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El teorema de Hahn-Banach como principio de eleccion.

Resumen

El teorema de Hahn-Banach implica el axioma de eleccion para familias de conjuntos convexos cerrados en espacios reflexivos y para familias mas generales de convexos en espacios localmente convexos. Es, en efecto, equivalente a varias formas de eleccion coherente en familias inversamente dirigidas de convexos y transformaciones continuas afines. Lo anterior es consecuencia de algunos resultados relacionados con baricentros de medidas finitamente aditivas y compacidad convexa. Dos caracterizaciones de la reflexividad de espacios normados en terminos de estos ultimos conceptos se siguen de Hahn-Banach.

Palabras clave: Teorema de Hahn-Banach, axioma de eleccion, medidas finitamente aditivas, baricentros, compacidad convexa.

Abstract

The Hahn-Banach theorem implies the axiom of choice for families of closed convex sets in normed reflexive spaces and for more general families of convex sets in locally convex spaces. It is, in fact, equivalent to several forms of coherent choice in inversely directed families of convex sets and affine continuous transformations. This is consequence of some results about convex compactness and baricenters of finitely aditive measures. Two characterizations of reflexive normed spaces in terms of these last concepts follow from Hahn-Banach.

Key words: Hahn-Banach theorem, axiom of choice, finitely aditive measures, baricenters, convex compactness.

1. Introduccion

El famoso teorema sobre de extension de funcionales que hoy llamamos de Hahn-Banach, pieza fundamental de analisis funcional, se debe independientemente al matematico austriaco Hans Hahn (1927) y al polones Stefan Banach (1929), quienes aparentemente generalizaron ideas del tambien austriaco Edward Helly (1912). El teorema se presenta en la literatura en formas diversas, tanto analiticas como geometricas. Tomaremos como basica para este trabajo la siguiente:

HB. Todo funcional lineal f definido en un subespacio E de un espacio vectorial real V y tal que f(x) [menor que o igual a] p(x), donde p es un funcional sublineal definido en V, puede extenderse a un funcional lineal [??] de V que sigue siendo acotado por p.

Recuerdese que p : V [flecha diestra] R es un funcional sublineal si p(x + y) [menor que o igual a] p(x) + p(y) y p([alfa]x) = [alfa]p(x), para todo x, y [elemento de] 7 y [alfa] [elemento de] [R.sup.+]. Del caso real se obtiene facilmente el teorema para espacios complejos con respecto a una seminorma p y con el acotamiento expresado en la forma [valor absoluto de f(x)] [menor que o igual a]p(x).

Por simplicidad consideraremos solamente espacios vectoriales reales.

Si dim(V/E) es finita, la extension [??] puede construirse explicitamente por induccion en la dimension. En particular, la demostracion del teorema para espacios finito-dimensionales no requiere el uso de principios no constructivos como el Axioma de Eleccion (AE). Sin embargo, en el caso de dimension infinita la existencia de [??] requiere alguna forma de eleccion. (3) Comunmente se utiliza toda la fuerza de este axioma, en la forma del Lema de Zorn, para demostrar el teorema.

Por otra parte, HB funciona en muchas circunstancias como un buen substituto de AE. El mismo Banach (1932) lo utilizo para demostrar la existencia de extensiones totales finitamente aditivas e invariantes bajo isometrias de la medida de Lebesgue en M o en [R.sup.2].

Posteriormente Luxemburg (1969) demostro que HB es equivalente a la existencia de medidas finitamente aditivas en cualquier algebra booleana. Ademas de sus consabidas aplicaciones al analisis funcional, HB permite demostrar algunas famosas consecuencias de AE que han sido utilizadas para cuestionar la validez de este ultimo axioma, como son la existencia de conjuntos no Lebesgue-medibles en la recta (Foreman y Wehrung, 1991) o la paradoja de Banach-Tarski en la esfera (Pawiikowski, 1991). Como es bien sabido, de esta ultima se desprende la imposibilidad de extender la medida de Lebesgue en [R.sup.n], n [mayor que o igual a] 3, a una medida total finitamente aditiva e invariante bajo isometrias (cf. Wagon, 1994).

Se sabe, sin embargo, que HB es estrictamente mas debil que AE, pues se sigue del principio de existencia de ultrafiltros (Los y Ryll-Nardzewski, 1954):

UF. Todo filtro propio sobre un conjunto puede extenderse a un ultrafiltro, principio que no implica AE, como fuera demostrado por Halpern y Levy (1971). Se sabe incluso que HB es estrictamente mas debil que UF (Pincus, 1974). Tenemos pues, en la teoria axiomatica de conjuntos sin el axioma de eleccion las implicaciones no reversibles:

AE [??] UF [??] HB

Cabe preguntar entonces cual es el alcance de HB como un principio de eleccion, pregunta que intentaremos responder en esta nota.

Mostraremos que HB implica el axioma de eleccion para familias de convexos cerrados en espacios de Banach reflexivos y para familias mas generales de convexos en espacios localmente convexos, y que es en efecto equivalente a ciertas formas de eleccion coherente en familias inversamente dirigidas de convexos. En particular, HB resulta equivalente a la afirmacion de que el limite proyectivo de una familia inversamente dirigida de simplejos finito-dimensionales y funciones simpliciales es siempre no vacio. En el curso del trabajo presentamos algunos resultados relacionados con baricentros de medidas finitamente aditivas y compacidad convexa, incluyendo dos caracterizaciones de la reflexividad de espacios normados en terminos de estos conceptos.

Presuponemos familiaridad con las bases del analisis funcional (vease, por ejemplo, Berberian 1974, Horvath 1966 o Rudin 1973). Entre las diversas consecuencias del teorema de Hahn-Banach, utilizaremos mas adelante las dos siguientes. La primera se obtiene directamente de HB tomando como funcional sublineal la funcion p(x) = [paralelo]f[paralelo] [paralelo]x[paralelo] y es, como veremos, equivalente a HB.

HBN (Hahn-Banach para espacios normados). Cualquier funcional lineal continuo f definido en un subespacio de un espacio normado tiene una extension continua [??] a todo el espacio tal que [paralelo][??][paralelo] = [paralelo]f[paralelo].

Para la segunda, recuerdese que un espacio vectorial topologico es localmente convexo si tiene una base de vecindades convexas, como es el caso de los espacios normados.

HBG (Hahn-Banach geometrico). Sea [ipsilon] [no elemento de] C, donde C es un subconjunto cerrado convexo de un espacio localmente convexo V. Entonces existe [alfa] [elemento de] R y un funcional continuo f de V tal que f([ipsilon])<[alfa]< f(x) para toda x [elemento de] C.

El anterior resultado se sigue de HB sin ninguna intervencion auxiliar de AE, pues depende de la regularidad de los espacios vectoriales topologicos y de las propiedades del funcional de Minkowski en espacios localmente convexos, las cuales pueden demostrarse constructivamente. Examinese, por ejemplo, la demostracion del Th. 3.4(b) en Rudin (1973). HBG es una de los muchos teoremas de separacion derivados de HB, y vale tambien si reemplazamos {[ipsilon]} por un convexo compacto disyunto de C. Garantiza, entre otras cosas, que los funcionales lineales continuos de un espacio localmente convexo de Hausdorff separan puntos.

2. Medidas finitamente aditivas

Una medida finitamente aditiva en una algebra booleana B no trivial (en adelante simplemente, una medida) sera una funcion m : B [flecha diestra] R que cumple: m([1.sub.B]) = 1, m(a) [mayor que o igual a] 0 y m(a [disyuncion] b) = m(a) + m(b) si a [ademas] b = 0. Esto implica m(a) = 0 y m (a) [menor que o igual a] m (6) cuando a [menor que o igual a] b.

Luxemburg (1969) demostro la equivalencia entre HB y la existencia de medidas en cualquier algebra booleana no trivial, utilizando productos reducidos e ideas del analisis no-estandar. Damos aqui una nueva demostracion de este resultado. Comenzamos mostrando a partir de HBN un teorema mas general sobre extension de medidas, debido originalmente a Horn y Tarski (1948), del cual se sigue el de existencia. La otra direccion de la equivalencia se obtendra mas adelante. A lo largo del trabajo, indicaremos entre parentesis las hipotesis de las que cada proposicion depende. ZF denotara la teoria de conjuntos sin el axioma de eleccion.

Teorema 1 (ZF + HBN). Cualquier medida definida en una subalgebra de una algebra booleana puede extenderse a toda el algebra.

Demostracion. Dada una algebra booleana B [desigual a] {[0.sub.B]}, una particion de B es un subconjunto finito P [subconjunto que o igual a] B - {0} tal que [disyuncion]P - [1.sub.B]yp [ademas]p' - 0 para todo p,p' [elemento de] P, p [desigual a] p'. Las particiones estan parcialmente ordenadas por la siguiente relacion (Q es mas fina que P):

Q [menor que o igual a] P si y solamente si [atane a todos]q [elemento de] Q [existente en]p [elemento de] P (necesariamente unico) tal que q [menor que o igual a] p,

equivalentemente, todo elemento de P es un supremo de elementos de Q. Con este orden las particiones forman un semireticulo inferior con

P[conjuncion]Q = {p[conjuncion]q :p [elemento de]P, q[elemento de]Q}- {0}.

Toda funcion f : P [flecha diestra] R puede "extenderse" a Q [menor que o igual a] P,definiendo [f.sub.Q](q) = f(p) para el unico p [elementto] P tal que q [menor que o igual a] p. El conjunto S(B) = {f : P [flecha diestra] R : P particion de B}/ donde ~ es la relacion de equivalencia:

f ~ g si y solamente si [f.sub.P[conjuncion]Q] = [g.sub.P[conjuncion]Q],

forma un espacio vectorial normado con producto por escalar [alfa][f.sub.~] = ([alfa][f.sub.~], suma [f.sub.~] = [g.sub.~] ([f.sub.p[conjuncion]Q] + [g.sub.p[conjuncion]Q])~,y norma [paralelo][f.sub.~][paralelo] = max{[valor absoluto de f(p)] : p [elemento de] P}. Cada a [elemento de] B tiene una funcion caracteristica [[ji].sub.a] [elemento de] S(B):

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Se verifica facilmente que [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] es el cero del espacio vectorial y que si a [conjuncion] b = 0 entonces [[ji].sub.a[disyuncion]b] = [[ji].sub.a] + [[ji].sub.b]. Ahora, si A es una subalgebra de B en la cual esta definida una medida m, considere el siguiente subespacio de S(B): E = {[f.sub.~] : dom f [subconjunto que o igual a]A}. Entonces la funcion [fi] : E [flecha diestra] R dada por

[fi] ([f.sub.~]) = [suma de (p[elemento de] dom (f))] f(p)m(p)

es un funcional lineal bien definido. Claramente [paralelo][fi][paralelo] = 1, y por HBN podemos extender [fi] a todo S(B) manteniendo la misma norma. Entonces m(a) = [fi]([ [ji].sub.a]) es la medida buscada pues y [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] pues de lo contrario se tendria [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Recuerdese que un subconjunto S de una algebra booleana tiene la propiedad de intersecciones finitas (p.i.f.) si para todo [x.sub.1],..., [x.sub.n] [elemento de] S se tiene [x.sub.1] [conjuncion] ... [conjuncion][x.sub.n] [desigual a] 0.

Corolario 1 (ZF + HBN). En toda algebra booleana no trivial B existe una medida m. Ademas, si S [subconjunto que o igual a] B tiene la p.i.f, esta puede escogerse de manera que m(b) = 1 para todo b [elemento de] S.

Demostracion. Para obtener la existencia de una medida en B, extienda la medida obvia en la subalgebra {[0.sub.B], [1.sub.B]}- Ahora, si el subconjunto S tiene la p.i.f. considere el homomorfismo natural [eta] : B [flecha diestra] B/F, donde F es el filtro generado por S en B. Como F es propio, B/F es no trivial y tiene una medida [my]; luego m = [my] [omicron] [eta] es la medida deseada.

Una primera ilustracion del poder de eleccion de HB es que permite escoger una medida para cada algebra de una familia dada de algebras booleanas, sin tener que apelar al axioma de eleccion, observacion debida a Pawiikowski (1991).

Corolario 2 (ZF + HB). Para toda familia [{[B.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] de algebras booleanas no triviales existe una familia [{[m.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] tal que [m.sub.i] es una medida en [B.sub.i].

Demostracion. Sea B el coproducto de las [B.sub.i] y sean [h.sub.i] : [B.sub.i] [flecha diestra] B, i [elemento de] I, los homomorfismos canonicos. Como estos son siempre inyectivos, B es no trivial y por tanto soporta una medida m. Defina [m.sub.i] = m [omicron] [h.sub.i].

Una medida en el algebra de partes P(X) de un conjunto X se llamara una medida sobre X. Las siguientes afirmaciones y construcciones, que generalizan hechos bien conocidos acerca de medidas [sigma]-aditivas definidas en [sigma]-algebras de conjuntos, pueden obtenerse sin utilizar HB ni forma alguna de AE, como puede verificarlo el lector.

Dado un conjunto X sea A(X) el espacio vectorial de las funciones reales acotadas en X con la norma del supremo, y sea S(X) el subespacio de las funciones en X de rango finito (funciones simples). S(X) es efectivamente denso en A(X), es decir, para cada f [elemento de] A(X) puede construirse explicitamente una sucesion de Cauchy [s.sub.n] en S(X) tal que [s.sub.n] [flecha diestra] f. Tomese, por ejemplo, [r.sub.n] = (-1 + k/n)[paralelo]f[paralelo], k = 0,1,..., 2n, y definase:

[s.sub.n](x) = [r.sub.k] six [elemento de] [f.sup.-1]([[r.sub.k], [r.sub.k+1])), k = 0,1,..., 2n-1.

[s.sub.n](x) = [r.sub.2n] si x [elemento de] [f.sup.-1]({[r.sub.2n]})

(en general, la densidad de un espacio metrico en otro no implica la existencia de tales sucesiones, a no ser que se utilize el axioma de eleccion enumerable.)

Dada una medida m sobre X puede definirse una integral en las funciones simples de la manera obvia:

[[integral].sub.X] s dm = [n.suma de (i=1)] [a.sub.i] m([s.sup.-1]([a.sub.i]))

donde {[a.sub.i],.., [a.sub.n]} es el rango de s, y se verifica facilmente que [[integral].sub.X] (rs + t)dm = r [[integral].sub.X] s dm + [[integral].sub.X]t dm, y [valor absoluto de [[integral].sub.X] s dm] [menor que o igual a] s[paralelo]. Esto significa que [[integral].sub.X] ( )dm es un funcional lin-[paralelo]s[paralelo]. Esto significa que fx( )dm es un funcional lineal continuo en S(X). Como la continuidad es necesariamente uniforme, este funcional puede extenderse univocamente a todo A(X), definiendo

[[integral].sub.X] f dm = [lim.sub.n] [[integral].sub.X] [s.sub.n] dm.

La linealidad y el acotamiento se heredan automaticamente. Otras propiedades que se verifican facilmente, primero en funciones simples y luego en funciones acotadas, son las siguientes:

I-1. Si f [menor que o igual a] g en X, se tiene [[integral].sub.X] f dm [menor que o igual a] [[integral].sub.X] g dm.

I-2. [[integral].sub.X] c dm = c, para c constante.

I-3. [valor absoluto de [[integral].sub.X] f dm] [menor que o igual a] [paralelo]f[[paralelo].sub.A(X)] = [sup.sub.x[elemento de]X] [valor absoluto de f(x) [valor absoluto de.

Si C [subconjunto que o igual a] X es tal que m(C) = 1, entonces m puede considerarse como una medida sobre C y se tiene, escribiendo [[integral].sub.C] fdm por [[integral].sub.C] f[??]C dm:

I-4. [[integral].sub.C] f dm = [[integral].sub.X] fdm.

Una funcion cualquiera h : X [flecha diestra] Y induce una medida [my](S) = m([h.sup.-1](S)) sobre Y, y se tiene para toda f [elemento de] A(Y):

I-5. [[integral].sub.Y] f d[my]. = [[integral].sub.X] f [omicron] h dm.

Verificamos esta ultima propiedad: vale claramente para funciones simples pues [[integral].sub.Y] s d[my] = [[SIGMA].sup.n.sub.i=1] [a.sub.i] [my]([s.sup.-1]([a.sub.i])) = [[SIGMA].sup.n.sub.i=1] [a.sub.i]m([(s [omicron] h).sup.-1]([a.sub.i])) = [[integral].sub.A]s [omicron] h dm. Ahora, si [s.sub.n] [elemento de] S(X) converge a f [elemento de] A(X), entonces [s.sub.n] [omicron] h converge a f [omicron] h y por lo tanto, [[integral].sub.Y] f d[my] = [lim.sub.n] [[integral].sub.Y] [s.sub.n]d[my] = [lim.sub.n] [[integral].sub.A] [s.sub.n] [omicron] h dm = [[integral].sub.B] f [omicron] h dm.

3. Baricentros

En adelante, V denotara un espacio vectorial topologico (e.v.t.) y V' denotara el espacio de funcionales lineales continuos de V, es decir su espacio dual.

Recuerdese que si V es normado entonces tambien lo es V' en forma natural, con la norma [paralelo]f[paralelo] = sup{[valor absoluto de f(x)] : x[paralelo] [menor que o igual a] 1}. Para cada x [elemento de] V la evaluacion [E.sub.x] : V' [flecha diestra] R, [paralelo]x[paralelo] [menor que o igual a] 1}. Para cada x [elemento de] V la evaluacion [E.sub.x] : V' [flecha diestra] K, [E.sub.x](f) = f(x) es un funcional lineal continuo, es decir, [E.sub.x] [elemento de] V". La transformacion lineal J : V [flecha diestra] V" dada por J(x) = [E.sub.x] es continua, y es una inyeccion isometrica si V' separa puntos de V. Este sera siempre el caso si suponemos HB. El espacio V se dice reflexivo si J : V [flecha diestra] V" es una biyeccion, es decir todo funcional [fi] [elemento de] V" tiene la forma [fi](f) = f(x) para algun x [elemento de] V.

Consideraremos tambien en V' la topologia debil estrella, es decir, la topologia inicial inducida por las evaluaciones [E.sub.x]. Esta topologia es de Hausdorfi, localmente convexa, y en general mas debil que la de la norma.

Definicion. Sea X [desigual a] [conjunto vacio] un subconjunto de un e.v.t. y tal que todo f [elemento de] V' es acotado en X y sea m una medida sobre X. Entonces para todo f [elemento de] V' existe la integral [[fi].sub.m](f) = [[integral].sub.X] f dm = [[integral].sub.X]f[??]Xdm, asi que [[fi].sub.m] constituye un funcional lineal de V. Diremos que b [elemento de] V es un baricentro de m si [[integral].sub.X] f dm = f(b) para toda f [elemento de] V'. (4)

Si X es acotado en un espacio normado, se tiene [valor absoluto de [[fi].sub.m](f)] [menor que o igual a] [sup.sub.x[elemento de]X] [valor absoluto de f(x)] [menor que o igual a] [paralelo]/[paralelo]([sup.sub.x[elemento de]X][paralelo]x[paralelo]), y por tanto la integral [[fi].sub.m] es continua para la topologia de la norma en V', es decir [[fi].sub.m] [elemento de] V". Luego, por definicion de reflexividad tenemos:

Lema 1 (ZF). Toda medida sobre un subconjunto acotado de un espacio normado reflexivo tiene baricentro.

En particular, en espacios de Hilbert y en espacios finito-dimensionales el baricentro existe y coincide con el familiar centro de masa (ver Enciso, 2000).

Para acotados de espacios normados no reflexivos no necesariamente existe el baricentro (vease el Teorema 2 en esta seccion). Sin embargo, una medida en un subconjunto acotado del dual V' de un espacio normado V siempre tiene baricentro si se considera la topologia debil estrella en lugar de la topologia de la norma, independientemente de que V' sea reflexivo o no.

Lema 2 (ZF). Sean V normado y F [subconjunto que o igual a] V' acotado para la norma inducida en V'. Entonces toda medida m sobre F tiene baricentro con respecto a la topologia debil estrella de V'.

Demostracion. Se verifica facilmente que [b.sub.m] (x) = [[integral].sub.F][E.sub.x] dm es lineal en x [elemento de] V, y ademas [valor absoluto de [b.sub.m](x)] [menor que o igual a] [sup.sub.f[elemento de]F] [valor absoluto de f(x)] [menor que o igual a] ([sup.sub.f[elemento de]F][paralelo]f[paralelo])[paralelo]x[paralelo], es decir, [b.sub.m] [elemento de] V'. Como [[integral].sub.F][E.sub.x]dm - [E.sub.x]([b.sub.m]) para cada x por definicion, y los funcionales continuos de V' para la topologia debil estrella son precisamente las evaluaciones [E.sub.x] (Rudin, Th. 3.10), se tiene que [b.sub.m] es el baricentro de m con respecto a esta topologia.

HB garantiza que el baricentro de una medida sobre X en un espacio de Hausdorff localmente convexo es unico y pertenece a la clausura de la envolvente convexa de X (convX), ademas de que es preservado por transformaciones lineales continuas. Mas precisamente,

Lema 3 (ZF + HB). Sea V un espacio localmente convexo de Hausdorff y suponga que m es una medida en X [subconjunto que o igual a] V con baricentro b. Entonces:

i. b es unico.

ii. b [elemento de] [barra.convC], para todo C [subconjunto que o igual a] X tal que m(C) = 1.

iii. Si t : X [flecha diestra] Y es la restriccion de un transformacion lineal continua de V a un espacio localmente convexo W y [my] es la medida inducida por m en Y entonces t(b) es baricentro de [my] en W.

Demostracion, (i) Si x [desigual a] b por HBG existe f [elemento de] V' tal que f(x) [desigual a] f(b), luego [[integral].sub.X] f dm = f(b) [desigual a] f(x).

(ii) Consideremos a m como una medida en C. Si b [no elemento de] [barra.convC] entonces por HBG existen [alfa] [elemento de] M y f [elemento de] V' tales que f(b) < [alfa] [menor que o igual a] f(x) para toda x [elemento de] [barra.convC]. Luego f(b) < [alfa] = [[integral].sub.C]adm [menor que o igual a] [[integral].sub.C] f dm = [[integral].sub.X] f dm, por las propiedades I-1,2,4 en la seccion anterior, una contradiccion.

(iii) Para cualquier g [elemento de] W' se tiene [[integral].sub.Y] g dmu] - [[integral].sub.X] g [omicron] t dm = g{t{b)) por la propiedad 1-5 de la seccion anterior. square

Observacion. En el caso de espacios de Hilbert o espacios finito-dimensionales, el lema anterior depende solamente de ZF, pues los usos de HBG en la prueba pueden obtenerse constructivamente sin invocar HB.

Como hemos dicho, el baricentro no siempre existe en espacios normados no reflexivos. En efecto, suponiendo HB, la existencia de baricentros caracteriza los espacios normados reflexivos.

Teorema 2 (ZF + HB). Un espacio normado es reflexivo si y solamente si toda medida sobre un subconjunto acotado (o simplemente sobre la bola unitaria cerrada) tiene baricentro para la topologia de la norma.

Demostracion. Suponga que V es normado no reflexivo, y sean B y B" las bolas unitarias cerradas de V y V", respectivamente. Entonces existe d [elemento de] B" \ J{B), de lo contrario V seria reflexivo. Sea F el filtro de vecindades cerradas convexas de d para la topologia debil estrella de V". Como J{B) es densa en B" para esta topologia (la prueba de esta afirmacion puede hacerse constructivamente, vease Th. 45.3 en Berberian, 1974), el filtro g = {[J.sup.-1](N) [interseccion] B : N [elemento de] F} tiene la p.i.f. Tome una medida m en B que de valor 1 a los elementos de g (Corolario 1) y suponga que tiene baricentro b [elemento de] V con respecto la topologia de la norma, entonces b [elemento de] B por el Lema 1-ii. Como J : V [flecha diestra] V" es continua para la topologia debil estrella en V" entonces J(b) debe ser el baricentro de la medida inducida en B" con respecto a esta topologia por el Lema 3-iii. Como las vecindades cerradas convexas de d en B" para esta topologia tienen medida 1, J(b) pertenece a su interseccion (Lema 1-ii). Pero por convexidad local y la propiedad de Hausdorff de la topologia debil estrella en V", la interseccion de estas vecindades deber ser d [no elemento de] J(B), lo que da una contradiccion.

4. Compacidad convexa

Diremos que un subconjunto convexo C de un espacio vectorial topologico V es convexamente compacto (c--compacto) si toda coleccion de conjuntos convexos cerrados en C con la propiedad de intersecciones finitas (p.i.f.) tiene interseccion no vacia. Kothe (1969) considera una version debil de esta propiedad.

Por supuesto, todo convexo compacto es c--compacto, pero no vale el reciproco. Por ejemplo, la bola unitaria cerrada de un espacio de Hilbert de dimension infinita es c--compacta (ver Corolario 3), pero es bien sabido que no puede ser compacta. En espacios finito-dimensionales c--compacto y compacto coinciden. Los c--compactos comparten muchas de las agradables propiedades de los compactos si nos restringimos a funciones lineales, o mas generalmente a funciones afines. Una funcion f : X [flecha diestra] Y entre convexos se dice afin si f([alfa]x + (1 - [alfa])y) = [alfa]f(x) + (1 - [alfa])f(y), para todo x, y [elemento de] X y [alfa] [elemento de] [R.sup.+]. Claramente, la imagen directa o inversa de una funcion afin preserva convexidad.

Lema 4 (ZF). Sea C un conjunto convexo c-compacto en un e.v.t. V. Entonces:

i. Toda funcion real afin continua definida en C es acotada.

ii. La imagen de C bajo cualquier transformacion afin continua es c--compacta.

iii. Si V es de Haudorff, C es cerrado.

Demostracion, (i) Si f [elemento de] V no fuera acotado en C entonces los convexos cerrados de C : [C.sub.n] = C [interseccion] [f.sup.-1]([n, [infinito])) tendrian la p.i.f. y por c-compacidad existiria x [elemento de] C con f(x) [mayor que o igual a] n para toda n. (ii) La prueba es la misma que para compacidad ordinaria, pues los conjuntos convexos son preservados por imagenes inversas de funciones afines, (iii) Si x [elemento de] C, entonces C[interseccion]N [desigual a] [conjunto vacio] para toda vecindad convexa N de x. Por c--compacidad, C[interseccion] [[interseccion].sub.x[elemento de]N][barra.N] [desigual a] [conjunto vacio],y por convexidad local, regularidad y la propiedad de Hausdorff: [[interseccion].sub.x[elemento de]N] [barra.N] = {x}, luego x [elemento de] C.

Se desprende del lema anterior que si m es una medida en un convexo c--compacto C entonces [[integral].sub.C] f dm esta definida para toda funcion real afin continua f.

El siguiente teorema generaliza un resultado clasico sobre existencia de baricentros para medidas a-aditivas en convexos compactos de espacios localmente convexos (cf. Bourbaki, 1955, o Fonf-Lindenstrauss-Phelps, 2001), y generaliza el hecho de que en este caso el baricentro representa tambien la integral de las funciones reales afines continuas.

Teorema 3 (ZF). Toda medida finitamente aditiva sobre un conjunto convexo c--compacto C de un espacio vectorial topologico tiene un baricentro b en C. Ademas se tiene [fi](f) = [[integral].sub.C] f dm = f{b) para toda funcion real afin continua definida en C.

Demostracion. Por c--compacidad, es suficiente demostrar que la familia de conjuntos convexos cerrados [H.sub.f] = C [interseccion] [f.sup.-1]([fi](f)) con f real afin continua en C tiene la p.i.f., pues un elemento b [elemento de] [[interseccion].sub.f[elemento de]V'] [H.sub.f] sera necesariamente un baricentro de m en C con la propiedad adicional requerida. Dadas funciones reales afines continuas [f.sub.1],..., [f.sub.n] en C, sea T : V [flecha diestra] [R.sup.n] el operador afin continuo T([ipsilon]) - ([f.sub.1]([ipsilon]),...., [f.sub.n]([ipsilon])). Entonces T(C) es convexo, c-compacto por el Lema 4-ii, y cerrado por el Lema 4-iii. Suponga t = ([fi]([f.sub.1]),...., [fi]([f.sub.n])) [no elemento de] T(C), entonces por HBG en [R.sup.n] (que no requiere invocar HB, por ser [R.sup.n] finito-dimensional), existen un funcional h([y.sub.1],...., [y.sub.n]) = [[SIGMA].sub.i][a.sub.i][y.sub.i] en [R.sup.n] y un real [alfa] tales que h(t) > [alfa] [mayor que o igual a] h(x), para todo x [elemento de] T(C). Es decir, [[SIGMA].sub.i][a.sub.i][fi]([f.sub.i]) > [alfa] > [[SIGMA].sub.i] [a.sub.i][f.sub.i]([ipsilon]) Para toda [ipsilon] [elemento de] C. Tomando la funcion afin g = [[SIGMA].sub.i] [a.sub.i][f.sub.i], y usando la linealidad de la integral, esto significa [fi](g) > [alfa] [mayor que o igual a] g([ipsilon]) para todo [ipsilon] [elemento de] C; lo cual es imposible pues la segunda desigualdad implica [fi](g) = [[integral].sub.C] gdm [menor que o igual a] [[integral].sub.C] [alfa]dm = [alfa]. Concluimos que ([fi]([f.sub.1]),...., [fi]([f.sub.n])) [elemento de] T(C) y por tanto ([fi]([f.sub.1]). ..., [fi]([f.sub.n])) = ([f.sub.1](b),...., [f.sub.n](b)) para algun b [elemento de] C, es decir, [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Si suponemos HB, la existencia de baricentros caracteriza los c--compactos convexos en espacios localmente convexos de Hausdorff.

Lema 5 (ZF + HB). Un convexo X en un espacio localmente convexo de Hausdorff es c--compacto si y solamente si es cerrado y toda medida en X tiene baricentro en X.

Demostracion. Una direccion la dan el Lema 4-iii y el teorema anterior. Para la otra suponga que X es cerrado y toda medida tiene baricentro en X, y sea [{[C.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] una familia de subconjuntos convexos cerrados de X con la p.i.f. Sin perdida de generalidad podemos suponer que la familia es cerrada bajo intersecciones finitas. Por HB existe una medida m sobre X tal que m([C.sub.i]) = 1 para toda i [elemento de] I. Si b es el baricentro de m, entonces b [elemento de] [C.sub.i] para todo i por el Lema 3-ii.

De los Lemas 1, 2 y 5 obtenemos:

Corolario 3 (ZF + HB). Todo convexo cerrado y acotado de un espacio normado reflexivo, o del dual de un espacio normado con la topologia debil estrella, es c--compacto.

Finalmente, del Teorema 2 y el Corolario 3 obtenemos otra caracterizacion de los espacios normados reflexivos.

Corolario 4 (ZF + HB). Un espacio normado es reflexivo si y solamente si su bola unitaria es c--compacta para la topologia de la norma.

5. Eleccion en convexos

Tenemos ya los elementos para obtener las formas de eleccion explicita que HB provee. Una eleccion para una familia [{[C.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] de conjuntos no vacios sera una familia [{[x.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] tal que [x.sub.i] [elemento de] [C.sub.i] para todo i [elemento de] I. El axioma de eleccion afirma, por supuesto, que una tal eleccion siempre existe.

Teorema 4 (ZF). HB implica el axioma de eleccion para familias [{[C.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] de conjuntos c--compactos en espacios localmente convexos de Hausdorff. Igualmente, para familias de convexos cerrados en espacios normados reflexivos, o en duales de normados con la topologia debil estrella.

Demostracion. Por el Corolario 2, existe una familia de medidas [m.sub.i] sobre [C.sub.i], que por el Teorema 3 y el Lemas 3-ii y tienen baricentro unico [b.sub.i] [elemento de] [C.sub.i]. La familia [{[b.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] es la eleccion requerida. Para la segunda afirmacion, si los [C.sub.i] son convexos cerrados pero no acotados, sea [[delta].sub.i] = inf{[paralelo][v.sub.i] : x [elemento de] [C.sub.i]} y aplique lo anterior a los conjuntos [C*.sub.i] = N[[delta].sub.i+1](0)[interseccion] [C.sub.i], que son convexos cerrados y acotados por construccion, y por lo tanto c--compactos por el Corolario 3.

Debemos observar que en el caso de espacios de Hilbert la eleccion en una familia de convexos cerrados no vacios [{[C.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] puede obtenerse explicitamente sin apelar al teorema de Hahn-Banach, pues en este caso existe un unico [x.sub.i] [elemento de] [C.sub.i] tal que [paralelo][x.sub.i][paralelo] = inf{[paralelo]x[paralelo] : x [elemento de] C}. Sin embargo, esta ultima afirmacion no es valida para espacios de Banach reflexivos que no sean de Hilbert, ni siquiera en el caso finito-dimensional.

Sea [{[C.sub.i], [f.sub.ij]}.sub.i[menor que o igual a] [elemento de]I] una familia inversamente dirigida de conjuntos y funciones, donde (I, [menor que o igual a]) es un conjunto parcialmente ordenado e inversamente dirigido (es decir, para todo i,j [elemento de] I existe k [elemento de] I tal que k [menor que o igual a] i,j). Una eleccion [{[x.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] de [{[C.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] se dice coherente si

[f.sub.ij][(.sub.xi]) = [x.sub.j] para todo i [menor que o igual a] j.

En otras palabras, [{[x.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] pertenece al limite inverso o proyectivo de la familia [{[C.sub.i], [f.sub.ij]}.sub.i[menor que o igual a]j[elemento de]I].

Una eleccion coherente no siempre existe, ni siquiera suponiendo el axioma de eleccion. Considere, por ejemplo, la cadena de inclusiones *** [flecha diestra] (0, 1/3) [flecha diestra] (0, 1/2) [flecha diestra] (0,1) en R. Sin embargo, como consecuencia del Teorema de Tichonoff, si los [C.sub.i] son compactos de Hausdorff no vacios y cada [f.sub.ij] es continua entonces el limite proyectivo es no vacio y por lo tanto existe una eleccion coherente. Esta es realmente una consecuencia de UF, pues requiere solamente el Teorema de Tichonoff para espacios compactos de Hausdorff, principio equivalente a UF (cf. Levy, 1979). El teorema de Hanh-Banach nos proporciona una version lineal de este resultado.

Teorema 5 (ZF). HB implica eleccion coherente para familias inversamente dirigidas de convexos c--compactos no vacios en espacios localmente convexos de Hausdorff y transformaciones afines continuas.

Demostracion. Una familia inversamente dirigida

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde cada [C.sub.i] yace en un espacio localmente convexo de Hausdorff y [t.sub.ij] es una transformacion afin, induce una familia directamente dirigida de algebras booleanas y homomorfismos booleanos con respecto al orden opuesto de (I, [menor que o igual a]):

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Sea [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] el limite directo (o inductivo) de esta familia, y sean [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] los homomorfismos canonicos. Como [C.sub.i] [desigual a] [conjunto vacio], entonces cada P{[C.sub.i]) es una algebra booleana no trivial y por tanto B es no trivial (el 0 y el 1 de las algebras no son identificados en ningun P([C.sub.i]), luego no son identificados en el limite). Por HB (Corolario 1-i), existe una medida m en B, que induce a su vez una medida [m.sub.i] = m [omicron] [[rho].sub.i]: P([C.sub.i]) [flecha diestra] R, para cada i. Entonces se tiene para toda j [mayor que o igual a] i

[m.sub.j] = [my] [omicron] [[rho].sub.j] = [my] [omicron] [[rho].sub.i] [omicron] [t.sup.-1.sub.ij] = [m.sub.i] [omicron] [t.sup.-1.sub.ij].

Es decir, [m.sub.j] es la medida inducida por [m.sub.i] y [t.sub.ij] sobre [C.sub.j]. Por el Teorema 3 y el Lema 3-i, [m.sub.i] tiene un unico baricentro [b.sub.i] [elemento de] [C.sub.i]. Por la afinidad y continuidad de [t.sub.ij] y el Lema 3-iii, que vale para t afin por el mismo Teorema 3, tenemos para toda j [mayor que o igual a] i que [t.sub.ij] ([b.sub.i]) es baricentro de [m.sub.j], y por unicidad de [b.sub.j] concluimos que [t.sub.ij]([b.sub.i]) = [b.sub.j]. Es decir, [{[b.sub.i]}.sub.i[elemento de]I] es una eleccion coherente.

Por el Corolario 3, tenemos entonces eleccion coherente para familias inversamente dirigidas de convexos cerrados acotados no vacios en espacios reflexivos o duales de normados con la topologia debil estrella, y funciones lineales o afines continuas. En particular, para convexos cerrados y acotados en espacios finito-dimensionales.

Un espacio finito-dimensional V posee una unica topologia que lo hace espacio vectorial topologico de Hausdorff, pues dadas dos tales topologias, la escogencia de una base produce un isomorfismo con [R.sup.n] que es un homeomorfismo para cada una de ellas. Fijando una base se ve facilmente que toda transformacion lineal es continua para esta topologia. Ademas cualquier norma en el espacio la induce, y un subconjunto es compacto para esta unica topologia si y solamente es cerrado y acotado bajo dicha norma (la prueba de estos hechos no require forma alguna de AE). La nocion de compacto es entonces intrinseca a la estructura lineal de los espacios finito-dimensionales. Por otra parte, los usos de HB en la demostracion del teorema anterior (Lema 3-i, iii), aparte de la existencia de medidas, son eliminables en el caso finito-dimensional por la observacion que sigue al Lema 3. Si llamamos EM a la existencia de medidas en algebras booleanas, tenemos entonces:

Corolario 5 (ZF). EM implica eleccion coherente para familias inversamente dirigidas de convexos compactos finito-dimensionales y restricciones de funciones lineales.

Eleccion coherente en convexos compactos finito-dimensionales permite demostrar a su vez el Teorema de Hahn-Banach, en forma bastante natural.

Teorema 6. (ZF) Eleccion coherente para convexos compactos finito-dimensionales y restricciones de funciones lineales implica HB.

Demostracion. Sea p un funcional sublineal en V, E un subespacio de V, y f : E [flecha diestra] R un funcional lineal tal que f [menor que o igual a] p en E. Para cada subespacio finito-dimensional W de V, defina

[C.sub.W] = {g : g [elemento de] W', [reune a igual a] f [??] W [interseccion] E, g(x) [menor que o igual a] p(x) para toda x [elemento de] W},

y para W [reune a igual a] Z sea [t.sub.WZ] : W' [flecha diestra] Z' el operador lineal de restriccion. Obviamente [C.sub.W] es convexo, y es no vacio ya que HB vale en dimension finita. Si fijamos una base en W y tomamos por norma [paralelo] [paralelo] la suma del valor absoluto de las coordenadas, se verifica facilmente por la sublinealidad y homogeneidad de p que [sup.sub.[paralelo]x[paralelo][menor que o igual a]1]p(x) = M < [infinito]. Ademas, [paralelo] [paralelo] induce una norma [paralelo]g[paralelo] = [sup.sub.[paralelo]x[paralelo][menor que o igual a]1] [valor absoluto de x] g(x)] en W' para la cual [C.sub.W] es obviamente acotado por M, y con la cual es facil probar que [C.sub.W] es cerrado. Esto significa que [C.sub.W] es compacto para la unica topologia de Hausdorff de W' (tambien finito-dimensional). Finalmente, por ser lineal, cada [t.sub.WZ] es continua. Entonces [{[C.sub.W], [t.sub.WZ] [??] [C.sub.W].sub.W[reune a igual a]Z] forma un sistema inversamente dirigido de convexos compactos en espacios finito-dimensionales y por hipotesis existe una eleccion coherente [g.sub.W] [elemento de] [C.sub.W]. Asi, g = [union][g.sub.W] es un funcional que cumple los requisitos de HB.

De los corolarios 1, 5 y el Teorema 6 obtenemos la direccion que nos faltaba del teorema de Luxemburg, y tambien la equivalencia entre HB y HBN.

Corolario 6 (ZF). HB, HBN y EM son equivalentes.

Formas aparentemente mas debiles de eleccion coherente ya implican HB. Recordemos que un simplejo geometrico es la envolvente convexa de un conjunto finito de vectores (en posicion general) en algun espacio vectorial. Una funcion simplicial entre simplejos geometricos, que pueden yacer en distintos espacios, es la extension convexa de una funcion entre vertices de los simplejos.

Claramente, todo simplejo es compacto en el espacio finito-dimensional que genera y toda funcion simplicial es afin y continua.

Teorema 7 (ZF). Eleccion coherente para simplejos geometricos y funciones simpliciales implica HB.

Demostracion. Por el corolario anterior, es suficiente mostrar EM. Dada una algebras booleana B y una subalgebra finita no trivial D, el conjunto de sus atomos, [A.sub.D], es necesariamente no vacio. Es facil ver que si D' [menor que o igual a] D [menor que o igual a] B son subalgebra finitas no triviales de B entonces [A.sub.D] y [A.sub.D]' son particiones de B (en el sentido de la seccion 2) con [A.sub.D] mas fina que [A.sub.D], luego la funcion [f.sub.DD'] : [A.sub.D] [flecha diestra] [A.sub.D'] dada por

[f.sub.DD'](a) = unico a' [elemento de] [A.sub.D'] tal que a [menor que o igual a] a'

esta bien definida. Sea [DELTA] ([A.sub.D]) el simplejo geometrico generado por [A.sub.D] en [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], y [f.sub.DD'] la extension convexa d e [f.sub.DD'] a [DELTA](A[DELTA]). Entonces la familia

[[bar.f].sub.DD'] : [DELTA]([A.sub.D]) [flecha diestra] [DELTA]([A.sub.D']), D[mayor que o igual a]D'

subindicada por las subalgebras finitas de B forma un sistema inversamente dirigido de simplejos y funciones simpliciales. Sea [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] una eleccion coherente en este sistema, entonces

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

lo que implica, por definicion de [f.sub.DD'] que [[ipsilon].sub.D'] (a) = [SIGMA]) {[[ipsilon].sub.D](a) : [f.sub.DD'](a} = a'} = [SIGMA]{[[ipsilon].sub.D](a) : a [menor que o igual a] a', a [elemento de] [A.sub.D]}. Defina en D la medida:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Entonces [[my].sub.D] = [[my].sub.D] [??] D' para D' [menor que o igual a] D, pues si b [elemento de] D' se tiene [[my].sub.D'](b) = [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. Asi que la medida deseada es [[my].sub.B] = [union]{[[my].sub.D] : D subalgebra finita de B}.

Resumiendo los resultados relacionados con eleccion coherente, tenemos:

Teorema 8 (ZF). HB es equivalente a cualquiera de los siguientes casos de eleccion coherente en familias inversamente dirigidas:

1. Convexos c--compactos en espacios localmente convexos de Hausdorff y funciones afines continuas.

2. Convexos cerrados acotados en espacios normados reflexivos o en duales de normados con la topologia debil estrella, y funciones afines continuas.

3. Convexos compactos en espacios finito-dimensionales y funciones lineales.

4. Simplejos geometricos y funciones simpliciales.

Demostracion. HB [??] 1 (Teorema 5), HB [??] 2 (1 y el Corolario 3), 1 [omicron] 2 [??] 3 [??] 4 (trivialmente), 4 [??] HB (Teorema 7).

6. Limitaciones de HB

Algunos importantes resultados de analisis funcional requieren mucho mas que HB para su demostracion. Por ejemplo el teorema de Alaoglu (AL) que afirma: La bola unitaria cerrada del dual de un espacio normado es compacta para la topologia debil estrella, no es deducible de HB pues es equivalente a UF. Sin embargo, por el Corolario 3, HB implica una version debil de AL: La bola unitaria cerrada del dual de un espacio normado es c--compacta para la topologia debil estrella. Esta forma de AL es equivalente a HB (Luxemburg, 1969).

Tampoco implica HB el teorema de Krein-Mil'man (KM): Todo compacto convexo no vacio en un espacio localmente convexo de Hausdorff tiene un punto extremo, pues se sabe que

AL + KM [??] AE

(Bell y Fremlin, 1972), por lo que ni siquiera UF implica KM, de lo contrario implicaria AE.

Finalmente observamos que, aunque la existencia de puntos extremos en simplejos finito-dimensionales es trivialmente demostrable en ZF, el teorema de Hahn-Banch no garantiza la eleccion coherente de puntos extremos en familias inversamente dirigidas de simplejos y funciones simpliciales, pues ello implicaria eleccion coherente en conjuntos finitos, la cual es equivalente a UF.

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Xavier Caicedo (1) & German Enciso (2)

A Jairo Charris, in memoriam

(1) Departamento de Matematicas, Universidad de los Andes, A.A. 4976, Bogota. E-mail: xcaicedo@uniandes.edu.co. Departamento de Matematicas, Universidad Nacional de Colombia, Bogota.

(2) Department of Mathematics, Rutgers University, New Brunswick, NJ 08854-9019, EE.UU., E-mail, enciso@eden.rutgers.edu AMS 2000 Mathematics Subject Classification 46A03, 46A12, 03E25, 52A07, 46G12.

(3) Aunque para algunas familias especiales, por ejemplo espacios de Hilbert, la prueba puede hacerse constructivamente.

(4) La terminologia utilizada en la literatura no es homogenea, Bourbaki llama baricentro al funcional [[fi].sub.m] mismo.
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Title Annotation:Matematicas
Author:Caicedo, Xavier; Enciso, German
Publication:Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales
Date:Mar 1, 2004
Words:8145
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