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El universo harmonico platonico (Ti. 35b-36b) segun Nicomaco de Gerasa (Harm. VIII; pp. 250.3-252.2 Jan).

De todo el repertorio de dialogos platonicos que se conocen, el Timeo o De la naturaleza es, con toda probabilidad, uno de los mas complejos, ya que su contenido examina al detalle el problema cosmogonico, el fisico y el antropologico. De esta suerte, Platon vuelve a revisar, a traves de sus paginas, una parte importante de su pensamiento fisico-filosofico. Quiza por ello se haya considerado al Timeo como el documento platonico que mas influencia causo en la filosofia y ciencias coetaneas al filosofo de Atenas y posteriores, convirtiendose en objeto de estudio y comentario por parte de calamos preeminentes ya desde la Antiguedad.

En este sentido, se aceptan como primeros receptores en la antigua Academia a Jenocrates de Calcedonia y a su discipulo, Crantor de Cilicia. Para el filosofo de Estagira, el influjo platonico de la fisica y la ontologia del Timeo en su propia doctrina es evidente, pese a su insistente y consabido alejamiento del que fuera su maestro. El mismo efecto platonico puede atribuirse al tratado De sensibus o Sobre las sensaciones de Teofrasto de Ereso, asi como a Numenio de Apamea y a sus fragmentos conservados. Otros autores honraron a Platon y a su obra por medio de una redaccion del Timeo en su propia lengua o en la lengua considerada entonces propia de la cultura. Asi, Ciceron llevo a cabo una traduccion latina del texto griego bajo el titulo Timaeus y, mas tarde, Calcidio elaboro una traduccion comentada de la misma obra platonica (1). En cuanto a los comentarios, amen del ya citado, Plutarco de Queronea dedico su De animae procreatione in Timaeo a intentar plasmar por escrito una explicacion a tan complicado texto. Con todo, el Neoplatonismo o Neopitagorismo fue el movimiento que mas cuidado presto al Timeo, llegando a considerar este dialogo como su fuente fundamental. De esta manera, Plotino le dedica dos lugares (2) en su coleccion de escritos compilados por Porfirio y que causaran una gran influencia en Macrobio (3), si bien Proclo fue quien mas atencion presto al Corpus Platonicum, en general, y al Timeo en particular (4).

Al margen de todas estas referencias generales a las traducciones, alusiones y/o estudios sobre el dialogo platonico dedicado a la naturaleza, contamos con otra serie de atenciones por parte de autoridades de la Antiguedad hacia aspectos concretos de la filosofia de Platon plasmados en lugares precisos del mismo. Uno de ellos es el que ofrece el musico y matematico neopitagorico Nicomaco de Gerasa (ca. 80 a. C.-ca. 140 o 150 d. C.) en el capitulo VIII de su [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5) bajo el epigrafe [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] "Comentario de lo dicho en el Timeo con relacion a la harmonica". Este se centra en la definicion y explicacion, segun la doctrina platonica, de las medias o proporciones--la aritmetica, la harmonica y la geometrica--empleadas por Platon para construir la harmonia pitagorica (6). En su redaccion, hay comun acuerdo en que Nicomaco cambio la afirmacion platonica de que la cuarta se completaba con tonos y leimmata, haciendole decir solo que la distancia entre la cuarta y la quinta resultaba ser un tono. La demostracion nicomaquea de que la proporcion 6:8:9:12 contiene la media harmonica, aritmetica y geometrica ocupa el resto del capitulo.

La insercion de este epigrafe refleja, por un lado, la constante preocupacion de nuestro autor por conciliar las escuelas pitagorica y platonica (7), al tiempo que, por otro, supone una ruptura con la logica lectora en el sentido de que, en vista del contenido del capitulo anterior (la funcion musical del semitono y el importante papel que este desempena en las inversiones de los tetracordios), se esperaria que Nicomaco se dedicara ahora a la determinacion matematica del semitono por parte de Pitagoras (8). La tactica del geraseno resulta ser la de la distraccion, pues dirige la atencion de su noble pupila y destinataria del tratado (9) a las estructuras matematicas platonicas del Timeo, en vez de ocuparse del semitono y de los problemas que plantea su reglamentacion matematica (10).

Practicamente la totalidad de la critica moderna esta de acuerdo en la intencionalidad base de este capitulo: llegados al punto en el que las leyes abstractas de la teoria y la logica musical casan con las matematicas, coincidiendo con intervalos musicales concretos de cuartas, quintas y octavas y dando lugar a objetos sensibles de una belleza particular, era menester dar a conocer los medios para discernir la apariencia de la belleza, en particular, y de la realidad absoluta de la belleza, en general (11). Asi, consciente de lo sensitivo del conocimiento de la apariencia de la belleza y, a su vez, de lo mental de la comunicacion y conocimiento de su realidad, Nicomaco hizo uso del texto platonico para dirigir a su discipula a la realidad de esta belleza expresada por las leyes matematicas de concordancia.

Pero, ?por que el Timeo? Quiza porque en el Platon dio un nuevo sentido al universo harmonico extremadamente sensitivo de Pitagoras, sin pruebas empiricas y sin conocimiento musical a priori, sino solo con las matematicas, confinandolo en los limites establecidos matematicamente de cuatro octavas y una sexta mayor (12). Segun Nicomaco, Pitagoras, luego de hallar la manera de expresar las relaciones musicales en terminos matematicos, forjo un ideal utopico, casi quimerico, a la manera de un cosmos totalmente cerrado y contenido en si mismo donde todo encajara para formar una unidad perfecta (13). Dicha verdad era susceptible de ser explicita, coherente, cognoscible y absoluta por el hecho unico de estar arraigada en la verdad matematica, lo que aseguraba, de otro lado, la nula refutacion por los sentidos.

De cualquier manera, el pasaje platonico seleccionado por Nicomaco es denominado por el propio geraseno como Psicogonia o Generacion del Alma (14)--en este caso, el alma del cosmos--por el Demiurgo o Maestro Artesano a partir de lo Mismo, lo Otro y el Ser (15). Referencias a este pasaje en cuestion las hallamos ya desde Adrasto (16), asi como en el pseudoplutarqueo De musica, 1138C-1139A, donde Soterico expone los conocimientos musicales de Platon tomando como base el texto del Timeo. Aristides Quintiliano dedica los primeros cinco capitulos del tercer libro de su obra musical a la llamada "musica aritmetica" (17). Boecio, en fin, consagro los capitulo 14-17 del segundo libro de su obra musical a la cuestion de las proporciones planteadas por Platon.

Gran parte de la critica considera que en estas lineas la fuente en la que se basa el musico de Gerasa esta mal citada y, por tanto, mal interpretada (18). La mencion que nuestro autor hace del pasaje platonico omite una parte importante de la descripcion de la creacion del alma del mundo por parte del filosofo ateniense. F. R. Levin ve en este error de Nicomaco un lapsus memoriae sin duda provocado por la prisa en la composicion del tratado, si no un error de cita deliberado, en tanto que sugiere que el analisis platonico de la construccion de la escala diatonica era menos completo que el de los pitagoricos (19). Sea como fuere, lo cierto es que en este capitulo del tratado musical Nicomaco reduce la disposicion platonica de una escala diatonica completa al esquema de una octava, i. e., cuarta-tono-cuarta, o quinta mas cuarta, donde su diferencia es el tono (9:8). Por este motivo, ofrecemos a continuacion un cuadro comparativo de ambos textos, subrayando la parte platonica respetada por Nicomaco y resaltando en cursiva la seccion del texto original que no sigue y que, por tanto, versiona:

PL., TI. 35b-36b20

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

NICOM., HARM. VIII

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Notense las variationes entre ambos textos, justificadas, quiza, por problemas de transmision textual, por omision voluntaria de Nicomaco con el fin de epitomizar o abreviar el texto platonico o, incluso, por proceder de un autor desconocido que hubiera resumido el texto platonico previamente y que sirve de fuente a Nicomaco.

Estas lineas excluidas y abreviadas (21) son aquellas que tienen que ver con las medidas a traves de las cuales Platon calculo la division del tetracordio y, concretamente, el calculo del llamado leimma, propiamente intervalo "restante" despues de introducir dos tonos, o intervalos epogdoicos, en la cuarta (22).

A fin de poder seguir el razonamiento de Platon, reflejado en palabras de Nicomaco, es preciso aclarar el contexto en el que se inserta el pasaje en cuestion del Timeo. En efecto, en Ti. 35b-36b Platon, haciendo uso de las progresiones aritmetica, geometrica y harmonica, dispuso una serie de notas por las que el Alma del Mundo se dividia en intervalos harmonicos (23). Ello suponia que el intervalo de cuarta estaba formado por dos tonos, cada uno en la proporcion epogdoica del tono (9:8) y un resto--leimma--representado por la proporcion 256:243. Asi, Platon logro construir la harmonia del Alma del Mundo mediante una seccion de la escala diatonica, a saber, un tetracordio diatonico compuesto de dos tonos y un semitono.

Lo que subyace detras de la construccion platonica de la escala diatonica es que ambas medias o progresiones--la harmonica y la diatonica--se insertan entre cada uno de los dos terminos de una serie derivada de la progresion 1-2-3-4-8-9-27, una combinacion de dos numeraciones geometricas en las que la primera es de orden 2, ya que cada numero es doble del anterior, y la segunda, de orden 3, donde cada numero es triple del anterior:

Primera progresion geometrica: 1-2-4-8 Segunda progresion geometrica: 1-3-9-27

Asi, estas relaciones unidas y ordenadas expresan la serie 1-2-3-4-8-9-27 que representaba la gran tetraktys (24), simbolizada por el numero 27, esto es, la suma de la progresion 1-2-3-4-8-9. Segun Plutarco (25), la representacion de ambas sucesiones en un diagrama en forma la lambda en el que, de un lado, se plasman los intervalos dobles de Platon y, de otro, sus intervalos triples, era ya algo tradicional (imagen 1).

A su vez, los componentes de esta serie encarnan la proporcion que produce la octava (2:1), la octava y la quinta (3:1), la doble octava (4:1), la triple octava (8:1), la quinta (3:2), la cuarta (4:3) y el tono (9:8) (26). En terminos musicales, en cambio, estamos hablando de cuatro octavas y una sexta mayor, tal como apuntabamos anteriormente (27).

Teniendo en cuenta estas premisas, lo que nos cuenta Nicomaco con mas detalle es que Platon localizo en cada intervalo de octava la media harmonica, por la que se define el intervalo de cuarta (4:3), y la media aritmetica, por la que se determina el intervalo de quinta (3:2) (28). Esta afirmacion corresponde a la parte del texto platonico respetada por el geraseno. A continuacion, el Demiurgo completaria la distancia entre esos intervalos con el intervalo sobrante de tono (9:8), llamado por el leimma, dado que este resulta ser la diferencia entre la quinta (3:2) y la cuarta (4:3). A su vez, esta segunda afirmacion corresponde a la parte manipulada, intencionada o inintencionadamente, por el geraseno.

Es decir, partiendo de la mencionada serie (1-2-3-4-8-9-27) y aplicando a cada uno de los intervalos, entre sus numeros, el concepto de las dos medias (aritmetica y geometrica), Platon completo la siguiente serie:

1-4:3 - 3:2-2 - 8:3-3 - 4-9:2 - 16:3-6 - 8-9 - 27:2 1 27

Dicha serie ha sido reconocida a lo largo de la historia de este texto como la estructura geometrico-musical del mundo, comparable a la Harmonia mundi (29).

A su vez, si equiparamos estos calculos con las notas a partir de las relaciones expuestas, tendriamos lo siguiente, en sentido ascendente:

1    4:3   3:2   2    8:3   3    4    ...

Mi   La    Si    Mi   La    Si   Mi   ...


En definitiva, dos octavas que comprenden las consonancias mas pequenas, la de cuarta y la de quinta. Semejante progresion se repetiria hasta completar las cuatro octavas y la sexta mayor que marca el numero 27.

Platon completo la escala diatonica aplicando la relacion epogdoica o de tono (9:8) a cada numero, para asi obtener la nota inmediatamente superior.

1 (mi) x 9:8 = 9:8 (fa#)

9:8 (fa#) x 9:8 = 81:64 (sol#)

A partir de ahi, las notas de la primera octava conformarian, segun Platon, dos tetracordios disjuntos o una escala diatonica (imagen 2):

1    9:8   81:64   4:3   3:2  27:16    243:128   2    ...

Mi   Fa#   Sol#    La    Si   Do#      Re#       Mi   ...


Pero como la relacion entre 4:3 y 81:64 no es exactamente de medio tono, para hallar el llamado intervalo restante o leimma Platon sustrajo dos tonos a la cuarta (imagen 3).

Es de notar que Nicomaco emplea de forma incorrecta el termino leimma al hacerlo referir al tono (30), lo que Ch. E. Ruelle (31) justifica al alegar que ha de leerse [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] y no [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], afirmacion que ve apoyada en la traduccion de este texto por el calamo de Ciceron, que lo interpreta como sesquialtero intervallo (32). Sea como fuere, en lo que la critica esta de acuerdo es en la erronea aplicacion que Nicomaco hace del concepto de leimma a tono en la proporcion epogdoica (9:8), pues para Platon no es sino lo que completa el tetracordio y no la diferencia entre la quinta y la cuarta. De ahi que el leimma tenga relevancia solo en la division del tetracordio, aplicandose al semitono en toda su imperfeccion, esto es, en que no es la exacta mitad de un tono (9:8), matematicamente hablando (33). En Exc. II, Nicomaco demostrara a traves de calculos matematicos que, efectivamente, el semitono no es medio tono exacto y, al mismo tiempo, que el leimma, igualado ahora a la condicion de tono, resulta ser mas pequeno que un autentico medio tono (34).

La aplicacion y explicacion de aquellas dos medias nos las proporciona el propio Nicomaco. Asi, la proporcion harmonica ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) (35) resulta formulada de la siguiente manera: dado un intervalo doble 12:6 (36), entre sus extremos (6 y 12) existen dos numeros intermedios (8 y 9), estando el primero de ellos (8) en proporcion harmonica con 6 y 12, puesto que 8 es igual a 6 mas un tercio de este, y tambien es igual a 12 menos un tercio de este (imagen 4).

Con esto queda demostrada la primera parte de la afirmacion platonica: [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] "en cada intervalo hay dos medios, uno que es superior e inferior a los extremos por la misma fraccion", ya que, por un lado, 8 supera a 6 en una tercera parte de este y, por otro, 8 es superado por 12 tambien en una tercera parte de este ultimo. Es decir: si la diferencia entre el termino medio y el primer elemento representa una fraccion dada del primer termino, la diferencia entre el termino medio y el ultimo debe ser igual a la misma fraccion del termino medio. En otras palabras: para hallar la media harmonica hay que dividir el doble producto de los extremos por su suma (imagen 5).

El propio Nicomaco ofrece su definicion de esta media, aun anadiendo caracterizaciones diferentes de ella, en su tratado aritmetico, en una explicacion que corresponde a Teon (37). Asi, segun Nicomaco, entre las propiedades peculiares de la proporcion harmonica esta el que la proporcion del termino mayor respecto al medio es mayor que la del medio respecto al menor, lo que demuestra, en terminos de teoria musical, que la cuarta (calculada matematicamente entre los extremos de la octava segun la media harmonica) es mas pequena que la quinta (imagen 6).

Esta es la propiedad que hizo que la proporcion harmonica pareciera contraria a la aritmetica (38). De cualquier manera, Nicomaco estudia, siguiendo a Teon (39), las formas de media y proporcion mencionadas aqui, entre otras (40).

La concepcion platonica de esta media parece remontar a Arquitas (41), aunque F. R. Levin, por su parte, propone a Anaximandro como posible influencia del ateniense en su determinacion de los intervalos harmonicos (42). Su suposicion esta fundamentada en un fragmento mutilado del milesio que versa sobre las medidas geometricas de los circulos celestes (43).

Esta media harmonica, con todo, presenta un "rasgo peculiar" ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]), a saber, que la diferencia entre 12 y 8 (que es 4) es el doble que la existente entre 8 y 6 (que es 2), a mas que la suma de 6 y 12 (que es 18) multiplicada por 8 da como resultado el doble del producto de los extremos (imagen 7).

Al parecer, estos calculos adicionales no solo son correctos, sino que ademas ayudan a dar el sentido de coordinacion matematica (44). Por consi guiente, Platon establecio la media harmonica en la proporcion 12:6, siendo esta media superior a 6 en la misma fraccion e inferior a 12 (imagen 8).

En conclusion, la proporcion que expresa esta relacion es la de cuarta (imagen 9).

En cuanto a la media aritmetica ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) (45), su formulacion es como sigue: dado el intervalo doble 12:6, entre sus extremos (6 y 12) existen dos numeros intermedios (8 y 9), estando el segundo de ellos (9) en proporcion aritmetica con 6 y 12, puesto que 9 es igual a la suma de los extremos dividido por 2 (imagen 10).

Asi, queda igualmente demostrada la segunda afirmacion del texto platonico: [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] "otro medio que es superior e inferior a los extremos por el mismo numero", ya que 9 supera a 6 en la misma cantidad que 9 es superado por 12, es decir, por el numero 3. Dicho con otras palabras: la media aritmetica resulta ser la suma de varias cifras dividida por el numero total de estas (imagen 11).

Esta media es, como dice Nicomaco, [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] "correspondiente a la paramese" (46). Como aquella, tambien esta presenta un "rasgo peculiar" y, si acaso, mas complicado que el de la media harmonica, pues ahora se cumplen las siguientes relaciones matematicas:

--La suma de los extremos (12 + 6 = 18) es el doble que el termino medio (9).

--El cuadrado del termino medio es igual al producto de los extremos (o sea, 72) mas el cuadrado de la diferencia de cada uno de cualquiera de ellos con el termino medio (12 - 9 = 3; o bien 9 - 6 = 3)(47) (imagen 12).

Asi, la propiedad esencial que define una serie aritmetica es, segun Nicomaco (48), la igualdad de las diferencias entre sus sucesivos terminos (imagen 13), lo que prueba que, en el campo de la musica, el intervalo de quinta (calculado matematicamente entre los extremos de la octava segun la media aritmetica), es mayor que una cuarta.

En conclusion, como Nicomaco explica de manera paralela a lo ya expuesto acerca de la media harmonica, Platon determino la media aritmetica en la proporcion 12:6, siendo esta superior e inferior a los extremos por el mismo numero (3) (imagen 14).

Concluye su explicacion con una tercera media, la geometrica, que el llama "la proporcion por excelencia" o proporcion propiamente dicha (49), en tanto que la relacion entre 12 y 8 es la misma que la que hay entre 9 y 6, que no es sino la relacion hemiolica (3:2) (50) (imagen 15).

Esta proporcion predominante, por tanto, contiene todos estos numeros.

La ultima relacion numerica afirma que el producto de los extremos es igual al producto de los medios (51) (imagen 16).

Sea como fuere, lo que interpretamos como "dos veces el producto de", o "el doble producto de", no es sino un numero que es el producto de dos factores, de los cuales el primero es el mayor (52), como por ejemplo: 8 x 2 = 16.

Nicomaco termina el capitulo VIII dejando a su discipula con la sensacion de que Platon logro traducir matematicamente lo que Pitagoras habia formulado a partir de sus experimentos con instrumentos musicales (53). Sin embargo, del pasaje citado por nuestro autor se evidencia el logro de Platon, unico hasta la fecha: completar todos los intervalos de cuarta con tonos, dejando en cada uno una fraccion restante o leimma. Asi, Platon completo todos los grados de una escala diatonica (54), una construccion, segun Adrasto (55), que no pretendia ser sonada o escuchada por el oido humano.

En definitiva, y como conclusion, creemos que la imagen que de Platon ofrece Nicomaco, un "epitomizador suyo", no es solo la del filosofo que confiere a la doctrina matematico-musical una relevancia filosofica unica, en cuanto que la ley de la harmonia permite captar las mas profundas raices del Ser, sino tambien la del teorico capaz de dividir la octava acustica en una cuarta y en una quinta y de concluir que el tono es la diferencia entre esas consonancias mas pequenas que comprende la octava. Hay una tercera vision de Platon implicita en la intencionalidad de este capitulo: es la figura de peso utilizada por Nicomaco para corroborar las diversas operaciones de naturaleza meramente matematica realizadas por Pitagoras y descritas en los apartados anteriores, a saber, las dimensiones de la octava, de la cuarta, de la quinta y del tono halladas mediante pruebas empiricas por el maestro de Samos (56).

Sin embargo, es un hecho innegable los calculos de Platon llevaban a la inexactitud total (57), pues demostraban que no habia un centro exacto para la octava, ni una mitad exacta de un tono, ni una union perfecta de opuestos ni racionalidad pura en el cosmos. Y aqui esta--pensamos--una muy posible intencion de Nicomaco al no citar el pasaje completo del Timeo, aceptando como intencionada tal epitome: ocultar a la vista lo que resultaba ser un hecho aplastante para los pitagoricos y para el pensamiento pitagorico (58).

4/3 : (9/8 x 9/8) = 4/3 : 81/64 = 256/243

Imagen 3

6 + [6/3] = 6 + 2 = 8 12 - [12/3] = 12 - 4 = 8

Imagen 4

b = 2 x a x c/a + c

Imagen 5

[12/8] > [8/6]

Imagen 6

(6 + 12) x 8 = 18 x 8 = 144 6 x 12 = 72 | 144 = 72 x 2

Imagen 7

12/9 = 8/6

Imagen 8

12/9 = 8/6 = 4/3

Imagen 9

12 + 6/2 = 9

Imagen 10

b = a + c/2

Imagen 11

[9.sup.2] = (12 x 6) + [3.sup.2] = 81

Imagen 12

12/9 < 9/6

Imagen 13

12 - 9 = 9 - 6 = 3

Imagen 14

12/8 = 9/6 = 3/2

Imagen 15

(12x6) = (9x8) = 72

Imagen 16

FUENSANTA GARRIDO DOMENE

Universidad de Huelva

fuengarrido@gmail.com

* Recebido em 18-11-2012; aceite para publicacao em 16-01-2013.

(1) No obstante, la labor traductora de Calcidio no abarca el texto original platonico, sino que se limita a la primera mitad, i. e., desde el inicio, 17a, hasta 57c.

(2) II 1 y IV 1-5.

(3) Vid., por ejemplo, In Somn. I 3.17; II 3.15; XII 1.11; CVII 11.1-2.

(4) In Platonis Timaeum commentariis. Edicion de E. Diehl, Leipzig, 1903-1906.

(5) Pese a la fama del geraseno como autor y estudioso matematico, Nicomaco tambien se dedico al estudio de la musica bajo el prisma de Neopitagorismo. De esta suerte, al margen de sus escritos sobre aritmetica ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], una obra que nos ha llegado mutilada por transmision indirecta y traducida al latin por Boecio), contamos con este [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], un pequeno escrito del que se extraen una serie de fragmentos que componen los llamados Excerpta ex Nicomacho atribuidos a nuestro autor. Este tratado musical es, junto con el pseudo-aristotelico Problemata, la Sectio canonis y el pseudo-plutarqueo De musica, el unico escrito completo que existe entre el periodo que va desde las obras harmonicas de Aristoxeno de Tarento y de Claudio Ptolomeo.

(6) K. VON JAN (Musici scriptores Graeci (MSG). Aristoteles, Euclides, Nicomachus, Bacchius, Gaudentius, Alypius et melodiarum veterum quidquid exstat. Recognovit, 1995 [= Leipzig, 1985], pp. 219-220) considera que este capitulo no formaba parte de la disposicion y composicion originaria del tratado nicomaqueo, algo de lo que despues se retracta.

(7) Cf. L. ZANONCELLI, La manualistica musicale greca, Milano, 1990, pp. 135-139.

(8) Cf. F. R. LEVIN, Nicomachus. Manual of Harmonics. Translation and Commentary, New York, 1994, p. 109.

(9) Sabemos de tres propuestas en lo que a la identificacion de la pupila de Nicomaco se refiere: una pitagorica, teoria que se basa en el catalogo de miembros femeninos aceptada por los componentes de la secta (Iamb., V.P. CCLXVII 66-77); una dama innominada; o la emperatriz Plotina Augusta, esposa del emperador Trajano. Vid. Ch. E. RUELLE, Collection des autres grecs relatifs a la musique, Vol. II, Nicomaque de Gerase. Manuel d'Harmonique, Paris, 1880, p. 10, n. 2; M. L. D 'OOGE et al., Nicomachus of Gerasa. Introductio to Arithmetic, New York, 1926, pp. 76-77; W. C. MCDERMOTT, "Plotina Augusta and Nicomachus of Gerasa", Historia, 26, 1977, pp. 192-203; y F. R. LEVIN, The Harmonics of Nicomachus and the Pythagorean Tradition, American Classical Studies, no. 1 University Park, The American Philological Association, 1975, pp. 17-18.

(10) Cf. F. R. LEVIN, op. cit., 1994, pp. 109-123. No obstante, no es esta la unica explicacion de la autora sobre la presencia de este capitulo en la obra musical de nuestro autor.

(11) F. R. LEVIN, ibid. Estas residian en leyes absolutas, inmutables y eternas, al tiempo que aquellas eran aprehendidas en consonancias particulares (cuarta, quinta y octava), siendo varios los tonos que establecen.

(12) F. R. LEVIN, ibid. y W. D. ANDERSON, Ethos and Education in Greek Music, Cambridge, 1966, p. 193.

(13) Cf. D.L. VIII 48, segun el cual Pitagoras fue el primero en hablar del cielo ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) como un cosmos, una construccion "bien ordenada", donde el Sol, la Luna, los planetas y la Tierra estan perfectamente dispuestos. Por eso, es considerado como un universo. Cf. A. E. TAYLOR, A Commentary on Plato's Timaeus, Oxford, 1928, pp. 65-66.

(14) Parece ser que el termino mismo Psicogonia no fue empleado en este contexto antes de la epoca de Plutarco y del geraseno.

(15) Ti. 35a-36b. Cf. Nicom., Exc. VII, pp. 278.10-279.17 Jan, donde Nicomaco trata estas mismas materias y atribuye el descubrimiento de esta composicion tripartita del alma a Pitagoras.

(16) Ap. Theo Sm. 64-65.

(17) Especialmente III 1, pp. 94-96 W.-I., que versa sobre la construccion numerica de la cuarta y del intervalo 256:243 del Timeo de Platon, ademas de la determinacion de las proporciones de las consonancias de octava ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]), quinta ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], llamada por los pitagoricos [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], octava y quinta ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]), cuarta y doble octava ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]), y de la determinacion numerica de los intervalos de tono, semitono y diesis ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]); III 4 y 5, pp. 99-101 W.-I., sobre la justificacion matematica del caracter consonante de los intervalos doble ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]), epitrito ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) y hemiolico ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]), asi como de la proporcion aritmetica, geometrica y harmonica; y III 24, pp. 125-128 W.-I., un comentario del pasaje relativo a la construccion del alma en el Timeo de Platon. Sobre todas estas consonancias, uid. S., MICHAELIDES, The Music of Ancient Greece. An Encyclopaedia, London, 1978, s. u. "symphonia-symphonoi".

(18) M. MEIBOMIUS, [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. Nicomachi Geraseni Pythagorici Harmonices Manuale. Marc. Meibomius primus uertit, ac notis explicauit", en Antiquae musicae auctores septem. Graece et Latine. Marcus Meibomius restituit ac notis explicauit, Amstelodami, I-II vol. Apud Ludouicum Elzeuirium, 1652, p. 50; F. R. LEVIN, op. cit., 1975, pp. 86-92; A. BARKER, Greek Musical Writings, Vol. II, "Harmonic and Acoustic Theory", Cambridge, 1989, pp. 245-247 y p. 259, n. 60; J. GODWIN, The Harmony of the Spheres, Vermont, 1993, p. 410, n. 11.

(19) Op. cit., 1975, p. 87.

(20) Sobre este pasaje, uid. Th. J. MATHIESEN, Strunk's Source Readings in Music History, Vol. I, Greek View of Music, New York, 1998, pp. 19-23.

(21) Ti. 36a6-b5.

(22) A toda la bibliografia apuntada a lo largo del presente articulo y dedicada al estudio y analisis de este pasaje, han de anadirse y, por tanto, considerarse los trabajos de J. GODWIN, op. cit., pp. 3-6 y 403-406, y de S. HAGEL, Ancient Greek Music: A New Technical History, Cambridge, 2009, especialmente las pp. 160-166.

(23) Sobre las tres formas platonicas de proporcion, uid. Procl., In Ti. III 171.20-174.10. Cf. SIR T. HEATH, A History of Greek Mathematics, 2 vols., New York, 1981, Vol. I, pp. 85-90.

(24) Por Sexto Empirico (M. IV 3) sabemos que la tetraktys era la suma de los cuatro primeros numeros, lo que hacia de este numero perfecto la fuente de la naturaleza imperecedera y la base del juramento de la Secta. En el ambito musical, la tetraktys gozaba de una consideracion unica en tanto en cuanto se suponia que contenia todas las consonancias. Teon de Esmirna consagra no pocas paginas a explicar hasta once tipos de tetraktys (Theo Sm. 96-106). Nicomaco de Gerasa dedica los Exc. V-VIII, pp. 275.16-280.11 Jan, a remarcar la importancia de la tetraktys de manera general y, en concreto, el Exc. VII, pp. 378.10-279.17 Jan, a detallar su descripcion. Sobre este aspecto de la musica pitagorica, uid. especialmente E. DELATTE, Etudes sur la litterature pythagoricienne, Paris, 1915, pp. 249-268; P. KUCHARSKI, Etude sur la doctrine pythagoricienne de la tetrade, Paris, 1952, pp. 31-39; SIR T. HEATH, op. cit., Vol. 1, p. 75; y A. BARBERA, "The Consonant Eleventh and The Expansion of the Musical Tetraktys", Journal of Music Theory, 28, 1984, pp. 191-224.

(25) Moralia, 1017. Vid. R. L. BRUMBAUGH, Plato's Mathematical Imagination: The Mathematical Passages in the Dialogues and their Interpretation, University of Indiana, 1954, p. 227; E. G. MCCLAIN, The Pythagorean Plato: Prelude to the Song Itself, York Beach, 1978, p. 63, que continua hasta el infinito todos los productos integrantes de 2 y 3 en "progresiones geometricas continuas" de 1:2, 2:3 y 1:3. Cf. Theo Sm. 93.25-99.16.

(26) Estos intervalos no eran desconocidos para los musicos y musicografos griegos, si bien unos eran tenidos por consonantes y otros por disonantes. Los pitagoricos, por su parte, consideraban consonantes aquellos intervalos expresados por las proporciones mas simples, a saber: la octava (2:1), la quinta (3:2), la cuarta (4:3), la doceava (octava y quinta, 3:1), la doble octava (4:1) y la onceava (octava y cuarta, 8:3). Las consonancias, por tanto, estaban divididas en simples y compuestas. Las simples eran, segun los autores antiguos, la cuarta y la quinta; las compuestas eran todas las demas, porque estaban compuestas de consonancias simples. Segun Porfirio (in Harm. 96), Trasilo incluyo la octava entre las simples. Vid. S. Michaelides, op. cit., s. u. "symphonia-symphonoi" y "homophonia-homophonoi".

(27) Para la determinacion platonica de los intervalos harmonicos, uid. F. M. CORNFORD, Plato's Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, London, 1937, pp. 66-72, y A. E. TAYLOR, op. cit., pp. 138-141. P. H. MICHEL, De Pythagore a Euclide. Contribution a l'Histoire des Mathematiques Preeuclidiennes, Paris, 1950, pp. 387-399, se detiene a explicar detalladamente las distintas medias y proporciones.

(28) Media aritmetica es aquella que equidista de sus extremos en el mismo numero y se calcula sumando los extremos y dividiendo esta suma entre dos. Media harmonica es aquella que equidista de sus extremos en la misma proporcion y se calcula segun la siguiente expresion: b = 2ac/a + c siendo a y c los extremos del intervalo numerico.

(29) Cf. F. M. CORNFORD, op. cit., pp. 59-72.

(30) Cf. M. MEIBOMIUS, op. cit., p. 50; F. R. LEVIN, op. cit., 1975, pp. 89-91 y op. cit., 1994, pp. 109-123; A. BARKER, op. cit., p. 259, n. 60; y Th. J. MATHIESEN, Apollo's Lyre. Greek Music and Music Theory in Antiquity and the Middle Ages, University of Nebraska, 2000, pp. 390-411.

(31) Op. cit., p. 189, n. 3.

(32) Tim. 23.9-24.5: "Sesquialteris autem intervallis et sesquitertiis et sesquioctavis sumptis ex his conligationibus in primis intervallis sesquioctavo intervallo sesquitertia omnia explebat, cum particulam singulorum relinqueret. Eius autem particulae intervallo relicto habebat <numerus ad> numerum eandem proportionem conparationem<que> in extremis, quam habent ducenta quinquaginta <sex> cum ducentis quadraginta tribus". Esta es la traduccion ciceroniana del texto platonico no respetado por Nicomaco, a saber, Ti. 36a6-b5.

(33) Tengase en cuenta que para los pitagoricos este termino marcaba la diferencia entre el ditono (81:64) y la cuarta (4:3). Es mas, al no ser el semitono la exacta mitad de un tono, el leimma ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) se consideraba "el semitono menor" y la apotome ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) "el semitono mayor". De esta manera, los seguidores de Pitagoras manifestaban su repulsa y no aceptacion del semitono como la mitad justa de un tono. Para un analisis de la division del tono y de los intervalos atribuido a una importante figura pitagorica como Filolao, uid. Boet., Mus. III 5 y 8, respectivamente; Cf. Theo Sm. 49 y 71. Para una mayor profundizacion sobre las implicaciones teorico-musicales del termino leimma, uid. S. Michaelides, op. cit., s. u. "leimma", "apotome" y "hemitonion", y P. REDONDO REYES, "La medida del [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] en la musica griega antigua", Florentia Iliberritana, 14, 2003, pp. 295-314.

(34) Para la determinacion matematica del leimma en epoca antigua, uid. Adrasto ap. Theo Sm. 63.25-72.20, especialmente 64.14-72.24.

(35) Tengase presente la variatio lexica del termino "proporcion": a lo largo de todo este tratado harmonico Nicomaco emplea la voz [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] para referirse a ella; sin embargo, ahora hace uso de un termino matematico que indica propiamente "proporcion matematica" (LSJ), a saber, [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. Cf. Arist., E.N. 1131a30-31. Es interesante este pasaje del estagirita porque, a continuacion, establece las diferencias entre lo que el llama "proporcion directa", cuyos cuatro terminos son diferentes, y "proporcion continua", con los mismos terminos medios.

(36) Este intervalo corresponde a la proporcion doble 2:1.

(37) Nicom., Ar. II 25. Cf. Theo Sm. 114.14 ss.

(38) Sobre la media harmonica y su relacion matematica con la media aritmetica, uid. R. L. BRUMBAUGH, op. cit., pp. 217-18.

(39) Theo Sm. 113.9-119.21.

(40) Nicom., Ar. II 27-29.

(41) Ap. Porph., in Harm. 96.6-17. Cf. A. BARKER, op. cit., p. 260, n. 61. Para los calculos matematicos de Arquitas de Tarento conducentes a la division de los generos y de los tetracordios, uid. Ptol., Harm. I 13, pp. 30-31 During.

(42) Op. cit., 1975, p. 91, n. 92.

(43) Cf. E. FRANK, Plato und die sogenannten Pythagoreer. Ein Kapitel aus der Geschichte des griechischen Geistes, Halle, 1923, pp. 166 y 268. Para un estudio del fragmento de Anaximandro y la problematica que implica, uid. Ch. H. KAHN, Anaximander and the Origins of Greek Cosmology, New York-London, 1960, pp. 61-62 y 94 ss.

(44) Cf. A. BARKER, op. cit., p. 260, n. 62.

(45) De nuevo nos hallamos ante otra variatio lexica respecto a la media o proporcion harmonica, expresada con la forma [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. Nicomaco prefiere, ahora, el termino peoox^c, propiamente "media matematica" (LSJ), i. e., "numero que resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de numeros y que, en determinadas condiciones, puede representar por si solo a todo el conjunto" (DRAE).

(46) Cf. M. MEIBOMIUS, op. cit., p. 50, que ya resalto la identificacion nicomaquea de estas dos medias dentro de la estructura "escalar" del octacordio de Pitagoras, "in quo numerus maximus XII respondet ipsi hypate; minimus VI, nete; medius Harmonicus VIII, mese; medius Arithmeticus IX, paramese".

(47) Cf. Theo Sm. 113.22-25 y Nicom., Ar. II 27.3. M. Meibomius, Ibid., anota lo siguiente a este respecto: "in vers. adde: quam qui ab extremis fit antelongior, hoc est, LXXII, toto a diferentia".

(48) Ar. II 23.1.

(49) Cf. Nicom., Ar. II 24. La "excelencia" de esta tercera media reside, entre otros aspectos, en el hecho lexico de que Nicomaco la menciona y detalla empleando las voces que aplico a las proporciones anteriores, a saber, la harmonica ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]) y la aritmetica ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]). Cf. Adrasto ap. Theo 106.15-17: [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] "de estas (sc. las medidas) Adrasto dice que la geometrica es la unica que puede ser llamada propiamente proporcion y es la primera". Vid. Nicom., Ar. II 21 y 24, donde habla de las proporciones y de la que aqui nos ocupa; en Ar. II 29 la llamma "la mas perfecta". Jamblic se refiere a ella como "musical".

(50) Las relaciones 12:8, 9:6 y 3:2 son equivalentes, es decir, corresponden a la misma fraccion de la unidad.

(51) J. GODWIN, op. cit., p. 410, n. 11, considera este ultimo calculo un tanto forzado, puesto que, como dice, "a true analogy would place it at the square root of 72--an irracional number, hence foreign Pythagorean mathematics"; cf. p. 430, n. 30.

(52) Cf. Boet., Arith. II 27.1 y II 46.6.

(53) F. R. LEVIN, op. cit., 1994, pp. 122-123.

(54) La escala presentada por Platon resulto ser la mas grande jamas empleada por los griegos, tanto a nivel teorico como practico. Adrasto ap. Theo Sm. 64.1-66.14 cuenta que Aristoxeno intento una afinacion a lo largo de no mas de dos octavas y una cuarta, esto es, el limite de la Escala Perfecta Mayor.

(55) Ap. Theo Sm., Ibid.

(56) En este sentido, A. BARKER, op. cit., p. 259, n. 60, considera que el geraseno, lejos de infravalorar a Platon, esta reconociendolo a Platon como un pitagorico de honor.

(57) No se confunda, en este contexto matematico, la nocion de "inexactitud" con la de "incorreccion" en cuanto a "error matematico". Los calculos (correctos) de Platon le llevaron a un mundo de inexactitudes matematicas conducentes, en ultimo termino, a la conclusion de la inexistencia del centro exacto de la octava. Considerese, ademas, que Nicomaco no era un pitagorico "ortodoxo", puesto que, efectivamente, en el siglo II d. C. los avances en calculos matematicos dejaban obsoleta la perseguida perfeccion del mundo pitagorico. De ahi, pensamos, que los pitagoricos ortodoxos se sintieran aplastados ante tal profucion de medidas y calculos que llevan a un mundo de inexactitudes tales, que podian, incluso, hacer pensar que la musica no podia tener sentido matematico. Presuponemos, en fin, que dicha realidad "incomoda" de inexactitudes es la que provoco el esfuerzo por aquilatar el tamano del leimma y de la apotome, asi como de otros microintervalos, lo que es un hecho aceptado por la geometria y un lugar comun en la tratadistica musical, como lo prueba el hecho de los intentos de varios autores, como Aristides Quintiliano o los citados por Porfirio.

(58) Estamos convencidos de que, al menos en el pitagorismo temprano emulado en estas lineas nicomaqueas, los pitagoricos e incluso el propio Pitagoras eran conscientes de estas carencias y errores, faltas que debian mantenerse en secreto y no salir de la Secta bajo pena, cuanto menos, de expulsion. Segun una leyenda, Hipaso de Metaponto, un discipulo de Pitagoras que demostro la irracionalidad de [square root of 2], fue expulsado de la sociedad pitagorica por revelar la inexactitud y lo ilogico del semitono y, por tanto, por romper la regla de silencio propia de la Secta. Segun otro relato, murio ahogado en el mar por este delito. Cf. A. E. TAYLOR, op. cit., p. 141.
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Title Annotation:I COMMENTATIONES
Author:Domene, Fuensanta Garrido
Publication:Euphrosyne. Revista de Filologia Classica
Date:Jan 1, 2013
Words:6584
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