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Sobre las geometrias no euclidianas: Notas historicas y bibliograficas.

Sobre las geometrias no euclidianas: Notas historicas y bibliograficas

Francisco Jose Duarte Isava

Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 1946, 7 (25-26): 63-81.

Francisco Jose Duarte Isava (1883-1972)

Ingeniero venezolano reconocido como uno de los cientificos mas importantes de su pais. Alterno su trabajo como ingeniero con la docencia en la Universidad Central de Venezuela, como profesor de geometria analitica, algebra superior, analisis infinitesimal y mecanica racional, y tambien de Algebra Superior en la Universidad Santa Maria, en Caracas. En 1933 funda la Academia de Ciencias Fisicas, Matematicas y Naturales de Venezuela, institucion que presidio en dos ocasiones. Fue ademas director del Observatorio Astronomico y Meteorologico "Juan Manuel Cagigal". Participo activamente en los Encuentros Internacionales de Matematicos de Bologna (1928), Zurich (1932) y Boston (1950) y en varios Congresos de la Union Geodesica y Geofisica Internacional, asi como en los congresos internacionales para el uso pacifico de la energia atomica, en Ginebra en 1955 y 1958. Publico 7 libros, mas de 80 trabajos matematicos en revistas de renombre internacional, y escribio, adicionalmente, una gran cantidad de notas de prensa que incluyen biografias de matematicos famosos. Recibio muchos reconocimientos en Venezuela por su distinguida labor en pro de la ciencia y la matematica en su pais.

Informacion biografica suplementaria: http://www.tayabeixo. org/biografias/duarte.htm

Duarte Isava escribio un extenso y bien documentado articulo sobre la historia del postulado de Euclides y el surgimiento de las geometrias no euclidianas. Dedico un apartado a los Ensayos de demostracion del postulado de Euclides del Dr. Julio Garavito Armero (1865-1920), en el cual hace un riguroso analisis de dos demostraciones de Garavito para concluir--en el caso de la primera- que este ejericio es un claro ejemplo de los ensayos de demostracion en los cuales se reemplaza el postulado de Euclides por otro mas dificil de admitir. Sobre el segundo ensayo afirma que el error de Garavito esta en haber olvidado que los teoremas de la Geometria no son verdades geometricas sino verdades enunciadas en un lenguaje geometrico, las cuales no se aplican a figuras concretas de la geometria mientras no se acuerden previamente los postulados fundamentales. En otros terminos, que las verdades de la geometria no son absolutas sino relativas al sistema de principios en el cual se basa. Este trabajo le sirvio a Duarte para ingresar como miembro correspondiente a la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales (1). Dos aspectos hacen muy valioso este articulo para la historia de las matematicas en Colombia: la rigurosidad del mismo y las fuentes utilizadas, ademas de la Nota Editorial (2) que aparece al final del articulo, en la cual Alvarez Lleras manifiesta que en otra ocasion probara que Duarte esta equivocado, "porque Garavito, mas que matematico, fue filosofo sincero que nunca tuvo en mente cosa diferente de la persecucion de la verdad" y "asi haremos ver que los errores que el doctor Duarte cree encontrar en las exposiciones de Garavito, no lo son para todos, por cuanto la escuela de los pangeometras no es universal, ni las ideas contrarias a la matematica clasica han obtenido hasta ahora un triunfo absoluto." La correccion a Duarte nunca aparecio.

Clara Helena Sanchez, Ph.D.

Miembro Correspondiente

SOBRE LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS

NOTAS HISTORICAS Y BIBLIOGRAFICAS

INTRODUCCION

El descubrimiento o, si se quiere, la creacion de la Geometria no-euclidiana antes de terminar el primer tercio del siglo XIX es un acontecimiento trascendental en la historia de las Matematicas. Como ha sucedido muchas veces en casos analogos, este gran descubrimiento no fue entendido por los contemporaneos de Lobatchewsky: "Tal como era parecia contradecir un axioma cuya necesidad esta basada unicamente sobre un prejuicio consagrado desde hace millares de anos", como dicen los editores de las obras del ilustre geometra. "Se necesitaron todavia cien anos--dice Gonseth--para que, con Poincare y Einstein, nos dieramos cuenta de la trascendencia de este descubrimiento". [124], 79.

Cuenta el historiador y matematico Erie Bell que Lobatchewsky paso cuarenta anos en la Universidad de Kasan, como estudiante, profesor adjunto, profesor y finalmente rector. Los servicios eminentes que presto a su patria tuvieron por unica recompensa que el gobierno ruso lo destituyera bruscamente en 1846 de sus funciones de rector y profesor de la Universidad, "sin dar ninguna explicacion publica de este doble insulto inmerecido" [161], 325 (*). Los otros profesores de la Universidad, arriesgando su propia situacion, protestaron unanimemente contra este ultraje. Se les respondio secamente que, "como simples profesores no tenian capacidad para juzgar los actos del Gobierno". No era la primera vez que ocurria en el mundo semejante injusticia: recuerdese, entre otras, la historia de Tycho Brahe.

Nueve anos despues, en 1855, la Universidad de Kasan celebraba el primer medio siglo de existencia. Lobatchewsky concurrio a la conmemoracion y presento un ejemplar de su inmortal Pangeometria, resumen del trabajo completo de su vida cientifica. Pocos meses mas tarde Lobatchewsky murio a la edad de 63 anos.

Como muy bien ha dicho Parfentieff: "A medida que el pensamiento matematico y filosofico moderno profundiza sus problemas actuales, nos persuadimos mas de que diversos pensamientos, ideas y metodos de Lobatchewsky, ese genio potente y profundo, penetran en todas las ramas de las ciencias fisico-matematicas, tienen influencia sobre su desarrollo y vemos mejor que gran valor tiene y seguira teniendo la Geometria no-euclidiana de Lobatchewsky en general en la filosofia de la Naturaleza". [150], 476.

(*) Los numeros entre parentesis indican la obra correspondiente en la bibliografia al fin de este trabajo; el numero colocado al lado indica la pagina del libro citado.

El 26 de febrero de 1926 la Sociedad Fisico-Matematica y la Universidad de Kasan celebraron, en presencia de numerosos delegados oficiales, el centenario del descubrimiento de la geometria no euclidiana por Lobatchewsky. La Sociedad Fisico-Matematica de Kasan publico en esta ocasion un volumen cuyo titulo es:

"Ad anum MCMXXVI centesimum a geometra Kasaniensi N. J. Lobacevsky non-euklidae geometriae systematis inventi concelebrandum". In 8[grados]de 112 pag. 1927.

Nuestro querido y venerado maestro, el ilustre matematico Dimitry Mirimanoff, al hacer el analisis de esta publicacion, termina con estas palabras: (*)

"Victor Hugo dijo con ocasion del 6? centenario del Dante: 'Una solemnidad como esta es un magnifico sintoma. Es la fiesta de todos los hombres celebrada por una nacion como homenaje a un genio. Cada nacion da a las otras una parte de su grande hombre. La union de los pueblos se prepara por la fraternidad de los genios'.

"?No se podrian aplicar estas palabras al centenario de uno de los mas grandes descubrimientos del siglo XIX?".

El objeto del trabajo que hoy sale a luz es, como lo indica su titulo, presentar algunas notas historicas y bibliograficas sobre las geometrias no-euclidianas. Ni las unas ni las otras pretendemos que puedan ser completas.

Tambien exponemos varias de las numerosas demostraciones que se ha pretendido dar del postulado de Euclides, con la critica correspondiente.

Existen varias listas bibliograficas de las geometrias no-euclidianas, las que citamos en la Bibliografia al final de este trabajo [13], [34,] [39], [69]. No conocemos ninguna de estas listas; nuestra bibliografia esta formada por las obras que poseemos en nuestra biblioteca particular y por los libros que consultamos en algunas bibliotecas europeas y otras que no hemos tenido a mano y que estan citadas en algunos de aquellos libros, como son las listas bibliograficas mencionadas. Ademas, no todas las obras citadas tratan exclusivamente de la teoria de las paralelas o de las geometrias no euclidianas.

Este trabajo estaba comenzando desde hace varios anos; diversas circunstancias habian impedido concluirlo. Esperamos la indulgencia del lector y deseamos que encuentre interesante un conjunto de datos que se hallan diseminados en multitud de obras, muchas de ellas dificiles hoy dia de conseguir.

Caracas, marzo de 1945.

(*) V. L'Enseignement Mathematique, 1929, p. 349.

Los postulados sobre los cuales se funda la Geometria elemental, enunciados explicitamente en los celebres Elementos de Euclides [10], 2, fueron considerados durante largo tiempo como verdades evidentes de una manera absoluta. Sinembargo, como lo hace notar Mac Leod [134], 29, el gran numero de ensayos de demostracion del celebre postulado de las paralelas desde la antiguedad hasta la primera mitad del siglo XIX, prueba que ese postulado parecio a los matematicos menos evidente que los otros.

Todos los ensayos de demostracion, algunos de los cuales exponemos en esta Nota, fracasaron, porque en ellos se sustituia implicitamente la proposicion que se pretendia probar por otra equivalente. Hoy dia el asunto esta completamente aclarado y la demostracion del postulado de Euclides pertenece a la misma categoria que la resolucion de los problemas de la cuadratura del circulo, de la triseccion del angulo o de la duplicacion del cubo, problemas en los cuales solo se ocupan, como decia Lacaille, los que no son matematicos.

Desde Euclides hasta Legendre, dice Barbarin [146], 6, es decir durante mas de dos mil anos, los geometras desconocieron la verdadera naturaleza del postulado de Euclides y supusieron erroneamente que esta proposicion estaba contenida en la nocion clasica de la linea recta.

Sin embargo, Lambert (1728-1777) y Taurinus (1794-1874), a pesar de estar convencidos de la verdad del postulado de Euclides, trataron de averiguar las consecuencias que resultarian de negar su validez y llegaron a darse cuenta ele que la negacion de tal proposicion no podia a priori conducir a contradiccion logica por la analogia existente entre las propiedades de las rectas del plano y las de los circulos maximos de la esfera, exceptuando el 6 postulado: Dos rectas no pueden encerrar un espacio.

Taurinus hizo en 1826 la audaz y profetica hipotesis de que existen probablemente superficies curvas en las cuales ciertas curvas contenidas en ellas tienen propiedades analogas a las de las rectas del plano, con excepcion del 59 postulado: Dos rectas de un plano que hacen de un mismo lado, con una tercera, angulos cuya suma es inferior a dos angulos rectos se encuentran de ese lado. [146], 7. Veremos mas adelante en la interpretacion dada en 1868 por Beltrami la exactitud de la hipotesis de Taurinus. Taurinus [127], 67, dedujo las formulas de la Trigonometria no euclidiana de las de la Geometria esferica, sustituyendo el radio real fc por el radio imaginario ik.

Antes de Lambert y de Taurinus, se puede considerar como un precursor de las ideas no euclidianas al italiano Gerolamo Saccheri. En efecto, Saccheri considero un cuadrilatero birrectangulo en el cual los lados perpendiculares a la base son iguales y, por consiguiente, los otros dos angulos son iguales; examino las tres hipotesis relativas a estos angulos, a saber: que fueran rectos, agudos u obtusos. Debido a los prejuicios de su epoca--dice Veronesse [57]--en que se consideraba la Geometria euclidiana como la unica posible, Saccheri rechazo la hipotesis que lo habria conducido a la creacion de las geometrias no euclidianas, por razones sin fundamento solido, como veremos luego.

Fue solamente en 1829 cuando aparecieron en ruso, en el Boletin de la Universidad de Kasan, los primeros trabajos de Lobatchewshy (1793-1856) sobre la Geometria no euclidiana que el llamo Geometria imaginaria y despues Pangeometria.

Tres anos mas tarde, en 1832, el geometra hungaro Juan Bolyai (1802-1860), hijo de Wolfgang Bolyai (1775-1856), publico en latin un sistema de geometria enteramente semejante al de Lobatchewshy, en un Apendice a una obra de su padre. La traduccion francesa de este Apendice figura con el No. 22 en la Bibliografia que acompana este trabajo.

La semejanza de las obras de Lobatchewshy y de Bolyai es tan grande que parece increible, dice Russell [85], 15, que fueran independientes. Se sabe, sin embargo, que Bolyai ignoraba los escritos de Lobatchewshy que solo fueron traducidos en frances en 1837: Geometrie imaginaire (Journal de Crelle, t. XVII) y en aleman en 1840: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.

El gran geometra G. F. Gauss (1777-1855) paso casi toda su vida, desde la edad de 15 anos, reflexionando sobre los fundamentos de la Geometria. El ilustre geometra comprendio que el "axioma" de las paralelas no podia deducirse de los otros postulados y llego a fundar un sistema completo de geometria en el cual se supone falso el postulado de Euclides. Llego asi a los mismos resultados que Lobatchewshy y Bolyai como consta de su correspondencia con Schumacher y Wolfgang Bolyai [17], [65], [160], Sin embargo, Gauss no quiso publicar sus profundas investigaciones, temiendo, como el decia, "los clamores de los beocios" ("Geschrei der Bootier") [111], 73; [160], 11; [127], 57.

Gauss fue no solamente el iniciador de la Geometria no euclidiana, sino que tambien la influencia de la grande autoridad de semejante maestro fue decisiva en la aceptacion de la nueva doctrina. El verdadero triunfo de la Geometria no euclidiana data, dice Bonola [133], 282, del dia en que se supo que Gauss estaba convencido de su validez logica y de la posibilidad de un espacio fisico que respondiese a ella.

La hipotesis del angulo agudo de Saccheri corresponde a la Geometria de Lobatchewshy. A Riemann (1826-1866), ilustre matematico aleman, se debe la geometria correspondiente al caso del angulo obtuso.

En la celebre Memoria presentada por Riemann a la Facultad de Filosofia de Gotinga en 1854 (*) y publicada en 1867 [70], 280, el autor define la nocion de curvatura del espacio en un punto, gene ralizando la nocion de curvatura de un superficie dada por Gauss (*), aplicandola al caso de una multiplicidad de n dimensiones en un espacio de n + 1 dimensiones.

(*) Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grande liegen.

Riemann toma como elemento infinitesimal del cuadrado de la distancia una forma cuadratica de las diferenciales de las variables, cuyos coeficientes [a.sub.ij] son funciones de estas variables:

[Expresion matematica irreproducible].

Riemann hace notar que el caracter comun de las variedades en que la curvatura es constante en todos los puntos, puede expresarse diciendo que las figuras pueden moverse libremente en ellas sin sufrir deformaciones. Es evidente, en efecto, que las figuras no podrian sufrir traslaciones o rotaciones arbitrarias si la medida de la curvatura en la variedad correspondiente no fuera la misma en todos sus puntos y en todas las direcciones.

Si se designa por k la curvatura del espacio, Riemann halla para el elemento de distancia la formula:

ds = -1/1 + ki/4 [suma] [x.sub.1.sup.2] [raiz cuadrado de [suma]d[x.sub.1.sup.2]]

en la cual el indice i debe tomar los valores 1, 2,3 para el espacio ordinario.

Segun el valor de k se obtienen las diferentes especies de geometrias. A k = o corresponde la Geometria euclidiana o Geometria parabolica; a k < o la Geometria de Lobatchewsky y de Bolyai o Geometria hiperbolica ya k > o la geometria de Riemann o Geometria eliptica. Se supone que en todo el espacio se verifica el principio de superposicion de las figuras y que la recta es determinada siempre por dos puntos.

La unica superficie de curvatura constante positiva en la Geometria euclidiana es la esfera (**). Se puede interpretar la Geometria eliptica del plano, como lo dijo Lambert, como metrica de la esfera euclidiana, pero no de una manera completa, pues en la esfera dos circulos maximos se cortan siempre en dos puntos opuestos. Para que la recta este determinada por dos puntos es preciso considerar solamente una region limitada de la superficie llamada region normal.

Tampoco existe, como lo ha demostrado Hilbert [137], 232, ninguna superficie de curvatura constante negativa, sin puntos singulares, sobre la cual sea valida integralmente la Geometria hiperbolica del plano. [148], 36.

Helmholtz (1821-1894) hizo ver que la forma dada por Riemann al elemento ds para los espacios cuya curvatura es constante, es la unica compatible con el transporte, sin deformacion, de las figuras en el espacio.

(*) Reclierches generales sur les surfaces courbes. Tracl. M. E. Roger, Grenoble, 1870. p. 14-17.

(**) H. Liebmann, Gottingen Naehrichten 1899 p. 44, ha demostrado que para que pueda verificarse en su integridad la Geometria plana eliptica sobre una superficie de curvatura constante positiva, esta superficie ha de ser cerrada.

El matematico sueco S. Lie (1842-1899) aplico a las investigaciones de Riemann y de Helmholtz la teoria de los grupos continuos de transformaciones. Sus trabajos con los de Klein (1849-1925) y de H. Poincarc (1854-1912), han dado a las geometrias no-euclidianas su verdadera significacion.

Para terminar estas notas historicas sobre las geometrias no euclidianas, nos resta hablar de la Geometria de Cayley.

El geometra ingles Cayley (1821-1895) llama absoluto una conica o una cuadrica con respecto a las cuales se estudian respectivamente las propiedades de las figuras del plano y las de las figuras del espacio, subordinando la Geometria metrica a la proyectiva.

En esta geometria so define el angulo de dos planos [P.sub.1] [P.sub.2] que se cortan, del modo siguiente: sean [T.sub.1] [T.sub.2] los planos tangentes a una cuadrica C llevados por la recta de interseccion de [P.sub.1] [P.sub.2]; el angulo de los dos planos se define por la formula

V = 1/2i log([P.sub.1] [P.sub.2], [T.sub.1] [T.sub.2])

siendo el parentesis la relacion anarmonica de los cuatro planos. Cuando esta relacion es igual a - 1 sera V = [pi]/2 y los planos [P.sub.1] [P.sub.2] son conjugados en la cuadrica.

De una manera analoga se define el angulo de dos rectas que se cortan por medio de las tangentes al absoluto situadas en el mismo plano de las rectas y llevadas desde su punto de corte.

La distancia de dos puntos [M.sub.1] [M.sub.2] se define por la ecuacion

[M.sub.1] [M.sub.2] = k/2i log [[M.sub.1] [M.sub.2], [A.sub.1] [A.sub.2])

siendo [A.sub.1] [A.sub.2] los puntos en que la recta [M.sub.1] [M.sub.2] encuentra el absoluto.

Estas definiciones no se alteran cuando se efectua una transformacion homografica. Cuando la transformacion es por polares reciprocas, los angulos se cambian en distancias y estas en angulos. Ellas concuerdan con las definiciones habituales cuando la cuadrica considerada C se confunde con el circulo del infinito.

Si el absoluto es una cuadrica real convexa, toda recta situada en el interior de la superficie encuentra esta en dos puntos. La relacion anarmonica es siempre positiva y la distancia [M.sub.1] [M.sub.2] es real si se toma la constante k = Ri, siendo R real.

Considerando unicamente el espacio interior a la superficie, la geometria que resulta de estas definiciones es la ele Lobatchewsky y de Bolyai.

Si el absoluto es una cuadrica imaginaria que contiene todos los puntos reales, se halla la Geometria de Riemann.

Cayley habia estudiado la metrica proyectiva sin ocuparse de sus relaciones con las geometrias no euclidianas. [43], t. II. p. 561. Fue Felix Klein quien descubrio estas relaciones [26], Math. Ann. t. IV. p. 573; [133], 303'. Klein demostro que en la hipotesis no euelidea es posible constituir la Geometria proyectiva y subordinar, como en el caso de la Geometria euclidiana, las propiedades metricas a las proyectivas.

En cuanto a las representaciones de las geometrias no euclidianas y las pruebas de la indemostrabilidad del postulado de Euclides, entre otras las suministradas por las metricas proyectivas de Cayley y de Klein, podra verlas el lector en [26], [116], [133], [147], [162], etc., no siendo nuestro objeto hacer una exposicion completa del asunto.

Pasaremos, pues, a exponer varios ensayos de demostracion del celebre postulado de Euclides.

DEMOSTRACIONES DEL POSTULADO DE EUCLIDES

I.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES DE PROCLUS

Se funda en este postulado: la distancia entre dos rectas concurrentes crece hasta hacerse infinitamente grande cuando se las prolonga suficientemente, en cambio la distancia entre dos paralelas se matiene finita. De aqui deduce que 'por un punto dado pasa una sola paralela a una recta y por consiguiente es cierto el 5[grados]postulado de Euclides.

II.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DE NASSIR-EDDIN

Se funda en esta proposicion: si las rectas AD y BC (fig. 1) son, la primera perpendicular y la segunda oblicua al segmento AB, los segmentos de perpendicular trazada de un punto de AD a la recta BC son menores que AB en la region DABC en que BC forma angulo agudo con AB y mayores que AB en la region FABO en que BC forma angulo obtuso con AB. De aqui deduce que si dos segmentos perpendiculares a AB son iguales, seran tambien perpendiculares a AD y la figura formada por las cuatro rectas sera un cuadrilatero con sus cuatro angulos rectos, es decir un rectangulo. Trazando una diagonal se deduce que la suma de los angulos de un triangulo rectangulo es igual a dos rectos, por ser la mitad del rectangulo. Como un triangulo cualquiera se puede dividir en dos triangulos rectangulos, resulta que la suma de los angulos de un triangulo cualquiera es igual a dos angulos rectos y de esta ultima proposicion puede deducirse el postulado de Euclides.

III.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DE WALLIS

John Wallis (1616-1703) sustituye el 51? postulado por la hipotesis de que sea posible construir un triangulo semejante a otro dado y de magnitud arbitraria, por analogia con el caso del circulo y el 3er postulado de Euclides: desde cualquier centro y con cualquier radio se puede trazar un circulo.

Ahora, la semejanza de las figuras solo existe en la Geometria euclidiana. [133], 262.

IV.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DE SACCHERI

Oerolamo Saccheri (1667-1733) en su obra Euclides al) omni naevo vindicatus; sive geometricus quo stabiliuntur prima ipsa geometriae principia, Milan, 1733, considera un cuadrilatero cuyos lados opuestos AD y BC (fig. 2) son iguales y perpendiculares a la recta AB y examina las tres hipotesis que se presentan como posibles sobre los angulos iguales C y D del cuadrilatero, a saber: los dos angulos son rectos; ambos obtusos o ambos agudos. En el primer caso la suma de los tres angulos de un triangulo es igual a dos rectos de donde deduce Saccheri la validez del 5 postulado.

En el segundo caso la suma de los angulos de un triangulo es superior a dos angulos rectos. Fundandose en la hipotesis de que la recta es infinita demuestra tambien en el caso del angulo obtuso la validez del 5 postulado. Pero como de este postulado se deduce que la suma de los angulos de un triangulo es igual a dos angulos rectos, debe rechazarse la hipotesis del angulo obtuso. Es decir, esta hipotesis es incompatible con el 6 postulado.

En el tercer caso la suma de los angulos de un triangulo es inferior a dos angulos rectos. Saccheri rechaza tambien esta hipotesis fundandose en que si ella fuera verdadera, "dos rectas podrian tener una perpendicular comun en un punto comun situado en el infinito, lo que repugna a la naturaleza de la linea recta". [146], 21.

Siendo pues solamente posible la primera hipotesis, Saccheri creyo asi haber demostrado el Postulado de Euclides.

V.--TRABAJOS DE LAMBERT

El geometra suizo J. H. Lambert (1728-1777) en su obra Theorie der Parallellinien publicada, despues de su muerte, 1786, considera un cuadrilatero trirrectangulo y hace las tres hipotesis sobre la naturaleza del cuarto angulo. Emite la idea de que la hipotesis del angulo agudo podria ser realizada sobre una cierta superficie que el llama esfera imaginaria. Rechaza la hipotesis del angulo obtuso porque ella tiene como consecuencia la adopcion de una unidad absoluta de longitud.

VI.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES DE BERTRAND (DE GINEBRA)

Luis Bertrand (1731-1812) ensayo esablecer la teoria de las paralelas sin basarse en ningun postulado para lo cual empleo un procedimiento de bandas infinitas, propuesto en 1667 por Antonio Arnauld, llamado el gran Arnauld (1612-1694). Establecio previamente los lemas siguientes:

1) Sobre uno de los lados II (fig. 3) de un angulo recto XAA', se toman longitudes iguales AB, BC, CD, ...; por los puntos de division se llevan las perpendiculares BB', CC', DD' ... al lado AX. Las bandas A'ABB' asi formadas son ilimitadas en el sentido AA'; sin embargo, es imposible llenar el espacio angular XAA' por grande que sea el numero de bandas que se tomen.

