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Estimativas da qualidade de linhas poligonais topograficas.

Quality estimations of topographical traverses

INTRODUCAO

O presente trabalho objetiva estabelecer uma rotina de procedimentos para avaliar estatisticamente os erros de fechamento das linhas poligonais topograficas e o ajustamento. Quando o resultado de um experimento estatistico e expresso por apenas um numero, a variavel aleatoria se diz unidimensional (GEMAEL, 1994). No caso da Topografia sera uma variavel aleatoria bidimensional e as componentes x e y consideradas isoladamente sao variaveis unidimensionais com variancia propria. As variancias [[sigma].sup.2.sub.i] e as covariancias [[sigma].sub.ij], (i [desigual a] j) das componentes de uma variavel n-dimensional podem ser dispostas da maneira a formar uma matriz quadrada de ordem n x n indicada por [SIGMA]:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (1)

A matriz [SIGMA], simetrica por ser [[sigma].sub.ij] = [[sigma].sub.ji], recebe o nome de matriz variancia-covariancia (MVC). No caso das componentes da matriz serem independentes entre si, as covariancias serao nulas e [SIGMA] degenera para uma matriz diagonal. As observacoes sao representacoes numericas de quantidades fisicas como, por exemplo, comprimento, angulo e peso obtidos por meio de medicoes e possuem nao apenas as flutuacoes aleatorias proprias das observacoes, mas tambem toda sorte de erros possiveis (DALMOLIN, 2004). A desconfianca no resultado de uma medida isolada, devido a possibilidade de falibilidade humana leva naturalmente a multiplicacao das observacoes ou medidas. Esta providencia leva ao problema de como extrair um resultado unico que represente com maior confianca a grandeza medida. As observacoes estao acometidas de erros devidos, principalmente, as falhas do operador, as imperfeicoes do equipamento de medicao e as condicoes do ambiente. Objetiva-se buscar uma estimativa do valor das grandezas medidas e a estimativa de precisao.

Os objetivos do ajustamento sao estimar mediante a aplicacao de modelos matematicos adequados e do metodo dos minimos quadrados (MMQ) um valor unico para cada uma das incognitas do problema e estimar a precisao de tais incognitas e a eventual correlacao entre elas. Destes objetivos decorrem: a) o ajuste nao elimina erros, b) a geometrizacao da figura que representa a geometria do problema, c) a extracao da pluralidade de observacoes incorretas em um unico resultado que representa com maior confianca a grandeza medida e d) a unicidade de resultados. O ajustamento e importante para depurar os erros aleatorios. Os erros sistematicos sao depurados com as formulas usuais.

MATERIAL E METODOS

A linha poligonal topografica (Figura 1) foi estabelecida no campus da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM). As coordenadas geodesicas (latitude e longitude) do centro do local do levantamento sao: [fi] =-29 43'00'' e [lambda] =-53 43'00'' e altitude ortometrica aproximadamente igual a 92m. As grandezas foram medidas com taquimetro eletronico marca Leica TCR 307 pelo metodo do caminhamento perimetrico ou poligonacao. Ao ponto inicial do levantamento, foram atribuidas as coordenadas cartesianas x=10.000m e y=10.000m e a linha 1-2 atribuiu-se o azimute 100[grados]. Foram calculadas a tolerancia dos erros, as compensacoes lineares e as coordenadas cartesianas dos demais vertices do poligono. O estudo de ajustamento de levantamentos mostrados em VERESS (1973) relaciona diversas maneiras de obtencao da acuracia como medida da qualidade. Na analise de um levantamento posajustado, obtem-se a elipse dos erros, a elipse de confianca, o erro de posicao e o erro medio. No ajustamento pelo MMQ, a deteccao de problemas e obtida mediante a aplicacao do teste qui-quadrado da forma quadratica dos residuos. Nesse teste, se a hipotese basica que compara a variancia da unidade de peso a priori com a variancia de peso a posteriori for rejeitada, existem problemas no ajustamento, cujas causas sao: a) erros nas observacoes; b) sistema malcondicionado; c) modelo matematico inadequado; d) erros de calculo; e) ponderacao erronea das observacoes; f) problemas na linearizacao (GEMAEL, 1994). No caso de erros nas observacoes, a localizacao das observacoes afetadas pode ser efetuada pelo teste data snooping de Baarda (KAVOURAS, 1982; MORAES, 1998).

Teste qui-quadrado da forma quadratica do erro de fechamento

Os dados necessarios para a aplicacao do teste qui-quadrado da forma quadratica do erro de fechamento sao: a) observacoes ou medicoes de angulos e distancias de uma linha poligonal; b) angulos horarios de cada vertice ([a.sub.hij]); c) distancias observadas entre os vertices ([S.sub.ij)]; d) desvio padrao ([[sigma].sub.a]) maximo para erro angular de cada observacao, obtido das especificacoes do instrumento utilizado e expresso em segundos de arco; e) desvio padrao ([[sigma].sub.s]) maximo para erro linear de cada observacao, obtido das especificacoes do instrumento; f) azimute provisorio ([A.sub.ij]) com norte verdadeiro ou atribuido; g) coordenadas provisorias ([??]) e ([??]) obtidas com os dados de campo. O teste qui-quadrado da forma quadratica dos residuos e elaborado segundo os procedimentos a seguir descritos.

Matriz variancia-covariancia das distancias ([[SIGMA].sub.Sij])

Os valores numericos que irao compor a diagonal da matriz sao obtidos, por meio da variancia especificada no instrumento.

MVC dos azimutes ([[SIGMA].sub.A]).

A matriz variancia-covariancia dos azimutes expressa por [[SIGMA].sub.A] = G. [[SIGMA].sub.a]. [G.sup.T] e obtida mediante a aplicacao da lei de propagacao das covariancias, em que G e a matriz das derivadas parciais da funcao: [A.sub.ij] = f([a.sub.i]), o que resulta em uma matriz quadrada gij=1, para i [mayor que o igual a] j e [g.sub.ij] = 0, para i < j); [[SIGMA].sub.a] e a MVC dos angulos horizontais, cujos valores numericos sao obtidos das especificacoes do instrumento, expresso em variancia.

MVC das distancias e azimutes

A matriz variancia-covariancia das distancias e dos azimutes e obtida mediante o agrupamento das matrizes variancia-covariancia das distancias e dos azimutes, na forma

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2)

MVC das coordenadas do ultimo ponto

Ao aplicar a lei de propagacao das covariancias para as coordenadas do ultimo ponto, obtem-se a MVC,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (3)

em que D e a matriz das derivadas parciais das funcoes [x.sub.n+1] = f(S,A)e [y.sub.n+1] = f(S,A):

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCIBLE EN ASCII]

em que [rho] e o fator que transforma quantidades dadas em radianos para segundos de arco e n e o numero de observacoes.

Aplicacao do teste

A estatistica do teste e q=[E.sup.T] x [[SIGMA].sup.-1.sub.x,y] x E, (5)

em que E, = [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] respectivamente os erros de fechamento na abscissa x e na ordenada y. Os valores de xe y sao as coordenadas fixas do ultimo ponto da linha poligonal, enquanto que e y sao as coordenadas provisorias do ultimo ponto da linha poligonal, obtida com os valores observados. A linha poligonal sera aceita caso o valor de q esteja dentro do intervalo dos valores da distribuicao de probabilidades qui-quadrado [[ji al cuadrado].sub.v, 0,5[alfa]] < q < [[ji al cuadrao].sub.v,1-0,5[alfa]] onde v=2 graus de liberdade, pois trata-se de duas dimensoes x e y, e nivel de significancia [alfa]. A estatistica q e uma distancia estatistica. Uma distancia estatistica do espaco de p dimensoes segue a distribuicao quiquadrado com p graus de liberdade (JOHNSON & WICHERN, 1998).

Ajustamento pelo metodo dos minimos quadrados

A linha poligonal desenvolvida no plano topografico mensura os angulos e as distancias e equacoes de observacao sao estabelecidas, uma para cada observacao. O modelo matematico parte de formulas diferenciais que exprimem a variacao do azimute e do comprimento do lado do poligono quando variam as coordenadas dos pontos extremos (MORAES, 1997). O modelo matematico do ajustamento parametrico (tambem chamado modelo das equacoes de observacoes) procura ao final o vetor das observacoes ajustadas [[lambda].sup.a], que e funcao dos parametros ajustados [x.sup.a] (DALMOLIN, 2004). Parametros sao as grandezas estimadas vinculadas as observacoes. O calculo do ajustamento segue varias partes descritas a seguir. As deducoes para obtencao das equacoes de observacao para a distancia e o angulo podem ser encontradas em STRINGHINI (2005).

Modelos matematicos

A equacao [[lambda].sup.a] = F ([x.sup.a]) (6) caracteriza o modelo parametrico. Esta e q u a c a o significa que as observacoes ajustadas [[lambda].sup.a] sao funcao explicita dos parametros ajustados [x.sup.a]. A forma linearizada do modelo matematico pela serie de Taylor e

[sub.n][A.sub.u] x [sub.u][X.sub.1] + [sub.n][[lambda].sub.1] = [sub.n][v.sub.1], em que,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2)

e a matriz cujos elementos sao as derivadas parciais das equacoes de observacoes de distancia e azimute, avaliadas com o vetor dos parametros aproximados [x.sup.o], x e o vetor-solucao do sistema de equacoes normais, [lambda] = [[lambda].sup.0] - [[lambda].sup.b], v e o vetor dos residuos, n e o numero de observacoes e u e o numero de parametros. O modelo parametrico precisa dos parametros aproximados, denotado pelo simbolo [x.sup.0] , que pode ser obtido como funcao do vetor de valores observados [[lambda].sup.b]. Uma vez determinado [x.sup.0], obtem-se [[lambda].sup.0] = f ([x.sup.0]) e a seguir [lambda] = [[lambda].sup.0] - [[lambda].sup.b].

Sistema de equacoes normais

Da minimizacao da forma quadratica fundamental do MMQ resulta o vetor-solucao (correcoes aos parametros aproximados) do sistema de equacoes normais x = - [([A.sup.T] x P x A).sup.-1] x [A.sup.T] x P x [lambda], em que P e a matriz dos pesos (inversa da MVC de distancias e angulos horizontais) multiplicada pela variancia da unidade de peso a priori, e [lambda] e o vetor dos termos independentes. Os elementos da matriz A sao [K.sub.ij] = sen [A.sub.ij] e [K.sub.ik] = sen [A.sub.ik] para o diferencial dx em relacao a distancia, e [L.sub.ij] = cos [A.sub.ij] e [L.sub.ik] = cos [A.sub.ik] para a diferencial dy em relacao a distancia; e

[P.sub.ij] = 648.000/[pi] x [S.sub.ij] cos [A.sub.ij] e

[P.sub.ik] = 648.000/[pi] x [S.sub.ik] cos [A.sub.ik] para o diferencial

dx em relacao ao angulo;

[Q.sub.ij] = 648.000/[pi] x [S.sub.ij] sen [A.sub.ij] e

[Q.sub.ik] = 648.000/[pi] x [S.sub.ik] cos [A.sub.ik] para o direcial

dy em relacao ao angulo.

A matriz dos pesos P e matriz diagonal quando as covariancias sao nulas:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

O vetor de termos independentes ([lambda]) e formado das seguintes diferencas:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Vetores

Vetor de coordenadas ajustadas

[x.sup.a] = [x.sup.o] + x. (7)

Vetor de residuos

v = A x x + [lambda]. (8)

Vetor de valores observados ajustados

[[lambda].sup.a] = [[lambda].sup.b] + v. (9)

Variancia da unidade peso a posteriori

[[??].sup.2.sub.0] = [v.sup.T] x P x v/n - u = [x.sup.T] x [A.sup.T] x P x l + [l.sup.T] x P x l (10)

em que n - u e o numero de graus de liberdade.

Matrizes variancia-covariancias (MVC) MVC do vetor de coordenadas ajustadas:

[[suma].sub.[x.sup.a]] = [[??].sup.2.sub.o] [([A.sup.T] x P x A).sup.-1] (11)

MVC do vetor de valores observados ajustados:

[[suma].sub.[l.sup.a]] = [[??].sup.2.sub.o] x A[([A.sup.T] x P x A).sup.-1] [A.sup.T] = [[??].sup.2.sub.o] x A x [N.sup.-1] x [A.sup.T] (12)

MVC dos residuos: [[suma].sub.v] = [[??].sup.2.sub.o] x [P.sup.-1] - [[suma].sub.[l.sup.a]] (13)

Iteracoes

Os modelos matematicos que ocorrem com mais frequencia em Topografia e em Geodesia sao nao-lineares. A omissao de termos da serie de Taylor e a adocao de valores iniciais aproximados introduzem erros no ajustamento. O vetor [x.sup.a] e [[lambda].sup.a] seriam os resultados finais de um ajustamento pelo metodo dos minimos quadrados se os vetores [x.sup.o] e [[lambda].sup.b], que foram utilizados na serie de Taylor, estivessem suficientemente proximos de [x.sup.a] e [[lambda].sup.a], respectivamente. Caso contrario, as iteracoes sao necessarias. Nas iteracoes, os primeiros resultados obtidos em uma etapa tornam-se valores aproximados da etapa seguinte e assim sucessivamente. Durante a iteracao: os componentes do vetor x diminuem, aproximando-se de zero; a forma quadratica fundamental [v.sup.T] x P x v tende e a MVC [[SIGMA].sub.xa] tendem a se estabilizar.

Teste qui-quadrado da forma quadratica dos residuos

A comparacao de [[sigma].sup.2.sub.0] com [[??].sup.2.sub.0] se baseia no fato de que a forma quadratica fundamental [v.sup.T] x P x v tem distribuicao [ji al cuadrado] com (n - u) graus de liberdade (GEMAEL, 1994) e tem por finalidade verificar se estatisticamente [[sigma].sup.2.sub.0] e igual a [[??].sup.2.sub.0] ; esta ultima, obtida do ajustamento. Esta comparacao e efetuada pelo teste qui-quadrado da forma quadratica dos residuos que compreende as seguintes partes: a) enunciacao das hipoteses basica e alternativa:

[H.sub.0] : [[sigma].sup.2.sub.0] = [[??].sup.2.sub.0] e [H.sub.1] : [[sigma].sup.2.sub.0] [desigual a] [[??].sup.2.sub.0] ;b) estatistica calculada:

[[ji].sup.*2] = [[??].sup.2.sub.0]/[[sigma].sup.2.sub.0](n - u),

com [[ji].sup.*2] = [[??].sup.2.sub.0]/[[sigma].sup.2.sub.0](n - u), c) estatisticas da distribuicao de probabilidade qui-quadrado: [[ji al cuadrado].sub.v; 0,5[alfa]] e [[ji].sup.2.sub.v;1-0,5[alfa]]; d) decisao: H e aceita, ao nivel de significancia [alfa], se

[[[ji al cuadrado].sub.v; 0,5[alfa]] < [[ji].sup.*2] < [[[ji al cuadrado].sub.v; 1-0,5[alfa]].

Teste data snooping de Baarda

O teste data snooping de Baarda compreende as seguintes partes: a) enunciacao da hipotese basica [H.sub.o]: nenhum erro existe na observacao

[[lambda].sub.i]; b) estatistica do teste:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para i = 1, 2, k, n; em que [r.sub.i] chamase numero-redundancia obtido da diagonal da matriz idempotente

R = 1/[[??].sup.2.sub.0][[suma].sub.v] x P; c) decisao do teste: rejeita-se [H.sub.o] se [valor absoluto de [w.sub.i]] < k, em que k e um valor critico conforme o nivel de confianca especifico; se 1-[alfa] = 95% [??] k = 1,96 e 1-[alfa] = 99% [??] k = 2,57.

Elipse dos erros, elipse de confianca, erro de posicao e erro medio de posicao

A elipse de erros ou elipse padrao apresenta uma probabilidade igual a 39,4%, isto e, um nivel de confianca 1-[alfa] = 0,394, de que as coordenadas estimadas estejam na superficie da elipse (VERESS, 1973; GEMAEL, 1994). Para se obter a dimensao de uma elipse para um nivel de probabilidade maior que 1-[alfa] = 0,394, deve-se multiplicar cada um dos semi-eixos da elipse dos erros por um fator e esta nova elipse chama-se elipse de confianca. Os parametros da elipse sao os semi-eixos maior a e menor b e o angulo de orientacao ??calculados pelas formulas: [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. O raio do circulo de erro de posicao, denotado pelo simbolo [[sigma].sub.p], e a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios-padrao. A sua equacao e [[sigma].sub.p] = [raiz cuadrada de][[sigma].sup.2.sub.x] + [[sigma].sup.2.sub.y]], enquanto que o circulo do erro medio e [[sigma].sub.m] = [[sigma].sub.m] = [raiz cuadrada de] [[sigma].sup.2.sub.x] + [[sigma].sup.2.sub.y]]/2 = [[sigma].sub.p]/[raiz cuadrada de 2].

RESULTADOS E DISCUSSAO

A figura 1 apresenta a linha poligonal, cujas observacoes foram objeto de estudo. As coordenadas do Ponto 1 sao admitidas sem nenhuma variabilidade. As estimativas da qualidade das coordenadas de cada ponto da linha poligonal sao os semi-eixos da elipse dos erros, os semi-eixos da elipse de confianca, o angulo de orientacao da elipse, o raio do circulo do erro de posicao e o raio do circulo do erro medio de posicao (Tabela 1). A elipse de confianca foi calculada para a probabilidade 1 - [alfa] = 0,950. Isso representa que cada semi-eixo da elipse dos erros foi multiplicado pelo fator [[ji al cuadrado].sub.2;0,950] = [raiz cuadrada de 5.9915] = 2,45.

Em relacao ao Ponto 1, os Pontos 2 a 9 apresentam elipses dos erros com os valores situados de 3,5837mm a 10,8370mm para o semi-eixo maior e de 2,9471mm a 4,7351mm para o semi-eixo menor. Verificase que os valores menores do semi-eixo maior sao os dos Pontos 2 e 9, justamente por estarem proximos do Ponto 1, e os valores maiores sao os dos Pontos 5 e 6, que sao os pontos mais afastados. Em consequencia dos valores dos semi-eixos da elipse dos erros, tem-se, para os Pontos 2 e 9, os valores menores do semi-eixo maior das suas elipses de confianca e os valores menores dos raios dos circulos do erro de posicao. Para os Pontos 5 e 6 tem-se os valores maiores do semi-eixo maior de suas elipses de confianca e os valores maiores dos raios dos circulos do erro de posicao.

Os angulos de orientacao das elipses sao todos do 1 quadrante, o que indica que as elipses sao alongadas nos quadrantes nordeste e sudoeste.

Aplicacao do teste qui-quadrado do erro de fechamento

Resolve-se a equacao q = [E.sup.T] ([[suma].sup.-1.sub.xy]) E e obtem-se a estatistica q = 7,61. As estatisticas teoricas qui-quadrado ao nivel de significancia [alfa] = 1% e v = 2 graus de liberdade valem [[ji al cuadrado]].sub.2;0,005] = 0,01 e [[ji al cuadrado].sub.2;0,995] = 10,60, que comparadas com a estatistica q permitem aceitar as medidas de angulo e de distancia da linha poligonal. Este teste leva em conta os erros acidentais e por esse motivo e adequada a sua aplicacao as linhas poligonais topograficas.

Aplicacao do teste qui-quadrado da forma quadratica dos residuos

Resolve-se a equacao

[ji].sup.*2] = [[??].sup.2.sub.o]/[[sigma].sup.2.sub.o](n - u) ~ [[ji al cuadrado].sub.(n-u)]

e obtem-se a estatistica [ji].sup.*2] = 4,41. Ao nivel de significancia [alfa] = 1% e v = 2 graus de liberdade, as estatisticas teoricas qui-quadrado comparadas com a estatistica [ji].sup.*2] indicam que nao existem erros significativos nas medidas de angulo e de distancia da linha poligonal, assim como nao existem erros no processo de ajustamento.

Aplicacao do teste Data Snooping de Baarda

Resolve-se a equacao

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

para i = 1,2, ..., 18. O menor e o maior valor das estatisticas [w.sub.i], em valor absoluto, sao [w.sub.12] = 0,06 e [w.sub.1] = 2,22, que comparadas com a estatistica teorica da distribuicao normal padronizada na probabilidade 1 - [alfa]/2 = 0,995, de valor k = 2,57 mostram que nao ha erro em nenhuma das observacoes de angulo e de distancia da linha poligonal.

Estes tres testes estatisticos decidiram sobre a nao existencia de erros, ao nivel de significancia [alfa] = 1%, nas observacoes de distancia e de angulo da linha poligonal. A inexistencia de erros decorre da geometria escolhida para estabelecer os pontos da linha poligonal, do instrumental escolhido, das condicoes ambientais, dos cuidados do operador em campo e do modelo matematico de ajustamento pelo MMQ.

CONCLUSAO

Em uma linha poligonal, as estimativas de qualidade sao calculadas antes e apos o ajustamento pelo MMQ.

Antes do ajustamento, a estatistica q indica que nao existem erros, ao nivel de significancia ?=1%, nas observacoes de distancia e de angulos.

Apos o ajustamento, ao nivel de significancia [alfa] = 1%, a estatistica [ji].sup.*2] indica a inexistencia de erros nas observacoes e no processo de ajustamento. As estatisticas [w.sub.i] indicam a inexistencia de erros em cada observacao de angulo e de distancia, ao nivel de significancia ?=1%. A elipse de cada ponto sera tanto maior quanto mais afastado estiver o ponto do ponto considerado fixo na linha poligonal.

[FIGURA 1 OMITIR]

REFERENCIAS

DALMOLIN, Q. Ajustamento por minimos quadrados. 2.ed. Curitiba: UFPR, 2004. 175p.

GEMAEL, C. Introducao ao ajustamento de observacoes: aplicacoes geodesicas. Curitiba: UFPR, 1994. 319p.

JOHNSON, R.A.; WICHERN, D.W. Applied multivariate statistical analysis. 4.ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 1998. 816p.

KAVOURAS, M. On the detection of outliers and the determination of reliability in geodetic networks. New Brunswick: Departament of Surveying Engineering. Fredericton: University of New Brunswick, 1982. 121p. (Technical Report, n.87).

MORAES, C.V. Aplicacao do ajustamento as poligonais. 1997. 162f. Dissertacao (Mestrado em Ciencias Geodesicas) Curso de Pos-graduacao em Ciencias Geodesicas, UFPR, Curitiba.

MORAES, C.V. Analise de erros grosseiros e confiabilidade de redes geodesicas. Cartografia e Cadastro, Lisboa, n.8, p.7786, 1998.

STRINGHINI, M. Ajustamento e controles de qualidade aplicaveis as linhas poligonais. 2005 . 129f. Dissertacao (Mestrado em Geomatica) - Curso de Pos-graduacao em Geomatica, UFSM.

VERESS, S.A. Measures of accuracy for analysis and design of survey. Surveying and Mapping, Washington DC., v. XXIII, n.4, p.435-442, 1973.

Mario Stringhini (I) Carlito Vieira de Moraes (II) Julio Cesar Farret (II)

(I) Instituto Nacional de Colonizacao e Reforma Agraria (INCRA). Av. Loureiro da Silva, 515, sala 410, 90010-420, Porto Alegre, RS, Brasil. E-mail: mario.stringhini@poa.incra.gov.br. Autor para correspondencia.

(II) Departamento de Engenharia Rural, Centro de Ciencias Rurais (CCR), Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Santa Maria, RS, Brasil.

Recebido para publicacao 10.04.07 Aprovado em 13.02.08
Tabela 1--Elipse dos erros, elipse de confianca, raio do circulo
do erro de posicao e raio do circulo do erro medio de posicao.

           Elipse dos erros         Elipse de confianca

         (1--[alfa] = 0,394)      (1--[alfa] = 0,950)

Ponto     a [mm]       b [mm]       a [mm]       b [mm]

2         3,6466       2,9471       8,7518       7,0730
3         6,5137       3,9475      15,6329       9,4740
4         7,7357       4,4508      18,5657      10,6818
5        10,8370       4,7351      26,0088      11,3643
6        10,3620       4,5148      24,8687      10,8355
7         6,1168       3,9374      14,6804       9,4499
8         5,0253       3,3772      12,0606       8,1053
9         3,5837       2,9746       8,6009       7,1390

                                   Raio do      Raio do
                                  circulo do   circulo do
                                   erro de     erro medio
         Angulo de orientacao      Posicao     de posicao
Ponto           [gamma]              [mm]         [mm]

2        87[grados]05'51,3725"      4,6886       3,3153
3        83[grados]49'15,7542"      7,6165       5,3857
4        80[grados]36'12,3688"      8,9247       6,3107
5        75[grados]06'14,0240"     11,8263       8,3625
6        71[grados]08'58,1384"     11,3028       7,9923
7        71[grados]45'45,0768"      7,2745       5,1439
8        87[grados]53'44,7088"      6,0547       4,2813
9        79[grados]00'43,2395"      4,6574       3,2933
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Title Annotation:texto en portugues
Author:Stringhini, Mario; Vieira de Moraes, Carlito; Farret, Julio Cesar
Publication:Ciencia Rural
Date:Sep 1, 2008
Words:4225
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