Printer Friendly

Estructuralismo, ficcionalismo, y la aplicabilidad de las matematicas en ciencia.

1. Introduccion: realismo en ontologia y realismo en valor de verdad

En la filosofia de las matematicas existe una distincion entre el valor de verdad de las afirmaciones matematicas y el estatuto ontologico de los objetos sobre los cuales dichas afirmaciones cuantifican. Stewart Shapiro presenta esta distincion en terminos de realismo en ontologia y realismo en valor de verdad. Realismo en ontologia es la postura que sostiene que las afirmaciones matematicas cuantifican sobre objetos reales, tales como numeros, conjuntos, etcetera. Estos objetos son "abstractos, acausales, indestructibles, eternos, no forman parte del espacio-tiempo" (1) y, ademas, existen objetivamente, es decir, "independientemente del matematico, su mente, su lenguaje, etc." (2). Por otro lado, el realismo en valor de verdad sostiene que "las afirmaciones matematicas tienen valor de verdad objetivo, independiente de las mentes, lenguajes, convenciones y mas de los matematicos" (3).

El realismo en ontologia y el realismo en valor de verdad no estan necesariamente opuestos. Es facil ver, por ejemplo, que, si uno cree que dichos objetos matematicos existen, las afirmaciones acerca de ellos tendran un valor de verdad objetivo. Asi como la afirmacion "las esmeraldas son verdes" es objetivamente verdadera en virtud del hecho de que las esmeraldas existen y son verdes, para alguien que suscribe ambos realismos la afirmacion "existen infinitos numeros primos" tambien seria verdadera en virtud del hecho de que existen los numeros primos y hay una cantidad infinita de ellos (4).

Por otro lado, uno puede ser antirrealista respecto de los objetos matematicos y aun asi otorgar un valor de verdad objetivo a las afirmaciones matematicas. Por ejemplo, si se entiende a las matematicas como un mero conjunto de afirmaciones sobre entidades ficcionales, entonces dichas afirmaciones matematicas pueden tener un valor objetivo sin que esto implique que los objetos sobre los que estas afirmaciones cuantifican existan. Asi, la afirmacion "Frodo es el sobrino de Bilbo" es objetivamente verdadera respecto a la historia de El Senor de los Anillos sin que eso signifique que Bilbo y Frodo sean personas reales. Del mismo modo, la afirmacion "existen infinitos numeros primos" es verdadera si se evalua en el contexto de la historia del sistema de los numeros naturales, pero no necesariamente porque los numeros existan.

Dado que incluso los antirrealistas ontologicos pueden dar cuenta de la objetividad de las afirmaciones matematicas, el foco principal en la filosofia de las matematicas es el debate sobre el estatuto ontologico de los objetos matematicos. Asi, este debate ha opuesto a realistas matematicos (que son en su mayoria realistas en valor de verdad y en ontologia) y antirrealistas matematicos (que son en su mayoria realistas en valor de verdad, pero antirrealistas en ontologia).

En la primera parte de este articulo (secciones 2 y 3), introduzco las nociones de estructuralismo matematico ante rem y ficcionalismo matematico, que son las versiones de realismo y antirrealismo matematico sobre las que voy a discutir. Luego, explicare por que la aplicabilidad de las matematicas en ciencia es importante en este debate. Seguidamente, en la segunda parte (secciones 4 y 5), discuto cinco argumentos que utilizan los diferentes aspectos de la aplicabilidad de las matematicas en ciencia para justificar el realismo matematico (mera utilidad, efectividad "inesperada", e indispensabilidad) y muestro que ninguno de ellos cumple dicho objetivo.

Mi estrategia consiste, primero, en respetar la practica matematica, es decir, en no proponer interpretaciones que vayan en contra de la forma como los matematicos llevan a cabo su disciplina. Segundo, voy a criticar los argumentos realistas minimamente, es decir, tratando de refutar el menor numero posible de premisas. En ese sentido, mi estrategia es compatible con las siguientes posturas: naturalismo (la idea de que debemos mirar unicamente a la ciencia para saber que existe); realismo cientifico (la idea de que la ciencia tiene como uno de sus objetivos brindar una descripcion adecuada del mundo y que, en cierta medida, ha tenido exito en esta tarea); indispensabilidad de las matematicas (la idea de que nuestras mejores teorias cientificas no serian tan exitosas si no hicieran uso de modelos matematicos). Evidentemente, cada una de estas posturas puede y ha sido criticada. El punto principal de este articulo es que, incluso si uno asumiera que estas posturas son correctas, uno no tendria razones para ser realista matematico basado en la aplicabilidad de las matematicas en ciencia. Esto, creo yo, fortalece mi argumento, pues sostengo que uno no tiene que entrar en los complicados y a veces enredados debates sobre el naturalismo, el realismo cientifico, etcetera, para refutar la idea de que la aplicabilidad de las matematicas en ciencia justifica el realismo matematico.

2. Realismo matematico y ficcionalismo matematico

2.1. Estructuralismo Matematico

a) Lo que nos numeros no pueden ser

Uno de los principales problemas del realismo matematico, concebido como la postura de que los objetos matematicos son acausales, abstractos y completamente separados del mundo fisico (llamemos a esta postura "platonismo matematico puro"), es la pregunta sobre cual puede ser la naturaleza de estos objetos matematicos. Es conocida la preocupacion de Gottlob Frege (1983-1965) acerca de que definir un numero "n" como la propiedad compartida por todos los conjuntos de "n" miembros no informa acerca de que cosa es el numero "n" especificamente. ?Puede el emperador Julio Cesar ser el numero "n"? Frege no tenia una respuesta definitiva a este problema (el llamado "problema de Julio Cesar").

Mas recientemente, Paul Benacerraf (5) senalo que los numeros no pueden ser objetos. Existen diferentes teorias de conjuntos, ampliamente aceptadas, que definen a los numeros de diferentes formas. Por ejemplo, el numero 3 es representado en la teoria de conjuntos de John von Neumann como {[conjunto vacio], {[conjunto vacio]}, {[conjunto vacio], {[conjunto vacio]}}} y en la de Ernst Zermelo como {{{[conjunto vacio]}}}. Benacerraf concluye de esto, primero, que los numeros no pueden reducirse a conjuntos y, mas importante, que ningun objeto, independientemente de sus propiedades, puede ser en si mismo un numero: "[L]o que es importante no es la individualidad de cada elemento sino la estructura que exhiben conjuntamente... Por lo tanto, sostengo, extendiendo el argumento que llevo a la conclusion de que los numeros no pueden ser conjuntos, que los numeros no pueden ser en absoluto objetos; pues no existe ninguna razon para identificar un numero individual con un objeto particular que con otro [objeto] cualquiera" (6).

Por lo tanto, ni [conjunto vacio], {[conjunto vacio]}, {[conjunto vacio], {[conjunto vacio]}}} ni {{{[conjunto vacio]}}} es el numero 3. 3 es una posicion en una secuencia-[omega]. Cualquier cosa puede jugar el rol de 3 en la medida en que sostenga relaciones estructurales adecuadas con los otros miembros de la secuencia-[omega]: "Cualquier objeto puede jugar el rol de 3; es decir, cualquier objeto puede ser el tercer elemento en una progresion. Lo que es peculiar al 3 es que define ese rol--no al ser un paradigma de los objetos que pueden jugar dicho rol, sino al representar la relacion que cualquier tercer miembro de una progresion conlleva con el resto de la progresion... La Aritmetica es, por lo tanto, la ciencia que elabora la estructura abstracta que todas las progresiones tienen en comun simplemente en virtud de ser progresiones" (7).

El argumento de Benacerraf ha dado lugar a la postura llamada estructuralismo matematico, cuya idea principal es que las matematicas son el estudio de patrones o estructuras. A pesar de que las observaciones de Benacerraf se hicieron, en parte, como una objecion al realismo matematico, el estructuralismo matematico no necesariamente se opone al realismo. De hecho, dos de los mas importantes estructuralistas matematicos, Stewart Shapiro y Michael Resnik, son realistas matematicos. Shapiro define estructura como: "[L]a forma abstracta de un sistema, [obtenida] al resaltar las interrelaciones entre los objetos, e ignorando las caracteristicas de los mismos que no afecten como se relacionan con otros objetos del sistema" (8). Del mismo modo, Resnik sostiene que: "[E]n matematicas... no tenemos objetos con una composicion 'interna' organizados en estructuras, solo tenemos estructuras. Los objetos de las matematicas, esto es, las entidades que denotan nuestras constantes y cuantificadores, son puntos sin estructura o posiciones en estructuras. Como posiciones en estructuras, no tienen identidad o caracteristicas fuera de la estructura" (9).

Consideremos, por ejemplo, la estructura de un equipo de futbol. Ella consiste en 11 posiciones relacionadas entre si de manera especifica. Estas posiciones son ocupadas por 11 jugadores. Los jugadores conforman un sistema fisico que ejemplifica (10) la estructura del equipo de futbol y, en ese sentido, los jugadores son jugadores de futbol solo en la medida en que ocupan un lugar en la estructura de un equipo. Asi, Paolo Guerrero es delantero solo en la medida en que ocupa la posicion de delantero en un equipo de futbol. Sin embargo, cualquier persona puede ocupar dicha posicion, siempre y cuando este en la relacion correcta con el resto del equipo. Del mismo modo, cualquier objeto puede ser el tercer elemento en una progresion, siempre que guarde las relaciones adecuadas con los otros miembros de la progresion. De dicho objeto se dice que ocupa la tercera posicion en la estructura de los numeros naturales. Para el estructuralismo, por lo tanto, las matematicas son el estudio de estas estructuras en cuanto tales.

b) Estructuralismo ante rem

Tanto Shapiro como Resnik sostienen que, a pesar de que los numeros no son en si objetos sino posiciones en la estructura de los numeros naturales, si tiene sentido hablar en terminos de objetos matematicos, ya que nos podemos referir a las posiciones de estructuras como objetos. Por ejemplo, podemos hablar de aspectos estructurales de los equipos de futbol sin referirnos a ningun equipo en particular o a sus miembros, como cuando decimos que "el arquero es el unico jugador que puede usar las manos". En esos casos, no nos referimos a ningun arquero en particular, sino a la posicion de arquero en tanto objeto. Lo mismo puede decirse de las posiciones en las estructuras matematicas. La posicion 3 confiere la propiedad de ser "primo" (de manera relativa a los otros miembros de la progresion) al objeto que ocupa el tercer lugar. En ese sentido, en palabras de Shapiro, "las posiciones en las estructuras matematicas son tan objetos como cualquier otro" (11).

Shapiro y Resnik son estructuralistas ante rem. Para ellos, las estructuras matematicas son ontologicamente anteriores a los sistemas que las ejemplifican. Estas estructuras matematicas existen independientemente de si son ejemplificadas o no. De hecho, para ambos autores, algunas estructuras matematicas (tales como los numeros transfinitos de Cantor) existen a pesar de que no pueden ejemplificarse en nuestro mundo fisico. En ese sentido, Shapiro y Resnik son realistas matematicos. Ellos creen en la existencia objetiva de objetos matematicos abstractos, pero, al mismo tiempo, son estructuralistas matematicos, pues sostienen que estos objetos son posiciones en estructuras matematicas.

Algunos autores han criticado el estructuralismo ante rem senalando que, ya que finalmente sostiene que existen objetos en un espacio no fisico y platonico, no habria mucha diferencia entre el estructuralismo y el platonismo matematico puro. Ian Hacking, por ejemplo, llama al estructuralismo ante rem "platonismo disfrazado" (12). Sin embargo, una diferencia entre estas dos posturas es que los objetos de los estructuralistas ante rem son posiciones en una estructura. Estas posiciones pueden ser ocupadas por otros objetos, incluyendo objetos fisicos concretos. Asi es como el estructuralismo ante rem da cuenta de la relacion entre el mundo matematico abstracto y el mundo fisico concreto, confiriendo asi lo que W.O. Quine llamaba "el caracter empirico" de las matematicas. Los sistemas fisicos ejemplifican estructuras matematicas y obtienen las propiedades de estas estructuras. En principio, podemos aprender acerca de las estructuras matematicas analizando sus ejemplificaciones fisicas. Esta opcion, sin embargo, no esta abierta a los platonistas matematicos puros.

Un reto del estructuralismo ante rem es justificar la existencia de estructuras matematicas no ejemplificadas o no ejemplificables. ?Como podemos estar seguros de que estas estructuras no ejemplificadas no son un simple producto de nuestra imaginacion? Responder a esta pregunta es crucial para la plausibilidad de esta postura pues, si no se puede justificar la existencia de las estructuras no ejemplificadas (por ejemplo, si las estructuras no ejemplificadas fueran una simple ficcion), no tendria sentido interpretar a las estructuras fisicas como ejemplificaciones de estructuras matematicas, porque las categorias ficticias no tienen ejemplificaciones reales: nadie es ni puede ser Bilbo, aunque camine descalzo, tenga un anillo y fume tabaco en pipa. De la misma forma, a menos que se establezca la existencia de estructuras matematicas, no tiene sentido llamar a los dedos de mi mano una ejemplificacion de secuencia de la estructura de los numeros naturales. En la seccion 3, veremos con detalle este problema y explicaremos la importancia de la solucion que alude a la aplicabilidad de las matematicas en ciencia (13).

2.2. Ficcionalismo

Tal vez la version mas extrema de antirrealismo sea el ficcionalismo matematico. Esta postura sostiene que las matematicas son una historia sobre entidades ficticias. De acuerdo al ficcionalismo, ya que cuantifican sobre objetos ficcionales, las afirmaciones matematicas pueden ser interpretadas literalmente: la mayoria son simplemente falsas. La afirmacion "existen infinitos numeros primos" es falsa porque no existen los numeros primos. Sin embargo, hay un sentido en el que dicha afirmacion es verdadera: dentro de la historia (es decir, del cuento) de las matematicas, la afirmacion es verdadera, tal como las afirmaciones sobre historias ficticias son verdaderas: "Frodo es el sobrino de Bilbo", "Rohan esta al sureste de La Comarca", etcetera, son todas verdaderas dentro del universo de El Senor de los Anillos, pero no son verdaderas absolutamente. Tal como lo pone Hartry Field: "[E]l ficcionalista cree que 2+2=4 solamente en el sentido de que el o ella cree que las matematicas estandar dicen (o tienen como consecuencia) que 2+2=4" (14).

Otras afirmaciones son trivialmente verdaderas, como por ejemplo "no existe un numero primo que sea el mayor de todos". Esta afirmacion es verdadera simplemente porque no existen los numeros primos.

Algunos sostienen que el ficcionalismo matematico es implausible porque las matematicas tienen su origen en nuestras percepciones de la realidad y, en ese sentido, tienen una especie de anclaje en el mundo fisico. Por esa razon, continua el argumento, las matematicas no pueden ser completamente ficcionales. Sin embargo, yo no creo que este sea un problema. Las ficciones (por ejemplo, las ficciones literarias) frecuentemente tienen, tambien, un anclaje en la realidad, pero luego se alejan de sus origenes reales y postulan entidades y procesos ficticios. Segun el ficcionalismo, esto es exactamente lo que sucede con las matematicas.

Otra objecion a aquella postura se basa en el requerimiento de Paul Benacerraf de que debemos manejar una "semantica uniforme", es decir, debemos tener "una teoria semantica homogenea en la que las proposiciones matematicas sean paralelas a la semantica del resto del lenguaje" (15). La objecion es que ni los matematicos ni la gente comun suele hablar en terminos de "la historia de las matematicas". Dicen, simplemente, cosas como "existen infinitos numeros primos", sin la calificacion de acuerdo a la aritmetica. En ese sentido, el ficcionalismo parece requerir una reinterpretacion de la practica matematica y cotidiana, lo cual iria contra el requisito de la semantica uniforme.

Sin embargo, yo no creo que esta objecion se justifique. De hecho, esta objecion se basa en una interpretacion erronea de la practica matematica. En la practica, las afirmaciones matematicas siempre se hacen asumiendo ciertas cosas sobre el dominio de aplicacion. En otras palabras, los matematicos nunca toman las afirmaciones matematicas directamente, es decir, sin calificaciones. Esta es una diferencia fundamental entre el discurso matematico y el discurso cientifico: la ciencia lidia con una realidad unica; las matematicas, con un espacio matematico definido por los axiomas especificos a una rama matematica (16). Esta idea ha sido enfatizada por Otavio Bueno: "El ficcionalista no introduce un operador ficcional a las afirmaciones matematicas. Las afirmaciones se usan en el contexto de principios que caracterizan las propiedades de los objetos matematicos relevantes. En ese sentido, el operador ficcional--en el sentido de principios comprehensivos que especifican un cierto dominio de objetos--esta ya puesto como parte de la practica matematica. El ficcionalista no esta anadiendo un nuevo elemento al lenguaje matematico. Bajo una conceptualizacion adecuada, el operador ficcional ya esta ahi" (17).

