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Numerical evaluation of likelihood inferences in Beta-t-Skew-EGARCH models/Avaliacoes numericas das inferencias no modelo Beta-Skew-t-EGARCH.

1. Introducao

Series financeiras e economicas costumam apresentar caracteristicas estilizadas que nao podem ser capturadas por meio de modelos lineares. As principais caracteristicas relatadas na literatura indicam que essas series exibem agrupamentos de volatilidade (clusters) (Liu, 2000, Mandelbrot, 1963), distributes com caudas mais pesadas do que a distribuyo normal, comportamento nao linear, algumas dependencias nao temporais e volatilidade nao constante ao longo do tempo (Tsay, 2010, Danielsson, 2011, Francq & Zakoian, 2010). Para modelar essas caracteristicas foram propostos na literatura os modelos heterocedaisticos condicionais. Entre os mais conhecidos estai o modelo autorregressivo com heterocedasticidade condicional (ARCH) (Engle, 1982) e seu caso generalizado (GARCH) (Bollerslev, 1986). Apesar da contribuyo desses modelos para analise de series financeiras e economicas eles apresentam algumas limitacoes (Tsay, 2010). Como alternativa, intimeras generalizares da classe de modelos ARCHGARCH tem sido apresentadas na literatura. Uma ampla revisao sobre modelos GARCH pode ser consultada em Francq & Zakoian (2010).

Recentemente, para modelar retornos financeiros com caracteristicas de assimetria, efeito de alavancagem e excesso de curtose, foi proposto o modelo Beta-Skew-t-EGARCH (Harvey & Sucarrat, 2014). Esse modelo estende o modelo Beta-t-EGARCH (Harvey & Chakravarty, 2008, Harvey, 2013) para o caso de assimetria. A especificacao exponencial do modelo tem a vantagem de evitar restricoes de nao negatividade sobre os parametros e permite que as condicoes de estacionariedade sejam obtidas de forma direta (Sucarrat, 2013). Esse modelo apresenta varias atratividades para sua utilizacao em series financeiras e economicas, como a robustez a outliers e a saltos de volatilidade (Harvey & Sucarrat, 2014). Outro aspecto importante relacionado a esse modelo e a possibilidade de decompor a volatilidade em dois componentes, um de curto prazo e outro de longo prazo. O componente de curto prazo captura os efeitos transitorios da volatilidade e o componente de longo prazo modela os movimentos mais lentos da volatilidade, que estao associados a efeitos permanentes.

Alguns autores sugerem que o comportamento da volatilidade e melhor descrito por meio de modelos de volatilidade com componentes, comparado aos modelos de volatilidade tradicionais (Wang & Ghysels, 2015). Engle & Lee (1999) ao propor o modelo GARCH de dois componentes encontraram indicios da superioridade desse modelo em comparacao ao modelo GARCH tradicional. Os trabalhos de Adrian & Rosenberg (2008), Chen & Shen (2004), Christoffersen et al. (2008) e Guo & Neely (2008) tambem reforcam a importancia de utilizar modelos de volatilidade com dois componentes. Os melhores resultados obtidos podem ser justificados pela elevada correlacao de longo prazo presente nas series financeiras, que dificultam a correta especificacao da volatilidade por meio de um modelo com um componente de curto prazo, como o modelo GARCH (Christoffersen et al., 2008). Essa caracteristica, reforca a utilizacao de modelos de componentes, como o modelo proposto Harvey & Chakravarty (2008) e Harvey & Sucarrat (2014), para correta especificacao da volatilidade dos retornos financeiros.

Para estimacao dos parametros do modelo Beta-Skew-t-EGARCH sao utilizados os estimadores de maxima verossimilhanca (EMV). Os EMV apresentam, sob certas condicoes de regularidade, propriedades assintoticas desejaveis, como consistencia, normalidade, eficiencia e nao tendenciosidade (Casella & Berger, 2002, Andersen et al., 2009, Luger, 2012, Pawitan, 2001, Lehmann, 1983, Lindsey, 1996). As inferencias realizadas em pequenas amostras, como construcao de intervalos de confianca e testes de hipoteses, consideram essas aproximacoes assintoticas dos estimadores. No entanto, em pequenas amostras as aproximacoes podem ser pobres e produzir estimativas significativamente diferentes do valor do parametro (Kenward & Roger, 1997, Hippel, 2013). Ademais, verifica-se que para a classe de modelos GARCH os estimadores de maxima verossimilhanca apresentam, em geral, dificuldades em pequenas amostras (Hwang & Pereira, 2006, Bianchi et al., 2011). Detalhes sobre as propriedades assintoticas dos EMV em modelos GARCH podem ser encontradas em Douc et al. (2004), Lumsdaine (1995), Chan & McAleer (2002), Xie (2009), Engle et al. (1985), Mendes (2000) e Hwang & Pereira (2006), entre outros trabalhos.

Nesse sentido, a principal contribuicao deste trabalho sera analisar por meio de simulacoes de Monte Carlo o desempenho dos EMV do modelo Beta-Skew-t-EGARCH em amostras de tamanho finito. No trabalho de Harvey & Sucarrat (2014), onde e proposto o modelo, nao e apresentado um amplo estudo numerico sobre o desempenho desses estimadores. Essa avaliacao numerica ajudara a estabelecer quao confiaveis sao as estimativas e as conclusoes inferenciais retiradas das analises feitas em amostras de tamanho finito. Isso auxiliara na definicao do tamanho amostral em que os estimadores apresentam boa performance, de forma semelhante ao apresentado em Hwang & Pereira (2006) para o modelo GARCH. A falta de conhecimento das propriedades estatisticas de modelos GARCH em amostras finitas pode causar dificuldades na inferencia e na escolha do algoritmo de otimizacao mais eficiente para o modelo (Chan & McAleer, 2002). Para responder a esse objetivo serao geradas amostras pseudo-aleatorias e considerados diferentes tamanhos amostrais, bem como diferentes valores para os parametros do modelo.

O segundo objetivo e a proposicao de um teste da razao de verossimilhancas para testar se a serie de dados deve ser modelada por meio de um modelo Beta-Skew-t-EGARCH com um ou dois componentes de volatilidade. Esse teste da razao de verossimilhancas sera denominado de teste de dois componentes. Esse objetivo responde a uma necessidade pratica que nao e explorada no trabalho original de Harvey & Sucarrat (2014). O teste auxiliara na determinacao do modelo que melhor descreve os dados. Com a finalidade de avaliar o desempenho do teste de dois componentes, serao avaliadas as aproximacoes das estatisticas de teste pela distribuyo nula limite quiquadrado em amostras de tamanho finito por meio de simulacoes de Monte Carlo. Para analisar as influencias dessas aproximacoes no desempenho do teste de dois componentes, serao avaliados o tamanho e o poder do teste.

Por ultimo, sera realizada uma aplicacao do teste de dois componentes proposto e do modelo Beta-Skew-t-EGARCH a cotacoes diarias do indice de mercado da Alemanha, DAX 30. O periodo amostral analisado, de 23 de novembro de 1995 a 20 de agosto de 2014, compreende periodos de tur bulencia e calmaria no mercado financeiro, que podem levar a variacoes na volatilidade. Com a aplicacao pretende-se investigar a acuracia do modelo para identificar os periodos de turbulencia presentes no periodo analisado, bem como do teste de dois componentes na selecao do modelo Beta-Skewt-EGARCH que melhor descreve o comportamento dos dados.

2. O modelo e os procedimentos inferenciais

Nesta secao serao apresentados os modelos Beta-Skew-t-EGARCH com um componente e com dois componentes de volatilidade, bem como o teste de dois componentes proposto.

2.1 Modelo Beta-Skew-t-EGARCH com um componente

A estrutura do modelo Beta-Skew-t-EGARCH de primeira ordem com um componente de volatilidade e descrito por Sucarrat (2013) da seguinte maneira:

[y.sub.t] = exp([[lambda].sub.t])[e.sub.t] = [[sigma].sub.t][[epsilon].sub.t], [[epsilon].sub.t] ~ st(0, [[sigma].sup.2.sub.[epsilon]], v, [gamma]), v > 2, [gamma] [member of] (0, [infinity]), t = 1, ..., n, (1)

[[lambda].sub.t] = [omega] + [[lambda].sup.[dagger].sub.t], (2)

[[lambda].sup.[dagger].sub.t] = [[phi].sub.1] [[lambda].sup.[dagger].sub.1] + [[kappa].sub.1][u.sub.t-1] + [[kappa].sup.*]sgn([-y.sub.t-1])([u.sub.t-1] + 1), [absolute value of [phi]] < 1, (3)

em que [y.sub.t] indica o retorno financeiro no tempo t, [[sigma].sub.t] e a escala ou volatilidade e [[epsilon].sub.t] e o erro condicional, que possui distribuyo t assimetrica, com media zero, escala [[sigma].sup.2.sub.[epsilon]], v graus de liberdade e assimetria [gamma] ([[epsilon].sub.t] ~ st(0, [[sigma].sup.2.sub.[epsilon]], v, [gamma])). Harvey & Sucarrat (2014) argumentam que para essa especificacao e para a distribuyo t assimetrica nao e necessario padronizar a variancia de [[epsilon].sub.t] igual a um. Para inserir a assimetria no modelo, Harvey & Sucarrat (2014) utilizam o metodo proposto por Fernandez & Steel (1998). Quando [gamma] < 1 a variavel e assimetrica a esquerda e para [gamma] > 1 e assimetrica a direita e em situacoes em que [gamma] = 1 a variavel e simetrica. Para atender ao pressuposto de estacionariedade e necessario que [absolute value of [[phi].sub.1]] < 1 (Sucarrat, 2013, Harvey & Sucarrat, 2014). O desvio padrao condicional [y.sub.t] e obtido por [[sigma].sub.t][[sigma].sub.[epsilon]] (Sucarrat, 2013).

Referente as Equacoes (2) e (3) [omega] e interpretado como o longo termo da log-densidade, [phi] e o parametro GARCH, quanto maior o valor do parametro maior a persistencia dos clusters, [kappa] e o parametro ARCH, quanto maior o valor absoluto do parametro maior e a resposta aos choques, [[kappa].sup.*] e o parametro de alavancagem, sgn(x) e a funcao sinal e [u.sub.t] e o escore condicional. O escore condicional, dado na Equacao (10), e obtido pela derivada da log-densidade de [y.sub.t] em relacao a [[lambda].sub.t] (Sucarrat, 2013). O uso do escore condicional e intuitivo, pois define a direcao que melhora o ajuste do modelo ou da densidade em t, dado a posicao do parametro (Creal et al., 2013). Ao utilizar essa estrutura obtem-se maior precisao da previsao da observacao um passo a frente (Creal et al., 2011).

O diagnostico da qualidade de ajuste do modelo pode ser realizada por meio da analise dos residuos padronizados, dado por [[??].sub.t]/[[??].sub.t], t = 1,..., n, conforme exposto na obra de Harvey (2013). O autor sugere a utilizacao de testes portmanteau, como Ljung-Box (Ljung & Box, 1978) e Box-Pierce (Box & Pierce, 1970), para investigar a presemja de correlacao serial em [[??].sup.2.sub.t] e em [[??].sub.t]. No trabalho de Harvey & Sucarrat (2014), alem do teste LjungBox, os autores utilizam o teste ARCH para investigar a presemja de heterocedasticidade em [[??].sub.t] e em [[??].sub.t].

2.2 Modelo Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes

Alem do modelo com um componente os autores derivam um modelo de dois componentes de volatilidade, baseado na proposta de Engle & Lee (1999). Nessa nova estrutura o modelo decompile a volatilidade em um componente de curto prazo e outro de longo prazo (Sucarrat, 2013). Esse modelo permite ganhos na qualidade de ajuste e acomoda a propriedade de longa memoria presente nas autocorrelacoes dos valores absolutos (Harvey & Sucarrat, 2014). A especificacao do modelo e dada por (Sucarrat, 2013):

[y.sub.t] = exp([[lambda].sub.t])[[epsilon].sub.t] = [[sigma].sub.t][[epsilon].sub.t], [[epsilon].sub.t] ~ st(0, [[sigma].sup.2.sub.[epsilon]], v, [gamma]), v > 2, [gamma] [member of] (0, [infinity]), t = 1, ..., n, (4)

[[lambda].sub.t] = [omega] + [[lambda].sup.[dagger].sub.1,t] + [[lambda].sup.[dagger].sub.2,t], (5)

[[lambda].sub.t] = [omega] + [[lambda].sup.[dagger].sub.1,t-1] + [[kappa].sub.1] [u.sub.t-1], [absolute value of [[phi].sub.1]] < 1 (6)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (7)

em que [[lambda].sup.[dagger].sub.1,t] e [[lambda].sup.[dagger].sub.2,t] sao interpretados como os componentes de longo prazo e curto prazo respectivamente. O modelo nao e identificado quando [[phi].sub.1] = [[phi].sub.2]. Para estabilidade e estacionariedade do modelo e necessario que [absolute value of [[phi].sub.1]] < 1 e [absolute value of [[phi].sub.2]] < 1 (Harvey & Sucarrat, 2014).

A log-densidade do modelo Beta-Skew-t-EGARCH e dada por (Harvey & Sucarrat, 2014):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (8)

Assim, a funcao de log-verossimilhanca e definida por:

l([theta]) = [n.summation over (t=1)] ln [f.sub.y]([y.sub.t]), (9)

em que [theta] = ([omega], [[phi].sub.1], [[phi].sub.2], [[kappa].sub.1], [[kappa].sub.2], [[kappa].sub.*], v, [gamma]) e um vetor de parametros desconhecidos do modelo Beta-Skew-t-EGARCH. Dessa forma, os valores [??] = ([??], [[??].sub.1], [[??].sub.2], [[??].sub.1], [[kappa].sub.2], [[kappa].sub.*], [??], [??]) que maximizam a funcao de log-verossimilhanca l([theta]) sao os estimadores de maxima verossimilhanca de [theta]. Nao ha forma fechada para maximizacao de l([theta]), sendo necessario o uso de metodos numericos para obtencao de [??].

O escore condicional do modelo Beta-Skew-t-EGARCH pode ser descrito por (Harvey & Sucarrat, 2014, Sucarrat, 2013):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (10)

em que ln [f.sub.y]([y.sub.t]) e a log-densidade de [y.sub.t] dada em (8). O escore condicional [u.sub.t] conduz ambos os componentes. No entanto, o parametro de alavancagem ([[kappa].sup.*]) esta inserido somente na equacao de curto prazo (7). Isso e justificado porque os choques importam somente para o componente de curto prazo que captura o aumento temporario da volatilidade apos um choque (Harvey & Sucarrat, 2014).

Na literatura sao identificadas evidencias de que as series financeiras e economicas estao sujeitas a diferentes frequencias (Engle & Lee, 1999) e apresentam componentes de volatilidade heterogeneos (Cho & Elshahat, 2011). Uma alternativa encontrada por diversos autores para modelar essa caracteristica tem sido utilizar modelos de volatilidade com dois componentes (Cho & Elshahat, 2011). Dentre os modelos de dois componentes apresentados na literatura esta o Beta-Skew-t-EGARCH. Desse modo, para auxiliar na selecao do modelo que apresenta melhor qualidade de ajuste, sera apresentado um teste da razao de verossimilhancas para testar se a serie de retornos em estudo e ocorrencia de um processo com um ou dois componentes. O teste proposto e apresentado na proxima subsecao.

2.3 Teste de dois componentes

Nesta subsecao sera apresentado um teste da razao de verossimilhancas que auxiliara na selecao do modelo Beta-Skew-t-EGARCH que melhor descreve o comportamento dos dados. O objetivo e testar se os parametros [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2], dados em (7), sao nulos. Sob essa hipotese nula, o modelo adequado e o modelo Beta-Skew-t-EGARCH com um componente de volatilidade (2). Sob hipotese alternativa, os parametros [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2] sao diferentes de zero. Neste caso, deve-se ajustar os dados por meio de um modelo com dois componentes de volatilidade (5).

Dada [y.sub.1], ..., [y.sub.n] uma amostra de variaveis aleatorias de uma populacao com funcao de log-verossimilhanca (9) e seja [theta] um vetor de parametros desconhecidos do modelo Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes, o interesse reside em testar a seguinte hipotese nula:

[H.sub.0]: ([[phi].sub.2], [[kappa].sub.2]) = (0, 0),

versus a hipotese alternativa:

[H.sub.1]: ([[phi].sub.2], [[kappa].sub.2]) [not equal to] (0, 0).

Para testar a hipotese nula define-se a seguinte estatistica da razao de verossimilhancas (LR):

LR = 2 [l([[??].sub.1]) - l([[??].sub.0],

em que [[??].sub.1] eo vetor de estimadores sob a hipotese alternativa e [[??].sub.0] correspondem ao vetor de estimadores restritos sob a hipotese nula.

Sob hipotese nula e em grandes amostras, assumindo certas condicoes de regularidade, a estatistica de teste LR tem aproximadamente distribuyo qui-quadrado com dois graus de liberdade (Cordeiro & Cribari-Neto, 2014). Para situacoes em que a estatistica de teste calculada excede o valor critico ([approximately equals to] 5.991 para [alpha] = 0.05) da distribuyo qui-quadrado, ao nivel de significancia escolhido, rejeita-se a hipotese nula. Nesse caso, conclui-se que [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2] sao diferentes de zero e, dessa forma, deve-se ajustar o modelo com dois componentes (5).

Convem salientar que em pequenas amostras a aproximacao da distribuicao da estatistica de teste LR pela distribuicao qui-quadrado pode ser pobre. Nessas situacoes, podem ocorrer taxas de rejeicao da hipotese nula distorcidas (Keblowski, 2005, Ferrari et al., 2005, Stein et al., 2014). Por esse motivo sera avaliado o desempenho do teste da razao de verossimilhancas em amostras de tamanho finito, por meio de simulacoes de Monte Carlo. Nos trabalhos de Lumsdaine (1995), Noh (1997) e Busch (2005) sao encontradas avaliacoes empiricas da utilizacao do teste LR para inferencias nos modelos GARCH.

3. Resultados numericos

Esta secao sera subdividida em duas partes: i) avaliacao dos estimadores pontuais; e ii) avaliacao do teste de dois componentes. Todas as implementacoes computacionais foram realizadas em linguagem de programacao R (R Core Team, 2014). Para a estimacao dos parametros foram consideradas as funcoes do pacote betategarch (versao 3.1) (Sucarrat, 2013). Para as simulacoes de Monte Carlo foram consideradas 10000 replicas e os tamanhos amostrais utilizados foram iguais a n = 500, 1000, 2000, 3000 e 5000.

3.1 Avaliacao dos estimadores pontuais

Nesta subsecao sera avaliada a performance dos EMV do modelo BetaSkew-t-EGARCH em amostras de tamanho finito por meio de simulacoes de Monte Carlo. Para a avaliacao dos estimadores pontuais, em cada cenario avaliado, considerou-se media, vies, vies relativo percentual (VR %), variancia (Var) e erro quadratico medio (EQM) de cada estimador. Alguns cenarios considerados foram retirados dos exemplos simulados no trabalho de Sucarrat (2013). Os cenarios possuem comportamento semelhante aos modelos ajustados nas aplicacoes em dados reais realizadas por Harvey & Sucarrat (2014).

Para gerar os retornos do modelo com um componente de volatilidade foi utilizada a estrutura apresentada na Equacao (1). Na Tabela 1 sao apresentados os resultados da avaliacao numerica dos EMV utilizando o seguinte cenario: [omega] = 0, 1, [[phi].sub.1] = 0, 95, [[kappa].sub.1] = 0, 05, [[kappa].sup.*] = 0, 02, v = 10 e [gamma] = 0, 8. O segundo cenario ilustrado na Tabela 2 nao considera o componente de assimetria ([gamma]) e o terceiro cenario exposto na Tabela 3 nao possui o componente de alavancagem ([[kappa].sup.*]). Os demais valores dos parametros permanecem os mesmos da Tabelas 1.

Ao analisar as estimativas de Monte Carlo apresentadas na Tabela 1, identifica-se que [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] do modelo com um componente, independente do tamanho amostral, exibem vieses proximos a zero. As estimativas de [[phi].sub.1], embora proximas ao valor do parametro, para o modelo com um componente, em nenhum dos tamanhos amostrais analisados chega a ser numericamente igual ao valor parametrico. As estimativas do parametro ARCH, [[??].sub.1], mostraram-se mais comportadas. Para o cenario sem o componente de alavancagem, ilustrado na Tabela 3, verifica-se que para o tamanho amostral 500 a estimativa media do parametro ARCH foi numericamente igual a do valor do parametro. Para o modelo GARCH classico, Hwang & Pereira (2006) sugerem que o tamanho amostral adequado para modelar um GARCH (1, 1) deve ser de no minimo 500 observacoes e para um modelo ARCH (1) 250 observacoes. Tambem, observa-se que o vies das estimativas de [[??].sub.1] e de [[??].sub.1] sao negativas para o modelo com um componente. Esse resultado e consistente com os encontrados por Hwang & Pereira (2006) para os EMV do modelo GARCH. Em aplicacoes praticas, Fantazzini (2009) observa que o modelo VaR (Valor-em-Risco) (Jorion, 2007) estimado com modelos GARCH apresenta estimativas pobres em pequenas amostras. O vies negativo identificado para os estimadores do modelo BetaSkew-t-EGARCH nos tamanhos amostrais menores, indica que em media o modelo tende a subestimar a persistencia dos clusters ([phi]) e o impacto dos choques passados ([kappa]). Isso pode comprometer as inferencias realizadas com o modelo em pequenas amostras.

Relativo aos graus de liberdade, nota-se que as estimativas de v sao bastante distorcidas. Esse resultado e mais acentuado para o tamanho amostral 500, onde [??] = 59, 267, para v = 10. No cenario sem o componente de alavancagem (Tabela 3), percebe-se que para esse tamanho amostral o estimador apresentou resultados medios mais proximos ao valor do parametro ([??] = 18, 063). De maneira geral, observa-se que os melhores resultados para [??], nos tres cenarios avaliados, sao identificados para tamanhos amostrais superiores ou iguais a 2000. Nesses cenarios, para esse valor de n, e identificado um vies relativo percentual de aproximadamente 7,30%. Para os estimadores do modelo Copula GARCH com distribuicao t-Student, para dados assimetricos, Bianchi et al. (2011) identificaram vies de ate 30% superior ao parametro graus de liberdade para o mesmo tamanho amostral. De acordo com Fernandez & Steel (1998) o parametro de assimetria controla a alocacao da massa e os graus de liberdade representam o comportamento da cauda (tail) da distribuicao de dados. O uso de distributes que acomodam as caudas pesadas reduz a influencia de outliers e produz estimativas mais robustas (Fonseca et al., 2008). Series financeiras apresentam evidencias de presenca de caudas pesadas (Jacquier et al., 2004). Uma estimativa mal comportada dos graus de liberdade pode resultar na utilizacao de uma distribuicao impropria para modelar os dados com essa caracteristica (Fonseca et al., 2008), pois a medida que v [right arrow] [infinity] a distribuicao se aproxima da normal (Danielsson, 2011). Dessa forma, conforme aumentam os graus de liberdade naturalmente menor sera a curtose excedente. O alto vies identificado para o estimador [??] pode resultar no incorreto ajuste das caudas pesadas presentes em series financeiras e economicas com tamanhos amostrais inferiores a 2000.

Verifica-se tambem que [??] apresenta altos valores de EQM nos tamanhos amostrais menores que 2000. Conforme observado na Tabela 1 para n = 500 o EQM e 174, 187 x [10.sup.5] e para n = 1000 obtem-se EQM = 452, 943, enquanto para n = 2000 identificou-se EQM = 6,991. Para os demais estimadores, a medida que o tamanho amostral aumenta o valor do EQM converge para zero mais rapidamente. Esse comportamento indica que os estimadores sao consistentes. O EQM incorpora dois componentes importantes para avaliacao dos estimadores, um deles e mensurar a variabilidade (precisao) e outro mensurar o vies (exatidao) do estimador (Casella & Berger, 2002).

Com a finalidade de investigar se o vies de [??] permanece alto conforme a curtose excedente aumenta, realizou-se a avaliacao numerica dos estimadores com os valores v iguais a 5 e a 7. Os resultados serao omitidos por questao de brevidade. Com a nova estrutura observou-se que o vies, bem como o vies relativo percentual do estimador diminui nos cenarios com menores valores de v. Para n = 500 e v = 10 obteve-se o VR % igual a 492,675 % (Tabela 1), ja para v = 7 identificou-se VR = 30,037 % e enquanto para v = 5 o vies relativo foi igual a 12,942%. Ainda, constata-se que os valores da variancia e do EQM de [??] reduziram. No tamanho amostral 500 e v = 10 identificou-se que a variancia do estimador foi igual a 174, 163 x [10.sup.5]; ja para v = 5 obteve-se variancia igual a 8, 928.

Um resultado interessante apontado por Iglesias & Phillips (2012) ao analisar as propriedades dos estimadores do modelo GARCH-em-media, e que o vies e a variancia desses estimadores e menor para processos que possuem maior persistencia da volatilidade. Desse modo, almeja-se avaliar se esse comportamento e observado para os estimadores do modelo BetaSkew-t-EGARCH. Foram realizadas duas simulacoes adicionais, que serao omitidas por questao de brevidade. Na primeira foi elevado o valor do parametro de persistencia ([[phi].sub.1] = 0, 98), no segundo o parametro que avalia a resposta aos choques ([[kappa].sub.1] = 0, 10). Os valores dos demais parametros permaneceram os mesmos da Tabela 1. Um resultado interessante observado, foi a reducao do vies do estimador dos graus de liberdade, principalmente para n = 500. No primeiro cenario avaliado a reducao nao foi tao expressiva, identificando-se um valor [??] = 44,255 e VR(%) = 342, 545, para v = 10. No entanto, quando ocorreu aumento do parametro [kappa], a reducao observada foi maior; [??] = 27,423 e VR(%) = 174,229. Esses resultados, possivelmente, indicam que processos com maior persistencia a clusters e maior resposta a choques apresentam estatisticas mais comportadas para o parametro graus de liberdade do modelo em analise.

Dando seguimento, para gerar os retornos do modelo Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes de volatilidade foi utilizada a estrutura da Equacao (4). Para esse cenario fixou-se os seguintes valores para os parametros: [omega] = 0, 2, [[phi].sub.1] = 0, 98, [[phi].sub.2] = 0, 90, [[kappa].sub.1] = 0, 01, [[kappa].sub.2] = 0, 02, [[kappa].sup.*] = 0, 04, v = 5 e [gamma] = 0,95. Os resultados referentes a essa avaliacao sao ilustrados na Tabela 4. Nota-se que a medida que o tamanho amostral aumenta a media dos estimadores [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] e [??] tornam-se mais proximos dos valores dos parametros. Em relacao aos estimadores [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] verifica-se que seus resultados diferem substancialmente dos valores do parametro, principalmente em n = 500, 1000 e 2000. Diferentemente do estimador do parametro ARCH do modelo com um componente de volatilidade verificase que o vies relativo percentual dos estimadores [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] alto, ate mesmo para o tamanho amostral igual a 5000. Para n = 5000 o VR % de [??] foi igual a 51,130 % e para [[??].sub.2] o VR = -32,780 %. O alto vies identificado para o estimador ARCH de curto e longo prazo pode comprometer as inferencias realizadas com o modelo Beta-Skew-t-EGARCH de dois componentes. Como observado o vies do estimador do componente ARCH de curto prazo ([[kappa].sub.2]) e negativo. Esse comportamento podera resultar na subestimacao dos efeitos transitorios da resposta a choques. Ao passo que o vies positivo do componente ARCH de longo prazo ([[kappa].sub.1]) ira superestimar em media os efeitos mais lentos. No que diz respeito aos estimadores GARCH de curto e longo prazo, identificou-se que o vies relativo percentual e negativo, no entanto, e proximo a zero para tamanhos amostrais maiores que 1000.

Ainda, referente ao modelo de dois componente, nota-se que a variancia e o EQM dos estimadores diminuem quando o tamanho amostral aumenta. Esse comportamento indica a consistencia dos EMV, o que e esperado pelas propriedades assintoticas dos EMV. No entanto, sua analise serve para determinar a ordem de convergencia das estimativas dos parametros. Verificou-se que para alguns estimadores a convergencia e mais lenta, o que os torna ruins em amostras moderadas e pequenas. Para o tamanho amostral igual a 5000, percebe-se que o valor do EQM e da variancia se assemelham, exceto para o estimador [??]. Entretanto, diferentemente do modelo com um componente, [??] apresenta vies relativo menor e valor medio mais proximo ao do parametro. Ao investigar se as estimativas de v permanecem comportadas ao elevar o valor do parametro de 5 para 10, observou-se que para maiores valores de v, tanto as estimativas dos graus de liberdade, quanto as estimativas de [kappa], tornam-se mais viesadas percentualmente. Alem disso, apresentam maior variancia e maior valor de EQM. Esse resultado esta de acordo com o resultado observado para os estimadores do modelo BetaSkew-t-EGARCH com um componente.

Uma das explicates para o alto vies relativo identificado para [[??].sub.1] e [[??].sub.2] e que esses parametros usualmente assumem valores proximos a zero, o que pode contribuir para a grande dispersao dos resultados e para o alto VR percentual. Com o intuito de investigar se a persistencia dos choques (dada pelo valor de [kappa]) e se a persistencia dos clusters (dada pelo valor de [phi]) pode estar associado ao alto VR (%) realizou-se tres avaliacoes numericas adicionais em relacao ao cenario utilizado para avaliacao numerica dos resultados apresentados na Tabela 4. Por questao de brevidade os resultados completos da simulacao tambem serao omitidos. Na primeira foi elevado o valor dos parametros que capturam a resposta dos choques, [[kappa].sub.1] = 0, 06 e [[kappa].sub.2] = 0, 12. Na segunda avaliacao, buscou-se verificar se a reducao dos parametros que capturam a persistencia dos clusters influencia no vies dos estimadores. Os valores considerados foram iguais a [[phi].sub.1] = 0, 93, [[phi].sub.2] = 0, 85. Na terceira avaliacao considerou-se concomitantemente as duas alteracoes, em que os valores dos parametros foram fixados em [[phi].sub.1] = 0,93, [[phi].sub.2] = 0, 85, [[kappa].sub.1] = 0,06 e [[kappa].sub.2] = 0,12. Os valores dos demais parametros foram iguais aos da Tabela 4. Por meio dessas simulates foram identificados interessantes resultados. Ao alterar somente os valores dos parametros de curto e longo prazo de [kappa] notou-se expressiva reducao do vies relativo. Para n = 500, o VR (%) de [[kappa].sub.1] foi igual a 224,652 % e para [[kappa].sub.2] foi igual a -119,488 %. Com relacao aos demais parametros nao foram observadas muitas diferencas. Outro ponto interessante observado nessa avaliacao numerica e que o vies relativo dos estimadores do parametro k e pequeno no tamanho amostrai 1000. Relativo a segunda avaliacao realizada, percebe-se que ao diminuir os valores de [phi] e observado poucas alteracoes no valor do vies relativo percentual comparado aos resultados observados na Tabelas 4. Ao alterar os parametros [kappa] e [phi] de curto e longo prazo, identificou-se que embora seus estimadores apresentaram alto vies relativo, seus valores foram consideravelmente menores. A titulo de exemplo, nota-se que quando n = 500 obteve-se VR = 346, 748% e VR = -179, 177% para [[kappa].sub.1] e [[kappa].sub.2], respectivamente. No cenario da Tabela 4 obteve-se os seguintes valores de VR para [[kappa].sub.1] e [[kappa].sub.2]: 1197, 432% e -661, 161 %. Esses resultados favorecem a ideia de que dados que apresentem comportamento de memoria longa, com maior respostas a choques (maior valor do parametro ARCH), resultarao em estimativas menos viesadas percentualmente.

Desse modo, ao realizar a avaliacao numerica dos estimadores pontuais do modelo Beta-Skew-t-EGARCH, demonstrou-se que a estimacao apresenta dificuldades em amostras menores, principalmente para os valores de n menores ou iguais a 1000. Sugere-se que o tamanho amostral minimo a ser considerado em analises praticas para ajustes do modelo com um componente de volatilidade seja 2000 observacoes. Nesse tamanho amostral o vies das estimativas de todos os parametros e proximo a zero. Esses resultados estendem as evidencias de simulacao identificadas por Bianchi et al. (2011), que no entanto, analisam o modelo Copula GARCH para o caso em que os choques aleatorios seguem a distribuyo t-Student. Alem disso, percebeu-se que em dados com maior curtose excedente os estimadores apresentam melhores propriedades. Para o modelo com dois componentes e recomendado utilizar uma amostra de no minimo 3000 observacoes, uma vez que as estimativas do parametro ARCH de curto e longo prazo apresentam alto vies relativo percentual para tamanhos amostrais menores.

3.2 Avaliacao do teste de dois componentes

Nesta subsecao sera analisado o desempenho do teste da razao de verossimilhancas proposto para testar se a serie deve ser modelada com um ou com dois componentes de volatilidade. Sao consideradas simulacoes de Monte Carlo para avaliacao da taxa de rejeicao nula do teste (tamanho), da taxa de rejeicao nao nula do teste (poder) e da qualidade da aproximacao da distribuyo da estatistica de teste LR a sua distribuyo nula limite qui-quadrado.

Na avaliacao numerica da taxa de rejeicao nula do teste simulou-se os dados por meio da estrutura dada em (1). Foram avaliados os niveis nominais iguais a 1%, 5% e 10%. Nessa avaliacao, foram analisados diferentes cenarios sob hipotese nula. No primeiro cenario os valores dos parametros foram iguais aos considerados na Tabela 1. Esse cenario sera nomeado de Cenario 1. Para avaliar a influencia da maior persistencia de clusters e da maior resposta a choques no desempenho do teste de dois componentes realizou-se duas simulacoes alterando os parametros de interesse e [[kappa].sub.1], respectivamente. No primeiro caso, o valor de [[phi].sub.1] foi igual a 0, 98 (Cenario 2 na Tabela 5) e no segundo caso o valor de [[kappa].sub.1] foi igual a 0,10 (Cenario 3 na Tabela 5). O valor dos demais parametros manteve-se igual ao do Cenario 1. Para um outro cenario avaliado, fixou-se os seguintes valores para os parametros do modelo: [omega] = 0,020, [[phi].sub.1] = 0,9673, [[kappa].sub.1] = 0, 01, [[kappa].sup.*] = 0, 0356, v = 10,37 e [gamma] = 0, 905. Esse cenario e intitulado de Cenario 4 (Tabela 5). Da mesma forma, que ao primeiro cenario, foram realizadas duas avaliacoes numericas adicionais alterando os valores de [[phi].sub.1] e de [[kappa].sub.1]. Para a primeira avaliacao considerou-se [[phi].sub.1] = 0,9873 (Cenario 5) e para a segunda [[kappa].sub.1] = 0,05.

Ao analisar os resultados da Tabela 5 observa-se que a taxa de rejeicao nula do teste apresenta pequenas distorcoes em relacao ao valor nominal. As maiores taxas de rejeicao sao observadas para o nivel nominal igual a 1%. Por exemplo, para o tamanho amostral 500, observa-se taxas de rejeicao nula iguais a 1,930% para o Cenario 1 e 2,000% para o Cenario 4. Esse resultado e aproximadamente o dobro do valor nominal. Tambem e observado que a maior persistencia a clusters e a maior resposta a choques acarreta maior distorcao na taxa de rejeicao nula do teste. A titulo de exemplo, para n = 500 e valor nominal 10%, nota-se que no Cenario 1 a taxa de rejeicao nula e igual a 13,560%, no Cenario 2 (maior persistencia a clusters) a taxa foi de 16,050% e no Cenario 3 (maior persistencia a choques) a taxa de rejeicao nula foi 15,050%. Outro detalhe observado, e que de maneira geral a medida que o tamanho amostral aumenta observa-se taxas de rejeicao nula proximas aos valores nominais.

O desempenho identificado para o teste de dois componentes esta de acordo com o desempenho dos estimadores pontuais. Conforme apresentado, os estimadores do modelo apresentam resultados medios distorcidos em tamanhos amostrais n=500 e n=1000, o que pode justificar as pequenas distorcoes de tamanho do teste proposto nesses tamanhos amostrais.

Para verificar a aproximacao da distribuicao da estatistica LR pela distribuicao qui-quadrado apresenta-se na Figura 1 o grafico QQ-Plot (quantis empiricos exatos versus quantis assintoiticos) para os Cenairios 1 e 2 expostos na Tabela 5 para os diferentes tamanhos amostrais. Conforme observado, a distribuicao nula do teste de dois componentes esta proxima da distribuicao de referencia (linha solida). Esse resultado sugere que a tendencia do teste e rejeitar a hipotese nula com frequencia semelhante ao nivel nominal.

Apos a analise das taxas de rejeicao nula, investigou-se as taxas de rejeicao nao nula (poder) do teste. Para essa avaliacao os dados do modelo de dois componentes foram simulados por meio da Equacao (4). Nessa analise foram utilizados os valores dos parametros do Cenario 1 e do Cenario 2 avaliados na Tabela 5 e [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2] variaram para diferentes valores de [sigma] e [delta]/30, respectivamente. Os valores de o utilizados foram -0,56, -0,48, 0,40,-0,32, -0,24, -0,16, -0,08, 0, 0,08, 0,16, 0,24, 0,32, 0,40, 0,48 e 0,56.

Na Figura 2 sao observados os resultados da simulacao de Monte Carlo realizada para a taxa de rejeicao nao nula do teste de dois componentes. Como observado, a medida que os valores de [delta] se distanciam de zero (eixo X) o teste torna-se mais poderoso. Esse resultado e mais acentuado principalmente para os tamanhos amostrais iguais a 3000 e 5000. Um detalhe interessante observado para esses valores de n e o poder do teste para valores de [delta] iguais a -0,08 e 0,08. Esse valor de [delta] corresponde a [+ or -] [[phi].sub.2] = 0.08 e a [+ or -] [[kappa].sub.2] = 0, 08/30. Desse modo, conforme visualizado na Figura 2, notase que mesmo para pequenas alteracoes nos valores de [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2], e para n maior que 2000, o teste de dois componentes proposto consegue rejeitar a hipotese incorreta de que eles sao iguais a zero. Esse resultado fortalece a utilizacao do teste de dois componentes para testar se a serie de dados deve ser ajustada por meio de um modelo com um ou dois componentes de volatilidade.

De maneira geral, percebe-se que o teste de dois componentes e afetado pelos tamanhos amostrais de forma mais amena que os estimadores pontuais. Sugere-se a utilizacao do teste em amostras de tamanho iguais ou superiores a 1000 observacoes. Nesses cenarios, conforme a analise realizada, percebeu-se que o teste consegue detectar pequenas alteracoes nos valores de [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2]. Nos trabalhos de Bollerslev (1987), Alexander & Lazar (2006) e Chen & Shen (2004) sao encontradas outras utilizacoes do teste da razao de verossimilhancas para testar um parametro de interesse em modelos GARCH.

4. Aplicacao

Nesta secao sera realizada uma aplicacao a dados reais do modelo BetaSkew-t-EGARCH e do teste de dois componentes proposto. Os dados utilizados sao referentes ao indice de mercado da Alemanha, DAX 30. A serie de dados foi coletada no site Yahoo Financas. O periodo amostral analisado compreende 23 de novembro de 1995 a 20 de agosto de 2014, totalizando 4752 observacoes diarias.

Na base de dados inicial foram calculados os log-retornos da serie, por meio da estrutura [y.sub.t] = ln [P.sub.t] - ln [P.sub.t-1], em que t = 1, ..., 4752 e [P.sub.t] e o preco da serie no instante t. A serie de retornos costuma apresentar propriedades atrativas, como estacionariedade e ausencia de autocorrelacao (Shimizu, 2010, Aiube, 2012). Para analisar se a serie transformada e estacionaria realizou-se o teste ADF (Said & Dickey, 1984) e o teste KPSS (Kwiatkowski et al., 1992). Ambos os testes diferem em relacao as suas hipoteses nulas. A hipotese nula do teste ADF indica presenca de raiz unitaria (nao estacionariedade) da serie e a hipotese nula do teste KPSS assinala estacionariedade da serie. Conforme observado na Tabela 6, o teste ADF rejeita a hipotese nula de presenca de raiz unitaria e o teste KPSS nao rejeita a hipotese nula de estacionariedade da serie.

Na Tabela 6 ainda sao identificadas as estatisticas descritivas dos logretornos do indice DAX 30. De acordo com os resultados do teste Jarque-Bera (JB) (Jarque & Bera, 1987), dos valores da curtose e da assimetria negativa, percebe-se que os retornos do indice DAX apresentam fatos estilizados como distribuicao nao normal e caudas pesadas. A presenca de leptocurtose na serie de retornos sugere o uso de uma distribuicao nao gaussiana para modelar o comportamento das caudas. Por fim, o teste Multiplicador de Lagrange (LM) (Engle, 1982) revela a presenca de heterocedasticidade condicional na serie de retornos do indice DAX 30. Esses resultados favorecem o uso do modelo Beta-Skew-t-EGARCH, em que os choques aleatorios seguem distribuicao i-Student assimetrica. Harvey & Sucarrat (2014) e Sucarrat (2013) sugerem que o modelo Beta-Skew-t-EGARCH acomoda a assimetria e as caudas pesadas usualmente presentes em series financeiras.

Apos analise das estatisticas descritivas procedeu-se o teste de dois componentes, com a finalidade de identificar se a serie deve ser modelada por meio de um modelo com um ou com dois componentes de volatilidade. O teste de dois componentes proposto na Subsecao 2.3 apresentou estatistica 61,416 e p-valor menor que 0,001. Dessa forma, a hipotese nula [H.sub.0]: ([[phi].sub.2], [[kappa].sub.2]) = (0,0) e rejeitada a niveis de significancia usuais, sugerindo a utilizacao do modelo Beta-Skew-t-EGARCH de dois componentes para modelar a serie de dados. O modelo de dois componentes de volatilidade acomoda a propriedade de longa memoria presente na autocorrelacao dos valores absolutos de algumas series financeiras (Harvey & Sucarrat, 2014). O indicio de memoria longa sugere que o mercado nao respondeu de imediato a informacoes que chegam ao sistema financeiro, mas reagiu a ele gradualmente ao longo do tempo (Bentes, 2014). Bentes (2014) ao aplicar o modelo FIGARCH aos dados do indice DAX, em outro periodo amostral, demonstra que o indice de mercado apresenta comportamento de memoria longa. Uma explicacao para presenca da persistencia de longo prazo na serie de retornos do indice DAX, segundo Bentes (2014), e que mercados como o da Alemanha sao mais propensos a sofrer oscilacoes correlacionadas, alem de estarem mais predispostos a serem influenciados por investidores agressivos.

Na Tabela 7 sao apresentados os modelos Beta-Skew-t-EGARCH com um e com dois componentes ajustado. Com base nos resultados, verificouse que o modelo de volatilidade com dois componentes de volatilidade apresenta maior log-verossimilhanca, o que era esperado pelo resultado do teste de dois componentes, alem de menor valor para o criterio BIC. Os resultados do modelo de dois componentes demonstram que os graus de liberdade sao 10,447, o que indica presenca de caudas pesadas na distribuyo, enquanto a assimetria menor que 1 (0,879) sugere assimetria negativa na serie de retornos. Desse modo, corroborando com as estatisticas descritivas, espera-se que retornos abaixo da media sejam mais provaveis que retornos acima da media. O valor positivo da estimativa do parametro de alavancagem [??]* indica que choques negativos tem um efeito maior sobre a volatilidade da serie de retornos do indice DAX, comparado a choques positivos. Na Figura 3 sao observados os desvios padroes (DP) condicionais estimados pelos modelos com um e com dois componentes e a serie de log-retornos. A serie de retornos exibe agrupamentos de volatilidade. Os periodos de maior variabilidade na serie sao observados nos anos de 1998, que coincidem com a crise asiatica e em seguida com o periodo da crise Russa. Nos anos de 2008 a 2009 e 2011 a 2012, os periodos de maior instabilidade observados na serie do indice DAX coincidem com os periodos da crise Subprime e com a crise da zona do euro, respectivamente. Modelos de volatilidade devem mensurar com acurada o aumento da variabilidade observada nos ativos financeiros para fornecer informacoes precisas para a gestao do risco das carteiras (Mcneil et al., 2005), estrategias de hedging e aprecamento de ativos. Alem de serem capazes de prever a volatilidade futura dos ativos (Engle & Patton, 2001).

Ao analisar a serie do desvio padrao condicional estimado pelo modelo Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes, para o indice de mercado DAX 30, observa-se que os picos de variabilidade observados na serie de retornos foram capturados pelo modelo estimado. Para analisar a adequacao do modelo realizou-se a analise da autocorrelacao no quadrado dos residuos padronizados ([[??].sup.2.sub.t]), por meio do teste Ljung-Box. O teste (a 5% de significancia) sinaliza que os residuos com dois componentes sao independentes, ou seja, nao e identificada presenca de autocorrelacao significativa na serie. Para a serie [[??].sup.2.sub.t] do modelo com um componente e observado que o teste e significativo a 5%, sendo um indicio de presenca de correlacao serial. Ao realizar o teste LM (a 5% de significancia) nos residuos padronizados percebe-se que para o modelo de volatilidade com dois componentes o teste indica que nao ha sinais de heterocedasticidade condicional. Diferentemente do que e observado para os residuos do modelo com um componente de volatilidade. Desse modo, por meio da analise de diagnostico realizada verifica-se que o modelo de dois componentes ajustado nao pos sui informacoes na serie de residuos, demonstrando melhor qualidade de ajuste e corroborando com o resultado do teste de dois componentes.

No trabalho de Blazsek & Villatoro (2015) e apresentado um estudo comparativo entre o modelo Beta-t-EGARCH(1,1) e o modelo GARCH(1,1). Os autores concluem que o modelo Beta-t-EGARCH e um modelo adequado para modelar series financeiras apos periodos de alta volatilidade. Com base nos resultados encontrados nesse trabalho e no trabalho de Blazsek & Villatoro (2015), sugere-se para futuras aplicacoes a utilizacao do modelo proposto por Harvey & Sucarrat (2014), alem do teste de dois componentes apresentado nesse trabalho. No link www.ufsm.br/bayer/ dois-componentes.zip esta disponivel uma funcao em R para realizacao do teste proposto.

5. Consideracoes finais

O modelo de volatilidade Beta-Skew-t-EGARCH foi apresentado na literatura como alternativa para modelar series temporais com assimetria, caudas pesadas e outliers. Alem disso, o modelo permite decompor a volatilidade em um componente de longo prazo e outro de curto prazo. A estimacao dos parametros do modelo e baseada no metodo de maxima verossimilhanca. Como relatado ao longo do trabalho esses estimadores podem conduzir a resultados inferenciais distorcidos em pequenas amostras (Hwang & Pereira, 2006, Xie, 2009, Bianchi et al., 2011). Nesse sentido, esse trabalho analisou por meio de simulacoes de Monte Carlo as propriedades dos estimadores do modelo Beta-Skew-t-EGARCH em amostras de tamanho finito. Tambem foi proposto um teste da razao de verossimilhancas para testar a hipotese nula de que os parametros [[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2] sao nulos (modelo com um componente), contra a hipotese alternativa de que sao diferentes de zero (modelo de dois componentes).

Os resultados da avaliacao numerica evidenciaram que as estimativas do modelo de volatilidade com um componente sao menos distorcidas em tamanhos amostrais maiores que 2000 e os estimadores do modelo com dois componentes demonstraram melhores propriedades em tamanhos amostrais superiores a 3000. O teste de dois componentes apresentou taxas de rejeicao liberais em tamanhos amostrais menores que 1000. Para valores de n maiores ou iguais a 1000, o teste demonstrou ser bastante acurado para detectar pequenas alteracoes no valor dos parametros de interesse ([[phi].sub.2] e [[kappa].sub.2]).

Na aplicacao a dados reais do indice de mercado DAX, em tamanhos amostrais ideais, o teste demonstrou ser adequado para selecionar o modelo ajustado aos dados. Conforme observado, verificou-se que o modelo selecionado demonstrou boa qualidade de ajuste e captou os periodos de maior e menor instabilidade presentes na serie financeira. Corroborando com os resultados apresentados no trabalho Blazsek & Villatoro (2015), constata-se que o modelo Beta-Skew-t-EGARCH pode ser uma ferramenta promissora para modelar a volatilidade de series financeiras.

Agradecimentos

Os autores agradecem a Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul (FAPERGS), ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico (CNPq) e a Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior (CAPES), Brasil, pelo auxilio financeiro recebido. Os autores tambem agradecem as valiosas sugestoes dadas pelos revisores do artigo.

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Fernanda Maria Muller, Universidade Federal de Santa Maria. E-mail: nandamuller90@gmail.com

Fabio Mariano Bayer, Universidade Federal de Santa Maria. E-mail: bayer@ufsm.br

Submetido em 15 de dezembro de 2014. Reformulado em 17 de abril de 2015. Aceito em 27 de abril de 2015. Publicado on-line em 6 de Novembro de 2015. O artigo foi avaliado segundo o processo de duplo anonimato alem de ser avaliado pelo editor. Editor responsavel: Marcio Laurini.

Tabela 1
Resultados da simulacao de Monte Carlo considerando o modelo
Beta-Skew-t-EGARCH com um componente, com moderada alavancagem e
forte assimetria a esquerda, utilizando o seguinte cenario [omega] = 0,
1, [[phi].sub.1] = 0, 95, [[kappa].sub.1] = 0,05, [[kappa].sup.*]
= 0, 02, v = 10 e [gamma] = 0, 8

                                  n = 5000

Estimador    [??]    [[??].    [[??].    [[??].       [??]       [??]
                     sub.1]    sub.1]    sup.*]

  Media     0,101     0,926     0,048     0,022      59,267     0,797
  Vies      0,001    -0,024    -0,002     0,002      49,267     -0,003
  VR (%)    1,108    -2,503    -4,496     9,230     492,675     -0,377
  Var       0,010     0,005     0,000     0,000    174,163 x    0,003
                                                   [10.sup.5]
  EQM       0,010     0,006     0,000     0,000    174,187 x    0,003
                                                   [10.sup.5]
                                  n = 1000

Estimador    [??]    [[??].    [[??].    [[??].       [??]       [??]
                     sub.1]    sub.1]    sup.*]

  Media     0,101     0,941     0,048     0,021      12,405     0,798
  Vies      0,001    -0,009    -0,002     0,001      2,405      -0,002
  VR (%)    0,993    -0,936    -3,124     3,287      24,049     -0,249
  Var       0,005     0,001     0,000     0,000     447,159     0,001
  EQM       0,005     0,001     0,000     0,000     452,943     0,001

                                    n = 2000

Estimador    [??]    [[??].    [[??].    [[??].       [??]       [??]
                     sub.1]    sub.1]    sup.*]

  Media     0,100     0,946     0,049     0,020      10,717     0,799
  Vies      0,000    -0,004    -0,001     0,000      0,717      -0,001
  VR (%)    0,270    -0,424    -1,463     1,859      7,167      -0,068
  Var       0,002     0,000     0,000     0,000      6,477      0,001
  EQM       0,002     0,000     0,000     0,000      6,991      0,001

                                   n = 3000

Estimador    [??]    [[??].    [[??].    [[??].       [??]       [??]
                     sub.1]    sub.1]    sup.*]

  Media     0,100     0,947     0,049     0,020      10,464     0,799
  Vies      0,000    -0,003    -0,001     0,000      0,464      -0,001
  VR (%)    0,375    -0,273    -1,021     1,221      4,638      -0,104
  Var       0,001     0,000     0,000     0,000      3,357      0,000
  EQM       0,001     0,000     0,000     0,000      3,572      0,000

                                   n = 5000

Estimador    [??]    [[??].    [[??].    [[??].       [??]       [??]
                     sub.1]    sub.1]    sup.*]

  Media     0,100     0,948     0,050     0,020      10,242     0,800
  Vies      0,000    -0,002     0,000     0,000      0,242      0,000
  VR (%)    -0,011   -0,167    -0,388     0,937      2,418      -0,043
  Var       0,001     0,000     0,000     0,000      1,774      0,000
  EQM       0,001     0,000     0,000     0,000      1,832      0,000

Tabela 2
Resultados da simulacao de Monte Carlo considerando o modelo
Beta-Skew-t-EGARCH com um componente, com moderada alavancagem e
sem assimetria, utilizando como parametros [omega] = 0, 1,
[[phi].sub.1] = 0, 95, [[kappa].sub.1] = 0, 05, [[kappa].sup.*] =
0,02 e v = 10

                               n = 500

Estimador   [??]    [[??].   [[??].   [[??].      [??]
                    sub.1]   sub.1]   sup.*]

  Media     0,104   0,926    0,047    0,022      26,167
  Vies      0,004   -0,024   -0,003   0,002      16,167
  VR (%)    4,254   -2,534   -5,425   9,305     161,665
  Var       0,011   0,005    0,000    0,000    698,457 x
                                               [10.sup.3]
  EQM       0,011   0,006    0,000    0,000    698,718 x
                                               [10.sup.3]

                               n = 100

Estimador   [??]    [[??].   [[??].   [[??].      [??]
                    sub.1]   sub.1]   sup.*]

  Media     0,103   0,941    0,049    0,021      11,959
  Vies      0,003   -0,009   -0,001   0,001      1,959
  VR (%)    2,939   -0,969   -2,824   4,544      19,590
  Var       0,005   0,001    0,000    0,000      68,053
  EQM       0,005   0,001    0,000    0,000      71,891

                              n = 2000

Estimador   [??]    [[??].   [[??].   [[??].      [??]
                    sub.1]   sub.1]   sup.*]

  Media     0,102   0,946    0,049    0,020      10,735
  Vies      0,002   -0,004   -0,001   0,000      0,735
  VR (%)    2,052   -0,446   -1,704   2,013      7,355
  Var       0,002   0,000    0,000    0,000      8,962
  EQM       0,002   0,000    0,000    0,000      9,503

                             n = 3000

Estimador   [??]    [[??].   [[??].   [[??].      [??]
                    sub.1]   sub.1]   sup.*]

  Media     0,101   0,947    0,050    0,020      10,467
  Vies      0,001   -0,003   0,000    0,000      0,467
  VR (%)    1,443   -0,277   -0,948   1,689      4,669
  Var       0,002   0,000    0,000    0,000      3,444
  EQM       0,002   0,000    0,000    0,000      3,662

                             n = 5000

Estimador   [??]    [[??].   [[??].   [[??].      [??]
                    sub.1]   sub.1]   sup.*]

  Media     0,101   0,949    0,050    0,020      10,295
  Vies      0,001   -0,001   0,000    0,000      0,295
  VR (%)    0,855   -0,149   -0,638   0,635      2,949
  Var       0,001   0,000    0,000    0,000      1,798
  EQM       0,001   0,000    0,000    0,000      1,885

Tabela 3
Resultados da simulacao de Monte Carlo considerando o modelo
Beta-Skew-t-EGARCH com um componente de volatilidade, sem o
parametro de alavancagem, utilizando como parametros [omega] = 0,
1, [[phi].sub.1] = 0, 95, [[kappa].sub.1] = 0, 05, v =10 e
[gamma] = 0,8

                                n = 500

Estimador    [??]    [[??].   [[??].     [[??].      [??]
                     sub.1]   sub.1]     sup.*]

  Media     0,098    0,920    0,050      18,063     0,798
  Vies      -0,002   -0,030   0,000      8,063      -0,002
  VR (%)    -2,181   -3,130   -0,306     80,629     -0,229
  Var       0,011    0,008    0,000    417,796 x    0,003
                                       [10.sup.1]
  EQM       0,011    0,009    0,000    424,296 x    0,003
                                       [10.sup.1]

                              n = 1000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].     [[??].      [??]
                     sub.1]   sub.1]     sup.*]

  Media     0,101    0,939    0,050      12,329     0,799
  Vies      0,001    -0,011   0,000      2,329      -0,001
  VR (%)    0,820    -1,192   -0,895     23,288     -0,170
  Var       0,005    0,001    0,000     578,133     0,001
  EQM       0,005    0,001    0,000     583,556     0,001

                              n = 2000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].     [[??].      [??]
                     sub.1]   sub.1]     sup.*]

  Media     0,100    0,945    0,050      10,731     0,799
  Vies      0,000    -0,005   0,000      0,731      -0,001
  VR (%)    0,361    -0,513   -0,538     7,308      -0,079
  Var       0,002    0,000    0,000      7,078      0,001
  EQM       0,002    0,000    0,000      7,612      0,001

                              n = 3000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].     [[??].      [??]
                     sub.1]   sub.1]     sup.*]

  Media     0,100    0,947    0,050      10,397     0,800
  Vies      0,000    -0,003   0,000      0,397      0,000
  VR (%)    -0,386   -0,346   -0,118     3,967      -0,048
  Var       0,002    0,000    0,000      3,369      0,000
  EQM       0,002    0,000    0,000      3,527      0,000

                              n = 5000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].     [[??].      [??]
                     sub.1]   sub.1]     sup.*]

  Media     0,100    0,948    0,050      10,252     0,800
  Vies      0,000    -0,002   0,000      0,252      0,000
  VR (%)    0,424    -0,192   -0,377     2,521      -0,004
  Var       0,001    0,000    0,000      1,808      0,000
  EQM       0,001    0,000    0,000      1,872      0,000

Tabela 4
Resultados da simulacao de Monte Carlo considerando o modelo
Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes, utilizando os seguintes
parametros [omega] = 0, 2, [[phi].sub.1] = 0, 98, [[phi].sub.2] =
0, 90, [[kappa].sub.1] = 0, 01, [[kappa].sub.2] = 0,02,
[[kappa].sup.*] = 0,04, v = 5 e [gamma] = 0, 95

                         n = 500

Estimador    [??]    [[??].   [[??].    [[??].
                     sub.1]   sub.2]    sub.1]

  Media     0,197    0,922    0,814     0,130
  Vies      -0,003   -0,058   -0,086    0,120
  VR (%)    -1,402   -5,893   -9,549   1197,432
  Var       0,011    0,027    0,039     5,832
  EQM       0,011    0,031    0,047     5,847

                        n = 1000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].    [[??].
                     sub.1]   sub.2]    sub.1]

  Media     0,195    0,957    0,864     0,068
  Vies      -0,005   -0,023   -0,036    0,058
  VR (%)    -2,533   -2,316   -3,963   584,235
  Var       0,005    0,009    0,009     0,946
  EQM       0,005    0,009    0,011     0,949

                        n = 2000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].    [[??].
                     sub.1]   sub.2]    sub.1]

  Media     0,199    0,974    0,886     0,034
  Vies      -0,001   -0,006   -0,014    0,024
  VR (%)    -0,729   -0,642   -1,559   242,735
  Var       0,002    0,002    0,002     0,243
  EQM       0,002    0,002    0,002     0,243

                        n = 3000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].    [[??].
                     sub.1]   sub.2]    sub.1]

  Media     0,199    0,979    0,891     0,020
  Vies      -0,001   -0,001   -0,009    0,010
  VR (%)    -0,606   -0,151   -0,995   103,771
  Var       0,001    0,001    0,001     0,010
  EQM       0,001    0,001    0,001     0,010

                        n = 5000

Estimador    [??]    [[??].   [[??].    [[??].
                     sub.1]   sub.2]    sub.1]

  Media     0,200    0,980    0,895     0,015
  Vies      0,000    0,000    -0,005    0,005
  VR (%)    -0,160   0,017    -0,517    51,130
  Var       0,001    0,000    0,000     0,001
  EQM       0,001    0,000    0,001     0,001

                       n = 500

Estimador    [[??].    [[??].    [??]     [??]
             sub.2]    sup.*]

  Media      -0,112    0,048    5,958    0,948
  Vies       -0,132    0,008    0,958    -0,002
  VR (%)    -661,161   20,575   19,161   -0,238
  Var        5,837     0,000    18,063   0,003
  EQM        5,854     0,000    18,981   0,003

                      n = 1000

Estimador    [[??].    [[??].    [??]     [??]
             sub.2]    sup.*]

  Media      -0,045    0,044    5,321    0,950
  Vies       -0,065    0,004    0,321    0,000
  VR (%)    -326,408   10,406   6,422    -0,018
  Var        0,947     0,000    0,972    0,002
  EQM        0,951     0,000    1,075    0,002

                     n = 2000

Estimador    [[??].    [[??].    [??]     [??]
             sub.2]    sup.*]

  Media      -0,008    0,042    5,147    0,950
  Vies       -0,028    0,002    0,147    0,000
  VR (%)    -140,166   5,027    2,945    0,028
  Var        0,243     0,000    0,370    0,001
  EQM        0,244     0,000    0,391    0,001

                      n = 3000

Estimador    [[??].    [[??].    [??]     [??]
             sub.2]    sup.*]

  Media      0,007     0,041    5,086    0,950
  Vies       -0,013    0,001    0,086    0,000
  VR (%)    -64,393    3,489    1,713    -0,015
  Var        0,010     0,000    0,214    0,000
  EQM        0,011     0,000    0,222    0,000

                     n = 5000

Estimador    [[??].    [[??].    [??]     [??]
             sub.2]    sup.*]

  Media      0,013     0,041    5,046    0,950
  Vies       -0,007    0,001    0,046    0,000
  VR (%)    -32,780    1,787    0,925    -0,011
  Var        0,001     0,000    0,125    0,000
  EQM        0,001     0,000    0,127    0,000

Tabela 5
Taxas de rejeicao nula (%) em percentual do teste H :
([[phi].sub.2], [[kappa].sub.2]) = (0,0)

              Cenario 1                  Cenario 2

n       1%      5%      10%      1%      5%      10%

500    1,930   7,680   13,560   2,540   8,950   16,050
1000   1,510   6,920   12,600   1,670   6,910   12,970
2000   1,550   6,970   12,730   1,310   6,120   11,640
3000   1,680   7,420   12,640   1,220   6,460   12,350
5000   1,440   6,410   12,100   1,270   6,400   12,300

               Cenario 3                Cenario 4

n       1%      5%      10%      1%      5%      10%

500    1,930   8,400   15,050   2,000   6,660   11,390
1000   1,860   7,600   13,840   1,420   6,120   11,040
2000   1,560   6,860   12,740   1,530   6,010   10,980
3000   1,590   7,550   13,990   1,410   5,740   10,570
5000   1,510   6,780   12,590   1,090   5,030   9,200

               Cenario 5               Cenario 6

n       1%      5%      10%      1%      5%      10%

500    2,260   7,480   12,710   2,130   7,570   13,230
1000   1,920   6,880   12,100   1,490   5,900   11,020
2000   1,510   5,950   10,740   1,250   6,120   11,760
3000   1,590   5,950   10,560   1,740   6,610   12,180
5000   1,530   5,710   10,320   1,240   5,660   10,220

Tabela 6
Analise descritivas dos log-retornos do indice de mercado DAX 30,
para o periodo compreendido entre 23 de novembro de 1995 a 20 de
agosto de 2014

Media               DP       CA       K      LM10        JB
                                            p-valor   p-valor

30 x [10.sup.-5]   0,015   -0,093   4,118   851,971   3369,575
                                            < 0,001   < 0,001

Media                ADF      KPSS
                   p-valor   p-valor

30 x [10.sup.-5]   -16,227    0,127
                   < 0,010   > 0,100

Nota: DP se refere ao desvio padrao, CA ao coeficiente de
assimetria, K ao coeficiente de curtose, LM ao teste
Multiplicador de Lagrange e JB ao teste Jarque-Bera

Tabela 7
Modelo Beta-Skew-t-EGARCH com um e com dois componentes de
volatilidade ajustado aos log-retornos do indice DAX, para o
periodo de 23 de novembro de 1995 a 20 de agosto de 2014

Beta-Skew-t-EGARCH com um componente

                           [??]    [[??].   [[??].   [[??].   [[??].
                                   sub.1]   sub.2]   sub.1]   sub.2]

Estimador                 -4,339   0,983             0,044
Erro Padrao               0,059    0,003             0,004

Medidas de diagnoistico

l([??])
BIC
[Ljung-Box.sub.10] [[??].sup.2.sub.t]
[LM.sub.10] residuos

Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes

Estimador                 -4,510   0,990    0,917    0,043    -0,008
Erro padrao               0,092    0,004    0,014    0,008    0,010

Medidas de diagnoistico

l([??])
BIC
[Ljung-Box.sub.10] [[??].sup.2.sub.t]
[LM.sub.10] residuos

Beta-Skew-t-EGARCH com um componente

                          [[??].    [??]        [??]
                          sup.*]

Estimador                 0,033    10,354      0,874
Erro Padrao               0,003    1,344       0,017

Medidas de diagnoistico

l([??])                                     14078,620
BIC                                           -5,914
[Ljung-Box.sub.10] [[??].sup.2.sub.t]         21,907
[LM.sub.10] residuos                          22,179

Beta-Skew-t-EGARCH com dois componentes

Estimador                 0,052    10,447      0,879
Erro padrao               0,004    1,370       0,017

Medidas de diagnoistico

l([??])                                     14109,329
BIC                                           -5,924
[Ljung-Box.sub.10] [[??].sup.2.sub.t]         16,068
[LM.sub.10] residuos                          16,529
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Article Details
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Title Annotation:texto en portugues; EGARCH, Exponencial Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic
Author:Muller, Fernanda Maria; Bayer, Fabio Mariano
Publication:Revista Brasileira de Financas
Article Type:Ensayo
Date:Jan 1, 2015
Words:11056
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