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Mecanica molecular estructural para el calculo del modulo de Young y los modos de vibracion de nanotubos de carbono.

Structural molecular mechanics for calculus of Young's modulus and vibration modes of carbon nanotubes

1. Introduccion

Uno de los nanomateriales mas importantes que se encuentran bajo investigacion son los nanotubos de carbono CNTs (Carbon Nanotubes). Estos se hacen cada vez mas populares en la industria porque evidencian propiedades quimicas, mecanicas, electricas, termicas y opticas excepcionales, Dresselhaus et al. (1995), Kalamkarov et al. (2006).

Estructuralmente, los CNTs son como una lamina de grafeno enrollada sobre si misma, dando lugar a un cilindro (Nanotubo de carbono monocapa SWCNT, "Single Walled Carbon Nanotubes") o como varios cilindros concentricos (Nanotubos de carbono de capa multiple MWCNT, "Multi

Walled Carbon Nanotubes") como se muestra en la Figura 1. Cada nanotubo esta formado por anillos hexagonales de carbono que se repiten, permitiendo que cada atomo tenga un enlace con otros tres atomos vecinos. Estos enlaces son muy fuertes debido a que son covalentes, por hibridaciones sp (2).

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Los nanotubos se caracterizan por su diametro, longitud y quiralidad siendo esta ultima determinante en las propiedades. La quiralidad hace referencia a la forma en la que se da el "enrollamiento" del nanotubo y se determina geometricamente por un vector quiral OA con los parametros (n,m) segun [a.sub.1] y [a.sub.2], o un angulo quiral [theta], mostrados en la Figura 2. De acuerdo con la quiralidad los nanotubos se clasifican en "armchair", "zigzag" o quiral como se muestra en la Figura 3; cuando n = m o [theta] = 30[degrees] es un nanotubo armchair, cuando m = 0 o [theta] = 0[degrees] es un nanotubo zigzag, cualquier otra forma es un nanotubo quiral.

Sin embargo, la realizacion de pruebas experimentales y los analisis teoricos cuanticos y moleculares de los nanotubos de carbono, requieren un alto costo economico y computacional, respectivamente. Entonces, es necesario desarrollar otras formas de analisis para identificar las propiedades y comportamiento de los nanotubos de carbono, que permitan obtener resultados de forma rapida y con un bajo costo computacional, Maiti (2008). Inicialmente, se propusieron metodos teoricos basados en la mecanica clasica, Odegard et al. (2002), los cuales impiden realizar una caracterizacion atomica y una visualizacion de comportamientos no considerados por la mecanica tradicional relacionados con las fuerzas interatomicas.

[FIGURA 2 OMITIR]

[FIGURA 3 OMITIR]

Por lo tanto, otros investigadores proponen enlazar la quimica computacional con la mecanica de solidos reemplazando estructuras moleculares discretas con modelos continuos equivalentes. Li y Chou (2003 a, b) propusieron un metodo analitico tipo multiescala denominado mecanica molecular estructural. Ellos, considerando la semejanza entre los fullerenos y las estructuras geodesicas, y basados en el modelo analitico mecanico para estas estructuras (tipo armadura), plantearon un acople entre energias de deformacion atomicas y macroscopicas para modelar los nanotubos de carbono. Esta y otras tecnicas similares han sido desarrolladas para identificar las propiedades y el comportamiento mecanico de los nanotubos de carbono Fan et al. (2009), Giannopoulos et al. (2008), Sakhaee-Pour et al. (2008), Tserpes y Papanikos (2005).

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, en este trabajo se usa el metodo de la mecanica molecular estructural con el proposito de calcular el modulo de elasticidad y la frecuencia natural de nanotubos de carbono considerando diferentes valores en los parametros de quiralidad, diametro y longitud. Los resultados obtenidos permiten validar este metodo para estudiar las propiedades mecanicas de los CNTs y muestran que la quiralidad, el diametro y longitud son parametros que se deben considerar en el diseno estructural de los nanodispositivos, nanosensores y nanomaquinas.

Este articulo se organiza de la siguiente manera: en la segunda seccion se presenta el metodo de la mecanica molecular estructural considerando los balances de energias moleculares y macroscopicas, y el enlace entre ellas; tambien se describe el Modelamiento de los nanotubos de carbono mediante el metodo de elementos finitos (FEM, "Finite Elements Method"). En la tercera seccion se presentan los resultados de simulacion del calculo del modulo de Young y las frecuencias naturales de nanotubos de carbono con diferentes quiralidades, diametros y longitudes. Finalmente, en la cuarta seccion se presentan las conclusiones de este trabajo.

2. Modelamiento de nanotubos de carbono usando el metodo la mecanica molecular estructural

En esta seccion se presenta el modelamiento de los enlaces moleculares mediante balances de energia segun la mecanica molecular y la mecanica del medio continuo. Tambien se describe el modelamiento de los nanotubos de carbono usando elementos finitos en ANSYS.

2.1 Modelamiento de los enlaces moleculares

El metodo multiescala propuesto por Li y Chou (2003 a, b), consiste en modelar la estructura del nanotubo asumiendo los enlaces covalentes de los atomos de carbonos como vigas y las uniones (nodos) como los atomos con la masa concentrada, en este modelo el radio de los atomos se desprecia por ser muy pequeno en comparacion con la longitud de los enlaces. De esta forma, se genera una matriz de rigidez, donde las propiedades de las vigas se modelan haciendo una equivalencia de energias entre la mecanica molecular y la energia de deformacion elastica de una viga considerando la mecanica clasica.

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2.1.1 Balance de energia esterica de la mecanica molecular

En la Figura 4 se muestran las interacciones atomicas para calcular la energia potencial de un nanosistema (llamada energia esterica) en funcion de las posiciones de los atomos segun la mecanica molecular, la cual considera como parametros las constantes de las fuerzas de tension y flexion del enlace, y permite interacciones entre atomos no enlazados. Un campo de fuerza se expresa como la energia potencial esterica y se describe en la Ec. (1).

En donde Ur es la energia de estiramiento, U[theta] es la energia de flexion, U[conjunto vacio] es la energia debida al angulo de torsion dihedrico, U[omega] la energia de torsion fuera del plano y Uvdw la energia debida a las fuerzas de atraccionrepulsion de van der Waals.

[U.sub.total] = [suma]([U.sub.r]) + [suma]([U.sub.[theta]]) + [suma]([U.sub.[conjunto vacio]]) + [suma]([U.sub.[omega]]) + [suma]([U.sub.vdw]) (1)

Las interacciones de van der Waals son despreciables en comparacion a las fuerzas ejercidas por los enlaces covalentes entre los atomos de carbono. De igual forma, para deformaciones pequenas se utiliza una aproximacion armonica que permite que las energias debidas a la torsion fuera del plano y dihedrica se consideren en un solo termino. Los valores de las energias de los tres terminos resultantes estan dados por las Ec. (2), (3) y (4).

[U.sub.r] = [1/2][k.sub.r][(r - [r.sub.0]).sup.2][1/2][k.sub.r][([DELTA]r).sup.2] (2)

[U.sub.[theta]] = [1/2][k.sub.[theta]][(r - [r.sub.0]).sup.2][1/2][k.sub.[theta]][([DELTA][theta]).sup.2] (3)

[U.sub.[tau]] = [1/2][U.sub.[conjunto vacio]] + [U.sub.[omega]] = [1/2][k.sub.[tau]][([DELTA][conjunto vacio].sup.2] (4)

En donde [k.sub.r,] [k.sub.[theta]] y [k.sub.[tau]] son las constantes de: estiramiento de enlace, resistencia a la flexion y resistencia a la torsion; [DELTA]r, [DELTA][theta] y [DELTA][conjunto vacio] representan el incremento en el estiramiento del enlace, la variacion del angulo de enlace y la variacion del angulo de enlace por torsion, respectivamente.

