Printer Friendly

Simulation of poly- and monodispersed granular material. Part I: structure characteristics/ Daugiadispersio ir viendispersio daleliu misinio elgsenos tyrimas. I Dalis: strukturos charakterizavimas.

1. Ivadas

Daugiadispersiu, viendispersiu daleliu misiniu pagrindu pagamintu medziagu ivairove yra labai plati. Tai ivairios keramikos, betonai, gelzbetonio gaminiai, nanostrukturos ir kt.

Betonas--viena pagrindiniu siuolaikines statybu industrijos medziaga. Vienas pagrindiniu jo komponentu yra cementas, kurio gamyba reikalauja ypac dideliu energijos sanaudu. Tarptautiniu aplinkosaugos organizaciju tyrimu duomenimis, vienai tonai cemento pagaminti i atmosfera gali buti ismetama apie 900 kg anglies dioksido ir kitu medziagu, prisidedanciu prie vadinamojo "siltnamio" efekto didinimo. Todel yra ypac aktualu kuo efektyviau ir taupiau naudoti cemento kieki betono gamybai. Paprasciau kalbant, cemento tesla negali buti naudojama betono poroms, tustumoms tarp uzpildu uzpildyti. Veiksmingas cemento teslos kiekis turetu buti naudojamas tik misiniui suristi. Riebieji betonai, turintys cemento teslos pertekliu, pasizymi ilgainiui didejanciomis betono susitraukimo ir valksnumo deformacijomis.

Misinio daleliu strukturos tankumo tyrimai, technologiniu veiksniu paieska tankumui didinti--tai vieni pagrindiniu veiksniu efektyviam sudetiniu betono daliu, lemianciu cemento taupyma, parinkimui.

Pradiniame gamybos etape daleliu misinys gali buti nagrinejamas kaip tam tikra diskreciuju komponentu (daleliu) visuma, taciau klasikine kontinuumo teorija yra pritaikyta makrolygmens uzdaviniams analizuoti ir menka dalimi apraso efektus, atsirandancius atskiru misinio daleliu lygmeniu.

Alternatyva kontinuumo teorijos modeliams gali buti diskreciuju elementu metodas (DEM) (Cundall, Strack 1979). Metodas grindziamas Lagranzo mechanikos poziuriu ir leidzia medziaga laikyti atskiru daleliu, saveikaujanciu pagal tam tikrus kontakto mechanikos modelius, sistema, kurios elgsenai aprasyti taikomi Niutono desniai.

Literaturoje yra nemazai darbu, skirtu daleliu sistemu tyrimams. Paminetini vieni pirmuju Bernal, Mason (1960), Mason (1968) ir Scott (1962) darbai, kurie rentgeno spinduliais bande pazvelgti i trimate daleliu suformuota struktura. Aste, Weaire (2000) siuolaikiniais kompiuterines tomografijos metodais analizavo misiniu struktura, siekdami ivertinti daleliu organizuotumo laipsni. Yu ir Zou (1998), Dziugys ir Peters (2001) bei kitu autoriu darbuose daug demesio skirta daleliu saveikos modeliams ir ju taikymui ivairiems uzdaviniams spresti.

Nepaisant gausiu tyrimu siandien dar nera aiski daleliu misinio strukturos klasifikacija. Tai dazniausiai lemia ir chaotiska medziagos prigimtis. Kartais sistemos pavienio elemento pokytis gali sukelti ekstremalu jautruma sistemos pradines busenos atzvilgiu. Tuomet kyla klausimas, kaip sistemos busena S([t.sub.1]) laiko momentu [t.sub.1] transformuojasi i busena S([t.sub.2]), laiko momentu [t.sub.2]. Problema galima iliustruoti tarsi energijos pavirsiu fazineje erdveje, kuriuo judedama, sistema pereina is vienos busenos (energijos lygmens) i kita (1 pav.).

Siekiant visiskai suvokti daleliu misinio busenas, butinas nuodugnus kiekvienos daleles tikrosios padeties ir ja lemusiu veiksniu tyrimas, apimantis didziuli kieki informacijos. Didele dalis sios informacijos yra pertekline, nes keletas atskiru skirtingos mikroskopines realizacijos busenu daznai gali tureti tas pacias eksperimente stebimas makrosavybes. Siuo atveju daleliu misinio elgsenai tirti gana veiksmingai gali buti taikomas diskreciuju elementu metodas (DEM).

Straipsnyje diskreciuju elementu metodu modeliuojama viendispersio ir daugiadispersio sferiniu daleliu misinio elgsena, akcentuojant kvazistatinio pusiausvyros buvio ypatumus.

Sioje straipsnio dalyje aptariama modeliavimo metodika ir pagrindziamas gautuju rezultatu korektiskumas, remiantis kontroliuojamaisiais mechaniniais buvio parametrais. Daleliu misinio strukturai charakterizuoti makrolygmeniu naudojami pagrindiniai rodikliai yra: kontaktines daleliu jegos, strukturos uzimama turio dalis (tankumas), koordinacijos skaicius. Supazindinama su analitines Hamiltono mechanikos ypatumais, tiriant mikrolygmens struktura.

[FIGURE 1 OMITTED]

2. Tyrimo metodika ir pradiniai duomenys

Tiriamas misinys--tai sferiniu daleliu rinkinys su pasirinktomis fizikinemis ir mechaninemis charakteristikomis. Sios charakteristikos artimos betono uzpildu medziagai (taikytos andezito charakteristikos). Pagrindines charakteristikos pateiktos 1 lenteleje. DEM nezinomieji--tai daleliu padetys, greiciai ir pagreiciai, kurie nustatomi sprendziant antrojo Niutono desnio lygti slenkamajam ir sukamajam judejimui, zinant daleles veikiancias jegas.

Taigi i-tosios daleles judejimui aprasyti galima taikyti literaturoje zinomas lygtis:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (1)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (2)

cia [F.sub.ij] = [F.sub.n,ij] + [F.sub.t,ij], [x.sub.i], [[omega].sub.i]--daleles mases centro padeties ir daleles kampinio greicio vektoriai; [m.sub.i]--i-tosios daleles mase (i = 1, ..., n); [I.sub.i]--i-tosios daleles inercijos momentas; t--nagrinejamas laikas; g--laisvojo kritimo pagreicio vektorius; [d.sub.cij]--vektorius, nusakantis kontaktinio tasko padeti kontaktuojanciu daleliu centru atzvilgiu; [F.sub.n,ij] ir [F.sub.t,ij]--Hertz kontakto modelio koncepcija atitinkanti kontakto jegos normaline komponente (statmena kontakto pavirsiui) ir tangentine dedamoji, nukreipta liestine kontakto pavirsiui; [M.sub.ij,roll]--sukimo momentas, kuri lemia riedejimo trintis.

Darbuose (Dziugys, Peters 2001; Balevicius et al. 2004, 2011; Popov 2010 ir kt.) galima rasti i lygtis (1) ir (2) ieinanciu dydziu matematinius aprasymus. Toliau glaustai aptarsime kontakto jegu modelio elgsena.

Kontakto jegu--poslinkio, kuris lygus kontaktuojanciu daleliu persiklojimui, galima grafine interpretacija parodyta 2 pav.

Tangentines kontakto jegos modelis (3 pav.) apima Mindlin ir Deresiewicz teorijos taikyma (Dziugys, Peters 2001; Balevicius et al. 2004). Modelis pagristas apytiksliu kontaktuojanciu daleliu mikropraslydimo tangentine linkme vertinimu, kai daleles spaudzia normaline kontakto jega, o tangentine kontakto jega gali kisti. Modeliuojant laikoma, kad iki tol, kol bus iveikta statine trinties jega (t. y. kai kontaktinio daleliu sukibimo pavirsiaus spindulys sumazes iki nykstamai mazo dydzio) ir viena dalele ims slysti kitos atzvilgiu, apytiksliai galioja tiesine priklausomybe tarp tangentines jegos ir poslinkio (3 pav.). Ribinis mikropraslydimo poslinkis du, kuri virsijus dalele pradeda slysti, priesinantis mazesnei dinamiskos trinties jegai, nustatomas pagal Mindlin ir Deresiewicz (1953) teorija (3 pav.).

[FIGURE 2 OMITTED]

[FIGURE 3 OMITTED]

Modeliuojant taip pat atsizvelgta i galima misinio daleliu riedejimo trinties poveiki del sukimo momentu. Taikytas modelis aprasytas darbe (Balevicius et al. 2011).

Netiesiniu diferencialiniu judejimo lygciu skaitinis integravimas kiekvienai dalelei i-tuoju laiko momentu t + [DELTA]t (cia [DELTA]t yra laiko zingsnis) atliekamas pagal penktosios eiles Gear predictor-corrector schema ir kaupiant duomenis apie daleliu padetis bei greicio vektorius kiekvienu laiko momentu (Balevicius et al. 2006).

3. Modeliavimo kontroliuojamieji duomenys

Dinaminis daleliu misinio modeliavimas pradedamas tam tikru daleliu isdestymu trimateje skaiciuojamojoje erdveje (4 pav.), suteikiant atsitiktinai parinkta pradinio greicio reiksme (1 lentele). Veikiamos sunkio jegos, daleles pradeda kristi ir del suteikto pradinio greicio prasideda misinio maisymosi procesas.

Kadangi siekiama tirti daleliu kvazistatine busena, t. y. busena, kai daleliu padeties ir greicio kitimas yra nykstamai mazas, atsiranda butinybe pasirinkti parametrus, kuriais butu galima kontroliuoti dinamine sistemos elgsena. Sistemos kontroliuojamaisiais parametrais pasirinkti: sistemos kinetine energija bei jegu pusiausvyra tarp misinio svorio jegos ir pagrindo reakcijos.

[FIGURE 4 OMITTED]

Daleliu misinio kinetines energijos mazejimas iki salyginio nulio reiksmes (5 pav.) (salyginio nulio reiksme siuo atveju imama daleliu misinio kinetinei energijai nuslopus iki [10.sup.-3] J) leidzia nutraukti skaiciavima, laikant, kad isivyravo kvazistatine misinio busena.

Jegu pusiausvyra tarp misinio svorio ir pagrindo reakcijos--tai kitas parametras, rodantis dinamines analizes korektiskuma. 6 pav. parodyta viendispersio misinio daleliu reakcija i dugna ir misinio svorio jegu balanso kaita laike. Matyti, kad pradiniame etape del dinamines daleliu elgsenos balanso nera. Skaiciavimo pabaigoje dinaminis poveikis gesta ir isivyrauja pusiausvyra. Lokalios atskiru daleliu jegos, greiciai ir kiti parametrai vidutiniskai suvienodeja lemdami visos medziagos kvazistatine makrobusena.

[FIGURE 5 OMITTED]

[FIGURE 6 OMITTED]

7 pav. parodyta daugiadispersio misinio jegu balanso elgsena. Cia pastebimas didesnis pagrindo reakcijos svyravimas pries kvazistatini buvi.

[FIGURE 7 OMITTED]

Taigi kontroliuojamuju parametru analize parode, jog misinio daleliu elgsenos modeliavimas issprestas korektiskai, esant pasirinktam laiko zingsniui (1 lentele). Pazymetina, kad didele tamprumo modulio reiksme, budinga andezitui, lemia labai maza integravimo zingsni (1 lentele), todel skaiciavimo procesas isnaudojo daug kompiuterinio laiko.

4. Modeliavimo rezultatai

4.1. Strukturos charakterizavimas makrolygmeniu

Dazniausiai literaturoje minimi daleliu misinio strukturos charakterizavimo makrolygmeniu rodikliai yra: daleliu kontaktines jegos, strukturos uzimama turio dalis (tankumas) ir koordinacijos skaicius. Sis parametras rodo kontaktuojanciu daleliu skaiciu, vidutiniskai tenkanti vienai dalelei misinyje. 8 pav. pateiktas nagrinetu misiniu kontaktiniu jegu pasiskirstymas pagal daleles, esant sistemos kvazistatines pusiausvyros buviui. Daleliu spalvos rodo kontaktines jegos atstojamosios vektoriaus modulio reiksme.

8 pav. rezultatai rodo, kad daleliu jegu pasiskirstymas yra skirtingas, priklausantis nuo misinio kompaktiskumo, daleliu laisves laipsnio misinyje. Is esmes kontaktiniu jegu pasiskirstymas yra chaotiskas, taciau akivaizdziai izvelgiama tendencija: kontaktines jegos yra didesnes dalelese, esanciose arciau dugno. Tai lemia misinio svorio jega, kuri pasiskirsto tarp atskiru daleliu. Pavyzdziui, 8 pav. matyti, kad randamas tam tikras skaicius neaktyviu daleliu, kurios budamos sistemos dalimi perima tik savojo svorio sukelta apkrova. Taigi sios daleles turi daugiau laisves judeti erdveje nei kitos, todel vien tik kontaktines jegos kaip makrorodiklis strukturos charakterizavimui nera issamus.

Likusiems dviem strukturos charakterizavimo makrorodikliams ivertinti pasinaudota daleliu padeties koordinaciu kitimo viso modeliavimo metu rezultatais. Remiantis siais duomenimis, kiekviename laiko zingsnyje buvo skaiciuotas vidutinis koordinacijos skaicius misinyje bei formuota kiekvienos daleles Voronoi cele (Abellanas et al. 1995). Voronoi cele yra iskilasis briaunainis, sudarytas is plokstumu, isvestu statmenai nagrinejamosios i-tosios daleles ir artimiausiu jai daleliu svorio centrus jungiancios atkarpos centre (9 pav.). Daugiadispersiuose daleliu misiniuose naudojant standartine Voronoi cele, gaunamos paklaidos del nepilno daleles patekimo i celes vidu, todel atlikta Lechenault et al. (2006) naudota modifikacija.

Modifikuotoji cele kuriama itraukiant i jos virsuniu tasku gaubtine papildomus gretimu daleliu kontakto taskus ir taip uztikrinant, kad celes plokstumos nekirstu daleles. Santykis visu misinio daleliu vidutinio turio su ju Voronoi celiu vidutiniu turiu [V.sub.m.da]l/[V.sub.m.Vor], apskaiciuotas kiekvienu laiko momentu, leido nustatyti misinio daleliu uzimama turio dali (tankuma) skaiciuojamojoje erdveje. Rezultatams atvaizduoti sudaryti minetuju rodikliu sarysio grafikai, pateikti 10 pav. Siekiant palyginti rezultatus, viendispersio daleliu misinio [V.sub.m.da]l/[V.sub.m.Vor] santykis skaiciuotas naudojant modifikuotus daleliu turius, nustatytus pagal (3) formule, gauta is daugiadispersio daleliu misinio kreives pritaikymo analizes

V.sub.dal.mod] = [V.sub.vor.dal] * VKS/VKS + 3,464, (3)

cia [V.sub.m.da]l/[V.sub.m.Vor] atskiros daleles Voronoi celes turis; VKS - vidutinis koordinacijos skaicius.

Suprantama, kad norint gauti tanku daleliu misini, reikia efektyviai parinkti jo granuliometrine sudeti. 10 pav. pastebime akivaizdziai spartesni daugiadispersio daleliu misinio koordinacijos skaiciaus augima laike, palyginti su viendispersiu misiniu, neatsizvelgiant i trinties koeficienta. eis augimas rodo, kad mazesnes daleles greiciau prasiskverbia i misinio strukturos giluma. Kita vertus, is 10 pav. matome, kad atvirksciai nei koordinacijos skaicius, daleliu misinio uzimama turio dalis (tankumas) leciau auga daugiadispersiame misinyje. Tai susije su daugiadispersio daleliu misinio neaktyviu daleliu zonu susiformavimu (11 pav.). Sie dariniai trukdo tolesniam misinio tankejimui be papildomo isorinio poveikio (pvz., misinio vibravimo).

[FIGURE 8 OMITTED]

[FIGURE 9 OMITTED]

Analizuojant gautus tyrimo rezultatus, matyti, kad sie duomenys perteikia nepakankama informacija apie vidines strukturos ypatybes. Minetieji rodikliai apibudina tam tikra sistemos makrobusena, kurios egzistavima gali tenkinti keletas ar keliolika mikrobusenu (11 pav.), todel butina papildoma analize.

[FIGURE 10 OMITTED]

[FIGURE 11 OMITTED]

4.2. Strukturos mikrobusenos

esant tam tikroms pastovioms krastinems salygoms, bet kitoms pradinems daleliu konfiguracijoms galutine pusiausvirojo misinio struktura gali buti kitokia. Tai galima paaiskinti antruoju termodinamikos desniu, kuris teigia, kad izoliuotosios pusiausvyros sistemos entropija yra didziausia (edwards, Oakeshott 1989). Siuo atveju entropija gali buti informacijos apie sistema stokos matas. Jei tik zinoma, kad taskas, reprezentuojantis sistema fazineje erdveje, yra viduje tam tikro turio, kuris gali buti vadinamas reprezentaty-viuoju turiniu elementu, bet nezinoma tiksli jo padetis siame turyje, tuomet taskas gali buti bet kuris vienas is didziules daugybes tasku, kurie yra nagrinejamame turyje.

Jau mineta, kad kvazistatine pusiausvyra yra salygine pusiausvyra, nes ji reiskia daleliu makrobusenos stabilizavimasi, taciau mikrolygiu judejimas vis dar gali vykti. Tai matyti is daleliu misinio tam tikros i-tosios daleles padeties vektoriaus z komponentes kitimo laike grafiko (12 pav.).

Is 12 pav. matyti, kad daleliu misiniui pasiekus kvazistatines pusiausvyros buvi, atskira dalele yra suvarzoma susiformavusioje padidejusiu kontaktiniu jegu zonoje (13 pav., a) ir prasideda jos mikrobusenu kitimas (13 pav., b).

Taigi gali egzistuoti nemazas kiekis galimu sistemos busenu, ir nezinoma, kuri is ju yra tikroji. Siai padeciai ivertinti makrolygmeniu galimas tik statistinis problemos sprendimo budas.

Daleliu kontaktines jegos yra nepakankamas strukturos charakterizavimo rodiklis. Siekiant tureti charakteristika, kuri budinga kiekvienam misinio strukturos elementui ir kuria remiantis butu galima sudaryti statistini modeli, paprastai taikomos ne klasikines Niutono mechanikos formuluotes, nagrinejancios jegu vektorius, o Hamiltono mechanikos principai (Gekle 2005). Cia analizuojamas judejimas, remiantis dviem skaliarinemis judesio charakteristikomis: kinetine ir potencine energija.

[FIGURE 12 OMITTED]

[FIGURE 13 OMITTED]

Misinio daleliu mikrobusenoms charakterizuoti pasitelksime fazines erdves savoka (Hilborn 2008). Fazine erdve--tai abstrakti daugiamate erdve, kurios koordinatemis yra sistemos laisves laipsniai, t. y. skaicius nepriklausomu kintamuju, reikalingu sistemos dinaminei busenai apibudinti. Pagrindinis skirtumas tarp fazines ir koordinaciu erdves tas, kad fazine erdve yra busenos erdve, tai reiskia, jog kiekvienas taskas joje atitinka unikalia sistemos busena, kur taskas koordinaciu erdveje nustato tik fizine sistemos konfiguracija. Rinkinys galimu mikrobu senu gali buti isreikstas rinkiniu tasku fazines erdves trajektorijoje, kuri vaizduoja sistemos mikroskopines busenos kitima laike. Konservatyvios sistemos fazines erdves trajektorija apraso Hamiltono mechanikos lygtys (Lichtenberg, Lieberman 1992):

[q.sub.j] = [partial derivative]H/[partial derivative][P.sub.j] (4)

[p.sub.j] = [partial derivative]H/[partial derivative][q.sub.j], (j = 1,...,l) (5)

cia [q.sub.j] - j-ojo laisves laipsnio apibendrintoji koordinate; [p.sub.j] - j-ojo laisves laipsnio apibendrintasis judesio kiekis, isreiskiamas mases ir greicio sandauga; H - Hamiltono funkcija, isreiskianti sistemos mechanine energija (kinetines ir potencines energijos suma); H priklauso nuo visu [q.sub.j] ir [p.sub.j]; l - mechaniniu laisves laipsniu skaicius; [q.sub.j], [p.sub.j] reiskia dydziu [q.sub.j] ir [p.sub.j] isvestines pagal laika. Sistemos mikroskopine busena visiskai nusako 2l dydziu - l apibendrintuju koordinaciu [q.sub.j] ir l apibendrintuju judesio kiekiu [p.sub.j], priklausanciu nuo pradiniu salygu ir laiko.

Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) teorema (Bro er 2004), judejimo diferencialiniu lygciu (4-5) geometrine interpretacija pateikia kaip trajektoriju rinkini fazineje erdveje, dengianti l-macio toro pavirsiu. 14 pav. pateikta konservatyvios (nedisipatyvios) sistemos dvimacio toro, charakterizuojamo kampiniais dazniais [[omega].sub.1] ir [[omega].sub.1], schema.

14 pav. pavaizduoto toro pavirsiu dengiancios fazines trajektorijos h(t) kiekvienas taskas atitinka viena sistemos mikrobusena, apibudinama fazines trajektorijos elgsenos kintamaisiais.

Analitine Hamiltono mechanika tinka tik konservatyvios (nedisipatyvios) sistemos elgsenai tirti, taciau Kolmogorov teorema (Broer 2004) teigia, kad esant gana mazam Hamiltono sutrikdymui, didzioji dalis energijos toro neisnyksta, o tik siek tiek deformuojasi (15 pav.), kartu ivykstant ir fazines trajektorijos globaliajai bifurkacijai, t. y. kokybiniam fazines trajektorijos pobudzio pokyciui. Siekiant parodyti disipacijos itaka fazines trajektorijos elgsenai, 16 pav. pateiktas vieno mechaninio laisves laipsnio daleles faziniu trajektoriju pokytis normalinio kontakto metu, skaiciavimuose keiciant normalinio slopinimo koeficienta [[zeta].sub.n].

[FIGURE 14 OMITTED]

[FIGURE 15 OMITTED]

16 pav., a, matoma, kai normalinio slopinimo koeficientas [[zeta].sub.n] = 0, fazine trajektorija turi elipses pavidala. Didinant normalinio slopinimo koeficienta, fazine trajektorija igauna spirales forma. Kinetines ir potencines energijos pokyciai, esant skirtingiems normalinio slopinimo koeficientams, pateikti 16 pav., b. Matoma, kad padidejusios disipacijos poveikis pasireiskia kinetines ir potencines energijos kreiviu slopimu laike.

Disipacija labiausiai priklauso nuo daleliu klampumo ir trinties charakteristiku. Literaturoje randama nemazai atliktu tyrimu (edwards, Oakeshott 1989), irodanciu, kad egzistuoja tiesioginis rysys tarp energijos toro sutrikdymo laipsnio fazineje erdveje ir kiekvienos daleles mechaninio laisves laipsnio fizineje misinio strukturoje: kuo mazesnis daleles mechaninis laisves laipsnis, tuo ji labiau atitinka Hamiltono mechanikos formuluote. Galima manyti, kad kiekvienos misinio daleles svorio centro koordinaciu vektorius siejasi su vektoriumi [I.sub.j*1] (cia [I.sub.j*1] del sistemos disipatyvumo yra funkcija, priklausanti nuo kampo [[gamma].sub.j]), o daleles judesio kieki reprezentuojantis greicio vektorius yra susijes su vektoriumi [I.sub.j*2], kuris priklauso nuo kampo aj (14 pav., b). Tuomet kvazistatinio pusiausvyros buvio sistemos, nepatiriancios didelio disipacijos poveikio, bet kurios mikrobusenos charakterizavimui pakanka zinoti tik fazines trajektorijos kitimo desningumus toro pavirsiuje, nusakomus kampais [[gamma].sub.j] ir [[alpha].sub.j] (14 pav., a).

[FIGURE 16 OMITTED]

Taigi Kolmogorov teorema (Broer 2004) leidzia Hamiltono mechanikos principus pritaikyti suvarzytuose daleliu misiniuose, pasizyminciuose riboto dydzio disipacija.

Anksciau buvo mineta, kad nagrinejama kvazistatines pusiausvyros buvio sistema. Kadangi esant sios busenos daleliu mases centro koordinates kinta tik mikrolygiu (energija reprezentuojantis toro pavirsius yra mazai iskreiptas), tad galima teigti, jog daleles mikroskopine busena visiskai nusako trys judesio kiekiai: [p.sub.x*j], [p.sub.y*j] ir [p.sub.z*j], isreiskiami atitinkamomis daleles greicio vektoriu komponentemis: [v.sub.x*j], [v.sub.y*j] ir [v.sub.z*j]. Tuomet erdveje atideje visus vienos daleles greicio vektorius kvazistatines pusiausvyros buvio metu, gausime vektoriu lauka, tam tikru budu atspindinti konkrecios daleles fazine erdve (17 pav.).

17 pav. pavaizduoti vienos daleles greicio vektoriai teikia mazai naudos, nes visi jie yra euklidineje erdveje [R.sup.3]. Siuos greicio vektorius isreiskus 14 pav. parodytais fazines trajektorijos elgsenos kintamaisiais [[alpha].sub.r] ir [[gamma].sub.j], esanciais polineje koordinaciu sistemoje, butu galima nustatyti fazines erdves trajektorijos pobudi, t. y. globaliaja bifurkacija, padesiancia ivertinti kiekvienos mikrobusenos pasireiskimo tikimybe daleliu misinyje. Nustatytoji tikimybe leistu charakterizuoti ir viso daleliu misinio makrobusena, nes labiausiai tiketina yra toji makrobusena, kurios mikrobusenu skaicius yra didziausias.

Geometrines charakteristikos, leidziancios daleles greicio vektorius atvaizduoti polineje koordinaciu sistemoje, yra i-tosios daleles j-ojo greicio vektoriaus kampas su horizontu ir normalines plokstumos posukio horizonto atzvilgiu kampas (18 pav.). eie kampai sutapatinami su fazines trajektorijos elgsenos kintamaisiais [[alpha].sub.j] ir [[gamma].sub.j].

[FIGURE 17 OMITTED]

Disipatyvios dinamines sistemos energijos toro skerspjuvis nebera suskaidytas atskirais energijos lygmenimis (Gekle 2005), o atrodo kaip spirale (19 pav., b).

[FIGURE 18 OMITTED]

[FIGURE 19 OMITTED]

Tai patvirtina 16 pav., a, pateiktos apskaiciuotos daleles fazines trajektorijos.

Siekiant gauti 19 pav., b, parodyta toro skerspjuvi charakterizuojanciu dydziu [I.sub.j.2] ir [[alpha].sub.j] rysi, sis skerspjuvis aproksimuojamas Archimedo spirale:

[I.sub.j.2] = m * [[alpha].sub.j], kai [[alpha].sub.j] > 0, (6)

cia m isreiskia atstuma tarp spirales apsisukimu. Kadangi busenai charakterizuoti pakanka zinoti tik kokybinius fazines trajektorijos elgsenos desningumus, tad tikrasis m dydis nera svarbus.

elgsenos kintamieji [[alpha].sub.j] ir [[gamma].sub.j] parametriniame pavirsiuje H = H([alpha], [gamma]) (20 pav., a) yra laiko funkcijos, t. y. [alpha] = [alpha](t), [gamma] = [gamma](t). Tuomet h(t) = h([alpha](t), [gamma](t)) yra parametrine kreive pavirsiuje H = H([alpha], [gamma]).

Pavirsiuje H = H([alpha], [gamma]) laisvai pasirinktame taske P isvedama tangentine plokstuma (20 pav., a). Sioje plokstumoje tangentinis vektorius h(t) susideda is dvieju komponenciu [h.sub.[alpha]] ir [h.sub.[gamma]].

Tangentinis vektorius kreivei ant pavirsiaus (20 pav., b) gaunamas diferencijuojant h(t) laiko t at-zvilgiu:

[MATHeMATICAL eXPReSSION NOT RePRODUCIBLe IN ASCII.] (7)

Pavirsiaus normales vektorius n, statmenas tangentinei plokstumai, isreiskiamas sia formule:

n = [h.sub.[alpha]] x [h.sub.[gamma]]/[parallel][h.sub.[alpha]] x [h.sub.[gamma]] (8)

Pazymetina, kad iprastasis taskas P ant parametrinio pavirsiaus H = H(a, .) yra taskas, atitinkantis (9) salyga:

[h.sub.[alpha]] x [h.sub.[gamma]] [not equal to] 0. (9)

Salyga (9) reikalauja, kad taske P (20 pav.) vektoriai [h.sub.[alpha]] ir [h.sub.[gamma]]. neisnyktu ir turetu skirtingas kryptis, t. y. kad butu tiesiskai nepriklausomi. Jei (9) salyga netenkinama, taskas P vadinamas ypatinguoju.

Galima perrasyti (6) israiska, dydi m pakeiciant normalinio vektoriaus (8) moduliu [parallel]n[parallel], gaunant priklausomybe:

[absolute value of [I.sub.j*2]] = [absolute value of n]x[[alpha].sub.j], cia [absolute value of n] = 1. (10)

Polineje koordinaciu sistemoje (21 pav.) atvaizdave visus modeliuojant DeM kvazistatinio pusiausvyros buvio misinyje gautus i-tosios daleles greicio vektorius atitinkancius dydzius [absolute value of [I.sub.j*2]] ir [[gamma].sub.j], sudarytume minetosios daleles fazines erdves globaliosios bifurkacijos plokstumine diagrama (gaubtine).

Pazymetina, kad gautoji diagrama nera tikroji, tai tik faziniu trajektoriju sankirta su plokstuma, taciau to visiskai pakanka daleles faziniu trajektoriju elgsenos desningumams nustatyti. Diagramoje atsispindetu ne tik mikrobusenu pasirodymo statistika, bet ir informacija, susijusi su daleles stabilumu.

[FIGURE 20 OMITTED]

[FIGURE 21 OMITTED]

Fazines trajektorijos gaubtines formavimosi esminiams principams paaiskinti naudojamasi 22 pav., kuriame parodytas disipatyvios dinamines sistemos energijos toro pavirsiaus fragmentas, kertamas trikdziu sudaromu rezonansiniu plokstumu (Gekle 2005).

22 pav. parodytos KAM trajektorijos sudaromos iprastuju faziniu tasku, t. y. tasku, kuriuose vektoriai [h.sub[alpha]] ir [h.sub.[gamma]] (20 pav., b) yra tiesiskai nepriklausomi. Rezonansiniu plokstumu krastais eina kitokios trajektorijos, charakterizuojamos ypatingaisiais faziniais taskais, neatitinkanciais (9) salygos.

Jeigu polineje koordinaciu sistemoje atidesime elgsenos kintamuosius [absolute value of [I.sub.j*2]] ir [[gamma].sub.j], dydis [I.sub.j*2]], aprasomas (10) formule, sudarys fazines trajektorijos "filtra" (23 pav.).

Kai bus netenkinama (9) salyga ir vektoriai [h.sub.[alpha]] bei [h.sub.[gamma]] taps tiesiskai priklausomi, polineje koordinaciu sistemoje bus formuojamas Archimedo spirales vaizdas, nes siuo atveju fazines trajektorijos polines diagramos plokstumos nekerta, o priklauso jai.

Aprasyto mikrolygmens strukturos charakterizavimo metodo taikymas ir gautuju rezultatu analize pateikiami antrojoje straipsnio dalyje.

[FIGURE 22 OMITTED]

[FIGURE 23 OMITTED]

5. Isvados

Sioje pirmojoje straipsnio dalyje pateiktas viendispersio ir daugiadispersio daleliu misinio elgsenos skaitinio modeliavimo rezultatu apibendrinimas. elgsena tirta misinio kvazistatinio pusiausvyros buvio ribose. Aptarta modeliavimo metodika ir pagristas gautuju rezultatu korektiskumas, remiantis kontroliuojamaisiais mechaniniais buvio parametrais. Gauta daleliu misiniu svorio jegos pusiausvyra su skaiciuojamosios erdves pagrindu patvirtino, kad pasiektas misinio makrobusenos kvazistatinis pusiausvyros buvis. Rezultatai yra pakankamo tikslumo.

Pagrindinis demesys straipsnyje skirtas misinio mikro- ir makrostrukturos charakterizavimui, todel pasirinkti trys strukturos charakterizavimo makrolygmeniu rodikliai: daleliu kontaktines jegos, misinio uzimama turio dalis (tankumas) ir koordinacijos skaicius. Atlikta siu dydziu analize trims misiniams. Lyginant viendispersio ir daugiadispersio misinio daleliu uzimamos turio dalies (tankumo) kitima laike, pastebetas letesnis tankumo augimas daugiadispersiuose misiniuose, neatsizvelgiant i trinti. Tai paaiskinama padidejusiu kontaktiniu jegu zonu, "uzblokuojanciu" mazesnes daleles, atsiradimu daugiadispersiuose misiniuose.

Minetuju zonu atsiradimas paskatino misinius tirti mikrolygiu. Pazymetina, kad daugiadispersiu daleliu misiniu mikrobusenu tyrimas yra svarbus klausimas betono gamyboje, nes daleliu pasiskirstymas cemento tesloje turi tiesiogini rysi su ilgalaikemis konstrukciju deformacijomis.

Daleliu misiniu mikrobusenu charakterizavimo metodui sudaryti pasitelkti Hamiltono mechanikos principai. Tariama, kad suvarzytame ir riboto dydzio trikdziu veikiamame misinyje kiekvienos daleles elgsena (mikrobusenos), esant kvazistatiniam pusiausvyros buviui, apibudinama kaip trajektorija fazineje erdveje, dengianti tam tikra energijos pavirsiu (tora), kurio forma priklauso nuo daleles mechaninio laisves laipsnio. Aprasyto metodo praktinei realizacijai sukurtas kompiuterinis algoritmas, kuriame is modeliuojant DeM gautu duomenu formuojama kiekvienos daleles fazines trajektorijos gaubtine. Si gaubtine parodo fazines erdves globaliosios bifurkacijos desningumus ir naudotina mikrobusenu pasireiskimo statistiniam ivertinimui bei atskiros misinio daleles stabilumui charakterizuoti.

Antrojoje straipsnio dalyje bus pateiktas sioje dalyje aprasyto mikrolygmens strukturos charakterizavimo metodo taikymas ir gautuju rezultatu analize.

doi: 10.3846/2029882X.2012.677407

Iteikta 2011 11 22; priimta 2012 02 22

Literatura

Abellanas, M.; Hernandez, G.; Klein, R.; Neumann-Lara, V.; Urrutia, J. 1995. Voronoi diagrams and containment of families of convex sets on the plane, in Proc. 11th Annu ACM Sympos. Comput. Geom., 71-78.

Aste, T.; Weaire, D. 2000. The Pursuit of Perfect Packing. Institute of Physics Publishing, Bristol. http://dx.doi.org/10.1887/0750306483

Balevicius, R.; Dziugys, A.; Kacianauskas, R. 2004. Discrete element method and its application to the analysis of penetration into granular media, Journal of Civil engineering and Management 10(1): 3. http://dx.doi.org/10.1080/13923730.2004.9636280

Balevicius, R.; Kacianauskas, R.; Dziugys, A.; Maknickas, A.; Vislavicius, K. 2006. Investigation of performance of programming approaches and languages used for numerical simulation of granular material by the discrete element method, Computer Physics Communications 175(6): 404. http://dx.doi.org/10.1016/j.cpc.2006.05.006

Balevicius, R.; Kacianauskas, R.; Mroz, Z.; Sielamowicz, I. 2011. Analysis and DeM simulation of granular material flow patterns in hopper models of different shapes, Advanced Powder Technology 22: 235.

Bernal, J. D.; Mason, J. 1960. Packing of spheres: co-ordination of randomly packed spheres, Nature 188: 910. http://dx.doi.org/10.1038/188910a0

Broer, H. W. 2004. KAM theory: the legacy of Kolmogorov's 1954 paper, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 41(4): 507-521.

Cundall, P. A.; Strack, O. D. L. 1979. A Discrete numerical model for granular assemblies, Geotechnique 29: 47. http://dx.doi.org/10.1680/geot.1979.29.1.47

Dziugys, A.; Peters, B. J. 2001. An approach to simulate the motion of spherical and non-spherical fuel particles in combustion chambers, Granular Material 3(4): 231. http://dx.doi.org/10.1007/PL00010918

edwards, S. F.; Oakeshott, R. B. S. 1989. Theory of powders, Physica 157: 1080-1090. Amsterdam: elsevier Science Publishers B.V. http://dx.doi.org/10.1016/0378-4371(89)90034-4

Gekle, S. 2005. PhD: Construction of Invariant Tori in Near-Integrable Hamiltonian systems with Three Degrees of Freedom. Stuttgart. 83 p.

Hilborn, C. R. 2008. Chaos and Nonlinear Dynamics. An introduction for Scientists and engineers. Second edition. Oxford: Oxford University Press. 654 p.

Yu, A. B.; Zou, R. P. 1998. Prediction of the porosity of particle mixturs: a review, KONA Powder Part. 16: 68.

Lechenault, F.; da Cruz, F.; Dauchot, O.; Bertin, e. 2006. Free volume distributions and compactivity measurement in a bidimensional granular packing, J. Stat. Mech. P0700.

Lichtenberg, A. J.; Lieberman, M. A. 1992. Regular and Chaotic Dynamics. Second edition. Applied Mathematical Sciences 38. New York: Springer-Verlag. 716 p.

Mason, G. 1968. Radial distribution functions from small packings of spheres, Nature 217: 733. http://dx.doi.org/10.1038/217733a0

Mindlin, R. D.; Deresiewicz, H. 1953. elastic spheres in contact under varying oblique forces, Journal of Applied Mechanics 20: 327.

Popov, V. L. 2010. Contact Mechanics and Friction: Physical Principles and Applications. Berlin: Springer-Verlag. 362 p. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-10803-7

Scott, G. D. 1962. Packing of spheres: packing of equal spheres, Nature 194: 956. http://dx.doi.org/10.1038/194956a0

Gvidas POCIUS. BSc (Ce) at the Department of Reinforced Concrete and Masonry Structures, Vilnius Gediminas Technical University, Lithuania. Research interests: influence of concrete composition on the mechanical behaviour of structures, computer-aided modelling of structures.

Robertas BALeVICIUS. MSc (Ce), PhD at the Department of Reinforced Concrete and Masonry Structures, Vilnius Gediminas Technical University, Lithuania. Research interests: mechanics of time-dependent materials, finite and discrete element methods.

Gvidas Pocius (1), Robertas Balevicius (2)

Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva el. pastas: (1) gpocius@gmail.com (corresponding author); (2) robertas.balevicius@vgtu.lt
1 lentele. Daleliu modeliavimo charakteristikos

Table 1. Characteristics of modelling particles

Parametras         Viendispersis   Daugiadispersis   Daugiadispersis
                   misinys         misinys           misinys
                   be trinties     be trinties       su trintimi

Daleliu skaicius                   2048

Daleliu skersmuo   0,025 m         0,003-0,025 m     0,003-0,025 m

Tankis                             2500 kg/
                                   [m.sup.3]

Tamprumo modulis                   10 GPa

Puasono
koeficientas                       0,2

Trinties
koeficientas       --              --                0,6

Riedejimo
trinties
koeficientas       --              --                0,005

energijos
disipacijos
koeficientas
normalinei         15 400 1/s      85 000 1/s        85 000 1/s
dedamajai*

energijos
disipacijos
koeficientas
tangentinei        1540 1/s        8500 1/s          8500 1/s
dedamajai

Laiko zingsnis     2,5 x           1,3 x             1,3 x
                   [10.sup.-7] s   [10.sup.-8] s     [10.sup.-8] s

Vidutine
pradinio
greicio reiksme                    1,0 m/s

Kontakto modelis                   Hertz

Pastaba: *Disipacijos koeficientas parinktas pagal literaturoje
rasta andezito, naudojamo betono uzpildu, restitucijos koeficienta,
atskirai sprendziant dvieju daleliu kontakto uzdavini pagal Hertz
modeli
COPYRIGHT 2012 Vilnius Gediminas Technical University
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2012 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Pocius, Gvidas; Balevicius, Robertas
Publication:Engineering Structures and Technologies
Article Type:Report
Geographic Code:4EXLT
Date:Mar 1, 2012
Words:4268
Previous Article:Assessment of different methods for designing bored piles/ Skirtingu metodu vertinimas projektuojant greztinius pamatus.
Next Article:Properties of hardened cement paste depending on silane based chemical admixtures/ Cheminiu priedu silanu pagrindu itaka cementinio akmens savybems.
Topics:

Terms of use | Copyright © 2018 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters