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Prueba de hipotesis sobre la existencia de una raiz fraccional en una serie de tiempo no estacionaria.

A test for the existence of a fractional root in a non-stationary time series

Un test d'hypotheses sur l'existence d'une racine fractionnaire sur une serie chronologique non stationnaire

--Introduccion.--I. Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos.--II. Metodologia propuesta.--III. Contrastes alternativos considerados.--IV. Experimento Monte Carlo.--Conclusiones.--Bibliografia

Introduccion

Una actividad rutinaria en la creacion de modelos para series tiempo economicas consiste en realizar pruebas de no estacionariedad empleando alguno de los diferentes enfoques de pruebas de raiz unitaria I(0) vs I(1). Granger (1980) y Granger y Joyeux (1980) demostraron que algunas series de tiempo economicas no estan bien representadas como un proceso estacionario de memoria corta I(0) o como un proceso no estacionario con raiz unitaria I(1), y proponen una clase de procesos intermedios conocidos como procesos autorregresivos y de medias moviles fraccionalmente integrados ARFIMA (p, d, q).

Segun Beran (1993) y Granger y Joyeux (1980) estos procesos tienen como finalidad cubrir el vacio entre los casos extremos de modelos con raices unitarias--modelos ARIMA(p, d, q)--y los modelos estacionarios que imponen un patron de decrecimiento exponencial en las autocorrelaciones muestrales --modelos ARMA(p, q)-. En estos modelos, el grado de memoria y de estacionaridad del proceso esta definido por el parametro de diferenciacion fraccional d, el cual toma valores en un intervalo continuo de numeros reales. Su valor es de interes para el analista de series temporales por las propiedades caracteristicas (grado de persistencia) de los procesos obtenidos dependiendo del valor de este, por lo que su correcta estimacion permitira una modelacion adecuada de series de tiempo estacionarias y no estacionarias.

En este documento se presenta una modificacion de la prueba propuesta por Castano, Gomez y Gallon (2008) para los procesos ARFIMA(p, d, q) estacionarios (-1/2 < d < 1/2), la cual permite identificar la existencia de una raiz fraccional en una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA(p,q) de corto plazo es indeterminado o desconocido. Via simulacion Monte Carlo, se muestra el comportamiento de la prueba propuesta en terminos de potencia y tamano, bajo diferentes escenarios de simulacion (diferentes tamanos de muestra y valores en los coeficientes del componente ARMA del proceso) en comparacion con los resultados obtenidos por otras metodologias disponibles en la literatura para tal fin. Entre estas metodologias se presentan las pruebas de Geweke y Porter-Hudak (1983), de Tanaka (1999), de Dolado, Gonzalo y Mayoral (2002), y la de Lobato y Velasco (2007). Para este proposito se considero el intervalo de valores no estacionarios del parametro de diferenciacion fraccional que mayor atencion ha recibido en la literatura revisada (1/2 [menor que o igual a] d < 3/2).

Este documento tiene la siguiente estructura. En la seccion I se plantean las definiciones del fenomeno de memoria larga y de no estacionaridad, asi como del modelo ARFIMA(p,d,q), con algunas propiedades basicas del mismo. En la seccion II se describe la prueba propuesta; en la siguiente cada una de las metodologias alternativas enunciadas en el parrafo anterior; en la cuarta seccion se enuncian los factores y escenarios considerados en el estudio de simulacion y los resultados del mismo. Finalmente se presentan las conclusiones del estudio.

I. Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos

Este trabajo esta enfocado en aquellas series de tiempo economicas con una clase particular de interdependencia muestral conocida en la literatura relacionada como procesos de memoria larga o con dependencia muestral a largo plazo.

A. Procesos de memoria larga

La propiedad de memoria larga en una serie temporal suele entenderse como la existencia de una dependencia no despreciable entre observaciones que distan entre si largos periodos de tiempo. Muchos autores definen la memoria de un proceso segun el comportamiento asintotico de su funcion de autocovarianza. Si {[X.sub.t]: t [elemento de] Z} es un proceso estacionario con funcion de autocovarianza [gamma](k), se puede afirmar que este proceso tiene memoria larga, si y solo si:

[[infinity].suma de (-[infinity])] [valor absoluto de [gamma](k)] = [infinity]

Por lo tanto, si las autocovarianzas de un proceso estacionario son absolutamente sumables, se puede afirmar que el proceso en cuestion tiene memoria corta. Por el contrario, un proceso tiene memoria larga si sus autocovarianzas no son absolutamente sumables. Es importante senalar que la definicion de memoria larga planteada es asintotica, en el sentido que informa sobre la tasa de convergencia hacia cero de las correlaciones cuando k [flecha diestra] [infinity].

B. Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades

Se dice que un proceso estocastico {[X.sub.t]: t [elemento de] Z} sigue un proceso ARFIMA(p, d, q) si es una solucion a la ecuacion:

[fi](B)[(1 - B).sup.d][X.sub.t] = [[theta].sub.0] + [theta](B)[a.sub.t], t = 1, ..., T (1-1)

donde [fi] (B) = 1 - [[fi].sub.1]B - *** - [[fi].sub.p][B.sup.p] y [theta](B) = 1 - [[theta].sub.1]B - *** - [[theta].sub.q] [B.sup.q] son respectivamente los polinomios autorregresivo y de medias moviles de orden p y q en terminos del operador de rezago B de un proceso ARMA(p, q), cuyas raices estan fuera del circulo unitario y no se encuentran raices comunes entre estos. [[theta].sub.0] es un numero real cualquiera, el proceso [a.sub.t] es un proceso ruido blanco con distribucion de media cero y varianza finita [[sigma].sup.2.sub.a]. En este caso el operador de diferenciacion es definido por la serie binomial;

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

En estos modelos el grado de memoria y de estacionaridad del proceso esta definido por el parametro de diferenciacion fraccional d, el cual toma valores en un intervalo continuo de numeros reales. Su valor es de interes para el analista de series temporales por las propiedades caracteristicas de los procesos obtenidos dependiendo del valor de este.

Hosking (1981) analizo el comportamiento asintotico de la funcion de autocorrelacion del caso mas sencillo de los procesos ARFIMA(p, d, q): el caso donde no hay dependencia dinamica a corto plazo en la serie [X.sub.t] definida en (1 -1), es decir, cuando p = q = 0. El proceso resultante, conocido como ruido blanco fraccionalmente integrado o ARFIMA(0, d, 0), viene dado por la siguiente ecuacion:

[(1 - B).sup.d] [X.sub.t] = [a.sub.t], t = 1, ..., T (1-2)

donde [a.sub.t] es una sucesion de variables aleatorias no observables, con media cero y varianza finita [[sigma].sup.2.sub.a]. Hosking demostro que si -1/2 < d < 1/2, el proceso {[X.sub.t]} en (1-2) es estacionario e invertible y que la funcion de autocorrelacion del proceso ARFIMA(0, d, 0) esta dada por:

[rho](k) = [GAMMA](1 - d)/[GAMMA](d)) x [k.sup.2d-1] (1-3)

donde [[GAMMA].sup.(*)] denota la funcion gamma. De la funcion (1-3) se obtienen las propiedades mas importantes del proceso ARFIMA(0, d, 0). Si 0 < d < 1/2 las autocorrelaciones son todas positivas, decaen lentamente a un ritmo hiperbolico de orden aproximado [k.sup.2d-1] y no son absolutamente sumables. Esta propiedad caracteriza a los modelos con memoria larga, por lo que se puede concluir que en este intervalo el proceso ARFIMA(0, d, 0) es estacionario con memoria larga.

