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Relaciones implicativas entre las estrategias empleadas en la resolucion de situaciones lineales y no lineales.

IMPLICATIVE RELATIONS BETWEEN STRATEGIES USED IN SOLVING PROPORTIONAL AND NON-PROPORTIONAL PROBLEMS

1. INTRODUCCION

Durante anos se ha demostrado que el razonamiento proporcional es extremadamente util en la interpretacion de fenomenos reales debido a que muchos aspectos de nuestra vida operan de acuerdo con esta estructura (Van Dooren, De Bock, Janssens & Verschaffel, 2008). De hecho, el razonamiento proporcional ha sido descrito como la consolidacion del conocimiento aritmetico en la escuela primaria y la cimentacion de conceptos posteriores en la escuela secundaria (Karplus, Pulos & Stage, 1983; Lesh, Post & Behr, 1988). En este contexto, el concepto de razon como una funcion de un par ordenado de numeros o de valores de una magnitud (Freudenthal, 1983) y el concepto de proporcion como una igualdad entre dos razones, son dos ideas fundamentales en el razonamiento proporcional. Se distinguen dos tipos de razones en base a la relacion entre las cantidades. Por una parte, cuando se construye la relacion multiplicativa entre dos elementos de la misma magnitud se denomina razon interna o escalar, y cuando se forman entre cantidades de magnitudes diferentes se denominan razones externas o funcionales. Por ejemplo, en el problema: "5 kilos de patatas cuestan 2 euros, ?cuanto costaran 8 kilos de patatas?", la razon funcional vendria dada por la relacion entre kilos y euros, mientras que la razon escalar serian las relaciones euros-euros o kilos-kilos. En las situaciones lineales, las razones internas son iguales [a/b = f(a)/f(b)] y las razones externas es una constante [f(x)/x - k, para cualquier x]. A esta constante se le conoce con el nombre de constante de proporcionalidad. Vergnaud (1983) caracterizo este tipo de situaciones usando la idea de espacios de medida (en nuestro ejemplo, euros y kilos) y la idea de transformaciones internas y externas entre las variables-medida (Karplus et al., 1983; Modestou & Gagatsis, 2010). En esta investigacion denominamos "problemas lineales" a las situaciones organizadas con la idea de razon y proporcion.

Investigaciones recientes han mostrado que estudiantes de diferentes edades que resolvian situaciones lineales utilizando relaciones multiplicativas adecuadas tambien solian utilizar dichas relaciones en situaciones en las que no era adecuado su uso (De Bock, Van Dooren, Janssens & Verschaffel, 2002, 2007; De Bock, Verschaffel & Janssens, 1998; Ebersbach, Van Dooren, Goudriaan & Verschaffel, 2010; Fernandez & Llinares, en prensa; Fernandez, Llinares, Van Dooren, De Bock & Verschaffel, 2011; Modestou & Gagatsis, 2007; Van Dooren, De Bock, Evers & Verschaffel, 2009; Van Dooren, De Bock, Hessels, Jansscns & Verschaffel, 2005). Este hecho ha puesto de manifiesto que el uso de estrategias correctas en la resolucion de problemas lineales no conlleva necesariamente que los estudiantes puedan diferenciar los problemas lineales de los no lineales y puedan resolver adecuadamente las situaciones no lineales.

Por otra parte, las investigaciones han senalado que los estudiantes tambien suelen emplear estrategias erroneas en la resolucion de los problemas lineales como calcular la diferencia entre las cantidades dadas y emplearla en el calculo de la cantidad desconocida (estrategia aditiva) (Fernandez & Llinares, 2011; Fernandez, Llinares, Modestou & Gagatsis, 2010; Fernandez, Llinares, Van Dooren, De Bock & Verschaffel, 2010; Hart, 1981; Misailidou & Williams, 2003; Tourniairc & Pulos, 1985). Por ejemplo en el siguiente problema lineal "En una fabrica de produccion de tornillos dos maquinas fueron puestas en marcha al mismo tiempo, pero la maquina A es mas lenta que la maquina B. Cuando la maquina A produce 600 tornillos, la maquina B produce 1200 tornillos. Cuando la maquina A haya producido 2400 tornillos, ?cuantos tornillos habra producido la maquina B?". La estrategia aditiva incorrecta seria: "como la diferencia entre los tornillos producidos por las dos maquinas es 1200-600 = 600, entonces la maquina B habra producido 2400 + 600 = 3000 tornillos". En este sentido, decidir cuando un problema esta o no organizado por la idea de razon y proporcion es esencial para el desarrollo del razonamiento proporcional y ha empezado a ser considerado una caracteristica del desarrollo del razonamiento proporcional (Modestou & Gagatsis, 2009-a; Modestou & Gagatsis, 2010).

En particular, un ambito de interes relevante para comprender mejor el desarrollo del razonamiento proporcional es identificar las caracteristicas del comportamiento complementario en cuanto al uso no adecuado de relaciones multiplicativas en situaciones no lineales, y el uso no adecuado de relaciones no multiplicativas (por ejemplo, relaciones aditivas) en situaciones lineales. Es decir, la habilidad para resolver problemas lineales y la habilidad para diferenciarlos de los problemas no lineales. En este sentido, investigaciones previas han aportado analisis descriptivos de las estrategias usadas por los estudiantes en los diferentes tipos de problemas lineales (de valor perdido [donde tres datos son dados y se tiene que calcular el cuarto dato que es desconocido] como el problema lineal anterior, de comparacion numerica [donde las razones son dadas y estas deben ser comparadas] y de comparacion cualitativa [una comparacion es necesaria pero esta no depende de valores numericos especificos]) (Alatorre & Figueras, 2005; Christou & Philippou, 2002; Cramer & Post, 1993; Hart, 1984; Lamon, 1993; Misailidou & Williams, 2003; Tourniaire & Pulos, 1985) y han establecido niveles jerarquicos en el desarrollo de las ideas de razon y proporcion (Misailidou & Williams, 2003; Tourniaire & Pulos, 1985). Sin embargo es necesario tener mas informacion sobre las posibles relaciones entre los comportamientos de los estudiantes ante situaciones lineales y no lineales considerando diferentes componentes del razonamiento proporcional con el objetivo de intentar comprender mejor las caracteristicas del desarrollo del razonamiento proporcional.

