Printer Friendly

Obtencion del enunciado de un problema investigando su solucion.

Obtaining the Statement of a Problem Based on its Solution

INTRODUCCION

Hay hechos que solo pueden ser elucidados, dando marcha atras o hacia delante, tal como en una pesquisa policial. Si una nina aparece muerta en el jardin de un edificio de departamentos, se conduce una pesquisa para encontrar el o los posibles culpables o bien llegar a otra conclusion, como, por ejemplo, que fue un accidente. Si un auto no arranca a la manana, cuando alguien intenta salir a trabajar, hay que resolver personalmente el inconveniente o llamar a un mecanico o electricista. Actualmente, en fisica se lleva a cabo una serie de investigaciones para conocer fenomenos que ocurrieron a millones de anos-luz, tales como la desaparicion de estrellas. En muchas ocasiones se previene una posible situacion problematica, como el derrame o robo de gas o petroleo de tuberias, insertando equipamientos que evaluan la caida de presion en el sistema. En general, esos equipos estan conectados a programas computacionales, que realizan por lo menos balances de materia y cantidad de movimiento, y diagnostican si hubo o no falla en el funcionamiento del sistema, para tratar de resolver o remediar el problema. Esta es una situacion especial en la cual se resuelve un problema o un imprevisto, despues que el ocurrio, pero con herramientas preparadas con anterioridad.

El diagnostico de fallas tiene como mision identificar el problema que esta afectando a un proceso dado a traves del analisis de las senales suministradas por los sensores del proceso (Tarifa y Martinez, 2007). Con el diagnostico de fallas en plantas quimicas se determina, por ejemplo, si hay algun error de operacion de la planta, si hay cambios de las corrientes de entrada o salida de productos de la planta etc. Cuando se produce una falla puede aparecer un conjunto finito o infinito de trayectorias o secuencias temporales de datos, que describen las variables del proceso afectadas por dicha falla. Esas secuencias temporales de datos de las variables pueden ser empleadas para identificar o diagnosticar la falla que origino las trayectorias observadas. Las redes neuronales son modelos matematicos con los que se intenta reproducir la actividad cognitiva del cerebro humano y son empleadas para ayudar en la deteccion de fallas en plantas, equipos o en diversas otras situaciones. Las redes neuronales deben ser disenadas y entrenadas para realizar la tarea de diagnostico y deteccion de fallas. Lima y Massino (2008), presentan un manual de deteccion fallas para una planta piloto de elaboracion de quesos, desarrollado a partir de los conocimientos de un tecnico experto en la monitorizacion de la planta. Los sistemas expertos son sistemas de informacion que se originan de conocimientos organizados, de un area especifica de la experiencia humana. Los sistemas expertos son desarrollados para resolver algunos problemas, tales como la deteccion de fallas en procesos industriales, recogiendo la destreza de operadores expertos. Como el termino experto es sinonimo de competencia y especializacion, el exito de un sistema experto se debe a que el solo abarque un campo limitado. Los sistemas expertos suelen aplicarse a sistemas industriales, comunmente con otras tecnicas de inteligencia artificial, tales como redes neuronales y algoritmos geneticos. Segun Nurminen et al. (2003), los sistemas expertos son elementos positivos cuando se los entiende como complementos de la tarea de expertos humanos y no como reemplazantes suyos.

Existe una gran cantidad de trabajos en la literatura sobre resolucion de problemas (Kantowski, 1980; Pereira, 2002; Polya, 1995; Schoenfeld, 1985), que pueden aportar conocimientos para la elaboracion de propuestas para encontrar el enunciado de un problema partiendo de su solucion. Por ejemplo, para Wallas (1926), citado por Pereira (2002), las etapas para resolucion de problemas son: i) Saturacion, en la cual se trabaja en el problema, hasta que tenga sido realizado todo lo que sea posible de ser hecho con el; ii) Incubacion, en la cual uno saca el problema del consciente y deja que el subconsciente tome cuenta de el. Es decir, uno duerme con el problema. Esta es, aparentemente, la etapa facil de resolucion de un problema; iii) Inspiracion, en la cual la respuesta del problema llega subitamente, sin que, aparentemente, uno este pensando conscientemente en el problema; y iv) Verificacion, en la que uno verifica la solucion del problema, solo para tener certeza de que ella esta correcta. Para Polya (1995), resolver problemas es una habilidad practica, como nadar, esquiar o tocar piano, que se puede aprender a traves de imitacion y practica. Polya (1995), organizo la resolucion de problemas en cuatro etapas: a) Comprender el problema; b) Elaborar un plan de resolucion del problema; c) Ejecutar el plan de resolucion del problema; y d) Realizar un analisis retrospectivo y verificacion de la solucion de un problema. Cada etapa de resolucion de un problema, de (a) a (d), puede ser subdividida en otras que estan en la Tabla 1, modificadas y adaptadas de las presentadas en los libros de Dante (2002) y Polya (1995).

