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Hybrid stochastic-deterministic model for the prediction of the as cast grain structure under grain settling/Modelo matematico deterministico-estocastico para previsao da macroestrutura bruta de solidificacao sob efeito da decantacao de graos.

1 INTRODUCAO

Diversos modelos matematicos sao apresentados na literatura desde a decada de 1960 com tentativas de prever as microestruturas e macroestruturas brutas de solidificacao. Os modelos denominados deterministicos (1-3) utilizam um conjunto de equacoes diferenciais deterministicas, ou seja, sem variaveis aleatorias. Por outro lado, os modelos chamados de estocasticos apresentam variaveis aleatorias em alguns de seus calculos. Entre os modelos estocasticos, destacam-se os baseados em adaptacoes da tecnica do automato celular para a solidificacao. (4-6) Neste tipo de modelo, as etapas de nucleacao e crescimento sao modeladas para cada grao e nao de forma media, como nos modelos deterministicos. Como um de seus principais resultados, os modelos estocasticos apresentam uma imagem completa da macroestrutura de graos. Extensoes para considerar a decantacao de graos nestas abordagens (deterministica ou estocastica) ja foram propostas. Para a tecnica do automato celular (CA), (5) os modelos preveem a macroestrutura de graos, mas carecem de equacionamentos completos para a movimentacao do solido nas equacoes de conservacao. Modelos deterministicos que consideram a movimentacao de graos (3,7,8) sao vantajosos do ponto de vista computacional, mas nao possuem um calculo eficiente da macroestrutura de graos como o fornecido pela tecnica do automato celular. O presente trabalho tem como objetivo a proposta de um modelo matematico para prever a macroestrutura de graos bruta de solidificacao a partir de uma combinacao das vantagens dos modelos deterministicos e estocasticos.

1.1 Metodologia

O modelo matematico proposto no presente trabalho e implementado em tres partes: (a) algoritmo baseado na tecnica do automato celular para simular a nucleacao, crescimento e translacao dos graos; (b) submodelo microscopico baseado nos principios de conservacao aplicados no interior de cada grao (escala microscopica) e (c) submodelo macroscopico baseado nos principios de conservacao aplicados em todo o dominio (escala macroscopica).

1.2 Equacoes de Conservacao

O dominio do submodelo microscopico e definido como a regiao interna dos graos, enquanto o do submodelo macroscopico consiste de toda a regiao contendo o metal (equivalente a cavidade de um molde de fundicao) como seu dominio. A Figura 1 ilustra estes dois dominios. O submodelo microscopico, utilizando a tecnica do automato celular, simula fenomenos como a nucleacao, (6) o crescimento (4) e a translacao de graos, (5) enquanto seu conjunto de equacoes diferenciais fornece a fracao de solido e a concentracao de soluto internamente aos graos. No submodelo macroscopico, por outro lado, calculam-se os campos de temperatura e de concentracao de soluto no liquido extradendritico.

Cada um dos submodelos (microscopico e macroscopico) possui um conjunto de equacoes diferenciais especifico, baseadas nos principios de conservacao de massa, energia e especies quimicas. Alem disso, devido as escalas de tamanho dos fenomenos que sao tratados em cada um dos submodelos serem diferentes, definiram-se dois volumes elementares representativos (VER) de tamanhos diferentes para definir as variaveis medias: (9) um volume microscopico ([[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]) e um macroscopico ([[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]). As variaveis medias dos submodelos microscopicos e macroscopicos sao definidas, respectivamente, por meio das medias volumetricas apresentadas nas Equacoes 1 e 2:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (1)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2)

onde [<[[psi].sub.k]>.sup.k.sub.m] e a media intrinseca da grandeza [psi] no VER microscopico e [<[[psi].sub.k]>.sup.k.sub.M] no VER macroscopico; [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] sao os volumes da fase k no interior do VER microscopicos e macroscopicos, respectivamente.

[FIGURA 1 OMITTED]

No desenvolvimento das equacoes de conservacao para cada submodelo, sao utilizadas hipoteses gerais que se aplicam aos dois submodelos. Estas hipoteses sao: (a) a liga metalica e binaria e sofre reacao eutetica; (b) as massas especificas e calores especificos de todas as fases sao iguais e constantes; (c) os graos apresentam apenas o movimento de decantacao; (d) a conveccao natural do liquido e desprezada, porem, e considerada aquela induzida pela decantacao de graos; (e) as velocidades medias de todas pseudofases liquidas e solidas nos dois submodelos apresentam direcao paralela a da aceleracao gravitacional; (f) o eutetico apresenta velocidade igual a da fase primaria; (g) nao ha difusao de soluto nas fases solidas e eutetico; (h) despreza-se a difusao de soluto macroscopica; (i) existe equilibrio termodinamico local nas interfaces solido-liquido. As equacoes do submodelo microscopico sao obtidas utilizando este conjunto de hipoteses e considerando um sistema de referencias fixo no grao (x',y'), resultando nas Equacoes 3-6:

[[epsilon].sub.d][<[v'.sub.d]>.sup.d] = [[kappa].sub.v][<[v.sub.s]>.sup.s.sub.M] (3)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (4)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (5)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

onde [<[[barra.v'].sub.d]>.sup.d] e a velocidade do liquido interdendritico relativa ao referencial do grao; [k.sub.v] e o coeficiente de particao de escoamento; (10) [<[v.sub.s]>.sup.s.sub.M] e a velocidade media das fases solidas no VER macroscopico; [[epsilon].sub.gM] e a fracao de grao no VER macroscopico; [<T>.sub.M] e a temperatura do VER macroscopico; T e a temperatura no interior do grao; [[TAU].sub.s] e [[TAU].sub.e] sao as taxas de transformacao de fase de solido primario e de eutetico, respectivamente; Lf e o calor latente de fusao; p e a massa especifica; [barra.K] e a condutividade termica media das fases; [[epsilon].sub.d] e a fracao de liquido interdendritico dentro do VER microscopico; [<[C.sub.d]>.sup.d] e a concentracao de soluto na fase liquida interdendritica; D o coeficiente de difusao na fase liquida interdendritica; k o coeficiente de particao; [T.sub.f] e a temperatura de fusao do metal puro; [m.sub.l] e [C.sub.e] sao a inclinacao da curva liquidus e a concentracao eutetica, ambas obtidas a partir do diagrama de fases; [[epsilon].sub.s] e [[epsilon].sub.e] sao as fracoes das fases solidas primaria e eutetica, respectivamente.

Utilizando um sistema de referencia fixo no molde (x, y) e considerando as hipoteses apresentadas anteriormente, sao obtidas as Equacoes 7 a 10 para o submodelo macroscopico:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (7)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (8)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (9)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (10)

onde [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] sao as taxas de transformacao das fases solido primario e eutetico, respectivamente; [<[v.sub.l]>.sup.l.sub.M] e a velocidade media da fase liquida extradendritica (direco vertical); [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] e a fracao de fase liquida extradendritica, [[barra.v].sub.s] e a velocidade do grao (direcao vertical); [[barra.n].sub.l] e o versor normal a interface [A.sub.ld], orientado para dentro do grao; [<[C.sub.L]>.sup.l.sub.M] e a concentracao de soluto na fase liquida extradendritica; [[barra.w'].sub.g] e a velocidade de crescimento da interface dos graos; [[barra.v].sub.s] e a velocidade de translacao da interface dos graos; [[delta].sub.ld] e a espessura efetiva de difusao junto ao liquido extradendritico adjacente ao grao; [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] sao as fracoes das pseudofases solidas primaria e eutetica, respectivamente, para o submodelo macroscopico.

1.3 Modelo para a Nucleacao de Graos

Considera-se que a nucleacao de um novo grao ocorre heterogeneamente sobre uma particula de substrato, cada um apresentando um super-resfriamento critico distinto para nucleacao. Considera-se que a populacao de super-resfriamentos criticos associados a estes substratos obedece a uma distribuicao gaussiana (normal). Sao definidas duas distribuicoes gaussianas de super-resfriamentos: uma para os substratos distribuidos na base do molde e outra para os substratos distribuidos no interior do liquido. A Equacao 11 define a distribuicao de super-resfriamentos para nucleacao entre os substratos: (6)

dn/d([DELTA]T)) = ([n.sub.max]/[raiz cuadrada de 2[pi]][DELTA][T.sub.[sigma]])exp]-1/2[([DELTA]T - [barra.[DELTA][T.sub.N]]/[DELTA][T.sub.[sigma]]).sup.2]] (11)

onde n e massa especifica de nucleos formados; [DELTA]T e o super-resfriamento; [n.sub.max] e a massa especifica maxima de numero de nucleos, ou seja, a massa especifica de particulas de substratos sobre as quais a nucleacao pode ocorrer; [barra.[DELTA][T.sub.N]] e o super-resfriamento medio da distribuicao; e [DELTA][T.sub.[sigma]] e o seu desvio-padrao. Por se tratar de um modelo bidimensional, e necessario converter as massas especificas indicadas na distribuicao para serem utilizadas no presente modelo. Esta conversao estereologica e indicada nas Equacoes 12: (6)

[n.sup.*.sub.s] = [pi]/4[([n.sub.L]).sup.2] [n.sup.*.sub.v] = [raiz cuadrada de [pi]/6][([n.sub.L]).sup.3/2] (12)

onde [n.sub.L] e a quantidade de substratos por unidade de comprimento da borda do dominio; [n.sup.*.sub.s] e a quantidade de substratos por unidade de superficie do molde; [n.sub.A] e a quantidade de substratos por unidade de area do dominio e [n.sup.*.sub.v] e a quantidade de substratos por unidade de volume.

1.4 Modelo para a Cinetica de Crescimento de Grao

A velocidade de crescimento de um grao e calculada pela Equacao 13: (1)

[valor absoluto de [[barra.w]'.sub.g]] = [D.sub.1](k - 1)([<T>.sub.M] - [T.sub.f])/[[pi].sup.2][TAU]

[[0,4567[([[OMEGA].sub.C]/1 - [[OMEGA].sub.C]).sup.1195]].sup.2] (13)

onde [D.sub.1] e a difusividade de soluto no liquido; k e coeficiente de particao de soluto; [TAU] e o coeficiente de Gibbs-Thompson; e [[OMEGA].sub.c] e um super-resfriamento adimensional de soluto dado pela Equacao l4:

[[OMEGA].sub.C] = ([<T>.sub.M] - [T.sub.liq])/([<T>.sub.M] - [T.sub.f])(1 - k) (l4)

onde [T.sub.liq] e a temperatura liquidus para a concentracao media da liga, [C.sub.0].

1.5 Tecnica do Automato Celular

No submodelo microscopico utiliza-se a tecnica do automato celular (CA) para simular a nucleacao, o crescimento e a decantacao dos graos. Na tecnica do CA, o dominio do molde e subdividido em uma malha de celulas quadradas de lado [DELTA][X.sub.CA] que pode apresentar tres estados: ativa, inativa ou liquida. Cada celula ativa contem uma mistura de solido e liquido interdendritico, e possui um poligono de crescimento definido como um quadrilatero de diagonais ortogonais conforme apresentado em Guillemot, Gandin e Combeau. (5) Na celula ativa, armazenam-se as dimensoes de um poligono de crescimento que, ao atingir o centro de celulas liquidas vizinhas, causam a sua ativacao. Estas celulas ativas tornam-se novamente inativas quando todas as celulas vizinhas mais proximas estiverem ativas ou foram ativadas em algum momento, nao havendo mais crescimento de seus poligonos. Uma celula liquida pode conter apenas liquido, ou pode conter tambem um substrato para nucleacao heterogenea de um novo grao. Cada celula liquida que contem uma particula de substrato para nucleacao torna-se uma celula ativa originando um novo grao atraves do processo de nucleacao.

1.6 Algoritmo de Translacao

A modelagem do processo de decantacao consiste de um conjunto de procedimentos e equacoes. Quando um grao ou aglomerado de graos (cluster) nao estiver fixado na borda do dominio, sua velocidade de decantacao e considerada igual a velocidade terminal de decantacao, calculada pelo modelo de Haider e Levenspiel. (11) Segundo este modelo, que considera o formato do corpo, a velocidade de terminal de decantacao adimensional e dada pela Equacao 15:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (15)

onde [K.sub.1] e [K.sub.2] sao parametros que dependem do formato do corpo em decantacao. Para este modelo apresentam valores de 1,1272 e 0,9677 (considerando formato de um octaedro regular), respectivamente; v, e d, sao adimensionais calculados por (Equacoes 16 e 17):

[v.sub.*] = [valor absoluto de [[barra.v].sub.s]][[[[rho].sup.2.sub.1]/[valor absoluto de [barra.g]][[my].sub.1]([[rho].sub.C] - [[rho].sub.1]].sup.1/3] (16)

[d.sub.*] = [d.sub.g][[[valor absoluto de [barra.g]][[rho].sub.1]([[rho].sub.C] - [[rho].sub.1])/[[my].sup.2.sub.1]].sup.1/3] (17)

onde [[barra.v].sub.s] e a velocidade terminal; [barra.g] e o vetor aceleracao gravitacional; [[my].sub.1] e a viscosidade do liquido; e [[rho].sub.C] e a massa especifica media do grao ou cluster, dado por (Equacao l8):

[[rho].sub.C] = [[epsilon].sub.s,C][[rho].sub.s] + (1 - [[epsilon].sub.s,C])[[rho].sub.1] (18)

onde [[rho].sub.s] e [[rho].sub.1] sao as massas especificas da fase solida e liquida, respectivamente, e [[epsilon].sub.s,C] e a fracao de solido media do cluster, obtida como auxilio do submodelo microscopico.

2 RESULTADOS E DISCUSSAO

2.1 Decantacao de um Grao Dendritico em Liquido Super-resfriado

Os resultados de simulacao utilizando o modelo proposto para a decantacao de um unico grao dendritico em um liquido super-resfriado sao discutidos neste item. Um grao dendritico com formato de losango de lado muito pequeno (70 [micron]m) da liga Al-7%Si foi posicionado no topo da cavidade de um molde, que esta preenchido com liquido a uma temperatura uniforme de 881 K (608[grados]C), representando um super-resfriamento de 10 K abaixo da temperatura liquidus. Durante sua queda no liquido super-resfriado, o grao cresce, libera calor latente e troca soluto com o liquido ao seu redor. A Figura 2 mostra a macroestrutura calculada pelo modelo em tres instantes de tempo diferentes e seus respectivos perfis de temperatura e concentracao de soluto na fase liquida extradendritica.

Na Figura 2a, observa-se o crescimento de um envelope com formato inicial de losango simetrico, mas que se torna assimetrico durante a queda devido ao crescimento um pouco mais acentuado na sua parte inferior. Este aspecto e explicado pelo perfil de temperatura da Figura 2 (b). Na Figura 2c, verifica-se o aumento da concentracao de soluto onde o grao esta localizado.

Na Figura 3, sao ilustrados os calculos de fracao de solido, velocidade do liquido interdendritico e concentracao de soluto dentro do grao em decantacao, que e maior nas regioes inferiores com maior super-resfriamento. Nesta simulacao, a malha de volumes para obtencao da solucao numerica do submodelo microscopico pelo metodo dos volumes finitos explicito foi de 100 x 400 volumes, adotando-se um numero igual de celulas para a tecnica do CA. A malha para o submodelo macroscopico foi de 1 x 4 volumes. As propriedades utilizadas para a liga Al-7%Si sao: (10) C0 = 7%; [p.sub.s] = 2452,0 kg [m.sup.-3]; [p.sub.l] = 2370,0 kg [m.sup.-3]; [T.sub.liq] = 89 1,0 K; [T.sub.f] = 933,0 K; [T.sub.e] = 850,0 K; Lf = 387 x [10.sup.3] J [kg.sup.-1]; [C.sub.p] = 1126,0 J [K.sup.-1] [kg.sup.-1]; [m.sub.l] = -6,5 K [(% peso).sup.-1]; k = 0,13; D = 6,45 x [10.sup.-9] [m.sup.2][s.sup.-1]; [K.sub.s] = 137,5 W [m.sup.-1][K.sup.1]; [k.sub.l] = 60,5 W [m.sup.-1][K.sup.1]; [mu] = 0,001 Pa s; [TAU] = 1,96 x [10.sup.-7] m K; [[lambda].sub.2] = [10.sup.-5] m.

[FIGURA 2 OMITTED]

2.2 Solidificacao Unidirecional Ascendente e Descendente

A solidificacao unidirecional ascendente e descendente da liga Al-3%Cu e simulada utilizando o modelo proposto aplicado a um dominio unidimensional, com extracao de calor a partir de uma das duas extremidades do dominio. A malha do submodelo microscopico e utilizada no CA foi de 110 x 220 volumes (ou celulas) e a macroscopica foi de 1 x 20 volumes. Os parametros utilizados para simular a solidificacao da liga Al-3%Cu sao semelhantes aos empregados por Wang e Beckermann. (2) No modelo de decantacao e nucleacao, utilizam-se: m = 0,001 P a s; [[lambda].sub.2] = [10.sup.-5] m; [n.sup.*.sub.A] = 3,0 x [10.sup.6] [m.sup.-2]; [n.sup.*.sub.V] = [10.sup.5] [m.sup.-3]. As macroestruturas finais de graos fornecidas pelo modelo estao apresentadas na Figura 4.

[FIGURA 3 OMITTED]

Na solidificacao ascendente (extracao de calor pela extremidade inferior) considerando o efeito de decantacao (Figura 4a), observam-se apenas graos colunares que cresceram a partir da base e atingiram o topo, passando pelo bem conhecido periodo de competicao entre graos. Nao ha transicao colunar-equiaxial (CET). No caso da solidificacao descendente (extracao de calor pela extremidade superior), tambem considerando a decantacao dos graos (Figura 4b), a CET ocorre como o resultado de uma disputa entre os graos colunares crescendo em direcao a regiao inferior e os graos equiaxiais decantando. No final, os graos equiaxiais formam uma camada na base do molde que bloqueia o crescimento dos graos colunares, causando a CET. Outra simulacao foi conduzida eliminando-se a decantacao dos graos, resultando na macroestrutura apresentada na Figura 4c, cuja linha horizontal vermelha tracada mostra a posicao da transicao colunar-equiaxial calculada por Wang e Beckermann (2), por meio de um modelo completamente deterministico, onde nao e considerada a decantacao dos graos. Nota-se que a previsao da posicao da CET obtida pelo presente modelo apresenta uma boa aderencia a posicao prevista por esses autores.

[FIGURA 4 OMITTED]

[FIGURA 5 OMITTED]

2.3 Efeito da Distribuicao de Super-resfriamentos

Examina-se o efeito dos diferentes parametros da distribuicao de super-resfriamentos para a nucleacao na macroestrutura final calculada pelo presente modelo. Com este objetivo, comparam-se os resultados obtidos, considerando o efeito de decantacao dos graos, com as simulacoes apresentadas por Martorano e Biscuola, (12) que nao consideram o efeito de decantacao. Os parametros utilizados nas simulacoes sao: [barra.[DELTA][T.sub.N]] = 2,0 K ou [barra.[DELTA][T.sub.N]] = 5,0 K e 0 [menor que o igual a] [DELTA][T.sub.[sigma]] [menor que o igual a] 3 K. A malha para o submodelo microscopico foi de 100 x 300 volumes (e celulas) e a malha para o submodelo macroscopico de 1 x 30 volumes. As propriedades consideradas para a liga Al-7%Si estao descritas no item 3.1. Adotam-se, ainda,: [L.sub.x] = 0,05 m; [L.sub.y] = 0,15 m; h = 250,0 W [m.sup.-2][K.sup.-1]; [T.sub.0] = 991,0 K; [n.sup.*.sub.A] = 3,0 x [10.sup.6] [m.sup.-2]; [n.sup.*.sub.V] = 5,0 x [10.sup.6] [m.sup.-3].

Utiliza-se a Equacao 19 para o calculo da velocidade do crescimento dendritico tambem empregada por Martorano e Biscuola: (12)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (19)

com [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], para a liga Al-7%Si.0

Quando [barra.[DELTA][T.sub.N]] = 2,0 K as macroestruturas calculadas pelo modelo (Figura 5) praticamente nao sao afetadas pela largura da distribuicao de super-resfriamentos [DELTA][T.sub.[sigma]]. Porem, no modelo sem decantacao (12), a macroestrutura e sensivelmente alterada, indicando uma modificacao da posicao da CET. Quando [barra.[DELTA][T.sub.N]] = 5,0 K no trabalho de Martorano e Biscuola (12) ha CET logo para o caso de [DELTA][T.sub.[sigma]] proximo de 0,1, enquanto que, para o presente modelo, so ha uma zona equiaxial distinta para [DELTA][T.sub.[sigma]] [mayor que o igual a] 1,0 K (Figura 5).

3 CONCLUSOES

Podem ser formuladas as seguintes conclusoes:

* As macroestruturas obtidas pelo modelo aplicado a solidificacao unidirecional nas condicoes simuladas diferem significativamente dos resultados obtidos pelo modelo deterministico quando e considerada a decantacao de graos;

* Na simulacao da solidificacao unidirecional ascendente, no presente modelo os graos equiaxiais decantam e nao atingem tamanho suficiente para bloquear o crescimento colunar, resultando em uma macroestrutura de graos colunares. Sem o efeito de decantacao, a macroestrutura calculada apresenta uma transicao colunar-equiaxial proxima a prevista por um modelo deterministico;

* Na simulacao da solidificacao unidirecional descendente, observam-se graos equiaxiais que sedimentam na base e originam uma nova zona colunar inferior que se encontra com os graos colunares originarios no topo do molde;

* O presente modelo mostra que a decantacao de graos altera o efeito da largura da distribuicao de super-resfriamentos de nucleacao na macroestrutura de graos.

http://dx.doi.org/10.4322/tmm.2012.020

Agradecimentos

Os autores agradecem a Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado de Sao Paulo (Fapesp) pelo financiamento (Processo no. 03/08576-7).

Recebido em: 04/10/2011

Aceito em: 06/03/2012

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Pierre D'Amelio Briquet Caradec [1]

Marcelo Aquino Martorano [2]

[1] Engenheiro de Materiais, Aluno de doutorado, Departamento de Engenharia Metalurgica e de Materiais, Escola Politecnica, Universidade de Sao Paulo--USP Av. Prof. Mello Moraes, 2463, Cep 05508-900, Sao Paulo, SP Brasil. E-mail: pierre.caradec@gmail.com

[2] Professor, Departamento de Engenharia Metalurgica e de Materiais, Escola Politecnica, Universidade de Sao Paulo-- USP Av. Prof. Mello Moraes, 2463, Cep 05508-900, Sao Paulo, SP, Brasil. E-mail: martoran@usp.br
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Title Annotation:articulo en portugues
Author:Caradec, Pierre D'Amelio Briquet; Martorano, Marcelo Aquino
Publication:Tecnologia em Metalurgia e Materiais
Date:Apr 1, 2012
Words:3867
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