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Estudio preliminar sobre las propiedades numericas de una discretizacion de la ecuacion hiperbolica de Burgers-Fisher.

Preliminary investigation on the numerical properties of a discretization of the hyperbolic Burgers-Fisher equation

INTRODUCCION

La investigacion sobre la existencia de soluciones de onda viajera de ecuaciones diferenciales parciales no lineales es un tema abierto de investigacion analitica en matematicas. En la teoria, es bien sabido que una gran cantidad de modelos no lineales (tales como las ecuaciones de Fisher, de Newell-Whitehead-Segel, de FitzHugh-Nagumo, de Burgers-Huxley) admiten este tipo de soluciones (Wang, 1988; Wang et al., 1990); sin embargo, la determinacion de la expresion exacta de dichas funciones es un problema que ha producido pocos resultados en la practica.

Muchas de las soluciones de onda viajera de los modelos mencionados arriba poseen caracteristicas analiticas distintivas que las hacen fisica y biologicamente interesantes (Mansour, 2010). Por ejemplo, algunas de dichas soluciones son funciones positivas, acotadas, y temporal y espacialmente monotonas. En particular, la condicion de positividad es biologicamente relevante en vista de que las variables de interes en dichos modelos representan tamanos o densidades de poblacion, por lo que la asignacion de valores negativos carece de significado fisico (Mickens y Jordan, 2004; 2005). La condicion de acotacion, por su parte, surge de manera natural en sistemas biologicos donde la disponibilidad de recursos es limitada (Macias Diaz, 2011), mientras que la caracteristica de monotonia se encuentra fisicamente presente en algunos pulsos electricos o, biologicamente, en 'olas' de crecimiento poblacional (Macias Diaz y Villa, 2013).

En vista de las limitaciones analiticas para determinar de manera exacta las expresiones de soluciones de onda viajera de modelos no lineales, la investigacion matematica de este problema se convierte en una tarea numerica en donde el diseno de herramientas computacionales confiables es el epicentro de accion. Siguiendo la pauta establecida por Ronald E. Mickens en su trabajo seminal (Mickens, 2005), la idea crucial en estos dias es disenar tecnicas computacionales dinamicamente consistentes, es decir, metodologias que no solo posean las caracteristicas numericas tradicionales (como lo son las propiedades de consistencia, convergencia, estabilidad, etc.), sino que tambien reproduzcan las propiedades matematicas inherentes a las soluciones de interes. En palabras mas concretas, la intencion de esta nota es proponer metodos en diferencias finitas para aproximar las soluciones de los modelos de interes, que conserven las propiedades de positividad, acotacion y monotonia de las soluciones numericas.

En este trabajo se presenta un metodo numerico para aproximar soluciones de una generalizacion hiperbolica de la ecuacion de Burgers-Fisher de dinamica poblacional. El modelo de interes posee soluciones de onda viajera, las cuales son funciones positivas, acotadas y monotonas (Wang, 1988); sin embargo, solo algunas de estas soluciones son conocidas en forma exacta. Se propondra una discretizacion en diferencias finitas del modelo hiperbolico y se presentaran algunas simulaciones que sugieren que el metodo es capaz de conservar en la practica las propiedades de interes de las soluciones. Desafortunadamente, la demostracion de la conservacion numerica de dichas propiedades es un problema para el que aun no existe demostracion matematica.

MATERIALES Y METODOS

Sea [alfa] un numero real, sea [tau] un numero real positivo y sea u una funcion de (x,t), donde x es un numero real, y t es un real no negativo. Sea p un numero real mayor o igual a 1. Suponga que u es una funcion doblemente diferenciable en sus dos variables, y tal que se satisface la ecuacion diferencial parcial

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donde el termino de reaccion esta dado por

f(u) = u(1 - [u.sup.p]).

El modelo propuesto es una ecuacion de difusion con retardo, y con terminos de adveccion, re accion y amortiguamiento no lineales, para el que la literatura re porta solo algunas soluciones de onda viajera en forma exacta. U n ejemplo de este tipo de soluciones esta dado por la funcion

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donde c es cualquier numero real positivo (Wang, 1988). Dicha solucion es efectivamente una onda viajera espacia l y temporalmente monotona, la cual esta acotada entre 0 y 1 en todo punto x y todo instante de tiempo t.

En este trabajo se propone una discretizacion en diferencias finitas para aproximar las soluciones del modelo de interes. Para ello, se fija un dominio espacial acotado [a, b] en el sistema de los numeros reales, y se considera un intervalo de tiempo finito, de longitud igual a un numero real positivo T. Sean

a = [x.sub.0] < [x.sub.1] < ... < [x.sub.N] = b

y

0 = [t.sub.0] < [t.sub.1] < ... < [t.sub.K] = T

particiones uniformes de [a, b] y [0, T], respectivamente. Se emptearan las notaciones [DELTA]x y [DELTA]t para representar las normas de las particiones espacial y temporal, respectivamente. Mas aun, la nomenclatura Un representara una aproximacion al valor exacto de la solucion u en el punto (x, t). Bajo estas premisas, la tecnica en diferencias finitas propuesta en este trabajo para aproximar la ecuacion diferencial parcial hiperbolica de interes esta dada por las siguientes ecuaciones discretas:

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validas para todo 0 < n < N y todo 1 < k < K.

[FIGURA 1 OMITIR]

Es claro que todas las derivadas parciales en el modelo de interes son aproximad as por diferencias finitas de segundo orden en el espacio y/o en el tiempo. De la misma forma, la derivada de f es estimada por su aproximacion de segundo orden con respecto a u. Mientras tanto, el valor de la funcion f al tiempo k y en el n-esimo punto de la particion espacial es aproximado por el respectivo promedio de los tiempos k+1 y k-1.

Despues de algunos ajustes algebraicos, es posible verificar que la aproximacion de la solucion en el n-esimo punto y el instante de tiempo k+1 es una raiz de la funcion

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donde

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Aqui,

[R.sup.2] = [([DELTA]t/[DELTA]x).sup.2]

y

r = [([DELTA]t).sup.2]/2[DELTA].

[FIGURA 2 OMITIR]

Es importante hacer notar que esta tecnica numerica generaliza al caso hiperbolico algunas discretizaciones de ecuaciones difusivas reportadas en la literatura (Macias Diaz, 2011; Macias Diaz y Villa, 2013), las cuales son capaces de preservar las propiedades matematicas de interes en esta nota; por esta razon, es de esperarse que la tecnica propuesta tambien sea capaz de mantener dicha consistencia dinamica. A diferencia de dichos metodos, el esquema propuesto en el presente trabajo es un metodo de tres pasos, consistente con la naturaleza hiperbolica del modelo de interes. Adicionalmente, la realizacion computacional de esta tecnica requiere el conocimiento de las primeras aproximaciones iniciales a la solucion, asi como condiciones de frontera de Neumann, y el uso del metodo de Newton para aproximar raices reales de funciones de una variable. En los siguientes ejemplos ilustrativos, la informacion inicial y de frontera sera proporcionada usando la solucion analitica en los instantes iniciales y en los puntos de la frontera.

RESULTADOS

Ejemplo 1

Fijese el intervalo espacial [-20, 60], [alfa] = -1, [tau] = 0.005, p = 1 y c = 2.5. Computacionalmente, tomense tamanos de paso espacial y temporal iguales a 0.5 y 0.001, respectivamente. La Figura 1 muestra la solucion exacta y la solucion numerica respectiva, para cuatro instantes de tiempo. Mientras tanto, la Figura 2 muestra resultados numericos analogos cuando el tamano de paso espacial es igual a 0.0025.

Ejemplo 2

Considere el mismo problema de la Figura 2, con [tau] = 0.8. La Figura 3 presenta el resultado de simular las soluciones del problema hiperbolico de interes, en cuatro instantes de tiempo.

DISCUSION

Observese en primera instancia que la Figura 1 contrasta la solucion exacta con la solucion numerica respectiva, para cuatro instantes de tiempo. Los resultados muestran una buena concordancia entre los resultados analiticos y las aproximaciones numericas. Mas aun, los resultados resumen el hecho de que las propiedades de positividad, acotacion y monotonia son conservadas en cada instante de paso. La Figura 2 muestra resultados numericos analogos cuando se toma una particion temporal mas fina; es decir, cuando el tamano de paso espacial es igual a 0.0025. De nueva cuenta, los resultados reflejan la conservacion de las propiedades de positividad, acotacion y monotonia de las aproximaciones. En este caso, sin embargo, las aproximaciones a las soluciones analiticas son aun mejores que en la Figura 1.

[FIGURA 3 OMITIR]

En la Figura 3 el parametro de retardo t es relativamente mas grande que en el Ejemplo 1. Sin embargo, las simulaciones muestran aproximaciones que son positivas, acotadas y monotonas en todo instante de tiempo. De igual manera, se ha encontrado una buena concordancia entre las estimaciones numericas y las soluciones analiticas. Asimismo, las propiedades matematicas relevantes de las soluciones de interes se siguen conservando en este caso.

Es menester mencionar que se han obtenido mas comparaciones numericas entre las soluciones exactas y las aproximaciones numericas calculadas con el metodo propuesto. Los resultados indican que el metodo propuesto conserva las propiedades analiticas de interes para valores de los parametros computacionales suficientemente pequenos. En particular, los resultados obtenidos para ecuaciones diferenciales parciales sin retardo concuerdan con los resultados obtenidos previamente por el primer autor en un trabajo previo (Macias Diaz, 2011). El caso con retardo es un reto analiticamente abierto.

Finalmente, es importante mencionar que la investigacion analitica y numerica de la existencia de soluciones de onda viajera es un problema de interes pragmatico en varias areas de la ciencia. Por ejemplo, en la investigacion del crecimiento poblacional es importante determinar el avance de mutaciones geneticas que pueden ser beneficas a una poblacion. Tal como Fisher lo demostro en sus estudios sobre mutaciones geneticas, muchas veces estos efectos tienden a propagarse en formas de ondas que avanzan a velocidades constantes. Asimismo, en termodinamica, la propagacion de calor en un medio suele propagarse en forma de frentes de ondas. Tal es el caso, por ejemplo, de la propagacion de incendios forestales.

En este trabajo se ha propuesto un esquema de diferencias finitas para aproximar las soluciones de una generalizacion hiperbolica de la ecuacion de Burgers-Fisher. El modelo de interes posee soluciones de onda viajera que son positivas, acotadas y monotonas, tanto espacial como temporalmente. Sin embargo, pocas de estas soluciones son conocidas de manera analitica, de donde surge la necesidad de poseer tecnicas numericas confiables en la investigacion de dichas soluciones.

Motivados por esta necesidad, el presente trabajo propone una metodologia novedosa para aproximar dichas soluciones. El metodo propuesto es no lineal y de tres pasos, consistente con la naturaleza no lineal e hiperbolica del modelo bajo estudio. El metodo fue implementado computacionalmente con el fin de evaluar su capacidad de conservar las propiedades matematicas de las soluciones de onda viajera de interes, a saber, positividad, acotacion, y monotonia espacial y temporal. Los resultados de las simulaciones computacionales arrojaron evidencia preliminar afirmativa sobre la conservacion de estas caracteristicas matematicas.

Desafortunadamente, la demostracion formal de la conservacion de la positividad, la acotacion y la monotonia de las soluciones bajo estudio, es un problema abierto hasta el momento. Evidentemente, la elucidacion de condiciones parametricas bajo las cuales la metodologia propuesta (o una variacion conveniente de la misma) sea capaz de mostrar esta consistencia dinamica, es tambien un problema que aun queda sin resolver. Las simulaciones indican que la tecnica reportada en este manuscrito es estable, convergente, y dinamicamente consistente con las propiedades de interes. Los hallazgos preliminares reportados en esta nota son el inicio de la investigacion de discretizaciones para modelos hiperbolicos, que posean multiples propiedades de consistencia analitica y numerica.

LITERATURA CITADA

* MACIAS DIAZ, J. E. Sufficient conditions for the preservation of the boundedness in a numerical method for a physical model with transport memory and nonlinear damping. Computer Physics Communications, 182(12): 2471-2478, 2011.

* MACIAS DIAZ, J. E. y VILLA, J. Simple numerical method to study traveling-wave solutions of a diffusive problem with nonlinear advection and reaction. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 29(5): 1694-1708, 2013.

* MANSOUR, M. B. A. Traveling wave solutions for the extended Fisher/KPP equation. Reports on Mathematical Physics, 66(3): 375-383, 2010.

* MICKENS, R. E. Dynamic consistency: a fundamental principle for constructing nonstandard finite difference schemes for differential equations. Journal of Difference Equations and Applications, 11(7): 645-653, 2005.

* MICKENS, R. E. y JORDAN, P. M. A new positivity-preserving nonstandard finite difference scheme for the DWE. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2i (5): 976-985, 2005.

* MICKENS, R. E. y JORDAN, P. M. A positivity-preserving nonstandard finite difference scheme for the dampes wave equation. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 20(5): 639-649, 2004.

* WANG, X. L. et al. Solitary wave solutions of the generalized Burgers-Huxley equation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 23(3): 271, 1990.

* WANG, X. Y. Exact and explicit solitary wave solutions for the generalized Fisher equation. Physics Letters A, 131(4-5): 277-279, 1988.

Jorge Eduardo Macias Diaz (1) *, Jonathan Batres Romo (2)

Recibido: 3 de febrero de 2014, aceptado: 17 de septiembre de 2014

(1) Departamento de Matematicas y Fisica, Centro de Ciencias Basicas, Universidad Autonoma de Aguascalientes.

(2) Maestria en Ciencias con Opciones a la Computacion, Matematicas Aplicadas, Centro de Ciencias Basicas, Universidad Autonoma de Aguascalientes.

* Autor para correspondencia: jemacias@correo.uaa.mx
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Author:MacA-as DA-az, Jorge Eduardo; Batres Romo, Jonathan
Publication:Investigacion y Ciencia
Article Type:Ensayo
Date:May 1, 2015
Words:2452
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