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MIRRORING AND PORTRAYING IN FREGEAN SEMANTICS/EL ESPEJAR Y EL RETRATAR EN LA SEMANTICA DE FREGE.

Abstract: Gottlob Frege held that concept-words refer only to concepts not to objects, and that singular terms refer only to objects not to concepts. These claims give rise to the concept paradox according to which 'The concept F' does not refer to a concept at all. Mark Textor asserts that his mirroring principle (MP) explains the source of this problem. However, I argue that Textor's paper falls short in explaining all the consequences that follow Frege's claims, and that my semantic ontological assumption (SSO) can be seen as a consequence of Textor's mirroring principle.

KEYWORDS: CONCEPT; FUNCTION; IDENTITY; SATURATED; INSATURATED.

Reception: 3/02/15

Acceptance: 30/04/15

Resumen: Gottlob Frege sostuvo que las palabras-concepto solo se refieren a conceptos no a objetos y que los terminos singulares se refieren solo a objetos no a conceptos. Estas tesis dan lugar a la paradoja del concepto, de acuerdo con la cual 'el concepto F' no se refiere a ningun concepto. Mark Textor sostiene que su principio del espejar (MP) explica el origen del problema. Sin embargo, argumento que su articulo no explica todas las consecuencias de las tesis de Frege y mi supuesto semantico ontologico (SSO) puede verse como una consecuencia del principio del espejar de Textor.

PALABRAS CLAVE: CONCEPTO; FUNCION; IDENTIDAD; SATURADO; INSATURADO.

Recibido: 3/02/15

Aceptado: 30/04/15

Mark Textor (2010) argumenta que el principio del espejar (MP, por sus siglas en ingles) es la fuente de la paradoja del concepto y de no establecer la relacion de identidad entre funciones en la teoria fregeana. (1) Destaca que el problema no esta basado meramente en el principio referencial, como algunos autores han pensado, es decir, los nombres y los predicados no son intersustituibles en oraciones extensionales salva veritate (congruitate). En este articulo retomo mi argumento de que no solo la paradoja del concepto y el problema de establecer la identidad entre funciones surgen por las distinciones categoriales, sino que tampoco pueden formularse enunciados generales en la teoria fregeana.

A diferencia de Textor, ubico la fuente de estos problemas en lo que llame el supuesto semantico ontologico (SSO), el cual puede verse como una conclusion del principio del espejar (MP) de Textor. Como mostrare, la idea basica en ambos casos es que el lenguaje retrata la ontologia, la cual se compone de objetos y funciones; en consecuencia, se obtiene una tesis acerca de la significacion de las expresiones. La diferencia entre el principio de Textor y mi supuesto es que yo construyo los nombres propios y de funcion, asi como sus denotados (objetos y funciones) como categorias filosoficas, (2) las cuales conjuntamente agotan la ontologia y el lenguaje; es decir, todo lo existente en la ontologia son objetos y funciones, mientras en el lenguaje hay nombres propios y nombres o expresiones de funcion; e igualmente, las categorias mutuamente se excluyen: un objeto no es una funcion y viceversa, ademas un nombre propio no es un nombre de funcion y viceversa. Lo anterior me permite mostrar de donde surgen los problemas y establecer que no pueden resolverse sin rechazar la construccion categorial; es decir, no solo son clasificaciones gramaticales, sino tambien categorias logicas basadas en tesis metafisicas sobre la complecion e incomplecion de los denotados correspondientes. (3) La virtud del principio de Textor, compuesta de dos partes, es mostrar como la insaturacion del sentido lleva a la insaturacion de la expresion y como esta ultima lleva a la insaturacion del denotado. Dada la dicotomia saturado/no saturado, lo mismo se sigue para los sentidos saturados, sus expresiones y denotados.

LA PARADOJA DEL CONCEPTO

Decir 'La Ciudad de Mexico es una ciudad' es equiparable a decir 'El concepto caballo es un concepto'. Ambas oraciones son en un sentido triviales y como Kant podriamos calificarlas de analiticas, pues su predicado ya esta contenido en el sujeto. Mas importante aun es el hecho de que ambas son verdaderas. Ahora bien, la paradoja del concepto es precisamente negar lo anterior. La paradoja surge al sostener que 'El concepto caballo es un concepto' es una oracion falsa, pues la expresion 'El concepto caballo' debe referirse a un objeto, no a un concepto y, obviamente, un objeto no es un concepto (Frege, CO: 210).
Un termino conceptual general designa precisamente un concepto.
Unicamente con el articulo definido o un pronombre demostrativo puede
tomarse como el nombre propio de una cosa, pero entonces deja de ser
termino conceptual. El nombre de una cosa es un nombre propio. (Frege,
FA: 94)


A continuacion explicare, de forma breve, (4) la manera en la cual Frege llega a esta conclusion. Primero mostrare que es una palabra-concepto; despues, como los conceptos difieren categorialmente de los objetos; por ultimo, como opera el SSO que comparare con el MP de Textor.

LAS PALABRAS-CONCEPTO Y LOS CONCEPTOS

Las palabras-concepto o palabras de funcion son aquellas expresiones incompletas o insaturadas. La incomplecion se detecta en el sentido de los simbolos mismos y es transferida a ellos. (5) En "Compound thoughts" dice Frege:
Como meramente una cosa, por supuesto, la letra 'y' no esta menos
insaturada que cualquier otra cosa. Puede llamarse insaturada con
respecto a su uso como simbolo que expresa un sentido, pues aqui puede
tener el sentido que se pretende solo cuando esta situado entre dos
oraciones; su proposito como simbolo requiere completarse con una
oracion precedente y una sucesora. Es realmente en el reino del sentido
que se encuentra la insaturacion y esta es transferida de ahi al
simbolo. (Citado en Textor, 2010: 140)


Las palabras-concepto denotan conceptos y estos son funciones que arrojan valores de verdad para cualquier argumento (Frege, FC: 158). Frege inicia su indagacion acerca de que es un concepto, a partir de lo que el analisis matematico de su tiempo denomina "funcion" y confia en que la intuicion de su lector le permita encontrar el elemento comun denominado "funcion", a partir del siguiente ejemplo:

Se llama a x el argumento de la funcion y en

'2 * [1.sup.3] + 1' '2 * [4.sup.3] + 4' '2 * [5.sup.3] + 5'

se reconoce una y otra vez la misma funcion, solo que con distintos argumentos, a saber, 1, 4, 5. De aqui puede inferirse que lo realmente esencial de la funcion radica en lo que tienen en comun estas expresiones; es decir, pues, en lo que se halla en

'2 * [x.sup.3] + x'

ademas de la letra 'x'; lo cual podriamos escribir quizas asi:

'2 * [( ).sup.3] + ( )' (Frege, FC: 151)

La ultima expresion de esta cita muestra su incomplecion o insaturacion mediante los parentesis vacios. Esta es una palabra-concepto o una expresion funcional. Una caracteristica importante es que la incomplecion no es un defecto de la expresion, mas bien muestra la necesidad de que tal expresion sea completada y esta caracteristica se refleja en sus denotados, es decir, en las funciones mismas:
A la peculiaridad del signo de funcion, que hemos llamado no
saturacion, le corresponde, desde luego, algo en las funciones mismas.
Tambien a estas las podemos llamar no saturadas, caracterizandolas asi
como algo completamente distinto de los numeros. (Frege, QF: 261)


LA DIFERENCIA CATEGORIAL Y EL ESPEJAR

La diferencia fundamental entre funciones y numeros la llamo diferencia categorial entre funciones y objetos. Los objetos son entidades completas denotadas mediante expresiones igualmente completas y un criterio suficiente de cuando una expresion es completa es que el articulo definido singular (6) figure en ella:
Cuando hablamos de 'el numero uno' indicamos mediante el articulo
definido un objeto definido y unico de estudio cientifico. En 1 tenemos
un nombre propio que como tal no admite plural como no lo admite
'Federico El Grande' o 'el elemento quimico oro'. No es un accidente,
ni una inexactitud notacional que escribamos 1 sin ningun rasgo para
marcar diferencias. (Frege, FA: 81 y 107, nota 9)


Los nombres propios gramaticales, las ahora llamadas descripciones definidas, y las oraciones declarativas son para la logica de Frege nombres propios, donde las dos primeras denotan individuos, mientras que las ultimas denotan valores de verdad.
Un enunciado afirmativo no contiene ningun lugar vacio y por eso hay
que considerar que su referencia es un objeto. Esta referencia, empero,
es un valor veritativo. Por lo tanto, ambos valores veritativos son
objetos. (Frege, FC: 160. Enfasis mio)


Todos los denotados de las expresiones completas, valga la redundancia, son completos. En cambio, los denotados de las expresiones funcionales o palabras-concepto son incompletos. Lo mismo sucede con los sentidos de ambas categorias de expresiones, son completos en el primer caso e incompletos en el segundo.

Entonces, el marco teorico fregeano se construye basado en una dicotomia considerada primitiva: saturado/insaturado (completo/incompleto) (7) el cual se aplica a las expresiones, a los sentidos de estas y a sus denotados. Las expresiones completas son nombres propios que denotan objetos, las expresiones incompletas son palabras-concepto o de funcion las cuales denotan entidades incompletas que son conceptos o funciones. (8)

Con base en esto, sostuve que las expresiones y sus denotados son categorias filosoficas distintas, porque una funcion no es ni puede ser un objeto y viceversa. Objetos y funciones agotan la ontologia fregeana y son mutuamente excluyentes: "objeto es todo lo que no es funcion" (Frege, FC: 160). Estas caracteristicas me permiten formular el SSO:
A cada expresion completa (nombre propio) le corresponde como denotado
una entidad completa (objeto); y a cada expresion incompleta (nombre de
funcion) le corresponde como denotado una entidad incompleta (funcion).
Objetos y funciones son conjuntamente exhaustivos y mutuamente
excluyentes.


Ahora bien, Textor formula el Principio del Espejar (MP) (Mirroring principle), el cual contiene, en lo general, las mismas ideas, aunque no lo formula para expresiones directamente, sino para la descomposicion de la oracion extensional en partes. su principio consta de dos apartados, uno que va de la expresion al sentido (M[P.sub.1]) y otro que va del sentido a la referencia (M[P.sub.2]). La conjuncion de ambos permite sostener que si a espeja a b, b espeja a a. Al respecto dice Textor:
[Mp.sub.1]. Cada descomposicion de una oracion en partes completas e
incompletas espeja la descomposicion del pensamiento expresado en
partes que son en un sentido analogo, completas e incompletas.

[Mp.sub.2]. Una descomposicion del pensamiento en partes completas e
incompletas espeja una descomposicion de su referente en referentes que
son en un sentido analogo, completos e incompletos. (Textor, 2010: 132
y 133) (9)


Textor no sostiene explicitamente en M[P.sub.1] y M[P.sub.2] que los objetos y las funciones sean mutuamente excluyentes y juntos agoten la ontologia. Tampoco lo dice de las expresiones que los nombran. Su principio MP compuesto por M[P.sub.1] y M[P.sub.2] explicaria por que la expresion 'el concepto F' no nombra al concepto F, sino a un objeto; a saber, porque el sentido expresado es completo y en consecuencia la expresion es completa (por MP); y siendo asi, el referente debe igualmente ser completo (por M[P.sub.2]). Aunque MP no dice explicitamente que sea imposible que la expresion denote al concepto, Textor reconoce esta imposibilidad al decir que: "la metafisica de las funciones hace imposible que sean los referentes de los terminos singulares" (2010: 147). (10)

Estas caracteristicas son necesarias para explicar por que no hay manera de que 'el concepto F' denote al concepto F. Si asumimos el SSO, la expresion 'el concepto F' es una expresion completa que denota un objeto; y lo mismo sucede si asumimos MP. Pero dado que el SSO establece que objetos y funciones con sus respectivas expresiones se excluyen mutuamente, una vez nombrado un objeto, no podemos mediante esa misma expresion nombrar un concepto. Es como si al nombrar objetos excluyeramos conceptos.

Debera ser claro ahora que, si seguimos MP y/o SSO, la expresion 'El concepto caballo' debe denotar un objeto y por ello la oracion 'El concepto caballo es un concepto' debe ser falsa porque un objeto no es un concepto, contrario a nuestras intuiciones linguisticas e incluso a la intencion de nombrar un concepto para decir de el, trivialmente, que es un concepto. Frege se dio cuenta de esto:
[...] por una cierta necesidad linguistica mi expresion, tomada
literalmente, no corresponde a veces al pensamiento al nombrarse un
objeto cuando se quiere significar un concepto. Me hago plenamente
consciente de apelar, en estos casos, a la comprension bien
intencionada del lector--que no regatea un grano de sal. (Frege, CO:
220-221)

Cuando quiero hablar de un concepto, el lenguaje me fuerza con
violencia casi insoslayable a una expresion inadecuada, con lo cual el
pensamiento queda oscurecido--casi diria falseado--[...] No podemos
evitar palabras como 'el concepto' pero debemos tener siempre presente
su inadecuacion. De lo dicho se desprende que objetos y conceptos son
radicalmente distintos y no son sustituibles entre si. Lo mismo vale
para las palabras o signos correspondientes. (Frege, CO: 220)


?Que salidas habria para el problema de la inadecuacion de la expresion? Planteo aqui al menos dos. Encontrar una expresion incompleta que pueda servir de sujeto logico o hacer que el objeto nombrado por la expresion 'el concepto F' lleve, de alguna forma, al concepto. Esta ultima estrategia fue considerada por Frege al menos en algunos escritos donde supuso que los denotados de expresiones de la forma 'el concepto F' denotaban un tipo especial de objetos, cuya peculiaridad era "representar" (vertreten) conceptos:
En investigaciones logicas no pocas veces es necesario enunciar algo
sobre un concepto [...] Segun esto, se esperaria que la referencia del
sujeto gramatical fuera un concepto; pero debido a su naturaleza
predicativa, este no puede aparecer asi sin mas, sino que tiene que ser
transformado primero en un objeto, o dicho mas exactamente, tiene que
ser representado (vertreten) por un objeto, que designamos mediante las
palabras antepuestas 'El concepto...'. (Frege, CO: 212)


Ambas lineas de solucion han sido examinadas por los estudiosos de Frege. Afortunadamente no es necesario discutirlas aqui para los fines de este articulo, que son primariamente presentar la fuente de las dificultades. Sin embargo, dire de manera esquematica algo sobre cada una de estas opciones.

La primera opcion consiste en encontrar una expresion incompleta que figure como sujeto logico de las afirmaciones sobre conceptos. Por ejemplo, Michael Dummett (1973: 214-215) intento esto hace tiempo, incluir un hueco ad hoc en la expresion 'el concepto F' asi: '__ es lo que "el concepto F" denota'. Pero al sustituirse en la oracion 'El concepto F es un concepto' daria por resultado '__es lo que "El concepto F" denota es un concepto' que no es una oracion. Peter Geach (1955: 564) tambien busco una salida en terminos similares y supuso que 'El concepto caballo es un concepto' es verdad si se descompone en la palabra funcional 'El concepto ( ) es un concepto' y la palabra tambien funcional 'caballo'. Pero tampoco funciona, pues como dice Textor:
El problema con este intento de evitar la paradoja es que diferentes
descomposiciones no cambian al pensamiento descompuesto y que los
pensamientos no cambian su valor de verdad. Entonces, un pensamiento no
puede ser verdadero en una descomposicion y falso en otra. (2010: 129)


Para que una expresion ad hoc pudiera funcionar, seria necesario abandonar mi SSO; pero si se hace, no surgiria el problema de entrada y no seria necesario buscar ninguna expresion en particular. Ademas de que la ontologia y/o la semantica de Frege carecerian de fundamento, pues es justo el SSO lo que permite derivar otras tesis centrales, como el que las oraciones denotan valores de verdad, (11) que las funciones son ontologicamente incompletas, etcetera.

La segunda opcion supone que, aunque en efecto las expresiones de la forma 'el concepto F' se refieren a objetos, los objetos referidos son especiales, pues son como vicarios, los cuales representan a la funcion. (12) Una intuicion que apoyaria esta salida es que Frege se adhiriese a la costumbre de los matematicos de su epoca y asumiera que las funciones se identifican por sus extensiones (13) (rango de valores), las cuales en la ontologia fregeana son objetos, asi, en ultima instancia, no pareceria descabellado suponer que estos objetos representan a las funciones porque son sus extensiones. Para Frege esa maniobra no respetaria la distincion excluyente entre concepto y objeto:
Es facil que a uno se le ocurra entonces tomar la extension de concepto
por la referencia del termino conceptual; pero con ello se pasaria por
alto que las extensiones de concepto son objetos y no conceptos (vease
mi conferencia "Funcion y concepto"). (Frege, CSR: 199)


Esta observacion simplemente nos recuerda que aqui esta en uso la distincion categorial trazada por Frege y no se permite violentarla. Si hemos de satisfacerla, las extensiones de los conceptos, en tanto objetos, no pueden ser los referentes de los terminos conceptuales o funcionales: "Los recorridos de las funciones son objetos, mientras que las funciones mismas no lo son. [...] Tambien las extensiones de conceptos son, pues, objetos, aunque los conceptos mismos no lo son" (Frege, FC: 160).

Recapitulando. La expresion 'el concepto F' es una expresion saturada donde figura el articulo definido singular y, por lo tanto, es el nombre propio de un objeto, si es que denota algo. Puesto que las categorias de nombre propio y objeto excluyen a las de palabra-concepto y funcion, no es posible transformar la expresion 'el concepto F' en una expresion correspondiente a la categoria de las palabras-concepto ni su objeto denotado trastocarse para convertirse en un concepto. Por esas razones, Frege se vio obligado a decir que tanto la oracion 'el concepto caballo es un concepto' es falsa, como que 'el concepto F' no puede denotar un concepto.

IDENTIDAD DE FUNCIONES

Otro problema relacionado con el de nombrar funciones es establecer la relacion de identidad entre funciones. Podemos poner el problema en terminos categoriales: si las categorias nombre propio/objeto excluyen a las categorias palabra-concepto/funcion, entonces la predicacion aplicada a expresiones y entidades correspondientes a la primera categoria, no se aplicaria a expresiones y entidades correspondientes a la segunda categoria, y esto es precisamente lo que Frege dice:
La palabra 'el mismo' que se emplea para designar esa relacion entre
objetos, no puede servir propiamente tambien para la designacion de
esta relacion entre conceptos. Pero a este fin casi no tenemos otra
salida que decir: "el concepto [FI] es el mismo que el concepto %";
desde luego, con ello nombramos una relacion entre objetos, cuando en
realidad nos referimos a una relacion entre conceptos. (Frege, CSR: 203)

Tambien, la relacion de igualdad, por la que entiendo coincidencia
total, identidad, solo es concebible entre objetos, no entre conceptos.
(Frege, CSR: 201)


Nuevamente, Frege aplica las distinciones categoriales para apoyar la idea de que si la identidad se establece solo entre objetos, no se establece entre funciones. (14)

ENUNCIADOS GENERALES

Finalmente, si no podemos establecer la identidad entre funciones ?las podemos cuantificar umversalmente? A primera vista parece que la cuantificacion podria escapar a los problemas provocados por las categorias filosoficas que rigen a la teoria fregeana. Pero esto no es asi, porque hay casos donde la cuantificacion universal presupone establecer la identidad entre funciones. Por ejemplo, pensemos en dos expresiones funcionales prima facie distintas: '([x.sup.2] - 4x)' y 'x(x - 4)'. Resulta que ambas funciones dan los mismos valores (resultados) cuando son aplicadas al mismo argumento. Uno pensaria de inmediato que ambas funciones son equivalentes o identicas, y generalizar diciendo que para cualquier valor de x se obtienen los mismos resultados, es decir que: ([atane a todos]x) (([x.sup.2] - 4x) = x(x - 4)). Pero dice Frege: "Cuando escribimos ([x.sup.2] - 4x) = x(x - 4) no igualamos una funcion a la otra, sino solamente los valores de las funciones entre si" (FC: 153).

?Por que no igualamos una funcion a la otra? Por las distinciones categoriales establecidas entre ellas, pues lo que se dice de una categoria no se puede decir de la otra y, como se dijo antes, la identidad se establece solo entre objetos, no entre funciones. Nuevamente, la intuicion entonces seria que las funciones son dispensables en favor de sus rangos de valor o extensiones, las cuales son las unicas entidades de las que se puede establecer la identidad, porque Frege ya ha decidido que la identidad se establece entre objetos y las extensiones de las funciones son objetos. Es mas, las funciones en sentido estricto no son rangos de valores, pues estas son logicamente anteriores a sus rangos de valores:
En algunos usos del modo de expresion habitual en matematicas, la
palabra "funcion" corresponde ciertamente a lo que aqui he llamado
recorrido de una funcion, pero la funcion en el sentido de la palabra
usado aqui, es logicamente anterior. (FC: 154, nota al pie 5)


Supuse un caso donde la cuantificacion universal requeria establecer la identidad entre funciones cuando estas dan los mismos resultados para los mismos valores, pero de acuerdo con Frege lo que se identifica son los rangos de valores de las funciones, no las funciones mismas y a fortiori la generalizacion habla acerca de rangos de valores, no de las funciones. Por esta razon, incluso Frege disena un nombre propio especifico para los rangos de las funciones ([x.sup.2] - 4x) = x(x - 4) a saber: "[epsilon]([[epsilon].sup.2] - 4[epsilon]) = [alfa]'([alfa]. [[alfa] - 4] )" (QF: 254).

Pensemos ahora en un segundo caso, que es general, a saber, cuando tenemos una cuantificacion universal, cuya funcion es de segundo nivel. La lectura que ahora hago es contraria a la practica establecida en logica estandar, tan contraria como lo fue la lectura hecha acerca de la identidad entre funciones y muy probablemente le resultara extrana al lector. La idea seria que la funcion de segundo nivel tiene por argumento una funcion de primer nivel; y la funcion de primer nivel tiene por argumento un objeto. Hay pues funciones y objetos como argumentos en los enunciados generales y esta es la principal dificultad, formular un enunciado general acerca de ambos tipos de entidades. (15)

Hay dos consideraciones sobre lo anterior. Primera, no hay una predicacion, no importa de que nivel, en tanto tome objetos como funciones, y la necesitamos para tomar juntas a las funciones de primer nivel y a las de segundo nivel porque ambas constituyen a la cuantificacion universal. Recuerdese que antes he mostrado que el predicado relacional 'es identico a' solo se predica de objetos y con base en el SSO no puede entonces predicarse de funciones o conceptos. Igualmente, podemos pensar ahora en el predicado de segundo nivel 'Para todo' o 'Todos', si este se predicara de funciones no podria predicarse de objetos y viceversa.

'Todos' es un predicado de segundo nivel que toma como argumento a predicados o funciones de primer nivel, es decir, predicamos funciones de funciones. Pero luego debemos asegurarnos que los argumentos de las funciones de primer nivel sean objetos, es decir, predicamos funciones de objetos. El predicado 'Todos' abarca tanto a las funciones de primer nivel como a sus objetos. Pero esto no puede ser, pues ambas categorias, objetos y funciones, se excluyen y en sentido estricto deberia tomar una u otra categoria. El cuantificador deberia recorrer ambas categorias de entidades: funciones de primer nivel y objetos, pero el "ambos" no se compone, porque funciones y objetos pertenecen a categorias excluyentes.

Segunda consideracion: parece que tampoco podemos componer una funcion de segundo nivel, cuyo argumento sea una funcion de primer nivel, si la distincion entre ambos tipos de funciones es como dice Frege fundamental, basada en la naturaleza de las funciones:
Asi como las funciones son fundamentalmente distintas de los objetos,
asi tambien aquellas funciones cuyos argumentos son y deben ser
funciones son fundamentalmente distintas de las funciones cuyos
argumentos son objetos y no pueden ser otra cosa. A estas ultimas las
llamo funciones de primer orden; a las otras las llamo funciones de
segundo orden. (FC: 167)

[...] la diferencia entre funciones de primero y segundo grado [...] no
fue hecha arbitrariamente, sino que tiene una justificacion profunda en
la naturaleza de la cuestion. (FC: 171)


La afirmacion de que existe tal diferencia fundamental entre funciones de distinto nivel puede entenderse con base en mi SSO; son fundamentalmente distintas porque la funcion de segundo nivel toma funciones de primer nivel, mientras este toma objetos; donde objetos y funciones son mutuamente excluyentes. Si el fundamentalmente distintas es categorialmente distintas, entonces en sentido estricto no hay algo asi como una funcion de segundo nivel que pueda componerse conteniendo a una de primer nivel, pues ?como categorias excluyentes pueden estar en relacion de contencion?

La idea central en contra de las afirmaciones universales es que si x toma objetos como argumentos, no puede tomar funciones, y si toma funciones de una categoria no puede tomar funciones de otra. Hay afirmaciones que no podrian formalizarse y son fundamentales para la teoria como:

Todo aquello que no sea una funcion es un objeto.

Todo aquello que sea una funcion es o bien de uno o de dos argumentos.

Pero ?por que hacer una lectura tan simplona y literal de las tesis de Frege? ?No estare haciendo un problema donde no lo hay? Respecto a la primera pregunta, la lectura literal de las afirmaciones de Frege me permitio, al igual que a Textor, formular un principio que vaya de las expresiones a los denotados de las mismas, transfiriendo las caracteristicas de saturacion e insaturacion que exhiben las expresiones a los denotados.

Basandome en afirmaciones normativas, del tipo 'una expresion de funcion debe tener huecos', 'un enunciado no tiene huecos y debe referirse a un objeto' interprete la distincion como categorial y ya que un objeto no debe ser un concepto y viceversa, llegue a la tesis de que ambos se excluyen. Pero como todo es un objeto o una funcion, entonces pense que ambos tipos de entidades agotaban la ontologia. Hay razones textuales para este tipo de lectura. Textor anduvo un camino muy cercano, pero dividio su principio en dos partes, una que va de la expresion al sentido y otra que va del sentido a la referencia. Lo interesante de esas dos partes es que ambas cuentan con la dicotomia saturado/no saturado para distinguir entre expresiones y sus denotados y esta es la misma dicotomia que yo utilice en mi SSO.

La respuesta a la segunda pregunta es: no. El problema existe y se vincula con las categorias. Una manera de encontrar el problema de formular enunciados generales (16) es recorrer el camino que lo liga al primer problema conocido, el de la paradoja de 'el concepto caballo'. Si uno se pregunta por que Frege sostuvo que es falso que 'El concepto caballo es un concepto', se encuentra la respuesta: porque esta expresion denota a un objeto, no a un concepto. ?Por que denota un objeto?, porque es una expresion completa y estas expresiones son esencialmente distintas de las expresiones incompletas. Esta ultima respuesta es final, no podemos ir mas atras. La dicotomia completo/incompleto es la base de la escision categorial. Una vez que llegamos a esta dicotomia basica, uno puede explicar por que no hay manera de formular en la teoria fregeana afirmaciones universales que engloben objetos y funciones. Si las funciones de primer y segundo nivel fueran esencialmente distintas, tampoco habria una formulacion canonica en la teoria de Frege de la afirmacion de que un enunciado general se puede componer con una funcion de primer nivel y otra de segundo nivel.

CONCLUSIONES

Tanto el principio del espejar (MP), como mi supuesto semantico ontologico (SSO) permiten explicar por que razon Frege afirmo que es falsa la oracion 'El concepto caballo es un concepto'. Pero no solo ofrecen las razones de que provoca la paradoja del concepto, tambien permiten explicar por que no se establece la relacion de identidad entre funciones. Estos son los dos problemas que trato Textor en su articulo y llegue a las mismas conclusiones que el.

A los dos problemas anteriores se agrega el de poder formalizar afirmaciones generales que engloben tanto objetos como funciones. A este efecto, solo cuando asumimos que las distinciones entre expresiones y sus denotados son distinciones categoriales, conjuntamente exhaustivas y mutuamente excluyentes, obtenemos el resultado general de que cualquier predicacion hecha a una categoria no se podra hacer a la otra y viceversa. En sentido estricto, ni siquiera podemos predicar 'es una entidad' tanto de objetos como de funciones.

Tal vez la unica manera de eliminar estas consecuencias seria eliminando la distincion categorial entre objetos y funciones, y las expresiones que respectivamente los denotan. (17) Pero ?podriamos sensatamente decir que un objeto puede ser una funcion o viceversa? ?No son fundamentalmente distintos los objetos de las propiedades? A falta de una metafisica que responda a estas cuestiones, por el momento, me permito simplemente aceptar las consecuencias contra intuitivas de las tesis fregeanas. Pero lo mas importante es que se puede encontrar la fuente de las dificultades, lo cual es el objetivo de este articulo.

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LOURDES VALDIVIA DOUNCE (**)

Lourdes Valdivia Dounce: Profesora de la Facultad de Filosofia y Letras, Universidad Nacional Autonoma de Mexico. Especialista en filosofia del lenguaje. Autora del libro Introduccion a la semantica y ontologia de Gottlob Frege (1989). Ha publicado numerosos articulos en revistas especializadas sobre filosofia del lenguaje.

D. R. [c] Lourdes Valdivia Dounce, Mexico, D. F., julio-diciembre, 2015.

(*) This article was written during my sabbatical visit at Rutgers University, with the aid of DGAPA-UNAM. I thank Peter Klein for his help and comments, as well as the two anonymous reviewers for their observations, one of whom contributed to a considerable improvement of my text and enabled me to correct some inaccuracies. I am also grateful to Rose Marie Ianuzzi for her support.

(**) Facultad de Filosofia y Letras, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, dounce@hotmail.com

(1) Mas adelante discutire la idea de establecer la relacion de identidad entre funciones, mostrando que, al igual que el problema de referirse a conceptos, aquel surge del principio (MP) de Textor y de mi supuesto semantico ontologico (SSO).

(2) Las llamo categorias filosoficas para distinguirlas del uso de categoria como mera clasificacion. Por ejemplo, Raul Orayen (1972: 30) dice: "habitualmente, los filosofos usan la palabra 'categoria' en un sentido muy fuerte, y no meramente para indicar una clase de objetos. Segun la concepcion usual, dos entidades pertenecen a la misma categoria cuando al reemplazar en una expresion significativa el nombre de una de ellas por la otra, se obtiene una expresion significativa. Ademas, dos entidades son de distintas categorias, cuando al reemplazar una expresion significativa el nombre de ellas por el de otra, se obtiene una expresion no significativa".

(3) En este articulo me ocupare, especialmente, de los trabajos de la etapa madura del pensamiento de Frege, que se presentan desde principios de la decada de 1890 hasta el conocimiento de la paradoja de Russell. Utilizare ocasionalmente sus escritos postumos.

(4) Vease de manera detallada en Valdivia, 1984b y 1987: 57-78.

(5) Algunos autores dudaban que la distincion sentido-referencia se extendiera tambien a las expresiones funcionales (predicados), como William Marshall (1968: 249-267); pero Michael Dummett (1968a y 1968b) argumenta que la duda de Marshall carece de fundamento. Para David Wiggins (1984: 311-328), la distincion se aplica a predicados y ofrece como evidencia una carta de Frege a Husserl del 24 de mayo de 1891.

(6) Ignacio Angelelli (1967) cita 16 referencias.

(7) La mayoria de los estudiosos de Frege coinciden en la idea de que esta dicotomia es fundamental y primitiva y no hay argumento fregeano para ella. Textor dice (2010: 133): "En una carta de Frege a Russell en 1902 se discute la paradoja del concepto junto con (MP): 'Esta diferencia entre los signos (i.e., entre signos completos e incompletos) debe corresponder a una diferencia en el reino de la referencia; aunque no es posible hablar de ella sin convertir lo que necesita completarse en algo completo y asi falsificar la situacion real [...] La descomposicion de la oracion corresponde a la descomposicion del pensamiento, y esto a la vez, corresponde a algo en el reino de la referencia, y me gustaria decir que esto es un hecho logico primitivo'". (Enfasis mio)

(8) Hasta ahora, para facilitar la exposicion, no considero que, segun Frege, las funciones pueden ser de distinto nivel. Por ejemplo, cuando el signo de argumento para ellas es un nombre propio de objeto, la funcion es de primer nivel. Cuando su signo de argumento es una funcion de primer nivel, la funcion considerada es de segundo nivel y asi sucesivamente, aunque en la practica solo necesitamos estos dos niveles, siendo el segundo nivel el que corresponde a los cuantificadores y a otras funciones.

(9) En sentido literal, esto es falso de las oraciones y sus denotados, los valores de verdad, pues el valor de verdad no se descompone al igual que se descompone la oracion. Textor advierte esto cuando dice: "?Que es una descomposicion de un valor de verdad? No una descomposicion en partes. Por ejemplo, los referentes de las partes en las que separamos la oracion 'La capital de (Suecia) es una bella ciudad' no son partes del referente de la oracion. sin embargo, los referentes de las partes que discernimos en una expresion compleja pueden todavia determinar su referente, aunque el referente no contenga la referencia de las partes en un sentido mereologico" (2010: 133).

(10) Agradezco a un referi anonimo la observacion que aqui incluyo.

(11) En "Frege: una estipulacion viable" retome la tesis de Alfred Church, donde niega en Frege un argumento demostrativo que concluya que las oraciones nombran valores de verdad y agregue que su argumento tampoco es concluyente, por ello solo queda, para apoyar la tesis de que las oraciones nombran valores de verdad, es la suposicion de que son expresiones completas, y por ello son nombres propios; y dados los requerimientos de la teoria, deben nombrar objetos que son los valores de verdad. Ya que las oraciones nombran valores de verdad, podemos construir funciones proposicionales, cuyo resultado son valores de verdad.

(12) Marco Ruffino (2003: 51-75) analiza esta opcion y liga el problema de la referencia a conceptos con la decision de Frege de optar por la ley basica V en lugar del Principio de Hume.

(13) Veanse por ejemplo Parsons, 1986: 455 y Ruffino, 2000: 239-252. Ellos argumentan que los nombres de conceptos se refieren a las extensiones las cuales representan a los conceptos. Textor cita ademas los trabajos de Burge, 2005: 284 y Schirn, 1990: 27-61.

(14) Marco Ruffino (2003: 51-75) discute precisamente este problema y en particular la sugerencia de Frege, hecha en "Comentarios sobre el sentido y la referencia", de que para establecer la identidad entre funciones estas deben transformarse o entenderse como los rangos de valores de las mismas. La identidad se establece entre objetos y los rangos de valores de las funciones son objetos.

(15) En un sentido trivial uno puede bien escribir formalmente un enunciado general. Lo que estoy diciendo aqui es que si uno toma en serio, literalmente, que objetos y funciones pertenecen a categorias distintas, no hay manera de poner ambos tipos de entidades como argumentos de una expresion cuantificada.

(16) No niego que en la actualidad uno pueda decir que para cualquier x, x es Objeto o x es Funcion (([atane a todos]X) (Fx v GX)), porque uno toma las ocurrencias de la variable x, ligadas al cuantificador. Pero si la propiedad de ser F excluye categorialmente a la propiedad de ser G, la 'x' que ocurre en ellas seria categorialmente distinta si uno toma literalmente en serio lo que dice Frege.

(17) Esto es lo que intenta hacer James Higginbotham (1990: 153-171).
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Title Annotation:texto en ingles
Author:Dounce, Lourdes Valdivia
Publication:Signos Filosoficos
Date:Jul 1, 2015
Words:7112
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