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Indice de capacidad con perfiles lineales en el proceso de concentracion y potencial de hidrogeno de fungicidas.

Index of capacity with linear profiles in the process of concentration and potential of hydrogen of fungicides

INTRODUCCION

En la actualidad se pueden observar diferentes factores que afectan el manejo en el control de la calidad, por tal motivo las empresas deben tener un sistema de mejoramiento continuo que satisfaga las necesidades del cliente, ayudandose del control estadistico del proceso (SPC, por sus siglas en ingles) para analizar las variables que puedan causar inconsistencias dentro del proceso; lo anterior tiene el fin de prevenir que existan factores dentro de la produccion que impidan cumplir con los requerimientos minimos de calidad propuestos por la compania.

En el siguiente trabajo se aplicaran los indices de capacidad mediante los perfiles lineales para determinar si el proceso presenta variaciones, a partir de los graficos de control se establecera si el proceso cumple con las especificaciones requeridas por el cliente o la empresa, lo cual, a su vez, permite evaluar el rendimiento de la operacion en cada uno de los procesos y saber los puntos criticos que hacen que el producto final no cumpla con los estandares de calidad; se busca realizar una aplicacion de las formulas de indice de capacidad para perfiles lineales implementadas por Nemati Keshtelia, Baradaran Kazemzadeha, Amirib y Noorossan [1].

Los perfiles lineales se representan comunmente como modelos parametricos, regresion lineal simple, regresion lineal multiple, regresion polinomica, no lineal regresion, regresion logistica, modelos circulares y modelos cilindricos; los indices de capacidad de proceso se utilizan para evaluar el rendimiento del proceso. Sin embargo, hay pocos documentos sobre el indice de capacidad del proceso en los perfiles, por eso es necesario investigar mas sobre el tema, lo cual se procura en el siguiente trabajo de investigacion [2].

MARCO TEORICO

Monitoreo de perfil

El uso de las cartas de control en situaciones donde la calidad de un proceso o producto esta caracterizada por la relacion funcional entre una variable de respuesta y una o mas variables independientes se denomina monitoreo de perfil, la mayoria de las investigaciones sobre el monitoreo de perfil hacen referencia al perfil lineal simple. Un perfil lineal simple es un perfil lineal con una sola variable independiente [3].

Se deben considerar dos fases en el monitoreo de perfil, en la primera fase el objetivo principal es estimar los parametros del perfil y evaluar la estabilidad del proceso, dichas estimaciones se usan para disenar graficos de control; por otro lado, en la segunda fase se detectan de manera inmediata los cambios en los parametros del proceso.

[y.sub.ij] = [A.sub.0] + [A.sub.1] [X.sub.i] + [[epsilon].sub.ij], I = 1,2, ..., n,j = 1,2, ..., k (1)

Donde [[epsilon].sub.ij] S son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y varianza [[sigma].sup.2]. La pendiente de interseccion de la linea se llama coeficiente de regresion o perfil, se supone que los valores X son fijos y toman el mismo conjunto de valores para cada muestra [4].

Los indices de capacidad del proceso se utilizan para evaluar cual es el rendimiento del proceso. Kane introdujo el primer indice de capacidad [C.sub.p], encargado de medir la capacidad potencial de un proceso sin tener la necesidad de involucrar la media del proceso. Su ecuacion se presenta a continuacion:

[C.sub.p] = Les - Lei/UNTL - LNTL = Les - Lei/([my] + 3[sigma]) - ([my] - 3[sigma]) (2)

Donde [sigma] es la desviacion estandar del proceso; Les y Le i son los limites de especificacion inferior y superior; UNTL es el limite superior de tolerancia natural y LNTL es el limite inferior de tolerancia natural; [C.sub.PK] es el indice de capacidad del proceso, el cual se utiliza para comparar la dispersion del proceso y el rango de tolerancia, ademas que considera la posicion de la media del proceso [5].

[C.sub.pk] = min {Les - [my]/3[sigma], [my] - Lei/3[sigma]} (3)

Existen otros tipos de indices de capacidad de proceso, en [3] proponen un metodo para un indice de capacidad de proceso cuando se esta monitoreando un perfil lineal simple; consideran la variable respuesta como una caracteristica de desigualdad con distribucion limitada y limites de especificacion conocidos. El [C.sub.pk] de la variable respuesta se calcula en cada nivel de la variable explicativa, luego, el [C.sub.pk] se introduce como el indice de capacidad del proceso en un perfil lineal simple.

Ebadi y Shahriari [5] reemplazaron la variable de respuesta de Shahriari y Sarafian [3] por una variable de respuesta pronosticada en cada nivel de la variable explicativa, posterior a ello utilizaron un indice de capacidad de proceso multiple para medir la capacidad del proceso. Tambien mencionaron que el [C.sub.pk] en los niveles de variable explicativa conduce a un indice de capacidad del proceso subestimado, motivo por el cual sugirieron un metodo basado en el metodo de Bothe que utiliza una proporcion de elementos no conformes [6].

En [4] se centran en el indice de capacidad de proceso de un perfil lineal simple bajo el supuesto de no normalidad de la variable respuesta, introdujeron la distribucion Burr XII en la variable de respuesta de cada nivel de la variable explicativa; posteriormente usaron el metodo Clements con el fin de calcular [C.sub.pu]/ [C.sub.pl], es decir, [C.sub.pk] para la variable respuesta en cada nivel de la variable explicativa. En dicho metodo el [C.sub.pk] de la variable respuesta se calcula en n niveles de la variable explicativa, mientras que el [C.sub.pk] se introduce como el indice de capacidad del proceso en el perfil lineal simple; [C.sub.p] y [C.sub.pk]k se calcula de la siguiente manera:

[C.sub.p] = 1/6 [[fi].sup.-1] (1 - [P.sub.U]) - [[fi].sup.-1] ([P.sub.L])], (4)

[C.sub.p] = 1/3 min[[[fi].sup.-1] (1 - [P.sub.U]) - [[fi].sup.-1] ([P.sub.L]), (5)

Donde [P.sub.u] se estima usando las ecuaciones (6) y (7).

[Expresion matematica irreproducible.], (6)

[Expresion matematica irreproducible.], (7)

[P.sub.L] se estima con las ecuaciones (8) y (9).

[Expresion matematica irreproducible.], (8)

[Expresion matematica irreproducible.], (9)

En las ecuaciones (7) y (9)[my]y y [sigma] son la media y la desviacion estandar de la variable de respuesta en diferentes niveles de la variable explicativa; [Les.sub.i] y [Lei.sub.i]en las ecuaciones (6) y (9) son los limites de especificacion superior e inferior para la variable de respuesta en el nivel i-esimo de la variable explicativa, considerando n mezcla de puntos de diseno dentro de un perfil lineal simple.

El indice de capacidad del proceso [C.sub.p] que se definio en la ecuacion (2) es una comparacion entre los limites de tolerancia natural y los limites de especificacion de un proceso. En un perfil lineal simple y = [A.sub.0] + [A.sub.1] X es la linea de referencia del proceso, [a.sub.0] + [a.sub.1] es la media condicional de Y y X, por lo que [my] se calcula de la siguiente manera:

[my] = [a.sub.0] + [a.sub.1] x (10)

Es una variable aleatoria normal con media de [a.sub.0] + [a.sub.1] x y varianza de [[sigma].sup.2], y [a.sub.1] son estimaciones de Aa y [A.sub.0] [A.sub.1] y se calculan como [a.sub.0] = ([[suma de].sup.k.sub.j] [a.sub.0j])/k y [a.sub.1j])/k, respectivamente. Son [a.sub.0j] y [a.sub.1j] los interceptas estimados en el j-esimo perfil de muestra.

La varianza del proceso [[sigma].sup.2] se estima utilizano MSE y se calcula como MSE = ([[suma de].sup.k.sub.j][ MSE.sub.j], donde MSE,-es la varianza estimada en elj-esimo perfil de muestra; por lo tanto, se puede definir el JJNTL y LNTLae Y como la ecuacion (11) y (12) [7],

[UNTL.sub.j] = [my] + 3[sigma] = [a.sub.0] + [a.sub.1]x + 3[sigma] (11)

[LNTL.sub.j] = [my] + 3[sigma] = [a.sub.0] + [a.sub.1]x -- 3[sigma] (12)

UNTL y son dos lineas parale y LNTL son dos lineas paralelas y la distancia entre ellos es igual a 6[sigma]. Como se menciono anteriormente, [my], UNTL y LNTL de Y son funciones de C como [[my].sub.y](x) = [a.sub.0] + [a.sub.1] x + 3[sigma] y LNTL(x) = [a.sub.0] + [a.sub.1]x - 3[sigma]. Se supone que los limites de especificacion de Y son dos funciones de X, tal como las obtiene las ecuaciones (13) y (14).

[Les.sub.y] (x) = [a.sub.0u] + [a.sub.1u] x (13)

[Lei.sub.y] (x) = [a.sub.0u] + [a.sub.1u] x (14)

Actualmente [C.sub.p] de un perfil lineal simple tiene una forma funcional, como se presenta en la ecuacion (15).

[C.sub.p] = [Les.sub.y](x) - [Lei.sub.y](x)/[UNTL.sub.y](x) - [LNTL.sub.y](x) x [elemento de] [[x.sub.1], [x.sub.2]] (15)

Al usar [C.sub.p](x) como el indice de capacidad del proceso del perfil lineal simple, es posible evaluar la capacidad en cada nivel de X. La capacidad del proceso en cada nivel de la variable explicativa propone informacion detallada del proceso, sin embargo, es necesario tener un valor unico del indice de capacidad del proceso para un perfil lineal simple en todos los rangos de la variable explicativa, lo anterior con el fin de dar un juicio general sobre la capacidad del proceso. Se recomienda utilizar el area limitada entre [Les.sub.y]y Leipara calcular [Les.sub.y](x) y Leiy(x), tambien el area limitada entre [UNTL.sub.y] y [LNTL.sub.y] para calcular [UNTL.sub.y](x) y LNTL(x), lo propuesto por los autores al determinar un valor unico para el [C.sub.p] de un perfil lineal simple es:

[Expresion matematica irreproducible.] (16)

[UNTL.sub.y](x) y LNTL(x) son dos lineas paralelas. [Les.sub.y](x) y [Lei.sub.y](x) son dos lineas paralelas como [Les.sub.y] (x) = [a.sub.0u] + [a'.sub.1]x, y [Lei.sub.y](x) = [a.sub.01] + [a'.sub.1x], donde aQu, [a.sub.0u], [a.sub.01], [a'.sub.1] son la intercepcion de [Les.sub.y](x), la intercepcion de [Lei.sub.y](x) y la pendiente de Lesy(x) y Leiy(x). La distancia de estas lineas paralelas se puede considerar como su diferencia, por lo que [C.sub.p(profile] se calcula de la siguiente manera:

[C.sub.p(profile] = [a.sup.0u] - [a.sub.0l]/6[sigma] (17)

[C.sub.pk](x) se calcula asi:

[Expresion matematica irreproducible.] (18)

Donde [[my].sub.y](x) es la funcion de la linea de referencia, [C.sub.pk] (x) da el valor de [C.sub.pk] de un proceso simple en cada nivel de x, el [C.sub.pk] de un perfil lineal simple se calcula:

[Expresion matematica irreproducible.] (19)

El indice de capacidad del proceso [C.sub.pk], cuando solo se encuentra disponibles los limites de especificacion funcional superior o inferior, se puede calcular mediante las siguientes ecuaciones:

[Expresion matematica irreproducible.] (20)

[Expresion matematica irreproducible.]. (21)

Si [Les.sub.y](x) es mas grande que [[my].sub.y] (x) en [[x.sub.1], [x.sub.m]] y menor que [[my].sub.y] (x) en [[x.sub.m], [x.sub.u]], entonces el indice de capacidad minimo se calcula de la siguiente manera:

[Expresion matematica irreproducible.] (22)

METODOS

Para demostrar la aplicacion del control estadistico en el proceso de fabricacion de los fungicidas se tomaron los datos historicos de dos variables, concentracion y potencial de hidrogeno (pH). Para hallar el indice de capacidad con perfiles lineales se procede a:

* Tabular los datos tomados en el proceso de fabricacion de fungicida.

* Calcular el indice de capacidad univariado tradicional para ambas variables.

* Los datos tabulados se utilizan para realizar diversos analisis estadisticos a traves de un software.

* Luego se hallan los indices de capacidad para perfiles lineales.

RESULTADOS

En este articulo se busca conocer el indice de capacidad del proceso de la concentracion y el pH de un proceso de fungicidas, se realizara una regresion lineal para hallar el indice de capacidad para perfiles, aplicando la propuesta de aplicacion de una regresion simple y realizando una modificacion a la propuesta por [8]. Los datos tomados sobre la concentracion y el pH se mostraran en la Tabla 1.

Inicialmente se determinaron los indices de capacidad univariados tradicionales implementando la ecuacion (2) para cada una de las variables. Para la concentracion el [C.sub.p] es de 0,5932 y el [C.sub.p] de la variable pH es de 0,6626 (Figura 1 y Figura 2).

Los indices de capacidad que arrojaron las variables son menores a la unidad, por lo que el proceso no cumple con las especificaciones de diseno. El factor de correlacion dio un valor muy bajo (0,0038), lo que indica que la relacion entre las variables es debil; en este sentido, la ecuacion de regresion linea de Y = 57,37 + 0,14X o Concentracion = 57,37 + 0,14 X pH, no brindara un modelo eficiente para predecir la correspondencia entre el pH y la concentracion del proceso de fungicidas.

Se calcula el indice de capacidad lineal, por lo que se determinan los limites de especificacion superior e inferior (Les y Leis) y los limites de proceso superior e inferior (UNTL y LfiTL). Los limites de especificacion se obtienen con los intervalos de confianza del proceso los cuales se mostraran en la Tabla 2.

Obteniendo las ecuaciones ies = 73,4892 +1,58744x y Lei - 36,2532 - 1,23902a:, donde [my] es la ecuacion de la variable Y y [sigma] es la raiz del cuadrado medio del error, la cual es 0,87171211. Los limites del proceso estan determinados por las siguientes ecuaciones, para el limite superior UNTL = 78,4892 + 0,149211* y para el limite inferior LNTL = 36,2532 + 0,149211*.

Se calcula el indice de capacidad del proceso teniendo en cuenta las especificaciones de la variable de (2,4-3), el indice de capacidad del proceso es:

[Expresion matematica irreproducible.] (18)

El resultado indica un proceso capaz de cumplir en forma satisfactoria las especificaciones establecidas. Posteriormente se determina el [C.sup.pk] (profile) con el fin de identificar hacia donde se encuentra desplazado el proceso.

[Expresion matematica irreproducible.] (18)

El [C.sub.pk] indica que el proceso de fabricacion de fungicidas se encuentra centrado.

CONCLUSIONES

Cuando se realizo el calculo de los indices de capacidad univariado tradicionales dio como resultado que ninguna de las variables cumplia con las especificaciones requeridas por el proceso, la regresion lineal arrojo que las variables, a pesar de que su correlacion no es fuerte, en el indice de capacidad con un perfil lineal simple son satisfactorias, lo que demuestra que existe una diferencia entre el metodo clasico que omite la asociacion de las variables, asi sea de un grado menor, con respecto al metodo de perfiles lineales; esta diferencia implica en el control estadistico de calidad una discusion acerca de cual de las metodologias es la adecuada para representar las condiciones reales de un proceso.

REFERENCIAS

[1] P. D. Paula, Control estadistico de calidad mul tivariado, para el monitoreo e identificacion de causas de variabilidad en procesos, Tesis de grado, Departamento de Ingenieria Industrial, Universidad Nacional de Colombia, Manizales, 2012.

[2] R. Noorossana, A. Saghaie and A. Amiri, Sta tistical Analysis of Prole Monitoring. New Jersey: John Wiley and Sons, 2011. https://doi. org/10.1002/9781118071984 [3] H. Shahriari y M. Sarafian, "Evaluacion del pro ceso--Evaluacion de la capacidad en perfiles lineales", en Conferencia Internacional de Ingenieria Industrial, Teheran, 2009.

[4] Hosseinifard, SZ y Abbasi, B. Evaluacion de pro indices de capacidad de Cess lineal per les", Revista Internacional de Gestion de Calidad y Confiabilidad, 29 (2), pp. 162-176 (2012).

[5] M. Ebadi and H. Shahriari, "A process capability index for simple linear profile, International", Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 64, pp. 857-865 (2013). https://doi. org/10.1007/s00170-012-4066-7

[6] J. D. Mosquera, J. C. Mosquera y I. Artamo nova, "Indicadores de capacidad aplicados a la desercion en las universidades colombianas", Ciencia e Ingenieria Neogranadina, vol. 21, no. 2, pp. 183-203, 2011. https://doi. org/10.18359/rcin.266

[7] O. Mestek, J. Pavlik and M. Suchanek, "Multiva riate control charts: control charts for calibration curves", Journal of Analytical Chemistry, vol. 350, no. 6, pp. 344-351, 1994.

[8] R. Nemati, R. B. Kazemzadeha, A. Amiri and R. Noorossana, "Developing functional process capability indices for simple linear profile" Scientia Iranica, vol. 21, no. 3, 2014.

Jorge Andres Trillos Garcia (1) Maria Alejandra Viloria Canole (2) Roberto Jose Herrera Acosta (3)

Para citar: Trillos, J., Viloria, M., y Herrera, R. (2018). Indice de capacidad con perfiles lineales en el proceso de concentracion y potencial de hidrogeno de fungicidas. Redes de Ingenieria, 9(1), 32-38, doi: https://doi. org/10.14483/2248762X.12795.

Recibido: 30-noviembre-2017 / Aprobado: 17-diciembre-2017

Leyenda: Figura 1. Indice de capacidad para la variable concentracion [C.sub.p] = 0,5932

Fuente: elaboracion propia.

Leyenda: Figura 2. Indice de capacidad para la variable pH [C.sub.p] = 0,6626.

Fuente: elaboracion propia.
Tabla 1. Datos historicos.

No.   Concentracion (Y)    pH(X)

1        59,51              14,790
2        58,01              14,640
3        59,00              14,730
4        60,17              14,160
5        61,50              14,970
6        61,02              14,625
7        59,63              15,660
8        60,24              14,025
9        58,95              15,030
10       57,98              14,340
11       60,44              14,700
12       58,91              14,190
13       59,18              15,030
14       59,46              14,640
15       59,42              14,640

Fuente: Elaboracion propia.

Tabla 2. Intervalos de confianza.

Parametro   Estimacion    Error     Limite     Limite
                         estandar   inferior   superior

Constante    57,3712     9,77517    36,2532    78,4892
pH           0,149211    0,665731   -1,28902   1,58744

Fuente: elaboracion propia.
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Title Annotation:Reporte de caso
Author:Trillos Garcia, Jorge Andres; Viloria Canole, Maria Alejandra; Herrera Acosta, Roberto Jose
Publication:Redes de Ingenieria
Date:Jan 1, 2018
Words:3200
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