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Metodologia para el uso de la tecnica de localizacion de raices en la planeacion de rutas para robots moviles.

Methodology for using root locus technique for mobile robots path planning

INTRODUCCION

Uno de los problemas mas evaluados en el area de la robotica es la planeacion de rutas libres de obstaculos para robots moviles autonomos, los cuales se encuentran inmersos en ambientes con obstaculos conocidos. Las investigaciones han mostrado gran variedad de enfoques; esto, sumado a que en la actualidad se siguen haciendo nuevas propuestas al respecto, da a entender que no existe una solucion absoluta al problema y que sigue siendo un nicho de investigacion activo. Entre las diferentes tecnicas exploradas para solucionar el problema de la planeacion de rutas para robots moviles con sensores externos (Ziaei, Oftadeh, & Matilla, 2014) se encuentran: campos de potenciales artificiales (Maarouf & Saliah-Hassane, 2011; MinHo, Jung-Hun, Yuanlong, & Min-Cheol, 2011), diagramas de Voronoi (Vachhami, Mahindrakar, & Sridharan, 2010), grafos de visibilidad (Ganguli, Cortes, & Bullo, 2009), entre otros. La mayoria de estas tecnicas estan soportadas por medio de algoritmos o tecnicas de procesamiento de imagenes, con el fin de hacer un procesamiento previo de las imagenes entregadas por la camara y entregar una version simplificada del entorno, incluyendo ubicacion del robot, punto de llegada y obstaculos, al algoritmo principal de planeacion (Yi-Han, MingChang, I-Hsum, Wei-Yen, & Shun-Feng, 2013).

Por otra parte, la localizacion de raices es una tecnica utilizada para el calculo y sintonizacion de compensadores o controladores en sistemas dinamicos (Hellerstein, Diao, Parekh, & Tillbury, 2004; Ogata, 2010; Ordonez L., Martinez S., & Garcia B., 2013). Partiendo de un sistema dinamico con raices complejas, esta tecnica genera una grafica con las trayectorias reciprocas de dichas raices en un plano complejo, ante la inclusion de un lazo de retroalimentacion negativo (Rairan A., 2007). Las trayectorias generadas se pueden definir como funciones parametricas de geometria conforme (Landi & Paoletti, 1995), por tanto la mayoria tiene una forma curva. A su vez, cada una de estas trayectorias se caracteriza por avanzar continuamente desde un polo hasta un cero del sistema.

Dadas las caracteristicas de las trayectorias que se pueden generar por medio de la localizacion de raices, el presente articulo propone utilizarlas como una posible solucion al problema de la planeacion de rutas libres de obstaculos para robots moviles con sensores externos. Para esto, el punto de partida y el de llegada del robot se ven plasmados como un polo y un cero respectivamente, ubicados en el plano complejo.

Conociendo el hecho de que ante la variacion continua de una retroalimentacion negativa los polos de un sistema dinamico tienden en una trayectoria parametrica determinada hacia los ceros en el plano complejo, se procede a analizar el procedimiento para aplicar esta tecnica para el calculo de rutas libres de obstaculos para robots moviles con sensores externos. Se busca principalmente formular una metodologia que permita la aplicacion practica de esta tecnica en un entorno real. Dicho entorno es un robot en un ambiente rectangular con uno o varios obstaculos distribuidos en el; todo esto es capturado en imagenes por medio de una camara ubicada en la parte superior, perpendicularmente al suelo.

METODOLOGIA

Localizacion de raices

La localizacion de raices es utilizada para el analisis de la respuesta en tiempo y calculo de controladores en sistemas dinamicos. Esta consiste en partir de un sistema dinamico predeterminado, con un numero y ubicacion de raices fijo y agregarle una retroalimentacion negativa, por lo general una ganancia proporcional; de tal forma que la ubicacion de cada uno de los polos o raices del denominador sea en funcion de esta ganancia. Se parte de un sistema dinamico con una funcion de transferencia con un polo y un cero, ambos reales, como el mostrado en la ecuacion (1), donde--a y --b son las posiciones del cero y el polo en el plano complejo respectivamente.

H(s) = (s + a)/(s + b) (1)

Se aplica una ganancia proporcional k en retroalimentacion negativa como la mostrada en la figura 1. Del diagrama de bloq ues de la figura 1 y aplicando algebra de bloques se obtiene la nueva funcion de transferencia de las ecuaciones (2) y (3), las cuales estan en funcion de k.

H(s) = 1/(k + 1) * (s + a)/(s + (ak + b)/(k + 1)) (2)

H(s) = 1/(k + 1) * (s + a)/(s + (a + b/k)/(1 + 1/k)) (3)

Aplicando la ganancia proporcional se modifica la ganancia total del sistema, asi como la posicion del polo, quedando intacto el cero. Tanto la ganancia como el polo quedan ahora en funcion de la ganancia k, por tanto se puede variar gradualmente el valor de k y graficar la trayectoria formada por todas las posibles posiciones del polo del sistema. Si la ganancia k es cero, de la ecuacion (2) se obtiene que la posicion del polo es --b, es decir que se ubica en su posicion original. Cuando k tiende a infinito, la posicion del polo es ahora la misma posicion del cero del sistema, como se puede apreciar en la ecuacion (3). De lo anterior se concluye que en un sistema dinamico con un polo y un cero, ambos reales, se puede graficar una trayectoria continua partiendo desde el polo hacia el cero si realizamos una retroalimentacion negativa con una ganancia proporcional k, donde dicha trayectoria se define como una funcion parametrica de k en un plano complejo. Para el ejemplo propuesto, la trayectoria es una linea recta horizontal desde el polo hacia el cero, debido a que se tratan de raices reales. Esto se puede observar en la figura 2.

Se puede inferir que la trayectoria se genera debido a que la posicion del polo del sistema se ve atraida hacia la ubicacion del cero, cuando se aplica una ganancia en retroalimentacion negativa. Asi mismo cuando se tienen sistemas con multiples polos y ceros, como el de la ecuacion (4). Se tienen tantas trayectorias como el orden mayor de los polinomios de numerador y denominador de la funcion de trasferencia, es decir max(m, n), donde m es el numero de polos y n el de ceros.

H*(s) = [[PI].sup.n.sub.i=0](s + a)/[[PI].sup.m.sub.j=0](s + [b.sub.j])

En la figura 3 se muestra la grafica de localizacion de raices de un sistema con cuatro polos complejos conjugados, cuatro ceros complejos conjugados y un polo real. En el caso de tener raices complejas, es necesario que estas siempre sean conjugadas con respecto a la coordenada imaginaria, esto produce que las trayectorias sean reciprocas con respecto al eje real. En este caso cada polo tiende hacia un cero, generando cuatro trayectorias simetricas en pares con respecto al eje real del plano complejo; el polo restante tiende hacia el infinito, dado que no existe ningun otro cero hacia el cual avanzar. Notese que existe una unica trayectoria que une cada polo con un cero, pero esta se ve afectada por el resto ceros existentes.

Las trayectorias generadas con este metodo se pueden definir como funciones parametricas de geometria conforme (Landi & Paoletti, 1995), es decir que las trayectorias generadas para sistemas de orden 2 coinciden con segmentos de circunferencia. Para sistemas de orden superior, la forma de dichas trayectorias puede variar dependiendo del orden mismo de los polinomios de numerador y denominador del sistema dinamico; estas pueden ser: rectas, parabolicas, circulares, elipticas y curvas complejas. A su vez, cada una de estas trayectorias se caracteriza por avanzar continuamente desde un polo hasta un cero del sistema, presentando repulsion entre raices del mismo tipo y atraccion entre tipos diferentes de raices, de forma similar a como lo hacen las cargas que representan el robot, el punto de llegada y los obstaculos en la tecnica de campos de potenciales artificiales (Maarouf & Saliah-Hassane, 2011).

Caracterizacion de la tecnica de localizacion de raices

Adicional al comportamiento basico descrito de los polos en la tecnica de localizacion de raices, existen otras caracteristicas importantes para tener en cuenta antes de realizar una implementacion completa de planeacion de rutas. La primera es que la escala de la posicion de las raices no cambia la forma de la trayectoria generada. Si partimos de un sistema dinamico con dos polos y dos ceros complejos conjugados como el mostrado en la ecuacion (5), y si se aplica un factor de escala [sigma] (ecuacion (6)), la forma de la trayectoria resultante no se vea afectada, como se muestra en la figura 4).

H(s) = (s + a + ci)(s + a -ci)/(s + b + di)(s + b - di) (5)

[H.sub.2](s) (s + [sigma](a + ci))(s + [sigma](a - ci))/(s + [sigma](b + di))(s + [sigma](b - di)) (6)

Por otro lado, asi como las trayectorias generadas por cada par de polos complejos conjugados son reciprocas, es decir que son simetricas con respecto al eje real, si se tiene la misma disposicion de polos y ceros en dos sistemas diferentes, pero se intercambia el semiplano derecho por el izquierdo, las trayectorias generadas para los dos sistemas presentan simetria con respecto al eje imaginario. Esto se puede observar en la figura 5).

Sabiendo que cada polo de un sistema avanza por una trayectoria definida hasta alcanzar la posicion de un polo, se puede decir tambien que se genera la misma trayectoria si se parte de un punto p(a,c) hacia un punto q(b,d) o viceversa. Es decir que las trayectorias de las raices de los sistemas mostrados en las ecuaciones (5) y (7) son iguales, tal como se muestra en la figura 6.

H(s) = (s + b + di)(s + b - di)/(s + a + ci)(s + a - ci) (7)

Las trayectorias generadas para sistemas con un par de polos y de ceros complejos tiende hacia arriba en el semiplano superior y hacia abajo en el semiplano inferior. En la figura 7 se muestran las graficas de localizacion de cuatro sistemas dinamicos diferentes sobrepuestos uno al otro en los cuadrantes superior e inferior derecho. Se observa la tendencia que tienen las curvas generadas alejandose del eje real, asi como tambien se ve una trayectoria totalmente recta, en el sistema cuyo polo y cero comparten la misma coordenada real.

La forma de las trayectorias de los polos se define por medio de funciones parametricas en un plano complejo, la cual depende de la ubicacion de todas las raices del sistema dinamico representado, por tal razon hallar una funcion generalizada para un sistema de orden superior es una tarea demasiado ardua, de tal forma que se procede a utilizar el algoritmo de root locus en el software MATLAB[R].

Utilizacion de la tecnica de localizacion de raices

Una vez conocidas las caracteristicas morfologicas de las trayectorias generadas a partir de la tecnica de localizacion de raices en el plano complejo, se procede a plantear un procedimiento metodologico para su utilizacion como tecnica de planeacion de rutas libres de obstaculos para robots moviles. Dicho procedimiento metodologico consiste en tres pasos. Primero se identifican las coordenadas del robot y de los obstaculos utilizando algoritmos de procesamiento de imagenes; luego se genera la funcion de transferencia del sistema dinamico ubicando raices en las coordenadas previamente obtenidas. Finalmente se obtiene la grafica de root locus correspondiente a las rutas viables para la navegacion del robot.

Captura y procesamiento de las imagenes del entorno

La captura y procesamiento de las imagenes del entorno es el paso previo a la aplicacion del algoritmo de localizacion de raices. Su objetivo es entregar la menor cantidad posible de informacion al algoritmo de planeacion, es decir que de una imagen a color con el robot, los obstaculos y la marcacion del punto de llegada se obtenga una imagen en blanco y negro con los obstaculos, las coordenadas de ubicacion y la orientacion del robot y las coordenadas del punto de llegada (Torres, Viafara, & Martinez S., 2014). Esto se realiza utilizando diversos algoritmos de procesamiento de imagenes, tales como segmentacion por colores y calculo de centroides (Akita, Watanabe, Tooyama, Miyami, & Yoshimoto, 2003).

El algoritmo de segmentacion por colores consiste en extraer de la imagen del escenario unicamente las partes de la imagen de determinado color, en este caso los marcadores ubicados sobre el robot, en el punto de llegada y el color de los obstaculos (Torres, Viafara, & Martinez S., 2014).

Localizacion de las raices en los puntos clave del escenario

Para utilizar la tecnica de localizacion de raices para la navegacion de robots es necesario hacer coincidir el sistema coordenado de la imagen original del escenario con el del plano complejo. Teniendo en cuenta que el sistema coordenado de una imagen digital avanza de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, esta se hace coincidir con el cuadrante superior derecho del plano complejo para obtener solo distancias y posiciones positivas. Para lo cual es necesario una transformacion entre el sistema coordenado de la imagen de entrada ([x.sub.1] [y.sub.1]) y el sistema coordenado del plano complejo ([x.sub.2], [y.sub.2]), como lo definen las ecuaciones (8) y (9), donde S es el factor de escala y [max.sub.yi] es el maximo numero de pixeles en la coordenada y, de la imagen de entrada.

[x.sub.2] = S * [x.sub.1] (8)

[y.sub.2] = 5 * ([max.sub.yi] - [y.sub.i]) (9)

La figura 8 muestra la transformacion correspondiente a la imagen de entrada a coordenadas en el plano complejo. Se observa en la parte izquierda la imagen de entrada y sobre el fondo negro se identifica el punto de partida en azul, el punto de llegada en rojo y los obstaculos en blanco. En la parte derecha se observa el mapeo de los puntos de partida y llegada y el obstaculo. Aunque para esta aplicacion solo se visualiza uno de los cuadrantes del plano complejo, cabe recordar que todas las raices del sistema dinamico son complejas conjugadas, es decir que se tiene un comportamiento simetrico con respecto al eje real en el cuadrante inferior derecho. Para este ejemplo se tiene una imagen de entrada de 500 * 500 pixeles y el semiplano de salida va desde 0 a 10 en cada uno de los ejes coordenados, lo cual implica el uso de un factor de escala S de 0,02.

Despues de conocer la ubicacion exacta del robot y del punto de llegada se localizan sobre estos un polo y un cero respectivamente, de tal forma que al realizar la grafica de root locus se obtiene una trayectoria semicircular entre el punto de llegada y el punto de salida como se muestra en la figura 9.

La trayectoria inicial generada depende unicamente del punto de partida y del de llegada, sin tener en cuenta el obstaculo. Por tal motivo esta trayectoria puede producir una colision del robot con alguno de los obstaculos (figura 9).

Por lo tanto es necesario ubicar mas raices con el fin de desviar la trayectoria original de los obstaculos presentes, para esto se proponen tres metodos diferentes los cuales usan como referencia diferentes puntos clave de cada obstaculo. El primer metodo es la localizacion de las raices usando el centro de los obstaculos, el segundo es usando los vertices de los obstaculos y el tercero, usando el borde de los obstaculos

Para los tres metodos propuestos es necesario ubicar al menos dos raices (un polo y un cero) por cada obstaculo, a una distancia relativamente corta entre ellas, con el fin de que se genere una trayectoria nueva entre este par de raices y no se presente entrecruzamiento con el polo y el cero originales (figura 10), pero que a su vez afecten la trayectoria original.

RESULTADOS

El primer metodo consiste en ubicar un polo y un cero muy cerca al centro del objeto, a una distancia muy pequena entre estos; para este caso se define como distancia entre raices del obstaculo la centesima parte del tamano maximo del escenario, en coordenadas del plano complejo. Ademas, tanto el polo como el cero deben ser ubicados desde el centro del obstaculo en direccion hacia su igual de la trayectoria original con el fin de evitar entrecruzamiento (figura 10, derecha) de trayectorias (figura 11).

Adicionalmente, en la figura 11 se puede apreciar que a pesar de que la trayectoria original se ve afectada por el nuevo par de raices, la desviacion no es lo suficientemente grande como para evitar la colision con el obstaculo. Esto se soluciona aumentando la distancia de separacion entre las nuevas raices.

En el segundo metodo se ubican un polo y un cero en los vertices del obstaculo mas cercanos a las raices de la trayectoria original. Adicionalmente, tanto el polo como el cero deben ser ubicados en el vertice mas cercano a su igual de la trayectoria original para evitar entrecruzamiento, como se aprecia en la figura 12.

Este metodo minimiza altamente el riesgo de colision del robot con el obstaculo (en el caso de obstaculos con una alta simetria radial evita por completo la colision), pero genera trayectorias bastante amplias que en dependencia de la ubicacion de los obstaculos con respecto al escenario pueden sobrepasar los limites de este, lo que implica una colision con las paredes del escenario en la aplicacion real.

En el tercer metodo se procede a ubicar un polo y un cero sobre las intersecciones de los bordes del obstaculo y la trayectoria original. De la misma forma que los metodos anteriores, para evitar el entrecruzamiento de las raices, el polo y el cero deben ser ubicados en el punto mas cercano a su igual de la trayectoria original, en este caso el punto de cruce mas cercano a cada una de las raices del mismo tipo, como se ve en la figura 13.

Este metodo genera una trayectoria circular de desvio sobre la trayectoria principal, como se ve en la figura 13, donde se observa que la ruta generada evita la colision (izquierda), pero si el obstaculo esta levemente desplazado, se puede producir entrecruzamiento o la trayectoria obtenida produce colision con el obstaculo (derecha).

En los tres metodos empleados para la generacion de rutas libres de obstaculos para robots moviles se limitaron a un solo obstaculo en el escenario. Se realizaron 20 pruebas para cada metodo ubicando arbitrariamente el obstaculo, despues de lo cual se obtuvieron los resultados mostrados en la tabla 1.

La efectividad se calculo como la proporcion entre las pruebas sin colision y el total de estas. Lo anterior muestra que el metodo 1 evita en mayor medida las colisiones tanto con el obstaculo como con los bordes del escenario. El metodo 2 muestra que evita cualquier colision con el obstaculo, pero genera una trayectoria tan amplia que muchas veces colisiona con el escenario. El metodo 3 genera muchas colisiones con el obstaculo, por eso su baja efectividad.

Las 20 pruebas se realizaron con imagenes con resolucion de 450*450 pixeles, con las cuales se utiliza una modificacion de la tecnica de procesamiento de imagenes llamada crecimiento de regiones (Xiaoqi, Jianshuai, Xiaoying, Zhang, & Li, 2014), ampliamente empleada en segmentacion de imagenes medicas, para realizar un conteo de la longitud por medio de pixeles de cada una de las trayectorias validas. Teniendo en cuenta la longitud de una trayectoria ideal hallada con el algoritmo de planeacion de rutas BUG (Langer, Coelho, & Oliveira, 2007) de 253 pixeles, se calcula la longitud relativa de cada trayectoria y la longitud relativa promedio sobre las 20 pruebas para cada metodo. Los resultados se resumen en la tabla 2.

La longitud relativa es calculada como la relacion entre el numero de pixeles de la trayectoria de referencia y el numero de pixeles de las trayectorias obtenidas con cada una de los metodos. El resultado es que el metodo 1 obtiene trayectorias mas cortas en promedio que los otros dos metodos probados.

CONCLUSIONES

La caracterizacion realizada sobre las trayectorias generadas usando la tecnica de localizacion de raices en el plano complejo muestra que principalmente se pueden obtener curvas semicirculares para sistemas de orden bajo y curvas complejas para sistemas de orden superior, siendo solo posibles lineas rectas de forma vertical (solo son posibles lineas horizontales sobre el eje real). Este hecho imposibilita la obtencion de lineas rectas diagonales, las cuales podrian ser la solucion optima en algunos de los posibles escenarios presentes.

La seleccion entre un polo o un cero para el punto de partida y por tanto su contraparte parar el punto de llegada es indiferente a la trayectoria inicial obtenida, solo teniendose en cuenta a la hora de ubicar las raices correspondientes a los obstaculos.

La escala del plano complejo tampoco tiene efecto sobre la forma de la trayectoria obtenida, por lo que es posible realizar una conversion del sistema coordenado de la imagen de entrada hacia el plano complejo omitiendo el factor de escala S.

Los metodos planteados presentan un mapeo fijo de la imagen del escenario a uno de los cuadrantes del plano complejo; si a esto se le suma que el comportamiento de las trayectorias generadas por root locus presenta convexidad con respecto al eje real, se obtiene un juego de trayectorias limitadas con una tendencia definida que no depende de los obstaculos presentes en el escenario.

Basta con localizar un par de raices (un polo y un cero) en cada obstaculo para obtener un efecto de repulsion del robot hacia el obstaculo, teniendo en cuenta que estos deben estar ubicados basandose en puntos clave del obstaculo, pero siempre en direccion a su equivalente en la trayectoria original (punto de partida o llegada). En dado caso de que no se ubiquen correctamente las raices, se puede dar el efecto de entrecruzamiento de raices produciendo trayectorias con colisiones, lo cual hace que la metodologia propuesta sea sensible a pequenos cambios en la posicion de los obstaculos.

El metodo de ubicar las raices en los vertices del obstaculo evita totalmente la colision con un obstaculo radialmente simetrico, pero aumenta la probabilidad de colision con las fronteras del escenario (tabla 1) y genera trayectorias mucho mas largas (tabla 2).

El tercer metodo que consiste en ubicar las nuevas raices en las intersecciones del borde del obstaculo y la trayectoria original presenta unas trayectorias relativamente cortas, pero con probabilidades altas de colision con el obstaculo.

Despues de las pruebas realizadas se concluye que la mejor opcion es el primer metodo planteado (ubicar un polo y un cero cerca del centro del obstaculo), ya que aunque en algunas ocasiones presenta colisiones con el obstaculo, muestra un mejor promedio de efectividad con respecto a los otros dos metodos (tabla 1 y tabla 2).

TRABAJO FUTURO

Para mejorar la eficiencia del metodo que ubica un polo y un cero en el centro del obstaculo, se puede aumentar la separacion entre ellos; pero al ser esto un problema que depende tambien de la forma de los obstaculos, se puede hacer que dicha separacion dependa del tamano del objeto, lo cual se logra usando tecnicas de procesamiento de imagenes.

Es posible plantear otro metodo usando el punto mas cercano del borde del obstaculo en lugar de los vertices para ubicar las raices.

Se puede utilizar un algoritmo de dilatacion de imagenes sobre la imagen de entrada, con el fin de que cada obstaculo tenga en cuenta el radio minimo del robot, ya que hasta el momento se trata al robot como un punto en el escenario. Asi mismo, se puede pensar en calcular el esqueleto de la imagen de los obstaculos y usarla como referencia para obtener los puntos clave en la ubicacion de raices. Esto se plantea pensando en que el esqueleto es una representacion simplificada del mismo obstaculo, el cual lo puede caracterizar de mejor forma. Dado que los metodos planteados funcionan unicamente para escenarios con un obstaculo, se pueden plantear otros para el problema de multiples obstaculos.

Es posible realizar un algoritmo que ubique de forma adaptativa los polos y ceros de sistema partiendo de su ubicacion base, con el fin reducir al minimo la sensibilidad de la metodologia planteada a los pequenos cambios de posicion del obstaculo.

DOI: http://dx.doi.org/10.14483/udistrital.jour.tecnura.2015.4.a04

Fecha de recepcion: 12 de noviembre de 2014

Fecha de aceptacion: 24 de agosto de 2015

REFERENCIAS

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Mario Ricardo Arbulu Saavedra (1), Fernando Martinez Santa (2), Holman Montiel Ariza (3)

(1) Ingeniero Mecanico Electrico, magister en Ingenieria Electrica, Electronica y Automatica, doctor en Ingenieria Electrica, Electronica y Automatica. Director de investigacion Escuela de Ingenieria, Corporacion Unificada Nacional de educacion superior CUN, Profesor Asociado Ingenieria Informatica Universidad de la Sabana, integrante del grupo de Investigacion CAPSAB. Bogota Colombia. Contacto: mario_arbulu@cun.edu.co, mario.arbulu@unisabana.edu.co

(2) Ingeniero en Control Electronico e Instrumentacion, magister en Ingenieria Electronica y de Computadores. Docente Investigador Ingenieria Electronica, Corporacion Unificada Nacional de educacion superior CUN. Bogota Colombia. Contacto: fernando_martinez@cun.edu.co

(3) Ingeniero en Control Electronico e Instrumentacion, especializacion en Telecomunicaciones, candidato a magister en Seguridad Informatica. Docente Asistente Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas. Bogota, Colombia. Contacto: hmontiela@udistrital.edu.co

Leyenda: Figura 1. Retroalimentacion negativa.

Leyenda: Figura 2. Grafica de localizacion de raices para la funcion de trasferencia de la ecuacion (2), con a = -2 y b=-5.

Leyenda: Figura 3. Grafica de localizacion de raices para una funcion de trasferencia con 5 polos y 4 ceros.

Leyenda: Figura 4. Grafica del cuadrante superior izquierdo de la localizacion de raices para un sistema con ceros en -1+i, -1-i y polos en -9+9i, -9-9i (parte media), con [sigma] = 0.001 (superior) y con [sigma] = 1000 (inferior).

Leyenda: Figura 5. Grafica del cuadrante superior izquierdo de la localizacion de raices para un sistema con ceros en -1+i, -1-i y polos en -9+9i, -9-9i (superior) y del cuadrante superior derecho para un sistema con ceros en 1+i, 1-i y polos en 9+9i, 9-9i (inferior).

Leyenda: Figura 6. Grafica del cuadrante superior derecho de la localizacion de raices para un sistema con ceros en 1+i, 1-I y polos en 9+9i, 9-9i (superior) y para un sistema con ceros en 9+9i, 9-9i y polos en 1+i, 1-i (inferior).

Leyenda: Figura 7. Grafica del semiplano derecho de la localizacion de raices para cuatro sistemas diferentes, cada una con dos ceros y dos polos complejos conjugados.

Leyenda: Figura 8. Conversion de coordenadas entre la imagen del escenario y el plano complejo.

Leyenda: Figura 9. Trayectoria inicial desde el punto de partida hasta el de llegada.

Leyenda: Figura 10. Problemas de entrecruzamiento de las nuevas raices con las originales. Izquierda: uso de una sola raiz (un polo), derecha: uso de dos raices mal ubicadas.

Leyenda: Figura 11. Trayectoria obtenida ubicando un polo y un cero cerca al centro del obstaculo.

Leyenda: Figura 12. Trayectoria obtenida ubicando un polo y un cero en los vertices del obstaculo mas cercanos a las raices originales

Leyenda: Figura 13. Trayectoria obtenida ubicando un polo y un cero en los puntos de cruce entre el borde del obstaculo y la trayectoria generada por las raices originales.
Tabla 1. Comparativa entre
metodos de ubicacion de
raices de los obstaculos en
20 pruebas diferentes.

Metodo   Colisiones con   Colisiones con   Rutas validas
         el obstaculo     el escenario

1              4                3               13
2              0                9               11
3              9                3                9

Metodo   Efectividad [%]

1              65
2              55
3              45

Fuente: Elaboracion propia

Tabla 2. Longitud promedio de las trayectorias obtenidas.

Metodo   Longitud Promedio [pixeles]   Longitud relativa Promedio [%]

1        295                           116.6
2        351                           138.7
3        320                           126.5

Fuente: Elaboracion propia.
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Title Annotation:Investigacion
Author:Arbulu Saavedra, Mario Ricardo; Martinez Santa, Fernando; Montiel Ariza, Holman
Publication:Revista Tecnura
Date:Oct 1, 2015
Words:5547
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