2) Un angulo A'AB' por pequeno que sea, sumado sucesivamente a si mismo puede cubrir completamente el angulo recto XAA'.

De estas proposiciones deduce Bertrand que dos rectas, una de ellas perpendicular y la otra oblicua a una tercera son necesariamente concurrentes.

El metodo es ingenioso y original, pero indudablemente carente en absoluto de rigor matematico pues se funda en la comparacion de espacios infinitos. [84], 88.

VII--EXPOSICION DEL ENSAYO DE BERTRAND DE DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES

Por el Prof. Alberto Lista y Aragon.

El Prof. Alberto Lista y Aragon, literato y matematico espanol (1775-1848) publico un Tratado de Matematicas puras y mixtas. En el Tratado de Geometria se halla la siguiente exposicion de Bertrand para demostrar el postulado de Euclides:

"Sea EF (fig. 4) una recta dada; por el punto cualquiera C tiro a esta la perpendicular CD. Levanto en C la CB perpendicular a CD. Las rectas CB y EF seran paralelas por ser perpendiculares a CD. Digo que la recta CA que forma angulo agudo con la CD se ha de encontrar con EF. Sea n la relacion entre el angulo recto y el angulo agudo BCA; suponemos que n es un numero entero. Tomo sobre CD n numero de partes iguales a CE (a partir de C) y por los puntos de division tiro GH, MN ... perpendiculares a CD. Se forman asi n bandas iguales BCEF, FEGE, HGMN, ...

Ahora, espacio indefinido BCD > espacio indefinido BCMN porque el primer espacio se extiende por la derecha y por la parte superior, mientras que el segundo se extiende solo por la parte superior. Dividiendo ambos miembros por n resulta:

espacio BCA > espacio BCEF

Pero esto es imposible si la recta CA no corta la EF. Luego: por el punto C no se puede tirar la EF sino la paralela CB.

Si el angulo BCA no se contiene exactamente en el recto, de modo que n = m + una fraccion, tomo una banda mas de las que indica el numero entero m. Siempre sera el angulo recto mayor que la banda total; luego dividiendo el primero por n y la segunda por m + 1 > n el cociente primero que es BCA sera mayor que el segundo, que es BCEF y la conclusion es la misma". [41], 18.

La exposicion precedente permite darse cuenta con mas claridad de la idea que sirve de base al ensayo de demostracion de Bertrand.

VIII.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DEL 5 POSTULADO DE EUCLIDES

Por Schumacher. [17], 35-36

Carta de Schumacher a Gauss.--Me tomo la libertad de someter a su juicio una tentativa que he hecho para demostrar, sin el recurso de las paralelas ni de ninguna teoria la proposicion: la suma de los tres angulos de un triangulo es igual a 180[grados] de donde se deduciria entonces la demostracion del axioma de Euclides. Los unicos principios que supongo establecidos son que la suma de todos los angulos formados alrededor de un punto es igual a 360[grados]o a 4 angulos rectos, y que los angulos opuestos por el vertice son iguales.

Prolonguemos indefinidamente los lados de un triangulo rectilineo ABC (fig. 5) o, en otros terminos, consideremos un sistema de tres rectas en un plano, formando por sus intersecciones un triangulo ABC. Se tiene, para los tres vertices, las ecuaciones

2a + 2[alfa] = 4 rectos 26 + 2[beta] = 4 " 2c + 2[gamma] = 4 "

de donde

[alfa] + [beta] + [gamma] = 6 rectos - (a + b + c)

Esas relaciones subsisten de cualquier manera que esten situados los puntos A, B, C, o, lo que equivale a lo mismo, de cualquier manera que las tres rectas esten trazadas en el plano; dejemos, pues, inmoviles las lineas DG, EH y hagamos pasar IF por el punto A (fig. 6) de manera que ella haga con EII el mismo angulo que en su posicion primitiva, o mas generalmente, puesto que este angulo es arbitrario, de modo que ella caiga siempre en el interior del angulo a. Tendremos entonces

a + 6 + c = 4 rectos

Luego a + [beta] + [gamma] = 2 rectos.

Se podria objetar a esto que se tiene efectivamente por hipotesis b (Fig. 5) = 6 (fig. 6) pero que la igualdad c (fig. 5) = c (fig. 6) debe ser demostrada?

Me parece que por ser arbitrario el valor dado a los angulos, esta demostracion no es indispensable.

Tales son los principios de la demostracion sobre 1a. cual espero vuestro juicio. Agregare tinicamente para justificar mi razonamiento que es cierto que la segunda operacion hace desaparecer el triangulo ABG; pero no hace desaparecer los angulos del triangulo. De cualquier manera que esten situadas las lineas, se tiene siempre

IBH = [beta] GCF = [gamma] DAE = [alfa]

lo mismo en el triangulo finito que en triangulo evanescente; la suma

IAH + GAF + DAE

es, pues, siempre igual a la suma de los angulos de un triangulo rectilineo.

Asi, se demostrara la proposicion para un triangulo cualquiera (cuyos angulos son A, B, C), tirando las lineas DG EH de manera que se tenga [alfa] = A y haciendo ademas IAH = B GAF = C.

Si entonces IAF no fuera una linea recta sino una linea quebrada IAF', el angulo G se hallaria, es cierto, mas pequeno de de; pero el angulo b seria mayor en la misma cantidad y, por consiguiente, la suma de esos angulos no habria cambiado, y tendriamos, lo que nos es necesario para la demostracion, la igualdad

6 + c (fig. 5) = 6 + b (fig. 6)

Copenhague, 3 de mayo de 1831.

Respuesta de Gauss. [17], 37.

Examinado bien lo que usted me escribe respecto de las paralelas, ha empleado en sus silogismos, sin enunciarla explicitamente, una proposicion que puede formularse asi:

Si dos rectas que se cortan, (1) y (2), (fig. 7) hacen respectivamente, con una tercera recta [beta]) que las encuentra, los angulos A', A" y que una cuarta recta (4) situada en el mismo plano sea cortada del mismo modo por (1) bajo el angulo A', entonces (4) sera cortada por (2) bajo el angulo A".

Ahora, no solamente esta proposicion necesita demostracion, sino que se puede decir que en el fondo ella constituye el mismo teorema que se trata de demostrar.

Desde hace algunas semanas he comenzado a escribir algunos resultados de mis propias meditaciones sobre este asunto, las cuales datan en parte de hace cuarenta anos y no habia redactado nunca nada, lo que me ha forzado a recomenzar tres o cuatro veces todo el trabajo mentalmente. No quisiera, sinembargo, que todo esto pereciera junto conmigo.

Goettingue, 17 de mayo de 1931.

IX.--ENSATO DB DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES

de J. Richard. [97], 50-52

Richard formulo una demostracion del 5 postulado modificando lina demostracion dada por Carton (Comptes Rendus de l'Acad. des Se. de Paris, 1867).

Se considera una serie de n triangulos (fig. 8)

ABC, 6DE, EFG, ... HKL, LMN

todos iguales y cuyas bases estan situadas sobre una misma recta AN. Uniendo los vertices B,D,F, ... K, M de dos en dos por medio de rectas se forma una nueva serie de n - 1 triangulos iguales entre si, pero no forzosamente iguales a los primeros (serian iguales a los primeros en Geometria euclidiana). Se toma un punto 8 por encima de esta red de triangulos y se une 8 con los vertices B, D, F ... K, M. Se forma asi n - 1 nuevos triangulos con el vertice comun S.

Suponiendo que la suma de los angulos de un triangulo sea inferior a 2 angulos rectos, sea 2 - a la suma de los angulos de cada triangulo de la serie; 2 - b la suma de los angulos de cada triangulo de la 2a serie; 2 - [omega], siendo co variable, la de un triangulo cualquiera de la 3a serie. La suma de todos los angulos sera

O sea (2 - a)n + (2 - b) (n - 1) + 2 (n - 1) - [suma][omega] 6n - 4 -n(a + b) + b - [suma][omega].

Esta suma puede calcularse de otro modo; sea P 1a, suma de los angulos del pentagono SBANM; en cada uno de los vertices D,F, ... K en numero de n - 2 hay 4 angulos rectos y en cada uno de los puntos G,E,G, ... H, L en numero de n - 1 hay 2 angulos rectos. La suma total sera pues:

P + 4- (n - 2) + 2 (n - 1)

O sea P + 6n - 10.

Luego

6n - 4 - n (a + b) + b [suma][omega] = P + 6n - 10

De donde P = 6 - [na + (n - 1) b + [suma][omega]]

Resulta de aqui que, por pequenos que sean a, b, [suma][omega] se podra siempre escoger n suficientemente grande para que P sea negativo, lo que es absurdo. Por consiguiente la suma de los angulos ele un triangulo no puede ser inferior a 2 angulos rectos.

Pero esta conclusion depende de la hipotesis implicita siguiente: Se ha supuesto que, por lejos que se prolongue la construccion de los triangulos se podra siempre hallar un punto S por encima de la primera recta BD y por encima de la ultima KM, lo cual no es evidente a priori. Es decir, se supone que la construccion es siempre posible por grande que se suponga n. Esto se verifica en la hipotesis euclidiana y se reemplaza asi en esta demostracion el postulado de Euclides por otro postulado.

Esta demostracion tiene analogia con una falsa demostracion en que se pretende probar que un angulo recto es igual a un angulo agudo. La demostracion es irreprochable desde el punto de vista de los razonamientos, pero se funda en una hipotesis falsa: se supone que dos rectas se cortan de un cierto lado de la figura cuando en realidad se cortan del lado opuesto. (V. Lietzmann and Trier, Wo Steckt der Fehler? Leipzig, 1917, p. 22).

Algo analogo ocurriria en la Geometria de Lobatchewsky con la construccion de la demostracion precedente.

Nota.--Richard al formular esta demostracion sabia donde se encuentra el error de la misma.

X.--DEMOSTRACION DEL TEOREMA SOBRE LA SUMA DE LOS TRES ANGULOS DE UN TRIANGULO

Por Adrien Marie Legendre

El ilustre matematico frances Legendre (1752-1833) se ocupo mucho de la teoria de las paralelas y ensayo vanamente demostrar el 5 postulado de Euclides.

Sin embargo, sus trabajos sobre este asunto son muy notables y no contienen los errores groseros de que adolecen otras pseudodemostraciones del celebre postulado.

Legendre demostro estos teoremas: 1?) En un triangulo rectilineo la suma de sus angulos no puede ser superior a dos angulos rectos. 2?) Si en un triangulo rectilineo la suma de sus angulos es igual a dos rectos, sera lo mismo en todos los triangulos. El primero de estos teoremas se halla en la 12? edicion de sus celebres Elements de Geometrie, Paris, 1823 (prop. XIX del Libro I, pag. 20). [11], [17], 7. El segundo fue publicado solamente en 1833.

La demostracion del 59 postulado de Euclides a la que vamos a referirnos, es una, demostracion indirecta. Legendre prueba que la suma de los tres angulos de un triangulo rectilineo es igual a dos angulos rectos, sin valerse de la teoria de las paralelas. Ahora, el postulado de Euclides es una consecuencia como se sabe del teorema sobre la suma de los tres angulos de un triangulo. Sin embargo, aun cuando la demostracion de Legendre no contiene peticion de principio, no es una prueba, del postulado pues reemplaza este por el postulado de la homogeneidad de las formulas de la Geometria, homogeneidad que solo se verifica en la Geometria euclidiana. He aqui la demostracion de Legendre. [11], 181:

"Se demuestra inmediatamente por la superposicion y sin ninguna proposicion preliminar que dos triangulos son iguales, cuando tienen un lado igual adyacente a dos angulos iguales. Llamemos p el lado de que se trata, A y B los dos angulos adyacentes, C el tercer angulo. Es necesario, pues, que el angulo C sea enteramente determinado cuando se conocen los angulos A y B y el lado p; pues si varios angulos G pudiesen corresponder a los tres datos A, B, p habria otros tantos triangulos diferentes que tendrian un lado igual adyacente a dos angulos iguales, lo que es imposible: luego el angulo C debe ser una funcion determinada de las tres cantidades A, B, p lo que expreso asi:

C = [phi] (A, B, p)

Sea el angulo recto igual a la unidad; entonces los angulos A, B, G seran numeros comprendidos entre 0 y 2 y puesto que G = [phi] (A,B,p) digo que la linea p no debe entrar en la funcion [phi]. En efecto, se ha visto que G debe ser enteramente determinado por los solos datos A, B, p, sin ningun otro angulo o linea; pero la linea p es heterogenea con los numeros A, B, G; y si se tuviera una ecuacion cualquiera entre A, B, C, p, se podria deducir el valor de p en funcion de A, B, O; de donde resultaria que p es igual a un numero, lo que es absurdo: luego p no puede entrar en la funcion [phi] y se tiene simplemente C = [phi] (A,B).

Esta formula prueba ya que, si dos angulos de un triangulo son iguales a dos angulos de otro triangulo, los terceros deben ser iguales y sentado esto es facil llegar al teorema que deseamos demostrar (*).

Sea en primer lugar ABC (fig. 9) un triangulo rectangulo en A; del punto A bajese AB perpendicular sobre la hipotenusa. Los angulos B y D del triangulo ABD son iguales a los angulos B y A del triangulo BAG; luego, segun lo que se acaba de demostrar, el tercero BAD es igual al tercero G. Por la misma razon el angulo D AG = B, luego BAD + DAG (o BAG) =B + G. Ahora, el angulo BAG es recto; luego: la suma de los dos angulos agudos de un triangulo rectangulo vale un angulo recto.

Sea ahora BAG (fig. 10) un triangulo cualquiera y BC un lado que no sea menor que cada uno de los otros dos. Si del angulo opuesto A se baja la perpendicular AD sobre BC, esta perpendicular caera en el interior del triangulo ABC y lo dividira en dos triangulos rectangulos BAD, DAG. Ahora, en el triangulo rectangulo BAD los dos angulos BAD, ABD sumados valen un angulo recto; en el triangulo rectangulo DAG los dos angulos DAG, ACD sumados valen tambien un angulo recto. Luego los cuatro reunidos o, solamente los tres BAC, ABC, ACB sumados valen dos angulos rectos. Luego en todo triangulo rectilineo la suma de los tres angulos es igual a dos angulos rectos.

Se ve por esto que este teorema, considerado a priori, no depende de un encadenamiento de proposiciones y que el se deduce inmediatamente del principio de la homogeneidad, principio que debe verificarse en toda relacion entre cantidades cualesquiera". [3], 273-282.

(*) Se ha objetado contra esta demostracion que, si se la aplicara punto por punto a los triangulos esfericos resultaria que conocidos dos angulos se podria determinar el tercero, lo que no sucede en esta clase de triangulos. La respuesta es, que en los triangulos esfericos hay un elemento mas que en los triangulos planos y este elemento es el radio de la esfera del cual no se debe hacer abstraccion. Sea, pues, r el radio, entonces en vez de ser C = [phi] (A, B, p), se tendra C = [phi] (A, B, p, r) o unicamente C = [phi] (A [B.sup.p.sub.r]), en virtud de la ley de los homogeneos, Ahora, puesto que la relacion [Expresion matematica irreproducible] es un numero, como A, B, C nada impide que [Expresion matematica irreproducible] no se halle en la funcion [phi] y entonces no puede concluirse que C = [phi] (A, B).

La otra demostracion del teorema sobre la suma de los angulos de un triangulo dado por Legendre, es decir el teorema XIX de sus celebres Elements de Geometrie, prueba [17], 7, que la suma de los angulos de un triangulo no puede ser superior a dos angulos rectos. No se olvide que Legendre supone implicitamente en esta demostracion que la recta es infinita y por consiguiente la demostracion no es valida en la Geometria de Eiemann. [111], 73.

XI.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES

Por Adrien Marie Legendre. [11]

Sea BAC un angulo dado (fig. 11) y M un punto situado en el interior de este angulo. Sea AD la bisectriz del angulo BAC; sea MP la perpendicular a AD bajada del punto M. La recta MP prolongada en los dos sentidos debera encontrar los lados del angulo. Pues, a causa de la simetria, si encuentra uno de los lados debera encontrar el otro; si no encuentra uno de los lados, tampoco encontrara el otro. En este ultimo caso la recta estaria toda entera encerrada en el espacio comprendido entre los lados del angulo BAC. Pero esto repugna a la naturaleza de la linea recta. En efecto, toda recta AB (fig. 12) trazada sobre un plano y prolongada indefinidamente divide el plano en dos partes que superpuestas coinciden en toda su extension y son perfectamente iguales. La parte AMB del plano total, situada de un lado de AB es igual en todo a la parte AM'B situada del otro lado; pues si se toma un punto fijo C sobre AB, un punto cualquiera M estara determinado por la distancia CM y el angulo ACM. El punto M' simetrico de M, es decir tal que CM'--CM, ACM' = ACM, se confundira con M cuando se superpongan las dos partes en que el plano queda dividido por la recta AB.

Supongamos ahora, si es posible, que una recta ilimitada XY este encerrada enteramente en un espacio angular cualquiera, por ejemplo, en el angulo BCM; ella dividira en dos partes iguales o desiguales, la parte del plano comprendido en el angulo BCM. Esta parte tiene su correspondiente BCM' situada del otro lado de BC; pero como ademas de esas dos partes iguales del plano, existen otras dos encerradas en los angulos iguales ACM, ACM', se ve que el espacio angular BCM no es la mitad de todo el plano. Luego la recta XY que se supone divide en dos porciones el espacio BCM, no podra dividir la totalidad del plano sino en dos partes desiguales, lo que es contrario a la naturaleza de la linea recta.

Sentado esto se puede demostrar el postulado de Euclides. Este postulado se reduce facilmente, como se sabe, al caso en que una de las rectas AC (figura 13), siendo perpendicular a AB la otra BD hace con AB un angulo ABD menor que un recto. Se trata, pues, de probar que en ese caso BD prolongada debe encontrar AC. En efecto, si no fuese asi, prolongando AC hacia el lado opuesto AC' y haciendo el angulo ABD' = ABD, la recta CC' estaria comprendida toda entera en el angulo DBD' menor que dos rectos, lo que es imposible [11], 279-280.

En esta demostracion se reemplaza el 59 postulado por otro equivalente y adolece ademas del defecto de comparar entre si espacios infinitos.

XII--FALSA DEMOSTRACION DEL TEOREMA SOBRE LA SUMA DE LOS TRES ANGULOS DE UN TRIANGULO

Sea ABC (fig. 14) un triangulo cuyos angulos son [alfa], [beta], [gamma]. Se prolonga el lado AB segun BB', el lado BC segun CC' y el lado CA en la direccion AA'. Sea [alfa]', [beta]', [gamma]' los angulos exteriores adyacentes a [alfa], [beta], [gamma] respectivamente.

Se hace girar ahora BB' alrededor del punto B del angulo [beta]' hasta que BB' coincida con BC; se hace deslizar BB' sobre BC hasta que el punto B coincida con C y BB' con CC'; se hace girar CC' del angulo [gamma]' alrededor del punto C hasta que CC' se confunda con CA y se hace deslizar CC' sobre CA hasta que ocupe la posicion AA'. Se hace girar AA' alrededor de A del angulo [alfa]' de modo de hacerle coincidir con AB y se hace deslizar hasta que llegue a la posicion BB'. Puesto que la recta BB' partio de su posicion primitiva para volver a ella, se tendra que la suma de los angulos de giracion es igual a 4 angulos rectos:

[alfa] + [beta]' + [gamma]' = 4

Pero: [alfa] + [alfa]' = 2 [alfa] + [alfa]' = 2 [gamma] + [gamma]' = 2

Luego: [alfa] + [beta] + [gamma] = 2

El resultado es cierto en Geometria euclidiana porque trazando por B (fig. 15) la recta BA' paralela a CA, el angulo A'BB' es igual a [alfa]' y el angulo CBA' es igual a [gamma]' y la ecuacion [alfa]' + [beta]' + [gamma]' = 4 es entonces cierta.

Pero se ve por esto mismo que la demostracion no es independiente del 5 postulado y que, para que ella sea valida en Geometria euclidiana seria preciso admitir otro postulado, a saber: que la ecuacion [alfa]' + [beta]' + [gamma]' = 4 sea verificada.

En efecto, se podria aplicar punto por punto el mismo razonamiento a un triangulo esferico (fig. 16), puesto que es posible hacer girar el arco de circulo maximo BB' hasta que coincida con BC y deslizarlo sobre BC (*) hasta que coincida con CC', etc. de donde se concluira que la suma de los tres angulos de un triangulo esferico es igual a dos rectos, lo que es absurdo. (Y. Lietzmann und Trier, Wo Steckt der Feliler? Leipzig, 1917, p. 27).

Esta demostracion es uno de los ejemplos mas claros de las demostraciones en que se reemplaza el postulado 59 por otro postulado mas dificil de admitir.

Es, en el fondo, el mismo ensayo de demostracion de Schumacher ya expuesto.

(*) Puesto que todos los circulos maximos de la esfera son iguales y que por todo punto de la superficie de la esfera pasan infinitos circulos maximos.

XIII.--ENSAYO DE DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES

Si se acepta el siguiente postulado: la suma de los tres angulos de un triangulo rectilineo es una cantidad constante le, se deducira el postulado de Euclides. En efecto, sea ABC (fig. 17) un triangulo cualquiera; sea O un punto del lado BC situado entre B y O; unase A con O. Se tendra.

[alfa] + [omega] + B = k [alfa]' + [omega] + C = k k = A + B + O

Sumando miembro a miembro, estas ecuaciones, se tendra:

[omega] + [omega]' = k

y como [omega] + [omega]' = 2 angulos rectos, resulta:

k = 2 angulos rectos.

Luego: la suma de los tres angulos de un triangulo rectilineo es igual a dos angulos rectos.

Sea ahora PR (fig. 18) una recta y M un punto fuera de ella; sea MP la perpendicular a PR bajada desde M. Sea MN una recta cualquiera. Si el angulo PMN es inferior a 90[grados], la, recta MN cortara la PR; pero si el angulo PMN'--90[grados], la recta MN' no cortara la PR, pues de lo contrario se tendria un triangulo rectilineo en el cual la suma de los tres angulos seria superior a dos angulos rectos.

XIV-XV.--ENSAYOS DE DEMOSTRACION DEL POSTULADO DE EUCLIDES

del doctor Julio Garavito Armero (1865-1920)

En 1918 publico el doctor Garavito, antiguo Director del Observatorio de Bogota, un estudio intitulado "Nota sobre las Geometrias planas no euclideas" en el cual inserta dos ensayos de demostracion del celebre postulado. [126].

En el primer ensayo, Garavito considera una recta ilimitada L'L (fig. 19) y un punto P fuera de ella y baja la perpendicular PO sobre L'L. El punto O es el origen para determinar la posicion de un punto m que se mueve sobre L'L, y designa por z la distancia Ora con las convenciones de signo de la Geometria analitica. Trazando la recta Pm y designado por [beta] el angulo OPM, resulta que z y tang [beta] son cantidades reales, varian de-[infinito] a + [infinito] y a un valor de z corresponde uno solo de tang [beta] y reciprocamente; de modo que s es funcion uniforme de tang [beta]. Garavito concluye que estas dos cantidades estan ligadas por una ecuacion de la forma

Az tang [beta] + Bz + C tang [beta] + D = o.

Puesto que si z = o es [beta] = o y por tanto tang [beta] = o, resulta D = o. Dando a [beta] dos valores iguales y de signos contrarios, los valores correspondientes de z seran iguales y de signos contrarios y se deduce A = o. La ecuacion se reduce a Bz + C tang [beta] = o De donde z = g tang [beta] designando por g el cociente - B/C, que, como se sabe es la distancia OP.

De aqui continua Garavito: "Si damos a [beta] cualquiera de las dos series de valores

[[beta].sub.1] = [pi]/2 + 2n [pi] o [[beta].sub.2] = [pi]/2 + 1) [pi]

se tendra: tang [[beta].sub.1] = tang [[beta].sub.2] = tang [pi]/2 = [infinito]

y por tanto, la ecuacion z = g tang [beta], dara z = [infinito]".

"Las dos series de arcos no definen sino un mismo diametro del circulo AMBM'A (circulo cualquiera descrito de P como centro con un radio cualquiera), el cual es perpendicular a PO. En consecuencia no habra sino una sola recta trazada por P que no corta a L'OL. Esta recta es la perpendicular a PO. Cualquiera otro valor de [beta] dara valor finito para tang [beta] y por tanto para, z (Postulado de Euclides)". [126], 9.

Garavito considera inatacable su razonamiento y, como da por sentado que Lobatchewsky llego forzosamente a las mismas conclusiones que el, exclama: "Grande lia debido ser la sorpresa de Lobattcheffsky al hallarse, cuando menos lo esperaba, frente a frente con el postulado de Euclides".

?Donde se halla la equivocacion de Garavito? Es facil responder:

El error de Garavito al haber creido demostrar el Postulado de Euclides, consiste en no haberse dado cuenta de que reemplazo el celebre postulado por otra proposicion no demostrada. En efecto, Garavito supone, implicitamente, que la relacion que liga la distancia z y la tangente del angulo [beta] es algebraica, lo cual no es de ningun modo evidente a priori. Ahora, como dice el gran geometra frances Darboux [125], 6:

Si la relacion entre dos cantidades reales x, y es tal que a un valor de la una corresponde un solo valor de la otra y si por la naturaleza de la cuestion se sabe que esta relacion es algebraica, se podra concluir que ella es de la forma

A xy + Bx + Gy + D = o

siendo A, B, G, D constantes. Pero, si no se sabe a priori que la relacion es algebraica, se podra imaginar una multitud de otras formas de la relacion, por ejemplo y = [phi] (x)

en que [phi] designa una funcion que crece de - [infinito] a + [infinito] cuando x crece de la misma manera. Por ejemplo, se podra poner

y = [e.sup.x] - [e.sup.-x].

Garavito no justifica su postulado de que la relacion que liga un lado del angulo recto de un triangulo rectangulo y la tangente del angulo opuesto es algebraica, porque es imposible encontrar a priori fundamento a dicha hipotesis. Ahora, como precisamente en el sistema euclidiano esta relacion es algebraica, resulta que haciendo tal hipotesis se cae forzosamente en el postulado de Euclides. La demostracion de Garavito no prueba, pues, nada.

Veamos, en efecto, como en las otras geometrias la relacion en cuestion no es algebraica.

Si se rechaza el postulado de Euclides y se admiten como verdaderos los otros postulados de la Geometria, Lobatchewsky lia demostrado [17], 33, [formula (8)]; [18], 23 [formula (9)], que en un triangulo rectilineo cualquiera cuyos lados son a, b, c y sus angulos opuestos A, B, O, se tiene, designando por [pi] (x) el angulo de paralelismo de x,

[Expresion matematica irreproducible].

y que:

cotang B sen A sen [pi] (c) + cos A = cos [pi] (c)/cos [pi](b).

Suponiendo ahora A = [pi]/2 se tendra para el triangulo rectangulo: tang B = tang [pi] (c) cos [pi] (6).

Esta formula general comprende como casos particulares los que corresponden a la Geometria riemanniana y a la Geometria euclidiana. En efecto, cambiando k por iR se tiene para el triangulo rectangulo esferico:

tang B/R = tang B sen c/R.

Suponiendo a, b, c infinitamente pequenos con relacion a R o a R infinitamente grande resulta:

b = cotang B

formula del triangulo rectangulo en Geometria euclidiana.

El caso de ser algebraica la relacion entre un lado de un triangulo rectangulo y la tangente del angulo opuesto es, pues, un caso particular del caso general en el cual dicha relacion no es algebraica y ese caso particular corresponde precisamente a la Geometria euclidiana, como ya lo habiamos dicho.

Esta demostracion de Garavito es tambien un claro ejemplo de los ensayos de demostracion en que se reemplaza el postulado de Euclides por otro postulado mas dificil de admitir.

El segundo ensayo de demostracion del postulado de Euclides, expuesto por Garavito, se funda en la interpretacion geometrica de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incognitas que ensena la Geometria analitica [105], 5, 8; [112], 39. Esta interpretacion consiste, como se sabe, en convenir a priori en llamar punto a un conjunto de dos o de tres variables (o de n variables en el hiperespacio), recta a una ecuacion de primer grado entre dos variables o a un sistema de dos ecuaciones de primer grado entre tres variables, etc. [134], 20-23. Las soluciones de las ecuaciones lineales se pueden enunciar entonces en este lenguaje geometrico convencional y asi resulta que el postulado de Euclides corresponde al caso de imposibilidad o incompatibilidad del sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables. Es decir, el caso en que las soluciones son infinitas, corresponde al caso de la paralela unica (Postulado de Euclides). Y concluye Garavito:

"En todo lo que acabamos de decir nos hemos referido al Algebra pura: las variables no son coordenadas sino simples cantidades numericas y por tanto no es el caso de senalar peticion de principio ni circulo vicioso".

El error de Garavito consiste en haber olvidado que los teoremas conocidos de Geometria, enunciados cuando se consideran los puntos, lineas y superficies como variedades definidas analiticamente no son en realidad verdades geometricas, sino verdades enunciadas en un lenguaje geometrico, las cuales no se aplican a figuras concretas de Geometria mientras no se acuerden previamente con los postulados fundamentales o de base. [83], 189; [112], 43.

Pretender, pues, que la condicion de incompatibilidad de ecuaciones de primer grado sea una demostracion del celebre Postulado, es caer en circulo vicioso o peticion de principio. En efecto, para probar que una ecuacion de primer grado con dos variables representa una linea recta y que, reciprocamente, toda linea recta esta representada por una ecuacion de primer grado, es preciso basarse en el postulado mismo que se pretende demostrar. Es decir, para acordar en este caso el lenguaje analitico con el geometrico es preciso admitir previamente el postulado de Euclides.

Algo analogo sucede con la teoria de las integrales de variable compleja de Cauchy, como lo ha hecho notar Laurent [40], 381. En esta teoria se hace uso del lenguaje geometrico por comodidad de la exposicion, lenguaje que es perfectamente correcto aun cuando no tuvieramos ninguna nocion del espacio ordinario. Resulta, pues, que si, en apariencia, podria parecer que la teoria de las integrales definidas de Cauchy y las consecuencias que se deducen sobre las propiedades de las funciones, estan fundadas en la Geometria, son en realidad absolutamente independientes del Postulado de Euclides, a pesar de que se haya hecho uso de coordenadas. Se puede, en efecto, razonar sin figuras, definiendo aun en Geometria de dos dimensiones, las lineas y las superficies como se hace en el hiperespacio en general.

Seria, pues, grave error creer que el Postulado de Euclides podria demostrarse fundandose en el hecho de que las integrales halladas por medio del calculo de los residuos pueden determinarse, con los mismos valores, empleando metodos que no requieren ayuda alguna de la Geometria.

En el estudio del doctor J. Alvarez Lleras publicado en la Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales [159], 474, en el cual analiza la Nota de Garavito que estamos comentando, se lee lo siguiente:

"El fin primordial del estudio de Garavito es demostrar que las formulas de la Trigonometria correspondiente a la Geometria de Lobatchewsky son las de la Trigonometria esferica imaginaria y que Lobatchewsky incurrio en un error de criterio o aparento incurrir en el, al haber raciocinado geometricamente cuando el valor de sus deducciones era puramente analitico. Para llegar a tal resultado el doctor Garavito considero las variaciones periodicas de cierta distancia z comprendida entre un punto fuera de una recta y otro que se desaloja sobre esta hasta el infinito. Del estudio ele esas variaciones llego a la conclusion de que Lobatchewsky dio de manos a boca con el Postulado de Euclides "porque no habia razonado con rectas situadas en un plano, sino sobre otra clase de lineas y superficies". "?Cuales eran esas superficies y esas lineas?" continua diciendo el doctor Garavito: En sus raciocinios Lobattcheffsky habia encontrado que la suma de los tres angulos de un triangulo era menor que dos rectos, precisamente lo contrario de lo que acontece con los triangulos esfericos en donde el exceso esferico es la relacion del area del triangulo al cuadrado del radio de la esfera. Si pues el radio de la esfera se hiciese imaginario, su cuadrado se haria negativo y el exceso esferico se convertira en defecto, tal y conforme corresponde al caso estudiado. Lobattcheffsky habia pues razonado sobre una esfera imaginaria considerada como plano y con circulos maximos de tal esfera considerados como rectas".

"Creemos--concluye Alvarez Lleras--que lo transcrito bastara para indicar donde esta el merito del matematico colombiano cuando trato, antes que nadie de estas cuestiones".

Y anade en nota:

"En un libro reciente de Picara se habla ya de estas cosas tocandolas inciclentalmente; empero la propiedad del descubrimiento pertenece exclusivamente al doctor Garavito".

Estas conclusiones del doctor Alvarez Lleras son inadmisibles, pues, casi un siglo antes de que escribiera Garavito, habia hecho Taurinus la misma consideracion de la esfera de radio imaginario en 1825 [127], 67; [133], 277; lo mismo que Lambert para el area del triangulo en la hipotesis del angulo agudo [133], 267. Tambien Lobatchewsky, en su celebre Memoria de 1840 [17], 34, deduce las formulas de la Trigonometria esferica de las que expresan en su sistema de geometria las relaciones entre los lados a, b, c y los angulos A., B, G de un triangulo rectilineo, sustituyendo en estas ultimas a, b, c por ai, bi, ci. Lo mismo hizo Bolyai en 1832 [22], 242; [39], 137.

Por otra parte, la generalizacion de esta idea o sea la celebre interpretacion de Beltrami (18351900), fue publicada en 1868, es decir medio siglo antes de que viera la luz el estudio de Garavito que hemos analizado.

El estudio del ilustre geometra italiano tiene por titulo Saggio di Interpretatione delia Geometria non-euclidea y aparecio en el t. VI del Giornale di Matematiche. Mostro Beltrami que todas las proposiciones de la Geometria plana de Lobatchewsky son validas en el espacio euclidiano sobre las superficies de curvatura constante negativa [83], 33; [106], 13. Russell hace notar que es extraordinario que esta interpretacion que Riemann conocia y quizas tambien Gauss, haya estado durante tantos anos sin demostracion explicita. Agrega que esto es tanto mas raro cuanto que la Geometria imaginaria de Lobatchewsky aparecio en el tomo XVII del Journal de Crelle (1837) y Minding habia mostrado en el tomo XIX del mismo periodico que la Geometria de las superficies de curvatura constante negativa en particular en lo que respecta a los triangulos geodesicos, puede deducirse de la de la esfera dando al radio un valor puramente imaginario ia.

Este resultado, como ya hemos visto, habia sido obtenido por Lobatchewsky y sin embargo--agrega Russelll--se necesitaron 30 anos (hasta 1868) para que el conocimiento de esta relacion fuese general [V. [111], 74].

Sobre el mismo asunto dice el eminente matematico frances Darboux en su monumental obra Theorie des Surfaces [58], 394, lo siguiente:

"Esta teoria mas general a la cual Lobatchewsky habia dado el nombre de Pangeometria y que se designa hoy con el nombre de Geometria no euclidiana, concuerda enteramente, en el caso del plano, con la que acabamos de desarrollar para las superficies de curvatura constante negativa. Esta observacion desarrollada ele una manera completa por Beltrami, se justifica de la manera siguiente: Se reconoce que todas las propiedades del Tratado de Euclides que reposan sobre la nocion del cambio ele lugar de una figura invariable se aplican a las diversas superficies de curvatura constante, con tal de que se reemplacen las rectas del plano por las geodesicas de la superficie. El hecho, admitido en los elementos, de que no se puede llevar mas de una recta por dos puntos excluye las superficies de curvatura positiva. Se sigue de alli que toda geometria en la cual no se anada el postulado de Euclides a los hechos anteriormente admitidos debera convenir a las superficies de curvatura constante negativa lo mismo que al plano. Tal es, en rasgos genei'ales, la explicacion que debemos a Beltrami de la analogia completa que existe entre la Geometria euclidiana del plano y la de las superficies de curvatura constante negativa".

Una superfice de curvatura constante negativa es, por ejemplo, la pseudoesfera, superficie engendrada por la revolucion de la tractriz o traztriz alrededor de su asintota. La tractriz tiene la forma indicada en la figura 20 y tiene por ecuacion

x = a log a + [raiz cuadrado de [a.sup.2] - [y.sup.2]]/y - [raiz cuadrado de [a.sup.2] - [y.sup.2]].

Esta curva es tal que los segmentos de tangente comprendidos entre el punto de contacto y el eje Ox tiene una longitud constante a. El punto A es de retroceso (*).

Como se ve por lo expuesto, es de toda imposibilidad atribuir a Garavito el descubrimiento de la interpretacion de la Geometria hiperbolica por medio de las superficies de curvatura constante negativa, como lo hace Alvarez Lleras. Por otra parte, aunque Garavito no cita ninguna obra, dice textualmente:

"De esta formula pueden deducirse las tres formulas fundamentales de la Trigonometria esferica imaginaria como lo ha hecho Lobattcheffsky". De modo que, por confesion de Garavito mismo, el no hizo sino repetir lo que habia ya hecho Lobatchewsky, es decir, sustituir el radio real R por otro imaginario, o sea reemplazar R por R [raiz cuadrado de -1]].

(*) Ya hemos dicho que esta superficie no ofrece, en la Geometria euclidiana, la imagen completa del plano de Lobatchewsky. La metrica de esta superficie es la misma de la Geometria plana de Lobatchewsky, solamente en una cierta region comprendida entre dos aristas de retroceso.

Dice Garavito: "Gauss, Lobatchewsky y Riemann y en general los que han estudiado a fondo y detenidamente el asunto, han tenido forzosamente que llegar a las mismas conclusiones a que hemos llegado nosotros respecto del postulado de Euclides. Habiendo tropezado aquellos sabios con un interesante acertijo, se guardaron de aclararlo para dejar un motivo de entretenimiento a los curiosos, presentando el enigma bajo la forma ele verosimilitud de otras geometrias planas no euclideas".

Esta opinion no tiene nigun fundamento desde el punto de vista cientifico, pues vimos ya que las conclusiones de Garavito respecto del postulado de Euclides son falsas y mal podrian haberlas imaginado o aceptado sabios de la talla de los nombrados. Aun cuando hoy dia no se discute ya el asunto de que se trata, basta para refutar a Garavito citarlos escritos de Lobatcheicsky y de Riemann y en lo que respecta a Gauss, leer su correspondencia con Schumacher y Wolfgang Bolyai.

En carta a Schumacher fechada en Gotinga el 28 de noviembre de 1846 dice Gauss:

"He tenido ultimamente ocasion de releer el folleto de Lobatchewsky intitulado: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Este opusculo contiene los elementos de la Geometria que deberia existir y cuyo desarrollo formaria un encadenamiento riguroso, si la Geometria euclidiana no fuera verdadera. Un tal Schweikardt (antes vivia en Marbourg, ahora es profesor de jurisprudencia en Koenisberg) ha dado a esta geometria el nombre ele Geometria astral. Lobatchewsky el de Geometria imaginaria. Usted sabe que desde hace cincuenta y cuatro anos (desde 1792) tengo las mismas convicciones, sin hablar aqui de ciertos desarrollos que han adquirido despues mis ideas sobre esta materia. No he hallado, pues, en la obra de Lobatchewsky ningun hecho nuevo para mi; pero la exposicion es enteramente diferente de la que habia yo proyectado, y el autor ha tratado la materia magistralmente y con verdadero espiritu geometrico. Creo deber llamar su atencion sobre este libro, cuya lectura no dejara de causarle el mas vivo placer" [17], 41.

Leamos ahora la carta de Gauss a su amigo Wolfgang Bolyai, fechada el 6 de marzo de 1832, en la cual se refiere al celebre

Appendix, scientiam spatii absolute veram exhibens, a veritate aut falsitate axiomatis XI Euclidei (a priori haud aunquam decidenda) independentem; adjecta, ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica.

de Juan Bolyai, hijo de Wolfgang:

... "Hablemos ahora un poco del trabajo de tu hijo. Si comienzo diciendo que yo no puedo alabar ese trabajo, quedaras por un instante asombrado; pero no puedo decir otra cosa; alabarlo seria alabarme; en efecto, el fondo completo de la Obra, el camino seguido por tu hijo, los resultados que el obtiene, coinciden casi enteramente con mis propias meditaciones que han ocupado en parte mi espiritu desde hace treinta o treinta y cinco anos. Esto me ha dejado completamente estupefacto. Por lo que respecta a mi trabajo personal, sobre el cual conservo poca cosa por escrito, mi intencion era de no dejar publicar nada mientras viva. En efecto, la mayor parte de los hombres no tiene un juicio seguro sobre los asuntos de que se trata y he encontrado solamente muy pocos que mostrasen interes particular acerca de lo que les he comunicado a ese respecto. Para poder tener este interes es necesario haber antes sentido hondamente las imperfecciones esenciales y en estas materias casi todos los hombres estan en una oscuridad completa. Tenia por el contrario, la idea de redactar, andando el tiempo, todo esto a fin de que por lo menos no pereciera conmigo".

"Ha sido pues para mi una agradable sorpresa ver que puedo ahora dispensarme de ese trabajo y me llena de extremo jubilo que sea precisamente el hijo de mi viejo amigo quien me haya tomado la delantera de un modo tan notable". [65], 17; [160], 12.

Como Garavito dice: "los geometras kantianos que, antes de Lobatchewshy conferian a los axiomas la categoria de verdades necesarias, admitieron despues la existencia logica de espacios no euclideos!", parece interesante hacer ver que las ideas de Gauss respecto del espacio eran totalmente opuestas a las de Kant. En la misma carta de Gauss a W. Bolyai de 6 de marzo de 1832 [65], 20, dice:

"En la imposibilidad en que estamos de distinguir a priori entre [suma] y S (sistema euclidiano y noeuclidiano), se halla precisamente demostrado del modo mas claro que Kant no tuvo razon al afirmar que el espacio es unicamente la forma de nuestra intuicion. He indicado una razon igualmente convincente en una Nota publicada en Gottingische Gelehrte Aneeigen en 1830, Part. 64, p .625".

Gauss se refiere aqui al analisis de su Memoria: Theoria residuorum biquadraticorum inserto en la publicacion mencionada. Dice en la pag. 6-37 (Gauss, Werhe, t. II, p. 177; 1876):

"Esta distincion entre la derecha y la izquierda seria ... en si completamente determinada, si no obstante pudiesemos comunicar nuestra intuicion de esta distincion a otros unicamente por una prueba que reposara sobre los seres materiales en presencia efectiva de los cuales nos hallaramos". Y en nota al pie de la pagina agrega:

"Las dos observaciones han sido ya hechas por Kant, pero no se concibe como ese filosofo perspicaz podia creer que la primera demostraba su opinion que el espacio es solamente una forma de nuestra intuicion exterior, puesto que la segunda observacion demuestra tan claramente lo contrario y que el espacio debe tener una significacion real independientemente de nuestro modo de intuicion". [65], 21.

CONCLUSION

Como hemos visto, todos los intentos de demostracion del celebre postulado 59 de nuclides que, por otra parte, es muy interesante e instructivo analizar, se fundan en reemplazar el postulado que se quiere demostrar por otro postulado. Algunos autores lo han hecho conscientemente como, por ejemplo, Wallis al reemplazar el postulado de Euclides por el postulado de la similitud o posibilidad de la construccion de figuras semejantes y Legendre al sustituirlo por el postulado o principio de la homogeneidad. Otros autores como, por ejemplo, Garavito, lian creido haber demostrado el celebre postulado, porque no se han dado cuenta de la sustitucion de postulados que han operado implicitamente.

El error fundamental de los que atacan los sistemas no-euclidianos es el de creer que el postulado de Euclides esta contenido en la nocion de linea recta, o que es una consecuencia de los otros axiomas. Otro error fundamental es el de pensar que los espacios euclidiano y no-euclidiano pueden coexistir. Si el espacio en que vivimos es euclidiano no puede ser al mismo tiempo no-euclidiano. Por esto demuestran ignorancia del asunto los que creyendo haber echado por tierra los sistemas no-euclidianos, exclaman satisfechos: "Vuelve a ser cierto que la suma de los tres angulos de un triangulo rectilineo es igual a dos rectos". Podria responderseles que jamas, en el sistema euclidiano, ha dejado de ser cierto el teorema mencionado.

La cuestion de saber si el espacio es euclidiano o no-euclidiano, tiene en realidad poca importancia. El verdadero interes, el gran valor filosofico de las Geometrias no-euclidianas consiste ?--dice Russell--en la posibilidad logica de su existencia, aun en el caso improbable en que se pudiese demostrar rigurosamente que nuestro espacio es euclidiano [83], 125.

Otro punto que atacan los enemigos de las geometrias no-euclidianas es el de la existencia de la constante espacial que algunos llaman "la misteriosa constante h". [126], 14. En las geometrias noeuclidianas la distancia D entre dos puntos no esta dada directamente por el valor de D en funcion de las coordenadas, sino en la Geometria de Riemann por el valor de cos D/k y en la de Lobatchewshy por el de cos h D/k en funcion de las coordenadas de los dos puntos. Esta constante k, como dice Russell [33], 262 esta implicitamente contenida en toda relacion analitica no-euclidiana que contiene distancias, asi como la constante cuatro angulos rectos esta incluida en toda ecuacion de geometria euclidiana o no-euclidiana que contiene angulos. La cantidad 1/[k.sup.2] en la Geometria de Riemann y - 1/[k.sup.2] en la de Lobatchewshy es lo que se llama la curvatura total, derivada de la formula del arco infinitesimal por la misma formula que ha dado Gauss para la curvatura total de una superficie (*).

Los filosofos que no son matematicos, como Lotee, han sido en general, enemigos acerrimos de la metageometria,. Lotee expresaba la esperanza ele que la Filosofia no se dejara dominar en esta materia por las Matematicas. Russell, que es filosofo y matematico, dijo: "Es necesario, por el contrario, alegrarse de que las Matematicas no se hayan dejado dominar por la Filosofia y que hayan desarrollado libremente un sistema importante y consecuente consigo mismo, que merece por su sutil analisis de los elementos logicos y de hecho, la gratitud de todos los que buscan una filosofia del espacio". [83], 139.

NOTAS SOBRE EUCLIDES Y LAS EDICIONES DE LOS ELEMENTOS

Se ha confundido frecuentemente al geometra Euclides con Euclides de llegara fundador de una secta. Dice Montucla, "celebre mas bien que por sus progresos en la investigacion de la verdad, por su invencion de sofismas y su pasion por la disputa".

Euclides de llegara fue uno ele los primeros auditores de Socrates; mientras que el geometra era contemporaneo del primer Ptolomeo y por consiguiente vivio un siglo mas tarde que aquel (cerca de 300 anos a. J. C.).

No se sabe con seguridad cual fue la patria del geometra Euclides. Parece que vivio primeramente en Grecia y estudio en Atenas con discipulos ele Platon. Despues se fijo en Alejandria llamado por Ptolomeo. Este le pregunto si no habia camino mas facil, menos espinoso que el ordinario para estudiar la Geometria. "No, principe--respondio Euclides --no existe ninguno hecho expresamente para los reyes". [7], 204.

Los celebres Elementos se componen ele trece libros a los cuales se anaden ordinariamente otros dos que se atribuyen a Eypsicles, geometra ele Alejandria que vivio ciento cincuenta anos despues de Euclides.

Theon ele Alejandria [beta]20-395) fue el primer comentador de Euclides y luego Proclus (412-485) y Eneas de Hierapolis.

El arabe Thebith ten Corrah tradujo y reviso los Elementos en el siglo IX.

El celebre astronomo y geometra persa Nassir-Eddin (1225-1274) fue el principal comentador de Euclides y su sabio comentario en arabe fue publicado en 1594 en la magnifica imprenta de los Medicis.

Los hebreos Moses Aban-Tibon e Isaac ben-Honain hicieron traducciones ele Euclides que se conservan en manuscritos en algunas bibliotecas.

Adelard (AEthelhard) de Bath en Inglaterra y Campanus ele Novara (Italia) tradujeron los Elementos en los siglos XII y XIII de las versiones arabes. Por estas traducciones los latinos comenzaron a conocer a Euclides; hasta entonces los unicos autores conocidos en Geometria eran Boece y los Principiis geometriae de San Agustin. La obra de Adelard no se conoce sino en manuscrito. La de Campano (siglo XIII) fue la base para la mayor parte de las traducciones latinas de fines del siglo XV y principios del XVI.

(*) V. para la formula de la curvatura total, por ejemplo, DUARTE, Analisis infinitesimal, No. 142, p. 281. Caracas, 1943.

Casi medio siglo despues del descubrimiento de la imprenta aparecio en 1482 la editio princeps de Euclides, in folio, publicada en Venecia, de acuerdo con la traduccion de Campano por Radtolt ele Ausburgo, impresor celebre.

En 1489 se publico otra edicion, con el comentario de Campano, hecha en Vicencio por los impresores asociados Leonardo de Basilea y Guillaume de Pavia.

Zamberti ele Venecia publico otra edicion latina de los Elementos y ele otros escritos ele Euclides con el titulo Euclides Opera, Bartholomaeo Zamberio interprete, Venetia in folio, 1505.

Esta traduccion fue de nuevo impresa en Basilea en 1537 (in folio) por el impresor Uervage y nuevamente en 1565.

En 1509 aparecio en Venecia la bella edicion in folio de Lucas Pacioli, de Borgo San Sepolcro, quien utilizo la version de Campano: Euclides megarensis mathematicorumque omnium sine controuersia principis opus. Campano interprete fidissimo translata ... Lucas Paciolas theologus insignis: altissima mathematicae disciplinarum scientia rarissimus ... Venetiis, Paganinus 1509, in fol. (Titulo en rojo y negro, caracteres goticos y grabados en madera).

En 1516, Jacobo Faber de Etaples, publico en Paris por el editor Henri Etienne una edicion latina ele los Elementos, traducida del griego. Ella contiene ademas del comentario de Theon, las notas ele Campano y de Zamberti y no es una simple reimpresion de la edicion dada por este ultimo.

En 1533 aparecio en Basilea la primera edicion griega de los Elementos hecha por Simon Grynweus en la celebre imprenta ele J. Hervaye. Esta edicion presenta el texto griego de Euclides segun Theon y contiene los cuatro libros del Comentario de Proclus sobre el Primer Libro.

Gommandin dio en 1572, en Pesaro, una traduccion latina de los Elementos (in folio) y en 1575 una edicion italiana hecha en Urbino, reimpresa en Pesaro en 1619 con adiciones y correcciones.

El celebre matematico Tartalea (Tartaglia) publico en Venecia en 1543 una edicion italiana de Euclides: Euclides. Solo introduttore delle Scientie Mathematice diligentemente rassetato et alla integrita ridotto per Nicolo Tartalea Bresciano. Secondo le due tradottioni et di latino in volgar tradotto, con una ampla espositione di novo aggionta Vinegia, Vent. Ruffinelli, 1543. Fue reimpresa en Chiara con notas de Talmente en 1565.

En 1566 aparecio la edicion latina (in folio) de De Foix-Candalle con un decimo libro sobre los solidos regulares; fue reimpresa en 1578 y aumentada de dos nuevos libros sobre los mismos solidos.

El P. Clavius, S. J., dio una edicion de Euclides en 2 vols, in 8, en Roma, 1574, con comentarios. Esta edicion tuvo numerosas reimpresiones.

En 1576 aparecio la edicion espanola: Los Seis Libros Primeros de la geometria de Euclides. Traduzidos en Lengua espanola por Rodrigo Camorano, Astrologo y Mathematico. Sevilla.

Despues se publico la edicion francesa: Les Quinze livres des Elemens d'Euclide. Traduicts du latin en Francois par D. Henrion, Mathematicien, Paris, 1615.

Barrow publico una edicion latina en 1659 y Keil otra, en Oxford, en 1701 (in 8).

La magnifica edicion en griego y latin de David Gregory fue publicada en Oxford en 1703 (in folio) con el titulo Euclides quae super sunt omnia (*).

En 1756 Robert Simpson publico en Glasgow una edicion latina (in 49) a la cual siguio una edicion inglesa.

Despues vienen las ediciones modernas:

Les CEuvres d'Euclide, traduites en Latin et en Francais, d'apres un manuscrit grec tres ancien qui etait inconnu jusqu'a nos jours. Par F. Peyrard, Traducteur des ceuvres d'Archimede. Paris, 1814, 1816, 1818. (Edicion en griego, latin y fraces, 3 vols, in 89).

(*) En esta edicion los postulados 4, 5, 6 estan marcados 10, 11, 12. Por esto el postulado de Euclides se designa a veces por "axioma XI", como en el titulo del Appendix de Bolyai.

Les CEuvres d'Euclide, traduites litteralement d'apres un manuscrit grec tres ancien reste inconnu jusqu'a nos fours. Par E. Peyrard, Paris, 1819. (Edicion solamente en frances, en 1 vol. in 4).

Estas traducciones de Peyrard estan consideradas como las mas completas y las mejores que existen: "edicion muy preciosa, considerada como la mejor y la mas completa que se posee". (Biogr. Gen.).

El manuscrito antiguo utilizado en esta traduccion es el N9 190 de la Biblioteca del Vaticano, el cual fue enviado a Paris por Monge y Berthollet, cuando la ocupacion de Roma, en 1796. Cuando Francia debio devolver los tesoros incautados, el Papa (Pio VII) permitio, a pedido del Gobierno frances, que Peyrard conservase el manuscrito hasta terminar la traduccion.

Euclidis Elementa ex optimis libris in usum Tironum Graece edita ab Ernesto Ferdinando August Berlin, 1826-1829.

Euclidis Elementa, edidit et latine interpretatus est J. L. Heiberg. Lipsiae 1883-1888. 5 vols, in 8 [Vol. I, Libri 1-4; Vol. II, Libri 5-9; Vol. Ill, Libri 10; Vol. IV, Libri 11-13; Vol. V, Libri 14-15]; con un total de CLVII + 2348 pags.

The Thirteen Boohs of Euclid's Elements. Translated from the text of Heiberg with introduction and commentary, by T. L. Heath. 3. vols, in 8, Cambridge, 1908.

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[69] Mansion, P.--Melanges Matliematiques. Gand, 1898. Volumen que contiene articulos de 1882 a 1898. p. 33-69; 89-92; 122-144; 17-34 (2a parte); 43-54. V. tambien Revue des Questions Scientifiques, Bruxelles, t. XXXVII donde da Mansion una lista bibliografica sobre las geometrias no euclidianas.

[70] Riemann, B.--CEuvres Mathematiques. Trad. Laugel. Paris, 1898. p. 280-299.

[71] Stackel, P.--Franz Adolph Taurinus. Abhandlungen zur Geschichte der Math. t. IX. p. 397-427. Leipzig. 1899.

[72] Darboux, G.--Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques. 2e ed. Paris, 1899. p. 208-217; 232-235.

[73] Dehn, M.--Die Legendreschen Siitze ueber die Winkelsumme im Dreieck. Math. Annalen. t. 33, p. 405-439. 1900.

[74] Gauss, C. F.--Werke, t VIII. p. 167; 234; 255; 267. Gottingen, 1900.

[75] Klein, F.--Zur Nichteuklidschen Geometrie. Math. Ann. t. 37, p. 544-572. 1900.

[76] Andrade, J.--L'Enseignement de la Geometrie et les geometries non-euclidiennes.

L'Enseignement Math. IIe Annee. p. 114-126. 1900.

[77] Frolov, M.--Considerations sur la Geometrie non euclidienne. L'Eseignement Math. IIe Annee. p. 179-187. 1900.

[78] Frolov, M.--Nouvelles considerations sur les geometries non-euclidiennes. L'Enseignement Math, IIe Annee. p. 293-298. 1900.

[79] Andrade, J.--Euclidien et Non-Euclidien. L'Enseignement. IIe Annee. p. 298-300. 1900.

[80] Barbarin, P.--A propos d'un article de M. Frolov. L'Ens. Math. IIe Annee p. 306. 1900.

[81] Tikhomandritzki, M.--Sur le postulatum d'Euclide. L'Ens. Math. IIe Annee. p. 385-388. 1900.

[82] Mansion, P.--Lettre au Directeur de l'Enseignement Mathematique. IIe Annee. p. 457. 1900.

[83] Russell, Bertram! A. W.--Essai sur les fondements de la Geometrie. Trad. Cadenat. Paris, 1901. p. 33-35; 139; 189; 214-215; 262.

[84] Isely, L.--Histoire des Mathematiques dans la Suisse Frangaise. Neucliatel, 1901, p. 87.

[85] Wickersheimer, E.--Sur le postulatum des paralleles. L'Ens. Math. IIIe Annee. p. 279-285. 1901.

[86] Bonola, R.--Index Operum ad geometrian absolutum spectantium. Leipzig, 1902-1903.

[87] Pietzker, F.--Considerations sur la nature de l'espace. L'Ens. Math. IVe Annee. p. 76-no. 1902.

[89] Laurent, H.--A propos d'un article de M. Pietzker L'Ens. Math. IVe Annee. p. 434-437. 1902.

[90] Barbarin, P.--Sur un quadrilatere birectangle. L'Ens. Math. IVe Annee. p. 438-444. 1902.

[91] Hilbert, D.--Neue Begruendung der Bolyai.--Lobats chefskijschen Geometrie. Math. Aun. t. 57, 1903.

[92] Segre, C.--Congetture intorno alia influenza di Ge rolamo Saccheri sulla formazione delia Geometria non euclidea. Atti Acc. Se. di Torino, t. 38, 1903.

[93] Combebiac, G.--L'Espace est-il euclidien? L'Ens. Math, ve Annee. p. 157-177; 262-278. 1903.

[94] Peslouan, L. de.--Sur la necessite du Postulat d'Euclide. L'Ens. Math. Ve Annee. p. 288-293. 1903.

[95] Bonola, R.--A propos d'un recent expose des principes de la Geometrie non-euclidienne. L'Ens. Math, ve Annee. p. 317-325. 1903.

[96] Commolet, J. B.--Theorie des paralleles euclidien nes. L'Ens. Mat.h. Ve Annee. p. 326-331. 1903.

[97] Lechalas, G.--Introduction h la Geometrie generale. Paris, 1904. p. 40-42; 50-52,

[98] Bordage, E.--Sur un theoreme de la Geometrie rimannienne. L'Ens. Math. Vie Annee, p. 239-241. 1904.

[99] Bonoia, B.--I teoremi del Padre Gerolamo Saccheri sulla somma degli angoli di un triangolo e la ricerche di M. Dehn. Rend. 1st. Lombardo, serie 11, vol. 38. 1905.

[100] Bonoia, E.--La trigonometria assoluta secondo Giovanni Bolyai Bend. 1st. Lombardo, vol. 38. 1905.

[101] Vahlen, K. Th.--Abstrakte Geometrie. Untersuchungen ueber die Grundlagen der Euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. Leipzig, 1905.

[102] Bonoia, B.--Un teorema de Giordano Vitale de Bitonto sulle rette equidistanti. Bolletino di Bibliogr. e Storia delle Sc. Math. 1905.

[103] Study, E.--Ueber Niclit-Euklidische und Liniengeo-metrie. Jahr. der Deutsche Math. Vereinigung. XV. 1906.

[104] Bonoia, B.--La Geometria non-euclidea. Bologna. 1906.

[105] Laurent, H.--La Geometrie analytique generale. Paris, 1906. p. 5; 29; 137.

[106] Barbarin, P.--La Geometrie non-euclidienne. 2e ed. Paris, 1907, p. 9; 49-54.

[107] Kantor, M.--Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik. 4 vols, in 8. t. I. Leipzig, 1907.

[108] Halsted, G. B.--La Spherique non-euclidienne. L'Ens. Math, Xe Annee. 1908, p. 97-111.

[109] Coolidge, J. L.--The elements of no-euclidean geometry. Oxford, 1909.

[no] Schur, F.--Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1909.

[111] Picard, E.--La Science moderne et son etat actuel. Paris, 1909. p. 67-84.

[112] Laurent, H.--Sur les principes fondamentaux de la Theorie des nombres et de la Geometrie. 2e ed. Paris, 1911. p. 39; 43; 57.

[113] Halsted, G. B.--Geometrie rationnelle. Trad. Barbarin. Paris, 1911. p. 220-260.

[114] Encyclopedie des Sciences Mathematiques pures et appliquees publiee sous les auspices des Academies des Sciences de Gottingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne. Ed. Frangaise. t. III, vol. I, p. 1-64. Leipzig, 1911.