Por el contrario, cuando -1/2 < d < 0, las autocorrelaciones son todas negativas y absolutamente sumables. Esta propiedad caracteriza los modelos con memoria corta, por lo cual se puede concluir que en este intervalo el proceso ARFIMA(0,) es estacionario con memoria corta.

Segun Beran (1994), a pesar de la falta de formulas explicitas para el analisis del comportamiento a largo plazo del proceso general ARFIMA(p, d, q), el comportamiento asintotico del valor absoluto de las autocorrelaciones parciales del proceso general es similar al obtenido para el proceso ARFIMA(0, d, 0), ya que para observaciones muy distantes entre si los efectos de los parametros ARMA son practicamente despreciables.

Como conclusion, si el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre -1/2 < d < 1/2, [X.sub.t] en (1-1) corresponde a un proceso fraccionalmente integrado ARFIMA(p, d, q), estacionario e invertible, en el cual:

* Si -1/2 < d < 0, [X.sub.t] en (1-1) es un proceso estacionario que exhibe una fuerte reversion a la media, con una funcion de autocovarianza que decrece mas rapidamente a cero que la de un proceso ARMA(p, q). En este caso, el proceso es llamado anti-persistente.

* Si 0 < d < 1/2, [X.sub.t] en (1-1) es un proceso estacionario de memoria larga cuya funcion de autocovarianza decrece mas lentamente a cero que la de un proceso ARMA(p, q).

Ahora, si el parametro de diferenciacion fraccional es d [mayor que o igual a] 1/2 el proceso es, en general, no estacionario (Beran, 1994).

II. Metodologia propuesta

Para realizar el contraste de interes en este trabajo se considera el modelo ARFIMA(p, d, q) presentado en (2-1) con 1/2 < d [menor que o igual o] 3/2, es decir, se considera el rango de valores para d donde el proceso [X.sub.t] es no estacionario. Este proceso estocastico se puede expresar de forma equivalente mediante la siguiente expresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (2-1)

la cual tiene las siguientes propiedades:

* Si [d.sup.*] = 0. [X.sub.t] en (2-1) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee una raiz unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso [X.sub.t] es estacionaria.

* Si [d.sup.*] [desigual a] 0 y el valor del parametro de diferenciacion [d.sup.*] se encuentra entre -1/2 [menor que o igual a] [d.sup.*] < 1/2, entonces [X.sub.t] en (2-1) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee una raiz fraccional.

Para esta ultima situacion se identifican los siguientes casos:

* Si -1/2 [menor que o igual a] [d.sup.*] < 0, el proceso [X.sub.t] en (2-1) es no estacionario de memoria larga con reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera un proceso estacionario con una fuerte reversion a la media, es decir, un proceso antipersistente.

* Si 0 < [d.sup.*] < 1/2, el proceso [X.sub.t] en (2-1) es no estacionario de memoria larga sin reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera un proceso estacionario de memoria larga.

La metodologia propuesta en este trabajo consiste en contrastar via simulacion la hipotesis nula de que Xt es un proceso no estacionario de raiz unitaria ([H.sub.0]: [d.sup.*] = 0), contra la alternativa de que [X.sub.t] es un proceso no estacionario de raiz fraccional ([H.sub.a]: [d.sup.*] [desigual a] 0), en el caso particular de los procesos ARFIMA(p, d, q) no estacionarios, empleando el estadistico de prueba propuesto por Castano et al. (2008) sobre la primera diferencia del proceso [X.sub.t] en (2-1), asi:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (2-2)

De forma similar a la prueba bilateral, se pueden realizar pruebas laterales para contrastar la hipotesis nula que [X.sub.t] es un proceso no estacionario de raiz unitaria ([H.sub.0]: [d.sup.*] = 0) contra la alternativa de memoria larga con reversion a la media ([H.sub.a]: [d.sup.*] < 0), o contra la alternativa de memoria larga sin reversion a la media ([H.sub.a]: [d.sup.*] > 0), usando el mismo estadistico de prueba y calculando el percentil adecuado para cualquiera de los casos planteados anteriormente.

A. La prueba de Castano, Gomez y Gallon

En Castano et al. (2008) se consideran los procesos ARFIMA(p, d, q) estacionarios e invertibles definidos en (1-1). Como el proceso es invertible, los autores pueden especificar dicho proceso por medio de la siguiente forma alternativa [pi](B)[(1 - B).sup.d] [X.sub.t] = [a.sub.t] donde [pi](B) = [fi](B)/[theta](B) = 1 - [[pi].sub.1]B - [[pi].sub.2][B.sup.2] - ***, es el componente dual autoregresivo infinito del modelo de corto plazo ARMA(p,q) del proceso ARFIMA(p, d, q) considerado.

Siguiendo a Said y Dickey (1984), los autores aproximaron el proceso anterior por medio del modelo [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]. [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] es el componente a corto plazo aproximado, por medio de un orden adecuado [p.sup.*], del polinomio [pi](B) especificado en el parrafo anterior.

El procedimiento propuesto por Castano et al. (2008) sugiere contrastar la hipotesis nula de memoria corta ([H.sub.0]: d = 0), contra la alternativa de memoria larga estacionaria ([H.sub.a]: 0 < d < 1/2), empleando la estimacion por maxima verosimilitud del modelo aproximado ARFIMA ([p.sup.*], d, 0) y los resultados asintoticos del estimador maximo verosimil del parametro d obtenido. Por lo tanto, el estadistico de prueba empleado en el contraste es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

donde [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] son respectivamente el estimador maximo verosimil de d y la estimacion de su error estandar. Bajo la hipotesis nula el estadistico tiene una distribucion limite normal estandar ([EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]).

De igual manera determinaron que, una vez estimado el modelo preliminar, se pueden usar los resultados obtenidos en la aproximacion para identificar un modelo a corto plazo mas adecuado para el proceso, y asi obtener una mejor inferencia sobre el parametro de diferenciacion fraccional d.

III. Contrastes alternativos considerados

Antes de proceder con la evaluacion del comportamiento de la nueva prueba, se describira brevemente cada una de las metodologias alternativas consideradas en este documento.

A. La prueba de Geweke y Porter-Hudak (GPH)

El contraste semiparametrico propuesto por Geweke y Porter-Hudak (1983) se basa en la inferencia sobre el parametro de diferenciacion fraccional d a partir de su estimador por minimos cuadrados ordinarios en el modelo de regresion para el logaritmo del periodograma de [X.sub.t], el cual esta dado por la siguiente expresion:

log{[I.sub.x]([w.sub.j])} = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1]log{4 [sin.sup.2]([w.sub.j]/2)} + [[epsilon].sub.j] (3-1)

donde Ix ([w.sub.j]) es la j-esima ordenada del periodograma de [X.sub.t], [w.sub.j] = 2[pi]j/T es la j-esima frecuencia de Fourier y [e.sub.j] = log {fu([w.sub.j])/fz(0)} es el termino de error en la regresion, el cual se asume i.i.d de media cero y varianza constante [pi]/6, [atane a todos]j = 1, ..., m, siendo m = [[T.sup.1/2]] el el mayor entero que es menor o igual a [T.sup.1/2].

En esta metodologia el orden de diferenciacion fraccional d corresponde al negativo del coeficiente de regresion [[beta].sub.1] en (3-1), y por lo tanto, el contraste I(0) vs FI(d) propuesto por estos autores se realiza por medio de una prueba de dos colas para determinar la significancia del coeficiente [[??].sub.1] en (3-1). Los autores argumentan que para -1/2 < d < 0, y asumiendo algunas condiciones adicionales, el estadistico de prueba converge a una distribucion normal estandar

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

donde [raiz cuadrada de var([[??].sub.GPH])] = [[pi].sup.2]/6 [([[suma].sup.m.sub.j=1][R.sub.j] - [bar.R]).sup.-1] con [R.sub.j] = log{4 [sin.sup.2]([w.sub.j]/2)}

El estimador GPH es simple de aplicar y robusto a la no normalidad; sin embargo, presenta problemas de sesgo y eficiencia en presencia de componentes a corto plazo con raices cercanas al circulo unitario del proceso [X.sub.t] - Ver Castano et al., (2008)--. Esta prueba fue disenada para procesos es tacionarios, por esta razon, para realizar el contraste de interes, se requiere la diferenciacion entera de la serie temporal antes de implementarla.

B. La prueba de Robinson (Rob95)

Robinson (1995), considerando el mismo proceso que Geweke y PorterHudak (1983), demostro que el estimador [[??].sub.GPH] es consistente y asintoticamente normal para todo el rango de valores donde el proceso ARFIMA (p, d, q) es estacionario e invertible (-1/2 < d < 1/2), y propone una version modificada y mas eficiente de este, el cual esta dado por el siguiente modelo de regresion:

log{[I.sub.x]([w.sub.j])} = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1](2 log{[valor absoluto de [w.sub.j]]}) + [[epsilon].sub.j] (3-2)

donde [I.sub.x] ([w.sub.j]), [w.sub.j] y [[epsilon].sub.j] tienen la misma definicion presentada para la prueba GPH. De manera similar a la prueba GPH, el contraste I(0)--proceso estacionario de memoria corta--vs FI(d)--proceso fraccionalmente integrado--se realiza por medio de una prueba de dos colas para determinar la significancia del coeficiente [[beta].sub.1] en (3-2).

El autor determino que el estimador [[??].sub.R0B 95] obtenido por minimos cuadrados ordinarios, utilizando las m = [[T.sup.1/2]] primeras frecuencias en torno al origen en la regresion (3-2) es consistente y asintoticamente normal, bajo la hipotesis de normalidad para el proceso ARFIMA(p, d, q) estacionario e invertible. Esta prueba fue disenada para procesos estacionarios, por esta razon, para realizar el contraste de interes, se requiere la diferenciacion entera de la serie temporal antes de implementarla.

C. La prueba de Tanaka (Tanaka)

Tanaka (1999) aborda el problema de la estimacion e inferencia sobre el parametro de diferenciacion fraccional, proponiendo una prueba basada en multiplicadores de Lagrange (LM) en el dominio del tiempo, con base en la estimacion maximo verosimil del modelo ARFIMA(p, d, q) definido en (1-1) bajo el supuesto de normalidad de [a.sub.t]. Dicho autor propone el siguiente estadistico para implementar la prueba de memoria larga en los procesos ARFIMA(p, d, q) estacionarios e invertibles:

L[W.sub.Tan] = T[[suma].sup.T-1.sub.k=1] 1/k [[??].sub.k] (3-3)

donde [[??].sub.k]. es la autocorrelacion de orden k de los residuales estimados [[??].sub.j], = [fi](B)[[theta].sup.-1](B)[(1 - B).sup.d][X.sub.j]. Tanaka demostro que bajo algunas condiciones el estadistico enunciado tiene una distribucion limite normal. Esta prueba requiere de una prediferenciacion de la serie temporal antes de realizar el contraste de interes en este estudio. Se debe informar que esta prueba asume conocido el verdadero modelo a corto plazo del proceso [X.sub.t] para poder ser implementada, situacion que dificilmente es cierta en la practica.

D. La prueba de Dolado, Gonzalo y Mayoral

Dolado, Gonzalo y Mayoral (2002) proponen una generalizacion de la conocida prueba de Dickey-Fuller (DF), la cual permite considerar directamente los procesos fraccionalmente integrados (FI([d.sub.0]) frente a FI([d.sub.1]) con [d.sub.1] < [d.sub.0]); por este motivo le asignaron el nombre de prueba Dickey-Fuller fraccional (DF-F).

1. Prueba Dickey-Fuller fraccional estandar (DGM)

La prueba DF-F estandar esta basada en un modelo de regresion donde la variable respuesta y la variable explicativa corresponden al proceso {[X.sub.t]} diferenciado de acuerdo al grado de integracion bajo la hipotesis nula ([d.sub.0]) y bajo la hipotesis alternativa (d1) respectivamente. Especificamente, la prueba DF-F consiste en probar la significancia de parametro [fi] en el siguiente modelo de regresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (3-4)

donde [X.sub.t] es la serie de tiempo observada y [[my].sub.t] = [a.sub.t] es una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas de media cero y varianza desconocida [[sigma].sup.2].

Estos autores plantean la siguiente prueba de hipotesis para contrastar la presencia de memoria larga en [X.sub.t] :

* [H.sub.0]: [fi] = 0, el proceso [X.sub.t] es FI([d.sub.0]).

* [H.sub.1] : [fi] < 0, el proceso [X.sub.t] es FI([d.sub.1]).

Notese que si [d.sub.0] = 1 y [d.sub.1] = 0 se recupera el marco convencional de la prueba de Dickey- Fuller (DF) -I(1) vs I(0)-. Los autores restringen su analisis al caso puntual donde [X.sub.t], bajo la hipotesis nula, es un proceso no estacionario con raiz unitaria ([d.sub.0] = 1), y bajo la hipotesis alternativa es un proceso fraccionalmente integrado FI([d.sub.1]) en el rango de valores 0 [menor que o igual a] [d.sub.1] < 1.

Tambien determinaron que bajo estas condiciones la distribucion asintotica del estadistico de prueba [t.sub.[??]] en (3-4) esta dada por:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

donde B(*) representa un movimiento browniano estandar y Wd(*) un movimiento browniano fraccionario. Por lo tanto, el estadistico de prueba basado en la regresion (3-4) con [d.sub.0] = 1 es consistente para cualquier valor de [d.sub.1] [elemento de] [0,1).

2. Prueba Dickey-Fuller fraccional aumentada (DGM-Aum)

La prueba DF-F aumentada asume el modelo de regresion planteado en (3-4) con [d.sub.0] = 1, pero ahora [[my].sub.t] es un proceso autorregresivo de orden p, tal que [alfa](B)[[my].sub.t] = [a.sub.t], donde [alfa](B) = 1 - [[alfa].sub.1] B - *** - [[alfa].sub.p] [B.sup.p] es un polinomio AR en terminos del operador de rezagos B de un proceso ARIMA(p, d, q) cuyas raices estan todas por fuera del circulo unitario y [a.sub.t] es un proceso de ruido blanco gaussiano.

Bajo estas condiciones, la prueba DF-F aumentada se basa en el siguiente modelo de regresion:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (3-5)

Bajo la hipotesis nula - [fi] = 0 en (3-5)- donde [X.sub.t] es un proceso ARIMA(p, 1, 0), los autores comprobaron que:

* La distribucion asintotica de [t.sub.[??]] en el modelo de regresion (3-5) es la misma obtenida para este estadistico en el modelo de regresion en (3-4), siempre y cuando sean incluidos un numero suficiente de rezagos.

* Los coeficientes de regresion estimados ([[??].sub.1], *** [[??].sub.p])' son asintoticamente normales para cualquier valor del parametro de diferenciacion fraccional [d.sub.1][elemento de] [0,1), utilizado en la regresion (3-5).

Notese que para poder ejecutar cualquiera de las pruebas DF-F enunciadas se necesita un valor para el parametro de memoria del proceso [d.sub.1] bajo la hipotesis alternativa. Los autores proponen el uso del estimador generalizado de minima distancia propuesto por Mayoral (2007), afirmando que tiene mejores propiedades estadisticas que algunos de los metodos de estimacion para el parametro d mas utilizados en la practica.

E. La prueba de Lobato y Velasco

Dichos autores cuestionan el uso de la variable regresora propuesta por Dolado et al. (2002) y examinan cuidadosamente la optima seleccion de esta variable en el modelo de regresion (3-4), con el fin de poder hacer inferencia sobre el grado de integracion del proceso [X.sub.t].

En Lobato y Velasco (2007) se afirma que un regresor de la forma [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]--ver Dolado et al. (2002)- no puede ser optimo, ya que bajo la hipotesis alternativa no existen valores de [fi] y [d.sub.1] que garanticen que el termino de error [[my].sub.t] en el modelo (3-4) sea serialmente incorrelacionado y ortogonal con el regresor [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]. Esta mala especificacion implica que la estimacion por minimos cuadrados ordinarios y la prueba t resultante, basada en la regresion (3-4), son ineficientes, incluso cuando [d.sub.1] es escogido de forma optima.

1. Prueba Lobato y Velasco estandar (LV)

La prueba de Lobato y Velasco estandar (LV) consiste en probar la significancia del parametro [[fi].sub.2] en el siguiente modelo de regresion reescalado:

(1 - B)[X.sub.t] = [[fi].sub.2][Z.sub.t-1]([d.sub.2]) + [[my].sub.t] (3-6)

donde [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.], [X.sub.t] es la serie de tiempo observada y [[my].sub.t] = [a.sub.t] es una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas de media cero y varianza desconocida [[sigma].sup.2]. Los autores plantean la siguiente prueba de hipotesis para contrastar la presencia de memoria larga en [X.sub.t]:

* [H.sub.0] [[fi].sub.2] = 0, el proceso [X.sub.t] en (2-9) es I(1).

* [H.sub.1] [[fi].sub.2] < 0, el proceso [X.sub.t] en (3-6) es FI([d.sub.2]), con [d.sub.2] > 1/2.

Los autores demostraron que el regresor [Z.sub.t-1] ([d.sub.2]) contiene toda la informacion relevante del pasado para pronosticar (1-B)[X.sub.t], mientras que el regresor [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] propuesto por Dolado et al., (2002) no.

Al igual que la prueba DGM estandar, para implementar la prueba LV estandar necesita un valor para el parametro de memoria del proceso bajo la hipotesis alternativa. Sea [d.sub.2] el parametro de entrada de esta prueba, para distinguirla del parametro entrada [d.sub.1] de la prueba DGM.

Finalmente, encontraron que cuando el estimador del parametro de entrada [d.sub.2] cumple la siguiente condicion:

[[??].sub.2] = [d.sub.2] + [o.sub.p]([T.sup.-[tau]]), con [tau] > 0 y [[??].sub.2] > l/2

para algun [d.sub.2] fijo y mayor que 1/2, las propiedades del estadistico para probar [[fi].sub.2] = 0 en (3-6) estan dadas por las siguientes premisas:

* Bajo la hipotesis nula [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

* Bajo la hipotesis alternativa (d< 1): la prueba basada en [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] es consistente

2. Prueba Lobato y Velasco aumentada (LV-Aum)

La prueba de Lobato y Velasco aumentada asume el modelo de regresion planteado en (3-6), pero ahora [[my].sub.t] es un proceso autorregresivo de orden p, tal que [alfa](B)[[my].sub.t] = [a.sub.t], donde [alfa](B)= 1 - [[alfa].sub.1] B - *** - [[alfa].sub.p] [B.sup.p] es el polinomio AR en terminos del operador de rezagos B de un proceso ARIMA, cuyas raices estan todas por fuera del circulo unitario, y [a.sub.t] es un proceso de ruido blanco gaussiano.

Los autores proponen utilizar el siguiente modelo de regresion reescalado por razones de continuidad:

(1 -B)[X.sub.t] = [[fi].sub.2]{[alfa](B)[Z.sub.t-1]([d.sub.2])} + [[suma].sup.p.sub.i=1] [[alfa].sub.i] (1 - B)[X.sub.t-i] + [a.sub.t] (3-7)

con la variable [Z.sub.t-1] ([d.sub.2]) definida en (3-6). Bajo la hipotesis nula ([[fi].sub.2] = 0) el proceso [X.sub.t] en (3-7) sigue el modelo ARIMA(p, d, 0). Bajo la alternativa, el modelo en (3-16) esta correctamente especificado, con regresoras {[alfa](B)[Z.sub.t-1] ([d.sub.2])} y (1 - B) [X.sub.t-i] independientes del termino de error [a.sub.t].

Comparado con el caso de ruido blanco, el problema en (3-7) surge porque el vector de coeficientes [alfa] = ([[alfa].sub.1], ..., [[alfa].sub.p])' es desconocido, lo cual impide obtener la covariable [alfa](B) [Z.sub.t-1] ([d.sub.2]). Para solucionar este inconveniente, los autores proponen el siguiente procedimiento:

PRIMER PASO: Estimar los coeficientes [[alfa].sub.i] por minimos cuadrados ordinarios en la siguiente regresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (3-8)

donde la entrada [[??].sub.2] es cualquier estimador consistente de d que satisfaga la condicion planteada para (3-6).

SEGUNDO PASO: Estimar por minimos cuadrados ordinarios en la siguiente regresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (3-9)

La distribucion asintotica bajo la hipotesis nula del estadistico [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] resultante para probar [[fi].sub.2] = 0 en (3-9), siendo [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] el estimador de [alfa](B) obtenido en el primer paso y [[??].sub.2] el mismo estimador de d utilizado en la regresion (3-8), estan dadas por las siguientes premisas:

* Bajo la hipotesis nula [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

* Bajo la hipotesis alternativa (d < 1): la prueba basada en [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] es consistente.

Los autores consideran el estimador semiparametrico gaussiano propuesto por Velasco (1999) con ancho de banda de m = [T.sup.0.55] como el valor para el parametro de memoria del proceso bajo la hipotesis alternativa ([d.sub.2]), afirmando que este tiene mejores propiedades estadisticas que algunos de los estimadores mas utilizados en la practica.

IV. Experimento Monte Carlo

Para la comparacion de las diferentes metodologias via simulacion se consideraron los siguientes valores reales parametro de diferenciacion fraccional: 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4; el numero de realizaciones del proceso o longitud de las series simuladas (T) 500 y 1000; el numero de simulaciones por escenario (Nsim) 5000; el nivel de significancia nominal empleado para el calculo de todas las potencias ([alfa]): 0.05

Los modelos ARFIMA considerados en el estudio son: ARFIMA(0, d, 0), ARFIMA(1, d, 0) y ARFIMA(0, d, 1), donde la perturbacion del modelo [a.sub.t] sigue una distribucion N(0,1). Los valores reales del coeficiente autorregresivo [fi] propuestos son: [+ O -]0.3, [+ O -] 0.6, [+ O -]0.9, y los del coeficiente de media movil [theta] son: [+ O -]0.4 y [+ O -]0.8.

Con el fin de encontrar el metodo mas eficiente para determinar la existencia de una raiz fraccional en una serie de tiempo no estacionaria ([H.sub.0]: [d.sup.*] = 0 vs [H.sub.a]: [d.sup.*] [desigual a]), se estimaron y compararon las potencias y tamanos de cada uno de los contrastes enunciados en la seccion anterior.

A. Resultados

Para implementar la metodologia propuesta en este trabajo se utilizaron los siguientes ordenes para el polinomio autorregresivo aproximado del componente a corto plazo del modelo [(1 - B).sup.d] [[pi].sup.*] (B) [X.sub.t] = [a.sub.t], presentado por Castano et al. (2008) sobre la primera diferencia del proceso Xt en (2-1). Para los procesos simulados de longitud T = 500, el orden considerado fue [p.sup.*] = [T.sup.1/4] [approximadamente igual a] 5, y para los procesos simulados de longitud T = 1000, el orden considerado fue [p.sup.*] = [T.sup.1/4] [approximadamente igual a] 6.

Debido a la gran cantidad de resultados puntuales obtenidos via simulacion en los diferentes escenarios definidos anteriormente (disponibles bajo solicitud), se presenta a continuacion las curvas de potencias y tamano promedio obtenidas en cada uno de los siguientes casos:

Caso 1: Resultados obtenidos para los procesos ARFIMA(0, d, 0) considerados.

Caso 2: Promedio de los resultados obtenidos para valores positivos del coeficiente [fi] en los procesos ARFIMA(1, d, 0) considerados.

Caso 3: Promedio de los resultados obtenidos para valores negativos del coeficiente [fi] en los procesos ARFIMA(1, d, 0) considerados.

Caso 4: Promedio de los resultados obtenidos para valores positivos del coeficiente [theta] en los procesos ARFIMA(0, d, 1) considerados.

Caso 5: Promedio de los resultados obtenidos para valores negativos del coeficiente [theta] en los procesos ARFIMA(0, d, 1) considerados.

NOTA 1: En las graficas que se presentan a continuacion se utilizara la abreviacion Cas-Lem para denotar los resultados obtenidos por la prueba propuesta en este trabajo. Las demas abreviaciones empleadas se presentan en la definicion de cada uno de los otros contrastes considerados.

NOTA 2: En las graficas que se presentan a continuacion el punto de dato para los resultados de la prueba Cas-Lem es *, para la prueba LV es #, para la prueba LV-Aum es +, para la prueba DGM es 0, para la prueba DGM-Aum es *, para la prueba Rob95 es[], para la prueba GPH es * y para la prueba Tanaka es [gradacion].

NOTA 3: En el apendice de este documento se presentan las tablas con los resultados numericos de las potencias y tamano promedio para cada uno de los cinco casos de interes en este trabajo.

En el Grafico 1. se observa que para series de tiempo de 500 observaciones y valores del parametro d [elemento de] [0.6, 0.7], la potencia de la prueba propuesta (Cas-Lem) es levemente inferior a la obtenida por las pruebas de Lobato y Velasco (2007) y Tanaka (1999), y superior a las alcanzadas por las demas; como resultado de interes, se aprecia como la prueba propuesta mejora su comportamiento a medida que el valor del parametro d se acerca a la hipotesis nula, alcanzando la mayor potencia de todos los contrastes para d = 0.9.

Para d mayores a uno (d > 1), la prueba de Lobato y Velasco (2007), la de Dolado et al. (2002), y la propuesta, tienen un desempeno similar, alcanzando potencias muy parecidas y considerablemente altas cuando d se encuentra cerca a la raiz unitaria, cuyos valores se incrementan a medida que aumenta el grado de no estacionaridad del proceso. Se resalta que para d > 1 la prueba Cas-Lem alcanza de nuevo la mayor potencia de todos los contrastes considerados.

Tambien se puede apreciar que para todo el rango de valores del parametro d considerado, los valores de las potencias de las pruebas enunciadas anteriormente son muy estables, y como era de esperarse, segun Lobato y Velasco (2007), la prueba LV obtiene potencias levemente superiores a las logradas por la prueba DGM.

La prueba propuesta por Tanaka (1999) tiene un comportamiento bastante irregular, notese que para d [elemento de] [0.6, 0.8] alcanza las mayores potencias de todas las pruebas consideradas, pero, para valores del parametro cercanos a la hipotesis nula, la prueba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raices fraccionales. Como caso particular se puede observar que para d = 1.3 y d = 1.4 dicha prueba tiene el peor comportamiento con las potencias mas bajas.

Las pruebas propuestas por Geweke y Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presentan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo. Se observa que despues de la prueba de Tanaka (1999), la prueba Cas-Lem tiene la menor desviacion en el tamano de todos los contrastes considerados.

En el Grafico 2. se observa que, en general, todas las potencias obtenidas son mayores al aumentar la longitud de la serie usada en las pruebas. Otra caracteristica radica en el hecho de que la prueba propuesta tiene la mayor potencia de todos los contrastes considerados para cualquier valor del parametro d mayor a uno (d [elemento de] [1.1, 1.4]), y la menor desviacion en el tamano bajo la hipotesis nula. Con excepcion de las caracteristicas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 observaciones.

[GRAFICO 1 OMITIR]

[GRAFICO 2 OMITIR]

En el Grafico 3. se observa que para series de tiempo de 500 observaciones y para el intervalo de valores considerado para d, la prueba propuesta (Cas-Lem) y la de Lobato y Velasco (2007) tienen un muy buen comportamiento con potencias promedio superiores a las logradas por los demas contrastes. Puntualmente, para d [elemento de] [0.6,0.9] las potencias promedio de la prueba propuesta (Cas-Lem) son un poco menores a las obtenidas por las pruebas LV, pero mayores a las alcanzadas por el resto de metodologias. Para d [elemento de] [1.1,1.4] la prueba DGM tiene una mejora considerable en su capacidad para detectar raices fraccionales obteniendo potencias levemente inferiores a las presentadas por las pruebas previamente enunciadas, las cuales son muy parecidas entre si.

Un comportamiento contrario al enunciado anteriormente es el presentado por las pruebas propuestas por Geweke y Porter-Hudak (1983), Robinson (1995) y Tanaka (1999). Notese que para cualquier valor del parametro de diferenciacion fraccional estas pruebas tienden a aceptar la hipotesis nula de raiz unitaria, por lo cual presentan las potencias mas bajas entre todos los contrastes.

Con excepcion de la prueba de Tanaka, el resto de los contrastes considerados presentan tamanos con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal, sobresaliendo la extrema distorsion presentada por las pruebas de Geweke y Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995). Como resultado de interes se puede observar que para series de 500 observaciones la prueba Cas-Lem alcanza la desviacion promedio mas pequena.

En el Grafico 4. se observa que al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias promedio obtenidas por las diferentes metodologias. Para d = 1.1 la prueba propuesta no tuvo un aumento considerable en la potencia promedio (al aumentar la longitud de la serie) y es superada por las pruebas de Lobato y Velasco (2007) y de Dolado et al. (2002), pero a medida que el valor del parametro d aumenta, la prueba mejora su comportamiento alcanzando potencias promedio similares o mayores a las obtenidas por los contrastes mas eficientes. Con excepcion de las caracteristicas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 observaciones.

[GRAFICO 3 OMITIR]

[GRAFICO 4 OMITIR]

En el Grafico 5. se observa que la mayoria de las metodologias (con excepcion de las pruebas GPH y Rob95) muestran potencias promedio que disminuyen a medida que el parametro d se acerca a la hipotesis nula, y aumentan a medida que lo hace el grado de no estacionaridad bajo la alternativa, excepto por los resultados presentados por la prueba DGM para d = 1.2 y 1.3.

Se resaltan las potencias promedio considerablemente altas alcanzadas por dichas metodologias para valores de d cercanos a la raiz unitaria (d = 0.9 y 1.1). Tambien se destaca que para d = 0.6, 0.9 y d > 1.1 la prueba propuesta alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados. Las pruebas propuestas por Geweke y Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) presentan un pobre desempeno mostrando las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis alternativa, y pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo. De nuevo se observa que la prueba Cas-Lem tiene la menor desviacion en el tamano de todos los contrastes considerados.

En el Grafico 6. se observa que al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias promedio obtenidas por las pruebas, presentando un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 observaciones.

[GRAFICO 5 OMITIR]

[GRAFICO 6 OMITIR]

En el Grafico 7 se observa que para d = 0.6, la potencia de la prueba Cas-Lem es levemente inferior a la obtenida por las pruebas de Lobato y Velasco (2007) y Tanaka (1999) y superior a las alcanzadas por las demas; como resultado de interes, se aprecia como la prueba Cas-Lem mejora su comportamiento a medida que el valor del parametro d se acerca a la hipotesis nula alcanzando la mayor potencia de todos los contrastes para d = 0.9.

De igual manera, se observa que para valores positivos del coeficiente media movil y d = 0.6, 0.7 y 0.8, la prueba DGM (estandar y aumentada) presenta un desempeno deficiente para detectar las raices fraccionales no estacionarias presentes en las series temporales simuladas, con potencias promedio muy inferiores a las metodologias mas eficientes.

Para d mayores a uno (d > 1), las pruebas de Lobato y Velasco (2007), de Dolado et al. (2002) y la propuesta (Cas-Lem) tienen un desempeno similar, pues alcanzan potencias promedio considerablemente altas para valores del parametro de diferenciacion fraccional cercanos a la raiz unitaria, las cuales se incrementan a medida que aumenta el grado de no estacionaridad del proceso, con excepcion de los resultados para d = 1.3, donde las pruebas LV y DGM tienen una disminucion considerable en sus potencias promedio. Se resalta el hecho de que para cualquier valor del parametro d mayor a uno (d > 1) la prueba Cas-Lem alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados.

La prueba propuesta por Tanaka (1999) tiene un comportamiento bastante irregular, observese que para d [elemento de] [0.6,0.7] alcanza las mayores potencias promedio entre todas las metodologias, pero, para valores del parametro cercanos y mayores a la hipotesis nula, la prueba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raices fraccionales no estacionarias. Como caso puntual se puede observar que para d > 1 dicha prueba tiene el peor comportamiento con las potencias promedio mas bajas.

Las pruebas propuestas por Geweke y Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para el parametro d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presentan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo.

En el Grafico 8. se observa que al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias promedio obtenidas por las pruebas, presentando un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 observaciones.

[GRAFICO 7 OMITIR]

[GRAFICO 8 OMITIR]

En el Grafico 9. se observa que las pruebas de Lobato y Velasco (2007) y Dolado et al.(2002) tuvieronun desempeno parecido alolargo delintervalo de valores del parametro d considerado, alcanzando potencias promedio considerablemente altas para valores de d cercanos a la raiz unitaria, las cuales aumentan a medida que el grado de no estacionaridad del proceso se aleja de la hipotesis nula, con excepcion del resultado de la prueba DGM para d = 1.3 y 1.4.

De igual manera, se observa que para procesos simulados con componente media movil, cuyo coeficiente toma valores negativos, y los valores del parametro de diferenciacion fraccional mas alejados de la hipotesis inicial (d = 0.6, 0.7, 1.3 y 1.4), la prueba Cas-Lem tiene el mejor desempeno presentando las mayores potencias promedio de todas la metodologias consideradas; esta situacion se va deteriorando a medida que el valor del parametro d se encuentra mas cerca de la raiz unitaria, donde la prueba propuesta exhibe una gran disminucion en su capacidad de detectar las raices fraccionales no estacionarias presentes en las series temporales simuladas.

Las pruebas propuestas por Geweke y Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considera do para el parametro d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior para d = 0.9, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis alternativa. La prueba propuesta por Tanaka (1999) tiene un comportamiento bastante irregular: observese que para d [elemento de] [0.6,0.9] alcanza potencias promedio muy altas, pero, para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula, la prueba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raices fraccionales.

Se puede observar una ostensible distorsion en el tamano presentado por la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a uno se aleja bastante del nivel de significancia nominal considerado en este trabajo, lo que indica una tendencia de esta a rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los resultados presentados por la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal definido, sobresaliendo la notoria distorsion presentada por las pruebas de Geweke y Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995).

En el Grafico 10. se observa que al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias promedio obtenidas por las pruebas, y que la metodologia de Tanaka ya no presenta la extrema distorsion en el tamano presentada por esta para las series simuladas de 500 observaciones. Con excepcion de las caracteristicas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series de tiempo de menor longitud.

Conclusiones

Al comparar los resultados obtenidos por las diferentes metodologias en los casos de interes presentados en la seccion anterior, se pueden obtener las siguientes conclusiones:

Ninguna de las pruebas bajo analisis es mas potente que las demas para todo el conjunto de valores del parametro de diferenciacion fraccional; tampoco se percibe que una unica prueba presente las menores desviaciones respecto al nivel de significancia nominal considerado, pero si se puede apreciar que existen algunas pruebas con mejor comportamiento a lo largo de los diferentes escenarios de simulacion estudiados.

[GRAFICO 9 OMITIR]

[GRAFICO 10 OMITIR]

En general, la potencia promedio de la prueba propuesta es, en muchos de los casos estudiados, mayor que la obtenida por los demas contrastes considerados en el estudio, y sus valores son muy estables. De igual manera, se determino que la aproximacion autorregresiva para el componente a corto plazo del modelo ARFIMA permite conservar un tamano promedio adecuado presentando generalmente las menores desviaciones en el tamano bajo la hipotesis nula.

Los resultados y conclusiones obtenidas en este trabajo son consistentes con aquellas presentadas en Castano et al. (2008) para los procesos ARFIMA(p,d,q) estacionarios (-1/2 < d < 1/2). La unica falencia encontrada reside en el hecho de que, cuando el coeficiente del polinomio MA del proceso ARFIMA toma valores negativos, la prueba propuesta tiene una disminucion considerable en su potencia promedio, particularmente para valores del parametro de diferenciacion fraccional cercanos a la raiz unitaria.

De manera similar se puede apreciar que, para todos los casos estudiados y todo el rango de valores del parametro d, la prueba de Lobato y Velasco (2007) obtiene potencias levemente superiores a las logradas por la prueba DGM, y considerablemente superiores a las pruebas de Geweke y PorterHudak (1983) y de Robinson (1995).

Por el contrario, el contraste de Tanaka (1999) tiene un comportamiento bastante irregular a lo largo de los casos estudiados: en algunos de estos la metodologia tiene potencias promedio muy altas para d < 1, una disminucion considerable en su capacidad de detectar raices fraccionarias para d > 1, y elevadas desviaciones en el tamano con valores cercanos a la unidad. En otros casos ocurre lo contrario: potencias promedio muy bajas para d < 1 y un aumento considerable en su capacidad de detectar raices fraccionarias para d > 1, con altas distorsiones en el tamano de la prueba. Lo anterior indica que para algunos casos esta prueba tiene una altisima tendencia a rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los resultados presentados por la misma. Por otra parte, para poder implementar dicha prueba se asume conocido el verdadero modelo a corto plazo del proceso, situacion bastante improbable en la practica, resultando inviable su aplicacion en la mayoria de los casos.

La prueba de Geweke y Porter-Hudak (1983) y la prueba de Robinson (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para el parametro d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presentan las potencias mas bajas bajo la hipotesis altemativa y pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula.

Resulta evidente, para todas las pruebas presentadas en este trabajo, que a medida que el tamano muestral crece, la potencia de la prueba aumenta y su tamano tiende al valor nominal considerado, salvo unas pocas excepciones.

Apendice

Tablas con las potencias y tamano promedio por cada caso considerado
Tabla 1. Potencia y tamano  Caso1: ARFIMA(0,d,0). T = 500

d        LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6     0.947     0.9579    0.9252     0.9337
0.7    0.9696     0.9749    0.9266     0.9441
0.8     0.784     0.7989    0.7654     0.7996
0.9    0.6438     0.6698    0.6252     0.6566
1.0    0.0552     0.0562    0.0542     0.0576
1.1     0.685     0.7038    0.6588     0.6734
1.2    0.7948     0.7962    0.7635     0.7756
1.3    0.9682     0.9765    0.8772     0.8156
1.4     0.94      0.9684    0.9104      0.937

d      Castano      GPH      Rob95    Tanaka

0.6     0.9389    0.7418     0.607    0.9766
0.7     0.9534    0.5458    0.4584    0.9982
0.8     0.7999     0.335    0.3272    0.8346
0.9     0.6828    0.1738    0.2414     0.173
1.0     0.0534    0.2608    0.2196     0.009
1.1     0.674     0.2288    0.3046    0.3216
1.2     0.7648     0.474    0.4798    0.7456
1.3     0.9746    0.6206     0.491    0.4174
1.4     0.9743    0.8086     0.648    0.5276

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 2. Potencia y tamano  Caso1: ARFIMA(0,d,0). T = 1000.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6       1          1       0.9412        1
0.7       1          1       0.9482        1
0.8     0.8896     0.8721    0.8622     0.8678
0.9     0.6890     0.6926    0.6204     0.6624
1.0     0.0596     0.0632    0.0527     0.0552
1.1     0.6708     0.6684    0.6180     0.6826
1.2     0.7910     0.7882    0.7580     0.7888
1.3     0.9861     0.9904    0.9244     0.9660
1.4     0.9568     0.9714    0.9344     0.9360

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6       1        0.8804     0.83         1
0.7       1        0.6930    0.6512        1
0.8     0.8581     0.438      0.454      0.996
0.9     0.6822     0.2038    0.2912      0.474
1.0     0.0515     0.2596    0.2166     0.0108
1.1     0.7690     0.193     0.2546     0.1108
1.2     0.8032     0.3872    0.3632      0.324
1.3       1        0.7472    0.6778      0.729
1.4       1        0.9082    0.8378     0.6964

Tabla 3. Potencia y tamano Caso2: ARFIMA(1,d,0).
[phi]'s > 0 y T = 500.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6     0.9534     0.9637    0.8845     0.9138
0.7     0.9486     0.9534    0.8322     0.8513
0.8     0.6704     0.6927    0.4119     0.4377
0.9     0.435      0.4687    0.3626      0.377
1.0     0.0893     0.0875    0.0963     0.0881
1.1     0.4312     0.4333    0.3702     0.3967
1.2     0.6401     0.6715    0.6033     0.6337
1.3     0.9313     0.9542    0.9109     0.9441
1.4     0.9346     0.9508    0.8972     0.9219

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6     0.9429     0.5095    0.4553     0.3494
0.7     0.9107     0.3815    0.4064     0.2553
0.8     0.6332     0.3071    0.3838     0.0585
0.9     0.3787     0.2834    0.3939     0.0057
1.0     0.084      0.4359    0.4305     0.0027
1.1     0.3325     0.4471    0.5001     0.0487
1.2     0.6583     0.6046    0.5965     0.2933
1.3     0.9393     0.7675    0.7106     0.4191
1.4     0.9492     0.8838     0.804     0.5268

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 4. Potencia y tamano Caso2: ARFIMA(1,d,0).
[phi]'s > 0 y T = 1000..

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6     0.9883     0.9913     0.903     0.9448
0.7     0.9953     0.9956    0.7476     0.7735
0.8     0.7908     0.7939    0.5568     0.5767
0.9     0.4821     0.4907    0.3907     0.4009
1.0     0.0761     0.0727    0.0843     0.0835
1.1     0.4707     0.5223    0.3746     0.4301
1.2     0.6863     0.6885    0.6332     0.6773
1.3     0.9697     0.9874    0.9419     0.9646
1.4     0.9487     0.9721    0.9358     0.9713

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6     0.9786     0.668     0.6001     0.5575
0.7      0.98      0.4889    0.5097     0.3551
0.8     0.7025     0.3149    0.4483     0.2339
0.9     0.4297     0.2297    0.4252      0.02
1.0     0.0797     0.4191     0.456     0.0025
1.1     0.3595     0.2409    0.3171     0.1145
1.2     0.6677     0.6478    0.6903     0.3671
1.3     0.9941     0.8373    0.8199      0.432
1.4     0.967      0.9406    0.9119      0.57

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 5. Potencia y tamano Caso3: ARFIMA(1,d,0).
[phi]'s < 0 y T = 500.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6     0.9677     0.9758    0.9425     0.9666
0.7     0.9581     0.974     0.9277      0.953
0.8     0.7662     0.796     0.7426     0.7792
0.9     0.6675     0.6899    0.6362     0.6755
1.0     0.0631     0.0657    0.0749     0.0715
1.1     0.7742     0.8135    0.7395     0.7561
1.2     0.9017     0.9253    0.6839     0.7093
1.3     0.9461     0.965     0.6563     0.6567
1.4     0.9644     0.9778    0.8749     0.9036

