Printer Friendly

Evaluacion de operaciones logico-matematicas mediante dos metodos distintos en ninos del pueblo indigena Shipibo-Konibo.

Assessment of mathematical operations by two different methods in Shipibo-Konibo indigenous children

Introduccion

Aunque en America Latina existen diferencias entre paises con respecto al aprendizaje de la Matematica (Caceres, De la Pena, Pineda, Di Prisco & Solotar, 2014; Murillo 2007; Valverde & Naslund-Hadley, 2010), en lineas generales los estudiantes no son competentes en esta disciplina. En el Peru, distintas evaluaciones (Morales & Frisancho, 2013; PISA, 2012; SICRECE 2015; UMC, 2013, 2014, 2015; UNESCO 2014; Valverde et al., 2010) dan cuenta de su poca competencia matematica, tanto en la educacion basica como en la superior. La Evaluacion Censal de Estudiantes (ECE--UMC 2013, 2014, 2015) realizada en segundo grado de primaria, muestra estas dificultades. En las evaluaciones de los anos 2013, 2014 y 2015 solo el 16.8%, 25.9% y 26.6% de los estudiantes, respectivamente, lograron los aprendizajes esperados para su grado, mientras que la mayoria logro aprendizajes parciales o pudo realizar solamente tareas de poca exigencia.

En la region Ucayali de la Amazonia del Peru los resultados son aun mas bajos, pues aunque en el 2015, siguiendo la tendencia nacional, se observa una mejoria con respecto a los anos 2013 y 2014, solo el 10.3% de estudiantes alcanza el nivel satisfactorio en ese ano, siendo Ucayali una de las regiones con los peores resultados nacionales en esos tres anos. En esta region, el 79.4% de estudiantes del sector rural alcanza el nivel en inicio en el ano 2015, versus el 49.8% de estudiantes urbanos; de estos ultimos, el 11.4% alcanza el nivel satisfactorio, mientras que solamente el 2.3% logra este nivel en el sector rural. Si bien no se ha evaluado la competencia matematica en ninos de escuelas interculturales bilingues (EIB), si existen experiencias de evaluacion de matematica en castellano, en segundo grado, en las Provincias de Atalaya, Coronel Portillo, Padre Abad y Purus, todas de la region Ucayali, en las que hay poblacion indigena (SICRECE 2015). La mayoria de los estudiantes se encuentra en el nivel mas bajo de la competencia matematica, lo que indica que no han desarrollado las capacidades matematicas esperadas para su edad.

Diversos factores pueden explicar estos resultados, por ejemplo, el poco conocimiento de los profesores con respecto a la Matematica y su ensenanza, o sus creencias sobre su naturaleza epistemologica y los apoyos que son necesarios para producir aprendizajes significativos en esta area (Becker 2001, 2012; Gascon, 2001; Moreano, Asmad, Crus & Cuglievan, 2008; Otero, Vizcaino & Carmenates, 2015; Teixeira, Abud, Ribeiro & Fernandes, 2015). Otro factor es la existencia de planes curriculares y materiales de aprendizaje poco eficaces, desvinculados de los saberes culturales de los ninos y de lo que realmente ocurre en las aulas, donde priman la memorizacion, la mecanizacion, la seleccion de unos temas en desmedro de otros y la poca o a veces equivocada retroalimentacion de parte de los profesores hacia los estudiantes (Cueto, Ramirez, Leon & Pain, 2003; Da Costa & de Lucena, 2015; Ministerio de Educacion, 2013, 2009; Valverde & Naslund-Hadley, 2010). Una razon adicional es que los programas escolares suelen no estar guiados por el desarrollo psicologico, y plantean metas educativas muy poco oportunas (Kamii, 2000; Piaget 1978). Por ejemplo, en el Diseno Curricular Nacional (MINEDU, 2009) la sustraccion aparece como meta del primer grado de nivel primario y en la Propuesta de Diseno Curricular con Enfoque Ambiental (MINEDU, 2011), documento de la Direccion Regional de Educacion de Ucayali (DREU) para las escuelas de la region, si bien la sustraccion no se plantea para el primer grado, en segundo grado se pide que los estudiantes la trabajen con numeros de hasta tres cifras, lo que resulta inadecuado ya que la sustraccion exige tener claras las nociones referentes a la relacion parte-todo (Piaget, 1977b) y la capacidad de pensar en negativo (Piaget, 1978), las que no se encuentran desarrolladas en ninos menores de 7 anos. El Diseno Curricular Nacional del ano 2016 no corrige estas metas.

Se sabe tambien que la variable socioeconomica se asocia con bajos resultados en Matematica y con las expectativas que tiene el estudiante sobre su propio aprendizaje, siendo los de menores recursos los que manifiestan expectativas mas bajas sobre sus aprendizajes y obtienen los peores resultados (Barrenechea, 2010; Bos, Ganimian & Vegas, 2013; Carnevale, 2005; Cueto, Guerrero, Leon, Zapata & Freire, 2013; Ravela, 2002; Trevino, 2006). Sin embargo, es importante observar que las evaluaciones estandarizadas pueden no ser adecuadas para estudiantes indigenas (Nelson-Barber & Trumbull, 2007; Trevino, 2006) al no tomar en cuenta sus conocimientos particulares ni sus modos de pensar. Diversas investigaciones plantean que el aprendizaje de la Matematica tiene mejores resultados cuando esta contextualizado culturalmente (Adams, Luitel, Afonso & Taylor, 2008; Dewah & Van Wyk, 2014; Fyhn, Jannok Nutti, Nystad, Eira & Hstta, 2016; Nunes, 1993; Nunes & Bryant, 1996; Nunes, Carraher & Dias Schliemann, 1982; Tillema, 2012) ya que, si bien la Matematica es un conocimiento de naturaleza universal (Piaget, 1975), el contexto sociocultural en el que se desarrolla y las actividades tradicionales y practicas matematicas cotidianas con las que el nino esta familiarizado, son importantes e influyen en su aprendizaje. Las matematicas no se construyen por repeticion sino por medio de las relaciones que el propio nino crea a partir de su interaccion con los objetos (Flavell, 1976; Kamii, 1985, 1994, 2000; Piaget, 1971; Piaget & Inhelder, 1980). En este sentido, evaluaciones de la capacidad matematica que incluyan situaciones y actividades culturalmente pertinentes identificarian mejor el verdadero potencial de los ninos y deberian usarse para evaluarlos.

A pesar de la importancia del conocimiento logico-matematico, este casi no ha sido evaluado en la Amazonia Peruana. Las evaluaciones a gran escala que realiza el Ministerio de Educacion permiten abarcar muestras grandes, pero no profundizan en los procedimientos que los ninos utilizan para resolver los problemas. Por su propia naturaleza, este tipo de evaluacion se enfoca en las respuestas finales, desatiende los procesos y no recoge los procedimientos que ha construido el nino. Como se ha visto, este tipo de evaluacion podria no capturar por completo el conocimiento de los estudiantes indigenas, ademas de contribuir al aprendizaje memoristico e influir en la forma de ensenar de los docentes y en lo que los grupos aprenden al hacer que los profesores entrenen a los estudiantes para afrontar las pruebas y no los problemas de la realidad (Monereo, 2014; Woolfolck, 2010; Zavala, 2012).

El estudio que se informa, realizado con ninos de la comunidad del pueblo Shipibo konibo, se suma a la escasa investigacion constructivista en la academia peruana (Meza & Sirlopu, 1997) y a las investigaciones que han estudiado el desarrollo del pensamiento desde la perspectiva piagetiana en diversos contextos interculturales (Adjei, 1977; Bovet, 1974; Bruner, 1966; Dasen, 1984; Maynard, 2008; Mishra, 2014; Opper, 1977; Price-Williams, 1961), compara el rendimiento en Matematica de un grupo de ninos de una comunidad Shipibokonibo de la region Ucayali del Peru, utilizando dos tipos de evaluacion, una tradicional de lapiz y papel basada en el Diseno Curricular Nacional (MINEDU, 2009), en las Rutas de aprendizaje (Ministerio de Educacion, 2015) y la Evaluacion Censal de Estudiantes (ECE) y otra que es la Entrevista Clinico-critica de Jean Piaget (Delval, 2001; Ducret, 2014; Parrat, 2016a) e incluye problemas contextualizados y material concreto manipulable o representativo.

El pueblo Shipibo--konibo es el producto de una combinacion cultural de tres grupos distintos, los shipibos, los konibos y los shetebos. Este pueblo se encontraba tradicionalmente asentado en la ribera del rio Ucayali y sus afluentes, aunque debido a la migracion, actualmente se ubica en las regiones Ucayali, Madre de Dios, Loreto y Huanuco, y en la ciudad de Lima. En el ano 2007 la poblacion shipibo--konibo llegaba a los 22.517 habitantes (Ministerio de Cultura, 2014). Los ninos estan familiarizados con el dinero, pues cuentan con una pequena bodega que les ofrece oportunidades para hacer calculos en actividades de compra y venta. Muchas madres de familia se dedican a la artesania, ya sea el bordado tradicional Kene (ver Belaunde, 2012; Brabec & Mori 2009), o a la produccion de bisuteria a base de semillas. Ambas cosas se comercializan. Los padres de familia realizan transacciones comerciales en la comunidad y en la ciudad de Pucallpa y llevan muchas veces con ellos a sus hijos. Los ninos, ademas, tienen muchas oportunidades de recolectar y manipular objetos (semillas, palos de madera, etc.), contarlos, agruparlos, romperlos o partirlos por la mitad.

Metodo

Participantes

Participaron 5 ninas y 2 ninos de 7, 9 y 11 anos que cursaban la ensenanza primaria en una escuela bilingue multigrado de una comunidad Shipibo-konibo de la region Ucayali, en la Amazonia del Peru. Tres ninos estaban en segundo grado, dos en tercero, uno en quinto y uno en sexto. Su lengua materna es el shipibo, aunque todos dominaban el espanol. La seleccion de los ninos fue aleatoria.

Procedimientos e Instrumentos

La evaluacion se llevo a cabo en un aula de la escuela. La duracion fue variable, siendo mas breve con los estudiantes de 11 anos (30 minutos) y mayor con los de 7 anos (45 minutos). Las tareas se presentaron siempre en el mismo orden: primero las entrevistas (adicion y sustraccion) y luego la evaluacion de lapiz y papel.

Se conto con el consentimiento de la comunidad, incluyendo al jefe de la misma, el profesor responsable de la escuela y los padres de familia. Se utlizo el protocolo de consentimiento informado de Frisancho, Delgado y Lam (2015), que surge de investigaciones previas con comunidades indigenas amazonicas e incluyo una asamblea comunitaria de consentimiento y una devolucion de resultados. A los ninos se les explico el objetivo de la evaluacion y se les pidio su asentimiento. La evaluacion conto con dos investigadores y se realizo en espanol.

Se administraron la Entrevista Clinico-Critica con material concreto representativo o manipulable y la Prueba de Lapiz y Papel.

La Entrevista Clinico-Critica indaga en la logica y el conocimiento del nino (Ducret, 2004; Parrat, 2016a) y permite al evaluador formular contra-ejemplos para profundizar en su razonamiento. Se interesa en los niveles sucesivos de organizacion de la conducta y valora los cambios cualitativos por sobre los cuantitativos, es decir, desea observar la logica y los procedimientos mentales y no unicamente las respuestas finales de los ninos para la resolucion de problemas. La Entrevista Clinico-Critica permite llegar a conclusiones no solo en torno a lo que el evaluado manifiesta verbalmente, sino tambien a partir de la observacion de la forma en que manipula los materiales (Delval, 2001). El evaluador puede ir orientando al nino que no muestra alguna estrategia para resolver el problema, haciendole preguntas o sugiriendole procedimientos, siguiendo una variante de la Entrevista Clinico-Critica propuesta por Inhelder (Parrat, 2016a, 2016b).

Para hacer la evaluacion con el metodo clinico-critico se plantearon problemas aritmeticos de adicion y sustraccion, contextualizados en actividades culturales cotidianas con la que los ninos estaban familiarizados. Se incluyo material representativo y material manipulable que podian utilizar para resolver los problemas. El material representativo consistio en figuras de animales u objetos, mientras que el manipulable fueron bolitas blancas y negras e hilo de pescar para armar collares. En los Cuadros 1 y 2 se presentan los contextos en los que se situan los problemas, el problema en si y las preguntas.

La Prueba de Lapiz y Papel consta de 12 ejercicios, 6 de adicion y 6 de sustraccion (ver Cuadro 3). Para generar mayor contraste con la evaluacion anterior y evitar la posible interferencia de la comprension lectora, se construyeron items sin contexto ni planteo de problema, siguiendo el formato incluido en las evaluaciones nacionales (UMC, 2013, 2014, 2015).

El Cuadro 4 muestra los niveles de desempeno que pueden alcanzarse tanto en la evaluacion con la Entrevista Clinico-Critica como en la prueba escrita.

Resultados

Operacion de adicion mediante la Entrevista Clinico-Critica

Se observa una primera etapa de no-composicion aditiva, una etapa intermedia de composicion intuitiva y finalmente, una etapa de composicion aditiva lograda en la que el nino tiene pensamiento reversible y entiende la propiedad conmutativa, asi como que el resultado de la suma se mantiene, aunque los sumandos se organicen de distinto modo. Estas etapas van de la mano con las identificadas por Piaget (1971).

Etapa inicial de no-composicion aditiva.

A los 7 anos no existe composicion aditiva. Los ninos son incapaces de unir dos cantidades distintas para construir una nueva. Ademas, presentan errores al momento de contar y en algunos casos dan respuestas distintas, ilogicas y contradictorias entre si. Por ejemplo:

Wil (7 anos): supongamos que tu y yo salimos a cazar y hoy cazamos 4 perdices y manana cazamos 5. ?cuantasperdices cazamos en total?--Cuatro--Hoy cazamos 4 perdices y manana cazamos 5, ?cuantas perdices cazamos en total? -Once.

Debido a que no posee la capacidad de iterar (unir dos cantidades para formar una nueva), da respuestas al azar sin una logica que las sustente. A continuacion se le propone hacer uso del material para resolver el problema:

--Si deseas puedes usar las figuras para contar, por ejemplo--(El nino pone una a una las figuras contando del uno al quince) --Entonces deciamos que hoy miercoles cazamos 4 perdices y manana jueves cazamos 5, ?cuantasperdices cazamos en total? --Seis.

Wil no parece recordar las dos cantidades que debe adicionar y realiza un conteo que no toma en cuenta esos numeros. Cuando se le repregunta, vuelve a dar respuestas carentes de logica. Debido a esto, se intenta otra estrategia para ayudarlo:

--A ver, dame 4 perdices--(El nino pone 4 figuras en la mano izquierda del evaluador) -Muy bien, ahora dame las 5 que cazamos al dia siguiente--(pone 5 figuras en la mano derecha del evaluador)--Si yo uniera las perdices de esta mano (mano izquierda) con la de esta mano (mano derecha), ?cuantasperdices tendria en total? Diez -A ver vamos a comprobarlo (el evaluador pone todas las figuras en hilera y le pide que las cuente)--(El nino cuenta 9 figuritas) - ?Entonces cuantas perdices hay en total?--(El nino rie)--Por ejemplo, si en un dia cazamos estas (4 figuras) y otro dia estas de aca (5 figuras) ?cuantas cazamos en total?--Jueves--Por ejemplo, si yo junto estas de aca (4figuras) con estas de aca (5 figuras), ?cuantas tendria en total?--Miercoles. -? Tendria una perdiz?--(Asiente con la cabeza)--?Tendria dos perdices? (Asiente con la cabeza).

Etapa de composicion aditiva intuitiva.

Los ninos en esta etapa tienen un conocimiento mas desarrollado del concepto de suma y ademas, menos errores en el conteo. Hay intentos de resolver el problema por medio de algoritmos mentales; sin embargo, cuando hacen uso de este recurso suelen cometer errores. Los ninos ya tienen claro que para llegar a la respuesta deben iterar los elementos, pero tienen dificultades para trabajar con cantidades grandes y en ocasiones, suelen cambiar su respuesta ante las repreguntas. Por ejemplo, se le propone a Man una situacion en la que debe realizar la operacion 4+5:

Man (9 anos):--Vamos a suponer que el lunes yo cace 4 perdices y el martes cace 5 perdices, ?cuantasperdices tengo en total? --(pone en hilera 4 tarjetas, luego pone una mas y dice subitamente que el resultado es 9). ?Como has llegado a esta respuesta? He juntado.

Man itera naturalmente los elementos y no necesita hacer un uso completo del material para llegar a la respuesta. Sin embargo, su desempeno cambia cuando se le pide resolver un problema que implica trabajar con numeros de mayor tamano:

Man (9 anos): Ahora resulta que tu y yo salimos a cazar y logramos cazar 21 perdices, pero cuando estamos regresando nos encontramos con un vecino y nos regala 15 perdices mas, ?cuantas perdices tenemos ahora en total?--(pone 21 perdices en hilera sobre la mesa contando una por una, luego pone 15 perdices tambien en hilera contando una por una. Finalmente cuenta todas una por una, pero omite un numero en su conteo)--Treinta y cinco.

A diferencia de la situacion anterior, no puede llegar a la respuesta mentalmente y necesita usar el material. Ademas, el recurso de conteo no se encuentra consolidado, pues Man tiende a fallar al momento de trabajar con numeros de dos cifras. En esta etapa, el uso de algoritmos induce a error, tal como se observa en el caso de Les:

Les (9 anos): Supongamos que un papa y un hijo salieron juntos a cazar perdices y en un momento se separaron, el papa se fue por un lado y el hijo por otro lado. Resulta que el papa, como es mas habil, cazo 13 perdices y el hijo cazo 5. Cuando llegan a su casa juntan todas las perdices, ?cuantas perdices tienen en total?--Ocho--?Y como lo sabes?--Asi, todo he juntado.--Si juntas las 13 mas las 5 te dan 8, ?quieres mostrarnos con las tarjetitas? Yo te contaba que el papa cazo 13 y el hijo cazo 5--? Trece di?--Si, trece--(El evaluado va poniendo una a una en un monticulo hasta llegar a 13 perdices. Luego en otro monticulo pone 5 figuras. Finalmente cuenta los dos monticulos de corrido) Son 19.

Les no logra llegar a la respuesta correcta porque hace un mal uso del algoritmo. Se puede deducir de su primera respuesta (13+5=8) que solo sumo las unidades de los dos numeros. Cuando hace uso del material para llegar a la respuesta presenta un error de conteo.

Finalmente, otra caracteristica de esta etapa es la ausencia o poco desarrollo del pensamiento reversible. Por ejemplo, cuando se presenta la operacion 8+9 Man llega a la respuesta, pero cuando se plantea la operacion inversa (9+8), no deduce que el resultado es el mismo y realiza todo el procedimiento de nuevo.

Man (9 anos): Ahora me gustaria que me ayudes a hacer unos collares, ?teparece? Si -Supongamos que tengo un collar que tiene 8 bolitas y le quiero agregar 9 bolitas mas ?cuantas bolitas tendria el collar? (El nino intenta mentalmente)--?No te gustaria armar el collar para saber la respuesta? --(pone 8 bolitas en el hilo, de una en una)--Ahora a ese collar le queriamos agregar 9 bolitas mas ?no?--(agrega 9 bolitas de una en una)--?cuantas bolitas tiene ahora en total el collar?--(cuenta todas las bolitas de una en una y logra saber que el resultado es 17). Supongamos ahora que tengo un collar que tiene 9 bolitas y quiero agregarle 8 bolitas mas ?cuantas bolitas tendria el collar en total?--(El nino retira todas las bolitas del collar y realiza el procedimiento nuevamente, esta vez empezando por el numero 9) Son diecisiete.

Etapa de composicion aditiva lograda.

Los ninos que se encuentran en esta etapa han consolidado el concepto de suma y no tienen dificultades para operar mentalmente con numeros pequenos. Tratan de llegar a la respuesta mentalmente y presentan resistencias al momento de hacer uso del material. Conciben como estrategia natural el conteo para llegar a la respuesta y comprenden que cambiar el orden de los factores en una adicion no altera el resultado de la misma. Sin embargo, si bien logran operar mentalmente con numeros pequenos, cuando estos son mas grandes pueden equivocarse, aunque sus errores son mas logicos que en la etapa anterior. Por ejemplo, se le plantea una operacion a Sha (15+18) y se le propone hacer uso del material para llegar a la respuesta, pero intenta resolver el problema mentalmente:

Sha (11 anos): Ahora, si tenemos un collar que tiene 15 bolitas blancas y luego le agregamos 18 bolitas negras, ?cuantas bolitas tendriamos en total?--(El nino permanece en silencio intentado sumar mentalmente) --?Deseas armar el collar?--Si (empieza agregando una por una las 18 bolitas negras)--?cuantas bolitas tiene el collar? --Dieciocho--Perfecto, ahora tenemos que agregarle 15 blancas. A ver aqui tengo 5 bolitas blancas, ?si le agrego 5 mas cuantas son?--Diez--?Y si le agrego 5 mas cuantas son?--Quince--Muy bien, ahora tenemos estas 15 bolitas blancas y estas 18 bolitas negras, si juntamos todo ?cuantas bolitas hay en total?--(Intenta llegar a la respuesta mentalmente)--?como harias para saber cuantas bolitas tendria el collar? --(permanece en silencio).

A pesar de que Sha tiene a su disposicion el material manipulable, intenta llegar al resultado sumando mentalmente. En vista de esto, el evaluador lo induce a utilizarlo: --Supongamos que tu tienes 15 bolitas blancas y te encuentras con una amiga que tiene 18 bolitas negras. Para poder hacer un collar mas grande juntan todas las bolitas. Luego ella te pregunta, ?y ahora cuantas bolitas tiene el collar? ?Tu que le di rias?--Treintaiuno--?Ycomo supiste eso? --(El nino permanece en silencio)--?como harias para revisar y estar segura?--Contar --A ver, muestranos como contarias Aqui hay 18 (refiriendose a las negras) entonces 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 (refiriendose a las blancas) --Muy bien, entonces primero tu contaste las 18 y luego empezaste con las blancas y dijiste 19, 20, 21... ? Y si lo hicieras al reves? Si contaras primero las 15 y luego las 18, ?daria el mismo resultado?--Si ?no importa que este al reves? -No.

La primera respuesta, Sha (31) la obtuvo sumando mentalmente. Luego, al revisarla por medio del conteo, llego a la respuesta correcta. Esto muestra que los estudiantes que se encuentran en la etapa mas avanzada de la operacion de adicion, todavia pueden tener dificultades para sumar mentalmente dos numeros de dos digitos. Sin embargo, en esta etapa los ninos no solo suelen cometer menos errores sino que sus respuestas incorrectas son mas logicas. Por ejemplo, afirmar que trece mas ocho es igual a cinco (13+8=5) es sin duda menos logico que decir que quince mas dieciocho es igual a treinta y tres (15+18=33), ya que es imposible que se obtenga como respuesta un numero de un digito (menor a la decena) a partir de la suma de dos numeros, uno de los cuales es mayor que 10. Finalmente, es importante resaltar que, como se expresa en el caso de Sha, los estudiantes de esta etapa presentan un pensamiento reversible que les permite entender la propiedad conmutativa de la adicion.

Operacion de adicion en la prueba de lapiz y papel.

Los ninos de 7 anos dejaron la Prueba de Lapiz y Papel en blanco. Los de 9 anos si presentan resoluciones. La Figura 1 muestra como Man llega a la respuesta usando palotes.

El recurso que utiliza Man es deficiente, pues no tiene ningun orden para llegar a la respuesta. Por ejemplo, no agrupa los palotes para facilitar el conteo y evitar errores.

Ademas, el procedimiento demanda demasiado tiempo, pues implica representar cada uno de los numeros y luego contar la totalidad. En la Figura 2 se observa otro tipo de resolucion, realizada por Les, de 9 anos.

Se observan intentos por resolver la operacion por medio del procedimiento algoritmico, posicionando un numero arriba del otro para sumar primero las unidades y luego las decenas. No obstante, a pesar de que pone los numeros en la posicion correcta, no efectua bien los pasos y no obtiene la respuesta correcta. Sin embargo, en la prueba basada en tareas Les obtiene respuestas mas logicas; por ejemplo, en la suma 21 + 15 afirma que la respuesta es 37, el cual es un numero mas cercano a la respuesta correcta y en el caso de la suma 8+9 obtiene la respuesta correcta.

Los estudiantes de 11 anos pueden escribir el resultado de forma directa, simplemente sumando mentalmente, o hacer uso del procedimiento algoritmico. En la Figura 3 se muestran resoluciones de Dal que son un ejemplo de lo segundo.

Operacion de sustraccion mediante la Entrevista Clinico-Critica.

Ausencia de sustraccion.

Por lo general, los ninos de 7 anos no emplean una estrategia para realizar la sustraccion, y dan respuestas diferentes a cada pregunta:

Wil (7 anos): Supongamos que salimos a cazar y llevamos catorce flechas, ?puedes poner catorce flechas?--(Pone una a una las 14 flechas)--De esas catorce flechas usamos 6, ?con cuantas flechas regresamos a casa? --Siete--Si tenemos catorce flechas y perdemos 6 en el bosque, ?con cuantas regresamos a casa?--Seis.--A ver, ?puedes darme las 6 flechas que utilizamos?--(El nino pone en la mano del evaluador 6 flechas, una a una y contando en voz alta)--?con cuantas flechas regresamos a casa?--(Cuenta las flechas que quedan) Ocho.

En este ejemplo se observa que el nino no logra la respuesta por si solo y necesita ayuda para entender que el procedimiento correcto es retirar 6 flechas del grupo de 14. En el caso de Luc, el evaluador lo guia para que utilice el material y pueda efectuar la sustraccion:

Luc (7 anos): Vamos a suponer que en casa tenemos 18 flechas, ?puedes poner las 18 flechas?--(Pone una a una y en hilera las 16 flechas, luego cuenta todas para verificar cuantas tiene, seguidamente agrega dos mas) --Bien, aca tenemos 18 flechas. Ahora supongamos que tu papa se lleva 12 flechas de estas 18, ?con cuantas flechas nos quedamos en casa?--(Cuenta 12 flechas y las separa de las restantes, luego cuenta una a una las restantes) Seis.

Sin embargo, cuando se le pide una explicacion sobre su accion, no la logra. Luego, al preguntarle sobre la accion contraria a la que ha realizado (juntar nuevamente las 6 flechas con las 12 flechas), afirma que al juntar de nuevo las dos cantidades habria menos que antes.

--?cuales son las flechas que se quedaron en casa?--(El nino senala el grupo de 6flechas) --?Y cuales son las que se llevo el papa?--(Senala el grupo de 12 flechas)--?Si juntamos las que quedan con las que se llevaron tenemos menos, mas o igual que las que habian antes?--Menos.--?que faltaria para tener igual que antes?--(Permanece en silencio).

En este nivel los ninos no pueden realizar sin ayuda la operacion de sustraccion. Ademas, cuando han sustraido no reconocen que al juntar nuevamente las cantidades resultara el mismo numero, lo que indica que la resta y la suma no son conceptualizadas como reciprocas.

Sustraccion en proceso.

Los ninos de 9 anos tienen mayor claridad con respecto a la estrategia para resolver el problema y comprenden que se debe extraer una cantidad de una totalidad mayor. Aunque tienen exito en sus respuestas y reconocen los numeros con los que han operado, no logran explicar sus acciones, y a veces no son conscientes de que la suma y la resta son operaciones complementarias:

Les (9 anos): Supongamos que queremos ir a cazar animales y para esto tenemos en casa 8 flechas--(Pone 8 flechas, una por una, sobre la mesa)--Pero, resulta que cuando vamos a buscar esas 8 flechas descubrimos que alguien se ha llevado 3, ?cuantas flechas hemos encontrado?--(Separa 3 flechas de las 8 flechas que puso inicialmente sobre la mesa, luego cuenta las flechas que le quedan despues de haber quitado 3) Cinco--?Cinco, no? ?Como lo sabes? ?Que es lo que has hecho para saber que deberiamos encontrar 5?--(El nino permanece en silencio)--?Ycuales son las que le quedan?--(Senala el grupo de las 5 flechas)--?Ycuales son las que se han llevado? --(Senala el grupo de las 3 flechas). --Ahora, una pregunta, si es que nos devuelven las tres flechas que se llevaron ?cuantas flechas tendriamos?--(Permanece en silencio)

Sustraccion lograda.

Los estudiantes son capaces de llegar mentalmente a la respuesta correcta de una resta cuando esta implica operar con dos numeros de una cifra. Ademas, cuentan con pensamiento reversible:

Sha (11 anos): Ahora supongamos que vamos a ir a cazar, asi que tenemos que ir a buscar nuestras flechas. Supongamos que teniamos 8 flechas, pero tu papa se llevo 3 flechas, ?cuantas flechas tenemos?--Cinco.--?nos podrias mostrar con las tarjetas?--(El nino pone 8 flechas sobre la mesa en hilera)--Si tu papa se lleva 3 flechas, ?cuantas flechas nos quedarian?--Cinco--Y si juntamos nuevamente las que se llevo tu papa con las que se quedan, ?tendriamos la misma cantidad de antes?--Si.

Cuando se enfrentan a numeros de dos digitos, ya no les es posible realizar el calculo mental y se ven obligados a utilizar las tarjetas de apoyo. En estos casos se puede observar tambien un pensamiento reversible. Por ejemplo:

Dal (11 anos): Supongamos que tienes en casa 22 tapetes, pero la vecina te pide 14 tapetes prestados, ?cuantos tapetes te quedan en casa?--(Pone una a una 22 tarjetas)--Le prestamos 14 a la vecina--Sacamos 14 (Cuenta 14 tapetes y los retira)--?cuantos tenemos en casa?--(Cuenta los restantes uno por uno) Ocho--Y por ejemplo, ?si juntamos esto (los 14 tapetes) con estos (los 8 tapetes) tendremos lo mismo que antes?--Si, lo mismo --Un vez le pregunte esto a una nina de tu edad y me dijo que habria una cantidad diferente. --No--?como nos mostrarias que esta equivocada?--Lo junto asi y cuento (Junta todos los tapetes).

El nino necesita el material representativo para resolver el problema, pero su manipulacion de dicho material y sus explicaciones demuestran que ha comprendido plenamente la operacion que realiza.

Operacion de sustraccion con la prueba de lapiz y papel.

Los ninos tienen un mejor desempeno en la evaluacion basada en tareas que en la Prueba de Lapiz y Papel. Los de 7 anos no resolvieron esta prueba. A los 9 anos ya muestran algunos intentos de resolucion, aunque muchas veces fallidos (ver Figura 4).

Pretenden llegar a la respuesta haciendo uso de palotes, pero estos se adicionan, no se sustraen. Esto puede deberse a que no reconoce el simbolo de sustraccion. En la Figura 5 se muestra el intento de Les de usar un metodo algoritmico.

En este caso, el nino escribe el simbolo de sustraccion como parte de su procedimiento, pero pareciera querer adicionar los numeros, aunque tampoco obtiene el resultado correspondiente a una adicion. Finalmente, en la Figura 6 se pueden observar dos ejemplos del uso de algoritmos realizados por Dal, de 11 anos (Figura 6).

El estudiante no domina el procedimiento algoritmico. En el primer caso (16-9), por ejemplo, entiende que la respuesta es 7, pero olvida que ya no debe bajar el uno que representa a las decenas del numero 16. El uso de algoritmos, que aparentemente se ha mecanizado sin haber sido plenamente comprendido, lo lleva a una respuesta ilogica. En la evaluacion basada en tareas, este nino si obtiene las respuestas correctas.

Para comparar los resultados obtenidos por los ninos en ambos tipos de prueba, se presentan las Tablas 1 y 2.

Como puede verse, ningun estudiante de 7 anos resuelve la prueba escrita ni de adicion ni de sustraccion. Sin embargo, en la entrevista, aun cuando fallan en alcanzar el resultado correcto, evidencian un procedimiento, lo que significa que los problemas cotidianos con argumentos los hacen razonar. Los de 9 anos muestran mas variacion en sus resultados de la adicion, pero fallan en la prueba escrita de sustraccion, logrando mejores resultados en esta operacion en la Entrevista Clinica Critica. En el caso de los ninos de 11 anos, es casi indiferente cual metodo usan, aunque los ejercicios tanto de suma como de resta corresponden a los 7 anos segun el curriculo oficial y podrian haber resultado muy sencillos para ellos. En todos los casos, con el metodo clinico critico se puede observar el razonamiento de los ninos, los procedimientos que utilizan, asi como sus dificultades al resolver los problemas (por ejemplo, errores de conteo), lo que no es posible apreciar con la evaluacion escrita.

Discusion

Se investigo el desempeno en las operaciones de adicion y sustraccion de siete estudiantes de primaria de una comunidad Shipibo-konibo, los que fueron evaluados con el metodo clinico--critico de Jean Piaget (Delval, 2001; Ducret, 2004; Parrat, 2016a) y tambien mediante una prueba tradicional de lapiz y papel. Los niveles encontrados en la evaluacion de la adicion, con el metodo clinico - critico, responden al proceso de desarrollo del pensamiento aditivo que se discute en La genesis del numero (Piaget, 1971), donde se plantea una primera etapa que se caracteriza por la imposibilidad de iterar (adicionar) elementos, una segunda en la cual los ninos pueden iterar pero cambian sus respuestas frente a contra sugestiones, y una tercera en la que la operacion se encuentra consolidada. En este estudio, los estudiantes de 7 anos se ubican en el primer nivel, los de 9 anos en el segundo y los de 11 en el tercero. Los niveles encontrados en la evaluacion de la operacion de sustraccion mediante el metodo clinico-critico (Nivel 1: Ausencia de la sustraccion. Nivel 2: Sustraccion en proceso. Nivel 3: Sustraccion lograda) describen el desarrollo de la capacidad para pensar en negativo y de la reversibilidad del pensamiento, y responden tambien a la teoria piagetiana (Piaget, 1978). En este sentido, esta investigacion puede considerarse una evidencia mas de la universalidad del conocimiento logicomatematico (Piaget, 1972). Mas alla de la naturaleza cultural de los elementos que se sumen o resten (sean manzanas, semillas, carritos de juguete o flechas), las operaciones que se realizan son universales y la secuencia de desarrollo de estas operaciones tambien lo es (Piaget, 1971), pues independientemente de la cultura a la que pertenece, todo ser humano cuenta con las mismas estructuras logico-matematicas para entender y organizar el mundo (Hallpike, 1986; Piaget & Garcia, 1982).

Aunque los participantes de este estudio presentan niveles de desarrollo de las operaciones de adicion y sustraccion similares a los encontrados por Piaget y sus seguidores en sus estudios originales, es importante notar que estos se estan logrando tardiamente. La teoria Piagetiana indica edades aproximadas para el paso de un estadio al otro; sin embargo, la velocidad con la que este conocimiento se desarrolla depende, en buena medida, de las caracteristicas y exigencias del contexto (Dongo, 2002; Hallpike, 1986; Piaget, 1977a). Los ninos de comunidades indigenas suelen desarrollar capacidades distintas a las de un nino occidental y urbano, por ejemplo, mucha mayor capacidad de observacion y de trabajar colaborativamente (Chavajay & Rogoff, 2002; Paradise, 1991, 1996; Paradise & Rogoff, 2009; Rogoff, 1993, 2003). Sin embargo, estos mismos ninos pueden tener dificultades en tareas escolares con las que se encuentran menos familiarizados (Dongo, 2002, 2009, 2011; Lacasa, 1989; Rogoff, 1993). Por ejemplo, algunos estudios muestran que el grado de escolaridad de los padres influye en el desarrollo cognitivo de los ninos (Ignat & Nataly, 2015; Lipina, Martelli, Vuelta, Injoque-Ricle & Colombo, 2004; Musso, 2010; Pascual, 2008; Rindermann & Baumeister, 2015), y existe evidencia de que los ninos en situacion de marginacion, opresion y pobreza suelen tener un desarrollo cognitivo mas lento que los que crecen en contextos economicamente privilegiados (Dicker- son & Popli, 2016; Dongo, 2002; Lacunza, Contini & Castro, 2010). Esto ayuda a entender que los participantes de este estudio hayan mostrado niveles de desarrollo inferiores a los esperados para su edad, al igual que los viene mostrando la region Ucayali, en las evaluaciones censales (UMC, 2013, 2014, 2015) sobre todo en el area rural. Sin embargo, tal como muestra este estudio, una evaluacion culturalmente contextualizada, cualitativa y administrada individualmente, permite una mejor aproximacion a las capacidades de los ninos y brinda informacion acerca de su nivel de desarrollo en las operaciones evaluadas y su forma de afrontar los problemas. Contar con los dedos, con partes del cuerpo, o con otro tipo de ayuda, es decir, realizar la accion en un plano material (Galperin, 1969), es una conquista cultural importante que funciona como un andamio para pasar de lo que Vygotsky (1983) llama la Aritmetica natural, a la Aritmetica cultural formalizada. En este sentido, la investigacion realizada permite tambien dar luz sobre la genesis de los procesos de conteo, identificando las estrategias que utilizan los ninos en distintos momentos del desarrollo. Resultaria entonces pertinente utilizar el metodo clinico critico en la investigacion, con la finalidad de identificar cualitativamente los niveles de logro de los estudiantes y explicar los mecanismos del proceso de resolucion de problemas y los niveles de pensamiento matematico que han desarrollado. Esto brindara informacion al docente para comprender mejor los procesos de construccion de las operaciones aritmeticas, tomar mejores decisiones en las sesiones de aprendizaje, ajustar mejor su practica pedagogica y potenciar aprendizajes en contextos culturalmente diversos.

Para futuros estudios se recomienda identificar las trayectorias educativas de los ninos, de modo que se sepa, por ejemplo, si han asistido o no a la educacion inicial, ya que esta es importante como base para el desempeno escolar posterior (Aunio & Niemivirta, 2010; Cueto & Diaz, 1999; Wolfgang, Stannard & Jones, 2001). Igualmente, se sugiere contar con mayor informacion de las familias, por ejemplo, el grado de escolaridad de los padres, a fin de identificar su relacion con los resultados obtenidos por los ninos. Se recomienda tambien, para estudios posteriores, ampliar la muestra y centrarse en una misma edad o grado escolar, para de este modo obtener informacion mas precisa sobre dicho grupo y proponer estudios futuros para otras edades. Finalmente, resultaria importante incluir a los docentes en estudios posteriores sobre este tema, de modo que se puedan conocer sus estrategias pedagogicas y su nivel de preparacion para la ensenanza de la matematica.

Referencias bibliograficas

Adams, J., Luitel, B., Afonso, E. & Taylor, P. (2008). A cogenerative inquiry using postcolonial theory to envisage culturally inclusive science education. Cultural Studies of Science Education, 3(4), 999-1019. Recuperado el 1 de marzo de 2015 de http://dx.doi.org /10.1007/s11422-008-9130-0

Adjei, K. (1977). Influence of specific maternal occupation and behavior on Piagetian cognitive development. En P.R. Dasen (Ed.), Piagetian psychology: Cross-cultural contributions (pp. 227-256). New York: Gardner Press.

Aunio, P. & Niemivirta, M. (2010). Predicting children's mathematical performance in grade one by early numeracy. Learning and Individual Differences, 20(5), 427-435. http:// dx.doi.org/10.1016/j.lindif.2010.06.003

Barrenechea, I. (2010). Evaluaciones estandarizadas: Seis reflexiones criticas [Standarized assessment: Six critical reflexions]. Education Policy Analysis Archives, 18(8), 1-25. Recuperado el 14 de abril de 2015 de http://www.redalyc.org/pdf/2750/2750197120 08.pdf

Becker, F. (2001) Educacao e construcao do conhecimento [Education and the construction of knowledge]. Sao Paulo: Artmed.

Becker, F. (2012). Epistemologia do professor de matematica [Epistemology of the math's teacher]. Petropolis, RJ: Ed. Vozes.

Belaunde, L.E. (2012). Disenos materiales e inmateriales: La patrimonializacion del kene shipibo-konibo y de la ayahuasca en el Peru [Material and immaterial designs: The patrimonialization of the Shipibo-Conibo kene designs and of the traditional use of ayahuasca in Peru]. Mundo Amazonico, 3, 123-146. Recuperado el 18 de mayo de 2015 de http://www.bdigital.unal.edu.co/29976/1/287 15-128077-2-PB.pdf http://dx.doi.org /10.5113/ma.3.28715

Bos, M.S., Ganimian, A.J. & Vegas, E. (2013). America Latina en Pisa 2012. Brief # 6: ?Como se desempenan los estudiantes pobres y ricos? [Latin America in Pisa 2012. Brief # 6: How do poor and rich students perform?]. Washington, DC and Paris, France: Inter-American Development Bank and Organization for Economic Co-operation and Development. Recuperado el 24 de marzo de 2015 de http://scholar.harvard.edu/files/alejandro_ganimian/files/brief_6_1 .pdf

Bovet, M. (1974). Cognitive processes among illiterate children and adults. En J.W. Berry & P.R. Dasen (Eds.), Culture and cognition: Readings in cross-cultural psychology. London: Methuen.

Brabec, B. & Mori, L. (2009). La corona de la inspiracion. Los disenos geometricos de los Shipibo-Konibo y sus relaciones con cosmovision y musica [The crown of inspiration. Shipibo-Konibo geometric designs and their relation to worldview and music]. Indiana, 26, 105-134. Recuperado el 9 de junio de 2015 de http://neip.info/novo/wp-content/ uploads/2015/04/brabec_de_mori_corona-dela-inspiracion_2009.pdf

Bruner, J. (1966). Studies in cognitive growth. New York: Wiley.

Caceres, L., De la Pena, J., Pineda, A., Di Prisco, C. & Solotar, A. (2014). Mathematics in Latin America and the Caribbean: So much happening, so much to do. Recuperado el 23 de marzo de 2015 de http://www.ams.org/notices/201409/rnoti-p 1052.pdf

Carnevale, A.P. (2005). Education and the economy: If we're so dumb, why are we so rich? Education Week, 24(21), 52-41.

Chavajay, P. & Rogoff, B. (2002). Schooling and traditional collaborative social organization of problem solving by Mayan mothers and children. Developmental Psychology, 38(1), 55-66. Recuperado el 16 de julio de 2015 de https:// www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11806702 http://dx.doi.org/10.1037/0012-1649.38.L55

Cueto, S. & Diaz, J.J. (1999). Impacto de la educacion inicial en el rendimiento en primer grado de primaria en escuelas publicas urbanas de Lima [Impact of kindergarten education in 1 st grade performance in urban public schools of the city of Lima]. Revista de Psicologia de la PUCP, XVII(1), 73-91. Recuperado el 25 de agosto de 2015 de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/psicologia/article/view/7384/7605

Cueto, S., Guerrero, G. Leon, J. Zapata, M. & Freire, S. (2013). ?La cuna marca las oportunidades y el rendimiento educativo? Una mirada al caso peruano [Does students' background affect educational opportunities and outcomes? A look at the Peruvian case]. Recuperado el 9 de marzo de 2016 de http://repositorio.grade.org.pe/bitstream/GRA DE/61/1/ddt66.pdf

Cueto, S., Ramirez, C., Leon, J. & Pain, O. (2003). Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en matematicas en una muestra de estudiantes del sexto grado de primaria de Lima [Learning opportunities and mathematics performance in sixth grade students from Lima city]. Documento de Investigacion, 43. Lima: GRADE. Recuperado el 20 mayo de 2015 de http://repositorio.grade.org.pe/handle/ GRADE/84

Da Costa, L.D.F.M. & de Lucena, I.C.R. (2015). Educacao matematica na escola indigena: Implicacoes a formacao de professores [Mathematics education at indigenous schools: Implications for teachers training]. Union. Revista Iberoamericana de Educacion Matematica, 44, 73-89. Recuperado el 17 de abril de 2015 de http://www.fisem.org/www/union/revistas/201 5/44/20140708_Luc%C3% A9lida%20de%20F%C3%A1tima%20Maia%2 0da%20Costa(1).pdf

Dasen, P. (1984). The cross-cultural study of intelligence: Piaget and the Baoule. International Journal of Psychology, 19, 407-434. Recuperado el 11 de junio de 2015 de http://dx.doi.org /10.1080/00207598408247539

Delval, J. (2001). Descubrir el pensamiento de los ninos: Introduccion a la practica del metodo clinico-critico [Discovering children's thinking: An introduction to the practice of the clinical-critical method]. Barcelona: Paidos.

Dewah, C. & Van Wyk, M.M. (2014). The place of indigenous cultural games by educators in the teaching and learning of mathematics. Journal of Human Ecology, 48(1), 189-197. Recuperado el 26 de agosto de 2015 de http ://www.krepublishers. com/02Journals/JHE/JHE-48-0-000-14-Web/JHE48-1-000-14-Abst-PDF/JHE-48-1-189-14-26 85-Dewah-C/JHE-48-1-189-14-2685-DewahC-Tx[20].pdf

Dickerson, A. & Popli, G. K. (2016). Persistent poverty and children's cognitive development: Evidence from the UK millennium cohort study. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society), 179(2), 535-558. Recuperado el 15 de septiembre de 2015 de http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/rssa. 12128/epdfhttp: //dx.doi.org/10.1111/rssa.12128

Dongo, A. (2002). Piaget y los ninos marginados [Piaget and marginalized children]. Lima: Editora Vozes, Petropolis.

Dongo, A. (2009). Significado de los factores sociales y culturales en el desarrollo cognitivo [Meaning of social and cultural factors in cognitive development]. Revista IIPSI, Facultad de Psicologia de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 12(2), 227-237. Recuperado el 14 de mayo de 2016 de http:// sisbib.unmsm.edu.pe/bvrevistas/investigacion_psicologia/v12_n2/pdf/a16v12N2.pdf

Dongo, A. (2011). Problematica psicosocial y educacional de los ninos marginados. [Marginalized children's psychosocial and educational issues] Revista IIPSI, Facultad de Psicologia de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 14(1), 17-30. Recuperado el 8 de agosto de 2015 de http://sisbib.unmsm.edu.pe/ bvrevistas/investigacion_psicologia/v14_n1/pdf/a 02.pdf

Ducret, J.J. (2004). Methode clinique-critique Piagetienne [Piagetian clinical-critical method]. Geneve: Service de la Recherche en Education.

Flavell, J. (1976). La psicologia evolutiva de Jean Piaget [The developmental pychology of Jean Piaget]. Buenos Aires: Paidos.

Frisancho, S., Delgado, E. & Lam, L. (2015). El consentimiento informado en contextos de diversidad cultural: Trabajando en una comunidad Ashaninka del Peru [Informed consent in culturally diverse contexts: Working in an Ashaninka community in Peru]. Revista Interdisciplinaria de Filosofia y Psicologia Limite, 10, 26-35. Recuperado el 25 de noviembre de 2015 dehttp://limite.uta.cl/index. php/limite/article/view/159/99

Fyhn, A.B., Jannok Nutti, Y. Nystad, K., Eira, L.J.S. & Haetta, O.E. (2016). "We had not dared to do that earlier, but now we see that it works": Creating a culturally responsive mathematics exam. AlterNative:An International Journal of Indigenous Peoples, 12(4), 411424. http://dx.doi.org/10.20507/AlterNative. 2016.12.4.6

Galperin, Y. (1969). Stages in the development of mental acts. En M. Cole & I. Maltzman (Eds.), A handbook of contemporary Soviet psychology (pp. 249-273). Nueva York: Basic Books.

Gascon, J. (2001). Incidencia del modelo epistemologico de las matematicas sobre las practicas docentes [The effect of mathematics epistemological model on teachers' practices]. Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa, 4(2), 129-159. Recuperado el 23 de junio de 2015 de http://www.redalyc.org/pdf/335/33540202.pdf

Hallpike, C. (1986). Fundamentos del pensamiento primitivo [Foundations of primitive thought]. Mexico: Fondo de Cultura Economica.

Ignat, S. & Nataly, S. (2015). Influence of family education on the mental development of the child. Journal Plus Education /Educatia Plus, 13(2), 241-248. Recuperado el 17 de marzo de 2016 de http://www.uav.ro/jour/index. php/jpe /article/viewFile/ 589/649

Kamii, C. (1985). La teoria de Piaget en la edu cacion preescolar [Piaget theory for early education]. Madrid: Editorial Visor.

Kamii, C. (1994). Reinventando la aritmetica III: Implicaciones de la teoria de Jean Piaget [To reinvent arithmetic III: Implications of Piaget's theory]. Madrid: Visor.

Kamii, C. (2000). El nino reinventa la aritmetica: Implicaciones de la teoria de Piaget [Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget's theory]. Madrid: Visor.

Lacasa, P. (1989). Contexto y desarrollo cognitivo: Entrevista a Barbara Rogoff [Context and cognitive development: An interview with Barbara Rogoff]. Infancia y Aprendizaje, 45, 7-23. Recuperado el 18 de abril de 2015 de https://dialnet.unirioja. es/descarga/ articulo /48318.pdf

Lakes, K.D., Vaughan, E., Jones, M., Burke, W., Baker, D. & Swanson, J.M. (2012). Diverse perceptions of the informed consent process: Implications for the recruitment and participation of diverse communities in the national children's study. American Journal of Community Psychology, 49(1-2), 215-232. http://dx.doi.org/10.1007/s10464-011 -9450-1

Lacunza, A., Contini, N. & Castro, A. (2010). Las habilidades cognitivas en ninos preescolares. Un estudio comparativo en un contexto de pobreza [Cognitive skills in pre-school children. A comparative study in a context of poverty]. Acta Colombiana de Psicologia, 13(1), 25-34. Recuperado el 7 de agosto de 2015 de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=79815637 002

Lipina, S., Martelli, M.I., Vuelta, B., Injoque-Ricle, I. & Colombo, J. (2004). Pobreza y desempeno ejecutivo en alumnos preescolares de la Ciudad de Buenos Aires (Republica Argentina) [Poverty and cognitive functioning in preschool students of the City of Buenos Aires]. Interdisciplinaria, 21(2), 153-193. Recuperado el 28 de noviembre de 2016 de http://www.scielo.org.ar/pdf/interd/v21n2/v21 n2a02.pdf

Maynard, A. (2008). What we thought we knew and how we came to know it: Four decades of cross-cultural research from a Piagetian point of view. Human Development, 51, 56-65. http://dx.doi.org/10.1159/000113156

Meza A. & Sirlopu D. (1997). La investigacion psicologica peruana en temas piagetanos [Peruvian research on Piagetian topics]. En C. Thorne (Comp.), Piaget entre nosotros. Lima: PUCP.

Ministerio de Educacion del Peru (MINEDU) (2009). Diseno curricular nacional de la educacion basica regular [National curriculum program for basic education]. Lima: Minedu. Recuperado el 8 de febrero de 2015 de www.minedu.gob.pe/DeInteres/xtras/download.php?link=dcn_2009.pdf

Ministerio de Educacion del Peru (MINEDU) (2011). Propuesta de diseno curricular diversificado con enfoque ambiental [Diversified curriculum proposal with environmental focus]. Ucayali: Direccion Regional de Educacion de Ucayali.

Ministerio de Educacion del Peru (MINEDU) (2013). Hacia una educacion intercultural bilingue de calidad. Propuesta pedagogica [Towards a quality bilingual intercultural education. A pedagogical proposal]. Recuperado el 19 de abril de 2015 de http://www.minedu.gob.pe/minedu/archivos/a/002/01-generalZ2-propuesta_pedaggogica_eib_2013.pdf

Ministerio de Cultura del Peru (2014). Bases de datos de pueblos indigenas u originarios [Indigenous peoples data base]. Recuperado el 27 de agosto de 2015 de http://bdpi.cultura.gob.pe/pueblo/shipibo-konibo

Ministerio de Educacion (2015). Rutas de aprendizaje: Version 2015 [Paths to learning: Version 2015]. Lima: Ministerio de Educacion del Peru. Recuperado el 9 de junio de 2015 de http://www.minedu.gob.pe/rutas-delaprendizaj e/primaria.php

Ministerio de Educacion (2016). Curriculo Nacional de la Educacion Basica [National school program for basic education]. Lima: Ministerio de Educacion del Peru. Recuperado el 28 de mayo de 2016 de http:// www.minedu.gob.pe/curriculo/pdf/curriculonacional-2016.pdf

Mishra, R. (2014). Piagetian studies of cognitive development in India. Psychological Studies, 59(3), 207-222. http://dx.doi.org/10.1007/s 12646-014-0237-y

Monereo, C. (2014). Dime como evaluas y te dire como aprenden tus alumnos. El blog de educacion y TIC. Recuperado el 26 de mayo de 2016 de http://blog.tiching.com/carles-monereo-dime-como-evaluas-y-te-dire-comoaprenden-tus-alumnos/

Morales, J.A. & Frisancho, S. (2013). Operaciones combinatorias en estudiantes universitarios de ciclo inicial [Combinatorial operations in university freshmen]. Scheme. Revista Electronica de Psicologia y Epistemologia Geneticas, 5(2), 130-156. Recuperado el 16 de junio de 2015 de http:// www2.marilia. unesp.br/revistas/index.php/scheme/article/vi ew/3575/3731

Morales, J.A., Frisancho, S. & Lam, L. (2016). Operacion de combinatoria experimental en estudiantes que inician la educacion universitaria [Experimental combinatorial operation in students entering university education]. Revista Electronica de Ensenanza de las Ciencias 15, 1, 79-97. Recuperado el 5 de agosto de 2015 de http://reec.uvigo.es/volumenes/volumen15/REEC_15_1_5_ex976.pdf

Moreano, G., Asmad, U., Cruz, G. & Cuglievan, G. (2008). Concepciones sobre la ensenanza de matematica en docentes de primaria de escuelas estatales [Conceptions about mathematic teaching in teachers of primary public shools]. Revista de Psicologia, 26(2), 299-334. Recuperado el 10 de mayo de 2015 de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/psicologia/ article/view/1064/1029

Murillo, J. (2007). Resultados de aprendizaje en America Latina a partir de las evaluaciones nacionales [Learning outcomes in Latin America based on national assessments]. Santiago de Chile: UNESCO/OREALC. Recuperado el 8 de junio de 2015 de http://unesdoc.unesco.org/images/0015/001555 /155567 s.pdf

Musso, M. (2010). Funciones ejecutivas: Un estudio de los efectos de la pobreza sobre el desempeno ejecutivo [Executive Functions: A study about the impact of poverty on cognitive functioning]. Interdisciplinaria, 27(1), 95-110. Recuperado el 28 de noviembre de 2015 de http://www.scielo.org.ar/pdf/interd/ v27n1/v27n1a07.pdf

Nelson-Barber, S. & Trumbull, E. (2007). Making assessment practices valid for indigenous american students. Journal of American Indian Education, 46(3), 132-147. Recuperado el 27 de junio de 2015 de https:// www.jstor.org/stable/pdf/24398547.pdf

Nunes, T. (1993). The socio-cultural context of mathematical thinking: Research findings and educational implications. En A.J. Bishop, K. Hart, S. Lerman & T. Nunes (Eds.), Significant influences on children's learning of mathematics (pp. 27-42). Paris: UNESCO. Recuperado el 15 de abril de 2015 de http://www.unesco.org/education/pdf/323_47.pdf

Nunes, T. & Bryant, P. (1996). Children doing mathematics (Understanding children's worlds). Oxford: Wiley-Blackwell. Nunes, T., Carraher, D.W. & Dias Schliemann, A. (1982). Na vida, dez; na escola, zero: Os contextos culturais da aprendizagem da matematica [In life ten, in school zero: The cultural context of mathematical learning]. Cadernos de Pesquisa Sao Paulo, 42, 79-86.

Opper, S. (1977). Concept development in Thai urban and rural children. En P.R. Dasen (Ed.), Piagetian psychology: Cross-cultural contributions. New York: Gardner Press.

Otero, I., Vizcaino, A. & Carmenates, D. (2015). Creencias epistemologicas de profesores y alumnos sobre la matematica [Teachers and students' epistemological beliefs about mathematics]. Union. Revista Iberoamericana de Educacion Matematica, 42, 166-184. Recuperado el 23 de abril de 2016 de http:// www. fisem.org/www/union/revistas/2015/ 42/42_Artigo8.pdf Recuperado el 3 de abril de 2015 de http://www.redalyc.org/pdf/4030/ 403041701009.pdf

Paradise, R. (1991). El conocimiento cultural en el aula. Ninos indigenas y su orientacion hacia la observacion [Cultural knowledge in the classroom: Indigenous children and their orientation towards observation]. Infancia y Aprendizaje, 55, 73-85. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/48376.pdf

Paradise, R. (1996). Passivity or tacit collaboration: Mazahua interaction in cultural context. Learning and Instruction, 6(4), 379-389. Recuperado el 27 de junio de 2015 de http://www.sciencedirect.com/science/articlepii/S0959475296000229. http://dx.doi.org/ 10.1016/S0959-4752(96)00022-9

Paradise, R. & Rogoff, B. (2009). Side by side: Learning by observing and pitching in. Ethos, 37(1), 102-138. Recuperado el 19 de agosto de 2015 de https://people.ucsc.edu/~brogoff/Scanned-articles/scanned%2012 2008/Side%20by%20Side.pdf. http://dx.doi.org/10.1111/j.1548-1352.2009.01033.x

Parrat, S. (2016a). Conversaciones libres con los ninos: El metodo clinico piagetiano. Relacion entre teoria y metodo [Free conversations with children: Piagetian clinical method. The relation between theory and method]. En S. Frisancho (Coord.), Ensayos constructivistas (pp. 51-76). Lima: Fondo Editorial PUCP.

Parrat, S. (2016b). Sujeto-objeto-experimentador. Estrategias de intervencion en situaciones causales [Subject-object-experimenter. Intervention strategies in causal situations]. En S. Frisancho (Coord.), Ensayos constructivistas (pp. 91-111). Lima: Fondo Editorial PUCP.

Pascual, L (2008). El contexto familiar y su accion mediadora en el desarrollo cognitivo y el rendimiento escolar [Family context and its mediating action in cognitive development and school performance]. Propuesta Educativa, 29(Junio), 73-82.

Piaget, J. (1971). Genesis del numero en el nino [The child's conception of number]. Buenos Aires: Editorial Guadalupe.

Piaget, J. (1972). Psicologia y epistemologia [Psychology and epistemology: Towards a theory of knowledge]. Paris: Emence Editores.

Piaget, J. (1975). Introduccion a la epistemologia genetica. Tomo I: El pensamiento matematico [Introduction to genetic epistemology. Volume I: Mathematical thought]. Buenos Aires: Paidos.

Piaget, J. (1977a). Seis estudios de psicologia [Six psychological studies]. Barcelona: Seix Barral.

Piaget, J. (1977). El juicio y el razonamiento en el nino: Estudio sobre la logica del nino [Judgment and reasoning in the child]. Buenos Aires: Guadalupe.

Piaget, J. (1978). Investigaciones sobre la contradiccion [Researchs in contradiction]. Mexico: Siglo XXI Editores.

Piaget, J. & Garcia, R. (1982). Psicogenesis e historia de la ciencia [Psychogenesis and the history of science]. Madrid: Siglo XXI Editores.

Piaget, J. & Inhelder, B. (1980). Psicologia del nino [The psychology of the child]. Madrid: Morata.

Price-Williams, D.R. (1961). A study concerning concepts of conservation of quantities among primitive children. Acta Psychologica, 18, 297-305.http://dx.doi.org/10.1016/00016918(61)90019-1

Programme for International Student Assessment (PISA). (2012). Assessment framework. Key competencies in reading, mathematics and science. Recuperado el 18 de Febrero del 2015 de http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/pisa-2012-results.htm

Ravela, P. (2002). ?Como presentan sus resultados los sistemas nacionales de evaluacion educativa en America Latina? [How do Latin America national educational evaluation systems present their results?]. Documento de Trabajo 22. Santiago: PREAL. Recuperado el 25 de octubre de 2015 de http://baseddp.mec.gub.uy/Documentos/Bibliodi gi/PREAL%2022.pdf

Rindermann, H. & Baumeister, A.E. (2015). Parents' SES vs. parental educational behavior and children's development: A reanalysis of the Hart and Risley study. Learning and Individual Differences, 37133-37138. Recuperado el 29 de abril de 2016 de http://ac.elscdn.com/S 1041608014002507/1 -s2.0-S10416 08014002507-main.pdf?_tid=d9d1288eb7cb-11e6-8649-00000aab0f01&acdnat=1480599864_7187b14e607862886762cc 92cd0dd5f0 http://dx.doi.org/10.1016/j.lindif.2014.12.005

Rogoff, B. (1993). Aprendices del pensamiento. El desarrollo cognitivo en el contexto social [Apprenticeship in thinking: Cognitive development in social context]. Barcelona: Ediciones Paidos.

Rogoff, B. (2003). The cultural nature of human development. New York: Oxford University Press.

SICRECE (2015). Sistema de consulta de resultados de la evaluacion censal de estudiantes [Consultation system for students' census evaluation results]. Recuperado el 17 de enero de 2015 de http://sistemas02.minedu.gob.pe /consulta_ece/publico/index.php

Teixeira, J., Abud, S., Ribeiro, M. & Fernandes, F. (2015). As concepcoes de algebra e de educacao algebrica--uma analise de livros didaticos do 8 ano [Conceptions of algebra and algebra education: An analysis of didactic books for 8th grade]. Revista Profissao Docente Uberaba, 15(33), 127-145. Recuperado el 12 de enero de 2016 de http:// www.revistas.uniube.br/index.php/rpd/article/view/1 014/1197

Trevino, E. (2006). Evaluacion del aprendizaje de los estudiantes indigenas en America Latina. Desafios de medicion e interpretacion en contextos de diversidad cultural y desigualdad social [Learning evaluation of indigenous students in Latin America. Measurement and interpretation challenges in culturally diverse and socially unequal contexts]. Revista Mexicana de Investigacion Educativa, Enero-Marzo, 225-268. Recuperado el 14 de mayo de 2015 de http://www.redalyc.org/pdf/140/14002812.pdf

Tillema, E.S. (2012). What is the difference? Using contextualized problems. Mathematics Teaching in the Middle School, 17(8), 472-478.

UNESCO. (2014). Tercer estudio regional comparativo y explicativo [Third regional comparative and explanatory study]. Santiago de Chile: Oficina Regional de Educacion para America Latina y el Caribe. Recuperado el 27 de agosto de 2015 de http://www.unesco.org /new/fileadmin/MULTIMEDIA/FIELD/Santi ago/pdf/Kit_TERCE.pdf

Unidad de Medicion de la Calidad Educativa (UMC). (2013). Resultados de la evaluacion Censal de Estudiantes 2013 [Results of students' census 2013]. Recuperado el 16 de noviembre de 2015 de http://umc.minedu.gob.pe/evaluacion-censal-de-estudiantes-2013-ece-2013

Unidad de Medicion de la Calidad Educativa (UMC). (2014). Resultados de la evaluacion Censal de Estudiantes 2014 [Results of students' census 2014]. Recuperado el 16 de noviembre de 2015 de http://umc.minedu.gob.pe/evaluacion-censal-de-estudiantes-2014-ece-2014

Unidad de Medicion de la Calidad Educativa (UMC). (2015). Resultados de la evaluacion Censal de Estudiantes 2015 [Results of students' census 2015]. Recuperado el 16 de noviembre de 2015 de http://umc.minedu.gob.pe /evaluacion-censal-de-estudiantes-ece-2015

Valverde, G. & Naslund-Hadley, E. (2010). La condicion de la educacion en matematicas y ciencias naturales en America Latina y el Caribe [The state of numeracy education in Latin America and the Caribbean]. BID, Banco Interamericano de Desarrollo. Recuperado el 16 de noviembre de 2015 de http://www.oei.es/salactsi/bidciencias.pdf

Vygotsky, L.S. (1983). Obras escogidas. Tomo III. Problemas del desarrollo de la psique [Selected writtings. Volume III. Problems in the development of the mind]. Madrid: Visor.

Wolfgang, C.H., Stannard, L.L. & Jones, I. (2001). Block play performance among preschoolers as a predictor of later school achievement in mathematics. Journal of Research in Childhood Education, 15(2), 173-180. Recuperado el 13 de enero de 2015 de http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/ 02568540109594958?needAccess=true#aHR 0cDovL3d3dy50YW5kZm9ubGluZS5jb20v ZG9pL3BkZi8xMC4xMDgwLzAyNTY4NT QwMTA5NTk0OTU4P25lZWRBY2Nlc3M9 dHJ 1 ZUBAQDA=http ://dx. doi.org/10. 1080/0 2568540109594958

Woolfolk, A. (2010). Psicologia educativa [Educational psychology]. Mexico: Pearson.

Zavala, V. (2012). Dilemas ideologicos en torno a la educacion intercultural bilingue: El caso de la lectura en quechua [Ideological dilemmas around intercultural bilingual education: The case of reading in Quechua]. Revista Peruana de Investigacion Educativa, 4, 77-104. Recuperado el 15 de noviembre de 2015 de http://siep.org.pe/ wp-content/uploads/264.pdf

Fecha de recepcion: 1 de octubre de 2016

Fecha de aceptacion: 29 de marzo de 2017

Jorge Villalba Garces ** y Susana Frisancho Hidalgo ***

* Trabajo realizado en el marco del proyecto Evaluacion de competencias cognitivas y morales en ninos y adolescentes de comunidades Shipibo (Ucayali) y percepcion sobre la educacion en sus comunidades (Proyecto de Investigacion 2014-0008) y financiado por la Pontificia Universidad Catolica del Peru.

** Licenciado en Psicologia Educacional. Miembro del Grupo de Investigacion en Cognicion, Aprendizaje y Desarrollo del Departamento de Psicologia y Pre-docente del curso Etica y Responsabilidad Profesional de la especialidad de Psicologia de la Pontificia Universidad Catolica del Peru. E-Mail: jvillalba@pucp.pe

*** Doctora en Psicologia del Desarrollo, Magister en Psicologia y Licenciada en Psicologia Educacional. Profesora Principal del Departamento de Psicologia y Coordinadora del Grupo de Investigacion en Cognicion, Aprendizaje y Desarrollo del Departamento de Psicologia de la Pontificia Universidad Catolica del Peru. E-Mail: sfrisan@pucp.edu.pe http://www.pucp.edu.pe/susana-frisancho-hidalgo/

Los autores agradecen la colaboracion de la comunidad Shipibo-Konibo de Bethel, y especialmente al Prof. Hilario Diaz Pena Docente de 5[grados] y 6[grados] grados de primaria, quien brindo todas las facilidades para realizar este estudio.

Pontificia Universidad Catolica del Peru. Lima, Peru.

Leyenda: Figura 1. Resolucion de operacion de adicion (Man, 9 anos)

Leyenda: Figura 2. Resolucion de operacion de adicion (Les, 9 anos)

Leyenda: Figura 3. Resolucion de operacion de adicion (Dal, 11 anos)

Leyenda: Figura 4. Resolucion de operacion de sustraccion (Man, 9 anos)

Leyenda: Figura 5. Resolucion de operacion de sustraccion (Les, 9 anos)

Leyenda: Figura 6. Resolucion de operacion de sustraccion (Dal, 11 anos)
Tabla 1

Adicion: Comparacion de los dos metodos

                             Resultados por estudiante

                                    Will (7)     Luc (7)     Roe (7)

 Tipo de      Tipo de pregunta     CC    PE    CC    PE    CC    PE
 problema
    A          ldigito+1digito     RF    NR    RF    NR    AR    NR
              2digitos+ldigito     RF    NR    AR    NR    RF    NR
              2digitos+2digitos    RF    NR    RF    NR    RF    NR
    B          ldigito+1digito     RF    NR    AR    NR    RF    NR
              2digitos+ldigito     RF    NR    AR    NR    RF    NR
              2digitos+2digitos    RF    NR    AR    NR    RF    NR

                       Resultados por estudiante

               Les (9)    Man (9)     Dal (11)    Sha (11)

 Tipo de     CC    PE    CC    PE    CC    PE    CC    PE
 problema
    A        AR    AR    AR    AR    AR    AR    AR    AR
             RF    RF    AR    AR    AR    AR    AR    AR
             RF    RF    RF    AR    AR    AR    AR    AR
    B        AR    RF    AR    AR    AR    AR    AR    AR
             RF    RF    AR    RF    AR    AR    AR    AR
             RF    RF    RF    AR    RF    AR    AR    AR

Leyendas: (1) Tipo de problema: (A) La suma de las unidades de los
sumandos tiene como resultado un numero menor a 10; (B)La suma
de las unidades de los sumandos tiene como resultado un
numero mayor a 10

(2) Resultados por estudiante: No Resuelve (NR), Resuelve, pero
falla (RF), Alcanza la respuesta correcta (AR)

Tabla 2

Sustraccion: Comparacion de los dos metodos

Resultados por estudiante

                                   Will (7)    Luc (7)    Roe (7)

 Tipo de      Tipo de pregunta    CC    PE    CC    PE    CC    PE
 problema

    A         1digito-1digito     AR    NR    AR    NR    RF    NR
              2digitos-ldigito    AR    NR    AR    NR    RF    NR
             2digitos-2digitos    RF    NR    AR    NR    RF    NR
    B         1digito-1digito     AR    NR    AR    NR    RF    NR
              2digitos-ldigito    AR    NR    AR    NR    RF    NR
             2digitos-2digitos    RF    NR    NR    NR    NR    NR

Resultados por estudiante

              Les (9)     Man (9)    Dal (11)    Sha (11)

 Tipo de     CC    PE    CC    PE    CC    PE    CC    PE
 problema

    A        AR    RF    AR    RF    AR    RF    AR    AR
             AR    RF    AR    RF    AR    AR    AR    AR
             AR    RF    AR    RF    AR    AR    AR    AR
    B        AR    RF    AR    RF    AR    AR    AR    AR
             AR    RF    RF    RF    AR    RF    AR    RF
             AR    RF    RF    RF    AR    RF    AR    AR

Leyendas: (1) Tipo de problema: (A) Las unidades del sustraendo son
menores a las unidades de minuendo; (B) Las unidades del suslraendo
son mayors a las unidades del minuendo

(2) Resultados por estudiante: No Resuelve (NR), Resuelve, pero
falla (RF), Alcanza la respuesta correcta (AR)
COPYRIGHT 2018 CIIPCA-CONICET
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2018 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Garces, Jorge Villalba; Hidalgo, Susana Frisancho
Publication:Interdisciplinaria
Date:Jul 1, 2018
Words:11346
Previous Article:Diferencias en la aplicacion de estrategias de afrontamiento adolescente entre alumnos hombres y mujeres del nivel medio superior.
Next Article:DR. JUAN ALEJANDRO TOBIAS.
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2019 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters