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Recuperando la perdida de movilidad en manipuladores seriales por medio de la teoria de tornillos.

Resumen

Un manipulador serial se encuentra en una configuracion singular cuando su organo terminal es incapaz de moverse con una velocidad arbitraria dentro del espacio de trabajo. Esta situacion es en general indeseable y debe evitarse o eliminarse. La primera opcion es facil de realizar aunque conlleva una reduccion del espacio de trabajo. La mayoria de los manipuladores deben ser capaces de operar en configuraciones singulares. Si la singularidad es inevitable, es necesario implementar un procedimiento que permita eliminar la singularidad en que se encuentra el manipulador serial para tratar de recuperar su completa movilidad. En este trabajo se muestra como el producto de Lie, una operacion fundamental del algebra de Lie que es isomorfica con el algebra de tornillos, permite identificar los tornillos asociados a los pares cinematicos del manipulador, responsables de provocar la singularidad. A diferencia de otros procedimientos reportados en la literatura, el aqui empleado es aplicable a manipuladores que pierden mas de un grado de libertad.

1. INTRODUCCION

Un manipulador serial redundante posee mas grados de libertad que los estrictamente necesarios para colocar su organo terminal dentro del espacio de trabajo. Gracias a los citados grados de libertad excedentes que conforman la conocida redundancia del manipulador, este posee una alta capacidad de ser manipulable y en consecuencia es capaz de ejecutar trayectorias mas sofisticadas que las realizables con un manipulador no redundante.

El analisis de velocidad directo, dado un conjunto de velocidades generalizadas, consiste en determinar cual es el efecto final sobre el organo terminal. Por su parte, el analisis de velocidad inverso, suponiendo las condiciones de velocidad sobre el organo terminal, consiste en determinar cuales deben ser las velocidades generalizadas necesarias para satisfacer las condiciones de velocidad impuestas al organo terminal.

Una singularidad ocurre cuando el organo terminal de un manipulador serial es incapaz de moverse con una velocidad arbitraria dentro del espacio de trabajo. Esta situacion conduce a una solucion fisicamente irrealizable del analisis de velocidad inverso.

Tradicionalmente, el analisis de singularidades, las llamadas "pesadillas cinematicas" por Hollerbach, se ha estudiado extensamente, igualando a cero el determinante de la matriz Jacobiana. No obstante, debido a que la matriz Jacobiana de un manipulador redundante no es cuadrada, el calculo de su determinante no tiene sentido.

A continuacion, se resumen algunas contribuciones que abordan el tema de las singularidades en manipuladores seriales redundantes.

Baker y Wampler II (1988) desarrollaron un procedimiento basado en conceptos de topologia matematica para analizar singularidades en manipuladores seriales redundantes que se componen exclusivamente de pares prismaticos o de "revoluta". El mismo Wampler II (1988) aplico dichos conceptos en la determinacion de las trayectorias factibles que permitan al manipulador abandonar la singularidad en que se encuentra. Ramdane-Cherif et al. (1996) resuelven el analisis de velocidad inverso mediante redes neuronales y de esta manera, analizan la redundancia del manipulador.

Sin duda, la teoria de tornillos infinitesimales es una alternativa confiable que permite de una forma sistematica y exacta explicar la naturaleza fisica de las singularidades.

Lipkin y Duffy (1985) mostraron que una singularidad esta presente cuando la "cilindroide", generada entre dos tornillos coaxiales, degenera en una linea.

Cuando el determinante de una matriz es cero, condicion necesaria para la existencia de la singularidad en manipuladores seriales no redundantes, existe dependencia lineal entre las columnas que la componen. Esta situacion permite ubicar como una primera aproximacion los posibles elementos que provocan la singularidad. Chevallier (1995) desarrollo un algoritmo basado en el algebra de Lie para probar la dependencia lineal en conjuntos de tornillos. Podhorodeski et al. (1993) investigo la perdida de movilidad en manipuladores redundantes agrupando los tornillos asociados a los pares cinematicos del manipulador linealmente dependientes.

Es interesante mencionar que, si bien es cierto, existe una cantidad bastante respetable de contribuciones que tratan el problema de las singularidades en temas como la identificacion y la caracterizacion de singularidades, sorprendentemente, el tema de escape de singularidades ha llamado poco la atencion.

El primer estudio formal que trata del tema del escape de singularidades se debe a Hunt (1986), quien recurrio a la matriz de cofactores de la matriz Jacobiana y a la teoria de sistemas de tornillos para detectar la singularidad y al tornillo responsable de causarla. Cuando un manipulador serial no redundante pierde un grado de libertad, el rango de la correspondiente matriz Jacobiana es 5, por lo tanto se tienen cinco tornillos linealmente independientes con un tornillo reciproco comun. Hunt (1986) determino que en una configuracion singular, el tornillo que es linealmente dependiente, no interviene en la determinacion del tornillo que es reciproco. Un resultado similar fue reportado previamente por Sugimoto et al. (1982).

Parikian (1996) empleo los determinantes de la matriz Jacobiana y la matriz Gramiana para determinar la proximidad de singularidades en manipuladores seriales no redundantes. La combinacion de los gradientes de esas matrices provee informacion para liberar al manipulador de la singularidad en que se encuentra. En ese mismo ano, Karger (1996) utilizo el algebra de Lie para describir las posibles configuraciones singulares en manipuladores seriales no redundantes.

En un trabajo previo Rico et al. (1995) introdujeron un metodo para identificar a los tomillos que provocan dicha singularidad, dado un manipulador serial no redundante en una configuracion singular. A diferencia de los procedimientos anteriormente mencionados, en particular el de Hunt (1986). El metodo propuesto por Rico et al. (1995) es aplicable a manipuladores no redundantes que pierden mas de un grado de libertad, tarea que se considera ademas de compleja, extremadamente laboriosa.

En este trabajo se extiende el metodo introducido por Rico et al. (1995), aplicable en manipuladores seriales no redundantes a los manipuladores seriales redundantes.

2. CONCEPTOS PRELIMINARES

Supongamos dos cuerpos rigidos que

(1) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

se encuentran conectados por medio de un par helicoidal $. En coordenadas de Plucker, se representa en terminos de una componente primaria s y una componente dual [s.sub.O] de la siguiente manera:

Donde s es un vector unitario a lo largo del eje instantaneo del par helicoidal, mientras que [s.sub.O] es el momento producido por un punto arbitrario O, fijo a uno de los dos cuerpos, el cual se determina en terminos del paso h del tornillo como

(2) SO = hS + SO x r

Donde r es un vector que se inicia en un punto del eje instantaneo del tornillo que conecta a los dos cuerpos y termina en el punto O, mientras que x representa al producto cruz usual del algebra vectorial tridimensional.

A principios del siglo pasado Ball (1 900) definio el estado de velocidad de un cuerpo rigido cuando se observa desde otro cuerpo o sistema de referencia, como el arreglo de una componente primaria [omega] y una componente dual vO de la siguiente manera:

(3) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Donde m y vO son los vectores velocidad angular y velocidad de un punto O fijo al cuerpo rigido, como se observan desde el sistema de referencia seleccionado.

El mismo Ball (1 900) definio el estado de velocidad como un giro infinitesimal sobre un tornillo, asi el estado de velocidad, ecuacion (3), puede reescribirse como:

(4) V = [omega]$

Se sabe que en un manipulador serial el estado de velocidad del organo terminal, cuerpo m, con respecto al eslabon base, cuerpo 0, puede escribirse como una combinacion lineal de los tornillos infinitesimales asociados a los pares cinematicos que conforman al manipulador como

(5) [omega]1$1 + [omega]2$2 + ... + [omega]m-1$m + [omega]m$m = [sup.0][V.sup.m]

donde [omega]i representa el cambio instantaneo de velocidad relativo entre dos cuerpos adyacentes.

Por lo tanto, reescribiendo en forma matricial la ecuacion (5), el analisis de velocidad directo se resuelve mediante la expresion:

(6) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Por su parte, el analisis de velocidad inverso se resuelve mediante:

(7) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Donde J es la matriz Jacobiana que se forma por el subespacio generado por los tonillos $ 1, $ 2, ..., $ m-1 y $ m.

Cuando la matriz Jacobiana es singuiar, el manipulador serial se encuentra en una configuracion singular; sin embargo, es evidente que para el analisis de velocidad inverso, si la matriz Jacobiana no es cuadrada, el calculo de su inversa carece de sentido. Por lo tanto, es necesario recurrir a un procedimiento alterno que permita detectar las posibles singularidades.

Yoshikawa (1 985) definio al indice de manipulabilidad [omega] como:

(8) [omega] = [raiz cuadrada de J [J.sup.T]]

Donde T denota la transpuesta de la matriz. Es evidente que en una configuracion singular el indice de manipulabilidad es nulo.

Una vez que la singularidad se ha detectado, es necesario identificar el tornillo o tornillos infinitesimales causantes de la singularidad a fin de que el manipulador recupere su movilidad. En el trabajo de Rico et al. (1 995) se muestra que el producto de Lie, una operacion fundamental del algebra de Lie, es una herramienta eficaz para identificar los tornillos responsables de provocar singularidades en manipuladores seriales no redundantes.

Sean $1=(s1,sO1) y $2=(s2,sO2) dos elementos del algebra de Lie (3). El producto de Lie, [$1 $2] se define como:

(9) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Por su parte, Hausner y Schwartz (1968) definen el producto de Lie en terminos de desplazamientos Euclidianos:

(10) [$1 $2] = d/dt [{m1(t)$2[m1[(t).sup.-1]]}.sub.t=0]

Donde $1 es un vector tangente al desplazamiento Euclidiano m1(t) en el tiempo t=0.

Puesto que para remover una singularidad en un manipulador serial es necesario que la trayectoria sea ortogonal y tangente a la direccion de la singularidad, por simple inspeccion de las expresiones (9) y (10) se deduce que el producto de Lie posee las caracteristicas necesarias para tratar de efectuar un escape de la configuracion singular en que se encuentra el manipulador.

2. FUNDAMENTOS DEL METODO

Esta seccion se inicia con una definicion formal del concepto de singularidad en manipuladores seriales, este concepto puede analizarse desde diferentes perspectivas, todas ellas validas e igualmente utiles.

Los siguientes conceptos son equivalentes:

* Un manipulador serial se encuentra en una configuracion singular.

* El analisis de velocidad inverso requiere de una solucion fisicamente imposible de realizar.

* El indice de manipulabilidad [omega] es cero.

* Si el manipulador serial es no redundante, el determinante de la matriz Jacobiana es cero o equivalentemente, las columnas de la matriz Jacobiana son linealmente dependientes.

Puesto que los manipuladores seriales no redundantes son casos particulares de los manipuladores seriales redundantes, es evidente que un procedimiento que permita eliminar singularidades en estos ultimos tambien sera valido para los primeros.

Consideremos un manipulador serial redundante, en el que el cuerpo designado como 0 es el eslabon base y el cuerpo designado como m es el organo terminal.

Sea S={$1, $2 ..., $m-1, $m}, al conjunto S se le denomina conjunto ordenado de tornillos. En particular, el tornillo $1 es el que conecta el eslabon base con la cadena serial movil y el tornillo $m es el que conecta el organo terminal con el resto de la cadena serial.

Sea SS = {$j, ..., $k} un subconjunto de S, con k>j y j [mayor que o igual a] 1, k [menor que o igual a] m. Si los elementos de SS son adyacentes, entonces SS es un subconjunto ordenado de S, que se denota como SOS.

Puesto que la dimension maxima del conjunto ordenado de tomillos S es 6, el conjunto S se divide en varios subconjuntos ordenados cuya cardinalidad maxima es de 6.

Se dice que el i-esimo subconjunto ordenado de S, SOS(i), es un subconjunto ordenado singular de S, SSOS(i), si:

(11) dim[Sos(i)] [menor que o igual a] k - j

Adicionalmente, la diferencia (k-j+1)-dim[SOS(i)] se conoce como los grados de libertad que ha perdido el subconjunto ordenado.

Un subconjunto ordenado singular es un subconjunto ordenado singular minimo SOSM(i), si el subconjunto ordenado singular pierde como maximo un grado de libertad y si su cardinalidad es la menor posible para provocar este grado de libertad perdido. A fin de identificar los tornillos que son linealmente independientes dentro del subconjunto ordenado singular minimo, es necesario determinar los subconjuntos de este que son singulares, sin necesidad de ser ordenados. Un subconjunto singular de un subconjunto ordenado singular minimo, es un subconjunto singular minimo SSM(i) si este pierde como maximo un grado de libertad y su cardinalidad es la menor posible para provocar la singularidad.

Es razonable suponer que en una configuracion singular, el subconjunto ordenado singular minimo contiene al tornillo causante de por lo menos una singularidad. Por lo tanto, analizando los diferentes subconjuntos de un subconjunto ordenado singular minimo y su dimension, es posible identificar al tornillo asociado a la singularidad. Es importante mencionar que en este punto no es necesario que los elementos de un subconjunto del subconjunto ordenado singular minimo sean adyacentes.

En Rico et al. (1 995) se introducen las condiciones necesarias para eliminar la dependencia lineal en el conjunto ordenado de tornillos, estas se resumen y en su caso se adecuan al presente trabajo.

Sea S el conjunto ordenado de tomillos de un manipulador serial que se encuentra en una configuracion singular:

* En Waldron et al. (1 985) se indica que los tornillos extremos $1 y $m no afectan las posiciones relativas entre los restantes tornillos, por lo tanto, cualquier desplazamiento alrededor de estos no puede sacar al manipulador serial de la singularidad en que se encuentra ni pueden ser descartados de inmediato.

* Si se desea evitar configuraciones singulares es necesario que ningun subconjunto ordenado genere una "subalgebra" del algebra de Lie. Un resultado similar fue reportado previamente por Hunt (1978).

* Un desplazamiento alrededor del tomillo $j afecta a cada uno de los tomillos $k con k>j

* Si $j(t) y $k(t)junto con k>j son elementos del conjunto ordenado de tomillos en el tiempo t=0, el tornillo $k([DELTA]t) puede calcularse aproximadamente como:

$k([DELTA]t) [aproximadamente igual a] $k(0) + [$j(0) $k(0)] [DELTA]t = $k + [$j $k] [DELTA]t

* Supongamos los elementos $f(i) y $h(i), junto con h>f, que pertenecen al i-esimo subconjunto ordenado singular minimo SOSM(i). Si $h(i) es, ademas, un elemento del subconjunto singular minimo asociado al subconjunto ordenado singular minimo, entonces, existen elementos que resultan de los diferentes productos de Lie presentes entre las combinaciones de los elementos del subconjunto ordenado singular minimo con su subconjunto singular minimo, tales que algunos de ellos no pertenecen al subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo.

* La dimension del subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo que se obtiene al sustituir $h(i)+[$f(i) Sh(i)] en lugar de Sh(i), es equivalente a la cardinalidad del subconjunto ordenado singular minimo. De esta manera, con la sustitucion el subconjunto ordenado singular minimo deja de ser singular. Al tomillo $f(i) se le denomina actuador y al tomillo $h(i) se le denomina receptor. Los desplazamientos de los tomillos asociados a la singularidad no afectan a la dimension de los subconjuntos de los restantes tomillos.

* Los productos de Lie que no se encuentran en el subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo, contienen los tomillos causantes de la singularidad. De esta manera, por inspeccion de esos productos de Lie, se identifican los tomillos actuador y receptor.

Un tornillo actuador puede restaurar la dimension de mas de un subconjunto ordenado singular minimo. Una vez que se ha restaurado la dimension de cada uno de los subconjuntos ordenados singulares minimos, resulta evidente que el manipulador serial se encuentra fuera de la configuracion singular y con ello recupera su completa movilidad.

3.1 UN ALGORITMO PARA ELIMINAR SINGULARIDADES

En esta seccion se proporcionan los pasos necesarios para restaurar la dimension de cada uno de los subconjuntos ordenados singulares minimos, en el caso de que un manipulador serial se encuentre en una configuracion singular.

1. Determine en coordenadas de Plucker los tornillos infinitesimales asociados a los pares cinematicos que conforman al manipulador se-rial.

2. Determine el conjunto ordenado de los tornillos S.

3. Calcule el determinante del producto de la matriz Jacobiana por su transpuesta, si este es cero, entonces el manipulador serial se encuentra en una configuracion singular.

4. Identifique y descarte los tornillos que no son los responsables de la singularidad.

5. Determine un subconjunto ordenado singular minimo y su correspondiente subconjunto singular minimo.

6. Calcule los productos de Lie resultantes de combinar cada uno de los elementos del subconjunto ordenado singular minimo con los del subconjunto singular minimo, tomando en cuenta que los subindices de los posibles tomillos actuadores son inferiores a los de los receptores.

7. Seleccione los productos de Lie calculados en el punto 6 que no se encuentren en el subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo.

8. Identifique al tornillo asociado a la singularidad, inspeccionando los productos de Lie seleccionados en el punto 7.

9. Determine el nuevo "subconjunto ordenado singular minimo", calculando los correspondientes productos de Lie y determine su nueva dimension.

Una vez que se han completado satisfactoriamente los 9 pasos indicados para cada uno de los subconjuntos ordenados singulares minimos, el manipulador se encuentra fuera de la configuracion singular y con ello ha recuperado su completa movilidad.

4. EJEMPLOS

Para mostrar la eficiencia de la metodologia seleccionada en esta seccion se analizan tres ejemplos de manipuladores seriales redundantes, los cuales se encuentran intencionalmente en configuraciones singulares.

4.1 MANIPULADOR SERIAL DE SIETE GRADOS DE LIBERTAD

Considere el manipulador serial redundante que se muestra en la figura 1.

[FIGURA 1 OMITIR]

Los tornillos infinitesimales en coordenadas de Plucker, asociados a los pares cinematicos que conforman al manipulador serial vienen dados por:

$1=(1,0,0;0,0,-1), $2=(0,0,0;0,1,0), $3=(0,1,0;0,0,0), $4=(0,1,0;0,0,5), $5=(1,0,0;0,0,0), $6=(0,0.7071,0.7071;0,-7.071,7.071), $7=(0,0.7071,-0.7071,0,7.071,7.071),

donde los tornillos $2 y $3 estan asociados al par cilindrico.

El conjunto ordenado de tornillos S del manipulador viene dado por:

S={$1,$2,$3,$4,$5,$6,$7}

El determinante del producto de la matriz Jacobiana J=[$1 $2 $3 $4 $5 $6 $7] por su transpuesta es cero, por lo tanto el manipulador se encuentra en una configuracion singular.

Los tornillos extremos del manipulador son $1 y $7. Los elementos del grupo {$5, $6, $7} son concurrentes y generan una subalgebra de e(3), esta corresponde al subgrupo de rotaciones del grupo Euclideo E(3). Los tomillos $1, $2, $5, $6 y $7 no son los causantes de provocar la singularidad y pueden descartarse de inmediato.

Por inspeccion, un subconjunto ordenado singular minimo viene dado por:

SOSM(1)=={$1, $2, $3, $4, $5},

y su correspondiente subconjunto singular minimo viene dado por:

SSM(1)=={$1, $3, $4, $5}.

Por lo tanto, es necesario considerar los siguientes productos de Lie:

[$2 $3], [$2 $4], [$2 $5], [$3 $41, [$3 $5] y [$4 $5].

Sin embargo, solo los productos de Lie [$3 $4], [$3 $5] y [$4 $5] no pertenecen al subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo SOSM(1), por consiguiente, los tornillos causantes de la singularidad pueden ser $3 y $4.

La sustitucion de $5+[$4 $5][DELTA]t en lugar de $5 en el subconjunto ordenado singular minimo SOSM(1) conduce a:

dim[$1 $2 $3 $4 $5+[$4 $51[DELTA]t]=5,

mientras que la sustitucion de $4+[$3 $4][DELTA]t en lugar de $4 y de $5+[$3 $5][DELTA]t en lugar de $5, ambas en el subconjunto ordenado singular minimo SOSM(1), conduce a:

dim [$1 $2 $3 $4+[$3 $4][DELTA]t $5+[$3 $5][DELTA]1=5.

Estos resultados indican que cualquiera de los tornillos actuadores $3 o $4, pueden restaurar la dimension del subconjunto ordeniado singular minimo SOSM(1). Sin embargo,

dim [$2 $3 $4 $5+[$4 $5][DELTA]t $6 $7]=5, y dim[$2 $3 $4+ [$3 $4][DELTA]t $5 +[$3 $5][DELTA]t $6]=6.

Por consiguiente, el manipulador puede abandonar la configuracion singular en que se encuentra si el conjunto ordenado de tornillos original S se sustituye por:

{$1,$2,$3,$4+[$3 $4][DELTA]t,$5 +[$3 $5][DELTA]t,$6,$ {

de esta manera, a fin de que el manipulador recupere su completa movilidad es necesario actuar la revoluta 3, $3.

4.2 EJEMPLO 2, MANIPULADOR DE 9 GRADOS DE LIBERTAD

Considere el manipulador serial redundante que se muestra en la figura 2.

[FIGURA 2 OMITIR]

En coordenadas de Plucker, los tornillos infinitesimales asociados a los pares cinematicos que conforman al manipulador vienen dados por:

$1=(0,7071; 0; 0,7071; 0; 0; 0), $2=(0,1,0;0,0,0), $3=(0,1,0;0,0,2), $4=(0,1,0;0,0,4), $5=(1,0,0;0,-1,0), $6=(0,1,0; 1,0,4), $7=(-0.7071,0,-0.7071; 1.4142,-2.121,1.4142), $8=(0,1,0;0,0,3), $9=(-0,7071; 0; 0,7071;1,4142; -2,121; 1,4142).

De esta manera, el conjunto ordenado de tornillos viene dado por:

S={$1, $2, $3, $4, $5, $6, $7, $8, $9}

El determinante del producto de la matriz Jacobiana, J=[$1 $2 $3 $4 $5 $6 $7 $8 $9], por su transpuesta es cero, por lo tanto, el manipulador se encuentra en una configuracion singular.

Los tornillos extremos del manipulador son $1 y $9, y puesto que no son los causantes de provocar la singularidad pueden ser descartados de inmediato.

Por inspeccion, un subconjunto ordenado singular minimo viene dado por:

SOSM(1)=={$2, $3, $4},

y su correspondiente subconjunto singular minimo es el mismo subconjunto SOSM(1).

Por consiguiente, es necesario considerar los siguientes productos de Lie:

[$2 $3], [$2 $4] y [$3 $4],

que no pertenecen al subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo.

La sustitucion de $4+[$3 $4][DELTA]tl en lugar de $4 en el subconjunto ordenado singular minimo SOSM(1), conduce a: dim[$2 $3 $4 $5+[$3 $4][DELTA]tl]=3, y con ello el subconjunto SOSM(1) deja de ser singular.

Otro subconjunto ordenado singular minimo viene dado por:

SOSM(2) ={$2, $3, $4+[$3 $4][DELTA]tl, $5, $6,

y su correspondiente subconjunto singular minimo viene dado por:

SSM(2) = ={$2, $3, $4+[$3 $4][DELTA]tl, $6}.

Los resultados obtenidos para el primer subconjunto ordenado singular minimo SOSM(1) indican que solo es necesario considerar al producto de Lie [$5 $6] para el segundo subconjunto ordenado singular minimo SOSM(2), el cual no se encuentra en el subespacio generado por el subconjunto SOSM(2).

Tomando en cuenta que el producto de Lie es nilpotente y sustituyendo $6+[$5 $6][DELTA]t2 en lugar de $6 en el subconjunto SOSM(2) se tiene que:

dim [$2 $3 $4+[$3 $4][DELTA]tl $5 $6+$6+[$5 $6][DELTA]t2] = 5.

De esta manera, con dicha sustitucion el subconjuto SOSM(2) deja de ser singular.

Un tercer subconjunto ordenado singular minimo SOSM(3) viene dado por:

SOSM(3) =={$7, $8, $9},

y su correspondiente subconjunto singular minimo SSM(3) viene dado por:

SSM(3) =={$7, $9}.

Asi, solo es necesario considerar el producto de Lie [$8 $9], el cual no se encuentra en el subes-pacio generado por SOSM(3).

La sustitucion de $9+[$8 $9]Dt3 en lugar de $9 conduce a:

dim [$7 $8 $9+[$8 $9][DELTA]t3] = 3, y con ello el subconjunto SOSM(3) deja de ser singular.

La coleccion de estos resultados indica que a fin de recuperar la completa movilidad del manipulador, el conjunto ordenado de tornillos original S debe sustituirse por:

S={$1, $2, $3, $4, $4+[$3 $4][DELTA]tl,

$5, $6+[$5 $6][DELTA]t2, $7, $8, $9+[$8 $91][DELTA]t3},

por lo que es necesario actuar las revolutas 3, 5 y 8.

4.3 EJEMPLO 3, MANIPULADOR DE SIETE GRADOS DE LIBERTAD

El manipulador serial redundante que se muestra en la figura 3 es una adaptacion de una cadena cinematica cerrada propuesta por Sugimoto et al. (1982). El mecanismo original fue propuesto para su caracterizacion y los resultados obtenidos demuestran que se trata de una estructura. Con el objeto de ejemplificar la metodologia que se aplica en el presente trabajo, el mecanismo original se "rompio" para producir una cadena serial abierta y de esta manera, analizar las configuraciones singulares.

[FIGURA 3 OMITIR]

Los parametros del mecanismo vienen dados por:

a12--0.577 u.l., a23=1 u.l., a34=2.828 u.l.,

a45=0 u.l., a51=1.154 u.l., S11=-2.804 u.l.,

$33=2.828 u.l., $55--3 u.l.,

[alfa]12=150, [alfa]23=135, [alfa]34=270, [alfa]45=90, [alfa]51=330,

donde los angulos [alfa] estan medidos en grados y u.l. significa unidades de longitud.

En coordenadas de Plucker, los tornillos infinitesimales asociados a los pares cinematicos que conforman al manipulador vienen dados por:

$1=(0,0,0;0,0,1), $2=(0,0,1;0,0,0), $3=(0,-0.7071,-0.7071;0,0.7071,-0.7071), $4=(0,0,0;-1,0,0), $5=(-1,0,0;0,0,-4), $6=(0,0.866,-0.5;2,-0.866,-1.5), $7=(0,1.5,-0.866;1.964,-0.5,-0.288).

De esta manera, el conjunto ordenado de tornillos viene dado por:

S={$1, $2, $3, $4, $5, $6, $7}

El determinante del producto de la matriz Jacobiana, J=[$1 $2 $3 $4 $5 $6 $7], por su transpuesta es cero, por consiguiente, el manipulador se encuentra en una configuracion singular.

Los tornillos extremos del manipulador son $1 y $7, y puesto que no son los causantes de provocar la singularidad pueden ser descartados de inmediato.

Por inspeccion, existe un unico subconjunto ordenado singular minimo, SOSM(1), el cual viene dado por:

SOSM(1) = {$1, $2, $3, $4, $5, $6, $7}

y su correspondiente subconjunto singular minimo es el mismo subconjunto SOSM(1). Por lo tanto, es necesario considerar los siguientes productos de Lie,

[$2 $3], [$2 $4], [$2 $5], [$2 $6], [$3 $4],

[$3 $5], [$3 $6], [$4 $5], [$4 $6] y [$5 $6].

Los siguientes no pertenecen al subespacio generado por el subconjunto ordenado singular minimo:

[$2 $4], [$2 $5], [$2 $6], [$3 $4], [$3 $5],

[$3 $6], [$4 $6] y [$5 $6].

De esta manera, suponiendo que el tornillo actuador es $3, tenemos que

dim [$1 $2 $3 $4+[$3 $4][DELTA]t $5+[$3 $5][DELTA]t $61=6.

Ademas:

dim [$2 $3 $4+[$3 $4][DELTA]t $5+[$3 $5][DELTA]t $6 $7]=6.

De este modo, actuando la tercer revoluta $3, el manipulador puede abandonar la configuracion singular en que se encuentra y con ello recupera su completa movilidad..

5. CONCLUSIONES

Si un manipulador serial redundante o no redundante, se encuentra en una configuracion singular, en este trabajo se muestra como el producto de Lie permite identificar los tornillos causantes de la singularidad. La metodologia seleccionada permite eliminar singularidades en manipuladores que pierden mas de un grado de libertad, tarea que se considera compleja y extremadamente laboriosa. Finalmente, el metodo seleccionado se probo exitosamente en tres ejemplos.

AGRADECIMIENTO

El presente trabajo surgio como una sugerencia del Dr. Jose Alfonso Pamanes Garcia, Profesor-Investigador del Instituto Tecnologico de la Laguna, Mexico.

BIBLIOGRAFIA

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(7.) Karger, A., "Singularity Analysis of Serial-Robot Manipulators". ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 118, No. 4, pp. 520-525, 1 996.

(8.) Lipkin, H., y Duffy, J., "The Elliptic Polarity of Screws". ASME Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, Vol. 107, pp. 377-387, 1 985.

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Jaime Gallardo Alvarado (1)

Jose Maria Rico Martinez (2)

(1) Doctor en Ciencias

(2) PhD
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Author:Gallardo Alvarado, Jaime; Rico Martinez, Jose Maria
Publication:Ingenieria
Date:Jan 1, 2001
Words:5259
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