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PRONOSTICOS DE LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE LAS TASAS DE INTERES EN MEXICO CON BASE EN UN MODELO AFIN.

FORECASTING THE TERM STRUCTURE OF INTEREST RATES IN MEXICO USING AN AFFINE MODEL

1. Introduccion

De acuerdo con la literatura, el estudio de la dinamica de la estructura temporal de las tasas de interes tanto para los economistas, inversionistas como para los hacedores de politica es importante por diversas razones (Ver Cox, Ingersoll y Ross, 1985; Duffie y Kan, 1996; Ang y Piazzesi, 2003). Una de las principales es que la estructura temporal de las tasas de interes contiene informacion sobre la trayectoria futura de la economia (pronostico). Asimismo, la estructura temporal de las tasas de interes puede proporcionar informacion sobre las expectativas de los participantes en los mercados financieros. Dichas expectativas son de considerable importancia para los pronosticadores y los hacedores de politica, debido a que lo que piensan los participantes en el mercado acerca de lo que puede suceder en el futuro afecta sus decisiones actuales, las cuales, a su vez, ayudan a determinar lo que realmente sucede en el futuro. Una segunda razon para analizar el comportamiento de la estructura temporal de las tasas de interes es el estudio de los mecanismos de transmision de la politica monetaria, de modo que, para un estado dado de la economia, un modelo de la estructura temporal puede ayudar a explicar como las tasas de corto plazo se ven reflejadas en los niveles de las tasas de interes de largo plazo. Esto es importante porque las tasas de largo plazo desempenan un papel fundamental en una serie de decisiones economicas, tales como las de las empresas sobre la inversion y las de los hogares con respecto a la adquisicion de bienes durables (o de ahorro). Otra razon para estudiar la estructura temporal de las tasas de interes es la polotica de deuda de los gobiernos, debido a que cuando se emite nueva deuda estos oltimos necesitan decidir acerca de los vencimientos de los nuevos bonos. Finalmente, la estructura temporal es fundamental en la estimacion de derivados y en la cobertura de alguna eventualidad. Por ejemplo, en el caso de evaluar estrategias optimas los bancos necesitan saber como los precios de los derivados dependen del estado actual de la economia.

Debido a que el anoalisis de la estructura temporal de las tasas de interes es importante para diversos sectores de la economoa, como se menciono, este artoculo tiene como finalidad pronosticar, basado en un modelo afin con factores exogenos, la estructura temporal de las tasas de interes para diferentes horizontes de tiempo.

Cabe destacar que hasta el momento no conocemos traba jos formales para Mexico que pronostiquen la estructura temporal de las tasas de interes, por lo que nos resulta interesante desarrollar la presente investigacioon, cuyo objetivo principal es explorar, para el caso de la economia mexicana, la capacidad predictiva del modelo aqui presentado. Ademas, en la literatura la mayoria de los modelos se han concentrado en pronosticar tanto horizontes de corto plazo (menores o iguales a un ano) como la dinamica de la estructura temporal de las tasas de interes con vencimientos de corto plazo. Asimismo, los que pronostican la dinamica de la estructura temporal de las tasas de interes de mayores plazos, casi siempre, recurren a modelos autorregresivos o a VARs que no incorporan la condician de no arbitraje y, por lo tanto, solo pronostican la dinamica de los rendimientos utilizados en la estimacian. La bondad del modelo propuesto es que permite estimar y pronosticar la estructura temporal de las tasas de interaes consistentes con la condiciaon de no arbitraje para cualquier vencimiento.

Existe una extensa literatura teorica y empirica con respecto a la estimacion de la estructura temporal de las tasas de interes. Desde antes de los anos 80 ya se contaba con modelos que estimaban los precios de bonos en una forma analitica y cerrada (Vasicek, 1977; Cox, Ingersoll y Ross, 1985). Unos anos mas tarde aparecieron los modelos parametricos parsimoniosos que, a traves de la estimacion de factores, caracterizaron la estructura temporal de las tasas de interes mediante el nivel, la pendiente y la curvatura de dicha estructura (Nelson-Siegel, 1987; Svensson, 1994). Cabe destacar que este tipo de modelos admite oportunidades de arbitraje, es decir, las primas por riesgo de las tasas de interes de largo plazo no pueden ser separadas de las expectativas de las tasas de interes de corto plazo futuras. Posteriormente surgen los modelos afines, los cuales incorporan la condician de no arbitraje (Duffie y Kan, 1996; Dai y Singleton, 2000; Ang y Piazzesi, 2003; para el caso de Mexico: Cortes y Ramos-Francia, 2008). (1) Los modelos afines difieren unos de otros en dos formas: una es con respecto a la funcion afin utilizada, que puede ser lineal, exponencial, etc., y la otra es con respecto a como se consideran las variables de estado dentro del modelo afin, las cuales pueden ser no observables o latentes (Ang y Piazzesi, 2003; Ang, Bekaert y Wei, 2007) o bien pueden ser observables. Estas ultimas se pueden estimar por diferentes metodos, entre los mas comunes se tienen: a) Nelson-Siegel (Diebold y Li, 2006; Favero, Niu y Sala, 2007; Gimeno y Marques, 2009; De Pooter, Ravazzolo y van Dijk, 2010; Yu y Zivot, 2011) y b) componentes principales (Sethi, 2008; para el caso de Mexico: Cortes, Ramos-Francia y Torres, 2008). Un gran numero de estudios en anos recientes se han enfocado en pronosticar dicha estructura para diferentes horizontes de tiempo (Monch, 2005; Diebol y Li, 2006; Chistensen, Diebold y Rudebusch, 2007; Favero, Niu y Sala, 2007; De Pooter, Ravazzolo y van Dijk, 2010; Yu y Zivot, 2011; entre otros).

En particular, la finalidad de este articulo es mostrar que al utilizar un modelo afin con factores exogenos, estimados mediante la tuecnica de componentes principales donde se incorpora la condiciuon de no arbitraje, iguala o mejora el desempenno de predicciuon de la estructura temporal de las tasas de interes en Mexico. Cabe senalar que la estructura del modelo es similar a la del modelo de Gimeno y Marques (2009). (2)

Ademas, para mostrar el desempeno relativo del modelo propuesto, se presentan los pronuosticos fuera de muestra, estimados mediante el modelo afin con factores exogenos, y cuatro modelos de referencia de las tasas de interes para vencimientos selectos, basados en una tasa forward, un ar(1), un VAR(1) y un modelo de caminata aleatoria, respectivamente. En particular el desempenno de cada modelo es medido mediante la raiz cuadrada del error cuadratico medio (bien conocido en ingles como root mean squart error, RMSE).

Adicionalmente, para verificar estadisticamente si los pronusticos del modelo afin con los provenientes de los modelos de referencia son iguales se consideraron las pruebas de hipotesis de Harvey, Leybourne y Newbold (1997) y de Clark y McCraken (2001, 2010). (3)

Como resultados principales se tienen dos, el primero, en horizontes de pronostico corto (12 meses) y mediano (18 meses), los pronosticos de las tasas de interes fuera de muestra obtenidos mediante el modelo afin, en promedio, son comparables con los pronisticos obtenidos con los otros modelos considerados, a excepcion del modelo de caminata aleatoria, que presenta menores errores de pronosticos para los vencimientos de 24 y 36 meses. Conviene destacar que aunque en algunos modelos, principalmente en la caminata aleatoria, los errores de los pronosticos son mas pequenos que aquellos de los modelos afines, los estadisticos HLN y CM en la mayoria de los casos aceptan la igualdad de pronosticos, lo que nos lleva a concluir que los pronosticos de los modelos afines son comparables con aquellos de los modelos de referencia en dichos horizontes. Sin embargo, en un horizonte de pronostico mas largo (24 meses) y para vencimientos largos (5 anos), los modelos afines, en promedio, proporcionan mejores pronaosticos que los otros cuatro modelos considerados para cualquier horizonte de pronostico. (4)

En el segundo resultado hay que destacar que los porcentajes de los RMSEs obtenidos en los pronosticos fuera de muestra para un horizonte de pronostico de 12 meses tienen magnitudes similares a los obtenidos por otros estudios en la literatura, por ejemplo, Monch (2005).

El estudio se divide de la siguiente manera. En la seccion 2 se presentan los datos y su descripcion estadastica, en la 3 se describe paso a paso el modelo afin con factores exogenos. En la seccion 4 se presenta el ajuste del modelo afon dentro de muestra, en la 5 se proporcionan los pronosticos fuera de muestra del modelo afon con factores exoogenos y se comparan con los pronosticos obtenidos de los cuatro modelos de referencia considerados. Asimismo, se presentan las pruebas estadasticas de Harvey, Leybourne y Newbold (1997) y de Clark y McCraken (2001, 2010), para comparar si los pronosticos provenientes de dos modelos diferentes son iguales o distintos. Finalmente, en la altima seccion se concluye.

2. Datos

Para las estimaciones de los modelos se utilizaron las tasas de interes de bonos cupon cero con vencimientos que van de 1 hasta 60 meses, con periodicidad mensual para la muestra, que abarca de enero de 2004 a julio de 2011. (5) Los datos fueron obtenidos de Valmer. En la grafica 1 se presentan las series de tiempo de las tasas de interes de bonos cupon cero para vencimientos selectos que se utilizaran en el analisis.

En la grafica 1 se puede observar que, en general, a partir de febrero de 2004 las tasas de interaes comenzaron a subir de manera considerable hasta alcanzar un maximo de febrero a agosto de 2005. Despues, empezaron a disminuir hasta abril de 2006 en donde se mantuvieron en un rango aproximado de 7.5 a 9.5% hasta abril de 2008. Posteriormente, tuvieron un repunte que se extendio a diciembre de 2008 y, finalmente, comenzaron a disminuir con un nivel mas bajo en julio de 2009, el cual se ha mantenido estable en un rango aproximado de 4 a 8%, para los diferentes vencimientos de las tasas de interes de bonos cupon cero que van de un mes hasta 5 anos.

En el cuadro 1 se presentan las estadisticas mas importantes de la estructura temporal de las tasas de interes para algunos vencimientos. En ellas se observa que no es posible rechazar, al menos a 5% de confianza, la hipaotesis de normalidad en los datos de las tasas de interaes (ver estadastico Jarque-Bera y su probabilidad). Otra caracteristica importante de las tasas de interaes es que a pesar de que graaficamente se ve mas movimiento en las tasas de interes de largo plazo (de 2 anos a 5 anos), sus desviaciones estandar son menores que las de las tasas de corto plazo (menores o iguales a un ano). Finalmente, se observa que los coeficientes de autocorrelaciaon son significativos, al menos a un nivel de 5% de confianza. Ademas, el coeficiente de p(1) para los diferentes vencimientos de las tasas de interaes es cercano a uno.

Adicionalmente, en el cuadro 2 se presentan pruebas de hipotesis para mostrar que las tasas de interes a diferentes plazos, en su conjunto, no presentan cambios estructurales. En particular, se consideran de cero a cinco cambios estructurales y se muestran dos estadisticos de prueba el de Schwarz y el LWZ (criterio de informacion de Schwarz modificado). Los resultados de las pruebas proporcionan evidencia de que las tasas de interes no tienen cambios estructurales.

3. El modelo afin con factores exogenos

Los motivos de utilizar un modelo afin con factores exogenos, en lugar de algon otro modelo ya existente en la amplia literatura de la estructura temporal de las tasas de interes son los siguientes: Primero, el utilizar un modelo de Nelson-Siegel produce un buen ajuste, ya que este al ser un modelo parsimonioso captura adecuadamente el nivel, la pendiente y la curvatura de la estructura temporal de las tasas de interes; la desventaja es que no considera condiciones de no arbitraje. (6) Segundo, dentro de los modelos que incorporan la condicion de no arbitraje estan los modelos afines con factores latentes (Ang y Piazzesi, 2003; Ang, Bekaert, Wei, 2007), cuya desventaja es que, al momento de su estimacion, dependen fuertemente de las condiciones iniciales propuestas, de la seleccion arbitraria de los vencimientos de las tasas de interes que tienen que ser observadas sin error, asi como de las restricciones impuestas en los paraometros para conseguir convergencia. Con esta idea, para evitar las desventajas de los dos modelos antes mencionados, se propone el modelo afin con factores exogenos. Por un lado, con los factores exoogenos (estimados mediante componentes principales) este modelo captura la dinoamica de la estructura temporal de las tasas de interes en cuanto a su nivel, su pendiente y su curvatura (para mas detalles ver Cortes, Ramos-Francia y Torres, 2008); por otro lado, a traves de la estructura del modelo afin, se incorpora la condicion de no arbitraje y la aversion al riesgo. Una ventaja del modelo propuesto es que se imponen menos restricciones, lo que proporciona un modelo parsimonioso y robusto, con el cual se pueden realizar pronosticos de la estructura temporal de las tasas de interes.

A continuacion se describe paso a paso la estimacion del modelo afin con factores exogenos.

3.1. Estimacion del modelo afin

Debido a que el modelo afin es ya bien conocido en la literatura, aqui solamente se presentan sus caracteristicas mas importantes, asi como su representacion y la interpretacion de algunos parametros (ver Duffie y Kan, 1996; Dai y Singleton, 2000; Ang y Piazzesi, 2003).

Se considera el sistema de ecuaciones de espacio-estado en el cual se involucran una ecuacion de transicion, ecuacion (1), y una ecuacion de medida, ecuacion (2). En particular, la primera corresponde a la relacion que guardan entre si las variables de estado y ,en este caso, siguen la dinamica de un VAR(1). En tanto que la segunda relaciona a las tasas de interes a diferentes vencimientos con las variables de estado.

[X.sub.t] = [my] + [fi][X.sub.t-1] + [SIGMA][e.sub.t], [e.sub.t] ~ N (0, I) (1)

[mathematical expression not reproducible] (2)

El parametro [my] es un vector de constantes (corresponde al intercepto del vector de estados [X.sub.t]), [SIGMA] es la matriz de covarianzas del termino de error [e.sub.t] y [fi] es una matriz de coeficientes autorregresivos. Se consideran tres variables de estado observables, [X.sub.t] = [[X.sup.1.sub.t], [X.sup.2.sub.t], [X.sup.3.sub.t]] que son estimadas mediante el metodo de componentes principales (CP). De tal forma que los parametros [my], [fi] y [SIGMA] pueden estimarse a traves del metodo de minimos cuadrados ordinarios (MCO). Los coeficientes [[??].sub.k] y [[??]'.sub.k] se estiman de forma recursiva y sus expresiones implicitas se derivaran de la condicion de no arbitraje que se muestra mias adelante.

Los cambios en las tasas de interes a traves del tiempo seran el resultado de cambios en los factores [X.sub.t], mientras que las diferencias en la estructura temporal de las tasas de interes seran determinadas por los coeficientes [[??].sub.k] y [[??].sub.'k].

De la ecuaciin (2) se desprende la tasa de corto plazo, [y.sup.(1).sub.t], con [A.sub.1] = -[[delta].sub.0] y [B.sub.1] = -[[delta].sub.1] tal que:

[y.sup.(1).sub.t] = [[delta].sub.0] + [[delta]'.sub.1][X.sub.t] + [[epsilon].sup.(1).sub.t]

Se utiliza la tasa de interes con vencimiento de un mes como la tasa de corto plazo observable y se estiman los parametros [[delta].sub.0] y [[delta].sub.1] mediante el metodo de MCO.

Como ya se menciono, una de las caracteristicas importantes de los modelos afines es la condicion de no arbitraje, la cual restringe a los coeficientes [expresion matematica irreproducibel] de la ecuacion (2) de la siguiente forma: (7)

[expresion matematica irreproducibel] (4)

Los coeficientes [expresion matematica irreproducibel] se obtienen recursivamente de la ecuacion (4) al resolver la esperanza [E.sub.t] y queda como:

[expresion matematica irreproducibel] (5)

[[??]'.sub.k+1] = [[??]'.sub.k] ([fi] - [SIGMA][[lambda].sub.i]) - [[delta]'.sub.1] (6)

Con [expresion matematica irreproducibel]. Ademas, [[lambda].sub.0] es un vector y [[lambda].sub.1] es una matriz de coeficientes. Los coeficientes recursivos [expresion matematica irreproducibel] determinan las tasas de interes con vencimiento en k + 1. Dichos coeficientes son el resultado de la agregaciaon de: los determinantes de las tasas de interes de corto plazo ([[delta].sub.0] y [[delta]'.sub.1]), las diferencias entre la tasa de corto plazo actual y su valor pronosticado (dados por [expresion matematica irreproducibel], una compensacian por riesgo ([[??]'.sub.k][SIGMA][[lambda].sub.0] y [[??]'.sub.k][[lambda].sub.1]) y un termino cuadratico que viene de la desigualdad de Jensen aplicada para determinar dichos coeficientes (1/2 [[??]'.sub.k][SIGMA][SIGMA][[??].sub.k]).

Se puede observar que los parametros [[lambda].sub.0] y [[lambda].sub.1] son el resultado de considerar aversion al riesgo en el modelo (para mayores detalles ver Ang y Piazzesi, 2003; Gimeno y Marques, 2009). Esto se debe a que se obtendraa alguna compensaciaon por la incertidumbre en las tasas de interes de largo plazo, en las cuales el choque aleatorio et en (1) es acumulativo. Cabe destacar que a mayores choques aleatorios en el VAR, representado por la ecuacian (1), se generara mayor incertidumbre en los valores futuros de las tasas de interes. Por lo tanto, para compensar a los agentes que invierten en tasas de largo plazo se considera una prima por riesgo relativa a [SIGMA] que sera integrada en las tasas de interes. Asi, los coeficientes que trasladan la matriz [SIGMA] dentro de la prima por riesgo son llamados precios de riesgo ([[lambda].sub.t]) y, de acuerdo con la literatura, estos coeficientes son tambien afines a las variables de estado [X.sub.t]. Dichos precios de riesgo estan representados por la expresion:

[[lambda].sub.t] = [[lambda].sub.0] + [[lambda].sub.1][X.sub.t] (7)

Cabe destacar que si [[lambda].sub.1] = 0, entonces la prima por riesgo sera constante. Mientras que si [[lambda].sub.1] [not equal to] 0, la prima por riesgo variara en el tiempo. El cambio en la prima por riesgo, [[lambda].sub.t], a travaes del tiempo estara determinado por el cambio en los factores.

Finalmente, los parametros [[lambda].sub.0] y [[lambda].sub.1] del modelo afin se estiman mediante el maetodo de maaxima verosimilitud de los errores al utilizar la ecuacion (2) de donde se deriva que [[epsilon].sup.(k).sub.t] = [y.sup.(k).sub.t] - [[??].sup.(k).sub.t] con [[epsilon].sub.t] ~ N (0, [[sigma].sup.2]I). Las variables [y.sup.(k).sub.t] y [[??].sup.(k).sub.t] son la tasa de interes observada y estimada al tiempo t con vencimiento en k, respectivamente. Dadas las caracteristicas principales del modelo, a continuacion se muestran los resultados obtenidos.

3.2. Estimacion de los factores exogenos

Como ya se mencionao, se estiman las tres variables de estado o factores [X.sub.t] = [[X.sup.1.sub.t], [[X.sup.2.sub.t], [[X.sup.3.sub.t]], mediante el metodo de CP, dichos factores se relacionan con el nivel, la pendiente y la curvatura de la estructura temporal de las tasas de interes (ver Tipping y Bishop, 1999; Jolliffe, 2002). Los pesos de los factores a traves de los vencimientos de las tasas de interaes que se obtienen del maetodo de CP se pueden ver en la graafica 2.

El analisis del significado de cada componente principal puede verse en Cortes, Ramos-Francia y Torres (2008), en donde se encuentra que los pesos del primer componente principal, al ser casi horizontales, corresponden al nivel de la curva de las tasas de interes. Asi, los desplazamientos de esta son en forma paralela. Los pesos del segundo componente principal corresponden a la pendiente y, al ser este negativo, significa que los cambios en dicho componente rotan la curva de las tasas de interes. Finalmente, el peso del tercer componente corresponde a la curvatura debido a que los extremos de corto y largo plazo aumentan con respecto al resto de los plazos, en tanto que las tasas de interes de mediano plazo disminuyen. (8)

La grafica 3 muestra la dinamica de las variables de estado [X.sub.t], en su representacion de nivel, pendiente y la curvatura de la estructura temporal de las tasas de interes. Ademas, se grafican sus valores empiricos, por ejemplo, el vencimiento maximo de la tasa de interes es equivalente al nivel de la estructura temporal (nivel = [y.sup.(60).sub.t]), la tasa de interes con vencimiento de mayor plazo menos la tasa de interes con vencimiento de 3 meses corresponde a la pendiente de dicha estructura temporal (pendiente = [y.sup.(60).sub.t] - [y.sup.(3).sub.t])o Finalmente, dos veces la tasa de interes con vencimiento de 2 anos menos la tasa de interes con vencimiento de 3 meses menos la tasa de interes con vencimiento maximo equivale a la curvatura (curvatura = 2[y.sup.(24).sub.t] - [y.sup.(60).sub.t] - [y.sup.(3).sub.t]).

4. Ajuste del modelo afin versus los datos observados

Estimadas las variables de estado [X.sub.t], se ajusta a estas un VAR(1) como se vio en la ecuacion (1). El modelo VAR toma en cuenta la predictibilidad observada en las tasas de interes, pero al mismo tiempo tiene un grado de incertidumbre en el valor futuro de las tasas de interes representado por el vector et, el cual es considerado ruido blanco.

En la grafica 4 se muestra el ajuste del vector de estados [X.sub.t] con los componentes obtenidos del VAR(1), asi como los parametros estimados [my], [fi] y [SIGMA]. Cabe destacar que la matriz [SIGMA] considerada corresponde a la matriz triangular superior de Cholesky. (9)

Adicionalmente, para verificar que los supuestos de la dinamica de las variables de estado se satisfacen, en el cuadro 3 se muestra la prueba de hipaotesis de que los errores de las variables de estado en el VAR(1) se distribuyen individualmente como normales. La prueba tambien sugiere que, en conjunto, los errores se distribuyen como una normal multivariada con media cero y varianza [SIGMA][SIGMA]'.

Por otro lado, se considera que la tasa de interes de corto plazo es una funcion afin a las variables de estado [X.sub.t], ver (3). Debido a que se esta trabajando con datos mensuales se puede usar la tasa de interes con vencimiento de un mes, [y.sup.(1).sub.t], como la tasa de interes de corto plazo observable. En la gregica 5 se presenta el ajuste de la tasa de interes de un mes en relacion con su funcion afin y sus respectivos parametros de estimacion con sus errores estandar entre parentesis.

Al considerar la condicion de no arbitraje y la aversion al riesgo es posible transformar la ecuacion (4) en un sistema recursivo de ecuaciones, cuya solucion esta dada por las ecuaciones (5) y (6). Estas dos altimas determinaran los coeficientes [expresion matematica irreproducibel] de las tasas de interes con vencimiento en k + 1. Definidos los coeficientes, se estiman las tasas de interes a diferentes vencimientos k, [[??].sup.(k).sub.t], mediante la ecuacion (2).

Como se menciono, la estimacian de los parametros que faltan ([[lambda].sub.0], [[lambda].sub.1] y [sigma]) se realiza mediante la maximizacion de la funcian de verosimilitud de los errores, [[epsilon].sup.(k).sub.t] = [y.sup.(k).sub.t] - [[??].sup.(k).sub.t] con [[epsilon].sub.t] ~ N (0, [[sigma].sup.2]I). Las variables [y.sup.(k).sub.t] y [[??].sup.(k).sub.t] son la tasa de interes observada y estimada al tiempo t con vencimiento en k, respectivamente. (10)

Para poder identificar estos parametros se considera el caso mas simple en el cual [[lambda].sub.1] es una matriz diagonal y el error del modelo, [[epsilon].sub.t], tiene una matriz de covarianza diagonal constante, [[sigma].sup.2]I. (11) Asi, los parametros estimados junto con sus errores estandar en parentesis son:

Finalmente, con los parametros estimados y las variables de estado conocidas se pueden obtener los coeficientes [expresion matematica irreproducibel], y asi obtener las tasas de interes estimadas mediante la ecuacion (2). En la grafica 6 se muestra el ajuste entre las tasas de interes observadas y las tasas de interes estimadas mediante el modelo afin con factores exogenos, para los vencimientos k = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 meses.

Para verificar el supuesto de que los errores de las variables de estado, y estos de los rendimientos, no estan correlacionados, en el cuadro 4 se presentan las correlaciones entre cada uno de los vencimientos con cada variable de estado. Como se puede observar, en general, las correlaciones son pequenas.

De la grafica 6 se puede observar que, en general, el modelo afin con factores exogenos replica bien las tasas de interes para diferentes vencimientos. Aunque, para vencimientos de mas largo plazo (54 a 60 meses) el modelo sobreestima las tasas de interes al final de la muestra y subestima al principio de dicha muestra. (12) Sin embargo, para vencimientos de corto y mediano plazo (12, 24 y 36 meses) el modelo ajusta bien los datos observados de las tasas de interes. Ademas, para las tasas de muy corto plazo (6 meses) el modelo parece subestimar un poco los datos observados.

Para complementar el analisis, en el cuadro 5 se presentan indicadores que miden el ajuste del modelo con respecto a los datos observados. Para ello, se calculan el error absoluto medio (EAM), el porcentaje de error absoluto medio (PEAM) y la raiz cuadrada del error cuadratico medio (RMSE). (13)

Del cuadro 5 se observa que, precisamente, los vencimientos que peores ajustes tienen son los de 54 y 60 meses. Aunque sus porcentajes de errores absolutos medios, en promedio, son menores a 9 por ciento. Es decir, si tuvieramos 100 observaciones, en promedio, nueve no ajustarian los datos observados. Para los otros rendimientos el ajuste es mejor.

Dado el ajuste del modelo, este se utiliza para pronosticar las tasas de interes fuera de muestra para diferentes vencimientos y horizontes de tiempo.

5. Pronosticos fuera de muestra

El que un modelo tenga un buen ajuste dentro de muestra no significa que es el que proporciona los mejores pronosticos. De esta forma, una metrica clave para evaluar si un modelo, en particular de la estructura temporal de las tasas de interes, es adecuado para pronosticar es el pronostico fuera de muestra. Por lo general, para estimar pronosticos fuera de muestra se divide el periodo de estudio en dos sub periodos. El primero se utiliza para estimar los paroametros del modelo y el segundo es considerado para evaluar el desempeno del pronostico.

Para llevar a cabo los pronosticos fuera de muestra se considera el metodo iterativo o dinamico debido a que, en la literatura, (14) los pronosticos realizados mediante los modelos afines utilizan dicho metodo, ya que es importante conservar la estructura del modelo afin en los pronosticos (para mas detalles se puede consultar Monch, 2005; Diebold y Li, 2006; Christensen, Diebold y Rudebusch, 2007; De Pooter, Ravazzolo y van Dijk, 2010).

Por lo tanto, para pronosticar las tasas de interes mediante el modelo afin, se utilizan los coeficientes estimados [expresion matematica irreproducibel], asi como el valor esperado de los factores, [E.sub.t] [[X.sub.t+h]], es decir, se estima el valor esperado de la tasa de interes en el horizonte de tiempo t + h para el vencimiento k como:

[expresion matematica irreproducibel] (8)

Para ser consistente con la literatura y conservar la estructura del modelo afin, el pronostico de las variables de estado, [E.sub.t] [[X.sub.t+h]], se hace iterativamente mediante dos metodos, un VAR(1) y un AR(1) (ver Diebold y Li, 2006).

i) A traves del proceso recursivo del VAR(1) la esperanza de los factores en t + h esta dada por:

ii) Al considerar las variables de estado como variables individuales y estimar un AR(1) para cada una de ellas:

[E.sub.t] [[X.sup.i.sub.t+h]] = (1 + [[gamma].sub.i] + [[gamma].sup.2.sub.i] + ... + [[gamma].sup.h-1.sub.i]) [my] + [[gamma].sup.h.sub.i][X.sup.i.sub.t], i = 1, 2, 3

De acuerdo con evidencia emporica (Diebold y Li, 2006), se ha encontrado que el pronosticar los factores o variables de estado, [X.sub.t], mediante un modelo AR es mejor que utilizar un modelo VAR. Esto se debe a que, cuando se considera un VAR, el numero de parametros a estimar es mayor que cuando se tiene un AR. Ademas, puede suceder que los factores en corte transversal no esten altamente correlacionados. No obstante, por otro lado, la dinamica de los factores o variables de estado fueron estimados mediante un VAR(1). Asi, para ser consistentes tanto con la literatura como con la estimacion original en el articulo se analizan ambos casos.

5.1. Modelos competitivos de referencia

Un modelo sera competitivo con respecto a otro modelo si estadisticamente proporciona pronosticos similares. Para verificar si el modelo afin con factores exagenos es competitivo o incrementa la habilidad de pronostico se compara el pronastico de las tasas de interes fuera de muestra versus los siguientes cuatro modelos estimados con datos observados.

a) Tasas forward. Para su estimacion se utiliza la formula:

[expresion matematica irreproducibel]

con i < j los vencimientos de las tasas de interes, [y.sup.(j).sub.t]. Como insumo se utilizan las tasas de interes de bonos cupon cero observadas a diferentes vencimientos.

b) Trayectoria fija o caminata aleatoria. Se considera una trayectoria fija para todo el horizonte de pronostico, es decir, las tasas de interes son pronosticadas mediante la relacion [y.sup.(k).sub.t+h] = [y.sup.(k).sub.t] + [[epsilon].sup.(k).sub.t+h] para todo, h, el horizonte de pronastico y, k, el vencimiento de la tasa de interes a ser pronosticada.

c) Modelo VAR (1). Los componentes del VAR estan dados por [Y.sub.t] = [[y.sup.(k).sub.t], [y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(30).sub.t], [y.sup.(120).sub.t]] con k = 12, 18, 24 meses los vencimientos de las tasas de interes a ser pronosticadas y [y.sup.(3).sub.t] [y.sup.(30).sub.t], y [y.sup.(120).sub.t] las tasas de interes de los bonos cupon cero con vencimientos de 3, 30 y 120 meses, respectivamente. Para el caso de la tasa de interes con vencimiento de 36 y 60 meses, el VAR considerado es [Y.sub.t] = [[y.sup.(36).sub.t], [y.sup.(1).sub.t], [y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(90).sub.t]] y [Y.sub.t] = [[y.sup.(60).sub.t], [y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(36).sub.t], [y.sup.(90).sub.t]], respectivamente. La ecuacian que se utiliza para su estimacion y pronostico es [Y.sub.t] = [[alfa].sub.k] + [[beta].sub.k] [Y.sub.t-1] + [[epsilon].sup.(k).sub.t], con k = 1, 12, 24, 36, 60 meses. Cabe destacar que, por consistencia, en este caso tambien se utiliza el modelo iterativo para que sea comparable con el modelo afin. (15)

d) Modelo autorregresivo estandar AR(1). La ecuacion a utilizar es [y.sup.(k).sub.t] = [[alfa].sub.k] + [b.sub.k] [y.sup.(k).sub.t-1] + [e.sup.(k).sub.t], con k = 1, 12, 24, 36, 60 meses los vencimientos de las tasas de interes a ser pronosticadas. Analogo al modelo anterior, por consistencia, en este caso tambioen se utiliza el metodo iterativo para que sea comparable con el modelo afin. (16)

5.2. Estimacion de los pronosticos fuera de muestra

Para ilustrar como se realizaron los pronosticos fuera de muestra, se considera el caso de un horizonte de pronostico de 12 meses. Para ello, se utilizan los datos de enero de 2004 a enero de 2008, como el periodo de estimacion de los modelos, y de enero de 2009 a diciembre de 2010 (24 predicciones) como el periodo fuera de muestra que se usaria para realizar los pronoisticos de la estructura temporal de las tasas de interes. Ademas, se utiliza una ventana movil para estimar los parametros de cada modelo, basada en la idea de tener siempre la informacion mas reciente al momento de realizar el pronostico. (17)

Por ejemplo, para predecir la tasa de interes correspondiente a enero de 2009 se consideran los datos para estimar los modelos de enero de 2004 a enero de 2008. Analogamente, para el siguiente mes se toma el periodo de muestra para estimar los modelos de febrero de 2004 a febrero de 2008 y asi predecir la correspondiente tasa de interes en febrero de 2009. El procedimiento se hace sucesivamente hasta obtener las 24 predicciones requeridas.

Por otro lado, para horizontes mas largos (18 y 24 meses), se tiene que disminuir el tamano de la muestra que se utiliza para estimar los modelos de manera que siempre se mantengan 24 predicciones fuera de muestra. Los vencimientos de las tasas de interes a pronosticar son 1, 12, 24, 36 y 60 meses y los horizontes de pronostico son 12, 18 y 24 meses.

Para examinar que metodo es el que tiene un mejor desempeno en pronosticar la estructura temporal de las tasas de interes para los vencimientos selectos en los diferentes horizontes de pronostico se consideran los RMSEs de cada modelo.

Cabe mencionar que, en los casos en que los errores cuadraticos (EC) (18) entre el valor observado y el valor pronosticado eran muy grandes se utilizo la tecnica aplicada por Yu y Zivot (2011), en la que se considera el metodo de interpolacion para sustituir predicciones extremas. En la estimacion de los RMSEs de este articulo la interpolacion de los casos extremos se hace sobre los errores cuadroaticos medios de cada pronoostico, para mantener asi la muestra original de 24 errores cuadraoticos en cada horizonte de pronostico y vencimiento seleccionado. (19)

En los cuadros 6 y 7 se presenta la comparacion de los RMSEs de los pronosticos fuera de muestra para los diferentes metodos considerados. Para facilitar la lectura de los resultados se exhibe el error relativo entre los RMSEs de los pronosticos de los modelos competitivos (columnas 4-7 y 4a-7a) versus los RMSEs de aquellos obtenidos de los modelos afines (columnas 2-3 y 2a-3a). Asi, valores mayores a uno implicaran que el modelo competitivo tuvo un peor desempenno en la prediccion de las tasas de interes que el respectivo modelo afin y, por consiguiente, valores menores a uno corresponderon a un mejor desempeno del modelo competitivo. Es de senalar que CP + Afin corresponde a los modelos afines con variables exogenas.

Adicionalmente, para reforzar los resultados se realizan pruebas estadisticas en las que se compara si los pronosticos de los modelos afines son iguales que los pronosticos obtenidos de los otros cuatro modelos considerados: las tasas forward, la trayectoria fija, el VAR(1) y el AR(1) (todos estimados con datos observados). Para ello, se utiliza el estadistico de prueba de Harvey, Leybourne y Newbold (1997), en adelante HLN. Ademas, para el caso en que los modelos comparados sean anidados se considera el estadistico propuesto por Clark y McCraken (2001, 2010), en adelante CM. La estimacion de estos estadisticos aparecen como asteriscos en los cuadros 6 y 7, en los que uno y dos asteriscos (* y **) representan el rechazo de la hipotesis nula de que los pronosticos de los dos modelos comparados son iguales a 5% y 10 de significancia, respectivamente. Mas aun, en los cuadros A.1 y A.2 del apendice se muestran explicitamente los valores de dichos estadisticos de prueba, segun sea su caso de aplicacion.

Al comparar entre los dos modelos afines se tiene que, el modelo afin-VAR (columna 2 del cuadro 6), tiene un mejor desempeno que el modelo afin-AR (columna 3a del cuadro 7). En promedio, el primer modelo afin tiene menores RMSEs que el segundo modelo afin mencionado. Aunque, de acuerdo con el estadistico CM en un horizonte de 18 y 24 meses, los pronosticos de estos modelos son similares para los diversos vencimientos analizados, con excepcion del vencimiento a 60 meses, en cuyo caso el primer modelo afin es mejor. No obstante, para un horizonte de 12 meses, el segundo modelo afin proporciona mejores pronosticos que el primero.

En general, los pronosticos de las tasas de interes fuera de muestra obtenidos mediante los modelos afines (cuadros 6 y 7) generan, en promedio, mejores resultados que las tasas forward (columnas 4 y 4a). Es decir, la mayoria de los RMSEs de los modelos afines son menores que los de las tasas forward para los tres horizontes pronosticados, asi como para todas las tasas de interes con vencimientos seleccionados de 1, 12, 24, 36 y 60 meses. El estadistico HLN refuerza estos hallazgos, excepto el vencimiento a 1 mes para los horizontes de 12 y 18 meses, en el cual proporciona igualdad de pronosticos.

Para el modelo afin-AR (cuadro 7), se tiene que sus RMSEs, en promedio, son menores que los de un VAR(1) que utiliza las tasas de interes observadas (columna 6a). Sin embargo, el estadistico HLN muestra igualdad de pronosticos para los horizonte de 12 y 18 meses para casi todos los vencimientos y en el horizonte de 24 meses solo para los vencimientos de 24 y 36 meses. Ademas, el modelo afin de igual manera proporciona, en promedio, pronoisticos comparables con el AR(1) que utiliza las tasas de interes observadas (columna 7a). Lo que es reforzado con el estadistico HLN, con excepciin de los vencimientos a 24 meses para los horizontes de 12 y 24 meses y a 60 meses para los tres horizontes considerados. Por su parte, la trayectoria fija (columna 5a) proporciona menores RMSEs que el modelo afin. Sin embargo, siete de los 15 pronisticos son iguales de acuerdo con el estadistico HLN, en otros siete gana la trayectoria fija y en uno el modelo afin. (20)

Con respecto al buen desempeno que tiene el modelo afin-VAR (cuadro 6), se tiene que para los tres horizonte de pronostico, en promedio, proporciona pronosticos comparables de acuerdo con el estadistico HLN con el VAR(1) y el AR(1) que utilizan tasas de interes observadas (columnas 6 y 7, respectivamente), excepto de la tasa de interes a 60 meses para el AR(1). Asimismo, el modelo afin tambien es comparable, en promedio y al usar el estadistico HLN, con la trayectoria fija (columna 5) y es mejor para el vencimiento de 60 meses en los horizontes de 18 y 24 meses. (21)

Para resumir y al considerar el resultado de las pruebas de hipotesis correspondientes se tiene que, en particular, el modelo afin-VAR proporciona pronosticos similares a un VAR(1) y un AR(1) para todos los vencimientos, con excepcion del vencimiento a 60 meses para el horizonte de 24 meses, en el cual dicho modelo afin tiene un mejor desempenno. Adicionalmente, aunque la trayectoria fija presente menores RMSEs que el modelo afin-VAR, la prueba de hipotesis HLN sugiere que ambos modelos, en promedio, tienen pronosticos comparables para casi todos los vencimientos y los tres horizontes de pronostico, excepto para el vencimiento a 60 meses el cual resulta mejor en el modelo afin para los horizontes de 18 y 24 meses.

6. Conclusiones

En el estudio se mostro qu al utilizar un modelo afin con factores exogenos (estimados mediante la tecnica de componentes principales), el cual incluye la condicion de no arbitraje y aversion al riesgo, proporciona un buen ajuste dentro de muestra de la estructura temporal de las tasas de interes en Mexico, sobre todo para los vencimientos de corto y mediano plazo.

Adicionalmente, el modelo afin incrementa el desempeno de sus pronosticos fuera de muestra en horizontes de 24 meses, en especial para el vencimiento de mas largo plazo considerado, es decir 60 meses. Sin embargo, para horizontes de corto y mediano plazo, en promedio y de acuerdo co los estadisticos HLN y CM, es competitivo con los pronosticos de los otros tres modelos de referencia, tales como el AR(1), el VAR(1) y la trayectoria fija (o caminata aleatoria), estimados con datos observados, con excepcion de la trayectoria fija para los vencimientos de 24 y 36 meses. En general, el modelo afin proporciona mejores pronosticos que las tasas forward.

Una explicacion de por que los modelos afines predicen mejor los vencimientos de largo plazo en horizontes largos se debe a que estos incluyen aversion al riesgo en la estimacion de la estructura temporal de las tasas de interes, lo que los hace mas robustos en ambientes de inestabilidad de parametros, no linealidades y no normalidad (ver Yu y Zivot, 2011).

Cabe destacar que otras ventajas de los modelos afines son que, por un lado, pueden ser extendidos de tal manera que se puedan incorporar factores macroeconomicos y financieros, lo cual podria ayudar a mejorar el pronostico fuera de muestra. En tanto que, por otro lado, se pueden estimar y pronosticar rendimientos que no estan especificamente incorporados dentro de la muestra, por ejemplo, los vencimiento a 9, 15, 25, 33, 59 meses, entre otros.

Fecha de recepcion: 09 VIII 2016

Fecha de aceptacion: 10 II 2017

Agradecimientos

La autora agradece los comentarios y sugerencias de Santiago Garcia, Jessica Roldan, Daniel Samano y dictaminadores anonimos. El contenido del articulo es responsabilidad exclusiva de la autora y no refleja la opinion de la institucion a la que pertenece. melizondo@banxico.org.mx.

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Apendice
Cuadro A.1

Comparacion de pronosticos fuera de muestra para el modelo Afin-VAR

(1)              (2)           (3)          (4)         (5)

Vencimiento   CP + Afin pronostico de las variables de estado
en meses                   con VAR(1) versus

                Tasas      Trayectoria    VAR(l)       AR(1)
               forward        fija

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1              -0.6198        0.562       -1.464      -0.273
12             -0.1051        1.142       -0.567       0.784
24            -2.884 **     4.275 **      -0.525      1.988 *
36            -3.392 **       1.634       -1.553      -0.441
60            -2.844 **       0.672       -1.276     -1.934 *

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1               -0.170        0.974        0.684       0.403
12            -4.683 **       1.148        1.150       0.881
24            -10.654 **     2.043 *      -1.053       1.420
36            -9.393 **     2.283 **       0.617       0.957
60            -6.081 **     -1.724 *      -0.247     -2.175 **

Panel C: prediccion 21h meses hacia adelante

1             -9.899 **      -0.465        1.698      -1.203
12            -10.202 **     -0.588       -1.034     -1.938 *
24            -6.233 **       0.557       -1.202      -0.319
36            -5.644 **       1.017       -1.121      -0.004
60            -4.635 **     -2.246 **    -2.357 **   -2.404 **

Notas: En el cuadro se presenta el estadistico de Harvey, Leybourne
y Newbold (1997), que compara si dos pronosticos son iguales o
diferentes. En este caso, se comparan los pronosticos del modelo
afin cuyas variables de estado son pronosticadas con un VAR(1)
versus los pronosticos de los siguientes modelos: la tasa forward,
la trayectoria fija, el VAR(1) y el AR(1) estimados con datos
observados. En particular, la hipotesis nula a probar es que los
pronosticos provenientes de dos modelos diferentes tienen el mismo
error cuadratico medio (ECM) versus la hipotesis alternativa de que
los pronosticos provenientes de dos modelos diferentes tienen
distintos ECM. Lo que corresponde a una prueba de dos colas. Uno y
dos asteriscos denotan el rechazo de la hipotesis nula a un nivel,
[alfa], de 10% y 5% de significancia, respectivamente, es decir,
la region critica o de rechazo esta dada por R.C. = {[S.sub.1]
[absolute value of (|[S.sub.1])] [mayor que o igual a]
[Z.sub.[alfa]/2]} con [S.sub.1] es estadistico de prueba (numero
reportado en el cuadro) Zq.05(23) =1.7139 y Zq.25(23) = 2.069 que
corresponde a la probabilidad acumulada de una distribuciun
t-Student, entre parentesis se encuentran los grados de libertad.

Cuadro A.2

Comparacion de pronosticos fuera de muestra
para el modelo Afin-AR

(la)             (2a)         (3a)         (4a)        (5a)

Vencimiento   CP + Afin pronostico de las variables
en meses      de estado con AR(1) versus

                Tasas      Trayectoria    VAR(l)       AR(1)
               forward        fija         (1/)        (1/)
                 (1/)         (1/)

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1               -0.591      2.820 **      -0.371       0.103
12            -3.119 **       1.288       -1.530       0.268
24            -4.001 **     4.151 **      -0.588     2.895 **
36             -5.136 *     5.080 **     -1.807 *     -1.552
60            -4.214 **       1.369       -1.636     -4.926 **

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1               -1.432      3.246 **       0.797       1.416
12            -10.109 **      0.680       -0.750      -0.269
24            -6.686 **     3.627 **      -0.997     2.568 **
36            -8.392 **     3.010 **       0.538       0.908
60            -6.578 **      -0.511        1.106     -1.973 *

Panel C: prediccion 24 meses hacia adelante

1             -8.390 **      1.836 *     4.909 **      0.922
12            -9.196 **       0.678       1.856 *      0.435
24            -5.8701 **      1.29        -0.882       1.044
36            -5.622 **       1.484       -1.000      1.987 *
60            -4.638 **     -1.806 *     -2.257 **   -2.388 *

(la)                  (6a)

Vencimiento   CP + Afin pronostico de las variables
en meses      de estado con AR(1) versus

              CP + Afin pronostico
              de las variables de
               estado con VAR(l)
                      (2/)

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1                    0.424
12                  9.660 **
24                  4.218 **
36                  7.194 **
60                 18.926 **

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1                    -0.089
12                   -0.164
24                   -1.390
36                   -0.917
60                 16.984 **

Panel C: prediccion 24 meses hacia adelante

1                    -0.644
12                   0.310
24                  -3.066 *
36                   -2.494
60                  7.059 **

Notas: (1/) Se presenta el estadistico de Harvey,
Leybourne y Newbold (1997), que compara si dos pronosticos
provenientes de modelos diferentes son iguales. En este caso, se
comparan los pronosticos del modelo afin-AR versus los pronosticos
de los siguientes modelos: la tasa forward, la trayectoria fija, el
VAR(1) y el AR(1). En particular, la hipotesis nula a probar es que
los pronosticos provenientes de dos modelos diferentes tienen el
mismo error cuadratico medio (ECM) versus la hipotesis alternativa
de que los pronosticos provenientes de dos modelos diferentes
tienen distintos ECM. Lo que corresponde a una prueba de dos colas.
Uno y dos asteriscos denotan el rechazo de la hipotesis nula a un
nivel, a, de 10% y 5% de significancia, respectivamente, es decir,
la region critica o de rechazo esta dada por R.C. = {[S.sub.1]
[absolute value of (|[S.sub.1])] [mayor que o igual a]
[Z.sub.[alfa]/2]} con [S.sub.1] es estadistico de prueba (numero
reportado en el cuadro) y [Z.sub.0.05(23)] = 1.7139 y
[Z.sub.0.25(23)] = 2.069 que corresponde a la probabilidad
acumulada de una distribucion t-Student, entre parentesis se
encuentran los grados de libertad.

(2/) Ya que ambos modelos afines a comparar tienen la misma
estructura, los pronosticos obtenidos de ellos podrian considerarse
anidados, asi, en este caso, es correcto usar el estadistico de
prueba de Clark y McCraken. Igual que la prueba HLN, se compara si
los pronosticos de dos modelos diferentes son iguales. Dado que la
prueba es mas compleja que la de HLN, los detalles se pueden
consultar en Clark y McCraken (2001, 2010).


Rocio Elizondo

Banco de Mexico

(1) El termino afin se refiere a que las tasas de interes de los bonos son afines al vector de estados. En otras palabras, las tasas de interes tienen una relacion lineal con las variables de estado.

(2) La diferencia radica en que en el modelo de Gimeno y Marques se utilizan como factores observables las componentes obtenidas mediante el modelo de Nelson y Siegel (1987). Mientras que en este documento se utilizan como factores observables las primeras tres componentes principales derivadas de la estructura temporal de las tasas de interes. Ademas, Gimeno y Marques consideran la tasa de inflacion como un componente extra debido a que su modelo se utiliza para extraer la expectativa de tasa de inflacion del mercado y no para pronosticar. La idea es aprovechar la estructura de este modelo y ver el comportamiento de los pronosticos de la curva de rendimientos en el modelo mas simple al considerar solo los tres factores derivados de la estructura temporal de las tasas de interes.

(3) Esta uoltima se aplica en el caso en donde los pronosticos de los modelos comparados estoen anidados.

(4) La intuicion de por que los modelos afines predicen mejor los vencimientos de largo plazo en horizontes largos se debe a que estos incluyen aversion al riesgo en la estimacion de la estructura temporal de las tasas de interes. Lo que hace a los modelos afines mas robustos en ambientes de inestabilidad de parametros, no linealidades y no normalidad. Para mas detalles se puede consultar Yu y Zivot (2011).

(5) Los datos mensuales corresponden a la ultima observacion de cada mes de las tasas de interes de los bonos cupon cero. Cabe destacar que, derivado de la remonetizacion que se dio con la adopcion del esquema de objetivos de inflacion, los niveles de las tasas de interes se redujeron considerablemente a partir de 2001 y hasta julio de 2003. Para evitar que los resultados del analisis se vean alterados por dicha dinomica se decidio empezar este a partir de enero de 2004.

(6) Este es un modelo parametrico parsimonioso de corte transversal que, a traves de la estimacion de tres factores, caracteriza la estructura temporal de las tasas de interes. Los factores corresponden al nivel, la pendiente y la curvatura de la estructura temporal de las tasas de interes. Para mas detalles ver Nelson y Siegel (1987).

(7) La condicion de no arbitraje garantiza la existencia de una medida neutral al riesgo que permite, en este caso, que las tasas de interes sean expresadas en terminos de resultados futuros de la estructura temporal. Las medidas neutrales al riesgo son usualmente convertidas en probabilidades que utilizan la derivada de Radon-Nikodyn, denotadas por [[xi].sub.t], que sirven para encontrar explicitamente la esperanza [E.sub.t]. Para mas detalles se puede consultar Ang y Piazzesi (2003); Gimeno y Marques (2009).

(8) Cabe senalar que estos hechos fueron encontrados por los autores mencionados en un anaiisis empirico de la estructura temporal de las tasas de Interes para Mexico en el periodo del 26 de julio de 2001 al 20 de marzo de 2008. En dicho estudio se encuentra que los primeros dos componentes principales son capaces de explicar 95% de la variabilidad de la curva de rendimientos. El analisis aqui presentado abarca de enero de 2004 a julio de 2011 y se conserva la estructura (o forma) y el significado de los componentes principales. Ademas, la proporcion de varianza explicada por los primeros tres componentes es de 99.7% (el primero explica 95, el segundo 4 y el tercero 0.7 por ciento). Adicionalmente, para mas detalle acerca del significado de dichos componentes tambien se puede consultar Diebold y Li (2006).

(9) En los modelos afines con factores latentes (ver Ang y Piazzesi, 2003), generalmente se restringe a que la matriz sea triangular (superior o inferior) para evitar problemas de identificacion de parametros al estimar el modelo. En este caso, como dicha matriz es estimada por MCO exogenamente al modelo afin, puede obtenerse sin ningun problema de identificacion. Se considero la matriz triangular superior porque es con la que se obtuvo un mejor ajuste a la estructura temporal de las tasas de interes.

(10) Dado que la muestra de las series de tiempo de las tasas de interes de bonos cupon cero abarca de enero de 2004 a julio de 2011, podria pensarse que se tiene un numero reducido de observaciones (91 meses) para la estimacion y los pronosticos de las tasas de interes. Por lo anterior, para obtener un mejor ajuste, el modelo afin con factores exogenos requiere el uso consecutivo de las tasas de interes. En este caso, se incluye en la muestra las tasas de interes desde un mes hasta 5 anos de vencimiento, lo cual da 60 tasas de interes para cada mes considerado. Cabe destacar que si se quisiera pronosticar una tasa de interes con vencimiento de 120 meses, entonces se requeriroan las tasas de interes con vencimientos que van desde 1 mes hasta 120 meses. Lo que puede hacer la convergencia del modelo muy lenta en el aspecto computacional.

(11) Las restricciones impuestas a las matrices [[lambda].sub.1] y [SIGMA] son requeridas para identificar los parametros, ya que se tienen pocos datos observados para realizar la estimacioon de la estructura temporal de las tasas de interes. Cabe destacar que este tipo de restricciones son muy comunes en la literatura, ver por ejemplo, Ang y Piazzesi (2003); Gimeno y Marques (2009). Lo que se pierde al hacer dicho tipo de restricciones es quitarle un poco de flexibilidad al modelo, en el sentido de que no se esta permitiendo interaccioon entre los vencimientos de las tasas de interes, lo que puede producir una sub (o sobre) estimacion de la estructura temporal de las tasas de interes.

(12) Parte de la sobre o sub estimacion de las tasas de interes de mas largo plazo se debe a que, para construirlas, se utilizan los coeficientes [expresion matematica irreproducibel], y estos son obtenidos recursivamente. De manera intuitiva dichos coeficientes para los vencimientos de mas largo plazo acarrean el error o desajuste de todos los vencimientos anteriores.

(13) [expresion matematica irreproducibel].

(14) Es decir, se obtiene el pronostico para [y.sub.t+h] = a + b[y.sub.t] + h + [e.sub.t] + h en forma recursiva a partir del modelo [y.sub.t+1] = a + b[y.sub.t] + [e.sub.t] + 1.

(15) Se contemplo un solo rezago porque, por un lado, fue el unico rezago que salio estadisticamente significativo y, por otro, es consistente con el modelo afin considerado.

(16) Analogo al caso del VAR, se tomo un solo rezago porque, por una parte, fue el unico rezago que salio estadisticamente significativo y ademas es consistente con el modelo afon considerado.

(17) Debido a que se pueden observar cambios importantes en los niveles de las tasas de interes (ver grafica 1) durante el periodo de analisis, Giacomini y White (2006) recomiendan utilizar este metodo.

(18) EC = [([x.sub.i] - [[??].sub.i]).sup.2] con [x.sub.i] el valor realizado y [[??].sub.i] el valor pronosticado.

(19) El ajuste es recomendado para este tipo de analisis y asi eliminar observaciones extremas que podrian meter ruido o sesgar los EC. Para este caso, los resultados no cambian de manera significativa si se consideran dichas observaciones. Como prueba adicional fueron estimados quitando los errores cuadraticos extremos y los resultados tambien son similares, los cuales pueden solicitarse al autor.

(20) Los estadisticos de prueba HLN y CM pueden consultarse en el cuadro A.2 del apendice.

(21) Los estadisticos de prueba HLN pueden consultarse en el cuadro A.1 del apendice.

Leyenda: Grafica 1 Estructura temporal de las tasas de interes para vencimientos selectos

Leyenda: Grafica 2 Pesos de los factores con respecto al vencimiento de las tasas de interes

Leyenda: Grafica 3 Nivel, pendiente y curvatura de la estructura temporal de las tasas de interes con vencimiento maximo de 60 meses

Leyenda: Grafica 4 Ajuste de cada componente del VAR (1) al vectorde estados [X.sub.t] y los parametros estimados

Leyenda: Grafica 5 Tasas de interes de corto plazo tanto observada como estimada y sus respectivos parametros

Leyenda: Grafica 6 Series de tiempo de las tasas de interes observadas y estimadas para diferentes vencimientos
Cuadro 1

Estadisticas de la estructura temporal de las tasas de interes para
vencimientos selectos

Estadisticas   Vencimientos en meses

                  1          6         12

Media           6.677      6.919      7.031
Mediana         7.070      7.429      7.528
Maximo          9.653      10.170    10.226
Minimo          3.959      4.450      4.580
Desv. est.      1.677      1.664      1.602
Asimetria       -0.139     -0.156    -0.197
Curtosis        1.919      1.873      1.827
Jarque-Bera     4.726      5.186      5.802
Probabilidad    0.094      0.075      0.055
[rho] (1)      0.965 *    0.965 *    0.960 *
[rho] (12)     0.327 *    0.358 *    0.376 *
[rho] (18)     -0.112 *   -0.133 *   0.140 *
[rho] (24)     -0.019 *   0.000 *    0.004 *

Estadisticas   Vencimientos en meses

                 24        36         60

Media           7.534     8.171     9.476
Mediana         7.894     8.306     9.283
Maximo         10.855    11.535     13.062
Minimo          4.865     5.427     6.294
Desv. est.      1.570     1.450     1.522
Asimetria      -0.085     0.027     0.261
Curtosis        1.971     2.355     2.745
Jarque-Bera     4.123     1.587     1.279
Probabilidad    0.127     0.452     0.527
[rho] (1)      0.959 *   0.942 *   0.913 *
[rho] (12)     0.414 *   0.394 *   0.288 *
[rho] (18)     0.177 *   0.144 *   0.044 *
[rho] (24)     0.028 *   0.037 *   -0.042 *

Notas: * Coeficientes de auto-correlacion estadisticamente
significativos a un nivel de 5% de confianza. Periodo de estimacion
enero de 2004--julio de 2011.

Cuadro 2

Pruebas de multiples cambios estructurales

                          y6meses   y12meses   y18meses

Num. cambios C. Schwarz      0         0          0
Num. cambios C. LWZ          0         0          0
Suma de residuales         7.30       5.99       8.51
Log-L                     -14.64     -5.76      -21.57
Estadistico Schwarz        -2.01     -2.21      -1.86
Estadistico LWZ            -1.61     -1.81      -1.46

                          y24meses   y30meses   y36meses

Num. cambios C. Schwarz      0          0          0
Num. cambios C. LWZ          0          0          0
Suma de residuales          9.87      11.69      11.96
Log-L                      -28.22     -35.85     -36.88
Estadistico Schwarz        -1.71      -1.541     -1.52
Estadistico LWZ            -1.31      -1.142     -1.12

                          y42meses   y48meses   y60meses

Num. cambios C. Schwarz      0          0          0
Num. cambios C. LWZ          0          0          0
Suma de residuales         13.68      16.23      23.96
Log-L                      -42.92     -50.61     -68.16
Estadistico Schwarz        -1.38      -1.21      -0.82
Estadistico LWZ            -0.99      -0.81      -0.42

Cuadro 3

Prueba de normalidad de los residuales

Comp.       Simetria     [X.sup.2]   Grados lib.   Prob.

1             0.234        0.814          1        0.367
2            -0.211        0.661          1        0.416
3            -0.124        0.229          1        0.632

Conjunto                   1.704          3        0.636

Comp.       Guri,osis    [X.sup.2]   Grados lib.   Prob.

1             3.519        1.000          1        0.317
2             4.273        6.009          1        0.014
3             3.354        0.464          1        0.496

Conjunto                   7.472          3        0.0583

Comp.      Jarque-Bera               Grados lib.   Prob.

1             1.814                       2        0.4038
2             6.670                       2        0.0356
3             0.693                       2        0.7072

Conjunto      9.177                     6.000      0.1639

Notas: La prueba utiliza la ortogonalization de Cholesky
(Lutkepohl). La hipotesis nula es que los residuales se distribuyen
como una normal multivariada. Si [e.sub.t] ~ N (0, I) implica que
[SIGMA][e.sub.t] ~ N (0, [SIGMA][SIGMA]').

Cuadro 4

Correlaciones de los errores entre las variables
de estado y los rendimientos

       R 6m    R 12m   R 18m   R 24m   R 30m

R XI   -0.14   -0.23   -0.10   0.00    0.09
R X2   0.15    0.36    0.17    0.09    0.03
R X3   0.48    0.32    -0.07   -0.13   -0.06

       R 36m   R 42m,   R 48m   R 54m,   R 60m

R XI   0.17     0.22    0.27     0.29    0.31
R X2   -0.07   -0.15    -0.23   -0.28    -0.30
R X3   -0.07   -0.02    0.01     0.02    0.02

Cuadro 5

Errores del ajuste del modelo afin con
factores exogenos

Vencimientos    EAM     PE AM     RMSE
(meses)                  (%)

6              0.5488   8.2741   0.5741
12             0.1708   2.5788   0.2067
18             0.3188   5.5954   0.4480
24             0.3202   5.2174   0.4528
30             0.3403   4.6268   0.3794
36             0.4525   5.5367   0.5100
42             0.5260   6.0466   0.6271
48             0.5880   5.5666   0.7411
54             0.6300   7.0263   0.8226
60             0.7944   8.9528   0.9736

Cuadro 6

Error relativo entre cada uno de los modelos competitivos y el
modelo afin-VAR(1) ([seccion])

(1)                   (2)                    (3)

Vencimiento   CP + Afin pronostico   CP + Afin pronostico
en meses      de las variables de    de las variables de
               estado con VAR(l)          estado con
                      (1/)                AR(1) (2/)

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1                    2.075                  1.056
12                   1.988                 0.884 **
24                   1.886                 0.981 **
36                   1.403                 0.966 **
60                   1.555                 1.019 **

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1                    2.808                  1.037
12                   2.891                  0.832
24                   2.634                  0.959
36                   2.123                  1.013
60                   1.622                 1.117 **

Panel C: prediccion 24- meses hacia adelante

1                    2.865                  1.100
12                   2.683                  1.068
24                   2.577                 1.050 **
36                   2.229                  1.047
60                   1.835                 1.036 **

(1)             (4)          (5)         (6)        (7)

Vencimiento    Tasas     Trayectoria    VAR(1)     AR(1)
en meses      forward       (4/)         (5)        (6/)
                (3/)

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1              1.146        0.910       1.094      1.049
12             1.012        0.819       1.040      0.867
24            1.414 **    0.750 **      1.084     0.826 *
36            1.816 **      0.809       1.691      1.067
60            1.721 **      0.898       1.436     1.223 *

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1              1.163        0.876       0.956      0.943
12            1.365 **      0.793       0.899      0.846
24            1.481 **     0.781 *      1.233      0.856
36            1.836 **    0.805 **      0.951      0.975
60            2.346 **     1.162 *      1.021     1.263 **

Panel C: prediccion 24- meses hacia adelante

1             1.603 **      1.019       0.953      1.059
12            1.665 **      1.027       1.020     1.050 *
24            1.790 **      0.974       1.147      1.010
36            2.047 **      0.954       1.240      1.000
60            2.406 **    1.208 **     1.562 **   1.106 **

Notas: ([seccion]) El error relativo (columnas de la 3 a la 7) se
obtiene como: el RMSE del modelo competitivo entre el RMSE del
modelo afin-VAR(1). Un valor mayor que uno implica un peor
desempeno del modelo competitivo, mientras que un valor menor que
uno correspondera a un mejor desempeno del modelo competitivo. La
columna 2 corresponde a los RMSEs del modelo afin a ser comparado
con los otros modelos competitivos.

Uno y dos asteriscos (* y **) indican el rechazo de la hipotesis
nula, de que los dos modelos comparados son iguales a 10% y 5% de
significancia, respectivamente. Para los modelos de las columnas
4-7 se utilizo la prueba de hipotesis de Harvey, Leybourne y
Newbold (1997). En tanto que para la comparacion de los modelos 2-3
se utilizo la prueba de Clark y McCraken (2001, 2010), ya que estos
modelos pueden considerarse anidados.

(1/) Corresponde al modelo afin con factores exogenos estimados
mediante componentes principales (CP). Para las estimaciones se
utilizaron las tasas de interes de bonos cupon cero con
vencimientos de 1 a 60 meses. Las variables de estado son
pronosticadas en conjunto con un VAR(1).

(2/) Corresponde al modelo afin con factores exogenos estimados
mediante componentes principales (CP). Para las estimaciones se
utilizaron las tasas de interes de bonos cupon cero con
vencimientos de 1 a 60 meses. Cada variable de estado es
pronosticada con un AR(1).

(3/) Las tasas forward se estimaron con datos observados de las
tasas de interes de bonos cupon cero mediante la formula:

[f.sup.(i periodo -> j periodo).sub.t] = [[[(1 + [y.sup.(j
periodo).sub.t]).sup.j] / [(1 + [f.sup.(i
periodo).sub.t]).sup.i]].sup.1/(j-i)] -1 con i < j vencimientos de
las tasas de interes ([y.sub.t]).

(4/) El pronostico fuera de muestra de una trayectoria fija se
estimo mediante la relacion [y.sup.(k).sub.t+h] = [y.sup.(k).sub.t]
+ [[epsilon].sup.(k).sub.t+h] para todo h el horizonte pronostico y
k el vencimiento de la tasa de interes a ser pronosticada.

(5/) Para la estimacion y el pronostico del VAR(1) se utilizaron
las tasas de interes de bonos cupon cero con [Y.sub.t] =
[[y.sup.(k).sub.t], [y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(30).sub.t],
[y.sup.(120).sub.t]] donde k es el vencimiento de la tasa de
interes a ser pronosticada, k = 1, 12, 24 meses con
[y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(30).sub.t] y [y.sup.(120).sub.t], las
tasas de interes con vencimientos de 3, 30 y 120 meses,
respectivamente. Para el caso de la tasa de interes con vencimiento
de 36 y 60 meses los VAR utilizados fueron [Y.sub.t] =
[[y.sup.(36).sub.t], [y.sup.(1).sub.t], [y.sup.(3).sub.t],
[y.sup.(90).sub.t]], respectivamente. La ecuacion que se considera
para su estimacion y pronostico es [Y.sub.t] = [[alfa].sub.k] +
[[beta].sub.k][Y.sub.t-1] + [[epsilon].sup.(k).sub.t], con k = 1,
12, 24, 36, 60 meses.

(6/) Es un modelo autorregresivo que considera el nivel de la tasa
de interes observada. Las tasas de interes utilizadas fueron 1, 12,
24, 36 y 60 meses de vencimiento. La ecuacion que se considera en
este modelo para la estimacion y el pronostico es
[y.sup.(k).sub.t+h] = [a.sub.k] [y.sup.(k).sub.t] + [b.sub.k] +
[[epsilon].sup.(k).sub.t+h] [y.sup.(k).sub.t] = [a.sub.k] +
[b.sub.k] [y.sub.t-1.sup.(k)] + [e.sup.k.sub.t] con k = 1, 12, 24,
36, 60 meses.

Cuadro 7

Error relativo entre cada uno de los modelos competitivos y el
modelo afin-AR(1) ([seccion])

(la)                  (2a)                   (3a)

Vencimiento   CP + Afin pronostico   CP + Afin pronostico
en meses        de las variables       de las variables
                 de estado con          de estado con
                  VAR(l) (1/)             AR(1) (2/)

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1                    0.947                  2.192
12                  1.131 **                1.757
24                  1.020 **                1.849
36                  1.035 **                1.355
60                  0.981 **                1.585

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1                    0.964                  2.914
12                   1.202                  2.405
24                   1.042                  2.528
36                   0.988                  2.149
60                  0.894 *                 1.812

Panel C: prediccion 24- meses hacia adelante

1                    0.909                  3.150
12                   0.936                  2.865
24                  0.950 **                2.712
36                   0.955                  2.334
60                  0.965 **                1.901

(la)            (4a)        (5 a)       (6 a)       (la)

Vencimiento    Tasas     Trayectoria    VAR(1)     AR(1)
en meses      forward       (4/)         (5/)       (6/)
                (3/)

Panel A: prediccion 12 meses hacia adelante

1              1.085      0.861 **      1.036      0.993
12            1.145 **      0.927       1.177      0.981
24            1.442 **      0.765       1.106     0.843 **
36            1.881 **    0.838 **     1.751 *     1.105
60            1.689 **    0.881 **      1.409     1.200 **

Panel B: prediccion 18 meses hacia adelante

1              1.121      0.845 **      0.922      0.909
12            1.640 **      0.953       1.081      1.017
24            1.544 **    0.814 **      1.285     0.893 **
36            1.814 **    0.795 **      0.939      0.963
60            2.099 **      1.040       0.914     1.130 *

Panel C: prediccion 24- meses hacia adelante

1             1.458 **     0.927 *     0.866 **    0.963
12            1.559 **      0.961      0.956 *     0.984
24            1.702 **      0.926       1.091      0.960
36            1.956 **      0.912       1.185     0.955 *
60            2.323 **     1.166 *     1.508 **   1.068 *

Notas: ([seccion]) El error relativo (columnas de 2a y de la 4a a la
7a) se obtiene como: el RMSE del modelo competitivo entre el RMSE
del modelo afin-AR(1). Un valor mayor que uno implica un peor
desempeno del modelo competitivo, mientras que un valor menor que
uno correspondera a un mejor desempeno del modelo competitivo. La
columna 3a corresponde a los RMSEs del modelo afin a ser comparado
con los otros modelos competitivos. Uno y dos asteriscos (* y **)
indican el rechazo de la hipotesis nula, de que los dos modelos
comparados son iguales a 10% y 5% de significancia, respectivamente.
Para los modelos de las columnas 4a-7a se utilizo la prueba de
hipotesis de Harvey, Leybourne y Newbold (1997). En tanto que para
la comparacion de los modelos 2a-3a se utilizo la prueba de Clark y
McCraken (2001, 2010), ya que estos modelos pueden considerarse
anidados.

(1/) Corresponde al modelo afin con factores exogenos estimados
mediante componentes principales (CP). Para las estimaciones se
utilizaron las tasas de interes de bonos cupon cero con vencimientos
de 1 a 60 meses. Las variables de estado son pronosticadas en
conjunto con un AR(1).

(2/) Corresponde al modelo afin con factores exogenos estimados
mediante componentes principales (CP). Para las estimaciones se
utilizaron las tasas de interes de bonos cupon cero con vencimientos
de 1 a 60 meses. Cada variable de estado es pronosticada con un
AR(1).

(3/) Las tasas forward se estimaron con datos observados de las
tasas de interes de bonos cupon cero mediante la formula:

[f.sup.(i periodo -> j periodo).sub.t] = [[[(1 + [y.sup.(j
periodo).sup.t]).sup.j] / [(1 + [y.sup.(i
periodo).sup.t]).sup.i]].sup.1/(j-i)] ?1 con i < j vencimientos de
las tasas de interes ([y.sub.t]).

(4/) El pronostico fuera de muestra de una trayectoria fija se
estimo mediante la relacion [y.sup.(k).sub.t+h] = [y.sup.(k).sub.t],
[y.sup.(3).sub.t] para todo h el horizonte de pronostico y k el
vencimiento de la tasa de interes a ser pronosticada.

(5/) Para la estimacion y el pronostico del VAR(1) se utilizaron las
tasas de interes de bonos cupon cero con [Y.sub.t] =
[[y.sup.(k).sub.t], [y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(30).sub.t],
[y.sup.(120).sub.t]] donde k es el vencimiento de la tasa de interes
a ser pronosticada, k = 1, 12, 24 meses con [y.sup.(3).sub.t],
[y.sup.(30).sub.t] y [y.sup.(120).sub.t], las tasas de interes con
vencimientos de 3, 30 y 120 meses, respectivamente. Para el caso de
la tasa de interes con vencimiento de 36 y 60 meses los VAR
utilizados fueron [Y.sub.t] = [[y.sup.(36).sub.t],
[y.sup.(1).sub.t], [y.sup.(3).sub.t], [y.sup.(90).sub.t]] y
[Y.sub.t] = [[y.sup.(60).sub.t], [y.sup.(3).sub.t],
[y.sup.(90).sub.t]], respectivamente. La ecuacion que se considera
para su estimacion y pronostico es [Y.sub.t] = [[alpha].sub.k] +
[[beta].sub.k][Y.sub.t-1] + [[epsilon].sup.(k).sub.t], con k = 1,
12, 24, 36, 60 meses.

(6/) Es un modelo autorregresivo que considera el nivel de la tasa
de interes observada. Las tasas de interes utilizadas fueron de 1,
12, 24, 36 y 60 meses de vencimiento. La ecuacion que se considera
en este modelo para la estimacion y el pronostico es:
[y.sup.(k).sub.t+h] = [a.sub.k] [y.sup.(k).sub.t] + [b.sub.k] +
[[epsilon].sup.(k).sub.t+h] [y.sup.(k).sub.t] = [a.sub.k] +
[b.sub.k] [y.sub.t-1.sup.(k)] + [e.sup.k.sub.t] con k = 1, 12, 24,
36, 60 meses.
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Author:Elizondo, Rocio
Publication:Estudios Economicos
Article Type:Ensayo
Date:Jul 1, 2017
Words:13343
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