El siguiente ejemplo puede ayudar a comprender la idea de Bueno. Supongamos que se nos pregunta si la afirmacion "la suma de los angulos internos de un triangulo es 180[grados]" es verdadera. Nos podemos sentir inclinados a decir "si lo es", pero, evidentemente, una respuesta mas apropiada seria decir "depende". ?Por que? Porque, si estamos hablando de triangulos en un espacio euclidiano, la respuesta seria "si", pero si estamos hablando de triangulos en un espacio no euclidiano, la respuesta seria "no", y podriamos hacer referencia a la geometria de Riemann, donde la suma de los angulos internos de un triangulo es mayor a 180[grados]. El punto es que la practica matematica introduce de antemano dicha calificacion a las afirmaciones matematicas. Por lo tanto, el ficcionalista no requiere un cambio en las practicas comunes de hacer matematicas.

3. Importancia de la aplicabilidad de las matematicas en el debate sobre el realismo matematico

3.1. El problema del acceso epistemico

Tal como mencione, para los realistas, los objetos matematicos son abstractos, acausales y no estan localizados en el espacio-tiempo. Sin embargo, esta postura enfrenta el siguiente problema: ?Como puede ser que los humanos hayamos adquirido conocimiento sobre estas entidades abstractas y acausales? A esto se le llama el problema del acceso epistemico, tambien conocido como "el reto de Benacerraf", y consiste en hacer que nuestra "explicacion de las verdades matematicas coincida con una epistemologia razonable" (18). El reto es, justamente, brindar una explicacion de como nosotros, seres concretos, causalmente afectados por nuestro entorno, tenemos conocimiento de estos objetos acausales.

Una solucion bastante conocida a este problema es la de Kurt Godel. De acuerdo a Godel: "[Los humanos tenemos] algo como una percepcion... de los objetos de la teoria de conjuntos, tal como se evidencia en el hecho de que los axiomas se imponen sobre nosotros como verdaderos. No veo ninguna razon por la que deberiamos confiar menos en este tipo de percepcion, es decir, en la intuicion matematica, que en la percepcion sensorial" (19).

La respuesta de Godel consiste en que podemos conocer los objetos matematicos justamente porque tenemos una manera de percibirlos. Sin embargo, aunque no completamente circular, esta respuesta es ad hoc, pues el problema surge precisamente por la falta de explicacion de dicha facultad de percepcion matematica. El problema es la aparente incompatibilidad de esta percepcion matematica con una vision naturalista del mundo (20). Shapiro resume la preocupacion en estos terminos: "?Como es posible que los humanos, organismos fisicos habitando un universo fisico, tengamos un conocimiento intuitivo de este reino de objetos abstractos causalmente inertes? ?Como es que la mente humana, tal como la describe la psicologia empirica, pueda conocer algo sobre conjuntos y numeros tal como se describen en matematicas?" (21).

3.2. Respuestas al problema del acceso epistemico

En el ambito contemporaneo, las respuestas a este problema varian. James Cargile, por ejemplo, sostiene que esta objecion comete una peticion de principio (22). Si los objetos matematicos no estan localizados en el espacio-tiempo, entonces estan excluidos, por definicion, de una vision naturalista del mundo. Por lo tanto, no seria justo rechazar su existencia simplemente porque no se ajustan a nuestras creencias naturalistas. Despues de todo, uno siempre puede tomar el fracaso en dar cuenta del conocimiento matematico como argumento para rechazar el naturalismo.

Otra respuesta consiste en distinguir entre el contexto en el que uno descubre afirmaciones matematicas y el contexto en el que uno justifica dichas afirmaciones, y sostener que, si tenemos una buena justificacion de estas afirmaciones, no necesitamos brindar una explicacion de como asi llegamos a tomar conocimiento de ellas. La idea es que es un hecho que poseemos un sistema de afirmaciones matematicas y, si mostramos que estamos justificados, de alguna manera, en interpretar estas afirmaciones literalmente, habriamos mostrado que los objetos matematicos existen. Esto seria verdad independientemente de los medios a traves de los cuales habriamos tomado conocimiento de dichas afirmaciones. La idea principal de esta respuesta es que descubrir y justificar afirmaciones matematicas son dos actividades distintas y solo la ultima es relevante para resolver la pregunta sobre el realismo matematico. Hecha esta distincion, los realistas matematicos pueden brindar diferentes justificaciones, aunque, como hemos visto, no todas ellas satisfarian a filosofos naturalistas.

De la discusion precedente podemos concluir que el problema del acceso epistemico no es determinante contra la postura realista. Intentemos entonces plantear la discusion de manera mas precisa. ?Como podemos distinguir entre afirmaciones que cuantifican sobre objetos reales y afirmaciones que cuantifican sobre ficciones? ?Debemos poner a los numeros primos junto a las esmeraldas o junto a Bilbo? Como veremos en la seccion siguiente, muchos realistas matematicos apelan a la aplicabilidad de las matematicas en ciencia para justificar su postura.

4. La aplicabilidad de las matematicas en ciencia

En la filosofia de las matematicas contemporanea existen diferentes justificaciones del realismo matematico, incluyendo la defensa de Cargile (23) del platonismo matematico puro, o Shapiro (24) y su justificacion coherentista del estructuralismo ante rem. Sin embargo, una de las justificaciones mas discutidas actualmente se basa en la aplicabilidad de las matematicas en ciencia (25). La idea es que, si las matematicas fueran una simple ficcion, no serian compatibles con una comprension cientifica del mundo. Esta justificacion ha adoptado diferentes modalidades. Primero, uno podria preguntarse por que las matematicas serian tan utiles en ciencia si fueran una simple ficcion (el problema de la utilidad). Adicionalmente, uno podria preguntarse por que es frecuente el caso de que conceptos desarrollados con un proposito puramente matematico terminan, luego, siendo utiles en aplicaciones cientificas, o por que se puede hacer, a veces, predicciones fisicas analizando simplemente las formulaciones matematicas de las leyes de la naturaleza (el problema de los usos no esperados). Finalmente, uno podria preguntarse por que las matematicas parecen ser indispensables para nuestras mejores teorias cientificas, en particular, en nuestras mejores explicaciones cientificas. En todos estos casos, la idea es que la unica manera de explicar estas aplicaciones exitosas es adoptando una postura realista--en particular, una postura que de cuenta del aspecto "empirico" de las matematicas, en el sentido de explicar la relacion entre las estructuras matematicas y los sistemas fisicos, tal como lo hace el estructuralismo ante rem con la nocion de ejemplificacion--. En esta seccion voy a discutir y refutar cinco argumentos realistas basados en la (mera) utilidad de las matematicas en ciencia (4.1), las aplicaciones inesperadas o "sorpresivas" (4.2) y el problema de la indispensabilidad (4.3-4.5).

4.1. Argumento 1: La mera utilidad de las matematicas en ciencia

Para los ficcionalistas, al igual que El Senor de los Anillos de J.R.R. Tolkien, las matematicas son una historia sobre entidades ficticias. El problema, por supuesto, es que las historias de Tolkien tienen un rango limitado de aplicacion en ciencia. Uno podria utilizarlas para aprender algo sobre el mundo como, por ejemplo, el valor de la hospitalidad, pero de ninguna manera pueden ser usadas como la herramienta cientifica por excelencia. Ese lugar esta reservado para las matematicas. La razon, se ha dicho frecuentemente, es que las matematicas lidian con la estructura subyacente del mundo. Una version de este argumento puede reconstruirse de la siguiente manera:

P1) Casi todas las disciplinas cientificas usan matematicas.

P2) La unica razon por la que casi todas las disciplinas cientificas usan matematicas es que los objetos matematicos existen.

C) Los objetos matematicos existen.

Respuestas

La primera premisa es evidente. Practicamente basta leer cualquier articulo cientifico al azar. La segunda premisa es mas problematica pues, como veremos, hay otras razones que explican la destacada utilidad de las matematicas.

Antes de continuar, voy a mencionar una mala explicacion de la utilidad de las matematicas en ciencia: uno podria decir que las matematicas son una creacion humana, inspirada en eventos reales del mundo (por ejemplo, nuestra experiencia perceptiva de patrones y regularidades), y que, por lo tanto, no es en absoluto sorprendente que estos objetos sean luego utilizados en ciencia: la ciencia lidia con el mundo; los objetos matematicos han sido creados a partir del mundo; por lo tanto, no es problematico que las ciencias usen matematicas. Esta no es una buena explicacion de la utilidad de las matematicas. El hecho en si de que las matematicas se hayan creado tomando como base el mundo real no explica por que son tan utiles en la ciencia. Muchas ficciones, tales como, por ejemplo, las ficciones literarias, tambien se inspiran frecuentemente en hechos reales y, sin embargo, no son tan utiles en ciencia como las matematicas. Las historias de Harry Potter estan ciertamente inspiradas en el sistema escolar britanico, pero muy pocas explicaciones cientificas usan esas historias para comprender dicho sistema.

Una respuesta mas interesante surge cuando prestamos atencion al proceso mismo de aplicacion de las matematicas y vemos que el uso cientifico de las matematicas requiere que el fenomeno estudiado sea "matematizado" primero. En un sentido, esto explicaria por que las matematicas son tan ampliamente utilizadas. Tal como ha senalado Patrick Suppes, el proceso de aplicacion de las matematicas al mundo no se da de manera directa, sino a traves de una serie de modelos y pasos, organizados jerarquicamente, que median entre los modelos teoricos y el sistema examinado (26). El punto basico aqui es que, para que un fenomeno fisico pueda ser estudiado matematicamente, primero debe ser medido. Este proceso de medicion implica, en si mismo, una matematizacion, esto es, asignar afirmaciones mixtas que involucran elementos fisicos y matematicos (por ejemplo, "tres manzanas"), que luego son representados como conjuntos de datos. Estos conjuntos de datos son la base de una jerarquia de modelos que concluyen con modelos teoricos. El punto es que, para describir esta version matematizada de la realidad, no es en absoluto sorprendente que tengamos que usar afirmaciones matematicas o que algunos conceptos matematicos sean utiles.

4.2. Argumento 2: Los usos inesperados de las matematicas

Tal como senala el premio Nobel en fisica Eugene Wigner, es frecuente que conceptos matematicos desarrollados por proposios puramente esteticos o formales terminen siendo utiles en la ciencia. Esto es lo que el llama La irrazonable efectividad de las matematicas (1960). Un ejemplo tipico son los numeros complejos. Jerome Cardan, quien formulo la teoria de los numeros complejos en el siglo XVI, nunca pretendio que estos numeros sean en absoluto utiles. Mas bien, senalo lo siguiente acerca de su propia creacion: "Asi progresa sutilmente la aritmetica, cuyo fin, como se dice, es tan refinado como inutil" (27). Sin embargo, senala Wigner, los numeros complejos son actualmente de gran importancia en nuestras mejores teorias fisicas: "[L]os numeros complejos estan lejos de ser naturales o simples y no son sugeridos por observaciones fisicas... [Sin embargo] el uso de los numeros complejos... no es un truco para hacer calculos en matematica aplicada sino que han llegado a ser una necesidad en la formulacion de las leyes de la mecanica cuantica" (28).

Segun Wigner, esta "irrazonable efectividad" de las matematicas es "algo bordeando lo misterioso", sobre lo cual "no existe una explicacion racional" (29). La idea de Wigner es que, a pesar de la diferencia entre las metodologias en matematica y en ciencia--a saber, que la ciencia se lleva por evidencia empirica, mientras que las matematicas parecen avanzar, en mayor medida, desconectadas del mundo--, las matematicas son fundamentales en ciencia.

Otro tipo de aplicaciones inesperadas se da en aquellos casos en los que el mero analisis de las ecuaciones matematicas que describen las leyes naturales lleva a realizar predicciones que son la fuente de descubrimientos cientificos posteriores. En un famoso pasaje, el fisico Heinrich Hertz explica este fenomeno de la siguiente manera: "Uno no puede evadir la sensacion de que estas formulas matematicas tienen una existencia independiente y una inteligencia en si mismas, de que son mas sabias que nosotros, mas sabias incluso que aquellos quienes las descubrieron, que sacamos mas de ellas de lo que inicialmente pusimos" (30).

Un caso que se suele citar para ilustrar este punto es el descubrimiento del positron por Paul Dirac. Simplemente analizando el formalismo matematico, Dirac encontro soluciones negativas a sus ecuaciones. Sin embargo, en vez de rechazarlas como meros artefactos de las matematicas, postulo la existencia de particulas de igual masa que los electrones, pero con carga opuesta. Esto condujo a la idea del positron, particula que fue luego descubierta experimentalmente. Otro caso famoso es el de las transformaciones de Edward Lorentz, desarrolladas con fines puramente matematicos y que luego fueron interpretadas en terminos del espacio-tiempo de la teoria de la relatividad por Albert Einstein (31). La idea seria que las matematicas "saben mas" acerca del mundo que nosotros.

Ahora bien, ni Wigner ni Hertz extrajeron explicitamente la conclusion de que estas aplicaciones inesperadas justificaban el realismo matematico. De hecho, hasta donde yo se, estas aplicaciones inesperadas no han sido utilizadas por filosofos para justificar esta posicion. Hay, sin embargo, algunos autores de literatura cientifica de divulgacion que si lo han hecho. El fisico Roger Penrose, por ejemplo, toma estos usos inesperados como evidencia de un "acuerdo entre matematicas y fisica... entre el mundo de Platon y el mundo fisico" (32). La razon subyacente, sostiene Penrose, es que estos dos mundos "son el mismo" (33). Desafortunadamente, Penrose no especifica a que se refiere con "el mismo", pero, como hemos visto, una posible explicacion seria que Penrose suscribe una version de estructuralismo ante rem. Es decir, la estructura subyacente del mundo fisico es matematica porque el mundo fisico ejemplifica estructuras matematicas. De manera similar, el fisico Paul Davies sostiene que la razon por la que matematicas desarrolladas como un ejercicio abstracto son "espectacularmente efectivas en las teorias fisicas" es que las matematicas "descubren alguna propiedad real de la naturaleza" (34), a saber, que el mundo matematico y el mundo fisico son estructuralmente el mismo.

Respuestas

A pesar de Penrose y Davies, el realismo matematico no es la unica explicacion de estas aplicaciones inesperadas. Por ejemplo, Paul Humphreys senala que la "sorpresa" de estas aplicaciones desaparece si prestamos atencion a la vastedad del ambito matematico: "Debido a que el ambito de estructuras matematicas es mucho mas grande que el ambito de estructuras fisicas idealizadas, no es en absoluto sorprendente que uno pueda encontrar, o construir, objetos en el primer ambito que se apliquen al segundo" (35).

La idea es que, ya que las matematicas son una inmensa fuente de estructuras, es razonable pensar que algunas de estas estructuras van a ser utiles en comprender y representar estructuras fisicas (36). Esto es incluso mas evidente cuando consideramos que las matematicas no describen o representan directamente estructuras fisicas, sino versiones idealizadas de estas estructuras fisicas. Adicionalmente, es frecuente el caso de que una misma estructura matematica pueda emplearse para describir aspectos comunes a diferentes estructuras fisicas. Humphreys senala, por ejemplo, que es posible representar, con el mismo modelo matematico, a saber, el modelo de Poisson, fenomenos tan variados como organismos por unidad de volumen en una solucion diluida, llamadas telefonicas, autos, decaimiento radioactivo, cromosomas, bombas voladoras, peces capturados, etcetera (37).

La disponibilidad de estructuras matematicas para representar fenomenos fisicos se hace mas evidente si tomamos en cuenta que, en cierto sentido, existe un sesgo en el proceso de seleccion: los cientificos trabajan con estructuras fisicas que son adaptables al proceso de matematizacion y luego "fuerzan" sus modelos dentro de las matematicas disponibles (38). Es decir, los cientificos no solo describen, primero, el mundo de manera tal que es representable matematicamente (tal como vimos en 4.1), sino que ademas tienden a enfocarse en aquellos fenomenos que se adaptan a este patron. Por estas razones, sostiene Humphreys, no es en absoluto sorprendente que algunas estructuras matematicas sean utiles de maneras nuevas e inesperadas. Simplemente sucede que, a veces, descubrimos que los sistemas fisicos y las estructuras matematicas que utilizamos para representarlos tienen mas en comun de lo que habiamos supuesto inicialmente. En los casos opuestos, es decir, cuando tenemos fenomenos fisicos que presentan aspectos no contemplados en la representacion matematica inicialmente asignada, sencillamente cambiamos de representacion matematica y usamos otra de las tantas disponibles.

Ahora bien, seria un error interpretar las observaciones de Humphreys como si el proceso de aplicacion consistiera, simplemente, en encontrar una estructura matematica que encaje en el fenomeno en cuestion (actitud que Otavio Bueno y Stephen French llaman "optimismo matematico perezoso"), o el mero proceso de esperar a ver si existen estructuras fisicas capaces de ser descritas matematicamente (Bueno y French llaman a esta actitud "oportunismo matematico" (39)). El punto de Humphreys es que, ya que las estructuras fisicas tienen, primero, que ser idealizadas para que los modelos matematicos sean utiles, el hecho de que haya estructuras matematicas adecuadas que puedan ser adoptadas por esos modelos no es sorprendente.

Otro aspecto relevante del proceso de aplicacion de las matematicas, senalado por Otavio Bueno, tiene que ver con el hecho de que los cientificos nunca "leen" hechos fisicos directamente a partir de hechos matematicos, sino que siempre tienen que interpretar fisicamente los resultados obtenidos en sus modelos. Una misma estructura matematica puede ser interpretada de diferentes maneras y, en ese sentido, el simple analisis de la estructura matematica no es suficiente para determinar que interpretacion es la correcta (40). En palabras de Bueno: "[L]as expresiones matematicas, tomadas en si mismas, no son sobre eventos fisicos en el mundo: tienen que ser, en primer lugar, (propiamente) interpretadas antes de que sean relevantes para la descripcion de los fenomenos fisicos. Una ecuacion diferencial tiene multiples interpretaciones, y dependiendo de la interpretacion que uno adopte, la ecuacion puede no tener en absoluto implicaciones respecto del mundo fisico, o puede tener implicaciones que resulten ser empiricamente inadecuadas, o implicaciones que, adecuadamente reconstruidas, capturen algunos aspectos del mundo fisico" (41).

El punto de Bueno es que, sin una interpretacion, "las matematicas no dicen nada acerca del mundo fisico" (42). Esto se puede ver si se examina con atencion el caso del descubrimiento de los positrones. Dirac no leyo una interpretacion en terminos de positrones directamente de sus ecuaciones. De hecho, primero penso que estas soluciones negativas eran simples artefactos de las matematicas sin implicaciones fisicas; luego, en un segundo momento, las interpreto como refiriendose a "agujeros" en el espacio-tiempo. Esta segunda interpretacion, sin embargo, es inconsistente con su teoria, pues implica la existencia de particulas de masa infinita. Finalmente, Dirac interpreto estas soluciones negativas como refiriendose a particulas de la misma masa que los electrones, pero con carga opuesta, dando asi lugar a la idea del positron. Hasta este momento, la interpretacion en terminos de positrones se sigue tomando como correcta (43). Nuevamente, el punto es que las soluciones de la ecuacion de Dirac carecen de significado en si mismas, pues se les pueden asignar diferentes interpretaciones. Es solo cuando se les asigna una interpretacion correcta que el formalismo matematico captura aspectos del mundo (44).

La idea principal aqui es que las matematicas no nos brindan una descripcion directa del mundo. Las matematicas no lidian con el mundo. Es solo cuando los resultados matematicos se interpretan en terminos empiricos que se vuelven utiles en ciencia. Por esa razon, decir simplemente que las matematicas son utiles no es un argumento en favor del realismo matematico.

4.3. Argumento 3: La indispensabilidad de las matematicas en la ciencia

El caso anterior en favor del realismo matematico se basa en la mera utilidad de las matematicas en la ciencia. Sin embargo, es posible construir un argumento mas fuerte si nos enfocamos no solo en el hecho de que las matematicas son utiles en ciencia, sino en que son (o parecen ser) indispensables para hacer ciencia. Este ha sido llamado el argumento de indispensabilidad (AI) y varios autores de ambos lados del debate como, por ejemplo, el realista matematico Mark Colyvan y el ficcionalista Hartry Field, concuerdan en que este es, tal vez, el argumento mas importante para justificar el realismo matematico (45). La idea es que, si uno considera razonable el realismo cientifico, que es la creencia en la existencia de los objetos y procesos inobservables postulados por las mejores formulaciones de nuestras mejores teorias cientificas (por ejemplo, electrones, quarks, genes, campos electromagneticos, procesos evolutivos, etcetera), tambien deberia considerar razonable sostener el realismo matematico, es decir, la creencia en la existencia de los objetos abstractos a los que se refieren las afirmaciones matematicas que aparecen en las teorias cientificas. Por supuesto, no todos los filosofos son realistas cientificos, pero, tal como senala Hilary Putnam, el punto del AI es que, si uno admite que las entidades inobservables concretas existen, entonces seria intelectualmente deshonesto si no admitiera que los objetos matematicos existen tambien (46).

En esta subseccion voy a analizar la primera version del AI, basada en el naturalismo y el holismo confirmacional de W.O. Quine. De acuerdo a este filosofo, el naturalismo es: "[E]l abandono del objetivo de una primera filosofia. Ve a la ciencia natural como una indagacion en la realidad, falible y corregible, pero que no responde a ningun tribunal supra-cientifico, y que no requiere de ninguna justificacion mas alla de la observacion y el metodo hipotetico-deductivo" (47). Del mismo modo, Quine defendia la tesis del holismo confirmacional, que consiste en que las afirmaciones cientificas no se confirman o refutan aisladamente, sino como parte de un sistema de hipotesis. En otras palabras, las hipotesis cientificas nunca se ponen a prueba de manera aislada, sino en conjunto con hipotesis auxiliares: "La totalidad de nuestro llamado conocimiento, o creencias, desde los aspectos mas casuales de geografia e historia hasta las leyes mas profundas de la fisica atomica o incluso de las matematicas puras y logica, es un entramado construido por los humanos que se conecta con la experiencia solamente en los bordes" (48).

De acuerdo a esta postura, si la evidencia empirica confirma parte de una teoria, toda la teoria queda confirmada, incluyendo sus componentes matematicos. Ya que las matematicas cuantifican sobre numeros, funciones, conjuntos, etcetera, la creencia en la existencia de dichas entidades queda justificada. En palabras de Quine: "[E]l discurso cientifico esta tan irremediablemente comprometido con objetos abstractos--naciones, especies, numeros, funciones, conjuntos--como lo esta con manzanas y otros cuerpos. Todas estas cosas figuran como valores de las variables de nuestro sistema total del mundo. Los numeros y las funciones contribuyen tan genuinamente a las teorias fisicas como las particulas hipoteticas (49)" (50).

Mark Colyvan reconstruye el AI de la siguiente manera:

P1) Tenemos que aceptar la existencia de los objetos que son indispensbles para el exito de nuestras mejores teorias cientificas.

P2) Cuantificar sobre objetos matematicos es indispensable para el exito de nuestras mejores teorias cientificas.

C) Debemos aceptar la existencia de objetos matematicos (51).

La idea del AI es que, debido al naturalismo, tenemos razones para considerar verdaderas las afirmaciones de nuestras mejores teorias cientificas y, debido al holismo, debemos aceptar todos los objetos y procesos sobre los que cuantifican dichas afirmaciones. Ya que cuantificar sobre objetos matematicos es indispensable para el exito de dichas teorias, tenemos que aceptar tambien la existencia de los objetos matematicos mencionados en dichas afirmaciones.

Respuesta

Penelope Maddy critica el AI basandose en que, de acuerdo a ella, existe una incompatibilidad entre el naturalismo y el holismo confirmacional. Para Maddy, no es cierto que debamos aceptar todas las entidades que son indispensables para nuestras mejores teorias cientificas (52). Ella no rechaza el postulado naturalista de que solo la ciencia puede decirnos lo que existe y es verdadero. Su punto es que no todas las entidades indispensables en ciencia existen. Es importante notar que su critica se aplica a las teorias cientificas en general y no solo en su relacion con teorias matematicas, es decir, Maddy apunta a problemas reconciliando el naturalismo con el holismo confirmacional, independientemente del AI. Consideremos los siguientes ejemplos: en dinamica de fluidos, se asume que la materia es continua, pero los cientificos no consideran que la materia sea continua; al explicar las olas del mar, se asume que el oceano es infinitamente profundo, pero nadie realmente cree que este sea el caso; en mecanica clasica, algunas propiedades cinematicas se calculan asumiendo planos sin friccion, pero dichos planos no existen en el mundo. Como senala Maddy: "Si podemos ver, en el curso de nuestro estudio cientifico de la ciencia, que ciertas partes de nuestra teoria... no reflejan lo que esta realmente presente en una situacion fisica dada... entonces parece razonable concluir que esas partes de nuestra teoria no han sido, de hecho, confirmadas por nuestros metodos cientificos" (53).

La idea es que, de acuerdo al naturalismo, debemos aceptar la practica cientifica, y los cientificos constantemente apelan a entidades y procesos que no toman como verdaderos; pero, de acuerdo al holismo confirmacional, las teorias se confirman como un todo. Por lo tanto, estos principios son incompatibles. Ya que el argumento de Quine depende de ambos principios, no es un argumento exitoso para justificar el realismo matematico. En palabras de Maddy: "Si nos mantenemos fieles a nuestros principios naturalistas, debemos admitir una distincion entre las partes verdaderas de una teoria y las partes que son meramente utiles. Incluso debemos admitir que algunas de estas partes utiles podrian ser de hecho indispensables, en el sentido de que una teoria sobre los mismos fenomenos no seria igualmente buena sin dichas partes. Aceptando todo esto, la indispensabilidad de las matematicas en teorias cientificas bien confirmadas no es suficiente para establecer su verdad" (54).

4.4. Argumento 4: La version explicativa del argumento de indispensabilidad

Una manera de distinguir entre las partes verdaderas y las partes falsas de una teoria cientifica es a traves de las explicaciones que la teoria facilita. En la base de esta distincion se encuentra el llamado principio de "inferencia a la mejor explicacion" (IME), explicado por Hartry Field en los siguientes terminos: "[S]upongamos (a) que tenemos ciertas creencias, creencias sobre 'los fenomenos', y a las que no estamos dispuestos a renunciar; (b) que este tipo de 'fenomenos' en los que creemos es vasto y complejo; (c) que tenemos una muy buena explicacion de estos fenomenos (entendido como un cuerpo de principios relativamente simples, no ad hoc, a partir de los cuales [dichos fenomenos] se siguen como consecuencia); y (d) una de las premisas asumidas en dicha explicacion es la afirmacion S, y estamos bien convencidos de que no es posible una explicacion de los mismos fenomenos que no apele a la afirmacion S. La idea de 'inferencia a la mejor explicacion' es que en estas circunstancias tenemos fuertes razones para creer en la afirmacion S" (55).

El principio IME implica que, si una afirmacion es indispensable para la mejor explicacion de un conjunto dado de fenomenos, entonces tenemos razones para creer en ella, "independientemente de si esa creencia es en si misma observacional, e independientemente de si las entidades de las que se trata dicha creencia son observables" (56).

La version explicativa del AI sustituye la primera premisa de la version de Quine por el principio IME y apela a la supuesta indispensabilidad de las matematicas en las mejores explicaciones cientificas. De esta manera, concluye que, siguiendo el principio IME, debemos aceptar la verdad de las afirmaciones matematicas que figuran en estas explicaciones y, por lo tanto, la existencia de los objetos matematicos sobre los que dichas afirmaciones cuantifican. Este argumento se puede esquematizar de la manera siguiente:

P1) Debemos creer racionalmente en la existencia de cualquier entidad que sea indispensable en nuestras mejores explicaciones cientificas (IME).

P2) Los objetos matematicos son indispensables en nuestras mejores explicaciones cientificas.

C) Por lo tanto, debemos creer racionalmente en la existencia de los objetos matematicos (57).

El argumento se basa en el hecho de que las mismas explicaciones que postulan objetos concretos inobservables tales como los electrones, las ondas electromagneticas, etcetera, tambien postulan objetos matematicos abstractos. Por lo tanto, en los casos en los que consideremos que una explicacion es correcta, no solo tenemos razones para creer en los inobservables concretos, sino que las mismas razones justificarian creer, tambien, en los objetos matematicos. Por supuesto, uno podria no creer que los electrones existan, pero la idea del AI es que existe una conexion entre la creencia en los electrones y la creencia en los objetos matematicos.

Respuesta

Joseph Melia (58) critica esta version del AI sosteniendo que existe una distincion entre los objetos que juegan un rol representacional y los que juegan un rol estrictamente explicativo, y el principio IME se aplica solamente a estos ultimos. El rol que juegan las matematicas en la ciencia se limita, simplemente, a representar hechos concretos y a ayudar a extraer inferencias relacionadas con dichos objetos. Esto hace que las matematicas sean una herramienta fundamental, incluso indispensable, en la ciencia, pero esto no justifica que incluyamos a los objetos matematicos en nuestra ontologia. En palabras de Melia: "[L]as matematicas son el andamio necesario sobre el cual el puente [de la ciencia] debe construirse. Pero una vez que el puente ha sido construido, el andamio puede retirarse" (59).

De acuerdo a Melia, el rol de las matematicas en explicaciones cientificas debe entenderse como el de representar y facilitar inferencias acerca de hechos concretos que si poseen poder explicativo. Es decir, ya que las matematicas ofrecen buenas representaciones del mundo fisico, algunas explicaciones requieren de su uso, pero esto no significa que los objetos matematicos sean en si mismo explicativos. Si decimos, por ejemplo, que "F ha ocurrido porque P mide de largo", a pesar de que estamos mencionando al numero en la explicacion, es el largo del objeto fisico P y no el numero real que usamos para representarlo, el que realiza el trabajo explicativo (60).

Esta postura representacionalista de las matematicas es tambien suscrita por Bueno, quien sostiene que las matematicas juegan en ciencia un rol representativo, un rol inferencial, y un rol expresivo. En todos los casos, para cumplir estos roles, el formalismo matematico debe ser interpretado empiricamente. En la mayoria de los casos, sin embargo, esta interpretacion va a dejar de lado aspectos tanto en el mundo fisico como en la estructura matematica. Si uso un circulo para representar al sol, evidentemente estoy dejando de lado varios aspectos del sol mismo, como su temperatura, y, al mismo tiempo, tambien dejo de lado varios aspectos del circulo, por ejemplo, su curvatura perfecta.

Ahora bien, el reto de Melia para los defensores del AI explicativo es mostrar que las matematicas pueden jugar un rol genuinamente explicativo en las explicaciones cientificas y que su rol no se limita a brindar buenas representaciones de las propiedades fisicas relevantes que figuran en explicaciones exitosas. Este reto ha conducido a que en los ultimos anos una nueva version del AI explicativo tome prominencia en la filosofia de las matematicas. Dicha version se enfoca no en explicaciones cientificas en general, sino en las llamadas explicaciones matematicas de fenomenos fisicos donde, supuestamente, el rol de las matematicas es genuinamente explicativo.

4.5. Argumento 5: Las explicaciones matematicas de fenomenos fisicos

Como respuesta a Melia, Alan Baker (61) y Mark Colyvan (62) sostienen que existen situaciones en las que las matematicas juegan un rol genuinamente explicativo. En estos casos, supuestamente son las matematicas en si mismas las responsables de la explicacion. El argumento quedaria de la siguiente manera:

P1) Debemos creer racionalmente en la existencia de cualquier entidad que sea indispensable en nuestras mejores explicaciones cientificas (IME).

P2) Las matematicas pueden jugar un rol genuinamente explicativo en ciencia.

C) Por lo tanto, debemos creer racionalmente en la existencia de los objetos matematicos (63).

Este argumento, llamado comunmente el "Argumento de indispensabilidad ampliado", depende crucialmente de si existen genuinas explicaciones matematicas de fenomenos fisicos. Un supuesto caso, propuesto por Baker (64), es la explicacion de los ciclos vitales de las cigarras periodicas del genero magicicada. Estos insectos emergen simultaneamente por dos semanas cada 13 o 17 anos, dependiendo de la zona geografica donde residan. La mejor explicacion disponible en la literatura evolutiva para la longitud de los ciclos es que ambos ciclos son primos y es evolutivamente ventajoso para las especies biologicas desarrollar ciclos vitales primos. Esto se debe, por un lado, a que los ciclos vitales primos minimizan las posibilidades de interseccion con depredadores y, tambien, a que los ciclos primos disminuyen las posibilidades de interseccion con subespecies del ciclo vital alternativo; lo cual es ventajoso porque asi se garantiza la emergencia simultanea y, consecuentemente, se maximizan las posibilidades de procreacion. Ya que la propiedad primo es esencial para el funcionamiento de estas explicaciones y no puede expresarse sin usar matematicas, es decir, no puede parafrasearse en logica de primer orden (65), la explicacion depende de dicha propiedad. Ya que esta es la mejor explicacion de la longitud de los ciclos vitales de estas cigarras de acuerdo a la literatura cientifica disponible--de hecho, el biologo Robert May considera que este es el unico caso de una aplicacion directa de la teoria de numeros en biologia--, para Baker esto justifica creer que los ciclos en si mismos son primos, es decir, que poseen la propiedad matematica de ser primos. Poniendo la conclusion en terminos de estructuralismo ante rem, podemos decir que los ciclos ejemplifican los numeros naturales 13 o 17 y, por lo tanto, comparten con ellos la propiedad de ser primos.

Respuesta

Considero, sin embargo, que este tipo de casos no son contraargumentos a la postura representacionalista de Melia y Bueno. En el caso de las cigarras, por ejemplo, tal como he argumentado en detalle en otro articulo (66), los ciclos vitales en si mismos no son primos. Por el contrario, ellos poseen una propiedad comun a varios intervalos temporales. Es cierto que hubiera sido extremadamente dificil identificar esta propiedad del tiempo sin la ayuda de las matematicas, pero en la medida en que podamos separar la propiedad fisica de su representacion matematica, el punto de Melia sobre el rol representacional de las matematicas sigue en pie--y, ciertamente, podemos hacer esto en el caso de las cigarras--. Las propiedades del tiempo relevantes en esta situacion pueden deducirse a partir de las nociones basicas de combinacion y congruencia de intervalos temporales, las cuales son propiedades no matematicas perfectamente aceptables y pueden facilmente parafrasearse en logica de primer orden. Debido a esto, los aspectos matematicos de esta explicacion sirven para representar una propiedad del tiempo, que es la propiedad relevante para los ciclos vitales. Por lo tanto, este caso no justifica la conclusion de la version explicativa del AI (67). Mi punto es que, en las llamadas explicaciones matematicas de fenomenos fisicos, tenemos una indispensabilidad practica, pero el rol de las matematicas es ultimamente representacional.

5. Conclusion

Debido a que los objetos matematicos, de existir, no tendrian poderes causales, algunos filosofos naturalistas han considerado que deben ser excluidos de nuestra ontologia en virtud de que, en principio, seria imposible adquirir conocimiento acerca de dichos objetos. Sin embargo, el estructuralismo ante rem es una postura realista que explicaria, de manera compatible con el naturalismo, el descubrimiento de verdades sobre los objetos matematicos: ya que los objetos matematicos serian posiciones en estructuras matematicas que pueden ser ejemplificadas en el mundo fisico, podriamos tomar conocimiento de las estructuras matematicas abstractas a traves de la observacion de dichas ejemplificaciones concretas. ?Y como se justificaria el llamar a las estructuras fisicas ejemplificaciones de estructuras matematicas, dandoles, asi, estatuto ontologico de existencia a estas ultimas? Paradojicamente, el naturalismo mismo ha sido usado como justificacion. El realismo matematico se justificaria por el abrumador exito de las ciencias naturales matematizadas.

Evidentemente, existen filosofos que han puesto en duda la tesis naturalista. Otros dudan de que el exito de las teorias cientificas justifique nuestras creencias en los objetos inobservables postulados por dichas teorias. Otros, incluso, ponen en duda el exito mismo de las teorias cientificas matematizadas, y hay hasta quienes dudan de la existencia del mundo en si o de la distincion entre realidad y ficcion. Lo que he mostrado en este articulo es que, inclusive los filosofos que aceptamos ciertas versiones del naturalismo y el realismo cientifico, no estamos justificados en creer en la existencia de estructuras matematicas. Mi estrategia ha sido discutir cinco argumentos que pretenden justificar el realismo matematico a partir de la aplicabilidad de las matematicas en la ciencia y lo he hecho sin adoptar una posicion explicita sobre los debates mencionados. Consideremos, por ejemplo, el argumento de indispensabilidad. Rechazar la conclusion negando la primera premisa seria conceder demasiado a los indispensabilistas, pues ellos aun podrian decir que existe un vinculo entre el realismo cientifico y el realismo matematico. Contrario a esto, lo que he mostrado en este articulo es que, una vez que prestamos atencion a la manera como se aplican las matematicas en ciencia, podemos ver que tal vinculo no existe: una postura no implica a la otra.

Mi discusion en este articulo no constituye un argumento positivo en favor del ficcionalismo matematico. Simplemente, sostengo que la aplicabilidad de las matematicas en ciencia no brinda razones para adoptar el realismo matematico. Sin embargo, existen varias otras versiones del realismo matematico cuya justificacion no depende de la aplicabilidad de las matematicas en la ciencia, tales como la defensa de Cargile (68) del platonismo matematico puro, la justificacion coherentista del estructuralismo ante rem de Shapiro (69), o el platonismo autonomo de Russel Marcus (70). Grandes nombres de la filosofia contemporanea fueron realistas matematicos, incluyendo a Frege, Godel, y Quine. El fascinante debate sobre el realismo matematico continua.

Recibido: 04/01/2018

Aceptado: 09/10/2018

Bibliografia

Baker, A., "Are there Genuine Mathematical Explanations of Physical Phenomena?", en: Mind, n. 114, 2005, pp. 223-238. https://doi.org/10.1093/mind/fzi223

Baker, A., "Mathematical Explanation in Science", en: British Journal for the Philosophy of Science, n. 60, 2009, pp. 611-633. https://doi.org/10.1093/bjps/axp025

Bangu, S., The applicability of mathematics in science: indispensability and ontology, New York: Palgrave Macmillan, 2012.

Bangu, S., "On 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences'", en: Ippoliti, E. y otros (eds.), Models and Inferences in Science, Cham: Springer, 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-28163-6_2

Barrantes, M., "Optimal Representations and the Enhanced Indispensability Argument", en: Synthese, v. CXCVI, n. 1, 2017, pp. 247-263. https://doi.org/10.1007/s11229-017-1470-4

Benacerraf, P. (1973), "Mathematical Truth", en: Benacerraf, P. y H. Putnam (eds.), Philosophy of mathematics. Selected Readings, 2da edicion, Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

Bueno, O., "An Easy Road to Nominalism", en: Mind, v. CXXI, 2012, p. 484. https://doi.org/10.1093/mind/fzs114

Bueno, O. y M. Colyvan, "An Inferential Conception of the Application of Mathematics", en: Nous, v. XLV, n. 2, 2011, pp. 345-374. https://doi.org/10.1111/j.1468-0068.2010.00772.x

Bueno, O. y S. French, The Applicability of Mathematics in Science: Immersion, Inference and Interpretation, Oxford: Oxford University Press, 2018.

Cargile, S., "On 'Alexander's Dictum'", en: Topoi, v. XXII, n. 2, 2003, pp. 143-149. https://doi.org/10.1023/A:1024926205716

Colyvan, M., The indispensability of mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2001. https://doi.org/10.1093/019513754X.001.0001

Colyvan, M., An Introduction to the Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 2012.

Davies, P., The Mind of God, Londres: Penguin Book, 1992.

Field, H., Realism, Mathematics & Modality, Oxford: Basil Blackwell, 1989.

Humphreys, P., Extending Ourselves, Oxford: Oxford University Press, 2004. https://doi.org/10.1093/0195158709.001.0001

Lange, M., "What Makes a Scientific Explanation Distinctively Mathematical?", en: British Journal for the Philosophy of Science, v. LXIV, n. 3, 2013, pp. 485-511. https://doi.org/10.1093/bjps/axs012

Lyon, A., "Mathematical Explanations Of Empirical Facts, And Mathematical Realism", en: Australasian Journal of Philosophy, v. XC, n. 3, 2011, pp. 559-578. https://doi.org/10.1080/00048402.2011.596216

MacBride, F., '"Can Ante Rem Structuralism solve the Access Problem?", The Philosophical Quarterly, v. LVIII, n. 230, 2008, p. 58. https://doi.org/10.1111/j.1467-9213.2007.524.x

Maddy, P., "Three forms of Naturalism", en: Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005. https://doi.org/10.1093/0195148770.003.0013

Marcus, R., Autonomy Platonism and the Indispensability Argument, Lanham: Lexington Books, 2015

Melia, J., "Weaseling Away the Indispensability Argument", en: Mind, v. CIX, n. 435, 2000, pp. 455-479 https://doi.org/10.1093/mind/109.435.455

Melia, J., "Response to Colyvan", en: Mind, n. 111, 2002, pp. 75-79. https://doi.org/10.1093/mind/111.441.75

Penrose, R., The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds and the Laws of Physics. Londres: Vintage, 1990. https://doi.org/10.1119/1.16207

Resnik, M., Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press, 1997.

Resnik, M., "Quine and the Web of Belief", en: Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005. https://doi.org/10.1093/0195148770.003.0012

Shapiro, S., Philosophy of mathematics. Structure and ontology, Nueva York: Oxford University Press, 1997.

Shapiro, S., Thinking about mathematics. The Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2001.

Shapiro, S., "Philosophy of Mathematics and its Logic. Introduction", en: Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005. https://doi.org/10.1093/0195148770.001.0001

Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005. https://doi.org/10.1093/0195148770.001.0001

Suppes, P., "Models of Data", en: Nagel, E. y otros (eds.), Logic, Methodology, and Philosophy of Science: Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford: Stanford University Press, 1962.

Wigner, E., "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", en: Communications on Pure and Applied Mathematics, n. 13, 1960, pp. 1-14. https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102

Manuel Barrantes

Hamilton College

(*) Quisiera agradecer los comentarios de la audiencia del High-Performance Computing Center de la Universidad de Stuttgart, donde este trabajo fue presentado por primera vez. Asimismo, agradezco a Alejandra Panizo por estimulantes conversaciones que me ayudaron a tomar la postura del platonismo matematico mas seriamente.

(1) Shapiro, S., "Philosophy of Mathematics and its Logic. Introduction", en: Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Nueva York: Oxford University Press, 2005, p. 6. Todas las traducciones son mias.

(2) Ibid.

(3) Ibid.

(4) Prueba de Euclides: si asumimos que p es el mayor numero primo, y sumamos 1 al producto de todos los numeros primos, incluyendo p, el resultado sera un numero primo mayor que p. Por lo tanto, la nocion de un mayor numero primo es contradictoria. Por lo tanto, no existe un numero primo que sea el mayor de todos.

(5) Benacerraf, P., "What Numbers Could Not Be", en: Benacerraf, P. y H. Putnam (eds.) Philosophy of Mathematics. Selected Readings 2nd Edition, Cambridge: Cambridge University Press, 1983.

(6) Ibid., pp. 290-291.

(7) Ibid., p. 291. El enfasis es mio.

(8) Shapiro, S., Thinking about Mathematics. The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, 2001, p. 259.

(9) Resnik, M., "Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference", citado en: Shapiro, S., Thinking about Mathematics. The Philosophy of Mathematics, p. 259. Enfasis mio.

(10) Traduzco la palabra instantiate como "ejemplificar" (a pesar de que en ingles tambien se usa exemplify en este contexto) para evitar el uso de "instanciar", que no esta en el diccionario espanol.

(11) Shapiro, S., Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology, Nueva York: Oxford University Press, 1997, p. 89.

(12) Hacking, I., Why Is There Philosophy of Mathematics At All?, Cambridge: Cambridge University Press, 2014, p. 237.

(13) Para facilitar esta presentacion, voy a ignorar el estructuralismo in re de Geoffrey Hellman (Hemlan, G., Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, Oxford: Oxford University Press, 1989).

(14) Field, H., Realism, Mathematics & Modality, Oxford: Basil Blackwell, 1989, p. 3.

(15) Benacerraf, P., "Mathematical Truth", en: Benacerraf, P. y H. Putnam (eds.), Philosophy of Mathematics. Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, p. 403.

(16) Por supuesto, alguien podria decir que en realidad todas nuestras verdades son relativas a una historia contextual y que, en sentido estricto, no hay diferencia entre el discurso ficticio de las historias de J.R.R Tolkien y nuestras afirmaciones cotidianas acerca de mesas y manzanas: las matematicas serian una ficcion porque todo es una ficcion. Este argumento en favor del ficcionalismo matematico se basa en un antirrealismo generalizado incluso mas fuerte que el antirrealismo cientifico (que propone ya sea agnosticismo o rechazo de plano de las entidades inobservables postuladas por la ciencia). La razon por la que voy a ignorer esta postura es que va en contra de la estrategia que he adoptado en este articulo, que consiste en criticar el realismo matematico minimamente. Mi objetivo es mostrar que incluso si uno fuera realista cientifico, no tendria razones para ser realista matematico.

(17) Bueno, O., "Mathematical Fictionalism", en: Bueno, O. y O. Linnebo (eds.), New Waves in Philosophy of Mathematics, Nueva York: Palgrave Macmillan, 2009, p. 76.

(18) Benacerraf, P., "Mathematical Truth", p. 403.

(19) Godel, K., "What is Cantor's Continuum Problema?", en: Benacerraf, P. y H. Putnam (eds.), Philosophy of Mathematics. Selected Readings 2nd Edition, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, pp. 483-484.

(20) Por una descripcion mas detallada del naturalismo, ver la seccion 4.3.

(21) Shapiro S., Thinking about Mathematics. The Philosophy of Mathematics, p. 221.

(22) Cargile, J., "On 'Alexander's' Dictum", en: Topoi, v. XXII, 2 (2003), pp. 143-149, p. 144.

(23) Cargile, J., "On 'Alexander's' Dictum", 2003.

(24) Shapiro, S., Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology, Nueva York: Oxford University Press, 1997.

(25) Por ejemplo, Baker, A., "Are there Genuine Mathematical Explanations of Physical Phenomena?", en: Mind, v. CXIV (2005), pp. 223-238; "Mathematical Explanation in Science", en: British Journal for the Philosophy of Science, v. LX (2009), pp. 611-633; Bangu, S., The Applicability of Mathematics in Science: Indispensability and Ontology, Nueva York: Palgrave Macmillan, 2012; Colyvan, M., The Indispensability of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2001; Resnik, M., Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press, 1997.

(26) Suppes, P., "Models of Data", en: Nagel, E. y otros (eds.), Logic, Methodology, and Philosophy of Science: Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford: Stanford University Press, 1962.

(27) Citado en Bangu, S., "On 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", en: Ippoliti, E. y otros, Models and Inferences in Science, Springer, 2016.

(28) Wigner, E., "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", en: Communications on Pure and Applied Mathematics, v. XIII (1960), pp. 1-14, p. 5.

(29) Ibid., p. 1.

(30) Citado en Colyvan, M., An Introduction to the Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 2012, p. 99.

(31) Estos ejemplos se discuten en Colyvan, M., The Indispensability of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2001, pp. 81-85.

(32) Penrose, R., The Eperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics, Oxford: Oxford University Press, 1989, p. 430.

(33) Ibid.

(34) Davies, P., The Mind of God, Londres: Penguin Book, 1992, p. 151.

(35) Humphreys, P., Extending Ourselves, Oxford: Oxford University Press, 2004, p. 90.

(36) Algo que puede hacernos ver la vastedad del ambito matematico es que el numero es bastante mas grande que el numero de atomos en el universo observable.

(37) Ver detalles en Humphreys, P., o.c., pp. 88-91.

(38) Ibid., p. 90.

(39) Bueno, O. y S. French, The Applicability of Mathematics in Science: Immersion, Inference and Interpretation, Oxford: Oxford University Press, 2018.

(40) Bueno, O., "An Easy Road to Nominalism", en: Mind, v. CXXI (2012), p. 980.

(41) Ibid., p. 973.

(42) Ibid.

(43) Ibid., p. 974.

(44) Cf., Bueno, O., "An Easy Road to Nominalism", y Bueno, O. y M. Colyvan, "An Inferential Conception of the Application of Mathematics", en: Nous, v. XLV, 2 (2011), pp. 345-374.

(45) Menciono algunas excepciones en la conclusion.

(46) Colyvan, M., The Indispensability of Mathematics, pp. 10-11.

(47) Citado en Resnik M., "Quine and the Web of Belief", en: Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005, p. 416.

(48) Citado en ibid., p. 414. El enfasis es mio.

(49) Particulas hipoteticas, o teoricas, son las que yo he llamado arriba "inobservables".

(50) Citado en Colyvan, M., The Indispensability of Mathematics, p. 10.

(51) Ibid., p. 11.

(52) Maddy, P., 'Three Forms of Naturalism", en: Shapiro, S. (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005, p. 454.

(53) Ibid., p. 456.

(54) Citado en Resnik, M., Mathematics as a Science of Patterns, p. 46.

(55) Field, H., Realism, Mathematics & Modality, Oxford: Basil Blackwell, 1989, p. 15.

(56) Ibid., p. 15.

(57) Adaptado de Baker, A., "Mathematical Explanation in Science", p. 613.

(58) Melia, J., "Weaseling Away the Indispensability Argument", en: Mind, v. CIX, n. 435 (2000), pp. 455-479; "Response to Colyvan", en: Mind, v. CXI (2002), pp. 75-79.

(59) Melia, J., "Weaseling Away the Indispensability Argument", p. 469.

(60) Cf., Melia, J., "Response to Colyvan", p. 76.

(61) Baker, A., "Are there Genuine Mathematical Explanations of Physical Phenomena?", en: Mind, v. CXIV (2005), pp. 223-238; "Mathematical Explanation in Science", en: British Journal for the Philosophy of Science, v. LX (2009), pp. 611-633.

(62) Colyvan, M., The Indispensability of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2001.

(63) Baker, A., "Mathematical Explanation in Science", p. 613.

(64) Baker, A., "Are there Genuine Mathematical Explanations of Physical Phenomena?", en: Mind, v. CXIV (2005), pp. 223-238.

(65) Cf., Baker, A., "Mathematical Explanation in Science", p. 620.

(66) Barrantes, M., "Optimal Representations and the Enhanced Indispensability Argument", en: Synthese, v. CXCVI, 1 (2019), pp. 247-263.

(67) Para detalles cf. ibid.

(68) Cargile, "On 'Alexander's' Dictum", en: Topoi, v. XXII, n. 2 (2003), pp. 143-149.

(69) Shapiro, S., Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology, Nueva York: Oxford University Press, 1997.

(70) Marcus, R., Autonomy Platonism and the Indispensability Argument, Lanham: Lexington Books, 2015.

https://doi.org/10.18800/arete.201901.001
COPYRIGHT 2019 Pontificia Universidad Catolica del Peru
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2019 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Barrantes, Manuel
Publication:Arete
Date:Jan 1, 2019
Words:12029
Previous Article:La fundamentacion pasiva de la experiencia. Un estudio sobre la fenomenologia de Edmund Husserl.
Next Article:Intelecto agente, motor inmovil y Dios en Aristoteles.
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2019 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters