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Sobre la relacion fisica matematica en la ensenanza de la mecanica cuantica: Un analisis al formalismo matematico de Von Neumann/On mathematical physics relationship in the teaching of quantum mechanics: An analysis of the mathematical formalism of Von Neumann/Sobre a relacao fisica matematica no ensino de mecanica quantica: Uma analise do formalismo matematico de Von Neumann.

Resumen

El presente trabajo de investigacion hace parte del proyecto de grado que se realiza en licenciatura de Fisica de la Universidad Pedagogica Nacional, como requisito para el grado de licenciado en Fisica. Esta investigacion se lleva a cabo a partir de un estudio historico-critico sobre los fundamentos matematicos de la mecanica cuantica propuesto por Von Neumann en 1932. La axiomatizacion de la mecanica cuantica que realiza Von Neumann la realiza haciendo uso de espacios de Hilbert para mostrar la equivalencia entre los dos esquemas propuestos por Heisenberg y Schrodinger. Por otro lado, para la ensenanza de la mecanica cuantica es importante analizar la relacion fisica matematica, la cual permite una mejor interpretacion por parte de los estudiantes.

Palabras Clave: Ensenanza, mecanica cuantica, formalizacion, estudio historico-critico.

Abstract

This research is part of the degree project carried out in Physics degree from the Universidad Pedagogica Nacional, as a requirement for a bachelor's degree in physics. This research is conducted from a historical-critical study of the mathematical foundations of quantum mechanics proposed by Von Neumann in 1932. The axiomatization of quantum mechanics performing Von Neumann is performed using Hilbert spaces to display equivalence between the two schemes proposed by Heisenberg and Schrodinger. On the other hand, it is for teaching quantum mechanics important to analyze mathematical physics relationship, which allows better performance by students.

Keywords: Teaching, quantum mechanics, Von Neumann, historical-critical, physics, formalization, mathematics.

Resumo

Esta pesquisa e parte do projeto grau realizado em grau de Fisica da Universidad Pedagogica Nacional, como um requisito para um grau de bacharel em fisica. Esta pesquisa e realizada a partir de um estudo historico-critica dos fundamentos matematicos da mecanica quantica propostas por Von Neumann em 1932. O axiomatization da mecanica quantica realizando Von Neumann e realizada utilizando espagos de Hilbert para exibir equivalencia entre os dois esquemas propostos por Heisenberg e Schrodinger. Por outro lado, e para o ensino de mecanica quantica importante analisar relagao fisica matematica, que permite um melhor desempenho pelos alunos.

Palavras-chave: Ensinar, mecanica quantica, Von Neumann, historico-critico, fisica, formalizagao, matematica.

INTRODUCCION

Los fenomenos fisicos siempre han jugado un papel fundamental en el desarrollo de la ciencia y es ahi en la busqueda de interpretaciones del funcionamiento de la naturaleza donde se persiguen explicaciones, que muestran de manera ya sea cualitativa o cuantitativa la articulacion de la teoria con el mundo en que vivimos.

Es de vital importancia considerar los fenomenos como el principio de toda teoria, ya que a partir de ellos logramos integrar lenguajes que permiten dar una explicacion de ellos.

Es en la exploracion de interpretaciones que podemos direccionar la formulacion de conclusiones que bajo algun lenguaje nos permitan obtener valores predictivos de los fenomenos fisicos y que a su vez deben permitir la construccion de experimentos por medio de la observacion que den validez cientifica a las leyes de la naturaleza.

En la licenciatura primero aprendemos una teoria predictiva como lo es la mecanica Newtoniana, donde mediante ecuaciones logramos deducciones de la relacion entre lo que observamos y la teoria. Este comportamiento del mundo macroscopico es muy determinista y todo lo que vemos lo podemos modelar de manera muy precisa. Luego se ingresa de manera aproximada al mundo microscopico a partir de la mecanica cuantica, que en primera instancia es dificil para los estudiantes de la universidad redisenar el funcionamiento del universo dejando un poco de lado la prediccion puntual para darle un enfoque de aleatoriedad frente a fenomenos a nivel atomico.

Por lo tanto, en el presente escrito se hace un enfoque en como los fenomenos fisicos han permitido construir estructuras matematicas mostrando la relacion fisica matematica. Claros ejemplos a traves de la historia han mostrado que se puede descifrar la naturaleza dando explicaciones sin el uso de ecuaciones como es el caso de la teoria electromagnetica con dos de sus precursores, estoy hablando de Faraday quien propuso esta teoria sin el uso de ecuaciones y de Maxwell quien le dio un formalismo matematico a la teoria electromagnetica. Pero es importante senalar que ninguna de las dos presentaciones se olvida de la fenomenologia. Otro ejemplo muy importante para la fisica es el de la mecanica clasica donde primero Newton a finales del siglo XIX explico sin el uso de un formalismo riguroso el movimiento de los cuerpos para luego pasar a la integracion del lenguaje matematico del Calculo.

Se puede decir que el siglo XX es sin lugar a dudas uno de los siglos de la ciencia, sino el mas importante, ya que dio creacion a dos grandes teorias en sus inicios de la fisica, la teoria de la relatividad y la mecanica cuantica. La primera desarrollada por Albert Einstein, quien de manera muy detallada propuso los principios e integro la matematica necesaria para darle un giro a la teoria newtoniana que se habia mantenido intacta durante casi tres siglos. Y la segunda es la mecanica cuantica que nace por dar explicacion a fenomenos como la radiacion del cuerpo negro y otros.

La mecanica cuantica fue desarrollada por varios pensadores, entre ellos encontramos los que construyeron modelos matematicos como la mecanica matricial (Heisenberg) y la ondulatoria (Schrodinger), siendo estos dos esquemas equivalentes para la descripcion de los fenomenos a nivel atomico como lo mostraron Dirac y Von Neumann. Sin embargo, es Von Neumann quien de manera contundente sienta las bases matematicas del formalismo de la mecanica cuantica.

Por otro lado, se pretende realizar un analisis historico-critico sobre el nacimiento de la mecanica cuantica a partir de los estudios de Von Neumann, ya que en general se desarrolla los esquemas de Schrodinger y Heisenberg dejando de lado la estructura matematica que cimiento las explicaciones de la teoria cuantica y como esta ha permitido el nacimiento de nuevos estudios de avance para la tecnologia y el desarrollo de la humanidad.

El objetivo del trabajo es realizar un estudio historico-critico sobre los fundamentos matematicos de la mecanica cuantica en torno a los trabajos de Von Neumann tal que permita mostrar la relacion fisica-matematica para ensenanza de la mecanica cuantica.

Un esquema, dos miradas

En 1900 en el segundo congreso internacional de fisica realizado en Paris Francia, David Hilbert propuso una serie de problemas acerca de la matematica, entre ellos, la axiomatizacion de la fisica.

Fue en 1932 con una publicacion de Von Neumann que se logro darle solucion a este problema mediante la ingeniosa ayuda de los espacios de Hilbert. Von Neumann asistio a algunos seminarios en Gottingen donde conocio a Hilbert y desde ahi empezaron a trabajar en la formulacion matematica de la mecanica cuantica.

La publicacion escrita de Von Neumann se titula Fundamentos matematicos de la mecanica cuantica de la traduccion al espanol realizada por el Dr. R. Ortiz. El genesis de la mecanica cuantica moderna inicia con los trabajos de BornHeisenberg-Jordan con la mecanica matricial y Schrodinger con la mecanica ondulatoria en 1925, dos esquemas completamente distintos desde su construccion pero que permitian llegar a los mismos resultados. Schrodinger fue el primero que intento mostrar la equivalencia entre estos dos esquemas y finalmente lo logra, publicando un articulo en 1926. Sin embargo, su propuesta no respondia a la equivalencia formal que se esperaba, asi que solo seis anos despues de forma contundente desde el punto de vista matematico, Von Neumann muestra la equivalencia aludiendo a un isomorfismo isometrico de las dos teorias. (Madrid, 2009)

Metodologia

La metodologia para realizar la investigacion es de corte historico-critico en el cual se analiza de manera detallada y profunda el libro publicado por John Von Neumann "Fundamentos matematicos de la mecanica cuantica" en 1932.

CONCLUSION

Reconocer la fuerte relacion que siempre ha existido entre la fisica y la matematica es de vital importancia en el desarrollo de las diferentes experiencias realizadas en los centros educativos. Por eso en la medida en que no se haga solo alusion a los formalismos matematicos cuando se ensena fisica se permitira a los estudiantes encontrar tal relacion que debe ser de manera biunivoca y dinamica para que se permitan hacer analogias que fortalezcan los diferentes conocimientos.

Realizar un analisis historico-critico permite estudiar la construccion de teorias desde tres puntos: primero el analisis contextual en que se construye la teoria, y segundo, el reconocimiento a los aportes hechos por el autor a la ciencia y finalmente de como implementar tales saberes en la ensenanza en particular la mecanica cuantica, la cual ha sido una teoria cuya formalizacion e interpretacion ha contribuido en el desarrollo cientifico y tecnologico.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Ayala M. (2006). Los analisis historicos criticos y la reconstextualizacion de saberes cientificos. Construyendo un nuevo espacio de posibilidades, Pro-Posigoes, Vol. 17.

Dirac P. (1958). The Principles of Quantum Mechanics, (4a. Edicion) Oxford University Press.

Farieta Y. (2007)., La equivalencia entre la formulacion de Schrodinger y la formulacion de Heisenberg desde el tratado de Dirac. Universidad Pedagogica Nacional.

Feynman R., Leighton R., Sands M. (1971), Fisica Vol. III.- Mecanica Cuantica. Addison Wesley Iberoamericana.

Pantoja G., Moreira., Herscovitz V. (2013). La ensenanza de conceptos fundamentales de mecanica cuantica a alumnos de graduacion en fisica. REIEC Vol. 9. Brasil.

Von Neumann J. (1949). Fundamentos matematicos de la Mecanica Cuantica. Publicaciones del instituto de Matematicas "Jorge Juan". Madrid.

Carlos German Cortes Hernandez (1)

Mauricio Rozo Clavijo (2)

(1) Universidad Pedagogica Nacional, Bogota-Colombia. Contacto: dfi_cgcortesh288@pedagogica.edu.co

(2) Universidad Pedagogica Nacional, Bogota-Colombia. Contacto: mclavijo@pedagogica.edu.co.co
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Author:Hernandez, Carlos German Cortes; Clavijo, Mauricio Rozo
Publication:Revista Cientifica
Date:Jan 15, 2017
Words:1791
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