Segun Polya (1995), la resolucion de problemas es un poco de desafio y descubierta, porque no existe un metodo rigido al cual el estudiante pueda seguir siempre, para encontrar la solucion de un problema. Ya para Schoenfeld (1985), la comprension y ensenanza de matematica deben ser abordadas como un dominio de resolucion de problemas. Ademas, indica que hay cuatro habilidades o categorias de conocimiento, para que alguien sea bien sucedido en matematica, que son: i) Recursos, que son conocimientos de procedimientos y temas de matematica; ii) Heuristica, que son estrategias y tecnicas para resolver problemas, tales como trabajar con lo que le fue ensenado, asi como montar esquemas y dibujar figuras; iii) Control, que es decision sobre cuando y cuales recursos usar en determinada situacion; iv) Convicciones, que es una vision matematica del mundo, la cual determina como alguien abordara un problema.

Kantowski (1980), dividio la capacidad de resolucion de problemas en cuatro estadios, pero Pereira (2002) los amplio a cinco, resultando en los siguientes niveles de capacitacion del que resuelve problemas: a) Inerte, que es la persona que no tiene ningun o casi ningun entendimiento de lo que sea resolver un problema matematico; o sea, no sabe por donde empezar. Lo maximo que consigue es reproducir procedimientos muy simples, que fueron exhaustivamente explicados y ejemplificados; b) Imitador, es el que con poca explicacion y ejemplificacion, se torna capaz de resolver ejercicios de matematica, pero todavia no consigue resolver verdaderos problemas. Participa productivamente en grupos que esten discutiendo la resolucion de problemas nuevos, pero es incapaz de trabajar solo; c) Capaz, es el que atingio la capacidad de resolver problemas, pero esos deben ser variantes relativamente simples de problemas que aprendio o que ya resolvio; d) Avanzado, es el que demuestra una capacidad superior de resolucion de problemas, a traves de la mayor velocidad de resolucion en relacion a otras personas, de la mayor complejidad de los problemas que es capaz de enfrentar y ademas puede concebir procesos de resolucion diferentes de los que habia aprendido; y e) Artista, es la persona que no solo atingio un grado superior de inventar nuevos procesos de resolucion de problemas, asi como se preocupa en explorar caminos diferentes de los ya recurridos y en buscar resoluciones elegantes o poderosas.

El enfoque de este trabajo es plantear el enunciado de un problema a partir de su solucion, pero se puede usar ideas puestas aqui para resolver problemas reales, donde no hay enunciado, pero solo hay un problema, como el presentado a continuacion. Por ejemplo, alguien entra a trabajar en una destileria, sospecha que la torre de destilacion no esta funcionando bien (detecta el problema), debe formular el problema (crear el enunciado) y para ello debe recolectar informacion. Ese proceso demanda tiempo y dinero (ensayos, instrumentos de medicion, revision de la literatura etc.), asi que debe realizar un planteo eficiente del enunciado que no demande demasiada informacion, pero a la vez que no deje nada importante sin cubrir. Ademas, debe considerar que parte de la informacion que conseguira sera incompleta, sino erronea. Para construir un enunciado correcto, el profesional debe conocer las variables principales del sistema que esta estudiando; para ello elaborara un modelo mental del proceso de destilacion. Con el enunciado establecido, pasara a plantear el modelo matematico; en esta etapa podra descubrir que aun le falta informacion, y retrocedera para completar el enunciado. Nuevamente, el descubrira que debe modificar el enunciado. Al finalizar todo el proceso, ese ingeniero sabra bien lo que hizo y por que lo hizo; y estara en condiciones de mejorar el proceso. Cuando se reemplace a ese profesional por otro, este se encontrara con lo ya hecho y podra mejorarlo, por ejemplo, repitiendo todo el trabajo mental que llevo a cabo el ingeniero original.

IDEAS PARA EMPLEAR EN EL ANALISIS

Sea una situacion de matematica elemental, en la cual el profesor presenta en el pizarron varios calculos de raiz cuadrada. En la primera situacion escribe:

[raiz cuadrada de 10.000] = [raiz cuadrada de 100 x 100] = [raiz cuadrada de [100.sup.2]] = 100

Y pregunta ?cual es el significado de las operaciones matematicas realizadas? Una respuesta sencilla es: la raiz cuadrada de 10.000 es igual a la raiz cuadrada de 100 veces 100, que es igual a la raiz de 100 al cuadrado, que vale 100. Ya para el siguiente ejemplo la respuesta puede ser diferente. Sea:

[raiz cuadrada de [(100 m).sup.2]] + [(100 m).sup.2]] = [raiz cuadrada de 20.000 [m.sup.2]] = 141,4 m

Una posible respuesta es: la raiz cuadrada de 100 metros al cuadrado mas 100 metros al cuadrado es 141,4 m. Otro razonamiento es: la hipotenusa de un triangulo equilatero de lado 100 m es igual a 141,4 m. O bien, la minima distancia que una persona necesita caminar para atravesar una plaza, de 100 m de lado, es de 141,4 m. Por lo tanto, con analisis relativamente sencillos se puede obtener el planteo de muchos problemas, partiendo de su solucion o de sus consecuencias. Lo principal que se discute aqui son ideas para ayudar en el analisis de una solucion de un problema para encontrar su enunciado, mas que una metodologia general de analisis. Es decir, lo usual es que se enuncie y resuelva un problema, pero no es frecuente que se presente una solucion de un problema y se pida hallar su enunciado. Aunque en la practica se trabaje con situaciones combinadas de planteo y solucion de problemas o viceversa, sin que la mayoria se de cuenta de ello. Para obtener el enunciado de un problema de matematica o fisica, en el presente trabajo, se propone el conjunto de etapas presentadas a continuacion, las cuales son detalladas en la Tabla 2, en forma de un diagrama a seguir para estructurar el pensamiento: i) Realizar un analisis de la solucion de un problema, tratando de obtener su enunciado; ii) Elaborar un plan para obtener un enunciado del problema a partir de su solucion; iii) Ejecutar el plan para obtener un enunciado del problema; y iv) Realizar un analisis retrospectivo del enunciado y verificar si con el se obtiene la solucion inicialmente planteada.

Las ideas presentadas en las etapas (i) a (iv), de la Tabla 2, son solo guias para obtener un enunciado de un problema, pero no garantizan que se pueda obtener un enunciado y tampoco que el sea unico. Hay similitud entre las etapas propuestas en este trabajo y las presentadas por Polya (1995), pero existe una diferencia importante, es decir, Polya propone resolver problemas y en el presente articulo se trata de encontrar el enunciado de un problema resuelto. Lo que se propone aqui es que cuando uno tenga una solucion de un problema, un accidente o un fenomeno inusitado, se transforme en habitual el recurrir al analisis, dando marcha atras, hacia adelante o dando vueltas a la solucion, para conocer y plantear el enunciado de un problema; una metodologia que tambien puede ser valida para resolver un enigma. No hay reglas fijas, pero si es un problema de ingenieria, las bases son la fisica y matematica, y si es de otra area, deben usarse los conocimientos adecuados correspondientes. En ultimo analisis, lo que se pretende es ofrecer nuevas perspectivas o estrategias que estimulen el analisis critico y el razonamiento creativo, tratando de plantear un enunciado de un problema a partir de su solucion, encontrar los motivos de fallas en equipos y procesos o dilucidar un enigma.

RESULTADOS Y DISCUSION

A continuacion se presenta la solucion de un problema de intercambiadores de calor, que formo parte de un examen para estudiantes de ingenieria electrica, de materiales y computacion. En el inicio se hacen algunas consideraciones, que fueron presentadas por escrito a los estudiantes; posteriormente se presenta una solucion del problema; despues se muestran los planteos del problema realizados por los estudiantes; y finalmente se discute como obtener algunas ecuaciones, para realizar simulaciones y calcular parametros. El ejemplo resuelto esta basado en un problema propuesto en el libro de Heldman y Singh (1981). Se puede hallar una discusion sobre las ecuaciones basicas de proyecto de intercambiadores de doble tubo en varios libros (Bird et al., 2002; Heldman y Singh, 1981). El objetivo del ejemplo presentado es mostrar una manera de analizar la solucion de un problema sencillo, alentando a que otras personas desarrollen analisis mas elaborados para obtener el planteo de un problema cualquiera.

Enunciado del Examen

Como se expuso en clase, se puede partir de una solucion de un problema, para intentar encontrar su enunciado. En realidad, puede existir mas de un planteo para un problema, asi como algunos problemas tienen mas de una solucion. Partiendo de una solucion de un problema de intercambiadores de calor, presentada a continuacion, proponga un enunciado para el problema. Se pueden elaborar esquemas iniciales, pero enseguida debe obtenerse el enunciado completo del problema. Despues de tener el planteo completo, es importante probar si, a partir de el, es posible obtener la solucion propuesta aqui.

En una planta se tiene el intercambiador A, con coeficiente global de intercambio de calor Ua = 500 Wm-2oC-l y area de intercambio Aa = 0,4 m2, y el intercambiador B, con Ub = 300 Wm-2oC-1 y Ab = 1,0 m2. Las condiciones de proceso en un intercambiador generico (i) para el alimento liquido, son velocidad masica de flujo wf = 200 kg/h, calor especifico Cpf = 3.600 Jkg-1oC-1, temperatura de entrada y salida Tf1 = 30 [grados]C y Tf2 = 90 [grados]C, respectivamente. Para el aceite los parametros son wq = 200 kg/h, Cpq = 2.100 Jkg-1oC-1 y Tq2 = 160 [grados]C. A partir de ecuaciones basicas de un intercambiador de doble tubo, se obtiene para el fluido frio, que la potencia intercambiada Qf(J/s) es:

[Q.sub.f] = [w.sub.f][Cp.sub.f]([T.sub.f2]-[T.sub.f1]) (1)

Reemplazando los valores presentados en la Ec.(1), resulta en Qf = 12.000 W. Si no hay perdidas de energia para el ambiente, la potencia cedida por el fluido caliente Qq(W) es igual a la recibida por el fluido frio Qf(W), es decir:

[Q.sub.q] = [-Q.sub.f] = [w.sub.q][Cp.sub.q]([T.sub.q1]-[T.sub.q2]) (2)

A partir de la Ec.(2) se obtiene que Tq1 = 57,1 [grados]C. Para calcular el producto UA, puede ser empleada la ecuacion presentada a continuacion:

[Q.sub.f] = UA{([T.sub.q2] - [T.sub.f2]) - ([T.sub.q1] - [T.sub.f1])}/In{([T.sub.q2] - [T.sub.f2])/([T.sub.q1] - [T.sub.f1])} (3)

De la Ec.(3) se calcula UiAi = 295,6 W/oC, para el intercambiador generico (i), con Qf = 12.000 W y las temperaturas mencionadas. Comparando el intercambiador (i) UiAi = 295,6 W/oC, con A y B, respectivamente, UaAa = 500 Wm-2oC-1(0,4 m2) = 200 W/oC y UbAb = 300 Wm-2oC-1(1 m2) = 300 W/oC, se selecciona uno, ninguno o ambos intercambiadores. Es decir, el intercambiador escogido debe aportar por lo menos Qf = 12.000 W. Usando UaAa = 200 W/oC y las temperaturas de entrada y salida para el intercambiador A, resulta en Qa = 9.047,5 W. Con UbAb = 200 W/oC, para el intercambiador B, resulta en Qb = 13.571,2 W. Por lo tanto, el intercambiador seleccionado es B, porque la potencia Qb = 13.571,2 W > 12.000 W; pero el intercambiador A, con Qa = 9.047,5 W, no aporta potencia suficiente para el proceso, aunque dispusiera de iguales temperaturas Tq y Tf, tanto de entrada como de salida que el intercambiador B. A continuacion se presentan propuestas de planteo del problema de intercambiadores de doble tubo, realizadas por tres grupos de estudiantes y el enunciado del libro de Heldman y Singh (1981).

Planteo del Grupo 1

Analizando un intercambiador de calor de doble tubo, el calor se transmite a traves de la pared del tubo interno; las corrientes de fluido circulan en contracorriente. Suponiendo que el flujo de calor es en estado estacionario y que la perdida de calor hacia el entorno es despreciable, estan disponibles el intercambiador A: Ua = 500 Wm-2oC-1 y Aa = 0,4 m2, y el intercambiador B: Ub = 300 Wm-2oC-1 y Ab = 1,0 m2. ?Cual seria el intercambiador ideal para calentar un alimento liquido, usando aceite como fluido caliente, en contracorriente? (Ademas, el grupo presento un esquema de un intercambiador en contracorriente, incluyendo las temperaturas de entrada, salida, datos del alimento wf = 200 kg/h y Cpf = 3.600 Jkg-1oC-1, y del aceite wq = 200 kg/h y Cpq = 2.100 Jkg-1oC-1.)

Planteo del Grupo 2

Queremos comprar un intercambiador de calor de doble tubo, para ser usado en contracorriente, en el problema enunciado a continuacion: enfriar un alimento liquido, que pasa por el tubo interno, con aceite, que pasa por el tubo externo. Las especificaciones del problema son presentadas en la siguiente tabla.

Una empresa tiene disponibles dos intercambiadores. El intercambiador A especificado con coeficiente global Ua = 500 Wm-2oC-1 y area para intercambio de calor Aa = 0,4 m2. El intercambiador B con Ub = 300 Wm-2oC-1 y Ab = 1,0 m2. ?Cual intercambiador seria el adecuado para resolver nuestro problema (enfriar el alimento liquido hasta 30 [grados]C), el A, el B o ninguno de ellos?

Planteo del Grupo 3

En determinada industria se dispone de dos intercambiadores de calor de tubos concentricos, con configuracion en contracorriente; teniendo el intercambiador A coeficiente global de transferencia de calor Ua = 500 Wm-2oC-1 y area Aa = 0,4 m2, y el intercambiador B, Ub = 300 Wm-2oC-1 y Ab = 1,0 m2. Se necesita seleccionar uno de los dos intercambiadores, de modo que aporte potencia suficiente para enfriar aceite lubricante de un motor, con temperatura Tq2 = 160 [grados]C y calor especifico Cpq = 2.100 Jkg-1oC-1. Se utilizara un alimento liquido en las siguientes condiciones: Tf2 = 90 [grados]C, Tf1 = 30 [grados]C y Cpf = 3.600 Jkg-1oC-1. Si la velocidad masica de ambos fluidos es wf = 200 kg/h, determine la potencia minima de funcionamiento y con base en el resultado, ?cual intercambiador sera utilizado?

Planteo del Problema en el Libro de Heldman y Singh (1981)

Un alimento liquido, con calor especifico Cp = 3.600 Jkg-1oC-1 va a ser calentado de 30 a 90 [grados]C. El medio de calentamiento es aceite, con Cp = 2.100 Jkg-1oC-1, entrando a la temperatura de 160 [grados]C. La velocidad masica del aceite y del alimento liquido es w = 200 kg/h. Dos intercambiadores de calor de doble tubo estan disponibles. El intercambiador A tiene un coeficiente global de transferencia de calor U = 500 Wm-2oC-1 con area total de 0,4 m2 y el intercambiador B tiene U = 300 Wm-2oC-1 y area total de 1 m2. ?Cual de los intercambiadores debe seleccionarse para esta aplicacion?

Notese que los enunciados presentados por los estudiantes son similares, pero difieren principalmente en la manera como cada grupo enfrenta la solucion del problema, para proponer su planteo. Por ejemplo, en el primer planteo hay preocupaciones y descripciones teoricas, pero en el segundo y tercero, se destacan consideraciones practicas. El segundo grupo considera que el alimento liquido es enfriado, al contrario de lo enunciado en el libro de Heldman y Singh (1981), es decir, el alimento es calentado. Esos distintos analisis tal vez tengan que ver con las diferentes posibilidades con que se puede visualizar un problema, con el tipo de formacion promedio de cada grupo, con sus preocupaciones y quizas con la personalidad promedio grupal o con la dominante. Se concluye que por lo general los estudiantes sortearon bien este examen y que propuestas como la presentada ayudan a retroalimentar conocimientos, que es una manera complementaria de visualizar y bucear en soluciones y planteos de problemas. Esas metodologias estimulan el razonamiento, amplian el conocimiento y la habilidad para analizar problemas, dando marcha atras o hacia delante. Pero los estudiantes no pusieron atencion en rehacer los calculos presentados con anterioridad, para buscar posibles errores en los calculos desarrollados por el docente. A continuacion son realizados nuevamente algunos calculos y discutidas otras posibilidades de seleccion de los intercambiadores. Hay error de calculo en el parametro AiUi presentado por el docente, lo que produjo errores en calculos posteriores; por eso AiUi es recalculado, ampliando el analisis, sin necesidad de incluir errata en el texto. De la Ec.(3) se calcula UiAi = 265,3 W/oC, con Tq1 = 57,1 [grados]C, Tf1 = 30 [grados]C, Tf2 = 90 [grados]C, Tq2 = 160 [grados]C y Qf = 12.000 W. Comparando el intercambiador (i) UiAi = 265,3 W/oC, con A y B, UaAa = 200 W/oC y UbAb = 300 W/oC, se selecciona el intercambiador B, pues Qb = 13.571,2 W > 12.000 W, que coincide con el seleccionado con anterioridad; pero el intercambiador A, con Qa = 9.047,5 W, no aporta potencia suficiente para el proceso.

Aun siendo adecuada la seleccion del intercambiador B, hay que imponer otros criterios en tal seleccion. Es decir, partiendo de Qb = 13.571,2 W, si fueren mantenidas ambas velocidades masicas en w = 200 kg/h, las temperaturas de salida de las dos corrientes seran diferentes de las calculadas con anterioridad. Como no fueron presentadas informaciones sobre la resistencia del alimento liquido a T > 90 [grados]C, quizas sea adecuado seleccionar otra wf para el alimento, para que el continue entrando a 90 [grados]C y saliendo a 30 [grados]C. En estas condiciones, con Qf = 13.571,2 W, Cpf = 3.600 Jkg-1oC-1, Tf1 = 30 [grados]C y Tf2 = 90 [grados]C, de la Ec.(1) se obtiene la nueva velocidad masica para el alimento wf2 = 226,2 kg/h. Como wf aumento de wf1 = 200 kg/h para wf2 = 226,2 kg/h, bajo las mismas condiciones de operacion de la corriente fria, entonces el coeficiente global U debe cambiar. Por lo tanto, la discusion presentada a continuacion es realizada para poder calcular los nuevos valores de Tq1, U2 y wq2.

Se evalua el coeficiente U, de la Ec.(3), despreciando las resistencias de incrustacion, la resistencia termica de la pared, admitiendo que la pared del tubo interno tiene areas de intercambio de calor interna y externa casi iguales, y conociendose el valor del coeficiente convectivo interno al tubo interno hint(Wm-2oC-1) y externo al tubo interno hext(Wm-2oC-1), empleando la ecuacion presentada a continuacion (Bird et al., 2002; Heldman y Singh, 1981; Incropera y De Witt, 1998):

U [congruente con] 1/1/[h.sub.int] + 1/[h.sub.ext] (4)

Para flujo laminar de fluidos en tubos de diametro D(m), es decir, para numero de Reynolds Re < 2.100, puede ser empleada la ecuacion presentada a continuacion (Heldman y Singh, 1981; Incropera y De Witt, 1998), para evaluar el coeficiente convectivo de transferencia de calor h(Wm2oC-1):

hD/k = 1,86[(wCp/kL).sup.1/3] [([my]/[[my].sub.p]).sup.0,14] (5)

El primer miembro de la Ec.(5) es el numero de Nusselt Nu, el primer termino entre parentesis del segundo miembro es el numero de Graetz Gz y up(kgm-1s-1) es la viscosidad del fluido, evaluada a la temperatura de la pared del tubo. Para flujo turbulento en tubos, puede ser empleada la ecuacion propuesta por Dittus y Boelter (1930), citada en varios libros (Heldman y Singh, 1981; Incropera y De Witt, 1998), para calcular el coeficiente convectivo de transferencia de calor h(Wm-2oC-1):

hD/k = 0,023[([rho]vD/[my]).sup.0,8] [([my]Cp/k).sup.n] (6)

El primero y segundo terminos entre parentesis del segundo miembro de la Ec.(6) son, respectivamente, el numero de Reynolds Re y Prandtl Pr. Si el exponente del numero de Prandtl es n = 0,4, significa que el fluido esta siendo calentado y si es n = 0,3, el esta siendo enfriado. Las propiedades del fluido, evaluadas a la temperatura promedio del fluido, son calor especifico Cp(Jkg-1oC-1), conductividad termica k(Wm-1oC-1), densidad p(kgm-3) y viscosidad [my](kgm-1s-1). La Ec.(6) es valida para Reynolds Re > 10.000, el cual es funcion del area de la seccion transversal del tubo Atra(m2), del diametro interno Dint(m), de la velocidad masica w(kg/s) y densidad [rho](kgm-3). Para el flujo en el interior del tubo interno de un intercambiador de doble tubo, las ecuaciones de Re y w en el area interna, para emplear con la Ec.(5) o (6), son:

[Re.sub.int] = [rho]v[D.sub.int]/[my] = 4[w.sub.int]/[pi][my][D.sub.int] (7)

[w.sub.int] = [rho]v[A.sub.tra] = [rho]v[pi][D.sub.int.sup.2]/4 (8)

Las ecuaciones de Re y w en el area anular, para calculos con la Ec.(5) o (6), para flujo en el area entre el tubo externo y el interno, es decir, en la region anular del intercambiador, despreciando el espesor de la pared del tubo interno, son:

[Re.sub.anu] = [rho]v([D.sub.ext] - [D.sub.int])/[my] = 4[w.sub.anu]/[pi][my]([D.sub.ext] + [D.sub.int]) (9)

[w.sub.anu] = [rho]v[A.sub.anu] = [rho]v[pi]/4([D.sup.2.sub.ext] - [D.sup.2.sub.int]) (10)

En las Ec.(9) y (10) el termino D = (Dext - Dint) es el diametro hidraulico del espacio anular y Dext es el diametro interno del tubo externo. El diametro hidraulico puede ser empleado tanto en la Ec.(5) como en la Ec.(6). Si hay un cambio de wq1 para wq2, para el fluido caliente y de wf1 para wf2, para el frio, se evalua el nuevo h2, a partir del coeficiente inicial h1, admitiendo que las propiedades de los fluidos no se modifican en el rango de temperatura considerado. Si la Ec.(5) es valida para el fluido caliente y la Ec.(6) para el frio, empleando dos veces cada una de ellas, resulta en:

[h.sub.q2] = [h.sub.q1][([w.sub.q2]/[w.sub.q1]).sup.1/3] (11)

[h.sub.f2] = [h.sub.f1][([w.sub.f2]/[W.sub.f1]).sub.0,8] (12)

Reemplazando en la Ec.(4) los nuevos valores de h2, para el aceite h2q y alimento h2f, y la nueva wf2 = 226,2 kg/h, se obtiene la ecuacion de calculo del nuevo U2, en la cual hq1 y hf1 son evaluados por la Ec.(5) y (6), respectivamente, con velocidades masicas iniciales wq1 = wf1 = 200 kg/h:

[U.sub.2] [congruente con] 1/[1/[[h.sub.q1][([w.sub.q2]]/[[w.sub.q1]).sup.1/3]]] + [1/[[h.sub.f1][([w.sub.f2]/[w.sub.f1]).sup.0,8]]] (13)

Realizando simulaciones con las Ecs.(13), (1), (2) y (3), se obtienen los nuevos valores de Tq1, U2 y wq2, partiendo del dato de proyecto Qf = 13.571,24 W; pues ya fue seleccionada wf2 = 226,2 kg/h etc.

CONCLUSIONES

Se concluye que el diagrama propuesto para obtener el enunciado de un problema basandose en su solucion, puede ser empleado, por ejemplo, para enunciar problemas de matematica, fisica, ingenieria y areas relacionadas; pudiendo ser adaptado para su empleo en otras areas.

Las ideas de analisis propuestas en este articulo ayudan a retroalimentar conocimientos y representan maneras complementarias a otras bien conocidas, para visualizar, ojear y bucear en soluciones y enunciados de problemas. Esas metodologias estimulan el razonamiento, amplian el conocimiento y la habilidad para analizar soluciones o resolver problemas, dando marcha atras o hacia delante.

Esquemas como el presentado ayudan a organizar ideas y estructurar el pensamiento, para enunciar problemas partiendo de su solucion; tal vez mejorando la creatividad, la ensenanza y el aprendizaje, y quizas posibiliten la descubierta de nuevos caminos en investigacion y actividades cotidianas.

doi: 10.4067/S0718-50062009000100004

REFERENCIAS

Bird, R.B., W.E. Stewart y E.N. Lightfoot; Transport Phenomena, p.307, 425 y 462-463, John Wiley, New York, USA (2002).

Dante, L.R.; Didactica de Resolucion de Problemas de Matematica, p.29, Atica, Sao Paulo (2002). (En Portugues.)

Heldman, D.R. y R.P. Singh; Food Process Engineering, p.94-96, 100, 117 y 147, AVI Publishing Company, Westport, Connecticut (1981).

Incropera, F.K., D.P. De Witt; Fundamentos de Transferencia de Calor y Materia, p.50, 240, 249, 320 y 463, Livros Tecnicos e Cientificos, Rio de Janeiro (1998). (En Portugues.)

Kantowski, M.G.; Some Thoughts on Teaching for Problem Solving, In Problem Solving in School Mathematics, Robert E. Reys (Ed.), Open University, London (1980). Lima, J.L. y S.H. Massino; Manual de Deteccion de Fallas de una Planta Piloto de Produccion de Quesos Basado en Conocimiento Experto, Informacion Tecnologica: 19(3), 65-74 (2008).

Nurminen, J., O. Karonen y K. Hatonen; What Makes Expert Systems Survive Over 10 Years, Expert Systems with Applications: 24 (2), 199-211 (2003).

Pereira, A.L.; Problemas Matematicos: Caracterizacion, Importancia y Estrategias de Resolucion, p.10 y 11-14, MAT450-Seminarios de Resolucion de Problemas, IME-USP-Instituto de Matematica y Estadistica de la Universidad de Sao Paulo (2002). (En Portugues.)

Polya, G.; El Arte de Resolver Problemas: un Nuevo Aspecto del Metodo Matematico, p.XII-XIII, 16 y 24-27, Interciencias, Rio de Janeiro (1995). (En Portugues.)

Schoenfeld, A.; Mathematical Problem Solving, Academic Press (1985).

Tarifa, E.E. y S.L. Martinez; Diagnostico de Fallas con Redes Neuronales. Parte 1: Reconocimiento de Trayectorias, Revista Ingenieria e Investigacion: 27(1), 68-76 (2007).

Sebastiao R. Ferreira

Universidad Federal de Rio Grande del Norte, Departamento de Ingenieria Quimica, Av. Salgado Filho 3000, 59078-970 Natal, RN-Brasil (e-mail: ferreira@eq.ufrn.br, seba@ufrnet.br)
Tabla 1: Como resolver problemas de matematica partiendo de su
enunciado (Dante, 2002; Polya, 1995).

Etapa                         Procedimiento

i) Realizar un analisis del   * ?Que se pide en el problema? Antes que
enunciado de un problema,     todo, el enunciado verbal de un problema
tratando de obtener su        debe ser bien comprendido.
solucion.
                              * ?Cuales son los datos y las
                              condiciones del problema?

                              * ?Es posible hacer un esquema, un
                              dibujo o un diagrama, para ayudar en la
                              resolucion del problema?

                              * ?Es posible suponer una respuesta al
                              problema?

ii) Elaborar un plan para     * ?Cual es el plan elaborado para
obtener la solucion del       resolver el problema? Lo principal en la
problema a partir de su       resolucion de un problema es la
enunciado.                    elaboracion del plan de accion.

                              * ?Que estrategias seran empleadas para
                              intentar resolverlo?

                              * ?Hay algun problema semejante, que
                              pueda ayudar a resolver este?

                              * Acordarse que lo indispensable para la
                              resolucion de un problema matematico es
                              el conocimiento matematico adquirido,
                              por ejemplo, a traves de problemas
                              anteriormente resueltos.

iii) Ejecutar el plan para    * Ejecutar el plan elaborado,
obtener la solucion del       verificandolo paso a paso.
problema.

                              * Rever la teoria correspondiente al
                              problema a ser resuelto, para auxiliar
                              en la tarea de obtener una solucion.

                              * El plan es solo un trayecto general de
                              resolucion, pero se necesita estar
                              convicto de que todos los pasos son
                              correctos. Por eso hay que examinarlos,
                              uno tras otro, pacientemente, hasta que
                              todo este perfectamente claro y que no
                              exista ningun punto nebuloso en el cual
                              pueda ocultarse algun error.

                              * Intentar organizar los datos del
                              problema en tablas, diagramas o en
                              graficos.

                              * Tratar de resolver el problema por
                              partes.

                              * Efectuar los calculos indicados en el
                              plan, para obtener una solucion del
                              problema.

                              * Realizar todas las estrategias antes
                              pensadas, obteniendo varias maneras de
                              resolver el problema.

iv) Realizar un analisis      * ?Es posible saber si la solucion es
retrospectivo de la           correcta?
solucion del problema,
verificando si a partir de    * Un analisis retrospectivo de la
ella se obtiene el            resolucion, reexaminando el resultado
enunciado planteado.          final y el camino que condujo a este,
                              puede ayudar a consolidar conocimientos
                              adquiridos y la capacidad para resolver
                              problemas.

                              * Rever la solucion del problema,
                              contrastandola con el enunciado,
                              buscando encontrar posibles fallas en
                              ella.

                              * Verificar los calculos realizados para
                              obtener la solucion, buscando posibles
                              errores en la metodologia de calculo o
                              en la manera de plantear la solucion.

                              * ?Hay otra u otras maneras o metodos
                              para resolver el problema?

                              * ?Es posible emplear este metodo para
                              resolver otros problemas o semejantes, a
                              partir de su enunciado?

Tabla 2: Como obtener el enunciado de un problema de matematica o
fisica, partiendo de su solucion.

Etapa                         Procedimiento

i) Realizar un analisis de    * Analizar la solucion propuesta para el
la solucion de un problema,   problema. ?Que se propone con ella?
tratando de obtener su        Antes que todo, la parte verbal de la
enunciado.                    solucion de un problema debe ser bien
                              comprendida.

                              * ?La secuencia propuesta de solucion
                              tiene logica? ?Es posible elaborar un
                              primer enunciado del problema, partiendo
                              de esta solucion?

                              * ?Es posible confeccionar una figura,
                              un diagrama o un esquema, con el que uno
                              pueda visualizar el enunciado del
                              problema, o sea, ver la solucion al
                              reves?

                              * ?Es posible suponer un enunciado para
                              el problema resuelto?

ii) Elaborar un plan para     * ?Cual es el plan para obtener el
obtener un enunciado del      enunciado del problema? Lo principal
problema a partir de su       para obtener el enunciado de un problema
solucion.                     es la elaboracion de un plan de accion.

                              * ?Que estrategias pueden ser
                              desarrolladas para encontrar un
                              enunciado?

                              * ?Hay algun enunciado semejante, que
                              pueda ayudar a enunciar este?

                              * Acordarse que lo indispensable para
                              obtener el enunciado de un problema es
                              el conocimiento adquirido, por ejemplo,
                              a traves de enunciados anteriormente
                              planteados.

iii) Ejecutar el plan para    * Ejecutar el plan elaborado,
obtener un enunciado del      verificandolo paso a paso.
problema.

                              * Rever la teoria correspondiente al
                              problema resuelto, para auxiliar en la
                              obtencion de un enunciado del problema.

                              * El plan es solo un trayecto general
                              para obtener el enunciado, pero se
                              necesita estar convicto de que todos los
                              pasos son correctos. Por eso hay que
                              examinarlos, uno tras otro,
                              pacientemente, hasta que todo este
                              perfectamente claro y que no exista
                              ningun punto nebuloso en el cual pueda
                              ocultarse algun error.

                              * Intentar ordenar los dados en tablas,
                              diagramas o esquemas.

                              * Tratar de armar el enunciado del
                              problema por partes.

                              * Efectuar los calculos indicados en el
                              plan, repitiendo calculos ya realizados
                              en la solucion del problema, para
                              encontrar posibles errores de calculo o
                              metodologicos.

                              * Realizar todas las estrategias
                              pensadas en el plan, tratando de obtener
                              varios enunciados para el problema.

iv)  Realizar un analisis     * ?Es posible saber si el enunciado es
retrospectivo del enunciado   correcto?
y verificar si con el se
obtiene la solucion           * Un analisis retrospectivo del
inicialmente planteada.       enunciado, reexaminando el resultado
                              final y el camino que condujo a este,
                              puede ayudar a consolidar conocimientos
                              adquiridos y la habilidad para enunciar
                              problemas.

                              * Verificar si el enunciado esta
                              correcto. Rever retrospectivamente la
                              solucion del problema, contrastandola
                              con el enunciado, buscando posibles
                              fallas.

                              * Conferir los calculos realizados para
                              llegar al enunciado, buscando posibles
                              errores en la metodologia de calculo o
                              en la manera de plantear el enunciado a
                              partir de su solucion.

                              * ?Hay otra u otras maneras o metodos
                              para encontrar el enunciado?

                              * ?Es posible usar este metodo para
                              enunciar otros problemas o semejantes, a
                              partir de su solucion?

Material           Velocidad masica   Calor especifico
                   (kg/h)             (Jkg-1oC-1)

Alimento liquido   200                3.600
Aceite             200                2.100

Material           Tentrada       Tsalida
                   ([grados]C)   ([grados]C)

Alimento liquido   90             30
Aceite             --             160
COPYRIGHT 2009 Centro de Informacion Tecnologica
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2009 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Ferreira, Sebastiao R.
Publication:Formacion Universitaria
Date:Feb 1, 2009
Words:6456
Previous Article:Evaluacion de la cromatografia ionica para fomentar su uso en la investigacion y estudios de posgrado en ciencias del agua.
Next Article:Ensenanza de temas avanzados de mecanica de fluidos usando dinamica de fluidos computacional.

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2019 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters