Printer Friendly

Metodologia para comparar comisiones por flujo y saldo en fondos de pensiones.

Methodology to compare front-end load and balance fees in pension funds

1. INTRODUCCION

Durante el ultimo cuarto del siglo pasado muchos paises latinoamericanos reformaron sus sistemas pensionarios, migrando total o parcialmente de sistemas publicos de reparto a sistemas privados con cuentas individuales de capitalizacion (CIC). Los sistemas de reparto antes mencionados generaron importantes deficit fiscales, esto debido a que en su momento no se realizaron los ajustes necesarios para garantizar su viabilidad, sostenibilidad y solvencia. Asimismo, malas politicas economicas redujeron el crecimiento de los paises, lo que coadyuvo a la crisis de los sistemas publicos. Fue en este contexto que se introdujeron cambios parametricos a dichos sistemas (incremento de la edad de jubilacion y las contribuciones, limites a la jubilacion anticipada y racionalizacion de beneficios), y se llevaron a cabo reformas estructurales basadas en la introduccion de nuevos sistemas pensionarios basados en CIC. (1) Segun Banco Mundial (1994) y Escriva et al. (2010), mediante estos nuevos sistemas se buscaba adaptarse a los nuevos riesgos y retos que imponian a los paises la vulnerabilidad de las finanzas publicas, los cambios en las tasas de natalidad, la mayor longevidad de la poblacion, los problemas de eficiencia en la administracion publica y el mayor desarrollo potencial de los mercados financieros.

Mesa-Lago (2004) menciona que los beneficios mas notorios de las reformas estructurales realizadas han sido (2) (entre otras): un mayor alineamiento entre las contribuciones y el monto de la pension, el reconocimiento de las cotizaciones aportadas al sistema publico, la determinacion de una pension minima en varios paises, la eliminacion del monopolio del sistema publico, la homologacion en las normas para determinar el calculo de las pensiones, la introduccion de la competencia entre Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP), la rapida tramitacion de pensiones, la posibilidad de la eleccion de un fondo segun perfiles de riesgo, y la creacion de organismos tecnicos regulatorios. Sin embargo, actualmente se sugiere llevar a cabo una nueva serie de reformas cuyos retos fundamentales, considerados en Kritzer et al. (2011) y Escriva et al. (2010), son: aumentar la cobertura y competencia de los sistemas previsionales, reducir sus costos de administracion, lograr el cumplimiento del pago de cotizaciones, desarrollar el mercado de capitales, mejorar la diversificacion de la cartera administrada, y promover la equidad de genero y la solidaridad. En razon a los retos antes mencionados, el presente articulo estudia algunos aspectos importantes relacionados con la comparacion y analisis de diferentes tipos de comisiones de administracion.

Dos caracteristicas importantes de un sistema pensionario con CIC son el hecho que el afiliado asume el riesgo derivado por la fluctuacion del valor de los activos administrados, y que ademas los cargos administrativos (comisiones) cobrados por las AFP tienen un impacto importante en el balance final de las CIC. (3) Mas aun, como se menciona en James et al. (2001), Whitehouse (2001) y Mitchell (1998), una de las principales criticas a los sistemas con CIC es su elevado costo, pues este hecho no incentiva la participacion, dana la imagen del sistema en su conjunto, reduce futuras pensiones e incrementa los costos futuros para el gobierno de existir una pension minima garantizada. De acuerdo con Kritzer et al. (2011), los cargos administrativos mas comunes en sistemas de pensiones con CIC son: proporcionales por flujo (expresados como un porcentaje del salario o contribucion), fijos por flujo, proporcionales por saldo y proporcionales sobre rendimientos en exceso. (4) El presente articulo analiza unicamente las comisiones proporcionales por flujo y saldo, las que son los tipos mas comunes e importantes en Latinoamerica. Para Queisser (1998) la comision por flujo es mas ventajosa para las AFP en la fase inicial del sistema, y a pesar que la comision por saldo alinea los objetivos de las AFP en terminos de incrementar la rentabilidad del fondo, esta tiende a ser mas cara en el largo plazo debido a que las CIC se incrementan en valor. Ademas, Shah (1997) afirma que la comision por flujo genera distorsiones y tendencias indeseables como promover altos costos de instalacion de las AFP, desalentar la competencia del sistema y generar perdidas para los afiliados de mayor edad.

La forma tradicional de comparar comisiones por saldo y flujo es por medio de los valores esperados de las CIC (bajo ambos esquemas de cobro) al final del periodo de acumulacion. Para desarrollar tal comparacion se necesitan algunos supuestos acerca de la rentabilidad del fondo y la estructura futura de los aportes del afiliado. Tal enfoque se utiliza en Shah (1997), Diamond (2000), Blake y Board (2000), Whitehouse (2001), Devesa-Carpio (2003) y Gomez-Hernandez y Stewart (2008), y este tambien es el metodo estandar para determinar comisiones de equivalencia. Es en esta linea que la principal contribucion del articulo se encuentra en desarrollar metodos alternativos para comparar dichas comisiones, y analizar su sensibilidad ante cambios en ciertos parametros importantes, en especial la aversion al riesgo del afiliado, la densidad de cotizacion (5) y la tasa siguientes variables: los valores futuros de las comisiones esperadas a cobrar, las inversas de los coeficientes de variacion de los fondos finales y las utilidades esperadas de riqueza terminal de las CIC. Ademas, se desarrolla un modelo simplificado para determinar la equivalencia de comisiones desde el punto de vista de la AFP. Este ultimo modelo completa el estudio, pues los metodos de comparacion mencionados previamente se desarrollan desde la perspectiva del afiliado.

Comparar los esquemas por flujo y saldo por medio del valor futuro de las comisiones esperadas cobradas al afiliado permite expresar el problema desde un punto de vista distinto al de saldos finales esperados en las CIC, y ayuda a modelar los ingresos por comisiones de las AFP. Pero lo mas importante es que se derivan condiciones que hacen que este criterio brinde exactamente la misma informacion que la obtenida con la comparacion de los ratios de carga (6) y los valores finales esperados de las CIC. Por lo demas, el coeficiente de variacion del fondo final del afiliado nos indica el riesgo que se asume por cada unidad monetaria de fondo final acumulado, con lo que un menor coeficiente de variacion implicaria una mejor relacion riesgo-rendimiento en la acumulacion final. Por tal razon podemos utilizar este criterio (o su inversa) para contrastar las dos formas de cobro. Para poder aplicar este metodo es fundamental calcular la varianza del fondo final del afiliado; es por ello que se introduce el movimiento browniano geometrico como proceso estocastico para el valor cuota del fondo de pensiones. Bajo este proceso se pueden obtener expresiones analiticas para la varianza del fondo final, lo que permite la derivacion de propiedades importantes de los coeficientes de variacion. Mas aun, dichas propiedades seran utiles en la comparacion mediante las utilidades terminales esperadas.

Como se indica al final del parrafo anterior, tambien es posible comparar los saldos finales de las CIC bajo saldo y flujo por sus respectivas utilidades esperadas terminales. La metodologia implementada no permite (por lo general) encontrar expresiones analiticas para tales utilidades. Debido a este hecho y con la finalidad de establecer resultados explicitos, se asume para el desarrollo teorico una funcion de utilidad cuadratica (en este punto resultan utiles los resultados teoricos acerca del coeficiente de variacion) y se analiza el efecto que tienen la aversion al riesgo y la densidad de cotizacion en la comparacion. En general, se puede concluir que la comision por saldo mejora su desempeno al incluir e incrementar la aversion al riesgo. Sin embargo, la densidad de cotizacion no tendria un efecto muy relevante en la comparacion de comisiones. Estos resultados se corroboran con estudios de simulacion para una funcion de utilidad isoelastica.

El ultimo metodo de comparacion trata de encontrar comisiones de equivalencia por flujo y saldo desde el punto de vista de una AFP. Dicha equivalencia se logra al igualar los valores presentes de los ingresos generados por ambos tipos de comision. Asimismo, bajo ciertos supuestos es posible evitar el calculo de las tasas de descuento requeridas y basarnos en valuacion bajo el supuesto de no arbitraje. En los experimentos numericos se encuentran tales comisiones de indiferencia y se contrastan con las obtenidas bajo los otros metodos de comparacion estudiados.

La estructura del presente trabajo de investigacion es la siguiente: en la Seccion 2 se propone una metodologia de modelacion y comparacion de las comisiones por flujo y saldo. En la Seccion 3 se incluye el estudio del efecto de la densidad de cotizacion en la comparacion de ambos tipos de comision. La aplicacion practica de la metodologia propuesta al Sistema Privado de Pensiones del Peru se realiza en la Seccion 4. Finalmente, en la Seccion 5 se concluye, se brindan ciertas recomendaciones y se proponen algunas extensiones para la metodologia.

2. METODOLOGIA (7)

Consideremos i [elemento de] Z y T [elemento de] [N.sup.+] tales que 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T -1. El indice i representa un mes particular, y T es el numero de meses que faltan para la jubilacion del afiliado. Asumimos que el valor cuota, V, de un fondo de pensiones representativo de una AFP en el tiempo t [elemento de] [R.sup.+] (meses) satisface la siguiente ecuacion diferencial estocastica (EDE):

(1) dV(t) = [my]V (t)dt + [sigma]V (t)dB(t), V (0) = [V.sub.0].

Donde [my] es la tasa de crecimiento del valor cuota por unidad de tiempo (meses), [sigma] la volatilidad del retorno logaritmico mensual del mismo, [V.sub.0] es el valor cuota inicial, y el proceso estocastico B es un movimiento browniano estandar unidimensional. (8) La EDE en (1) es una especificacion comun para modelar el valor cuota, pues es muy utilizada en modelos de control estocastico para fondos de pensiones. (9) A continuacion describiremos con mas detalle las comisiones por saldo y flujo utilizando una estructura similar a la proporcionada en Shah (1997), Diamond (2000), Blake y Board (2000), Whitehouse (2001), Devesa-Carpio (2003) y Gomez-Hernandez y Stewart (2008).

2.1. Comision por saldo

Sea [delta] > 0 la comision por saldo mensual expresada en tiempo continuo. (10) Ademas, en el mes i el afiliado aporta una suma [W.sub.i] > 0 a su fondo de capitalizacion individual. Si el valor cuota, V, se normaliza a la unidad en el periodo i, entonces el aporte [W.sub.i] equivale al mismo numero de cuotas. Es decir, que para t [greater than or equal to] i, y basandonos en la EDE (1), el aporte realizado en i seguiria el siguiente movimiento browniano geometrico (MBG):

(2) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Al afiliado le interesa determinar el valor final de su fondo, [W.sub.s] (T), el que es la suma de los valores finales de todos los aportes realizados segun la secuencia [W.sub.T] = {[W.sub.i] | [W.sub.i] > 0, 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T-1}. Entonces,

(3) [W.sub.s] (T) = [[summation].sup.T-1sub.i=0] [W.sup.i.sub.S](T),

donde los procesos [W.sup.i.sub.s] en (2) estan sujetos a la misma fuente de incertidumbre B dada por (1). Ademas la esperanza E[[W.sub.s](T)], y la varianza, Var([W.sub.s](T)), del valor final del fondo del afiliado seran:

(4) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

(5) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Una propiedad interesante es que es posible expresar el valor esperado y la varianza de [W.sub.s] (T+1) como funciones del valor esperado y la varianza de [W.sub.s] (T) y el aporte de [W.sub.T] Las expresiones recursivas cuando T [greater than or equal to] 1 son

(6) E [[W.sub.s] (T +1)] = [e.sup.([my]-[delta])] (E [[W.sub.s] (T)] + [W.sub.T]),

(7) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Si se asumen aportes iguales, i.e., [W.sub.i] = [W.sub.0] > 0 para todo i, la esperanza en (4) se simplifica a

(8) E [[W.sub.s](T)] = [W.sub.0] [e.sup.[my]-[delta]]([e.sup.([my]-[delta])T] - 1)/[e.sup.[my]-[delta]] - 1.

Por otro lado, la varianza en (5) se descompone en Var ([W.sub.s] (T)) = E[[W.sub.s][(T).sup.2]] -E[[[W.sub.s](T)].sup.2], y bajo los supuestos considerados se tiene

(9) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde E[[W.sub.s](7)] es dado por (8) y [A.sub.S] (T) satisface

(10) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Con lo cual Var([W.sub.s] (T)) tendria una formula explicita al tener disponibles las expresiones de E[[W.sub.s](T)] y E [[W.sub.s][(T).sup.2]] en (8) y (9), respectivamente. Notar que [A.sub.S] (T) corresponde al valor en T de un fondo con aportes [W.sub.i] = [W.sub.0] > 0 y una tasa de crecimiento igual a 2([my] - [delta]) + [[sigma].sup.2]. En los casos extremos, [my] - [delta] = 0, [my] - [delta] + [[sigma].sup.2] = 0 y 2([my] - [delta]) + [[sigma].sup.2] = 0, las expresiones (8), (9) y (10) deben ser evaluadas utilizando los limites respectivos.

2.2. Comision por flujo

Sea [alfa] > 0 la tasa de la comision por flujo. (11) Si el afiliado realiza un aporte [W.sub.i] en el mes i, la comision que pagaria a la AFP (en el momento del aporte) seria igual a [C.sub.i] = [W.sub.i] (1 - [e.sup.-[alfa]]). Considerando que la comision [C.sub.i] pudo ser invertida en el fondo, el aporte del afiliado ajustado por el costo de oportunidad de [C.sub.i] puede expresarse como [e.sup.-[alfa]][W.sub.i]. A partir de este supuesto, el aporte ajustado de la comision por flujo en el mes i, [W.sup.i.sub.f], evolucionaria segun el siguiente MBG:

(11) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Para el afiliado es importante calcular el monto del fondo final ajustado por el costo de oportunidad de la comision por flujo segun la secuencia de aportes. [W.sub.T] = {[W.sub.i] | [W.sub.i] > 0, 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T - 1}. Si denotamos dicho monto final como [W.sub.f](T), se tiene

(12) [W.sub.f](T) = [[summa].sup.T-1.sub.i=0] [W.sup.i.sub.f](T).

Ademas, la esperanza y la varianza de [W.sub.f](T) son

(13) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

(14) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Es importante recalcar que [W.sub.f](T) no representa el verdadero monto final del fondo del afiliado, sino un monto final ajustado por el costo de oportunidad de la comision por flujo. El fondo final del afiliado seria igual a [e.sup.[alfa]][W.sub.f](T), y al incorporar dicho costo de oportunidad se han hecho [W.sub.f](T) y [W.sub.s](T) comparables.

De la misma forma que se considero en la comision por saldo, es posible expresar el valor esperado y la varianza de [W.sub.f](T+1) como funciones del valor esperado y la varianza de [W.sub.f](T) y el aporte [W.sub.T]. Las correspondientes relaciones recursivas para la comision por flujo se obtienen al hacer [delta] = 0 y reemplazar [W.sub.T] por [e.sup.-[alfa]] [W.sub.T] en (6) y (7), ademas de utilizar (T) y Var ([W.sub.f] (T)) en lugar de E [[W.sub.s] (T)] y Var ([W.sub.s] (T)), respectivamente. Por ultimo, si se asumen aportes iguales a [W.sub.0], se pueden encontrar expresiones simplificadas para la esperanza en (13) y la varianza en (14). Basta hacer [delta]= 0 y considerar [W.sub.0][e.sup.-[alfa]] en vez de [W.sub.0] en las expresiones (8) a la (10).

2.3. Comparacion de comisiones por flujo y saldo

Un afiliado quiere determinar la idoneidad de los esquemas de cobro de comisiones contrastando los respectivos saldos finales generados, lo que es equivalente a la eleccion entre dos prospectos riesgosos: [W.sub.s](T) y [W.sub.f](T). El metodo natural de comparacion es por medio de las utilidades esperadas; sin embargo se han considerado ademas tres medidas adicionales de comparacion. La primera es el ratio de riquezas terminales esperadas, esta es la mas popular y utilizada en la literatura. La segunda es el ratio de los valores futuros de las comisiones esperadas por pagar, dicha medida es relevante pues permite afrontar el problema desde el punto de vista de los costos de administracion. Asimismo, se demuestra (bajo ciertos supuestos) la equivalencia de las dos medidas antes mencionadas. La tercera forma de comparacion es mediante las inversas de los coeficientes de variacion de los fondos finales. Tal medida nos brinda una idea de la relacion rendimiento-riesgo de la acumulacion final, y ademas permite introducir propiedades que seran utiles para la comparacion por medio de las utilidades esperadas terminales asumiendo una funcion cuadratica de utilidad. A continuacion describiremos y analizaremos en detalle las propiedades de cada uno de los metodos mencionados.

2.3.1. Ratio de los valores esperados de fondos finales

Si la comparacion se realiza utilizando las esperanzas de [W.sub.s](T) y [W.sub.f] (T), entonces se define

(15) [RE.sub.sf] = E [[W.sub.s](T)]/E[[W.sub.f](T)],

donde E [[W.sub.s] (T)] y E[[W.sub.f] (T)] estan dados por las expresiones (4) y (13), respectivamente. Si [RE.sub.sf] > 1 la comision por saldo seria preferible. Si [RE.sub.sf] < 1 la comision por flujo seria preferible. Ademas, cuando [RE.sub.sf] = 1 el afiliado seria indiferente frente a ambas alternativas. Es importante mencionar que el ratio de comparacion planteado en (15) asume que el afiliado tiene una funcion de utilidad de riqueza terminal neutral al riesgo; y, tal como se menciono en la introduccion, esta forma de comparacion es la mas comun en la literatura.

Para el caso de aportes segun la secuencia [W.sub.T] y cuando T> 1 podemos expresar [RE.sub.sf] en (15) de las siguientes dos formas:

(16) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

(17) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

A partir de (17) y para T > 1 se puede demostrar, haciendo a [RE.sub.sf] una funcion de [my], que

(18) [derivada parcial][RE.sub.sf]([my])/[derivada parcial][my] < 0,

con lo cual [RE.sub.sf] es una funcion estrictamente decreciente en [my] y tal relacion es independiente de la secuencia de aportes [W.sub.T].

Si se asume la existencia de un activo libre de riesgo con rendimiento r (mensual y en tiempo continuo) y [E.sub.Q] [*] denota la esperanza bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q, entonces los precios en t=0 de las CIC del afiliado bajo comision por saldo ([p.sub.S]) y comision por flujo ([p.sub.f]) son:

(19) [p.sub.s] = [e.sup.-rT] [E.sub.Q] [[W.sub.s] (T)],

(20) [p.sub.f] = [e.sup.-rT] [E.sub.Q] [[W.sub.f] (T)].

Notar que [E.sub.Q] [[W.sub.s] (T)] y [E.sub.Q][[W.sub.f] (T)] se pueden calcular reemplazando p por r en las expresiones (4) y (13), y ademas el ratio de precios satisface

(21) [p.sub.s]/[p.sub.f] = [RE.sub.sf] (r).

En general se cumple que [my] > r, y la propiedad (18) implica que [RE.sub.sf] ([my]) < [RE.sub.sf](r). Bajo el supuesto que el afiliado pudiera invertir optima e instantaneamente sus aportes entre el fondo de la AFP dado por (1) y el activo libre de riesgo, la decision entre los tipos de comision se basaria unicamente en la comparacion de [p.sub.s] y [P.sub.f]. Por ejemplo, [p.sub.s] = [p.sub.f] implicaria que el ratio de riquezas esperadas terminales optimas sea igual a la unidad. (12) Pero, tal forma de comparacion no aplicaria para el articulo pues se asume que todos los aportes del afiliado se invierten enteramente en el fondo riesgoso dado por (1), con lo que [P.sub.s] = [P.sub.f] no implicaria necesariamente indiferencia entre los tipos de comision, y la funcion de utilidad del afiliado resultaria relevante en la comparacion.

A partir de (18), es posible encontrar una cota superior, UB, y otra inferior LB, para [RE.sub.sf]. Utilizando (16) se tiene UB = [lim.sub.[my][flecha diestra]-[infinito]] [RE.sub.sf] = [e.sup.[alfa]-[delta]], y utilizando (17) se tiene LB = [lim.sub.[my][flecha diestra][infinito]] [RE.sub.sf] = [e.sup.[alfa]-[delta]T]. Con lo cual:

(22) LB = [e.sup.[alfa]-[delta]T] [menor que o igual a] [RE.sub.sf] [menor que o igual a] [e.sup.[alfa]-[delta]] = UB, para T > 1.

Notar que las cotas son independientes de la secuencia [W.sub.T] y la tasa de crecimiento p, ademas estas serian estrictas cuando T > 1. Si [alfa] [menor que o igual a] [delta], se tiene UB [menor que o igual a] 1 y por consiguiente E [[W.sub.s] (T)] [menor que o igual a] E[[W.sub.f] (T)], i.e., la comision por flujo seria siempre preferible al comparar los valores esperados de los fondos finales.

Adicionalmente, a partir del valor de LB podemos afirmar que cuando [delta]< [alfa]/T se tiene [RE.sub.sf] > 1.

Si asumimos [W.sub.i]= [W.sub.0] > 0 para todo el horizonte, [RE.sub.sf] es independiente del monto del aporte [W.sub.0]. Bajo este supuesto, utilizando (8) y su expresion correspondiente para la comision por flujo (hacer [delta] = 0 y considerar [W.sub.0] como [e.sup.-[alfa]][W.sub.0]), la expresion de [RE.sub.sf] en (15) cuando [my] [des igual a] 0 y [my] [des igual a] [delta] se simplifica a

(23) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

A partir de (23) se pueden verificar los valores de UB y LB en (22), ademas de corroborar tambien que [derivada parcial][RE.sup.*.sub.sf] ([my], [alfa], [delta], T) / [derivada parcial][my] < 0. Una propiedad interesante del caso [W.sub.i] = [W.sub.0] > 0 es que [RE.sup.*.sub.sf] ([my],[alfa],[delta],T) > [RE.sup.*.sub.sf] ([my], [alfa], [delta],T +1) para todo T [mayor que o igual a] 1. Ademas, si se tiene [my] > 0 entonces [lim.sub.[flecha diestra] [infinito]] [RE.sup.*.sub.sf] = 0, y si tenemos tambien [alfa] > [delta], existira [[??].sub.E] tal que E[[W.sub.s] (T)] [mayor que o igual a] E[[W.sub.f] (T)] para 1 [menor que o igual a] T [menor que o igual a] [[??].sub.E] y E[[W.sub.s] (T)] < E[[W.sub.f] (T)] para T > [[??].sub.E].

2.3.2. Ratio de los valores futuros de las comisiones por pagar

La siguiente alternativa para comparar los esquemas de comisiones por saldo y flujo se obtiene al considerar los montos de las comisiones por cobrar al afiliado. Es claro que en flujo, la unica comision cobrada por el aporte [W.sub.i] satisface

(24) [C.sup.i.sub.f] = [W.sub.i] (1 - [e.sup.-[alfa]]), [atane atodo]i = 0, ..., T - 1.

Asimismo, el aporte [W.sub.i] bajo comision por saldo genera el siguiente flujo esperado de comisiones mensuales:

(25) [C.sup.i.sub.s] (j) = [W.sub.i][e.sup.[my]]e([my]+[delta])(j-(i+1)) (l - e-[delta]),

donde j es un mes particular tal que j = i + 1, ..., T. Si utilizamos una tasa de descuento mensual d (en tiempo continuo) tal que d [des igual a] [my] - [delta], el valor futuro en T del flujo de comisiones por saldo generado por el aporte [W.sub.i] es igual a

(26) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Mientras que el valor futuro en T de la comision [C.sup.i.sub.f] en (24) viene dado por

(27) [VF.sup.i.sub.f] (d) = [W.sub.i] (1 - [e.sup.-[alfa]])[e.sup.d(T-i)].

Consecuentemente, se puede definir el ratio de los valores futuros de las comisiones totales a una tasa de descuento d, [RC.sub.sf] (d), como

(28) [RC.sub.sf](d) = [[summa].sup.T-1.sub.i=0] [VF.sup.i.sub.s](d)/[[summa].sup.T-1.sub.i=0] [VF.sub.if](d).

Si [RC.sub.sf] (d) < 1 la comision por saldo seria preferible y si [RC.sub.sf] (d) > 1 la comision por flujo seria preferible. Cuando [RC.sub.sf] (d) = 1, el afiliado seria indiferente entre ambos tipos de comision.

Incorporando las definiciones (26) y (27) en la expresion (28) se tiene

(29) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Es importante notar que cuando d = [my], el ratio [RC.sub.sf] (d) en (28) pudo encontrarse de una manera directa. Basta notar que los MBG (2) y (11) asumen que las comisiones crecen a tasa [my], y como [alfa] es constante se tiene

(30) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde [RE.sub.sf] es dado por (15). Se verifica a partir de (30) que tanto [RC.sub.sf] ([my]) como [RE.sub.sf] ([my]) brindarian la misma recomendacion en torno a la conveniencia de los esquemas de comisiones. Lo anterior implica ademas que la tasa de descuento d debe ser interpretada como el costo de oportunidad para los fondos del afiliado en vez de una tasa que refleje el riesgo de los flujos de comisiones.

El ratio [RC.sub.sf]([my]) en (30) es equivalente al cociente entre los ratios de carga o charge ratios generados por los tipos de cobro. Dichos ratios se definen como uno menos el ratio de acumulacion con cargos a acumulacion sin cargos. Si denotamos como [RC.sub.s] y [RC.sub.f] a los ratios de carga respectivos, entonces

(31) [RC.sub.s] = 1 - E[[W.sub.s](T)]/E[W(T)]

(32) [RC.sub.f] = 1 - E[[W.sub.f] (T)]/E[W(T)],

donde W(T) es el valor final del fondo del afiliado en ausencia de comisiones, i.e., [delta] = 0 o [alfa] = 0. A partir de las definiciones previas [RC.sub.sf] (i) en (30) se puede expresar como

(33) [RC.sub.sf]([my]) = [RC.sub.s]/[RC.sub.f].

Entonces [RE.sub.sf]([my]), [RC.sub.sf]([my]) y el coeficiente de los ratios de carga, [RC.sub.s]/[RC.sub.f], brindan la misma recomendacion.

Finalmente, si denotamos como [pc.sub.s] y [pc.sub.f] a los valores de mercado en t = 0 de los flujos de comisiones por pagar bajo los esquemas por saldo y flujo respectivamente, entonces bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q y la expresion (30) se tiene:

(34) [RC.sup.Q.sub.sf] (r) = [pc.sub.s]/[pc.sub.f] = [e.sup.[alfa]] - [p.sub.s]/[p.sub.f]/[e.sup.[alfa]] - 1,

donde [RC.sup.Q.sub.sf] (r) es igual al ratio (29) con [my] = d = r, [p.sub.s] y [p.sub.f] son los precios en t = 0 de las ClC del afiliado bajo comision por saldo y flujo, respectivamente. Con ello los ratios (21) y (34) brindarian la misma recomendacion si se trabaja tanto con los valores actuales de mercado de los fondos y las comisiones cobradas bajo el supuesto de no arbitraje.

2.3.3. Inversa del coeficiente de variacion del fondo final

Es posible determinar la conveniencia de uno u otro esquema por medio del ratio entre el valor esperado del fondo final del afiliado (ajustado por comisiones) y su desviacion estandar respectiva. Para los sistemas de cobro estudiados, los ratios serian

(35) [H.sub.s] = E[[W.sub.s](T)]/[raiz quadrado de (VAR([W.sub.s](T))))], y [H.sub.f] = E[[W.sub.f](T)]/[raiz quadrado de (Var([W.sub.f](T)))].

Donde E[[W.sub.s] (T)] y E [[W.sub.f] (T)] vienen dados por (4) y (13), y Var([W.sub.s](T)) y Var([W.sub.f](T)) por (5) y (14), respectivamente. En este criterio, si para ciertos parametros se cumple que [H.sub.s] > [H.sub.f] entonces la comision por saldo seria preferible. Utilizando los valores esperados y varianzas de los fondos finales, los ratios en

(36) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(37) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

y [[rho].sub.ij] es dado por

(38) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Cuando se realiza un unico aporte en i* < T, los ratios se simplifican a

(39) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

y ambos esquemas de comision generarian el mismo ratio. Asimismo, se puede hacer a Hf una funcion de la tasa de crecimiento [my], y se demuestra que para T > 1

(40) [derivada parcial]HH[f.sub.f]([my])/[derivada parcial][my] < 0.

La expresion en (40) es equivalente a [H.sub.s] > [H.sub.f] para cualquier conjunto comun de parametros, pues [H.sub.f] > 0, [delta] > 0 y [alfa] se cancela en [H.sub.f]. Consecuentemente, la comision por saldo genera siempre un mejor ratio que la comision por flujo para cualquier sucesion [W.sub.T] tal que [W.sub.i] > 0 para todo i.

Al ser [H.sub.s] y [H.sub.f] funciones monotonas en [my], es posible encontrar una cota superior [??] y otra inferior [??] para dichos ratios. Despues de una apropiada manipulacion de (37) se tiene que

(41) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

(42) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Si asumimos [W.sub.i] = [W.sub.0] > 0 para todo el horizonte, definimos

(43) [RH.sup.*.sub.sf] ([my], [delta], T, [[sigma].sup.2]) = [H.sub.s]/[H.sub.f].

El ratio [RH.sup.*.sub.sf] en (43) por lo general no presenta monotonicidad en T; pero, para T > 1, se verifica que [RH.sup.*.sub.sf] ([my], [delta], T, [[sigma].sup.2]) > 1 como consecuencia directa de (40). En el largo plazo [my] con [delta] Atenemos [RH.sup.*.sub.sf] ([my], [delta], [infinito], [[sigma].sup.2]) = [lim.sub.T[flecha diestra] [RH.sup.*.sub.sf] ([my], [delta], T, [[sigma].sup.2]), donde

(44) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

2.3.4. Utilidad esperada de riqueza terminal

Consideremos un afiliado con aversion al riesgo y sea U(W) su utilidad cuando una realizacion de riqueza terminal ajustada por comisiones es igual a W. Para determinar el tipo de comision mas apropiado, el afiliado quiere comparar E\u([W.sub.s](C))j y E[c([W.sub.f] (T))]. Sin embargo, expresiones analiticas explicitas para los esperados anteriores no se encuentran disponibles en general.

Debido a que contamos con formulas explicitas para el primer y segundo momento de [W.sub.s](T) y [W.sub.f](T), encontramos apropiado utilizar una funcion de utilidad cuadratica dada por

(45) U (W) = aW - b[W.sup.2],

donde a > 0 y b > 0 es el coeficiente de aversion al riesgo. Notar que cuando b = 0 el afiliado seria neutral al riesgo, Adicionalmente, fijamos a = 1+2b E[W] de manera similar a Zhou y Li (2000). Si U es como en (45), tenemos

(46) E[U([W.sub.s](T))] = E[[W.sub.s](T)] + b(2E[[[W.sub.s] (T)].sup.2] - E[[W.sub.s] [(T).sup.2]]),

(47) E[U([W.sub.f] (T))] = E[[W.sub.f] (T)] + b(2E[[[W.sub.f] (T)].sup.2] - E[[W.sub.f] [(T).sup.2]]).

Las expresiones de E[[W.sub.s][(T).sup.2]] y E[[W.sub.f] [(T).sup.2]] se pueden derivar de las esperanzas (4) y (13), y las varianzas (5) y (14). Para un conjunto fijo de parametros y la utilidad cuadratica en (45), definimos [gamma] como la diferencia entre E[U([W.sub.s](T))] y E[U([W.sub.f] (T))]. Entonces,

(48) [gamma](b, S) = E[U([W.sub.s](T})]-E[u([W.sub.f](T))].

En la siguiente proposicion se establecen las condiciones que hacen a [gamma] una funcion monotona decreciente en [delta] pues tal propiedad no se cumple en general.

Proposicion 2.1 (Monotonicidad de [gamma] respecto de [delta]) Dada la secuencia de contribuciones del afiliado [W.sub.T] = [[W.sub.i] | [W.sub.i] > 0, 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T-1}, y sea A = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], b, [W.sub.T]} un escenario para los valores de las variables del modelo. Si T> 1, b > 0 y [[sigma].sup.2] [menor que o igual a] 1/T ln (2), entonces [[derivada parcial].sub.[delta]] [gamma](b, [delta]) < 0 con [delta] > 0.

Demostracion: Ver Apendice A.

Dado el escenario N = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], b, [W.sub.T]} definimos la comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.N](N), como el valor de [delta] que hace [RE.sub.sf] en (15) igual a uno. Asimismo, para el escenario A = N [union] {b} definimos la comision por saldo aversa al riesgo, [[delta].sup.*.sub.A](A), como el valor [delta] que hace E [U ([W.sub.s] (T))] igual a ([W.sub.f] (T))]. En la siguiente proposicion se establecen condiciones que aseguran que tanto [[delta].sup.*.sub.A](A) como [gamma] sean crecientes en b, i.e., la comision por saldo mejora respecto de la de flujo al aumentar la aversion al riesgo.

Proposicion 2.2 (Efecto de la aversion al riesgo en [gamma] y [[delta].sup.*.sub.A]) Dado T > 1 y un conjunto de parametros N = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T]}, entonces para el escenario A = N [union] {b} con b > 0 tal que [[sigma].sup.2] [menor que o igual a] 1/T ln(2) se cumple que Y(b, [[delta].sup.*.sub.N](N)) > 0, [[derivada parcial].sub.b] [gamma](b, [[delta].sup.*.sub.N](N)) > 0, [[delta].sup.*.sub.A](A) > [[delta].sup.*.sub.N] (N) y [[derivada parcial].sub.b] [[delta].sup.*.sub.A](A) > 0.

Demostracion: Ver Apendice B.

Es importante notar que [gamma] definida en (48) se considero una funcion solo de b y [delta] debido a que en las Proposiciones 2.1 y 2.2 se asume (indirectamente) un nivel fijo [alfa] de la comision por flujo. Si Y se define en terminos de b y [alfa] para un valor fijo de [delta], i.e., [gamma] (b, [alfa]), entonces es posible extender los resultados obtenidos en esta seccion. En primer lugar se verifica que si T> 1, b > 0 y [[sigma].sup.2] [menor que o igual a] 1/T ln(2), entonces [[derivada parcial].sub.[alfa]] [gamma](b, [alfa]) > 0 para [alfa] > 0. De manera similar al caso de la comision por saldo, se pueden definir como [[alfa].sup.*.sub.N](N) y [[alfa].sup.*.sub.N](A) con N = {T, [delta], [my], [[sigma].sup.2], b, [W.sub.T]} y A = N [union] {b} a las comisiones por flujo neutral y aversa al riesgo, respectivamente. Entonces bajo los mismos supuestos de la Proposicion 2.2 se demuestra que [gamma](b, [[alfa].sup.*.sub.n] (N)) > 0, [[derivada parcial].sub.b] [gamma] (b, [[alfa].sup.*.sub.N](N)) > 0, [[alfa].sup.*.sub.A](A) < [[alfa].sup.*.sub.N](N) y [[derivada parcial].sub.b] [[alfa].sup.*.sub.A](A) < 0. Los resultados anteriores implican que la comision por flujo empeora respecto de la de saldo al aumentar la aversion al riesgo.

2.4. Comisiones equivalentes desde la perspectiva de la Administradora de Fondos de Pensiones (AFP)

Los metodos para comparar comisiones por flujo y saldo presentados en la Seccion 2.3 fueron desarrollados desde la perspectiva del afiliado. Sin embargo, es importante determinar la equivalencia de comisiones desde el punto de vista de una AFP. Es por ello que en esta seccion, haciendo uso de un modelo simplificado, se estudian los flujos de ingresos de las AFP bajo ambos tipos de comisiones y se determinan las comisiones de equivalencia.

Sean [t.sub.m] [elemento de] N la edad minima en la que un afiliado puede incorporarse al sistema pensionario, [t.sub.r] [elemento de] N la edad de jubilacion comun del sistema y t [elemento de] N un indicador de un mes cualquiera, todas las variables anteriores se expresan en meses y se cumple que [t.sub.m] < [t.sub.r]. Definimos como [x.sup.0]([t.sub.0]) al numero inicial de afiliados de edad [t.sub.m] + [t.sub.0] tal que [t.sub.0] = 1, ..., [t.sub.r] - [t.sub.m] - 1. Luego, en cada t [mayor que o igual a] 0 se incorporan al sistema un numero de afiliados igual a xN(t) todos los cuales tienen edad [t.sub.m].

Vamos a estudiar el caso simplificado correspondiente al inicio de un sistema de pensiones, en el cual primero se afilia a toda la poblacion relevante (en terminos de edad) y despues solo se incorporan nuevos afiliados en la medida que cumplen con la edad minima. Un afiliado "inicial" de edad [t.sub.m] + [t.sub.0] con [t.sub.0] = 1, ..., [t.sub.r] - [t.sub.m] - 1. contribuira al fondo con aportes [W.sup.0.sub.i] ([t.sub.0]) para i = 0, ..., [t.sub.r]-[t.sub.m] -1; y un afiliado con edad igual a [t.sub.m] que ingresa en t [mayor que o igual a] 0 contribuira al fondo mediante una secuencia de aportes [W.sup.N.sub.i](t) con i = 0, ., [t.sub.r]-[t.sub.m] -1. Ademas, definimos como [T.sub.AFP] al horizonte de tiempo en meses que fija la AFP para el analisis (solo se van a considerar las comisiones generadas en este lapso), y es tal que satisface la condicion [t.sub.r]-[t.sub.m] [mayor que o igual a] [T.sub.AFP].

Si la AFP fija una tasa de descuento [q.sub.f] mensual en tiempo continuo para sus ingresos por comisiones por flujo, entonces para el caso de un nivel de comision por flujo constante durante el periodo de analisis, [alfa], los valores presentes de las comisiones cobradas a los afiliados iniciales (aquellos con edad mayor que [t.sub.m] que se incorporan en el momento inicial) y nuevos (aquellos que se incorporan al sistema con edad minima [t.sub.m] en cada periodo incluyendo el inicial) serian, respectivamente:

(49) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

(50) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde [t.sup.*.sub.0] = min {[T.sub.AFP] -1, [t.sub.r] - [t.sub.m] - [t.sub.0] -1}. Es importante mencionar que tanto [W.sup.0.sub.i]([t.sub.0])(l-[e.sup.-[alfa]]) como [W.sub.i] ([t.sub.0])(1-[e.sup.-[alfa]]) en las expresiones (49) y (50) representan las comisiones por flujo generadas por los aportes [W.sub.i]([t.sub.0]) y [W.sup.N.sub.i] (t), respectivamente. Con lo que el valor presente de todas las comisiones por flujo generadas por los afiliados, [V.sub.Pf]([T.sub.AFP]), seria:

(51) [VP.sub.f] ([T.sub.AFP]) = [VP.sup.0.sub.f] ([T.sub.AFP]) + [VP.sup.N.sub.f] ([T.sub.AFP]).

Por otro lado, si se considera una comision por saldo fija igual a [delta](mensual) durante [T.sub.AFP], entonces:

(52) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII],

(53) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII];

tal que [VPC.sup.0.sub.S] ([t.sub.0], i) y [VPC.sup.N.sub.S] (t,i) se definen como:

(54) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII],

(55) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII].

Notar [q.sub.s] es la tasa de descuento respectiva, [VP.sup.0.sub.S] ([T.sub.AFP]) en (52) es el valor presente de las comisiones por saldo por cobrar a los afiliados que en t = 0 tenian una edad mayor que [t.sub.m], y [VP.sup.N.sub.S] ([T.sub.AFP]) en (53) es el valor presente de las comisiones por saldo por cobrar a los afiliados con edad igual a [t.sub.m] en el momento inicial y en cada mes subsecuente hasta llegar a [T.sub.AFP]-1. Asimismo, tanto (54) como (55) se basan en la expresion (25) y representan el valor presente (al mes en que se realiza el aporte) de las comisiones por saldo generadas por los aportes [W.sup.0.sub.i] ([t.sub.0]) y [W.sup.N.sub.i](t), respectivamente. Con ello el valor presente de todas las comisiones por saldo generadas por los afiliados durante el periodo [T.sub.AFP], [VP.sub.s]([T.sub.AFP]), seria:

(56) [VP.sub.S] ([T.sub.AFP]) = [VP.sup.0.sub.S] ([T.sub.AFP]) + [VP.sup.N.sub.S] ([T.sub.AFP]).

A un nivel de comision por flujo [alfa], la comision por saldo equivalente de la AFP, [[delta].sub.AFP], es el valor [delta] tal que [VP.sub.f]([T.sub.AFP]) en (51) es igual a [VP.sub.S]([T.sub.AFP]) en (56). Dicha comision equivalente [[delta].sub.AFP] es ademas una funcion de [T.sub.AFP], [my], [q.sub.s], [q.sub.f], las secuencias del numero de afiliados {[x.sub.0]} y {[x.sup.N]}, y los aportes {[W.sup.0]} y {[W.sup.N]}.

Es importante mencionar que el modelo presentado compara las comisiones cobradas por las AFP desde la etapa inicial del sistema hasta un periodo [T.sub.AFP]. Sin embargo, si se considera el mismo horizonte de analisis de [T.sub.AFP] meses, entonces lo mas probable es que la comision [[delta].sub.AFP] disminuya en el tiempo debido al crecimiento del fondo total administrado. Este hecho podria entenderse debido a que la parte correspondiente a los componentes transitorios [VPC.sup.0.sub.f] y [VPC.sup.0.sub.S] tienden a tener menor preponderancia a medida que se avanza en el tiempo, pues los flujos de comisiones restantes de los afiliados iniciales van disminuyendo. Por otro lado, [VPC.sup.N.sub.S] tiende a crecer respecto de [VPC.sup.0.sub.f] en razon a que con el tiempo las comisiones por saldo de los afiliados que quedan en el sistema tienden a incrementar respecto de las de flujo. Asimismo, dependiendo de los parametros, se podra determinar una comision por saldo equivalente de largo plazo, [[delta].sup.[infinito].sub.AFP], que es la que se obtendra cuando el flujo de comisiones alcanza un estado de estabilidad. Tales situaciones se mostraran en los experimentos numericos de la Seccion 4.

De la forma en que se ha presentado el modelo, la unica fuente de incertidumbre en los flujos estaria dada por la evolucion del valor cuota del fondo. Este hecho hace que [q.sub.f], la tasa de descuento de los ingresos cuando se asume comision por flujo, sea igual a la tasa libre de riesgo, r. Asimismo, es importante notar que en el caso de la comision por saldo, los ingresos por comisiones corresponden a valores esperados, y por lo tanto se tendria que estimar [q.sub.s] pero bajo la condicion [q.sub.s] > r. Una forma de evitar el calculo de [q.sub.s] es trabajar bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q, bajo esta medida se tiene que j = r y ademas [q.sub.s] = [q.sub.f] = r. Tal metodo de valuacion es que se empleara en los ejemplos numericos. En caso que existiera aleatoriedad en las secuencias {[x.sup.N]}, {[W.sup.0]} y {[W.sup.N]}, no seria posible trabajar bajo el enfoque anterior pues los flujos de ingresos no podrian ser replicados utilizando el activo riesgoso y el activo libre de riesgo, y por tanto se tendrian que estimar adecuadamente [q.sub.f] y [q.sub.s].

Finalmente, es posible adaptar este modelo para comparar cambios en la forma de cobro de comisiones cuando ciertos grupos de afiliados antiguos mantienen su tipo de comision anterior, mientras que los nuevos afiliados estan sujetos a la nueva forma de cobro. Tal situacion se podra modelar mediante cambios en la estructura de [VPC.sup.0.sub.f] y [VPC.sup.N.sub.s] en funcion del tipo de comision que seleccionan los afiliados, i.e., ciertos [x.sup.0]([t.sub.0]) podran multiplicar valores presentes de comisiones correspondientes al otro tipo de comision.

En la siguiente seccion se estudia el efecto que tiene la interrupcion de aportes en los metodos de comparacion descritos en la Seccion 2.3. Tal proceso de interrupcion, como se vera a continuacion, se introduce por medio de un proceso estocastico que representa la ocurrencia o no de aportes en un periodo respectivo.

3. INTERRUPCION DE APORTES

Existe la posibilidad de que el afiliado no sea capaz de contribuir con un monto [W.sub.i] > 0 para todo i. Para representar tales interrupciones, introducimos un proceso estocastico Z = {[Z.sub.i], 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T - 1}, independiente del proceso B, tal que Z es una secuencia de variables aleatorias independientes [Z.sub.i] ~ Bernoulli ([p.sub.i]) con al menos un [i.sup.*] tal que [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Si [Z.sub.i] = 0, no existiria contribucion en el periodo i, lo que ocurre con probabilidad 1 - [p.sub.i]. Asimismo, denotamos como [P.sub.T] a la secuencia de probabilidades de aportar, i.e., PT = {[p.sub.i] | [p.sub.i] [elemento de] [0, 1], 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] [T.sup.-1]}.

El proceso Z es una de las formas mas simples de incluir interrupciones en la secuencia [W.sub.T] = {[W.sub.i] | [W.sub.i] > 0, 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] [T.sup.-1]}. Adicionalmente, [W.sub.T] podria ser interpretada como el flujo de contribuciones representativas para grupos homogeneos de afiliados compartiendo un mismo T. Por ejemplo, es posible determinar [W.sub.T] mediante proyecciones de salarios dependiendo de una tasa de crecimiento promedio que es a su vez funcion de la edad, sexo, nivel educativo, etc.

Tambien definimos

(57) [[??].sub.s] (T) = [T-1.suma de (i=0)] [Z.sub.i][W.sup.i.sub.s] (T),

(58) [[??].sub.f] (T) = [T-1.suma de (i=0)] [Z.sub.i] [W.sup.i.sub.f](T),

donde [W.sup.i.sub.S](T) y [W.sup.i.sub.f] (T) estan dados por (2) y (11), respectivamente. Ambos [[??].sub.s] (T) y [[??].sub.f] (T) representan riqueza terminal (bajo los esquemas de saldo y flujo) cuando las interrupciones se modelan a traves_del proceso estocastico Z.

Calculando los valores esperados de [[??].sub.s] (T) y [[??].sub.f] (T) tenemos

(59) E[[[??].sub.s](T)] = [T-1.suma de (i=0)] E[[Z.sub.i] [W.sup.i.sub.s] (T)] = [e.sup.([my]-[delta])T] [T-1.suma de (i=0)][p.sub.i] [W.sub.i] [e.sup.-([my]-[delta])i],

(60) E[[[??].sub.f] (T)] = = [T-1.suma de (i=0)]E [[Z.sub.i] [W.sup.i.sub.f](T)] = [e.sup.-[alfa]+[my]T] = [T-1.suma de (i=0)] [p.sub.i][W.sub.i][e.sup.-[my]i].

Para obtener (59) y (60), se ha utilizado la independencia de [Z.sub.i] con respecto a [W.sup.i.sub.s] (T) y [W.sup.i.sub.f] (T). Las varianzas de [[??].sub.s] (T) y [[??].sub.f] (T) pueden ser determinadas utilizando la siguiente proposicion.

Proposicion 3.1 (Varianza de riqueza terminal) Bajo el proceso de interrupcion Z, las varianzas de [[??].sub.s] (T) y [[??].sub.f] (T) en (57) y (58) son

(61) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(62) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Demostracion: Ver Apendice C.

Si se asume [p.sub.i] = p con p [elemento de] (0,1] para todo 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T - 1, el afiliado tiene la misma probabilidad de contribuir en cada periodo (mes). En consecuencia, la probabilidadp se puede interpretar como la densidad de cotizacion del afiliado.

Si en la comparacion de comisiones se utilizan los valores esperados de riqueza terminal ajustados por comisiones, entonces se define

(63) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde E[[[??].sub.S] (T)] y [[[??].sub.f] (T)] se encuentran en (59) y (60), respectivamente. La regla de decision para determinar el tipo de comision mas conveniente es la misma que en el caso de [RE.sub.sf] en (15). Si en eljproceso Z se asume que existe [i.sup.**] [desigual a] [i.sup.*] tal que [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], y si consideramos [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] en (63) como una funcion de la tasa de crecimiento [my], entonces para todo [my] y T > 1:

(64) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

La derivacion del resultado anterior es similar al de la expresion (18). Si [p.sub.i] = p para todo i con p [elemento de] (0, 1], el ratio [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] se vuelve independiente del proceso de interrupcion Z y de la densidad de cotizacion p, i.e., [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

En el caso de la comparacion de las inversas de los coeficientes de variacion de los fondos finales ajustados tenemos:

(65) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

donde las varianzas de [[??].sub.s](T) y [[??].sub.f](T) se obtienen por la Proposicion 3.1. Bajo el proceso de interrupcion Z, no es posible demostrar la monotonicidad de [[??].sub.f] respecto de [my] tal como se hizo en (dB). Sinembargo, es posible analizar el efecto de la densidad de cotizacionp en [[??].sub.s] y [[??].sub.f] a traves de la siguiente proposicion.

Proposicion 3.2 (Impacto de p en [[??].sub.s] - [[??].sub.f]) En el proceso Z se asume [p.sub.i] = p tal que p [elemento de] (0, 1], se consideran a [[??].sub.s] y [[??].sub.f] en (65) como funciones de p. Bajo tales supuestos se cumple lo siguiente:

(1) Si [my] + [[sigma].sup.2] < 0, [W.sub.i+1] [mayor que o igual a] [W.sub.i] para todo 0 [menor que o igual a] i[menor que o igual a] T - 1 y T > 1, entonces existe [p.sup.*] [elemento de] (0, 1) tal que [[??].sub.s](p) < [[??].sub.f] (p) cuando p < [p.sup.*].

(2) Si [my] - [delta] + [[sigma].sup.2] > 0, [W.sub.i+1] [menor que o igual a] [W.sub.i] para todo 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T - 1 y T > 1, entonces [[??].sub.s] (p) > [[??].sub.f] (p) para todo p.

Demostracion: Ver Apendice D.

La Proposicion 3.2 muestra que la densidad de cotizacion p podria afectar la comparacion de comisiones cuando se utiliza la inversa del coeficiente de variacion. Ademas bajo ciertas condiciones la comision porflujo se beneficiaria con una reduccion en p. Notar que cuando p = 1, [[??].sub.s] (1) > [[??].sub.f] (1) sin necesidad de los supuestos considerados.

Sea la funcion de utilidad U dada en (45), entonces las utilidades esperadas de [[??].sub.s] (T) y [[??].sub.f] (T) son

(66) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII],

(67) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII].

Las expresiones para E[[[??].sub.S] [(T).sup.2]] y E[[[??].sub.f] [(T).sup.2]] se pueden derivar a traves de (59) y (60), y la Proposicion 3.1. A la funcion [gamma] en (48) le anadimos como argumento la densidad de cotizacion p, con lo cual

(68) [gamma] (b, p, [delta]) = E[u([[??].sub.s](T))] + E[U([[??].sub.f](T))].

Dado un escenario N = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T], [P.sub.T]} definimos (de manera similar que en la Seccion 2.3) la comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.N] (N),, al valor de [delta] tal que [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Es posible tambien definir la funcion [gamma] en (68) como una funcion de b, p y a, y realizar el analisis asumiendo un valor fijo de la comision por saldo; pero, como tal especificacion produce resultados congruentes con los que se van a obtener en la presente seccion no se van a hacer explicitos los resultados.

La siguiente proposicion estudia el comportamiento de [gamma] en (68) como funcion del coeficiente de aversion al riesgo b bajo supuestos en la secuencia [W.sub.T]; pero antes de ello introducimos una forma particular de la sucesion de aportes.

Se puede asumir el siguiente flujo de contribuciones

(69) [W.sub.i] = [W.sub.0][e.sup.[beta]i], [beta] [elemento de] R, [W.sub.0] > 0 y 0 [menor que o igual a] i <[menor que o igual a]T - 1;

entonces, [beta] es la tasa de crecimiento mensual de las contribuciones, y la contribucion inicial es [W.sub.0]. Notar que bajo el modelo de crecimiento exponencial (13) en (69) se tiene [W.sub.i] > 0 para todo i.

Proposicion 3.3 (Efecto de la aversion al riesgo sobre [gamma]) Sean T > 1, b > 0, [p.sub.i] = p [elemento de] (0, 1], en Z, [[delta].sup.*.sub.N] = [[delta].sup.*.sub.N](N) la comision por saldo neutral al riesgo, donde N = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T]}. Los siguientes postulados se cumplen:

(1) Si [my] - [sigma] + [[sigma].sup.2] > 0, y [W.sub.i+1] [menor que o igual a] [W.sub.i] para todo 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T - 1, entonces [gamma](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 y [[derivada parcial].sub.b] [gamma](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0.

(2) Si [W.sub.T] es dado por (69) y [my] - [delta] + [[sigma].sup.2] > [beta] entonces Y(b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 y [[derivada parcial].sub.b] [gamma](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 .

Demostracion: Ver Apendice E.

La Proposicion 3.3 brinda condiciones bajo las cuales la comision por saldo genera mayor utilidad esperada que la comision por flujo cuando se incrementa la aversion al riesgo y se considera la interrupcion de aportes. Notar que si p = 1 se puede afirmar directamente que [gamma] (b, 1, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 y [[derivada parcial].sub.b] [gamma](b, 1, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 debido a que [H.sub.s] > [H.sub.f] siempre se cumple (ausencia de interrupciones). La parte (1) es mas general pues solo requiere [my] > [delta] y una sucesion decreciente de contribuciones. Por otro lado, (2) requiere una tasa de crecimiento de contribuciones, [beta], que no exceda a [my] - [delta] + [[sigma].sup.2]. Notar que el resultado mostrado depende^de un valor particular de [delta] (dado por la comision por saldo neutral al riesgo [[delta].sup.*.sub.N]) debido a que valores arbitrarios no pueden garantizar que la Proposicion 3.3 se cumpla.

Proposicion 3.4 (Efecto de la densidad de cotizacion sobre [gamma]) Sean T > 1, b > 0, [p.sub.i] = p [elemento de] (0, 1], en el proceso Z y [[delta].sup.*.sub.N] = [[delta].sup.*.sub.N] (N) es la comision por saldo neutral al riesgo, donde N = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T]}. Las siguientes afirmaciones se cumplen:

(1) Si [my] - [delta] + [[sigma].sup.2] > 0 y [W.sub.i+1] [menor que o igual a] [W.sub.i] para todo 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T - 1 entonces dp Y (b, p,oN) > 0 para p [elemento de] (0, 1/2).

(2) Si [W.sub.T] es dado por (69) y [my] - [delta] + [[sigma].sup.2] > [beta] entonces [[derivada parcial].sub.p] [gamma] (b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 para p [elemento de] (0, 1/2).

Demostracion: Ver Apendice F.

Hasta el momento se ha demostrado que bajo ciertas condiciones [gamma] (b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 y ademas es estrictamente creciente en b y p. La siguiente proposicion generaliza los resultados de la Proposicion 2.1 sobre la monotonicidad de Y(b, p, [delta]) con respecto de [delta] al incluir interrupcion de aportes.

Proposicion 3.5 (Monotonicidad de [gamma] respecto de [delta]) Sea T > 1, b > 0, [p.sub.i] = p [elemento de] (0, 1] en elprocesoZy algun escenario N = {t, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T]}. Si [[sigma].sup.2] [menor que o igual a] 1/T ln (2p), entonces [[derivada parcial].sub.[delta]] [gamma](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) < 0.

Demostracion: Ver Apendice G.

Dado un conjunto de parametros A = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T], [P.sub.T]}, definimos de manera similar que en la Seccion 2.3) la comision por saldo aversa al riesgo, [[delta].sup.*.sub.A] (A), como el valor [delta] tal que E [U([[??].sub.s](T))] es igual a E[U([[??].sub.f] (T))]. Si consideramos [[sigma].sup.2] [menor que o igual a] 1/T ln (2p), ademas de los supuestos de la Proposicion 3.3 (incluyendo el caso de la secuencia de aportes con crecimiento exponencial) se puede verificar que [[delta].sup.*.sub.A] (A) > [[delta].sup.*.sub.N] (N) y [[derivada parcial].sub.b] [[delta].sup.*.sub.A] (A) > 0 para cualquier b > 0 y p [elemento de] (0, 1). Asimismo, va a existir [[delta].sup.*.sub.I] (I),, que e^ la comision por saldo que hace 2E[ [[[??].sub.s] (T)].sup.2] - E [[[??].sub.s][(T).sup.2]] igual a 2E[[[[??].sub.s] (T)].sup.2] - E[[[??].sub.f][(T).sup.2]] para I = {T, [alfa], [my], [[sigma].sup.2], [W.sub.T], p}. Notar que la comision [[delta].sup.*.sub.I] (I), se puede interpretar como la comision por saldo aversa al riesgo cuando b [flecha diestra] [infinito], i.e., [lim.sup.b[flecha diestra][infinito]] [[delta].sup.*.sub.A] (A) = [[delta].sup.*.sub.I] (I). Ademas podemos colegir que [[derivada parcial].sub.b] [gamma](b, p, [delta]) > 0 cuando [delta] < [[delta].sup.*.sub.I] (I) y [[derivada parcial].sub.b] [gamma](b, p, [delta]) < 0 cuando [delta] > [[delta].sup.*.sub.I] (I). Finalmente, no es posible determinar condiciones de monotonicidad similares para [gamma] respecto de p cuando b > 0 y [delta] > 0 son arbitrarios.

La comparacion entre E[U([[??].sub.s] (T))] y E[U([[??].sub.f] (T))] tambienjiudo ser realizada utilizando los respectivos equivalentes de certeza: CE[[[??].sub.S] (T)] y CE[[[??].sub.f] (T)]. Definimos, el siguiente ratio para establecer tal comparacion:

(70) [DELTA][CE.sub.sf] = CE[[[??].sub.s] (T)/[[??].sub.f](T)] - 1.

Si [DELTA][CE.sub.sf] > 0, la comision por saldo resultaria preferible. Si [DELTA][CE.sub.sf] < 0, la comision por flujo resultaria preferible. Adicionalmente, cuando [DELTA][CE.sub.sf] = 0 el afiliado seria indiferente entre ambos tipos de comision. Bajo la funcion de utilidad cuadratica en (45) y utilizando la parte de la funcion que es creciente en terminos de la riqueza ajustada, se verifica que

(71) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(72) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Notar que las proposiciones que describen el comportamiento de E[U([[??].sub.s] (T))] y E[U([[??].sub.f] (T))] tambien aplican para CE[[[[??].sub.s] (T)].sup.2] - CE[[[??].sub.f] (T)))]; Lpero, ellas no pueden ser generalizadas para describir [DELTA][CE.sub.sf].

Finalmente, si [W.sub.T] tiene una estructura tal que [W.sub.i+1] = [[rho].sub.i][W.sub.i] con [W.sub.0] > 0, entonces [DELTA][CE.sub.sf] seria independiente de [W.sub.0] dependiendo de la funcion de utilidad seleccionada. Para el caso de la utilidad cuadratica, el ratio se veria afectado por la contribucion inicial y esto generaria una nueva dimension en el analisis.

4. APLICACION DE LA METODOLOGIA AL SISTEMA PRIVADO DE PENSIONES DEL PERU

En esta seccion se presenta la aplicacion de la metodologia propuesta al Sistema Privado de Pensiones del Peru (SPP). Esta aplicacion es relevante debido a que el SPP esta atravesando un proceso importante de reforma despues de 20 anos de ser creado.14 Parte de la reforma consiste en el cambio de comision por flujo a saldo, y es en parte por ello que este articulo de investigacion analiza el efecto de ciertas variables en la comparacion de dichas comisiones.

4.1. Parametros del modelo

Para las aplicaciones numericas se ha considerado una edad de jubilacion de 65 anos y dos escenarios: moderado y agresivo, los cuales corresponderian a los fondos de riesgo medio y alto del SPP. Se han fijado ademas tres niveles de comision por flujo (expresados como porcentajes del salario del afiliado): [f.sub.min] = 1.47%, [f.sub.max] = 1.84%, y [f.sub.pro] = 1.615%; los cuales corresponden al cargo minimo, maximo y promedio por flujo del SPP a diciembre de 2013, respectivamente. Como los trabajadores dependientes en el Peru estan sujetos a una contribucion obligatoria de 10% del salario y [f.sub.i] se aplica sobre este ultimo, tenemos [[alfa].sub.i] = -ln(1 - 10[f.sub.i]) con lo cual [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.max] = 0.2033 y [[alfa].sub.pro] = 0.1761. Es importante mencionar que no se esta incluyendo el cargo correspondiente a la prima de seguro obligatoria.

Para aplicar la metodologia es fundamental estimar los parametros [my] y [sigma] del proceso estocastico del valor cuota del fondo para los escenarios moderado y agresivo, y determinar la sucesion de contribuciones del afiliado. Tales contribuciones se expresan usualmente como porcentajes de los salarios y estos ultimos son afectos por inflacion. En un mercado con rendimientos aleatorios es sabido que existe una correlacion entre la tasa de inflacion y rendimiento. Con ello, introducir aleatoriedad en rendimientos pero no en inflacion podria llevar a falsas conclusiones. Por tal razon, en la aplicacion practica al SPP se emplean tanto rendimientos reales como contribuciones (deterministicas) reales. Los detalles de la calibracion de los parametros del valor cuota del fondo se muestran en el Apendice A.1. A manera de resumen, para el escenario moderado se tiene [[my].sub.M] = 5.3% anual y [[sigma].sub.M] = 8.7% anual, lo que genera un rendimiento real promedio en tiempo continuo, [r.sub.M] igual a 4.90% anual (equivalente a 5.00% efectivo anual). Para el escenario agresivo se tiene [[my].sub.A] = 7.8% anual y [[sigma].sub.A] = 14.6% anual, lo que genera un rendimiento real promedio en tiempo continuo, [r.sub.A], igual a 6.78% anual (equivalente a 7.01% efectivo anual). La tasa libre de riesgo tambien se ha estimado y se considera r = 1.52% real anual en tiempo continuo.

La sucesion mensual de las contribuciones reales del afiliado ([W.sub.T]) se asume tal que [W.sub.i+1] = (1 + [[tau].sub.i])[W.sub.i] para i [mayor que o igual a] 0 y [W.sub.0] > 0 arbitrario. Los factores mensuales T se calculan mediante la suma del crecimiento correspondiente a lo largo de la curva de salario mas un componente de ganancia por incremento de productividad. Asimismo, [tau] depende de diferentes clasificaciones de los afiliados segun su genero, nivel educativo y edad. Los detalles de la calibracion de los factores se muestran en el Apendice A.2; pero es importante mencionar que para afiliados jovenes los factores promedio de crecimiento fluctuan entre 2.5% y 3.5% anual.

A pesar que sus supuestos de independencia son fuertes, el proceso de interrupcion Z es suficientemente flexible debido a que la secuencia de probabilidades [p.sub.i] pueden reflejar diferentes perfiles de contribucion y circunstancias de los afiliados. Sin embargo, en esta aplicacion hemos considerado el caso mas simple: [p.sub.i] = p [elemento de] (0,1] para todo i. El objetivo detras de este supuesto es demostrar, en la forma mas directa, el efecto de la densidad de cotizacion, p, en la comparacion de comisiones por flujo y saldo. Futuras investigaciones podran incluir formas mas sofisticadas y/o adecuadas para [p.sub.i], y analizar su impacto en los sistemas de cobro. Se consideran en la aplicacion dos escenarios para la densidad de cotizacion: p = 100 (asume una sucesion ininterrumpida de contribuciones) y p = 0.458 (densidad de cotizacion promedio del SPP a diciembre de 2012). El Cuadro 8 de SBS (2013) muestra la densidad de cotizacion para diferentes grupos de edades del SPP. Con lo que, segun la base de afiliados del SPP, el valor de p = 0.458 es representativo pues no se observan diferencias marcadas de la densidad de cotizacion por grupo de edad.

4.2. Resultados numericos

En esta seccion presentamos los resultados numericos correspondientes a las diversas formas de comparacion de comisiones por flujo y saldo descritas en las secciones previas.

4.2.1. Comision por saldo neutral al riesgo ([[delta].sup.*.sub.N])

La Tabla 3 muestra los valores de [[delta].sup.*.sub.N] anualizada y en porcentaje, para ciertas edades, cinco perfiles (M/SU, M/U, H/SU, H/U y E) donde los primeros cuatro se describen en la Tabla 2, un escenario moderado (asume un rendimiento anual real del fondo igual a 5% efectivo anual) y tres valores distintos de comision por flujo correspondientes a 1.47%, 1.615% y 1.84% del salario ([[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.pro] = 0.1761 y [[alfa].sub.max] = 0.2033). La Tabla 4 muestra la misma informacion pero para el escenario agresivo, el cual asume una rentabilidad anual real del fondo igual a 7.01%. Notar ademas que [[delta].sup.*.sub.N] es independiente de la contribucion inicial [W.sub.0] > 0. Se puede observar en ambas tablas que [[delta].sup.*.sub.N] es estrictamente creciente con la edad (o estrictamente decreciente en T) para un perfil, un [alfa] y un escenario fijo de rentabilidad. Asimismo, [[delta].sup.*.sub.N] es estrictamente decreciente en la tasa de crecimiento tal como se derivo en la expresion (18), esto para T, [alfa] y perfil de contribuciones fijos. En el escenario moderado y considerando un afiliado de 30 anos con perfil H/SU (segun la Tabla 2), se tiene [[delta].sup.*.sub.N] = 0.792% anual para [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[delta].sup.*.sub.N] = 0.879% para [[alfa].sub.pro] = 0.1761 y [[delta].sup.*.sub.N] = 1.019% para [[alfa].sub.max] = 0.2033. Por ejemplo, esto implica que cuando se considera una comision por flujo igual a [[alfa].sub.min] un cargo por saldo menor a 0.792% hara preferible la comision por saldo para el afiliado de 30 anos y perfil H/SU. En el escenario agresivo dichas comisiones limite serian 0.707% para amin, 0.784% para apiro y 0.908% para [[alfa].sub.max]. Notar que [[delta].sup.*.sub.N] > 0.518% para todos los escenarios de las Tablas 3 y 4 (sin considerar el perfil E). Tal valor corresponde a un afiliado de 20 anos de edad con perfil M/SU y bajo un escenario agresivo de rentabilidad del fondo. Es decir, que una tasa de comision por saldo menor o igual a 0.518% haria preferible a tal comision para todos los tipos de afiliados (sin E) y escenarios considerados. Asimismo, las diferencias entre [[delta].sup.*.sub.N] para los distintos perfiles (sin E) son de alrededor de 0.04% para afiliados menores a los 40 anos, esto implica que las diferentes tasas de crecimiento de salario generan valores bastante similares de [[delta].sup.*.sub.N] . Tambien se ha incluido un caso particular, E, el que corresponde a una secuencia de contribuciones reales iguales a [W.sub.0] > 0. Los valores de [[delta].sup.*.sub.N] que genera E bajo el escenario moderado son similares a los del escenario agresivo (sin considerar E y para un mismo a). Este hecho es interesante porque la diferencia entre los rendimientos esperados de los escenarios moderado y agresivo es 2% anual, mientras que la tasa de crecimiento de las contribuciones es cercana a 2% para los diferentes perfiles. Entonces, un incremento de las contribuciones produce un efecto similar en [[delta].sup.*.sub.N] que un incremento similar en el rendimiento esperado del fondo. La Figura 1 muestra el grafico de [[delta].sup.*.sub.N] como una funcion de la edad y perfil de contribuciones pero solo para el escenario moderado y considerando [[alfa].sub.prom].

Bajo el supuesto de existencia de la medida de probabilidad neutral al riesgo Q es posible determinar la comision por saldo que hace a los precios [p.sub.s] en (19) y [p.sub.f] en (20) iguales. Tal comision de indiferencia equivale a [[delta].sup.*.sub.N] cuando [my] es igual a la tasa libre de riesgo r. La Tabla 5 resume tal informacion para distintas edades de afiliados, tasas de la comision por flujo y perfiles de aporte. Ademas, debido a la propiedad (18) todos los valores de la Tabla 5 son mayores que los de las Tablas 3 y 4. Por ejemplo, para un afiliado de 20 anos bajo una comision por flujo [[alfa].sub.pro] , el promedio de [[delta].sup.*.sub.N] excluyendo el perfil E es igual a 0.85% para r equivalente a 1.52% anual (Tabla 5) mientras que se tienen 0.66% y 0.58% en el caso de rendimientos del fondo correspondientes a 5.00% anual (Tabla 3) y 7.01% anual (Tabla 4), respectivamente. Para la misma edad pero bajo [[alfa].sub.min], los valores promedio de la comision de indiferencia serian 0.77%, 0.60% y 0.52%; y, para [[alfa].sub.max] tendriamos 0.99%, 0.76% y 0.67%. Finalmente, a medida que la edad del afiliado se incrementa, las diferencias entre las respectivas comisiones de las Tablas 3 y 5 se hacen mas significativas.

Comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.N], en porcentaje (%) y anualizada para diferentes combinaciones de edad y genero/educacion bajo un escenario moderado ([r.sub.M] = 4.90% anual en tiempo continuo).

Se ha incluido el caso de contribuciones iguales (E). Se ha asumido [alfa] = 0.1761 (corresponde a un cargo por flujo igual a 1.615% del salario bajo una tasa de contribucion constante de 10% de este ultimo) y una edad de jubilacion de 65 anos.

4.2.2. Comision por saldo aversa al riesgo [[delta].sup.*.sub.A]

Queremos estudiar el efecto de la aversion al riesgo en [[delta].sup.*.sub.A] Recordar que [[delta].sup.*.sub.A] es la comision por saldo que hace E[([[??].sub.s] (T))] es igual a E[U([[??].sub.f] (T))] bajo la funcion de utilidad cuadratica en v (45). De manera mas especifica, se brindara informacion acerca de [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] con el efecto de aislar el efecto causado por la aversion al riesgo. La Tabla 6 muestra los valores de [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N], anualizados y en porcentaje, para distintas edades, perfiles de contribucion (ver Tabla 2) y valores de comision por flujo pero bajo el escenario moderado de rentabilidad. Se ha asumido p = 1, i.e., no hay interrupcion en la secuencia de contribuciones y b [flecha diestra] [infinito] (caso extremo de aversion al riesgo). Notar que cuando b se acerca a infinito [[delta].sup.*.sub.A] se vuelve independientede la contribucion inicial [W.sub.0] > 0 porque se necesita epcontrar [delta] tal que 2E[([[??].sub.s] (T)).sup.2] - E[[[[??].sub.s](T)].sup.2] es igual a 2E([[??].sub.f](T)) - E[[[[??].sub.f](T)].sup.2] mbas expresiones.

Los resultados numericos de la Tabla 6 (escenario moderado) muestran que [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] se mantiene estable para los perfiles M/SU, M/U, H/SU, y H/U. Por ejemplo, [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] [aproximadamente igual a] 0.021% para amin, [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] [aproximadamente igual a] 0.024% para apro y [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] [approximately equal to] 0.027% para [[alfa].sub.max]. En el caso del perfil E, los valores de [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] tienden a ser 0.005% menores que los correspondientes a los otros perfiles. Sin embargo, y tal como lo indican los valores de la Tabla 7, la situacion cambia dramaticamente cuando se considera el escenario agresivo. Por ejemplo, si consideramos los perfiles de la Tabla 2 (se excluye E) para un afiliado de 20 anos [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] 0.25% para amin, [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] [approximately equal to] 0.28% para [[alfa].sub.pro] y [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] " 0.32% para [[alfa].sub.max]. Sin embargo, para un afiliado de 50 anos tales valores no excederian a 0.1%. Ademas, el perfil E tiende a presentar valores de [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] mayores, sobre todo en afiliados menores de 25 anos. La Figura 2 muestra los valores de [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N] como funcion de la edad y del perfil de contribucion para el escenario agresivo y apro.

Comision por saldo aversa al riesgo menos comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N], en porcentaje (%) y anualizada para diferentes combinaciones de edad y genero/educacion bajo un escenario agresivo ([r.sub.A] = 7.68% anual en tiempo continuo). Se ha incluido el caso de contribuciones iguales (E). Se ha asumido b [flecha diestra] [infinito], p = 1 (sin interrupciones), [alfa] = 0.1761 (corresponde a un cargo por flujo igual a 1.615% del salario bajo una tasa de contribucion constante de 10% de este ultimo) y una edad de jubilacion de 65 anos.

4.2.3. Comparacion de equivalentes de certeza ([DELTA][CE.sub.sf])

En esta seccion vamos a estudiar el ratio

(73) [SIGMA][CE.sub.f] = CE[[[??].sub.S](T)/[[??].sub.f](T)] - 1

El valor de [DELTA][CE.sub.sf], bajo funcion de utilidad cuadratica tiene expresion analitica explicita debido a que las formulas (71) y (72) pueden utilizarse en (73). Pero, [DELTA][CE.sub.sf], dependera de [W.sub.0] inclusive se asume [W.sub.T] como en la Seccion 4.1.2. En consecuencia, este hecho complica el estudio del comportamiento de [DELTA][CE.sub.sf], debido a cambios en b y p porque los resultados dependeran tambien de [W.sub.0]. Una alternativa para eliminar la dependencia de [W.sub.0] es utilizar una funcion de utilidad tal que [DELTA][CE.sub.sf], sea independiente de [W.sub.0] cuando WT se asume como en la Seccion 4.1. Si utilizamos una funcion de utilidad CRRA de la forma

(74) U (W) = [W.sup.1-[gamma]]/1 - [gamma],

donde W es la riqueza terminal ajustada y [gamma] > 0, entonces [DELTA][CE.sub.sf], no dependera de [W.sub.0]. Este hecho sera importante para separar el efecto de la aversion al riesgo y de la densidad de cotizacion en [DELTA][CE.sub.sf], del causado por [W.sub.0]. Es importante mencionar que las expresiones para CE [[[??].sub.s](T)] y CE[[[??].sub.f](T)] no estan disponibles para (74), con lo que se tendra que utilizar simulacion para obtener un estimador de [DELTA][CE.sub.sf].

La Tabla 8 presenta los valores estimados de [DELTA][CE.sub.sf] para: diferentes edades, dos valores de densidad de cotizacion (p = 1.00 y p = 0.458), el perfil de contribuciones M/SU (como los resultados para los otros perfiles de la Tabla 2 son muy similares entre si estos no se han reportado) y los escenarios moderado y agresivo descritos en la Seccion 4.1. Siguiendo a Poterba et al. (2005), se consideran tres valores distintos de aversion al riesgo del afiliado: [gamma] = 1 para un grado bajo y en este caso U(W) = ln(W), y = 4 para un grado moderado y [gamma] = 8 para un grado alto. El valor de la comision por saldo, [delta], se fija en 1% anual, y el valor de la comision por flujo, [alfa], se fija en 0.1761. El numero de caminos muestrales de la riqueza ajustada utilizados para estimar [DELTA][CE.sub.sf] se determino utilizando el procedimiento secuencial de Kelton y Law (2000) con un error relativo de 0.0001 y un nivel de confianza de 99 %. Asimismo, las Figuras 3 y 4 resumen la informacion contenida en la Tabla 8.

A partir de los resultados obtenidos se observa la poca o casi nula influencia que tiene la densidad de cotizacion en [DELTA][CE.sub.sf], esto en consecuencia a que las curvas correspondientes a p = 1.00 y p = 0.458 practicamente se superponen en las Figuras 3 y 4. La mayor diferencia causada por la densidad de cotizacion se obtiene para el escenario agresivo y cuando [gamma] = 8, tal diferencia no excede a 0.2%. Asimismo, se puede observar que [DELTA][CE.sub.sf] es una funcion creciente en y para una edad fija, esto corrobora parcialmente la Proposicion 3.3 en relacion con el hecho que a mayor aversion al riesgo la comision por saldo mejora respecto de su par por flujo. Sin embargo, no se obtiene [DELTA][CE.sub.sf] > 0 para toda edad, pues estamos fijando [[DELTA].sup.*.sub.N] en 1% en vez de trabajar con la comision por saldo neutral al riesgo, [[DELTA].sup.*.sub.N], correspondiente. Ademas, a partir de cierta edad se tiene que [DELTA][CE.sub.sf] > 0 (tal edad depende de los valores considerados para las variables), lo que en parte verifica el rol que tiene [[delta].sup.*.sub.I] en la funcion [gamma] segun lo establecido como consecuencia de los resultados de la Proposicion 3.5. Consecuentemente, incrementos en [gamma], manteniendo fijas las otras variables, tienden a disminuir la edad a partir de la cual la comision por saldo se torna favorable. Asimismo, si [delta] disminuye, i.e., la comision por saldo se vuelve mas atractiva, las curvas de [DELTA][CE.sub.sf] correspondientes a un [gamma] fijo deberian subir. Tambien, a medida que aumenta el riesgo del fondo el efecto de la aversion al riesgo es mas marcado,

[[DELTA].sup.*.sub.N]

Valores estimados de [DELTA][CE.sub.sf] = CE[[[??].sub.s](T)]/CE[[[??].sub.f](T)] - 1 en porcentaje (%) para diferentes edades, valores del coeficiente de aversion al riesgo ([gamma] = 1, 4, 8) y densidades de cotizacion (p = 1.00 y p = 0.458) bajo un escenario moderado ([[my].sub.M] = 5.3% anual y [[my].sub.M] = 8.7% anual) y perfil de contribucion M/U segun Tabla 2. Se ha asumido utilidad CRRA, [delta] = 1% anual, [alfa] = 0.1761 (corresponde a un cargo por flujo igual a 1.615% del salario bajo una tasa de contribucion constante de 10% de este ultimo) y una edad de jubilacion de 65 anos.

Valores estimados de [DELTA][CE.sub.sf] = CE[[[??].sub.s](T)]/CE[[[??].sub.f](T)] - 1 en porcentaje (%) para diferentes edades, valores del coeficiente de aversion al riesgo ([gamma] = 1, 4,J 8) y densidades de cotizacion (p = 1.00 y p = 0.458) bajo un escenario agresivo ([[my].sub.A] = 7.8% anual y [[sigma].sub.A] = 14.6% anual) y perfil de contribucion M/SU segun Tabla 2. Se ha asumido utilidad CRRA, [delta] = 1% anual, [alfa] = 0.1761 (corresponde a un cargo por flujo igual a 1.615% del salario bajo una tasa de contribucion constante de 10% de este ultimo) y una edad de jubilacion de 65 anos. pues las curvas correspondientes tienden a alejarse entre si y tal separacion es mayor para los afiliados de menor edad. Por ejemplo, si fijamos una edad de 20 anos, en el escenario moderado se tiene que [DELTA][CE.sub.sf] [elemento de] [-7.76%, -3.93%] (este rango aplica para los valores de [gamma] y P considerados) y en el agresivo [DELTA][CE.sub.sf] [elemento de] [-10.12%, -1.40%], mientras que para un afiliado de 35 anos los rangos correspondientes son hCEsf e[1.15%, 3.04%] en el escenario moderado y [DELTA][CE.sub.sf] [elemento de] [-0.11%, 4.76%] en el agresivo. Notar que tales rangos son validos para los valores considerados en esta aplicacion. Finalmente, la pendiente de [DELTA][CE.sub.sf] tiende a ser positiva, mantenerse constante con la edad y disminuir al incrementar el grado de aversion al riesgo.

4.2.4. Comision por saldo equivalente desde la perspectiva de la AFP ([[delta].sub.AFP])

A continuacion se va a estudiar la evolucion de la comision por saldo equivalente de la AFP, [[delta].sub.AFP], utilizando el modelo simplificado descrito en la Seccion 2.4. Se han considerado tres valores de comision por flujo correspondientes a 1.47%, 1.615% y 1.84% del salario ([[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.pro] = 0.1761 y [[alfa].sub.max] = 0.2033) y cinco valores de la tasa de descuento, r, iguales a: 0.5%, 1.0%, 1.5%, 2.0% y 3% anual en tiempo continuo. Se fija ademas una edad de jubilacion de 65 anos la cual equivale a [t.sub.r] = 780 meses y una edad minima de afiliacion de 20 anos la cual equivale a [t.sub.m] = 240 meses. Los aportes de los afiliados iniciales (secuencia {[W.sub.0]}) y nuevos (secuencia {[W.sup.N]}) se asumen bajo el modelo exponencial dado por (69) con [beta] = 3% anual y [W.sub.0] > 0 arbitrario; con lo cual, independientemente de la edad y del momento en el que ingresan al sistema, todos los afiliados tienen el mismo perfil de aportes.

Ademas, se asume una distribucion en la poblacion tal que [x.sup.0]([t.sub.0]) es igual a [x.sup.N](t) para todo [t.sub.0] y t, i.e., existe la misma cantidad de afiliados por edad y se incorporan al sistema siempre un numero igual de ellos. Los supuestos anteriores hacen que [[delta].sub.AFP] se vuelva independiente de la contribucion inicial de cada afiliado y del numero de afiliados. La AFP fija un horizonte de analisis de 45 anos, es decir que [T.sub.AFP] = 540 meses, i.e., solo se van a considerar ingresos por comisiones en un rango de 45 anos.

La Tabla 9 muestra la evolucion en el tiempo de [[delta].sub.AFP] segun los supuestos descritos anteriormente. Es importante mencionar que el modelo descrito en la Seccion 2.4 solo brindaria el valor correspondiente a t=0 (primera fila de la tabla). Para calcular los valores subsecuentes de [[delta].sub.AFP] se han considerado los ingresos por comisiones que se daran en un horizonte de 45 anos empezando en un ano especifico. Dichos ingresos contienen el "stock" de comisiones de los afiliados actuales en el sistema mas las comisiones generadas por los afiliados nuevos (en la tabla se presenta el tiempo en anos pero los ingresos por comisiones han sido actualizados mensualmente). Observando los valores de la Tabla 9 se aprecia que [[delta].sub.AFP] es una funcion decreciente del tiempo para [alfa] y r constantes. Tal comportamiento es esperado, pues a medida que el tiempo pasa, el fondo total administrado por la aFp crece y por ende los ingresos bajo comision por saldo; pero tal reduccion es menor con el tiempo, debido a que se va llegando a una situacion de estabilidad en la cual el efecto de los aportes de los afiliados iniciales del sistema en t = 0 va desapareciendo. Como se puede observar, los valores de largo plazo de [[delta].sub.AFP] convergen a diferentes valores para las combinaciones de [alfa] y r consideradas. Por ejemplo, cuando [[alfa].sub.pro] = 0.1761 (valor promedio de comision por flujo del SPP que corresponde a 1.615% del salario) y r igual a 1.50% anual, [[delta].sub.AFP] tiende a 0.84% anual aproximadamente. Asimismo, resulta interesante comparar los resultados de la Tabla 9 con los valores de las Tablas 3, 4, 6 y 7, esto con el fin de determinar la edad del afiliado para la cual la comision [[delta].sub.AFP] es menor o mayor que las comisiones por saldo neutrales y aversas al riesgo, y asi analizar la conveniencia de los esquemas de cobro. La Figura 5 muestra graficamente la informacion de la Tabla 9 para [[alfa].sub.pro] = 0.1761 y alli se observa claramente la convergencia de [[delta].sub.AFP] a valores distintos de r. Ademas, cada 0.5% anual de incremento en la tasa libre de riesgo corresponde aproximadamente a una reduccion de [[delta].sub.AFP] igual a 0.6% anual.

Evolucion de la comision por saldo equivalente para la AFP, [[delta].sub.AFP], en porcentaje (%) y anualizada. Se ha asumido [alfa] = 0.1761 (corresponde a un cargo por flujo igual a 1.615% del salario bajo una tasa de contribucion constante de 10% de este ultimo), cinco escenarios de la tasa libre de riesgo r iguales a 0.50%, 1.00%, 1.50%, 2.00% y 3.00% anual, una edad de jubilacion de 65 anos, una edad minima de ingreso al sistema de 20 anos, un horizonte de analisis [T.sub.AFP] = 45 anos, una tasa de crecimiento del salario [beta] = 3% anual, una contribucion inicial comun [W.sub.0] > 0 y una distribucion de la poblacion tal que [x.sup.N] = [x.sup.0].

La Tabla 10 muestra los valores de largo plazo de [[delta].sub.AFP] (en porcentaje y anualizada) para diferentes tasas de crecimiento anuales del salario, [beta], y valores de la comision por flujo [alfa]. En la mencionada tabla se muestran los valores de la comision por flujo tambien en terminos del porcentaje del salario, f, cuando la contribucion obligatoria es igual a 10% del salario. Asimismo, se especifica un valor de la tasa libre de riesgo igual a 1.52% anual. Es importante mencionar que se mantienen los supuestos y los valores de los otros parametros del modelo tal como se considero al inicio de la seccion. Se puede observar que [[delta].sub.AFP] es creciente tanto en [beta], como en el valor de la comision por flujo. Mas aun, los valores de la Tabla 10 pueden contrastarse con [[delta].sup.*.sub.N] y [[delta].sup.*.sub.A] para determinar la conveniencia de los sistemas de cobro en el largo plazo. Cuando [beta] [elemento de] [2%, 3%] y [alfa] = 0.174 (equivalente a 1.615% del salario) se tiene que [[delta].sub.AFP] [elemento de] [0.75%, 0.83%] aproximadamente. Lo anterior implica que en el escenario promedio de a en la Tabla 3 ([[alfa].sub.pro]), se tiene [[delta].sup.*.sub.N] < [[delta].sup.*.sub.A]FP para un afiliado menor a 28 anos y [[delta].sup.*.sub.N] > [[delta].sup.*.sub.A]FP para un afiliado de 32 anos. En el escenario agresivo de la Tabla 4 las respectivas edades de corte serian 27 y 33 anos, aproximadamente.

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En el presente articulo se ha desarrollado una metodologia en tiempo discreto que permite comparar comisiones por flujo y saldo en sistemas de pensiones con cuentas individuales de capitalizacion durante su fase de acumulacion. Al considerar el proceso estocastico subyacente del valor cuota como un movimiento browniano geometrico se han podido calcular analiticamente valores esperados y varianzas de fondos de pensiones, los cuales han permitido introducir diferentes metodos para realizar la comparacion y demostrar propiedades importantes de los tipos de comision antes mencionados.

Los metodos de comparacion considerados fueron: ratio de valores esperados de fondos finales, ratio de valores futuros de comisiones a pagar, inversas de los coeficientes de variacion de fondos finales y diferencia de utilidades esperadas de riqueza terminal. Ademas, se introdujo un modelo simplificado para determinar comisiones equivalentes (en el corto y largo plazo) desde el punto de vista de una AFP. En muchos casos se obtienen resultados muy generales en cuanto al desempeno relativo de los esquemas de comision, y estos se logran en su mayoria sin la necesidad de asumir un patron particular en la secuencia de aportes. Adicionalmente, en el marco de la metodologia considerada, se brindan formulas y/o expresiones que permiten determinar el tipo de comision que seria conveniente para cada afiliado.

Se ha estudiado tambien el efecto que tiene la aversion al riesgo del afiliado en la comparacion de comisiones por flujo y saldo. A partir del uso de una funcion de utilidad cuadratica, se demuestra, por lo general, que incrementos de aversion al riesgo mejoran el desempeno de la comision por saldo respecto de su par por flujo. Asimismo, incorporando un proceso de interrupcion de aportes independiente del proceso estocastico del fondo, se ha podido estudiar el efecto de la densidad de cotizacion en la comparacion de comisiones. Sin embargo, a pesar que se derivan propiedades importantes para los otros criterios de comparacion, solo es posible brindar resultados parciales respecto del efecto de la densidad de cotizacion cuando se utiliza el criterio de la utilidad esperada. Tales resultados son validos al considerar valores especificos de comision por saldo, por lo que su generalizacion es limitada.

A partir del desarrollo teorico y su aplicacion practica al SPP, se puede afirmar que una comparacion utilizando solamente valores esperados de fondos finales resulta incompleta e imprecisa, ya que cuando se anade el efecto del riesgo de acumulacion del fondo en dicha comparacion las conclusiones tienden a cambiar, y en algunos casos de manera importante. Por ejemplo para el SPP, utilizando unicamente valores esperados y ciertos supuestos, una comision por saldo de 0.5% anual haria conveniente al esquema por saldo sobre el flujo en casi todo escenario; esto considerando la comision minima por flujo del SPP que es igual al 14.70% de los aportes. Sin embargo, si se incorpora aversion al riesgo en la comparacion, dicha comision de indiferencia podria incrementarse hasta en 0.3% anual para ciertos escenarios relevantes. Por otro lado, densidades de cotizacion de 50% y 100% producen practicamente los mismos efectos en los equivalentes de certeza generados bajo ambos esquemas de comision, incluso al considerar diferentes niveles de aversion al riesgo. Lo anterior comprobaria empiricamente que la densidad de cotizacion tiene un efecto secundario en la comparacion de comisiones.

Utilizando el modelo simplificado desarrollado desde el punto de vista de la AFP, es posible determinar la evolucion en el tiempo de la comision por saldo equivalente y su valor de largo plazo. Para una comision por flujo igual a 16.15% de los aportes (promedio del SPP) y una tasa de crecimiento de los salarios igual al 3% anual, el valor de largo plazo de tal comision de equivalencia es cercano a 0.8% anual. Asumiendo que el afiliado exhibe neutralidad al riesgo y el rendimiento del fondo es igual a 5% anual, tal valor de la comision por saldo haria a esta preferible solo para afiliados mayores a los 28 anos. Ademas, incrementos en la aversion al riesgo del afiliado tenderian a disminuir tal edad critica. Consecuentemente, dada una comision por flujo constante (con valores similares a sus niveles actuales), es posible que la comision de indiferencia por saldo de la AFP no llegue a niveles que la harian preferible para cualquier afiliado del SPP, y en especial para el segmento mas joven.

Es posible hacer muchos refinamientos a la metodologia y a los metodos de comparacion, los cuales pueden generar nuevas investigaciones. Por ejemplo, podrian considerarse comisiones variables por saldo segun la evolucion de las comisiones equivalentes de la AFP y procesos estocasticos mas sofisticados para el valor cuota. Asimismo, seria interesante contrastar los esquemas utilizando politicas optimas que permitan cambiar el nivel de riesgo y rendimiento del fondo de acuerdo con la edad del afiliado y tamano del fondo, en un contexto de optimizacion estocastica. Mas aun, es posible trabajar bajo el supuesto de complecion del mercado y brindar expresiones para determinar utilidades terminales esperadas empleando valuacion en ausencia de oportunidades de arbitraje. Finalmente, utilizando todos los metodos desarrollados, se podria estudiar a profundidad las implicancias del cambio de comision por flujo a comision mixta en el marco de la reforma del SPP.

A. Estimacion de los parametros del modelo

A.1. Calibracion del MBG

Es necesario calcular los parametros [my] y [sigma] del proceso estocastico del valor cuota del fondo. Para el escenario moderado, la volatilidad mensual de los rendimientos reales es [[sigma].sub.M] = 2.511%, y tal valor se ha estimado a partir de los rendimientos logaritmicos diarios corregidos por inflacion de los fondos Tipo 2 (riesgo moderado) del SPP. Para el escenario agresivo, la volatilidad mensual se fija en [[sigma].sub.A] = 4.212%, y se ha estimado a partir de los rendimientos logaritmi cos diarios corregidos por inflacion de los fondos Tipo 3 (riesgo alto) del SPP. En ambos casos se ha considerado para la calibracion informacion diaria del 02/01/2009 al 30/05/2013. Debido a la corta historia de los rendimientos de los fondos del SPP es de esperar que los drifts calibrados tengan un alto error de estimacion. Por esta razon, y siguiendo las justificaciones del Anexo Tecnico No. 2 de SBS (2013), se asume un rendimiento anual real para el escenario moderado igual a 5.0% efectivo anual (el rendimiento historico real del fondo Tipo 2 es aproximadamente 6.0% efectivo anual). Por teoria del MBG se verifica que [r.sub.M] = [[my].sub.M] - 0.5 [[sigma].sup.2.sub.M],, donde [r.sub.M] es el rendimiento esperado mensual real en tiempo continuo del fondo moderado. Despues de las transformaciones adecuadas se obtiene [r.sub.M] = 0.0041 con lo cual [[mu].sub.M] = 0.0044. Para el caso del escenario agresivo consideramos que el market price of risk es constante, i.e., [[my].sub.i]-r/[sigma] = k para i = M, A donde r es la tasa de interes mensual libre de riesgo ajustada por inflacion y expresada en tiempo continuo. El parametro r se estima por medio de los rendimientos reales de los bonos VAC Soberanos (indexados a la inflacion) a 6 anos (se toma este punto como representativo de la estructura de plazos pues proporciona un balance entre el horizonte de aportacion y los plazos de reinversion). La serie de datos consta de observaciones diarias de la tasa real a 2160 dias del periodo 12/20/2005 al 05/16/2013. Con la informacion se obtuvo r=0.0013 mensual (lo que equivale a 1.52% efectivo anual), entonces k = 0.125 y con ello es posible estimar [[my].sub.A]. Despues de realizar los calculos respectivos se tiene [[my].sub.A] = 0.0065 mensual, lo cual corresponde a un rendimiento real aproximado de 7.01% efectivo anual. Es importante mencionar que los valores de p y o presentados en la Seccion 4.1 son referenciales y se obtienen escalando directamente sus respectivos valores mensuales.

A.2. Crecimiento real de los salarios

Esta parte se basa enteramente en SBS (2013). Estudios empiricos y teoricos en economia laboral indican que la tasa de crecimiento del salario real es explicada en su mayoria por el nivel de productividad del trabajador (Mincer, 1974 y Ashenfelter, 2012), ademas las ganancias en productividad estan asociadas con el nivel de educacion y la experiencia laboral. Para la economia Peruana, Castro y Yamada (2010) muestran evidencia empirica de diferencias salariales explicadas por genero y edad.

La tasa de crecimiento del salario real a lo largo de la curva de salario de los afiliados al SPP se determino utilizando los correspondientes salarios implicitos (contribuciones sobre tasa de contribucion obligatoria) entre junio de 2010 y septiembre de 2012 (10 trimestres). Los afiliados fueron clasificados a base de su genero y nivel educativo: universitario y no universitario, y se calculo el correspondiente salario promedio por rango de edad a soles de septiembre de 2012. La Tabla 1 muestra los porcentajes de crecimiento real como funcion de las diferentes combinaciones genero/educacion y un rango de edad de 5 anos.

El impacto de la productividad en el crecimiento del salario real se estimo utilizando la Encuesta Permanente de Empleo (EPE) entre los anos 2003 y 2012. La variacion anual de los salarios reales fue determinada para las mismas combinaciones de genero/educacion. Los valores para mujeres y hombres sin educacion superior fueron 2.73% y 3.52% por ano, respectivamente. Por otro lado, las variaciones fueron 1.69% y 0.63% por ano para mujeres y hombres con educacion superior, respectivamente. Es importante considerar que la tasa de crecimiento por ganancia de productividad no deberia ser constante en el tiempo. Con lo que los cambios porcentuales presentados son considerados para los primeros 10 anos, despues de 20 anos se asume que las ganancias en productividad convergen a 1.00% (valor de largo plazo), y para los anos del 11 al 20 se considera el promedio entre las ganancias actuales de productividad y las correspondientes de largo plazo. La Tabla 2 resume la informacion del crecimiento del salario real debido al incremento en la productividad.

La tasa de crecimiento del salario real (anualizada) es la suma del crecimiento correspondiente a lo largo de la curva de salario mas el componente de ganancia por incremento de productividad. Por ejemplo, una mujer con estudios universitarios de 23 anos tendra un crecimiento real del salario igual a 3.74% por ano (2.05% de la curva de salario mas 1.69% por productividad) hasta que llegue a los 27 anos. De los 28 a los 32 anos de edad la tasa de crecimiento real sera de 2.95% (1.26% de la curva de salario mas 1.69% por productividad). Adicionalmente, de los 33 a los 37 anos la tasa de crecimiento sera de 2.33% (0.98% de la curva de salario mas 1.35% por productividad), notar que el cambio de la ganancia por productividad despues de 10 anos, va de 1.69% a 1.35 %. Se puede continuar de la misma forma hasta que se determinan las tasas de crecimiento durante toda la fase de acumulacion. Finalmente, las tasas de crecimiento anuales son transformadas a tasas mensuales, [tau], con lo cual la sucesion mensual de contribuciones [W.sub.T] sera tal que [W.sub.i+1] = (1 + [[tau].sub.i]) [W.sub.i] para i [mayor que o igual a] 0 y W > 0 arbitrario.

REFERENCIAS

Arenas de Mesa, A. y Mesa-Lago, C. (2006). "The structural pension reform in Chile: Effects, comparisons with other Latin American reforms, and lessons", Oxford Review of Economic Policy, 22(1):149-167.

Arenas de Mesa, A., Behrman, J. y Bravo, D. (2004). "Characteristics of and determinants of the density of contributions in a private social security system", Working paper Wp 2004-077, Michigan Retirement Research Center.

Arrau, P., Valdes-Prieto, S. y Schmidt-Hebbel, K. (1993). "Privately managed pension systems: Design issues and the Chilean experience", Technical report, World Bank, Washington DC (mimeo).

Ashenfelter, O. (2012). "Comparing real wage rates", The American Economic Review, 102(2):617-642.

Banco Mundial (1994). "Averting the old age crisis", Policy Research Report, Oxford University Press, New York.

Battocchio, P. y Menoncin, F. (2004). "Optimal pension management in a stochastic framework", Insurance: Mathematics and Economics, 34(1):79- 95.

Battocchio, P., Menoncin, F. y Scaillet, O. (2007). "Optimal asset allocation for pension funds under mortality risk during the accumulation and decumulation phases", Annals of Operations Research, 152(1):141-165.

Bielecki, T.R., Jin, H., Pliska, S.R. y Zhou, X.Y. (2005). " Continuous-time meanvariance portfolio selection with bankruptcy prohibition", Mathematical Finance, 5(2):213-244.

Blake, D. y Board, J. (2000). "Measuring value added in the pensions industry", Geneva Papers on Risk and Insurance-Issues and Practice, 25(4):539-567.

Blake, D., Cairns, A.J.G. y Dowd, K. (2003). " Pensionmetrics 2: Stochastic pension plan design during the distribution phase", Insurance: Mathematics and Economics, 33(1):29-47.

Carriere, J.F. y Shand, K.J. (1998). "New salary functions for pension valuations", North American Actuarial Journal, 2(3):18-26

Castro, J.F. y Yamada, G. (2010). "Las diferencias etnicas y de genero en el acceso a la educacion basica y superior en el Peru", Technical report, Centro de Investigacion y Departamento de Economia de la Universidad del Pacifico, Lima.

Corvera, F.J., Lartigue, J.M. y Madero, D. (2006). "Analisis comparativo de las comisiones por administracion de los fondos de pensiones en los paises de America Latina", Mimeo. Ciudad de Mexico.

Devesa-Carpio, J. y Vidal-Melia, C. (1997). "Estrategias individuales de ahorropension y perfiles de ingresos", Revista Espanola de Financiacion y Contabilidad, XXVI (90):167-195.

Devesa-Carpio, J., Rodriguez-Barrera, R. y Vidal-Melia, C. (2003). "Medicion y comparacion internacional de los costes de administracion para el afiliado en las cuentas individuales de capitalizacion", Revista Espanola de Financiacion y Contabilidad, XXXII (116):95-144.

Devolder, P., Bosch Princep, M. y Dominguez Fabian, I. (2003). "Stochastic optimal control of annuity contracts", Insurance: Mathematics and Economics, 33(2):227-238.

Diamond, P. (2000). "Administrative costs and equilibrium charges with individual accounts". En Shoven, J.B. (ed), Administrative Aspects of InvestmentBased Social Security Reform, 137-172. University of Chicago Press.

Diamond, P. y Valdes-Prieto, S. (1994). Social security reforms. En Bosworth, B., Dornbusch, R. and Laban, R. (eds), The Chilean economy: Policy lessons and challenges, 257-328. Washington DC: Brookings Institution.

Duran, F. y Pena, H. (2011). "Determinantes de las tasas de reemplazo de pensiones de capitalizacion individual: Escenarios latinoamericanos comparados", Serie seminarios y conferencias No. 64, CEPAL.

Edwards, S. (1998). The Chilean pension reform: A pioneering program. En Feldstein, M. (ed), Privatizing social security, pages 33-62. University of Chicago Press.

Escriva J.L., Fuentes, E. y Garcia-Herrero, A. (2010). "Balance de las reformas de pensiones en Latinoamerica", Las Reformas de los Sistemas de Pensiones en Latinoamerica: Avances y Temas Pendientes. Madrid, Espana: BBVA, 11-39.

Gerrard, R., Haberman, S. y Vigna, E. (2004). "Optimal investment choices post-retirement in a defined contribution pension scheme", Insurance: Mathematics and Economics, 35(2):321-342.

Gerrard, R., Haberman, S. y Vigna, E. (2006). "The management of decumulation risks in a defined contribution pension plan". North American Actuarial Journal, 10(1):84-110.

Gomez-Hernandez, D. y Stewart, F. (2008). "Comparison of costs and fees in countries with private defined contribution pension systems", Working Paper No. 6, Paris: International Organisation of Pension Supervisors.

Haberman, S. y Vigna, E. (2002). "Optimal investment strategies and risk measures in defined contribution pension schemes", Insurance: Mathematics and Economics, 31(1):35-69.

Han, N. y Hung, M. (2012). "Optimal allocation for DC pension plans under inflation", Insurance: Mathematics and Economics, 51(1):172-181.

Horneff, W.J., Maurer, R., Mitchell, O.S. y Dus, I. (2008). "Following the rules: integrating asset allocation and annuitization in retirement portfolios", Insurance: Mathematics and Economics, 42(1):396-408.

James, E., Smalhout, J. y Vittas, D. (2001). "Administrative charges for funded pensions: comparison and assessment". En Yermo, J. y Yunus, A. (eds), Private Pension Systems: Administrative Costs and Reforms, 17-83. OECD: Paris.

Kay, S.J. y Kritzer, B.E. (2001). "Social security in Latin America: Recent reforms and challenges", Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review, 86(1):41-52.

Kelton, W.D. y A.M. Law (2000). Simulation modeling and analysis. McGraw Hill Boston, MA.

Kritzer, B.E., Kay, S.J., y Sinha, T. (2011). "Next generation of individual account pension reforms in Latin America", Social Security Bulletin, 71(1):35-76.

Marthans, J. y Stok, J. (2013). "Una propuesta para reformar los sistemas privados de pensiones: el caso peruano". Documento de trabajo, Universidad de Piura.

Martinez, O., y Murcia, A. (2008). "Sistema de Comisiones de las Administradoras de Fondos de Pensiones en Colombia", Reporte tecnico, Banco de la Republica de Colombia.

Masias, L., y Sanchez, E. (2007). "Competencia y Reduccion de Comisiones en el Sistema Privado de Pensiones: El Caso Peruano", SBS Documentos de Trabajo. Superintendencia de Banca, Seguros y Administradoras de Fondos de Pensiones.

McGillivray, W. (2001). "Contribution evasion: Implications for social security pension schemes", International Social Security Review, 54(4):3-22.

Medina Giacomozzi, A., Gallegos Munoz, C., Vivallo Ruiz, C. Cea reyes, Y. y Alarcon Torres, A. (2013). "Efecto sobre la rentabilidad que tiene para el afiliado la comision cobrada por las administradoras de fondos de pensiones", Journal of Economics Finance and Administrative Science, 18(34):24-33.

Merton, R.C. (1969). "Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case", The Review of Economics and Statistics, 247-257.

Mesa-Lago, C. (2004). "Evaluacion de un cuarto de siglo de reformas estructurales de pensiones en America Latina", Revista de la CEPAL.

Mesa-Lago, C. (2006). "Private and public pension systems compared: An evaluation of the Latin American experience", Review of Political Economy, 18(3):317-334.

Mincer, J.A. (1974). "Schooling and earnings". En Mincer, J.A. (ed), Schooling, experience, and earnings, 41-63. NBER.

Mitchell, O.S. (1998). "Administrative costs in public and private retirement systems". En Feldstein, M. (ed), Privatizing social security, pages 403456. University of Chicago Press.

Murthi, M., Orszag, J.M. y Orszag, P.R. (1999). "Administrative costs under a decentralized approach to individual accounts: Lessons from the United Kingdom". En Holzmann, R. y Stiglitz, J. (eds), New Ideas about Old Age Security, 308-335. The World Bank, Washington D.C.

Poterba, J., Rauh, J., Venti, S. y Wise, D.A. (2005). "Utility evaluation of risk in retirement saving accounts". En Wise, D.A. (ed), Analyses in the Economics of Aging, 13-58. University of Chicago Press.

Queisser, M. (1998). "Regulation and supervision of pension funds: Principles and practices", International Social Security Review, 51(2):39-55.

SBS (2013). "Anexo Tecnico 1: Metodologia aplicable a los calculos del aplicativo de comparacion de comisiones", Reporte tecnico, Superintendencia de Banca, Seguros y AFP, Republica del Peru.

Shah, H. (1997). "Towards better regulation of private pension funds", World Bank Policy Research Working Paper 1791.

Sinha, T. (2000). "Pension reform in Latin America and its Lessons for international policymakers", Volume 23 Kluwer Academic Pub.

Sinha, T. (2001). "Analyzing management fees of pension funds: A case study of Mexico", Journal of Actuarial Practice, 9:5-43.

Tapia, W. y Yermo, J. (2008). "Fees in individual account pension systems: A cross-country comparison", OECD Working Papers on Insurance and Private Pensions No. 27, OECD Publishing.

Valdes-Prieto, S. (2008). "A theory of contribution density and implications for pension design", Social Protection & Labor Discussion Paper No. 0828, World Bank.

Vigna, E. (2014). "On efficiency of mean-variance based portfolio selection in defined contribution pension schemes", Quantitative Finance, 14(2):237-258.

Whitehouse, E. (2001). "Administrative charges for funded pensions: comparison and assessment of 13 countries". En Yermo, J. y Yunus, A. (eds), Private Pension Systems: Administrative Costs and Reforms, 85-154. OECD: Paris.

Yang, S. y Huang, H. (2009). "The impact of longevity risk on the optimal contribution rate and asset allocation for defined contribution pension plans", The Geneva Papers on Risk and Insurance-Issues and Practice, 34(4):660-681.

Zhou, X.Y. y Li, D.(2000). "Continuous-time mean-variance portfolio selection: A stochastic LQ framework", Applied Mathematics and Optimization, 42(1):19-33.

APENDICES

A. Demostracion de la Proposicion 2.1

A partir de la definicion de Y dada por (48), tenemos

(A1) [[derivada parcial].sub.[delta]] Y(b, [delta]) = [derivada parcial][delta]E[[W.sub.S] (DI + b x [[derivada parcial].sub.[delta]] (2E[[[W.sub.s](T)].sup.2] - E[[W.sub.s][(C).sup.2]]).

Como [[derivada parcial].sub.[delta]]E[[W.sub.s] (T)] < 0 para el escenario A y se asume b > 0, solo debemos establecer las condiciones para que

(A2) [[derivada parcial].sub.[delta]](2E[[[W.sub.s](T)].sup.2] - E[[W.sub.S][(C).sup.2]]) < 0.

Utilizando las expresiones para E[[[W.sub.S](T)].sup.2] y E[[W.sub.S][(T).sup.2]] se verifica que

(A3) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(A4) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

A partir de los resultados previos y despues de algunas simpificaciones, obtenemos

(A5) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Finalmente, (A5) sera menor o igual a cero si [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para todo i, lo cual se cumple cuando [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

B. Demostracion de la Proposicion 2.2

Si S se fija en el nivel dado por [[delta].sup.*.sub.N] y utilizamos el hecho que [H.sub.s] > [H.sub.f], entonces E[[W.sub.f](T)] = E[[W.sub.s](T)], E[[W.sub.f] [(T).sup.2]] > E[[W.sub.S][(T).sup.2]] y

(B1) [GAMMA](b, [[delta].sup.*.sub.N]) = E[U([W.sub.S](T))]- E[U([W.sub.f](T))] = b(E[[W.sub.f][(T).sup.2]] - E[[W.sub.S][(T).sup.2]]) > 0.

Como el lado derecho de (B1) es positivo y creciente en b, tenemos [GAMMA](b, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 y ademas [[derivada parcial].sub.b] [GAMMA](b, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0.

Para [delta] > 0, definimos la funcion [LAMBDA]([delta]) como

(B2) [LAMBDA]([delta]) = 2E[[[W.sub.S](T)].sup.2] - E[[W.sub.S][(T).sup.2]] - (2E[[[W.sub.f](T)].sup.2] - E[[W.sub.f][(T).sup.2]]).

A partir de la demostracion de la Proposicion 2.1, sabemos que si [[sigma].sup.2] [menor que o igual a] 1/T ln(2), entonces [[derivada parcial].sub.[delta]][LAMBDA]([delta]) < 0. Mas aun, va a existir [[delta].sup.*.sub.[infinito]] > > [[delta].sup.*.sub.N] tal que [LAMBDA]([[delta].sup.*.sub.[infinito]]) = 0. Para cualquier b > 0, se tiene

(B3) [GAMMA](b, [[delta].sup.*.sub.[infinito]]) = E[[W.sub.S](T)] - E[[W.sub.f](T)] = K.

Notar que K < 0 y es independiente de b. Si tomamos dos valores arbitrarios del coeficiente de aversion al riesgo [b.sub.1] > 0, [b.sub.2] > 0 tales que [b.sub.1] > [b.sub.2], y [delta] [elemento de] ([[delta].sup.*.sub.N], [[delta].sup.*.sub.[infinito]), entonces podemos afirmar que [GAMMA]([b.sub.1], [delta]) > [GAMMA]([b.sub.2], [delta]) con [delta] dentro del intervalo previamente establecido, y ademas [[delta].sup.sub.A]([b.sub.1]) > [[delta].sup.*.sub.A]([b.sub.2]). Notar que ambos [[delta].sup.*.sub.A]([b.sub.1]) y [[delta].sup.*.sub.A]([b.sub.2]) existen porque [GAMMA](b, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0, [GAMMA](b, [[delta].sup.*.sub.[infinito]]) < 0 y [[derivada parcial].sub.[delta]][GAMMA](b, [delta]) < 0 para cualquier b > 0.

C. Demostracion de la Proposicion 3.1

Solo vamos a mostrar el resultado correspondiente a Var([[??].sub.s] (T)), debido a que Var([[??].sub.f] (T)) se puede obtener asumiendo [delta] = 0 y multiplicando la expresion resultante por [e.sup.-2[alfa]].

Primero trabajamos con Var([Z.sub.i][W.sup.i.sub.s] (T)). Es claro que

(C1) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

porque

(C2) E[[W.sup.i.sub.S] (T)] = [W.sub.i][e.sup.([my]-[delta])(T -i)],

y

(C3) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Entonces,

(C4) Var([Z.sub.i][W.sup.i.sub.S](T)) = E[[Z.sup.2.sub.i][W.sup.i.sub.S][(T).sup.2]] - E[[[Z.sub.i][W.sup.i.sub.S](T)].sup.2]

(C5) = E[[Z.sup.2.sub.i]]E[[W.sup.i.sub.2][(T).sup.2]] - E[[[Z.sub.i]].sup.2] E[[[W.sup.i.sub.S](T)].sup.2]

(C6) = [p.sub.i]E[[W.sup.i.sub.S] [(T).sup.2]] - [p.sup.2.sub.i]E[[[W.sup.i.sub.S] (T)].sup.2]

(C7) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(C8) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Para obtener (C5), utilizamos el hecho que [W.sup.i.sub.S] (T) y [Z.sub.i] son independientes. La expresion (C6) se justifica porque [Z.sub.i]~Bernoulli ([p.sub.i]) y E[[Z.sup.2.sub.i]] = E[[Z.sub.i]] = [p.sub.i]. Para obtener (C7), se han utilizado (C2) y (C1). A continuacion, se va a verificar que [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para i [desigual a] j donde [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Asumiendo j > i, definiendo

(CQ) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

y utilizando las propiedades de Wls, tenemos

(C10) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(C11) = [v.sub.ij] Cov[(.sup.e[sigma](B(T)-B(j)+B(j')-B(i))], [e.sup.[sigma](B(T)-B(j))])

(C12) = [v.sub.ij]E[[e.sup.[sigma](B(j)B(i)]] Var ([e.sup.[sigma](B(r)-B(j)])

(C13) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(C14) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Para obtener (C12) hemos utililizado el hecho que B(T) - B(j) es . independiente de B(j)- B(i). La expresion (C13) se verifica porque ambas [e.sup.[sigma](B(j)-B(l))] y e[sigma](B(T)-B(j)))] son variables aleatorias con distribucion log-normal.2Si se asume i > j, entonces en vez de (C14) se obtiene [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Consecuentemente, hemos demostrado que [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Tambien es importante calcular la covarianza de [Z.sub.i][W.sup.i.sub.S] (T) y [Z.sub.j][W.sup.j.sub.S](T) con i [desigual a] j. Entonces,

(C15) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

(C16) = E[[Z.sub.i][Z.sub.j]]E[[W.sup.i.sub.S](T)[W.sup.j.sub.S](T)] - E[[Z.sub.i]]E[[Z.sub.j]]E[[W.sup.i.sub.S](T)]E[ [W.sup.j.sub.S](T)]

(C17) = [p.sub.i][p.sub.j] (E[[W.sup.i.sub.S] (T)[W.sup.j.sub.S](T)] - E[[W.sup.i.sub.S](T)]E[[W.sup.j.sub.S](T)])

(C18) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(C19) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

En (C16) hemos utilizado el hecho que B y Z son procesos independientes. Ademas, (C17) se justifica debido a que {[Z.sub.i]} es una secuencia independiente y E[[Z.sub.i]] = [p.sub.i] para todo i. De esta forma, Var([[??].sub.S](T)) se puede expresar como

(C20) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(C21) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Para obtener (C21) se han utilizado las expresiones de Cov([Z.sub.i][W.sup.i.sub.S](T), [Z.sub.j][W.sup.j.sub.S](T)) y Var([Z.sub.i][W.sup.i.sub.S] (r)). Finalmente, despues de algunas manipulaciones algebraicas obtenemos Var ([[??].sub.S](T)) la cual coincide con la expresion dada en (61).

D. Demostracion de la Proposicion 3.2

Empezaremos demostrando la parte (1). Para lo cual definimos

(D1) v(x) [[suma].sup.T-1.sub.i=0] [W.sub.i][e.sup.-ix],

(D2) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

(D3) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

(D4) W(x, p) = v[(x).sup.2]/1/p u(x) + z(x) - v[(x).sup.2],

donde x G R, T > 1, 0 < p < 1. La funcion w(x, p) corresponde a [H.sub.f][(p).sup.2] cuando [my] = x, o a [H.sub.s][(p).sup.2] cuando [my]-[delta] = x, y [lim.sub.p[flecha diestra]0] w(x,p) = 0. Ademas, calculamos la derivada parcial de w con respecto a p

(D5) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

y definimos,

(D6) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

La probabilidad [p.sup.*] existira si se verifica que [??]([my]) > [??]([my] - [delta]) porque u(x) > 0 para todo x, [delta] > 0, y la expresion (40) implica que

(D7) [H.sub.s][(1).sup.2] = w([my]-[delta],1) > w([my], 1) = [H.sub.f][(1).sup.2]

para todo [my]. La prueba se basa en que [H.sub.s](p) y [H.sub.f](p) se intersecan en algun p si la derivada de [H.sup.2.sub.f] (p) en cero es mayor que la derivada de [H.sup.2.sub.s](p) en cero. Entonces, solo se debe verificar que

(D8) [derivada parcial][??](x)/[derivada parcial]x > 0.

Derivando la funcion [??](x) en (122) respecto de x, obtenemos

(D9) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(D10) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Consecuentemente, necesitamos encontrar condiciones bajo las cuales [psi](T) > 0 para todo T > 1. Utilizaremos induccion para determinar tales condiciones. Cuando T = 2, tenemos

(D11) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(D12) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(D13) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],

y al tener x + [[sigma].sup.2] < 0 y [W.sub.1] [mayor que o igual a] [W.sub.0] implica que [PSI](2) > 0.. A continuacion determinamos en que casos [PSI](T+1) > 0 dado que W (T) > 0. Entonces,

(D14) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(D15) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(D16) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Como asumimos [PSI](T) > 0, [PSI](T + 1) en (D16) sera mayor que cero cuando [W.sub.i+1] [mayor que o igual a] [W.sub.i] para todo i = 0, ..., T-1, y x + [[sigma].sup.2] < 0 . Entonces, se verifica la parte (1) al hacer x = [my].

Para demostrar la parte (2), determinaremos condiciones bajo las cuales [derivada parcial][??](x)/[derivada parcial]x < 0. Es facil inferir que si [PSI](T) < 0 para T > 1, entonces [derivada parcial][??](x)/[derivada parcial]x < 0. El supuesto necesario para obtener W(T) < 0 se encontrara utilizando induccion. Empezando con (D16), si [W.sub.i+1] [menor que o igual a] [W.sub.i] para todo i = 0, ..., T-1, y tambien x + [[sigma].sup.2] > [PSI]T < 0, entonces W(T) < 0 y entonces [derivada parcial][??](x)/[derivada parcial]x < 0. Para todo [delta] > 0, la ultima condicion implica

(D17) [??](x - [delta]) = - [v[(x - [delta]).sup.2]/u(x-[delta])] > [v[(x).sup.2]/u(x)] = [??](x).

Si [alfa] > 0, entonces (D17) es equivalente a

(D18) [alfa][u([my]-[delta])/v[([my]-[delta]).sup.2]] < [alfa] [u([my])/v[([my]).sup.2]].

Ademas, (D7) es equivalente a

(D19) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Las desigualdades (D18) y (D19) implican

(D20) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Si consideramos 1 + [alfa] = 1/p entonces 0 < p < 1, [alfa] = 1-p/p, y (D20) es equivalente a [H.sub.s] (p) > [H.sub.f] (p), lo cual completa la prueba de (2) cuando x = [my] - [delta].

E. Demostracion de la Proposicion 3.3

Comenzaremos con la parte (1). Si S se fija en el nivel dado por [[delta].sup.*.sub.N] y utilizamos el postulado (2) de la Proposicion 3.2, entonces [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(E1) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Como el lado derecho de (E1) es positivo y creciente en b, tenemos [GAMMA](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0 y ademas [[derivada parcial].sub.b](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) > 0. A continuacion demostraremos la parte (2) de la proposicion. Si ademas de los supuestos de la Proposicion 3.2, tambien consideramos

(E2) [W.sub.i] = [W.sub.0][e.sup.[beta]i], [beta] [elemento de] R, [W.sub.0] > 0, 0 [menor que o igual a] i [menor que o igual a] T-1.

Asumiendo (E2), tenemos que en la demostracion de la Proposicion 3.2

(E3) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Ademas, el lado derecho de (D16) bajo (E2), es dado por

(E4) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Si x + [[sigma].sup.2] < [beta], entonces [PSI](2) > 0 y [PSI](T + 1) > 0 en la demostracion de la Proposicion 2.4, y la parte (1) de tal proposicion tambien se cumple bajo (E2). Por otro lado, si x + [[sigma].sup.2] > [beta], entonces [PSI](T+1) < 0 y [PSI](2) < 0, lo cual satisface la prueba de la parte (2) de la Proposicion 3.2. La demostracion concluye al utilizar este ultimo resultado dentro de una logica similar a la utilizada en la parte (1).

F. Demostracion de la Proposicion 3.4

Empezaremos demostrando la parte (1). Si la comision por saldo se fija en un nivel dado por [[delta].sup.*.sub.N] = [[delta].sup.*.sub.S]), y utilizamos la parte (2) de la Proposicion 3.2, entonces [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para todo p [elemento de] (0,1]. Tambien se tiene

(F1) [GAMMA](b, p, [[delta].sup.*.sub.N]) = b (E[[[??].sub.f][(T).sup.2]] - E[[[??].sub.S][(T).sup.2]])

(F2) = b ([p.sup.2](E[[W.sub.f][(T).sup.2]] - E[[W.sub.S][(T).sup.2]]) + p(1 - p)([X.sub.f] - [X.sub.S])

(F3) = b [OMEGA](T, p) > 0.

donde

(F4) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Con lo cual, (F3) implica que E[[W.sub.f][(T).sup.2]] > E[[W.sub.S][(T).sup.2]] para todo p [member of] (0,1), pero [X.sub.f] [mayor que o igual a] [X.sub.S] y E[[W.sub.f][(T).sup.2]] - E[[W.sub.S][(T).sup.2]] > [X.sub.f] - [X.sub.S] solo se cumplen cuando p [elemento de] (0, 1/2). Calculando la derivada parcial de [OMEGA](T, p) con respecto ap, tenemos:

(F5) [derivada parcial][OMEGA](p)/[derivada parcial]p = 2P(M[W.sub.f][(T).sup.2]] - E([W.sub.S][(T).sup.2]]) +(1 - 2P)([X.sub.f] - [X.sub.S]) > 0.

Entonces, hemos demostrado que [derivada parcial][GAMMA](b, a, p, [[delta].sup.*.sub.N])/[derivada parcial]p > 0 para p [elemento de] (0, 1/2). La prueba de la parte (2) es similar; pero, utilizamos el resultado parcial obtenido en la demostracion de la Proposicion 3.3.

G. Demostracion de la Proposicion 3.5

A partir de la definicion de Y dada en (68), se tiene

(G6) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Debido a que [[derivada parcial].sub.[delta]]E[[[??].sub.S](T)] < 0 para el escenario N, solo debemos establecer las condiciones bajo las cuales

(G7) [derivada parcial][delta](2E[[[[??].sub.S](T)].sup.2] - E[[[??].sub.S][(T).sup.2]]) [menor que o igual a] 0.

A partir de las expresiones (59) y (61), asi como los supuestos de la proposicion:

(G8) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Recordar que Xs fue definido en (F4) pero ahora [delta] = [[delta].sup.*.sub.N]. Ademas, utilizando las expresiones adecuadas para E[[[W.sub.S](T)].sup.2] y E[[W.sub.S][(T).sup.2]] es facil verificar que

(G9) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(G10) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

(G11) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Utilizando los resultados previos y despues de algunas simplificaciones se obtiene

(G12) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Finalmente, (G12) sera menor c igual a cero [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para todo i, lo cual se satisface cuando 2p - [e.sup.[sigma]-T] [mayor que o igual a] 0.

Luis Chavez-Bedoya, Esan Graduate School of Business. Alonso de Molina 1652, Santiago de Surco, Lima, Peru. E-mail: lchavezbedoya@esan.edu.pe. El autor agradece al Editor y al revisor anonimo por los valiosos comentarios recibidos.

(1) El caso mas documentado es Chile. El lector puede encontrar los aspectos principales de tal reforma en Arrau et al. (1993), Diamond y Valdes-Prieto (1994), Edwards (1998), Arenas de Mesa y Mesa-Lago (2006). En el caso del Peru, un analisis completo de la reforma del sistema de pensiones y su estado actual se expone en Marthans y Stok (2013). Queisser (1998), Sinha (2000), Kay y Kritzer (2001), Mesa-Lago (2006) y Kritzer et al. (2011) son buenas referencias para el estudio de la reforma, situacion y perspectiva de los sistemas pensionarios de America Latina.

(2) Es importante mencionar que estos beneficios se han logrado en mayor o menor grado en ciertos paises, para mayor detalle se guia al lector a la referencia.

(3) Devesa-Carpio et al. (2003) considera que el sistema de cobro adoptado en el sistema con CIC es muy importante debido a que el proceso de acumulacion es exponencial y dirigido hacia horizontes largos de tiempo. Por ejemplo, Murthi et al. (2001) estima que en el Reino Unido mas del 40% del valor de la CIC se disipa por cobros de administracion mientras que Whitehouse (2001) determina que un cobro de uno por ciento anual de los activos representa cerca del 20% del valor final de la pension.

(4) Analisis y comparaciones de cargos administrativos en diferentes paises se pueden encontrar en James et al. (2001), Whitehouse (2001) Gomez-Hernandez y Stewart (2008), Corvera et al. (2006), Tapia y Yermo (2008) y Devesa-Carpio et al. (2003). Ademas, Sinha (2001), Masias y Sanchez (2007) y Martinez y Murcia (2008) evaluan en detalle (a pesar de que se han realizado modificaciones) los cargos administrativos en Mexico, Peru y Colombia, respectivamente. Finalmente, Medina Giacomozzi et al. (2013) estudian el efecto de las comisiones en la rentabilidad de los fondos de las AFP en Chile.

(5) La densidad de cotizacion (DC) se define como el ratio del numero de periodos en los cuales se hicieron contribuciones sobre total de periodos. La DC tiene un efecto muy importante en la tasa de reemplazo y la riqueza al final del periodo de acumulacion. McGillivray (2001) determina, bajo supuestos razonables (los cuales consisten en una tasa de crecimiento del salario igual a 2%, una tasa de rendimiento de 4% y 40 anos de contribucion), que la tasa de reemplazo bajo una DC de 100% sera 50%; pero, bajo una DC de 80% la tasa de reemplazo podra llegar a ser hasta de 37% dependiendo del patron de interrupciones. Asimismo, las caracteristicas y determinantes de la DC se han estudiado, para el caso chileno, en Arenas de Mesa et al. (2004). El impacto de la DC en la tasa de reemplazo y su implicancia en el diseno de pensiones para paises de Latinoamerica pueden encontrarse en Duran y Pena (2011) y Valdes-Prieto (2008), respectivamente.

(6) El ratio de carga o "charge ratio'' se define como uno menos el ratio de acumulacion esperada con cargos a acumulacion esperada sin cargos.

(7) Las demostraciones de los pasos intermedios o expresiones finales pueden ser solicitadas directamente al autor.

(8) La EDE (1) puede ser entendida como la evolucion de una cartera de inversiones con multiples activos similar a la de Merton (1969). Consideremos la existencia de: un espacio completo y filtrado de probabilidad en el que se define un movimiento browniano m-dimensional ([W.sup.1](t), ..., [W.sup.m](t)) con [W.sup.i](0) = 0, m activos riesgosos tales que d[S.sub.i] (t) = [S.sub.i](t)[[[my].sub.i]dt + [[summation].sup.m.sub.j=1][[sigma].sub.ij][W.sup.j](t)] con [S.sub.i](0) = [s.sub.i] > 0 para todo i = 1, ..., m, y un activo libre de riesgo tal que d[S.sub.0](t) = r[S.sub.0](t) con [S.sub.0] (0) = [s.sub.0] > 0. En este marco, si la AFP determina una estrategia optima [x.sup.*] [elemento de] [R.sup.m] (pesos en los activos riesgosos) como por ejemplo la determinada en Bielecki et al. (2005), entonces para los parametros [my] y [sigma] de la EDE (1) se puede inferir que [my] = r + [x.sup.*T] b y [sigma] = [parallel][x.sup.*T]C[parallel] donde: [M.sup.T] es la transpuesta de la matriz M = ([m.sub.ij]), b = [([[my].sub.1] - r, ..., [[my].sub.m] - r).sup.T], C = ([[sigma].sub.ij]) (se asume positiva-definida) y [parallel]M[parallel] es la norma-[L.sup.2] del vector o matriz M, i.e., M = [square root of ([[summa].sub.ij][m.sup.2.sub.ij])].

(9) La asignacion de activos, performance y riesgo de fondos de pensiones con contribucion definida durante su fase de acumulacion y distribucion han recibido atencion en la literatura sobre todo cuando los activos riesgosos siguen un GBM. Por ejemplo, Devolder et al. (2003) derivan multiples estrategias optimas para diferentes funciones de utilidad. Bajo las mismas condiciones, la eficiencia de la estrategia media-varianza en planes de pensiones DC es estudiada en Vigna et al. (2014). Haberman y Vigna (2002) consideran el riesgo de perdida (downside risk) de una estrategia de asignacion optima derivada mediante un modelo de programacion dinamica en tiempo discreto. El riesgo de salario e inflacion se incorporan en Battocchio y Menoncin (2004) y Han y Hung (2012) al maximizar la utilidad esperada de riqueza terminal. Battocchio et al. (2007) y Yang and Huang (2009) incorporan el riesgo de longevidad en la optimizacion; el primer caso utiliza a la utilidad esperada como funcion objetivo, y la segunda utiliza la desviacion de la riqueza terminal respecto de una meta predeterminada. Finalmente, el lector interesado en el analisis en la fase de distribucion puede referirse, entre otros, a Blake et al. (2003), Gerrard et al. (2004), Horneff et al. (2008), y Gerrard et al. (2006).

(10) Un valor constante de S podria implicar que el sistema ha alcanzado madurez respecto de esta forma de cobro.

(11) Tambien se le conoce como comision por sueldo, y puede ser cobrada como un porcentaje del salario o la contribucion del afiliado.

(12) Este hecho puede extenderse tambien al ratio de utilidades optimas esperadas de riqueza terminal, pues la preferencia al riesgo del afiliado se volveria irrelevante en tal contexto.

(13) Modelos alternativos para [W.sub.T] se encuentran en la literatura. Por ejemplo, Devesa-Carpio y Vidal (1997) proponen un modelo en el cual las contribuciones se incrementan con la edad hasta llegar a un maximo, y a partir de tal punto decrecen gradualmente. Carriere y Shand (1998) asumen que las contribuciones se incrementan con la edad; pero, a una tasa decreciente debido a un factor de merito que disminuye con el tiempo. Devesa-Carpio et al. (2003) propone una funcion polinomica para modelar las contribuciones como una funcion de la edad del afiliado.

(14) La Ley No. 29903 contiene los principales aspectos de la reforma. Uno de los cuales es que los afiliados migraran a una comision mixta, la que tiene un componente por flujo transitorio decreciente de 10 anos, y a partir del decimo ano el cargo seria unicamente por saldo. La reforma tambien incluye el mecanismo de subasta de las nuevas cuentas individuales de capitalizacion y normas para incorporar a trabajadores independientes.

Leyenda: FIGURA 1

COMISION POR SALDO NEUTRAL AL RIESGO, [[delta].sup.*.sub.N]

Leyenda: FIGURA 2

EFECTO DE LA AVERSION AL RIESGO: [[delta].sup.*.sub.A] - [[delta].sup.*.sub.N]

Leyenda: FIGURA 3

DIFERENCIA PORCENTUAL EN CE (ESCENARIO MODERADO)

Leyenda: FIGURA 4

DIFERENCIA PORCENTUAL EN CE (ESCENARIO AGRESIVO)

Leyenda: FIGURA 5

COMISION POR SALDO EQUIVALENTE DE LA AFP: [[delta].sub.AFP]
TABLA 1 PORCENTAJE ANUAL DE CRECIMIENTO REAL DE LOS SALARIOS DEL SPP

Edad                    Mujer                          Hombre

        Sin universidad   Universidad   Sin universidad   Universidad

18-22        2.33%           3.26%           2.03%           3.90%
23-27        1.44%           2.05%           1.12%           3.06%
28-32        0.71%           1.26%           0.51%           2.35%
33-37        0.56%           0.98%           0.30%           1.89%
38-42        0.46%           1.10%           0.23%           1.66%
43-47        0.35%           1.46%           0.21%           1.66%
48-52        0.22%           1.22%           0.17%           1.48%
53-57        0.09%           0.71%           0.11%           1.16%
58-64        0.00%           0.00%           0.00%           0.00%

Fuente: Base de datos trimestral del SPP Junio 2010-Setiembre 2012.

TABLA 2 INCREMENTOS PORCENTUALES ANUALES EN SALARIOS REALES DEBIDO A
GANANCIA EN PRODUCTIVIDAD PARA DIFERENTES COMBINACIONES DE GENERO/
EDUCACION

Genero/Educacion       Abreviacion               Periodo

                                     1-10 anos   11-20 anos   21 o mas

Mujer / Sin              M / SU        2.73%       1.87%       1.00%
  universidad
Mujer / Universidad       M / U        1.69%       1.35%       1.00%
Hombre / Sin             H / SU        3.52%       2.26%       1.00%
  universidad
Hombre / Universidad      H / U        0.63%       0.82%       1.00%

Se incluye abreviacion de dichos perfiles. Fuente: Encuesta Permanente
de Empleo 2003-2012 (solo primera columna)

TABLA 3 COMISION POR SALDO NEUTRAL AL RIESGO, [[delta].sup.*.sub.N],
EN PORCENTAJE (%)

Edad              [[alfa].sub.min] = 0.1590

          M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20        0.518   0.523   0.520   0.529   0.477
21        0.532   0.537   0.535   0.543   0.490
22        0.547   0.552   0.550   0.557   0.504
23        0.563   0.568   0.566   0.572   0.519
24        0.579   0.585   0.583   0.588   0.535
25        0.597   0.602   0.601   0.605   0.552
26        0.616   0.621   0.620   0.623   0.570
27        0.636   0.641   0.641   0.642   0.588
28        0.657   0.662   0.662   0.662   0.608
29        0.679   0.685   0.685   0.684   0.629
30        0.703   0.709   0.710   0.707   0.652
31        0.729   0.734   0.736   0.731   0.676
32        0.756   0.762   0.764   0.757   0.701
33        0.785   0.791   0.794   0.785   0.729
34        0.816   0.822   0.826   0.815   0.758
35        0.850   0.855   0.860   0.847   0.789
36        0.886   0.891   0.897   0.881   0.823
37        0.924   0.929   0.937   0.918   0.859
38        0.966   0.970   0.980   0.958   0.898
39        1.011   1.014   1.026   1.001   0.941
40        1.060   1.062   1.076   1.047   0.987
41        1.113   1.114   1.130   1.098   1.037
42        1.171   1.170   1.189   1.153   1.092
43        1.234   1.232   1.254   1.214   1.153
44        1.304   1.299   1.325   1.280   1.219
45        1.380   1.374   1.403   1.353   1.293
46        1.465   1.456   1.488   1.434   1.375
47        1.559   1.548   1.584   1.525   1.466
48        1.665   1.651   1.692   1.626   1.568
49        1.784   1.767   1.813   1.741   1.684
50        1.920   1.899   1.950   1.871   1.816

Edad              [[alfa].sub.pro] = 0.1761

          M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20        0.575   0.581   0.577   0.587   0.529
21        0.590   0.596   0.593   0.602   0.544
22        0.607   0.613   0.610   0.618   0.559
23        0.624   0.630   0.628   0.635   0.576
24        0.643   0.649   0.647   0.652   0.594
25        0.662   0.668   0.667   0.671   0.612
26        0.683   0.689   0.688   0.691   0.632
27        0.705   0.711   0.711   0.712   0.653
28        0.729   0.735   0.735   0.735   0.675
29        0.754   0.760   0.761   0.759   0.698
30        0.781   0.787   0.788   0.784   0.723
31        0.809   0.815   0.817   0.812   0.750
32        0.839   0.845   0.848   0.840   0.778
33        0.872   0.878   0.881   0.871   0.808
34        0.906   0.912   0.917   0.905   0.841
35        0.943   0.949   0.955   0.940   0.876
36        0.983   0.989   0.996   0.978   0.913
37        1.026   1.031   1.040   1.019   0.953
38        1.073   1.077   1.088   1.063   0.997
39        1.123   1.126   1.139   1.111   1.044
40        1.177   1.179   1.195   1.163   1.096
41        1.236   1.237   1.255   1.219   1.152
42        1.300   1.300   1.321   1.281   1.213
43        1.371   1.368   1.393   1.348   1.280
44        1.448   1.443   1.472   1.421   1.354
45        1.533   1.526   1.558   1.503   1.436
46        1.627   1.617   1.654   1.593   1.526
47        1.732   1.719   1.760   1.694   1.628
48        1.850   1.834   1.880   1.807   1.742
49        1.983   1.963   2.014   1.934   1.871
50        2.134   2.110   2.167   2.079   2.018

Edad              [[alfa].sub.max] = 0.2033

          M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20        0.665   0.672   0.668   0.679   0.611
21        0.683   0.690   0.686   0.697   0.629
22        0.702   0.709   0.706   0.715   0.647
23        0.722   0.729   0.726   0.735   0.666
24        0.744   0.751   0.749   0.755   0.687
25        0.766   0.773   0.772   0.777   0.708
26        0.791   0.798   0.797   0.800   0.731
27        0.816   0.823   0.823   0.825   0.755
28        0.844   0.851   0.851   0.851   0.781
29        0.873   0.880   0.881   0.879   0.808
30        0.904   0.911   0.912   0.908   0.837
31        0.937   0.944   0.946   0.940   0.867
32        0.972   0.979   0.982   0.973   0.900
33        1.009   1.016   1.021   1.009   0.935
34        1.050   1.056   1.062   1.048   0.973
35        1.093   1.099   1.106   1.089   1.013
36        1.139   1.145   1.154   1.133   1.057
37        1.189   1.195   1.205   1.181   1.104
38        1.242   1.248   1.260   1.232   1.154
39        1.301   1.305   1.320   1.287   1.209
40        1.364   1.367   1.385   1.347   1.269
41        1.432   1.434   1.455   1.413   1.334
42        1.507   1.507   1.531   1.484   1.405
43        1.589   1.586   1.615   1.562   1.483
44        1.679   1.673   1.706   1.647   1.569
45        1.777   1.769   1.807   1.742   1.663
46        1.887   1.875   1.918   1.847   1.769
47        2.009   1.994   2.042   1.964   1.887
48        2.146   2.127   2.181   2.095   2.019
49        2.300   2.277   2.337   2.243   2.169
50        2.476   2.448   2.515   2.412   2.340

Comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.N], en
porcentaje (%) y anualizada para diferentes edades y combinaciones
genero/educacion (M = mujer, H = hombre, SU = sin universidad y U =
universidad) bajo escenario moderado ([[my].sub.M] = 5.3% anual y
[[sigma].sub.M] = 8.7% anual). El caso de contribuciones iguales (E)
tambien se ha incluido en la tabla. Se ha considerado una edad de
jubilacion de 65 anos, [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.pro] =
0.1761 y [[alfa].sub.max] = 0.2033 (estos tres ultimos valores
corresponden a comisiones por flujo de 1.49%, 1.615% y 1.84% del
salario bajo una tasa de contribucion de 10%).

TABLA 4 COMISION POR SALDO NEUTRAL AL RIESGO, [[delta].sup.*.sub.N],
EN PORCENTAJE (%)

Edad           [[alfa].sub.min] = 0.1590

       W/NC     w/c    M/NC     M/C     EC

20     0.518   0.523   0.520   0.529   0.477
21     0.532   0.537   0.535   0.543   0.490
22     0.547   0.552   0.550   0.557   0.504
23     0.563   0.568   0.566   0.572   0.519
24     0.579   0.585   0.583   0.588   0.535
25     0.597   0.602   0.601   0.605   0.552
26     0.616   0.621   0.620   0.623   0.570
27     0.636   0.641   0.641   0.642   0.588
28     0.657   0.662   0.662   0.662   0.608
29     0.679   0.685   0.685   0.684   0.629
30     0.703   0.709   0.710   0.707   0.652
31     0.729   0.734   0.736   0.731   0.676
32     0.756   0.762   0.764   0.757   0.701
33     0.785   0.791   0.794   0.785   0.729
34     0.816   0.822   0.826   0.815   0.758
35     0.850   0.855   0.860   0.847   0.789
36     0.886   0.891   0.897   0.881   0.823
37     0.924   0.929   0.937   0.918   0.859
38     0.966   0.970   0.980   0.958   0.898
39     1.011   1.014   1.026   1.001   0.941
40     1.060   1.062   1.076   1.047   0.987
41     1.113   1.114   1.130   1.098   1.037
42     1.171   1.170   1.189   1.153   1.092
43     1.234   1.232   1.254   1.214   1.153
44     1.304   1.299   1.325   1.280   1.219
45     1.380   1.374   1.403   1.353   1.293
46     1.465   1.456   1.488   1.434   1.375
47     1.559   1.548   1.584   1.525   1.466
48     1.665   1.651   1.692   1.626   1.568
49     1.784   1.767   1.813   1.741   1.684
50     1.920   1.899   1.950   1.871   1.816

Edad           [[alfa].sub.pro] = 0.1761

       W/NC     W/C    M/NC     M/C     EC

20     0.575   0.581   0.577   0.587   0.529
21     0.590   0.596   0.593   0.602   0.544
22     0.607   0.613   0.610   0.618   0.559
23     0.624   0.630   0.628   0.635   0.576
24     0.643   0.649   0.647   0.652   0.594
25     0.662   0.668   0.667   0.671   0.612
26     0.683   0.689   0.688   0.691   0.632
27     0.705   0.711   0.711   0.712   0.653
28     0.729   0.735   0.735   0.735   0.675
29     0.754   0.760   0.761   0.759   0.698
30     0.781   0.787   0.788   0.784   0.723
31     0.809   0.815   0.817   0.812   0.750
32     0.839   0.845   0.848   0.840   0.778
33     0.872   0.878   0.881   0.871   0.808
34     0.906   0.912   0.917   0.905   0.841
35     0.943   0.949   0.955   0.940   0.876
36     0.983   0.989   0.996   0.978   0.913
37     1.026   1.031   1.040   1.019   0.953
38     1.073   1.077   1.088   1.063   0.997
39     1.123   1.126   1.139   1.111   1.044
40     1.177   1.179   1.195   1.163   1.096
41     1.236   1.237   1.255   1.219   1.152
42     1.300   1.300   1.321   1.281   1.213
43     1.371   1.368   1.393   1.348   1.280
44     1.448   1.443   1.472   1.421   1.354
45     1.533   1.526   1.558   1.503   1.436
46     1.627   1.617   1.654   1.593   1.526
47     1.732   1.719   1.760   1.694   1.628
48     1.850   1.834   1.880   1.807   1.742
49     1.983   1.963   2.014   1.934   1.871
50     2.134   2.110   2.167   2.079   2.018

Edad           [[alfa].sub.max] = 0.2033

       W/NC     W/C    M/NC     M/C     EC

20     0.665   0.672   0.668   0.679   0.611
21     0.683   0.690   0.686   0.697   0.629
22     0.702   0.709   0.706   0.715   0.647
23     0.722   0.729   0.726   0.735   0.666
24     0.744   0.751   0.749   0.755   0.687
25     0.766   0.773   0.772   0.777   0.708
26     0.791   0.798   0.797   0.800   0.731
27     0.816   0.823   0.823   0.825   0.755
28     0.844   0.851   0.851   0.851   0.781
29     0.873   0.880   0.881   0.879   0.808
30     0.904   0.911   0.912   0.908   0.837
31     0.937   0.944   0.946   0.940   0.867
32     0.972   0.979   0.982   0.973   0.900
33     1.009   1.016   1.021   1.009   0.935
34     1.050   1.056   1.062   1.048   0.973
35     1.093   1.099   1.106   1.089   1.013
36     1.139   1.145   1.154   1.133   1.057
37     1.189   1.195   1.205   1.181   1.104
38     1.242   1.248   1.260   1.232   1.154
39     1.301   1.305   1.320   1.287   1.209
40     1.364   1.367   1.385   1.347   1.269
41     1.432   1.434   1.455   1.413   1.334
42     1.507   1.507   1.531   1.484   1.405
43     1.589   1.586   1.615   1.562   1.483
44     1.679   1.673   1.706   1.647   1.569
45     1.777   1.769   1.807   1.742   1.663
46     1.887   1.875   1.918   1.847   1.769
47     2.009   1.994   2.042   1.964   1.887
48     2.146   2.127   2.181   2.095   2.019
49     2.300   2.277   2.337   2.243   2.169
50     2.476   2.448   2.515   2.412   2.340

Comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.N], en
porcentaje (%) y anualizada para diferentes edades y combinaciones
genero/educacion (M = mujer, H = hombre, SU = sin universidad y U =
universidad) bajo escenario agresivo ([[my].sub.A] = 7.8% anual y
[[sigma].sub.A] = 14.6% anual). El caso de contribuciones iguales (E)
tambien se ha incluido en la tabla. Se ha considerado una edad de
jubilacion de 65 anos, [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alpha].sub.pro] =
0.1761 y [[alfa].sub.max] = 0.2033 (estos tres ultimos valores
corresponden a comisiones por flujo de 1.49%, 1.615% y 1.84% del
salario bajo una tasa de contribucion de 10%).

TABLA 5 COMISION POR SALDO NEUTRAL AL RIESGO, [[delta].sup.*.sub.N],
EN PORCENTAJE (%)

Edad            [[alfa].sub.min] = 0.1590

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.749   0.774   0.751   0.791   0.650
21      0.765   0.790   0.768   0.805   0.666
22      0.782   0.806   0.786   0.820   0.683
23      0.800   0.824   0.805   0.836   0.701
24      0.819   0.842   0.825   0.853   0.720
25      0.840   0.862   0.846   0.871   0.740
26      0.861   0.883   0.868   0.890   0.761
27      0.884   0.905   0.892   0.910   0.783
28      0.908   0.928   0.917   0.931   0.806
29      0.933   0.953   0.944   0.954   0.830
30      0.960   0.979   0.972   0.978   0.856
31      0.989   1.007   1.001   1.003   0.883
32      1.020   1.036   1.033   1.031   0.912
33      1.052   1.068   1.067   1.060   0.943
34      1.086   1.101   1.103   1.091   0.976
35      1.123   1.137   1.141   1.125   1.011
36      1.163   1.174   1.182   1.160   1.048
37      1.205   1.215   1.226   1.199   1.089
38      1.250   1.258   1.272   1.240   1.132
39      1.299   1.305   1.323   1.284   1.178
40      1.352   1.355   1.377   1.333   1.228
41      1.408   1.409   1.436   1.385   1.283
42      1.470   1.468   1.499   1.442   1.342
43      1.537   1.532   1.568   1.504   1.407
44      1.610   1.601   1.642   1.572   1.478
45      1.690   1.678   1.723   1.647   1.556
46      1.777   1.762   1.812   1.730   1.642
47      1.875   1.856   1.911   1.823   1.738
48      1.984   1.962   2.022   1.927   1.845
49      2.107   2.081   2.146   2.044   1.965
50      2.247   2.216   2.287   2.176   2.102

Edad            [[alfa].sub.pro] = 0.1761

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.833   0.861   0.835   0.880   0.722
21      0.850   0.878   0.854   0.896   0.740
22      0.870   0.896   0.874   0.912   0.759
23      0.890   0.916   0.895   0.930   0.779
24      0.911   0.937   0.917   0.948   0.800
25      0.934   0.958   0.941   0.968   0.822
26      0.957   0.982   0.965   0.989   0.845
27      0.983   1.006   0.992   1.012   0.869
28      1.009   1.032   1.020   1.035   0.895
29      1.038   1.060   1.049   1.061   0.922
30      1.068   1.089   1.080   1.087   0.951
31      1.100   1.120   1.113   1.116   0.981
32      1.134   1.152   1.149   1.146   1.014
33      1.170   1.187   1.186   1.179   1.048
34      1.208   1.224   1.226   1.213   1.084
35      1.249   1.264   1.269   1.250   1.123
36      1.293   1.306   1.314   1.290   1.165
37      1.340   1.351   1.363   1.333   1.210
38      1.390   1.399   1.415   1.379   1.258
39      1.444   1.451   1.471   1.428   1.310
40      1.503   1.507   1.532   1.482   1.365
41      1.566   1.567   1.597   1.540   1.426
42      1.635   1.633   1.668   1.603   1.492
43      1.709   1.704   1.744   1.672   1.564
44      1.791   1.781   1.827   1.748   1.643
45      1.879   1.866   1.917   1.832   1.729
46      1.977   1.960   2.016   1.924   1.825
47      2.086   2.065   2.126   2.027   1.932
48      2.207   2.182   2.249   2.143   2.051
49      2.344   2.314   2.388   2.273   2.186
50      2.499   2.465   2.545   2.421   2.338

Edad            [[alfa].sub.max] = 0.2033

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.966   1.000   0.970   1.022   0.837
21      0.987   1.020   0.991   1.040   0.858
22      1.009   1.041   1.015   1.059   0.880
23      1.033   1.064   1.039   1.080   0.903
24      1.058   1.088   1.065   1.102   0.928
25      1.084   1.113   1.092   1.125   0.953
26      1.111   1.140   1.121   1.149   0.980
27      1.141   1.168   1.151   1.175   1.008
28      1.172   1.199   1.184   1.202   1.038
29      1.205   1.231   1.218   1.232   1.070
30      1.240   1.264   1.254   1.263   1.103
31      1.277   1.300   1.293   1.296   1.138
32      1.316   1.338   1.334   1.331   1.176
33      1.358   1.379   1.377   1.369   1.216
34      1.403   1.422   1.424   1.409   1.258
35      1.450   1.468   1.473   1.452   1.303
36      1.501   1.517   1.526   1.498   1.352
37      1.556   1.569   1.583   1.548   1.404
38      1.615   1.625   1.644   1.601   1.459
39      1.678   1.686   1.709   1.659   1.520
40      1.746   1.750   1.780   1.721   1.585
41      1.819   1.820   1.855   1.788   1.655
42      1.899   1.896   1.938   1.862   1.732
43      1.986   1.979   2.026   1.942   1.815
44      2.080   2.069   2.123   2.030   1.907
45      2.183   2.168   2.228   2.127   2.008
46      2.297   2.277   2.343   2.235   2.119
47      2.423   2.399   2.471   2.355   2.243
48      2.565   2.535   2.615   2.489   2.382
49      2.724   2.689   2.776   2.641   2.538
50      2.905   2.864   2.959   2.812   2.715

Comision por saldo neutral al riesgo, [[delta].sup.*.sub.N] en
porcentaje (%) y anualizada para diferentes edades y combinaciones
genero/educacion (M = mujer, H = hombre, SU = sin universidad y U =
universidad) bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q y una
tasa libre de riesgo igual a 1.52% anual en tiempo continuo. El caso
de contribuciones iguales (E) tambien se ha incluido en la tabla. Se
ha considerado una edad de jubilacion de 65 anos, [[alfa].sub.min] =
0.1590, [[alfa].sub.pro] = 0.1761 y [[alfa].sub.max] = 0.2033 (estos
tres ultimos valores corresponden a comisiones por flujo de 1.49%,
1.615% y 1.84% del salario bajo una tasa de contribucion de 10%).

TABLA 6 COMISION POR SALDO AVERSA AL RIESGO MENOS COMISION POR SALDO
NEUTRAL AL RIESGO, [[delta].sup.*.sub.A], [[delta].sup.*.sub.N], EN
PORCENTAJE (%)

Edad            [[alfa].sub.min] = 0.1590

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.021   0.022   0.020   0.022   0.017
21      0.021   0.022   0.020   0.022   0.017
22      0.021   0.022   0.021   0.022   0.017
23      0.021   0.022   0.021   0.022   0.018
24      0.021   0.022   0.021   0.022   0.018
25      0.021   0.022   0.021   0.022   0.018
26      0.021   0.022   0.021   0.022   0.018
27      0.021   0.021   0.021   0.022   0.018
28      0.021   0.021   0.021   0.022   0.018
29      0.021   0.021   0.021   0.022   0.018
30      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
31      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
32      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
33      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
34      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
35      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
36      0.021   0.021   0.021   0.021   0.018
37      0.021   0.021   0.021   0.021   0.019
38      0.021   0.021   0.021   0.021   0.019
39      0.021   0.021   0.021   0.021   0.019
40      0.021   0.021   0.021   0.021   0.019
41      0.021   0.021   0.022   0.021   0.019
42      0.021   0.021   0.022   0.021   0.019
43      0.021   0.021   0.022   0.021   0.019
44      0.021   0.021   0.022   0.021   0.019
45      0.021   0.021   0.022   0.021   0.019
46      0.021   0.021   0.022   0.021   0.019
47      0.021   0.021   0.022   0.021   0.020
48      0.021   0.021   0.022   0.021   0.020
49      0.021   0.021   0.022   0.021   0.020
50      0.021   0.021   0.022   0.021   0.020

Edad            [[alfa].sub.pro] = 0.1761

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.023   0.024   0.023   0.025   0.019
21      0.023   0.024   0.023   0.025   0.019
22      0.023   0.024   0.023   0.025   0.019
23      0.023   0.024   0.023   0.025   0.019
24      0.023   0.024   0.023   0.025   0.020
25      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
26      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
27      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
28      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
29      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
30      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
31      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
32      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
33      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
34      0.023   0.024   0.023   0.024   0.020
35      0.023   0.024   0.023   0.024   0.021
36      0.023   0.024   0.024   0.023   0.021
37      0.023   0.024   0.024   0.023   0.021
38      0.023   0.024   0.024   0.023   0.021
39      0.023   0.024   0.024   0.023   0.021
40      0.024   0.024   0.024   0.023   0.021
41      0.024   0.024   0.024   0.023   0.021
42      0.024   0.024   0.024   0.023   0.021
43      0.024   0.024   0.024   0.023   0.021
44      0.024   0.024   0.024   0.023   0.021
45      0.024   0.024   0.024   0.023   0.022
46      0.024   0.023   0.024   0.023   0.022
47      0.024   0.023   0.024   0.023   0.022
48      0.024   0.023   0.024   0.023   0.022
49      0.024   0.024   0.024   0.023   0.022
50      0.024   0.024   0.024   0.023   0.022

Edad            [[alfa].sub.max] = 0.2033

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.027   0.028   0.027   0.029   0.022
21      0.027   0.028   0.027   0.029   0.023
22      0.027   0.028   0.027   0.029   0.023
23      0.027   0.028   0.027   0.029   0.023
24      0.027   0.028   0.027   0.029   0.023
25      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
26      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
27      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
28      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
29      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
30      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
31      0.027   0.028   0.027   0.028   0.023
32      0.027   0.028   0.027   0.028   0.024
33      0.027   0.028   0.027   0.028   0.024
34      0.027   0.028   0.027   0.028   0.024
35      0.027   0.028   0.027   0.027   0.024
36      0.027   0.028   0.027   0.027   0.024
37      0.027   0.028   0.028   0.027   0.024
38      0.027   0.028   0.028   0.027   0.024
39      0.027   0.027   0.028   0.027   0.024
40      0.027   0.027   0.028   0.027   0.025
41      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
42      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
43      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
44      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
45      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
46      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
47      0.028   0.027   0.028   0.027   0.025
48      0.028   0.027   0.028   0.027   0.026
49      0.028   0.027   0.029   0.027   0.026
50      0.028   0.028   0.029   0.027   0.026

Comision por saldo aversa al riesgo menos comision por saldo neutral
al riesgo, [[delta].sup.*.sub.A] /[[delta].sup.*.sub.N], en porcentaje
(%) y anualizada para diferentes edades y combinaciones genero/
educacion (M = mujer, H = hombre, SU = sin universidad y U =
universidad) bajo escenario moderado ([[my].sub.M] = 5.3% anual y
([[sigma].sub.M] = 8.7% anual). El caso de contribuciones iguales (E)
tambien se ha incluido en la tabla. Se ha considerado una edad de
jubilacion de 65 anos, b [flecha diestra] [infinito] = 1 (sin
interrupciones), [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.pro] = 0.1761
y [[alfa].sub.max] = 0.2033 (estos tres ultimos valores corresponden a
comisiones por flujo de 1.49%, 1.615% y 1.84% del salario bajo una
tasa de contribucion de 10%).

TABLA 7 COMISION POR SALDO AVERSA AL RIESGO MENOS COMISION POR SALDO
NEUTRAL AL RIESGO, [[delta].sup.*.sub.A]-[[delta].sup.*.sub.N], EN
PORCENTAJE (%)

Edad            [[alfa].sub.min] = 0.1590

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.259   0.260   0.251   0.253   0.508
21      0.224   0.227   0.218   0.224   0.353
22      0.198   0.202   0.194   0.201   0.271
23      0.178   0.183   0.174   0.182   0.221
24      0.162   0.167   0.159   0.167   0.188
25      0.149   0.154   0.147   0.154   0.165
26      0.138   0.143   0.137   0.144   0.147
27      0.129   0.134   0.128   0.135   0.133
28      0.122   0.126   0.121   0.127   0.123
29      0.115   0.119   0.115   0.120   0.114
30      0.110   0.113   0.109   0.114   0.107
31      0.105   0.108   0.105   0.109   0.101
32      0.101   0.103   0.101   0.104   0.096
33      0.097   0.099   0.097   0.100   0.092
34      0.094   0.096   0.094   0.096   0.088
35      0.091   0.092   0.091   0.092   0.085
36      0.088   0.089   0.089   0.089   0.082
37      0.086   0.087   0.087   0.087   0.079
38      0.084   0.084   0.085   0.084   0.077
39      0.082   0.082   0.083   0.082   0.075
40      0.080   0.080   0.081   0.080   0.074
41      0.079   0.078   0.080   0.078   0.072
42      0.077   0.077   0.078   0.076   0.071
43      0.076   0.075   0.077   0.074   0.070
44      0.075   0.074   0.076   0.073   0.068
45      0.073   0.073   0.075   0.071   0.067
46      0.072   0.071   0.074   0.070   0.067
47      0.071   0.070   0.073   0.069   0.066
48      0.070   0.069   0.072   0.068   0.065
49      0.070   0.068   0.071   0.067   0.065
50      0.069   0.068   0.070   0.066   0.064

Edad            [[alfa].sub.pro] = 0.1761

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.286   0.287   0.277   0.279   0.553
21      0.248   0.251   0.241   0.247   0.388
22      0.220   0.224   0.214   0.222   0.299
23      0.197   0.202   0.193   0.202   0.245
24      0.180   0.185   0.177   0.185   0.208
25      0.165   0.170   0.163   0.171   0.182
26      0.154   0.158   0.152   0.160   0.163
27      0.144   0.148   0.142   0.149   0.148
28      0.135   0.140   0.134   0.141   0.136
29      0.128   0.132   0.128   0.133   0.127
30      0.122   0.126   0.122   0.127   0.119
31      0.117   0.120   0.117   0.121   0.112
32      0.112   0.115   0.112   0.115   0.107
33      0.108   0.110   0.108   0.111   0.102
34      0.104   0.106   0.105   0.107   0.098
35      0.101   0.103   0.102   0.103   0.094
36      0.098   0.100   0.099   0.099   0.091
37      0.096   0.097   0.096   0.096   0.088
38      0.093   0.094   0.094   0.094   0.086
39      0.091   0.092   0.092   0.091   0.084
40      0.089   0.089   0.090   0.089   0.082
41      0.088   0.087   0.089   0.087   0.080
42      0.086   0.086   0.087   0.085   0.079
43      0.085   0.084   0.086   0.083   0.077
44      0.083   0.082   0.085   0.081   0.076
45      0.082   0.081   0.083   0.080   0.075
46      0.081   0.080   0.082   0.078   0.074
47      0.080   0.078   0.081   0.077   0.073
48      0.079   0.077   0.080   0.076   0.073
49      0.078   0.076   0.079   0.075   0.072
50      0.077   0.075   0.078   0.074   0.071

Edad            [[alfa].sub.max] = 0.2033

        M/SU     M/U    H/SU     H/U      E

20      0.328   0.329   0.318   0.320   0.622
21      0.285   0.290   0.278   0.285   0.442
22      0.253   0.259   0.247   0.256   0.343
23      0.228   0.234   0.223   0.233   0.282
24      0.208   0.214   0.204   0.214   0.240
25      0.191   0.197   0.189   0.198   0.211
26      0.178   0.184   0.176   0.185   0.189
27      0.167   0.172   0.165   0.173   0.172
28      0.157   0.162   0.156   0.163   0.158
29      0.149   0.153   0.148   0.155   0.147
30      0.142   0.146   0.141   0.147   0.138
31      0.136   0.139   0.135   0.140   0.130
32      0.130   0.133   0.130   0.134   0.124
33      0.125   0.128   0.126   0.129   0.118
34      0.121   0.124   0.122   0.124   0.114
35      0.117   0.119   0.118   0.120   0.110
36      0.114   0.116   0.115   0.116   0.106
37      0.111   0.112   0.112   0.112   0.103
38      0.109   0.109   0.110   0.109   0.100
39      0.106   0.107   0.107   0.106   0.098
40      0.104   0.104   0.105   0.103   0.095
41      0.102   0.102   0.103   0.101   0.094
42      0.100   0.100   0.102   0.099   0.092
43      0.099   0.098   0.100   0.096   0.090
44      0.097   0.096   0.099   0.095   0.089
45      0.096   0.094   0.097   0.093   0.088
46      0.094   0.093   0.096   0.091   0.087
47      0.093   0.091   0.094   0.090   0.086
48      0.092   0.090   0.093   0.089   0.085
49      0.091   0.089   0.092   0.087   0.084
50      0.090   0.088   0.091   0.086   0.083

Comision por saldo aversa al riesgo menos comision por saldo neutral
al riesgo, [[delta].sup.*.sub.A] /[[delta].sup.*.sub.N], en porcentaje
(%) y anualizada para diferentes edades y combinaciones genero/
educacion (.M = mujer, H = hombre, SU = sin universidad y U =
universidad) bajo escenario agresivo ([[my].sub.A] = 7.8% anual y
[[sigma].sub.A] = 14.6% anual). El caso de contribuciones iguales (E)
tambien se ha incluido en la tabla. Se ha considerado una edad de
jubilacion de 65 anos, b [right arrow] [infinito] = 1 (sin
interrupciones), [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.pro] = 0.1761
y [[alfa].sub.max] = 0.2033 (estos tres ultimos valores corresponden a
comisiones por flujo de 1.49%, 1.615% y 1.84% del salario bajo una
tasa de contribucion de 10%).

TABLA 8 VALORES ESTIMADOS DE [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN
ASCII] EN PORCENTAJE (%)

                         Moderado

Edad   [gamma] = 1       [gamma] = 8       [gamma] = 8

       p=1     p=0.458   p=1     p=0.458   p=1     p=0.458

20     -7.76   -7.76     -6.04   -6.02     -3.93   -3.98
21     -7.20   -7.20     -5.53   -5.53     -3.51   -3.58
22     -6.63   -6.63     -5.03   -5.03     -3.15   -3.14
23     -6.07   -6.05     -1.52   -4.50     -2.64   -2.74
24     -5.48   -5.47     -4.01   -3.99     -2.20   -2.19
25     -1.89   -1.89     -3.47   -3.47     -1.74   -1.79
26     -1.30   -1.29     -2.95   -2.93     -1.29   -1.29
27     -3.70   -3.70     -2.40   -2.40     -0.84   -0.89
28     -3.10   -3.10     -1.87   -1.86     -0.39   -0.39
29     -2.50   -2.49     -1.32   -1.32      0.10    0.10
30     -1.89   -1.89     -0.77   -0.77      0.63    0.57
31     -1.29   -1.28     -0.22   -0.22      1.09    1.05
32     -0.68   -0.67      0.32    0.34      1.59    1.56
33     -0.07   -0.07      0.89    0.89      2.05    2.06
34      0.54    0.54      1.44    1.44      2.54    2.53
35      1.15    1.15      1.99    2.00      3.04    3.04
36      1.75    1.76      2.55    2.55      3.51    3.53
37      2.36    2.36      3.10    3.11      4.01    4.02
38      2.96    2.97      3.66    3.67      4.53    4.51
39      3.56    3.57      4.21    4.22      5.02    5.01
40      4.17    4.17      4.77    4.78      5.53    5.52
41      4.77    4.77      5.33    5.34      6.04    6.03
42      5.36    5.37      5.89    5.89      6.53    6.55
43      5.96    5.97      6.44    6.45      7.03    7.04
44      6.56    6.56      7.00    7.00      7.55    7.54
45      7.15    7.16      7.56    7.56      8.06    8.05
46      7.75    7.75      8.12    8.12      8.58    8.57
47      8.35    8.35      8.68    8.68      9.09    9.09
48      8.95    8.95      9.25    9.25      9.62    9.62
49      9.55    9.55      9.81    9.82     10.15   10.14
50     10.15   10.16     10.39   10.39     10.69   10.68

                          Agresivo

Edad   [gamma] = 1        [gamma] = 8       [gamma] = 8

       p=1      p=0.458   p=1     p=0.458   p=1     p=0.458

20     -10.12   -10.12    -5.66   -5.65     -1.40   -1.58
21      -9.48    -9.48    -5.16   -5.19     -0.99   -1.17
22      -8.85    -8.83    -4.12   -4.69     -0.58   -0.75
23      -8.20    -8.18    -4.21   -4.19     -0.17   -0.34
24      -7.54    -7.53    -3.70   -3.64      0.24    0.08
25      -6.88    -6.87    -3.18   -3.18      0.65    0.50
26      -6.21    -6.21    -2.67   -2.67      1.07    0.91
27      -5.54    -5.53    -2.16   -2.16      1.48    1.33
28      -4.87    -4.86    -1.62   -1.62      1.89    1.74
29      -4.19    -4.18    -1.08   -1.09      2.30    2.16
30      -3.52    -3.50    -0.56   -0.55      2.71    2.57
31      -2.83    -2.82    -0.01   -0.02      3.12    2.99
32      -2.15    -2.15     0.52    0.53      3.53    3.41
33      -1.47    -1.46     1.07    1.07      3.94    3.82
34      -0.79    -0.77     1.58    1.61      4.35    4.24
35      -0.11    -0.11     2.15    2.16      4.76    4.65
36       0.57     0.57     2.70    2.71      5.17    5.07
37       1.24     1.25     3.23    3.25      5.58    5.49
38       1.91     1.92     3.78    3.80      5.99    5.90
39       2.58     2.58     4.32    4.34      6.40    6.32
40       3.25     3.25     4.88    4.88      6.82    6.73
41       3.91     3.91     5.43    5.44      7.23    7.15
42       4.57     4.57     5.98    5.98      7.64    7.56
43       5.23     5.23     6.54    6.54      8.05    7.98
44       5.88     5.89     7.08    7.08      8.46    8.40
45       6.54     6.54     7.63    7.63      8.87    8.81
46       7.19     7.19     8.19    8.19      9.28    9.23
47       7.84     7.85     8.74    8.74      9.69    9.64
48       8.49     8.49     9.30    9.30     10.10   10.06
49       9.14     9.14     9.87    9.87     10.51   10.48
50       9.79     9.79    10.43   10.44     10.92   10.89

Valores estimados de [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
en porcentaje (%) para diferentes edades, valores del coeficiente de
aversion al riesgo ([gamma] = 1, 4, 8) y densidades de cotizacion (p
= 1.00 y p = 0.458) escenarios moderado ([[my].sub.M] = 5.3% anual y
[[sigma].sub.M] = &.1% anual) y agresivo ([[my].sub.A] = 7.8% anual y
[[sigma].sub.A] = 14.6% anual) y perfil de contribucion M/SU segun
Tabla 2. Se ha asumido [delta] = 1% anual, [alfa] = 0.1761%
(corresponde a un cargo por flujo igual a 1.615% del salario bajo una
tasa de contribucion constante de 10% de este ultimo) y una edad de
jubilacion de 65 anos.

TABLA 9 EVOLUCION DE LA COMISION POR SALDO EQUIVALENTE PARA LA AFP,
[[delta].sub.AFP], EN PORCENTAJE (%)

Tiempo   r(%)           [[alfa].sub.min] = 0-1590
(anos)
                0.50    1.00    1.50    2.00    3.00

0               1.227   1.190   1.154   1.122   1.063
2               1.167   1.126   1.088   1.051   0.985
4               1.119   1.075   1.033   0.994   0.922
6               1.079   1.032   0.988   0.946   0.870
8               1.045   0.996   0.950   0.907   0.826
10              1.017   0.966   0.919   0.873   0.789
12              0.993   0.941   0.892   0.844   0.758
14              0.973   0.919   0.868   0.820   0.730
16              0.955   0.901   0.849   0.799   0.707
18              0.941   0.885   0.832   0.781   0.687
20              0.928   0.871   0.817   0.765   0.669
22              0.918   0.860   0.805   0.752   0.654
24              0.909   0.850   0.794   0.740   0.641
26              0.901   0.842   0.785   0.731   0.630
28              0.895   0.835   0.778   0.723   0.621
30              0.891   0.830   0.772   0.716   0.613
32              0.887   0.826   0.767   0.711   0.607
34              0.884   0.823   0.764   0.707   0.603
36              0.882   0.820   0.761   0.704   0.599
38              0.881   0.819   0.759   0.702   0.597
40              0.880   0.818   0.758   0.701   0.595
42              0.879   0.817   0.758   0.701   0.594
44              0.879   0.817   0.758   0.701   0.594

Tiempo   r(%)           [[alfa].sub.pro] = 0-1761
(anos)
                0.50    1.00    1.50    2.00    3.00

0               1.367   1.325   1.286   1.249   1.184
2               1.300   1.254   1.211   1.170   1.096
4               1.246   1.196   1.150   1.106   1.025
6               1.201   1.149   1.099   1.053   0.967
8               1.163   1.109   1.057   1.008   0.918
10              1.132   1.075   1.022   0.971   0.877
12              1.105   1.047   0.991   0.939   0.841
14              1.082   1.023   0.966   0.911   0.811
16              1.063   1.002   0.943   0.888   0.785
18              1.047   0.984   0.925   0.868   0.763
20              1.033   0.969   0.908   0.850   0.743
22              1.021   0.956   0.894   0.836   0.726
24              1.011   0.946   0.883   0.823   0.712
26              1.003   0.937   0.873   0.812   0.700
28              0.996   0.929   0.865   0.803   0.689
30              0.991   0.923   0.858   0.796   0.681
32              0.987   0.919   0.853   0.790   0.674
34              0.984   0.915   0.849   0.786   0.669
36              0.982   0.912   0.846   0.783   0.665
38              0.980   0.911   0.844   0.781   0.662
40              0.979   0.910   0.843   0.779   0.661
42              0.979   0.909   0.843   0.779   0.660
44              0.979   0.909   0.842   0.779   0.660

Tiempo   r(%)           [[alfa].sub.max] = 0-2033
(anos)
                0.50    1.00    1.50    2.00    3.00

0               1.593   1.544   1.497   1.454   1.377
2               1.514   1.460   1.409   1.361   1.274
4               1.450   1.392   1.337   1.285   1.191
6               1.397   1.336   1.278   1.223   1.122
8               1.353   1.289   1.228   1.171   1.065
10              1.316   1.250   1.187   1.127   1.017
12              1.285   1.216   1.151   1.090   0.975
14              1.258   1.188   1.121   1.058   0.940
16              1.236   1.164   1.096   1.030   0.910
18              1.217   1.144   1.073   1.007   0.883
20              1.201   1.126   1.055   0.987   0.861
22              1.187   1.111   1.039   0.969   0.841
24              1.176   1.099   1.025   0.955   0.825
26              1.167   1.088   1.014   0.942   0.811
28              1.159   1.080   1.004   0.932   0.799
30              1.153   1.073   0.997   0.924   0.789
32              1.148   1.068   0.991   0.917   0.781
34              1.144   1.063   0.986   0.912   0.775
36              1.142   1.060   0.983   0.908   0.770
38              1.140   1.059   0.981   0.906   0.767
40              1.139   1.057   0.979   0.904   0.765
42              1.138   1.057   0.979   0.904   0.765
44              1.138   1.057   0.978   0.903   0.764

Evolucion de la comision por saldo equivalente para la AFP,
[[delta].sub.AFP], en porcentaje (%) y anualizada. Se calcula dicha
comision para [[alfa].sub.min] = 0.1590, [[alfa].sub.pro] = 0.1761 y
[[alfa].sub.max] = 0.2033 (estos tres valores corresponden a
comisiones por flujo de 1.49%, 1.615% y 1.84% del salario bajo una
tasa de contribucion de 10%), y cinco escenarios de la tasa libre de
riesgo iguales a: 0.50%, 1.00%, 1.50%, 2.00% y 3.00% anual. Se ha
considerado una edad de jubilacion de 65 anos, una edad minima de
ingreso al sistema de 20 anos, un horizonte de analisis [T.sub.AFP] =
45 anos, una tasa de crecimiento del salario [beta] = 3% anual, una
contribucion inicial comun [W.sub.0] > 0 y una distribucion de la
poblacion tal que [x.sup.N] = [x.sup.0].

TABLA 10 COMISION POR SALDO EQUIVALENTE DE LARGO PLAZO PARA LA AFP,
[[delta].sub.AFP], EN PORCENTAJE (%)

Comision por flujo         Crecimiento anual del salario ([beta])

f         [alfa]      0.0%    1.0%    2.0%    3.0%    4.0%    5.0%

1.00%     0.105       0.372   0.407   0.448   0.495   0.548   0.609
1.10%     0.117       0.412   0.451   0.496   0.549   0.608   0.676
1.20%     0.128       0.452   0.495   0.545   0.603   0.669   0.744
1.30%     0.139       0.493   0.540   0.595   0.659   0.731   0.813
1.40%     0.151       0.535   0.586   0.646   0.715   0.794   0.883
1.50%     0.163       0.577   0.633   0.698   0.773   0.858   0.955
1.60%     0.174       0.620   0.680   0.750   0.831   0.924   1.028
1.70%     0.186       0.663   0.728   0.803   0.890   0.990   1.103
1.80%     0.198       0.708   0.777   0.857   0.951   1.058   1.179
1.90%     0.211       0.752   0.826   0.912   1.012   1.127   1.257
2.00%     0.223       0.798   0.876   0.968   1.075   1.197   1.336

Comision por saldo equivalente de largo plazo para la AFP,
[[delta].sub.AFP], en porcentaje (%) y anualizada bajo una tasa libre
de riesgo igual a 1.52% anual en tiempo continuo. Se calcula dicha
comision para diferentes valores de la tasa de crecimiento anual del
salario, [beta], y valores de la comision por flujo. Esta ultima se
expresa como porcentaje del salario, f, y a traves de [alfa]
(asumiendo un aporte igual a 10% del salario). Se ha considerado una
edad de jubilacion de 65 anos, una edad minima de ingreso al sistema
de 20 anos, un horizonte de analisis [T.sub.AFP] = 45 anos, una
contribucion inicial comun [W.sub.0] > 0 y una distribucion de la
poblacion tal que [x.sup.N] = [x.sup.0].
COPYRIGHT 2016 Universidad de Chile
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2016 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Chavez-Bedoya, Luis
Publication:Estudios de Economia
Article Type:Ensayo
Date:Jun 1, 2016
Words:31647
Previous Article:Analisis de la demanda residencial de los servicios basicos en espana usando un modelo quaids censurado.
Next Article:Examinando el desempeno de corto plazo de las ofertas publicas iniciales de acciones con el analisis de limites extremos.
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2020 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters