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HERRAMIENTAS PARA DESENTRANAR LO QUE ABARCA LA NOCION SIBILINA DE 'HABILIDAD DE APLICAR UN TEOREMA DADO'.

I. INTRODUCCION

En este texto, adoptamos una perspectiva de diseminacion de los trabajos de didactica de las matematicas hacia los docentes, formadores de docentes y autores de manuales escolares. Queremos hacerlo de manera accesible al profesorado, sin desarrollos innecesarios, que sean de indole teorico o metodologico. Nuestra intencion es proporcionar algunas herramientas sin presentar sus antecedentes en el campo de la ciencia didactica, focalizamos en su funcionamiento concreto en el marco de la practica docente.

Nos interesamos en un problema profesional que enfrentan los autores de manuales escolares y los docentes de matematicas, tanto franceses como costarricenses, es decir describir el alcance de objetivos de aprendizaje que los programas de estudios definen en terminos de habilidades (Costa Rica), competencias o capacidades (Francia) y disenar un proceso de ensenanza para que los estudiantes realicen los aprendizajes esperados. Pretendemos proveer al profesorado de algunas herramientas didacticas para solucionar este problema profesional. Para ilustrar nuestras reflexiones y ubicarlas en el entorno costarricense, nos apoyamos en un extracto de una unidad de geometria de 8[grados] Ano (13-14 anos):

Encontramos aqui la estructura recurrente de los programas costarricenses, los cuales se muestran dirigidos por el saber matematico. Nuevos saberes matematicos aparecen en el apartado "Conocimientos": las relaciones de congruencia y semejanza, el teorema de Thales. Estos nuevos conceptos y teoremas permiten definir nuevas habilidades especificas en que intervienen o bien como objetos (6-7-8-9), o como herramientas (10-12). Cabe senalar una diferencia importante entre estas habilidades. En algunas de ellas (por ejemplo, la habilidad 8), se explicita un tipo de tareas (probar la semejanza) y una herramienta (criterios de semejanza) que los estudiantes deben aprender a emplear para solucionar estas tareas. Al contrario, en la habilidad 12, si se precisa el teorema que los estudiantes deben aprender a emplear, no se dice en que tipos de problemas, ni como. A continuacion, evidenciamos primero que el dominio de aplicacion del teorema de Thales es muy extendido, dando asi una idea del importante trabajo matematico que los autores de manuales escolares y los docentes tienen que cumplir para explicitar el contenido de una habilidad del segundo tipo. Despues, enfocamos la atencion en las habilidades de primer tipo, proveyendo de un estilo de analisis que permite diferenciar los ejercicios que remiten a la misma habilidad. Asi proponemos a los docentes herramientas para disenar un recorrido de resolucion de problemas susceptible de favorecer el desarrollo de las habilidades de los estudiantes.

Las herramientas empleadas en esta ponencia provienen de dos teorias iniciadas por didacticos franceses de las matematicas: la Teoria Antropologica de lo Didactico (TAD a continuacion) de Yves Chevallard y el Enfoque Doble de las practicas de estudiantes y docentes de Aline Robert y Janine Rogalski. Estas teorias enfocan la educacion matematica desde dos puntos de vista muy diferentes, institucional para la primera, cognitiva para la segunda que se refiere a la teoria de la actividad. Sin embargo, ambas otorgan una importancia crucial al analisis matematico y epistemologico de los objetivos de ensenanza y aprendizaje, lo que justifica su asociacion en esta ponencia. En el marco de este texto, no presentamos mas detalles de estas teorias, suponiendo que no son necesarios para entender las herramientas que presentamos, preferimos otorgar mas tiempo a una variedad de ejemplos de sus empleos.

II. SABER APLICAR EL TEOREMA DE THALES EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS EN DIVERSOS CONTEXTOS ?QUE SIGNIFICA?

2.1 El entorno teorico proximo del teorema de Thales

Primero, es menester esclarecer lo que se entiende bajo el nombre de 'teorema de Thales' y cuales son sus corolarios inmediatos. En los manuales escolares costarricenses, se considera como teorema de Thales el resultado siguiente:
Tabla 2. Primer teorema de Thales.

Si dos rectas cualesquiera son
cortadas por rectas paralelas distintas,
los segmentos que determina en una
de las rectas son proporcionales a los
segmentos correspondientes de la
otra.

Entonces en la figura de la derecha se
cumple, por ejemplo:

AB/BC = DE/EF, AB/AC = DE/DF


Un primer derivado de este teorema se puede conocer tambien como teorema de Thales (es el caso en Francia donde el teorema previo no se ensena en la secundaria):
Tabla 3. Corolario 1 del teorema de Thales.

Los puntos A, D, B por una parte, A, E, C
por otra estan alineados y son distintos. Las
rectas DE y [BC.sup.2] son paralelas.
Se cumple:

AD/AB = AE/AC = DE/BC

Este resultado no depende de la posicion
relativa de los puntos A, D y E sobre la recta
AB. Lo mismo para A, E y C.


Cabe destacar que la contraposicion de este corolario permite probar que dos rectas se intersecan:

Los puntos A, D, B por una parte, y A, E, C por otra, son distintos y alineados.

Si AD/AB [desigual a] AE/AC entonces (DE) y (BC) se intersectan.

Dos otros coralarios (3) siguen del corolario 1:

Corolario 2

Los puntos A, D, B por una parte, y A, E, C por otra son distintos y alineados.

Si [bar.AD]/[bar.AB] = [bar.AE]/[bar.AC], entonces DE//BC.

Corolario 3

Los puntos A, D, B son distintos y alineados. E es un punto distinto de D, C un punto distinto de B, DE//BC. Si [bar.AD]/[bar.AC] = [bar.DE]/[bar.BC], entonces A, E y C estan alineados.

Cabe subrayar que la prueba de todos estos resultados deriva del primer teorema de Thales (directamente para el corolario 1, que a su vez permite probar los otros dos), apoyado por las propiedades del paralelogramo. Es decir que se puede emplear este teorema, no solamente para calcular medidas de segmentos o demostrar igualdad de razones, sino tambien para probar que dos rectas son paralelas o no y que tres puntos estan alineados.

2.2 Un problema perturbador

El problema siguiente pertenece al campo de los problemas que se pueden solucionar con el teorema de Thales. Prueba una parte del teorema de Menelaus.
Tabla 4. Enunciado de un problema perturbador.

ABC es un triangulo.
Los puntos P, Q y T son respectivamente
puntos de las rectas AB, BC y AC, distintos
de los vertices A, B y C.
[bar.PA]/[bar.PB] x [bar.QB]/[bar.QC] x [bar.TC]/[bar.TA] = 1.

Mostrar que los puntos P, Q y T estan
alineados.


En mi experiencia de formadora de estudiantes-futuros docentes de matematicas para la secundaria, la mayoria de los estudiantes no toman la iniciativa de intentar emplear el teorema de Thales para este problema. ?Por que? Faltan los objetos e hipotesis que permiten emplear el teorema: no hay paralelas. Ademas, faltan los tipos de tareas usualmente asociados al teorema en Francia puesto que, si se ensenan los corolarios 1 y 2 (9[grados] ano, 14-15 anos) y la contraposicion, nunca se presenta el corolario 3. Es decir, para estos estudiantes, el teorema de Thales no es una herramienta para problemas de alineamiento. Incluso con las indicaciones (Tabla 5) que introducen paralelas en el contexto, pocos estudiantes del profesorado logran alcanzar una solucion. ?Por que? Como no conocen el coralario 3, tienen que reformular la propiedad de alineamiento, como se muestra a continuacion:
Tabla 5. Una idea de la solucion con el teorema de Thales.

C' es el punto de la recta (PQ) con
(CC')//(AB).

Probar que T, C' y P estan alineados.
Una tecnica clasica pero muy sutil
para probar este alineamiento es
mostrar que las rectas TC' y AB se
intersecan en un punto
P'(contraposicion)
y
mostrar que P'=P por que
[bar.AP']/[bar.AP] = 1, aplicando dos veces el
corolario1.


?Que podemos concluir de este ejemplo? Que estudiantes con al menos tres anos de licenciatura en matematicas no han acabado de desarrollar la habilidad 'Saber aplicar el teorema de Thales en la resolucion de problemas en diversos contextos'. Que en su mayoria no han alcanzado el mayor nivel de maestria en el saber aplicar el teorema de Thales, es decir, saber emplearlo para demostrar una propiedad no clasicamente vinculada a este teorema, en un contexto sin los objetos que permiten aplicar el teorema. Evidentemente, los autores de los programas de estudio costarricenses no esperan que los estudiantes de 8[grados] ano alcancen este nivel de maestria. Es decir, se debe explicitar la extension del campo de problemas en que se espera que los estudiantes sepan aplicar el teorema de Thales', lo que constituye una tarea profesional que los textos oficiales dejan bajo la responsabilidad del profesorado. Tareas semejantes aparecen acerca de todas las habilidades del tipo 'Saber emplear un teorema dado'. Presentamos ahora las nociones de 'Organizaciones praxeologicas puntuales y locales' de la TAD que permiten formular los objetivos de aprendizaje apuntados por los programas bajo la formulacion 'habilidades especificas'.

III. LAS ORGANIZACIONES PRAXEOLOGICAS

Con la nocion de praxeologia, la TAD proporciona un modelo de las producciones cognitivas (4) institucionales que se pretende totalmente general, es decir valido para todos tipos de actividades humanas, todos dominios de conocimientos, en todos contextos sociales (Chevallard, Bosch y Gascon, 1997; Chevallard, 1999). Este modelo se representa como [T, [tau], [theta], [THETA]] y se compone de dos bloques:

* El saber-hacer o la praxis [T, [tau]], donde

T es un tipo de tareas, [tau] una tecnica, es decir un conjunto de procedimientos (no necesariamente un algoritmo) que permite tratar ciertas tareas del tipo T (posiblemente no todas), en ciertos dispositivos y con ciertos medios.

* El saber o el logos [[theta], [THETA]], donde

[theta] representa la tecnologia de i, es decir el discurso racional que se elabora respecto a la tecnica; entre otras funciones, la tecnologia justifica que la tecnica, cuando se puede emplear, produce el resultado esperado. La teoria [THETA] es la tecnologia de la tecnologia, en particular, garantiza la validez de la tecnologia; no trabajamos aqui sobre esta componente.

Esta organizacion se refiere a un unico tipo de tareas T, por eso, se llama organizacion praxeologica puntual. Cabe subrayar dos observaciones. En primer lugar, la parte [T, [tau]] destaca los aspectos invariantes en las tareas problematicas que abordan los grupos humanos. En segundo lugar, una praxeologia es una construccion institucional, es decir, cada componente depende de dicha institucion. El fenomeno de transposicion didactica es una consecuencia de esta dependencia de la praxeologia de la institucion en que vive.

En lo anterior, encontramos distintos ejemplos de este nivel de organizacion. Por ejemplo:
Tabla 6. Explicitacion matematica de una habilidad de primer tipo.

Tipo de tareas       Tecnica
                                                  Tecnologia
                     Elegir un criterio de
                     semejanza
                     Implementar la tecnica       Definicion de
                     asociada, es decir           semejanza y

T: Probar que dos    [[tau].sub.a] Calcular       Criterio L-L-L
triangulos son       las razones de medidas
semejantes           de trazos homologos
                     para mostrar su igualdad

                     [[tau].sub.b] (lo mismo      Criterio L-A-L
                     con dos razones iguales
                     y dos angulos)
                     [[tau].sub.c] (tres          Criterio A-A-A
                     angulos homologos iguales)


En nuestro analisis de la habilidad de segundo tipo, 'Saber emplear el teorema de Thales', encontramos cinco tipos de tareas, cada uno con una tecnica derivando del entorno inmediato del teorema de Thales, es decir los corolarios 1, 2 y 3 y la contraposicion. Tal organizacion praxeologica, en la cual una tecnologia 0 sostiene varios bloques [Ti, [tau]i] se llama organizacion praxeologica local.

Llegados a este punto de la ponencia, podemos dar una descripcion de la primera fase de una tecnica didactica para el tipo de tareas profesionales Formular los objetivos de aprendizaje apuntados bajo la formulacion 'Saber emplear un teorema dado'. Se trata:

* en primer lugar, de describir la organizacion praxeologica local que deriva de dicho teorema;

* en segundo lugar, de elegir los tipos de tareas, es decir, las praxeologias puntuales, que se toman como objetivos de aprendizaje,

* en tercer lugar, de decidir si se propone o no, de vez en cuando, una tarea de los otros tipos, lo que representa el mayor nivel de maestria en el saber aplicar el teorema de Thales.

Despues de este trabajo, los objetivos de aprendizaje se describen en terminos de praxeologias puntuales; la mision docente consiste en organizar un proceso de estudio para que, segun el vocabulario de la TAD, los estudiantes incorporen estas nuevas praxeologias puntuales en su equipamiento praxeologico personal.

De la misma manera que en lo anterior indagamos el campo de problemas en que se emplea el teorema de Thales, nos interesamos a continuacion en las tareas que remiten al mismo tipo T. Para diferenciarlas, empleamos un estilo de analisis minucioso desarrollado en el marco del Enfoque Doble (Robert y Rogalski, 2002; Vandebrouck, 2008).

IV. DIFERENCIAR LOS USOS DE UNA TECNICA EN LA RESOLUCION DE TAREAS DE UN MISMO TIPO

En este apartado ilustramos las herramientas que ofrece el Enfoque Doble (ED) con el ejemplo del tipo de tareas T: 'Probar que dos triangulos son semejantes' y la tecnica que se presenta en la tabla 6.

4.1 Un primer ejemplo en un capitulo de calculo integral

Se trata ahi de determinar la extension del campo de problemas en que aparece una tarea del tipo T. El problema que estudiamos se encuentra en un manual escolar frances de secundaria (Math'x, Terminale S, p. 200), a nivel de 12[grados] (bachillerato, 18 anos), en la rama cientifica. El objetivo final es demostrar la formula del volumen de un cono circular recto empleando el calculo integral. Nos focalizamos en la primera pregunta del enunciado.

Analisis de la tarea "Demostrar que r(z) = R x h-z/h"

La tarea se puede identificar como un calculo de la medida de un segmento ([T.sub.1]-Tabla 7), a pesar de que se busca una relacion literal; al transformar un poco la relacion, se ve que se trata de lograr una igualdad de razones ([T.sub.2]). Para estos tipos de tareas, los estudiantes franceses conocen varias tecnicas que derivan de los teoremas de Pitagoras y de Thales, de los casos de semejanza, de la trigonometria y de la geometria analitica. En un contexto de Calculo, no pueden apoyarse en el contrato didactico para elegir una tecnica: el contrato les dice que se debe emplear una integral para solucionar el problema, no orienta el trabajo geometrico. Para reconocer condiciones de empleo de casi todas tecnicas, es menester extraer dos triangulos del esquema 3D que proveen de una situacion de geometria plana. Una vez elegida la tecnica asociada con la semejanza (la cual no es la unica tecnica eficaz), aparece la necesidad de probar que dos triangulos son semejantes, es decir, el tipo T que estaba completamente ausente del contexto inicial.

Analisis del empleo de la tecnica para probar la semejanza y despues mostrar r(z) = R * h-z/h

Los estudiantes tienen que reconocer los triangulos supuestos semejantes y explicitar los vertices homologos, lo que requiere nombrar estos puntos, elegir el criterio relevante (ahi A-A-A), demostrar dos igualdades angulares en un entorno 3D (angulos rectos, angulos de vertice S en las secciones planas del cono regular). Para escribir las consecuencias de la semejanza, se debe expresar las medidas conocidas en funcion de los parametros, lo que supone reconocer R, manejar la notacion funcional r(z), entonces dos sentidos diferentes de los parentesis, calcular la medida que falta (h-z). Por fin, la igualdad de razones r(z)/R = h-z/h se debe transformar en r(z) = R * h-z/h, lo que puede necesitar, si el estudiante emplea el producto cruzado, ciertos conocimientos sobre el calculo literal (pasar de r(z) = Rx(h-z)/h a la forma esperada).

?Se encuentran problemas semejantes en los manuales costarricenses?

El programa de Costa Rica no trata de calculo integral. Por lo tanto, no encontramos exactamente este problema. Sin embargo, a nivel del undecimo ano (16-17 anos), el capitulo Visualizacion espacial del mismo programa se interesa en las secciones planas de un cono regular. Por ejemplo, el manual Lebombo propone en la parte 'Tiempo para practicar' (p. 114) el trabajo siguiente:

Si consideramos este problema sin su entorno en el manual, podemos desarrollar un analisis muy cerca del analisis anterior, salvo que ahi falta la complejidad derivada del calculo algebraico; al contrario, la ausencia de los triangulos relevantes en el esquema es una fuente de dificultad. Sin embargo, parece que, en los dos problemas, los estudiantes deben tomar, por si mismos, la iniciativa de emplear y probar la semejanza de triangulos. Pero, si ubicamos el enunciado de la tabla 9 en el entorno brindado por el manual Lebombo, vemos que los autores no esperan que los estudiantes asuman esta responsabilidad. De hecho, en la pagina 112, proponen la situacion siguiente que les recuerda la praxeologia puntual que tienen que emplear:

4.2 Criterios para diferenciar los problemas en que interviene una praxeologia puntual [T, [tau], [theta], [THETA]]

Primer criterio

Diferenciamos aqui dos categorias (Castela 2008):

* los problemas en que la convocacion (5) de la praxeologia relevante esta bajo la responsabilidad de los estudiantes;

* los problemas que convocan la praxeologia, es decir, proveen de indicaciones fuertes hacia el empleo de la tecnica [tau].

Como lo vimos con el ejemplo previo, el primer caso se encuentra cuando el tipo de tareas T esta escondido en el problema inicial y/o cuando varias tecnicas se conocen para este tipo. El segundo caso coincide con los enunciados que indican explicitamente el teorema que se debe emplear ("Empleando un criterio de semejanza, calcular la medida de ...") o contienen elementos estrechamente vinculados con la tecnica. Por ejemplo, el esquema siguiente se considera en Francia como un indicador que orienta hacia el teorema de Thales:

Finalmente, el entorno mismo en que se plantea el problema puede orientar hacia la tecnica. Segun el contrato didactico usual, el estudiante supone que un ejercicio propuesto en el marco de una unidad de ensenanza empleara las tecnicas nuevas de la secuencia. Por lo tanto, plantear problemas de la primera categoria supone generalmente esperar a fases ulteriores de la progresion. Es decir, el momento del trabajo de una tecnica se prolonga mas alla de la unidad donde se encuentra la praxeologia por primera vez.

Segundo criterio: la presencia de adaptaciones de la tecnica

Para analizar la complejidad de la implementacion de una tecnica en la solucion de un problema, como lo hicimos con el ejemplo de la tabla 8, el ED (Robert y Rogalski, 2002; Vandebrouck, 2008) introduce la nocion de adaptacion de una tecnica. Distinguen varios tipos de adaptaciones, es decir, de iniciativas que deben tomar los estudiantes para que la tecnica sea eficaz en el problema:

* A1 Identificar en el contexto las condiciones genericas de empleo de la tecnica como de validez de la tecnologia.

* A2 Introducir nuevos objetos: puntos, letras, notaciones ...

* A3 Cambiar de marcos (Douady 1987), de registros de representacion (Duval 1993), etc.

* A4 Introducir etapas.

* A5 Emplear la tecnica coordinandola con otras tecnicas y otros saberes, nuevos o recientemente ensenados.

* A6 Coordinar con preguntas previas.

El empleo de la tecnica se dice "sencillo" y aislado cuando no hay adaptacion. Se trata de lo que se llama usualmente como una aplicacion directa. ?Por que las comillas? Es que, al inicio del aprendizaje, estas tareas no son sencillas para ciertos estudiantes, quienes necesitan resolver primero algunas de estas tareas para que despues, se vuelvan para ellos tareas sencillas.

Cabe senalar que esta lista de adaptaciones no proporciona un orden total en el conjunto de tareas de un tipo T, no proporciona una escala de dificultad, salvo quizas por el numero de adaptaciones.

V. ILUSTRACION DE LAS ADAPTACIONES CON UN EJERCICIO DEL CAPITULO 'SEMEJANZA DE TRIANGULOS'

Analizamos a continuacion un ejercicio (no 6, p. 100, figura izquierda de la Figura 2) propuesto por el manual costarricense PIMAS 8[grados], en la parte C. Aplicaciones de la semejanza, introducido por el comentario siguiente: "Algunos ejercicios se pueden resolver mediante semejanza de triangulos, aunque esta no aparezca como dato." (p. 95). Es decir que la convocacion de la praxeologia en que nos focalizamos en este apartado no esta bajo la responsabilidad de los estudiantes. Sin embargo, el empleo de la tecnica no es sencilla.

Es necesario extraer de la figura una pareja de triangulos semejantes y relevantes para calcular a/b (A1). Ahi hay dos posibilidades, que no podemos identificar sin nombrar previamente los puntos (A2) como lo hacemos en la figura de derecha en la Figura 2. Los triangulos semejantes son [DELTA]BHA y [DELTA]AHC, o bien [DELTA]AHC y [DELTA]BAC.

Elegimos el primer caso. Se debe seleccionar el criterio de semejanza relevante y mostrar que sus hipotesis son verificadas, es decir, (A4) probar que [expresion matematica irreproducible], lo que necesita convocar praxeologias del ano septimo (12-13 anos) sobre la suma de las medidas de los angulos interiores de un triangulo (criterio 1 para esta praxeologia).

Cabe destacar que, si este problema se planteara en el capitulo 'Trigonometria' del ano noveno (1415 anos), la praxeologia ligada a la semejanza se convocaria bajo la responsabilidad del estudiante (criterio1).

Suponemos ahora que, como en muchos de los ejercicios de PIMAS, las medidas de los segmentos AB y AC sean numeros racionales (por ejemplo, 12 y 24/5, p. 87) o expresiones literales (4x/5 y 6x/5 p. 97). En tal caso hablamos de la adaptacion A5. Por supuesto, esta transformacion de la tarea aumenta el nivel de dificultad, respecto al enunciado inicial.

VI. PROPUESTA PARA UNA CARTOGRAFIA DEL CAMPO DE TAREAS QUE INVOLUCRAN A UNA PRAXIS [T, T]

Nos apoyamos en los criterios que presentamos anteriormente para distinguir cuatro zonas en el campo de tareas en las cuales se emplea la tecnica de una praxeologia puntual:

* Zona A: empleo sencillo y aislado de la tecnica

* Zona B: empleo con adaptaciones, pero la praxeologia al estudio solo se asocia con praxeologias antiguamente ensenadas.

* Zona B*: empleo con por lo menos, la adaptacion A5, es decir, las tareas involucran praxeologias recientemente ensenadas, que los estudiantes aun no dominan.

* Zona C: entre otras adaptaciones, la responsabilidad de convocar [T, [tau]] incumbe a los estudiantes.

La referencia a una cartografia toma en cuenta el hecho que esta descripcion no proporciona una escala de niveles de dificultad. Por supuesto, la zona A abarca las tareas mas sencillas, para una primera iniciacion. Pero, en cada una de las otras zonas, se encuentra una variedad de complejidad, segun el numero de adaptaciones. Por eso, se puede que una tarea de las zonas B* o C sea mas facil que una de la zona B, en que es menester introducir varios objetos y varias etapas de razonamiento. Al contrario, avanzamos que, entre tres tareas con una unica adaptacion, resulta mas dificil para el estudiante convocar por si mismo la tecnica (Zona C) que emplearla con un otro conocimiento nuevo (Zona B*), lo que a su vez es mas dificil que una tarea de la zona B con una adaptacion.

Hasta ahora encontramos ejercicios de las zonas B (Tabla 10, si se consideran las praxeologias angulares del 7[grados] -13-14 anos- como bien conocidas) y C (Tabla 9). Nos proponemos ahora indagar un poco la zona A, a partir de un ejercicio que el manual PIMAS 8[grados] proporciona como ejemplo de aplicacion del criterio LLL (p. 87), inmediatamente despues de la presentacion del criterio.

Como lo evidencia la solucion propuesta en el manual, este ejercicio pertenece a la Zona B*, porque involucra calculos con racionales, los cuales resultan dificiles por los estudiantes de este nivel escolar. Los enunciados siguientes se inspiran de la tabla 11 pero con medidas enteras.

Aqui el trabajo no incluye calculos complejos. Se trata para los estudiantes de interpretar la notacion simbolica de semejanza, aplicar el criterio cambiando de letras y de posicion relativa de los triangulos (se superponen o no, son directamente o indirectamente semejantes). Estos ejemplos pertenecen a la Zona A y corresponden a una primera iniciacion. En el manual Lebombo, encontramos un enunciado muy parecido al ejemplo de la derecha (Tiempo para practicar, p. 66), salvo que los estudiantes deben determinar el triangulo semejante al triangulo ABC, es decir, determinar los puntos homologos, en este contexto de semejanza indirecta. Eso representa una adaptacion de la tecnica, por lo que ubicamos este ejercicio en la Zona B.

Lo que encontramos en los manuales costarricenses que nos sirven de base para la preparacion de esta ponencia es un fenomeno que evidencia tambien la formacion docente, es decir, la tendencia a considerar que los ejercicios de la Zona A no son utiles o bien a subestimar la dificultad que deriva de la presencia de una adaptacion, de lo que resulta iniciar el proceso de aprendizaje directamente en la Zona B.

De la misma manera que la nocion de organizacion praxeologica local permite explicitar los objetivos de aprendizaje apuntados bajo la formulacion 'Saber emplear tal teorema', la cartografia del campo de tareas que involucran a una praxis [T, t] ofrece a su vez una herramienta para formular el alcance de una habilidad del primer tipo, es decir, del 'Saber tratar un tipo de tareas dado T con una tecnica dada t'. A falta de precisiones en los programas oficiales, el profesorado tiene que indagar las cuestiones siguientes que formulamos con referencia a la habilidad 'Saber aplicar los criterios de semejanza para probar la semejanza de triangulos' de 8[grados]:

* Se espera que ?al final del 8[grados] ano, los estudiantes emplean esta tecnica bajo su responsabilidad completa? ?al final del ciclo III? ?del ciclo IV?

Para cada nivel,

* ?se espera que los estudiantes tengan que adaptar la tecnica?

* ?En que contextos nuevos se cuenta que se empleara la tecnica (numeros reales, ecuacion, funcion, variacion, espacio, fisica ...)?

La fase siguiente del trabajo docente, especificamente de los autores de manuales, consiste en constituir un conjunto de ejercicios y problemas de las cuatro zonas, incluso de la zona A. Cabe recordar que, por efecto de contrato didactico, los problemas de la Zona C no se pueden encontrar dentro del capitulo de estudio de la praxis [T, [tau]], sino en situaciones especificas de resolucion de problemas, por ejemplo, de modelacion, o bien en capitulos ulteriores, es decir, con conocimientos nuevos. Sin embargo, un recorrido rapido de los manuales Lebombo y PIMAS arroja la ausencia casi absoluta de problemas que involucran congruencia o semejanza en los capitulos que siguen el estudio de estas praxeologias, incluso cuando se trata de piramides y prismas. Es decir, los estudiantes no encaran problemas de la zona C antes del noveno ano. Al contrario, las praxeologias angulares de 7[grados] ano intervienen bajo la responsabilidad de los estudiantes en los problemas de congruencia y semejanza de triangulos; la zona C para estas praxeologias esta presente en el 8[grados] ano, ?empieza o no en el 7[grados] ano?

VII. CONCLUSION

Organizar la construccion de una habilidad por los estudiantes, la responsabilidad de cada docente

Para concluir, nos interesamos en el trabajo de los docentes, cuya responsabilidad es hacer que sus estudiantes adquieran una habilidad del primer tipo o, segun el vocabulario de la TAD, que incorporen una nueva praxeologia puntual en su equipamiento praxeologico personal.

Chevallard (1999), Bosch, Espinoza y Gascon (2003) proponen una organizacion del proceso de estudio de una organizacion praxeologica matematica O que se descompone en seis momentos: el momento M1 del primer encuentro con O, generalmente a traves de al menos un tipo de tareas T de O ; el momento M2 de la exploracion de T y de la elaboracion de una tecnica t para las tareas de T; el momento M3 de la constitucion del entorno tecnologico-teorico relativo a t; el momento M4 del trabajo de la tecnica en que se amplian los especimenes de problemas considerados por los estudiantes, lo que provoca variaciones de la tecnica; el momento M5 de la institucionalizacion; el momento M6 de la evaluacion en que se evalua la eficacia intrinseca de la tecnica respecto a las tareas de T como tambien su empleo por los estudiantes. Estos momentos son partes de la organizacion didactica que corresponde al objetivo de incorporar la praxeologia O al equipamiento praxeologico de los estudiantes. Para prescindir de interpretaciones erroneas, es importante hacer hincapie en la estructura no lineal del proceso de estudio. Lo esencial no es el orden: cada momento puede ser vivido con distintas intensidades, en diversos tiempos, tantas veces como se necesite a lo largo del proceso de estudio e incluso es habitual que algunos de ellos aparezcan simultaneamente.

En los programas de estudio de Costa Rica (Ministerio de Educacion Publica, 2012, p. 41), se sugiere organizar las lecciones en dos etapas: etapa 1, el aprendizaje de conocimientos; etapa 2, la movilizacion y aplicacion de los conocimientos. De la descripcion que estos programas dan de estas etapas en las paginas siguientes, inferimos que la etapa 1 corresponde a los momentos 1, 2, 3 y 5, la etapa 2 a los momentos 4 y 6 con algunos retornos al momento tecnologico-teorico. Nos focalizamos para finalizar esta ponencia en el momento 4, suponiendo que la habilidad en su extension plena, se construye mediante un recorrido de ejercicios de complejidad diversificada. El trabajo inicial se apoya en tareas de la Zona A y en las mas faciles de la Zona B (es decir, con un numero limitado de adaptaciones y que solo involucran otros conocimientos familiares), pero continua con un recorrido no lineal de problemas de las cuatro zonas, con un numero variable de adaptaciones, y sin olvidar la Zona C. Que los estudiantes encaren efectivamente esta variedad de problemas depende del docente en dos niveles (Robert y Rogalski, 2002): primeramente, de su seleccion de tareas propuestas, luego, de su gestion del trabajo estudiantil. De hecho, a traves de sus intervenciones, el docente puede trasformar una tarea con muchas adaptaciones en una tarea sencilla. Las investigaciones del Enfoque Doble han documentado solidamente la frecuencia de este comportamiento docente en las clases francesas de matematicas. Se evidencio tambien que es mas eficaz para los estudiantes buscar en grupos un numero limitado de ejercicios mas dificiles que solucionar muchos ejercicios con pocas adaptaciones, muy similares entre si: evaluados sobre la resolucion de tareas de nivel de complejidad baja, los primeros estudiantes son mas exitosos que los segundos (vea la contribucion de J. Horoks, pp.159-178 in Vandebrouck 2008).

Para concluir, destacamos que, en nuestro parecer, es menester que las herramientas presentadas en esta ponencia formen parte de la formacion docente. Son utiles, no solamente para orientar la seleccion de problemas que proponen los manuales escolares, sino tambien para sostener el trabajo docente de organizacion de la actividad de sus estudiantes: elegir las tareas a partir de un analisis preciso de su contribucion al estudio de la praxeologia (construccion de la habilidad), manejar en el aula el trabajo estudiantil de resolucion con un sistema de indicaciones que no destruya completamente el interes formador del ejercicio, concebir evaluaciones con una conciencia acertada del nivel de complejidad de las tareas que las componen.

VIII. REFERENCIAS

Bosch, M.; Espinoza, L. & Gascon, J. (2003) "El profesor como director del proceso de estudios: analisis de organizaciones didacticas espontaneas", Recherches en Didactique des Mathematiques 23(1): 79-136.

Castela, C. (2016) "Cuando las praxeologias viajan de una institucion a otra: una aproximacion epistemologica del "boundary crossing"", Revista Educacion Matematica 28(2): 8-29.

Castela, C. (2008) "Travailler avec, travailler sur la notion de praxeologie mathematique pour decrire les besoins d'apprentissage ignores par les institutions d'enseignement", Recherches en Didactique des Mathematiques 28(2) : 135-182.

Chevallard, Y.; Bosch, M.; Gascon, J. (1997) Estudiar matematicas. El eslabon perdido entre la ensenanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE/Horsori.

Chevallard, Y. (1999) "L'analyse des pratiques enseignantes en theorie anthropologique du didactique", Recherches en Didactique des Mathematiques 19(2) : 221-266.

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Douady, R. (1987) "Jeux de cadres et dialectique outil-objet", Recherches en Didactique des Mathematiques 7(2) : 5-31.

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Vandebrouck, F. (Ed.) (2008) La classe de mathematiques : activites des eleves et pratiques enseignantes. Toulouse: Octares Editions. Translation in English: (2013). Mathematics classroom: students' activities and teacher'spractices. Universite Paris Diderot. Rotterdam: Sense Publisher.

Manuales escolares

Matematica Octavo Nivel (2015), Edicion Lebombo Matematica 8[grados]: Desarrollando habilidades. Segunda edicion (2016). Edicion PIMAS. Mathematiques. Terminale S (2006). Collection Math'x. Editions Didier.

Corine Castela (1) ([cruz doble])

(1) ([cruz doble]) Laboratoire de Didactique Andre Revuz, Universidades de Artois, Paris 7, Paris-Est Creteil, Cergy Pontoise y Rouen, Francia.

Recibido: 20/Jun/2017; Aceptado: 17/uct/2018

(1) Autor para correspondencia: corine.castela@univ-rouen.fr

(2) Empleamos las notaciones que encontramos en los manuales de Costa Rica. En Francia la recta que pasa por los puntos A y B se nota (AB), AB representa la distancia entre A y B o la longitud del segmento notado [AB].

(3) Se trata aqui de lo que en frances se llama 'rapport de mesures algebriques'. [bar.AD]/[bar.AC] es un numero real de valor absoluto AD/AB, de signo + si [??] y [??] tienen el mismo sentido, de signo-si no. En el corolario 2, la igualdad supone que los puntos A, D, B por una parte, y A, E, C por otra se presentan en el mismo orden sobre las rectas AB y AC.

(4) La palabra 'cognitivo' se emplea aqui en referencia con su etimologia latina: cognoscere. Significa relativo al conocimiento. La formulacion "producciones cognitivas institucionales" remite a los recursos inmateriales que producen y reconocen las instituciones. Sobre la nocion de cognicion institucional, vease Castela 2016, pp.13-14).

(5) Los trabajos del ED (Robert & Rogalski 2002, Vandebrouck 2008) introdujeron estas dos categorias, con un vocabulario diferente: para la primera categoria, hablan de conocimiento disponible; para la segunda, de conocimiento movilizable. Yo no empleo estas palabras que se parecen muy dificiles de identificar.

Leyenda: Figura 1. Una tarea que convoca el teorema de Thales (Lebombo 8[grados], p. 74).

Leyenda: Figura 2. Un problema del capitulo Semejanzas de triangulos (PIMAS 8[grados])

Leyenda: Tabla 7. Explicitacion matematica de una habilidad de segundo tipo.

Leyenda: Tabla 10. Aplicacion del criterio LLL (PIMAS 8[grados]).

Leyenda: Tabla 11. Aplicacion sencillas y aisladas del criterio LLL.
Tabla 1. Extracto del programa de estudio 8[grados] Ano.

Conocimientos         Habilidades Especificas

Triangulos            6-7. Identificar figuras semejantes [congruentes]
                      en diferentes contextos.

* Semejanza
* Congruencias        8-9. Aplicar los criterios de semejanza
* Teorema de Thales   [congruencia] LLL, LAL, AAA para determinar y
                      probar la semejanza [congruencia] de triangulos.

                      10. Resolver problemas que involucren la
                      semejanza o la congruencia de triangulos.

                      11. Utilizar software de geometria dinamica para
                      visualizar propiedades relacionadas con la
                      congruencia y semejanza de triangulos.

                      12. Aplicar el teorema de Thales en la
                      resolucion de problemas en diversos contextos.

Tabla 8. Encontrar el tipo T en un entorno de Calculo.

El dibujo representa un cono circular recto de vertice
S, de altura h. R es el radio de la base.
Se considera un sistema de coordenadas cartesianas
(tres ejes ortogonales igualmente escalados) tal que las
coordenadas de S sean (0, 0, h). z es un numero real,
entre 0 y h. La seccion del cono por el plano pasando
por el punto (0, 0, z) y paralelo al plano de la base es
un circulo de radio r(z).

1. Demostrar que r(z) = R x h-z/h

Tabla 9. Encontrar el tipo T en un entorno de geometria espacial.

Un cono invertido de altura 0,8m y generatriz 1m
sirve como un contenedor de almacenamiento de
agua. En su vertice tiene un orificio por donde se
extrae el liquido. En un momento dado la altura
que alcanza el agua dentro del cono es de 0,3m.
Determine la medida del radio que se forma en ese
instante.
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Author:Castela, Corine
Publication:Ciencia y Tecnologia
Date:Jul 1, 2018
Words:6475
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