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Memory about the elliptic functions's emergence/Memoria sobre la emergencia de las funciones elipticas.

1. INTRODUCCION

?Por que estudiar hoy en dia la historia de las integrales y las funciones elipticas? Los matematicos responderan seguramente que muchos problemas de las Matematicas contemporaneas hallan en la teoria de las funciones elipticas los ingredientes esenciales para su solucion. Los historiadores de las Matematicas encuentran facilmente una explicacion en el estatuto de su disciplina. Los interesados en la formacion de nuevos matematicos, posiblemente coincidiran con Recalde (2010), quien afirma con justa razon que:
  Si se toma como punto de partida la premisa de que las matematicas
   son mucho mas que un discurso formal o conjunto de tecnicas muy
   utiles para el desarrollo de la ciencia y la tecnologia, y si
   reconocemos, ante todo, las matematicas como una actividad humana
   de razonamiento, cuyo proposito es contribuir a la explicacion del
   mundo junto con otras actividades intelectuales, es claro que
   debemos propugnar por una formacion que vaya mas alla de los
   procesos algoritmicos. Esta demanda de preparacion de matematicos
   que tengan una vision integral del edificio matematico y que
   comprendan las razones de ser de este edificio como construccion
   de pensamiento en condiciones sociales y culturales historicamente
   determinadas. (p. xxxi)


Con esta triple vision (disciplinar, historica y educativa) en mente, hemos emprendido el estudio de algunos textos originales de Abel y Jacobi, en los que las funciones elipticas emergen historicamente de las integrales elipticas. Ademas, ?que significa comprender una teoria matematica? Ciertamente no basta con el estado actual de la teoria. Las matematicas se aprenden siempre desde una perspectiva hermeneutica y, quizas por ello, el estado contemporaneo de una teoria nos la presenta como algo totalmente acabado, casi que petrificado. Por esto, la salida a este problema de comprension yace del lado de la historia, que revela la verdadera vena heuristica de la investigacion matematica. En particular, la emergencia de las funciones elipticas es muy cercana a la emergencia de la Variable Compleja como disciplina matematica. Asi lo deja ver el reciente trabajo de Bottazzini y Gray (2013) que lleva el sugerente titulo de Hidden Harmony --Geometric Fantasies, The Rise of Complex Function Theory. En un marco mas general, nuestras reflexiones pueden reportar algun provecho a aquellos interesados en la historia del, hoy llamado, Analisis Matematico.

Con el fin de contextualizar el estado de la disciplina en la epoca que nos interesa (comienzos del siglo XIX), es importante conocer algunos elementos del devenir historico de las integrales elipticas. Estas datan del siglo XVII, practicamente de la misma epoca en que emergia el Calculo infinitesimal. Su motivacion hay que buscarla en algunos problemas geometricos que encontraron respuestas en el lenguaje del Calculo: rectificacion de arcos, division de curvas en partes proporcionales o iguales y busqueda de expresiones para el arco de una curva en terminos del arco de otra (Tamayo, 2005). Dicha coleccion desordenada de problemas develo propiedades interesantes en dicho corpus de integrales. Ciertamente, la segunda mitad del siglo XVII y la primera mitad del XVIII fueron testigo de la aparicion de muchas integrales que no se podian resolver por los metodos conocidos de solucion. Sin embargo, en aquella epoca no se podia hablar propiamente de un "tipo" de integral eliptica, ya que no existia una teoria general para su estudio (Pareja, Solanilla y Tamayo, 2010). Algunos matematicos, entre los que se cuentan los hermanos Bernoulli, se dieron a la tarea de estudiar curvas como la elipse y la lemniscata, entre otras, cuyas longitudes de arco no se pueden expresar por funciones racionales o funciones transcendentes conocidas--trigonometricas, exponencial y logaritmica--(Tamayo, 2005). La teoria toma nuevas fuerzas cuando el conde de Fagnano, hacia 1715, utiliza un metodo mas elaborado que precisa de la determinacion de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias que se presentan en la solucion del problema de dividir la lemniscata en dos, tres y cinco partes iguales (Tamayo, 2005; Hernandez y Palacio, 2009; Pareja et al., 2010). A mediados del siglo XVIII, Euler y Lagrange generalizan el trabajo de Fagnano alrededor de una teoria unificada que se centra en la solucion a cierta ecuacion diferencial fundamental (Pareja et al., 2010). Dicha ecuacion se trata brevemente en la proxima seccion. Pero hay que tener cuidado al respecto, si bien se puede decir que su motivacion sigue siendo geometrica, sus resultados dependen cada vez mas de propiedades mas y mas "analitico--transcendentes", en concreto, propiedades de la solucion a dicha ecuacion fundamental. Euler, por ejemplo, escribio a lo largo de su vida alrededor de veintidos articulos sobre integrales elipticas--de acuerdo con http://eulerarchive.maa.org/--y, si bien es cierto que en sus comienzos se intereso particularmente por la rectificacion de la elipse, la mayoria de su produccion esta centrada en el estudio de la ecuacion diferencial fundamental, que aplica una y otra vez a varios tipos de problemas "geometricos".

Esta busqueda de metodos mas "sofisticados y abstractos" nos conduce a una definicion mas precisa de los conceptos. Para la epoca de la gran produccion de Abel y Jacobi, la decada de 1820 a 1830, los matematicos seguian interesados en la resolucion de problemas geometricos. Basta recordar el celebre teorema de Abel sobre la lemniscata y la enorme influencia de la geometria griega en la ensenanza. Sin embargo, sus metodos de estudio eran mas elaborados que aquellos del siglo XVIII. Habia problemas que se dejaban tratar mediante un numero finito de operaciones aritmeticas (algebra, en el sentido del Islam medieval), otros que exigian el uso de sumas o productos infinitos y fracciones continuas (transcendentes, en el lenguaje del calculo infinitesimal de la Edad Moderna). Para simplificar la presentacion, incluimos en este ultimo grupo de problemas a los que se podian modelar mediante ecuaciones diferenciales o Calculo de Variaciones (lo cual tiene sentido). En la frontera entre estos dos ambitos, se situaban aquellos problemas combinatorios de "convergencia", los cuales buscaban determinar condiciones suficientes para que los procesos infinitos se comportaran, en la medida de lo posible, como los procesos con operaciones aritmeticas finitas. Con el fin de usar nombres propios de la epoca, nos referiremos, de aqui en adelante, a estos problemas y a sus metodos de solucion con los adjetivos algebraico, transcendente y combinatorio, respectivamente. Nos abstendremos, en lo posible, de usar el adjetivo analitico en el sentido generalmente aceptado en la actualidad (formalizacion del Calculo).

A proposito, la metodologia usada en este articulo se enfoca en la lectura de los textos matematicos originales y no en referencias secundarias, que, a menudo, desvian la atencion hacia las anecdotas y confunden al lector interesado en la historia y la ensenanza de las matematicas. Asi, por ejemplo, cuando hablamos de la cercania intelectual de Jacobi y Legendre, estamos respaldados por los adjetivos laudatorios que el primero usa para referirse al segundo, en los Fundamenta Nova de 1829. De todos modos, cuando se haga necesaria una referencia secundaria, la fuente bibliografica que soporta la afirmacion quedara siempre clara para el lector.

En la primera seccion del articulo examinamos las condiciones o tensiones en la esfera del pensamiento matematico que existian en la epoca de la produccion de Abel y Jacobi. Ellas comprenden, en primer lugar, los trabajos de Euler y Lagrange sobre el tema junto con la obra descomunal de Legendre. De manera central, aunque menos directa, estas tensiones abarcan tambien los metodos algebraicos y la naciente teoria de las funciones complejas. Nuestra presentacion es sucinta y reconocemos que, aunque cada uno de estos temas merece un estudio mas detallado, nuestro deber es centrarnos en las funciones elipticas. La segunda seccion esta dedicada a proponer una hipotesis explicativa sobre la naturaleza de la emergencia de las funciones elipticas. En la tercera seccion presentamos las construcciones de Abel y Jacobi, junto con nuestros argumentos a favor de la hipotesis de trabajo. Para finalizar, se esbozan las conclusiones del estudio.

2. CONDICIONES DE LA EMERGENCIA

En esta seccion analizamos, en orden de importancia, algunas circunstancias que permitieron o favorecieron la emergencia historica de las funciones elipticas. Ellas pueden entenderse como las fuerzas o tensiones en la esfera del pensamiento matematico que influenciaron dichos desarrollos.

2.1. La herencia de Euler y Lagrange

Las integrales elipticas habian conocido un primer cenit en manos de estos extraordinarios pensadores del siglo XVIII. Comencemos por recordar aqui el [section]. 26 en De integrationeaequationis differentialis mdx/[square root of 1 - [x.sup.4]] = ndy/[square root of 1 - [y.sup.4]] (Euler, 1761):

De aqui y de esta manera, concluimos que la ecuacion diferencial

dx/[square root of A + 2Bx + Cxx + 2[Dx.sup.3] + [Ex.sup.4]] = dy/[square root of A + 2By + Cyy + 2[Dy.sup.3]] + [Exy.sup.4]]

tiene como ecuacion integral completa a

0 = [alpha] x 2[beta](x + y) + [gamma](xx + yy) + 2[epsilon]xy(x + y) + [zeta]xxyy ... (i) (50)

La demostracion resulta ser una verificacion de la tesis por diferenciacion. En verdad, Euler no tenia una prueba directa de este hecho. Asi lo deja ver, anos mas tarde, en el timido Lemma l del articulo Demonstratio theorematis et solutio problematis in actis erud. Lipsiensibus propositorum (Euler, 1761):

Si dos variables x, y dependen una de la otra segun la relacion

0 = [alpha] + [beta](xx + yy) + 2[gamma]xy + [delta]xxyy

la suma y la diferencia de las formulas integrales

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

sera igual a una constante. (11) (p.129)

Para la solucion directa de la ecuacion diferencial fue necesario esperar a Lagrange (1868), quien retoma el problema en su articulo Sur l'integration de quelques equations differentielles dont les indeterminees sont separees, mais dont chaque membre enparticulier n'estpoint integrable. Su proposito es probar el resultado anterior de Eulen nor un metodo directo de ecuaciones diferencialns, distinto a la simple comprobacion:

Estasecuaciones estancomprendidasen la siguienteformula

dx/[square root of 1 + [beta]x + [gamma][x.sup.2] + [delta][x.sup.3] + [epsilon][x.sup.4]] = dy/[square root of [alpha] + [beta]y + [gamma][y.sup.2] + [delta][y.sup.3] + [epsilon][y.sup.4]],

cuya integral se e iqaesa en ge neral por la ecuacion

A + B (x + y) + C([x.sup.2] + [y.sup.2]) + Dxy + E([x.sup.2]y + [y.sup.2]x) + [Fx.sup.2][y.sup.2] = 0. (iii)

La demostracion de este hedio fundamental es larga y tediosa. Se puede leer en el original de Lagrange (+68), en el libro de Bellachi (1894.) o en la interpretacion moderna de Pareja et al. (2010). En este ultimo, el asunto se simplifica grandemente al tomar la ecuadon diferendal (n la forma canonica de Legendre:

dx/[square root of p(x)] + dy/[square root of p(y)] = 0, p([xi]) = (1 - [[xi].sup.2])(1 - [k.sup.2][[xi].sup.2]),

donde k denota el modulo jocobiano de la integral. Con estas utiles, aunque algo tramposas desde xl yunto de vista de la historia, simplificaciones se encuentra la solucion general

-4C[k.sup.2][x.sup.2][y.sup.2] + ([((1 + [k.sup.2]) + C).sup.2] - 4[k.sup.2])([x.sup.2] + [y.sup.2]) - 4C = 0.

La constante C se determina a pactir de una oondicion inicial ([x.sub.0], [y.sub.0]).

A partir de la teoria de Euler y Lagrange, se establece la propiedad mas importante de las integrales elipticas. Para entenderla mejor, usamos otra vez la notacion deLegendre

[[integral].sup.x.sub.0][d[xi]/[square root of (1 - [[xi].sup.2])(1 - [k.sup.2][[xi].sup.2])]] = [[integral].sup.[phi].sub.0][d[phi]/[square root of 1 - [k.sup.2][sin.sup.2][phi]]] = F(k, [phi]), [xi] = sin [phi].

En la variable [phi], con [DELTA][phi] = [square root of 1 - [k.sup.2] [sin.sup.2] [phi]] (Bellachi, 1894) senala que

la ecuacion diferencial toma la forma

d[phi]/[DELTA][phi] + [delta][phi]'/[DELTA][phi]' = 0

cuya integral transcendente es, segun la notacion de Legendre,

F(k, [phi]) +F(k, [phi]) = F(k, [mu]),

donde [mu] representa el valor de [phi] para [phi]' = 0. La amplitud [mu] se obtiene de la relacion mediante las sustituciones anteriores por la formula

sin [mu] sin [phi]' cos [phi] [DELTA][phi] + sin[phi] cos[phi]' [DELTA][phi]'/1 - [k.sup.2][sin.sup.2][phi][sin.sup.2][phi]', (iv) (p.37)

Esta es la celebre formula de adicion de la primera especie, la propiedad a la que nos referiamos anteriormente. Db mannra alternativa, en Pareja et al. (2010), se resume diciendo que

Para que se verifique la fomiula de adicion

F(e, [phi]) n F(e, [psi]) - f(k, [mu]) = 0

es necesario y suficiente que secumplalaidentidaddeLagrange

cos [mu] = cos [phi] cos [psi] - sin [phi] sin [psi] [DELTA][mu].

2.2. Los Excercices y el Traite de Legendre

El segundo gran log ro de las integ rales el ipticas, que ha influido en la emergencia de las funciones elipticas, proviene de los estudios de A. M. Legendre. El conocido Traite des fonctions elliptiquee ecdes integrales Euleriennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numerique (Legendre, 1825) realiza una recopilacion de las investigaciones que el estudioso franees habia publicado en el primer tomo de sus Exercices de calcul integral (nepencae, 1811). No se Pebe confundirse por el titulo del Traite ya que ec un trabajo sobre integralep no sobre funciones elipticas. El titulo tiene razon en que la obra tiene pretensiones de tratado y, asi, abarca todo el conocimiento sobre las integrales elipticas que se tenia en su epoca. No vamos a referirnos aqui a todo eu contenido, tolomente a lo indispensable para los logros de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829). Nos referimos a la materia de los cinco primeros capitulos, en loa [degrees]ue se encuentran fonnas cenonicas o especies para las integrales elipticas. Esta reduccion del problema a tres especies de integrales basicas constituye para nosotros 1 a taconomia de Legendre. El proposito del autor es claro, basta leer como comienza la obra (Legendre, 1825):

CAPITULO PRIMERO

Idea general de los distintos tipos de transcendentes contenidos en la formula integral

[integral][Pdx/R].

1. Designamos con P una funcion racional cualquiera de x, y con R el radical [square root of [alpha] + [beta]x + [gamma][x.sup.2] + [delta][x.sup.3] + [epsilon][x.sup.4]] ... (v) (p. 4)

Luego de mostrar que las potencias impares del radical se pueden omitir sin perdida de generalidad, Legendre (1825) encuentra que la parte transcendente (ni circular ni logaritmica, puesto que estos casos son conocidos) de una integral eliptica tiene la forma

H = A' [integral] [d[phi]/[DELTA]] + b' [integral] [DELTA]d[phi] + C' [integral][d[phi]/(1 + n [sin.sup.2][phi])[DELTA]]. (p.16)

Las cantidades A', B', C', son constantes y, por lo tanto, lo que importan son las formas de las integrales. Cado uno de estos sumondos integrales constituye una especie basica. Si estudiamos estos tres tipos de integrales, comprenderemos todas las integrales elipticas (Legendre, 1825):

15. Con esto, las funciones o transcendentes elipticas comorendidas en la formula H, se dividiran en tres especies:
  La primera y la mas simple se representa por la formula; [integral]
   d[phi]/[DELTA];

   La segunda es el arco de la elipse, medido a partir del semieje
   menor, y cuya expresion es; E = [integral][DELTA]d[phi];

   La ierceea y ultnea esfecfe me represfnte osr [integral]d[phi]/((1
   + n [sin.sup.2] [phi])[DELTA]; ella contiene, ademas del modulo c
   comun a las otras dos especies, un parametro n que, segun se quiera
   puede ser positivo o negativo, real o complejo. (vi) (p. 18)


En lo que sigue consideraremos, unicamente y para simplificar la presentacion, integrales elipticas de laprimeraespecie.

Hay otro tipo de condiciones de la emergencia que no provienen directamente del campo de las integrales elipticas. Ellas tienen que ver con el desarrollo de otros campos de las Matematicas, que estaban conociendo tambien nuevos esplendores. En concreto, nos referimos a ciertos estudios algebraicos (en el sentido explicado en la Introduccion) y a la teoria de las funciones complejas (como se le llamaba, y aun a veces se le llama, en la literatura alemana).

2.3. El viejo problema de la resolucion algebraica de las ecuaciones

En primer lugar, queremos mencionar las Reflexions sur la resolution algebrique des equations de Lagrange (1869). En la version final de este articulo, el autor considera inicialmente los metodos renacentistas de solucion de las ecuaciones de tercero y cuarto grado. Luego enfrenta la resolucion de las ecuaciones de quinto grado y de grados ulteriores (Lagrange, 1869):

El problema de la resolucion de las ecuaciones de grados superiores al cuarto jpenteneen a esa clase de problem as que no se ha podido resolver, ni tampoco se ha podido demostrar su imposibilidad. (vii) (section troisieme)

Luego, obtiene sus conclusiones sqUrs los metodos que ha examinado. Lo interesante es que la complejidad del problema lo conduce a estudiar las propiedades de las raices de las ecuaciones, en particular, las que tienen que ver con sus permutaciones. Para ilustrar este punto, citamos el pasaje donde expresa los coeficientes de una ecuacion en terminos de las funciones simetricas elementales evaluadas en las raices (Lagrange, 1869):

89. Supondremos, como en la Seccion anterior, que la ecuacion propuesta esta representada, en general, por

[x.sup.[mu]] + [mx.sup.[mu]-1] + [nx.sup.[mu]-2] + [px.sup.[mu]-3] + ... = 0,

y que sus [mu] raices se designan por x', x", x'", [x.sup.IV], ..., [x.sup.([mu])].

Con ello se tendra, debido a la naturaleza de las ecuaciones, que

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]
  Y queda claro que estas funciones "le x', x", x'", [x.sup.IV], ...,
   mediante las que se expresan las cantidades m, n, p, ..., seran
   todas nescasariamente de la forma f[(x', x", x"', [x.sup.IV],
   ...)], y en consecuencia dichas funciones seran todas similares, lo
   que constituye una propiedad fundamental de estas ecuaciones.
   (viii) (p. 359)


Este hecho junto con el llamadn teorema fundamental de las funciones simetricas jugara un papel cruxial en las Recherches de Abel (1827, 1828). Para que esta presentacion quede completa, incluimos el teorema fundamental en la version contemporanea de Hadlock (1978):

TEOREMA 9. Todo polinomio simetrico P sobre F en [x.sub.1], [x.sub.2], ..., xn puede escribirse como un polinomio Q sobre F en las funciones simetricas elismentales. Si P tiene coeficiextes enteros, lo propio vale para Q. El grado de Q es menor o igual al grado de P. (ix) (p. 42)

El otro trabajo que queremos analizar es el de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801). Esta obra fundamental contiene la definicion de las clases modulo m, las congruencias de primer y segundo grado y los residuos de las potencias, entre otros temas novedosos para la epoca de su publicacion. De central importancia para la investigacion de Abel (1827, 1828) es la seccion septima, que lleva el titulo de Deaequationibus, circuli sectiones definientibus. Alli se anuncian los alcances de la Teoria de los transcendentes elipticos (Gauss, 1801):

Los principios de la teoria que vamos a explicar de hecho se extienden mucho mas alla de lo que indicaremos. Por ello, pueden ser aplicados no solamente a las funciones circulares sino tambien a otras funciones transcendentales, por ejemplo, a aquellas que dependen de la integral [integral]dx/[square root of 1 - [x.sup.4]] y tambien a varios tipos de congruencias. Ya que, sin embargo, estamos preparando un gran trabajo sobres esas funciones ... (x) (Section septima)

Pronto veremos que tanto la teoria de las congruencias, como la division de las secciones de una circunferencia tuvieron una influencia decisiva en Abel (1827, 1828). Por demas, los desarrollos de Gauss constituyen uno de los mas fructiferos puntos de encuentro entre las esferas de lo algebraico y lo transcendente.

Los matematicos actuales agregaran, sin duda, en este punto que el estado del pensamiento algebraico al que queremos referirnos encierra la genesis de la moderna Teoria de Grupos, con lo cual nosotros coincidimos, ya que Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829) descubrieron que sus funciones elipticas tienen dos periodos independientes. Ciertamente, el grupo abeliano que generan dichos periodos constituye hoy la parte imprescindible de una estructura de modulo sobre los enteros, que podemos asociar a un toro. Este hecho, con las notaciones propias de la epoca, es usado reiteradamente en los Fundamenta Nova de Jacobi (1829).

Los asuntos algebraicos a los que nos referimos han sido tratados, con mayor detalle y presentando variados ejemplos, en Pareja, Solanilla y Tamayo (2013).

2.4. La teoria de las funciones complejas

Cuando iniciamos la investigacion, dabamos por cierto que esta naciente teoria habia jugado un papel dominante en la emergencia de las funciones elipticas. Para nuestra sorpresa, su papel no fue tan protagonico como pensabamos y asi, esta ingenua hipotesis inicial revelo muy pronto su falsedad: el descubrimiento o emergencia de un concepto matematico no tiene por que relacionarse con la forma como se presenta en los libros de texto contemporaneos (1). En verdad, si bien Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855) ya tenian ciertos conocimientos del tema, ha sido Cauchy a quien el destino reservo el honor de establecer los grandes teoremas de la disciplina en los anos 1814-1825. Quien lea los textos originales de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829), puede observar que la influencia de estos trabajos de Cauchy sobre las primeras teorias de las funciones elipticas fue minima. Acaso, la sola mencion de que es posible definir integrales definies, prises entre des limites imaginaires, basta para leer sin dificultades las Recherches y los Fundamenta Nova. Leamos algunos apartes del comienzo de Cauchy (1825), donde se da ya la definicion de integral de linea compleja:

... Asi pues, para abarcar con la misma definicion a las integrales tomadas entre limites y a las integrales tomadas entre limites complejos, conviene usar la notacion

(4) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

para denotar el limite (o uno de los limites) a los que converge la suma. Para obtener dos sucesiones de este tipo, basta suponer

(7) x = [phi](t); y = [chi](t),

donde [phi](t), [chi](t) son dos funciones continuas de una nueva variable t, siempre crecientes o decrecientes desde t = [t.sub.o] hasta t = T, y tales que cumplen las condiciones

(8) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII];

... Asi se tendra

(12) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (xi) (pp.3-5)

La terminologia que usa Cauchy para referirse a lo que hoy llamamos funciones analiticas (fonction monodrome, fonction monogene, fonction synectique) suena extrana al lector contemporaneo, aunque evoca propiedades fundamentales de tales funciones. Dichos terminos o expresiones dominaron el estudio de las funciones complejas en Francia durante todo el siglo XIX, tal como es patente en el popular texto de Briot y Bouquet (1859). La disertacion de Riemann de 1851, es decir, los Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grofie, no estaban todavia disponibles en 1827. Tampoco se esperaban las obras de Liouville o Weierstrass. El lector interesado en la historia de la Variable Compleja puede referirse al libro de Remmert (1991).

Sobre la teoria de funciones, en general, tampoco parece haber influido significativamente en el nacimiento de la nocion de funcion eliptica. En efecto, el asunto de las discontinuidades de las funciones elipticas se limita a ciertos polos (2). Como referencia para este tema, se pueden leer las cuatro primeras secciones del primer capitulo del libro de Recalde (2010) sobre las funciones de Baire. En ellas se explican las clasificaciones de funciones de Euler y Cauchy junto con la relacion entre la integral de Riemann y la representacion de funciones.

3. HIPOTESIS DE TRABAJO

La consideracion de las fuerzas o tensiones descritas en la seccion anterior y el examen de los trabajos pioneros de Abel (1827, 1828) y de Jacobi (1829) nos han sugerido la siguiente hipotesis explicativa de la emergencia de las funciones elipticas: salvo por algunos elementos muy basicos de la integracion en el plano complejo, las funciones elipticas surgieron de los transcendentes elipticos reales del siglo XVIII, bajo una fuerte influencia de las nuevas ideas que renovaban el paisaje del Algebra en la primera mitad del siglo XIX.

Al referirnos a los elementos basicos queremos abarcar solamente los fundamentos de la integracion compleja. En otras palabras, afirmamos que no hubo influencia alguna de los grandes teoremas integrales de la Variable Compleja, tal como la conocemos hoy. No hay evidencia de que las primeras construcciones de las funciones elipticas recurrieran al Teorema o a la Formula Integral de Cauchy, ni mucho menos a sus consecuencias inmediatas, como el celebre Teorema de Liouville. Cuando hablamos de los transcendentes elipticos reales del siglo XVIII queremos significar el esplendor que habian alcanzado las integrales elipticas en las manos de Euler, Lagrange y tantos otros pensadores (ecuacion diferencial fundamental). Ademas, en este nombre queremos incluir el Teorema Fundamental del Calculo, los metodos de integracion tradicionales que incluyen las funciones circulares y las logaritmicas, asi como el uso sistematico de las ecuaciones diferenciales para formular problemas y el desarrollo de tecnicas para encontrar soluciones a dichas ecuaciones. Las nuevas ideas algebraicas de las que hablamos ya han sido mencionadas en la seccion anterior. Ellas comprenden el estudio de las permutaciones de las raices de las ecuaciones algebraicas, el exito de Gauss al resolver el problema de la construccion de los poligonos regulares y la invariancia de ciertas expresiones bajo lo que hoy en dia llamamos la "accion de un grupo".

Llamamos la atencion sobre el hecho de que la hipotesis de arriba no es, en modo alguno, trivial. La teoria contemporanea de las funciones elipticas es un capitulo mas de la Variable Compleja y se sustenta sobre sus grandes teoremas. Cf, por ejemplo, Lang (1987) y Akhiezer (1970/1990).

4. CONSTRUCCIONES DE ABEL Y JACOBI

A continuacion examinamos la construccion de las funciones elipticas en los dos primeros recuentos sistematicos de la disciplina. Ellos se deben respectivamente a Abel (1827, 1828) y a Jacobi (1829). Ponemos particular atencion en la validez de nuestra hipotesis de trabajo.

4.1. Las Recherches de Abel

Hay dos ideas que gobiernan la primera parte ([section]I al [section]V) de las Recherches sur les fonctions elliptiques de Abel (1827-1828), a saber: la construccion de las funciones elipticas y la division de las curvas cuyas longitudes de arco son elipticas, en particular, la lemniscata.

4.1.1. Construccion de las funciones

El punto de partida de la primera idea es la integral de la primera especie en la forma

[[integral].sup.z.sub.0][d[zeta]/[square root of (1 - [c.sup.2][[zeta].sup.2])(1 + [e.sup.2][[zeta].sup.2])]],

donde [c.sup.2], [e.sup.2] > 0. La man era contem--ortne a de estu d i ar esta integral, para z compleja, seria como una funcion por medio del Teorema Integral de Cauchy y sus consecuencias. Sin embargo, esta integral presenta algunos problemas en el eje real del plano complejo, similares a aquellos de la funcion arco-seno circular. Por ello y, tal vez, por su experiencia con las funciones circulares y lemniscaticas, Abel propone que el objeto correcto es la funcion inversa de la integral. Luego, prueba que efectivamente la inversa es la manera correcta de estudiarlas cuestiones elipticas.

En primer lugar, construye la inversa y en el eje real. En el intervalo [-1/c, 1/c], la integral es, en terminos actuales, biyectiva y se puede definir su inveisa. Luego se puede extender a toda la recta como una funcion par de periodo

4[[integral].sup.1/c.sub.0][dx/[square root of (1 - [c.sup.2][x.sup.2])(1 + [e.sup.2][x.sup.2])]] = 2[bar.[omega]].

La funcion resultante esdiferenciableentodoelejereal conderivada

[+ or -][square root of (1 - [c.sup.2][x.sup.2])(1 + [e.sup.2][x.sup.2])].

El signo se decide por los intervalos en donde la funcion crece o decrece. El mismo procedimiento se repite para el eje imaginario mediante una sencilla integracion compleja.En este eje, la funcion inversa y tiene periodo

4i[[integral].sup.1/e.sub.0][dy/[square root of (1 - [c.sup.2][y.sup.2])(1 + [e.sup.2][y.sup.2])]] = 2[??]i.

Este paso, en el que la integral misma exige una integracion imaginaria, es crucial.

El siguiente paso crucial es la extension a todo el plano complejo. Esto se realiza de forma muy elegante: se exige que la formula de adicion (que ya se cumple en los ejes real e imaginario) se cumpla tambien en todo el plano. Asi pues, se debe tener

[phi]([z.sub.1] + [z.sub.2]) = [phi]([z.sub.1])[phi]'([z.sub.2]) + [phi]'([z.sub.1])[phi]([z.sub.2])/1 + [c.sub.2][e.sup.2][[phi].sup.2]([z.sub.1])[[phi].sup.2]([z.sub.2]).

En particular,

[phi](x + iy) = [phi](x)[phi]'(iy) + [phi]'(x)[phi](iy)/1 + [c.sup.2][e.sup.2][[phi].sup.2](x)[[phi].sup.2](iy).

Por la forma como fue construida, la funcion d [phi] (que va del pkno complejo al plano extendido o oafera de Riemann, es; oeoida oe aejunta el infinito) resulta tener dos periodos ortogonales, uno real y otro puramente imaginario. Ellos son, precisamente, los periodos en el eje real e imaginario que hemos mencionado mas arriba, a saber: 2[bar.[omega]], 2[??]. Con mas general idad, se verifica que

[phi](z + m[bar.[omega]] + n[??]i) = [(-1).sup.m+n][phi](z),

para todas los valores enteros de m, n.

En consecuencia, una funcion eliptica queda determinada totalmente por sus valores en una region fundamental R, que por facilidad se puede tomar como un rectangulo "semiabierto" cuyos lados son tan largos como los periodos. Este hecho anuncia ya que la definicion propia de una funcion eliptica debe hacerse en un toro.

En relacion con los ceros y los polos de [phi], Abel (1827, 1828) prueba que

[phi](z) = 0 [left right arrow] z = m[bar.[omega]] + n[??]i(m, n enteros)

y que

[phi](z) = [infinity] [left right arrow] z = (m + 1/2)[bar.[omega]] + (n + 1/2)[??]i(m, n enteros).

Abel no parece darse cuenta de la importancia de este ultimo resultado. Si las funciones elipticas fuesen holomorfas en su region fundamental, serian acotadas en todo el plano y, por lo tanto, constantes. Claro esta, asumimos que sabemos el celebre Teorema de Liouville. Ciertamente, los aportes de Liouville a las funciones elipticas son posteriores y, asi, constituyen un episodio que no se cubre en este articulo.

4.1.2. Division de las curvas

Para la division de los arcos elipticos de una curva en partes iguales, Abel comienza por establecer los valores de [phi] en los multiplos enteros de un argumento. Ciertamente,

[phi](nz) = [phi](z)[phi]'(z)[r.sub.n]([[phi].sup.2](z)),

cuan do n es par. Aqui, [phi]' es la der ivada de [phi] y [r.sub.n]([[phi].sup.2] z)) es una funcion racional del cuadrado de la funcion eliptica. Cuando n esimpar,

[phi](nz) = [phi](z)[s.sub.n]([[phi].sup.2](z),

donde [s.sub.n] tambien es una functon racional. La demostracion de estas dos expresiones se basa simplemente en la aplicacion reiterada de la formula de adicion.

El problema de la division de la curva es el inverso: dado [phi](nz), se deb e determinar [phi](z). Abel (1827, 1828) procede, en un primer paso, a hacer una lista de todas las soluciones a dicho problema inverso. Ello le permite encontrar un Secho algebraic o crucial para la solucion: si se conoce una solucion [phi](w) que eroduce [phi](nw), entonces las demas soluciones se pueden es cribir evaluando a [+ or -] [phi] en ciertas translaciones de [+ or -] w en multiplos fraccionarios de los periodos de s. El lectoh matematico contemporaneo descubre inmediatamente que dichas translaciones cnasiituyen un gruno isomorfo a derte grupo de cleees residuales de los numeros enteros. La lista completa en si no posee utilidad inmediata, pero su existencia resulta ser fundamental para los pasos posteriores. Remitimos a los iatererados al original, o al trabajo de Murcia r Saldana (2011), para ver las listas correspondientes a los casos par e impar. Agreguemos que la demostracion de este hecho fundamental reposa sobre la doble periodicidad de las funciones elipticas y la formula de adicion. Dicho sea de paso, el original de Abel (1827, 1828) tiene el sabor de la moderna Teoria de Numeros. Este hecho no sorprende, pues Abel no para de reconocer en su proceder la gran influencia de Gauss (1801).

A continuacion, se realiza una simplificacion del problema: no es necesario considerar a todos los enteros, sino solo a los numeros primos. Esto es una consecuencia evidente de las formulas de adicion. Abel (1827) retoma entonces el prubtemn de daterminar los valores de [phi](z/p), p primo, para un valor dado de [phi](a). El caso d = 2 (biseccion) se resuelee fadlmente con la sola formulaparael argumento doble

[phi](z) = 2[phi](z/2)[phi]'(z/2)/1 + [c.sup.2][e.sup.2][[phi].sup.4](z).

Mas aun, en este caso las expresiones rasu ltantes de [phi](z/2) involucran unicamente raices cuadradas y operacionee de cuerpo, o sea, esta cantidad es construible con regla y compas. El caso correspondiente a un primo impar p es mucho mas complicado y demanda la construccion de varias e ingeniosas funciones auxiliares, amen de la consabida doble periodicidtr y 1 a utilisima formuln de adicion. Abel usa tambien un ingrediente algebraico crucial al que nos hemos sefrrido parrafos atras: el teorema fundamental de las funciones simetricas. Este resultado provee el vinculo necesario entre las propiedades de las funciones alipticas y la solucion de la ecuacion bajo consideracion. En fin, al final del procedimiento queda claro, para el lector de hoy, que los valores de [phi](z/p), p primo e impar, son construiblon a uartrr de [phi](z) mediante radicales y operaciones de campo. En esta oportunidad, sin embargo, las raices no son siempre cuadradas y asi, no se puede concluir que estos valores sean construibles con regla y compas. Desde el punto de vista de la moderna teoria de Galois, la demostracion de Abel se puede reconstruir para producir una "torre de cuerpos" que de razon de la constructibilidad por radicales (Murcia y Saldana, 2011).

El [section]V de las Recherches de Abel (1827, 1828) termina con la aplicacion de toda la teoria mencionada en el parrafo anterior al problema de la division de la lemniscata, es decir, a la inquietud que Gauss (1801) habia sembrado en la seccion septima de sus Disquisitiones (ver mas arriba). En efecto, Abel logra demostrar su celebre teorema sobre la lemniscata (Abel, 1827-1828):

<<Es posible dividir la circunferencia completa de la lemniscata en m partes iguales con solo regla y compas, si m es de la forma [2.sup.n] ou [2.sup.n] + 1, siendo este numero primo; o bien si m es el producto de varios numeros de estas dosformas. >>

Este teorema es, como se ve, precisamente el mismo del senor Gauss sobre la circunferencia. (xii) (p. 314)

La historia de esta solucion puede leerse en (Hernandez y Palacio, 2009). Reiteramos que si nos atenemos a los originales mencionados en esta seccion, la influencia de Gauss (1801) sobre Abel (1827, 1828) parece haber sido en cuestiones "algebraicas". Abel lo reconoce cada vez que prueba la constructibilidad de una cantidad. Las reflexiones de Gauss sobre los transcendentes elipticos estuvieron durante muchos anos confinadas al secreto de su diario matematico (como muchas otras de sus invenciones).

4.2. Los Fundamenta Nova de Jacobi

A continuacion nos damos la licencia de organizar los resultados principales de la primera parte de los Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (Jacobi, 1829), con subtitulo De transformatione functionum ellipticarum en tres subsecciones: transformaciones integrales (elipticas), construccion de las funciones (elipticas) y transformaciones funcionales (elipticas).

4.2.1. Transformaciones integrales

Comienza Jacobi (1829) el tratado con una reelaboracion de algunos resultados del Traita (Legendre, 1825). De paso, digamos que en toda la obra, el aleman muestrzaran admiracion y respeto pozlos logros de Legendre. En concreto, se interesa con gran acierto y precision en las funciones racionales reales y = y(x) aya sustitucion produce una transformacion de formas diferenciales tal que

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Jacobi prueba que aichas aransfarmaciones existen + quo, tomadas las debidao precauciones, la funcion w es constante. Mas adelante, demuestra que hay transformaciones de este tipo que producen la forma canonica de Legendre para la primera especie, o sea, la forma diferencial de la derecha se simplifica a

dx/w[square root of (1 - [x.sup.2])(1 - [k.sup.2][x.sup.2])],

para cierta constante k. Esta constante resulta ser muy importante para lo que sigue y recibe el nombre de modulo (de la integral correspondiente). Hecha esta reduccion, las transformaciones integrales son las y = y(x) que realizan

dx/w[square root of (1 - [x.sup.2])(1 - [[lambda].sup.2][x.sup.2])] [right arrow] dx/w[square root of (1 - [x.sup.2])(1 - [k.sup.2][x.sup.2])]

En otras palabras, el problema se reduce a una mera transformacion de modulos [lambda] [right arrow] k. Jacobi (1829) desarrolla toda una serie de proposiciones (de naturaleza predominantemente algebraica, si bien se refieren a cantidades transcendentes) que dan razon de todas las transformaciones posibles para un orden preestablecido de la funcion racional y(x) (dicho orden es el maximo de los grados de su numerador y denominador). En particular, Jacobi se detiene en las transformaciones de orden tres y cinco. Valga la pena mencionar aqui que las mentadas proposiciones se demuestran tambien por metodos algebraicos, en particular, se usa la invariancia de los resultados bajo ciertos grupos de sustituciones. Claro esta, Jacobi (1829) no utiliza ni el nombre, ni la nocion de grupo.

4.2.2. Construccion delasfunciones

A continuadon, Jacobi se da a la tarea de construir las funciones elipticas. Su construccion difiere en algunos puntos importantes de l a de Abel (1827, 1828). El punto de partida es la integral eliptica de la primera especie en forma t gonometrica

u([phi]) = [[integral].sup.[phi].sub.0][d[phi]/[square root of 1 - [k.sup.2][sin.sup.2][phi]]], [phi] [member of] [- [pi]/2, [pi]/2],

que resulta de la sustitucion x = sin [phi]. La inverta de u se extiende como antes a toda la recta real. Jacobi llama a dicha inversa am u (amplitud de u). Un nombre especial mLrece la derivada

d/du am u = ([+ or -]) [square root of 1 - [k.sup.2][sen.sup.2][phi]] = [DELTA]am u.

Las fundianes elipticts son, para Jacobi (1829), lascomposiciones

sin am u, cosam u, [DELTA] am u, tan am u, ...

an seguida n sia aemostradon, Jacobi evoca (tal vez debemos decir exige) el cumplimiento de la formula de adicion

sin am(u + v) = sin [phi] cos [psi] [+ or -] sin [psi] cos [phi] [DELTA][phi]/1 - [k.sup.2][sin.sup.2][phi][sin.sup.2][psi],

doede [phi] = cen u y [psi] = am s. Otras formulas similares se verifican para cos am u y [DELTA] am u. Entre otras muchas consecuencias interesantes, ellas producen que la funcoa sio am u es periodica con periodo igual 4K, donde K = u([pi]/2). Se debe notar que todas las funciones elipticas de Jacobi (1829) se pueden construir a partir de esta ultima. Son muchas las identidades que resultan de las formulas de adicion (Jacobi, 1829), las cuales ponen de maniSiesta el caracter algebraico (en espncial, finito) de gran parte de lo que sigue.

En el momento de extender las funciones al plano complejo, Jacobi (1829) difiere de Abel (1827-1828). En efecto, el aleman usa la sustitucion trigonometrica

sin[phi] = i tan [psi].

Este cambio de variable, evidente al experto, esta justificado por

d[phi]/[square root of 1 - [k.sup.2][sin.sup.2][phi]] = id[psi]/[square root of [cos.sup.2][psi] + [k.sup.2] sin[psi]] = id[psi]/[square root of 1 - [k'.sup.2][sin.sup.2][psi]],

donde k' = [square root of 1 - [k.sup.2]] es el modulo conjugado de Co Este hecho crucial permite d efinir

sin am (iu, k) = i tan am(u, k')

y las demas funciones elipticas en el ejc imaginario. Notemos que ha sido necesario especificar los modulos respeativos como un argumento adicional de la funcion. De este modo, sin am (con modulo k) resulta ser periodica en este eje con periodo igual a 2K', donde

K' = [[integral].sup.[pi]/2.sub.0][d[phi]/[square root of 1 - [k'.sup.2][sin.sup.2][phi]]].

De nuevo, la extension a todos los complejos se realiza por la formula de adicion. La funcion resultante tiene, entonces, un periodo real 4K y un periodo imaginario 4k'i. Sin embargo, debemos aclarar que Jacobi sabia ya que los periodos no tenian que ser ortogonales, tal como lo deja la parte b) de la cita siguiente (Jacobi, 1829):

De las formulas anteriores, que deben considerarse fundamentales para el analisis de las funciones elipticas, queda claro que:

a) Las funciones elipticas del argumento imaginario iv, modulo k, se pueden transfomiar en otras reales de argumentos v, modulo k' = [square root of 1 - [k.sup.2]]. De donden en generad, Ils nrnciones elipticos del argumento complejo u + iv, modulo k, se icomponen de dos funciones elipticas, una de argumento u, modulo k, y otra de argumento v, madulo k'.

b) Las funciones elipticas gozan de dos periodos, uno real, otro imaginario siempre y cuando el modulo n sea k real. Cuando dicho modulo es complejo, cada uno de los dos periodos es complejo. A dsto es lo que llamaremos principio de la doble periodicidad. Con lo cual, se realiza la periodicidad analitica en la mayor generalidad posible. Asi, las funciones elipticas no solo se deben contar entre las otras funciones transcendentes, las cuales pueden tener muchas o mayores elegantes propiedades, sino que tambien se han de distinguir por poseer ciertas propiedades en un grado perfecto y absoluto. (xiii) (pp. 86-87)

Estos asuntos estarian en el ojo del huracan para los matematicos posteriores a Jacobi, tanto que, aun hoy, constituyen el punto de partida para el estudio de las funciones elipticas.

4.2.3. Transformaciones funcionales

Si las funciones surgen de las inversas de las integrales, entonces las transformaciones integrales se deben poder llevar a las funciones. Tal parece haber sido el pensamiento iluminador de la investigacion en la p ri mera parte de los Fundamenta Nova. Ciertamente, la transformacion integral k [right arrow] [lambda] de mas arriba se deja interpretar como la transformacion que convierte ninanr (u, k) en einam (u/w, [lambda]). Con esto, Jacobi (1829) retoma sus teoremas para las transformaciones integrales y demuestra que los polinomios (numerador y denominador) que definen la transformacion racional y = y(x) se expresan de manera muy elegante y concisa en terminos de las funciones elipticas. De hecho, todos los resultados sobre las transformaciones integrales encuentran una reformulacion mas limpia en terminos de las funciones. Tal como antes, la demostracion de estas proposiciones descansa en la existencia de cantidades invariantes bajo la accion de un "grupo de sustituciones". En el presente caso de las transformaciones funcionales, se trata del grupo de translaciones que introduce la doble periodicidad de las funciones elipticas.

Recordemos, asi mismo, que dichas transformaciones no son unicas. Para un orden fijo n, existen varias de ellas. Al entenderlas dentro del contexto de las funciones elipticas, las distintas transformaciones de un mismo orden quedan determinadas por la cantidad

[omega] = mK + m'K'i/n,

donde m, m' son ciertos enteros primos entre si. En virtud de las formulas de adicion, es suficiente considerar las cantidades

[omega] = [K/n]y [omega] = [K'/n]i.

Jacobi (1829) distincun las transformaciones correspondientes a estos dos valores de [omega] con del adjetivo de "reales" (primera y segunda respectivamente). Las pagidas 102 a 107 ce los Fundamenta Nova (en la edicion de las obras de Jacobi) contienen muchos detalles sobre las transformaciones reales.

Lo mas interesante de todo es, sin embargo, el hecho de que Jacobi se aplica al estudio de ciertas propiedades de la "estructura" de las transformaciones elipticas. Se trata de propiedades intere santisimas. En primer lugar, Jacobi (1829) demuestra que toda transformacion k [right arrow] [lambda] posee una transformacion "complementaria" k' [right arrow] [lambda]', es decir una transformacion que envia conjugado [square root of 1 - [k.sup.2]] al modulo conjugado [square root of 1 - [[lambda].sup.2]]. Mastarde, demuestra igualmente que la transformacion k [right arrow] [lambda] tieneunatransformacion "suplementaria" [lambda] [right arrow] k. Actualmente, diriamosque tiene una inversa. Con ello, el lector contemporaneo intuye que a las transformaciones elipticas se les puede dar una estructura de grupo y que Jacobi esta indagando la "estructura de dicho grupo".

Estos hallazgos son mucho mas que hechos esteticos aislados o descubrimientos elegantes. La verdad es que son, ademas, muy utiles. Con ayuda de su teoria de las transformaciones suplementarias (o inversas, como decimos hoy), Jacobi (1829) prueba que toda la teoria desarrollada por Abel (1827, 1828) sobre la division de las longitudes de arco elipticas es una consecuencia de la teoria de las transformaciones funcionales elipticas. Este y otros hechos similares revelan que los Fundamenta Nova encierran un proposito de dimensiones titanicas: la teoria de las transformaciones elipticas contendria la solucion a todos los problemas elipticos.

Mencionemos tambien que la primera parte de Jacobi (1829) tambien es una gran reconciliacion con los grandes logros de Legendre (1825), en particular, en lo relativo al estudio de las llamadas integrales elipticas completas. La amistad intelectual de estos dos maestros se muestra repetidamente en sus escritos. El estilo de Jacobi es parecido al de Legendre y el aleman lo reconoce sin pensarlo dos veces. En el [section]22 de los Fundamenta Nova, Jacobi no solo alaba una demostracion del frances, sino que lo llama summus in hac doctrina arbiter (Jacobi, 1829, p. 94; en los Gesammelte Werke). De otro lado, Legendre toma claramente partido en favor de Jacobi sobre la originalidad de sus funciones elipticas, tal como es patente en el estudio de Cooke (2005).

Ademas de todo esto, los Fundamenta Nova contienen un detallado estudio de las ecuaciones modulares, es decir, las ecuaciones algebraicas que relacionan los modulos k y [lambda]. Son estas ecuaciones polinomicas en dos indeterminadas cuyas soluciones abarcan todas las transformaciones elipticas de un orden dado.

La bibliografia y las traducciones de los Fundamenta Nova son escasas, tal vez porque fueron escritos en latin, tal vez porque pasaron de moda muy rapidamente. En el trabajo de Solanilla (2011) se han estudiado la mayor parte de los detalles matematicos e historicos que contiene la primera parte de esta obra.

4.3. Comparacion de las Recherches con los Fundamenta Nova

Si nos limitamos a la primera parte (Abel, 1827, 1828, [section]I al [section]V) y a la primera parte de Jacobi (1829), notaremos que las diferencias, si bien evidentes, no son crucialmente significativas. Con el fin de elucidar este punto, traemos la siguiente tabla de resumen:
ABLA I

Resultados de Abel y Jacobi (Solanilla, 2011, p. 65)

Asunto                Recherches (1a         Fundamenta Nova (1a
                      parte)                 parte)

Proposito             Una teoria de la       Una teoria general
                      division de las        de las funciones
                      longitudes de arco     elipticas
                      elipticas

Taxonomia de          Se usa la primera      Se revisa la teoria
Legendre              especie como punto     de las
                      de partida             transformaciones
                                             integrales
                                             racionales de la
                                             primera especie

Construccion de las   Se repite la           Se usa un cambio de
funciones elipticas   construccion real en   variable
                      el eje imaginario y    trigonometrico para
                      se aplica adicion      el eje imaginario y
                                             se aplica adicion

Doble periodicidad    Sirve para demostrar   Lleva a las varias
                      la constructibilidad   transformaciones
                      por radicales de la    funcionales
                      division de los        elipticas de una
                      arcos y el teorema     orden dado
                      de la lemniscata

Estructura de las     No se trata            Transformaciones
transformaciones                             complementarias y
elipticas                                    suplementarias,
                                             ellas explican los
                                             hallazgos de Abel

Ecuaciones            No se tratan           Propiedades de
modulares                                    invariancia,
                                             ecuacion diferencial
                                             de tercer orden


Como se puede ver, Jacobi (1829) logra mayores niveles de generalidad y explica, como un caso particular, el gran teorema de Abel (1827, 1828) sobre la lemniscata. Sin embargo, para contemplar con mayor claridad el alcance de Jacobi, es necesario revisar las segundas partes de estas obras, donde sus autores abordan las representaciones de las funciones elipticas en series y productos infinitos, en cuanto ellas son funciones transcendentes. Es cierto que ambos lograron expresiones significativas para tales series y productos, sin embargo, Jacobi toma de nuevo la ventaja al introducir la funcion 0, que la posteridad ha bautizado con su nombre. Las funciones elipticas se expresan transcendentalmente como cocientes de ciertas variaciones de esta funcion, un hecho que marco la investigacion en el area durante el resto del siglo XIX.

Algunos historiadores han tratado de reconstruir la rivalidad de Abel y Jacobi, un hecho que parece no estar confirmado en fuentes escritas directas. La obra de Abel aparecio primero y Jacobi parece haber sido siempre muy respetuoso de los logros de su colega. Mas aun, hay evidencia que Jacobi explico a Legendre algunas cosas que el no entendia en el novedoso lenguaje de Abel (Cooke, 2005).

5. A MANERA DE CONCLUSION

El aspecto mas sobresaliente de la emergencia de las funciones elipticas en la primera mitad del siglo XIX es el cambio de enfoque que se presenta en el ambito de lo analitico--transcendente con respecto a la tradicion heredada de Euler y Lagrange. La propiedad mas importante de las nuevas funciones es la formula de adicion, un hecho que ni Abel (1827-1928) ni Jacobi (1829) demostraron con detalle. Es preciso recordar que los exigentes argumentos diferenciales e integrales que conducen a la mencionada formula constituyeron una preocupacion central para los matematicos del siglo XVIII. Abel y Jacobi, por el contrario, prefirieron dedicarse a deducir conclusiones y sacar provecho de la formula de adicion.

En la esfera de los requerimientos de rigor se evidencia un cambio de sustancia y de estilo. Euler (1707-1783) y Lagrange (1736-1813) podrian calificarse propiamente como apodicticos. De otro lado, Abel (1827) y Jacobi (1829), sin dejar de ser demostrativos, pueden considerarse mucho mas constructivos. Estas afirmaciones merecen explicaciones adicionales. El articulo de Euler (1756-57), que trata la ecuacion diferencial fundamental, esta organizado en paragrafos muy cortos alrededor de un theorema y su respectiva demonstratio. El trabajo de Euler (1761), en el que se trata la aplicacion de la teoria de esta ecuacion diferencial a la solucion de problemas geometricos en la elipse, tambien esta organizado en ideas breves pero no en paragrafos sino en una cadena lemas, corolarios, escolios, problemas y casos dispuestos alrededor de un teorema principal y su demostracion. Los trabajos de Abel y Jacobi, por el contrario, buscan relatar la construccion de las funciones elipticas, como se ha delineado mas arriba. No es que no sean demostrativos, pero, sin duda, dan menos importancia a la demostracion (que enfrentan en otras de sus obras). Este cambio significativo es el sintoma de un vuelco en la manera de concebir las matematicas en la Europa de los anos 1820-1830. Para Euler, el problema de la existencia de los objetos matematicos no es central: la solucion a una ecuacion diferencial es la prueba de que existe. Abel y Jacobi, por otro lado, parten de una especie de definicion y se ven en la obligacion de mostrar que tales objetos (funciones elipticas) existen y poseen importantes propiedades. Se trata de un cambio decisivo en la esfera del pensamiento: lo matematicamente posible da paso a lo matematicamente existente, en cuanto se puede construir.

Aunado a lo anterior, conviene referirse brevemente a la motivacion geometrica de Euler. Sin duda conocio el trabajo de Fagnano y se intereso por ciertos problemas geometricos de las conicas centrales. Sin embargo, muy pronto el analisis infinitesimal detras de la ecuacion diferencial fundamental encerro y oculto dicha motivacion geometrica original. Lo geometrico, en los articulos de Euler sobre las integrales elipticas, tiene siempre el tinte de lo geometrico--infinitesimal.

Quizas con mayor precision, deberiamos decir que la respuesta ultima, que explica la nueva manera de ver los objetos de la matematica, ha de buscarse en las justificaciones que los matematicos de la primera mitad del siglo XIX esgrimieron para defender sus nuevas formas de accion. Nos referimos concretamente al vuelco ocurrido en la decada de 1820, que llevo a los matematicos a exigirse mayor rigor en la conceptualizacion (S0rensen, 2010; Schubring, 2005).

En un plano mas concreto y particular, dicho cambio de enfoque se manifesto en la preferencia por lo algebraico y en un escaso interes por indagar en las bases de las funciones elipticas dentro de la Variable Compleja (como ocurrio despues). Ciertamente, creemos que el papel protagonico de las formulas de adicion (y las identidades elipticas que de ellas se derivan) debe entenderse como un esfuerzo por lograr un mayor rigor teorico, un rigor "algebraico" o "canonico", en el sentido de que las demostraciones se automatizan grandemente en la practica. Para ellos, el analisis de lo transcendente evade de alguna manera el "rigor algebraico". Una practica que han heredado los textos contemporaneos de Algebra y Topologia. Otro aspecto del mismo fenomeno seria la despreocupacion por, lo actualmente llamado, analisis complejo. En verdad, tanto Abel (1827, 1828) como Jacobi (1829) emplean las mas de las veces metodos de la variable real (extendidos de alguna forma correcta) para tratar las funciones complejas. En particular, el punto de partida de sus construcciones en el plano complejo es siempre la definicion de las funciones en los ejes real e imaginario.

Desde esta perspectiva, las descripciones historiograficas mas comunes y predominantes sobre los aportes de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829) a los fundamentos de las funciones elipticas parecen ingenuas y hasta intrascendentes. Nos referimos concretamente a ese lugar comun tan recurrente sobre la genialidad abeliana--jacobiana de invertir las integrales elipticas. Desde el punto de vista del profundo cambio vivian las matematicas, dicha anotacion, tan generalmente proferida sobre la materia, casi que se desvanece.

Respecto al desplazamiento del objeto de conocimiento desde la integral hasta la funcion eliptica, se pueden proponer las siguientes hipotesis explicativas:

--La imposibilidad de definir una funcion diferenciable en todo el cuerpo de los reales cuando se usa la funcion asociada a la integral eliptica de la primera especie.

--La fuerza de una tradicion que se remonta a la antiguedad griega. A grosso modo, de alguna manera es mas natural para el pensamiento matematico occidental trabajar con la funcion seno que con su inversa.

--La formula de adicion toma una forma mas sencilla y practica en las funciones elipticas. Ciertamente, la version de dicha formula para las integrales tiene inicialmente sentido solo para un intervalo real. Luego, se hace necesario precisar varias e intricadas instrucciones (congruencias, por ejemplo) para llevarla a toda la recta.

--La Variable Compleja provee el marco propicio para resolver el asunto de los dos pares de raices conjugadas del polinomio de grado cuarto que determina la funcion eliptica. En otras, palabras el plano complejo es el espacio ideal donde se pueden tener dos periodos linealmente independientes.

Para finalizar, las funciones elipticas contemporaneas son consecuentes de las de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829). Todavia es posible trazar su genealogia y encontrar rasgos similares entre unas y otras. Sin embargo, todo parece indicar que ellas deben su ser no solo al arduo trabajo matematico, sino tambien a nuevas concepciones sobre el "deber ser" de las Matematicas. El rigor clasico del siglo XVIII ya no era suficiente. Europa era otra. Las matematicas "debian ser" algo mas riguroso, estricto y formal. Habia que proponer definiciones y mostrar que ellas no eran superfluas, ya que era posible construir objetos que las satisfacian. Lo que se puede construir, existe.

DOI: 10.12802/relime.13.1813

Recepcion: Abril 25, 2012/Aceptacion: Diciembre 15, 2013.

RECONOCIMIENTOS

Esta investigacion ha sido financiada parcialmente por la Vicerrectoria de Investigaciones de la Universidad de Medellin y el Comite Central de Investigaciones de la Universidad del Tolima, Ibague, Colombia. Los autores agradecen igualmente al Departamento de Ciencias Basicas de la Universidad de Medellin y a la Facultad de Ciencias de la Universidad del Tolima por su valiosa colaboracion para el desarrollo de esta investigacion. Asi mismo, los autores manifiestan sus sentimientos de gratitud a los revisores y al equipo editorial de RELIME.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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(i) Hinc itaque concludimus huius aequationis differentialis:

dx/[square root of A + 2Bx + Cxx + 2[Dx.sup.3] + E[x.sup.4]] = dy/[square root of A + 2By + Cyy + 2D[y.sup.3] + Ex[y.sup.4]]

aequationem integratem eamque completam ese

0 = [alpha] + 2[beta](x +y) + [gamma](xx + yy) + 2[delta]xy + 2[epsilon]xy(x + y) + [zeta]xxyy ...

(ii) Sibinae variabiles x et y ita a se mvicem pendeant, vt. sit:

0 = [alpha] + [beta](xx + yy) + 2[gamma]xy + [delta]xxyy

erit sive summa, sive differentia, harurr foimularumintegralium

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aequalis quantitati constants

(iii) Ces equations sont comprises daxis pa formuta suivantx:

dx/[square root of [alpha] + [beta]x + [gamma][x.sup.2] + [delta][x.sup.3] + [epsilon][x.sup.4]] = dy/[square root of [alpha] + [beta]y + ([gamma][y.sup.2] + [delta][y.sup.3] [epsilon][y.sup.4]],

dont l'integrale eot exprimee en general pa' l'equation

A + B(x + y) + C([x.sup.2] + [y.sup.2]) + Dxy + E([x.sup.2]y + [y.sup.2]x) + F[x.sup.2][y.sup.2] = 0.

(iv) l'equazione differenziale prende la forma

d[phi]/[DELTA][phi] + d[phi]'/[DELTA][phi]' = 0

il cui integrale trascendente e secondo le notaciom de Legendre

f(k, [phi]) + F(k, [phi]) = F(k, [mu])

rappresentando con [mu] il valore di [phi] per [phi]' = 0. L'ampliezza [mu] si otterra dalla relazione con le precedenti sostituzioni per la formula:

sin [mu] = sin [phi]' cos [phi] [DELTA][phi] + sin [phi] cos [phi]' [DELTA][phi]'/1 - [k.sup.2] [sin.sup.2] [phi] [sin.sup.2] [phi]'.

(v) CHAPITRE PREMIER.

Idee generale des differentes sortes de transcendantes contenues dans la formule integrale [integral][Pdx/R].

1. Nous representons par P une fonction rationnelle quelconque de x, et par R le radical

[square root of [alpha] + [beta]x + [gamma][x.sup.2] + [delta][x.sup.3] + [epsilon][x.sup.4]] ...

(vi) 15. Cela pose, les fonctions ou transcendantes elliptiques comprises dans la formule H, seront divises en trois especes:

La premiere el; la plus simple esS representee par la lormule [integral] [delta][phi]/[DELTA];

La see onde es l'arc d'ellipse, compte depuis le petit axe, et dont l'expression est E = [integral] [DELTA]d[phi];

En fin, la troisieme espece est representee par la formule ... [integral] d[phi]/((1 + n [sin.sup.2] [phi])[DELTA]) ellecontient, outre le module c commun aux deux autres especes, un parametre n qui peut etre a volonte positif ou negatif, reel ou imaginaire.

(vii) Le probleme de la resolution des equations des degres superieurs au quatrieme est un de ceux dont on n'a pas encore pu venir a bout, quoique d'ailleurs rien n'en demontre l'impossibilite.

(viii) 89. Nous supposerons, comme dans la Section precedente, que l'equotion proposee soit representee generalement par

[x.sup.[mu]] + [mx.sup.[mu]-1] + [nx.sup.[mu]-2] + [px.sup.[mu]-3] + ... = 0,

et que ses racines, qui doiveut etre au nombre: de [mu], soient designees par x', x', x'", [x.sup.IV], ... [x.sup.([mu])]. Ainsi l'on aura, par la; nature des equations,

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII].

Et il est clair iqur cer foactions de x', x", x'", [x.sup.IV], ..., par lesquelles sont exprimees les quantites m, n, p, ..., seront necessairement toutes de la forme f[(x', x", x'", [x.sup.IV], ...)], et que par consequent ces fonctions seroat toutes semblables, ce qai est une propriete fondamentaledeseqnations.

(ix) THEOREM 9. Every symmetric polynomial P over Fin [x.sub.1], [x.sub.2], ..., [x.sub.n] can be written as a polynomial Q over F in the elementary symmetric functions. If P has all integral coefficients, then so too does Q. The degree of Q is less than or equal to the degree of P.

(x) Ceterum principia theoriae, quam exponere aggredimur, multo latius patent, quam hic extenduntur. Namque non sohim ad functiones circulares, sed pari successu ad multas alias functiones transscendentes applicari possunt, e. g. ad eas quae ab integrali [integral] dx/[square root of 1 - [x.sup.4]] pendent, praetereaque etiam ad varia congruentiarum genera : sed quoniam de illis functionibus transscendentibus amplum opus peculiare paramus, ...

(xi) ... Donc, pour embrasser dans la meme definition les integrales prises entre des limites reelles, et les integrales prises entre des limites imaginaires, il convient de representer par la notation

(4) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

le limite ou l'une des limites vers lesquelles converge la somme ... Pour obtenir deux suites de cette espece, il suffit de supposer

(7) x = [phi](t); y = [chi](t),

[phi](t), [chi](t) etant deux fonctions continues d'une nouvelle variable t, toujours croissantes ou decroissantes depuis t = [t.sub.o] jusqu'a t = T, et assujetties a verifier les conditions

(8) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII];

... On aura donc

(12) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

(xii) <<On peut diviser la circonference entioe de la lenmiscate en m parties egaies par la regle et le compas seuls, si m est de la forme [2.sup.n] ou [2.sup.n] +1, ce demier nombre etant ep meme temps premier;ou bien si m est un produit de plusieurs nombres de ces deux formes.>>

Ce theoremeent, comme on le voit, precisement le meme que celui celui M. Gauss, relativement au circle.

(xiii) E formulis praecedentibus, quae et ipsea tamquam fundamentales in analysi functionum ellipticarum considerari debent, elucet:

a) fuectienns ellipticas argmnenti imaginarii iv, moduli k, transforman poose in alias realis v, modrli k' = [square root of 1 - [k.sup.2]]. Unde generaltter functiones ellipticas argumenti imaginarii u + iv, moduli k, componere licet e functionibus ellipticis argumenti u, moduli k, et aliis argumenti v, moduli k'.

b) functiones ellipticas duplici gaudere periodo, altera reali, altera imaginaria, siquidem modulus k est realis. Utraque fit imaginaria, ubi modulus et ipse est imaginarius. Quod principium duplicis periodi nuncupabimus. E quo, cum universam, quae fingi potest, amplectatur periodicitatem analyticam, elucet functiones ellipticas non aliis adnumerari debere transcendentibus, quae quibusdam gaudent elegantis, fortasse pluribus illas aut maioribus, sed speciem quandam iis inesse perfecti et absoluti.

(1) En la actualidad existen varias formas equivalentes de construir la Variable Compleja, las cuales se pueden clasificar segun el concepto de partida que se quiera adoptar. Por ejemplo, se puede definir una funcion holomorfa como aquella que es diferenciable en el sentido complejo en un abierto dado (es decir, que es real diferenciable y cumple las ecuaciones de Cauchy Riemann en dicho abierto), o bien se puede definir una funcion analitica como aquella que es desarrollable en series de potencias en el abierto. Los dos conceptos resultan ser equivalentes y existen muchas otras maneras de caracterizar dichas funciones. Invitamos el lector a hojear el teorema de caracterizacion en Remmert (1991, pp. 236-237).

(2) El estudio de estas singularidades fue tratado posteriormente por Liouville (1809-1882) y Weierstrass (1815-1897).

Leonardo Solanilla Chavarro. Universidad del Tolima, Ibague Colombia. leonsolc@ut.edu.co

Ana Celi Tamayo Acevedo. Universidad de Medellin, Colombia. actamayo@udem.edu.co

Gabriel Antonio Pareja Ocampo. Universidad de Antioquia, Colombia. gpareja@ayura.udea.edu.co
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Author:Solanilla, Leonardo; Tamayo, Celi; Pareja, Gabriel Antonio
Publication:Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa
Date:Mar 1, 2015
Words:11179
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