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Funciones en contexto. Una experiencia enriquecida en la modelacion y simulacion interactiva.

Functions in context. A rich experience in modeling and interactive simulation

I. Introduccion

Desde la aparicion de la tecnologia y las herramientas computacionales se han experimentado cambios muy acelerados. Estos cambios han ido transformando la manera como los seres humanos adquieren y producen nuevo conocimiento, al implementarse el uso de estrategias informaticas en la educacion. En este sentido, varias investigaciones han comprobado el papel decisivo que cumplen las estrategias y los recursos didacticos que emplean los docentes en los procesos de ensenanza y aprendizaje en las diferentes ciencias.

Segun Borba y Villarreal (2005) la tecnologia y los artefactos establecen una relacion con los seres humanos tal que, de la manera como se genere dicha relacion va a depender la forma como un individuo aprende o produce nuevo conocimiento. Por tanto, la cognicion se vale de las herramientas, artefactos, dispositivos y medios con los cuales se produce el conocimiento. En consecuencia, estos autores plantean evitar la tendencia a ver a los humanos y a las herramientas tecnologicas como dos conjuntos disyuntos o independientes, ya que las herramientas influyen en la manera como las personas organizan sus ideas, exploran y producen conocimiento mediante la interaccion con ellas. Pero ademas, esta influencia, expresa Sanchez (2007), no es unidireccional porque las herramientas median y moldean el pensamiento de los individuos, pero a su vez, estos influyen en las herramientas ya sea transformandolas o potenciandolas.

En los ultimos anos investigadores como Villa y Ruiz (2010), Torroba, Etcheverry y Reid (2009) y Garcia y Gil (2006), basados en el constructo teorico de seres humanos con medios propuesto por Borba y Villarreal (2005), han estudiado el uso didactico de diversas herramientas informaticas en los procesos de ensenanza y aprendizaje de las matematicas. Por tanto, estos autores han analizado el papel que juegan los medios informaticos que se emplean para comunicar y representar ideas matematicas, asi como el rol que cumplen en la exploracion y produccion de nuevas conjeturas o hipotesis, lo que conlleva, en algunos casos, a establecer nuevos conocimientos, no solamente en los estudiantes sino tambien en los docentes que conducen y orientan este tipo de practicas educativas.

Las investigaciones realizadas por Villa y Ruiz (2010) y Torroba et al., (2009) han confirmado que, por ejemplo, el uso de software como GeoGebra y Cabri Geometre II Plus--que permite tanto a maestros como a estudiantes, explorar mediante la modelacion y simulacion diversos conceptos matematicos--ha conllevado a que se descubran nuevas posibilidades de construccion, potenciando de esta forma el uso del software. Es decir, estas experiencias muestran como a traves de la interaccion con estos programas surgen nuevos cuestionamientos que alimentan la exploracion del software mismo y redimensionan la mirada sobre los objetos matematicos.

La posibilidad de utilizar herramientas de software para el estudio de los objetos matematicos permite establecer un dialogo amplio entre la visualizacion y los procedimientos algebraicos que se realizan con lapiz y papel. En este mismo sentido, Villa-Ochoa, Bustamante, Berrio-Arboleda, Osorio, y Ocampo (2009) expresan que cuando los docentes promueven la ensenanza a partir de situaciones del mundo real, hacen que se disminuya la brecha que ha existido entre matematicas y realidad. Pero ademas, es importante apuntar que cuando tales situaciones se logran modelar o simular mediante el uso de herramientas computacionales, esto conlleva a que tanto maestros como estudiantes puedan explorar los objetos a traves de la visualizacion, la observacion y la experimentacion, logrando no solo reconocer patrones y comprobar leyes, sino realizar nuevas conjeturas relacionadas con el comportamiento de los objetos matematicos o sobre el potencial del software como herramienta constructiva.

Con base en los planteamientos anteriores, desde 2010 se ha venido implementando una estrategia didactica con la utilizacion de un recurso virtual denominado Modelacion y simulacion interactiva de funciones, version 1 (Cruz-Huertas, 2010), utilizando el programa Cabri Geometre II Plus para el aprendizaje y aplicacion de funciones: lineales, afines, cuadraticas y cubicas. Posteriormente, el recurso virtual se mejoro y se produjo una segunda version utilizando GeoGebra (Hohenwarter, 2012). Esta se desarrollo durante el segundo semestre del ano 2012. Este documento presenta los resultados obtenidos en una fase preliminar, que sirven como base para realizar estudios mas amplios que permitan implementar y validar la estrategia propuesta en otros contextos.

II. De Cabri Geometre II Plus a GeoGebra

Entre 2010 y el primer semestre de 2012, Cruz-Huertas implemento el recurso virtual de su autoria denominado Modelacion y simulacion interactiva defunciones, version 1 (Cruz-Huertas, 2010) en estudiantes de primer semestre del Programa de Administracion de Empresas Comerciales de la Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca, jornada nocturna. Mediante el uso de este recurso se desarrollo una propuesta didactica complementaria al estudio presencial, apoyandose en la creacion de escenarios de modelacion y simulacion interactiva elaborados con el programa Cabri Geometre II Plus. Esta estrategia de aprendizaje pretende que los estudiantes puedan visualizar y relacionar, por si mismos, de manera practica, los elementos de un modelo con la teoria y puedan lograr conceptos mas amplios relacionados con las funciones.

El recurso virtual utiliza herramientas web; para subir los modulos interactivos elaborados con Cabri a la Web, se utilizo el plug-in de Cabri 1.4. Sin embargo, este plug-in no funciona en las nuevas versiones de los navegadores y en algunos computadores los modelos se veian distorsionados. Por tanto, se tenia la gran dificultad que muchos estudiantes unicamente podian acceder a los elementos teoricos que se presentaban en la pagina web, pero no lograban entrar a los modulos interactivos, lo que les impedia visualizar y experimentar con los objetos matematicos y generaba obstaculos en la aplicacion de la estrategia prevista para el desarrollo del tema.

Debido al problema anterior, se logro utilizar el recurso de forma parcial, para apoyar los procesos de ensenanza--aprendizaje de las funciones y sus aplicaciones. Sin embargo, las opiniones de los estudiantes que pudieron trabajar con los modulos interactivos fueron muy positivas. Expresaron que la interaccion con los modelos les habia facilitado comprender mejor los conceptos explicados en clase, por lo que consideraban que era un recurso muy valioso. Esto motivo a considerar el uso de una herramienta distinta para construir los modulos interactivos, de tal manera que estos funcionaran en todos los navegadores.

En consecuencia, en el marco de la Maestria en Informatica Aplicada a la Educacion, los autores de este documento decidieron realizar las mejoras tecnicas al recurso virtual Modelacion y simulacion interactiva defunciones, construyendo una segunda version (Cruz-Huertas, 2012), mejorando a su vez aspectos de diseno y desarrollando un proceso de investigacion que permita validar el aporte pedagogico que este recurso ofrece en los procesos de ensenanza-aprendizaje de las funciones citadas.

Para solucionar el problema relacionado con el funcionamiento del software, para la construccion de los modulos interactivos se selecciono el programa GeoGebra (Hohenwarter, 2012), por ser un software libre, que funciona en las diferentes versiones de los navegadores, ser sencillo y amigable, y contar con la potencia que permite la creacion de construcciones matematicas y modelos para las exploraciones interactivas mediante sucesivos cambios de parametros. GeoGebra esta basado en Java, lo que lo transforma en un software multiplataforma que funciona con cualquier sistema operativo que soporte este lenguaje (Windows, Mac, Linux) e incluso en algunos celulares.

Aunque el proceso de validacion del recurso virtual Modelacion y simulacion interactiva de funciones, version 2, preve tomar varios grupos de estudiantes de pregrado de diferentes instituciones de educacion superior, en este documento se presentan los resultados obtenidos al implementar el recurso en tres grupos--A1, B1 y C1--de estudiantes de pregrado del Programa de Administracion de Empresas Comerciales, jornada nocturna de la Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca, durante el segundo semestre de 2012.

III. Metodo

El proposito de la estrategia es favorecer, de manera significativa, el proceso de ensenanza y aprendizaje de las funciones lineal, afin y cuadratica, y sus aplicaciones en algunos contextos, de manera que los estudiantes logren visualizar y comprender mejor las relaciones que existen entre el mundo real y las matematicas. Para ello, Cruz-Huertas diseno un taller denominado Elaborando cajas y construyendo funciones. Este plantea una situacion real, en la que los estudiantes a partir de seis rectangulos iguales, deben elaborar seis cajas diferentes, variando solamente la altura de la caja. De esta forma, se obtienen cajas de diferente tamano; por tanto, varia el largo, el ancho, el area lateral sobre el ancho, el area lateral sobre el largo, el area de la base, el area total, el area del papel recortado y el volumen de las cajas. Los estudiantes deben medir las dimensiones de las cajas y calcular estos valores para llenar una tabla de datos. Utilizando los datos de las mediciones y el analisis del comportamiento de las distintas variables involucradas en el problema, los estudiantes deben identificar las ocho funciones que modelan tales variaciones.

Para apoyar el desarrollo del taller, se utiliza el recurso virtual Modelacion y simulacion interactiva defunciones, el que ademas de presentar diversos conceptos teoricos sobre el tema, mapas conceptuales, ejemplos y problemas de aplicacion, presenta la modelacion de las familias de funciones con GeoGebra y el modelo de una caja sin tapa en segunda y tercera dimension, como la que se propone en el taller. De esta forma, los estudiantes pueden variar las dimensiones de la altura, el largo y el ancho de la caja. Ademas, se simulan todas las funciones matematicas que surgen a partir de las variaciones de las diferentes dimensiones involucradas en el modelo.

Las estudiantes ademas de contar con las explicaciones teoricas impartidas por el docente en las clases presenciales, tienen la posibilidad de complementar la teoria de los conceptos matematicos relacionados en el taller, mediante del uso del recurso virtual, e interactuar con las modelaciones y simulaciones que alli se presentan. Por otra parte, se espera que el recurso virtual les permita explorar y experimentar de manera individual y flexible los conceptos trabajados en clase y los propuestos en el taller.

La estrategia apoyada con el recurso virtual, plantea los siguientes objetivos:

Objetivo general. Implementar una estrategia de aprendizaje enriquecida con TIC para que los estudiantes, a partir de una situacion real, puedan identificar las funciones que modelan dicha situacion, de forma que les permita construir de manera significativa conceptos relacionados con las funciones.

Objetivos especificos

* Generar un ambiente dinamico de aprendizaje de tal forma que mediante los registros, la modelacion y la simulacion interactiva, se facilite el analisis, la comprension y la aplicacion de conceptos matematicos relacionados con las funciones.

* Caracterizar el concepto de variable, variable dependiente e independiente, dominio y rango util, mediante el uso de registros en tablas, la modelacion y la simulacion interactiva.

* Identificar las caracteristicas y elementos esenciales de las funciones lineales, afines y cuadraticas, mediante la interaccion con la modelacion y la simulacion.

* Comprobar, mediante metodos matematicos, que es posible conocer con exactitud las variaciones visualizadas en la simulacion de las funciones.

El recurso virtual Modelacion y simulacion interactiva de funciones consta de cuatro modulos: Elementos teoricos; Modelacion de familias de funciones; Modelacion y simulacion de una caja; y el Taller Elaborando cajas y construyendo funciones.

El primer modulo, Elementos teoricos, tiene como proposito presentar los conceptos fundamentales relacionados con: funcion, funcion lineal, funcion afin, funcion cuadratica y funcion cubica, proporcionando ejemplos de aplicacion en cada uno de los temas. Para complementar las explicaciones, se construyeron mapas conceptuales que buscan representar con mayor detalle, la relacion entre los conceptos. Asimismo, se presentan algunas actividades para que los estudiantes las desarrollen y puedan aplicar los conceptos estudiados.

Como los documentos que contienen los elementos teoricos estan en formato pdf, los estudiantes pueden imprimirlos para su estudio. En la Figura 1, se puede observar una de las pantallas de este modulo.

[FIGURA 1 OMITIR]

El segundo modulo, Modelacion de familias defunciones, tiene como finalidad propiciar un ambiente interactivo con el programa GeoGebra, para que los estudiantes mediante los deslizadores, puedan variar los parametros en cada una de las funciones y visualizar los cambios que se producen en la grafica. De esta forma, se espera que los estudiantes, de manera simultanea, identifiquen y verifiquen, por si mismos, el oficio que ejerce cada uno de los parametros en la funcion representada y puedan observar las caracteristicas esenciales de cada una de las familias de funciones. En la Figura 2, se puede observar uno de los applet creado con GeoGebra.

El tercer modulo, Modelacion y Simulacion de una Caja, tiene como objeto fundamental apoyar el desarrollo del taller Elaborando cajas y construyendo funciones, para que los estudiantes, a traves de la modelacion de una caja sin tapa--y la simulacion de cada una de las funciones que surgen a partir del modelo--, tengan la oportunidad de interactuar, visualizar, observar y analizar en tiempo real, lo que sucede cuando se varian las dimensiones de la altura, el largo o el ancho del rectangulo que forma la caja, y a su vez relacionen el modelo presentado con las diferentes preguntas que se plantean en el taller. Con esto se pretende lograr una mejor comprension de las variaciones que se dan entre las dimensiones del modelo representado (caja) y como estas variaciones pueden representarse mediante un modelo matematico, que puede ser una funcion afin, una funcion cuadratica o una funcion cubica, segun sea el caso. En la Figura 3, se puede observar uno de los applet que muestra la simulacion del area lateral sobre el largo de la caja, segun la variacion de la altura, tomada a partir del modelo de la caja.

[FIGURA 2 OMITIR]

[FIGURA 3 OMITIR]

En el cuarto modulo, Taller cajas y funciones, se presenta el taller (ver Anexo 1), en formato pdf, para cada uno de los cursos. Cada estudiante debe imprimirlo y resolverlo de manera individual para presentarlo como trabajo final, para la evaluacion del tema. Con el taller se espera que los estudiantes desarrollen un trabajo practico que conduzca al establecimiento de modelos con funciones y, mediante la interaccion con el recurso virtual, obtengan una comprension mas amplia del problema plateado. Ademas, se den cuenta de que es posible hacer procesos de modelacion y simulacion mediante la utilizacion de software apropiado, para visualizar y afianzar los conocimientos matematicos y poner en evidencia la relacion existente entre el modelo y la teoria. Ademas, es importante que los estudiantes comprendan la importancia de poder establecer un modelo matematico, de tal forma que permita tener el control de las distintas variables implicadas y, de esta manera, resolver diferentes preguntas relacionadas con el problema planteado.

Como se puede apreciar en lo descrito, la estrategia esta basada en un enfoque constructivista por cuanto propicia que los estudiantes elaboren nuevos conocimientos a partir de la base de ensenanzas anteriores. Ademas posibilita que los estudiantes sean activos, en lugar de permanecer de manera pasiva observando unicamente lo que se les explica (Garcia & Gil ,2006). En efecto, en la estrategia se propone un taller significativo dentro de un contexto especifico, de tal forma que los estudiantes puedan descubrir o construir los modelos con las funciones correspondientes, en lugar de una serie de instrucciones abstractas fuera de la realidad, como suele presentarse con metodologias tradicionales.

Por otro lado, las actividades que se proponen en el recurso virtual, permiten que los estudiantes entren en contacto con diferentes representaciones de la realidad, posibilitando de esta forma, que puedan avanzar hacia otras representaciones mas complejas; por ejemplo, cuando logran construir modelos matematicos, en este caso con funciones, en diversos problemas planteados. Asimismo, las diferentes preguntas que se hacen en el taller buscan fomentar la reflexion de los estudiantes desde la experiencia, asi como tambien las estrategias que se emplean en las clases, pretenden apoyar la construccion colaborativa del aprendizaje a partir de la negociacion social y no de la competencia.

A. Desarrollo de la estrategia

Al iniciar el estudio del tema de funciones, se propuso a cada uno de los estudiantes que debia descargar del portal www.funciomaticas.com (Cruz-Huertas, 2012) el taller Elaborando cajas y construyendo funciones segun el grupo al que corresponde (A1, B1 o C1). Ademas se les pidio que estudiaran, en primer lugar, todos los elementos teoricos que se presentan en el recurso virtual y complementaran esta teoria, mediante la interaccion con el modulo Modelacion de familias defunciones, version 2. En clase se explico con mayor detalle el desarrollo de la primera y segunda parte del taller, aclarando las inquietudes que planteaban los estudiantes. Tambien se destinaron aproximadamente seis horas de clase para explicar los conceptos de funcion, funcion lineal, afin y cuadratica, y las caracteristicas de cada una de las familias de funciones, de tal forma que los estudiantes pudieran complementar los elementos teoricos con lo experimentado por ellos mediante la interaccion con el recurso virtual.

En esta primera etapa, en la cual los estudiantes empezaron a trabajar con el recurso virtual, se observo que la mayoria no contaba con los conceptos basicos necesarios para abordar el tema de funciones y no estaba acostumbrada a realizar procesos de observacion sistematica mediante la utilizacion de recursos informaticos con modelacion y simulacion de objetos matematicos. Por tanto, algunos estudiantes que dijeron haber interactuado con la modelacion de funciones, no supieron identificar que era lo importante de observar y que tipo de preguntas se debian platear durante este proceso. Otros, sencillamente dijeron no haber tenido el tiempo para interactuar con el recurso. Entonces, fue necesario que en la clase se orientara a todos los estudiantes, mediante el uso del recurso virtual, acerca de que era importante observar y, con el planteamiento de diferentes preguntas, inducirlos a que efectuaran las conclusiones pertinentes sobre el oficio de los parametros en cada una de las familias de funciones. Esto fue muy valioso por cuanto los estudiantes se dieron cuenta que era importante observar con mayor detalle y plantearse las preguntas adecuadas, de tal forma que mediante la interaccion se pudiera identificar ciertos patrones de regularidad y establecer conclusiones importantes.

Tambien se trabajo en clase el modulo Modelacion y simulacion de una caja, para el que se invito a los estudiantes a interactuar de nuevo con el recurso, las veces que lo consideraran necesario, de tal forma que entendieran mejor el comportamiento y las caracteristicas de las funciones alli representadas, con el proposito de permitirles poder contestar las preguntas que se plantean en cada una de las funciones simuladas o poder formular otras que fuesen pertinentes. Asimismo, se invito a que, con la interaccion, pudieran relacionar e integrar conceptos para deducir y analizar los modelos matematicos solicitados en el taller.

Se destinaron dos clases mas para apoyar a todos los estudiantes con los procesos matematicos y de analisis para que pudieran avanzar y completar el desarrollo del taller; asimismo algunos estudiantes solicitaron aclaraciones individuales en los espacios destinados a tutorias.

Cabe resaltar que el apoyo dado por el docente durante todo el proceso es fundamental, por cuanto es necesario ayudar a los estudiantes en la comprension de los conceptos matematicos y acompanarlos en los procesos de visualizacion y observacion, de tal forma que, a traves de los cuestionamientos realizados por el docente, se enfoque a los estudiantes sobre los elementos esenciales a observar. Esto, sin lugar a dudas, motiva enormemente a que los estudiantes utilicen de nuevo el recurso virtual, con mayor interes y motivacion, en los dias siguientes. Segun lo expresaron, a la gran mayoria les sirvio para comprobar si lo que estaban haciendo en el taller, especialmente en la elaboracion de las graficas, era correcto o no.

IV. Resultados

Al evaluar cuantitativamente los talleres desarrollados por los estudiantes en los tres grupos, valorado con notas de cero a cinco, se obtuvieron los resultados que presenta la Tabla 1.

Como se puede observar en la Tabla 1, 25 estudiantes (37%), alcanzaron un nivel de excelente, 28 (42%), logro un nivel bueno y 8 (12%), fueron valorados con nivel aceptable. Es decir, el 91% de los estudiantes aprobo el taller. Solamente 4 (6%), no lo aprobaron y 2 (3%), no lo presentaron. De estos ultimos estudiantes, se pudo establecer inasistencias a las clases y en general bajo rendimiento academico aunado al poco interes y motivacion por el estudio.

Para valorar cualitativamente la estrategia, en el ultimo punto del taller, numeral 6, se les solicito a los estudiantes la opinion sobre los aportes que les habia proporcionado el taller, y el uso del recurso virtual en relacion con la comprension y aplicacion de las funciones. A continuacion se describen algunos de los comentarios mas relevantes:

--Una pagina super interesante. Ojala la mayoria de los docentes disenaran cosas como estas. Ayuda a entender muchas cosas y a ver que las matematicas son interesantes.

--La pagina web y las explicaciones de la profesora, me ayudaron a entender muchas cosas de las funciones que nunca habia entendido en el colegio.

--Con el taller pude ver el lado practico de las matematicas y a entenderlas mejor con los modelos de la pagina web, porque casi siempre uno ve la matematica como algo muy teorico, de poca utilidad.

--Con el taller y la pagina le pude ver el lado amable a las matematicas, me doy cuenta de la gran aplicacion que tienen, hasta para hacer unas simples cajas son importantes y que ademas, pueden ser divertidas.

--Cuando inicie el taller no entendi casi lo que tenia que hacer, pero cuando mire los modelos lo entendi, asi que me ayudo muchisimo.

--Lo que falta es tiempo, hubiera querido tener mucho mas para estudiar mejor la pagina web. Aprender asi es muy chevere porque uno se da cuenta que es lo que verdaderamente esta ocurriendo al variar por ejemplo la altura.

--Creo que me estan empezando a gustar las matematicas, nunca las habia visto de esta forma. Con el taller tambien aprendi muchisimo de una manera practica y amena.

Hubo muchos otros comentarios, en general muy positivos, que aunados a los resultados cuantitativos permiten inferir que la estrategia propuesta ayuda a los estudiantes a mejorar en alto grado los niveles de comprension sobre las funciones estudiadas y sus aplicaciones. A su vez, se observo en la gran mayoria de los estudiantes, motivacion y agrado en la realizacion de esta actividad. De ahi que en los talleres entregados por los estudiantes, se observo calidad y esmero en su elaboracion.

Por supuesto es necesario seguir implementando la estrategia sistematicamente y ojala disenar otros instrumentos que permitan evidenciar con mayor detalle las fortalezas y debilidades de la estrategia.

V. Discusion

Aunque trabajos como este ponen en evidencia lo que otros investigadores tambien han encontrado con respecto al potencial cognitivo que ejercen estrategias didacticas apoyadas con herramientas tecnologicas en el aprendizaje de las matematicas, desafortunadamente en Colombia estas practicas pedagogicas parecen ser aun escasas. En efecto, se puede advertir que la modelacion en matematicas como practica educativa en las aulas escolares del pais es aun minima.

Actualmente existe una gran variedad de programas computacionales para la modelacion y la simulacion. Sin embargo, desconocemos que tanto los docentes colombianos manejan estas herramientas tecnologicas y disenan estrategias pedagogicas significativas para los estudiantes. Esto es, que las actividades que proponga el docente muestren frecuentemente la relacion entre matematicas y realidad, por lo que habia que indagar mas sobre el tema. Mientras tanto, parece ser que la apatia y el desinteres de muchos estudiantes por el estudio de las matematicas se siguen acentuando, por quienes reclaman un sentido de realidad matematica que, en la mayoria de los casos, el docente no sabe como afrontar.

Por otro lado, son varios los estudios sobre didacticas para el aprendizaje de las matematicas que se han escrito para mejorar la calidad de la educacion. Estas investigaciones se han valido de todas la variables posibles que corresponden a cada situacion de forma grupal o individual del sujeto en estudio; investigaciones que van desde sus entornos etnograficos, como tambien desde el campo de las dimensiones de la psicologia, para explorar conceptos como la percepcion, la atencion, la motivacion, la emocion, el funcionamiento del cerebro, la inteligencia, la personalidad, las relaciones personales, la consciencia y el inconsciente, hasta la llegada de los nuevos instrumentos cognitivos--el mundo de la cultura tecnologica--y las TIC, cuyo enfoque pedagogico constructivista se fundamenta en potenciar las capacidades mentales y permitir el desarrollo de nuevas maneras de pensar.

Sin embargo, como claramente lo expresa Alsina (2007), la mayor parte del tiempo que emplean los docentes en la ensenanza de las matematicas se dedica a la solucion de ejercicios rutinarios, extraidos en su mayoria de libros de texto, que por lo general son realidades inventadas, caducadas o manipuladas y alejadas de la vida cotidiana. En consecuencia, tales actividades poco o nada ayudan a mostrar a la matematica como una ciencia util para la interpretacion y modelizacion de la realidad.

Por lo anterior, el uso de estrategias como modelos pedagogicos y recursos didacticos se debe convertir en objetos de estudio para el docente investigador, de forma que pueda abordar soluciones a problemas educativos para fortalecer los procesos de aprendizaje. Pero ademas, estas estrategias le permiten al docente reflexionar al interior de su practica y seguramente vislumbrar sus propias necesidades de actualizacion academica, que le permitan abordar con eficiencia las exigencias educativas del mundo actual.

En este y otros trabajos como los referenciados en este documento, se ha visto que cuando se proponen aplicaciones partiendo de entornos reales, y ademas, estos contextos se amplian con herramientas de modelacion, simulacion e interaccion, las estructuras cognitivas del estudiante se desarrollan mejor, propiciando un mejor aprendizaje, porque le permite trabajar de forma simultanea, procesos conceptuales, procesos analiticos y sociales, como es el caso del estudio del concepto de funcion y sus aplicaciones. De esta manera, los estudiantes pueden tener mayor facilidad para transferir los conceptos aprendidos a otros contextos.

Conclusiones

El estudio de funciones apoyado con ambientes computacionales dinamicos e interactivos, genera mayor motivacion e interes en los estudiantes, ya que les permite experimentar, comparar y explorar, por si mismos, relaciones de tipo matematico. Sin embargo, es preciso resaltar que, cuando los estudiantes no han trabajado con este tipo de ambientes, es de suma importancia que el maestro oriente de manera conjunta procesos de observacion, de tal forma que, mediante diferentes cuestionamientos efectuados por el docente, se apoyen procesos de induccion y deduccion que conlleven a establecer las relaciones matematicas que estan implicitas en los modelos presentados. De lo contrario, puede ocurrir que muchos estudiantes solo se queden en el plano de la visualizacion, como por ejemplo: la figura cambia, es mas grande o mas pequena, por tanto la grafica tambien, pero no lleguen a establecer las razones matematicas que generan dichos cambios.

A pesar de que los estudiantes de jornada nocturna disponen de menos tiempo para el estudio, debido a que normalmente trabajan durante el dia, fue posible lograr avances significativos en el aprendizaje de las funciones y sus aplicaciones, tal como se infiere de los resultados obtenidos.

Las exploraciones y manipulaciones con los objetos matematicos, por medios computacionales y orientados por el docente, permiten agudizar procesos de observacion en los estudiantes, de tal forma, que estos empiezan a reconocer patrones de regularidad y a establecer conjeturas que pueden comprobar o refutar, sea mediante la interaccion misma con el modelo o valiendose de procesos matematicos con lapiz y papel. De esta forma, los estudiantes se aproximan a la manera como actualmente trabajan los matematicos, favoreciendo cambios positivos en la actitud de los estudiantes hacia las matematicas y la comprension de conceptos en general.

Es muy importante que la evaluacion abarque mas alla de los procesos de experimentacion y observacion realizados con el software, y se complemente con la realizacion de talleres practicos relacionados con las tematicas trabajadas, lo que finalmente muestra si un estudiante es capaz de utilizar sus conocimientos en la solucion de problemas en contexto. En otras palabras, si verdaderamente ha desarrollado su competencia matematica.

Por ultimo, cabe senalar que ninguno de los autores habia trabajado con GeoGebra, asi que esta experiencia se convirtio en una motivacion y un reto que culmino con un gran aprendizaje y una enorme satisfaccion tanto profesional como personal. Ademas, se pudo confirmar mediante las diferentes construcciones realizadas el gran potencial educativo que tiene este software.

Anexo 1

TALLER ELABORANDO CAJAS Y CONSTRUYENDO FUNCIONES (Grupo A1)

Elaborado por: Jaqueline Cruz Huertas

Modelos y Funciones

Las funciones constituyen una herramienta potente en la modelacion matematica. A traves de las funciones se puede modelar matematicamente diversas situaciones de la vida real, que permiten describir y analizar las relaciones entre magnitudes con el fin de prever los resultados, sin necesidad de hacer en cada momento calculos que pueden resultar muy demorados o complicados.

Para elaborar un modelo matematico se deben abordar basicamente tres etapas:

1. Construccion, proceso en el que se convierte el objeto a lenguaje matematico.

2. El analisis o estudio del modelo confeccionado.

3. La interpretacion de dicho analisis, donde se aplican los resultados del estudio al objeto del cual se partio.

Los modelos matematicos se utilizan en todos los campos, por ejemplo, en la industria sirven para analizar los procesos y disenar los productos, optimizandolos para hacerlos mas funcionales y reducir costos en la produccion. Ademas, al facilitar la experimentacion virtual, permiten reducir el tiempo que transcurre entre la elaboracion y la comercializacion, un aspecto fundamental para las empresas en la economia competitiva y global en la que estamos inmersos.

Este taller, tiene como objetivo:

Implementar una estrategia para que los estudiantes a partir de una situacion real, construyan de manera significativa el concepto de funcion y puedan identificar las funciones que modelan dicha situacion (con funciones afines, cuadraticas y cubicas) para analizarlas e interpretarlas en relacion con el problema planteado.

Como poyo para el desarrollo del taller, usted debe ingresar a la pagina www.funciomaticas.com donde podra interactuar y experimentar con el modelo de una caja y la simulacion de las funciones, de tal forma que le permita observar y analizar con mayor detalle el problema y resolver las preguntas que se plantean.

Situacion problema:

Imaginese que usted va a montar una industria de cajas sin tapa de diversos tamanos, elaboradas a partir de una lamina rectangular de acero inoxidable calibre 20. Ha hecho contrato con una empresa que le envia laminas de 13 cm de largo por 9 cm de ancho para la elaboracion de las cajas, como se muestra en el grafico:

[GRAFICO OMITIR]

PRIMERA PARTE: Elaboracion de cajas.

Construya 6 rectangulos en papel de 13 cm. de largo por 9 cm. de ancho. Elabore con cada rectangulo, una caja sin tapa recortando un cuadrado de igual tamano en cada una de las esquinas del rectangulo, de forma que complete 6 cajas con diferente altura, Las cajas deben tener las siguientes caracteristicas: Dos de altura mediana, dos lo mas altas posibles y dos lo mas bajas posibles. Se recomienda trabajar con numeros enteros y decimales. Guarde los cuadrados que recorto en cada una de las cajas (desperdicio). No es necesario pegar las partes de la caja, ademas en estos modelos no se tendran en cuenta pestanas.

SEGUNDA PARTE

Tome las seis cajas que elaboro. Mida la altura, el largo y el acho de cada caja. Calcule los demas datos solicitados y registrelos en la siguiente tabla:

[ILUSTRACION OMITIR]

TERCERA PARTE

1. Como puede analizar desde su experiencia, todos los datos cambian de acuerdo a la variacion de la altura (es decir esta corresponde al valor de la variable independiente). Por tanto, ?cuales son los valores posibles que puede tomar la altura? Determine el intervalo (dominio util) --

2. Construya una expresion matematica (funcion) que permita calcular todos los demas datos de las casillas, conociendo el valor de la altura. Esto es, que dependa del valor de x. Escribala en la ultima fila de la tabla.

3. Haga una depuracion de posibles errores de medicion, reemplazando el valor de la altura en cada una de las expresiones halladas (funciones) y compruebelas con las mediciones registradas en la tabla.

CUARTA PARTE

1. Haga un analisis de cada una de las funciones realizando los procesos matematicos para hallar raices (puntos de corte con eje x), puntos de corte con eje y, puntos maximos y/o minimos si los hay, e identifique el Rango Util en cada funcion.

2. En un plano cartesiano adjunto a los procesos anteriores, grafique cada una de las funciones, ajustando para ello las escalas en los ejes, segun los datos hallados en el punto anterior, de forma que la grafica se pueda ver completa y armonica (mejor pequena).

3. Luego ubique en cada grafica los seis puntos (coordenadas (x,y)) de las variaciones de las seis cajas, obtenidas en los registros de la tabla, correspondientes a la funcion representada y complete la grafica.

4. Despues de completar cada grafica con todo los datos, haga un analisis lo mas completo posible de acuerdo al contexto. Puede hacerse preguntas y resolverlas utilizando las funciones obtenidas, como por ejemplo:

?Si un cliente solicita una caja, que tenga un area lateral sobre el largo de 20 [cm.sup.2]. Observando el modelo, es posible hacerla?, si lo es, es posible construir cajas de diferente altura que tengan esta area lateral?. Cuales serian esas alturas?. --

?Otro cliente solicita una caja que tenga 9[cm.sup.2] de area lateral sobre el largo, y mediante el modelo observo que solo le puedo hacer una, ?por que?. ?Cual es esa altura? --

5. Registre en la TABLA RESUMEN DE FUNCIONES todos los datos que usted hallo en cada una de las Funciones y que son los mas importantes para el analisis y la comprension de todo el taller y Pongalo como portada de su trabajo seguido de las graficas, acompanadas estas de los procesos respectivos.

6. Finalmente, escriba dos parrafos donde exprese su opinion con respecto al trabajo realizado en este taller. Por ejemplo: ?Considera que le ayudo en la comprension y aplicacion de las funciones? ?Que fue lo que mas le gusto de la pagina web funciomaticas?, ?Que dificultades tuvo?, entre otras.

TABLA RESUMEN DE FUNCIONES Y DATOS HALLADOS

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Anexo 2

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Referencias bibliograficas

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Jaqueline Cruz Huertas

jcruzh@unicolmayor.edu.co

Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca, Bogota--Colombia

Yilman Medina Castaneda

yilma.medina@campusucc.edu.co

Universidad Cooperativa de Colombia, Bogota--Colombia

Fecha de recepcion: Julio 8 de 2013

Fecha de aceptacion: Septiembre 3 de 2013

Jaqueline Cruz Huertas.

Licenciada en Matematicas, Universidad Distrital; Especialista en Computacion para la Docencia, Universidad Antonio Narino; Especialista en Educacion Universitaria, Universidad Complutense de Madrid; Especialista en Edumatica, Universidad Autonoma; Estudiante de Maestria en Informatica Aplicada a la Educacion, Universidad Cooperativa de Colombia. Docente, Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca.

Yilman Medina Castaneda.

Ingeniero Metalurgico, Universidad Libre; Especialista en Pedagogia y Docencia Universitaria, Universidad La Gran Colombia; Especialista en Gerencia de Calidad de Productos y Servicios, Universidad libre. Estudiante de Maestria en Informatica Aplicada a la Educacion, Universidad Cooperativa de Colombia. Docente Universidad Cooperativa de Colombia.
Tabla 1. Evaluacion de resultados--Sem.2-2012--Programa de
Administracion de Empresas Comerciales

Resultados      Total      Excelente       Bueno
/ Cursos     estudiantes   4,6 - 5,0
                                         4,0 - 4,5

             No.     %     No.     %     No.     %

A1            20    100     4      20     13     65
B1            21    100     12     57     5      24
C1            26    100     9      35     10     38
Total         67    100     25     37     28     42

Resultados   Aceptable   Insuficiente        No
/ Cursos                                  presento
             3,0 - 3,9    1,0 - 2,9

             No.     %     No.    %      No.     %

A1            3      15     0     0       0      0
B1            2      10     0     13      2      10
C1            3      12     4     15      0      0
Total         8      12     4     6       2      3
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Author:Cruz Huertas, Jacqueline; Medina Castaneda, Yilman
Publication:Sistemas & Telematica
Date:Jul 1, 2013
Words:6724
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