0,34)

[SP500.sub.a]   0,823
H [L.sub.a]      0,845
RV[ol.sub.a]    0,674
VIX               1

Obs.: A estatistica t-robusta encontra-se entre parenteses.

RV [ol.sub.20d] e a variancia realizada acumulada em 20 dias.

[R.sup.2] e o coeficiente de determinacao da regressao. BIC e o
Criterio de Schwartz

A correlacao entre as variaveis e apresentada na parte inferior
da tabela.

Tabela 6 Periodo sem crise--Poder Preditivo dos Modelos Base

Variavel dependente: RV [ol.sub.20d]

Constante       [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]   RV[ol.sub.b]

38,039              0,253
(3,05)             (0,63)
38,317                            0,390
(7,54)                            (1,58)
36,889                                          0,625
(13,61)                                         (3,80)
22,844
(3,75)
40,137             -0,750
(3,06)             (-1,72)
26,682                            -0,321
(4,00)                           (-1,15)
22,637                                          0,134
(3,74)                                          (0,69)
43,616             -0,669         -0,479        0,281
(6,95)             (-2,89)       (-1,99)        (1,64)

[SP500.sub.b]         1           0,294         0,208
H [L.sub.b]          0,294           1           0,651
RV[ol.sub.b]        0,208         0,651           1
VIX                 0,503         0,443         0,539

Variavel dependente: RV [ol.sub.20d]

Constante        V/X     [R.sup.2]    B/C

38,039                     0,004     7,472
(3,05)
38,317                     0,011     7,464
(7,54)
36,889                     0,065     7,408
(13,61)
22,844          1,764      0,161     7,300
(3,75)          (3,88)
40,137          2,175      0,187     7,285
(3,06)          (4,98)
26,682          1,935      0,168     7,309
(4,00)          (3,89)
22,637          1,634      0,163     7,314
(3,74)          (3,00)
43,616          2,111      0,198     7,308
(6,95)          (7,29)

[SP500.sub.b]   0,503
H [L.sub.b]      0,443
RV[ol.sub.b]    0,539
VIX               1

Obs.: A estatistica t-robusta encontra-se entre parenteses.

RV [ol.sub.20d] e a variancia realizada acumulada em 20 dias.

[R.sup.2] e o coeficiente de determinacao da regressao. BIC e o
Criterio de Schwartz

A correlacao entre as variaveis e apresentada na parte inferior
da tabela.

Tabela 7 Periodo de crise--Poder Preditivo dos Modelos Aumentados

Variavel dependente: RV[ol.sub.20d]

Constante       [SP500.sub.a]   H [L.sub.a]   RV[ol.sub.a]

39,432              0,961
(5,32)             (9,72)
59,592                            0,918
(9,61)                            (9,60)
67,211                                          0,847
(14,10)                                        (10,64)
1,018
(0,09)
19,112              0,574
(1,90)             (3,62)
14,283                            0,352
(1,46)                            (2,88)
24,973                                          0,486
(2,29)                                          (4,62)
23,092              0,258         -0,572        0,726
(4,96)             (1,87)        (-5,00)        (9,93)

[SP500.sub.a]         1           0,950         0,905
H [L.sub.a]          0,950           1           0,930
RV[ol.sub.a]        0,905         0,930           1
VIX                 0,920         0,842         0,788

Variavel dependente: RV[ol.sub.20d]

Constante         VIX     [R.sup.2]    BIC

39,432                      0,550     10,466
(5,32)
59,592                      0,481     10,609
(9,61)
67,211                      0,544     10,481
(14,10)
1,018            4,055      0,536     10,497
(0,09)          (10,11)
19,112           1,798      0,567     10,438
(1,90)          (3,27)
14,283           2,815      0,557     10,461
(1,46)          (6,44)
24,973           2,208      0,604     10,348
(2,29)          (4,89)
23,092           2,306      0,618     10,330
(4,96)          (6,88)

[SP500.sub.a]    0,920
H [L.sub.a]       0,842
RV[ol.sub.a]     0,788
VIX                1

Obs.: A estatistica t-robusta encontra-se entre parenteses.

RV [ol.sub.20d] e a varianciarealizada acumulada em20 dias.

[R.sup.2] e o coeficiente de determinacao da regressao. BIC e o
Criterio de Schwartz

A correlacao entre as variaveis e apresentada na parte inferior
da tabela.

Tabela 8 Periodo de crise--Poder Preditivo dos Modelos Base

Variavel dependente: RV [ol.sub.20d]

Constante       [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]   RV [ol.sub.b]     VIX

47,823              0,783
(6,63)             (8,85)
57,635                            0,907
(9,67)                            (9,55)
67,954                                           0,808
(14,14)                                         (10,72)
1,018                                                         4,055
(0,09)                                                       (10,11)
23,505              0,485                                     1,765
(2,42)             (3,29)                                    (3,22)
18,757                            0,475                       2,340
(1,84)                            (3,90)                     (5,53)
21,099                                           0,424        2,443
(1,97)                                          (4,46)       (5,66)
29,728              0,414         -0,375         0,502        1,553
(6,01)             (4,25)        (-2,48)        (5,45)       (5,28)

[SP500.sub.b]         1           0,939          0,863        0,892
H [L.sub.b]          0,939           1            0,952        0,817
RV [ol.sub.b]       0,863         0,952            1          0,773
VIX                 0,892         0,817          0,773          1

Variavel dependente: RV [ol.sub.20d]

Constante       [R.sup.2]    B/C

47,823            0,559     10,446
(6,63)
57,635            0,524     10,522
(9,67)
67,954            0,515     10,542
(14,14)
1,018             0,536     10,497
(0,09)
23,505            0,580     10,407
(2,42)
18,757            0,584     10,398
(1,84)
21,099            0,593     10,376
(1,97)
29,728            0,604     10,368
(6,01)

[SP500.sub.b]
H [L.sub.b]
RV [ol.sub.b]
VIX

Obs.: A estatistica t-robusta encontra-se entre parenteses.

RV [ol.sub.20d] e a variancia realizada acumulada em 20 dias.

[R.sup.2] e o coeficiente de determinacao da regressao. BIC e o
Criterio de Schwartz

A correlacao entre as varia veis e apresentada na parte
inferior da tabela.

Tabela 9 Periodo sem crise--Condicao de Ortogonalidade--Modelos
Aumentados

Variavel dependente: VIX

Constante   [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]       RV        RV ol      J
                                         [ol.sub.b]

z = {c,[omega]}
  0,460         0,181         0,320        0,109       0,018     NA
  (0,40)       (3,11)         (3,25)       (2,21)     (0,29)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  -0,029        0,165         0,370        0,111       0,012    0,251
  (-0,02)      (2,85)         (3,95)       (2,24)     (0,21)     (5)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  0,415         0,180         0,324        0,109       0,019    0,877
  (0,37)       (3,06)         (3,39)       (2,18)     (0,29)     (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+15]}
  0,227         0,173         0,340        0,112       0,023    0,415
  (0,20)       (3,01)         (3,51)       (2,16)     (0,36)     (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+10]}
  0,192         0,172         0,343        0,111       0,024    0,288
  (0,17)       (3,02)         (3,52)       (2,16)     (0,40)     (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,002         0,177         0,350        0,111       0,012    0,201
  (0,00)       (3,06)         (3,66)       (2,25)     (0,20)     (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  -0,221        0,163         0,390        0,115      -0,002    0,062
  (-0,19)      (2,69)         (3,98)       (2,31)     (-0,02)    (1)

Obs.: Estatistica t-robusta entre parenteses

Abaixo da estatistica J encontra-se o numero de graus de liberdade.

Tabela 10

Periodo sem crise--Estatistica J com diferentes metodos de
estimacao de H--Modelos Aumentados

Andrew e Monahan   NW--automatico   NW--banda   NW--banda
                                      de 20       de 40

z = {c,[omega]}
NA                       NA            NA          NA
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
0,251                  0,345          0,381       0,594
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
0,877                  0,874          0,871       0,872
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+15]}
0,415                  0,388          0,386       0,412
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+10]}
0,288                  0,280          0,284       0,338
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
0,201                  0,180          0,202       0,270
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
0,062                  0,075          0,089       0,119

Tabela 11 Periodo sem crise--Condicao de Ortogonalidade--Modelos Base

Variaivel dependente: VIX

Constante   [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]       RV       RV ol      J
                                         [ol.sub.b]

z = {c,[omega]}
  -1,034        0,282         0,021        0,136      0,325     NA
  (-0,45)      (4,29)         (0,22)       (2,24)     (6,44)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  -2,172        0,294         0,074        0,125      0,310    0,053
  (-0,95)      (4,29)         (0,91)       (2,22)     (6,21)    (5)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  -0,637        0,268         -0,001       0,150      0,349    0,011
  (-0,27)      (4,07)        (-0,00)       (2,26)     (7,20)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+15]}
  -1,141        0,270         0,032        0,137      0,345    0,006
  (-0,50)      (4,10)         (0,32)       (2,22)     (7,15)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+10]}
  -1,684        0,286         0,047        0,129      0,334    0,010
  (-0,74)      (4,30)         (0,52)       (2,21)     (6,76)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  -2,058        0,296         0,058        0,129      0,316    0,013
  (-0,89)      (4,30)         (0,68)       (2,26)     (6,13)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  -2,836        0,318         0,082        0,124      0,288    0,004
  (-1,16)      (4,34)         (1,03)       (2,23)     (5,27)    (1)

Obs,: Estatistica t-robusta entre parenteses

Abaixo da estatistica J encontra-se o numero de graus de liberdade,

Tabela 12

Periodo sem crise--Estatistica J com diferentes metodos de estimacao
de H--Modelos Base

Andrew e Monahan   NW--automatico   NW--banda   NW--banda
                                      de 20       de 40

z = {c,[omega]}
  NA                     NA            NA          NA
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  0,053                0,247          0,417       0,577
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  0,011                0,069          0,097       0,132
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+15]}
  0,006                0,058          0,086       0,128
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+10]}
  0,010                0,066          0,090       0,135
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,013                0,058          0,095       0,151
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  0,004                0,020          0,037       0,070

Tabela 13

Periodo de crise--Condicao de Ortogonalidade--Modelos Aumentados

Variavel dependente: VIX

Constante   [SP500.sub.a]   H [L.sub.a]       RV       RV ol      J
                                          [ol.sub.a]

z = {c,[omega]}
  9335          0,232         -0,024        -0,050     0,201     NA
  (15,66)      (10,21)        (-0,94)      (-3,24)     (4,99)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  8,252         0,208          0,001        -0,029     0,219    0,037
  (9,25)       (7,06)         (0,03)       (-1,14)     (4,18)    (5)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  9,196         0,213         -0,009        -0,051     0,228    0,019
  (9,19)       (0,21)         (-0,00)      (-3,51)     (5,78)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+15]}
  9,179         0,210         -0,009        -0,049     0,233    0,004
  (15,51)      (10,19)        (-0,39)      (-3,37)     (5,81)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+10]}
  9,222         0,208         -0,006        -0,052     0,238    0,001
  (15,97)      (10,40)        (-0,27)      (-3,69)     (6,01)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  8,968         0,199          0,008        -0,064     0,271    0,000
  (16,29)      (10,74)        (0,39)       (-4,87)     (6,84)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  8,601         0,208         -0,006        -0,018     0,198    0,003
  (9,10)       (6,16)         (-0,16)      (-0,58)     (3,32)    (1)

Obs,: Estatistica t-robusta entre parenteses

Abaixo da estatistica J encontra-se o numero de graus de liberdade,

Tabela 14

Periodo de crise--Estatistica J com diferentes metodos de estimacao
de H--Modelos Aumentados

Andrew e Monahan   NW--automatico   NW--banda   NW--banda
                                      de 20       de 40

z = {c,[omega]}
  NA                     NA            NA          NA
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  0,037                0,233          0,233       0,512
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  0,019                0,061          0,063       0,098
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+15]}
  0,004                0,024          0,025       0,055
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+10]}
  0,001                0,012          0,013       0,034
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,000                0,004          0,005       0,032
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  0,003                0,015          0,017       0,038

Tabela 15

Periodo de crise--Condicao de Ortogonalidade--Modelos Base

Variavel dependente: VIX

Constante   [SP500.sub.b]   H [L.sub.b]       RV       RV ol      J
                                         [ol.sub.b]

z = {c,[omega]}
  11,334        0,169         -0,097       0,013      0,320     NA
  (18,21)      (9,79)        (-3,14)       (0,73)     (8,88)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  10,165        0,166         -0,070       0,022      0,296    0,041
  (10,54)      (5,99)        (-1,40)       (0,85)     (6,56)    (5)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  11,338        0,170         -0,099       0,013      0,320    0,836
  (11,33)      (0,17)        (-0,09)       (0,73)     (8,47)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  11,332        0,167         -0,095       0,012      0,321    0,739
  (17,97)      (9,85)        (-3,01)       (0,67)     (8,66)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+0]}
  11,333        0,165         -0,092       0,011      0,320    0,318
  (18,20)      (9,86)        (-2,95)       (0,64)     (8,80)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  11,293        0,160         -0,082       0,007      0,318    0,014
  (18,38)      (9,91)        (-2,69)       (0,42)     (8,93)    (1)
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  10,801        0,156         -0,072       0,003      0,345    0,000
  (17,38)      (9,08)        (-2,30)       (0,16)     (9,01)    (1)

Obs: Estatistica t-robusta entre parenteses

Abaixo da estatistica J encontra-se o numero de graus de liberdade,

Tabela 16

Periodo de crise--Estatistica J com diferentes metodos de estimacao
de H--Modelos Base

Andrew e Monahan                   NW--automatico   NW--banda de 20
z = {c,[omega]}
NA                                       NA               NA
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  0,041                                0,370             0,270
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  0,836                                0,895             0,893
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,739                                0,821             0,821
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+0]}
  0,318                                0,445             0,445
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,014                                0,036             0,038
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  0,000                                0,025             0,022

Andrew e Monahan                   NW--banda de 40
z = {c,[omega]}
NA                                       NA
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+], ..., RV [ol.sub.t+20]}
  0,041                                 0,545
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+20]}
  0,836                                 0,911
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,739                                 0,847
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+0]}
  0,318                                 0,506
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+5]}
  0,014                                 0,067
z = {c,[omega],RV [ol.sub.t+1]}
  0,000                                 0,074
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Article Details
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Title Annotation:texto en portugues; Volatility Index
Author:Azevedo, Luis Fernando Pereira; Pereira, Pedro L. Valls
Publication:Revista Brasileira de Financas
Article Type:Ensayo
Date:Oct 1, 2015
Words:14618
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