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6     0.9845     0.6997    0.6208     0.9729
0.7     0.9679     0.5322    0.4746     0.9688
0.8     0.8052     0.3383    0.3376     0.9931
0.9     0.7309     0.181     0.2467     0.6999
1.0     0.0599     0.2565    0.2097     0.0673
1.1     0.7786     0.186     0.2525     0.5911
1.2     0.9451     0.3736    0.3495     0.9357
1.3     0.9841     0.6027    0.4809     0.9262
1.4     0.9848     0.8003    0.6455     0.8916

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 6. Potencia y tamano Caso3: ARFIMA(1,d,0).
[phi]'s < 0 y T = 1000.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6       1          1       0.9477        1
0.7       1          1       0.9563     0.9928
0.8     0.8599     0.8719    0.8325     0.8493
0.9     0.7031     0.7226    0.6663     0.6897
1.0     0.0653     0.0659    0.0699     0.0723
1.1     0.8277     0.8452    0.8082     0.8147
1.2     0.9471     0.9633     0.695     0.7305
1.3     0.9786     0.9854    0.8659     0.8826

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6       1        0.8373    0.8331        1
0.7       1        0.682     0.6643        1
0.8     0.8822     0.4296    0.4675        1
0.9     0.7317     0.2082    0.2947     0.9293
1.0     0.0646     0.2693    0.2375     0.0727
1.1     0.8533     0.2187    0.3048     0.8706
1.2     0.9665     0.4761    0.4799     0.9959
1.3       1        0.7438    0.6735     0.9853

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 7. Potencia y tamano Caso4: ARFIMA(0,d,1).
[phi]'s > 0 y T = 500.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6     0.9716     0.9829    0.3637     0.3577
0.7     0.9696     0.9771    0.6397      0.632
0.8     0.8098     0.8342    0.6398     0.6541
0.9     0.6455     0.6563    0.6342     0.6519
1.0     0.0628     0.059     0.0728     0.0636
1.1     0.7321     0.7526    0.6677      0.714
1.2     0.9219     0.9517    0.9064     0.9432
1.3     0.8624     0.8954    0.6334     0.6596
1.4     0.9316     0.964     0.9244     0.9415

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6     0.963      0.7348    0.6023     0.9998
0.7     0.9768     0.5454    0.4461     0.9599
0.8     0.8204     0.3329    0.3248     0.4322
0.9     0.7497     0.177     0.2343     0.0308
1.0     0.0669     0.2631    0.2151     0.0006
1.1     0.7631     0.1897    0.2623      0.001
1.2     0.9752     0.3792    0.3645     0.0188
1.3     0.978      0.615      0.488     0.1069
1.4     0.9696     0.7973    0.6498     0.2766

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 8. Potencia y tamano Caso4: ARFIMA(0,d,1).
[phi]'s > 0 y T = 1000.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6       1          1       0.5203     0.5567
0.7       1          1       0.5841     0.5892
0.8     0.8608     0.8752     0.673     0.6794
0.9     0.6863     0.6868    0.6255     0.6599
1.0     0.0543     0.053     0.0644     0.0544
1.1     0.7734     0.8176    0.6682      0.708
1.2     0.9429     0.9582    0.9335     0.9497
1.3     0.9819     0.9865    0.9766     0.9844
1.4     0.927      0.9736    0.8762     0.9198

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6       1        0.8694    0.8293        1
0.7       1        0.6926    0.6708        1
0.8     0.8756     0.4313    0.4424     0.9675
0.9     0.7192     0.2107    0.2902     0.2538
1.0     0.0568     0.267     0.2296     0.0026
1.1     0.8669     0.2225    0.3131     0.0079
1.2     0.973      0.4799    0.4944     0.1695
1.3       1        0.7502    0.6923      0.359
1.4       1        0.9101    0.8367     0.4442

Fuente: elaboracion propia

Tabla 9. Potencia y tamano Caso5: ARFIMA(0,d,1).
[phi]'s < 0 y T = 500.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6     0.9664     0.9716    0.9372     0.9722
0.7     0.9526     0.976     0.9284     0.9574
0.8     0.7874     0.7973    0.7478     0.7656
0.9     0.6451     0.6712    0.6526     0.6726
1.0     0.0636     0.0737    0.0775     0.0787
1.1     0.7193     0.7443    0.6224     0.6728
1.2     0.8619     0.8672     0.831     0.8562
1.3     0.9581     0.9652    0.7818      0.789
1.4     0.9602     0.9626    0.8179     0.8665

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6     0.9726     0.7745    0.7876     0.9603
0.7     0.9868     0.667     0.6719     0.9664
0.8     0.5748     0.4971    0.5465      0.975
0.9     0.2615     0.3308    0.4273     0.9937
1.0     0.0854     0.3658    0.3201     0.9272
1.1     0.2525     0.1516    0.2763     0.5728
1.2     0.6549     0.2469    0.2733     0.6298
1.3     0.9832     0.4271    0.3339     0.8551
1.4     0.9875     0.6337    0.4253     0.7665

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 10. Potencia y tamano Caso5: ARFIMA(0,d,1).
[phi]' < 0 y T = 1000.

d         LV      LV Aum.      DGM     DGM Aum.

0.6       1          1       0.9466     0.9908
0.7       1          1       0.9356     0.9906
0.8     0.8228     0.8785    0.8391     0.8538
0.9     0.7786     0.7904    0.7388     0.7714
1.0     0.0503     0.0441     0.052     0.0468
1.1     0.7402     0.7466    0.6705     0.7109
1.2     0.865      0.8853     0.852     0.8561
1.3     0.9741     0.9991    0.9005     0.9148
1.4     0.9807     0.9931    0.9363     0.9722

d      Castano      GPH       Rob95     Tanaka

0.6     0.9805     0.8658    0.9117        1
0.7     0.988      0.758     0.8036        1
0.8     0.6645     0.5485    0.6504        1
0.9     0.4893     0.3021    0.4663        1
1.0     0.0728     0.3372    0.3272     0.0778
1.1     0.3722     0.1628    0.2894     0.6006
1.2     0.8025     0.3559    0.3502     0.7941
1.3     0.9902     0.6282    0.4884     0.9687
1.4     0.9722     0.8398    0.6674     0.8294

Fuente: elaboracion propia


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Diego Lemus y Elkin Castano *

Primera version recibida el 25 de noviembre de 2012; version final aceptada el 22 de marzo de 2013

* Diego Fernando Lemus Polania Magister en Ciencias--Estadistica. Escuela de Estadistica, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin. Direccion postal: Carrera 45 B # 34 sur--70. Edificio: Portal del Cerro. Torre 7. Apto 402. Direccion electronica: dflemus@unal.edu.co.

Elkin Argemiro Castano Velez Profesor asociado de la Escuela de Estadistica, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia--Sede Medellin y profesor titular de la Facultad de Ciencias Economicas, Universidad de Antioquia. Direccion postal: Universidad Nacional de Colombia--Sede Medellin, calle 59a # 63-20, oficina 43-216. Direccion electronica: elkincv@gmail.com.
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Author:Lemus, Diego; Castano, Elkin
Publication:Lecturas de Economia
Date:Jan 1, 2013
Words:10244
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