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Optimizacion topologica aplicada al diseno de componentes estructurales mecanicos de peso reducido.

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1. Introduccion

La optimizacion topologica (OT) es una herramienta matematica que le permite al disenador sintetizar topologias optimas. En Ingenieria Mecanica se entiende como topologia optima a una pieza o parte mecanica disenada especialmente para maximizar o minimizar alguna caracteristica deseada. Por ejemplo, cuando se disena el ala de un avion se desea obtener el menor peso posible, asegurando una rigidez y resistencia adecuadas. El problema de la maxima rigidez con restriccion de volumen es de gran importancia en Ingenieria Mecanica e Ingenieria de Estructuras, pues permite reducir el peso final del elemento mecanico o estructural, conservando su rigidez y funcionalidad. Partes mecanicas de bajo peso implican menores costos por material y menor consumo de combustible en el caso de vehiculos de transporte [1]. En general, la reduccion de la inercia en partes en movimiento, sea maquinaria o vehiculos, disminuye la cantidad de energia necesaria para su operacion.

La OT es un campo de investigacion de rapido crecimiento, donde intervienen distintas areas como son las matematicas, la mecanica y las ciencias computacionales, y que cuenta con importantes aplicaciones practicas en la industria y en el sector de manufactura. En la actualidad, la OT es usada en las industrias aeroespacial, automotriz, de obras civiles, entre otras. Ademas tiene un papel muy importante en el campo de las micro y nanotecnologias, principalmente en el diseno de mecanismos flexibles [1].

La Figura 1 muestra un dominio bidimensional ([OMEGA]) con restricciones (apoyos) en las esquinas inferiores y una carga (F) en la mitad del lado superior. Entonces, el enunciado de un problema de maxima rigidez (o minima flexibilidad) con restriccion de volumen es:

?Cual es la distribucion de material en el dominio ([OMEGA]) que proporciona la maxima rigidez (o minima flexibilidad) para el estado de carga impuesto y un maximo volumen de material determinado?

En la Figura 1 tambien se muestra la topologia optima obtenida para el estado de carga mostrado y el volumen final de la estructura igual al 40 % del volumen inicial. Este resultado muestra una topologia familiar, pues muchos puentes de barras articuladas presentan esta configuracion, llamada viga Messerschmitt-Bolkow-Blohm (MBB).

[FIGURA 1 OMITIR]

Existen muchas otras aplicaciones de la OT en la Ingenieria Mecanica, como son: diseno de mecanismos flexibles y micromecanismos [2, 3, 4], diseno de MEM (Sistemas Micro-Electro-Mecanicos) [5, 6], diseno de materiales con coeficiente de Poisson o coeficiente de expansion termica negativos (metamateriales) [7], resonadores, aletas para intercambio de calor, entre otras aplicaciones. Ademas, estan comenzando a aparecer trabajos sobre aplicacion de la tecnica en la dinamica de fluidos [8], tales como diseno de mezcladores, muros de contencion de represas [9], perfiles de ala de avion [10], entre otros. Un caso famoso donde se empleo exitosamente la OT es el diseno de las alas de los aviones Airbus A380, que por medio de OT quedaron considerablemente mas livianas que las disenadas por medios convencionales, ahorrando en combustible y al mismo tiempo aumentando la carga util de la aeronave [1].

En este trabajo se implemento la solucion del problema de maxima rigidez con restriccion de volumen usando OT. Este tema incluye la solucion de problemas de tension plana por el metodo de los elementos finitos [11] y tecnicas de optimizacion multivariable y no lineal [12]. Con base en esta teoria, un algoritmo de solucion fue implementado en Matlab. Como la solucion es un proceso iterativo donde se solucionan uno o mas problemas de elementos finitos por cada iteracion, el costo computational es muy alto. Por tanto, la eficiencia de los metodos numericos debe ser tenida en cuenta durante la programacion, de lo contrario la solucion puede tomar un tiempo demasiado prolongado. Finalmente, el algoritmo desarrollado fue usado para sintetizar una serie de estructuras optimas y analizar el efecto de los parametros de calculo mas importantes. Ademas, fue realizado el proceso de rediseno de una pieza mecanica, mostrando un resultado satisfactorio en terminos de peso y resistencia.

2. Implementation numerica

El sistema de ecuaciones lineales que se obtiene en la solucion de un problema de elasticidad lineal usando el metodo de los elementos finitos (MEF) es de la forma:

Ku = f (1)

Donde u y f son los desplazamientos y fuerzas externas aplicadas en los nodos, respectivamente. El termino K es la matriz de rigidez global, que esta dada por la suma coherente (tambien llamado proceso de ensamble de la matriz global) de las matrices de rigidez de cada elemento:

K = [suma de e][K.sup.e] para i=1,2, ..., [N.sub.e] (2)

Donde [N.sub.e] es el numero total de elementos finitos usados para discretizar el dominio. La matriz de rigidez de cada elemento se obtiene de la siguiente expresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (3)

Donde D es la matriz de material para el caso de esfuerzo plano [13], B es la matriz de las derivadas de las funciones de forma y [OMEGA] representa el dominio de diseno [14].

Como la idea de la OT es distribuir cierta cantidad de material en el dominio, de tal forma que la rigidez sea la maxima posible, se necesita un mecanismo para modelar la presencia o ausencia de material. En este trabajo se uso el modelo de material solido isotropico con penalizacion (SIMP). En este modelo, cada elemento finito tiene asociada una variable llamada pseudensidad (p), que multiplica la matriz de rigidez del elemento de la siguiente manera:

[[??].sup.e.sub.i] = [[rho].sup.p.sub.i][K.sup.e.sub.i] (4)

Donde p es un factor de penalizacion usado para reducir los valores intermedios de las pseudodensidades. Estas presentan valores entre cero y uno, donde cero representa ausencia total de material y uno representa la presencia del material de base usado en el diseno. Por cuestiones de implementacion numerica, las pseudensidades no pueden tener valores discretos de 0 y 1, sino una variacion continua entre estos dos valores

(0 [menor que o igual a] p [menor que o igual a] 1).

La funcion objetivo del problema de optimizacion es la energia de deformacion, que considerando el modelo del material SIMP se escribe de la siguiente manera [1, 15]:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (5)

La energia de deformacion aumenta a medida que la estructura se deforma, por tanto, el proceso de optimizacion consiste en hallar el conjunto de valores [[rho].sub.i] que la minimizan.

Para la solucion del problema de optimizacion se uso la programacion lineal secuencial (PLS), con las pseudodensidades como variables de proyecto. La PLS soluciona un problema de optimizacion no lineal por medio de sucesivos problemas lineales, cada uno de ellos solucionado por el metodo de programacion lineal (PL). En cada iteracion de la rutina del PLS se minimiza la funcion objetivo en un intervalo establecido, definido por los limites moviles. El resultado obtenido se usa en la siguiente iteracion como valor inicial, y asi sucesivamente hasta alcanzar el punto optimo.

La linealizacion de la funcion objetivo se realiza tomando los dos primeros terminos de su expansion en serie de Taylor. Descartando los terminos constates que aparecen, solamente queda la derivada de la funcion objetivo con respecto a las variables de proyecto multiplicada por su respectiva variable de proyecto:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

Entonces, el problema de optimizacion se plantea de la siguiente manera:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (7)

Este problema consiste en minimizar la funcion objetivo [C.sub.L]([[rho].sub.i]) estando sujeto a tres restricciones. La primera restriccion se relaciona con la condiciones de equilibrio estatico de la estructura, la segunda restringe el volumen final a una fraccion del volumen-unicial (0<V<1) y la ultima determina los valores que pueden tomar las variables de proyecto. Lo anterior llevaria a pensar que Colombia requiere de estudios de futuro, que permitan soportar los procesos de planeacion estrategica y tecnologica del desarrollo nacional, regional, sectorial y empresarial. Esto se puede lograr por medio de la prospectiva tecnologica.

Como se puede ver en la definicion del problema de optimizacion, las variables de proyecto no toman un valor de cero para la ausencia de material, sino un valor [[rho].sub.min] mayor que cero. Esto se debe a que las pseudodensidades nulas introducen ceros en la diagonal principal de matriz de rigidez, volviendo el sistema de ecuaciones inconsistente. En este trabajo se uso un valor [[rho].sub.min]=0,001. La literatura no aborda con detalle la seleccion de este valor. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que, para [[rho].sub.min]=0,001, los espacios vacios en realidad estan llenos de un material con modulo de elasticidad mil veces menor que el modulo del material de base.

La fraccion de volumen (V) determina la maxima cantidad de volumen permitido en la topologia final. Como la maxima rigidez se obtiene cuando el dominio esta totalmente lleno, el algoritmo tiende a no retirar ningun material. Por tanto, tiene que incluirse una restriccion en el problema que limite el volumen final. Valores pequenos de V generan una estructura delgada, pues se tiene menos material para distribuir. Valores grandes generan estructuras robustas. De alli que este parametro se encuentre directamente relacionado con la resistencia mecanica.

El limite movil (0<[l.sub.mov]<1) fija el intervalo de cada subproblema, que se selecciona como una fraccion del vector de diseno ([rho]i). Su correcta seleccion es fundamental para la convergencia del problema, pues a un determinado numero de iteraciones, un valor grande del limite movil hara que el resultado oscile alrededor del punto optimo sin llegar a encontrarlo. Para evitar este problema, se debe implementar un mecanismo que reduzca paulatinamente [l.sub.mov] a medida que avanzan las iteraciones. El problema de optimizacion es ahora lineal y se puede solucionar por medio de la PL, usando algoritmos como el Simplex [16] o el Karmarkar [17]. Estos algoritmos estan implementados en la funcion Linprog de Matlab, que selecciona automaticamente entre Simplex o Karmarkar dependiendo del tamano del problema.

3. Problemas que afectan la topologia final

3.1 Inestabilidad de tablero de ajedrez

La inestabilidad de tablero de ajedrez es una topologia donde elementos con [rho]=0 se intercalan con elementos [rho]=1. Esto ocurre porque los nodos de los elementos finitos Q4 son rigidos (transmiten momento) y una topologia en forma de tablero de ajedrez tambien es solucion del problema de optimizacion. La Figura 2 muestra la solucion del problema de una viga en voladizo. Se puede ver que en el interior no hay una distribucion continua de material, sino una estructura formada por material organizado en forma de tablero de ajedrez.

[FIGURA 2 OMITIR]

Para solucionar la inestabilidad de tablero de ajedrez se aplica en cada iteracion un filtro. El codigo de filtrado utilizado en este trabajo fue el propuesto por Bendsee y Sigmund, el cual opera sobre la funcion objetivo, cambiando cada valor por el promedio ponderado de los elementos circundantes localizados dentro de un circulo de radio [r.sub.min] [1].

El termino [r.sub.min] es un parametro de la rutina de filtrado encargado de disminuir el problema de las inestabilidades tipo tablero de ajedrez y tiene un papel importante en el resultado de la topologia final. La Figura 3 muestra la solucion del problema de una viga corta en voladizo para valores de [r.sub.min], entre 1.0 y 5.0, y una discretizacion de 200x100 elementos finitos (40602 grados de libertad). Se puede ver que el problema de las inestabilidades de tablero de ajedrez esta presente en todo el dominio, pues con este radio no se realiza ningun tipo de filtrado. A medida que aumenta el [r.sub.min], las inestabilidades desparecen y se obtienen topologias mas simples. Con valores de [r.sub.min] superiores a 3.5 se obtienen topologias muy similares, el cual es el valor recomendado en la literatura [1].

[FIGURA 3 OMITIR]

3.2 Dependencia de la malla

En la Figura 4 se muestra el resultado obtenido para una viga apoyada en los extremos con una carga central y diferentes niveles de discretizacion del dominio. Se puede ver claramente la influencia sobre la solucion final. Cuando la discretizacion es mayor, se obtienen topologias mas complejas, con mayores bifurcaciones de material y agujeros entre las barras. Esto ocurre porque se tiene tambien mayor resolucion y el algoritmo realiza una optimizacion a nivel local, en puntos donde la distribucion de esfuerzos presenta mas variaciones.

[FIGURA 4 OMITIR]

La dependencia de la malla es un problema discutido por varios autores, dado que puede dificultar la obtencion de una solucion con utilidad practica. Bendsoe, Sigmund y Kikuchi plantean una forma eficiente y simple para lograr independencia de la malla, que es el uso del radio de influencia del filtro r_min como un porcentaje de la altura H del dominio de diseno [1, 18].

4. Aplicacion de la OT en el diseno de piezas mecanicas

El metodo de la OT se aplico al rediseno de una pieza mecanica con la finalidad de reducir su peso. Se considera el componente mecanico de union de la Figura 5a, disenado para soportar una carga vertical de 5340 N, aplicada en el agujero inferior y apoyada en los dos agujeros superiores. El material del componente es acero estructural A36 de 10 mm de espesor, que cuenta con un limite de fluencia tipico de 250 MPa. Usando el software SolidWorks se creo un modelo CAD del componente mecanico, que permitio calcular el volumen. Como la densidad es conocida, se obtuvo un peso del componente mecanico de 590.5 gramos.

Para aplicar el metodo de optimizacion topologica al componente mecanico, se uso un dominio rectangular donde un milimetro equivale a un elemento finito, es decir, se tiene una discretizacion de 160x80 elementos finitos, para un total de 12800 elementos finitos y 26082 grados de libertad. Fue usado un factor de penalidad p=3, valor recomendado en la literatura, y el volumen final de la estructura fue fijado a 40 % del volumen inicial (V=0.4). El dominio posee tres zonas no optimizables, cada una con radio de 10 mm y en su interior un agujero con radio de 5 mm, representando los agujeros del componente mecanico original. Las zonas no optimizables se fijan asignando valores de [rho]=[[rho].sub.min] a los agujeros y [rho]=1 a las zonas con presencia de material, en cada iteracion.

El estado de carga es igual al del componente mecanico: restringido en los agujeros superiores y con una carga vertical aplicada en el agujero inferior. Un esquema del dominio se muestra en la Figura 5b.

[FIGURA 5 OMITIR]

La topologia obtenida se muestra en la Figura 6a. Sin embargo, la estructura obtenida por OT presenta bordes difusos y se requiere un proceso de interpretacion para usarla en un proceso convencional de diseno mecanico. Para la interpretacion del componente mecanico se uso el software comercial SolidWorks. El proceso consiste en la generacion de un grafico vectorizado (Figura 6b) del componente, de acuerdo con el grafico en mapa de bits obtenido por OT. A partir del grafico vectorizado se genera el solido CAD, que permite calcular nuevamente el volumen y realizar el analisis de resistencia por elementos finitos.

El componente mecanico redisenado tiene un peso final de 447.9 gramos. La diferencia de peso entre el componente mecanico original (Figura 5a) y al que se le aplico el metodo de optimizacion topologica (Figura 6b) es de 142.6 gramos, para una reduccion de peso del 24.1 %.

[FIGURA 6 OMITIR]

Para verificar que ambos componentes soportan el estado de carga, considerando un factor de seguridad minimo de 2.5, se hizo un analisis de esfuerzo por elementos finitos con el software comercial Ansys. La Figura 7a y 7b muestran la distribucion del esfuerzo equivalente de Von Mises del componente original y el disenado por OT, respectivamente.

El valor del esfuerzo maximo equivalente de Von Mises para el componente mecanico original con la carga definida, fue de 81.2 MPa, situado en el punto de aplicacion de la carga. Se puede notar que en el interior del componente se presentan esfuerzos pequenos, indicando que hay material de sobra. El factor de seguridad para el componente mecanico original es 3.1.

El valor del esfuerzo maximo equivalente de Von Mises del componente mecanico al que se le aplico OT fue de 95.1 MPa, ligeramente mayor y situado en el mismo punto del componente mecanico original. La mayor cantidad de material fue removido de la region central del componente, donde se presentan los menores valores de esfuerzo. Esto muestra que el material fue removido de una manera adecuada, distribuyendo la mayor cantidad de material donde se encuentran los esfuerzos mas altos. El factor de seguridad para el componente mecanico optimo es 2.6.

El factor de seguridad esta por encima del valor deseado, cumpliendo con los requisitos de diseno. Sin embargo, tiene una ligera reduccion en comparacion con el componente mecanico original. Este resultado era esperado.

[FIGURA 7 OMITIR]

5. Conclusiones

En este trabajo, el problema de maxima rigidez con restriccion de volumen fue implementado usando el metodo de la optimizacion topologica. El dominio de diseno rectangular fue discretizado usando elementos finitos para estado plano de esfuerzo de cuatro nodos e interpolacion lineal. Para la solucion del problema de optimizacion no lineal y multivariado fue usado el metodo de programacion lineal secuencial, que, a su vez, fue implementado usando las rutinas de programacion lineal de Matlab.

El algoritmo de calculo desarrollado soluciono correctamente problemas test, proporcionando resultados coherentes con los reportados en la literatura. Ademas, fueron analizados los problemas numericos que mas afectan la topologia final y se discutieron algunas tecnicas para solucionarlos.

Finalmente, una pieza mecanica fue redisenada con el proposito de reducir su peso. El algoritmo genero una estructura optima con una geometria algo compleja, que fue interpretada para obtener un modelo CAD de la pieza mecanica optimizada. El programa de CAD permitio calcular una reduccion de peso de 24.1 %. El software Ansys permitio calcular los factores de seguridad, mostrando que en el caso de la pieza optimizada se redujo un 16 %. Sin embargo, el valor final aun cumple las especificaciones de diseno.

Los resultados obtenidos muestran que la OT es una tecnica muy util en el diseno de piezas mecanicas de peso reducido. Las topologias obtenidas llevan, despues de un proceso de interpretacion, a piezas mecanicas mas livianas, manteniendo una resistencia mecanica comparable, segun el analisis estatico. Las geometrias complejas que se obtienen con la OT pueden ser facilmente fabricadas con las tecnicas modernas de manufactura.

Referencias

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CARLOS A. MEZA (1)

FERNANDO TAMAYO (2)

EDIGUER E. FRANCO (2)

(1) Escuela de Ingenieria Mecanica, Universidad del Valle. Cll. 13 # 100-00. Cali, Valle del Cauca, Colombia.

(2) Programa de Ingenieria Mecanica, Universidad Autonoma de Occidente. Cll. 25 # 115-85. Cali, Valle del Cauca, Colombia.

Fecha de recepcion: 23/02/2015--Fecha de aceptacion: 30/06/2015.
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Author:Meza, Carlos A.; Tamayo, Fernando; Franco, Ediguer E.
Publication:Revista El Hombre y la Maquina
Date:Jan 1, 2015
Words:3853
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