2. RAZONAMIENTO PROPORCIONAL

2.1. Componentes del razonamiento proporcional

Un aspecto relevante en el desarrollo del sentido numerico en los estudiantes de educacion primaria y secundaria es la generacion de relaciones significativas entre el pensamiento aditivo y multiplicativo (Lesh et al., 1988) y, en particular, la idea de que el modelo de la suma repetida para la multiplicacion es incompleto y que es necesario un cambio cualitativo para complementar la relacion entre el pensamiento aditivo y multiplicativo (Fernandez & Llinares, 2011; Resnick & Singer, 1993; Van Dooren, De Bock & Verschaffel, 2010). Vinculado a este necesario cambio cualitativo esta el desarrollo de la idea de covariacion y de multiples comparaciones que constituye el razonamiento proporcional (Lesh et al., 1988). Por tanto, el significado de la relacion entre dos cantidades A y B parece ser una cuestion clave en la discriminacion de las situaciones lineales de las no lineales. Por otra parte el desarrollo de la capacidad de discriminar estas situaciones parece que esta inicialmente vinculado a un pequeno contexto de problemas y que gradualmente se amplia no siendo una cuestion de todo o nada (Gagatsis, Modestou, Elia, & Spanoudes, 2009; Lesh et al., 1989; Modestou & Gagatsis, 2009-b). Este desarrollo tiene que ver con la manera en la que los estudiantes dotan de sentido a las relaciones que se pueden establecer entre dos cantidades en una situacion determinada. En este ambito Modestou & Gagatsis (2009-a) han propuesto y testado un modelo de razonamiento proporcional (Figura 1) que asume que el razonamiento proporcional puede ser descrito mediante tres componentes que denominan razonamiento analogico, proporcionalidad y consciencia meta-analogica.

[FIGURA 1 OMITIR]

La componente "proporcionalidad" en este modelo representa la competencia en resolver problemas lineales incluyendo el reconocimiento de las relaciones de segundo orden que implica establecer una relacion de equivalencia entre dos razones. Modestou y Gagatsis denominan a esta componente "routine proportionality" y se refiere a la habilidad de construir y algebraicamente resolver proporciones que implica la identificacion de las relaciones de segundo orden (relacion de equivalencia entre dos razones). Para apoyar la existencia de esta componente Modestou y Gagatsis indican siguiendo, a Piaget y Inhelder, que la existencia de una relacion entre dos relaciones y el reconocimiento de esta similitud estructural es una caracteristica esencial de la proporcionalidad. El modelo del razonamiento proporcional propuesto incluye tambien el reconocimiento y manejo de situaciones no lineales (que denominan consciencia meta-analogica), asi como la competencia en resolver analogias numericas y verbales (razonamiento analogico). Como consecuencia, un aspecto fundamental del razonamiento proporcional se vincula al exito en analizar las relaciones entre cantidades en una situacion dada para establecer si existe o no una relacion proporcional. De manera consecuente, la tendencia de los estudiantes a usar el modelo lineal en problemas para los cuales no es adecuado esta inevitablemente conectada a la ausencia del reconocimiento de una situacion lineal y por tanto a deficiencias en el desarrollo del razonamiento proporcional. Modestou y Gagatsis (2009-a) incluyen esta competencia considerando la componente "consciencia meta-analogica" que se refiere al reconocimiento de situaciones que parecen lineales pero que no lo son y a la distincion de las situaciones que si son lineales. Por ejemplo, la tarea de determinar si la situacion "Un grupo de 5 musicos interpretan una pieza musical en 10 minutos. Otro grupo de 35 musicos interpretaran la misma pieza musical manana. ?Cuanto tiempo tardaran en interpretarla? ?Por que?" es o no lineal es un item que pertenece a este aspecto del razonamiento proporcional.

2.2. Estrategias correctas e incorrectas seguidas por los estudiantes en los problemas lineales

Considerando como los estudiantes usan las relaciones entre las cantidades, las investigaciones han identificado diferentes estrategias seguidas por los estudiantes cuando resuelven problemas lineales de valor perdido (Christou & Philippou, 2002; Cramer & Post, 1993; Lamon, 1993; Tourniaire & Pulos, 1985). Estas estrategias son el enfoque escalar, si se centra en el uso de la razon interna; el enfoque funcional, si se centra en el uso de la razon externa; el uso de la razon unitaria; la estrategia constructiva que se caracteriza porque los estudiantes usan diferentes relaciones entre las cantidades para construir la razon y el algoritmo de productos cruzados (regla de tres) en el que el estudiante aplica un algoritmo en el que se colocan las 4 cantidades (3 conocidas y una desconocida) en forma de proporcion (como igualdad de dos fracciones) y se aplica la aritmetica de las fracciones para averiguar el dato desconocido (multiplicar en cruz y despejar la x).

El modelo de razonamiento proporcional propuesto por Modestou y Gagatsis, (2009-a) permite tener en cuenta como los estudiantes interpretan la relacion entre las cantidades en cada situacion lineal y no lineal a traves de las caracteristicas de las estrategias empleadas. Desde esta perspectiva, la manera en la que las estrategias correctas e incorrectas utilizadas por los estudiantes en las situaciones lineales y no lineales se relacionan puede aportar informacion sobre como los estudiantes aprenden a discriminar situaciones lineales de las que no lo son. Este hecho nos llevo a considerar un analisis de las estrategias usadas por los estudiantes que nos permitiera identificar las relaciones que se pueden establecer entre el uso de diferentes estrategias en las situaciones lineales y no lineales. Ademas, es necesario tener informacion mas sistematica sobre que aspectos de las situaciones lineales y no lineales determinan el uso de estrategias correctas e incorrectas por los estudiantes. Esta informacion es relevante para determinar precursores en el desarrollo del razonamiento proporcional.

En este sentido, el proposito de este estudio es aportar informacion sobre como los estudiantes de 12-13 anos identifican las situaciones lineales y no lineales. Para ello, esta investigacion se centra en analizar las relaciones implicativas entre las estrategias usadas por los estudiantes al inicio de la educacion secundaria en problemas lineales y no lineales. Las preguntas de investigacion son:

--?Que relaciones implicativas existen entre las estrategias usadas por los estudiantes de educacion secundaria (12-13 anos) al resolver problemas lineales y problemas no lineales?

--?Que aspectos influyen en el reconocimiento por parte de los estudiantes de ambas situaciones?

3. Metodo

3.1. Participantes y contexto

Los participantes en este estudio fueron 136 estudiantes del primer curso de educacion secundaria (12-13 anos) de cuatro centros diferentes con un numero similar en cuanto al genero. Los centros estan situados en diferentes ciudades donde la mayoria de la poblacion activa se dedica a los sectores de la industria y servicios.

En el primer ano de educacion secundaria el curriculo relativo a la razon y proporcion se centra en identificar situaciones lineales en contextos de descuentos y de calculo de porcentajes y en reconocer situaciones no lineales. Ademas, los estudiantes se inician en el calculo de cantidades desconocidas mediante el uso de tablas de series de numeros proporcionales y mediante el uso de relaciones multiplicativas, inicialmente, basadas en el doble, triple, mitad ... entre cantidades de la misma magnitud y, posteriormente, en la identificacion de la constante de proporcionalidad y en la introduccion del algoritmo de la regla de tres.

3.2. Instrumentos y procedimiento

Se diseno un cuestionario de siete problemas formado por cinco situaciones lineales y dos situaciones no lineales. Entre los problemas lineales habia tres problemas de valor perdido, un problema de comparacion numerica y un problema de comparacion cualitativa. Los problemas no lineales correspondian a situaciones que reflejaban la funcion constante f(x) = a, [desigual a] 0 y la funcion f(x) = x+b, b [desigual a] 0 que Van Dooren et al. (2005) denominaron "situacion aditiva" ya que la estrategia correcta para su resolucion se apoya en la identificacion de relaciones aditivas entre las cantidades. La Tabla I muestra los problemas empleados en el cuestionario.

Los problemas fueron seleccionados teniendo en cuenta el modelo del razonamiento proporcional que subraya el papel relevante que desempena el discriminar situaciones lineales de las que no lo son. Usamos problemas empleados en otras investigaciones porque habian sido buenos predictores tanto en el campo del desarrollo del razonamiento proporcional como en la identificacion del uso abusivo de las relaciones lineales en situaciones no adecuadas.

Los estudiantes resolvieron los siete problemas en su clase habitual de matematicas. El formato de presentacion del cuestionario consistia en un cuaderno compuesto por ocho folios. Cada problema estaba en una pagina diferente. En un primer cuadro se les presentaba el enunciado del problema y en un segundo cuadro los estudiantes debian realizar los calculos y justificarlos. Podian utilizar calculadoras, pero se indico que escribieran las operaciones en el cuadro correspondiente. En la primera pagina se les pedia que pusieran sus datos y se les proporcionaba una serie de instrucciones.

3.3. Analisis

Los datos fueron analizados en dos fases. En la primera fase se siguio un proceso inductivo (Strauss & Corbin, 1994) y, para cada una de las tareas, se analizo el proceso de resolucion seguido por cada estudiante con el proposito de identificar el tipo de estrategia correcta e incorrecta empleada en cada problema. Para ello, un grupo de tres investigadores analizo una muestra de respuestas a los diferentes problemas para generar descriptores de las estrategias que parecian estar utilizando los estudiantes en cada tipo de problema. Los descriptores generados para cada problema se fueron refinando al analizar nuevas respuestas. Este proceso se repitio para cada uno de los problemas y, finalmente, se consideraron las estrategias de todos los problemas en conjunto para ver si habia solapamiento entre ellas. Las estrategias fueron agrupadas inicialmente como correctas (CS) e incorrectas (IS). Despues asignamos una letra "a", "b", ... a cada estrategia identificada y el numero del problema donde se empleaba (Tabla II). Por ejemplo, el uso correcto del algoritmo de la regla de tres en el problema 5 era codificado mediante CSc5. Finalmente denominamos "otras" a las estrategias incorrectas no asignadas en algunas de las categorias anteriores y las respuestas en blanco. La descripcion de las estrategias identificadas se realizara en el apartado de resultados. La segunda fase del analisis tenia como objetivo identificar las relaciones entre las estrategias usadas por los estudiantes en cada tipo de problema. Este objetivo respondia a la idea de intentar aportar informacion sobre la complementariedad entre dos componentes del modelo del razonamiento proporcional propuesto por Modestou y Gagatsis (2009-a), en particular, la componente "proporcionalidad" y la componente "consciencia meta-analogica". La informacion sobre como los estudiantes construyen las relaciones entre estas dos componentes del modelo de razonamiento proporcional procede, en este caso, de la identificacion de las relaciones entre la resolucion de problemas lineales, el reconocimiento de los problemas lineales y no lineales, y la resolucion de situaciones no lineales. Para poder obtener este tipo de informacion necesitabamos realizar un analisis que permitiera identificar las relaciones entre las estrategias usadas por un estudiante en cada tipo de problema.

Para este fin realizamos un analisis estadistico implicativo de las estrategias mediante el software CHIC (Classification Hierarchique Implicative et Cohesitive) (Gras, Suzuki, Guillet & Spagnolo, 2008). Para realizar este analisis, se codifico con un 1 el uso de una estrategia particular en un problema dado y con un 0 si el alumno no usaba esa estrategia en el problema. El analisis implicativo cruza siempre un conjunto de variables V y un conjunto de sujetos E. En nuestro caso, al ser variables binarias, se quiere dar sentido estadistico a expresiones tales como: "cuando se observa en un sujeto de E la variable a, en general se observa la variable b". Se trata por tanto de estudiar un modelo estadistico de una cuasi-implicacion del tipo: "si a entonces b". En terminos conjuntistas, si A y B representan las poblaciones respectivas, donde las variables a y b toman el valor 1 (si es verdadero) entonces equivale a medir la inclusion no estricta de A en B (Trigueros & Escandon, 2008). En este analisis, la implicacion es admisible si el numero de individuos de la muestra que la contradicen es muy pequeno en terminos probabilisticos, en relacion con el numero de individuos esperado bajo la hipotesis de ausencia de relacion.

En nuestro estudio la poblacion son los estudiantes de secundaria y las variables son las estrategias empleadas en los diferentes problemas. Las relaciones implicativas entre las estrategias nos indican en que medida el uso de una estrategia A en un problema Z esta relacionado con el uso de una estrategia B en un problema T con una determinada probabilidad. La medida de esta relacion nos permite identificar como se esta construyendo el desarrollo del razonamiento proporcional en relacion a la componente "proporcionalidad " y a la "consciencia meta-analogica". En este caso, el analisis genera una grafica jerarquica, en la que los distintos niveles identifican las implicaciones (e.g. "a" entonces "b") que se forman. Las estructuras generadas por el analisis implicativo no son transitivas pero permiten identificar que dos elementos se unen a traves de una implicacion haciendo emerger una primera estructura conceptual entre los diferentes elementos de las componentes del modelo de razonamiento proporcional. Las implicaciones permiten dar cuenta de las estructuras conceptuales que los alumnos han construido al relacionar la estrategia usada por un alumno en un tipo de problema con la estrategia usada por el mismo alumno en otro problema y dando cuenta por tanto de la relacion entre la "componente meta-analogica" y la habilidad de resolver los problemas lineales ("proporcionalidad") del modelo. En este sentido el analisis implicativo proporciona informacion acerca de las caracteristicas de la estructura multiplicativa de los problemas lineales identificadas por los estudiantes y que determinan el uso particular de una estrategia determinada y la identificacion de las relaciones entre las cantidades en las situaciones no lineales.

4. RESULTADOS

4.1. Estrategias correctas e incorrectas: Como los estudiantes tienen en cuenta las relaciones entre las cantidades en las situaciones lineales y no lineales

En este apartado describimos las estrategias usadas por los estudiantes en los diferentes problemas mostrando como los estudiantes tienen en cuenta las relaciones entre las cantidades (Tabla II; las celdas sombreadas indican que la estrategia no es aplicable). En los problemas lineales de valor perdido los estudiantes emplearon tres tipos de estrategias correctas: la identificacion y uso de las razones (escalar o funcional), estrategia constructiva y el algoritmo de la regla de tres.

La estrategia 'identificacion y uso de las razones entre cantidades" (CSa) se basa en el reconocimiento por parte de los estudiantes de la igualdad de razones escalares o de la constante de proporcionalidad (la k en el modelo f(x) = kx) y su uso pertinente para realizar la accion que le pide el problema (calcular una cantidad desconocida o comparar). Esta estrategia es correcta en los problemas de valor perdido, en el problema de comparacion numerica y en el problema de comparacion cualitativa. Por ejemplo, empleando la razon funcional en el problema Pia los estudiantes buscan la razon unitaria "un kilo de patatas cuesta 0.4 [euro]/kg (la constante de proporcionalidad). Puesto que se necesita saber el precio de 8 kg, 8x0.4 = 3.2[euro]". Por otro lado, si empican la razon escalar: "La relacion entre los kilos de patatas que se tienen y los que se desean comprar es 8/5 (razon escalar), puesto que el precio de 5kg es 2[euro], por 8 kg se pagara (8/5)x2" En el caso del problema P6 de comparacion numerica, el estudiante identifica las razones escalares o funcionales (las razones funcionales serian 100Km/yOmin y 120Km/ 105min) y realiza su comparacion. En esta investigacion estas dos estrategias (uso de la razon escalar o uso de la razon funcional) han sido colocadas en la misma categoria ya que, inicialmente, nuestro objetivo era identificar las relaciones implicativas entre las estrategias que se apoyaban en el reconocimiento de las relaciones correctas entre las cantidades.

La "estrategia constructiva" (CSb) adopta diferentes manifestaciones que se apoyan en la identificacion y uso de las dos propiedades de las situaciones lineales, la constante de proporcionalidad (f(x)/x = k, para todo x) y la conservacion de razones escalares. Estas dos propiedades se ponen de manifiesto en el uso del homomorfismo aditivo (f(a) + f(b) = f(a + b)).

Por ejemplo, el estudiante que calcula el precio de un kilo de patatas (reduccion a la unidad, razon funcional, 2/5 = 0.4). A continuacion usa este valor para obtener el precio de 3 kilos. Despues, haciendo uso de la conservacion de razones escalares, como el precio de 5 kilos de patatas es 2 euros (enunciado) y como ha obtenido que el precio de 3 kilos de patatas es 1'2 euros, entonces 8 kilos de patatas costara 3.2 euros, usando para ello el homomorfismo aditivo:

5 kg valen 2 [euro]

3 kg valen 1.2 [euro]

entonces

5kg + 3kg valen 2 [euro]+1.2 [euro]

Finalmente, se identifico el uso del "algoritmo de la regla de tres" (CSc) que consiste en plantear una proporcion y multiplicar en cruz y despues dividir. En el problema P1a, esta estrategia vendria dada mediante el planteamiento de la igualdad 5/8 = 2/x, y la realizacion de las siguientes operaciones: "8x2 = 16 y despues 16/5 = 3.2 [euro]".

En relacion al uso de las estrategias incorrectas empleadas en los problemas lineales de valor perdido y de comparacion, estas fueron agrupadas en 4 categorias: confusion de las relaciones entre las cantidades (ISa), estrategia constructiva erronea (TSb), identificacion correcta de la razon pero uso incorrecto (ISc) y la estrategia aditiva (establer relaciones aditivas erroneas entre las cantidades en vez de relaciones multiplicativas (ISd)).

La estrategia incorrecta mas empleada por los estudiantes fue el uso de estrategias aditivas (ISd). En el problema P5 (botes de pintura) la estrategia aditiva consistio en establecer la diferencia entre el numero de botes usados por Marta y el numero de botes usados por Sofia (6 - 3 = 3). Por tanto, los botes de pintura roja que necesitara Sofia son 7+3 = 10 botes. De la misma manera, en los problemas lineales de comparacion (problemas 3 y 6) esta estrategia consistia en usar relaciones aditivas entre las cantidades en vez de relaciones multiplicativas.

La estrategia "confusion de la relacion entre magnitudes" (ISa) se caracteriza por la confusion del significado de la razon y/o el planteamiento de una regla de tres incorrecta (regla de tres cruzadas), que pone de manifiesto la dificultad de los estudiantes para identificar correctamente la relacion entre las cantidades de las magnitudes. En la "estrategia constructiva erronea" (ISb) los estudiantes emplean el homomorfismo aditivo (f(a+b) = f(a)+f(b)) pero realizan una aproximacion erronea. Algunas de las estrategias constructivas erroneas son combinaciones de estrategias aditivas y multiplicativas (Misailidou & Williams, 2003). Por ejemplo, apoyandose en la relacion 5 Kg-2[euro] dada en el enunciado del problema P1, un alumno construyo otra segunda relacion usando la idea de "doble" en las relaciones escalares lo que le permite decir que 10 Kg seran 4 [euro]. Sin embargo como el problema le pregunta por 8 kg (apartado Pia) parece que no es capaz de "alcanzar" 8kg mediante el procedimiento de doblar. Como consecuencia, realiza una aproximacion cualitativa que se apoya en cierto reconocimiento de las relaciones aditivas escalares (2kg seran algo asi como 0.56, por lo tanto 8kg seran 3.5 [euro]). Por ultimo, en la estrategia "identificacion de la razon y uso incorrecto" los estudiantes identifican correctamente la razon tanto en las situaciones de comparacion como en las de calculo, pero no la usan adecuadamente o tienen dificultades en desarrollar una comparacion de las razones obtenidas.

En relacion a las dos situaciones no lineales P4 y P7 los estudiantes las reconocieron de manera desigual. La situacion de los musicos (P4) fue reconocida por un 41% de los estudiantes y la situacion de la carrera de atletismo (P7) por el 60%. Sin embargo, lo que es relevante en la situacion de los musicos es la evidencia que proporciona respecto a la relacion entre las componentes "proporcionalidad" y "consciencia meta-analogica" del modelo del razonamiento proporcional. En este problema del 59% de los estudiantes que no identificaron esta situacion como no lineal, la mitad de ellos usaron relaciones multiplicativas, es decir usaron la linealidad en una situacion no lineal (33% del total). En la situacion de la carrera del atletismo, los datos son similares, el 40% de los estudiantes no consideraron la situacion como no lineal, y de estos un 42.5% aplicaron estrategias lineales para su resolucion (es decir el 17% de la muestra). Estos datos apoyan la idea del uso abusivo de la linealidad en situaciones no adecuadas en los estudiantes de 12-13 anos, indicando que estos estudiantes no reconocen los limites de la aplicacion de la linealidad, dependiendo este reconocimiento del tipo de situacion no lineal (f(x) = a o /(%) = x + 10), y por tanto dan apoyo empirico a la consideracion de la componente "consciencia meta-analogica" en el modelo del razonamiento proporcional.

4.2. Relaciones implicativas entre las estrategias

Para realizar el analisis implicativo de las estrategias consideramos como variables las estrategias correctas e incorrectas usadas por los estudiantes en cada uno de los problemas. El analisis implicativo, al 90% de significacion, muestra tres estructuras implicativas (Figura 2) que agrupan a 15 de las variables estrategia-problema. Cada una de estas estructuras implicativas agrupa a un numero diferente de variables mostrando tres ideas relevantes para entender el modelo del razonamiento proporcional: el uso del algoritmo de la regla de tres en los problemas lineales de valor perdido no conlleva el que los estudiantes puedan identificar las situaciones no lineales; la relevancia de la identificacion de las razones (escalar o funcional) entre las cantidades en discriminar las situaciones lineales y no lineales y la relacion existente entre el uso de relaciones aditivas entre las cantidades en vez de relaciones multiplicativas (la estrategia aditiva erronea) en problemas de valor perdido y la identificacion de la situacion no lineal de estructura aditiva (f(x) = x + 10).

[FIGURA 2 OMITIR]

La primera estructura implicativa en la Figura 2 relaciona nueve variables, tres de las cuales muestran estrategias incorrectas relativas al uso de procesos constructivos (ISb) y al uso de relaciones aditivas en vez de multiplicativas (estrategias aditivas, ISd) y seis son estrategias correctas que no incluyen el uso del algoritmo. En la configuracion de esta estructura implicativa desempena un papel relevante la identificacion por parte de los estudiantes de las situaciones no lineales (situacion de la banda de musica, CSd4, y la carrera de atletismo, CSd7) ya que de alguna u otra manera agrupan al resto de las variables. Esta idea parece mostrar la existencia de diferentes precursores en la identificacion de una situacion no lineal de estructura constante (CSd4). Estos precursores son la identificacion y uso de las razones entre las cantidades en los problemas lineales de valor perdido (CSalb, CSala y CSa5), y en las situaciones de comparacion numerica (CSa6). Estos distintos precursores indican que si el estudiante es capaz de identificar y usar las razones en los distintos problemas lineales de comparacion o de calculo tambien identificara la situacion no lineal de tipo constante.

Ademas, las relaciones que emergen muestran la existencia de un precursor en la identificacion de la situacion aditiva de la carrera de atletismo (CSd7); El uso de estrategias constructivas y aditivas erroneas en las situaciones de razon y proporcion en las que hay que calcular un dato (ISbla, y ISd5). Esta implicacion muestra que la capacidad de los estudiantes para trabajar con las propiedades de la estructura lineal (proporcional), f(a + b) = f(a)+f(b) y f (na) = nf (a) en situaciones lineales apoya su capacidad para reconocer la situacion no lineal f(x) = x + 10, mostrando de esta manera el necesario desarrollo de la comprension de dichas relaciones como paso previo al uso del algoritmo y por tanto el inicio de la relacion entre la componente "consciencia meta-analogica" y la componente "proporcionalidad" en el desarrollo del razonamiento proporcional.

Finalmente existe una relacion implicativa entre la identificacion y resolucion correcta de la situacion no lineal de estructura aditiva (CSd7) y el uso de estrategias aditivas incorrectas en el problema lineal en el contexto de mezcla (ISd5). Esta relacion es interesante ya que la estrategia aditiva es correcta en la situacion no lineal de tipo/(x) = x + 10, pero es una estrategia incorrecta en las situaciones lineales. Veamos las caracteristicas de esta implicacion con un ejemplo. El estudiante A 18 empleo una estrategia aditiva en la situacion no lineal P7 (carrera, f(x) = x + 10) al indicar que "Victor dara 40 vueltas porque se llevan 10 vueltas de ventaja". Esta estrategia es correcta en esta situacion no lineal. Sin embargo, este mismo estudiante tambien empleo esta estrategia (ahora incorrecta) en la situacion lineal en el contexto de mezcla (P5) "como la diferencia entre el numero de botes de pintura amarilla y de pintura roja de Marta es 3 (6 - 3 = 3), entonces Sofia necesitara 3 botes mas de roja lo que hace un total de 10 botes". En esta resolucion este estudiante aplica una relacion aditiva entre las cantidades (botes de pintura azul y botes de pintura roja).

La segunda estructura implicativa muestra la relacion entre el uso de una estrategia constructiva en una situacion lineal de valor perdido (CSbla) y la identificacion de las razones y su comparacion en un problema de comparacion cualitativa (CSa3). Este resultado indica que los estudiantes antes de emplear estrategias constructivas para resolver problemas lineales de valor perdido, son capaces de emplear estrategias cualitativas y, por tanto, resolver con exito el problema de comparacion cualitativa.

Para finalizar, la ultima estructura implicativa relaciona cuatro variables, tres de ellas relativas al uso del algoritmo de la regla de tres en situaciones lineales de valor perdido (CSc1a, CSc1b, CSc5) y la otra referente al uso incorrecto de relaciones de proporcionalidad (ISe4) en la situacion de no linealidad constante. Las relaciones implicativas entre estas variables indican que algunos estudiantes que aplican el algoritmo correctamente en situaciones lineales tambien lo usan pero ahora de manera incorrecta en la situacion no lineal P4 del concierto (f(x) = 10). Para ejemplificar estas relaciones veamos la resolucion seguida por uno de los estudiantes en algunos de estos problemas. El estudiante C3 (Figura 3) emplea el algoritmo de la regla de tres para dar respuesta al problema lineal de valor perdido en un contexto de compra (P1a y P1b) y al problema lineal en un contexto de pintura (P5). Sin embargo, tambien usa una estrategia proporcional (en este caso emplea una regla de tres) en la situacion no lineal de estructura constante (f(x) = a, situacion del concierto). Es decir, el uso del algoritmo de la regla de tres en los estudiantes de primero de educacion secundaria no conlleva la necesaria capacidad de identificar la situacion no lineal.

[FIGURA 3 OMITIR]

5. DISCUSION

El presente estudio investiga como los estudiantes identifican y usan las relaciones entre las cantidades en las situaciones lineales y no lineales y proporciona informacion sobre que aspectos de las estrategias usadas pueden ser considerados precursores del desarrollo del razonamiento proporcional. Esta informacion aporta evidencias que apoyan el modelo de razonamiento proporcional propuesto por Modestou y Gagatsis (2009-a) en el sentido de indicar como las componentes "proporcional" y "consciencia meta-analogica" empiezan a relacionarse. En este estudio liemos descrito las estrategias usadas por los estudiantes cuando resuelven problemas lineales de valor perdido, problemas de comparacion y problemas no lineales (f(x) = a, y f(x) = x+b, b [desigual a] 0) y nos hemos centrado en como los estudiantes identifican y usan las relaciones multiplicativas entre las cantidades al desarrollar sus estrategias. Los resultados obtenidos justifican la emergencia en el modelo del razonamiento proporcional de la habilidad en discriminar si una situacion es proporcional o no como un aspecto constituyente de este razonamiento.

La categorizacion de las estrategias correctas e incorrectas usadas por los estudiantes en los problemas lineales y no lineales muestra la complementariedad entre las estrategias correctas que se apoyan en la identificacion y uso de la razon en las situaciones lineales de valor perdido y las estrategias constructivas apoyadas en las propiedades de la linealidad. De esta manera, cuando el estudiante tiene dificultades en dotar de significado a la razon entre las cantidades genera estrategias constructivas. Por otra parte, cabe destacar el alto porcentaje de estudiantes que emplean estrategias aditivas apoyadas en la identificacion y uso de relaciones aditivas incorrectas entre las cantidades para determinar el valor de la cantidad desconocida y los altos porcentajes de la categoria "Otras" indicando las dificultades que tienen los estudiantes en el primer curso de educacion secundaria para identificar correctamente las relaciones entre las cantidades. Estos resultados van en la linea de lo obtenido en otras investigaciones centradas sobre este aspecto particular del razonamiento proporciona] (Hart, 1984; Misailidou & Williams, 2003). Por otra parte, el uso abusivo de las relaciones de proporcionalidad en situaciones en las que no es adecuado es otra manifestacion de esta dificultad (Eberbach et al., 2010; Fernandez & Llinares, en prensa; Van Dooren et al., 2005, 2009) c indica el papel que desempena la componente "consciencia meta-analogica" -- ser capaces de reconocer problemas lineales y no lineales y de resolverlos -- en el desarrollo del razonamiento proporcional.

De manera particular y en relacion a la capacidad de los estudiantes en diferenciar las situaciones lineales y no lineales (como elementos de la componente "consciencia meta-analogica" del modelo de razonamiento proporcional), los resultados indican que esta capacidad depende de cual es la estructura de la situacion no lineal. En nuestra investigacion los estudiantes de 12-13 anos identificaron con mayor facilidad la situacion de estructura aditiva (f(x) = ax+b, b [desigual a] 0, a = 1; f(x) = x + 10) que la de estructura constante (f(x) = a, a [desigual a] 0; f(x) = 10). Este resultado podria ser explicado por el hecho de que la frase "Pero Ana empezo a correr mas tarde que Victor" podria facilitar el reconocimiento de la situacion no lineal de tipo aditivo. Sin embargo, cuando los estudiantes no reconocian la situacion no lineal, la mitad de estos empleaban razones y proporciones para resolverla.

Finalmente, las relaciones implicativas entre las estrategias usadas por los estudiantes han agrupado los problemas segun han sido resueltos por los estudiantes y nos han mostrado tres ideas que nos ayudan a comprender mejor el desarrollo del razonamiento proporcional al incorporar la consciencia meta-analogica como una componente relevante. Estas ideas son: (i) la importancia de la identificacion y uso de la razon en el desarrollo de la capacidad de diferenciar las situaciones lineales de las no lineales, (ii) la identificacion de precursores en el desarrollo del razonamiento proporcional, y (iii) que la resolucion con exito de una situacion lineal a traves del algoritmo de la regla de tres no es condicion suficiente para suponer el desarrollo del razonamiento proporcional en los estudiantes.

Las relaciones implicativas entre las estrategias han puesto de manifiesto la importancia de la identificacion de las situaciones no lineales, pero tambien el hecho de que las diferentes situaciones no lineales (constante, aditivo) son reconocidas de manera diferente. Asi, por una parte se han agrupado las estrategias apoyadas en la identificacion y uso de la razon como precursor de la situacion constante, mientras que por otra, los precursores de la situacion aditiva son la propia situacion constante y las estrategias aditivas incorrectas aplicadas en las situaciones lineales. Ademas, las implicaciones identificadas indican que la comparacion cualitativa es un precursor de las comparaciones cuantitativas en la constitucion de la idea de razon y proporcion como objetos mentales. Esta evidencia apoya las indicaciones desde el analisis fenomenologico (Freudenthal, 1983) y el desarrollo de la idea de razon y proporcion en estudiantes de educacion primaria (Fernandez, 2009). Por otra parte, el uso de la regla de tres en los problemas lineales de valor perdido no implica necesariamente la capacidad para identificar las situaciones no lineales lo que proporciona apoyo empirico al modelo de razonamiento proporcional propuesto por Modestou y Gagatsis (2009-a). Asi pues, parece que es importante la identificacion de las razones en las situaciones lineales (comparacion y valor perdido) para identificar la situacion no lineal constante. Centrar la atencion de los estudiantes en la idea de razon implica dotar de sentido a la covariacion y a la idea de multiples comparaciones (Lesh et al., 1898). Una manera de desarrollar esta aproximacion es usar en la ensenanza tablas de cantidades proporcionales (Lamon, 2007) que permita a los estudiantes centrarse en dotar de sentido a la relacion entre dos cantidades sobre la que se basa la idea de covariacion (percibir algunas razones y compararlas) generando discusiones sobre diferentes soluciones. Solo a traves del significado de la idea de covariacion y de relacion entre dos cantidades los estudiantes podran estar en mejores condiciones de discriminar adecuadamente las situaciones lineales de las no lineales y por tanto empezar a desarrollar la componente de "consciencia meta-analogica". La importancia de las caracteristicas que debe adoptar la ensenanza en este dominio matematico radica en que las evidencias de las investigaciones indican que la ensenanza puede desempenar un papel activo en su desarrollo no siendo una cuestion solo de madurez biologica.

Ademas, nuestros datos indican que la no identificacion de la situacion aditiva, se relaciona con la no identificacion de la razon en las situaciones lineales. Este hecho se debe a que el estudiante, cuando no identifica la razon mayoritariamente va a buscar y usar las relaciones aditivas entre las cantidades. Luego la constitucion de los significados de las ideas de razon y proporcion se ha mostrado clave en la identificacion de las razones, convirtiendose de esta manera en un precursor en el desarrollo de la identificacion de la relacion de segundo orden constitutiva del razonamiento proporcional y por tanto clave en el desarrollo de la componente "proporcionalidad" en el desarrollo de razonamiento proporcional.

Las estructuras implicativas identificadas en el analisis realizado describen ciertas relaciones entre la comprension conceptual de las situaciones lineales y no lineales por parte de los estudiantes y por tanto en el proceso de constitucion de la idea de razon y proporcion poniendo de manifiesto relaciones entre el desarrollo de las componentes "proporcionalidad" y "consciencia meta-analogica". La informacion reunida y las relaciones identificadas y descritas anteriormente pueden ser utiles para la organizacion del contenido en la ensenanza y la planificacion de secuencias de actividades dirigidas a desarrollar estas dos componentes del razonamiento proporcional. Por ejemplo, es necesario una intervencion mas sistematica teniendo en cuenta la relacion multiplicativa entre las cantidades, dando una especial atencion al uso de las razones (Lamon, 2007) puesto que incrementa la capacidad de los estudiantes en reconocer las situaciones lineales y no lineales. Desde nuestros resultados, si los estudiantes tuviesen en cuenta la covarianza entre las cantidades y la invarianza de las razones, seria posible que ellos identificaran la relacion multiplicativa en las situaciones proporcionales, aportando argumentos para su justificacion.

Sin embargo, debemos reconocer que llegar a conseguir estos objetivos no es una tarea facil (Miyakawa & Winslow, 2009; Modestou, Elia, Gagatsis & Spanoudis, 2008; Van Dooren, De Bock, Weyers & Verschaffel, 2004). Pero, la identificacion de las relaciones implicativas entre las estrategias en las diferentes situaciones proporcionan informacion sobre como las secuencias de ensenanza podrian ser organizadas considerando que las estrategias constructivas, centradas en la identificacion de la covarianza de las cantidades y la invariancia de las razones, pueden permitir a los estudiantes hacer explicitas las propiedades del modelo lineal y reconocer cuando estas propiedades no existen o no son aplicables mediante el desarrollo de la consciencia meta-analogica.

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Cencida Fernandez. Universidad de Alicante, Espana, ceneida.fernandez@ua.es

Salvador Llinares. Universidad de Alicante. Espana, sllinares@ua.es
TABLA 1
Tipologia y caracteristicas de los problemas usados en el cuestionario

Situaciones lineales

Valor perdido    Razon               1. En una fruteria 5 Kg de
                 funcional no        patatas cuestan 2 euros.
                 entera (2/5) y
                                     1.a. Si quieres comprar 8 kg
                 Razon escalar       de patatas ?Cuanto tendras que
                 no entera (8/5)     pagar?

                                     1 .b. ?Cuantos kg de patatas
                                     tendras con 5 euros?

                 Razon               5. Marta y Sofia quieren
                 funcional           pintar sus habitaciones
                 entera (6/3)        exactamente del mismo color.
                                     Marta usa 3 botes de pintura
                 Razon escalar       amarilla y 6 botes de pintura
                 no entera (7/3)     roja. Sofia ha usado 7 botes
                                     de pintara amarilla, ?cuantos
                                     botes de pintura roja
                                     necesitara? Explica tu
                                     respuesta (Misailidou &
                                     Williams, 2003).

Comparacion                          3. Hoy, Sara ha mezclado menos
cualitativa                          cacao con mas leche que ayer.
                                     La leche tendra un sabor: a)
                                     mas fuerte a cacao, b) mas
                                     suave a cacao, c) exactamente
                                     el mismo sabor, d) No hay
                                     suficiente informacion para
                                     contestar a la pregunta.
                                     Explica tu respuesta (Version
                                     modificada, Cramer & Post,
                                     1993).

Comparacion      Razones             6. ?Que vehiculo tiene una
numerica         funcionales no      velocidad media mayor, un
                 enteras             camion que recorre 100 km. en
                 Razones             1 1/2 horas o un coche que
                 escalares no        recorre 120 Km. en 1 3/4
                 enteras             horas? Explica tu respuesta
                                     (Version modificada, Lamon,
                                     1999).

Situaciones no lineales

Constante        f(x) = a,           4. Un grupo de 5 musicos
                 a [desigual a] 0    interpretan una pieza musical
                 f(x) = 10           en 10 minutos. Otro grupo de
                                     35 musicos interpretaran la
                                     misma pieza musical manana.
                                     ?Cuanto tiempo tardaran en
                                     interpretarla? ?Por que'? (Van
                                     Dooren et al., 2005).

Aditiva          f(x) = ax+b,        7. Victor y Ana estan
                 b [desigual a] 0,   corriendo a la misma velocidad
                 a = 1               en una pista de atletismo. Ana
                 f(x) = x + 10       empezo a correr mas tarde que
                                     Victor. Cuando Ana habra
                                     recorrido 5 vueltas, Victor ya
                                     habia recorrido 15. Si Ana ha
                                     recorrido 30 vueltas ?cuantas
                                     vueltas habra recorrido
                                     Victor? Explica tu respuesta
                                     (Van Dooren et al., 2005).

TABLA II
Porcentaje del uso de las estrategias correctas e incorrectas en
cada problema

                                      Lineales-Valor
                                         perdido

Estrategias correctas              P1a     P1b     P5

CSa: Identificacion y uso de       31      12      21
las razones entre cantidades

CSb: Estrategia constructiva        7      15      --

CSc: Algoritmo (regla de tres)     14      14       4

CSd: Identificacion de la
situacion no lineal

% Total                            52      41      25

Estrategias incorrectas

ISa: Confusion de relaciones        4       2      --
entre cantidades

ISb: Estrategia constructiva        4       1      --
erronea

ISc: Identificacion de la          --      --       3
razon. Uso incorrecto

ISd: Estrategia aditiva: uso
de relaciones aditivas entre       --      --      53
las cantidades en vez de
relaciones multiplicativas

ISe: Uso de la linealidad en
situaciones no lineales

% Total                             8       3      56

Otras                              40      56      19

                                    Lineales       No lineales
                                   Comparacion

Estrategias correctas              P3      P6      P4      P7

CSa: Identificacion y uso de       37       9
las razones entre cantidades

CSb: Estrategia constructiva       --      --

CSc: Algoritmo (regla de tres)     --      --

CSd: Identificacion de la                          41      60
situacion no lineal

% Total                            37       9      41      60

Estrategias incorrectas

ISa: Confusion de relaciones       --       4
entre cantidades

ISb: Estrategia constructiva       --      --
erronea

ISc: Identificacion de la           1      --
razon. Uso incorrecto

ISd: Estrategia aditiva: uso
de relaciones aditivas entre       47      26
las cantidades en vez de
relaciones multiplicativas

ISe: Uso de la linealidad en                       33      17
situaciones no lineales

% Total                            48      30      33      17

Otras                              15      61      26      23
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Author:Fernandez, Ceneida; Llinares, Salvador
Publication:Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa
Date:Mar 1, 2012
Words:9013
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