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Mathematics for life: a proposal for the professionalization of mathematics instructors/Matematicas para la vida. una propuesta para la profesionalizacion docente de profesores de matematicas.

Introduccion

Una de las demandas para la ensenanza de las matematicas, en la actualidad, es que los conocimientos matematicos sean herramientas para abordar problemas y enfrentar situaciones de la vida (UNESCO, 2014; OECD, 2016). Sin embargo, se han evidenciado practicas de ensenanza en las que el enfasis esta en los conceptos y los saberes matematicos, sin necesariamente comprender su contexto de origen o su relacion y uso en otros contextos. Esto se ve reflejado, por ejemplo, en la ensenanza de la geometria que se ha centrado en el estudio de lo teorico, favoreciendo el estudio de la figuras geometricas y demostraciones, dejando el contexto de aplicacion como una "vestimenta" de la actividad matematica a desarrollar (Covian, 2013; Lave, 1988). Dichas practicas o enfoques didacticos son denominados por Chevallard (1992) como monumentalistas. Por lo que, uno de los cuestionamientos es como cambiar este enfoque hacia uno mas abierto e innovador, en el que se explicite la razon de ser de la ensenanza de las matematicas. Una de las rutas para generar este nuevo enfoque es a traves de los profesores, que como menciona Artigue (2011, p. 7) "[...] son el elemento clave de toda evolucion positiva y durable de los sistemas educativos. Constituyen hoy el reto principal de una educacion matematica para todos". Es decir, incidir en su desarrollo profesional es incidir en la formacion de calidad de los futuros ciudadanos.

En las ultimas dos decadas se han desarrollado diversos programas de profesionalizacion docente con el objetivo de actualizar y enriquecer los conocimientos didacticos de los profesores (Tirosh, 2009). Una parte, todavia minima, de estos programas son propuestos en la modalidad en linea y a distancia. Estos conforman comunidades de formacion y profesionalizacion, que permiten que los profesores generen discusiones y reflexiones profundas de su practica, a traves de la interaccion con colegas de diferentes realidades educativas y con expertos en la investigacion en didactica (Scott y Scott, 2010). Sin embargo, hay muchas cuestiones todavia abiertas sobre las necesidades de los profesores y las formas en que los programas de este tipo las atienden. Algunas de ellas, son ?Como acercar los multiples resultados de la investigacion en matematica educativa a los profesores? ?Como lograr que las herramientas teoricas y metodologicas se vuelvan utiles para los profesores y les permitan generar una ensenanza de las matematicas para la vida?

Considerando esta ultima pregunta, se ha disenado un curso para un programa de profesionalizacion docente en la modalidad en linea y a distancia del Centro de Investigacion en Ciencia Aplicada y Tecnologias Avanzada del Instituto Politecnico Nacional (CICATA-IPN), cuyo objetivo es proveer herramientas teoricas y metodologicas para que los profesores disenen actividades didac ticas para la vida. Se considero que para poder elaborar este tipo de disenos primero es necesario analizar la actividad matematica tanto en contextos escolares como no escolares -de la vida-. Es decir, para estar en posibilidad de generar nuevas relaciones entre estos contextos a traves de los conocimientos matematicos. Se eligio como marco teorico la Teoria Antropologica de lo Didactico (TAD), ya que esta posee un modelo para el analisis de la actividad en su dimension institucional (Chevallard, 1999).

Esta comunicacion consta de cinco secciones que se enuncian a continuacion. En la primera, se presenta una propuesta teorico-metodologica basada en elementos de la TAD, que permite el diseno de actividades para la vida. En la segunda, se muestra el diseno de una actividad para la vida que relaciona conocimientos geometricos y topograficos. En la tercera, se presenta el diseno del curso implementado en el programa de profesionalizacion docente. En la cuarta, se presenta el analisis de las producciones de los profesores al realizar la actividad topografica-geometrica y como esta vivencia incide de manera importante en los disenos didacticos que ellos generan en equipo, que se ilustran con dos ejemplos. Finalmente, en la seccion cinco, se reportan las conclusiones de este trabajo.

Propuesta teorico-metodologica basada en elementos de la TAD

Esta investigacion se enmarca en la Teoria Antropologica de lo Didactico (TAD) que tiene un modelo para el analisis la actividad (actividad matematica, actividad topografica) en su dimension institucional. Particularmente se consideran tres de sus elementos: institucion, praxeologia y modelo praxeologico extendido. Las instituciones, segun Castela y Romo (2011), son organizaciones sociales estables, que establecen normas y condiciones que restringen la actividad de los sujetos, pero al mismo tiempo la posibilitan, a traves de recursos que ponen a su disposicion. En esta investigacion el interes esta centrado en analizar conocimientos matematicos en contextos escolares Ce y contextos extra-escolares (de la vida) Cv, vistos como instituciones que tienen sus propias condiciones y recursos. Podriamos decir que, en Ce la funcion principal del conocimiento matematico es su difusion a traves de la ensenanza, mientras que en Cv, dependiendo el caso, la funcion principal es su uso para enfrentar o explicar situaciones. Para mostrar la utilidad de las matematicas y las posibles razones de su ensenanza, se considera necesario establecer relaciones genuinas entre conocimientos matematicos presentes en un determinado Ce con un determinado Cv. Para ello, es pertinente identificar y analizar estos conocimientos en cada uno de estos contextos. Y de manera mas general, analizar las actividades en las cuales dichos conocimientos estan involucrados, a traves de la praxeologia.

La praxeologia esta compuesta por dos bloques: tecnico-practico (T, [tau]) y tecnologico-teorico ([theta], [THETA]). Donde T es una tarea de cierto tipo, compuesta por una tarea t, que debe realizarse por una tecnica t justificada por una tecnologia d que permite producirla, validarla y justificarla a traves de una teoria 0. En resumen "toda actividad pone en obra una organizacion que puede escribirse [T/[tau]/[theta]/[THETA]] y que se llama praxeologia u organizacion praxeologica" (Chevallard, 1992, p. 3). Una praxeologia matematica escolar podria ser t: calcular la hipotenusa c de un triangulo rectangulo cuyos catetos miden 3 y 4 unidades. [tau]: [c.sup.2] = [(3).sup.2] + [(4).sup.2] = 25, c = 5. [theta]: teorema de Pitagoras y [THETA]: trigonometria.

La praxeologia tambien permite analizar actividades matematicas en Cv, sin embargo, la tecnologia no sera unicamente matematica sino tambien de uso. Por ejemplo, cuando en albanileria (Cv) se busca garantizar la escuadra o angulo recto en las esquinas de una habitacion (tarea), se colocan 3 clavos en un lado y 4 en el otro, equidistantes y se comprueba que al unir sus extremos hay 5 unidades. Aunque la tecnica se apoya en el teorema de Pitagoras, ciertos albaniles no lo conocen y validan la tecnica de forma practica, ya que "siempre" ha funcionado. Es decir, existen explicaciones, justificaciones y validaciones asociadas al uso de la tecnica matematica. Para analizarlas, se considera el modelo praxeologico extendido (Castela y Romo, 2011) esquematizado en la figura 1.

En este, la tecnologia tiene dos componentes uno teorico ([theta]th) y uno practico ([[theta].sup.P]). El componente practico tiene seis funciones tecnologicas: describir, validar, favorecer, explicar, evaluar y justificar el uso de la tecnica. Estas, permiten analizar y evidenciar el tipo de validaciones que se producen al utilizar una tecnica matematica para realizar una tarea (matematica o no) en un contexto no escolar. En este caso, P(S) es la disciplina matematica que produce y valida tecnologias matematicas (como el teorema de Pitagoras) e Iu es una institucion usuaria como la Albanileria o la Topografia. Con estos elementos teoricos es posible disenar actividades para la vida (praxeologias didacticas) en las que se relacionen matematicas escolares (praxeologias matematicas o Pm) con matematicas utilizadas en contextos extra-escolares (praxeologias contextuales Pc), ver figura 2.

Para ilustrarlo, a continuacion, se presenta el diseno de una actividad para la vida que relaciona praxeologias topograficas (Pc) con praxeologias geometricas (Pm).

Diseno de una actividad para la vida que relaciona praxeologias topograficas con praxeologias geometrica

En esta seccion se presenta el diseno de una actividad topografica-matematica, en torno al calculo de areas. Para su diseno se considero y adapto la metodologia propuesta en Macias (2012) que consta de cuatro fases: la eleccion de un contexto extra-escolar, que en este caso es el topografico; el analisis praxeologico para el calculo de areas en la topografia; el analisis praxeologico para el calculo de areas en la ensenanza de las matematicas y el diseno de una actividad para la vida que relaciona praxeologias topograficas con praxeologias matematicas. A continuacion, describimos las ultimas tres fases.

Analisis praxeologico para el calculo de areas en la topografia

Se considero el libro de difusion de la topografia de Perez de Moya (1573), se identificaron dos praxeologias para el calculo de areas de terrenos "planos" y "no-planos" (P1 y P2), donde las tecnicas y tecnologias involucran conocimientos geometricos.

P1. Tipo de tarea 1

Determinar el area de un terreno "plano" (que carece de protuberancias o sinuosidades). Tarea 1. Determinar el area del terreno presentado en la figura 3.

Tecnica 1. La tecnica se describe en Perez de Moya (1573) de la siguiente forma: (1)

Situar el punto A (Figura 3), traza una linea al punto B y coloca una senal. Desde el punto B al punto C levanta una recta que forme un angulo recto con AB y pon senales en cada uno. Luego, situate en el punto C y haz una linea al punto D y desde el punto D, una al punto A. De manera que, al final tengas un paralelogramo donde los lados menores tengan 8 y los lados mayores 12. Multiplica 8 por 12 y tendras el area de la figura ABCD. Luego, para obtener lo demas haz en ellas cuadrados o paralelogramos o triangulos, la figura que quieras y sigue sus reglas. Para medir la figura IHKL, que por un lado tiene 3 cantidades, por otro 4, por otro 6 y por KH no se sabe que cantidad. Pero, se puede encontrar el area. Suma 3 con 6 y sera 9 toma la mitad (que es 4 y medio) y multiplicala por 4 y tendras 18. Juntala con el area de la figura ABCD y de este modo iras midiendo las demas (Perez de Moya 1573, p.85).

Tecnologia [theta]th. Propiedades de las figuras conocidas (triangulos, cuadrilateros y circunferencias) y sus formulas para el calculo de area, como se explicita "siguiendo la regla de la figura con la que la relacionaras" (Perez de Moya, 1573, p.85).

Tecnologia [[theta].sup.p]. Conocimiento del instrumento de medicion usado, cinta o vara. La forma del terreno, irregular y "plano", motiva el uso de esta tecnica (cercana al Metodo de Exhaucion). La precision en la medicion y en el calculo de areas parece motivar las tecnicas geometricas, asi como la eleccion del instrumento.

Esto se hace mas evidente en la siguiente praxeologia de un terreno "no plano" porque tiene lagos o espacios de agua.

P2. Tipo de tarea 2

Determinar el area de un terreno "no plano" (con protuberancias o sinuosidades). Tarea 2. Determinar el area del terreno irregular con un lago en el centro, presentado en la figura 4.

Tecnica 2. Se describe primero una tecnica general. "Se hara un paralelogramo o cuadrado circunscrito a tal terreno. Despues de medido este cuadrado o paralelogramo se restara lo que vieres con lo que mide." (Perez de Moya, 1573, p. 186). Para facilitar la explicacion de la tecnica se da un ejemplo:

Como si fuese un pedazo de tierra que contenga una laguna de agua, de tal manera que se denota la figura abcd (Figura 4), haz un paralelogramo colocando tu instrumento a la redonda de manera que quede dcbi (Figura 5). Supongamos que este paralelogramo que circunscribe o abarca la tierra tiene por un lado 50 tamanos (sean varas o palos o lo que quieras) y por el otro 30. Midela con tu regla y sera 1500 y tantos tamanos o cantidades cuadradas. Mide despues por la regla del triangulo la cantidad que hay entre la linea bc y el final de la tierra akc y lo que vieras entre kah y entre ihgf y entre edc. Lo que obtuvieras de restar con el paralelogramo y lo que queda, sera el area de dicha tierra y de este modo se medira cualquier otra forma. (Perez de Moya, 1573, p. 186)

Tecnologia [theta]th. Propiedades de los paralelogramos, angulos interiores rectos y lados opuestos iguales. La formula para calcular el area de triangulos.

Tecnologia [[theta].sup.p]. La tecnologia practica que motiva el uso de la tecnica es la forma y tipo del terreno, irregular y que tiene lagos o espacios de agua; asi como el uso que se de a este. Eleccion de puntos estrategicos para medir sin interferencia del lago.

La longitud y unidad de medida depende del lugar donde se efectue la medicion, como se ilustra en la siguiente cita: "Y por que para medir de un modo u otro he puesto regla, no me detengo en ello, ni quiero decir otra cosa, sino que en uno y otro el Geometra guarde la unidad del pueblo donde trabaje." (Perez de Moya, 1573, p. 186).

En estas dos praxeologias aparecen dos tipos de tareas no matematicas, medir y calcular el area de terrenos planos y de terrenos con lagos o rios en su interior. Las tecnicas son matematicas y topograficas (como el tipo de instrumento para hacer la medicion). La unidad de medida aparece como un elemento clave, ya que en la epoca no existia una comun a los diferentes pueblos. A pesar de que estos elementos, parecen no tener vigencia hoy en dia, se considera que la busqueda de precision puede ser clave en un diseno didactico y que los softwares de geometria (como Geogebra) pueden simular condiciones de terrenos para motivar tecnicas geometricas sofisticadas.

Analisis praxeologico para el calculo de areas en la ensenanza las matematicas

Se analizaron praxeologias matematicas en libros de educacion media superior (Fuenlabrada, 2007; Velasco, 2010; Zamora, Vazquez y Sanchez, 2007; Zuniga, Zuniga, y Zuniga, 2012). En la mayoria se identificaron tareas para el calculo de areas de figuras "conocidas" (triangulos, cuadrilateros o circunferencias) y poligonos irregulares compuestos por estas figuras. Las tecnicas predominantes favorecen el calculo a traves de la aplicacion de formulas y la validacion estaba relacionada con el uso adecuado de dichas formulas. Sin embargo en Zamora, et al. (2007) se identifico la praxeologia para el calculo de area de la Ciudad de Mexico. Tarea no matematica justificada con tecnicas matematicas pero con validaciones (tecnologia) de naturaleza topografica.

P3. Tipo de Tarea 3.

Calcular el area de terrenos irregulares. Tarea 3. Calcular el area de la Ciudad de Mexico, dado su mapa (Figura 6).

Tecnica 3. En Zamora, et al. (2007), se presenta una tecnica en tres partes, a, b y c, como se muestra a continuacion:

a. Datos: el mapa puede inscribirse en una figura geometrica.

b. Analisis: en primera instancia, intentaremos acotar el contorno de la figura geometrica que nos permita calcular el area correspondiente. Observemos que de las tres figuras (Figura 7) el heptagono irregular es el que se aproxima con menos error al area del mapa de la ciudad. Si triangulamos el poligono, sabemos que por ser heptagono debe contener (n - 2) triangulos, es decir: 7 - 2 = 5 triangulos. Podemos afirmar que la suma de las areas de los cinco triangulos es aproximadamente igual al area de la Ciudad de Mexico. Area del Heptagono = [T.sub.1] + [T.sub.2] + [T.sub.3] + [T.sub.4] + [T.sub.5] = Area del mapa de la Ciudad de Mexico.

c. Sintesis interpretativa: observa que los triangulos son diferentes, por tanto, el resultado implica obtener el area respectiva de cada uno de ellos. (Zamora et al. 2007, p. 104).

Esta tecnica puede reconocerse como matematica y topografica, ya que se circunscribe a la figura, poligonos que permitan "encerrarla" de la mejor manera, como se propone en P2. Esto permite en un segundo momento triangular y calcular el area.

Tecnologia [theta]th. Calculo de area de figuras irregulares a partir de una descomposicion en figuras regulares conocidas y sus formulas.

Tecnologia [[theta].sup.p]. Lo que motiva la tecnica realizada es la aproximacion de una figura lo mas parecida al contorno de la figura de la Ciudad de Mexico.

Esta praxeologia se conforma de una tarea no matematica, elaborada a traves de una tecnica matematica cuya validacion es matematica. Sin embargo, aunque no se presenta en la explicacion del libro, la justificacion practica esta basada en el grado de aproximacion, elemento determinante en P1 y P2. Una vez identificados estos elementos (la unidad de medida, la asignacion de medidas arbitrarias, el instrumento de medicion y la busqueda de proximidad) se procede a disenar una actividad didactica.

Diseno de una actividad para la vida que involucra tareas geometricas y topograficas.

La actividad propuesta tiene seis tareas, geometricas y topograficas-geometricas, propuestas en un orden que permita a los profesores reconocer la riqueza de la actividad matematica de las tareas topograficas-geometricas. Asi, las primeras tareas provienen de la ensenanza de la geometria, tienen formas conocidas, valores y unidades de medida asignadas.

Las tareas 4, 5 y 6 son tareas topograficas basadas en P1, P2 y P3. En cada tarea se representa un terreno particular y para cada uno de pide calcular el area.

Como se observa, los dibujos presentados para las tareas 4 y 5 (figura 9) se basan en los terrenos representados en P1 y P2. Pero, se omiten los "datos", como puntos de referencia (letras), unidades de medida y dimensiones. El dibujo de la tarea 6 se toma tal cual de P3.

En las tareas 1, 2 y 3 se solicitan tecnicas matematicas con validaciones (tecnologias) geometricas: conocimiento de las propiedades de las figuras y uso adecuado de las formulas. Mientras que las tareas 4, 5 y 6 poseen datos que caracterizan el terreno (planos, no planos, irregulares o forma de una ciudad conocida) mas que una figura geometrica, lo que solicita el uso de tecnicas sofisticadas y creativas que involucren elementos geometricos. La validacion esta asociada al grado de aproximacion que se busque, entre mayor sea, la tecnica mas sofisticada sera. Las potencialidades de estas ultimas tres tareas, como se puede ver, estan asociadas a una actividad matematica mucho mas rica cercana a la matematica para la vida, pues para su realizacion requiere tanto de conocimientos geometricos, como de creatividad y de reflexion; de un trabajo autonomo y de capacidad para adaptar conocimientos conocidos a tareas nuevas, asi como generar validaciones mas alla de las matematicas (precision asociada al instrumento y a la unidad de medida). Se considera que, para acercar estas tareas y sus potencialidades a los profesores de matematicas, es necesario que estos las realicen y a partir de esta experiencia y de sus conocimientos profesionales puedan, en un segundo momento adaptarlas o implementarlas con sus estudiantes. Para ilustrarlo, se muestra a continuacion un curso de profesionalizacion docente, donde la primera actividad es esta del calculo de areas que involucra geometria y topografia.

Un curso de profesionalizacion docente para el diseno de actividades que relacionan Pc con Pm

Se diseno un curso para el primer semestre (de la generacion 2014-2016) de la maestria en Matematica Educativa del CICATA-IPN, la cual, esta dirigida a profesores de matematicas en servicio, en la modalidad en linea y a distancia. Los profesores participantes, de primaria hasta profesional, fueron 13 en total (9 mexicanos, 2 uruguayos y 1 paraguayo). El objetivo principal, en el curso, era proporcionar herramientas (presentadas en la seccion 2 de esta comunicacion) para el diseno de actividades didacticas para la vida que involucran relaciones entre Pc y Pm. El curso tuvo cuatro actividades, una por semana, que se detallan a continuacion:

Realizacion de actividades matematicas para la vida (Actividad 1). Se solicito a los profesores realizar las tareas de la actividad de calculo de areas que involucra praxeologias geometricas con praxeologias topograficas-geometricas (figuras 8 y 9).

Develacion de los elementos teorico-metodologicos que sustentan la actividad para la vida (Actividad 2). Se les devela, a los profesores, los elementos teoricos y metodologicos que sirvieron para disenar la actividad realizada. Para ello, se solicito la lectura y analisis del articulo (Covian y Romo, 2014), en el cual, se presenta un analisis praxeologico de la construccion de la vivienda maya y del levantamiento y trazo topografico en la cultura egipcia. En ambos contextos se utilizan conocimientos matematicos, como son la medida de la inclinacion, la proporcionalidad, el teorema de Pitagoras y la construccion de figuras geometricas. Para guiar su analisis se propusieron preguntas del tipo: ?que conocimientos matematicos aparecen en el analisis de construccion de la vivienda maya?, ?estos conocimientos son objeto de ensenanza?, ?en que nivel?, ?consideras que podria proponerse una actividad didactica basada en el analisis de la construccion de la vivienda maya?, ?tendria sentido?

Diseno de una actividad para la vida (Actividad 3). Se solicito a los profesores trabajar en equipo y disenar una actividad didactica. Esta actividad debia contener dos o mas tareas que involucraran al menos un uso de cierto tema matematico. Es decir, hacer aparecer una utilidad actual de las matematicas, y en cierta medida, real para los estudiantes. Para presentar su diseno, los profesores debian considerar al menos seis aspectos: tema matematico, utilidad de la ensenanza de este tema, nivel educativo, objetivos de la actividad, material necesario y la actividad didactica.

Implementacion de la actividad para la vida disenada (Actividad 4). Se solicito implementar la actividad disenada (Actividad 3), a un grupo de estudiantes (pequeno grupo de voluntarios o bien a su clase). Esto para que ellos tuvieran una validacion experimental de la actividad disenada.

Estas cuatro actividades en su conjunto debian permitir a los profesores disenar una actividad que involucrara un contexto de la vida (extra-escolar) y experimentarla con estudiantes. Este tipo de disenos estan asociados a la complejidad de comprender la logica del contexto considerado y la forma en que los conocimientos matematicos se relacionan con otro tipo de conocimientos (practicos, contextuales). Debido a esta gran complejidad, se considera que la Actividad 1 del curso resulta crucial para "convencer" a los profesores de que el diseno de actividades para la vida es sumamente importante y necesario para formar ciudadanos capaces de utilizar eficazmente las matematicas en su vida. Para ilustrar este rol crucial de la Actividad 1, se presenta a detalle su analisis en la siguiente seccion.

Analisis de las praxeologias topograficas-geometricas realizadas por profesores de matematicas en el curso

Los profesores generaron una gran diversidad de tecnicas para las tareas 4, 5 y 6 de la Actividad 1 del curso: trazo de figuras conocidas, cuadriculacion de figuras, tecnica mixta (fusion de las dos anteriores), trazo de un poligono sobre la figura utilizando un software y tecnicas topograficas. La busqueda de una "buena" aproximacion fue un factor determinante para justificar, controlar y validar las tecnicas. Para mostrar la riqueza de las tecnicas y el rol de la precision, se presenta a continuacion el analisis del trabajo de 10 de los profesores, debido a que fueron los que presentaron con mas detalle sus resoluciones y justificaciones.

Trazo de figuras conocidas

Para calcular el area del terreno plano (tarea 4), algunos profesores optaron por tecnicas similares a las presentadas en P1. Insertaron figuras (triangulos o rectangulos) que abarcaran la mayor area posible. Seguido, insertaron figuras como triangulos y trapecios que tambien abarcaran el maximo de area restante y asi sucesivamente. Luego calcularon el area de cada figura y las sumaron para obtener el total (figuras 10 y 11).

Ambos profesores buscaban una "buena" aproximacion, como se ilustra en las descripciones que hacen sobres sus tecnicas. Karla senala: "El resultado seria una aproximacion. Si quisiera una buena aproximacion entonces lo que haria es trazar una mayor cantidad de poligonos para tratar de cubrir mejor el area en cuestion". Santiago demas explicita la escala como elemento que facilita la precision: "El area de la figura es aproximadamente 18.62 [cm.sup.2]. El area aproximada de la porcion de terreno dependera de la escala empleada para realizar dicha figura". Sin embargo, estos profesores usan nuevamente sus tecnicas (1 y 2) en tareas donde ya no son optimas. Karla privilegia el uso de rectangulos (ver figuras 12 y 13), lo que impide una buena aproximacion, particularmente en el calculo del area de la Ciudad de Mexico. No investiga esta area, ya conocida 1.485 [km.sup.2], lo que le impide buscar otra tecnica, que resulte mas precisa.

Santiago al trazar nuevamente triangulos, obvia el lago (ver figura 14) y no busca una tecnica mas sofisticada, que le asegure mayor precision en el calculo de area (ver figura 15).

Entre mayor sea la aproximacion buscada, se dibujaria un mayor numero de poligonos conocidos, los mas adecuados a la forma del terreno. Es decir, la precision es una tecnologia que regula y controla tecnica, lo que se confirmara en las otras tecnicas como se muestra a continuacion.

Cuadriculacion de figuras

Esta tecnica consiste en sobreponer una cuadricula o "rejilla" sobre la figura considerada, contar los cuadritos y determinar el area. La colocacion de la "rejilla" se hace manualmente (a lapiz y papel) o con programas computacionales, como GeoGebra, Paint o Word.

La cuadriculacion manual la utilizan solo dos profesores Alfonso y Horacio. Alfonso establece como unidad de medida 1 [cm.sup.2] y determina un area de 21 [cm.sup.2] para el terreno plano y un area total de 24 [cm.sup.2] para el terreno con lago, donde 15 [cm.sup.2] corresponden a la tierra firme (ver figuras 16 y 17). Horacio utiliza esta misma tecnica para el calculo del area de la Ciudad de Mexico, el papel milimetrico es un medio que le permite obtener diferentes unidades de medida y por tanto determinar una mayor o menor aproximacion (ver figura 18):

[...] haciendo alarde de buena vista y concentracion se procede a contar los "cuadritos" realizando ajustes en el caso de los bordes. Es decir, contar 2 por 1 o incluso 3 por 1, dependiendo del porcentaje ocupado. Cabe mencionar que, al realizarlo con otras personas, alumnos voluntarios, se obtuvo una medida de 593 a 600 unidades cuadradas o 593 a 6.00 [cm.sup.2]. (Extracto de reporte de Horacio, p. 3).

Para tener una mayor precision, tres profesores usaron esta misma tecnica, pero apoyandose en el uso de un software que permite ajustar la unidad de medida de area (cada cuadro).

En el caso de Maria (figura 19), aunque no hizo el calculo, la busqueda de precision esta presente en su justificacion, al mencionar que se pueden hacer aproximaciones al area por exceso (asignando cuadros grandes) o por defecto (dividiendo los cuadros grandes en cuadros cada vez mas pequenos). En contraste Cesar y Juan Pablo si hacen los calculos y determinan que el area del terreno plano es de 130 [u.sup.2] y 2008.51 [mm.sup.2], respectivamente (ver figuras 20 y 21). Cesar considera la forma del terreno y en los bordes de la figura decide contar los cuadros como la mitad de la unidad considerada, mientras que Juan Pablo disminuye el tamano de la unidad cuadrada de area para alcanzar una mayor precision.

Esta misma tecnica las adaptan Cesar y Juan Pablo para obtener el area de la Ciudad de Mexico (Figuras 22 y 23) con 1 [mm.sup.2] de unidad.

En particular, se observo que el trabajar con una imagen "conocida" los llevo a cuestionar la precision de su tecnica. Cesar menciona

[...] del conteo resultan 297 unidades de 4 [km.sup.2], esto es, un total de 297 x 4 = 1 188 [km.sup.2]. Al final, el metodo tuvo sus deficiencias, puesto que el area de la Ciudad de Mexico, segun diversas fuentes, fluctua entre 1 485 y 1 499 [km.sup.2]. (Extracto de reporte de Cesar, p. 5)

Juan Pablo justifica el valor obtenido, considerando que no se calcula el area de los relieves presentes en la ciudad, lo cual es una justificacion que tiene sentido al considerar el contexto "real" de la tarea:

Area calculada igual a 451 584 [km.sup.2]. Donde se da la escala de 1 [mm.sup.2]: 1 [km.sup.2]. Se hace notar aqui que esto no corresponde a la superficie de la Ciudad de Mexico, pues faltan los relieves del terreno. Lo que se calculo de manera aproximada fue entonces la superficie plana de la Ciudad de Mexico. (Extracto de reporte de Juan Pablo, p. 4)

Se nota como el tipo de terreno juega un rol fundamental en la eleccion y refinamiento de la tecnica, pero tambien el contexto "real", particularmente de la Ciudad de Mexico, permite contrastar el valor obtenido con el valor real de area. Efectuar el calculo de area deja de ser una tecnica unicamente geometrica y por tanto que tiene justificarse de acuerdo al contexto, como es el considerar montanas, cerros y relieves que tambien tienen una superficie.

Tecnica Mixta

La tecnica que se ha denominado Mixta es una "fusion" entre las dos tecnicas analizadas previamente. Primero se cuadricula la figura, luego se insertan figuras geometricas conocidas (triangulos y rectangulos principalmente), se cuentan los cuadros en cada figura geometrica y se suman. Dos profesores usan software, mientras que Horacio vuelve a utilizar el papel milimetrico (ver figuras 24, 25 y 26).

Carmen hace el calculo de area "por compensacion", y describe la tecnica asi:

Considero que la zona del terreno que no quedo coloreada compensa aproximadamente los sobrantes que tengo en el poligono rojo y en el poligono celeste. Por lo que el area del terreno es aproximadamente la suma de las areas de los poligonos rojo, violeta y celeste. La cuadricula tiene relacion 1:1.

El area de cada cuadradito es de 1 unidad cuadrado. Poligono rojo medio: 46 unidades cuadrado. Poligono rojo: 12 unidades cuadrado. Poligono rojo claro: 4 unidades cuadrado. El area del terreno es aproximadamente 62 unidades cuadro (Extracto del reporte de Carmen, p. 5)

Se resalta que no utiliza "unidades cuadradas" sino unidades cuadrado, que muestran claramente lo que representa el area calculada (62 unidades cuadrado). Por su parte, Horacio presento un procedimiento que busca mayor precision: establecio una unidad de medida (1 [cm.sup.2]) e inserto cuatro rectangulos, siete triangulos y una seccion de circulo en la figura procesada (ver figura 26). Maria traza triangulos sobre tierra firme y cuenta los cuadros (ver figura 25). Esta tecnica fue tambien utilizada para calcular el area de la Ciudad de Mexico, asumiendo que esta tarea es del mismo tipo que la anterior: calcular el area de un terreno plano, pero con un contorno mas irregular. Lamentablemente, para ellos el contexto "real" es obviado (ver figuras 27, 28 y 29).

Trazo de un poligono sobre la figura con el apoyo de un software

Esta tecnica consiste en trazar un poligono sobre la figura la figura de terreno plano y del terreno con un lago, apoyandose en la ayuda de un software (GeoGebra o Free Map Tool) que tiene herramientas para el calculo de areas. Una cuestion que aparecio fue la preservacion de la escala al escanear y procesar la imagen. Los profesores buscaron que el calculo obtenido mediante el software fuera realmente el de las figuras "originales". Esta tecnica fue presentada por los profesores Gilberto, Alfonso y Julio Cesar. A continuacion, se ilustran las dos primeras (ver figuras 30 y 31).

Dado que el software permite el trazo de poligonos con gran cantidad de lados, entonces "un poligono con mayor numero de lados" asegura "mayor precision en el calculo del area". Esto se ilustra particularmente bien en las tecnicas presentadas por Alfonso y Julio Cesar para el calculo del area de la Ciudad de Mexico. Alfonso utilizo GeoGebra y obtuvo el valor del area. Julio Cesar investigo en la red y ubico el software Free Tool Maps, en este es posible pedir la representacion del mapa de cualquier ciudad, por lo que el solicito el de la Ciudad de Mexico, luego inserto un poligono y obtuvo el valor del area con un error de 61 077 [km.sup.2] con respecto al valor "real". Aunque el explicita en su reporte que, si dibujaba poligonos con mayor numero de lados, obtendria una mejor aproximacion, no lo hizo. Un trabajo sobre este software permitio corroborar que efectivamente es posible hacer calculos con mayores aproximaciones.

Tecnicas topograficas

Las dos tecnicas presentadas a continuacion, calculo de areas por medio de coordenadas rectangulares y el calculo de areas por medio de la inscripcion de circulos, son topograficas, puesto que son usadas en Topografia para determinar el area de terrenos delimitados por poligonos o poligonales "muy irregulares".

Calculo de areas por medio de coordenadas rectangulares

Esta tecnica, como su nombre lo indica, consiste en asignar coordenadas a cada uno de los vertices que componen el poligono o la poligonal que representa el terreno. Una vez que se tienen las coordenadas de cada vertice se procede a efectuar el calculo del area por medio de determinantes, conocida como Gauss Jordan. Generalmente se asignan las coordenadas con datos del terreno (como la altura o distancia a cierto punto de referencia), sin embargo, los profesores asignan las coordenadas de manera "arbitraria". Cesar y Horacio usan esta tecnica para calcular el area del terreno que contiene un lago. Horacio asigno coordenadas generales (ver figura 34) y Cesar proceso la imagen y la ubico en un plano cartesiano para poder determinar los valores de las coordenadas y hacer los calculos (ver figura 35).

En el planteamiento de Horacio, [A.sub.T] es el area total de la figura 34, [A.sub.L] es el area del lago y [A.sub.F] el area final que se quiere calcular, es decir, el area de tierra firme.

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Cesar al hacer los calculos obtiene 40.16 [u.sup.2], que al analizarlos tienen una aproximacion bastante buena.

Calculo de areas por medio de la construccion de circulos

Esta tecnica consiste en ubicar un punto lo mas cercano al centro del terreno considerado, luego trazar un radio cada 10 grados, a puntos del terreno (36 radios, de diferentes circunferencias), sumar los radios y promediarlos, el resultado es el radio de la circunferencia que se supone representa el area del terreno. Finalmente, se calcula el area de dicha circunferencia. Esta tecnica esta disenada para el calculo de areas de terrenos "muy irregulares" y no muy extensos (ya que discrimina la curvatura de la tierra).

Maria usa esta tecnica para calcular el area del terreno plano, traza radios a puntos "arbitrarios" y se guia por los vertices que representa la figura, adaptandola "no muy fortuitamente" (ver figura 36). Horacio la usa para calcular el area de la Ciudad de

Mexico, tal como se describio mas arriba y como usa en Topografia, trazando los 36 radios, promediando y calculando el area de la circunferencia (ver figura 37).

Es importante senalar que en el curso se analizo con los profesores, las tecnicas que ellos presentaron para realizar estas tareas (las adecuadas, las optimas, las "incorrectas"), lo que mostro que considerar la realidad es complejo, pero lleva a una actividad matematica significativa, lo que tuvo un impacto en el diseno de las actividades para sus estudiantes.

Principales resultados del analisis de las tecnicas de los profesores a las tareas geometrico-topograficas

El analisis previo permitio identificar que los elementos contextuales, tipo de terreno (plano, con lago, con relieves) y la forma (irregularidad) determinan la tecnica mas eficaz para el calculo de areas. Por ejemplo, en el calculo de area de la Ciudad de Mexico, algunos profesores calculan el area de un terreno plano, que no tiene relieves. Para ellos, da lo mismo que se diga que representa la Ciudad de Mexico, mostrando valores numericos completamente irreales. Por el contrario, los profesores que toman en cuenta "la realidad" del contexto, investigan tecnicas utilizadas para este tipo de tareas en la Topografia (vida real) como es la de radiaciones o la de los determinantes. Asimismo, investigan la existencia de software utilizados para ello y los utilizan. Es decir, el tipo de tarea los lleva a producir tecnicas que involucran conocimientos geometricos, ciertamente, pero tambien topograficos, informaticos y tecnologicos. Esta tarea resulta ser la mas importante ya que muestra una actividad matematica rica en la que la precision juega un rol determinante para controlar la validez de la tecnica. En las otras dos tareas aparece otro elemento de realidad, la representacion de un lago y un contorno irregular, que lleva a varios de los profesores a generar tecnicas que permitan el calculo del area, cuadriculaciones finas, compensaciones, trazo de figuras geometricas, eleccion de la escala y de la unidad de medida. Esto muestra como la geometria de la precision tiene una razon de ser importantisima, pero no por si misma, sino porque permite resolver tareas reales. Obviar el lago, usar la misma tecnica en tipos de tareas diferentes puede ser un efecto del paradigma tradicional en la ensenanza, "una vez que identifiques una tecnica optima la usas si las tareas se parecen un poco: calculo de areas". Para mostrar como la realizacion de estas tareas les permitio a los profesores identificar las potencialidades, pero tambien la complejidad de proponer tareas en contextos reales, se presentan los disenos de los equipos 1 y 2.

El equipo 1 elaboro un diseno para el tratamiento de la funcion exponencial en el bachillerato. Este se presenta en las figuras 38 y 39.

Como se observa, este equipo de profesores contextualizo la funcion exponencial en la medicina, particularmente en el tratamiento del cancer. Para ello, buscan acercar a los estudiantes a este contexto a traves del trailer de una pelicula y de una lectura (tareas 1 y 2). En las tareas 3 y 4 se presenta la exponencial como un modelo matematico de tiempo de vida del Radon 222 y el crecimiento de celulas cancerigenas. Se observa que estos modelos solo representan una parte de los comportamientos del Radon 222 y del crecimiento de celulas cancerigenas y que un analisis mas fino es necesario para asegurar el uso real de los modelos en medicina. Sin embargo, estos profesores comienzan a buscar tareas en contextos extra-escolares (de la vida) para dar sentido a la ensenanza del modelo exponencial.

Por su parte, el equipo 2, planteo un diseno basado en el contexto de corte y confeccion, como se observa en la figura 40. La actividad esta planteada para estudiantes de nivel secundaria y bachillerato. Los conocimientos que se pretenden movilizar son los de proporcionalidad. Sin embargo, la tecnica optima no se apoya en la proporcionalidad ya que no se trata de hacer un dibujo a escala, sino de trazar un dibujo en el que la longitud varia, pero no proporcionalmente. La tarea propuesta, sin embargo, permitira generar tecnicas matematicas y no-matematicas (por ejemplo, como determinar la sisa y el cuello si se modifica la longitud del chaleco) validadas por conocimientos contextuales (de corte y confeccion).

En estos disenos puede percibirse una primera apropiacion de la metodologia expuesta en la seccion 3, eligen un contexto, lo analizan y buscan una relacion de las matematicas de este con las escolares. Es decir, estos dos equipos identificaron tareas no matematicas (en contextos de medicina y corte y confeccion) que permiten movilizar tecnicas, validaciones y justificaciones matematicas y contextuales. Se considera que en estos disenos subyace la idea de que conocer la utilidad de las matematicas requiere seguir una ruta metodologica compleja, pero insoslayable para la formacion de ciudadanos competentes matematicos.

Conclusiones

El curso presentado permitio mostrar un camino para comunicar, una propuesta teorica-metodologica para el diseno de actividades didacticas, en un programa de profesionalizacion docente. Un elemento clave del curso fue proponer la actividad didactica topografica-geometrica a los profesores, para que al enfrentarla pudieran experimentar la potencialidad de las tareas, determinar el area de terrenos planos, determinar el area de terrenos con un lago y determinar el area de la Ciudad de Mexico, ya que estas provocan la generacion de una diversidad de tecnicas geometricas normadas por la precision. Estas tecnicas: cuadriculacion, trazo de figuras conocidas, radiacion, determinantes, trazo de poligonos de numerosos lados y calculo de su area usando software, requieren tomar en cuenta el tipo de terreno, la unidad de medida, la escala, las propiedades de figuras geometricas conocidas, las propiedades de poligonos irregulares, los medios a disposicion (papel milimetrico, software) y el grado de aproximacion al "valor buscado".

Ademas de realizar la actividad didactica topografica-geometrica y analizar los elementos antes mencionados, los profesores acceden a los elementos teoricos que subyacen al diseno, generan un nuevo diseno y lo implementa con estudiantes. Todo esto los lleva a cuestionar el paradigma tradicional, centrado en conceptos, definiciones y mecanizacion de tecnicas, y a considerar que una manera de modificarlo es utilizar las herramientas teoricas-metodologicas puestas a su disposicion, para generar una ensenanza mas rica cuya razon de ser este asociada al uso de las matematicas en situaciones reales.

Recibido: 28/11/2015

Aceptado: 11/05/2016

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Olda Covian Chavez

Avenilde Romo-Vazquez

Centro de Investigacion en Ciencia Aplicada y Tecnologia Avanzada del IPN

Caption: Figura 1. Modelo praxeologico extendido (Castela y Romo-Vazquez, 2011)

Caption: Figura 2. Elementos para el diseno de actividades para la vida

Caption: Figura 3. Terreno "plano" con forma irregular (Perez de Moya, 1573, p. 185)

Caption: Figura 4. Terreno "no plano" con forma irregular (Perez de Moya, 1573, p. 186)

Caption: Figura 5. Tecnica para medir el area de un terreno "no plano" con forma irregular (Perez de Moya, 1573, p. 186)

Caption: Figura 6. Mapa de la Ciudad de Mexico (Zamora et al., 2007, p.103)

Caption: Figura 7. Seleccion de la figura geometrica que se aproxima al area del mapa de la Ciudad de Mexico (Zamora et al., 2007, p. 104)

Caption: Figura 8. Dibujos de las tareas 1, 2 y 3 de la Actividad 1

Caption: Figura 9. Dibujos de las tareas 4, 5 y 6 de la Actividad 1

Caption: Figura 10. Tecnica de trazo de figuras conocidas en terreno plano por Karla

Caption: Figura 11. Tecnica de trazo en figuras conocidas en terreno plano por Santiago

Caption: Figura 12. Tecnica de trazo de figuras conocidas en terreno con lago por Karla

Caption: Figura 13. Tecnica de trazo de figuras conocidas para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Karla

Caption: Figura 14. Tecnica de trazo de figuras conocidas en terreno con lago por Santiago

Caption: Figura 15. Tecnica de trazo de figuras conocidas para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Santiago

Caption: Figura 16. Tecnica de cuadriculacion para terreno plano por Alfonso

Caption: Figura 17. Tecnica de cuadriculacion para terreno con lago por Alfonso

Caption: Figura 18. Tecnica de cuadriculacion para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Horacio

Caption: Figura 19. Tecnica de cuadriculacion para terreno plano por Maria

Caption: Figura 20. Tecnica de cuadriculacion para terreno plano por Cesar

Caption: Figura 21. Tecnica de cuadriculacion para terreno plano por Juan Pablo

Caption: Figura 22. Tecnica de cuadriculacion para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Cesar

Caption: Figura 23. Tecnica de cuadriculacion para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Juan Pablo

Caption: Figura 24. Tecnica mixta en terreno plano por Carmen

Caption: Figura 25. Tecnica mixta en terreno con lago por Maria

Caption: Figura 26. Tecnica mixta en terreno plano por Horacio

Caption: Figura 27. Tecnica mixta para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Carmen

Caption: Figura 28. Tecnica mixta para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Julio Cesar

Caption: Figura 29. Tecnica mixta para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Maria

Caption: Figura 30. Tecnica de trazo de un poligono en terreno plano por Gilberto

Caption: Figura 31. Tecnica de trazo de un poligono en terreno con lago por Alfonso

Caption: Figura 32. n poligono para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Alfonso

Caption: Figura 33. de un poligono para calcular el area de la Ciudad de Mexico por Julio Cesar

Caption: Figura 34. Tecnica de calculo de coordenadas para el terreno con lago por Horacio

Caption: Figura 35. Tecnica de calculo de coordenadas para el terreno con lago por Cesar

Caption: Figura 36. Tecnica de trazo de radios para terreno plano por Maria

Caption: Figura 37. Tecnica de trazo de radios en la figura de la Ciudad de Mexico por Horacio

Caption: Figura 38. Tareas 1, 2 y 3 del diseno del equipo 1

Caption: Figura 39. Tarea 4 del diseno del equipo 1

Caption: Figura 40. Tareas 1 y 2 del diseno del equipo 2

(1) La traduccion del catalan antigual al castellano ha estado a cargo de las autoras.
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Title Annotation:ALEPH
Author:Chavez, Olda Covian; Romo-Vazquez, Avenilde
Publication:Innovacion Educativa
Article Type:Ensayo
Date:Jan 1, 2017
Words:7800
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