Printer Friendly

Secciones conicas [kappa]-deformadas.

[kappa]-Deformed Conic Sections.

1 Introduccion

Las secciones conicas han sido objeto de estudio a lo largo de la historia, han servido para modelar diversos fenomenos fisicos, astronomicos [1], acusticos, arquitectonicos [2], cartograficos [3] etc. Pueden ser estudiadas a partir de los cortes que se hacen a un cono, a partir del concepto de lugar geometrico [4], por medio de las coordenadas polares, de forma matricial, etc.; en cualquiera de los casos se analizan sus elementos: vertices, focos, excentricidad, ecuaciones canonicas y general, lado recto, directriz y asintotas.

En la Tabla 1 se especifican algunos de los elementos de las secciones conicas con centro en el origen y que abren sobre el eje a; [5], la circunferencia es una elipse con eje mayor y menor iguales (a = 6, c = 0).

Usando el concepto de lugar geometrico, la elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante [d.sub.1](P, [F.sub.1]) + d(P, [F.sub.2]) = 2a, para la hiperbola la diferencia de las distancias es constante, esto es [valor absoluto de [d.sub.1](P, [F.sub.1]) - [d.sub.2](P, [F.sub.2])] = 2a, cuando el producto de las distancias es fijo ([d.sub.1](P, [F.sub.1]) x [d.sub.2](P, [F.sub.2]) = [b.sup.2]) la famifia de curvas recibe el nombre de Ovalos de Cassini, donde la Lemniscata y la circunferencia son dos casos particulares de la misma [6], en estas definiciones se trabaja con la suma, resta y multiplicacion en el sentido usual. Giorgio Kaniadakis introduce un parametro [kappa] en sus articulos [7],[8] el cual se puede interpretar en el marco de la relatividad especial en terminos del momento de inercia en dos sistemas inerciales, asi como en el estudio de los grados de libertad microscopicos del sistema [9]. Con base en este parametro se define la suma [kappa]-deformada (1) y partiendo de esta expresion se hara el estudio de los efectos que sufren las secciones conicas al considerar la suma y diferencia en el sentido de la [kappa]-deformacion y los cambios que esto conlleva a sus elementos: vertices, ecuaciones, lado recto y extremos relativos. Adicionalmente se hace un estudio del area limitada por la elipse [kappa]-deformada.

2 [kappa]-deformacion

En los articulos de Kaniadakis se encuentra un trabajo matematico sobre el parametro [kappa]; sin embargo, en [9],[10],[11],[12] se profundiza en el aspecto demostrativo y grafico. Considere un numero real -1 < [kappa] < 1. Para cada real x se define la funcion [x.sub.{[kappa]}] como [x.sub.{[kappa]}] := [1/[kappa]]arcsinh{[kappa]x) para [kappa] [desigual a] 0 y [x.sub.{0}] = x. La funcion inversa de [x.sup.{[kappa]}] esta dada por [x.sup.{[kappa]}] = [1/[kappa]]sinh([kappa]a;) y [x.sup.{0}] = x. La ley de composicion interna [(x [??] y).sub.{[kappa]}] = [x.sub.{[kappa]}] + [y.sub.{[kappa]}] recibe el nombre de suma [kappa]-deformada, cuando [kappa] [flecha diestra] O se obtiene la suma en el sentido usual. Por las propiedades de las funciones hiperbolicas y del algebra la suma [kappa]-deformada se escribe como

x [??] y = x[raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][y.sup.2]] + y[raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][x.sup.2]] (1)

y x [??] y = x + y. La igualdad (1) es simetrica respecto del parametro [kappa] por ello se considera tambien valores entre 0 < [kappa] < 1. El conjunto de los numeros reales con la suma [kappa]-deformada es un grupo abeliano con modulo 0 y para cada x su inverso aditivo -x. Cada valor de [kappa] en (1) genera una superficie como en la Figura 1. La diferencia [kappa]-deformada se define como [EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.]; de acuerdo con (1) esta diferencia [kappa]-deformada se escribe como x [??] y = x[raiz cuadrada de [[kappa].sup.2][y.sup.2]] - y[raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][x.sup.2]].

3 Elipse [kappa]-deformada

Sean [F.sub.1](-c, 0) y [F.sub.2](0, 0) dos puntos fijos y P(x, y) un punto arbitrario en el plano, di representara la distancia de P a [F.sub.1] y [d.sub.2] la distancia de P a [F.sub.2]. Haciendo el producto y diferencia de los cuadrados de las distancias [d.sub.1] y [d.sub.2] resulta

[d.sup.2.sub.1][d.sup.2.sub.2] = [([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2] = [([x.sup.2] + [y.sup.2]).sup.2] - 2[c.sup.2]([x.sup.2] - [y.sup.2]) + [c.sup.4], (2a)

[d.sup.2.sub.1] - [d.sup.2.sub.2] = 4cx, (2b)

si la expresion (2a) esta igualada al cuadrado de un valor fijo resulta la familia de Ovalos de Cassini. Considere la igualdad

