# Elements d'une construction axiomatique de la theorie des fonctions presque periodiques.

Abstract: This paper presents an axiomatic approach for the construction of spaces of almost periodic functions (Poincare, Bohr, Besicovitch [2] and [3]; all these spaces are classical in the theory of almost periodic functions). Other known spaces, like Stepanov's or Weyl's, could be also treated in this framework. But Stepanov's space is part of Besicovitch's, while Weyl's space does not appear in applications (mechanics, physics etc.), to the best of our knowledge. This approach to oscillation theory is applicable in more general cases than almost periodicity, as indicated in our paper [8]. The space constructed there is more general than other spaces of oscillatory functions (for instance, the spaces of Osipov, V.F. or Zhang Chuanyi, also in the list of references). Our approach, which also relies on principles of functional analysis, establishes a more direct connection between function and associated series, than in the classical framework. This fact is illustrated by some applications to functional equations in several papers of this author and his former students Y. Li and Mehran Mahdavi.

Keywords: almost periodic functions, formal series, functional equations, axiomatic theory.

MSC2010: 42A75, 43A60, 34C27, 34K14.

1 Introduction

Le developement historique de la theorie mathematique des phenomenes oscillatoires et ondulatoires a commence, il y a plus de deux cents annees, par les contributions des mathematiciens comme Euler, Fourier, en continuant par celles de Riemann, Poincare et beaucoup d'autres.

Une premiere phase dans le developement de ce qu'on appelle Analyse de Fourier, ou analyse Harmonique (plus tard), se trouve dans les traites encyclopediques de Nina K. Bari (voir la traduction anglaise, Pergamon Press, 1964) et de Antoni Zygmund (Cambridge University Press, 2002). Ces ouvrages portent le meme titre, Series Trigonometriques.

Pendant la troisieme decade du XX-eme siecle, notamment due a Harold Bohr (1889-1951), une nouvelle phase a commencee pour la theorie des fonctions oscillantes, par l'introduction du concept de presque periodicite. Cette seconde periode est encore dans un processus d'evolution spectaculaire, particulierement du aux applications multiples dans differents domaines de la recherche mathematique, pure et appliquee.

Il faut aussi mentionner les contributions qui proviennent de la recherche des ingenieurs. De ce cote, les problemes qui n'appartiennent aux cas periodique ou presque periodique ont conduit recemment a l'etude de nouvelles classes de fonctions a caractere oscillatoire. Quelques articles de Ch. Zhang [19], [20], [21], [22] ont mis en evidence de telles classes de fonctions oscillatoires, beaucoup plus generales par rapport aux cas periodique ou presque periodique.

A l'exception du livre de V.F. Osipov [16], dans lequel une complete theorie est presentee du cas de Bohr-Fresnel presque periodiques fonctions, aussi bien que les "ondes de Wiener", les travaux de Ch. Zhang semblent d'etre les premieres dans ce qu'on peut, sans doute, considerer comme la troisieme periode du developement de l'Analyse de Fourier.

La construction axiomatique, que nous allons envisager dans cet article, regarde particulierement la seconde phase, c'est-a-dire le cas des fonctions presque periodiques qui contient aussi les fonctions periodiques. Il y a plusieurs espaces de telles fonctions et, pour les construire, nous prendrons comme materiel primaire les series formelles de la forme [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] ou [a.sub.k] [member of] C = le corp complexe et [[lambda].sub.k] [member of] R = les nombres reels, k [greater than or equal to] 1. Apres avoir organise certaines parties de cet ensemble, designe par ST, comme espaces lineaires sur C, on ajoutera des axiomes pour obtenir des structures mixtes (algebriques et topologiques), qui vont representer differents espaces/classes de fonctions presque periodiques ou oscillatoires.

En partant de ST, on obtient pratiquement tous les espaces classiques de fonctions presque periodiques.

Mais, en changeant ST par l'ensemble de series formelles du type [[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp[i[[lambda].sub.k](t)], soit STG, ou [[lambda].sub.k](t), k [greater than or equal to] 1, sont choisies dans une classe de fonctions, au moins localement integrables sur R et satisfaisant certaines conditions d'orthogonalite de la forme

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

on obtiendra de nouvelles classes de fonctions oscillatoires.

Ce dernier aspect concernant la construction de nouvelles classes de fonctions oscillantes, plus generales que les fonctions presque periodiques, sera traite en detail dans un autre article.

