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Sobre una version categorica de un criterio de proyectividad generalizada para modulos sobre dominios.

On a categorical version of a generalized projectivity criterion for modules over domains

INTRODUCCION

El punto de partida de la presente nota es el Teorema de Hill para la identificacion de grupos abelianos libres, el cual enuncia que un grupo conmutativo G es libre si es la union de una sucesion ascendente de subgrupos de G, en la que cada uno de los subgrupos es libre y puro en G (ver Fuchs, 1973 o Hill, 1970 para mayores detalles); aqui, decimos que un subgrupo de un grupo es puro si todo sistema de ecuaciones en el subgrupo con coeficientes en los enteros es soluble en el subgrupo cuando sea soluble en el grupo. Historicamente, el Criterio de Hill generaliza el Teorema de Pontryagin --el cual es valido para grupos de cardinalidad contable (Pontryagin, 1934)--y proporciona una herramienta muy util para determinar si un grupo abeliano posee la estructura simple de un grupo libre. Naturalmente, surge la pregunta de si dicho resultado puede ser extendido a la condicion de libertad de modulos sobre dominios.

Hay que afirmar que, en fechas recientes, los avances en materia de Algebra abstracta y Teoria de Conjuntos han permitido extender el Criterio de Hill a varias propiedades de modulos que generalizan la condicion de libertad. Mas precisamente, la Teoria de Modulos sobre dominios enteros ha sido el escenario principal en donde se han presentado las generalizaciones mas relevantes del Teorema de Hill. Por ejemplo, dicho resultado ha encontrado extensiones para modulos proyectivos (Macias Diaz, 2010), modulos completamente factorizables y modulos separables (Fuchs y Macias Diaz, 2010), modulos proyectivos balanceados (Macias Diaz, 2011a), modulos que son isomorfos a sumas directas de ideales de dominios de Prufer h-locales (Macias Diaz, 2011b) y modulos de Butler (Rangaswamy, 1998).

En vista de la amplia gama de generalizaciones del Criterio de Hill a condiciones generalizadas de libertad de modulos, una nueva pregunta surge respecto a la Teoria de Categorias: ?es posible proporcionar una generalizacion ulterior del Criterio de Hill que englobe, digamos, aquellos teoremas concernientes a las condiciones de libertad, proyectividad, factorizabilidad completa y separabilidad de modulos? Mas precisamente, ?es posible encontrar condiciones categoricas para subcategorias completas de la categoria de todos los modulos, en donde se satisfaga la cerradura bajo uniones de sucesiones ascendentes de submodulos puros?

La respuesta a esta interrogante sera proporcionada en este trabajo, el cual esta seccionado de la siguiente forma: primero se presentaran algunos conceptos y resultados preliminares sobre el tema central de nuestra discusion, es decir, las [kappa]-categorias; tambien se introduciran los conceptos de pureza de modulos y de categorias proyectivas, y se enunciara el resultado principal. Despues citaremos algunos resultados tecnicos de suma utilidad en esta investigacion, mientras que el penultimo apartado proporcionara un bosquejo de la demostracion del resultado principal de este trabajo; asimismo, se facilitaran algunas consecuencias relevantes para nuestros propositos. Finalmente, se anade una seccion de conclusiones y discusiones sobre el tema de investigacion.

Preliminares

En esta breve nota, supondremos siempre que R representa un dominio entero (esto es, un anillo conmutativo, con identidad para la multiplicacion y sin divisores de cero), y supondremos que k es un numero cardinal infinito arbitrario. En todo momento, el lector puede remitirse a Fuchs y Salce (2001) para aclaraciones sobre la terminologia estandar, asi como los resultados elementales sobre la Teoria de Modulos que seran empleados.

En este contexto, una K-categoria es una categoria completa M de modulos sin torsion, la cual es cerrada con respecto a la formacion de sumas directas, y en la que cada objeto puede ser expresado como la suma directa de modulos en M de rango menor o igual a [kappa]. Un famoso resultado de I. Kaplansky (1968)--a saber, que todo sumando directo de un modulo que es la suma directa de modulos de rango contable, es tambien una suma directa de modulos de rango contable--proporciona una amplia gama de [X.sub.0]-categorias, como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Todas las siguientes clases de R-modulos forman [X.sub.0]-categorias en virtud de la version del Teorema de Kaplansky para el rango (ver Theorem 1 en Kaplansky, 1968): los modulos libres, los modulos proyectivos, los modulos completamente factorizables, los modulos proyectivos balanceados y las sumas directas de ideales de R.

Sea N un submodulo del R-modulo M. Recuerdese que N es puro en M si cada sistema de ecuaciones en N con coeficientes en R tiene solucion en N siempre que tenga solucion en M. Esta definicion es, evidentemente, una generalizacion del concepto de pureza de la Teoria de Grupos Abelianos; ademas, todo submodulo N de M es relativamente divisible en M, es decir, toda ecuacion de la forma rx = a, con a perteneciente a N y r en R, es soluble en N siempre que es soluble en M. Como ejemplo, todo sumando directo es tanto un submodulo puro como un submodulo relativamente divisible. El lector podra encontrar mas propiedades sobre pureza y divisibilidad relativa en las Secciones I.7 e I.8 de Fuchs y Salce (2001).

El siguiente es el resultado mas relevante de esta nota:

Teorema 1. Sea M una K-categoria. Un modulo sin torsion M pertenece a M si existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua.

(1) 0 = [M.sub.0] < [M.sub.1] < ... < [M.sub.v] < ... (v < K) de submodulos de M, tales que:

a) cada [M.sub.v] es puro en [M.sub.v+1],

b) cada [M.sub.v] pertenece a M, y

c) M es la union de los modulos de la cadena (1).

Aqui es menester recordar que una cadena (1) es continua si [M.sub.v] es la union de sus predecesores, para cada ordinal limite v < K.

Como consecuencia, las K-categorias son cerradas bajo la formacion de uniones de cadenas ascendentes, bien ordenadas y continuas de longitud menor o igual a K, en las que cada objeto es puro en su sucesor. Como se vera oportunamente, esta propiedad de las K-categorias es valida en las categorias denominadas 'categorias proyectivas', las cuales se introduciran a continuacion.

Si M es una K-categoria, su categoria proyectiva asociada es la subcategoria completa [M.sup.p] de la categoria de R-modulos, cuyos objetos son todos los sumandos directos de modulos en M. Evidentemente, la categoria proyectiva de una K-categoria M es cerrada bajo la formacion de sumas directas, y es una supercategoria de M. Ambos conceptos, el de K-categoria y el de categoria proyectiva, son terminos nuevos, empleados en este trabajo para propositos de simplificacion y comodidad.

Lemas

En esta breve seccion se tomaran algunos resultados tecnicos de la literatura especializada, los cuales seran utiles en la demostracion del resultado principal. Los conceptos teoricos de la Teoria de Conjuntos pueden ser revisados en cualquier libro de texto de la materia, como por ejemplo, Jech (2003).

Lema 3. Un modulo M pertenece a la K-categoria M si existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua.

(2) 0 = [N.sub.0] < [N.sub.1] < ... < [N.sub.[rho]] < [N.sub.[rho]+1] < ... ([rho] < [sigma]) de submodulos de M, tal que:

a) cada [N.sub.[rho]] es un sumando directo de [N.sub.[rho]+1],

b) cada modulo factor [N.sub.[rho]+1]/[N.sub.[rho]] pertenece a M, y

c) M es la union de los modulos de la cadena (2).

Demostracion. El modulo M es la suma directa de todos los modulos factores [N.sub.[rho]+1]/[N.sub.[rho]]. En consecuencia, M es un objeto de M.

Recuerde que una [G(K).sup.*]-familia de un modulo M es un conjunto B de submodulos de M con las siguientes propiedades:

1. 0 y M pertenecen a B,

2. B es cerrado con respecto a la union de cadenas ascendentes, y

3. para cada subconjunto H de M de cardinalidad a lo mas k y para cada miembro [A.sub.0] de B existe un miembro A de B que contiene tanto a H como a [A.sub.0], tal que A/[A.sub.0] tiene rango menor o igual a k.

Todo modulo M en una K-categoria M tiene una G[(K).sup.*]-familia que consiste de submodulos puros que pertenecen a M, a saber, la coleccion de sumas directas parciales en una descomposicion fija de M como una suma directa de objetos de M de rango menor o igual a K.

Los siguientes lemas son cruciales en este estudio. Remitase a la Seccion XVI de Fuchs y Salce (2001) para las demostraciones.

Lema 4. Sea M un R-modulo sin torsion, para el cual existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua (1) de submodulos que satisfacen las siguientes propiedades:

a) cada [M.sub.v] es puro en [M.sub.v+1],

b) cada [M.sub.v] posee una [G(K).sup.*]-familia [B.sub.v] que consiste de submodulos puros, y

c) M es la union de los modulos de la cadena (1).

Entonces, existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua

(3) 0 = [A.sub.0] < [A.sub.1] < ... < [A.sub.[alfa]] <... ([alfa] < T) de submodulos de M, tal que

a) para cada [alfa]<T, [A.sub.[alfa]] es puro en [A.sub.[alfa]+1],

b) para cada [alfa]<T y cada v<K, [A.sub.[alfa][interseccion][M.sub.v] pertenece a [B.sub.v],

c) para cada [alfa]<T, el modulo factor [A.sub.a+1]/[A.sub.[alfa]] tiene rango menor o igual a K,

d) para cada [alfa]<T y cada V<K, ([A.sub.[alfa]][interseccion][M.sub.v+1]) + [A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v]) pertenece a [B.sub.v+1], y

e) M es la union de los modulos de la cadena (3).

Siguiendo la notacion de este lema, la coleccion bien ordenada bajo inclusion, de los modulos [A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1] [interseccion] [M.sub.v]), con [alfa] < T y V < K, son los modulos [N.sub.[rho]] en el siguiente resultado.

Lema 5. Sea M un R-modulo sin torsion, para el que existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua (1) de submodulos, que satisfacen las propiedades (a), (b) y (c) del Lema 4. Entonces, existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua (2) de submodulos de M, tal que:

a) cada [N.sub.[rho]] es puro en [N.sub.[rho]+1],

b) cada modulo factor [N.sub.[rho]+1]/[N.sub.[rho]] tiene rango menor o igual a K,

c) cada modulo factor [N.sub.[rho]+1]/[N.sub.[rho]] es isomorfo a un modulo factor A/B, donde A y B pertenecen a alguna familia [B.sub.v], y B es submodulo de A, y

d) M es la union de los modulos en la cadena (2).

Demostracion y consecuencias

Por comodidad, se reproduce a continuacion el resultado principal de este trabajo.

Teorema. Sea M una K-categoria. Un modulo sin torsion M pertenece a M si existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua.

0 = [M.sub.0] < [M.sub.1] < ... < [M.sub.v] < ... (v < k) de submodulos de M, tales que:

a) cada [M.sub.v] es puro en [M.sub.v+1],

b) cada [M.sub.v] pertenece a M, y

c) M es la union de los modulos de la cadena (1).

Demostracion. Para cada v<K, sea [B.sub.v] la [G(K).sup.*]-familia de todas las sumas directas parciales en una descomposicion fija de [M.sub.v] como una suma directa de modulos en M, de rango menor o igual a K. Cada [B.sub.v] es una familia de submodulos puros de [M.sub.v]. Por los Lemas 4 y 5 existe una cadena ascendente, bien ordenada y continua (3) de submodulos de M, que satisfacen las siguientes propiedades, para cada [alfa]<T y cada v<K:

1. [A.sub.[alfa]][interseccion][M.sub.v] pertenece a [B.sub.v],

2. ([A.sub.[alfa]][interseccion][M.sub.v+1]) + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v]) pertenece a [B.sub.v+1], y

3. [[A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v+1])]/[[A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v])] es isomorfo a ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v+1])/[([A.sub.[alfa]][intersection][M.sub.v+1]) + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v])].

4. Adicionalmente, M es la union de los modulos [A.sub.[alfa]], con [alfa]<T.

Como consecuencia, el modulo [A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v+1]) es isomorfo a la suma directa de los modulos [A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v]) y [[A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v+1])]/[[A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v])]. De la observacion que precede al Lema 5, los modulos [A.sub.[alfa]] + ([A.sub.[alfa]+1][interseccion][M.sub.v]), bien ordenados bajo la relacion de inclusion, forman una cadena ascendente y continua (2) que satisface las propiedades del Lema 5. Particularmente, (2) es una cadena de submodulos de M que satisface las hipotesis del Lema 3, de donde se sigue la conclusion del teorema.

Nuestro siguiente resultado es valido si p denota cualquiera de las siguientes categorias completas de R-modulos: modulos libres, modulos completamente factorizables, y modulos que son (salvo isomorfismo) sumas directas de ideales de R. Su demostracion es una consecuencia inmediata del teorema anterior.

Corolario 7. Un R-modulo P pertenece a p si existe una sucesion ascendente

(4) 0 = [P.sub.0] < [P.sub.1] < ... < [P.sub.n] < ... (n < [omega]) de submodulos de P, tal que

a) cada [P.sub.n] es puro en [P.sub.n+1],

b) cada [P.sub.n] pertenece a p, y

c) P es la union de los modulos de la sucesion (4).

Nuestro ultimo resultado es una generaliza cion de la version del rango del Teorema de Kaplansky. Su demostracion tambien es inmediata.

Corolario 8. La categoria proyectiva asociada a una K-categoria es una K-categoria.

DISCUSION Y CONCLUSIONES

El Teorema 1 de esta nota generaliza las versiones conocidas hasta el momento del Teorema de Hill para condiciones de proyectividad generalizada de modulos sobre dominios enteros. Evidentemente, la pregunta de si dicho resultado, asi como los resultados particulares que motivaron este estudio--es decir, Fuchs y Macias Diaz (2010), Macias Diaz (2010, 2011a, 2011b)--pueden ser generalizados para modulos sobre anillos no necesariamente conmutativos, es un tema de investigacion que queda abierto aun. La idea de explotar tal brecha de estudio es atractiva; sin embargo, el reto es por demas interesante, en vista de que las tecnicas que se tendrian que emplear serian completamente distintas para el caso no conmutativo.

Finalmente, es interesante hacer notar que el resultado principal presentado en este trabajo, efectivamente, generaliza todos los trabajos anteriores. Particularmente, es interesante mencionar que el presente trabajo prescinde de hipotesis irrelevantes usadas, por ejemplo, en Fuchs y Macias Diaz (2010), Macias Diaz (2010, 2011b) y Rangaswamy (1998). Adicionalmente, el teorema principal de este trabajo es una generalizacion genuina del resultado principal propuesto en Macias Diaz (2011), en el cual se emplea una tecnica similar para el estudio de la propiedad de proyectividad balanceada.

LITERATURA CITADA

* FUCHS, L., Infinite Abelian Groups Vol 2. Estados Unidos de America: Academic Press, 1973.

* FUCHS, L.; MACIAS DIAZ, J.E., On completely decomposable and separable modules over Prufer domains. Journal of Commutative Algebra. 2: 159-176, 2010.

* FUCHS, L.; SALCE, L., Modules over Non-Noetherian Domains. Estados Unidos de America: American Mathematical Society, 2001.

* HILL, P., On the freeness of abelian groups. Bulletin of the American Mathematical Society. 76: 1118-1120, 1970.

* JECH, T., Set Theory. Alemania: Springer-Verlag, 2003.

* KAPLANSKY, I., Projective modules. Annals of Mathematics. 68: 372-377, 1968.

* MACIAS DIAZ, J.E., A generalization of the Pontryagin-Hill theorems to projective modules over Prufer domains. Pacific Journal of Mathematics. 246: 391-405, 2010.

* MACIAS DIAZ, J.E., On some criteria for the balanced-projectivity of modules over integral domains. International Journal of Algebra. 5: 57-64, 2011a.

* MACIAS DIAZ, J.E., On the union of ascending chains of direct sums of ideals of h-local Prufer domains, Algebra Colloquium. 18: 1-8, 2011b.

* PONTRYAGIN, L., The theory of topological commutative groups. Annals of Mathematics. 35: 361-388, 1934.

* RANGASWAMY, K.M., A criterion for complete decomposability and Butler modules over valuation domains. Journal of Algebra. 205: 105-118, 1998.

Jorge Eduardo Macias Diaz (1)

Recibido: 10 de Diciembre de 2010, aceptado: 14 de Junio de 2011

(1) Departamento de Matematicas y Fisica, Centro de Ciencias Basicas, Universidad Autonoma de Aguascalientes, jemacias@correo.uaa.mx.
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Author:Macias Diaz, Jorge Eduardo
Publication:Investigacion y Ciencia
Date:Sep 1, 2011
Words:3030
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