[d.sub.1] [??] [d.sub.2] = 2a, (3)

donde a es una constante positiva con a > c y [??] es la suma [kappa]-deformada con 0 < [kappa] < 1. El conjunto de puntos P que satisfacen la igualdad (3) forma una figura plana que se llamara elipse [kappa]-deformada con eje mayor en el eje x. De acuerdo con la definicion de suma [kappa]-deformada (1), la igualdad (3) se escribe como [d.sub.1][raiz cuadrada de [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.2]] + [d.sub.2][raiz cuadrada de [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.1]] = 2a, aplicando operaciones algebraicas como se ilustra a continuacion

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.],

resulta la diferencia de los cuadrados [d.sup.2.sub.1] - [d.sup.2.sub.2] = 4[a.sup.2] - 4[ad.sub.2][raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.1]], mediante manipulaciones algebraicas y usando la igualdad hallada en (2b) se tiene que ex = [a.sup.2] - [ad.sub.2] + [raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.1]]. Con el proposito de encontrar una igualdad que dependa de las variables x y y, se reescribe la ecuacion como [ad.sub.2][raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.1]] = [a.sup.2] - cx, se eleva al cuadrado y opera segun el algebra, (considere la igualdad (2a)) para tener

([a.sup.2] - [c.sup.2])[x.sup.2] + [a.sup.2][y.sup.2] + [a.sup.2][[kappa].sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2]] = [a.sup.2]([a.sup.2] - [c.sup.2]). (4)

Sea [b.sup.2] = [a.sup.2] - [c.sup.2] por lo que b > O, entonces la expresion (4) se escribe como

[b.sup.2][x.sup.2] + [a.sup.2][y.sup.2] + [a.sup.2][lambda][[kappa].sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2]] = [a.sup.2][b.sup.2], (5)

dividiendo por [a.sup.2][b.sup.2] [desigual a] 0 se halla la ecuacion canonica de la elipse [kappa]-deformada

[x.sup.2]/[a.sup.2] + [y.sup.2]/[b.sup.2] + [[kappa].sup.2]/[b.sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2]] = 1. (6)

Esta elipse [kappa]-deformada presenta simetria respecto de los ejes coordenados y del origen. Si el eje mayor esta sobre el eje y, la ecuacion canonica tiene la forma

[x.sup.2]/[b.sup.2] + [y.sup.2]/[a.sup.2] + [[kappa].sup.2]/[b.sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][y.sup.2]] = 1. (7)

Las ecuaciones canonicas de la elipse [kappa]-deformada centrada en el origen (6) y (7) se pueden escribir como [A.sub.[kappa]][x.sup.4] + [A.sub.[kappa]][y.sup.4] + [B.sub.[kappa]][x.sup.2] + [C.sub.[kappa]][y.sup.2] + 2[A.sub.[kappa]][x.sup.2][y.sup.2] + [D.sub.k] = 0 donde [A.sub.[kappa]] = [a.sup.2][k.sup.2] > 0, [B.sub.[kappa]] = [b.sup.2] - 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] para el eje mayor en x, para eje mayor en y [B.sub.[kappa]] = [a.sup.2] - 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2], en los dos caso [B.sub.[kappa]] pueden ser negativo para valores adecuados de [kappa], [C.sub.[kappa]] = [a.sup.2](1 + 2[c.sup.2][[kappa].sup.2]) es positivo siempre y [D.sub.[kappa]] = [a.sup.2]([[kappa].sup.2][c.sup.4] - [b.sup.2]) puede tomar cualquier signo. Las traslaciones se hallan por medio de las transformaciones x = x' - h y y = y' - k siendo (h, k) el centro de esta conica. En el caso en [kappa] [flecha diestra] 0 la ecuacion (6) equivale a [x.sup.2]/[a.sup.2] + [y.sup.2]/[b.sup.2] = 1 que es la ecuacion canonica de la elipse con la suma usual. Se despeja ahora la variable y en terminos de x en la igualdad (5) vista como una ecuacion de cuarto grado en la variable y de la forma

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.], (8)

la cual es una ecuacion de segundo grado en la variable [y.sup.2] con discriminante [[DELTA].sub.e] = [a.sup.2](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])([a.sup.2] + 4[c.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.2]), y tiene por solucion

[y.sup.2] = -[a.sup.2](1 + 2[[kappa].sup.2]([x.sup.2] + [c.sup.2])) + [raiz cuadrada de (1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])([a.sup.2] + 4[c.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.2])]/2[a.sup.2] [[kappa].sup.2], (9)

se omite el signo menos puesto que [y.sup.2] debe ser no-negativo. Formas alternativas de escribir la igualdad (9) son

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.], (10)

2[a.sup.2][k.sup.2]([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]) = [raiz cuadrada de [[DELTA].sub.e]] - [a.sup.2]. (11)

El lado recto [rho] de la elipse [kappa]-deformada se halla cuando se sustituye x = [+ o -] c en la ecuacion (10), en tal caso se llega a la igualdad