2 Espace lineaire de series formelles

L'objet de ce paragraphe est de preciser, ce que d'ailleurs represente une chose assez elementaire, le fait que les axiomes des espaces lineaires sont satisfaits par divers sous-ensembles de l'ensemble des series formelles ST,

[[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp(i[[lambda].sub.k]t) (2.1)

ou [a.sub.k] [member of] C et [[lambda].sub.k] [member of] R, k [greater than or equal to] 1. Les coefficients [a.sub.k] et les exposants [[lambda].sub.k] sont choisis d'une maniere arbitraire, mais nous admettons toujours la condition

[[lambda].sub.k] [not equal to] [[lambda].sub.j], k [not equal to] j, k, j [member of] N. (2.2)

Parmi les coefficients [a.sub.k], k [greater than or equal to] 1, on pourra admettre le nombre zero, mais une serie contenant des coefficients egaux aux zero sera consideree identique a la serie qui contient seulement les termes pour lesquels les coefficients ne sont pas egaux aux zero.

Les axiomes d'un espace lineaire E de series formelles, de la forme (2.1), sont:

[A.sub.1]. L'espace est organise comme un groupe commutative (operation aditive).

[A.sub.2]. Une operation de multiplication par des scalaires est definie, dans notre cas sur C x E, satisfaisant aux conditions:

1) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

2) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

3) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

4) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Il s'ensuit de 1) que le nombre 1 [member of] C est l'unite multiplicative. Aussi, on obtient que la multiplication par (-1) conduit a l'element oppose, par rapport a l'operation groupale dans E.

Il est utile de rappeler que l'adition des deux series formelles sera effectuee selon la regle suivante: tout d'abord, si l'on a un nombre fini ou une infinite denombrable de series (2.1), alors l'ensemble de leurs exposants est au plus denombrable. Par consequent, en ajoutant des termes a coefficients zero, on peut representer chaque serie avec une seule suite d'exposants.

Avant de passer a la construction de divers espaces de fonctions presque periodiques, nous ferons une remarque concernant les polynomes trigonometriques. Ils sont de "vraies" fonctions, qui ont servi a la constructions de divers espaces de fonctions presque periodiques, par la methode de completer certains espaces metriques. Voir, par exemple, Corduneanu [5].

Cette remarque est la suivante: considerons le sous-ensemble de ST, avec la propriete que toute serie appartenant au sous-ensemble contient seulement un nombre fini de termes. Autrement dit, la serie [[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp(i[[lambda].sub.k]t) est telle que [a.sub.k] = 0 for tout k > K, en designant par K un nombre entier et positif, quelconque.

Nous allons designer par T l'ensemble des polynomes trigonometriques a coefficients complexes et exposants reels. En completant T apres l'introduction de diverses normes, on obtient des espaces de fonctions presque periodiques.

En ce qui suit, nous allons suivre une autre voie pour obtenir de tels espaces, en ajoutant divers axiomes aux axiomes [A.sub.1], [A.sub.2].

3 L'Espace A[P.sub.1](R,C) de Poincare

L'espace A[P.sub.1](R,C) contient toute serie de la forme [[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp(i[[lambda].sub.k]t), with [a.sub.k] [member of] C, [[lambda].sub.k] [member of] R, k [greater than or equal to] 1, ainsi que l'axiome suivante est satisfaite:

[A.sub.3]. La serie (numerique) des valeurs absolues des coefficients est convergente

[[infinity].summation over (k=1)] | [a.sub.k] | < [infinity]. (3.1)

Il est evident que les exposants [[lambda].sub.k] ne sont pas impliques dans (3.1).

Un bon nombre de consequences peut etre obtenu de (3.1). Pres de tout, (3.1) assure la convergence uniforme sur R de la serie [[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp(i[[lambda].sub.k]t). C'est-a-dire, la fonction

f(t) = [[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp(i[[lambda].sub.k]t), t [member of] R, (3.2)

est presque periodique au sens de Bohr et la serie de Fourier associee converge absolument et uniformement sur R.

Il est bien connu que ces fonctions constituent une algebre de Banach. Pour des details sur cette classe de fonctions, voir, par exemple, Corduneanu [5].

L'espace A[P.sub.1](R,C) est le plus souvent rencontre dans les applications, specialement quant on veut obtenir les solutions presque periodiques de diverses classes d'equations fonctionnelles.

Pour conclure ce paragraphe, nous remarquons le fait que les axiomes [A.sub.1], [A.sub.2], [A.sub.3] caracterisent l'espace des fonctions presque periodiques (ou bien l'algebre de Banach de telles fonctions) a serie de Fourier absolument convergente. Nous avons appele cet espace, l'espace de Poincare.

4 L'Espace de Harald Bohr

Pour obtenir cet espace de fonctions presque periodiques, le premier qui a ete etudie en profondeur et qui marque le commencement de la seconde periode du developement de l'Analyse de Fourier, nous allons imposer l'axiome suivant.

[A.sub.4]. Les series de la forme (2.1) qui sont sommables selon la methode de Cesaro-Fejer-Bochner, par rapport a la convergence uniforme sur R, constituent les elements de l'espace de fonctions presque periodiques au sens de Bohr.

L'espace de Bohr, qui est designe par AP(R,C), est evidemment plus riche que l'espace A[P.sub.1](R,C) de Poincare et jouit des proprietes remarquables, que nous mentionnons ci-apres:

1) Chaque fonction presque periodique au sens de Bohr est bornee et uniformement continue sur R.

En effet, il s'ensuit de A4 que chaque fonctionf(t) [member of] AP(R,C) est la limite uniforme sur R d'une sequence de polynomes trigonometriques:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (4.1) ou

[T.sub.n](t) = [m.summation over (k=1)] [a.sub.nk] exp(i[[lambda].sub.k]t), m = m(n). (4.2)

Mais les [T.sub.n](t), n [greater than or equal to] 1, sont contenus dans AP(R,C) par la definition de l'espace de Bohr. Par consequent, la fonction f(t) est a la fois bornee et uniformement continue sur R, ces proprietes etant preservees par la convergence uniforme sur R.

2) La somme et le produit de deux fonctions dans AP(R,C) appartiennent au meme espace.

On obtient sans difficulte la preuve, en tenant compte de 1) et (4.1).

La propriete 2) nous enseigne que AP(R,C) peut etre organise comme une algebre de Banach (en particulier, comme un espace de Banach, la norme etant f [right arrow] sup{|f(t)|; t [member of] R}).

3) En meme temps que f, les fonctions [bar.f], [f.sub.h] (t) = f(t + h), [f.sup.h](t) = f(ht), h [member of] R, cf avec c [MEMBER OF] C sont aussi en AP(R,C).

Nous remarquons le fait qu'il est possible de demonter tout autre propriete des fonctions presque periodiques de Bohr, des qu'on connait la propriete d'approximation exprimee par [A.sub.4] ou (4.1). Voir le livre Corduneanu [4], dans lequel on prend cette propriete comme definition. Aussi, on y montre que la definition par la propriete d'approximation est equivalente a la propriete 4) de Bochner:

4) L'ensemble des translatees F = {f(t + h); h [member of] R}, f [member of] AP(R,C), est relativement compact par rapport a la convergence uniforme sur R.

De la meme maniere on prouve le fait que la definition de Bohr est equivalente a la propriete d'approximation et a celle de Bochner:

5) Si f [member of] AP(R,C), alors pour tout [epsilon] > 0 on peut trouver l = l([epsilon]) > 0, de telle maniere que tout intervalle (a, a + l) [member of] R contient un nombre [tau], pour lequel |f(t + [tau]) - f(t)| < [epsilon], t [member of] R.

La theorie des fonctions presque periodiques de Bohr est exposee dans les livres: Bohr [3], Besicovitch [2], Favard [10], Levitan [13], Corduneanu [4], [5], Fink [11], Amerio et Prouse [1], Levitan et Zhikov [13], Zaidman [18], Ch. Zhang [19], et des applications dans la theorie des equations fonctionnelles ont ete illustrees.

5 L'Espace de Besicovitch [B.sup.2] (R,C)

Aux axiomes de l'espace lineaire [A.sub.1], [A.sub.2], on ajoute l'axiome

[A.sub.5]. Les coefficients des series de l'espace de Besicovitch [B.sub.2] (R,C) satisfont a la condition

[[infinity].summation over (k=1)] |[a.sub.k]| < [infinity]. (5.1)

La condition de convergence (5.1) est moins restrictive que (3.1). En effet, (5.1) nous montre que la sequence {[a.sub.k]; k [greater than or equal to] 1} [subset] C est bornee. C'est-a-dire, il existe M > 0 avec la propriete |[a.sub.k]| [less than or equal to] M, k [greater than or equal to] 1. Par consequent, on aura [| [a.sub.k] |.sup.2] [less than or equal to] M | [a.sub.k] |, ce qui nous assure que la condition (3.1) est plus forte que (5.1). Ce fait implique l'inclusion [l.sup.1] (N, C) [subset] [l.sup.2] (N, C). En d'autres termes, l'axiome [A.sub.3] est plus forte qu' [A.sub.5].

Voyons maintenant quelle sorte de proprietes peut on obtenir a partir des axiomes [A.sub.1], [A.sub.2], [A.sub.5]. Le resultat suivant est enonce et demontre dans Corduneanu [8].

Lemma 5.1. A chaque serie [[infinity].summation over (k=1)] [a.sub.k] exp(i[[lambda].sub.k]t) [member of] ST, satisfaisant a l'axiome [A.sub.5], on peut associer une fonction f(t) [member of] [??] (R,C) de telle maniere que

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5.2)

L'egalite (5.2) est connue sous le nom de l'egalite (ou la formule) de Parseval. Il faut preciser ici que la fonction f(t) n'est pas uniquement definie par (5.2). Toute autre fonction g [member of] [??] (R,C), telle que

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5.3)

satisfait aussi a l'egalite (5.2). Ca s'explique simplement par le fait que (5.1) n'implique pas les exposants [[lambda].sub.k], k [greater than or equal to] 1, qui peuvent etre arbitraires dans R. La relation (5.3) est une relation d'equivalence dans [??] (R,C) et elle jouit un role principal pour definir l'espace [B.sup.2] (R,C) comme un espace facteur. Les details sont donnees dans l'article cite plus haut.

Une propriete fondamentale, de laquelle on peut deduire beaucoup d'autres est que [B.sup.2](R,C) est un espace de Banach sur C. La norme est celle induite par la moyenne de Poincare (semi-norme)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5.4)

quand on passe a l'espace facteur.

Autre fonction g [member of] [L.sup.2](R,C), avec la propriete (5.3), aura la meme serie associee que f (f [equivalent] g).

Le fait que l'espace [B.sup.2](R,C) est un espace de Banach sur C nous conduit automatiquement aux proprietes suivantes:

1) Si f, g [member of] [B.sup.2] et [alpha], [beta] [member of] C, alors [alpha]f + [beta]g [member of] [B.sup.2];

2) Si f [member of] [B.sup.2] et [f.sub.h] = f(t + h), h [member of] R, alors [f.sub.h] [member of] [B.sup.2]; aussi [f.sup.h] = f(ht) [member of] [B.sup.2];

3) La propriete de Bochner. L'ensemble des translatees F = {f(t + h); h [member of] R} est relativement compact par rapport a la convergence forte (i.e., en norme) de [B.sup.2](R,C);

4) La propriete de Bohr. A tout [epsilon] > 0 on peut associer un nombre l = l([epsilon]) > 0, avec la propriete que chaque intervalle (a, a + l) [subset] R contient un nombre [tau] pour lequel [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], t [member of] R.

Les proprietes 3) et 4) sont demontrees dans Corduneanu [5, Ch. 3], en partant du fait que chaque fonction f [member of] [B.sup.2](R,C) est la limite, en [B.sup.2](R,C), d'une suite de polynomes trigonometriques.

D'autres proprietes de l'espace [B.sup.2](R,C) s'obtient en partant de la propriete d'approximation par des polynomes trigonometriques, par rapport a la convergence induite par la norme de cet espace. Par exemple, l'existence de la moyenne (de Poincare) de chaque f [member of] [B.sup.2](R,C),

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5.5)

resulte d'une maniere assez simple de la formule de representation, valide pour tout [epsilon] > 0,

f(t) = [T.sub.[epsilon]](t) + r(t), t [member of] R, (5.6)

ou [T.sub.[epsilon]](t) [member of] T, avec r [member of] [??] (R,C) satisfaisant

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5.7)

L'existence de M{f} sera obtenue dans un cas plus general de l'espace B(R,C).

6 L'Espace de Besicovitch B(R,C)

Dans son bien-connu livre [2], Besicovitch s'est occupe en detail de l'espace B(R,C), le premier dans la classe de ses espaces de fonctions presque periodiques [B.sup.P](R,C), 1 [less than or equal to] p < [infinity]. L'espace B(R,C) correspond au choix p = 1, et dans ce cas, il y a plusieurs obstacles d'achever la construction, par rappport aux cas p > 1. Besicovitch utilise la seminorme

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (6.1)

qui n'est autre chose que la valeur moyenne de Poincare de |f(t)|. La construction n'est pas assez naturelle, par comparaison aux cas p > 1, et certains exploits ne semblent conduire a l'espace qui pourra servir les besoins des applications.

Nous avons propose, Corduneanu [5], la construction suivante, qui n'est pas completement dans l'esprit des cas precedents, mais qui nous conduit par des methodes rigoureuses a l'espace B(R,C). Plus precisement, nous allons suivre les etapes suivantes.

1) On considere sur l'espace de Bohr AP(R, C) la fonctionnelle de Poincare

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (6.2)

qui est definie sur l'espace entier et est sous-aditive. Le membre droit de (6.2) est designe par M{|f|} et f [right arrow] M{|f|}, f [member of] AP(R,C) nous fournit une autre norme sur AP(R,C). Voir, par exemple, Corduneanu [8], ou l'on demontre que la norme || f || = sup|f(t)|, t [member of] R, et M{|f|} sont toujours non equivalentes. On va designer cet espace by A[P.sub.M](R,C) et notons qu'il n'est pas complet.

2) On considere puis l'espace unique qui s'obtient par le processus de completer A[P.sub.M](R,C). Ce nouvel espace est complet, et la fonctionnelle f [right arrow] M{|f|} qui est le prolongement de (6.1) sur l'espace complete, soit A[P.sub.M](R,C), nous permet, selon le theoreme de Hahn-Banach, de definir la fonctionnelle moyenne f [right arrow] M{f} sur tout A[P.sub.M](R,C). C'est-a-dire, par la formule

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (6.3)

nous avons defini la valeur moyenne de chaque fonction de A[P.sub.M](R,C). Il ne reste qu'a prendre l'espace facteur A[P.sub.M]/[N.SUB.0], ou [N.sub.0] est la variete lineaire de A[P.sub.M] sur laquelle M{f} = 0, f [member of] [N.sub.0].

De telle maniere on obtient l'espace de Banach qu'on designe par B(R,C). Il va de soi que chaque element de B(R,C) est une classe d'equivalence selon la relation donnee par

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (6.4)

3) La fonctionnelle (6.3) jouit un role tres important dans l'Analyse de Fourier. A l'aide de cette fonctionnelle, on peut attacher une serie trigonometrique de la forme (3.2) a toute fonction de l'espace B(R,C). Pour les details de cette construction, nous renvoyons le lecteur au livre Corduneanu [5].

On obtient, de cette facon, une correspondance biunivoque de l'espace B(R,C) et l'ensemble des series, de la forme (3.2), qui caracterisent les elements de B(R,C).

Une question interessante est de trouver une description de l'ensemble de telles series, independante de la voie que nous avons suivie plus haut.

On sait, par exemple, que la sequence des coefficients d'une telle serie satisfait {[a.sub.n]; n [greater than or equal to] 1} C [l.sup.[infinity]](N,C). Mais celle propriete de la serie (3.2), correspondante a une fonction de B(R,C), est seulement necessaire.

Une remarque finale concernant l'espace B(R,C) se rapporte a l'utilisation de cet espace dans les constructions perinentes a l'Analyse de Fourier et ses generalisations. On peut citer les fonctions pseudo presque periodiques de Ch. Zhang [19]. Dans la definition de cette classe de fonctions oscillatoires, les perturbations permises sont bornees sur R, mais elles sont aussi mesurees a l'espace B(R,C). Une autre utilisation de l'espace B(R,C), dans la theorie des equations fonctionnelles, se trouve dans Corduneanu [7].

7 Les espaces A[P.sub.r](R,C), 1 [less than or equal to] r [less than or equal to] 2

Nous commencons par la remarque que A[P.sub.1](R,C) a ete defini dans la Section 3 de l'article et A[P.sub.2](R,C) n'est pas autre chose que l'espace [B.sup.2](R,C) de Besicovitch (voir Section 5, plus haut).

Le cas 1 < r < 2 sera defini et traite en partant de l'axiome

[A.sub.6]. Les series (3.2), qui correspondent a l'espace A[P.sub.r](R,C), sont telles que [[infinity].summation over (k=1)] [| [a.sub.k] |.sup.r] < [infinity]. (7.1)

On va remarquer que pour r [member of] [1, 2), la condition (7.1) est plus forte que (5.1). Cette affirmation est la consequence des inegalites bien connues de Minkowski. Ca veut dire que toute fonction presque periodique de A[P.sub.r](R,C), 1 [less than or equal to] r < 2, est a la fois presque periodique au sens de Besicovitch, dans l'espace [B.sup.2](R,C).

Considerons donc toutes les series de la forme (3.2), ou (2.1), satisfaisant a la condition (7.1), pour un r fixe, 1 < r < 2.

La theorie des espaces [l.sup.r](N,C) nous permet d'enoncer quelques proprietes qui sont valables pour l'ensemble de series de ST, satisfaisant (7.1), soit S[T.sub.r].

On va definir une norme sur S[T.sub.r], par la formule (Minkowski)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (7.2)

C'est la norme qu'on utilise pour construire l'espace [l.sub.r](N,C), r [greater than or equal to] 1. C'est pourquoi nous n'avons pas besoin de prouver les proprietes bien connues de la norme sur S[T.sub.r]. Voir, par exemple, Corduneanu [7], ou l'on trouve certaines proprietes des fonctions associees aux series de S[T.sub.r], i.e., appartenant a A[P.sub.r](R,C).

Nous avons deja demontre en [8] qu'a toute serie de S[T.sub.r] correspond une fonction appartenant a l'espace [??](R,C), de telle maniere que

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (7.3)

la serie du second membre de (7.3) etant convergente, fait suivant de (7.1). En d'autres termes, S[T.sub.r] est un espace norme sur C, la propriete d'etre complet etant la consequence de la meme propriete pour les espaces [l.sup.r](R,C). Donc, S[T.sub.r] est un espace de Banach sur C et cette propriete est transmise a l'espace A[P.sub.r](R,C).

Le proprietes d'A[P.sub.r](R,C), similaires aux proprietes 1)-4) de l'espace [B.sup.2] = A[P.sub.r](R,C), sont valables. Voir Corduneanu [7] pour les details de la demonstration, ou bien le livre de Liusternik et Sobolev [14], avec le traitement de la theorie des espaces [l.sup.r](N,C).

On peut conclure cette section par la remarque selon laquelle les espaces A[P.sub.r](R,C) de fonctions presque periodiques ont deja trouve plusieures applications. Ainsi, Shubin [17] a utilise les espaces A[P.sub.r]([R.sup.n],C) en relation avec la theorie des operateurs differentiels aux derivees partielles. Dans Corduneanu [7], les espaces A[P.sub.r](R,C) ont ete utilises pour prouver la presque periodicite des solutions de certaines classes d'equations fonctionnelles. Le meme probleme a ete traite dans les articles de Corduneanu, Li [9] et de Mahdavi [15]. Un produit generalise de convolution a ete definie, k * x, with k [member of] [L.sup.1](R,C) et x [member of] A[P.sub.r](R,C), r [member of] [1, 2], qui jouit des proprietes connues dans le cas [L.sup.1] * [L.sup.p], p [greater than or equal to] 1.

Il faut aussi remarquer le fait que les espaces A[P.sub.r](R,C), r [member of] [1, 2], constituent un "chaine" reliant les espaces A[P.sub.1](R,C) et A[P.sub.2](R,C) = [B.sup.2](R,C). Les inclusions suivantes sont valables:

A[P.sub.1] [subset] A[P.sub.r] [subset] A[P.sub.q] [subset] A[P.sub.2], (7.4)

ou 1 < r < q < 2. L'injection de A[P.sub.r] dans A[P.sub.q] est continue et la convergence dans chaque espace A[P.sub.r] implique la convergence dans tout autre espace A[P.sub.q], avec q > p.

8 Quelques conclusions et problemes ouverts

Une premiere conclusion a tirer est qu'une construction axiomatique de la theorie des fonctions presque periodiques est possible, malgre le fait que certains cas presentent quelques difficultes. Je me rapporte, particulierement, au cas de l'espace B(R,C), pour lequel nous n'avons pas formule des conditions/ axiomes qui puissent caracteriser cet espace. La construction est mixte, en partant de l'espace de Bohr, completement caracterise a l'aide de series, en l'utilisant apres un procede de completement.

Une autre conclusion, basee en premier lieu sur les applications, consiste dans le fait qu'on peut utiliser des series trigonometriques en construisant des solutions presque periodiques aux diverses classes d'equations fonctionnelles. Jadis, la methode des series etait preponderate.

Finalement, un autre probleme ouvert est d'etendre le procede au cas des functions/series oscillatoires, plus generales par rapport au cas presque periodique. Un exemple de cette nature est donne dans Corduneanu [8], l'espace etant designe par [??](R,C).

References

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Constantin Corduneanu l'Universite de Texas, Arlington l'Academie Roumaine

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