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Modelacion de riesgo operacional causado por factores demograficos.

Modeling operational risk caused by demographic factors

INTRODUCCION

La medicion del riesgo operacional es una de las areas criticas de los procesos de gestion de riesgo financiero. El riesgo operacional obedece a factores cuya cuantificacion se hace muy compleja debido a la carencia de informacion de soporte. Desde hace algunos anos, se ha desarrollado un conjunto significativo de instrumentos tecnicos, utiles para medir distintos tipos de riesgo. Este avance se observa en mayor medida en el area financiera, en la cual diferentes tecnicas estadisticas y econometricas han sido adoptadas para contribuir con los procesos de medicion, y con la toma de decisiones optimas bajo incertidumbre, por parte de las empresas [1]. De esta forma, es posible encontrar tecnicas econometricas utiles para medir diferentes tipos de riesgo financiero como mercado, liquidez, credito, operacional o, incluso, el riesgo sistemico, que engloba aspectos de todos los anteriores [2].

Este documento plantea un avance en esta direccion, ya que estudia las fuentes de riesgo relevantes para empresas vinculadas en su operacion con variables de tipo demografico.

La estrategia se concentra: en la identificacion de los factores de riesgo pertinentes para el negocio; la modelacion estadistica adecuada del riesgo marginal implicito en cada uno de estos factores; la modelacion completa de las relaciones de codependencia que pueden existir entre ellos y, finalmente, el mapeo desde el dominio de los factores de riesgo hacia los indicadores financieros de las empresas.

La metodologia se ilustra mediante su aplicacion a la medicion del riesgo de mortalidad, al que se encuentra expuesta una empresa de seguros funerarios, cuyos egresos futuros de operacion estan determinados por la materializacion de eventos funebres dentro de la poblacion afiliada. Se tiene informacion sobre esa poblacion discriminada en rangos de edad y genero, y se requiere analizar el comportamiento de la reserva tecnica patrimonial asociada con la operacion de la empresa. La propuesta metodologica involucra el uso de distintos modelos propios de la ciencia actuarial, tales como el modelo demografico de Lee-Carter [3], asi como de otros pertenecientes al ambito de la econometria financiera, como el valor en riesgo (VaR), el valor en riesgo condicional (CoVaR) y la estimacion de relaciones de dependencia mediante copulas bivariadas.

En relacion con la modelacion de riesgos demograficos, la literatura es extensa. Incluso dentro del campo especifico del pronostico de las tasas de mortalidad existen abundantes vertientes. Aplicaciones del modelo de Lee-Carter en casos latinoamericanos se pueden encontrar por ejemplo en Mexico [4] y en Chile [5].

1. METODOLOGIA

La metodologia propuesta consta de 4 pasos: identificacion de factores de riesgo, modelacion de los comportamientos univariados, estimacion de las relaciones de dependencia y mapeo desde los factores de riesgo a los indicadores financieros de la empresa.

1.1. Identificacion de los factores de riesgo

En el caso ilustrativo, considerado en el presente articulo, se tiene que los principales egresos futuros de la empresa dependen del numero de fallecimientos registrados en la poblacion afiliada. Entre mayor sea el numero de fallecimientos, mayor sera el desembolso en terminos de auxilios funerarios. Por lo tanto, no existen variables de control propiamente dichas. Por una parte, se tiene que la perdida esperada depende de las tasas de mortalidad especificas, por rangos de edad y sexo, de los grupos de personas afiliados a la entidad. Por otro lado, se sabe que tal perdida depende de la poblacion afiliada al fondo, discriminada en las mismas categorias de las tasas de mortalidad. Para facilitar el calculo, esta poblacion se supone constante a lo largo del ano. De esta forma, la perdida esperada esta dada por

PE = [N.summation over (i=1)][Tm.sub.i][P.sub.i] (1)

En donde, la perdida esperada, PE, depende linealmente de las tasas de mortalidad especificas, [Tm.sub.i], en cada grupo etario por sexo. Depende tambien de la poblacion afiliada, discriminada una vez mas por rango de edad y sexo, [P.sub.i]. En total se identifican 34 factores de riesgo: tasas de mortalidad para hombres y mujeres en grupos de edades: menores a 1 ano, entre 1-4 anos, ..., 70-74 anos y de 75 anos en adelante.

1.2. Modelacion de los comportamientos univariados

Cada uno de los 34 factores de riesgo debe ser pronosticado, para poder asi estimar su participacion dentro de la perdida esperada de la compania. Para tal fin, se exploran, en este paso, dos metodologias alternativas: una de ellas el modelo de Lee & Carter [3], y otra los modelos de series de tiempo univariados tradicionales, ARIMA (autorregresivos integrados de medias moviles).

El modelo de Lee-Carter es un modelo estadistico ampliamente utilizado en la literatura sobre demografia y actuaria, para la estimacion y pronostico de tasas especificas de mortalidad y tablas de vida [7-10]. Se ha convertido en una herramienta indipensable dentro de la formulacion de politicas publicas relacionadas con la expectativa de vida de una poblacion especifica y el pronostico de sus tasas de mortalidad.

Formalmente, sea log [m.sub.xt] el logaritmo natural de la tasa de mortalidad especifica del grupo x en el periodo t. Se tiene que el modelo puede ser estructurado en terminos de a y b en la dimension etaria, y un vector k a lo largo de la dimension temporal, de forma tal que:

log [m.sub.xt] = [a.sub.x] + [b.sub.x][k.sub.t] + [[epsilon].sub.xt](2)

Adicionalmente deben cumplirse las restricciones de que [suma de x][b.sub.x] = 1 y [suma de t][k.sub.t] = 0 de manera que las [a.sub.x] son promedios temporales simples de los logaritmos de las tasas de mortalidad especificas, y los parametros del sistema estan plenamente identificados.

La estrategia de estimacion consiste en utilizar una descomposicion de valor singular (SVD), puesto que el metodo de minimos cuadrados ordinarios no puede ser aplicado directamente en la ecuacion (2), ya que el indice [k.sub.t] debe ser tambien estimado en el proceso. De esta forma, [k.sub.t] es un indice del nivel de mortalidad en el tiempo, mientras que [a.sub.x] indica la forma general de esta mortalidad a lo largo del espectro de los distintos rangos de edad. [b.sub.x], por su parte, mide la sensibilidad de la tasa de mortalidad especifica ante cambios en [k.sub.t] (ya que d log ([m.sub.xt]) / dt = [b.sub.x]dk / dt).

La popularidad del modelo con respecto a modelos tradicionales de series de tiempo ARIMA se debe a la inclusion del termino [k.sub.t] que es comun a todas las tasas. Este solo varia en el tiempo y no tranversalmente. De esta forma, se reduce la cantidad de parametros a ser estimados, a la vez que impone un comportamiento acompasado entre las tasas, impididiendo pronosticos en intervalos largos de tiempo dispersos.

Dado que en el ejercicio presente no es de interes la construccion de tablas de vida a lo largo de dominios prolongados de tiempo, es posible utilizar modelos ARIMA tradicionales para el pronostico de las tasas de mortalidad individuales, a manera de comparacion, para dar robustez a los hallazgos.

En este caso se aplico un modelo ARIMA a los logaritmos de la serie de tiempo de cada una de las tasas especificas de mortalidad de forma tal que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (3)

Se utilizan logaritmos para garantizar la no-negatividad del pronostico. La ecuacion (3) se estima para cada grupo poblacional. [[beta].sub.x] el intercepto de cada regresion. Por su parte, [[rho].sub.i] y son los coeficientes autorregresivos y de medias moviles del sistema, respectivamente. Los numeros i y j son determinados a traves de comparacion de modelos, proceso en el cual se selecciona el modelo con un menor criterio de informacion bayesiano (BIC). [[epsilon].sub.xt] es un termino de perturbacion ruido blanco. Cuando se detecta la presencia de raices unitarias se procede a la diferenciacion de la variable, para lograr la estacionariedad.

1.3. Modelacion de las relaciones de dependencia

Hasta aqui solo se han considerado los comportamientos univariados de los factores de riesgo. Si bien el metodo de Lee-Carter impone una dependencia lineal en la parte de baja frecuencia de los espectros de las series, aun en este caso las relaciones de dependencia no lineales se dejan por fuera del analisis, y tambien asi las que se presentan en el resto del espectro. Estas relaciones son de gran importancia en el analisis, puesto que un incremento abrupto y conjunto en las tasas de mortalidad podria configurar un escenario de operacion de gran estres financiero, y podria llevar a la quiebra.

Una forma particularmente conveniente y completa de modelar las relaciones de dependencia entre las tasas de mortalidad en este tipo de problemas la constituye la estimacion de tales relaciones mediante copulas. Formalmente, una copula es una funcion de distribucion multivariada tal que

C: [[0,1].sup.N] [flecha diestra] [0,1] (4)

Donde N son el numero de factores de riesgo descritos antes y C denota la copula.

En terminos generales el teorema de Sklar (1959) plantea que si F es una funcion de distribucion multivariada con marginales [F.sub.I], [F.sub.N] (no necesariamente continua), entonces, existe una copula C:[[0,1].sup.n] [flecha diestra] [0,1] tal que, para todo [z.sub.1], ..., [z.sub.N] en R = [-[infinity], [infinity]]:

F([z.sub.1], ..., [z.sub.N]) = C([F.sub.1]([z.sub.1]), ..., [F.sub.N] ([z.sub.N])) (5)

Si las marginales son continuas, C es unica.

Cabe anotar que la copula no se encuentra definida sobre las tasas de mortalidad directamente, ni sobre las series filtradas a traves del modelo ARIMA o el Modelo de Lee-Carter. Primero es necesario construir una pseudo-muestra a saber:

[F.sub.i] ([z.sub.i]) = [u.sub.i] i = 1, ..., N (6)

Donde [z.sub.i] son los residuales de la regresion en las ecuaciones 2 o 3. Para construir p, que es el vector con componentes del tipo [[my].sub.i], en este estudio se hace uso de las distribuciones empiricas acumuladas de probabilidad, asociadas con cada factor de riesgo. Una consideracion adicional que se debe tener en cuenta es que al trabajar con muchos factores de riesgo la estimacion de una copula multivariada no es recomendable; de hecho, construir modelos de este tipo es un problema de reconocida dificultad [13]. Una alternativa de amplio uso en la literatura reciente es el uso de pair-copulas (una estructura jerarquica de copulas bivariadas).

Siguiendo este esquema como en [13], se muestra que al mismo tiempo que se mantiene la logica de elaborar relaciones complejas a traves de bloques individuales simples, se minimiza la cantidad de supuestos de independencia condicional, que muchas veces deben ser impuestos, al utilizar otros caminos en el proceso de estimacion.

Formalmente, la funcion de densidad, asociada con la funcion de distribucion acumulada en (5), puede ser factorizada asi:

f ([z.sub.1], ..., [z.sub.N]) = [f.sub.n] ([z.sub.N]) x f ([z.sub.N - 1]| [z.sub.N]) x f ([z.sub.N-2] | [z.sub.N-1], [z.sub.N] ... f ([z.sub.1] | [z.sub.2], ..., [z.sub.N]) (7)

A su vez, cada termino en (7) puede ser descompuesto en una copula bivariada, multiplicada por una densidad marginal condicional. Usando la formula general se tiene que:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (8)

para un vector N-dimensional [ipsilon]. Aqui [[upsilon].sub.j] es un componente escogido arbitrariamente de [ipsilon]. [[ipsilon].sub.-j] denota el vector-[ipsilon], excluyendo ese componente. Por su parte, [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] es una copula bivariada (copula-par) entre z y [[ipsilon].sub.j]. En conclusion, tal y como se senala en [13], bajo condiciones de regularidad apropiadas, una densidad multivariada puede ser expresada como el producto entre copulas-par, actuando sobre diferentes distribuciones de probabilidad condicionales. Tambien es claro que la construccion es, por naturaleza, iterativa, y que, dada una factorizacion especifica, existen muchas re-parametrizaciones con las cuales se puede lograr este objetivo.

Estas diferentes construcciones de copulas-par disponibles pueden ser descritas a partir de [14] en un modelo grafico denominado vine regular. La clase de vine regular es amplia. En este estudio se sigue una de las posibilidades de mayor uso, conocida como D-vine [15]. Cada modelo senala una forma especifica de descomponer la densidad.

La figura 1 describe una descomposicion D-vine de cinco dimensiones. Consta de cuatro arboles [T.sub.j], j = 1, ..., 4. El arbol [T.sub.j] tiene 6-j nodos y 5-j ejes. Cada eje corresponde a una densidad de copula-par, y el rotulo del eje corresponde al subindice de la densidad bivariada, e.g. el eje 25|34 corresponde a la copula [c.sub.25|34](x).

En [14] se proporciona la densidad de una distribucion N-dimensional en terminos de un vine-regular. De esta forma la densidad de f([z.sub.1], ..., [z.sub.N]) puede ser escrita como:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (9)

Donde los indices j identifican los arboles, mientras que los indices i denotan los ejes en cada arbol. En los D-vine, ningun nodo en ningun arbol conecta con mas de dos ejes. En [13] se proveen los pasos necesarios para realizar simulaciones usando las copulas estimadas en el constructo D-vine. Este metodo es necesario para predecir el numero de fallecimientos que se puede presentar en escenarios de estres en la operacion de la empresa.

1.4. Mapeo desde factores de riesgo hacia indicadores financieros

Una vez modelados los factores de riesgo, es posible obtener por simulacion diferentes escenarios de operacion de la empresa en terminos del numero de eventos que se pueden registrar en el siguiente ano de operacion. En particular se utilizan, ademas de la perdida esperada, dos indicadores de amplio uso en la ingenieria financiera, como lo son el valor en riesgo (VaR) y el valor en riesgo condicional (CoVaR) [2, 6, 16].

1.4.1. Resumen del algoritmo

i) Se simulan M escenarios de operacion de la empresa (1.000 por ejemplo), en terminos de las tasas de mortalidad que pudieren observarse.

ii) Se toma el escenario medio (que corresponde al pronostico de la perdida, perdida esperada),

iii) Se calcula un escenario extremo, al (1-[alfa]) % de confianza (Va[R.sub.1-[alfa]]) y

iv) Se construye un escenario de perdida sistemica, asociado con el promedio de todos los escenarios por encima del (Va[R.sub.1-[alfa]]), denominado CoVa[R.sub.1-[alfa]].

v) En cada caso se multiplican las tasas correspondientes por la poblacion afiliada por sexo y rango de edad, de la empresa, la cual se supone fija durante el ano de operacion.

PE = [N.suma de (i=1)][TM.sub.i] x [P.sub.i] (10)

Va[R.sub.1-[alfa]] = [N.suma de (i=1)][TM.sub.i, 1-[alfa]] x [P.sub.i] (11)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (12)

Donde [P.sub.i] es la poblacion perteneciente a cada rango de edad y sexo. [TM.sub.i] es la tasa especifica de mortalidad por rango de edad y sexo.

2. ANALISIS DE RESULTADOS

Para estimar la dinamica de las tasas de mortalidad es necesaria una serie de tiempo de cada tasa con una longitud considerable. Las tasas de mortalidad observadas en la poblacion afiliada de las empresas son generalmente muy pocas, por lo que es mejor recurrir a las tasas de mortalidad de la zona geografica de operacion de la empresa, en este caso, la ciudad de Santiago de Cali. En esta ciudad se desarrolla la gran mayoria de las operaciones de la empresa y en donde se emplaza mas del 80 % de su poblacion de clientes.

2.1. Datos

Los datos de las tasas de mortalidad por generos y segun los rangos de edad especificados se obtuvieron directamente de la Secretaria de Salud Municipal de Cali, con una frecuencia anual desde 1985 hasta 2012.

La empresa, por su parte, proporciono informacion sobre la poblacion afiliada, segun genero, fecha de nacimiento y defuncion. Con esta informacion fue posible caracterizar la poblacion, tarea para la cual se hizo uso de 74.644 registros. La figura 2 describe en terminos generales a la poblacion afiliada, y la figura 3, las defunciones registradas al ano 2013 dentro de la poblacion afiliada de la empresa en el mismo ano.

Como se puede observar, debido al tipo de negocio de la empresa, tanto la poblacion general afiliada, como el numero de defunciones registrado se encuentran concentrados en los rangos de edad mas altos (entre 70 y 74 anos, y mas de 75 anos). El numero de hombres y mujeres es, por su parte, equiparable. Esta mayor concentracion se tiene en cuenta en el calculo de la perdida esperada, el VaR y el CoVaR, en las formulas (10) a (12), ya que, a pesar de que la tasa de mortalidad pronosticada debe hacer uso de la informacion para la ciudad, el calculo de los indicadores se realiza multiplicando por las poblaciones especificas de la empresa.

Las tasas de mortalidad por sexo y rango de edad para Cali, desde 1985 a 2012, que constituyen la muestra de estudio, se presentan en la figura 4.

Como se puede observar, tanto para hombres como para mujeres, las tasas de mortalidad han presentado importantes reducciones durante el periodo de estudio, lo cual esta relacionado con el proceso de desarrollo economico y las consecuentes mejoras en terminos de morbilidad y mortalidad que este proceso conlleva.

2.2. Resultados Modelo ARIMA

Los modelos ARIMA univariados, ajustados sobre el logaritmo de las tasas de mortalidad, se hicieron con el paquete de R, auto.arima. Se escogio el mejor modelo siguiendo el criterio bayesiano (BIC), es decir, se escogio el modelo que minimizara tal estadistico en cada caso. Este criterio permite tener en cuenta, no solo el ajuste del modelo dentro de la muestra, sino que incorpora cierta penalizacion por el numero de grados de libertad consumidos en la estimacion (para minimizar la probabilidad de sobreajuste en muestra).

Los modelos escogidos de esta forma tienden a ser mas parsimoniosos que los especificados siguiendo criterios alternativos.

Los estadisticos asociados con estas estimaciones no se reportan en este documento, pero estan disponibles a peticion del interesado. En la tabla 1 se presentan las tasas de mortalidad pronosticadas a un ano por grupo de edad.

Con los residuales de los modelos ARIMA se construyo la pseudo-muestra. Se contrasto la hipotesis de que tal pseudo-muestra descrita en la ecuacion (6) estaba bien construida, mediante un estadistico de Kolmogorov-Smirnov. En ningun caso se rechaza la hipotesis nula de que la pseudo-muestra se distribuye uniforme entre 0 y 1.

El procedimiento de ajuste de la copula en la pseudo-muestra implica la eleccion de la estructura que mas se acople a los datos en cada paso de la iteracion. Esto se hizo, una vez mas, automaticamente, con la ayuda del paquete de R, CD Vine. Se consideraron 40 categorias disponibles.

Finalmente, se simularon 1 000 escenarios, de los cuales se extrajeron el VaR y el CoVaR al 90 % de confianza, construidos despues de multiplicar cada uno de los escenarios simulados por la poblacion expuesta. La sintesis de los escenarios se presenta en la figura 5.

Para el caso del modelo ARIMA la perdida esperada, en terminos de numero de fallecimientos, a un ano, ascendio a 882. El VaR, con un 90 % de confianza, se ubico en 930, y el CoVaR, en 944.

2.3. Resultados modelo Lee--Carter

El modelo de Lee-Carter se ajusto con ayuda del paquete en R Demography. En la tabla 2 se presentan las tasas de mortalidad pronosticadas a un ano por grupo de edad.

La sintesis de los escenarios simulados con este modelo se presenta en la figura 6.

Para el caso del modelo de Lee-Carter la perdida esperada, en terminos de numero de fallecimientos, a un ano, ascendio a 863. El VaR con un 90 % de confianza se ubico en 938, y el CoVaR, en 962.

2.4. Analisis de la reserva tecnica de operacion

Para la valoracion de la reserva tecnica de operacion, que se desprende de la anterior metodologia, se procedio al analisis de los estados financieros de la entidad a diciembre 31 de 2013. Con esta informacion se estimo el indicador de utilidad para cobertura de servicio (UCS). Este se obtiene como la diferencia entre los ingresos operacionales y los gastos de funcionamiento de la entidad: UCS = Ingresos operacionales - Gastos de personal - Gastos Generales. El indicador de utilidad para cobertura de servicio permite estimar la capacidad de atender los auxilios y servicios funerarios comprometidos a partir de su ejercicio anual. El resultado deseable en terminos de este indicador es que la utilidad para cobertura de servicio de un determinado periodo haya sido suficiente para cubrir los costos y auxilios funerarios del mismo periodo, sin necesidad de recurrir a reserva alguna.

Al observar el periodo 2008-2013, (figura 7) se puede observar que la cobertura de los servicios y auxilios funerarios se ha realizado basicamente con los recursos provistos por el propio negocio despues de descontar los gastos de funcionamiento del mismo. Esta situacion ha permitido que la entidad pueda fortalecer su reserva tecnica a lo largo de los anos.

Posteriormente se simularon escenarios de operacion de la empresa, mediante los pronosticos del modelo de Lee-Carter (CoVaR), y se evaluaron costos promedio de eventos entre $1 400 000 y $2 000 000 de pesos. Para los escenarios de riesgo extremo propuestos, el costo del servicio funerario podria oscilar entre $1.3 millones y $1.9 millones de pesos, lo cual implicaria que aun, en escenarios extremos, se puede cubrir el servicio funerario con la utilidad para cobertura de servicio.

Un analisis aun mas extremo se puede llevar a cabo utilizando el CoVaR estimado, en varios anos de forma consecutiva. Para este escenario se considera un costo medio de servicio de $1.810.750. Con este valor se estima el costo total anual de auxilio funerario, el cual se compara contra la utilidad de cobertura de servicio del mismo ano. Los desfases son cubiertos por la reserva de la entidad que a diciembre de 2013 ascendia a $2.307 millones de pesos. Con estas situaciones extremas recurrentes, el fondo de imprevistos de la empresa se estaria agotando entre el ano 2018 y el 2019, sin considerar ningun tipo de realimentacion financiera.

3. CONCLUSIONES

Se propone una metodologia para estimar el riesgo financiero de una empresa expuesta ante factores de tipo demografico. Se identifica en las tasas de mortalidad por sexo y rangos de edad como el principal factor de riesgo del negocio y para su modelacion se recurre a modelos por factores como el de Lee-Carter y a copulas bivariadas. Se simulan varios escenarios de operacion y financieros de una empresa a manera de ejemplo, con datos reales y, de esta forma, se hace posible estimar la reserva tecnica optima de operacion de la entidad y el tiempo en que se agotaria tal reserva.

Esta estrategia de modelacion tiene en cuenta diferentes hechos estilizados de las tasas de mortalidad, como el hecho de que no son estacionarias en media, y los patrones de dependencia temporal y transversal en el conjunto de tasas de mortalidad. Los patrones de dependencia transversal son capturados mediante copulas bivariadas, mientras que los de dependencia temporal, mediante modelos tradicionales de series de tiempo univariadas. Estos ultimos son aplicados sobre las diferencias logaritmicas de las tasas de mortalidad. La presente metodologia tiene aplicaciones tanto para el pronostico directo de diferentes escenarios de operacion de empresas expuestas a riesgos de mortalidad y longevidad, como a la construccion de intervalos de confianza para el pronostico de tasas de mortalidad en demografia y actuaria.

Los resultados senalan que las estrategias adoptadas historicamente por la empresa para la constitucion de la reserva tecnica han sido efectivas en la medida en que se ha logrado contar con un mecanismo de cobertura eficiente ante los siniestros normales que se han presentado.

REFERENCIAS

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Diego Fernando Manotas **

Ines Maria Ulloa ***

Jorge Mario Uribe ****

Recibido: 12/12/2014 * Aceptado: 09/12/2015

DOI: 10.22395/rium.v15n29a7

* El articulo se deriva del proyecto de investigacion "Estimacion de reserva tecnica por riesgo de negocio", financiado por la Cooperativa Servivir en Colombia y ejecutado entre los meses de junio a diciembre de 2014.

** Profesor titular Escuela de Ingenieria Industrial, Universidad del Valle. Ph. D. Ingenieria--Universidad del Valle, M. Sc. Gestion Financiera, Universidad de Chile. Ingeniero Industrial, Universidad del Valle. diego. manotas@correounivalle.edu.co. Ciudad Universitaria, Calle 13 No. 100-00 Cali, Tel. 572 3212167 Ext. 104 Fax 57-2-3398462

*** Profesora asociada, Departamento de Economia, Universidad del Valle. Diplom Volkswirtin, Universitat Mannheim. Economista, Universidad del Valle. inesmaria.ulloa@correounivalle.edu.co. Ciudad Universitaria, Calle 13 No. 100-00 Cali, +57 2 3212322

**** Profesor asociado Departamento de Economia, Universidad del Valle. Master of Research, European University Institute. Magister en Economia, Universidad de los Andes. Economista, Universidad del Valle. jorge.uribe@ correounivalle.edu.co. Ciudad Universitaria, Calle 13 No. 100-00 Cali, +57 2 3212322

Leyenda: Figura 1. D-vine con 5 variables, 4 arboles y 10 ejes

Leyenda: Figura 2. Poblacion afiliada por rango de edad y sexo. Ano 2014

Leyenda: Figura 3. Defunciones registradas en el ano 2013

Leyenda: Figura 4. Logaritmo de las tasas de mortalidad de hombres (izq) mujeres (der), por rango de edad: 1985-2012

Leyenda: Figura 5. Histograma de los escenarios proyectados del modelo ARIMA

Leyenda: Figura 6. Histograma de los escenarios proyectados del modelo ARIMA
Tabla 1. Pronosticos por rango de edad y sexo ARIMA. Tasas de
mortalidad 0/00

Hombres    < 1    1-4     5-9     9-14   15-19
          7,69    0,45    0,27    0,45    4,03
                 40-44   45-49   50-54   55-59
                  3,61    4,27     5      8,12

Mujeres    < 1    1-4     5-9     9-14   15-19
          6,71    0,44    0,2     0,28    0,53
                 40-44   45-49   50-54   55-59
                  1,58    1,98    2,69    4,55

Hombres   20-24   25-29   30-34   35-39
           4,7     4,36    3,83    3,63
          60-64   65-69   70-74    >75
          12,37   18,15   31,49   87,01

Mujeres   20-24   25-29   30-34   35-39
           0,65    0,7     0,8     1,06
          60-64   65-69   70-74    >75
           6,7    11,16   18,43   64,01

Fuente: elaboracion propia

Tabla 2. Pronosticos modelo de Lee-Carter. Tasas de
mortalidad 0/00

Hombres     < 1    1-4     5-9     9-14   15-19
           7,81    0,42    0,22    0,41    3,92
                  40-44   45-49   50-54   55-59
                   3,47    4,20    5,69    7,76

Mujeres     < 1    1-4     5-9     9-14   15-19
           6,68    0,38    0,19    0,25    0,49
                  40-44   45-49   50-54   55-59
                   1,44    2,08    3,05    4,20

Hombres    20-24   25-29   30-34   35-39
            4,69    4,19    3,68    3,46
           60-64   65-69   70-74    >75
           11,91   18,74   31,20   81,06

Mujeres    20-24   25-29   30-34   35-39
            0,57    0,67    0,77    1,01
           60-64   65-69   70-74    >75
            6,66   11,59   19,54   63,98

Fuente: elaboracion propia

Figura 7. Indicador Costo de servicios funerarios / UCS

2008     67,6%
2009     75,5%
2010     72,6%
2011     75,4%
2012     70,4%
2013     74,5%

Fuente: elaboracion propia

Nota: Tabla derivada de grafico barra.
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Author:Manotas, Diego Fernando; Ulloa, Ines Maria; Uribe, Jorge Mario
Publication:Revista Ingenierias
Date:Jul 1, 2016
Words:5257
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