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La transformada de Radon aplicada a la segmentacion de imagenes digitales en escala de grises/Radon Transformation Applied to the Segmentation of Grayscale Digital Images/A transformada de Radon aplicada a segmentacao de imagens digitais em escala de cinzas.

INTRODUCCION

Johann Karl August Radon (1887-1956), matematico austriaco, en 1917, publico el articulo donde mostraba que si todas las integrales de lineas de una funcion a lo largo de los hiperplanos se conocian, entonces se podria reconstruir la funcion usando el operador que el propuso, el cual se conoce actualmente con el nombre de transformada de Radon [1-3]. Este ha sido aplicado con exito en variadas tareas como, por ejemplo, la reconstruccion de imagenes tomograficas [4-7], la correccion de imagenes multiespectrales [8], la deteccion de puntos en huellas dactilares digitales [9] y el reconocimiento de caracteres en una imagen digital [10], entre otras.

La segmentacion es una etapa del procesamiento digital de imagenes o PDI. Esta se define, de manera general, como el proceso de dividir una imagen digital en segmentos o estructuras significativas, tal que cada pixel se encuentra asociado a una etiqueta distintiva del segmento al que pertenecen [11-14]. Este proceso suele resultar bastante complejo debido a que en la mayoria de los casos no se cuenta con la informacion adecuada de los pixeles y en otros, el problema se presenta por: el ruido de las imagenes, los histogramas planos o por una iluminacion no homogenea entre otras causas. Esto puede ocasionar en el peor de los escenarios la perdida de pixeles de la region de interes. Para solucionar estos problemas se hace necesario buscar nuevas maneras de obtener informacion de los pixeles, como, por ejemplo, la informacion de la transformada de Radon de los pixeles.

En este documento se presenta un algoritmo de segmentacion denominado por los autores como algoritmo de segmentacion de Radon para binarizar imagenes en escala de grises. El articulo se organiza de la siguiente manera: en la seccion 1 se define desde las matematicas la segmentacion, en la seccion 2 se presentan los fundamentos de la transformada de Radon, en la seccion 3 se muestra el algoritmo de segmentacion propuesto, en la seccion 4 se dan a conocer los resultados obtenidos con los algoritmos de segmentacion de Radon, de Otsu Optimizado y SRG, por ultimo, en la seccion 5 se concluye el documento.

1. LA SEGMENTACION

Desde las matematicas, el proposito de la segmentacion es construir particiones en una imagen digital [11-15]. Es decir, si R representa la region entera de la imagen entonces, la segmentacion particiona a R en n subregiones [R.sub.1], [R.sub.2], [R.sub.3],...,[R.sub.n] tales que:

* Cada pixel debe pertenecer a una region. Esto es, [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

* Los pixeles en una region deben estar conectados. Esto es, [R.sub.i] es una region conectada para i =1, 2, 3, ..., n.

* Las regiones no deben estar unidas. Esto es, [R.sub.i] [intersection] [R.sub.j] =[empty set] para todo i,j con i [not equal to] j.

* Para generar las regiones [R.sub.i] se define un predicado logico P de analisis de los pixeles. Asi, P(Ri ) = VERDADERO si todos los pixeles en [R.sub.i] cumplen el predicado y las regiones [R.sub.i] y [R.sub.j] son diferentes si P ([R.sub.i] [union][R.sub.j]) = FALSO.

Particionar las imagenes es una tarea que puede ser desarrollada con distintos metodos, como por ejemplo: el metodo de umbralizacion, el metodo basado en regiones, el metodo basado en cluster, el metodo watersheds (cuencas hidrograficas), el metodo basado en bordes, el metodo basado en modelos (campos aleatorios de Markov), el metodo de reconocimiento de patrones, el metodo basado en modelos de contorno activo y el metodo de inversion, entre otros [16-18].

2. TRANSFORMADA DE RADON EN DOS DIMENSIONES

Sean: el conjunto abierto D [??] [M.sup.2], la funcion de [C.sup.[infinity]] (D) con soporte compacto f :D [right arrow]R y la recta L que interseca a D como se ilustra en la figura 1.

La integral de linea de f sobre L, se determina con la expresion:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (1)

donde ds es el incremento sobre L. En un sistema de coordenadas rotados [theta] grados xy e x'y' (figura 2), se establecen las siguientes relaciones para (x, y) [member of] L y [theta] un angulo fijo en [0, 2[pi]):

p = xcos[theta] + ysen[theta] (2)

x = x 'cos[theta] - y'sen[theta] (3)

y = x'sen[theta] + y'cos[theta] (4)

(2) se denomina la ecuacion de la recta normal de L (figura 2). Entonces la integral (1) se puede escribir como,

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5)

De acuerdo con [19 - 20], f(p,[theta]) es la transformada de Radon en dos dimensiones de f cuando f(p,[theta]) existe para todos los valores de py [theta], mientras que para un angulo fijo [theta] se dice que es una proyeccion de f al angulo [theta] (figura 3).

La transformada de Radon en el contexto del PDI sufre dos discretizaciones por la naturaleza de las maquinas (computadores, tomografos, entre otras). La primera se da en la variable angular [theta] y la segunda la sufre la proyeccion para cada uno de los angulos discretizados y tiene que ver con el numero de rayos que se requieren (resolucion). La integral de linea dada en (5) a lo largo de la recta que pasa por los puntos [P.sub.1] y [P.sub.2] (figura 4) en forma discreta se aproxima por medio de:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (6)

Aqui, L(i, j) corresponde a un factor de peso del pixel (i, j) igual a la longitud de la interseccion del rayo con el pixel (i, j) y p(i, j) corresponde al valor de intensidad de la imagen asignado al pixel (i, j).

3. ALGORITMO DE SEGMENTACION DE RADON

Para generar las regiones [R.sub.i] de dicho algoritmo, los autores definen el siguiente predicado logico:

"Un pixel (i, j) pertenece a la region de interes [R.sub.i ]si cumple |rn - [r.sub.s]n\[less than or equal to] T, donde:

[check] rn es la proyeccion de Radon para [theta] = 45[grados] del rayo n-esimo para cada pixel analizado.

[check] [r.sub.s]n es la proyeccion de Radon para [theta] = 45[grados] del rayo n-esimo para el pixel escogido como semilla en la region de interes.

[check] T es el limite de la banda de aceptacion; mismo que se calcula dividiendo 100 (pixel unidad) entre el numero de rayos de la proyeccion de Radon para [theta] = 45[grados] (en forma impar para efectos de simetria y de programacion)".

En la figura 5 se presenta el diagrama de flujo con los comandos respectivos de MatLab version R2015b.

Las imagenes segmentadas en regiones blancas y negras, es decir, las imagenes binarizadas se ilustran en la figura 6 y la relacion de los pixeles respectivos se presenta en la tabla 1. Estas fueron procesadas en un equipo Toshiba Tecra A11-SP5003L. El software empleado fue MatLab.

La imagen 'hojas.jpg' es una imagen en colores; el resto son imagenes en escala de grises de los archivos de MatLab cuyo proposito es la experimentacion con nuevos algoritmos. Las distribuciones de las intensidades, observadas en los histogramas (figura 7), hacen de cada imagen escogida la representante de una familia completa de imagenes.

4. ANALISIS DE RESULTADOS

Los resultados del algoritmo de segmentacion de Radon se compararon con los resultados de los algoritmos de Otsu Optimizado [21] y SRG [22]; mismos que se escogieron por ser robustos y rapidos. El primero automatizado, parametrico (utiliza la informacion del histograma y la varianza para determinar el umbral), y el segundo no parametrico requiere supervision humana (utiliza la informacion de un pixel semilla a partir del cual crece la region de acuerdo con un predicado logico). Todas las imagenes fueron previamente filtradas para eliminar el ruido con el algoritmo de difusion Perona-Malik [23].

Las figuras de la 8 a la 13 contienen las imagenes originales, las imagenes binarizadas con el algoritmo de segmentacion de Radon y con los otros dos algoritmos. Las zonas encerradas con rojo senalan las regiones en donde los algoritmos presentaron dificultades ya sea por perder pixeles, brindar informacion falsa (pixeles que no pertenecen a la region de interes) o por no poder segmentar.

La tabla 2 contiene los tiempos promedio de procesamiento de los algoritmos.

* El algoritmo de Radon ni el SRG se encuentran optimizados, algo que si ocurre con el algoritmo de Otsu lo que lo convierte en el mas rapido.

* Cuando las escenas de la imagen registran iluminacion no homogenea en los objetos de interes como por ejemplo, 'hojas.jpg' y 'boat.bmp' el algoritmo de Radon le toma ventaja en tiempo al algoritmo SRG.

La tabla 3 brinda informacion sobre el numero de pixeles de las regiones de interes de las imagenes binarizadas. El signo negativo indica que se perdieron pixeles de la region de interes mientras que el positivo indica los pixeles que no hacen parte de dicha region; se trata de falsos positivos.

* El algoritmo que menor numero de pixeles pierde en las regiones de interes, es el algoritmo de segmentacion de Radon; ademas, no proporciona informacion falsa.

* Para el caso 'circuito.tif' el de Otsu arroja informacion falsa lo mismo que el SRG.

* Un punto de discusion para estos resultados se genera con el peso que se le asigne a los algoritmos en cuanto a importancia del tiempo de ejecucion o perdida de pixeles de las regiones de interes.

CONCLUSIONES

En este documento se mostro que la transformada de Radon puede ser aplicada con buenos resultados en la segmentacion de imagenes en escala de grises.

El algoritmo de segmentacion de Radon propuesto no requiere de usuarios expertos en parametros especiales de entrada; deben seleccionar visualmente las semillas de las regiones de interes que desean separar del resto de regiones en la imagen digital.

Con la divulgacion de este algoritmo, la comunidad interesada en el PDI tendra entre sus tareas el fortalecimiento y la optimizacion del mismo.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al CIFI (Centro de Investigaciones de la Facultad de Ingenieria y Ciencias Basicas de la Universidad Central) por financiar este proyecto de investigacion.

REFERENCIAS

[1] V. Bogachev y M. N. Lukintsova. "The Radon transform in infinite-dimensional spaces". Doklady Mathematics. Vol. 85. No 2. MAIK Nauka/Interperiodica, 2012.

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[3] J. Radon, "Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten", Berichte Sachsische Akademie der Wissen-schaften, Leipzig, Math-Phys., 69:262-277, 1917.

[4] T. Buzug, "Computed Tomography.From Photon Statistics to Modern Cone Be- am CT". Leipzig, Germany: Springer, 2008.

[5] A. Kak y M. Sallaney, "Principles of Computarized Tomography", IEEE Press, New York, 1988.

[6] E. Grinberg, "On images of Radon transforms", Duke Mathematical Journal, 52:939-972, 1985.

[7] S. Deans, "The Radon Transform and some of its applications", New York: John Wiley and Sons Inc, 1983.

[8] P. Tyagi, y U. Bhosle, "Radiometric correction of Multispectral Images using Radon transform". Journal of the Indian Society of Remote Sensing 42.1, 2014.

[9] M. Miguel, et al., "Radon transform algorithm for fingerprint core point detection". Mexican Conference on Pattern Recognition. Springer Berlin Heidelberg, 2010.

[10] P. Sharma et al., "An Innovative ANN Based Assamese Character Recognition System Configurad with Radon Transform." Wireless Networks and Computational Intelligence. Springer Berlin Heidelberg, 287-292, 2012.

[11] G. Pavlidis, "Mixed Raster Content. Segmentation, Compression, Transmission", Singapore: Springer, 2017.

[12] R. Gonzalez y R. Woods, "Digital Image Processing". New Jersey: Prentice-Hall, 2002.

[13] R. Bracewell, "Two-Dimensional Imaging", Englewood Clifs, NJ, Prentice-Hall, 1995.

[14] J. Lim, "Two-Dimensional Signal and Image Processing", Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1990.

[15] M. Ekstrom, "Digital image processing techniques", Vol. 2, Academic Press, 2012.

[16] R. Yogamangalam and B. Karthikeyan. "Segmentation techniques comparison in image processing." International Journal of Engineering and Technology (IJET) 5.1, 307-313, 2013.

[17] Oak, Rajvardhan. "A study of digital image segmentation techniques." Int. J. Eng. Comput. Sci 5.12, 19779-19783, 2016.

[18] Kaganami, Hassana Grema, and Zou Beiji. "Region-based segmentation versus edge detection." Intelligent Information Hiding and Multimedia Signal Processing, 2009. IIH-MSP'09. Fifth International Conference on. IEEE, 2009.

[19] F. Natterer, "The Mathematics of Computarized Tomography", Siam, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, EUA, 2001.

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[21] N. Otsu, "A threshold method from gray-level histogram", IEEE Transactions on System Man Cybernetics, Vol. SMC-9. No.1, 1979, pp.62-66. Optimizado en la Universidad Nacional de Quilmes. Ingenieria en Automatizacion y Control Industrial. Catedra Vision Artificial, 2005.

[22] R. Adams y L. Bischof, "Seeded Region Growing", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 16, 1994.

[23] P. Perona and J. Malik, "Scale-space and edge detection using anisotropic diffsion," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 12, no 7, pp. 629-639, 1990.

Ricardo Joaquin de Armas Costa (**)

Shirley Viviana Quintero Torres (***)

Cristina Acosta Munoz (****)

Carlos Camilo Guillermo Rey Torres (*****)

(*) Este articulo es un producto de la fase terminada de segmentacion de imagenes digitales del proyecto de investigacion titulado Modelos numericos robustos para detectar el estado de salud de los arboles urbanos a partir de imagenes digitales procedentes del drone Phantom 2 Vision financiado por la Universidad Central de Bogota.

(**) Docente investigador, Departamento de Matematicas, Universidad Central de Bogota, Colombia. Correo electronico: rde_armasc@ucentral.edu.co

(***) Docente investigador, Departamento de Ingenieria Electronica, Universidad Central de Bogota, Colombia. squinterot@ucentral.edu.co

(****) Docente investigador, Departamento de Ingenieria Ambiental, Universidad Central de Bogota, Colombia. cacostam@ucentral.edu.co

(*****) Docente investigador, Departamento de Matematicas, Universidad Central de Bogota, Colombia. creyt@ucentral.edu.co

Recibido: 03/07/2016 * Aceptado: 08/07/2017

DOI: 10.22395/rium.v17n32a10
Tabla 1. Datos de las imagenes de prueba

     Imagen      Formato  Resolucion  Numero de pixeles

1    'rice'        Tif     256x256          65536
2   'coi ns'       Png     246x300          73800
3  'circuito'      Tif     526x510         268260
4    'hojas'       Jpg    2448x3264        7990272
5  'cameraman'     Tif     256x256          65536
6    'boat'        bmp     512x512         262144

Fuente: elaboracion propia

Tabla 2. Datos de los tiempos promedios de los algoritmos

                 Algoritmo de    Algoritmo de  Algoritmo Seeded
Imagenes        Otsu Optimizado     Radon       Region Growing
                     t (s)          t (s)           t (s)

'rice.tif'         0,000764        1,953297       1,607257
'coins.png'        0,000746        1,681585       1,366126
'circuito.tif'     0,0 01257       1,433066       1, 211621
'hojas.jpg'        0,066307      163,499398    1556,155041
'cameraman.tif'    0,003648        0,885388       0,818 291
'boat.bmp'         0,0 01392      10,287584      10,320769

Fuente: elaboracion propia

Tabla 3. Datos de los pixeles de las regiones de interes

Imagenes         Algoritmo de    Algoritmo de Radon  Algoritmo
                Otsu Optimizado      (pixeles)          SRG
                  (pixeles)                          (pixeles)

'rice.tif'            -1224              -17             -3771
'coins.png'           +1146              -10               -13
'circuito.tif'       +18119               -5           +165373
'hojas.jpg'         +318927              -11           +400372
'cameraman.tif'       +3371              -19            -19421
'boat.bmp'          +146165              -24             -5631

Fuente: elaboracion propia
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Author:Costa, Ricardo Joaquin de Armas; Torres, Shirley Viviana Quintero; Munoz, Cristina Acosta; Torres, C
Publication:Revista Ingenierias
Date:Jan 1, 2018
Words:2649
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