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Tecnicas de evaluacion de flujos de inversion: mitos y realidades.

CONTENIDO

Resumen
Abstract
Introduccion
Tecnicas de Evaluacion
Rentabilidad Contable (RC)
Periodo de Recuperacion (PR)
Valor Actual Neto (VAN)
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Valor Actual Neto versus Tasa Interna de Retorno
Tasa Interna de Retorno Modificada (TIRM)
Valor Actual Neto Equivalente (VANE)
Indice de Rentabilidad (IR)
Conclusiones
Referencias Bibliograficas


INTRODUCCION

A traves del tiempo, se han desarrollado una serie de criterios o tecnicas de evaluacion, sobre las cuales posteriormente se abordaran en sus pros y contras y tomando en cuenta el contexto de dichas aplicaciones, todo lo cual ha permitido al autor poder concluir acerca de sus mitos y realidades.

Esta investigacion se ha basado en la utilizacion de las tecnicas de evaluacion de proyectos para el analisis de sus flujos de efectivo, es decir, sin considerar situaciones de incertidumbre, bien sea a traves de simulaciones o modelos probabilistas para sensibilizar dichos flujos, o bien analisis de Opciones Reales en funcion de la flexibilidad operativa en las inversiones, todo lo cual no es objeto de estudio de esta investigacion Asimismo, y como se ha escrito bastante sobre metricas de evolucion de proyectos, he escogido para referenciar esta investigacion a algunos autores o textos de los mas relevantes por razones de preferencia teorica, no obstante que otros son muy conocidos y muy respetables igualmente.

Finalmente, dada la naturaleza del tema, y con el fin de darle precisamente un sentido secuencial al analisis y a las metricas aca abordadas, he omitido en este trabajo seguir una secuencia metodologica utilizando preludio, marco conceptual y metodologia de la investigacion.

TECNICAS DE EVALUACION

Las tecnicas sobre las cuales se ha basado esta investigacion son:

--Rentabilidad Contable (RC)

--Periodo de Recuperacion (PR)

--Valor Actual Neto (VAN)

--Tasa Interna de Retorno (TIR)

--Tasa Interna de Retorno Modificada (TIRM)

--Valor Actual Neto Equivalente (VANE)

--Indice de Rentabilidad (IR)

RENTABILIDAD CONTABLE (RC)

La Rentabilidad Contable (RC) fue la primera en relacionar una rentabilidad anual esperada promedio (utilidad neta) con la inversion promedio del proyecto de inversion Data de los inicios del Siglo XX, y se definio como:

RC = UNP/I[P.sub.0]

donde:

UNP = Utilidad Neta Promedio I[P.sub.0] = Inversion Promedio

La Utilidad Neta Promedio se obtenia sumando las utilidades contables de cada ano y dividiendo dicha sumatoria entre el total de la vida del proyecto (o anos del proyecto) Por su parte la Inversion Promedio se obtenia sumando el valor contable de las inversiones de cada ano y dividiendo dicha sumatoria entre el total de vida del proyecto (o anos del proyecto) Proyectos que superaban el porcentaje minimo de rentabilidad exigido por la compania, o bien a la RSI (Rentabilidad Sobre la Inversion) eran aceptados.

"Este metodo tambien se conoce como rentabilidad aproximada o como tasa de rendimiento contable Su denominacion obedece a que utiliza una terminologia tipicamente contable, y en definitiva es el metodo que mejor se ajusta a la informacion facilitada por la contabilidad". (2) Es obvio y tal vez hoy podria resultar hasta irrisible, el pensar sobre como proyectos de inversion eran en su momento analizados bajo este criterio No obstante y a pesar de todo, marco el inicio de la dialectica acerca de las tecnicas y formas en que se podian evaluar los proyectos de inversion, e inicio el campo sobre el cual muchos profesionales hoy nos desarrollamos tanto en la Academia como en el ambito empresarial.

Para la epoca en que esta medida se desarrollo, la Utilidad Neta era vista como sinonimo de fondos disponibles y casi que del efectivo No obstante, problemas de flujos de caja tanto en las empresas como en los proyectos mismos al ejecutarlos (a pesar de contar con "altas" utilidades contables), empezaron a develar ciertas debilidades que hoy vemos como obvias:

--Considera utilidades contables y no flujos de caja o efectivo

--Supone que es indiferente recibir dichas utilidades contables o realizar dichas inversiones a traves del tiempo (pues considera un promedio), lo cual contraviene uno de los principios fundamentales basicos en las finanzas acerca del valor del dinero en el tiempo, asigna igual importancia a los fondos del primer ano con los del ano n

PERIODO DE RECUPERACION (PR)

Dadas las debilidades de la RC, surgio hacia la primera mitad del Siglo XX el Periodo de Recuperacion (PR) como una forma de evaluar los proyectos y evitar asi algunas debilidades. Este criterio determina el numero de periodos necesarios que se tarda en recuperar la inversion inicial, o bien sus equivalentes de efectivo en tiempo cero. Compara el resultado con el numero de periodos maximos aceptables o definidos por la empresa y su criterio de aceptacion del proyecto sera si el PR calculado es menor que el periodo maximo establecido por la empresa, de lo contrario el proyecto financieramente se rechaza. Segun esta tecnica, las mejores inversiones son aquellas que tienen los PR mas cortos.

Si los flujos de efectivo son iguales y consecutivos, se define como:

PR = [I.sub.0]/FC

donde:

[I.aub.0] = Inversion Inicial FC = Flujos de Caja anuales

Por ejemplo, si la inversion inicial (en tiempo cero) es de $5.000 y los flujos de caja anuales de $ 1.000 cada uno, entonces:

PR = 5.000/1.000 = 5 ==> 5 anos es decir, en 5 anos se recupera la inversion

"Cuando los flujos netos de efectivo no son iguales, el periodo de recuperacion se calcula acumulando los flujos de efectivo sucesivos hasta que su suma sea igual a la inversion inicial Cuando ademas de los desembolsos iniciales de inversion existen flujos negativos en los primeros anos de la vida de un proyecto, el periodo de recuperacion se determina por el tiempo que tarda en recuperarse o amortizarse la suma total de flujos negativos, incluyendo los desembolsos tanto por inversiones como por resultados de operacion". (3)
Veamos el siguiente ejemplo:

Flujo/Periodo     0       1      2       3       4       5       6
Flujo A         -5,000   800   1,000   1,000   1,200   2,000   1,500


entonces el PR seria:

PR = 5.000 - 800 - 1.000 - 1.000 - 1.200 = 1.000 ==> 4 anos, mas ...

1.000/2.000 = 0,50 ==> 6 meses

es decir, en 4 anos y medio se recupera la inversion

No obstante, tal y como se puede observar y a pesar de los usos que todavia esta tecnica sigue teniendo en muchas corporaciones y empresas (definitivamente dada su facilidad de calculo y de interpretacion), la misma asi como se presento anteriormente, cuenta con una inicial debilidad:

No toma en cuenta la cronologia de los distintos flujos de efectivo, y mas bien los considera como si se tratara de flujos percibidos en el mismo momento de tiempo Es decir, no considera el valor del dinero en el tiempo, pues asigna igual importancia a los flujos generados en el primer ano con los del ano n

No obstante esta aparente debilidad podria ser soslayada, descontando cada flujo a valor presente al costo de capital de la empresa o del proyecto (contemplando sus todos sus riesgos: del negocio, financiero y del entorno). "Bajo este enfoque, primero se descuentan los flujos de efectivo. Posteriormente, se debe preguntar cuanto tiempo se necesita para que los flujos descontados sean iguales a la inversion inicial".4 El descuento se realiza mediante:

VP = VF [(1+d).sup.-n] donde:

VP = Valor Presente

VF = Valor Futuro

d = Costo de Capital

n = Tiempo

De esta forma, este PR (Modificado) tomaria en cuenta el valor del dinero en el tiempo, y asi deberia efectivamente ser utilizado en la practica. De acuerdo al ejemplo anterior, si el costo de capital fuese 10 % anual, el PR Modificado se calcularia como:
FLUJO

Ano   Original                        Descontado

1          800     800 [(1 + 0,10).sup.-1] = 727
2        1.000   1.000 [(1 + 0,10).sup.-2] = 826
3        1.000   1.000 [(1 + 0,10).sup.-3] = 751
4        1.200   1.200 [(1 + 0,10).sup.-4] = 820
5        2.000   2.000 [(1 + 0,10).sup.-5] = 1.242
6        1.500   1.500 [(1 + 0,10).sup.-6] = 847


Entonces el PR Modificado seria:

PR = 5.000 - 727 - 826 - 751 - 820 - 1.242 = 634 ==> 5 anos, mas ...

634/847 = 0,75 ==> 9 meses

es decir, en 5 anos y 9 meses se recupera la inversion (y no en 4 anos y 6 meses)

Como se observo, el PR Modificado contempla el valor del dinero en el tiempo. No obstante, e independientemente de si es modificado o no, en ambos casos, no soluciona otro problema: no considera los flujos de caja obtenidos posteriores al periodo de recuperacion, tal y como se observara. En la practica, existen casos en los cuales los proyectos no necesariamente contienen flujos positivos de ahorro, sino tambien flujos de efectivo negativos o de salida, por lo que el PR podria entrar en problemas al decidir sobre la aceptacion de un proyecto o no, o bien el rechazar un proyecto respecto a otro Veamos el siguiente ejemplo (Dos proyectos A y B, la empresa acepta todos los proyectos con un PR < de 3 anos):
FLUJOS DESCONTADOS

Ano   Proyecto a   Proyecto b

0         (5.000)     (5.000)
1             200       1.000
2           (100)       5.000
3           2.000       1.000
4           2.900     (5.000)
5           4.000       (500)


Siguiendo estrictamente el criterio del PR, el proyecto aceptado seria el B (PR= 1 ano y 10 meses) y el proyecto rechazado seria el A (PR = 4 anos). Es evidente que, globalmente el Proyecto B tiene un problema de flujos (negativos) atados posteriores al periodo de recuperacion, mientras tanto y aunque segun el PR el Proyecto A no recupera la inversion en los 3 anos, en su totalidad es un proyecto mas rentable. El PR como metodologia no ve mas alla de los flujos de recuperacion de la inversion. ?Porque entonces se continua hablando del PR y utilizandolo? Su facilidad de calculo y de interpretacion continuan actualmente confundiendo a los evaluadores de proyectos Su mito ser una muy buena herramienta.

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

Esta tecnica empezo a utilizarse avanzado el Siglo XX, como ampliacion del concepto de del valor del dinero en el tiempo (Valor Presente/Valor Futuro). Se define como la sumatoria de los flujos de efectivo netos descontados ("actualizados") a valor presente al costo de capital de la empresa o del proyecto (contemplando sus todos sus riesgos: del negocio, financiero y del entorno). Esta es conocida igualmente como tasa de descuento (d), la cual es la rentabilidad minima aceptable por la empresa, por debajo de la cual los proyectos no deben aceptarse Se define matematicamente como:

VAN = [suma de (n)] F[C.sub.t][(1 + d).sup.-n] - [I.sub.o] donde:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

F[C.sub.t] = Flujos Netos de Caja (en los periodos desde t = 1 hasta t = n)

[I.sub.0] = Inversion Inicial (en el momento cero)

d = Tasa de descuento (costo de capital)

"Para aplicar este enfoque, solo debemos determinar el valor presente de todos los flujos futuros de efectivo que se espera que genere el proyecto, y luego sustraer la inversion original para precisar el beneficio neto que la empresa obtendra del hecho de invertir en el proyecto Si el beneficio neto que se ha calculado sobre la base de un valor presente es positivo, el proyecto se considera una inversion aceptable" (5) "Es el metodo mas conocido, mejor y mas generalmente aceptado por los evaluadores de proyectos". (6)

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR):

Tecnica matematica derivada del VAN, la cual evalua el proyecto en funcion de una unica tasa de rendimiento (r), mediante la cual la totalidad de los flujos de caja netos (positivos y/o negativos) y actualizados a valor presente son exactamente iguales a la inversion inicial (negativa) En otras palabras, la tasa TIR es aquella tasa de descuento (r) que hace que el VAN sea cero Se define matematicamente como:

0 = [n.[suma de (t = 1)]]F[C.sub.t][(1 + r).sup.-n] donde:

0 = F[C.sub.1][(1+r).sup.-1] + F[C.sup.2][(1+r).sup.-2] +.....+ F[C.sub.n-1][(1+r).sup.-(n-1)] + F[C.sub.n][(1+r).sup.- n] - [I.sub.0]

F[C.sub.t] = Flujos Netos de Caja (en los periodos desde t = 1 hasta t = n)

[I.sub.0] = Inversion Inicial (en el momento cero)

r = Tasa Interna de Retorno (TIR)

El criterio de decision de esta tecnica es que para aprobarse el proyecto, la TIR (r) debera ser mayor que la tasa de minima de corte o costo de capital requerido (tasa de descuento d) o al costo de los fondos de financiamiento, de lo contrario el proyecto se rechaza. A continuacion se ahondara en esta tecnica respecto a la anterior "El argumento basico que respalda al metodo de la tasa interna de rendimiento es que proporciona una sola cifra que resume los meritos de un proyecto Esta cifra no depende de las tasas de interes que prevalezcan en el mercado de capitales Esta es la razon por la cual se le denomina tasa interna de rendimiento: la cifra es interna o intrinseca al proyecto y no depende de otra cosa que no sea los flujos de efectivo del proyecto" (7)

VALOR ACTUAL NETO VERSUS TASA INTERNA DE RETORNO

Estas dos tecnicas pueden generalmente conducir a la misma decision "Cuando la decision es solo de aceptacion o rechazo y no hay necesidad de consideraciones comparativas entre proyectos, las dos tecnicas proporcionan igual resultado" (8) Esto se puede observar graficamente mediante el Grafico VAN-TIR, en el cual mantenemos el VAN en funcion del costo de capital o tasa de descuento (d):

[ILUSTRACION OMITIR]

No obstante, se pueden presentar resultados contradictorios principalmente cuando se evalua mas de un proyecto. Por esta razon, primeramente se deben diferenciar los proyectos como:

--Proyecto independiente: Proyecto cuya aceptacion o rechazo no impide la aceptacion de otros

--Proyecto dependiente (complementario): Proyecto cuya aceptacion depende de uno o varios proyectos alternativos

--Proyecto mutuamente excluyente: Proyecto cuya aceptacion excluye la aceptacion de uno o varios proyectos alternativos No pueden ser aceptados simultaneamente, unicamente solo uno de ellos

De esta forma y de conformidad por el Grafico VAN-TIR, los resultados concordantes entre VAN y TIR normalmente ocurren en proyectos independientes o bien complementarios Los problemas empiezan a surgir cuando se desean jerarquizar proyectos, los cuales son mutuamente excluyentes, ya sea por rentabilidad misma o por racionamiento de capital (restricciones de dinero para poder implementar todos los proyectos rentables que se deseen) Por ello, es importante iniciar destacando ciertas diferencias entre VAN y TIR.

Medida absoluta/Medida relativa:

El VAN tal y como se definio, arroja un resultado en unidades monetarias, es decir corresponde a una medida absoluta Por tanto en la practica la aceptacion de un proyecto solo porque la teoria indica que el VAN > 0, no necesariamente es aplicable en la practica Esto solo con pensar que el VAN de un proyecto sea igual a $ 1.000, siendo que la inversion o dimension del proyecto ronde los $ 10 000 000 Por su parte, la TIR en su esencia corresponde a una medida relativa Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/        0          1        2          3       VAN a     % TIR
Periodo                                                10%
Flujo A     -1,000      800      800       3,000      2,402     97%
Flujo B   -1,000,000   1,000   800,000   1,000,000   375,801    26%


Si estos dos proyectos fuesen mutuamente excluyentes, el VAN dirigiria al lector a aceptar B, pero la TIR dirigira su aceptacion hacia el A Como se observa, la TIR es relativa a la escala o magnitud de la inversion por lo que en este caso la TIR podria ser una medida mas adecuada No obstante habra que tener cuidado: ? cuantas replicas del Proyecto A deberian realizarse simultaneamente para alcanzar el tamano de inversion con que la compania cuenta o que la misma requiere ?. Definitivamente habra que tomar en cuenta el contexto Las reglas de aceptacion tambien estaran sujetas al contexto de los proyectos que se estan evaluando. Por otra parte: "... no sirve para comparar proyectos, por cuanto una TIR mayor no es mejor que una menor, ya que la conveniencia se mide en funcion de la cuantia de la inversion realizada". (9)

Diferencias en patron del flujo:

Uno de los principales hallazgos logrado ya avanzado el siglo XX respecto a la problematica del VAN y la TIR, fue esbozado por el economista norteamericano Irving Fischer (1867-1947), quien logro demostrar en su obra La Teoria del Interes, las eventuales discrepancias entre dichas tecnicas en la aceptacion de un proyecto y por consiguiente en el rechazo del otro En su honor, esta aplicacion se ha conocido comunmente como "Tasa de Fisher". Para observar lo que Fisher quiso demostrar, vamos a trabajar con dos proyectos mutuamente excluyentes como siguen:
Flujo/Periodo     0         1        2        3       % TIR
Flujo A         -100,000   10,000   70,000   90,000     24%
Flujo B         -100,000   90,000   50,000   10,000     33%


Lo anterior, bajo el criterio del TIR podria inducir a concluir que el proyecto B es el aceptado al tener una mayor TIR Mas sin embargo, si se analiza el VAN para diferentes niveles de tasas de costo de capital o descuento d tenemos entonces:
VAN a...   5%       10%      13%      15%      20%

Flujo A    50,761   34,560   25,295   20,802   9,028
Flujo B    39,704   30,654   25,295   22,643   15,509


De esta forma si observamos graficamente el Grafico VAN-TIR de ambos proyectos, tenemos:

[ILUSTRACION OMITIR]

Siendo que la TIR de un flujo se define matematicamente como:

0 = [n.[suma de (t=1)]] donde:

0 = F[C.sub.1][(1+r).sup.-1] + F[C.sub.2][(1+r).sup.-2] +.....+ F[C.sub.n-1][(1+r).sup.-(n-1)] + F[C.sub.n][(1+r).sup.- n] - [I.sub.0]

F[C.sub.t] = Flujos Netos de Caja (en los periodos desde t = 1 hasta t = n)

[I.sub.0] = Inversion Inicial (en el momento cero)

r = Tasa Interna de Retorno (TIR)

entonces, la TIR no es ni mas ni menos que la solucion de x de un polinomio de grado n, grado por lo tanto que estara definido por la cantidad de anos que abarque el proyecto De esta forma, si cada flujo del proyecto en la grafica anterior corresponde a una funcion polinomial de grado n, y si ambas funciones se intersecan en algun nivel, dicho nivel es posible obtenerlo igualando las dos funciones, tal como se muestra a continuacion:

10.000 [(1+r).sup.-1] + 70.000 [(1+r).sup.-2] + 90.000 [(1+r).sup.-3] - 100.000 = 90.000 [(1+r).sup.-1] + 50.000 [(1+r).sup.-2] + 10.000 [(1+r).sup.-3] - 100.000

Considerando que cada flujo corresponde a una funcion polinomial, entonces simplemente se igualan los flujos de los proyectos, lo que es igual en este caso a obtener un flujo diferencial ya sea haciendo A - B o bien B - A, obteniendo su TIR (TIR que para estos efectos sera el nivel exacto o Tasa de Fischer):
Flujo/Periodo       0         1         2         3      0/0 TIR

Flujo A          -100,000   10,000   70,000    90,000
Flujo B          -100,000   90,000   50,000    10,000

Flujo Dif. B-A          0   30,000   -20,000   -30,000   13.28%


O bien de otra forma y dado que matematicamente para igualar dos funciones no resulta relevante el orden, entonces:
Flujo/Periodo       0          1        2        3      % TIR

Flujo A          -100,000   10,000    70,000   90,000
Flujo B          -100,000   90,000    50,000   10,000
Flujo Dif. A-B         0    -80,000   20,000   80,000   13.28%


Es de observar, que no es necesario obtener la Tasa de Fischer mediante interpolaciones (y mucho menos aproximandolas linealmente) como algunos autores sugieren ya sea por desconocimiento o por evasion matematica La Tasa de Fischer es simplemente la tasa TIR de un flujo diferencial de dos proyectos Con esto Irving Fischer pudo concluir que tasas de corte o descuento superiores a ese nivel (Tasa de Fisher), ambas metodologias VAN y TIR brindan conclusiones similares Pero tasas inferiores a la de Fisher las tecnicas del VAN y TIR se muestran en conflicto "En general, para la jerarquizacion de proyectos mutuamente excluyentes podemos enunciar que: Si la tasa de descuento es mayor que la tasa que iguala el valor presente neto de ambos proyectos, los metodos de la TIR y del VPN dan el mismo resultado Si la tasa de descuento es menor que la tasa de Fisher, los resultados de los metodos del VPN y la TIR se contradicen" (10)

Es importante destacar sin embargo, que la Tasa de Fischer no es un fin en si mismo (como tecnica o criterio de evaluacion), es mas bien el resultado de lo que Fischer quiso demostrar y que finalmente concluyo En la practica al evaluar flujos no es un fin obtener la Tasa de Fischer, aunque bien guia al evaluador a no cometer un error en la decision.

Tasas TIR multiples/No existencia tasa TIR:

Como se indico en el punto anterior, por definicion matematica en si misma, la TIR corresponde a la solucion de x de un polinomio de grado n, grado que en nuestro contexto estara definido por la cantidad de anos que abarque el proyecto Es por ello que, y como todo polinomio puede presentar varias soluciones reales, y dado que la TIR es una abstraccion matematica tratada de llevar al plano financiero, no es de extranarse que bajo ciertas circunstancias, el flujo de caja de un proyecto adopte una estructura tal que mas de una TIR pueda resolver la funcion polinomial de grado n definida anteriormente Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo       0          1         2          3        % TIR
Flujo A          -150,000   900,000   -900,000   -50,000   34% y 371%


En este caso tenemos entonces:

0 = 900.000 [(1+x).sup.-1] - 900.000 [(1+x).sup.-2] - 50.000 [(1+x).sup.-3] - 150.000 y lo anterior se cumple con: x = 34 % y x = 371 %

Al hallar la tasa TIR del anterior flujo de caja, tenemos que se encuentran dos tasas que solucionan la ecuacion polinomial de grado 3 (3 anos): 34 % y 371 %, es decir las 2 tasas hacen que el VAN sea cero. La pregunta entonces que surge aca es: ?cual es la correcta?. La busqueda de la tasa "correcta" no es mas que una ilusion del inversionista. ? Como puede ser posible que un proyecto tenga dos o varias rentabilidades ? En la realidad esto no ocurre Un proyecto tiene una unica rentabilidad, la que le proporciona los flujos de efectivo Bien puede ocurrir que el costo de capital de una empresa varie a traves del tiempo, y proyectos que antes no eran rentables con el tiempo si lo sean o viceversa.

Entonces nuevamente: ? cual es la correcta ? La respuesta es: financieramente ninguna de las dos Si se observa con detenimiento los flujos del proyecto es evidente que el proyecto es deficitario por no decir un desastre ? Como puede ser posible que el proyecto sea 34 % rentable anualmente o hasta pensar en un 371 % anual ? Solo basta con evaluar el proyecto con un costo de capital d del 20 % anual para darse cuenta que el proyecto no es rentable (VAN = -53.935).

En este caso, se encuentran 2 cambios de signos en el flujo (de 0 a 1 y de 1 a 2), lo cual hace inicialmente presuponer la existencia de dos soluciones x (dos tasas TIR) En principio, de acuerdo a las propiedades matematicas polinomiales, tantas soluciones x (tantas tasas TIR financieramente hablando) tendra el flujo del proyecto entre tantos cambios de signo tenga el mismo flujo "En teoria, una corriente de flujos de efectivo con K cambios de signo puede tener hasta K tasas internas de rendimiento razonables (TIR por arriba de -100%)" (11)

Sin embargo, esta condicion no es necesariamente aplicable, porque matematicamente hablando no solo el cambio de signo es condicionante de la cantidad de soluciones x, sino tambien de las magnitudes de los flujos al ocurrir los correspondientes cambios de signo Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo      0          1         2         3      % TIR

Flujo A         -150,000   200,000   -10,000   -10,000     24%


En este caso tenemos entonces:

0 = 200.000 [(1+x).sup.-1] - 10.000 [(1+x).sup.-2] - 10.000 [(1+x).sup.-3] - 150.000 y lo anterior se cumple unicamente con: x = 24 %

Al hallar la tasa TIR del anterior flujo de caja, se encuentra una unica tasa TIR que soluciona la ecuacion, a pesar de existir 2 cambios de signos Esta fue 24 % Es decir el numero de cambio de signos no es condicionante del numero de tasas TIR que puedan existir Tal y como se indico anteriormente, al provenir la TIR de un polinomio grado n, necesariamente para que exista una solucion x real (TIR real), es necesario que no todos los flujos tengan el mismo signo, es decir debera existir como minimo un cambio de signo Pero matematicamente hablando esta condicion no es suficiente Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo      0          1         2          3      0/0 TIR

Flujo A         -150,000   300,000   -160,000   -10,000      ?


En este caso tenemos entonces:

0 = 300.000 [(1+x).sup.-1] - 160.000 [(1+x).sup.-2] - 10.000 [(1+x).sup.-3] - 150.000 y lo anterior nunca se cumplira (no existe solucion)

Al hallar la tasa TIR del anterior flujo de caja, no se encuentra ninguna tasa TIR que solucione la ecuacion, a pesar de existir 2 cambios de signos, lo cual reafirma que el numero de cambio de signos no es condicionante del numero de tasas TIR que puedan existir La pregunta que surge es: ? como es posible que esto ocurra ? La tecnica TIR no es que este diciendo que la rentabilidad es cero, esta indicando que no existe Matematicamente hablando no existe solucion x, mas sin embargo financieramente hablando ese proyecto debera tener alguna rentabilidad Solo basta con hacer pasar el flujo del ano 3 de la suma respectiva de--10.000 a + 10.000, para que de pronto la TIR ahora sea cero (un numero) y se elimine la no existencia de una solucion matematica Pero y aun con este nuevo flujo de caja en el ano 3, solo basta con evaluar el proyecto con un costo de capital d del 20 % anual para darse cuenta que el proyecto no es rentable (VAN = -5 324) Definitivamente la TIR ha sido todo un mito, pero la realidad refleja que es una medida vulnerable desde el punto de vista financiero.

Igualmente para encontrar una solucion x en un polinomio de grado n es imperativo que al menos exista un cambio de signo en los flujos, de forma tal, que si no existe cambio de signo (el cero no cuenta pues es neutro, no tiene signo) no existira TIR, mas sin embargo si habra un VAN Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo   0     1        2        3      VAN a 10%   % TIR

Flujo A         0   25,000   50,000   75,000    120,398      ?


Es por esto que, la posibilidad de tasas de rendimiento multiples atenta en contra del uso indiscriminado de la TIR, o de igual forma la no existencia de la misma, reflejando una enorme debilidad al haber sido llevada de un plano matematico a la dimension financiera Mientras la TIR supone que los flujos intermedios del proyecto son reinvertidos a la misma tasa TIR de rentabilidad del proyecto, el VAN supone que los flujos son reinvertidos a la tasa de descuento o costo de capital d de la empresa, lo cual es evidente que en algunas circunstancias es mas recomendable utilizar el VAN que la TIR Con la TIR la tasa de reinversion implicita diferira de acuerdo con la corriente de flujos de efectivo para cada propuesta de inversion, mientras que el VAN brinda generalmente prioridades correctas de proyectos de inversion mutuamente excluyentes.

Interpretacion en dependencia de tipo de flujo:

Tipica y normalmente los flujos de efectivo se pueden agrupar en dos grandes tipos:

--Flujos de Inversion: Todos los egresos se producen antes que los beneficios El VAN disminuye al aumentar el costo de capital o tasa de descuento d y el VAN aumenta al disminuir el costo de capital o la tasa de descuento d Veamos el siguiente ejemplo:
                                                             VAN

Flujo/Periodo        0          1          2         3       a 10%
Flujo A          -150,000    -10,000    200,000    60,000   51,277

                  VAN

Flujo/Periodo    a 20%    % TIR
Flujo A          15,278    25%


Si el VAN es mayor que cero en una inversion, significa que el proyecto es rentable, pero si el VAN es menor que cero en una inversion, significa que el proyecto no es rentable.

--Flujos de Credito: Todos los ingresos se producen antes que los egresos Es la operacion contraria a la inversion El VAN aumenta al aumentar el costo de capital o tasa de descuento d y el VAN disminuye al disminuir el costo de capital o la tasa de descuento d Veamos el siguiente ejemplo:
                                                          VAN

Flujo/Periodo      0         1         2         3       a 10%
Flujo A         150,000   -72,500   -65,000   -57,500   -12,829

                  VAN

Flujo/Periodo    a 20%     % TER
Flujo A         11,169       15%


Si el VAN es positivo significa que el credito se obtuvo a una tasa inferior que la del mercado Pero si el VAN es negativo significa que se obtuvo a una tasa superior que la del mercado.

En este caso, si la tasa de costo de capital d es del 10 % anual, el VAN es negativo, pues la tasa TIR que es del 15 % (tasa implicita del prestamo) indica que no tiene sentido solicitar un credito a una tasa superior al costo de capital (por ende VAN negativo) Mientras tanto, si la tasa de costo de capital d sube al 20 % anual, el VAN es positivo, pues la tasa TIR que es del 15% (tasa implicita del prestamo) indica que tiene sentido solicitar un credito a una tasa inferior al costo de capital (por ende VAN positivo) Es por ello que con el fin de decidir si se rechaza o se aprueba un proyecto, y a diferencia del VAN que tiene una unica regla de decision para cualquier tipo de flujo o proyecto (inversion o credito), la cual es que el VAN sea mayor que cero, empleando la TIR es indispensable conocer el tipo de flujo de que se trata para aprobar el proyecto:

Inversion: TIR > d Credito: TIR < d

Asimismo, y tal como se noto, el VAN de un proyecto, sea del tipo de flujo que sea, existe siempre (y proporciona una solucion que es unica), mientras que la TIR no necesariamente.

Flujos ceros al final de proyecto:

Matematicamente hablando, la TIR de un flujo no toma en cuenta o bien ignora los flujos de caja que son cero al final del proyecto No obstante, ello no es exclusivo de la TIR, pues igualmente el VAN los ignora Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo        0        1     2     3     4     5   6   VAN     %
/Periodo                                              a 10%   TIR

Flujo A      -2,000   800   800   800   800            536    22%
Flujo B      -2,000   800   800   800   800   0   0    536    22%


El VAN de ambos proyectos es igual, pero el proyecto A es mas rentable que el B, porque con el A es posible iniciar otro proyecto al inicio del quinto periodo (o final del cuarto periodo) Mientras tanto, con el proyecto B, habria que esperar 2 periodos mas respecto al termino del proyecto A, para emprender otro proyecto La TIR como se observo y de igual forma, ignora los ceros a la derecha Sin embargo, y aun cuando casos como los anteriores pueden en la practica resultar excepcionales, resulta mas preocupante aquella tecnica que ignora los ceros a la izquierda, tal y como se observara a continuacion.

El VAN en funcion al momento en que se inicia el proyecto:

Si un proyecto es rentable, cuanto mas antes se inicie mejor, pues de no hacerlo de inmediato, se incurre en un costo de oportunidad, el cual es mayor cuanto mayor sea el VAN y cuanto mas tiempo se aplace Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo     0        1        2        3     4     5     6

Flujo A           -2,000     800      800    800   800
Flujo [A.sub.1]            -2,000     800    800   800   800
Flujo [A.sub.2]                     -2,000   800   800   800   800

Flujo/Periodo     VAN a lO%   0/0 TIR

Flujo A                536       22%
Flujo [A.sub.1]        305       22%
Flujo [A.sub.2]         96       22%


Como se observa, lo que esta indicando el VAN es que entre mas se aplace el inicio del proyecto (un periodo: [A.sub.1], o bien dos periodos: [A.sub.2]) la rentabilidad decae (el VAN pasa de 536 a 305 o a 96) Pero si se observa la TIR, esta se mantiene constante ante cambios en el momento de ejecucion de un proyecto, por lo que no proporciona ninguna indicacion acerca de los costos (de oportunidad) en que se incurre por retrazar un proyecto rentable o bien los beneficios en caso de adelantarlo Siguiendo el criterio de la TIR, daria igual empezar un proyecto en el momento 0, que n periodos mas tarde, pues al retrazar un proyecto, se esta incurriendo en un costo de oportunidad, costo que la TIR no lo detecta. La TIR refleja el calculo de la rentabilidad del proyecto desde que se inicia, no desde que se evalua.

A pesar de que la TIR proviene de la ecuacion matematica del VAN y del mito que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, la realidad es que en este tipo de casos, no lo toma en cuenta.

La TIR ante proyectos de vidas desiguales:

La TIR no obstante es util (obviando situaciones cambios de signos) para poder determinar el costo de oportunidad de dos proyectos que tienen vida desigual Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo   0        1       2       3     4     % TIR

Flujo A         -2,000   1,500   1,500                32%
Flujo B         -2,000    800     800    800   800    22%


Esta claro, que es mejor el proyecto A, pero esto es necesariamente cierto si una vez finalizado A, se pueden llevar a cabo inversiones en el intervalo temporal {3,4}, que proporcionen una rentabilidad como se observa en este caso del 7 %, como se observa seguidamente (costo de oportunidad de rentabilidad de ejecutar A en lugar de B). En este caso la TIR es util para obtener ese costo de oportunidad mediante el flujo diferencial de los dos proyectos:
Flujo/Periodo    0        1       2      3     4   %TIR
Flujo A        -2,000   1,500   1,500               32%
Flujo B        -2,000    800     800    800   800   22%
Flujo B-A        0      -700    -700    800   800    7%


TASA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM):

"A pesar de una fuerte preferencia academica por el VPN, los ejecutivos indican que la mayoria de las empresas prefieren la TIR en lugar del VPN En apariencia, intuitivamente los administradores encuentran mas atractivo analizar las inversiones en terminos de tasas porcentuales de rendimiento que en terminos de dolares" (12)

"Como una alternativa al VPN, se introduce ahora el metodo de la TIR modificada (TIRM), el cual maneja el problema de las TIR multiples mediante la combinacion de flujos de efectivo hsta que solo se produzca un cambio de signo" 13 Como se ha denotado, existe un problema que presenta la TIR, el cual surge de representar la solucion de x de un polinomio de grado n En este sentido, si el flujo de caja del proyecto (ecuacion matematica en este contexto) tiene un unico cambio de signo como usualmente se pensaria tipicamente seria un proyecto de inversion, en donde el flujo negativo de tiempo cero es proseguido de flujos positivos, entonces matematicamente se tendria una unica solucion x, por ende una unica tasa TIR ".podemos modificar la TIR y convertirla en un mejor indicador de la rentabilidad relativa y en una mejor alternativa para utilizarse en el presupuesto de capital".14 De esta forma, y con el fin de convertir la TIR en una herramienta un poco mas confiable, algunos financieros idearon en modificarla haciendo igualar el valor presente de los flujos de efectivo negativos al valor futuro de los flujos de efectivo positivos, simulando un deposito bancario simple:

VP salidas de efectivo = VF entradas de efectivo

Los flujos negativos se descuentan en tiempo cero al costo de capital d o tasa de corte requerida por el inversionista, con el fin de obtener de hacerlos equivalentes a una unica inversion (en tiempo cero) Por su parte los flujos positivos se llevan al final de la vida del proyecto al costo de capital d o tasa de corte requerida por el inversionista con el fin de hacerlos equivalentes a un unico retorno en tiempo n Asi la TIRM supone que los flujos de efectivo se reinvierten a la tasa requerida de rendimiento y no como la TIR tradicional que supone se reinvierten a la misma TIR del proyecto.

Con esto se tendria hoy un unico flujo negativo (equivalente de inversion) y un unico flujo positivo (equivalente de recuperacion) al final de la vida del proyecto:

VF = VP [(1+TIRM).sup.n] donde:

VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

TIRM = Tasa Interna de Retorno

n = Tiempo

por lo que entonces:

[(VF/VP).sup.1/n]-1 = TIRM

Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo/Periodo      0          1         2          3
Flujo A         -150,000   900,000   -400,000   -50,000

Flujo/Periodo   % Costo Cap.d
Flujo A              10%


En este caso tenemos entonces:
Flujo        0          1           2          3           % TIR
/Periodo

Flujo A      -150,000     900,000   -400,000     -50,000
VP.enO       -150,000               -330,579     -37,566
V.F.en3                 1,089,000
Flujos       -518,144                          1,089,000      28%
  p/TIRJVI


De esta forma tenemos que la rentabilidad TIRM de este proyecto al 10 % de costo de capital es del 28 %, por lo que el proyecto se aceptaria. No obstante, si el costo de capital hubiese sido del 20 %, la TIRM de este proyecto hubiese sido del 42 % ? Como puede ser posible que la rentabilidad de un proyecto cambie? La rentabilidad de un proyecto siendo el mismo evaluado en el mismo momento de tiempo, no puede variar y es unica Bajo esta tecnica, para tantas tasas de costo de capital d o descuento hayan, tantas tasas TIRM resultaran Por ello, la TIRM no puede asegurar la rentabilidad exacta del proyecto, aunque si podria tomarse la decision respecto de aceptar o rechazar el proyecto comparando la TIRM respecto al Costo de Capital La TIRM ha sido un mito, pero la realidad es que no puede reflejar la rentabilidad real de un proyecto.

VALOR ACTUAL NETO EQUIVALENTE (VANE):

Siendo que el VAN es una medida absoluta lo cual perjudica la comparabilidad bajo este criterio entre proyectos largos respecto a proyectos de menor duracion (pues es factible que proyectos de mayor larga duracion presenten mayores VAN), surge entonces el Valor Actual Neto Equivalente (VANE), con el fin de tomar en cuenta el tiempo o relatividad de la longitud de los proyectos

"Un metodo generalmente utilizado para comparar proyectos con distinta vida util es el del valor anual neto equivalente, cuando las opciones que se comparan tienen diferentes beneficios asociados, o el del costo anual equivalente, cuando solo difieren los costos". (15)

"En los casos de proyectos mutuamente excluyentes, en los que es necesario comparar costos de operacion e inversiones, se puede utilizar como solucion alterna al VPN el procedimiento de los costos anuales equivalentes, cuyos supuestos de reinversion son iguales a los del VPN El procedimiento consiste en convertir el total de las inversiones y de los costos actualizados de cada proyecto en cuotas o costos anuales equivalentes" (16)

En resumen el VANE representa al VAN, como si fueran recibidos en un flujo de Pagos Periodicos PMT durante la cantidad de periodos de vida del Proyecto Se determina calculando, primero el VAN del proyecto y despues su equivalencia (equiparando) como si fuese un flujo anual constante. Entonces bajo esta metodologia, se escogera el proyecto que cuente con el mayor VANE (si es de ingresos) o con el menor VANE (si es de costos) De esta forma si:

PV = PMT(1 - [(1 + d).sup.-n]/d) donde:

PV = Valor Presente

PMT = Pago Periodico

d = Tasa de descuento (costo de capital)

n = Tiempo

entonces siendo equivalente al VAN y VANE:

VAN = VA Ne(1 - [(1 + d).sup.-n]/d)

por lo que:

VANE = (VAN * d/1 - [(1 + d).sup.-n.]

Veamos el siguiente ejemplo:
Flujo       VAN     n    d%     VANE

Flujo A    50,000   5   207.   16,719
Flujo B    40,000   4   20%    13,989


En este caso, de acuerdo al VAN el Proyecto A es preferible al Proyecto B, pero de acuerdo al VANE el Proyecto B es preferible al Proyecto A Esto es porque proporcionalmente por periodo, el Proyecto B presenta un mayor VANE, lo cual es justamente la ventaja del VANE El VANE es util utilizarlo cuando se comparan proyectos mutuamente excluyentes con distinta vida util economica, casos en los cuales por ser el VAN una medida absoluta no resultaria adecuado utilizarla Aun cuando proyecto muestre un VAN mayor, esto podria deberse a la duracion del mismo.

No obstante es importante destacar que, el VANE supone que el proyecto se replicara (sera iniciado) varias veces bajo un VAN anualizado, donde una vez que acabe el primero, arrancara el segundo (replica) en forma identica En el ejemplo expuesto habra que tomar en consideracion de si el Proyecto B podria replicarse al final del mismo, porque si una vez finalizado el Proyecto B, los flujos de caja liberados no pueden ser invertidos en proyectos de inversion con rentabilidad similar, o si del todo no pueden ser mas invertidos (en esta ultima eventualidad), hubiese haber sido mejor haber ejecutado el Proyecto A desde el inicio, pues el flujo del Proyecto B finalizaria con un VAN de 40 000 pero para 5 anos de vida, con un VANE entonces de 13.375.

INDICE DE RENTABILIDAD (IR):

Como ya se indico anteriormente, siendo que el VAN es una medida absoluta lo cual perjudica la comparabilidad de proyectos de distinto tamano, y complementario al VANE, surge el Indice de Rentabilidad (IR), con el fin de convertir el VAN en una medida relativa, de manera que en lugar de que las inversiones sean deducidas de sumatoria del valor actual de los flujos descontados en tiempo cero, dichas inversiones son divididas "Este es la razon del valor presente de los flujos de efectivo esperados a futuro despues de la inversion inicial dividida entre el monto de la inversion inicial" (17) De esta forma si:

De esta forma si:

VAN = [n.[suma de (t=1)]]F[C.sub.t][(1+d).sup.-[I.sub.0] entonces el IR sera:

[n.[suma de (t=1)]]F[C.sub.t][(1+d).sup.-n][C.sub.t][(1+d).sup.-n]/[I.sub.0]

F[C.sub.t] = Flujos Netos de Caja (en los periodos desde t = 1 hasta t = n)

[I.sub.0] = Inversion Inicial (en el momento cero)

d = Tasa de descuento (costo de capital)

El IR es la razon del valor presente de los flujos netos de caja de un proyecto entre la salida de inversion inicial en el momento cero El criterio de decision es que el proyecto se aprueba si el IR es mayor que 1, o aquel proyecto que tenga el mayor IR, de lo contrario se rechaza De esta forma se tiene que:

VAN = 0 [flecha diestra] IR = 1 VAN > 0 [flecha diestra] IR > 1 VAN < 0 [flecha diestra] IR < 1

Cabe destacar que mientras en el VAN el elemento neutro es cero, en el IR el neutro es uno Es una medida basada en las ventajas del VAN, solucionando los problemas que pueda presentar la TIR y ademas es una medida relativa Tal y como se ha observado, veamos el siguiente ejemplo si el costo de capital d es del 10 % anual:
Flujo/         0          1         2         3      %TIR    VAN
Periodo

Flujo A     -150,000   200,000   -10,000   -10,000   24%    16,041

Flujo/       IR
  Periodo

Flujo A     1.11


En este caso el IR obtenido significa que de cada 1 unidad monetaria que se invierte en tiempo cero, se recibira el equivalente a hoy de 1,11, es decir se recupera el 1 de inversion y quedan a favor 0,11 Esto significa una rentabilidad del 11%, rentabilidad que es neta despues de haber deducido ya el costo de capital del 10 % "En las situaciones en las cuales es necesario jerarquizar porque las opciones de inversion son mutuamente excluyentes, el VPN es suficiente y no es necesario calcular el IR Sin embargo, en aquellos casos en que se necesita jerarquizar debido a limitaciones de los recursos financieros, el ID puede tener ventaja sobre el VPN, si las tasas a que se pueden reinvertir los flujos intermedios de los proyectos son significativamente superiores al rendimiento minimo aceptable para la empresa (costo del capital)" (18)

CONCLUSIONES

A traves de los anos, la dialectica respecto al PR, al VAN y la TIR continuara y sera inevitable su discusion entre mas desconocimiento matematico haya El PR como se denoto presenta su mayor debilidad en no poder ver mas alla de los flujos de recuperacion de la inversion Su facil calculo e interpretacion, continua hoy siendo parte de sus escasas fortalezas.

Cuando se desean jerarquizar proyectos, los cuales son mutuamente excluyentes, el VAN y la TIR pueden eventualmente presentar problemas entre si, a pesar de que se ha generalizado ampliamente y de manera erronea, que si el VAN de un proyecto es mayor que cero es porque la TIR del mismo, es mayor que el costo de capital o tasa de descuento Mientras el VAN es una medida absoluta, lo cual no permite acertadamente comparar proyectos de distinto tamano, la TIR es una medida relativa, la cual en ese aspecto tiene ventaja sobre el VAN. La TIR resulta util para comparar proyectos de diferente tamano.

No obstante, la TIR por definicion matematica en si misma, corresponde a la solucion de x en un polinomio de grado n, grado que en el contexto financiero esta definido por la cantidad de anos que abarque el proyecto Como todo polinomio, el mismo puede presentar tanto una unica solucion de x, como tambien varias soluciones, situacion que en el plano financiero carece de sentido Igualmente bajo ciertas circunstancias, la no solucion de x en el polinomio (no existencia de TIR en el proyecto) atentan contra su uso, utilizacion que ha sido indiscriminada en las ultimas decadas.

Igualmente para los analisis de flujos bajo la TIR, debera primeramente tomarse en cuenta de que tipo de flujo se trata, si es de inversion (para que el proyecto se apruebe entonces la TIR debera mayor que el costo de capital), o de credito (para que el prestamo se apruebe entonces la TIR debera ser menor que el costo de capital). Y entonces surge la pregunta: ?por que se sigue utilizando la TIR ? Por su facilidad de visualizacion, pero igualmente por desconocimiento matematico de analistas y evaluadores de proyectos La TIR sin duda, no es el mejor instrumento para evaluar proyectos o flujos de caja.

Ampliaciones a la TIR como la TIRM (Modificada), han tratado de soslayar los problemas antes indicados, pero al depender del costo de capital, igualmente no brinda la rentabilidad real del proyecto Mientras tanto medidas como el VANE y el IR que han eliminado la debilidad del VAN de ser una medida absoluta, han complementado positivamente la gama de tecnicas de evaluacion, aprovechando sus bondades matematicas y convirtiendolo en medidas relativas Pero definitivamente esta claro que, no existe una tecnica capaz de resolver satisfactoriamente todos los problemas que se presentan en la practica.

Finalmente y a manera de resumen, y con el objetivo de guiar al lector o eventual evaluador de proyectos a tomar una decision adecuada, la siguiente tabla resume la(s) medida(s) que bajo un determinado flujo o en una situacion especifica podrian ser utilizadas, para ser complementada con otra medida.

Es importante destacar que a pesar de que pareciera que el Indice de Rentabilidad podria verse como la medida perfecta, las bondades de una medida complementan con otras bondades de otra medida, por lo que al evaluar proyectos de inversion es recomendable hacerlo en forma conjunta y no atarse a evaluar un proyecto de inversion bajo una unica medida, mas aun todavia en situaciones cuando se comparan proyectos mutuamente excluyentes de vidas desiguales Ello por cuanto siempre existira un costo de oportunidad de ejecutar uno y desechar el otro, principalmente en cuanto al tiempo diferencial entre ellos se refiere.
FLUJO O SITUACION / MEDIDAS      VAN   TIR   VANE   IR

FLUJOS INDEPENDIENTES:
un cambio de signo                X     X     X      X
Varios cambios de signo           X           X      X
Retrazo en inicio                 X           X      X

FLUJOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
Un cambio de signo                X     X     X      X
Varios cambios de signo           X           X      X
Retrazo en inicio                 X           X      X
Vidas desiguales                        X     X      X
Escalas (tamanos) desiguales            X            X

X = Medida a utilizar y complementar con otra en el
mismo contexto


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

Besley, S., Brigham, E. 2001. Fundamentos de Administracion Financiera. Doceava Edicion. Editorial Mc. Graw Hill, Mexico D. F, Mexico, pags. 387, 416.

Ketelhuhn, W., Marin, J., Montiel, E. 2006. Inversiones: Analisis de inversiones estrategicas. Primera Edicion. Grupo Editorial Norma, Bogota, Colombia, pags. 53, 55, 63, 78, 86.

Ross, S, Westerfield, R, Jaffe, J Finanzas Corporativas 2009 Octava Edicion Editorial Mc Graw Hill, Mexico D.F., Mexico, pags. 155, 158, 163, 169.

Sapag, Nassir. 2007. Proyectos de inversion: Formulacion y evaluacion. Primera Edicion. Editorial Pearson, Mexico D.F., Mexico, pags. 253, 254.

Sapag, Nassir, Sapag, Reinaldo. 2003. Preparacion y Evaluacion de Proyectos. Cuarta Edicion. Editorial Mc. Graw Hill, Mexico D.F., Mexico, pags. 306, 314.

Roberto Sole Madrigal (1)

(1.) Magister Scientiae(M.Sc.)con enfasis en Banca y Finanzas en si997 ysusLicenciaturasen Administracion de Negocios con enfasis en Direccion de Empresas--Finanzasytambienen Contabilidad en 1991, todo en la UniversidaddeCostaRica. Es profesor de lamisma Universidaddesde hace mas de 15 anos impartiendoloscursos Preparaciony Evaluacion de Proyectos, y Nivelatorios de Finanzas I y II para elPrograma de Posgrado en Administracion yDireccion de Empresas, asi comoCoordinador Profesor dediversos cursosdel Area de Finanzas de la Escuela de Administracion deNegocios. Durante esetiempoha complementado su formacion academicay docente, conla practicagerencial, laborando para diversas companias multinacionales como Gerente Financiero. ROBERTO. SOLE@ucr. ac cr

(2) Ketelhuhn, Werner, Marin, Jose Nicolas y Montiel, Eduardo. Inversiones: Analisis de inversiones estrategicas. Primera Edicion (Bogota, Colombia: Grupo Editorial Norma, 2006), pag 55.

(3) Ibid, pag. 53.

(4) Ross, Stephen, Westerfield, Ran y Jaffe, Jeffrey. Finanzas Corporativas. Octava Edicion. (Mexico D. F., Mexico: Editorial Mc. Graw Hill, 2009), pag. 155.

(5) Besley, Scott, Brigham, Eugene. Fundamentos de Administracion Financiera. Doceava Edicion. (Mexico D. F., Mexico: Editorial Mc. Graw Hill, 2001), pag. 387.

(6) Sapag, Nassir. Proyectos de inversion: Formulacion y evaluacion. Primera Edicion. (Mexico D. F., Mexico: Editorial Pearson, 2007), pag. 253.

(7) Ross, Stephen, Westerfield, Ran y Jaffe, Jeffrey. Op. cit., pag. 158.

(8) Sapag, Nassir, Sapag, Reinaldo. Preparacion y Evaluacion de Proyectos. Cuarta Edicion. (Mexico D.F., Mexico: Editorial Mc. Graw Hill, 2003), pag. 306.

(9) Sapag, Nassir. Op. cit., pag. 254.

(10) Ketelhohn, Werner, Marin, Jose Nicolas y Montiel, Eduardo. Op. cit., pag. 78.

(11) Ross, Stephen, Westerfield, Ran y Jaffe, Jeffrey. Op. cit., pag. 163.

(12) Besley, Scott, Brigham, Eugene. Op. cit., pag. 416.

(13) Ross, Stephen, Westerfield, Ran y Jaffe, Jeffrey. Op. cit., pag. 163.

(14) Ibid., pag. 416.

(15) Sapag, Nassir, Sapag, Reinaldo. Op. cit., pag. 314.

(16) Ketelhohn, Werner, Marin, Jose Nicolas y Montiel, Eduardo. Op. cit., pag. 86.

(17) Ross, Stephen, Westerfield, Ran y Jaffe, Jeffrey. Op. cit., pag. 169.

(18) Ketelhohn, Werner, Marin, Jose Nicolas y Montiel, Eduardo. Op. cit., pag. 63.
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Author:Sole Madrigal, Roberto
Publication:Ciencias Economicas
Article Type:Report
Date:Jan 1, 2011
Words:9233
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