[115] Cailler, C.--Sur la notion de courbure et sur quel ques points de Geometrie infinitesimale Non-Euclidienne. Mem. de la Soc. de Physique et d'Histoire Naturelle de Geneve. Vol. 37, fase. 2. 1911.

[116] Rouche et Comberousse.--Traite de Geometrie. 8e ed. t. II. Paris, 1912. p. 575-593.

[117] Poincare, H.--La Science et l'Hypothese. Paris, 1912. p. 47-67.

[118] Brunschvicg, L.--Les etapes de la Philosophie mathematique. Paris, 1912. p. 497-524.

[119] Hadamard, J.--Lecons de Geometrie elementaire. 5e ed. t. I. Paris, 1913, p. 286.

[120] Stackel, P.--Urkunden zur Geschichte der Nieh teuklidisclie unci Engel, F. Geometrie. 2 vols, in 8. Leipzig, 1913.

[121] Ture, A.--Introduction elementaire a la Geometrie Lobatschewskienne. Geneve, 1914. p. 62.

[122] Poincare, H.--Sur les groupes kleineens. CEuvres, t. II. Paris, 1916. p. 23-25 [Comptes Rend, de l'Acad. des Se. de Paris, t. 93, 1881].

[123] Bey Pastor, J.--Introduccion a la Matematica su perior. Madrid, 1916. p. 35-43.

[124] Bey Pastar, J. Fundamentos de la Geometria proyectiva superior. Madrid, 1916.

[125] Darboux, G.--Principes de Geometrie analytique. Paris, 1917. p. 2; 289-363.

[126] Garavito A., J.--Nota sobre las Geometrias planas no euclideas. Anales de Ingenieria. Bogota, 1918. Separata, 1918. [Reproducida en Rev. de la Acad. Colomb. de Ciencias Exactas, Fisicas y Nat. Vol. II, No. 8. p. 566-572. Bogota, 1939].

[127] Bonoia, R.--Die Nichteuklidische Geometrie. Trad. Liebmann. 2e Aufl. Leipzig, 1919. p. 61; 107. [3 Aufl. 1921].

[128] Montessus de Ballore, B de.--?Se puede vulgarizar la Matematica superior? Trad. Rev. Mat. H. A. t. I. Madrid, 1919. p. 81-88. [L'Ens. Math. lile Annee 1901. p. 106-114].

[129] Boutroux, P.--Les principes de l'Analyse Mathematique. t. II. Paris, 1919, p. 208-214.

[130] Vessiot, E.--Lecons de Geometrie superieure. Paris, 1919. p. 78-80.

[131] Enriques, F.--Les concepts fondamentaux de la Science. Trad. Rougier. Paris, 1919. p. 5-83.

[132] Rougier, L.--La Philosophie geometrique d'Henry Poincare. Paris, 1920.

[133] Enriques, F.--Cuestiones relativas a la Matematica elemental. Trad, de la Soc. Mat. Espanola, t. I. Vallaclolid, 1921. p. 260-379.

[134] Mac Leod, A.--Introduction a la Geometrie Non Euclidenne. Paris, 1922. p. 285; 309; 311; 253-284.

[135] Bianchi, L.--Lezioni di Geometria Diferenziale. 3 vols, in 8. t. I. 3a ed. Bologna, 1922. p. 638; 642.

[136] Picard, E.--Deux legons sur certaines equations fonctionnelles et la Geometrie non-euclidienne. Bull, des Sc. Math. t. XLVI. Paris, 1922. p. 404-416; 425-432.

[137] Hilbert, D.--Grundlagen der Geometrie. 5 Aufl. Leipzig, 1922. p. 144-162.

[138] Cailler, Ch.--Introduction geometrique a la Mecanique rationnelle. Geneve, 1924. p. 49; 202; 378.

[139] Enriques, F.--Gli Elementi d'Euclide e la critica antica e moderna. 4 vols, in 8. Roma e Bologna, 1925-1932.

[140] Barbarin, P.--La correspondance entre Houel et De Tilly. Bull, des Sc. Math. t. 50. Paris, 1926. p. 50-64; 74-88.

[141] Einstein, A.--Geometria no euclidea y Fisica. Rev. Mat. H. A. 2a serie, t. I. Madrid, 1926. p. 72-76.

[142] Gonseth, F.--Les fondements des Mathematiques. Paris, 1926. p. 75-115.

[143] Appell, P.--Traite de Mecanique Rationnelle. 5 vols. in 8. t. V. Paris, 1926. p. 173.

[144] Klein, F.--Vorlesungen ueber Hohere Geometrie. 3 Aufl. Berlin, 1926.

[145] Jimenez Soto, F.--Nota sobre el postulado de Euclides. Rev. Mat. H. A. t. II. 2a serie. Madrid, 1927. p. 212-216.

[146] Barbarin, P.--La Geometrie Non-Euclidienne. 3e ed. Paris, 1928. p. 8; 52-58; 86-99; 113-168.

[147] Picard, E.--Leqons sur quelques equations fonctionnelles. Paris, 1928. p. 1-49.

[148] Barbarin, P.--Sur les images euclidennes du plan non-euclidien. Bull, des Sc. Math. t. 52. Paris, 1928. p. 317-319.

[149] Barbarin, P.--Images euclidiennes des plans non euclidiens. Atti del Congresso Internationale dei Matematici. t. IV. Bologna, 1928, p. 61-67.

[150] Parfentieff, N. N.--La Philosophie de la Nature chez N. J. Lobatcewski. Atti del Congresso de Bologna. t. VI, 1928. p. 483-488.

[151] Klein, F.--Vorlesungen ueber Nicht-Euklidische Geometrie. 2 vols, in 8. Berlin, 1928.

[152] Cartan, E.--Legons sur la Geometrie des espaces de Riemann. Paris, 1928. p. 133-177.

[153] Bentelli, W.--Somengeometrie und Niche-Euklidische Geometrie. Comm. Math. Helvetici. Vol. I. Zurich, 1928. p. 42-63.

[154] Costa, A.--As ideas fundamentaes da Matliematica. Rio de Janeiro, 1929. p. 201-211.

[155] Schilling, F.--Projektive und Nichteuklidische Geometrie. 2 vols, in 8. Leipzig, 1931.

[156] Buhl, A.--Paul Barbarin. Bull, des Sc. Math. t. 56. Paris, 1932. p. 72-78.

[157] Juvet, G.--La structure des nouvelles theories physiques. Paris, 1933. p. 156-163.

[158] Schilling, F.--Die Pseudosphaere und die Nichteuklidische Geometrie. Leipzig, 1935.

[159] Alvarez Lleras, J.--Julio Garavito Armero. Ensayo biografico y literario. Rev. Acad. Colomb. de Ciencias exactas, fisicas y naturales. Vol. II. No. 7. Bogota, 1938. p. 474. (Critica a las Geometrias noeuclidianas).

[160] Duarte, P. J.--C. F. Gauss. Rev. del Colegio de Ingenieros de Venezuela. Ano XVI, No. 129. Caracas, 1938. p. 309. Separata, 1938.

[161] Bell, E. T.--Les grands mathematiciens. Trad. A. Gandillon. Paris, 1939. p. 320-333.

[162] Kerekjarto, B. de.--Nouvelle methode d'edlfier la geometrie plane de Bolyai et de Lobatchefsky. Comm. Math. Helvetici. Vol. 13. Zurich, 1940. p. 10-48.

[163] Hempel, C. G.--Geometry and Empirical Science. The American Math. Monthly. Vol. 52, No. 1, pag. 7-17. Chicago, 1945.

NOTA DE LA DIRECCION.--Hemos reproducido integramente este folleto del doctor Francisco J. Duarte, publicado en Caracas en 191,5, porque fuera de su gran merito intrinseco contiene el algunas apreciaciones contrarias a Garavito, y en estas paginas deben tener cabida opiniones de toda clase, aunque nos sean adversas. Tal reproduccion es enteramente espontanea: nadie nos ha sugerido el hacerla, ni el propio autor del folleto, quien accedio a nuestros deseos por sentimientos de simpatia hacia la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales, a la cual pertenece con el titulo de miembro correspondiente.

Al suministrar a nuestros lectores la copia atras presentada, y que hemos verificado con nimio cuidado, nos permitimos recomendar su lectura por considerar que el estudio: "Notas historicas y bibliograficas sobre las Geometrias no euclidianas" es digno de la mas grande atencion. Su autor se muestra en este escrito como erudito de primera clase. Tal vez no se haya hecho nunca un trabajo limitado y abreviado sobre la materia con tal cantidad de informacion, que supone un espiritu benedictino de investigacion y conocimientos matematicos muy poco comunes. Merece por ello nuestro colega las mas sinceras felicitaciones.

Pero si hemos puesto en la reproduccion a que aludimos, el mayor carino, obedeciendo a un sincero deseo de que sea este estudio ampliamente conocido y de que nuestros lectores sepan cual es la critica que el doctor Duarte endereza contra las opiniones de Garavito respecto de las Geometrias no-euclidianas, esto no obsta para que nos reservemos para algun otro lugar en donde podamos, con mayor espacio, refutar tal critica.

Por lo pronto, muy respetuosamente observamos al doctor Duarte que nunca hemos entendido que Garavito se hubiera propuesto demostrar el Postulado de Euclides. Bien sabia el cual concepto filosofico debe tenerse de esta verdad intuitiva, que al tratar de demostrarse presupone siempre definiciones implicitas que tambien necesitan demostracion.

Porque Garavito, mas que matematico, fue filosofo sincero que nunca tuvo en mira cosa diferente de la persecucion de la verdad. Bien puede catalogarsele entre los filosofos de que nos habla el doctor Duarte, cuando afirma en su escrito: "Los filosofos que no son matematicos, como Lotze, han sido en general, enemigos acerrimos de la Metageometria. Lotze expresaba la esperanza de que la Filosofia no se dejara dominar en esta materia por las Matematicas".

Garavito, al igual de Lotze, fue adverso a las Geometrias no-euclidianas, por concepto propio y no por principios de autoridad, ya que su conocimiento de los numerosisimos autores que han propugnado por el triunfo de las nuevas ideas geometricas, era muy limitado.

Nuestra ignorancia a este respecto, mucho mayor que la suya, nos ha hecho comprenderle por este aspecto y por eso podemos afirmar que el Profesor colombiano jamas hubo de preocuparse de la demostracion del Postulado de Euclides.

Asi procuraremos demostrarlo en un proximo numero de esta Revista, en donde haremos ver que los errores que el doctor Duarte cree encontrar en las exposiciones de Garavito, no lo son para todos, por cuanto la escuela de los pangeometras no es universal, ni las ideas contrarias a la matematica clasica han obtenido hasta ahora un triunfo absoluto. El antagonismo existente entre clasicos e innovadores en estas materias es, en nuestro pobre concepto, cuestion de temperamentos. El hablar del error en que estan quienes no piensan como nosotros, sobre cuestiones que aun se discuten, es pronunciar fallos excatedra.

Por pensar asi es que hemos procurado insertar en estas paginas los conceptos tan bien documentados del doctor Duarte, con el proposito de discutirlos de acuerdo con las doctrinas de nuestro venerado maestro, a quien seguimos con sincera conviccion. Creemos con ello prestar un servicio a quienes se interesen por el serio estudio y gusten de la discusion serena y constructiva.

Que nuestro colega, quien, repetimos, nos merece profundo respeto e irrestricta admiracion, nos perdone esta explicacion y acepte por anticipado la replica que habremos de hacer proximamente con mas estudio y mayor conocimiento del asunto, como prueba de que el trabajo a que nos referimos es digno, como ninguno, de la consideracion de los estudiosos.

F. J. DUARTE

Miembro Correspondiente de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisico-Quimicas y Naturales.

(1) Aunque habia sido publicado en 1945 en el Boletin de la Academia de Ciencias Fisicas Matematicas y Naturales de Venezuela, Ano XI, Tomo IX, No. 26, pp. 3-52.

(2) Nota de la Direccion, Rev, Acad. Colomb, Cienc., Vol. VII, Nos. 25-26, p.81.

doi: http://dx.doi.org/10.18257/raccefyn.586

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Author:Sanchez, Clara Helena
Publication:Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales
Date:Dec 1, 2017
Words:18225
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