2.1.2 Balance de la energia de deformacion de la mecanica del medio continuo

Para modelar la energia de deformacion de una viga elastica de area transversal constante se consideran los cambios en la energia debidos a fuerzas axiales UA, momentos flectores UM y momentos torsores UT descritos por las Ec. (5), (6) y (7).

[U.sub.A] = [1/2] [[integral].sup.L.sub.O] [N.sup.2]/EA dL = 1/2 [LN.sup.2]/EA = [1/2] [EA/L] [([DELTA]L).sup.2] (5)

[U.sub.M] = [1/2] [[integral].sup.L.sub.O] [M.sup.2]/EI dL = 1/2 EI/L[a.sup.2] = [1/2] [EA/L] (2a)[sup.2] (6)

[U.sub.T] = [1/2] [[integral].sup.L.sub.O] [T.sup.2]/GJ dL = 1/2 [LT.sup.2]/GJ = [1/2] [GJ/L] [([DELTA][beta]).sup.2] (7)

En donde N es la fuerza normal, M un momento flector, T un par torsor, E el modulo de elasticidad, A el area transversal, L la longitud, G el modulo de cortante, J el momento polar de inercia, [DELTA]L la elongacion, [DELTA][alpha] el angulo de rotacion en los extremos de la viga y [DELTA][beta] la rotacion relativa entre los extremos de la viga.

2.1.3 Enlace de energias para determinar las constantes en el modelo de viga elastica

Considerando enlaces entre las energias de la mecanica molecular y la mecanica del medio continuo, se obtienen las Ec. (8), (9) y (10). Se asume que el area transversal de la viga es circular, con diametro d, area A = [[pi]pd.sup.2]/4, momento de inercia I = [[pi]d.sup.4]/64, momento polar de inercia J = [[pi]d.sup.4]/32, y longitud L = 0.1421nm, que es la distancia del enlace doble entre atomos de carbono en un sistema en equilibrio ([a.sub.C-C]).

EA/L = [k.sub.r] (8)

EL/L = [k.sub.[theta]] (9)

GJ/L = [k.sub.[tau]] (10)

Donde las constantes moleculares para el carbono se obtienen de estudios basados sobre campos de fuerza, Cornell et al. (1995); [k.sub.r] = 938 kcal [mol.sup.-1] [angstrom][sup.-2] = 6.52 x [10.sup.-7] N [nm.sup.-1], k[theta] = 126 kcal [mol.sup.-1] [rad.sup.-]2 = 8.76 x [10.sup.-10] N nm [rad.sup.-2], [k.sub.[tau]] = 40 kcal [mol.sup.-1] [rad.sup.-2] = 2.78 x [10.sup.-10] N nm [rad.sup.-2].

Reemplazando los valores anteriores en las Ec. (8), (9) y (10) se obtienen L = 0.1421nm, d = 0.147nm, E = 5.49TPa y G = 0.871TPa para cada elemento tipo viga. El radio del atomo [r.sub.c] = 2.7 x [10.sup.-5] A es despreciable, y la masa se asume como puntual en los nodos (atomos de carbono) y tiene un valor de [m.sub.c] = 1.9943 x [10.sup.-23] g.

2.2 Modelamiento de los nanotubos de carbono usando elementos finitos

Los nanotubos de carbono se modelan en elementos finitos usando el programa ANSYS 12. Con el proposito de mitigar los errores numericos por underflow, y considerando que las longitudes y masas son muy pequenas, se utilizan los siguientes ajustes de normalizacion:

[L.sub.an] = [10.sup.10]L, [F.sub.an] = [10.sup.20]F, [M.sup.an] = [10.sup.26]M

Donde el subindice an es el valor asociado en ANSYS a las dimensiones reales de longitud L en m, fuerza F en N y masa M en kg. Esta normalizacion ocasiona ajustes en E: el modulo de elasticidad en Pa; G: el modulo de cortante en Pa; y f: la frecuencia en Hz.

[E.sub.an] = E, [G.sub.an] = G, [f.sub.an] = [10.sub.-8]f,

Para los enlaces entre atomos de carbono se usa el elemento uniaxial tipo viga BEAM4 que permite llevar a cabo analisis en tension, compresion, torsion y pandeo; este elemento esta definido por 2 o 3 nodos segun la orientacion de la viga y tiene 6 grados de libertad por cada uno de ellos. Los requerimientos son el area transversal, 2 momentos de inercia, 2 direcciones y las propiedades del material. Para determinar los modos de vibracion del nanotubo se ubican las masas puntuales en los extremos de las vigas con el elemento puntual de masa MASS21, que tiene 6 grados de libertad y concentra los componentes de masa e inercia en un solo punto, Ansys Inc (2009).

La geometria se modela utilizando APDL de ANSYS para generar los puntos y uniones de nanotubos de tipo armchair y zigzag de cualquier longitud.

3. Resultados de simulacion, calculos y analisis del modulo de elasticidad y las frecuencias de vibracion de nanotubos de carbono

En esta seccion se presentan los resultados de simulacion y calculos para el modulo de elasticidad y las frecuencias naturales de los nanotubos de carbono para diferentes quiralidades, diametros y longitudes. Tambien se presenta un analisis detallado sobre los resultados obtenidos.

3.1 Modulo de elasticidad de nanotubos de carbono

Para determinar el modulo de elasticidad de los nanotubos de carbono se usa un modelo estatico, en el que se calcula la elongacion total HN como el resultado de las interacciones entre los enlaces. El modulo de elasticidad esta dado por la Ec. (11) y el subindice N indica que son dimensiones del nanotubo.

[E.sub.N] = [[F.sub.N]/[A.sub.N]]/[[H.sub.N]/[H.sub.NO]] (11)

Donde FN es la fuerza total aplicada y AN el area transversal segun la Ec. (12).

[A.sub.N] = [pi] [d.sub.n]t (12)

Donde dN es el diametro del nanotubo segun la quiralidad y t el espesor efectivo de capa. dN esta descrito por la Ec. (13)

[d.sub.N] = [raiz cuadrada de 3(n.sup.2 + m.sup.2 + nm)][a.sub.C-C]/[pi]) (13)

En la literatura se han propuesto diferentes espesores efectivos de capa para diferentes metodos teoricos, que van desde 0.064 hasta 0.69 nm, pero la mayoria de estudios proponen un espesor de capa igual a 0.34nm que es la distancia de separacion entre capas de MWCNTs. En la Tabla 1 se presentan los valores calculados en este trabajo para un nanotubo de carbono con quiralidad (8,8) y diferentes metodos de analisis con diferentes espesores de capa.

Los resultados obtenidos son acordes a los reportados en otros estudios que usaron metodos cuanticos, moleculares y multiescala, lo cual valida el procedimiento estatico del metodo de la mecanica molecular estructural. La mayoria de los resultados reportados presentan datos generales del modulo de elasticidad sin especificar la quiralidad, el diametro y la longitud del nanotubo, sin embargo, estos parametros deben ser considerados para el modelamiento y el diseno. En la Figura 5 se presentan las variaciones del modulo de Young, el cual es inversamente proporcional al espesor de capa. Los valores encontrados usando el valor de 0.34nm son acordes a los resultados experimentales, por esta razon se selecciona este espesor de capa para el modelamiento de los CNTs.

Teniendo en cuenta lo anterior, los parametros a evaluar son la quiralidad y el diametro del nanotubo para el modulo de elasticidad. Simulando una prueba de tension (ver Figura 6a) en nanotubos tipo armchair y zigzag de diferentes diametros, se calcula el modulo de elasticidad para los CNTs con relaciones de longitud / radio (LN/rN) entre 10.20 y 10.45. Estos resultados son mostrados en la Figura 7 y el comportamiento de la curva es similar al presentado en otros estudios que realizan analisis teoricos, como en Thostenson et al. (2001). Adicionalmente se observa una mayor dependencia del modulo de elasticidad con respecto al diametro que a la quiralidad, y el modulo se incrementa en forma no lineal con respecto al diametro; tambien, el modulo es mayor en los nanotubos tipo armchair que en los zigzag, esta diferencia es mas acentuada para los diametros mas grandes.

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Considerando que la elongacion total del nanotubo es el resultado de la interaccion entre los enlaces, una posible explicacion de la diferencia del valor para el modulo de elasticidad entre nanotubos tipo armchair y zigzag es la direccion de los enlaces con respecto a la direccion de la carga. En el nanotubo tipo armchair todos los enlaces forman angulos con respecto a la direccion de la fuerza, mientras que en los zigzag un tercio de los enlaces estan alineados con ella.

Algunos autores, Li y Chou (2003a) y Tserpes y Papanikos (2005), proponen que la dependencia del modulo de elasticidad con respecto al diametro se debe a la curvatura del nanotubo. Entre mas pequeno sea el diametro, el efecto de la curvatura genera una mayor distorsion de los enlaces carbono-carbono de la red cristalina, mientras que si el diametro aumenta la curvatura disminuye gradualmente aproximandose a una capa de grafeno, por lo cual el modulo de elasticidad alcanza aproximadamente el mismo valor de este, 1.03-1.06 TPa, Han et al. (2010). Este efecto se puede observar en la Figura 8, la cual muestra nanotubos tipo armchair (6,6), (10,10) y (12,12); a medida que el diametro aumenta, los enlaces forman angulos cada vez mas pequenos con los enlaces vecinos, generando una mayor estabilidad de la estructura. Entonces, el comportamiento elastico de los nanotubos de carbono es consecuencia directa de su estructura atomica, debido tanto a la quiralidad, como a la curvatura del diametro.

[FIGURA 7 OMITIR]

[FIGURA 8 OMITIR]

Como segundo parametro se studio la dependencia de la longitud del nanotubo en el modulo de elasticidad, en este caso se realizaron simulaciones para tres nanotubos tipo armchair y tipo zigzag con relaciones de longitud/radio entre 10 y 70. En la Figura 9 se presentan estos resultados.

Las curvas del modulo de elasticidad con respecto a la relacion longitud/radio de los nanotubos de carbono presentan un comportamiento no lineal.

[FIGURA 9 OMITIR]

Para los nanotubos tipo zigzag la variacion es despreciable, pero para los nanotubos tipo armchair se observa una mayor dependencia de la longitud, especialmente cuando el diametro es pequeno; por ejemplo para el caso (6,6) considerando el cambio en la relacion L/r entre 10 y 30, el modulo de elasticidad presenta una diferencia mayor a 10GPa. En todos los nanotubos se observa que para relaciones L/r mayores a 30, el modulo tiende a estabilizarse y las curvas convergen asintoticamente.

Los nanotubos de diametros mas pequenos son los que presentan una mayor variacion en la curva del modulo de elasticidad vs longitud/radio, esto se debe al efecto de la distorsion de los enlaces por la curvatura como se menciono anteriormente. El efecto de la quiralidad se muestra en la Figura 10 para las estructuras (6,6) y (8,0), cada una con 3 hileras de celdas hexagonales a lo largo del eje. Se puede observar que longitudinalmente el nanotubo armchair tiene un numero irregular de atomos (3 o 4), mientras que en el zigzag el numero de atomos es constante (4); la anterior irregularidad y la cantidad de enlaces paralelos a la fuerza, ocasionan una variacion en la elongacion respecto a la longitud inicial. Cuando la longitud es mayor (mayor cantidad de celdas hexagonales en la direccion del eje), la relacion de deformacion del nanotubo se estabiliza puesto que la diferencia en la cantidad de atomos se hace menos significativa; dando como resultado la convergencia del modulo de elasticidad observado en la Figura 9.

3.2 Frecuencias naturales de nanotubos de carbono

Con el proposito de validar el metodo multiescala de la mecanica molecular estructural para los analisis modales, se llevaron a cabo simulaciones para un nanotubo (5,5) con diferentes relaciones de longitud-radio, y los resultados se compararon con los obtenidos en dinamica molecular, Duan et al. (2007) y mecanica molecular, Chowdhury et al. (2010). Los resultados de simulacion de la primera frecuencia natural en THz para los tres metodos se muestran en la Tabla 2, y se obtuvieron diferencias aceptables, menores al 7%. Ademas, en las simulaciones realizadas con los metodos de la mecanica molecular estructural y de la mecanica molecular, el valor de los dos primeros modos de vibracion es el mismo, pero con diferentes planos de simetria. Entonces, los resultados confirman la validez de utilizar el metodo multiescala en el analisis modal de los nanotubos.

[FIGURA 10 OMITIR]

Mediante tecnicas experimentales, como espectroscopia Raman y difraccion de rayos X se han observado posibles comportamientos vibratorios de los nanotubos de carbono, Gao et al. (1998), Li y Chang (2009), sin embargo, por las limitaciones de las pruebas experimentales los resultados no son comparables con los obtenidos en las simulaciones ya que no consideran parametros como diametro, quiralidad y longitud de los nanotubos simulados, ademas las condiciones de borde empleadas son diferentes. No obstante, los resultados de simulacion y los experimentales concuerdan en que las frecuencias para los CNTs estan en la escala de los GHz, y con valores mayores a los de los nanoresonadores de alta frecuencia como los fabricados con carburo de silicio (SiC), Jiang et al. (2006). Esta caracteristica es aprovechada para disenar sensores de masa debido a su alta resolucion y velocidad de la senal.

Una vez validado el metodo multiescala para analisis modal y con el proposito de evaluar el efecto de la quiralidad y la relacion longitud/radio sobre las frecuencias naturales del sistema, se simulan los nanotubos (6,6), (12,12), (16,16), (8,0), (14,0) y (20,0) con diferentes longitudes y en configuracion de viga en voladizo. Estos resultados se presentan en la Figura 11, en la cual se muestran las frecuencias naturales de nanotubos armchair y zigzag para relaciones LN/rN entre 10 y 70.

El comportamiento de las curvas de las frecuencias mostradas en la Figura 11, es acorde con los resultados presentados por otros autores, Zhao et al. (2002), Li y Chou (2003b), Chowdhury et al. (2010) y Duan et al. (2007). En esta Figura se observa que las curvas presentan un comportamiento no lineal con respecto a la relacion LN/rN, de modo que la frecuencia natural disminuye con el aumento del diametro o la longitud. Tambien se observo que el efecto de la quiralidad no es significativo, por ejemplo para diametros similares como los presentados en los CNTs (20,0) y (12,12) (diametros de 1.56nm y 1.63nm, respectivamente) los valores de las frecuencias son cercanos.

[FIGURA 11 OMITIR]

Con el fin de comparar el comportamiento entre los CNTs como vigas en voladizo y una viga de material continuo, se realizo una linealizacion para las curvas de frecuencia y se obtuvo el modelo matematico descrito por la Ec. (14), en donde [omega]nN es la frecuencia natural del nanotubo; los valores del coeficiente a varian con la quiralidad y el diametro del nanotubo.

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos de la linealizacion se calcularon los valores de los coeficientes para cada quiralidad, lo cual se muestra en la Tabla 3. Al observar los coeficientes de los nanotubos (20,0) y (12,12), se confirma que el efecto de la quiralidad en los valores de la frecuencia natural es irrelevante, y el coeficiente a decrece cuando aumenta el diametro, pero no de forma proporcional.

Los resultados obtenidos estan de acuerdo con la teoria para vigas elasticas en voladizo y de area transversal constante, cuyo comportamiento esta dado por la Ec. (15), donde [omega]n es la frecuencia natural de la viga continua, [beta]i es la constante del modo i segun las condiciones de borde, E es el modulo de elasticidad y es constante para un material convencional, I es el momento de inercia y es constante para un area transversal constante, q es la distribucion lineal de masa o masa por unidad de longitud y L es la longitud de la viga.

Para una viga de material continuo q es constante y la longitud L afecta la frecuencia natural por un factor de [L.sup.-2]. Sin embargo, en el nanotubo de carbono la masa no es continua sino puntual en los nodos de la estructura, lo cual implica que el comportamiento de la frecuencia se afecta con el cambio de longitud de forma [L.sup.-1.96].

[[omega].sub.nN] = a[(LN/rN).sup.1,96] (14)

[[omega].sub.n] = [[beta].sup.2.sub.i] [raiz cuadrada de EL/[qL.sup.4]] (15)

En el analisis modal realizado, se obtuvieron los diez primeros modos de vibracion para nanotubos armchair y zigzag en configuracion de cantilever, los cuales se muestran en la Figura 12. Estos modos son similares a los reportados en estudios que usan metodos multiescala, sin embargo, en la literatura consultada no se han reportado los modos de vibracion con analisis teoricos moleculares ni experimentales, lo cual no permite la validacion de los mismos.

4. Conclusiones

El comportamiento elastico y las frecuencias de vibracion de los CNTs son consecuencia directa de su estructura atomica, es decir de los parametros: espesor de capa, diametro, quiralidad y relacion LN/rN.

El valor del modulo de elasticidad es inversamente proporcional al espesor de capa. En este trabajo se selecciono como espesor 0.34 nm que es la distancia de separacion entre capas en los MWCNTs.

El modulo de elasticidad es mayor a medida que se incrementa el diametro; con una diferencia de diametros de 0.6nm a 2.3nm, el modulo varia desde 1.023TPa hasta 1.045TPa. La variacion es mas relevante para diametros pequenos y el valor tiende a estabilizarse para diametros grandes.

El modulo de elasticidad en CNTs zigzag es un poco mayor que en CNTs armchair para diametros similares, la diferencia es mayor si el diametro es grande y es de aproximadamente 5 GPa para diametros mayores a 1.5 nm.

La variacion de la relacion LN/rN afecta en mayor proporcion el modulo de elasticidad de los nanotubos tipo armchair que de los nanotubos tipo zigzag; a partir de una relacion mayor a 30 el valor del modulo de elasticidad se estabiliza tendiendo a un valor constante.

Las dos primeras frecuencias naturales de los CNTs, independientemente de la quiralidad y en configuracion de cantilever, son iguales en valor y su modo de vibracion difiere en el plano de simetria.

[FIGURA 12 OMITIR]

Las frecuencias naturales de los nanotubos de carbono disminuyen a medida que es mayor el diametro o la longitud, y la quiralidad no afecta estas frecuencias.

El comportamiento de las frecuencias no es lineal con respecto a la longitud y varia de la forma L1.96 segun el modelo matematico desarrollado en este trabajo.

Los valores de los coeficientes para determinar las frecuencias naturales son independientes de la quiralidad, sin embargo, estos valores disminuyen cuando aumenta el diametro del nanotubo, pero no de forma lineal.

El metodo multiescala de la mecanica molecular estructural permite obtener resultados confiables en algunos segundos usando pocos recursos computacionales en comparacion con los metodos moleculares que tardan varias horas.

La quiralidad, el diametro y longitud son parametros que se deben considerar en el diseno estructural de los nanodispositivos, nanosensores y nanomaquinas.

5. Referencias Bibligraficas

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Ingrid M. Padilla-Espinosa * ([seccion]), John M. Espinosa-Duran *, Jaime Velasco-Medina *

* Grupo de Bionanoelectronica. Universidad del Valle, Cali, Colombia

([seccion]) ingridp@univalle.edu.co, michaele@univalle.edu.co, jvelasco@univalle.edu.co
Tabla 1. Modulo de elasticidad para diferentes espesores propuestos
de un nanotubo de carbono (8,8)

Investigadores          Metodo          Espesor    E [TPa]       E
                                        de capa               trabajo
                                         [nm]                 actual
                                                               [TPa]

Tombler et         Experimental: 3                   1.2
al. (2000)        puntos de flexion

Cooper et           Experimental:                 0.78-2.34
al. (2001)       Espectroscopia Raman

Lourie,             Experimental:                  2.8-3.6
Wagner (1998)    Espectroscopia Raman

Yacobson et       Dinamica Molecular     0.066       5.5       5.36
al (1996)

Xin et al         Teoria de banda de     0.074       5.1       4.78
(2000)           energia electronica

Pantano et        Mecanica clasica,      0.075      4.84       4.71
al.(2004)          capas continuas

Tu et al.         Modelo aproximado      0.075       4.7       4.71
(2002)            de densidad local

Kudin et al           ab initio         0.0894      3.86       3.95
(2001)

Tserpes,             Multiescala:        0.147      2.38       2.40
Papanikos              Dinamica
(2005)              molecular+FEM

Hernandez        Dinamica molecular:     0.34       1.24       1.04
et al (1998)          orbitales
                  moleculares(Teoria
                  de funcionales de
                   la densidad DFT)

Jin, Yuan         Dinamica molecular     0.34       1.238      1.04
(2003)

Li, Chou         Multiescala: campos     0.34       1.02       1.04
(2003a)               de fuerzas
                    moleculares +
                  matriz de rigidez

Sears, Batra      Mecanica molecular     0.34       0.99       1.04
(2004)

Lu (1997)         Dinamica molecular     0.34       0.975      1.04
                   (modelo empirico
                   de constantes de
                        fuerza

Odegard            Modelo continuo       0.69                  0.51
(2002)               equivalente

Este Trabajo         Multiescala:        0.34                  1.04
                  Campos de fuerzas
                   moleculares+FEM

Tabla 2. Comparacion de resultados par la primera frecuencia natural
en GHz, del metodo multiescala empleado con dinamica y mecanica
molecular

          Trabajo   Mecanica    Diferencia   Dinamica    Diferencia
          actual    molecular                molecular
           [Tpa]      [TPa]                    [TPa]

10.52      0.211      0.220        4.3%        0.212        0.5%

12.70      0.148      0.156        5.5%        0.150        1.4%

14.15      0.120      0.128        6.4%        0.123        2.3%

16.32      0.092      0.098        6.3%        0.094        2.0%

Tabla 3. Coeficientes de la ecuacion de las
curvas [[omega].sub.N] vs [L.sub.N/[r.sub.N]

Nanotubo     Coeficiente a

(6,6)      1.82 x [10.sup.4]

(12,12)    9.10 x [10.sup.3]

(16,16)    6.82 x [10.sup.3]

(8,0)      2.27 x [10.sup.4]

(14,0)     1.34 x [10.sup.4]

(20,0)     9.37 x [10.sup.3]
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Title Annotation:Mecanica molecular estructural, nanotubos de carbono, modulo de Young
Author:Padilla-Espinosa, Ingrid M.; Espinosa-Duran, John M.; Velasco-Medina, Jaime
Publication:Ingenieria y Competividad
Date:Jun 1, 2012
Words:6051
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