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Local state method applied on the formulation of damage constitutive models for concrete/Metodo do estado local aplicado na formulacao de modelos constitutivos de dano para o concreto.

Introducao

A Mecanica do Dano Continuo permite descrever os microprocessos heterogeneos envolvidos durante o processo de deformacao de materiais na macroescala. Os processos de danificacao correspondem a localizacoes e acumulacoes de deformacoes que sao de carater irreversivel.

O trabalho pioneiro que introduziu o conceito de Dano Continuo foi elaborado por Kachanov em 1958. Este trabalho surgiu do interesse em modelar o efeito da fissuracao distribuida na ruptura do tipo fragil observada em metais, apos um periodo de deformacao lenta.

Os modelos de dano admitem que as perdas de rigidez e de resistencia (ramo softening) do material sao devidas, exclusivamente, ao processo de microfissuracao.

Os defeitos distribuidos em materiais nao levam apenas ao processo de iniciacao de fissura e fratura final, mas tambem induz a deterioracao progressiva do material, que pode ser medida pelo decrescimo da rigidez, resistencia, tenacidade e vida residual.

Para um dado material, a analise do seu comportamento e feita pela hipotese de meio continuo e a influencia das alteracoes internas provocadas pelas microfissuras e considerada macroscopicamente por meio de variaveis de dano escalares ou tensoriais de ordem dois ou superior, dependendo do modelo constitutivo ser isotropo ou anisotropo, respectivamente. Porem, e possivel conseguir modelos anisotropos pelo emprego de variaveis escalares de dano aplicadas aos tensores de quarta ordem (PROENCA; PITUBA, 2003). Diferentes variaveis de dano sao associadas com diferentes processos, tais como creep, fadiga, dano ductil e fragil. Grosso modo, a formulacao dos modelos constitutivos em Mecanica do Dano segue a metodologia descrita pelo Metodo do Estado Local (LEMAITRE; CHABOCHE, 1990), de modo que os diferentes fenomenos podem ser incorporados aos modelos em forma termodinamicamente consistente, mediante hipoteses coerentes sobre o potencial de energia livre. Pituba (2006) propoe uma forma alternativa de formulacao de modelos constitutivos para meios anisotropos danificados, mas que, de maneira geral, atende aos principios estabelecidos pelo Metodo do Estado Local.

No caso do concreto, um material no qual a fissuracao e o fenomeno dominante no comportamento nao-linear, a mecanica do dano aplica-se com vantagens sobre outras teorias.

Como exemplo, ilustra-se o modelo constitutivo para o concreto proposto por La Borderie (PITUBA; PROENCA, 2005), que atende as etapas propostas pelo Metodo do Estado Local. Este modelo esta fundamentado nos principios irreversiveis da Termodinamica, incorporando na sua formulacao deformacoes residuais devidas, exclusivamente, ao processo de danificacao, alem da consideracao do efeito de fechamento de fissuras no comportamento do concreto.

Material e metodos

Mecanica do dano

Considere-se um solido com dano do qual e isolado um elemento de volume. Tal elemento e dito "representativo" por possuir dimensao suficientemente grande, de modo que se possa admitir que contenha uma distribuicao homogenea dos defeitos e, ao mesmo tempo, e pequeno para ser considerado como um ponto material do continuo. Dessa forma, admite-se continuidade para as funcoes representativas dos fenomenos que ocorrem no elemento.

Seja S a area de uma das faces do elemento representativo, a qual e definida por um plano cujo versor normal tem direcao n (Figura 1). Nesta secao, as microfissuras e microdefeitos que contribuem para o dano tem formas e orientacoes quaisquer.

[FIGURA 1 OMITTED]

No plano da secao considerada, sendo [??] a parcela da area total que efetivamente oferece resistencia ([??] [less than or equal to] S), a diferenca [S.sub.o] e a area de defeitos.

[S.sub.o] = S - [??] (1)

Por definicao, segundo Lemaitre e Chaboche (1990):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (2)

em que:

[D.sub.n] representa uma medida local do dano. A variavel de dano assume valores contidos no intervalo 0 [less than or equal to] [D.sub.n] [less than or equal to] 1, sendo que [D.sub.n] = 0 tem correspondencia com a situacao de material integro e [D.sub.n] = 1 indica um estado de total deterioracao.

Imaginando-se uma situacao em que as microfissuras se distribuam segundo uma direcao privilegiada, os valores da variavel [D.sub.n] variam de acordo com a orientacao da normal [n.bar]. Essa situacao configura o que se pode definir como dano anisotropo. Ja o dano isotropo corresponde, entao, a uma situacao em que os microdefeitos tenham uma distribuicao mais ou menos uniforme em qualquer direcao, ou seja, independente da orientacao da normal [n.bar]. Nesse caso, um unico valor da variavel de dano caracteriza completamente o estado local de deterioracao.

D = [D.sub.n] [for all] [n.bar] (3)

O dano nao e diretamente mensuravel como acontece com a deformacao. Consideram-se diferentes caminhos para a definicao da variavel interna de dano por meio dos procedimentos de medida indireta. De fato, tais medidas nem sempre sao praticaveis, mas fornecem definicoes conceituais. Nota-se que a cada medida da variavel de dano corresponde uma formulacao diferente de modelos.

Conforme Lemaitre e Chaboche (1990), existem algumas linhas de tipos de medidas da variavel interna de dano. Sao elas:

--medidas em escala de microestrutura (densidade de microfissuras ou cavidades) levando aos modelos microscopicos que podem ser integrados sobre o elemento de volume macroscopico, com a ajuda de tecnicas matematicas de homogeneizacao;

--medidas fisicas globais (densidade, resistividade etc.) requerendo a definicao do modelo global para converte-lo em propriedades que caracterizam a resistencia mecanica;

--avaliacao do dano ligado ao tempo de vida restante, mas este conceito nao e levado diretamente para a lei constitutiva de dano;

--medidas mecanicas globais da modificacao das propriedades elasticas, plasticas ou viscoplasticas. Sao medidas faceis de interpretar utilizando o conceito de tensao efetiva.

Em suma, pode-se colocar em evidencia a degradacao das caracteristicas mecanicas do material causada pelo dano, mediante a relacao que define o modulo de elasticidade [??] para um meio continuo de resposta equivalente ao meio deteriorado.

[??] = (1 - D) E (4)

em que:

E representa o modulo de elasticidade do meio integro (D = 0).

Termodinamica dos processos irreversiveis

Apresenta-se, neste item, uma discussao sobre a formulacao de modelos seguindo a metodologia do metodo do estado local (GERMAIN, 1973), particularizada para o caso de dano isotropo com pequenas deformacoes.

Inicialmente, considere-se um dado sistema. Se forem conhecidas todas as informacoes para uma completa caracterizacao do sistema, diz-se que o estado do sistema e conhecido. As informacoes, tais como geometria no estado indeformado do sistema, campos de deformacao e de tensao, entre outros, constituem as chamadas variaveis de estado. A selecao de uma serie particular de variaveis de estado independentes e importante em cada problema. Um sistema esta em equilibrio termodinamico se, para um dado estado, os valores das variaveis de estado sao independentes do tempo. Por outro lado, diz-se que um sistema pode sofrer um processo se as variaveis de estado dependem do tempo.

Leis da termodinamica

A primeira lei da termodinamica diz respeito a conservacao da energia do sistema e pode ser enunciada da seguinte maneira: a taxa de trabalho mecanico ou potencia das cargas externas mais a taxa de calor introduzida no sistema e igual a taxa de energia cinetica mais a taxa de variacao da energia interna.

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em que:

[??] = d/dt [[integral].sub.[OMEGA]] [rho]ud [OMEGA] e a taxa de energia interna e u e dt

a densidade de energia por unidade de massa;

[[??].sub.C] e a taxa de energia cinetica;

Substituindo as parcelas das energias envolvidas na Equacao (5), obtem-se:

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Admitindo-se, por um lado, em regime de pequenas deformacoes e, por outro lado, aplicandose o teorema da divergencia a parcela de fluxo de calor no contorno [partial derivative][OMEGA], permite-se rescrever a (6) em forma local do seguinte modo:

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O primeiro principio introduz as nocoes de quantidade de calor recebida e de energia interna do sistema. O segundo principio introduz as nocoes de temperatura absoluta e de entropia. A cada parte [OMEGA] do sistema e a cada instante t, pode-se associar um numero S chamado entropia de [OMEGA] no instante t, dado por:

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em que:

s = s(x,t) e a entropia especifica por unidade de massa da particula que ocupa a posicao x em t.

A segunda lei impoe que, num processo qualquer de transformacao de um sistema, a variacao total de entropia deve ser igual ou superar a variacao provocada pela transferencia de calor. Em particular, num processo irreversivel, existe producao de entropia positiva. Em forma geral, a lei se exprime por:

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Na expressao acima, aparece a temperatura T, definida como um campo escalar de valores positivos em cada instante t do dominio [OMEGA] em consideracao. O segundo membro da Inequacao (9) e a taxa de entropia correspondente a transferencia de calor.

Empregando-se o teorema da divergencia na relacao do segundo principio e escrevendo na forma local, a relacao que expressa o segundo principio da termodinamica e dada por:

[rho][??] - [rho]r/T + div([q.bar]/T) [greater than or equal to] 0 (10)

A primeira e a segunda lei podem ser combinadas, conduzindo a uma desigualdade que deve ser observada para que um processo seja termodinamicamente admissivel. E a chamada Desigualdade de Clausius-Duhem, que e dada por:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (11)

E usual trabalhar com o potencial [psi], dito de energia livre, definido em funcao da energia especifica u e da entropia s:

[psi] = u - Ts (12)

A derivada desse potencial e dada por:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (13)

Substituindo a Equacao (13) na Equacao (11), obtem-se a seguinte forma para a desigualdade de Clausius-Duhem:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (14)

Processos nos quais a desigualdade de Clausius-Duhem e verificada a cada instante sao denominados termodinamicamente admissiveis.

Metodo do estado local

O metodo do estado local (GERMAIN, 1973) postula que, em certo instante, o estado termodinamico de um meio material e completamente definido pelo conhecimento dos valores de certo numero de variaveis naquele instante, que dependem apenas do ponto considerado. Como as derivadas no tempo destas variaveis nao estao envolvidas na definicao do estado, esta postulacao implica admitir que qualquer evolucao possa ser considerada como uma sucessao de estados em equilibrio.

As variaveis de estado estao relacionadas aos fenomenos a serem descritos pelo modelo e sao divididas em dois grupos: observaveis e internas. As variaveis observaveis sao aquelas que podem ser quantificadas experimentalmente. Ja as variaveis internas nao sao diretamente medidas.

De modo geral, em um sistema irreversivel, no ambito das pequenas deformacoes, o estado termodinamico local e definido pelas variaveis ditas observaveis, o tensor de deformacoes [epsilon] e a temperatura T, e por um conjunto de variaveis internas [a.sub.k] associadas aos processos dissipativos.

Uma vez definidas as variaveis de estado--observaveis e internas--, postula-se a existencia de um potencial termodinamico do qual as leis de estado podem ser derivadas. Um potencial possivel e o potencial da energia especifica livre [psi] (por unidade de volume), dito de Helmholtz:

[psi] = [psi]([[epsilon].bar], T, [a.bar]) (15)

em que:

[[a.bar].sup.T] = {[a.sub.1], [a.sub.2], [a.sub.3], [a.sub.n]} representa um grupo de variaveis internas.

A derivada do potencial pode ser escrita da seguinte forma:

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Relacionando a equacao anterior com a desigualdade de Clausius-Duhem, obtem-se:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (17)

E possivel anular, independentemente, certos termos da desigualdade imaginando-se, por exemplo, um processo elastico em que se de a temperatura constante ([??] = 0) e uniforme ([nabla]T = 0) e que, portanto, nao modifique o conjunto de variaveis internas ([??] = 0).

Neste caso, para que a desigualdade se verifique, qualquer que seja [??], e necessario que:

[sigma] = - [partial derivative][psi]/[partial derivative][epsilon] (18)

Por outro lado, pode-se imaginar uma transformacao termica num campo de temperatura uniforme ([nabla]T = 0) e que nao modifique o vetor de variaveis internas ([[??].bar] = 0) ou variacoes de deformacoes. Assim, a desigualdade sera sempre verificada se:

[rho]s = - [partial derivative][psi]/[partial derivative]T (19)

Denominam-se [sigma] e s como variaveis associadas as variaveis de estado [epsilon] e T. Por analogia, pode-se definir uma grandeza vetorial associada ao vetor de variaveis internas por:

-A = [partial derivative][psi]/[partial derivative][a.sub.k] (20)

As relacoes (18), (19) e (20) caracterizam as leis de estado. Levando em conta as leis de estado, a desigualdade de Clausius-Duhem passa a ser escrita da seguinte maneira:

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que exprime a soma da dissipacao associada a evolucao das variaveis internas e da dissipacao termica por calor.

Considerando-se o caso de modelos de dano ditos escalares ou isotropos, relativos a processos puramente mecanicos (isotermicos) que se aplicam aos meios elasticos, desprezam-se as deformacoes residuais pela plastificacao do material; nessas condicoes, portanto, a energia especifica [psi] associada a um comportamento elastico com danificacao passa a ser expressa na forma:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (22)

em que:

D e um parametro escalar consistindo na unica variavel interna considerada;

[??] e o tensor de rigidez elastica inicial do material integro.

Essa expressao e uma consequencia direta da hipotese de que o tensor de rigidez elastica, obtido derivando-se duas vezes [psi] em relacao ao tensor de deformacoes [epsilon], e uma funcao da variavel interna de dano:

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Das Equacoes (18) e (22), obtem-se a lei constitutiva:

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Por outro lado, a Equacao (17) fornece:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (25)

Observando-se que o termo entre parenteses e quadratico definido positivo, resulta que:

[??] [greater than or equal to] 0 (26)

Essa condicao mostra que os processos de danificacao sao termodinamicamente admissiveis se conduzem a uma evolucao positiva ou nula da variavel representativa do dano.

Conhecidas as relacoes entre as variaveis de estado, observaveis e internas, e suas respectivas variaveis associadas, o modelo constitutivo se completa com o estabelecimento das leis de evolucao para as variaveis de estado, sendo este o objetivo dos potenciais de dissipacao.

Na Equacao de Clausius-Duhem (21), o primeiro termo e chamado de dissipacao intrinseca ou mecanica e esta associado a evolucao da variavel interna de dano. O ultimo termo representa a dissipacao termica devida a conducao de calor.

Y.[??] - (1/T)[nabla]T.[q.bar] [greater than or equal to] 0 (27)

em que:

Y = -A.

Considerando-se a variavel de dano D, por exemplo, definem-se as leis complementares de evolucao a partir de derivadas sobre um potencial de dissipacao [PHI], expresso matematicamente por uma funcao escalar continua e convexa das variaveis associadas. Assim sendo, resulta:

[??] = [partial derivative][PHI]/[partial derivative]Y (28)

Portanto, assumem-se validas para um material padrao a lei da normalidade (28) e a propriedade de associatividade (a funcao potencial [PHI] de dissipacao coincide com a funcao F representativa do criterio de danificacao), de modo que a equacao evolutiva possa ser expressa na forma:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (29)

em que:

[lambda] e o multiplicador de dano;

F e uma funcao convexa representando o criterio para a evolucao do dano.

Exemplo de formulacao de um modelo de dano

Neste item, apresenta-se um modelo constitutivo para o concreto fundamentado na Mecanica do Dano Continuo. Sua formulacao foi realizada pelo Metodo do Estado Local.

O concreto, entre outros fenomenos inerentes ao seu comportamento mecanico, apresenta recuperacao de rigidez quando do fechamento de fissuras ocasionado por inversao de sinal da solicitacao; e o chamado comportamento unilateral. O modelo proposto por La Borderie (PITUBA; PROENCA, 2005) permite levar em conta o aspecto unilateral pela definicao de duas variaveis, representativas do dano em tracao ([D.sub.1]) e do dano em compressao ([D.sub.2]). Considera-se, tambem, que deformacoes anelasticas ou residuais sejam devidas apenas ao dano. A ativacao de um ou outro processo de danificacao e feita por controle sobre o sinal das tensoes principais.

No que segue, apresenta-se o modelo segundo o formalismo tipico do metodo do estado local. Nesse sentido, definem-se variaveis de estado primaria ([sigma]) e internas ([D.sub.1], [D.sub.2], [z.sub.1] e [z.sub.2]) e correspondentes variaveis associadas ([epsilon], [Y.sub.1], [Y.sub.2], [Z.sub.1], [Z.sub.2]), sendo [Y.sub.1] e [Y.sub.2] variaveis associadas a [D.sub.1] e [D.sub.2], interpretadas como taxas de energia liberada durante o processo de evolucao de dano. Por sua vez, [Z.sub.1] e [Z.sub.2] sao variaveis associadas, respectivamente, a [z.sub.1] e [z.sub.2] (medidas de dano acumulado) e que controlam o processo de encruamento, estando inseridas nas funcoes representativas dos criterios de danificacao.

As relacoes entre as variaveis de estado e as associadas resultam de um potencial de estado. Neste modelo, sugere-se o potencial de energia livre de Gibbs([chi]) como potencial de estado, adotando-se a seguinte expressao:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (30)

em que:

[[sigma].sup.+] e [[sigma].sup.-] sao, respectivamente, as partes positiva e negativa do tensor de tensoes;

Tr([sigma]) e o primeiro invariante do tensor de tensoes;

[E.sub.0] e o modulo de elasticidade do material integro;

[v.sub.0] e o coeficiente de Poisson do material virgem;

[[beta].sub.1] e [[beta].sub.2] sao parametros a serem identificados e associados ao aparecimento de deformacoes anelasticas.

Alem disso, a funcao f([sigma]) leva em conta as condicoes de abertura e de fechamento da "fissura" e pode ser calculada por:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (31)

em que:

[[sigma].sub.f] e a tensao de fechamento de fissura (parametro do modelo).

Finalmente, [G.sub.1] ([z.sub.1]) e [G.sub.2] ([z.sub.2]) sao funcoes de encruamento.

As leis de estado derivam do potencial (30) e definem as variaveis associadas as variaveis de estado. Por exemplo, o tensor de deformacoes resulta de:

[epsilon] = [partial derivative][chi]/[partial derivative][sigma] = [[epsilon].sub.e] + [[epsilon].sub.an] (32)

em que:

[[epsilon].sub.e] e o tensor de deformacoes elasticas;

[[epsilon].sub.an] e o tensor de deformacoes anelasticas.

Esses tensores sao expressos por:

[[epsilon].sub.e] = [[sigma].sup.+]/E(1 - [D.sub.1]) + [[sigma].sup.-]/E(1 - [D.sub.2]) + v/E ([sigma] - TR([sigma])I) (33)

[[epsilon].sub.an] = [[beta].sub.1][D.sub.1]/E(1 - [D.sub.1]) [partial derivative]f/[partial derivative][sigma] + [[beta].sub.2][D.sub.2]/E(1 - [D.sub.2]) I (34)

em que:

I e o tensor identidade.

Por sua vez, as variaveis associadas as variaveis de dano resultam em:

[Y.sub.1] = [partial derivative][chi]/[partial derivative][D.sub.1] = [[sigma].sup.+] : [[sigma].sup.+] + 2[[beta].sub.1]f([sigma])/2E[(1 - [D.sub.1]).sup.2] (35)

[Y.sub.2] = [partial derivative][chi]/[partial derivative][D.sub.2] = [[sigma].sup.-] : [[sigma].sup.-] + 2[[beta].sub.2]Tr([sigma])/2E[(1 - [D.sub.2]).sup.2] (36)

Tambem variaveis [Z.sub.i] associadas as variaveis de encruamento podem ser definidas de forma analoga. Entretanto, neste caso, em lugar de explicitar as [G.sub.i], propoem-se as expressoes resultantes de ajustes sobre resultados experimentais. A forma geral proposta e a seguinte:

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em que:

[A.sub.i], [B.sub.i] e [Y.sub.oi] sao parametros a serem identificados.

Nota-se que as variaveis [Z.sub.i] tem um valor inicial dado por [Z.sub.i] ([D.sub.i] = 0) = [Y.sub.oi]. As expressoes (37) aparecem, na verdade, nas funcoes criterio de danificacao: [F.sub.i] = [Y.sub.i] - [Z.sub.i], as quais caracterizam condicoes para a evolucao ou nao do dano em tracao ou em compressao. Tais condicoes sao:

Se [Y.sub.i] < [Z.sub.i], entao [[??].sub.i] = 0: a resposta e elastica linear.

[FIGURA 2 OMITTED]

Se [Y.sub.i] = [Z.sub.i] e [[??].sub.t] > 0, entao [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. Pode-se determinar [D.sub.i] a partir da propria (37) por:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (38)

Resultados e discussao

Com o intuito de avaliar a resposta numerica fornecida pelo modelo, tres series de vigas em concreto armado com diferentes taxas de armadura foram ensaiadas em laboratorio. O modelo de dano foi implementado em codigo de calculo escrito em FORTRAN utilizando o Metodo dos Elementos Finitos, onde as vigas sao discretizadas em elementos de barra com camadas estratificadas em sua secao transversal.

As vigas em questao sao biapoiadas com 2,40 m de vao, secao transversal retangular de 12 x 30 cm e com carregamento constituido por duas forcas concentradas aplicadas nos tercos do vao. Tres vigas deste tipo sao consideradas, diferenciando-se entre si pela quantidade e distribuicao geometrica de armadura longitudinal inferior (3[phi]10 mm, 5[phi]10 mm e 7[phi]10 mm). O aco da armadura possui [E.sub.s] = 196 GPa e o concreto possui [E.sub.c] = 29200 MPa. Na Figura 2, sao fornecidos os detalhes da geometria e da armadura.

O modelo constitutivo foi implementado num programa para analise de estruturas de barras discretizadas com elementos finitos estratificados em camadas (EFICoS--Elements Finis a Couches Superposees). Os parametros do modelo (Figura 3) foram identificados por meio de ajustes de curvas experimentais uniaxiais de compressao e de tracao do concreto utilizado na confeccao das vigas.
Figura 3. Parametros do modelo constitutivo.

[Y.sub.01] = 1,46 E - 04 MPa

[Y.sub.02] = 0,15 E - 01 MPa

[A.sub.1] = 2,10 E + 03 [MPa.sup.-1]

[A.sub.2] = 7,000 E + 00 [MPa.sup.-1]

[B.sub.1] = 0,62

[B.sub.2] = 1,50

[[beta].sub.1] = 1,80 MPa

[[beta].sub.2] = -40,0 Mpa

[[sigma].sub.f] = 3,50 MPa


As analises numericas foram desenvolvidas empregando-se uma discretizacao com elementos finitos de barra, fazendo-se uso das simetrias de carregamento e geometria, analisando-se, portanto, apenas metade da viga.

Para as barras de aco longitudinais e assumido um modelo elastoplastico. Perfeita aderencia entre aco e concreto e assumida. Em todos os casos, a malha adotada na discretizacao das vigas foi de 20 elementos finitos e 21 nos, adotando-se ainda 15 camadas na discretizacao da secao transversal. No caso da viga com baixa taxa de armadura entre as 15 camadas, foi definida uma camada de aco. No caso da viga com media taxa de armadura, utilizaram-se duas camadas de aco; na viga com alta taxa de armadura, foram utilizadas tres camadas de aco.

Os confrontos dos resultados numericos e experimentais estao ilustrados nas curvas carga aplicada (P) por deslocamento vertical no meio do vao das vigas (Figura 4).

[FIGURA 4 OMITTED]

Conclusao

Os conceitos gerais da Mecanica do Dano Continuo foram apresentados considerando as definicoes de variaveis de dano e sua incorporacao numa teoria mais ampla, denominada termodinamica dos processos irreversiveis.

Do que foi exposto, a Mecanica do Dano apresenta-se como uma teoria adequada para a formulacao de modelos constitutivos de materiais que apresentam defeitos na sua microestrutura, como e o caso do concreto. Esta teoria leva em conta o acoplamento de efeitos entre os processos de danificacao e o comportamento tensaodeformacao.

Para os exemplos numericos apresentados, ficou claro o bom desempenho de um modelo constitutivo para o concreto derivado do Metodo do Estado Local, pois os resultados sao bastante satisfatorios, quando comparados com as respostas obtidas em ensaios experimentais. Outros modelos, por exemplo, Welemane e Cormery (2002), Jason et al. (2006), Grassl e Jirasek (2006) tambem derivados de tal Metodo, apresentam bom desempenho na simulacao do comportamento de outros materiais.

Por outro lado, modelos constitutivos de dano podem ser obtidos por formulacoes alternativas, como as apresentadas em Pituba (2006) e Pituba (2007).

DOI: 10.4025/actascitechnol.v31il.375

Received on November 8, 2007.

Accepted on August 20, 2008.

Referencias

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GRASSL, P.; JIRASEK, M. Damage-plastic model for concrete failure. International Journal of Solids and Structures, v. 43, p. 7166-7196, 2006.

JASON, L.; HUERTA, A.; PIJAUDIER-CABOT, G.; GHAVAMIAN, S. An elastic plastic damage formulation for concrete: application to elementary tests and comparison with an isotropic damage model. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 195, p. 7077-7092, 2006.

LEMAITRE, J.; CHABOCHE, J. L. Mechanics of solid materials. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

PITUBA, J. J. C. Formulation of damage models for bimodular and anisotropic media. Revista Sul-Americana de Engenharia Estrutural, v. 3, n. 2, p. 7-29, 2006.

PITUBA, J. J. C. An anisotropic model of damage and unilateral effect for brittle materials. International Journal of Applied Mathematics and Computer Sciences, v. 4, n. 2, p. 642-647, 2007.

PITUBA, J. J. C.; PROENCA, S. P. B. Estudo e aplicacao de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecanica do dano continuo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, v. 7, n. 23, p. 33-60, 2005.

PROENCA, S. P. B.; PITUBA, J. J. C. A damage constitutive model accounting for induced anisotropy and bimodular elastic response. Latin American Journal of Solids and Structures, v. 1, n. 1, p. 101-117, 2003.

WELEMANE, H.; CORMERY, F. Some remarks on the damage unilateral effect modeling for microcracked materials. International Journal of Damage Mechanics, v. 11, p. 65-86, 2002.

Jose Julio de Cerqueira Pituba

Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Goias, Av. Dr. Lamartine Pinto de Avelar, 1120, 75700-000, Catalao, Goias, Brasil. E-mail: jose.pituba@itelefonica.com.br
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Author:Pituba, Jose Julio de Cerqueira
Publication:Acta Scientiarum Technology (UEM)
Article Type:Report
Date:Jan 1, 2009
Words:4162
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