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Metodos alternativos de evaluacion del riesgo para portafolios de inversion *.

RESUMEN

El objetivo de este estudio es presentar, de manera clara, metodos alternativos de evaluacion de riesgo para portafolios con multiples activos. Conceptos como analisis de retorno total, frontera eficiente, valor del riesgo (Value at Risk, VaR), teoria de valores extremos (EVT), tracking error y simulaciones de Monte Carlo se aplican a portafolios ficticios.

Palabras clave: valor en riesgo, optimizacion, portafolio, riesgo.

ABSTRACT

This paper develops alternative methodologies to evaluate multiple assets portfolio risks. Total return analysis, efficient frontier, value at risk (VaR), extreme value theory (EVT), tracking error (TE), and Monte Carlo simulations are topics which are applied to a variety of fixed and variable return portfolios.

Key words: value at risk, optimization, portfolio, risk.

INTRODUCCION

De los ultimos treinta y seis premios Nobel entregados en el area de las ciencias economicas, solo dos de estos se otorgaron a economistas que focalizaron su investigacion en el area financiera. La investigacion de Harry Markowitz, Merton Miller y William Sharpe, relacionada con su trabajo pionero en el campo de la economia financiera, es premiada en 1990; mientras que en 1997, Robert Merton y Myron Scholes son premiados por los novedosos metodos de determinacion del valor de derivados (1).

El alto nivel de desarrollo cuantitativo que se esta aplicando al area de las finanzas presenta cierta correlacion con estos premios. Antiguamente, en el area de las matematicas financieras, bastaba con manipular eficientemente la relacion de valor presente para dominar relativamente el area. Actualmente, los desafios son otros: duracion, convexidad, deltas, gammas, value at risk, tracking error, razon de informacion, teoria de valores extremos, metodos de simulacion de Monte Carlo, etc., son algunos elementos que se deben manejar al momento de disenar un portafolio.

El proposito de este estudio es presentar, de manera didactica y con ejercicios de aplicacion programados en Excel y en GAUSS, conceptos que se estan utilizando en la eleccion de portafolios de inversion, de suerte que puedan ser aplicados, por administradores de portafolios de renta fija y renta variable, como son las administradoras de fondos de inversion (AFP). Adicionalmente, se pueden dimensionar claramente comparadores de manera de evaluar el desempeno de las posiciones de diversos agentes inversores, desde un punto de vista del control financiero, como mecanismos de supervision bancaria, por ejemplo.

Estas metodologias tienen la ventaja de entregar un marco de referencia que permita formalizar la discusion del tema del riesgo en portafolios de inversion, de manera que pueda ampliarse el horizonte de evaluacion de desempeno de una cartera considerando criterios de riesgo, adicionalmente a consideraciones de retorno.

I. ANALISIS DE RETORNO TOTAL

Existen diversas alternativas para el calculo del retorno esperado de cierto activo, las cuales deben considerar una proyeccion del precio del instrumento para el horizonte de inversion deseado. Una proyeccion tradicional ha sido el considerar que el retorno promedio historico es un buen estimador del retorno esperado, con lo cual podriamos decir que:

E[R]= 1/T x [T.suma de (j=1)] [R.sub.t=j]

Considerando el fenomeno de reversion a la media (2) que existe en los retornos, parece ser una buena aproximacion; sin embargo, es poco realista al ser un resultado estadistico que no incorpora el hecho de que el horizonte de inversion no es T, sino, generalmente, solo una fraccion de T. Puede ser el caso de que el retorno observado de un activo sea del -2%, y que el imponer un retorno historico del 8% sea muy exagerado. El punto es que el retorno historico promedio, tal como se presento en la expresion anterior, no toma en consideracion la trayectoria que ha seguido el proceso en los ultimos periodos.

Una segunda metodologia que si considera la trayectoria que han seguido los retornos, es la estimacion de modelos de series de tiempo del tipo ARIMA(p,d,q) o modelos autorregresivos integrados de medias moviles con orden p, d, y q. Econometricamente se describen por:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde: p indica el numero de rezagos a considerar en la parte autorregresiva del proceso; q indica el numero de rezagos de la parte media movil del proceso, y d indica el numero de veces que una variable debe ser diferenciada para que sea estacionaria ([DELTA] indica diferencia) (3). Este mecanismo, si bien es mas complejo que usar la media historica de los retornos, es mas preciso, pero requiere del manejo de software econometrico especializado (4).

Una de las herramientas mas simples en el diseno de un portafolio de inversion es el analisis de retorno total. Dado que los parametros que se van a considerar en la eleccion de una cartera optima se refieren a valores esperados de retornos y riesgos para distintos activos alternativos, el analisis de retorno total responde a la pregunta de cual sera este retorno esperado, sin considerar explicitamente la dimension riesgo, para un horizonte de tiempo predefinido (de 1 dia o 1 ano, por ejemplo).

Sea [p.sub.t] el precio de un activo en el periodo t, mientras el flujo de rentabilidad asociado a este activo (ya sea dividendos/precio o cupones) y el monto asociado a la rentabilidad de este flujo se definen [f.sub.t] y [i.sub.t] * [f.sub.t], respectivamente. Estos parametros permiten definir cual sera el retorno total de invertir en este activo:

R[T.sub.t+1] = [P.sub.t+1] - [P.sub.t]/[P.sub.t] + [f.sub.t] + [i.sub.t] x [f.sub.t]

De los tres componentes que explican el retorno de un activo, la variacion de precio es el que posee una mayor ponderacion, mientras que la menor ponderacion corresponde al elemento de retorno asociado a la reinversion de los flujos, resultado que se potencia para horizontes de inversion relativamente breves.

Para cierta clase de activos, como los activos de renta fija, existe una internalizacion explicita de los flujos en el precio de transaccion de los instrumentos, puesto que estos incorporan proporcionalmente el cupon acumulado a la fecha de transaccion. Sin embargo, para activos de renta variable la situacion es diferente. Es el precio de mercado el que internaliza implicitamente el dividendo futuro descontado, dividendo que a su vez es esperado, lo cual le da la categoria de renta variable al instrumento en cuestion.

Apliquemos este concepto a una cartera de renta fija. Consideremos activos alternativos cuya madurez remanente va de 1 a 10 anos. En este caso se debe proyectar los precios de cada categoria de instrumentos e incorporar los retornos incrementales asociados a los cupones y la reinversion de estos. Para efectos de identificacion del tramo de la curva a invertir, solamente es relevante el efecto cambio de precio; sin embargo, si lo que se desea es ir un paso mas alla y considerar los retornos esperados como insumo en un analisis de optimizacion mas completo, es necesario considerar todos los componentes del retorno total, para asi permitir una comparacion insesgada de retornos de distintas economias.

La proyeccion de los precios para los distintos activos de renta fija puede deducirse de la comparacion de la curva de rendimiento esperada con la curva de rendimiento actual, debido a la relacion existente entre cambio en rendimientos y variacion de precios, dada por la siguiente expresion:

[DELTA][P.sub.t+1]/[P.sub.t] = - D* x [DELTA][Y.sub.t+1]

Es asi como el cambio en los retornos ([DELTA]y) ponderado por la duracion modificada (D*) (5), permite proyectar el efecto precio para los instrumentos disponibles en el espectro de la curva de rendimiento.

Para fines de exposicion, se asumira que la duracion es, aproximadamente, tres cuartos de la madurez remanente, y que el flujo (cupon) y los retornos de la reinversion de este flujo se aproximan al rendimiento actual del instrumento. Con esta simplificacion, el indice de retorno total se puede expresar como:

R[T.sub.t+1] [congruente con] - [D.sup.*.sub.t] x [DELTA][Y.sub.t+1] + [Y.sub.t]

Consideremos diez activos alternativos cuya curva de rendimiento esta representada en el cuadro 1 en las filas "Rendimiento t" y "Rendimiento t + 1". Obedeciendo a la simplificacion de que la duracion de los distintos activos de renta fija corresponden al 75% de la madurez de cada instrumento, el efecto precio del cambio de rendimiento de 50 puntos base propuesto seria de -3,75% para el papel de diez anos, y de solamente- 1,13% para el papel de tres anos. Considerando los cupones y su reinversion el retorno total de cada instrumento se presenta en la fila "Retorno esperado", y corresponderia a cerca de 2% para el papel de diez anos y de 4% para el papel de tres anos, aproximadamente. La comparacion de curvas de rendimiento y retornos esperados se presenta en la figura 1.

[FIGURA 1 OMITIR]

Para fines expositivos, la formula aparece en la celda de "Retorno esperado", en el cuadro 2.

En la figura 1 se puede visualizar el efecto sobre el retorno de activos alternativos de un incremento de 50 puntos base (0,5%) en la estructura de tasas de interes. Si se considera el parametro de retorno como unico indice decisivo para realizar una inversion, este indicaria que se debieran invertir en activos de corta madurez, pues son los que reportan mayores retornos. La decision en este ejercicio de acortar la duracion del portafolio se potencia si se introducen penalizaciones por concepto de riesgo, pues no es dificil demostrar que aquellos activos con mayor duracion tienen mayor volatilidad en sus precios:

[sigma] ([DELTA]P/P) = D* x [sigma]([DELTA]y)

Una vez definido el vector de retornos esperados al incluir los supuestos deseados en el movimiento de la estructura de tasas de interes, de acuerdo con la evolucion prevista de los fundamentos, debemos especificar la estructura de riesgo del portafolio para generar un espacio de inversiones disponibles. Este concepto conocido como la frontera eficiente, se revisa en la siguiente seccion.

II. DETERMINACION DE UNA FRONTERA EFICIENTE

Una frontera eficiente define los portafolios factibles (canastas de inversion) que cumplen con el requisito de maximizar retorno para todo nivel de riesgo. En terminos matriciales, el problema se reduce a:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Esta especificacion indica que la frontera eficiente incluye aquellas ponderaciones [[omega].sub.i] de los distintos activos i que cumplan con las condiciones de maximizacion de retornos para cada nivel de riesgo preestablecido, o alternativamente minimizacion de riesgo (mas alla del punto de minima varianza) para retornos predefinidos, obedeciendo a que los ponderadores deben sumar 100% y no pueden en forma individual estar fuera del rango del 0% al 100% como porcentaje de inversion.

Al resolver el problema de maximizacion propuesto, se estan escogiendo los puntos que corresponden a la envolvente superior de los alternativos posicionamientos que cumplen con las restricciones del problema. Cada punto de la figura 2 representa una alternativa de inversion en una cartera ficticia, que se forma con ponderadores escogidos aleatoriamente, pero que cumplen con la condicion de que los activos que forman esos portafolios tienen participaciones entre 0 y 100% y que suman entre todos el 100% de la riqueza de un inversor, definiendo la frontera eficiente como la envolvente superior de la nube de puntos que definen estos portafolios ficticios.

[FIGURA 2 OMITIR]

Segun el analisis previo, queda claramente establecido que la relacion que existe entre retornos esperados y riesgo (desviacion estandar) para los distintos portafolios eficientes es directa. Si se desea incrementar los retornos de un portafolio, se debe considerar el incremento subyacente en el riesgo del portafolio propuesto. La evidencia muestra que para niveles bajos de riesgo es posible incrementar retornos sin una adicion significativa de volatilidad; sin embargo, esta relacion es cada vez menos valida, de manera que llega un momento en que la unidad de retorno adicional genera incrementos en la volatilidad muy por encima de los niveles observados a niveles de retornos bajos. Esta relacion se conoce como Coeficiente de Sharpe, y define la razon retorno/riesgo de portafolios alternativos a lo largo de la frontera eficiente, la cual presenta, empiricamente, una relacion normalmente decreciente a lo largo de la frontera eficiente a medida que se exige mayor nivel de retorno a un portafolio.

Tal como se ha discutido en parrafos anteriores, el diseno de una frontera eficiente requiere de dos insumos determinantes. Primero, el vector de retornos esperados, que proviene del analisis de retorno total para todos los activos elegibles de una cartera potencial, y segundo, de la matriz de riesgo, conocida como la matriz de varianzas y covarianzas de los retornos, la cual tiene diversas alternativas de generacion (veanse Jorion, 1997; Best, 1998 y Dowd, 1998).

La vision tradicional es asumir que la matriz de varianzas y covarianzas esperada se puede obtener de los datos historicos directamente. Esta metodologia, si bien es usual, asume que las caracteristicas de riesgo historicas persistiran en un futuro, lo cual no necesariamente corresponde, y ademas, no permite distinguir dos valores estadisticamente similares (como podrian ser 0,96 frente a 0,91), con las consecuentes soluciones esquinas que surgen de esta diferencia numerica pero no estadisticamente significativa.

Esta ambiguedad numerica impulsa la adopcion de metodos correctivos para la matriz de riesgo. Algebraicamente, la matriz de varianzas y covarianzas puede descomponerse en tres matrices:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

La primera y ultima matriz ([PSI]) corresponden a una diagonal de desviaciones estandar; mientras que la matriz C, que se ubica entre estas ultimas, es la matriz simetrica de correlaciones.

La proyeccion de la matriz de riesgos puede surgir del analisis y proyeccion de cada matriz que la compone. Respecto a la matriz diagonal de desviaciones estandar, una alternativa consiste en la estimacion econometrica de modelos generalizados autorregresivos de heteroscedasticidad condicionada, GARCH(p,q), los cuales permitirian proyectar cada desviacion estandar con determinado margen de error (6).

Un proceso GARCH(p,q) se puede representar analiticamente por (vease seccion VI):

o para el caso especifico de un GARCH(1,1) como (7):

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[alfa].sub.0] + [[beta].sub.1] x [[sigma].sup.2.sub.t- 1] + [[gamma].sub.1] x [r.sup.2.sub.t-1]

Una segunda alternativa considera obtener las volatilidades directamente de valoraciones de mercado por medio de la utilizacion de opciones sobre los instrumentos que forman el portafolio potencial. La volatilidad implicita de cada opcion asociada a cada instrumento serviria de proxy para definir el vector de desviaciones estandar. Esta ultima posibilidad ha quedado mas bien como propuesta, puesto que si bien es factible encontrar este vector de volatilidades, en la practica existen multiples instrumentos alternativos que hacen dificil su eleccion, lo cual implica incertidumbre en la unicidad de la solucion.

La matriz de correlaciones C no tiene contraparte de mercado al no existir algun instrumento del cual se pueda deducir al menos en forma implicita su valor. Existen basicamente tres alternativas para obtener esta matriz: la mas simple corresponde a considerar directamente las correlaciones historicas de los retornos de los activos bajo analisis. Una segunda alternativa consiste en proyectar econometricamente estas correlaciones mediante modelos GARCH, de manera similar como se efectuo en el caso de las volatilidades (Jorion, 1997). Finalmente, se puede discretizar la matriz de correlaciones con un grid tan fino como se desee para garantizar las equivalencias estadisticas entre los distintos valores de correlaciones. Este mecanismo consiste en asignar a un punto del grid-unidimensional los valores especificos de las correlaciones, de manera que, por ejemplo, valores como 0,87 sean aproximados a 0,9 y valores de 0,84 sean aproximados a 0,8. Esta metodologia permite evitar estados absorbentes, es decir, portafolios con soluciones esquinas muy marcadas, lo cual puede ir en contra de un objetivo de liquidez no explicito en el algoritmo de optimizacion de portafolio.

Esta metodologia depurada del modelo de optimizacion, permite incrementar la confianza en los resultados finalmente propuestos por un mecanismo de este tipo.

La proxima seccion utiliza esta metodologia para determinar lo que se conoce como portafolio comparador.

III. EJERCICIO DE OPTIMIZACION PARA UNA CARTERA FICTICIA

En esta seccion se realiza un ejercicio introductorio de optimizacion respecto a un portafolio de tres activos cuyos retornos esperados, volatilidad y correlaciones, provienen directamente de los retornos historicos (8). La evolucion semanal de los precios de estos activos se presenta en la figura 3.

[FIGURA 3 OMITIR]

Los retornos entre t y t + 1 (semanales en nuestro caso) para cada activo i = 1,..., n, se obtienen a partir de aplicar la aproximacion logaritmica:

[ret.sup.i.sub.t+1] = 1n([P.sup.i.sub.t+1]/[P.sup.i.sub.t]) *100

Con las herramientas de Excel, se determinan el valor promedio de los retornos, y la matriz de varianzas y covarianzas correspondientes. Tal como se visualiza en el cuadro 3, una vez calculada la matriz de varianzas y covarianzas, y los retornos esperados, se procede a generar un vector de ponderadores que sumen 100% y que definan los montos a invertir de cada activo. En el citado cuadro, estos ponderadores se ubican en las celdas E255:E257, y la formula MMULT(E246:G246,E255:E257) de la celda E253 determina el retorno del portafolio propuesto. El riesgo definido como la raiz cuadrada de la varianza del portafolio y presente en la celda E252, se calcula por medio de la formula9:

RAIZ(MMULT(TRANSPONER(E255:E257),MMULT(E248:G250,E255:E257)))

que no es nada mas que la representacion en Excel de la multiplicacion [omega]' * [SIGMA] * [omega] arriba discutida.

Todas las restricciones del problema de optimizacion se incorporan a la herramienta Solver de Excel. Para definir el punto de partida de la frontera se procede a definir como celda objetivo a E252, cuyo valor debe ser minimizado (10). Posteriormente, se definen las celdas que se van a cambiar como E255:E257, correspondientes a los ponderadores de cada activo del portafolio. Finalmente, se agregan las restricciones que consisten en que los ponderadores sumen 1 (E254 = 1), y que sus valores deben fluctuar entre 0 y 1 (E255:E257 <= 1) y (E255:E257 >= 0). Una vez incorporadas todas las condiciones del problema, se procede a su optimizacion. Para determinar los otros puntos del portafolio, se incorpora una restriccion adicional que corresponde a los diferentes niveles de riesgo exigidos al portafolio, de manera que el algoritmo encuentre los ponderadores que maximice el retorno. En el cuadro 3 se presenta la incorporacion de la restriccion de que el riesgo debe ser 4,6 (E252 = 4,6), y se resuelve el algoritmo maximizando la celda objetivo para el retorno E253. Repitiendo este ejercicio para diferentes niveles de retorno, permite generar la frontera eficiente que se presenta en la figura 4.

[FIGURA 4 OMITIR]

En la figura 4 se puede evidenciar la pendiente positiva de la relacion retorno-riesgo a lo largo de la frontera eficiente, y la convergencia asintotica a niveles de retorno maximos de 0,5 que corresponde al rendimiento del activo 1.

Si se realiza un ejercicio de optimizacion con restricciones, como el que no se deba permitir que un portafolio posea mas de 50% en un activo, la nueva frontera eficiente estimada estara por debajo de la generada sin restricciones, evidenciando que toda restriccion activa nos conduce a un subespacio de menor retorno o mayor riesgo (vease figura 5). Sin embargo, esta perdida en la asignacion de los recursos financieros es valida en un ambiente de administracion de portafolios cuando existe un comparador o cuando se realizan ejercicios de What if Scenario. Restricciones adicionales al proceso de optimizacion pueden ser el resultado de algun proceso de optimizacion o determinacion de rangos de variacion de parametros que obedezcan a otros criterios, independientes de los financieros. La siguiente seccion explora conceptualmente los riesgos de alejarse en demasia de los puntos centrales de comparadores explicitos o directamente intuitivos.

[FIGURA 5 OMITIR]

IV. VALUE AT RISK, TRACKING ERROR Y RAZON DE INFORMACION

Esta seccion revisa conceptos de valoracion del riesgo, o volatilidades, ya sea midiendo el riesgo en terminos absolutos, como es en el caso del value at risk (VaR), o en terminos relativos a un portafolio comparador, como es el caso del tracking error (TE).

A. Value at risk

El concepto de value at risk, o valoracion del riesgo, proviene de la necesidad de cuantificar con determinado grado de significancia o incertidumbre el monto o porcentaje de perdida que un portafolio enfrentara en un periodo predefinido de tiempo (Jorion, 1997; Best, 1998 y Dowd, 1998). Su medicion tiene fundamentos estadisticos y el estandar de la industria es calcular el VaR con un nivel de significacion de 5%. Esto significa que solamente el 5% de las veces, o 1 de 20 veces (es decir, una vez al mes con datos diarios, o una vez cada cinco meses con datos semanales), el retorno del portafolio caera mas de lo que senala el VaR.

Si se considera una serie de retornos historicos de un portafolio que posee un numero n de activos, es factible visualizar la distribucion de densidad de aquellos retornos mediante el analisis del histograma. Es comun encontrar fluctuaciones de retornos alrededor de un valor medio que no necesariamente es cero (este concepto en estadistica se denomina proceso con reversion a la media) y cuya distribucion se aproxima a una normal. Leves asimetrias (skewness) son, a veces, percibidas en los retornos, pero desde un punto de vista practico, es suficiente asumir simetria en la distribucion. Una vez generada la distribucion, debe calcularse aquel punto del dominio de la funcion de densidad que deja un 5% del area en su rango inferior. Este punto en el dominio de la distribucion se denomina value at risk y se presenta en la figura 6.

[FIGURA 6 OMITIR]

En la medida que deseamos un 5% como area de perdida, se debe multiplicar la desviacion estandar de la serie de retornos por 1,645. Es decir, si el retorno esperado para un portafolio es de 4% y la desviacion estandar es de 2%, entonces el VaR (con un nivel de significancia de 5%) indicara que este portafolio podria sufrir una perdida superior a 1,645 * 2 = 3,29% en sus retornos esperados, pasando de 4% a 0,71% o menos, solamente el 5% de las veces (1 de 20 veces).

Existen diversas alternativas para generar la matriz de varianzas y covarianzas con la cual se cuantifica el VaR. Mas alla de los procesos GARCH discutidos, existen metodologias de simulacion de retornos que permiten hacer un calculo estimativo del VaR.

1. Metodo delta-normal

El metodo mas simple de calculo del VaR es el metodo delta-normal. Este consiste en asumir que los retornos tienen una distribucion normal e identicamente distribuida, de manera que si los retornos esperados para un portafolio de n activos se definen como:

E[[R.sub.p]]=[omega]' x E[R]

entonces, la varianza de este portafolio se representa por:

[[sigma].sub.p] [equivalente a] [omega]' x E[[SIGMA]] x [omega]

donde tal como se reviso en la seccion de determinacion de la frontera eficiente (vease seccion II), [omega] es un vector columna de ponderadores no negativos que suman uno, y [SIGMA] define la matriz de varianzas y covarianzas para los retornos de los n activos.

El algoritmo para calcular el VaR, partiria definiendo la matriz de varianzas y covarianzas con la base historica de retornos (se puede incluir alguna valoracion de desviaciones estandar por medio de las volatilidades implicitas de opciones). Una vez que se tiene la ponderacion de los instrumentos, se procede a calcular el VaR para el portafolio especificado, considerando un nivel de significacion establecido de, por ejemplo, un 5%, lo que implica un ajuste de la volatilidad de 1,645. El VaR del portafolio en porcentaje sera (11):

Va[R.sub.p] [equivalente a] 1,645 x [raiz quadrada de ([omega])' x E[[SIGMA]] x [omega]] x [raiz quadrada de ([DELTA]t)]

El calculo del VaR va en relacion con la frecuencia de la base de datos, lo que hace necesario el ajuste por el parametro [DELTA]t. Si la frecuencia de la base de datos de retornos es diaria y se desea calcular el VaR para cinco dias en adelante (una semana), entonces se debe multiplicar por [raiz quadrada de 5]. El cuadro 4 resume las correcciones que se deben realizar dependiendo del horizonte de analisis para una base de retornos diaria (W es el monto del portafolio en $):

Se puede generalizar el calculo de las VaR para periodos diferentes t1, t2 como:

Va[R.sub.1] = - [alfa] x [sigma] x [raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.1])] x W

Va[R.sub.2] = - [alfa] x [sigma] x [raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.2])] x W

de manera que podemos ajustar el VaR para diferentes periodos por:

Va[R.sub.1] = - [alfa] x [sigma] x [raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.2])] x W = - [alfa] x [sigma] x [raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.1])]x W x [raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.2])]/[raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.2])]

con lo cual se llega finalmente a:

Va[R.sub.2] = Va[R.sub.1] x [raiz quadrada de ([DELTA][t.sub.2]/[DELTA][t.sub.1])]

Es decir, que si, por ejemplo, el VaR para un dia es de $ 20.000, entonces, para una semana y un mes sera de $ 44.721 y $ 89.443, respectivamente. Esta metodologia de reconversiones se puede utilizar para todos los metodos propuestos en estas secciones.

2. Metodo de simulacion historica

Una segunda alternativa consiste en aplicar el vector de ponderadores de inversion vigentes a una serie representativa de retornos historicos, para generar una secuencia de valores de portafolio que pueden ser representados estadisticamente por un histograma. A partir de esta secuencia de valoracion historica que define una cierta distribucion de probabilidades, se procede a calcular el VaR.

La secuencia de retornos se obtiene de multiplicar los ponderadores actuales, representados por el vector columna [omega] con los retornos historicos en cada instante [tau]:

[R.sub.[tau]] = [omega]' x [R.sub.i[tau]]

Si cada uno de estos retornos se utiliza para determinar el valor del portafolio durante el siguiente periodo, de manera que si se consideran 90 dias hacia atras, entonces se tendran 90 valoraciones de portafolio. Sacando la desviacion estandar de las distintas valoraciones del portafolio [[sigma].sub.H], se puede calcular el VaR mediante la formula estandar Va[R.sub.H] = - [alfa] x [[sigma].sub.H] x [raiz quadrada de ([DELTA]t)] x W, para un nivel de significancia de 5% ([alfa]= 1,645).

La metodologia de Simulacion Historica es equivalente analiticamente al metodo Delta- Normal, revisado en el numeral 1, a menos que la matriz de varianzas y covarianzas sea alimentada de informacion proveniente de opciones, donde en cuyo caso se reemplazaria la volatilidad historica por la volatilidad implicita en las opciones.

3. Metodo de stress-testing o metodo de situaciones extremas

Es comun asumir que los retornos son procesos estocasticos estacionarios que obedecen a una cierta distribucion normal. Sin embargo, la existencia frecuente de outliers debilita tal supuesto. El metodo de Stress-Testing incrementa la ponderacion de los eventos extremos negativos en la secuencia de valoracion del portafolio. Por medio de la recreacion de escenarios adversos historicos, o la simple creacion de eventos negativos, este metodo cuantifica los cambios probables en los valores del portafolio.

La figura 7 permite visualizar la funcion de distribucion para una secuencia de retornos tipica (Indice de Precios Selectivo de Acciones de Chile, IPSA). Los outliers, el alto grado de asimetria (skewness) y el ancho de las colas (leptokurtosis) es una caracteristica ampliamente difundida en la literature (12). La distribucion empirica muestra un grado de leptokurtosis mayor al presente en la distribucion normal. Esto implica que si se calcula un VaR considerando la distribucion normal, se estaria subestimando la perdida potencial del portafolio, puesto que el area bajo las colas es superior al implicito en la distribucion normal.

[FIGURA 7 OMITIR]

En la practica, el analisis de Stress-Testing se puede realizar de diversas formas. Una alternativa puede ser la eleccion de una secuencia de retornos para un periodo especifico del tiempo que represente, segun el administrador de portafolio, un escenario futuro probable. Es decir, que si se disponen de retornos mensuales desde 1990 en adelante, se consideren, por ejemplo, solamente los periodos en que hubo guerra en el Medio Oriente, o los periodos de crisis economicas (efectos tequila y crisis asiatica, entre otros), o los periodos de grandes fluctuaciones del valor del yen, o periodos de fuertes correcciones de precios de acciones (crisis bursatiles), etc. En este contexto, claramente el valor del VaR calculado segun las metodologias anteriormente mencionadas, subestima las eventuales perdidas del portafolio vigente.

Una segunda opcion, es simular eventos adversos que no necesariamente hayan estado presentes en la serie historica. Este mecanismo se alimenta del analisis simultaneo de un grid multidimensional de diferentes eventos, cada uno de los cuales es ponderado por un vector de probabilidades, dando origen asi a un vector de valoraciones de portafolios que permitiran el calculo del VaR. En la practica, su implementacion se ve limitada a la valoracion de eventos discretos, dejando gran parte de los shocks potenciales fuera del analisis. Este analisis de escenarios es incapaz de cubrir todas las posibilidades que pueden hacer disminuir el valor de un portafolio.

Adicionalmente, el metodo de Stress-Testing puede implementarse por medio de la Teoria de Valores Extremos (EVT), que consiste en el estudio de las colas de las distribuciones de probabilidad (13). La no-normalidad de los retornos se ilustra en las figuras siguientes. En el campo empirico, cada vez es mas comun encontrar aplicaciones a las finanzas que asumen que los retornos se representan por una distribucion como la t de student. La ventaja de esta distribucion es que presenta colas con mayor masa de probabilidad que la distribucion normal, lo cual permite representar mejor a la distribucion empirica de los retornos.

La relevancia de los outliers queda de manifiesto en la figura 8, donde se presentan los retornos semanales de una accion del mercado bursatil chileno (Laboratorios Chile). El primer grafico de la figura muestra los retornos observados para todo el periodo, mientras que los graficos adyacentes presentan los retornos filtrados para distintos margenes. En la medida que se exige un margen de retorno mayor, el numero de eventos comienza a disminuir evidenciando la presencia de outliers. Si el margen sube de 2,5% a 5% y a 7%, se puede observar que es fuerte la presencia de outliers como porcentaje de la muestra (242 obs): 50,8%, 23,6%, y 12,8%, respectivamente. El cuadro 5 presenta un analisis comparativo con el caso de una distribucion normal que permite visualizar la no-normalidad de los retornos. En una distribucion normal, el 33,3% de las observaciones caen fuera de una desviacion estandar, mientras que el 5% cae fuera del rango de 1,96 desviaciones estandar. Para la distribucion de retornos empirica, estas figuras son 27% y 6%, respectivamente, lo cual ilustra la eventual no-normalidad de los retornos (14).

[FIGURA 8 OMITIR]

Esta teoria estudia, mediante metodos no parametricos, las colas de una distribucion que no necesariamente requiere ser conocida (15). El parametro que resume las caracteristicas (grosor) de la cola de una distribucion, es el Tail Index (Indice de Cola), y existen diversos estimadores para este estadistico (veanse Hols y De Vries, 1991). Hill (1975) propone que el Tail Index se defina por:

[[??].sub.H] = [[1/M x [m.suma de (1=1)] log([X.sub.i])-log([X.sub.M+1])].sup.- 1]

donde [X.sub.(1)] [mayor que o iqual a] [X.sub.(2)] [mayor que o iqual a] [X.sub.(3)] [mayor que o iqual a] ... [mayor que o iqual a] [X.sub.(n)] son los estadisticos de orden y M es el indice de umbral, segun el cual los [x.sub.i] > [X.sub.M+1] se utilizan en la estimacion del Tail Index. No existe una forma analitica que resuelva el problema de como escoger M optimamente; sin embargo, existe una alternativa que sigue un procedimiento heuristico, y que consiste en computar un conjunto de [[alfa].sub.H] para diferentes indices de umbral, proponiendo escoger M de la region sobre la cual el parametro [[alfa].sub.H] presenta relativa estabilidad.

La figura 9 presenta el estimador de Hill ([[alfa].sub.H]) aplicado a una serie de retornos accionarios (Indice Selectivo de Precio de Acciones de Chile, IPSA). Lamentablemente, en la practica no es facil determinar el umbral M, pues la funcion que representa al coeficiente de Hill no es monotonica y presenta multiples regiones de mesetas.

[FIGURA 9 OMITIR]

En el ejemplo (16) se escogio un M=20, lo cual entrego un coeficiente de Hill igual a [[??].sub.H] = 5,82 (17). Los estadisticos de orden fueron la media y la varianza, de manera que efectuando un calculo de estadisticos secuenciales para los primeros dos momentos (media y varianza) se procede a determinar la estabilidad de la distribucion empirica analizada.

La media y la varianza secuencial se utilizan para explorar la estacionariedad debil de la distribucion (18). Las dos primeras ilustraciones de la figura 10 representan los estadisticos secuenciales para los primeros momentos de la distribucion del IPSA. Se puede apreciar la estacionariedad de la distribucion en lo que respecta a la media, que converge a un valor cercado a 0,18%, y de la varianza, que converge a 2,3% aproximadamente (i.e., una volatilidad de 1,5%). La media fue el estadistico utilizado para el calculo de las probabilidades de los valores extremos de la distribucion.

[FIGURA 10 OMITIR]

Utilizando la informacion de retornos del IPSA se ajusto una distribucion normal y una t-Student. Tal como es de esperar, la distribucion t-student tiene colas mas anchas que la funcion de densidad normal (leptokurtosis), caracteristica tradicional de retornos en mercados financieros, lo cual permite un calculo menos sesgado del VaR, en comparacion al metodo tradicional de calculo de multiplicar por 1.645 la desviacion estandar de los retornos, segun el estadistico de la funcion de distribucion de densidad normal. Al utilizar una distribucion tstudent, el factor de ajuste debiera ser superior a 1,645, si es que el objetivo sigue siendo el de dejar el 5% del area a la izquierda de la distribucion.

En los graficos inferiores de la figura 10, se presenta la estimacion de la funcion de densidad normal y t-student para la serie del IPSA y la estimacion utilizando la EVT para la cola superior de la distribucion. Es posible visualizar la diferencia y subestimacion existente en los modelos estadisticos en lo que se refiere a la potencial perdida de valor de un activo financiero. La funcion de distribucion normal pondera casi cero los eventos de que el retorno de un activo sea superior (o inferior) al 4%, mientras que la aproximacion de la t-student mejora respecto a esta estimacion, ponderando en un mayor porcentaje estos eventos. El calculo efectuado por la metodologia de valores extremos (EVT) es el que mejor captura la forma de la cola de la distribucion y reporta un incremento en las probabilidades de ocurrencia de outliers.

5. Metodo de simulaciones de Monte Carlo

Una metodologia mas sofisticada y computador intensivo, es la de simulaciones de Monte Carlo. Esta consiste en la generacion de multiples realizaciones para los retornos de un activo (o activos) con un horizonte predefinido; por ejemplo, una semana o un mes. Estas realizaciones deben ser generadas a partir de una funcion de distribucion de probabilidades que represente al proceso estocastico simulado; es decir, los retornos simulados para una accion especifica deben ser generados de una distribucion normal con media 4% y desviacion estandar 2%.

Una vez simuladas las diversas trayectorias (usualmente este numero es grande, i.e., 5.000 o 10.000 realizaciones), se obtienen los valores del retorno para el horizonte de inversion o analisis preestablecido (cinco dias o un mes). Con estos 5.000 o 10.000 valores se procede a calcular la desviacion estandar del retorno del activo, para generar su VaR.

El procedimiento es bastante directo si el portafolio consiste en un activo. Sin embargo, si la cartera de inversiones esta compuesta por n activos, entonces se debe simular una secuencia de 10.000 realizaciones para cada uno de esos n activos. Si los instrumentos no estan correlacionados entre si, el ejercicio seria simplemente repetir n veces (una vez por instrumento), el mismo procedimiento que se siguio para el portafolio de un activo. Sin embargo, si las correlaciones entre los instrumentos no son nulas, la simulacion de los retornos debe considerar tal covarianza, lo cual complica el procedimiento de generacion de procesos estocasticos. Esta extension metodologica se revisara en una seccion posterior.

La generacion de procesos estocasticos mediante simulaciones de Monte Carlo es un avance necesario en la medida que se tienen portafolios con instrumentos asimetricos; por ejemplo, opciones. Si la cartera contiene solamente instrumentos lineales, los resultados del proceso de simulacion de Monte Carlo seran equivalentes al resultado del analisis de simulacion historica, o a la metodologia de Delta-Normal, si no consideramos la volatilidad implicita en las opciones. La ventaja de esta metodologia emerge de su flexibilidad para evaluar el riesgo de portafolios cuyos retornos son necesariamente asimetricos, como suele suceder en portafolios que contienen opciones sobre instrumentos o monedas.

B. Tracking error y razon de informacion

Frente a la existencia de un portafolio comparador es relevante la incorporacion de otro concepto de riesgo similar al VaR, pero que guarda relacion con el riesgo de distanciarse o aproximarse al portafolio benchmark. Este concepto se conoce como tracking error (TE) y se define como el riesgo incremental de alejarse del portafolio comparador (19).

Cuantitativamente este concepto de medicion del riesgo se define como:

TE = [raiz quadrada de ([omega] - [[omega].sub.Bench])' x [[SIGMA].sub.d] x ([omega] - [[omega].sub.Bench])] x [raiz quadrada de 240]

donde sus componentes se definen como: [omega]: vector de ponderadores del portafolio de inversion. [[omega].sub.Bench]: vector de ponderadores del portafolio benchmark (comparador). [[SIGMA].sub.d]: matriz de varianzas y covarianzas de los retornos de los activos del portafolio.

La expresion visual de este concepto se deriva de generar un portafolio benchmark a partir de criterios de optimacion en el plano retorno-riesgo (vease figura 11).

[FIGURA 11 OMITIR]

Es posible derivar limites de sobre y subexposicion de portafolios respecto al comparador, definiendo que el tracking error no supere una cantidad de puntos base predefinida (por ejemplo, 100 pb). Es asi como ambientes de alta fluctuacion de precios implica un incremento de la volatilidad y con esto del tracking error, lo cual, desde el punto de vista de la inversion, senalaria la necesidad de aproximarse al portafolio comparador, para compensar el incremento de las varianzas propio de la volatilidad del mercado.

Desde el punto de vista del diseno estrategico del portafolio con relacion al comparador, existen diversos criterios alternativos de posicionamiento. Se puede inicialmente asumir que el administrador de portafolio desea obtener 100 puntos bases sobre el portafolio comparador, pero con un tracking error de no mas de 150 puntos base, o alternativamente se puede exigir que se invierta en un portafolio que alcance un tracking error objetivo de 200 puntos base.

Un concepto que combina las dimensiones de retornos y riesgos sobre el comparador, es la razon de informacion, la cual se define como:

IR = R - [R.sub.Bench]/TE

Esta ecuacion describe el retorno incremental que se obtiene al posicionarse en un portafolio diferente al comparador, por unidad de riesgo de desviacion del comparador. Por ejemplo, al conseguir 75 puntos base de retorno incremental, con un tracking error de 100 puntos base, nos indica una razon de informacion de 0,75, o del 75% por cada unidad de riesgo marginal.

Este concepto permite definir el posicionamiento optimo de nuestra cartera, al considerar la relacion que existe entre los riesgos inherentes de desviarse del portafolio comparador y evaluarlos vis a vis los retornos incrementales esperados.

V. ANALISIS MATRICIAL DEL VALUE AT RISK

En esta seccion se desarrolla con mayor rigurosidad analitica el concepto del value at risk, estructura que servira para efectuar simulaciones de carteras ficticias en secciones posteriores.

Se sabe que el retorno de un portafolio de dos activos se representa por la combinacion lineal o promedio ponderado de los retornos particulares de cada activo:

[R.sub.p] = [[omega].sub.1] x [R.sub.1] + [[omega].sub.2] x [R.sub.2]

donde la suma de los ponderadores es igual a 1. De aqui se desprende que la varianza de este portafolio se denota por:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Si las varianzas se definen por [[sigma].sup.2.sub.1] y si la formula de covarianza se aplica a la ecuacion anterior, se llega a la expresion:

[[sigma].sup.2.sub.p] = [[omega].sup.2.sub.1] x [[sigma].sup.2.sub.1] + [[omega].sup.2.sub.2] x [[sigma].sup.2.sub.2] + 2 x [[omega].sub.1] x [[omega].sub.2] x [[rho].sub.12] x [[sigma].sub.1] x [[sigma].sub.2]

A partir de esta expresion se puede introducir la definicion de Value at Risk Va[R.sub.p] = - [alfa] x [[sigma].sub.p] x W, donde [alfa]W representan al factor de significancia (usualmente 1,645) y el monto total de la inversion medido en unidades monetarias ($, USD, etc.), respectivamente (20):

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Al trabajar esta expresion, introduciendo el monto a invertir y el factor de significancia dentro de la raiz, se obtiene:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Esta representacion del VaR para dos activos puede generalizarse para n activos al utilizar formato matricial, tal como se represento en la seccion II:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

lo cual se puede representar resumidamente como:

[[sigma].sup.2.sub.p] = [omega] x [sigma] x C x [sigma] x [omega]' = [omega] x [SIGMA] [omega]'

con [SIGMA] como la matriz cuadrada de varianzas y covarianzas de orden n, y [omega] como un vector fila de n ponderadores. Luego de aplicar la definicion Va[R.sub.p] = -[alfa] x [[sigma].sub.p] x W, se llega a:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde [??] representa a un vector de 1 x n de las VaR individuales para cada activo del portafolio.

Si se supone que para el caso de tres activos el vector de desviacion estandar y la matriz de correlaciones se representan respectivamente por:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

entonces invertir un tercio en cada activo, para un portafolio total de $ 10.000, nos entrega un vector de las VaR correspondientes a cada activo de:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

de manera que el VaR para el portafolio sera de:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

que es exactamente equivalente al que resulta de aplicar la ecuacion Va[R.sub.p] = - [alfa] x W x [raiz quadrada de [[omega] x [sigma] x C x [sigma] x [omega]']]:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Es interesante notar que el VaR del portafolio es inferior a la suma de los VaR individuales de cada activo, debido a los beneficios de la diversificacion.

VI. MODELOS GARCH PARA PROYECTAR VOLATILIDADES: TEORIA Y PRACTICA

Existen formas a partir de modelos econometricos para proyectar las volatilidades de un activo. Los modelos ampliamente difundidos corresponden a los desarrollados por Bollerslev (1986), denominados modelos generalizados autorregresivos de heteroscedasticidad condicionada (GARCH), que fueron la generalizacion a los modelos autorregresivos de heteroscedasticidad condicionada (ARCH) desarrollados por Engle (1982).

Los modelos GARCH(p,d) se pueden representar por:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde p indica el numero de coeficientes GARCH y q el numero de coeficientes ARCH. El metodo de estimacion utilizado para este tipo de modelos es el metodo de maxima verosimilitud, el cual consiste en encontrar los parametros que permitan maximizar la funcion de densidad conjunta de la data, para maximizar la probabilidad de que la funcion de densidad considerada replique las observaciones. Diversos son los paquetes econometricos que hoy en dia permiten efectuar esta estimacion.

En la practica, la exigencia de requerir de la estimacion de los coeficientes del modelo GARCH se ve resuelto por la aproximacion implementada y popularizada por el informe FourFifteen (4:15) del RiskMetrics-JPMorgan. Esta institucion, despues de experimentar con diversos modelos, considero que minimizaria la perdida de realidad en la estimacion del riesgo de un activo si ponderaba por [lambda] al rezago de la desviacion estandar y (1 - [lambda)al rezago del cuadrado de los retornos del activo. Es decir:

[[sigma].sup.2.sub.t] = [lambda] x [[sigma].sup.2.sub.t-1] + (1 - [lambda]) x [r.sup.2.sub.t-1]

donde [lambda] = 0,94 si son datos de retornos diarios, y [lambda] = 0,97 si son datos mensuales (21).

Para visualizar el concepto, consideremos un activo como el peso chileno. Esta moneda se presenta en unidades de pesos por dolar americano ($/USD). Estimamos un GARCH(1,1) para los retornos diarios del peso chileno, entregando en Eviews el resultado del cuadro 6.

De esta estimacion queda claro que el proceso que gobierna a la varianza sera:

[[??].sup.2.sub.t] = 0,003331 + 0,807909 x [[??].sup.2.sub.t-1] + 0,203736 x [r.sup.2.sub.t-1]

de manera que estamos en condiciones de generar los intervalos de VaR generados a partir del GARCH estimado para el proceso del peso chileno. La figura 12 representa tal intervalo, mientras que el cuadro 7 presenta la forma de inclusion y simulacion de las volatilidades a partir del modelo estimado econometricamente.

[FIGURA 12 OMITIR]

La cota superior del intervalo se genera de multiplicar la desviacion estandar generada por el GARCH(1,1) por 1,645; mientras que la cota inferior se genera de multiplicar esta misma desviacion estandar por -1,645, garantizando que si el modelo esta bien estimado, la trayectoria de los retornos diarios del peso (rt) estaria un 90% de las veces entre dichos intervalos.

Mas alla del interes del calculo preciso del VaR para un activo, esta la interpretacion para fines de eleccion de carteras y fijacion de limites de riesgo. Por ejemplo, podria considerarse como un activo de alto riesgo aquel que presente un VaR superior al 1% con lo cual si el VaR proyectado supera dicho monto, se debe percutar una adecuacion del portafolio de manera que se pueda compensar tal exposicion, o, simplemente, se deba optar por salir de estas posiciones riesgosas.

VII. SIMULACIONES DE MONTE CARLO PARA EL CALCULO DEL VALUE AT RISK

En esta seccion se profundiza en la metodologia de calculo del VaR a partir de simulaciones Monte Carlo. En este contexto se estima el VaR para un portafolio con un activo, y se extiende la metodologia para el caso portafolios con n activos (Jorion, 1997; Best, 1998 y Dowd, 1998).

La idea consiste en generar secuencias futuras de precios de activos, que preserven las caracteristicas historicas de correlacion y volatilidad (lo cual se garantiza al utilizar una descomposicion de Choleski); para comparar, para un horizonte predefinido, los retornos conseguidos para cada activo y asi mismo para el portafolio. Al efectuar esta operacion, muchas veces (10.000, por ejemplo) es posible generar un vector de 10.000 retornos de portafolio, lo cual nos permite obtener un numero equivalente de medidas de riesgo VaR. Es esta la distribucion que nos interesa, de manera que se estudian los primeros momentos como la media y la desviacion estandar de la distribucion de los VaR simulados, lo cual nos permite obtener una mejor vision del riesgo del portafolio escogido. A continuacion se desarrolla esta metodologia considerando un activo, tres activos cuyos retornos son absolutamente independientes, y, finalmente, el caso de tres activos cuyos retornos presentan correlaciones historicas que nos interesa preservar en las simulaciones futuras de precios.

A. Caso de un activo

El precio de un activo en tiempo continuo puede representarse por:

[dp.sub.t] = [sigma] x d[[xi.sub.t]

donde [sigma] representa al parametro de volatilidad conocido y [xi] [??] N(0,1) . Discretizando para el caso en que [DELTA]t se refiere a un minuto o un dia ([DELTA]t = 1), podemos representar la version discreta de la ecuacion anterior como:

[DELTA][p.sub.t] = [sigma] x [DELTA][[xi].sub.t] = [sigma] x [[xi.sub.t] x [DELTA]t = [sigma] x [[xi].sub.t] [P.sub.t] = [P.sub.t-1] + [sigma] x [[xi.sub.t]

Recursivamente hacia atras es posible deducir que:

[P.sub.t] = [P.sub.t-1] + [sigma] x [T.suma de (s=t)] [[xi].sub.s]

de manera que para generar un vector de J precios para un activo (y, por ende, retornos) para un horizonte T, se debe generar J secuencias de largo T para [[xi].sub.s]. Graficamente, este procedimiento se presenta como:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

A partir de este histograma, es posible generar un vector de riquezas alternativas con un horizonte T, para poder calcular el VaR de este portafolio.

B. Portafolio con n activos: descomposicion de Choleski

Se considera ahora la situacion de un portafolio que posee n activos, pero que ninguno presenta correlacion de retornos entre ellos. Esta caricatura de la realidad no es mas que una extension lineal de lo que se presento anteriormente. El diagrama de simulacion corresponde a:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde las variables para cada activo heredan las caracteristicas del modelo que se presento en la seccion anterior. La generacion de multiples trayectorias de precios para cada activo sigue el mismo procedimiento ya presentado, puesto que no se ha incorporado ningun supuesto de correlacion entre activos.

En la practica, es necesario considerar las correlaciones que existen entre activos. Supongamos que el portafolio consiste de n activos correlacionados, cuyo perfil de precios puede reflejarse en el siguiente diagrama:

[EXPRESSION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Tal como se demostrara, la matriz cuadrada [FI] no corresponde a la matriz de varianzas y covarianzas, de manera que se debe utilizar alguna metodologia de descomposicion de matrices para generarla. El procedimiento consiste en utilizar la matriz de varianzas y covarianzas y la descomposicion de Choleski para generar la matriz [FI].

Se sabe que [DELTA]P = [FI] * [GAMMA], de manera que al multiplicar por la transpuesta se obtiene:

[DELTA]P x [DELTA]P' = [FI] x [GAMMA] x [GAMMA]' x [FI]'

El componente izquierdo de la ecuacion corresponde a la matriz de varianzas y covarianzas de los retornos, y asumiendo que los [[xi.]sub.it] se distribuyen iid normal con media 0 y varianza 1, i.e.,E[[GAMMA] * [GAMMA]] = [I.sub.n], entonces:

E[[DELTA]P x [DELTA]P'] = [FI] x E [[GAMMA] x [GAMMA]'] x [FI]' E[[SIGMA]] = [FI] x [FI]'

siendo la ultima expresion la descomposicion de Choleski para la matriz de varianzas y covarianzas de los retornos. Una vez encontrada la matriz descompuesta [FI] se procede a simular J secuencias de largo {t + 1,T} de precios (retornos) para el vector de n activos del portafolio. Este vector simulado de retornos servira de base para el calculo del VaR generado a partir de J simulaciones de Monte Carlo (J = 10.000) para todo el vector de retornos.

Si consideramos una cartera de tres activos, con un horizonte de 10 periodos con 10.000 simulaciones para cada activo, los resultados del VaR se presentan en el siguiente histograma, y ademas como una forma de destacar la correlacion simulada entre los activos, se presenta una realizacion particular de precios de activos durante estos 10 periodos.

La figura 13-a representa una particular secuencia de retornos para los tres activos, simulados utilizando la descomposicion de Choleski. Lo interesante de esta simulacion es que las correlaciones de las series simuladas preservan asintoticamente las cualidades de la matriz de varianzas y covarianzas de la base original de datos.

[FIGURA 13 OMITIR]

Las tres secuencias son simuladas 10.000 veces para 10 periodos, de donde se obtienen entonces un vector de 10.000 filas con precios para cada uno de los activos bajo escenarios alternativos. A partir de estos tres vectores, se procede a calcular el VaR. Se generan 10.000 VaR, los cuales se pueden representar por un histograma (vease figura 13-b), reflejando que para este ejemplo el VaR tiene un valor medio esperado de aproximadamente 2,6% (22).

CONCLUSION

Las dimensiones consideradas en la eleccion de un portafolio de inversion descansan tradicionalmente y en su mayoria en conceptos asociados al retorno y al grado de liquidez de los instrumentos alternativos. La dimension de riesgo suele ser considerada de forma tangencial en la medida de que no se dispone de una metodologia de aplicacion simple en el momento de medir estos riesgos.

El presente estudio tiene como objetivo profundizar en esta dimension y familiarizar al lector con metodologias alternativas de medicion del riesgo financiero. Aqui se presentan diferentes enfoques para cuantificar el riesgo en un portafolio de inversion, que van desde conceptos simples como duracion, hasta metodos mas sofisticados como son los de simulacion de Monte Carlo para la generacion de Value at Risk (VaR).

Cada uno de los diversos metodos presentados tiene ventajas y desventajas. En la medida que el portafolio analizado no contenga activos no lineales como opciones, se recomienda usar metodos simples como el Delta-Normal o Simulacion Historica, los cuales generan una matriz de riesgos con base en informacion de opciones (volatilidad implicita) o con base en retornos historicos. Sin embargo, si el portafolio dispone de activos no lineales, es recomendable utilizar el metodo de Simulacion de Monte Carlo, el cual, por lo demas, tiene la desventaja de ser intensivo en recursos computacionales.

La aplicacion de estos metodos va mas alla del analisis de un portafolio en particular. La utilizacion de criterios de VaR para el control del riesgo de instituciones bancarias es cada vez mas discutida, y de hecho, el Comite de Basilea recomienda su uso para la determinacion del capital requerido por los bancos para respaldar sus operaciones de trading (23). Jackson et al. (1998) realizan una exploracion de como modificar las normas de requerimientos de capital para los bancos, de manera que se puedan minimizar los riesgos de quiebra en el ambito de cada banco o de una crisis bancaria generalizada.

Referencias

Best, P. (1998). Implementing value at risk. John Wiley & Sons.

Bollerslev, T. (1986). "Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity". Journal of Econometrics, 31 (307-327).

Campbell, J. Y.; Lo, A. W. & MacKinlay A. C. (1997). The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press.

Danielsson, J. & De Vries, C. G. (1997). "Value at risk and extreme returns". Mimeo, Tinbergen Institute Rotterdam.

Dowd, K. (1998). Beyond value at risk: The new science of risk management. John Wiley & Sons.

Engle, R. (1982). "Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of the United Kingdom inflations". Econometrica, 50 (987-1008).

Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press.

Hill, B M. (1975). "A simple general approach to inference about the tail of a distribution". Annals of Statistics, 35 (1163-1173).

Hols, M. & De Vries, C. G. (1991). "The limiting distribution of extremal exchange rate returns". Journal of Applied Econometrics, vol. 6 (287-302).

Jackson, P.; Maude, D. & Perraudin, W. (1998). "Bank capital and value at risk". Bank of England. Working paper.

Jorion, P. (1997). Value at risk: the new benchmark for controlling market risk. McGraw-Hill.

J. P. Morgan (1996). RiskMetrics-Technical Document. Diciembre.

Mausser, H. & Rosen, D. (1999). "Beyond VaR: Triangular risk decomposition", Algo Research Quarterly, 2(1), march (31-43).

Rao, C. R. (1973). Linear statistical inference and its applications. 2nd ed., John Wiley & Sons.

Christian A. Johnson

Profesor Investigador

Escuela de Negocios, Universidad Adolfo Ibanez, Santiago, Chile

chjohnson@uai.cl

www.econometria.cl

* Se agradecen los comentarios de dos arbitros de la Revista, los cuales ayudaron a un mejoramiento sustantivo del presente estudio.

(1) Para detalles vease http://nobelprize.org/economics/laureates/index.html

(2) Reversion a la media indica que la serie de retornos presenta un proceso que se desvia "transitoriamente" de un retorno promedio de largo plazo, el cual servira de atractor de los retornos de corto plazo, y por ende, definira la dinamica de los precios del activo analizado.

(3) El numero de rezagos se puede determinar por medio de la metodologia de Box y Jenkins de los anos setenta, o utilizando criterios de informacion bayesiana (BIC) o de Akaike (AIC), entre otros. El requerimiento de estacionariedad se debe al Teorema de Representacion de Wold, que establece que todo proceso estacionario se puede representar por un modelo de series de tiempo del tipo AR(p), MA(q), o ARIMA(p,d,q).

(4) Para una revision de estos modelos de series de tiempo, veanse Hamilton (1994) y Campbell et al. (1997).

(5) La duracion modificada deflacta a D por el rendimiento bruto (1 + y):

(6) Para un analisis en detalle, revisese la seccion VI, modelos GARCH.

(7) Vease en la seccion IV.A, Value at Risk, la representacion simplificada del GARCH utilizada por el banco J. P. Morgan.

(8) Respecto a la discretizacion de correlaciones y modelos GARCH para la proyeccion de volatilidades, se realizara un ejercicio en las siguientes secciones.

(9) La funcion TRANSPONER se activa al presionar simultaneamente las teclas Ctrl+Shift+Enter.

(10) Notese que no se hace una maximizacion de los retornos sino una minimizacion del riesgo global para definir el portafolio de minima varianza, desde donde justamente partira la frontera eficiente.

(11) Si se desea el VaR en unidades monetarias, se debe multiplicar por la riqueza en (pesos) $ de W.

(12) Revisese mas adelante la teoria de valores extremos (EVT).

(13) Veanse Danielsson y De Vries (1997).

(14) El test de normalidad de Jarque-Bera para este activo es de 37,4 (p-value de 0), lo cual hace rechazar la hipotesis nula de normalidad de los retornos. El coeficiente de Skewness es de 0,27 y el coeficiente de Kurtosis alcanza a 4,85. Este ultimo estadistico ayuda al rechazo de la nula de normalidad.

(15) Para una descripcion detallada, revisense Hols y De Vries (1991), y Danielsson y De Vries (1997).

(16) Este procedimiento se programo en GAUSS y su codigo se puede solicitar al autor.

(17) Hols y De Vries (1991) encuentran m = 25 y [[alfa].sub.H] = 3,28, para retornos del dolar canadiense, evidenciando colas anchas.

(18) Estacionariedad debil de una variable aleatoria requiere que la media y la varianza sea estacionaria, y que la funcion de autocorrelacion sea dependiente del horizonte de correlacion pero no del momento t del analisis. Estacionariedad fuerte es un supuesto mucho mas estricto y asume estabilidad de la funcion de distribucion completa, y no solo de los primeros dos momentos, como en el caso de la estacionariedad debil.

(19) Para una comprension de la generacion de un portafolio comparador, revisese la seccion III.

(20) Por simplificacion se ha supuesto que [DELTA]t = 1.

(21) Notese la falta de constante.

(22) El codigo GAUSS, que fundamenta y genera este analisis, esta disponible directamente del autor.

(23) Desde 1995, Basilea la incorpora en su formula del margen de solvencia para los bancos, en lo que llama la enmienda del acuerdo de Capitales del 88 o Basilea 1.5. Agradezco a un arbitro anonimo de esta Revista la mencion de este punto.

Christian A. Johnston

Profesor Investigator

Escuela de Negocios, Universidad

Adolfo Ibanez, Santiago Chile

chjohnston@uai.cl

www.econometria.cl

Christian Andrew Johnson Medina es Ph. D. y MA en Economia de Duke University, EE. UU., y Master of Arts in Economics de Georgetown University, EE. UU.-Chile. Tiene el grado de ingeniero comercial en Administracion de Empresas e ingeniero comercial en Economia, y licenciado en Economia y Administracion de Empresas. Ha publicado articulos en revistas como Applied Economics, Emerging Market Review, Trimestre Economico, Cuadernos de Economia y Revista de Analisis Economico, entre otras. Sus areas de interes son econometria aplicada a las finanzas, macroeconomia y administracion de riesgo. Actualmente forma parte del cuerpo de profesores de la Escuela de Negocios de la Universidad Adolfo Ibanez, y anteriormente se desempeno como jefe de la Mesa de Dinero Internacional del Banco Central de Chile y como economista senior de la Division Estudios de la misma institucion.

[TABLA OMITIR]
Cuadro 1

Madurez            1       2       3       4       5

Curva t            5       5,1     5,2     5,3     5,4
Curva t + 1        5,5     5,6     5,7     5,8     5,9
Duracion (anos)    0,75    1,50    2,25    3,00    3,75
Retorno esperado   4,63    4,35    4,08    3,80    3,53
Efecto precio     -0,38   -0,75   -1,13   -1,50   -1,88

Madurez            6       7       8       9       10

Curva t            5,5     5,6     5,7     5,8     5,9
Curva t + 1        6       6,1     6,2     6,3     6,4
Duracion (anos)    4,50    5,25    6,00    6,75    7,50
Retorno esperado   3,25    2,98    2,70    2,43    2,15
Efecto precio     -2,25   -2,63   -3,00   -3,38   -3,75

Cuadro 2

B5
     A                   B          C          D          E

1    Madurez             1          2          3          4
2    Rendimiento t       5          5.1        5.2        5.3
3    Rendimiento t+1     5.5        5.6        5.7        5.8
4    Duracion (Anos)     0.75       1.50       2.25       3.00
5    Retorno Esperado    4.63       4.35       4.08       3.80
6    Electo Precio      -0.38      -0.75      -1.13      -1.50

Cuadro 4

Estadistico            Un dia

Retorno                [[my].sub.d]
Varianza               [[sigma].sup.2.sub.d]
Desviacion estandar    [[sigma].sub.d]
VaR ([alfa] = 1,645)   -[alfa] x [[sigma].sub.d] x W

Estadistico            Semana

Retorno                5 x [[my].sub.d]
Varianza               5 x [[my].sup.2.sub.d]
Desviacion estandar    [[sigma].sub.d] x [raiz cuadrada de (5)]
VaR ([alfa] = 1,645)   -[alfa] x [[sigma].sub.d] x [raiz cuadrada
                       de (5)] x W

Estadistico            Mes

Retorno                20 x [[my].sub.d]
Varianza               20 x [[sigma].sup.2].sub.d]
Desviacion estandar    [[sigma].sub.d] x [raiz cuadrada de (20)]
VaR ([alfa] = 1,645)   -[alfa] x [[sigma].sub.d] x [raiz cuadrada
                       de (20)]  x W

Estadistico            Ano

Retorno                240 x [[my].sub.d]
Varianza               240 x [[sigma].sup.2.sub.d]
Desviacion estandar    [[sigma].sub.d] x [raiz cuadrada de (240)]
VaR ([alfa] = 1,645)   -[alfa] x [[sigma].sub.d] x [raiz cuadrado
                       de (240)] x W


Cuadro 5

Margen                     Distribucion normal   Distribucion actual

Una desviacion estandar    33,3%                 26,8%
1,96 desviacion estandar      5%                  5,8%

Cuadro 6

ARCH // Dependent Variable is RCLP

Date: 09/08/99 Time: 13:12

Sample (adjusted): 3 11 92

Included observations: 1190 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 50 iterations

                                   Std.
Variable             Coefficient   Error      t-Statistic

C                      -0.002680   0.007493     -0.357667
RCLP(-1)                0.009533   0.036193      0.263397

                             Variance Equation

C                       0.003331   0.000379      8.795954
ARCH(1)                 0.203736   0.013769      14.79722
GARCH(1)                0.807909   0.009575      84.37603

R-square               -0.003345   Mean dependent var

Adjusted R-squared     -0.006732   S.D. dependent var

S.E. of regression      0.373115   Akaike info criterion

Sum squared resid      164.9699    Scwartz criterion

Log likelihood        -342.7306    Durbin-Watson stat

Variable               Prob.

C                      0.7207
RCLP(-1)               0.7923

                       Variance Equation

C                      0.0000
ARCH(1)                0.0000
GARCH(1)               0.0000

R-square               0.021838
Adjusted R-squared     0.371866
S.E. of regression    -1.967542
Sum squared resid     -1.946191
Log likelihood         1.899904

Cuadro 7

               A          B          C          D

1                         C    0.003331    Modelo
2                    ARCH(1)   0.203736         C
3                   GARCH(1)   0.807909   RCLP(-1)
4
5           Date        c|p
6     Ene 2, 1995     402.92   Retorno         sd
7     Ene 3, 1995     401.69      -0.31
8     Ene 4, 1995     403.81       0.53     0.1496
9     Ene 5, 1995     403.27      -0.13    0.2790
10    Ene 9, 1995      404.4       0.28     0.2644
11    Ene 9, 1995     406.03      0.40      0.2752

               A          E          F          G

1
2                   -0.00268
3                    0.009533
4
5           Date
6     Ene 2, 1995                 2.86%
7     Ene 3, 1995                            Peso
8     Ene 4, 1995   -0.14958                403.81
9     Ene 5, 1995   -0.27903                403.27
10    Ene 9, 1995   -0.26435                404.40
11    Ene 9, 1995   -0.27521                406.03
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Author:Johnson, Christian A.
Publication:Revista Latinoamericana de Administracion
Date:Jan 1, 2005
Words:11510
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