[[rho].sup.2] = 2[b.sup.4]/[a.sup.2](1 + 4[c.sup.2][[kappa].sup.2]) + [raiz cuadrada de [a.sup.2](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])([a.sup.2] + 4[c.sup.4][[kappa].sup.2])]; (12)

si [kappa] [flecha diestra] 0 el lado recto de la elipse [kappa]-deformada tiende a [rho] = [+ o -] [b.sup.2]/a = 2[[b.sup.2]/a] que es el lado recto de la elipse usual (ver Tabla 1). Los vertices de esta conica [kappa]-deformada son los interceptos con los ejes, valores que determinan el dominio y el rango de esta relacion. Si x = 0 en la ecuacion (9) los interceptos con el eje y son

[y.sup.2] = -(1 + 2[[kappa].sup.2][c.sup.2]) + [raiz cuadrade de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]]/2[[kappa].sup.2]. (13)

Para los cortes con el eje x se soluciona la ecuacion de segundo grado [a.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.4] + ([b.sup.2] - 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2])[x.sup.2] + [a.sup.2]([c.sup.4][[kappa].sup.2] - [b.sup.2]) = 0 que se obtiene de hacer y = 0 en (8); dicha ecuacion tiene por solucion

[x.sup.2] = 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] - [b.sup.2] [+ o -] [b.sup.2] [raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]]/2[a.sup.2][[kappa].sup.2]. (14)

La elipse [kappa]-deformada tiene tiene cuatro puntos de corte con el eje x si 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] - [b.sup.2] > [b.sup.2] [raiz cuadrad de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]], la solucion respecto de [kappa] de la inecuacion es

[kappa] > b/[c.sup.2]. (15)

Luego, la elipse [kappa]-deformada tiene cuatro puntos de corte con el eje x si [kappa] > b/[c.sup.2] y ninguno en y; tres puntos de corte si [kappa] = b/[c.sup.2] (incluyendo el origen) y uno respecto del eje y; finalmente, dos puntos de corte cuando [kappa] < b/[c.sup.2] y otros dos en el eje y. Con los vertices respecto del eje x hallados en (14) y la distancia focal c se definen

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.]

que se llamaran excentricidad 1 y 2 respectivamente. Una forma alternativa de escribir estas igualdades es

[[epsilon].sub.e1]([kappa]) = [(1 + 2[b.sup.2]/[c.sup.2]([raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]] + 1)).sup.-1/2] y (16)

[[epsilon].sub.e2]([kappa]) = [(1 - 2[b.sup.2]/[c.sup.2]([raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]] - 1)).sup.-1/2], (17)

con estos resultados se tiene que [[epsilon].sub.e1] tiende a [epsilon] = c/a a medida que [kappa] [flecha diestra] 0; mientras que [[epsilon].sub.e2] tiene una asintota vertical para [kappa] = b/[c.sup.2] el grafico 2 se representan ambas excentricidades.

Para obtener los valores maximos y minimos de la elipse [kappa]-deformada se deriva implicitamente la igualdad (5) para tener

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.]

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.]. (18)

Por medio de la igualdad (11) se reescribe la primera derivada de la elipse [kappa]-deformada como y' = [[c.sup.2](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]) - [raiz cuadrada de [[DELTA].sub.e]]/[raiz cuadarada de [[DELTA].sub.e]]][x/y] donde, si [kappa] [flecha diestra] 0, entonces y' = ([c.sup.2] - [a.sup.2]/[a.sup.2])x/y = [[b.sup.2]/[a.sup.2]][x/y], que es la derivada de la elipse de forma usual. Los numeros criticos son

x = 0 y x = [+ o -][raiz cuadrada de [c.sup.4](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]) - [a.sup.4]]/2ac[kappa]. (19)

En el caso que [kappa] [flecha diestra] 0 solo x = 0 es un numero critico, ya que [raiz cuadrada de [c.sup.4] - [a.sup.4]] no existe en los reales ya que c < a, luego debe existe un valor de [kappa] [desigual a] 0 para el cual la elipse [kappa]-deformada solo tiene a x = 0 como numero critico, este valor se encuentra al resolver para [kappa] la inecuacion [c.sup.4](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]) - [a.sup.4] [mayor que o igual a] 0, cuya solucion es

[[kappa].sup.2] [mayor que o igual a] [b.sup.2]([a.sup.2] + [c.sup.2])/4[a.sup.2][c.sup.4]. (20)

Se concluye asi que la elipse [kappa]-deformada tiene tres numeros criticos si [kappa] satisface la desigualdad (20) y tiene un solo extremo si ocurre lo contrario.

En la Figura 3 se representan cuatro elipses [kappa]-deformadas, para cada una se eligio a = 3, 6 = 2 y por tanto c = [raiz cuadrada de 5], las elipses a graficar corresponden a los valores [kappa] = 0,5, [kappa] = 0,4, [kappa] = 0,3 y [kappa] = 0,1; el valor de [kappa] = 0,4 se elige ya que es el termino que satisface la desigualdad (15). Las lineas en rojo representan el lado recto que se determinan por medio de la igualdad (12), las lineas en azul son lo valores maximo y minimos, donde el valor de x se calculo con la igualdad (19), en el caso [kappa] = 0,1 solo a; = O es un numero critico de acuerdo con la expresion (20). A medida que [kappa] [flecha diestra] 0 se recupera la forma de la elipse con la suma usual, los vertices con el eje X tienden a [+ o -] 3 y con el eje y se aproximan a [+ o -] 2. Estas representaciones graficas son analogas a la familia de Ovalos de Cassini, solo que la grafica cuando [kappa] = 0,4 no es una Lemniscata.

3.1 Area de la elipse [kappa]-deformada

El proposito ahora es encontrar el area que encierra la elipse [kappa]-deformada, para ello es necesario parametrizar, sea x = r cos [theta] y y = r sin [theta], sustituyendo estos valores en la ecuacion (5) se escribe como

[a.sup.2][[kappa].sup.2][r.sup.4] + (A [cos.sup.2] [theta] + B [sin.sup.2] [theta])[r.sup.2] + ([a.sup.2][[kappa].sup.2][c.sup.4] - [a.sup.2][b.sup.2]), (21)

siendo A = [b.sup.2] - 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] = [B.sub.[kappa]] y B [a.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] = [C.sub.[kappa]], la ecuacion tiene por solucion

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.] (22)

donde C = B - A. El area que encierra la elipse [kappa]-deformada se analiza en dos casos, el primero cuando [kappa] = b/[c.sup.2] y el segundo para [kappa] [desigual a] b/[c.sup.2] los cuales se estudian de acuerdo con el valor obtenido en (15) que determinan las representaciones graficas en (3). Para la primera condicion la ecuacion (22) se escribe como [r.sup.2] = -[c.sup.4]/[a.sup.2][b.sup.2](A + C [sin.sup.2] [theta]) donde A, B y C toman la forma A = -[b.sup.2]/[c.sup.2]([a.sup.2] + [b.sup.2]), B = [a.sup.2]/[c.sup.2]([a.sup.2] + [b.sup.2]) y C = 1/[c.sup.2][([a.sup.2] + [b.sup.2]).sup.2] para este valor de [kappa]. Por simetria, el area es [EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.] siendo [[theta].sub.f] el angulo determinado en el primer cuadrante por la tangente en el polo (r = 0) y equivale a [[theta].sub.f] = arcsin ([raiz cuadrada de -A/C]) = arcsin ([raiz cuadrada de [b.sup.2]/[a.sup.2] + [b.sup.2]]). Con los resultados hallados el area se escribe como

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.], (23)

ya que sin ([[theta].sub.f]) = [raiz cuadrada de -A/C] = [raiz cuadrada de [b.sup.2]/[a.sup.2] + [b.sup.2]] entonces por identidades trigonometri cas se tiene eos ([[theta].sub.f]) = C + A/C La identidad del angulo doble permite rees cribir la ecuacion (23) como A = -[c.sup.4]/[a.sup.2][b.sup.2][(2A + C)[[theta].sub.f] - [raiz cuadrada de -AB]], que al sustituir los valores de A, y C en funcion de a, 6 y c, se concluye que el area encerrada por la elipse [kappa]-deformada para el caso en que [kappa] = b/[c.sup.2] es

A = [a.sup.4] - [b.sup.4]/[a.sup.2][b.sup.2][ab - ([a.sup.2] - [b.sup.2])arcsin([raiz cuadrada de [b.sup.2]/[a.sup.2] + [b.sup.2]])]. (24)

Se considera ahora el caso en que [kappa] [desigual a] b/[c.sup.2] En la ecuacion (22) se hace M = 4[a.sup.4][[kappa].sup.2]([[kappa].sup.2][c.sup.4] - [b.sup.2]) integral que describe el area esta definida para [theta] entre 0 y [pi]/2 como

A = [1/[a.sup.2][[kappa].sup.2]][[integral].sup.[pi]/2.sub.0][-(A + C [sin.sup.2] [theta]) + [raiz cuadrada de [(A + C [sin.sup.2] [theta]).sup.2] - M]d[theta]. (25)

La integral del primer sumando en (25) tiene por solucion -[pi]/4([a.sup.2] + [b.sup.2]), para el segundo sumando es necesario hacer uso de series para tener el resultado

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.] (26)

se concluye que el area de la elipse [kappa]-deformada es

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.] (27)

4 Circunferencia [kappa]-deformada

Si en la ecuacion (5) se hace a = 6 = r [desigual a] 0 el resultado es una circunferencia [kappa]-deformada centrada en (0, 0) y de radio r [desigual a] 0; como a = h entonces c = O y por tanto

[x.sup.2] + [y.sup.2] + [[kappa].sup.2][([x.sup.2] + [y.sub.2]).sup.2] = [r.sup.2], (28)

con la sustitucion

[z.sub.[kappa]] = [x.sup.2] + [y.sup.2], (29)

que equivale a un paraboloide circular en el sentido usual, la igualdad (28) se escribe como [z.sub.[kappa]] + [[kappa].sub.2][z.sup.2.sub.[kappa]] = [r.sup.2] cuya solucion es [z.sub.[kappa]] = [raiz cuadrada de 1 + 4[r.sup.2][[kappa].sup.2]] - 1/2[[kappa].sup.2], (29) resulta la ecuacion de una circunferencia [kappa]-deformada de radio [raiz cuadrada de [z.sub.[kappa]]] que se escribe como

[x.sup.2] + [y.sup.2] = [raiz cuadrada de 1 + 4[r.sup.2][[kappa].sup.2]] - 1/2[[kappa].sup.2]. (30)

En (30) se tiene un conjunto de circunferencias concentricas decrecientes, donde, a medida que [kappa] [flecha diestra] 0, [raiz cuadrada de [z.sup.[kappa]]] [flecha diestra] r que es el valor esperado, ya que la ecuacion (30) se escribe como [x.sup.2] + [y.sup.2] = [r.sup.2]; si [kappa] [flecha diestra] [1.sup.-] entonces el radio de esta circunferencia tiende a [raiz cuadrada de [raiz cuadrada de 1 + 4[r.sup.2]] - 1/2] ecuacion de esta circunferencia es de la forma [x.sup.2] + [y.sup.2] = [raiz cuadrada de 1 + 4[r.sup.2]] - 1/2. En el grafico 4 se hace r = 3 y se dibujan circunferencias [kappa]-deformadas para [kappa] = 0,9, [kappa] = 0,5, [kappa] = 0,3 y [kappa] = 0,1, las lineas discontinuas plantean los limites para [kappa] en cero y uno.

5 Parabola [kappa]-deformada

El concepto usual de parabola implica que la distancia de un punto P(x, y) a un punto fijo F{p, 0) llamado foco y a una recta fija [Laplace] con ecuacion cartesiana x = -p llamada directriz son iguales (asumiendo que el vertice esta en el origen), es por ello que d(P, F) = d(P, [Laplace]) de forma equivalente d(P, F) - d(P, [Laplace]) = 0. De acuerdo con este concepto se considera que la parabola [kappa]-deformada es el conjunto de puntos P(x, y) que satisfacen la igualdad

d(P, F) [??] d{P, [Laplace]) = 0 (31)

para 0 < [kappa] < 1. Por la definicion de diferencia [kappa]-deformada se tiene que [d.sup.2](P, F) (1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2](P, [Laplace])) = [d.sup.2](P, [Laplace])(1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2](P, F)), cancelando termi nos comunes resulta la igualdad d(P, F) = d(P, [Laplace]), es decir, la parabola [kappa]-deformada coincide con la parabola usual ya que no depende de [kappa].

6 Hiperbola [kappa]-deformada

En la misma via que se definio la elipse [kappa]-deformada, se define la hiperbola [kappa]-deformada como el conjunto de puntos P(x, y) tales que

[d.sub.1] [??] [d.sub.2] = 2a (32)

donde c es la distancia focal, a > 0, c > a y 0 < [kappa] < 1; en este caso se asume que la hiperbola tiene por eje transverso a x. Por medio de la definicion de la diferencia [kappa]-deformada, la igualdad (32) es equivalente a [d.sub.1][raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.2]] - [d.sup.2][raiz cuadrada de 1 + [[kappa].sup.2][d.sup.2.sub.1]] = 2a; la cual es posible reducir a la expresion ([c.sup.2] - [a.sup.2])[x.sup.2] - [a.sup.2][y.sup.2] = [a.sup.2]([c.sup.2] - [a.sup.2]) + [a.sup.2][[kappa].sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2]]; definiendo a [b.sup.2] como [c.sup.2] - [a.sup.2] y dividiendo luego por [a.sup.2][b.sup.2] [desigual a] 0 se obtiene la expresion

[x.sup.2]/[a.sup.2] - [y.sup.2]/[b.sup.2] - [[kappa].sup.2]/[b.sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2]] = 1, (33)

que corresponde a la ecuacion canonica de la hiperbola [kappa]-deformada centrada en (0,0). En caso que el eje transverso este sobre el eje y, la ecuacion es de la forma

[y.sup.2]/[a.sup.2] - [x.sup.2]/[b.sup.2] - [[kappa].sup.2]/[b.sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][y.sup.2]] = 1. (34)

Si [kappa] [flecha diestra] 0 en (33) resulta la igualdad [x.sup.2]/[a.sup.2] - [y.sup.2]/[b.sup.2] = 1 que es la ecuacion canonica de la hiperbola con la diferencia usual. La ecuacion canonica de la hiperbola [kappa]-deformada es equivalente a la ecuacion de cuarto grado

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.], (35)

cuyo discriminante [[DELTA].sub.h] esta dado por [[DELTA].sub.h] = [a.sup.2](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]) ([a.sup.2] + 4[c.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.2]), este valor es equivalente al discriminante para la elipse [kappa]-deformada y la solucion de la ecuacion (35) es

[y.sup.2] = -[a.sup.2](1 + 2[k.sup.2]([x.sup.2] + [c.sup.2])) + [raiz cuadrada de [a.sup.2](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])([a.sup.2] + 4[c.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.2])]/ 2[a.sup.2][[kappa].sup.2], (36) que coincide con la ecuacion para la elipse [kappa]-deformada (9), se diferencian las dos soluciones en el valor de la distancia focal c, [c.sup.2] = [a.sup.2] - [b.sup.2] para la elipse [kappa]-deformada y [c.sup.2] = [a.sup.2] + [b.sup.2] para la hiperbola [kappa]-deformada; es por ello que la ecuacion para el lado recto es la misma en ambas conicas [kappa]-deformadas (ver (12)). Para hallar los interceptos con el eje y, se hace x; = 0 en la ecuacion (36) para tener la ecuacion [y.sup.2] = -(1 + 2[[kappa].sup.2][c.sup.2]) + [raiz cuadrada de 1 + 4[[kappa].sup.2][a.sup.2]]/2[[kappa].sup.2], ya que 1 + 2[[kappa].sup.2][c.sup.2] > [raiz cuadrada de 1 + 4[[kappa].sup.2][a.sup.2]](c > a) entonces la hiperbola no corta al eje y (eje conjugado). Para los cortes con el eje x resulta la ecuacion [a.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.4] - ([b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2])[x.sup.2] + [a.sup.2]([c.sup.4][[kappa].sup.2] + [b.sup.2]) que tiene por solucion

[x.sup.2] = [b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] [+ o -] [raiz cuadrada de (1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])]/2[a.sup.2][[kappa].sup.2], (37)

independiente del valor de [kappa] [desigual a] 0, la hiperbola tendra cuatro interceptos con el eje x, esto es cierto debido que [b.sup.2] + 2[a.sup.2][[kappa].sup.2][c.sup.2] > [b.sup.2][raiz cuadrada de (1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])] es una desigualdad cierta para todo a, 6, c y [kappa]. Ademas, se sigue que la hiperbola [kappa]-deformada siempre sera cerrada y que al tener cuatro puntos de corte, [kappa] > b/[c.sup.2] y como las ecuaciones de la elipse e hiperbola [kappa]-deformada coinciden entonces el area encerrada por esta ultima tambien sera la expresion encontrada en (26), donde la diferencia de los resultado radica en el valor de la distancia focal c. Estos cuatro puntos de corte respecto al eje x se pueden hallar de forma alternativa como

[x.sup.2] = 2[a.sup.2]([c.sup.4][[kappa].sup.2] + [b.sup.2])/[b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] [+ o -] [raiz cuadrada de [b.sup.4](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2])], (38)

donde, si [kappa] [flecha diestra] 0 se obtiene que [x.sup.2] [flecha diestra] [a.sup.2] y [x.sup.2] [flecha diestra] [infinito], es por esto que la hiperbola usual tiene dos puntos de corte ([+ o -] a, 0). A partir de estos interceptos con el eje x se define las funciones [[epsilon].sub.h1] y [[epsilon].sub.h2] en terminos de [kappa] como [[epsilon].sub.h1]([kappa]) = c/[raiz cuadrada de [b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] - [b.sup.2][raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]]/ 2[a.sup.2][[kappa].sup.2]] y [[epsilon].sub.h2]([kappa]) = c/[raiz cuadrada de [b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] + [b.sup.2][raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]]/ 2[a.sup.2][[kappa].sup.2]], dichas funciones se llamaran excentricidad para la hiperbola [kappa]-deformada. De acuerdo con la representacion grafica (ver grafico 5) se puede concluir que [[epsilon].sub.h1]([kappa]) se acerca al termino c/a (excentricidad de la hiperbola usual) siempre que [kappa] [flecha diestra] 0; mientras que [[epsilon].sub.h2] se acerca a cero para este valor del parametro.

[[epsilon].sub.h1]([kappa]) = [(1 - 2[b.sup.2]/[c.sup.2]([raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]] + 1)).sup.-1/2] y

[[epsilon].sub.h2]([kappa]) = [(1 + 2[b.sup.2]/[c.sup.2]([raiz cuadrada de 1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]] - 1)).sup.-1/2]

Por medio de derivada implicita aplicada a la igualdad (35) es posible encontrar y' como

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.], (39)

se iguala a cero esta derivada, donde x = 0 es un numero critico que no se tiene en cuenta ya que la hiperbola [kappa]-deformada no pasa por el origen (ver (38)) Otros posibles numeros criticos se logran al solucionar la ecuacion 2[b.sup.2] + 4[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] - 4[a.sup.2][[kappa].sup.2][x.sup.2] - 4[a.sup.2][[kappa].sup.2][y.sup.2] = 0 que se puede escribir equivalentemente como [x.sup.2] + [y.sup.2] = [b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2]/2[a.sup.2][[kappa].sup.2] extremos relativos de la hiperbola /i-deformada resultan para los valores x = [+ o -] [raiz cuadrada de [c.sup.4](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]) - [a.sup.4]]/2ac[kappa] Resolviendo la inecuacion [c.sup.4](1 + 4[a.sup.2][[kappa].sup.2]) - [a.sup.4] [mayor que o igual a] 0 se llega a la desigualdad 4[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] [mayor que o igual a] -[b.sup.2]([a.sup.2] + [c.sup.2]) que siempre es cierta para cualquier valor de [kappa]; por tal motivo, la hiperbola [kappa]-deformada siempre tendra dos valores maximos y dos valores minimos.

Las asintotas de esta conica [kappa]-deformada resultan de resolver la ecuacion [x.sup.2]/[a.sup.2] - [y.sup.2]/[b.sup.2] - [[kappa].sup.2]/[b.sup.2][[([x.sup.2] + [y.sup.2] + [c.sup.2]).sup.2] - 4[c.sup.2][x.sup.2]] = 0 cuya solucion es

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII.], (40)

si [kappa] [flecha diestra] 0 en (40) se obtiene las rectas y = [+ o -] [b/a]x que son las asintotas de la hiperbola con la diferencia usual. Hallando los interceptos con los ejes de estas asintotas se encuentra que no cortan al eje y y los puntos de corte con x son de la forma [x.sup.2] = [b.sup.2] + 2[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2] [+ o -] [raiz cuadrada de [b.sup.2]([b.sup.2] + 4[a.sup.2][c.sup.2][[kappa].sup.2])]/2[a.sup.2][[kappa].sup.2]

Para las hiperbola de los graficos (6) y (7) se eligio a = 2, 6 = 3 logrando c = [raiz cuadrada de 13], los valores de [kappa] seleccionados en ese orden son [kappa] = 0,5 y [kappa] = 0,1. En ambos graficos se puede identificar el rectangulo de inspeccion (en la hiperbola usual, las asintotas pasan por los vertices opuestos de este rectangulo), asi como las asintotas que son las curvas punteadas que aparecen en la parte exterior, donde, a medida que [kappa] [flecha diestra] 0 se acercan al centro de esta conica deformada; independiente del valor de [kappa] seleccionado las hiperbolas [kappa]-deformadas tienen dos maximos y dos minimos y las curvas son cerradas, lo mismo que las asintotas.

7 Problemas abiertos

Un problema a considerar es el estudio de las secciones conicas por medio de la entropia relativa de Tsallis (q-deformacion) para la cual se define la suma como x [[suma directa].sub.q] y = x + y + (1 - q)xy (ver [13],[14],[15],[16]). Es necesario ahondar en el estudio de la longitud de arco para la elipse y la hiperbolas deformadas de acuerdo al indice [kappa] por medio de integrales elipticas. Asi mismo se pretende hacer el estudio de las propiedades opticas para rayos que son tangentes a estas conicas. Ya que las secciones conicas han servido de modelos para el movimiento planetario, se pretende indagar sobre planetas (en sistemas binarios) o cometas (trayectorias hiperbolicas) que puedan tener trayectorias analogas a las representaciones encontradas en los graficos 3, 6 y 7.

8 Conclusiones

Conceptos clasicos como circunferencia, parabola, elipse e hiperbola son generalizados al sustituir la suma o diferencia usuales por la suma o diferencia deformada en el sentido de Kaniadakis, la parabola permanecio invariante a esta transformacion. Para la elipse [kappa]-deformada se hallan tres casos posibles respecto del numero de interceptos dependiendo del termino b/[c.sup.2], se presenta la posibilidad de tres extremos (respecto del eje x) relativos o solo uno de acuerdo a la comparacion de [[kappa].sup.2] y [b.sup.2]([a.sup.2] + [c.sup.2])/4[a.sup.2][c.sup.4]. La hiperbola [kappa]-deformada siempre tiene cuatro interceptos con el eje x y ninguno con el eje y, las asintotas adoptan una forma similar a la de la hiperbola salvo que se acercan al origen a medida que [kappa] [flecha diestra] 0, a diferencia de la hiperbola usual es una figura cerrada y las asintotas no son rectas. La circunferencia [kappa]-deformada son trazas del paraboloide circular z = [x.sup.2] + [y.sup.2] para z entre [raiz cuadrada de [raiz cuadrada de 1 + 4[r.sup.2]] - 1/2] y r. Las areas de la elipse e hiperbola [kappa]-deformada se hallan con la misma expresion (27) la diferencia en los resultados radica en el valor de c.

doi: 10.17230/ingciencia.12.24.1

Recepcion: 13-05-2016 | Aceptacion: 12-09-2016 | En linea: 15-11-2016

MSC:00A05

Referencias

[1] A. Castellon Serrano, "Astronomia y Matematicas," Union, Revista Latinoamericana de Educacion Matematica, no. 20, pp. 113-116, 2009. [Online]. Available: http://goo.gl/ov3Dtl 10

[2] P. Costa Bujan, "Superficies conicas: Aplicacion a la arquitectura y el diseno [video]," 2014. [Online], Available: http://hdl.handle.net/2183/12666 10

[3] P. Ramirez Granados, "Elementos de cartografia matematica y su aplicacion en la elaboracion de las cartas geograficas," Revista Geografica de America Central, vol. 46, no. 1, pp. 15-36, 2011. [Online]. Available: http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/geografica/article/view/3290 10

[4] M. Gonzalez and G. Patino, "Metodo para obtener los elementos de las secciones conicas por medio de la derivacion implicita," TecnoLogicas, no. 19, pp. 87-118, 2007. [Online]. Available: http://itmojs.itm.edu.co/index.php/tecnologicas/article/view/305 10

[5] C. Lehmann, "Geometria Analitic a," Noviega Editores, 1995. 11

[6] M. Karatas, "A multi foci closed curve: Cassini oval, its properties and applications," Dogu[section] University Devgisi, vol. 2, no. 14, pp. 231-248, 2013. [Online]. Available: http://journal.dogus.edu.tr/index.php/duj/article/view/661 11

[7] G. Kaniadakis, "Statistical mechanics in the context of special relativity," The American Physical Society, Physical Review E, no. 66, pp. 1-17, 2002. [Online]. Available: https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.66.056125 11

[8]--, "Statistical mechanics in the context of special relativity II," The American Physical Society, Physical Review E, no. 72, pp. 1-14, 2005. [Online]. Available: https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.72.036108 11

[9] D. Deossa, "Sobre funciones exponenciales y logaritmicas deformadas segun Kaniadakis," p. 96, 2011. [Online]. Available: http://hdl.handle.net/10784/156 11

[10] J. C. Arango Parra, "Una variedad de informacion estadistica [kappa]-deformada," p. 121, 2012. [Online]. Available: http://hdl.handle.net/10784/1307 11

[11] H. Quiceno and J. C. Arango, "[kappa]-exponential Statistical Manifold Modeled on Orlicz Spaces," Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 2, no. 431, pp. 1080-1098, 2015. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.05.065 11

[12] J. Ramirez and Y. Hernandez, "La matriz [kappa]-exponencial y soluciones de algunos sistemas de ecuaciones diferenciales," Tesis de Maestria, Universidad Eafit, p. 82, 2014. [Online]. Available: http://hdl.handle.net/10784/8108 11

[13] C. Tsallis, "Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics," Journal of Statistical Physics, vol. 52, no. 1, pp. 479-487, 1988. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1007/BF01016429 27

[14] G. Loaiza and H. Quiceno, "A q-exponential statistical Banach Manifold," Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 2, no. 398, pp. 466-476, 2013. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1016/S0378-4371(02)01018-X 27

[15] J. Naudts, "Deformed exponentials and logarithms in generalized thermostatics," Physica A. Statistical Mechanics and its Applications, vol. 1-4, no. 316, pp. 323-334, 2002. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1016/S0378-4371(02)01018-X 27

[16] H. Quiceno Echavarria, "Variedad de informacion estadistica q-exponencial," p. 73, 2010. [Online]. Available: http://hdl.handle.net/10784/153 27

Juan Carlos Arango Parra (1), Hector Roman Quiceno Echavarria (2) y Osiris Plata Lobo (3)

(1) Universidad Eafit, jarang53@eafit.edu.co, ORCID:http://orcid.org/0000.0002-8862-7478, Medellin, Colombia.

(2) Instituto tecnologico metropolitano, romanquiceno@gmail.com, ORCID:http://orcid.org/0000.0003-4399-823X Medellin, Colombia.

(3) Universidad de Antioquia, osiris.platalobo@gmail.com, ORCID:http://orcid.org/0000.0003-4882-8088 Medellin, Colombia.

Leyenda: Figura 1: Suma [kappa]-deformada para [kappa] = 0,9, [kappa] = 0,25 y [kappa] = 0.

Leyenda: Figura 2: Excentricidad de las elipses [kappa]-deformadas.

Leyenda: Figura 3: Elipses [kappa]-deformadas.

Leyenda: Figura 4: Circunferencias [kappa]-deformadas.

Leyenda: Figura 5: Excentricidad de las hiperbolas [kappa]-deformadas.

Leyenda: Figura 6: Hiperbola [kappa]-deformada con [kappa] = 0,5.

Leyenda: Figura 7: Hiperbola [kappa]-deformada con [kappa] = 0,1.
Tabla 1: Elementos de algunas secciones conicas usuales.

Conica                    Elipse                   Hiperbola

Ecuacion           [x.sup.2]/[a.sup.2] +     [x.sup.2]/[a.sup.2] -
                  [y.sup.2]/[b.sup.2] = 1   [y.sup.2]/[b.sup.2] = 1
Distancia Focal   [c.sup.2] = [a.sup.2] -   [c.sup.2] = [a.sup.2] +
                         [b.sup.2]                 [b.sup.2]
Vertices              ([+ o -] a, 0)            ([+ o -] a, 0)
                      ([+ o -] b, 0)
Excentricidad              e < 1                     e > 1
Asintotas o       x = [+ o -] [a.sup.2]/c     y = [+ o -] [b/a]x
  directriz
Lado recto        [rho] = 2[[b.sup.2]/a]    [rho] = 2[[b.sup.2]/a]

Conica               Parabola

Ecuacion          [y.sup.2] = 4px

Distancia Focal      p (p, 0)

Vertices              (0, 0)

Excentricidad          e = 1
Asintotas o           x = -p
  directriz
Lado recto        [rho] = 4[valor
                  absoluto de p]
COPYRIGHT 2016 Universidad EAFIT
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2016 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

 
Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Arango Parra, Juan Carlos; Quiceno Echavarria, Hector Roman; Plata Lobo, Osiris
Publication:Ingenieria y Ciencia
Article Type:Ensayo
Date:Jul 1, 2016
Words:6691
Previous Article:Diseno hardware de la transformada wavelet discreta: un analisis de complejidad, precision y frecuencia de operacion.
Next Article:Diseno de un modelo basado en agentes para estudiar el impacto de la cohesion social y la victimizacion en el comportamiento de un criminal.
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2018 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters