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El numero optimo de empresas bajo competencia de Bertrand.

1. Introduccion

Desde que fue tratado por primera vez por Marshall (1890), el tema del numero optimo de empresas (y su comparacion con el numero de empresas de equilibrio en un mercado) se volvio tradicional en el analisis economico de la competencia perfecta. Posteriormente recibio tambien atencion para casos de competencia de Cournot (Mankiw y Whinston, 1986; Corchon y Fradera, 2002), competencia monopolistica (Dixit y Stiglitz, 1977; Anderson, de Palma y Nesterov, 1995) y colusion (Brander y Spencer, 1985; Friedman y Thisse, 1994).

En este trabajo consideraremos el tema del numero optimo de empresas bajo competencia de Bertrand en mercados de productos homogeneos con libre entrada. Para ello desarrollaremos un modelo con empresas identicas que poseen una clase particular de funcion de costos con rendimientos variables a escala, consistente en la suma de un costo variable convexo y de un costo fijo evitable. Empresas identicas y rendimientos variables son requisitos virtualmente indispensables para analizar el numero optimo de empresas en un mercado. Si las empresas no son identicas, el problema im[P.sub.L]ica tambien definir cuales empresas deberian estar activas y cuales no, y no sim[P.sub.L]emente la determinacion de un numero optimo de empresas activas. Por el contrario, si los rendimientos a escala no son variables, encontrar el numero optimo de empresas se vuelve trivial: es igual a uno si los rendimientos son crecientes, tiende a infinito si son decrecientes, y es irrelevante si los rendimientos a escala son constantes.

Como los modelos de competencia en precios han sido desarrollados tipicamente en contextos de rendimientos a escala no variables, la optimalidad del numero de empresas en equilibrio bajo competencia de Bertrand en mercados con productos homogeneos es un tema bastante inusual en la literatura. Pero la libre entrada bajo competencia en precios si ha sido analizada para diferentes situaciones de rendimientos crecientes como un modo de limitar el poder monopolico (Sharkey y Sibley, 1993; Chowdhury, 2002). Tambien hemos hallado un trabajo que estudia la posible convergencia del equilibrio de Bertrand a un equilibrio de competencia perfecta en una situacion de libre entrada con rendimientos variables (Novshek y Chowdhury, 2003), y otro que trata sobre el tema de la libre entrada con rendimientos variables a escala en el contexto de una competencia del tipo Bertrand-Edgeworth (Yano, 2006) (1).

El equilibrio de Bertrand y la libre entrada tambien han aparecido juntos en modelos en los cuales las empresas tienen distintas funciones de costos, como un modo de ex[P.sub.L]icar la coexistencia de empresas grandes y pequenas en el mismo mercado (Yano, 2005). Tambien aparecen en modelos que buscan encontrar condiciones de largo [P.sub.L]azo bajo las cuales un cierto numero de empresas, aunque no necesariamente el optimo, se encuentra activo en un mercado (Ferreira y Dufourt, 2007).

El presente trabajo puede verse como una contribucion a la teoria del equilibrio de largo [P.sub.L]azo bajo competencia de Bertrand. Tambien puede leerse como una continuacion de un trabajo previo sobre el equilibrio de Bertrand en mercados con rendimientos variables a escala (Saporiti y Coloma, 2008). Dicho trabajo es en rigor una extension de la literatura sobre equilibrio de Bertrand cuando las empresas tienen funciones de costos variables convexas (Dastidar, 1995; Weibull, 2006) a un caso en el cual las mismas tambien afrontan un costo fijo "no hundido".

2. Descripcion del modelo

Consideremos el mercado de un producto homogeneo con muchas empresas potencialmente oferentes. Cada una de ellas tiene la siguiente funcion de costos con rendimientos variables a escala:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (1)

donde [Q.sub.i] es la cantidad ofrecida por la iesima empresa, VC en una funcion continua, creciente y estrictamente convexa de [Q.sub.i], y F es un parametro no negativo que representa un costo fijo evitable o "no hundido".

Supongamos que en este mercado hay n empresas activas (es decir, n empresas que ofrecen [Q.sub.i] > 0), y que las restantes empresas estan inactivas (es decir, ofrecen [Q.sub.i] = 0). Respecto de cierta cantidad total Q, el numero optimo de empresas es el numero de empresas activas para el cual se da que n*C(Q/n) [menor que or igual a] m*C(Q/m), para todo m [desingual al] n. Alternativamente, esta condicion puede expresarse usando la funcion de costo medio AC([Q.sub.i]) = C([Q.sub.i])/[Q.sub.i]. En ese caso, el numero optimo de empresas respecto de cierta cantidad total Q es el numero de empresas activas para el cual se da que AC(Q/n) [menor que or igual al] AC(Q/m), para todo m [desigual a] n.

Representemos la demanda agregada del mercado a traves de la expresion Q = D(P), donde P es el precio pagado por los consumidores. Supongamos que D es una funcion continua y decreciente de P, con [lim.sub.P] [flecha diestra][infinito] (P) = 0 y D(0) = K > 0. En ese caso podemos definir al numero optimo de empresas en el mercado como el numero de empresas activas para el cual se da que [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](m), para todo m [desingaul a], n, donde [P.sub.L](n) = min{AC(D(P)/n)} y [P.sub.L](m) = min{AC(D(P)/m)}. [P.sub.L](n) es por lo tanto el "precio de autofinanciamiento" (break-even price) para un caso con n empresas activas en el mercado.

Supongamos ahora que, si este mercado esta en una situacion de competencia en precios, cada empresa enfrenta la siguiente funcion de demanda individual:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (2)

donde [P.sub.i] es el precio elegido por la iesima empresa, [P.sub.j] es el precio elegido por la jotaesima empresa, [P.sub.k] es el precio elegido por la kaesima empresa, n es el numero de empresas activas, y N es el conjunto de empresas activas.

Notese que esta definicion de la funcion de demanda de la empresa individual supone una "regla de reparto igualitario" (equal sharing rule), es decir, la idea de que si n empresas cobran el mismo precio y ese precio es el minimo precio cobrado por todo el conjunto de empresas, entonces la demanda se reparte equitativamente entre las n empresas activas (2). Tambien im[P.sub.L]ica que cada empresa activa debe satisfacer toda la demanda que enfrenta, igual a D([P.sub.i])/n.

Esta definicion de la demanda im[P.sub.L]ica ademas que cada empresa individual obtiene un beneficio [[PI].sub.i] igual a:

[[PI].sub.i] = [P.sub.i] * [D.sub.i] ([P.sub.i], [P.sub.-i] - C([D.sub.i]([P.sub.i], [P.sub.-i])) (3);

lo cual quiere decir que cada empresa activa obtiene un beneficio igual a:

[[PI].sub.i] = [P.sub.i] * D([P.sub.i])/n - VC (D([P.sub.i])/n) -F (4);

mientras que cada empresa inactiva obtiene un beneficio igual a cero.

En una situacion de competencia en precios como la descripta, un equilibrio de Bertrand es un perfil de precios Pn tal que, para todo i [elemento de] N y todo [P.sub.i] [elemento de] [0, [infinito]), se da que [[PI].sub.i]([P.sub.i], [P.sub.-i]) [mayor que o igual a] [[PI].sub.i]([P.sub.i], [P.sub.-i]) y, para todo k [??] N y todo [P.sub.i] [??] [0, [infinito]), se da que [[PI].sub.k] ([P.sub.i], [P.sub.-k]) [menor que o igual a] 0. Designaremos con la expresion B([G.sub.n]) al conjunto de dichos equilibrios, donde n es el numero de empresas que pertenecen a N.

3. Resultados

Antes de proceder a demostrar los principales resultados de este trabajo, enunciaremos y probaremos una serie de lemas que nos resultaran utiles en dicha tarea, y que son los siguientes:

Lema 1: Si Pn [elemento de] B([G.sub.n]) e i [elemento de] N, entonces [[PI].sub.i] [mayor que o igual a] 0.

Prueba: Supongase, por el contrario, que [[PI].sub.i] < 0. Entonces Pn no puede ser un equilibrio de Bertrand, ya que la iesima empresa puede cobrar un precio mas alto, quedarse inactiva y ganar [[PI].sub.i] = 0. Esto contradice la hipotesis de que Pn [elemento de] B([G.sub.n]), q.e.d.

Lema 2: Si Pn [elemento de] B([G.sub.n]) entonces, para todo i, j [elemento de] N, [P.sub.i] = [P.sub.j] = [P.sub.B].

Prueba: Supongase que [P.sub.i] > [P.sub.j] = [P.sub.B], para todo j [elemento de] N, j [desingual a] i. Entonces la iesima empresa no puede estar activa, ya que en esa situacion [D.sub.i]([P.sub.i], [P.sub.-i]) = 0. Supongase en cambio que [P.sub.i] < [P.sub.j] = [P.sub.B], para todo j [elemento de] N, j [desingual a] i. Entonces las otras n-1 empresas no pueden estar activas, ya que en esa situacion [D.sub.j]([P.sub.j], [P.sub.-j]) = 0. Por ende, para todo i, j [elemento de] N, debe darse que [P.sub.i] = [P.sub.j] = [P.sub.B], q.e.d.

Lema 3: Si Pn [elemento de] B([G.sub.n]) entonces, para todo k [desingual a] N, [P.sub.k] > [P.sub.B].

Prueba: Supongase que [P.sub.k] = [P.sub.B]. Entonces la kaesima empresa no puede estar inactiva, ya que en esa situacion [D.sub.k]([P.sub.B], [P.sub.-k]) = D([P.sub.B])/(n+1) > 0. Supongase alternativamente que [P.sub.k] < [P.sub.B]. Entonces la kaesima empresa tampoco puede estar inactiva, dado que en esa situacion [D.sub.k]([P.sub.k], [P.sub.-k]) = D([P.sub.k]) > 0. Por ende, para todo k [??] N, debe darse que [P.sub.k] > [P.sub.B], q.e.d.

Lema 4: Si Pn [elemento de] B([G.sub.n]), entonces [P.sub.B] [mayor que o igual a] [P.sub.L](n).

Prueba: De a[P.sub.L]icar el lema 1 sabemos que, para todo i[elemento de] N, [[PI].sub.i] [mayor que o igual a] 0. De a[P.sub.L]icar el lema 2 sabemos que, para todo i [elemento de] N, [P.sub.i] = [P.sub.B]. Si [P.sub.L](n) = min{AC(D(P)/n)}, entonces no existe ningun P < [P.sub.L](n) para el cual [[PI].sub.i] mayor que o igual a] 0, y consecuentemente no puede haber tampoco un perfil de precios Pn [elemento de] B([G.sub.n]) para el cual se de que [P.sub.B] < [P.sub.L](n), q.e.d.

Lema 5: Si Pn [elemento de] B([G.sub.n]), entonces [P.sub.B] [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1).

Prueba: Supongase, por el contrario, que [P.sub.B] [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1). Entonces recuerdese que, por definicion, [P.sub.L](n+1) = min{AC[D(P)/(n+1)]}, por lo cual, si n+1 empresas cobran [P.sub.B], pueden obtener un beneficio positivo. En ese caso Pn no puede ser un equilibrio en el que solo n empresas esten activas, y consecuentemente Pn [elemento de] B([G.sub.n]), q.e.d.

Lema 6: Si Pn [elemento de] B([G.sub.n]), entonces [P.sub.B] [menor que o igual a] [P.sub.L](1).

Prueba: Supongase, por el contrario, que [P.sub.B] > [P.sub.L](1). Entonces la kaesima empresa podria fijar un precio [P.sub.i] = [P.sub.B] - [epsilon] > [P.sub.L](1), y obtener [[PI].sub.k] = [P.sub.i]D([P.sub.i]) - VC[D([P.sub.i])] - F > 0. En ese caso Pn no puede ser un equilibrio, y consecuentemente Pn [elemento de] B([G.sub.n]), q.e.d.

Combinando los lemas 4, 5 y 6, es posible probar un primer resultado importante que establece condiciones necesarias y suficientes para la existencia del equilibrio de Bertrand. Dicho resultado es la proposicion 1.

Proposicion 1: Supongase que n [mayor que o igual a] 2. Entonces B([G.sub.n]) [desingual a] [conjunto vacio] si y solo si [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1) y [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](1).

Prueba: Combinando los lemas 4 y 5 obtenemos que, si B([G.sub.n]) [desigual a], [conjunto vacio], entonces [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1). Combinando los lemas 4 y 6 obtenemos que, si B([G.sub.n]) [desigual a], [conjunto vacio], entonces [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](1). Por lo tanto, si B([G.sub.n]) no esta vacio, entonces [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1) [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](1). Recuerdese ahora que, si [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1) and [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](1), entonces existe un conjunto no vacio de precios [[P.sub.L](n); [P.sub.L](n+1)] [interseccion] [[P.sub.L](n); [P.sub.L](1)]. Si [P.sub.B] pertenece a dicho conjunto y n [mayor que o igual a] 2, sera un precio de equilibrio de Bertrand, porque todas las empresas activas preferiran cobrar [P.sub.B] y permanecer activas en vez de cobrar [P.sub.i] > [P.sub.B] y volverse inactivas, todas las empresas inactivas preferiran cobrar [P.sub.k] > [P.sub.B] en vez de [P.sub.k] = [P.sub.B] y volverse activas, y todas las empresas (activas e inactivas) preferiran quedarse como estan en vez de cobrar [P.sub.i] < [P.sub.B] y convertirse en los unicos oferentes de todo el mercado. Por lo tanto, si n [menor que o igual a] 2, [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.B] [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1) y [P.sub.L](n) [menor que o igual a] (1), entonces Pn [elemento de] B([G.sub.n]), y B([G.sub.n]) no esta vacio.

Combinando los dos resultados para el caso donde n [mayor que o igual a] 2, vemos que B([G.sub.n]) [desigual a] [conjunto vacio] si y solo si [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1) [menor que o igual a] [P.sub.L] (n) [menor que o igual a] [P.sub.L](1), q.e.d.

Estamos ahora en posicion de probar el resultado principal de este trabajo, lease, la relacion entre el numero optimo de empresas en un mercado y la existencia del equilibrio de Bertrand para dicho numero de empresas. Dicho resultado es la proposicion 2.

Proposicion 2: Si n 2 es el numero optimo de empresas en el mercado, entonces B([G.sub.n]) [desigual a] [conjunto vacio].

Prueba: Recuerdese que, si n es el numero optimo de empresas en el mercado, [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](m), para todo [desigual a] n. Entonces, en particular, se da que [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](n+1) y [P.sub.L](n) [menor que o igual a] [P.sub.L](1). Si eso es asi y n [mayor que o igual a] 2, entonces por la proposicion 1 sabemos que B([G.sub.n]) no esta vacio, q.e.d.

Habiendo probado la existencia del equilibrio de Bertrand cuando el numero de empresas activas es el optimo (y n [mayor que o igual a] 2), probaremos ahora un resultado adicional, relacionado con la inexistencia del equilibrio de Bertrand cuando el numero de empresas activas es menor que el numero optimo de empresas en el mercado. Para ello es conveniente enunciar primero el siguiente lema:

Lema 7: Si n es el numero optimo de empresas en el mercado, m no es el numero optimo de empresas en el mercado, y m < n, entonces [P.sub.L](m) > [P.sub.L](m+1).

Prueba: Si n es el numero optimo de empresas en el mercado y m no es el numero optimo, entonces [P.sub.L](n) < [P.sub.L](m). Si m = n-1, por lo tanto, [P.sub.L](m) > [P.sub.L](m+1) = [P.sub.L](n). Pero si m < n-1, entonces [Q.sub.i] = D[[P.sub.L](m)]/m tiene que ser una cantidad para la cual AC([Q.sub.i]) es creciente. Por ende, como m < m+1 < n, debe darse que min{AC(D(P)/m)} > min{AC[D(P)/(m+1)]} > min{AC(D(P)/n)}, y consecuentemente [P.sub.L](m) > [P.sub.L](m+1) > [P.sub.L](n). Combinando los dos resultados se obtiene que, si m < n, entonces [P.sub.L](m) > [P.sub.L](m+1), q.e.d.

Si ahora combinamos los resultados de los lemas 4, 5 y 7, resulta posible probar la siguiente proposicion:

Proposicion 3: Si n es el numero optimo de empresas en el mercado y m < n no es el numero optimo de empresas en el mercado, entonces B([G.sub.m]) = [conjunto vacio].

Prueba: De a[P.sub.L]icar el lema 7 sabemos que, si n es el numero optimo de empresas en el mercado y m < n, entonces [P.sub.L](m) > [P.sub.L](m+1). Pero de a[P.sub.L]icar los lemas 4 y 5 sabemos que, si B([G.sub.m]) [desigual a], entonces [P.sub.L](m) [menor que o igual a] [P.sub.L](m+1). Por ende, si [P.sub.L](m) > [P.sub.L](m+1), entonces B([G.sub.m]) esta vacio, q.e.d.

La inexistencia del equilibrio de Bertrand con menos empresas activas que el optimo, sin embargo, no descarta la posibilidad de encontrar equilibrios de Bertrand con mas empresas activas que el numero optimo. Esto ocurre si el numero de empresas activas (m) es mayor que el numero optimo de empresas y, al mismo tiempo, se da que [P.sub.L](m) < [P.sub.L](1).

Proposicion 4: Supongase que n [mayor que o igual a] 2 es el numero optimo de empresas en el mercado, y que m > n. Entonces, si [P.sub.L](m) < [P.sub.L](1), B([G.sub.m]) [desigual a] [conjunto vacio].

Prueba: Si n [mayor que o igual a] 2 es el numero optimo de empresas en el mercado y m > n, entonces [Q.sub.i] = D[[P.sub.L](m)]/m tiene que ser una cantidad para la cual AC([Q.sub.i]) es decreciente. Por ende, como m+1 > m > n, debe darse que min{AC[D(P)/(m+1)]} > min{AC(D(P)/m)} > min{AC(D(P)/n)}, y consecuentemente [P.sub.L](m+1) > [P.sub.L](m) > [P.sub.L](n). Si, adicionalmente, [P.sub.L](m) < [P.sub.L](1), entonces la proposicion 1 nos dice que B([G.sub.m]) no esta vacio, q.e.d.

4. El caso de n = 1

Quizas el lector haya notado que, en las proposiciones 1, 2 y 4, nos hemos restringido a situaciones en las que el numero de empresas activas en el mercado es mayor o igual que dos. Esto se debe a que, bajo nuestra definicion del espacio de estrategias de las empresas y en virtud de la regla de reparto elegida para definir las demandas individuales, B([G.sub.1]) es siempre un conjunto vacio.

Para el caso en el que el numero optimo de empresas activas es n [mayor que o igual a] 2, el caracter vacio del conjunto B([G.sub.1]) puede probarse a[P.sub.L]icando de manera directa la proposicion 3 al caso particular en el que m = 1. Cuando el numero optimo de empresas activas es uno, en cambio, B([G.sub.n]) esta vacio para todo n [menor que o igual ] 1, incluyendo a n = 1 como un caso especial. Esto puede probarse del siguiente modo:

Proposicion 5: Si el numero optimo de empresas en el mercado es uno, entonces B([G.sub.m]) = [conjunto vacio] para todo m [menor que o igual a] 1.

Prueba: Combinando los lemas 4 y 6, sabemos que si B([G.sub.m]) [desingual a], [conjunto vacio], entonces [P.sub.L](m) [menor que o igual a] [P.sub.L](1). Pero si el numero optimo de empresas activas es uno, entonces [P.sub.L](m) > [P.sub.L](1) para todo m [menor que o igual a] 2, y por ende B([G.sub.m]) = [conjunto vacio] para todo m [mayor que o igual a]. Si, en cambio, el numero optimo de empresas activas es uno y m = 1, la combinacion de los lemas 4 y 6 im[P.sub.L]ica que [P.sub.L](1) [menor que o igual a] [P.sub.B] [menor que o igual a] [P.sub.L](1), con lo cual el unico posible precio de equilibrio de Bertrand seria PB = [P.sub.L](1). Pero si la unica empresa activa esta cobrando [P.sub.B] = [P.sub.L](1), entonces el lema 3 nos dice que todas las empresas inactivas tienen que estar cobrando [P.sub.k] > [P.sub.L](1). Debe por lo tanto existir algun [P.sub.i] = [P.sub.k] - [epsilon] > [P.sub.L](1) para el cual la empresa activa puede obtener un beneficio positivo, y por lo tanto [P.sub.L](1) no puede ser un precio de equilibrio y B([G.sub.1]) = [conjunto vacio].

Por ende, si el numero optimo de empresas en el mercado es uno, entonces B([G.sub.m]) esta vacio para todo m [mayor que o igual a] 1, q.e.d.

Notese que decir que el equilibrio de Bertrand no existe cuando el numero optimo de empresas en el mercado es uno es equivalente a decir

que B([G.sub.m]) esta vacio para cualquier m [mayor que o igual a] 1 si el mercado es un monopolio natural. Si el mercado no es un monopolio natural, en cambio, sabemos por la proposicion 2 que siempre podremos encontrar una asignacion de equilibrio de Bertrand, al menos para el caso en el cual el numero de empresas activas sea igual al numero optimo de empresas en el mercado.

5. ejemplo numerico

Los resultados de la seccion 3 nos muestran que, en este tipo de mercados donde hay libre entrada de empresas identicas con rendimientos variables a escala, el equilibrio de Bertrand existe si el numero optimo de empresas es mayor o igual que dos y el numero de empresas activas es el optimo. Tambien nos dicen que dicho equilibrio no existe si el numero de empresas activas es menor que el optimo, pero que puede existir si el numero de empresas activas es mayor que el optimo. Esto es lo que nos mostrara el siguiente ejemplo numerico.

Considerese una situacion en la cual C([Q.sub.i]) = 0.5 * [Q.sub.i.sup.2] 2 + 3 cuando [Q.sub.i] > 0 y C(0) = 0, y supongase que la funcion de demanda agregada es Q = 12 - 2 * P. Entonces 1a correspondiente funcion de costo medio con n empresas activas es AC(Q/n) = 0.5 * * * (Q/n) + 3 * n/Q. Con estas funciones, los precios de autofinanciamiento para los distintos numeros posibles de empresas activas son [P.sub.L](1) = 3.2753, [P.sub.L](2) = 2.5858, [P.sub.L](3) = 2.451, [P.sub.L](4) = 2.6202 y [P.sub.L](5) = 3.5. Cuando n [mayor que o igual a] 6, [P.sub.L](n) no existe, porque la funcion de demanda agregada no se cruza con AC(Q/n). Observando los diferentes valores de [P.sub.L](n), podemos hallar que el numero optimo de empresas activas en este mercado es tres, ya que [P.sub.L](3) = 2.451 es el minimo valor posible para [P.sub.L](n) = AC(D(P)/n). La cantidad demandada en una situacion en la cual P = [P.sub.L](3), por su parte, es Q = 7.098. Que tres es el numero optimo de empresas activas cuando Q = 7.098 puede deducirse tambien de inspeccionar las funciones de costo medio para distintos numeros de empresas activas, y encontrar cual es el minimo AC(Q/n) para cada posible valor de Q. Haciendo eso encontramos que el numero optimo de empresas activas es uno para Q [menor que o igual a] 3.4641, dos para 3.4641 [menor que o igual a] Q [menor que o igual a] 6, tres para 6 [menor que o igual a] Q [menor que o igual a] 8.4853, y cuatro para 8.4853 [menor que o igual a] Q [menor que o igual a] 10.9545. Como Q = 7.098 pertenece al intervalo [6; 8.4853], el numero optimo de empresas es tres.

Si hay tres empresas activas en este mercado, el conjunto de posibles precios de equilibrio de Bertrand esta dado por el intervalo [[P.sub.L](3)=2.451; [P.sub.L](4)=2.6202], que es el rango para el cual tres empresas activas obtienen beneficios positivos pero una cuarta empresa obtendria beneficios negativos si se volviera activa. Ningun equilibrio de Bertrand existe para n = 1 o n = 2 ya que, si P = [P.sub.L](1) = 3.2753, una segunda empresa encontraria beneficioso entrar al mercado y, si P = [P.sub.L](2) = 2.5858, una tercera empresa encontraria beneficioso hacerlo. Si n = 4, en cambio, existe un conjunto no vacio de posibles precios de equilibrio de Bertrand, dado por el intervalo [[P.sub.L](4)=2.6202; [P.sub.L](1)=3.2753]. En ese rango de precios, las cuatro empresas activas obtienen beneficios no negativos, las empresas inactivas no encuentran beneficioso entrar al mercado (ni como un quinto participante en el oligopolio existente ni como un monopolista), y ninguna empresa activa tiene tampoco incentivos para bajar su precio y volverse monopolista.

[GRAFICO 1 OMITIR]

Si n [mayor que o igual a] 5, por ultimo, el equilibrio de Bertrand no existe en este ejemplo numerico. Esto se debe a que, cuando P = [P.sub.L](5) = 3.5, cualquier empresa prefiere bajar su precio y convertirse en monopolista (ya que [P.sub.L](1) < 3.5). Y como mencionamos antes, [P.sub.L](n) no existe cuando n [mayor que o igual a] 6, y por lo tanto es imposible hallar una asignacion en la cual seis o mas empresas esten activas y todas ellas obtengan beneficios no negativos.

El grafico 1 es una representacion de nuestro ejemplo numerico. En el hemos dibujado la demanda agregada D(P), y las funciones de costo medio para distintos numeros de empresas activas. Vemos que el numero optimo de empresas en este mercado es n = 3, ya que el menor precio al cual D(P) cruza una funcion de costo medio ([P.sub.L](3)) corresponde a un punto ubicado en AC(Q/3). Ese precio es uno de los posibles precios de equilibrio de Bertrand, junto con todos los precios en el intervalo [[P.sub.L](3), [P.sub.L](4)], cuando hay tres empresas activas, y todos los precios en el intervalo [[P.sub.L](4), [P.sub.L](1)], cuando el numero de empresas activas es cuatro.

[GRAFICO 2 OMITIR]

Otra manera de representar el mismo ejemplo numerico es la que aparece en el grafico 2, en el cual hemos dibujado una unica funcion de costo medio (AC(Qi)) y seis funciones distintas de demanda individual (D(P), D(P)/2, D(P)/3, D(P)/4, D(P)/5 y D(P)/6), correspondientes a los casos en los cuales hay una, dos, tres, cuatro, cinco y seis empresas activas en el mercado. Aqui tambien puede observarse que el minimo precio de autofinanciamiento es [P.sub.L](3), y que, mientras D(P) y D(P)/2 cruzan a AC(Qi) en un tramo en el cual esta ultima funcion es creciente, D(P)/4 y D(P)/5 lo hacen en un tramo en el cual AC(Qi) es decreciente. Como, ademas, [P.sub.L](1) es mayor que [P.sub.L](4) y que [P.sub.L](3), se ve entonces que los intervalos [[P.sub.L](3), [P.sub.L](4)] y [[P.sub.L](4), [P.sub.L](1)] son capaces de sostener precios de equilibrio de Bertrand cuando el mercado tiene tres y cuatro empresas activas, respectivamente.

Un punto interesante que puede verse en nuestro ejemplo numerico es que el numero de empresas activas en el mercado tipicamente aumenta cuando se produce un crecimiento en la demanda. Supongamos, por ejemplo, que la demanda agregada se incrementa de manera proporcional en un 40% y pasa a ser Q = 16.8 - 2.8 * P. Si la funcion de costo total de las empresas no se modifica, esto im[P.sub.L]ica que ahora los precios de autofinanciamiento para los distintos numeros posibles de empresas activas son [P.sub.L](1) = 3.6936, [P.sub.L](2) = 2.8734, [P.sub.L](3) = 2.543, [P.sub.L](4) = 2.4497, [P.sub.L](5) = 2.5126, [P.sub.L](6) = 2.7283 y [P.sub.L](7) = 3.5. Cuando n [mayor que o igual a] 8, por su parte, [P.sub.L](n) no existe. El numero optimo de empresas activas en este mercado es ahora cuatro, ya que [P.sub.L](4) = 2.4497 es el minimo valor posible para [P.sub.L](n) = min{AC(D(P)/n)}.

Aplicando los resultados de nuestro modelo a esta nueva situacion, vemos que los posibles precios de equilibrio de Bertrand son los contenidos en los intervalos [[P.sub.L](4)=2.4497; [P.sub.L](5)=2.5126], cuando hay cuatro empresas activas; [[P.sub.L](5)=2.5126; [P.sub.L](6)=2.7283], cuando hay cinco empresas activas; y [[P.sub.L](6)=2.7283; [P.sub.L](7)=3.5], cuando hay seis empresas activas. Existe tambien un equilibrio con siete empresas activas en cual los oferentes cobran PB = [P.sub.L](7) = 3.5, ya que en esa situacion todos obtienen beneficios nulos pero el precio es menor que el precio de autofinanciamiento para un monopolista ([P.sub.L](1) = 3.6936). No hay, en cambio, equilibrios de Bertrand con ocho o mas empresas activas, debido a que en tales casos la demanda individual no se cruza en ningun punto con la funcion de costo medio. Tampoco hay equilibrios con tres o menos empresas activas, ya que en esos casos existe siempre un incentivo para la entrada de una nueva empresa.

Lo expuesto puede verse en el grafico 3, que es semejante al grafico 2 pero se refiere a esta nueva situacion en la cual la demanda agregada se ha incrementado en un 40%. Notese que ahora AC(Qi) es creciente en el tramo en el cual cruza a D(P), D(P)/2 y D(P)/3, en tanto que es decreciente en el tramo en el cual cruza a D(P)/5, D(P)/6 y D(P)/7.

De la comparacion de los dos ejemplos numericos expuestos, puede extraerse una conclusion preliminar respecto del numero de empresas de equilibrio en diferentes casos de cambios en la demanda. Supongamos, por ejemplo, que estamos en una situacion en la que la demanda agregada es la que postulamos al principio (Q = 12 - 2xP) y que, por lo tanto, el numero de empresas en el mercado es tres o cuatro. Si en cierto momento la demanda agregada se incrementa en un 40% y pasa a ser la postulada 12 en nuestro segundo ejemplo numerico (Q = 16.8 - 2.8xP), entonces ahora existira un incentivo para que ingrese al mercado una cuarta empresa activa (si antes no la habia), o bien para que las cuatro empresas preexistentes reacomoden sus precios a las nuevas condiciones, y el equilibrio pasara a ser uno con el numero optimo de empresas activas (en este caso, cuatro).

[GRAFICO 3 OMITIR]

Si, en cambio, nos hallamos inicialmente en una situacion en la cual la demanda agregada es Q = 16.8 - 2.8 * P, ya hay cuatro empresas en el mercado, y lo que se produce es una reduccion de dicha demanda; entonces lo mas probable es que las cuatro empresas permanezcan (por mas que el numero optimo de empresas sea ahora tres). Esto se debe a que, cuando Q = 12 - 2 * P, el equilibrio de Bertrand con cuatro empresas tambien existe, y es por lo tanto probable que el ajuste que se produzca sea tal que ninguna de dichas empresas abandone el mercado y el precio se ubique en un rango entre [P.sub.L](4) y [P.sub.L](1). Esto nos indica que la competencia de Bertrand puede no ser capaz de generar el numero optimo de empresas en el mercado, especialmente si estamos en una situacion en la cual la demanda agregada esta disminuyendo.

[GRAFICO 4 OMITIR]

Una ultima version de nuestro ejemplo numerico puede ser un caso en el cual el numero optimo de empresas en el mercado es igual a uno (monopolio natural). Supongamos, por ejemplo, que la demanda agregada es Q = 5 - 0.833xP, y que por lo tanto [P.sub.L](1) = 2.4883, [P.sub.L](2) = 3.064, y [P.sub.L](n) no existe para n [mayor que o igual a] 3. En un caso como este, representado en el grafico 4, el unico equilibrio posible seria que hubiera una sola empresa activa cobrando [P.sub.B] = [P.sub.L](1) = 2.4883, pero en dicha situacion las empresas inactivas deberian estar cobrando precios superiores a [P.sub.L](1). La empresa activa, por lo tanto, podria hallar siempre un precio [P.sub.i] = [P.sub.k] - [epsilon] > [P.sub.L](1), que le permitiera obtener un beneficio mayor. Se da asi el caso en el cual el equilibrio de Bertrand, al menos tal como lo hemos definido en el presente trabajo3, no existe para ningun n [mayor que o igual a] 1.

6. Comentarios finales

La principal conclusion de este trabajo es que el numero optimo de empresas, en el mercado de un producto homogeneo con rendimientos variables a escala y libre entrada de empresas identicas, puede sostenerse como el resultado de un proceso de competencia de Bertrand cuando dicho numero optimo de empresas es mayor o igual que dos (proposicion 2). El trabajo nos muestra tambien que ese proceso puede generar resultados en los que el numero de empresas activas es mayor que el optimo (proposicion 4), pero no resultados en los que tal numero es menor que el optimo (proposicion 3).

Si el numero optimo de empresas es mayor o igual que dos, lo que tipicamente aparece es una situacion con multi[P.sub.L]es equilibrios de Bertrand, que sostienen todo un rango de precios (proposicion 1). En todos esos equilibrios las empresas activas eligen el mismo precio, y el limite inferior del intervalo es el costo medio de la industria ([P.sub.L](n)). Este resultado es esencialmente el mismo encontrado por Dastidar (1995) para equilibrios de Bertrand en mercados con rendimientos decrecientes a escala sin libre entrada. La principal diferencia con el resultado de Dastidar es que, en nuestro modelo, el limite superior del conjunto de precios de equilibrio esta dado por el costo medio de la industria correspondiente a n+1 empresas activas ([P.sub.L](n+1)) o bien por el costo medio de la industria correspondiente a una sola empresa activa ([P.sub.L](1)). Esto se debe a que la existencia de empresas inactivas (competidores potenciales) obliga a las empresas activas a fijar precios que disuadan a las empresas inactivas de entrar al mercado, sea como nuevos participantes en el oligopolio existente o como monopolistas4.

El resultado referido a la posibilidad de equilibrios de Bertrand con distintos numeros de empresas activas en el mercado (proposicion 4) tambien es consistente con el que hallaron Novshek y Chowdhury (2003), quienes probaron que el rango de posibles precios de equilibrio de Bertrand bajo rendimientos variables a escala es tipicamente creciente cuando la demanda aumenta. Esto se debe a que pueden existir equilibrios de Bertrand con mas empresas activas que el optimo, y las posibilidades son crecientes cuando el numero optimo de empresas se incrementa.

Por el contrario, cuando el numero optimo de empresas en el mercado es uno (es decir, cuando el mercado es un monopolio natural), la im[P.sub.L]icancia de nuestro modelo es que el equilibrio de Bertrand no existe (proposicion 5). Esto es consistente con lo hallado por nosotros en un trabajo anterior (Saporiti y Coloma, 2008), en el cual, para un caso sin libre entrada, mostramos que una condicion necesaria y suficiente para la existencia del equilibrio de Bertrand es que la funcion de costos de las empresas no sea subaditiva para [Q.sub.i] = D([P.sub.L](n)). Para restaurar la existencia del equilibrio de Bertrand en una situacion como esa, es necesario cambiar la regla de reparto de la demanda para casos en los que dos o mas empresas fijan el mismo precio (como hace Hoernig, 2007), o bien definir el espacio de estrategias de modo de que el precio sea una variable discreta y no continua (como ocurre en Chowdhury, 2002). Otro caso en el cual el equilibrio puede existir cuando el numero optimo de empresas en el mercado es uno es el llamado "equilibrio de Demsetz" (Yano, 2006), pero esto ocurre en el contexto de un equilibrio de Bertrand-Edgeworth y no en un modelo de equilibrio de Bertrand como el que utilizamos nosotros.

Finalmente, puede decirse que nuestro modelo tambien tiene una implicancia relacionada con la eficiencia de los equilibrios bajo distintos cambios en la demanda. La competencia de Bertrand con libre entrada puede asi ser eficiente para generar la entrada optima de nuevas empresas, pero no para inducir la salida optima de las empresas existentes. Esto es porque los incrementos en la demanda incentivan la entrada de nuevas empresas pero, una vez que el mercado esta en equilibrio y el precio se ubica entre [P.sub.L](n) y [P.sub.L](n+1), no existen ya incentivos adicionales para que se produzca una entrada excesiva. Por el contrario, si la demanda esta decreciendo, deberiamos esperar que el numero de empresas de equilibrio fuera mayor que el optimo. Esto se debe a que, si [P.sub.L](m) existe y el numero actual de empresas activas en el mercado es m, entonces una asignacion con m empresas que cobran un precio que pertenece al conjunto [[P.sub.L](m); [P.sub.L](m+1)] [interseccion] [[P.sub.L](m); [P.sub.L](1)] puede sostenerse como un equilibrio de Bertrand, aun cuando el numero optimo de empresas sea menor que m.

Referencias bibliograficas

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(1) Para una ex[P.sub.L]icacion de la diferencia entre la competencia de Bertrand y la de Bertrand-Edgeworth, vease Vives (1999), capitulo 5.

(2) Para ver otras reglas a[P.sub.L]icables a situaciones de competencia en precios, vease Hoernig (2007).

(3) Este resultado de inexistencia podria modificarse si se cambiaran algunos de los supuestos utilizados. Por ejemplo, si la regla de reparto de la demanda entre las empresas cuando varias de ellas cobran el mismo precio fuera tal que toda la demanda quedara aleatoriamente para una unica entidad, entonces [P.sub.L](1) si seria un precio de equilibrio de Bertrand que podria ser simultaneamente cobrado por varias empresas (una de ellas activa y las restantes inactivas). Tambien podria demostrarse que [P.sub.L](1) (o un numero levemente mayor que [P.sub.L](1)) es un precio de equilibrio de Bertrand para un caso de monopolio natural en el cual las empresas eligieran entre valores discretos de la variable precio. En ese caso, la unica empresa activa cobraria dicho precio y una o mas empresas inactivas tendrian que estar cobrando el precio mayor inmediatamente mas cercano a [P.sub.L](1).

(4) Este requerimiento es similar a lo que Ferreira y Dufourt (2007) llaman "condicion de sostenibilidad" (sustainability condition).

German Coloma, Universidad del CEMA; Av. Cordoba 374, Buenos Aires, C1054AAP, Argentina. Telefono: 6314-3000. Correo electronico: gcoloma@cema.edu.ar. Agradezco los comentarios de Leandro Arozamena, Jorge Streb, Federico Weinschelbaum y Makoto Yano a una version anterior de este trabajo. Las opiniones expresadas en esta publicacion son las del autor y no necesariamente las de la Universidad del CEMA.
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Author:Coloma, German
Publication:Serie Documentos de Trabajo
Date:May 1, 2009
Words:7512
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