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El tamano de las empresas y la transmision de la politica monetaria en Colombia: una aplicacion con la encuesta mensual de expectativas economicas.

Firm size and monetary policy transmission in Colombia

1 Introduccion

En este documento investigamos el efecto de la politica monetaria sobre el desempeno economico de empresas grandes y pequenas en el corto plazo. Desde el punto de vista de las teorias del mercado imperfecto de credito se destacan dos mecanismos con implicaciones diferentes: el mecanismo de la hoja de balance y el de prestamos bancarios. En el primero, la postura de una politica monetaria contraccionista tiene efectos directos e indirectos sobre el estado financiero de las empresas; por un lado, aumenta las tasas de interes de mercado incrementando los intereses de los creditos comerciales, que en una gran proporcion son pactados con tasas variables; esto a su vez disminuye el valor de los activos de las empresas reduciendo el valor del colateral. Por otra parte, se reduce la demanda de los productos y sus ingresos. Estos dos factores se complementan y tienen restricciones en el acceso al sistema financiero, principalmente sobre las empresas pequenas.

De otro lado, en el mecanismo de los prestamos bancarios los cambios en la politica monetaria afectan el volumen de creditos disponibles, ocasionando mayores restricciones a las empresas en el acceso al sistema financiero (Ehrmann, 2005).

La evidencia internacional sugiere que una politica monetaria contraccionista afecta en mayor medida la actividad economica de las empresas pequenas y medianas. (1) Asi, al existir contraccion en el credito es mas probable que los bancos otorguen prestamos a las companias grandes (Ehrmann, 2005).

En el caso colombiano, Betancourt et al. (2008), suponiendo homogeneidad de las firmas y utilizando un modelo de Vectores Autorregresivos con cambio de Regimen (Markov-Switching Vector Autorregresive, MS-VAR), encontraron evidencia de una mayor transferencia de la politica monetaria de largo plazo en estados de alta volatilidad, mientras que en el corto plazo se encontro una transferencia incompleta que es independiente del estado de la economia. En ultimas, en el corto plazo encuentran mayor transmision a (respuesta de) la tasa de interes durante periodos de baja volatilidad.

Es importante considerar los posibles efectos asimetricos de la respuesta ante posturas de politica monetaria. Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo busca comprobar empiricamente si la vulnerabilidad del estado financiero de las firmas pequenas y grandes difiere ante los choques de la politica monetaria. Nuestra metodologia utiliza el indicador del clima de negocios, tanto de firmas grandes como pequenas, elaborado mensualmente con la Encuesta Mensual de Expectativas Economicas (EMEE), como referencia para verificar directamente esta conjetura.

Se estiman dos modelos econometricos utilizando las variables tradicionales en este tipo de ejercicios y adicionando el indicador de clima de los negocios. Cabe destacar que la frecuencia de los datos es mensual. El primer modelo se utiliza como referencia y corresponde a un modelo VAR lineal con cuatro variables: la tasa de interes de los certificados de deposito a termino de 90 dias (DTF), el logaritmo del indice de Precios al Consumidor (IPC), el logaritmo de la Base Monetaria (BM) y el logaritmo del indicador de clima de negocios por tamano de firma. Este modelo busca medir los efectos del cambio de la politica monetaria sobre cada una de las variables y el impacto sobre el clima de los negocios de las firmas grandes y pequenas.

El segundo modelo es un VAR no lineal, utilizando las mismas variables, con cambio de regimen y estimado en un contexto bayesiano (MS-BVAR, por la expresion en ingles: Markov-Switching Bayesian VAR) (Krolzig, 1997). Esta especificacion tiene mayor flexibilidad, permitiendo introducir diferentes estados de la economia y facilitando el modelamiento explicito de los eventos de expansion y contraccion monetaria.

Este trabajo se divide en cuatro secciones incluyendo esta introduccion. En la segunda seccion se presenta la estrategia metodologica y se describen los datos. En la tercera seccion se analizan los resultados de los dos modelos para todas las empresas, y clasificadas segun el tamano. Finalmente se presentan las conclusiones y direcciones futuras de este trabajo.

2 Metodologia

El modelo de referencia utilizado consiste en un VAR de 4 variables (2) de la siguiente forma

[Y.sub.t] = [[m.sub.t], [c.sub.it], [[pi].sub.t] [i.sub.t]]' (1)

donde [Y.sub.t] incluye la variacion anual de los logaritmos de la Base Monetaria ([m.sub.t]), el clima de negocios segun tamano de firma ([c.sub.it]) (3), la tasa de interes DTF ([i.sub.t]) y la variacion anual del logaritmo del IPC ([[pi].sub.t]). La frecuencia de los datos es mensual y corresponde al periodo de diciembre de 2005 a marzo de 2011 para todas las empresas en su conjunto, y de octubre de 2006 a febrero de 2011 para los datos por tamano de firma.

2.1 Modelo MS-BVAR

El modelo sigue las especificaciones de un VAR Markov-Switching (MS-BVAR) de dos regimenes, tal que:

[Y.sub.t] = v([S.sub.t]) + [A.sub.1] ([S.sub.t]) [Y.sub.t-i] + ... + [A.sub.p] ([S.sub.t])[Y.sub.t-p] + B([S.sub.t])[u.sub.t] (2)

donde los interceptas, v([S.sub.t]), las matrices de coeficientes autoregresivos, [A.sub.1] ([S.sub.t]), ..., [A.sub.p] ([S.sub.t]), y las matrices de varianzas y covarianzas dependen del regimen, B([S.sub.t]) B([S.sub.t])', y [u.sub.t] ~ N(0,[I.sub.4]) es el error aleatorio. Por su parte, [S.sub.t] indica el estado de la economia y describe la dependencia de los parametros del modelo VAR en el regimen, y se supone son generados por una cadena de Markov (escondida) discreta con probabilidades de transicion de regimen i al j dadas por, [P.sub.ij] = P [[S.sub.t] = j|[S.sub.t-i] = i], i,j = l,2, las que se suponen constantes en el tiempo. Se supone que cada B([S.sub.t]) es una matriz triangular inferior. Esto configura un modelo conocido en la literatura como MSIAH(2) u VAR(p), por la expresion en ingles 'Markov-Switching Intercept, Autoregressive Parameters and Heteroskedasticity - VAR'.

El conjunto de parametros es:

[THETA] = [vec(v (1))', vec (v (2))', vec(A1(1))', ... , vec([A.sub.p](2))', vech(B(1))', vech(B(2))']'. (3)

Con el objetivo de identificar los parametros del modelo, se supone la varianza en el regimen 1 ([S.sub.t] = l) menor a la del regimen 2 ([S.sub.t] = 2), vease Krolzig (1997) y Brandt (2012).

Para la etapa de estimacion se utilizan metodos bayesianos. Esta estrategia fue elegida por dos razones: primero, porque permite modelar situaciones con diferentes estados de la economia, en este caso los implicados por los regimenes de la politica monetaria; segundo, porque el metodo Bayesiano resulta pertinente, debido a que se puede aplicar para estimar modelos con gran cantidad de parametros aun en presencia de muestras pequenas.

Especificamente, se calcula la moda de la distribucion posterior de cada parametro de la forma reducida del modelo Markov-Switching-VAR. Por su parte, el modelo MS-BVAR se estima con el algoritmo expected maximum (EM) por bloques en dos etapas (Brandt, 2012): 1) obtener los coeficientes de regresion BVAR para cada regimen utilizando una distribucion prior; y 2) calcular la matriz de transicion. Los valores iniciales son elegidos aleatoriamente. Los pasos de esta optimizacion siguen las sugerencias de Sims et al. (2008).

En la segunda etapa, con la moda obtenida se utiliza el muestreador de Gibbs de movimiento multiple de regimen en la simulacion de la distribucion posterior del modelo VAR en forma reducida (vease el apendice). Las distribuciones prior para las probabilidades de transicion se establecen mediante procesos de Dirichlet independientes.

Los impulsos respuesta son dependientes del regimen, la respuesta inmediata se calcula con la siguiente formula (Ehrmann et al., 2003):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (4)

para r = 1,2, ..., m, la respuesta para h periodos adelante del choque es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (5)

donde [[??].sub.jr] es la matriz de coeficientes estimados; [u.sub.0] es el vector inicial de perturbaciones tal que todas sus entradas son ceros exceptuando el k-esimo elemento, que es uno y sirve para medir la respuesta de la r-esima serie al impacto en la k-esima variable endogena. [[??].sub.r] es la matriz de descomposicion de la matriz de varianzas y covarianzas. (4) En donde h es el horizonte temporal del impulso respuesta y p representa el numero de rezagos en el modelo VAR. Este algoritmo esta relacionado con los impulsos respuesta generalizados propuestos por Koop et al. (1996). Cabe destacar que las probabilidades de transicion para cada regimen deben caracterizar estados persistentes con el proposito de interpretar correctamente los impulsos respuesta.

Caracteristico de esta metodologia, comparada con otros trabajos como Stock y Watson (2008), ningun estado se supone absorbente en ningun momento del tiempo, asi se permite que la economia pase de periodos de auge a los de recesion.

3 Descripcion de los datos

La Subgerencia de Estudios Economicos del Banco de la Republica realiza mensualmente la encuesta mensual de expectativas economicas, EMEE, con el objetivo de medir las percepciones y expectativas que tienen los empresarios sobre algunas variables de la actividad economica de sus firmas. La Encuesta se realiza mensualmente desde octubre de 2005, con base en una muestra de 550 empresarios de los sectores mas representativos de la economia. El principal objetivo es el de obtener sistematicamente las percepciones que tienen los empresarios acerca de la situacion actual de sus negocios y de las expectativas futuras de varios aspectos relacionados con su actividad economica. Asi, con la informacion de esta encuesta se busca extraer indicadores lideres acerca de los cambios actuales de variables a traves del ciclo economico: precios, desempeno economico, cuellos de botella para atender la demanda y salarios. Cabe destacar que las fluctuaciones estacionales, la tendencia de largo plazo y los efectos especiales no se tienen en cuenta.

Esta encuesta se ha disenado como un suplemento de las estadisticas oficiales, por lo que suministra informacion de fenomenos economicos que no estan incluidos en estas estadisticas o que presentan un rezago considerable. Los sectores economicos mas representativos en el PIB y que se tienen en cuenta en la EMEE son: agricultura, comercio, construccion, industria y transporte y comunicaciones. (5) Las preguntas 1 y 2 que se relacionan respectivamente con el diagnostico de las ventas del mes corriente y con las expectativas de crecimiento de estas para el siguiente ano (6), permite construir el indicador de clima de negocios segun el tamano de las empresas.

[FIGURA 1 OMITIR]

En la figura 1 se presenta el indicador del clima de los negocios teniendo en cuenta todas las empresas de la muestra durante el periodo comprendido entre diciembre de 2005 y marzo de 2011. Este indicador corresponde a una media transformada de los balances de los diagnosticos de la empresa y sus expectativas, para detalles vease Zarate et al. (2011). Se observa un optimismo de los empresarios entre 2006 y mediados de 2007, un deterioro posterior alcanzando un minimo a comienzos de 2009 y posteriormente una recuperacion del indicador.

La cuantificacion del clima de los negocios se obtiene mediante la transformacion [y.sup.*] = ln (1+y/1-y), donde y es el balance de proporcion de respuestas positivas menos respuestas negativas. (7) Es de resaltar que durante todo el periodo muestral, la politica monetaria colombiana ha estado operando con el regimen de inflacion objetivo.

[FIGURA 2 OMITIR]

Para realizar la clasificacion entre empresas grandes o pequenas se utilizo la informacion del total de activos de la empresa y numero de empleados segun informacion de la Camara de Comercio para varios anos. En la figura 2 se observa este indicador para las empresas grandes y pequenas durante el periodo de octubre de 2006 a febrero de 2011. Estas graficas sugieren la ocurrencia de al menos un ciclo de negocios completo durante los 5 anos analizados.

A las variables base monetaria, indice de produccion y clima de los negocios se les remueve la tendencia (8) adicionalmente el agregado monetario se desestacionaliza. (9)

En la tabla 1 se presentan algunas estadisticas descriptivas de las variables originales y transformadas. Adicionalmente, se realiza un analisis de correlacion cruzada para detectar la dependencia temporal.

De acuerdo con este analisis de correlacion, se destaca que el clima de los negocios parece ser un indicador adelantado para las variables IPC, IPI y DTE.

No obstante no hay evidencia de una relacion significativa con la base monetaria. Por su parte, el grafico sugiere evidencia mixta entre este indicador y el momentum del PIB. (10)

[FIGURA 3 OMITIR]

4 Resultados

Primero, con el objeto de que sirvan de referencia, se presentan los graficos de impulso-respuesta del VAR lineal, para las variables ante un choque en la tasa de interes y las respuestas hasta un horizonte de 40 meses (figura 4). (11)

De acuerdo con esta especificacion, un choque positivo a la tasa de interes de cien puntos basicos genera una respuesta negativa en el clima de los negocios y positiva en la inflacion. La respuesta de la inflacion es positiva, contrario a lo esperado, hecho documentado en la literatura como la encrucijada de los precios, vease Giordani (2004) y Castelnuovo y Surico (2010) para una discusion reciente del tema. Por su parte, la respuesta es no significativa para la base monetaria.

Las respuestas segun el tamano de la firma se presentan en la figura 5 y sugieren mayor sensibilidad de las firmas grandes a los choques de la tasa de interes.

[FIGURA 4 OMITIR]

5 Resultados MS-BVAR

A continuacion se presentan los resultados de la transmision de la politica monetaria para los dos regimenes. (12) La metodologia utiliza el filtro de BaumHamilton-Lindgren-Kim (BHLK) para calcular las probabilidades (13) de pertenecer a cada uno de los regimenes para este modelo, figura 5.

En este caso, es probable que el regimen 1 este asociado con periodos de expansion del ciclo economico de las empresas y el regimen 2 con periodos de contraccion. Lo anterior debido a que las probabilidades del regimen 2 son cercanas a 1 en el primer semestre de 2008 y mediados de 2009, periodos asociados a crisis financieras internacionales. Sin embargo, cabe destacar que el pico en 2007 resulta dificil de justificar.

[FIGURA 5 OMITIR]

En la equacion 6 se presenta la matriz de probabilidades de transicion entre los regimenes. Estos niveles de probabilidad son frecuentes en este tipo de literatura y estan asociados a persistencia, lo que ayuda a justificar la interpretacion de las funciones de impulso-respuesta que son dependientes del regimen, al menos en el corto plazo, pues implican que la probabilidad de cambio de estado (regimen) tomara varios periodos.

EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

Los impulsos respuesta medios (14) para este modelo se presentan en las figuras 6 a 9, junto con sus intervalos de mas alta probabilidad al 68% y un horizonte de 40 meses.

[FIGURA 6 OMITIR]

Ante choques en la tasa de interes, la base monetaria responde negativamente en el regimen 1 y positivamente en el regimen 2. En los dos casos, el efecto es de corto plazo y se desvanece rapidamente.

Para el clima de los negocios, la respuesta en el regimen 1 es no significativa, mientras en el regimen 2 la respuesta es negativa y transitoria.

La respuesta de la inflacion en ambos regimenes es positiva. No obstante, en el regimen 1 la respuesta es mayor en comparacion con el regimen 2, en concordancia con la encrucijada de los precios descrita anteriormente.

Por tamano de firma, las empresas grandes y pequenas responden positivamente en el regimen 1. Por su parte, en el regimen 2 el clima de los negocios registra un comportamiento ciclico para ambos tipos de empresas. Cabe destacar que las empresas grandes son mas sensibles a los choques en la tasa de interes.

Una posible explicacion puede surgir por la baja profundizacion financiera en Colombia, (15) que probablemente conlleva a mayores restricciones de credito para las empresas pequenas, lo cual tiene implicaciones sobre su actividad economica. Esto tambien podria explicar las diferencias con los resultados internacionales.

[FIGURA 7 OMITIR]

[FIGURA 8 OMITIR]

6 Comentarios finales y recomendaciones

En este trabajo se analizaron los efectos de la politica monetaria sobre las empresas grandes y pequenas. Utilizamos el indicador del clima de los negocios obtenido a partir de la Encuesta Mensual de Expectativas Economicas (EMEE), realizada por la Subgerencia de Estudios Economicos del Banco de la Republica para el periodo de diciembre de 2005 a marzo de 2011. Esta variable combina las percepciones y expectativas de los empresarios sobre el desempeno de la actividad economica.

[FIGURA 9 OMITIR]

[FIGURA 10 OMITIR]

Para analizar estos efectos se estimaron dos modelos econometricos. El primero consintio en un VAR lineal que ademas del Clima de Negocios, incluyo la base monetaria, el indice de precios al consumidor y la tasa de interes de los certificados de deposito a termino fijo. Los impulsos-respuesta de este modelo sugieren que ante choques en la tasa de interes, el clima de los negocios de las empresas tanto grandes como pequenas registra respuestas negativas.

[FIGURA 11 OMITIR]

El segundo modelo utilizado corresponde a un MS-BVAR, en el cual se incluyeron las cuatro variables descritas anteriormente. Los resultados de esta estimacion presentan evidencia de que ante un choque en la tasa de interes se producira una respuesta positiva en el clima de negocios en el periodo de expansion del ciclo. Por su parte, en periodos de contraccion, el clima de negocios responde negativamente. Cabe destacar la mayor sensibilidad de la respuesta en el periodo de contraccion.

De acuerdo con el tamano de las firmas en el periodo de contraccion del ciclo, se observa que las respuestas del clima de negocios de las firmas grandes fue mas sensible a la politica monetaria. Estos resultados difieren con los de otros estudios internacionales, que senalan a las empresas pequenas o medianas como las que presentan respuestas mas pronunciadas. Lo anterior, podria ser explicado por varios factores, entre ellos, la profundizacion financiera de los paises emergentes, como Colombia, es menor que en aquellos paises desarrollados a los que se ha referido la literatura empirica. Esto conlleva probablemente a una baja disponibilidad de fondos externos, entre otras explicaciones. En conclusion, los canales de transmision del credito bancario y la hoja de balance tienen importancia secundaria durante el periodo estudiado.

A partir de estos resultados se puede caracterizar una mayor respuesta del clima de los negocios de las empresas, especialmente grandes, ante cambios en la politica monetaria en Colombia en epocas de contraccion del ciclo economico, lo que indicaria que la politica monetaria podria ser un mecanismo efectivo para la aplicacion de medidas contraciclicas.

Estudios futuros requieren la aplicacion de metodologias econometricas que capturen el comportamiento de las firmas en los diferentes episodios del ciclo economico (subidas o bajadas), por ejemplo, los modelos VAR no lineales de transicion suave (STRVAR), los cuales, ademas de respuestas diferenciales segun el estado de la economia, consideran efectos asimetricos que dependen de la magnitud y signo del choque.

Apendice

Al Analisis Bayesiano del modelo MS-BVAR mediante el Muestreo de Gibbs.

En este apendice se resumen las caracteristicas mas relevantes del metodo de estimacion empleado en este trabajo, mayores detalles pueden ser encontrados en Krolzig (1997, sec. 8.4). Se puede citar ademas a Kaufmann (2002) y Fruhwirth-Schnatter (2001). Adicionalmente, cabe reportar que Krolzig y Toro (2000) incorporan relaciones de largo plazo o de cointegracion en la especificacion MS-VAR.

Por razones de conveniencia, se considera un modelo de regresion lineal MS(M) general (con parametros [gamma])

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde el termino [u.sub.t] es homoscedastico si [[suma].sub.m] = [suma] para todo m = 1, ..., M; y donde el vector 70 de parametros invariantes por regimen es comun a to-dos los estados; el vector de parametros [[gamma].sub.m], m = 1, ..., M llamado [[gamma].sub.r] = ([[gamma'.sub.r,1], [[gamma]'.sub.r,M])' esta restringido en forma de desigualdades para reproducir los estados y por ende lograr un modelo identificado.

La evolucion de los regimenes es dado por una cadena Markoviana ergodica

M-dimensional determinada por las probabilidades de transicion [p.sub.i,j] y [v.sub.t+i.].

([[xi].sub.t + 1] - [xi]) = P' ([[xi].sub.t] - [xi]) + [v.sub.t+1] E[|[v.sub.t+1]|[[xi].sub.t], [[xi].sub.t-1], ...]

Los parametros p = vec(P) de la cadena markoviana, los vectores de parametros de escala [[sigma].sub.m] = vech([[suma].sub.m]), [[sigma]' = ([sigma]'.sub.1], ... [[sigma]'.sub.M]) y los parametros de localizacion [gamma] son recogidos en el vector de parametros. (16)

[lambda]' = ([[gamma]'.sub.c], [[gamma]'.sub.r], [[gamma]'.sub.1], ..., [[gamma]'.sub.M], [sigma]', [rho]')

Para propositos de la estimacion es muy util una particion de A en sus componentes. En particular, condicionando a la probabilidad de transicion se superan problemas debidos a la no linealidad de las ecuaciones normales (como en una estimacion MV), derivando la probabilidad de las distribuciones condicionales a cada vector componente separadamente. En el contexto de series de tiempo, las variables son consideradas como endogenas rezagadas o constantes.

Las densidades condicionadas requeridas para el muestreo de Gibbs pueden ser derivadas de la funcion de probabilidad. Para un [xi] dado, la funcion de verosimilitud es determinada por la funcion de densidad p([Y.sub.T] | [xi] [lambda]):

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde [u.sub.t](gamma] = ([y.sub.t] - [(1,[[xi]'.sub.t]) x [I.sub.K]] [X.sub.t[gamma]]).

Para propositos de la estimacion, se utiliza una escritura ligeramente diferente de la funcion de verosimilitud:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Tal que [W.sup.-1] es una matriz de dimension (TKM x TKM), donde [T.sub.m] = [[suma].sup.T.sub.t=1] [[xi].sub.mt] y las otras matrices tienen la forma:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Como en el analisis Bayesiano tradicional, la inferencia sobre un vector de parametros A esta basado en la funcion de densidad posterior p(X\Yr) oc [pi]([lambda])p([Y.sub.T]|[lambda]), donde [pi]([lambda]) es la densidad prior de [lambda]. Un punto crucial es que los estados no observables son tratados como parametros adicionales desconocidos. Dado que los regimenes no observados [xi] estan limitados, la densidad posterior p([lambda]|[Y.sub.T]) de [lambda] debe ser considerada como derivado de la integracion de la densidad de probabilidad conjunta p([lambda]|[Y.sub.T]) = [integral] p([lambda], [xi]|[Y.sub.T])d[xi].

Sin embargo, la diferencia decisiva consiste en la forma en que se derivan estas densidades. Las densidades posteriores condicionadas estan dadas por:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Si se denotada p([[lambda].sub.i] | [xi], [[lambda].sub.-i]) la densidad prior de [[lambda].sub.i], entonces la densidad posterior condicional de [[lambda].sub.i] esta dada por:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

donde p([Y.sub.T]|[xi], [[lambda].sub.-i], [[lambda].sub.i]) es la funcion de verosimilitud condicional en el muestreo de regimenes [xi] y los parametros restantes [[lambda].sub.-i].

Priors intuitivos de los parametros de modelos de series de tiempo multiples son mucho mas complicados de especificar que los de un analisis de series univariantes. Para el siguiente analisis se supone un prior no informativo (plano). Sin embargo, los procedimientos discutidos pueden ser facilmente extendidos para incorporar priors informativos. En particular, si se eligen priors Normales-Gamma el procedimiento presentado puede ser facilmente implementado. Para los parametros del VAR se puede considerar, por ejemplo, los prior de Litterman (1986) y Doan et al. (1984). En particular en este trabajo se utilizo la prior de Normal-Inversa-Wishart, planteada por Sims y Zha (1998).

Para priors planos, por ejemplo p([[lambda].sub.-i] | [xi], [[lambda].sub.-i]) es constante para todos los [[lambda].sub.i] factibles, lo que lleva a que

p([lambda].sub.i]|[xi], [Y.sub.T], [[lambda].sub.i]) [??] [varia en proporcion con]([Y.sub.T]|[xi], [lambda])

En otras palabras, la distribucion de probabilidad posterior de [[lambda].sub.i], es proporcional a la funcion de verosimilitud condicionada a los regimenes de muestreo [xi] y a los parametros restantes.

Por lo tanto, la moda de la distribucion de probabilidad posterior es el maximo de la funcion de verosimilitud condicional. Ademas, si la densidad condicional p([Y.sub.T]|[xi], [lambda]) es normal, la moda y la media son identicas.

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Muestreo degibbs con multiple movimiento de regimen.

En la propuesta de muestreo de Gibbs realizada por Albert y Chib (1993) y McCulloch y Tsay (1994), los estados son generados uno a la vez (movimiento simple) utilizando las propiedades de Markov como condicion sobre estados vecinos (Carlin et al., 1992). Infortunadamente, como los regimenes estan altamente correlacionados, es probable que la distribucion asintotica de la muestra deseada converja muy lentamente. McCulloch y Tsay (1994) mencionan que al muestrear estas variables altamente dependientes acelera la convergencia. Por tanto, proponen muestrear los regimenes de la distribucion de probabilidad condicional P([[xi].sub.t], ..., [[xi].sub.t + k-1]|[Y.sub.T], [[xi].sub.1], ..., [[xi].sub.t-1], [[xi].sub.t+k], ..., [[xi].sub.T], [lambda]) para un k arbitrario. Se toman diferentes aproximaciones del muestreo de Gibbs, generando todos los estados a la vez ("multiple-movimiento") mediante la utilizacion de cadenas markovianas. Esta aproximacion provee un metodo eficiente para obtener la muestra posterior completa p([xi]| [lambda], [Y.sub.T]).

El uso de un muestreador de Gibbs de multiple movimiento para modelos de series de tiempo fue sugerido de manera independiente por Shephard (1994), y Carter y Kohn (1994). Entre otros modelos parciales de estado - espacio no Gaussianos, Shephard (1994) considera un modelo de estadoespacio donde el intercepto depende de una cadena Markoviana binaria de la ecuacion de transicion y donde las innovaciones estan normalmente distribuidas. Carter y Kohn (1994) consideran un modelo lineal de estado-espacio con coeficientes variables que son una mezcla de normales. Se puede mostrar que un algoritmo suavizado como el de Kim (1994) puede ser usado para generar la distribucion de probabilidad condicionada de los regimenes. Esta aproximacion es el soporte teorico de los resultados de Liu et al. (1994) quienes muestran que generar las variables simultaneamente produce convergencias mas rapidas que generarlas una a la vez.

En la siguiente seccion se resume el algoritmo de multiple-movimiento del muestreador de Gibbs. Este muestra que la distribucion condicional posterior de los regimenes involucra una probabilidad de regimenes suavizada [[xi].sub.t|T]. Sin embargo, el ciclo de Gibbs esta muy relacionado con el algoritmo EM para la estimacion MV, pues ambos utilizan los mismos procedimientos de filtrado y suavizado.

Pasos para filtrado y suavizado

En este trabajo se usa la aproximacion por muestreo de Gibbs multiple-movimiento. el cual genera todos los estados al tiempo, aprovechando asi las ventajas proporcionadas por la estructura de la cadena Markoviana,

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De esta forma, para generar [xi] de la posterior P([xi]|[Y.sub.T]), primero se simula [[xi].sub.T] de P([[xi].sub.t]|[Y.sub.T]), que es la distribucion de probabilidad suavizada de muestra completa que puede ser generada con el filtro BHLK. Entonces [[xi].sub.t], t = T - 1, ..., 1, se genera a partir de P([[xi].sub.t] |[[xi].sub.t+1], [Y.sub.T]).

Para resumir, en el ciclo de Gibbs el mecanismo de generacion de los regimenes esta dado por las siguientes iteraciones,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

denotan la distribucion de probabilidad de [[xi].sub.t] condicional a las simulaciones previas del vector [[xi].sub.t+1] y a la informacion de la muestra [Y.sub.T]. Para asegurar la identificacion, al determinar las distribuciones de probabilidad condicionadas a la transicion y a los parametros de regimen, una muestra es aceptada solo si contiene al menos una extraccion de cada regimen.

Densidades de probabilidad estacionarias y regimenes iniciales

En contraste con la manipulacion inicial de los estados de la cadena Markoviana en el algoritmo EM de estimacion de maxima verosimilitud, se asume que los regimenes en t = 0, ..., 1 u p son generados por el mismo proceso Markoviano, asi como los regimenes en la muestra t = 1, ..., T. Asumiendo que el proceso Markoviano es ergodico, existe una distribucion de probabilidad estacionaria, P([[xi].sub.t] |[rho]), donde las probabilidades discretas pueden ser incluidas en el vector [??] = [??]([rho]). La irreductibilidad asegura que las probabilidades ergodicas son estrictamente positivas. [[xi].sub.m] > 0 para todo m = 1, ..., M. A continuacion, se muestra [[xi].sub.0] la probabilidad de distribucion estacionaria

[[xi].sub.0] [??] [??][rho]

Los procedimientos de estimacion establecidos permanecen inalterados mientras el movimiento del muestreo de Gibbs sea usado para la extraccion del vector de estado [xi].

Priors del VAR

Para la inplementacion de los hiperparametros del VAR, se usa como base la prior planteada por Litterman (1986) y extendida por Sims y Zha (1998). Para un modelo VAR lineal en forma reducida, esta prior expresa la creencia de que un modelo de caminata aleatoria para cada variable en el sistema es un supuesto razonable para el comportamiento de las variables. Puesto que esta idea se relaciona con el comportamiento de la forma reducida, no se restringen otras matrices como en los VAR estructurales. Sugiere que las creencias sobre los coeficientes de la forma reducida deben estar centrados en la matriz identidad para el primer rezago y matriz de ceros los demas. Como punto de partida se asume que la matriz de covarianza condicional prior de los coeficientes de las matrices Ai sigue el mismo patron que Litterman plantea para los coeficientes de la forma reducida. Esto es, suponen a priori la independencia condicional a traves de los elementos de las matrices de rezagos y con desviacion estandar condicional del coeficiente en el rezago l de la variable j en la ecuacion i dado por [[lambda].sub.0] [[lambda].sub.1]/[[sigma].sub.j][l.sup.[lambda]3].

El hiperparametro Ao controla la estrechez de la creencia en [A.sub.o], [[lambda].sub.1] y controla el llamado 'overall tightness' de la creencia alrededor de la prior de caminata aleatoria, y [[lambda].sub.3] controla la tasa a la cual la varianza prior se concentra ('shrinks') en la medida que se incrementa el rezago. El vector de parametros ([[sigma].sub.1], [[sigma].sub.2]' son factores de escala, los cuales permiten el hecho de que las escalas de variacion no sean uniformes a traves de variables.

Sims y Zha (1998) por otra parte, proponen no suponer la matriz de varianza covarianzas conocida, sino usar a priori una distribucion Inversa-Wishart para esta. La tabla 3 resume la interpretacion de los hiperparametros de este BVAR.

En la presente aplicacion se usa la siguiente especificacion de hiperparametros: [[lambda].sub.0] = 0.5, [[lambda].sub.1] = 1, [[lambda].sub.3] = 2, [[lambda].sub.4] = 10, [[lambda].sub.5] = 0, [[my].sub.5] = 0.1, [[micron].sub.6] = 0, y v = 5.
Tabla 2. Muestreo de Gibbs del MS - BVAR

I. Inicializacion

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II. Ciclo de Gibbs a trav[acute accent]es de las densidades condicionales

1. Paso Filtrado y Suavizado
2. Paso Cadena Markoviana Escondida

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3. Paso Inversa-Wishart

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

4. Paso regresion

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Tabla 3. Interpretacion parametros prior del VAR

Parametro            Interpretacion

[[lambda].sub.0]     Estrechez (tightness) global de la prior
                     (descuento de la escala a priori). [0,1].

[[lambda].sub.1]     Desviacion estandar o estrechez de la prior
                     alrededor de los parametros AR(1). [0,1].

[[lambda].sub.3]     Decaimiento de rezagos (?0, con 1=harmonico).

[[lambda].sub.4]     Desviacion estandar o estrechez alrededor del
                     intercepto, > 0.

[[lambda].sub.5]     Desviacion estandar o estrechez alrededor de
                     los coeficientes de variables exognenas > 0.

[[my].sub.5]         Suma ponderada a priori de coeficientes
                     [mayor que o igual a] 0. Valores grandes
                     implican estacionariedad en diferencia.

[[my].sub.6]         Observaciones Dummy iniciales [mayor que o
                     igual a] 5 desface a priori, > 0. Valores
                     grandes permiten tendencias comunes.

v                    Grados de libertad a priori, > 0.

Fuente: Elaborado por los autores.


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Recibido: Diciembre, 2012 u Aceptado: Febrero, 2013

Hector Zarate [cruz] Banco de la Republica, Bogota.

Norberto Rodriguez [cruz doble] Banco de la Republica, Bogota.

Margarita Marin [seccion] Banco de la Republica, Bogota.

* Las opiniones y posibles errores son responsabilidad exclusiva de los autores y su contenido no compromete al Banco de la Republica ni a su Junta Directiva

[cruz] Unidad de Econometria, Banco de la Republica, Bogota, Profesor catedratico Universidad

Nacional de Colombia, Bogota. Correo electronico: hzaratso@banrep.gov.co

[cruz doble] Departamento de modelos macroeconomicos, Banco de la Republica, Bogota, Profesor catedratico Universidad Nacional de Colombia, Bogota. Correo electronico: nrodrini@banrep.gov.co

[seccion] Estudiante Maestria estadistica, Universidad Nacional de Colombia, Bogota. Correo electronico: mmarinj@unal.edu.co

(1) Vease Fazzari et al. (1988); Chirinko (1993); Christiano et al. (1996); Gertler y Gilchrist (1994); Perez-Quiros y Timmermann (2000); Audrestsch y Elston (2002).

(2) A todas las variables se les realizaron las transformaciones descritas en la seccion 3 de este trabajo.

(3) Se refiere a la variable clima de los negocios en el total de las empresas, para empresas grandes y empresas pequenas, respectivamente.

(4) En este trabajo, como restriccion, para la identificacion de la matriz [[??]F.sub.r], se impondra la descomposicion de Cholesky con el ordenamiento enunciado.

(5) Para mas informacion sobre esta encuesta vease Zarate et al. (2011) y Banco de la Republica (2011).

(6) Se encuentra en www.banrep.gov.co/economia/encuesta_expeco/Cuestionario_CNC.pdf

(7) La especificacion de este procedimiento se puede ver en Ehrmann (2005).

(8) Se utiliza el Filtro de Hodrick-Prescott, con un [lambda] = 1, 600, con lo que se obtienen series mas suaves que con el uso de [lambda] = 14,400.

(9) Para esto se recurre al filtro X12.

(10) E1 momentum se define como la diferencia entre el crecimiento anual actual y el crecimiento anual un ano atras reportados en la EMEE Banco de la Republica (2011).

(11) Por los criterios AIC y HQ, para la seleccion optima de rezagos, se determino que este VAR necesitaba de dos rezagos. Ademas, se utilizo la descomposicion de Cholesky para su calculo. Sin embargo, se pueden utilizar otros metodos como los de Blanchard y Quah (1989), King et al. (1991), Sims y Zha (1998), etc. Los intervalos se calcularon con 500 repeticiones bootstrapping.

(12) Cabe mencionar que se realizo el test de Rao de quiebre estructural y se encontro una estadistica chi-cuadrado de 52.98, con un p-valor de 0.03, ademas el factor de bayes es mayor a 10 en favor del modelo no lineal.

(13) Son probabilidades filtradas. Vease Krolzig (1997).

(14) Las funciones impulso respuesta se calcularon con la metodologia del muestreo de Gibbs, el cual requiere que los valores propios calculados en cada iteracion sean menores que 1. Asi, el 14.05% de las simulaciones se retuvieron para el ejercicio con todas las empresas, 27,54% para las grandes empresas y 11.17% para las pequenas empresas. Posteriormente, se calculo la media y el intervalo de confianza de los modelos VAR estables.

(15) Para 2010, credito domestico al sector privado sobre PIB (%), una medida sustituta de la profundizacion financiera, para Colombia fue de 43.54, mientras que Estados Unidos registro 202.2 y Alemania 107.7.

(16) Bajo heteroscedasticidad del ruido blanco gaussiano ut, un vector de parametros [lambda]' = ([[gamma].sub.'c], [[gamma].sub.'r], ..., [[gamma].sub.'M], [rho]') es usado, [[sigma].sub.m] = vech ([suma]).
Tabla 1. Estadisticas descriptivas

                  Minimo    Mediana   Media    Maximo    Desviacion

Base Monetaria     2.94%    13.94%    4.43%    26.65%      4.82%
                  -7.30%     0.58%    0.00%     6.98%      3.02%

Inflacion anual    1.82%     4.47%    4.49%     7.64%      1.70%
                  -1.22%    -0.13%    0.00%     1.63%      0.75%

DTF E.A.           3.44%     6.42%    6.61%    10.13%      2.28%
                  -1.25%    -0.12%    0.00%     1.75%      0.67%

Clima todas       -21.10%   62.50%    56.81%   109.80%     35.88%
empresas          -35.45%    1.54%    0.00%    31.07%      11.57%

Clima empresas    -0.54%     7.24%   -0.13%    41.42%      26.23%
grandes           -27.43%    1.26%    0.00%    21.13%      10.98%

Clima empresas    -46.55%   -2.09%   -0.04%    42.61%      25.04%
pequenas          -21.54%    0.13%    0.00%    21.09%      9.00%

Nota: 1. Los valores de las filas inferiores para todas las
variables corresponden a la serie. Transformada: la base monetaria
se desestacionalizo y se le desconto la tendencia, el resto de
las series estan sin tendencia.

Fuente: Elaborado por los autores.
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Author:Zarate, Hector; Rodriguez, Norberto; Marin, Margarita
Publication:Revista de Economia del Rosario
Article Type:Ensayo
Date:Jan 1, 2013
Words:7339
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