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Measuring the value at risk of fixed-income portfolios using interest rate multi-factor dynamic models/Medicion del valor en riesgo de portafolios de renta fija usando modelos multifactoriales dinamicos de tasas de interes/Medicao do valor em risco de carteiras de renda fixa usando modelos multifatoriais dinamicos de taxas de juro.

1. Introduccion

El valor en riesgo (VaR) es una medida de riesgo estadistica de perdidas potenciales del valor de un portafolio de activos financieros que podria ocurrir con una probabilidad determinada durante un horizonte de tiempo especifico (Jorion, 2006). <<El VaR responde a la pregunta ?cuanto puedo perder con x% de probabilidad durante un horizonte de tiempo dado?>> (Longerstaey, 1996, p. 6). A pesar de no ser una medida perfecta, por su simplicidad, comparabilidad y facil interpretacion, el VaR se ha convertido en una medida estandar en la industria para medir la exposicion al riesgo de mercado y en una herramienta de supervision importante para la gran mayoria de instituciones financieras (Berkowitz y O'Brien, 2002; Santos, Nogales, Ruiz y vanDijk, 2012; Abad, Benito y Lopez, 2014; Caldeira, Moura y Santos, 2015) (1).

Existen diferentes metodos para calcular el VaR de portafolios tanto de renta fija como de renta variable. Abad et al. (2014) presentan una revision exhaustiva de las diferentes metodologias de calculo del VaR para portafolios de renta variable. Su trabajo resalta la existencia de una vasta literatura teorica y empirica respecto al calculo del VaR para esa clase de activos. En contraste, la literatura respecto al calculo del VaR para portafolios de renta fija es exigua. Caldeira et al. (2015) califican este hecho como un importante vacio en la literatura financiera, dada la importancia de dichos activos en la conformacion de portafolios bien diversificados y a que las particularidades de estos instrumentos exigen metodologias diferentes para el calculo del VaR.

La metodologia propuesta en este articulo es similar a la usada por Caldeira et al. (2015). Dicha metodologia se fundamenta en la utilizacion de una clase general de modelos dinamicos multifactoriales de tasas de interes para el calculo del VaR. Estos modelos han mostrado un desempeno superior para pronosticar la estructura a plazos de tasas de interes (EPTI) (ver, por ejemplo, Diebold y Li, 2006; Diebold, Rudebusch y Aruoba, 2006; De Pooter, 2007; Beltratti y Colla, 2007; Diebold y Rudebusch, 2011; Rezende y Ferreira, 2011; Diebold y Rudebusch, 2013); portanto, es de esperarse que sean utiles en el calculo del VaR. No obstante, como se resalta en la literatura (Kim y Orphanides, 2012; AitSahalia y Kimmel, 2010; Christensen, Diebold y Rudebusch, 2009), estos modelos pueden ser dificiles de estimar. Asi, la presente metodologia no simplifica el calculo del VaR respecto a las metodologias tradicionales pero busca hacerlo consistente con la teoria subyacente a los modelos dinamicos de la estructura a plazos de tasas de interes mas utilizados en la literatura.

Una importante ventaja de calcular el VaR con base en modelos dinamicos de la EPTI es que dicho metodo permite que los precios de los activos subyacentes al calculo del VaR y la distribucion empirica de los rendimientos del portafolio sean consistentes con la teoria que soporta estos modelos. En principio, utilizar modelos de la estructura a plazos de tasas de interes para estimar el VaR ofrece la oportunidad de hacer consistente la valoracion de los instrumentos con la gestion del riesgo de los mismos, pues ambos se derivan de una misma estructura teorica. Por ejemplo, si se utilizan modelos de no arbitraje como base para calcular el VaR, la distribucion empirica subyacente al calculo del VaR de los precios de los titulos que conforman el portafolio puede hacerse consistente con la condicion de no arbitraje (Date y Bustreo, 2015). Otro ejemplo seria que si se utiliza un modelo dinamico donde el precio de mercado por riesgo cambia en el tiempo, los precios de los activos que conforman el portafolio serian consistentes con esta propiedad, propiedad que seria reflejada en el VaR. Adicionalmente, modelos de la estructura a plazos que puedan incorporar el efecto que sobre la misma tienen otras variables macroeconomicas, en principio, podrian ser utilizados para calcular un VaR que responda al efecto de dichas variables.

Teniendo en cuenta la similitud del presente articulo con el trabajo de Caldeira et al. (2015), es importante resaltar las diferencias entre los mismos. Primero, Caldeira et al. (2015) utilizan la aproximacion propuesta por Diebold y Li (2006) respecto a los modelos de Nelson y Siegel (1987) y Svensson (1994). En este articulo, ademas del modelo de Diebold y Li (2006), se utiliza el modelo propuesto por Diebold et al. (2006) y un modelo afin gaussiano de no arbitraje de tasas de interes de tres factores. Este ultimo modelo se adopta basandose en los hallazgos de Velasquez-Ciraldo y Restrepo-Tobon (2016), quienes muestran que los modelos afines de tasas de interes tienen un buen desempeno en pronosticar la EPTI colombiana. Por su parte, Maldonado, Pantoja y Zapata (2015) muestran que el modelo de Diebold y Li (2006) se ajusta adecuadamente a la estructura a plazos de tasas de interes colombiana. Finalmente, Gomez-Restrepo y Restrepo-Tobon (2016) muestran que el modelo de Diebold et al. (2006) con macrofactores tiene un desempeno superior al modelo de Diebold y Li (2006) en pronosticar la EPTI en Colombia.

Segundo, Caldeira et al. (2015) modelan separadamente el rendimiento del portafolio de renta fija y la covarianza entre los factores subyacentes al modelo de Diebold y Li (2006) para luego utilizar ambos componentes para calcular el VaR usando una metodologia similar a la del metodo Delta-Normal (Jorion, 2006). En contraste, en este trabajo se estiman los modelos dinamicos multifactoriales de tasas de interes y luego se utilizan los parametros estimados para simular, via simulacion Monte Carlo, la futura trayectoria de la EPTI y el valor del portafolio de renta fija para el horizonte de tiempo requerido en la estimacion del VaR. De esta forma, se obtiene la distribucion del valor del portafolio para el horizonte definido y el VaR se calcula como el cambio en el valor del portafolio correspondiente al percentil apropiado de dicha distribucion (1 o 5%).

En este trabajo se utilizan datos para Colombia entre 2003 y 2016. Para estimar diariamente los modelos se utilizan las tasas cero cupon, estimadas por la metodologia de Nelson y Siegel (1987), entre los anos 2003 y 2013 (2). Para simplificar la estimacion del VaR, se considera un portafolio compuesto por un solo titulo de renta fija correspondiente a un TES del Gobierno Nacional con vencimiento en julio de 2024. Dicha simplificacion no implica perdida de generalidad, dado que la estimacion del VaR propuesta del portafolio no depende de forma fundamental del numero o de las caracteristicas de los titulos que lo componen. Sin embargo, considerar un unico titulo reduce significativamente el tiempo de computo del VaR.

Los modelos considerados asumen que la dinamica de la estructura a plazos de tasas de interes esta determinada por tres factores latentes usualmente asociados al nivel, la pendiente y la curvatura de dicha estructura. Estos tres factores latentes capturan parsimoniosamente la dinamica de la estructura a plazos de tasas de interes y son ampliamente aceptados en la literatura (Litterman y Scheinkman, 1991; Duffee, 2002; Brandt y Chapman, 2003; Perignon y Smith, 2007). La metodologia de estimacion del VaR para cada modelo tiene tres etapas. Primero, se estima el modelo de forma secuencial para cada dia entre el 2 de enero de 2014 y el 14 de julio de 2016 utilizando los datos disponibles desde el 2 de enero de 2003 hasta el dia de valoracion. Segundo, para cada uno de esos dias se simulan 10.000 trayectorias de los tres factores latentes de la estructura a plazos de tasas de interes y el nivel de la curva de rendimientos para el dia siguiente y se valora el portafolio utilizando cada una de las 10.000 trayectorias para cada dia desde el 3 de enero de 2014 hasta el 15 de julio de 2016. Tercero, se calcula el VaR del portafolio utilizando el valor del portafolio correspondiente al percentil seleccionado para el calculo del VaR (1 o 5%). Finalmente, para evaluar el desempeno relativo de los tres modelos respecto al calculo del VaR, se utiliza la metodologia de backtesting utilizando las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional del VaR y funciones de perdida.

A pesar del desempeno superior de los modelos dinamicos de tasas de interes para pronosticar la curva de rendimientos (Diebold y Li, 2006; Diebold et al., 2006; De Pooter, 2007; Beltratti y Colla, 2007; Piazzesi, 2010; Diebold y Rudebusch, 2011; Duffee, 2013; Gurkaynak y Wright, 2012; Diebold y Rudebusch, 2013), los resultados empiricos del presente trabajo indican que ninguno de los tres modelos considerados presenta un desempeno superior uniforme en la estimacion del VaR de acuerdo a las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional o a las funciones de perdidas. Adicionalmente, se encuentra que el modelo afin de no arbitraje presenta el mejor desempeno relativo respecto a la estimacion del VaR basado en funciones de perdida y un desempeno inferior al modelo de Diebold et al. (2006) respecto a las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional. Estas pruebas indican que el modelo de Diebold et al. (2006) cumple con todas las propiedades deseables para el calculo del VaR. Por su parte, el modelo de Diebold y Li (2006) sobreestima uniformemente el VaR para todos los dias considerados.

Una posible razon del pobre desempeno de los modelos dinamicos en la estimacion del VaR, consistente con la evidencia empirica y soportando su utilidad en el pronostico de las tasas de interes, es que dichos modelos capturan adecuadamente solo el primer momento de la distribucion de las tasas de interes a diferentes plazos. Los momentos de orden superior no son adecuadamente capturados, y son estos los que determinan su utilidad en la estimacion del VaR de un portafolio de renta fija. La principal conclusion del estudio es que, entre los modelos considerados, el modelo de Diebold et al. (2006) se desempena adecuadamente respecto a las pruebas del backtesting del VaR y debe ser preferido en aplicaciones empiricas. No obstante, antes de utilizar estos modelos en la estimacion del riesgo de portafolios de renta fija, se debe modelar conjuntamente tanto el nivel de las tasas de interes como la evolucion de su matriz de varianzas y covarianzas. De esta forma, los trabajos de Perignon y Smith (2007), Trolle y Schwartz (2009) y Creal y Wu (2015) pueden ser un buen punto de partida.

Lo que resta del presente articulo se organiza de la siguiente forma. La seccion 2 expone los antecedentes teoricos de los modelos y metodologias usadas. La seccion 3 expone los modelos usados y discute su proceso de estimacion, asi como el calculo del VaR y su backtesting. La seccion 4 presenta y analiza los resultados empiricos de la investigacion. Finalmente, en la seccion 5 se presentan las conclusiones de la investigacion.

2. Marco teorico

En esta seccion se presenta la literatura relacionada tanto con la estimacion de la EPTI como de la utilizacion de la misma en la estimacion del VaR de portafolios de renta fija.

2.1. Modelos dinamicos de la estructura a plazos de tasas de interes

Los modelos dinamicos para estimar la EPTI son ampliamente estudiados en la literatura. Algunos ejemplos de revisiones recientes al respecto incluyen Piazzesi (2010), Duffee (2013), Gurkaynak y Wright (2012) y Diebold y Rudebusch (2013). Dentro del estudio de este tipo de modelos, podria argumentarse que la contribucion mas importante en la estimacion de la EPTI fue hecha por Nelson y Siegel (1987). El modelo de Nelson y Siegel (NS, en adelante) contempla tres factores que pueden ser asociados (en el limite) directamente al nivel, la pendiente y la curvatura de la EPTI. Dada su simplicidad, flexibilidad y facil interpretacion, el modelo de NS es el mas usado por los analistas financieros y los bancos centrales para la estimacion de la EPTI.

El modelo de NS es un modelo estatico y sirve para ajustar la EPTI solo para un instante de tiempo dado. Partiendo del modelo de NS, Diebold y Li (2006) y Diebold et al. (2006) proponen versiones dinamicas para estimar la EPTI. Diebold y Li (2006) tienen en cuenta que los parametros del modelo de NS deben cambiar periodo a periodo y proponen estimarlos usando un vector autorregresivo (VAR) usando datos longitudinales para un periodo de tiempo especifico. Diebold et al. (2006) parten del enfoque propuesto por Diebold y Li (2006) y proponen una representacion de estado-espacio del modelo para la estimacion de los factores latentes de la curva de rendimiento. Usando la metodologia de filtro de Kalman, los autores calculan la prediccion optima de rendimiento y el correspondiente error de estimacion. Una importante critica de los modelos dinamicos basados en la especificacion de NS es que dichos modelos no cumplen con la condicion de no arbitraje. Recientemente, Christensen et al. (2009) generalizaron el modelo de NS imponiendo la condicion de no arbitraje y demuestran sus propiedades.

Otra clase de modelos dinamicos de las tasas de interes establece una relacion teorica entre las tasas de corto y largo plazo asumiendo que la tasa de corto plazo sigue un proceso estocastico. Los principales estudios de esta clase de modelos son los desarrollados por Vasicek (1977), Cox, IngersollJr y Ross (1985), los cuales son generalizados en Duffie y Kan (1996), quienes muestran que la mayoria de dichos modelos pueden ser categorizados como modelos afin (lineales) de tasas de interes (modelos ATSM, por sus siglas en ingles Affine Term Structure Models), en los cuales las tasas de interes para cada vencimiento pueden ser representadas como una funcion lineal de factores no observables (variables latentes). Desde su trabajo, los ATSM han recibido una gran atencion en la literatura.

Una de las grandes ventajas de los ATSM es que la estructura a plazos construida a partir de los mismos es consistente con la condicion de no arbitraje. Sin embargo, como muestra Duffee (2002), dichos modelos no se desempenan adecuadamente en la mayoria de las aplicaciones empiricas, especialmente respecto al pronostico por fuera de muestra de la EPTI. Ademas, la estimacion de estos modelos es dificil y sujeta a problemas de identificacion de sus principales parametros (ver, por ejemplo, Kimy Orphanides, 2012; Ait-Sahalia y Kimmel, 2010; Christensen et al., 2009). Sin embargo, aunque la estimacion de dichos modelos es todavia numericamente dificil, desarrollos recientes han demostrado que su capacidad predictiva fuera de muestra ha mejorado sustancialmente (Ait-Sahalia y Kimmel, 2010).

Para el caso colombiano se han presentado diferentes metodologias para la estimacion de la EPTI. En uno de los primeros estudios en el ambito nacional, Arango, Melo y Vasquez (2001) emplean el modelo de NS con el fin de obtener un primer acercamiento de la estructura de la curva en Colombia. Posteriormente, Castro y Melo (2010) analizan la relacion existente entre las variables macroeconomicas y la curva de rendimientos. En este estudio, los autores utilizan como modelo referente el presentado por Diebold et al. (2006), estimando los parametros a traves de la aplicacion de VaR. En otro estudio, Maldonado et al. (2015) estiman la curva de rendimientos aplicando una reparametrizacion al modelo de NS con los factores de nivel, pendiente y curvatura; en este trabajo los autores ajustan la tasa de interes mediante filtros de Kalman. Un trabajo mas reciente es el presentado por Velasquez-Ciraldo y Restrepo-Tobon (2016), quienes, basandose en Ait-Sahalia (2008) y Ait-Sahalia y Kimmel (2010), estiman la EPTI para el mercado colombiano usando ATSM, a partir de lo cual encontraron que los modelos ATSM se desempenan de forma superior respecto a los otros modelos existentes en el pronostico de la EPTI.

2.2. Calculo del VaR de portafolios de renta fija

En la presente subseccion se discuten los antecedentes del calculo del VaR para portafolios de renta fija. Caldeira et al. (2015) argumentan que la literatura respecto al calculo del VaR de portafolios de renta fija es exigua y califican este hecho como un importante vacio en la literatura financiera (ver tambien Martellini y Meyfredi, 2007). Dada la importancia de los instrumentos de renta fija en la construccion de portafolios bien diversificados, es sorprendente que no haya surgido una literatura igualmente importante dedicada al calculo del VaR de portafolios de renta variable. Como se menciono anteriormente, entre las pocas excepciones se encuentran Ferreira (2005), Ferreira y Lopez (2005), Vlaar (2000), Abad y Benito (2007), Martellini y Meyfredi (2007), Su y Knowles (2010), Date y Bustreo (2015) y Caldeira et al. (2015). En esta subseccion se revisan cada uno de estos trabajos y se relacionan con la contribucion del presente articulo.

En contraste con los rendimientos de las acciones, los rendimientos historicos de los bonos no pueden ser utilizados directamente para el calculo del VaR de un portafolio de renta fija (Sousa, Esquivel, Gaspar y Real, 2012). La razon es que los plazos (madureces) de las tasas de interes implicitas en los precios historicos de los bonos no corresponden con los plazos que se requieren para el calculo del VaR. Debido a lo anterior, los metodos tradicionales para el calculo del VaR de portafolios de renta fija difieren de los metodos utilizados para calcular el VaR de portafolios de renta variable. De estos metodos, los mas simples y tradicionales son: 1) duracion; 2) mapeo de flujos de caja, y 3) analisis de componentes principales. Una buena presentacion de estos modelos se encuentra enJorion (2006).

A pesar de su simplicidad, ninguno de estos metodos (duracion, mapeo de flujos de caja, componentes principales) es completamente satisfactorio en la estimacion del VaR de portafolios de renta fija (Jorion, 2006). En primer lugar, el metodo de la duracion solo tiene en cuenta movimientos paralelos de la curva de rendimientos. Por su parte, el metodo de mapeo de flujos de caja utiliza solo parcialmente la informacion contenida en la EPTI. Finalmente, el metodo de componentes principales hace un uso mas eficiente de la informacion contenida en la EPTI pero no cuenta con un soporte teorico adecuado para ser utilizado individualmente en la estimacion del VaR de portafolios de renta fija. Ademas, un componente esencial de estos metodos es la modelacion de los rendimientos del portafolio, de su varianza historica, o de la matriz de varianzas y covarianzas en los metodos de mapeo de flujos de caja y de componentes principales. Sin embargo, la literatura existente respecto a la modelacion de las tasas de interes y de su volatilidad con propositos de medir el VaR de portafolios de renta fija es poca.

Debido a las limitaciones discutidas, se han buscado metodologias alternativas. Por ejemplo, Vlaar (2000) usa modelos univariables de series de tiempo para investigar las propiedades estadisticas del VaR de 25 portafolios de renta fija para el mercado aleman. Vlaar compara tres metodos: 1) simulacion historica (SH); 2) varianza-covarianza (VC), y 3) simulacion Monte Carlo (SMC). El metodo de SH consiste en calcular la distribucion empirica de los rendimientos del portafolio para un horizonte de tiempo determinado (uno, dos, cinco anos). Este metodo asume que la distribucion de rendimientos historica del portafolio permanecera estable y es representativa de la evolucion del mismo durante los proximos 10 dias. En su estudio, Vlaar (2000) usa 250, 550, 750, 1.250 y 2.550 periodos de 10 dias de rendimientos y calcula sus correspondientes distribuciones empiricas. Con ello, el VaR del portafolio es calculado como el percentil 1% de la correspondiente distribucion empirica. Sus resultados indican que este metodo subestima el VaR cuando en la simulacion historica se utilizan menos de 750 periodos de 10 dias de rendimientos y lo sobreestima cuando se toma 1.250 o mas. La razon es que los datos corresponden a periodos de tiempo donde la volatilidad de las tasas de interes se redujo significativamente. De esta forma, Vlaar (2000) concluye que el metodo de la SH no ofrece una medida precisa del VaR; la principal razon es que el metodo de SH es sensible a cambios en la dinamica de las tasas de interes que disten del comportamiento tipico historico.

El segundo metodo usado en Vlaar (2000) es el de SMC. Este metodo requiere hacer un supuesto sobre la distribucion conjunta de los rendimientos de las fuentes de riesgo; en este caso, las tasas de interes. Asi, el metodo requiere un supuesto sobre la media del cambio de las tasas de interes a diferentes plazos, calcular la matriz de varianzas y covarianzas de los cambios entre las tasas de interes a diferentes plazos y asumir una distribucion particular. Los parametros necesarios para dicho calculo se realizan con informacion de cinco anos anteriores a la fecha para la cual se calcula el VaR. Una caracteristica importante del metodo es que el cambio esperado en el valor del portafolio se asume igual a cero. Ademas, se asume que las varianzas de las tasas de interes siguen un proceso Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (CARCH) y que la distribucion normal o la t de Student capturan la relacion estadistica entre las tasas de interes. Una vez se obtienen los parametros (media, varianzas y covarianzas) de la distribucion, se procede a simular 10.000 realizaciones de los cambios en las tasas de interes para cada dia en el que se calcula el VaR y se valoran los portafolios.

Los resultados presentados por Vlaar (2000) indican que el metodo de SMC subestima el VaR en la mayoria de los casos. Ademas, los VaR calculados difieren significativamente a lo largo del tiempo, lo cual indica que pequenos cambios en los parametros estimados llevan a grandes cambios en las simulaciones. Tambien encuentra que los VaR calculados con base en la distribucion t de Student fueron inferiores a los calculados con la distribucion normal. Dado que la primera tiene colas mas pesadas que la distribucion normal, este resultado es sorpresivo. Sin embargo, Vlaar (2000) argumenta que la estimacion por maxima verosimilitud de la matriz de varianzas y covarianzas para la distribucion t de Student da menos ponderacion a la ocurrencia de valores extremos. Respecto al metodo de VC, el promedio de los VaR estimados son de magnitud casi identica a los calculados con el metodo de SMC. No obstante, el metodo VC tiene un buen desempeno respecto al numero de violaciones del VaR, es decir, al numero de veces en que la perdida del portafolio excede al VaR. Por esta razon, Vlaar (2000) recomienda el metodo de VC sobre los demas.

Otras dos contribuciones importantes respecto a la evaluacion empirica del calculo del VaR para portafolios de renta fija son los trabajos de Ferreira (2005) y Ferreira y Lopez (2005). Ferreira (2005) modela la dinamica de la varianza y la covarianza de las tasas de interes de corto plazo de Alemania y Francia para el periodo que precede la entrada en vigencia del euro, a partir de lo cual encuentra que un modelo bivariado y asimetrico de series de tiempo con efectos de nivel es el que mejor caracteriza la dinamica de la matriz de varianzas y covarianzas entre las tasas de corto plazo en Francia y Alemania. De esta forma, el mejor desempeno para pronosticar dicha matriz lo ofrece un modelo de componentes de errores (VECH, por sus siglas en ingles Vector Error Correction with Heterocedasticity) con efectos de nivel pero sin efectos cruzados entre la volatilidad de la tasa de corto plazo francesa y alemana. Ferreira y Lopez (2005) encuentran que los modelos de ponderacion exponencial constante de medias moviles (EWMA, por sus siglas en ingles Exponentially Weighted Moving Average) tienen un desempeno similar pero son significativamente mas simples de estimar.

Soportados en los hallazgos de Ferreira (2005), Ferreira y Lopez (2005) modelan el VaR de un portafolio de ponderaciones iguales de posiciones de corto plazo en el mercado de renta fija aleman, frances y japones, usando varios modelos de series de tiempo para capturar la dinamica de la matriz de varianzas y covarianzas del portafolio. Ferreira y Lopez (2005) encuentran que los modelos con mejor desempeno estadistico en el pronostico de la matriz de varianzas y covarianzas son aquellos que capturan la volatilidad de acuerdo al nivel de las tasas de interes. Sin embargo, cuando el criterio es el desempeno en el calculo del VaR, los resultados son altamente sensibles a los supuestos sobre la distribucion de las tasas de interes. Al igual que Ferreira (2005), encuentran que modelos simples, como el EWMA, se desempenan mejor en el calculo del VaR.

Estos trabajos, sin embargo, no se fundamentan en ninguna teoria que describa la EPTI para la modelacion del VaR de portafolios de renta fija. De acuerdo a la revision de la literatura, el primer trabajo en considerar la utilizacion de modelos de la EPTI en el calculo del VaR de portafolios de renta fija es Abad y Benito (2007). Estos autores proponen estimar el VaR de un portafolio de renta fija utilizando SMC. La idea principal en su contribucion es utilizar el modelo de NS para valorar los bonos considerados dentro del portafolio. Asi, el valor de cualquier bono dentro del portafolio se puede expresar en funcion de los cuatro parametros del modelo de NS y, por tanto, el valor total del portafolio depende exclusivamente de las caracteristicas de los bonos dentro del portafolio y de los cuatro parametros del modelo de NS. Luego, Abad y Benito (2007) especifican un modelo que describe la evolucion de dichos parametros. Una vez especificado dicho modelo, utilizan SMC para simular la distribucion de rendimientos del portafolio ante choques a la evolucion de los parametros del modelo de NS. De esta forma, el calculo del VaR del portafolio corresponde al percentil x% seleccionado para su calculo. Adicionalmente, Abad y Benito (2007) seleccionan modelos ARIMA unifactoriales para modelar la dinamica de los parametros del modelo de NS. Sin embargo, los autores concluyen que los movimientos generados en las tasas de interes al utilizar estos modelos en la SMC son, en su mayoria, implausibles. Por ello, los valores del VaR calculados siguiendo su procedimiento fueron considerados demasiado altos como para ser utiles en la gestion del riesgo de portafolios de renta fija.

El siguiente trabajo existente en la literatura corresponde a Martellini y Meyfredi (2007). Estos autores tambien utilizan el modelo de NS para extraer los tres factores dinamicos implicitos en la EPTI, tal como lo exponen Diebold y Li (2006). Luego de extraer los factores, los autores utilizan una funcion de copulas para modelar la dinamica conjunta de estos. En contraste con Abad y Benito (2007), quienes consideran que los factores evolucionan independientemente, Martellini y Meyfredi (2007) modelan la dinamica conjunta de estos factores utilizando la funcion de copulas t de Student. Utilizando SMC, los autores generan 100.000 simulaciones de los parametros del modelo de NS utilizando la funcion de copulas estimada. Seguidamente se generan 100.000 posibles trayectorias para la EPTI y se valora el portafolio de renta fija, obteniendo la distribucion empirica simulada del valor del portafolio. Con esta informacion, el VaR al x% se calcula como el percentil x% de dicha distribucion.

El estudio de Martellini y Meyfredi (2007) presenta evidencia empirica para un portafolio de bonos del mercado frances entre el 6 de febrero de 2004 y el 12 de octubre de 2005 para un total de 434 dias de negociacion. Primero estiman la curva de rendimientos usando la metodologia descrita en el parrafo anterior, con la que encuentran que el [R.sup.2] de los ajustes de las curvas diarias siempre es superior al 99% y los parametros son estimados con una alta precision. Utilizando las pruebas de backtesting de Kupiec (1995), Christoffersen (1998) y Christoffersen y Pelletier (2004), los autores reportan que el VaR al 95 y al 99% de confianza obtenidos con la metodologia propuesta satisface todas estas pruebas. Adicionalmente, concluyen que dicha metodologia es adecuada para el calculo del VaR de portafolios de renta fija.

Otra variante del modelo de NS para estimar el VaR es presentada en Su y Knowles (2010). Estos autores proponen tomar una aproximacion lineal de primer orden a la ecuacion del modelo de NS para hacer que las tasas de interes a diferentes plazos sean una funcion lineal de tres factores: nivel, pendiente y curvatura de la EPTI. Luego modelan el cambio en el valor del portafolio como una funcion de la duracion, el valor del portafolio y el cambio esperado en las tasas de interes, el cual es una funcion lineal de los cambios en los factores de nivel, pendiente y curvatura. Su y Knowles (2010) muestran que el VaR del portafolio puede calcularse con la aproximacion delta-normal, donde la varianza del portafolio es una funcion de la matriz de varianzas y covarianzas de los tres factores. Sin embargo, los autores no presentan pruebas de backtesting para evaluar el desempeno del VaR.

Por otra parte, Date y Bustreo (2015) proponen una metodologia para calcular el VaR de portafolios de renta fija usando un modelo de la tasa de interes de corto plazo de dos factores. El modelo es calibrado a partir del precio de los bonos transados en el mercado y luego los cambios en los precios de los bonos del portafolio son simulados usando el filtro de Kalman. Una de las principales ventajas de esta aproximacion es que los precios de los bonos simulados mantienen la propiedad de ser consistentes con la condicion de no arbitraje. Esta es una importante propiedad que no comparte ninguno de los metodos utilizados previamente en la literatura. Date y Bustreo (2015) encuentran que el metodo propuesto presenta un buen desempeno respecto a las pruebas de backtesting de cubrimiento incondicional y condicional.

El trabajo mas reciente, y mas afin al presente articulo, es el de Caldeira et al. (2015). Estos autores utilizan especificaciones dinamicas del modelo de NS y de Svensson (1994) para estimar el VaR de portafolios de renta fija. La metodologia propuesta puede acomodar una gran cantidad de modelos dinamicos de tasas de interes y heteroscedasticidad condicional de las tasas de interes. Adicionalmente, la metodologia permite obtener formulas cerradas para valorar los bonos pertenecientes a un portafolio de instrumentos de renta fija en funcion de los factores latentes de los modelos de NS y Svensson. A partir de estas expresiones, es posible calcular, usando SMC, la distribucion de rendimientos del portafolio y, consecuentemente, su VaR. La modelacion de los factores latentes sigue la metodologia propuesta en Diebold y Li (2006). Una vez obtenidos los factores latentes, su volatilidad es calculada utilizando modelos autorregresivos de correlacion dinamica. Para calcular el VaR del portafolio, se simulan trayectorias de los factores latentes para estimar el cambio en el valor del portafolio y se utiliza la matriz de varianzas y covarianzas estimada de los factores para calcular el VaR utilizando el metodo delta-normal. De acuerdo a los resultados del backtesting, Caldeira et al. (2015) concluyen que dicho metodo se desempena adecuadamente como para ser utilizado como modelo interno de calculo del VaR.

Para Colombia, estudios relacionados con la gestion del riesgo en portafolios de renta fija son los presentados por Melo y Granados (2011), quienes bajo diferentes metodologias analizan el desempeno de estimaciones del VaR y el VaR condicional para un conjunto de activos colombianos, incluyendo el precio implicito de titulos de tesoro a 10 anos (TES). A su vez, los autores incorporan dentro de su analisis la verificacion de los requerimientos exigidos por la regulacion actual en el pais de estudio, con el fin de determinar si son suficientes para evaluar apropiadamente las estimaciones del VaR. Los resultados encontrados para la estimaciones del VaR indican que para pronosticos con horizonte de un dia el desempeno de las medidas de riesgo es apropiado, pero para el calculo de un VaR multiperiodo ninguna metodologia mide adecuadamente el VaR.

3. Metodologia

El presente trabajo considera modelos multifactoriales dinamicos para la estimacion de la EPTI. A diferencia de los modelos existentes en la literatura, ademas de utilizar la version dinamica del modelo de NS propuesta por Diebold y Li (2006), tambien se emplea el modelo de Diebold et al. (2006) y un modelo de no arbitraje gaussiano afin de tasas de interes. A continuacion se exponen los tres modelos utilizados, en donde se usan dos variaciones modelo de Nelson y Siegel (1987) y ATSM para la estimacion de la curva de rendimientos para el mercado colombiano.

3.1. Modelos dinamicos de la EPTI

Existe una gran variedad de modelos dinamicos de tasas de interes que pueden clasificarse en tres grandes categorias. La primera categoria incluye modelos teoricamente rigurosos pero con pobre desempeno empirico. La segunda incluye modelos empiricamente exitosos pero con pobre soporte teorico. Y la tercera incluye modelos que tienen algun sustento teorico y que se desempenan adecuadamente en la practica (Diebold y Rudebusch, 2013). A esta ultima categoria pertenece el modelo dinamico de Nelson y Siegel (DNS) derivado de los trabajos de Diebold y Li (2006) (DL, en adelante) y Diebold et al. (2006) (DRA, en adelante) y el modelo de no arbitraje de Nelson y Siegel (AFNS, en adelante) de Christensen, Diebold y Rudebusch (2011). En el presente trabajo se emplean las versiones DL y DRA. Respecto a los modelos de no arbitraje, se emplea un modelo gaussiano afin de no arbitraje con tres factores (ATSM, en adelante), el cual ha sido empleado con exito en la practica (Ait-Sahalia y Kimmel, 2010). A continuacion se expone brevemente la especificacion de cada uno de estos modelos.

Inicialmente, Diebold y Li (2006) proponen una version dinamica del modelo estatico de NS para modelar la EPTI. De esta forma, su especificacion viene dada por:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (1)

donde [y.sub.t] ([tau]) es un vector de los rendimientos al vencimiento de los titulos con vencimiento en [tau]. [[beta].sub.0t], [[beta].sub.1t], [[beta].sub.2t] son interpretados como factores dinamicos latentes de nivel, pendiente y curvatura, donde, a diferencia del modelo original y estatico de NS, estos factores varian en el tiempo. Para hacer que el modelo de la ecuacion 1 sea lineal en los parametros, Diebold y Li (2006) proponen mantener el parametro [lambda] constante; este parametro esta asociado a la curvatura de la EPTI. En particular, para el mercado de Estados Unidos, Diebold y Li (2006) fijan dicho valor en [lambda] = 0, 0609. Con datos correspondientes al vector yt (t) y su correspondiente vector de vencimientos t, para cada periodo t, se estiman los parametros [[beta].sub.0t], [[beta].sub.1t], [[beta].sub.2t] para cada periodo. Por lo tanto, para pronosticar la EPTI para un periodo t + h se utiliza la siguiente especificacion:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (2)

donde [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] para i = 0, 1,2, y donde los coeficientes [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] son estimados utilizando modelos univariados autorregresivos de series de tiempo para cada [[??].sub.i].

Bajo el enfoque propuesto por Diebold y Li (2006), Diebold et al. (2006) proponen la siguiente variacion al modelo DRA:

[y.sub.t]([tau]) = [L.sub.t] + [S.sub.t] (1- [e.sup.- [lambda][tau]]/[lambda][tau]) + [C.sub.t] (1 - [e.sup.- [lambda][tau]]/[lambda][tau] - [e.sup.-[lambda][tau]]) (3)

donde [y.sub.t] ([tau]) son los rendimientos de los titulos con vencimiento en [tau], y [L.sub.t], [S.sub.t], [C.sub.t] son los factores del modelo (no observables) con variacion en el tiempo asociados a nivel, pendiente y curvatura, respectivamente. El valor de [lambda] es igualmente fijado en 0,0609 para el caso de Estados Unidos. El modelo de la ecuacion3 puede especificarse bajo la representacion de un sistema de estado-espacio. Partiendo del modelo DL se reformula el proceso que siguen los factores pasando de un AR (1) a un VAR (1), lo cual da lugar a la siguiente especificacion:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (4)

donde cada una de las observaciones de las series de datos para nivel, pendiente y curvatura se deflacta con su respectiva media [mu]. La ecuacion de observaciones que relaciona los rendimientos con los factores no observables se escribe como:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5)

donde t = i, ..., T. En notacion matricial el modelo se reescribe como el siguiente sistema de estado-espacio con los factores ajustados por su media.

([f.sub.t] - [mu]) = A([f.sub.t-1] - [mu]) + [[eta].sub.t] (6)

[y.sub.t] = [LAMBDA][f.sub.t] + [[epsilon].sub.t] (7)

donde A es una matriz (3x3) que contiene parametros no restringidos, [mu] es un vector de estado (3x1) que contiene parametros no restringidos y la matriz [LAMBDA] contiene el parametro [lambda] y los loadings que acompanan a cada factor. La estimacion de los parametros se realiza a traves del filtro de Kalman, lo cual requiere que las perturbaciones de ruido blanco (WN) y de medicion sean ortogonales para iniciar el sistema:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (8)

E([f.sub.0][[eta]'.sub.t]) = 0 (9)

E([f.sub.0][[epsilon]'.sub.t]) = 0 (10)

donde Q es la matriz de covarianzas de los factores y H es la matriz de covarianza de los rendimientos. El modelo impone la condicion de que las perturbaciones del factor de la ecuacion de estado [[eta].sub.t] estan correlacionadas y que por lo tanto la correspondiente matriz de covarianza Qes no diagonal. En el caso de la matriz H, el modelo impone diagonalidad sobre ella, implicando que las desviaciones de los rendimientos para diferentes vencimientos no estan correlacionadas.

De otro lado, los ATSM asumen que la tasa de interes de corto plazo es una funcion afin (3) de un vector de estado X(t) de N factores subyacentes, los cuales pueden ser observables (variables macroeconomicas) o latentes (Piazzesi, 2010).

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (11)

donde y corresponde los rendimientos de la curva cero cupon con vencimiento en [tau], [[delta].sub.0] [member of] [R.sup.n] y el vector [[delta].sub.1] [member of] [R.sup.n]. De esta forma, se asume que el vector de estado sigue un proceso de difusion afin bajo la medida de riesgo neutral Q:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (12)

donde [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] es un movimiento browniano independiente N dimensional y S(t) es una matriz diagonal NxN, donde [[S(t)].sub.i,i] = [[alpha].sub.i] + [[beta].sup.T.sub.i] X(t), con [[alpha].sub.i], [member of] [R.sup.N].

El precio del mercado de riesgo [LAMBDA](X) [member of] [R.sup.N] es tambien especificado en orden de obtener la dinamica fisica. Siguiendo la literatura, se asume que [LAMBDA] (X) = [square root of (S(t))] [lambda], donde [lambda] es un vector de constantes (Dai y Singleton, 2000). Por lo tanto, el proceso de estado es tambien afin bajo la medida P (Duffie y Kan, 1996):

dX (t) = K([theta] - X(t)) dt + [summation] [square root of (s(t))] dW (t) (14)

Bajo esta estructura, Duffie y Kan (1996) muestran que los rendimientos para cualquier vencimiento [tau] pueden ser obtenidos como una funcion afin del vector de estado:

[y.sub.[tau]] (t) = A([tau]) + B[([tau]).sup.T] X(t) (15)

donde los coeficientes A(t) y B (t) son la solucion del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (16)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (17)

Con a (0) = 0, b (0) = [??], A ([tau]) = -a([tau])/[tau] y B ([tau]) = -b([tau])/[tau]. Estas ecuaciones imponen las restricciones de no arbitraje (Duffie y Kan, 1996).

3.2. Calculo del VaR de carteras de renta fija

En el presente articulo se propone una metodologia para el calculo del VaR en la cual se simulan escenarios para las tasas de interes futuras de acuerdo con tres modelos de tasas de interes ampliamente utilizados en la literatura. Cada modelo asume que existen tres factores o variables latentes (el nivel, la pendiente y la curvatura) que explican la mayor parte de la dinamica de la EPTI, expresando las tasas de interes (para cualquier plazo) en funcion de estos factores. De esta manera, y dada la dinamica de estos factores implicitos en cada modelo, se pueden simular trayectorias futuras para los factores y, a partir de su relacion con las diferentes tasas de interes para diferentes plazos, obtener tasas de interes simuladas. Esto permite simular un gran numero de trayectorias posibles de la futura curva de rendimientos, consistentes con la dinamica implicita de cada modelo. Con estas tasas luego se valoran los titulos dentro del portafolio y se construye la distribucion empirica del valor del mismo. Una vez obtenida la distribucion empirica simulada del valor del portafolio, se calculan los cambios posibles respecto a su valor actual y se selecciona el percentil de la distribucion de cambios del valor del portafolio correspondiente al nivel de confianza con que se esta estimando el VaR. La figura 1 ilustra la metodologia propuesta para calcular el VaR de portafolios de renta fija a partir de modelos dinamicos de la estructura a plazos de tasas de interes.

3.2.I. Estimacion de los modelos

A partir de los parametros calculados por Infovalmer para el mercado de tasas de interes colombiano correspondientes al modelo de Nelson y Siegel (Betas), se calcula la curva de rendimientos diaria entre los anos 2003 a 2013. Posteriormente, se calculan los factores de pendiente, nivel y curvatura para cada modelo (4). Las estimaciones de los modelos DL y DRA siguen las metodologias utilizadas en Diebold y Li (2006) y Diebold et al. (2006), respectivamente. Por su parte, la estimacion de los factores del ATSM se realiza aplicando la tecnica de estimacion de maxima verosimilitud propuesta por Ait-Sahalia (2008) y Ait-Sahalia y Kimmel (2010) (los detalles de dicha estimacion se pueden encontrar en VelasquezGiraldo y Restrepo-Tobon, 2016). Los vencimientos para los cuales se estiman la curva de rendimientos corresponden a 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 y 10 anos y la estimacion se hace para un modelo de tres factores no observables. La tabla 1 presenta las estadisticas descriptivas de las tasas de interes utilizadas para la estimacion entre el 3 de enero de 2003 y el 30 de diciembre de 2013. La figura 2 ilustra la curva de rendimientos estimada con la metodologia NS para dicho periodo.

3.2.2. Pronostico de la EPTI

Con los datos de las tasas de interes entre 2003 y 2013 para los plazos seleccionados, se estiman los factores subyacentes para cada uno de los modelos considerados (DL, DRA y ATSM), comenzando el dia 2 de enero de 2014. Con los factores y parametros estimados para este dia se hacen 10.000 pronosticos de la curva de rendimiento para el siguiente dia (3 de enero de 2014). Este procedimiento se repite secuencialmente para 615 dias adicionales entre el 3 de enero de 2014 y el 14 de julio de 2016, para un total de 616 dias. Como resultado se obtienen 10.000 diferentes curvas de rendimiento para cada dia y para cada modelo. A continuacion se detalla el proceso de pronostico (simulacion) de la curva de rendimientos con cada modelo.

En el caso del modelo DL, se ajusta un modelo autorregresivo AR(1) a cada una de las diferencias diarias de los factores [DELTA][[beta].sub.i,t] = [[alpha].sub.i.sup.*] [DELTA] [[beta].sub.i-1] + [[epsilon].sub.i,t] con i = 0,1,2; donde [[epsilon].sub.i,t] es una perturbacion aleatoria con media cero. Para la simulacion de las curvas de rendimiento a un dia se adopta una metodologia de bootstrapping que consiste en representar la perturbacion con una de sus realizaciones anteriores. Asi, la ecuacion de simulacion para cada factor en el modelo de DL es [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], donde [[??].sub.i] es estimado por OLS y [[??].sub.t] corresponde a uno de los residuales de la estimacion seleccionado aleatoriamente con reemplazo.

Por su parte, el modelo DRA tiene en cuenta la posible relacion entre los factores y entre sus perturbaciones. De acuerdo con las ecuaciones 4 y 8, la ecuacion de simulacion para la obtencion de los factores es:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (18)

donde [[??].sub.t+1] es una simulacion de una variable aleatoria normal multivariada de media cero y matriz de covarianzas [??]. De esta forma, luego de obtener los factores para cada dia t, se toma la esperanza de la ecuacion (7) para pronosticar las tasas de interes del siguiente periodo.

Finalmente, el ATSM es un modelo continuo. Para la simulacion a partir de dicho modelo se requiere utilizar un metodo de discretizacion. En este caso se aplica el esquema numerico de Euler, obteniendo la siguiente ecuacion de simulacion:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (18)

donde [[??].sub.t+1] es una simulacion de una variable aleatoria normal estandar y [delta] = 1/252 dado que se simulan datos diarios. Por su parte, X (t) al ser no observable, debe obtenerse cada dia invirtiendo la ecuacion (15) para los rendimientos al vencimiento de 0,25, 4 y 10 anos.

3.2.3. Calculo del VaR

Una vez se obtienen las EPTI simuladas para cada modelo y los 616 dias, se procede a valorar el portafolio para cada uno de esos dias. La valoracion se hace con las curvas de rendimientos simuladas para cada uno de los modelos utilizados (DL, DRA, ATSM). De esta forma se obtienen tres distribuciones simuladas del valor del portafolio (una por modelo) para cada dia perteneciente al periodo de pronostico. A partir de la distribucion de los valores del portafolio, se puede calcular el cambio en el valor del portafolio con respecto al dia anterior, lo cual produce tres distribuciones por dia de los cambios en el valor del portafolio. Para calcular el VaR con un nivel de confianza del 95%, se toma el percentil 5 de estas distribuciones como estimacion del VaR del portafolio a un dia. Para el caso del presente estudio, el portafolio de renta fija esta compuesto por el Titulo del Gobierno Colombiano (TES) con vencimiento en julio de 2024, el cual es uno de los mas negociados en el mercado.

3.3. Backtesting

De acuerdo con la literatura, el proceso de backtesting debe ser realizado con mas de un metodo, puesto que los resultados de un solo test pueden no ser suficientes para evaluar el desempeno de un modelo de estimacion del VaR (Haas, 2001). En este trabajo se aplican las pruebas de cubrimiento incondicional y cubrimiento condicional del VaR. Estas pruebas, sin embargo, no son apropiadas para comparar el desempeno relativo de los modelos respecto al calculo del VaR. Para comparar el desempeno de estos modelos se utiliza el metodo de funciones de perdida propuesto por Lopez (1999). Estas medidas se describen a continuacion.

3.3.1. Pruebas de cubrimiento incondicional

Las pruebas de cubrimiento incondicional se basan en determinar el numero de excepciones (5) del VaR. Si el numero de excepciones es menor que el correspondiente, de acuerdo con el nivel de confianza (6) seleccionado, significa que el riesgo del sistema esta sobreestimado, y en caso contrario se concluye que el riesgo esta siendo subestimado.

Siguiendo a Kupiec (1995), se aplican dos tipos de test que determinan el desempeno de los modelos en cuanto a la estimacion del VaR. El primero es el test de proporcion de fallos (POF test). Este test compara si el numero de excepciones encontradas es consistente con el numero de excepciones sugeridas por el nivel de confianza. Bajo la hipotesis nula de que el modelo es correcto, el numero de excepciones sigue una distribucion binomial. Asi, la hipotesis nula se puede escribir como [H.sub.0] : p = [??] = x/T, donde x es el numero de excepciones, T es el numero de observaciones y p se define como p = (1 - c), donde c es el nivel de confianza bajo el que se realiza el backtesting.

De acuerdo con Kupiec (1995), el estadistico LRPOF asociado a la funcion de verosimilitud se distribuye asintoticamente como una distribucion chi-cuadrada con un grado de libertad. El segundo test es la prueba de tiempo hasta el primer fallo (TUFF test) propuesto por Kupiec (1995). Esta prueba tiene como fin medir el periodo de tiempo que se tarda en presentarse la primera excepcion y se basa en supuestos similares a los del [LR.sub.POF] y se distribuye asintoticamente [chi square] con un grado de libertad.

3.3.2. Pruebas de cubrimiento condicional

Las pruebas de cubrimiento condicional, al igual que las de cubrimiento incondicional, estan basadas en el numero de excepciones. Sin embargo, bajo este enfoque se espera que las excepciones se distribuyan uniformemente en el tiempo y que sean independientes; asegurando que la estimacion del VaR no se vea significativamente afectada ante cambios de volatilidad y correlaciones. Siguiendo a Christoffersen (1998) y Haas (2001), se aplican dos pruebas que permiten medir el cumplimiento de la propiedad de cubrimiento condicional en la estimacion del VaR. La primera es la prueba de intervalos de pronostico de Christoffersen. Esta prueba, ademas de contrastar el numero de excepciones respecto al ideal teorico, incluye un estadistico para determinar la independencia de las excepciones (determinar si la excepcion de un dia depende del dia anterior). El estadistico para esta prueba esta definido por [LR.sub.cc] = [LR.sub.pof] + [LR.sub.ind], donde [LR.sub.cc] se distribuye [chi square] con dos grados de libertad. Otra prueba utilizada en el backtesting es el test mixto de Kupiec (Haas, 2001), dado por [LR.sub.mix] = [LR.sub.POF] + [LR.sub.ind], donde [LR.sub.mix] se distribuye [chi square] con n grados de libertad, siendo n el numero de excepciones. De esta forma, el termino [LR.sub.POF] corresponde al sugerido por Kupiec (1995) y el [LR.sub.ind] es el estadistico utilizado para poner a prueba la independencia de las excepciones.

3.3.3. Funciones de perdida

Las funciones de perdida se basan en determinar la magnitud del exceso reportado entre las excepciones y la perdida real. Siguiendo la propuesta de Lopez (1998, 1999), se evalua el desempeno de los modelos de acuerdo con los resultados obtenidos al minimizar las funciones de perdida. Estas funciones se definen por L = 1 + [([x.sub.t+1] - Va[R.sub.t]).sup.2] si [x.sub.t+1] [less than or equal to] Va[R.sub.t]([alpha]) e igual a cero en otro caso. En este caso, [x.sub.t+1] es el retorno realizado del portafolio y el VaRt es el VaR estimado en el momento t (como porcentaje). El estadistico definido para esta prueba se basa en el calculo de la perdida promedio de la muestra, la cual es igual a [??] = 1/T[[summation].sup.T.sub.t] L, donde el valor de [??] para cada modelo es comparado entre estos, de tal forma que el modelo de mejor desempeno es aquel para el cual la funcion de perdida es menor.

4. Resultados empiricos

En la tabla 2 se reporta el MSE y RMSE para las tasas de interes estimadas por los tres modelos respecto a las tasas de interes calculadas bajo la metodologia de NS. Los tres modelos presentan un alto grado de ajuste para las tasas correspondientes a 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 5, 7, 9 y 10 anos.

La figura 3 ilustra el valor del VaR para el periodo comprendido entre el 3 de enero de 2014 y el 15 de julio de 2016. La linea negra muestra al cambio real diario en el valor del portafolio. Por su parte, la linea de tono mas tenue ilustra el valor del VaR del portafolio estimado usando el metodo de duracion. En la figura se presentan adicionalmente las estimaciones del VaR obtenidas al usar las metodologias expuestas en la seccion 3 para cada uno de los modelos discutidos: ATSM, DRA y DL.

El proceso de backtesting para los 616 diferentes VaR calculados se hace con los niveles de confianza del 90, del 95, del 97,5 y del 99%. Para estos niveles de confianza, el numero de veces que se espera que la perdida real del portafolio sea superior (en valor absoluto) al valor del VaR estimado es 62, 31, 15 y 6, respectivamente. En cuanto al VaR calculado para cada dia con el modelo DL no se encuentra ninguna excepcion, lo cual es coherente con los resultados ilustrados en la figura 3, donde se observa que bajo este modelo el resultado del VaRsobreestima significativamente la perdida del portafolio. De otro lado, el numero de excepciones que presentan los modelos DRA y ATSM son 4 y 65, respectivamente. Como se ilustra en la figura 3, el VaR calculado para cada dia con el modelo ATSM sigue de cerca la verdadera perdida del portafolio, lo que hace que el numero de excepciones sea mayor para este modelo y muy por encima de las excepciones teoricas esperadas (6 a un nivel de confianza del 99% para el backtesting). Finalmente, el numero de excepciones para el modelo DRA es significativamente menor (4), numero cercano al esperado basado en un nivel de confianza del 99%.

Para determinar si estos valores son estadisticamente diferentes a los esperados para cada nivel de confianza se debe utilizar la prueba POF de Kupiec (1995). La tabla 3 presenta los resultados asociados a esta prueba para cuatro diferentes niveles de confianza. Es importante aclarar que estos niveles de confianza no corresponden a los usados en el calculo el VaR sino al nivel de confianza con el que se pretende realizar la prueba de backtesting. De esta forma, la primera columna indica el modelo, la segunda el nivel de confianza del backtesting, la tercera el valor critico del test, la cuarta columna el valor del estadistico calculado y la quinta indica si la hipotesis nula de que el numero de excepciones es igual a las esperadas se acepte (A) o se rechace (R). Para el modelo DRA, para un nivel de confianza del 99%, se acepta que el numero de excepciones observadas (4) esta en linea con el numero de excepciones esperadas. Para los demas niveles de confianza se rechaza la hipotesis nula. Para el modelo ATSM, solo si se baja a un nivel de confianza inferior al 90% se aceptaria dicha hipotesis. Finalmente, el modelo DL, por sobreestimar sistematicamente el VaR, no presenta ninguna excepcion y, por tanto, no es posible calcular el estadistico de la prueba POF.

De acuerdo a estos resultados, los tres modelos se desempenan pobremente respecto al numero de excepciones encontradas versus las esperadas. De un lado, el DRA presenta muy pocas excepciones respecto a las esperadas, mientras que el ATSM presenta muchas. Sin embargo, la prueba POF solo tiene en cuenta el numero de excepciones y no como esas excepciones se presentan en el tiempo. Como se menciono anteriormente, la prueba TUFF resuelve este problema. Sin embargo, los resultados de esta prueba deben verse con cuidado, dado que esta tiene un bajo poder y, por tanto, no debe ser un indicador definitivo en cuanto a las conclusiones del desempeno de un modelo en la estimacion del VaR.

La siguiente prueba de backtesting considerada es la prueba de independencia de Christoffersen (1998). Para esta prueba se encontro que la hipotesis nula de que las excepciones son independientes en el tiempo se debe rechazar para la mayoria de los niveles de confianza considerados. Por otra parte, aplicando el test mixto de Kupiec, para evaluar la hipotesis nula de que el numero de excepciones esta en linea con las esperadas y que las mismas ocurren de forma independiente en el tiempo, se encontro que el modelo DRA tiene un desempeno adecuado para niveles de confianza del 97,5 y del 99%.

Respecto a las pruebas basadas en las funciones de perdida, se encuentra que el modelo que presenta la perdida mas pequena es el modelo ATSM. El estadistico de Lopez (1999) es igual a 14,19, 3,81, y 1,46, para los modelos DL, DRA y ATSM, respectivamente. Sin embargo, teniendo en cuenta el pobre desempeno del modelo ATSM en las pruebas de backtesting debido a la subvaloracion de la perdida esperada, no es sorprendente que en la prueba de funciones de perdida este modelo tenga un mejor desempeno.

Tomados en conjunto, los resultados indican que el VaR estimado bajo la metodologia propuesta se desempena pobremente respecto a las principales pruebas de backtesting existentes en la literatura. Este resultado es sorprendente debido a que los modelos dinamicos de tasas de interes han ganado una gran popularidad en los ultimos anos para modelar la estructura a plazos de tasas de interes. Una de las razones podria ser que, aunque estos modelos son dinamicos, dicha propiedad solo captura la dinamica del nivel de las tasas de interes, pero no la dinamica de sus volatilidades. Los tres modelos investigados asumen que la matriz de varianzas y covarianzas de los factores latentes a cada modelo es constante, lo cual limita su utilidad en el calculo del VaR. Modelos que relajen este supuesto deberian ofrecer un mejor desempeno y ser mas adecuados para la gestion del riesgo de portafolios de renta fija. En futuras investigaciones podria ser fructifero utilizar modelos dinamicos con volatilidad dinamica o estocastica.

5. Conclusiones

Este articulo tiene como objetivo investigar el desempeno relativo de dos clases de modelos dinamicos de estructura a plazo de tasas de interes respecto a la estimacion del VaR de un portafolio de renta fija. La principal hipotesis del estudio es que, dado que los modelos dinamicos de tasas de interes han mostrado un buen desempeno empirico en pronosticar la curva de rendimientos, el VaR calculado a partir de estos modelos deberia tener un buen desempeno respecto a las pruebas de backtesting mas utilizadas en la literatura.

La principal justificacion para utilizar estos modelos en el calculo del VaR es su buen desempeno en pronosticar la curva de rendimientos (Diebold y Li, 2006; Diebold et al., 2006; De Pooter, 2007; Beltratti y Colla, 2007; Piazzesi, 2010; Diebold y Rudebusch, 2011, 2013; Duffee, 2013; Gurkaynak y Wright, 2012). No obstante, los resultados empiricos indican que ninguno de los tres modelos considerados presenta un desempeno superior uniforme en la estimacion del VaR de acuerdo a las pruebas de backtesting utilizadas.

Los modelos usados en el presente estudio son el modelo de Diebold y Li (2006), el modelo de Diebold et al. (2006) y un modelo afin gaussiano de no arbitraje. El modelo afin de no arbitraje presenta el mejor desempeno relativo respecto a la estimacion del VaR basado en funciones de perdida, pero es el modelo que lleva a cometer mas errores en el calculo del VaR. En general, este modelo subestima el VaR. Por su parte, el modelo de Diebold et al. (2006) tiene un buen desempeno respecto a las prueba de cubrimiento condicional e incondicional del VaR. Esto indica que dicho modelo podria ser un buen candidato para ser utilizado en el calculo del VaR. Las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional indican que el modelo de Diebold et al. (2006) cumple con todas las propiedades del VaR para niveles de confianza del 97,5 y del 99% en las pruebas de backtesting. Adicionalmente, el valor de la funcion de perdida para dicho modelo parece adecuado en comparacion con el modelo de Diebold y Li (2006) y el ATSM. Por el contrario, el modelo de Diebold y Li (2006) sobreestima uniformemente el VaR para todos los dias considerados.

Una posible razon que explica el pobre desempeno de los modelos dinamicos en la estimacion del VaR es que dichos modelos capturan adecuadamente solo el primer momento de la distribucion de las tasas de interes a diferentes plazos. Esta hipotesis es consistente con la evidencia empirica soportando su utilidad en el pronostico de las tasas de interes. No obstante, al parecer los momentos de orden superior de las tasas de interes a diferentes plazos no son adecuadamente capturados y son precisamente estos momentos los que determinan su utilidad en la estimacion del VaR. Esto podria deberse a que los modelos dinamicos de tasas de interes asumen que la matriz de varianzas y covarianzas de los factores latentes que explican la dinamica de la estructura a plazos de tasas de interes es constante. Relajar este supuesto parece conducir a mejores resultados. Por ejemplo, Caldeira et al. (2015) modelan dicha matriz asumiendo que las volatilidades de dichos factores cambian en el tiempo y obtienen resultados apropiados en cuanto al calculo del VaR. No obstante, Caldeira et al. (2015) modelan la volatilidad de dichos factores independientemente del primer momento de la distribucion, lo cual es inconsistente con los supuestos realizados en la estimacion de los modelos.

De esta forma, la principal conclusion del estudio es que entre los modelos considerados, el modelo de Diebold et al. (2006) se desempena adecuadamente respecto a las pruebas del backtesting del VaR y debe ser preferido en aplicaciones empiricas. No obstante, antes de utilizar dichos modelos en la estimacion del riesgo de portafolios de renta fija, se debe modelar conjuntamente tanto el nivel de las tasas de interes como la evolucion de su matriz de varianzas y covarianzas. Debe tenerse en cuenta que la utilidad de dichos modelos para estimar el VaR de portafolios de renta fija debe ser sopesada respecto a los costos asociados a la implementacion y estimacion de dichos modelos. Con respecto a este punto, los trabajos de Perignon y Smith (2007), Trolle y Schwartz (2009) y Creal y Wu (2015) pueden ser un buen punto de partida, lo cual se deja para futuras investigaciones.

INFORMACION DEL ARTICULO

Historia del articulo:

Recibido el 16 de junio de 2016

Aceptado el 17 de febrero de 2017

On-line el 3 de abril de 2017

Conflicto de intereses

Los autores declaran no tener ningun conflicto de intereses.

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(1) En Colombia, la Superintendencia Financiera regula y supervisa la exposicion al riesgo de tasas de interes de portafolios de renta fija utilizando la medida del VaR. Al respecto, la regulacion actual contempla dos alternativas para el calculo de esta medida: 1) metodologia estandar desarrollada por el ente regulador, y 2) modelos internos propuestos por cada entidad financiera.

(2) Como muestran Velasquez-Giraldo y Restrepo-Tobon (2016), la estimacion de los modelos multifactoriales dinamicos utilizando tasas cero cupon derivadas con la metodologia no parametrica de bootstrapping conlleva resultados similares.

(3) Una funcion F : [R.sup.N] [right arrow] [R.sup.M] se dice que es afin si F(X)=A + B * X para un vector A y una matriz B.

(4) El valor de [lambda] para el modelo DLse fija como el promedio de este parametro estimado para Colombia por la metodologiade NS. Siguiendo a Diebold et al. (2006), en el modelo de DRAeste parametro se hace igual al valor correspondiente al vencimiento que hace que el componente exponencial del factor de curvatura sea maximo.

(5) Las excepciones corresponden al numero de dias (periodo de tiempo) en los cuales las perdidas reales del portafolio exceden el VaR estimado.

(6) El nivel de confianza del backtesting no esta relacionado con el nivel de confianza usado para la estimacion del VaR.

Sara Isabel Alvarez-Franco (a), Diego Alexander Restrepo-Tobon (b,*) y Mateo Velasquez-Giraldo (c)

(a) Egresada Maestria en Finanzas, Escuela de Economia y Finanzas, Universidad EAFIT, Medellin, Colombia

(b) Profesor Asociado, Escuela de Economia y Finanzas, Universidad EAFIT, Medellin, Colombia

(c) Asistente de investigacion, Escuela de Economia y Finanzas, Universidad EAFIT, Medellin, Colombia

* Autor para correspondencia. Carrera 49 No. 7 Sur-50, Medellin, Colombia.

Correo electronico: drestr16@eafit.edu.co (D.A. Restrepo-Tobon).

http://dx.doi.org/ 10.1016/j.estger.2017.02.003

Caption: Figura 1. Metodologia para calcular el VaR del portafolio. Fuente: elaboracion propia.

Caption: Figura 2. Tasa de interes para los vencimientos correspondientes a 0,25, 0,5,1, 2,4, 5, 7, 8, 9 y 10 anos para el periodo de tiempo comprendido entre 2003 y 2013. Fuente: elaboracion propia.

Caption: Figura 3. VaR del portafolio (de enero de 2014 a julio de 2016). Fuente: elaboracion propia.
Tabla 1
Estadisticas descriptivas de las tasas de interes a diferentes plazos

Plazo (anos)          0,25     0,5      1        2        4

Media                  5,70     6,00     6,55     7,39     8,42
Desviacion estandar    2,09     2,14     2,26     2,46     2,66
Minimo                 1,44     2,02     2,91     3,67     4,08
1.er cuartil           4,06     4,17     4,54     5,14     6,16
Mediana                5,20     5,32     5,67     6,36     7,66
3.er cuartil           7,38     7,97     8,86     9,52    10,43
Maximo                11,44    11,66    12,88    14,40    16,13
Observaciones          3.186    3.186    3.186    3.186    3.186

Plazo (anos)          5        7        8        9        10

Media                  8,73     9,14     9,27     9,37     9,45
Desviacion estandar    2,71     2,74     2,75     2,75     2,76
Minimo                 4,27     4,54     4,65     4,75     4,84
1.er cuartil           6,48     6,90     7,05     7,17     7,27
Mediana                8,10     8,61     8,72     8,78     8,84
3.er cuartil          10,77    11,06    11,09    11,13    11,11
Maximo                16,35    16,68    16,84    17,01    17,18
Observaciones          3.186    3.186    3.186    3.186    3.186

Fuente: elaboracion propia con base en los parametros de NS estimados
por Infovalmer.

Tabla 2
MSE y RMSE para el periodo de la muestra estimado (2002-2013)

Vencimiento            MSE                    RMSE
(anos)

              DL      DRA     ATSM    DL      DRA     ATSM

0,25          0,006   0,010   --      0,080   0,120   --
0,5           --      0,001   0,007   0,020   --      0,260
1             0,007   0,010   0,140   0,080   0,110   0,370
2             0,003   0,020   0,050   0,060   0,130   0,230
4             0,002   0,004   0,001   0,050   0,030   --
5             0,004   0,003   0,002   0,060   --      0,050
7             0,002   0,002   0,003   0,040   0,010   0,070
8             --      0,002   0,002   0,010   --      0,050
9             0,001   0,001   0,001   0,020   0,050   0,030
10            0,003   0,003   0,003   0,060   0,050   --

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 3
Pruebas de backtesting

Modelo      Nivel de       Valor critico   [LR.sub.POF]   A/R
            confianza      [chi square]

DRA         99,0%          6,63            0,87           A
            97,5%          5,02            12,23          R
            95,0%          3,84            38,48          R
            90,0%          2,71            99,11          R

ATSM        99,0%          6,63            195            R
            97,5%          5,02            92             R
            95,0%          3,84            31             R
            90,0%          2,71            0,2            A

Modelo      Nivel de       [LR.sub.TUFF]   A/R   [LR.sub.ind]   A/R
            confianza

DRA         99,0%          1,65            A     5,88           A
            97,5%          0,40            A     5,88           R
            95,0%          0,00            A     5,88           R
            90,0%          0,67            A     5,88           R

ATSM        99,0%          6,5             R     17,3           R
            97,5%          4,7             A     17,3           R
            95,0%          3,3             A     17,3           R
            90,0%          2,0             A     17,3           R

Modelo      Nivel de       Valor critico   [LR.sub.mix]   A/R
            confianza      [chi square]

DRA         99,0%          9,21            1,68           A
            97,5%          7,38            3,09           A
            95,0%          5,99            10,67          R
            90,0%          4,61            30,95          R

ATSM        99,0%          59,89           186,4          R
            97,5%          55,67           118,8          R
            95,0%          52,19           83,4           R
            90,0%          48,36           78,8           R

Fuente: elaboracion propia.
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Author:Alvarez-Franco, Sara Isabel; Restrepo-Tobon, Diego Alexander; Velasquez-Giraldo, Mateo
Publication:Estudios Gerenciales
Date:Jan 1, 2017
Words:12413
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