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El extrano comportamiento de las palabras en el infinito: la teoria fractal, la teoria de conjuntos y "El Aleph".

Omnia seu finita seu infinita definita suntet excepto Deo ab intellectu determinan possunt.

Georg Cantor

I

No hay duda de que el conjunto de diversas doctrinas teosoficas conocido como la Cabala resulta ser una de las referencias mas presentes en los trabajos de Jorge Luis Borges. Una de las primeras precisiones que hace el al intentar delimitar su interes por la Cabala consiste en destacar no su origen ni su proposito, sino lo notable de los "procesos hermeneuticos o criptograficos que a ella conducen" (OC i: 387). En otro momento, inicia su discusion proponiendo la distincion entre libros sagrados y libros clasicos. (1) Tal distincion resulta extremadamente util para empezar a comprender no solo conceptos esenciales atinentes a la Cabala y al papel que esta puede jugar en la constitucion del pensamiento y la obra de Borges, sino tambien su nada improbable vinculo con las matematicas. El argumento es mas o menos como sigue: los libros clasicos, a pesar de corresponder al punto mas avanzado y privilegiado de la expresion humana, difieren de los sagrados en que su naturaleza y su autoria responden a otra clase de principios. En efecto, en los libros sagrados, como el Coran o el Pentateuco -destaca Borges--, el texto es anterior a la lengua, a la propia existencia de la palabra; son ellos no una obra, sino un atributo de Dios. En los textos clasicos, por su parte--ademas de su condicion de falibles obras humanas--, la palabra es anterior al texto.

En concordancia con esto ultimo, el critico Elliot R. Wolfson afirma que la principal similitud entre los cabalistas y Borges radica justamente en esta suerte de dislocacion temporal. (2) Lo que entiende Borges como esencial de los textos sagrados implica que en todo cuanto tiene que ver con ellos, si se siguen las convenciones de la "normalidad", las consecuencias son anteriores a las causas. En el fondo, lo que se desprende de esta nocion es un replanteamiento radical no solo de la causalidad sino tambien de la realidad. La realidad literaria, fuertemente emparentada con la realidad sagrada, posee una naturaleza de la cual las convenciones humanas y terrenales no pueden dar facil cuenta. La poetica de Borges se situa entonces en medio de la tension entre dos paradigmas: uno de "normalidad" o realidad; y otro alternativo de "anormalidad" o irrealidad. Se podria afirmar que, mas alla de privilegiar el modelo alternativo, lo que nutre y manifiesta la busqueda poetica de Borges es precisamente la tension entre estos dos registros. Dicha tension, asimismo, resulta representativa de numerosas oposiciones analogas que el invoca a menudo, como las que suceden entre las culturas de Occidente y Oriente, entre lo divino y lo humano y entre lo racional y lo irracional. Mas especificamente, con relacion a este ultimo aspecto, lo que destaca Borges es el reconocimiento de la incompatibilidad de nuestros habitos mentales para lidiar con esta tension. El gran problema, pues, es como dar cuenta, por medio de precarios y finitos instrumentos humanos, de una logica y una inteligencia divina e infinita. Otro aspecto que el resalta a proposito de la Cabala es la perfeccion del texto sagrado; nada en el es casual. De esta manera, en el universo-texto, la estructura que le es dada percibir a la atribulada mente humana esta llena de diferentes e intrincados niveles de dificultad en los que cada detalle encierra un especial significado, en particular en aspectos relacionados con la cantidad de letras en la formacion de las palabras y en la disposicion del texto. En ultimas, todo cuanto existe en el mundo, segun los cabalistas, son diversas permutaciones de las 22 letras hebreas, ramas del arbol cuyo tronco es El Tetragramaton (el nombre de Dios en cuatro letras), la esencia secreta de la Tora.

Lo mas notable de los puentes que se pueden establecer entre Borges y la Cabala es que a traves de ellos se llega, casi de forma natural, a aspectos fundamentales de las matematicas. Por ejemplo, los atributos numericos de la Cabala estan claramente relacionados con los conceptos de permutacion y combinacion. Estos son temas comunmente referidos cuando se procura establecer conexiones entre la obra de Borges y las matematicas. Sin embargo, aunque predominan relaciones de tipo mas operativo y concreto en los estudios sobre la perspectiva matematica de su obra, (3) justamente la tension asociada con lo sagrado y lo humano y con el despliegue de logicas alternativas proveen otro tipo de articulacion, mas atinente a lo teorico y abstracto que a lo operacional. El tema del infinito, la arquitectura textual basada en la iteracion de formas y temas y los ya mencionados procesos hermeneuticos y criptograficos estan en el centro de un evidente e intencional componente matematico, de caracter teorico y abstracto, en el pensamiento de Borges. Asi, a partir de una lectura del cuento "El Aleph", se expondra a continuacion como la obra del argentino, a la vez que los antecede, es consistente con los fundamentos de la teoria fractal de Benoit Mandelbrot y como dialoga con la teoria de conjuntos, cuerpo de conocimiento cuyo desarrollo se dio a proposito de los aportes de Georg Cantor a la nocion de infinito y a su promulgacion de los numeros transfinitos. Ambas teorias comparten el que, a pesar de haber sido formuladas con casi cien anos de diferencia, promueven una decisiva ruptura paradigmatica y un profundo impacto cultural en los que se destaca tanto un abordaje concreto de la nocion de infinito como un reajuste a la relacion esencial del todo con sus partes. (4) Pero tambien comparten el llevar la racionalidad convencional a limites alternos y extremos, lo que genera desconcierto, fascinacion e incluso rechazo, algo para nada ajeno a lo que produce la obra del argentino.

Hay una diferencia fundamental en cuanto a la relacion de la obra de Borges con las dos teorias senaladas. En lo que respecta a la teoria fractal, las formulaciones de Mandelbrot, si bien consistentes con los temas, los planteamientos y la arquitectura de las historias de Borges, como se mostrara, son posteriores a la mayoria de lo que este escribio, por lo que es casi seguro que el escritor desconociera completamente su existencia. En el caso de Cantor sucede algo distinto. Borges no solo estaba al tanto de la vida y obra del aleman, sino que estudio con gusto y cuidado y comprendio lo esencial de los principios de la teoria de conjuntos. Es mas, en sus primeros textos, sobre todo en sus ensayos, los cita con precision. El contraste que supone la obra del argentino con estas dos teorias esta en sintonia entonces con lo que el mismo escribiera en su cuento "El Sur": "A la realidad le gustan las simetrias y los leves anacronismos" (OC i: 916). No podria ser de otra manera.

II

James Gleick sostiene que Benoit Mandelbrot se atrevio a hacer algo que ni siquiera intentaron Newton o Galileo: anuncio que su propio trabajo era revolucionario. (5) Gleick resume el aporte de Mandelbrot diciendo: "He invented a new way of describing, calculating and thinldng about shapes that are irregular and fragmented, jagged and broken up--shapes like the crystalline curves of snowflakes or the discontinuous dust of galaxies"(223). Mandelbrot mismo aclara que su mision vital fue formular una teoria de la aspereza. Tal nocion de aspereza esta asociada con el comportamiento irregular y sinuoso de los fenomenos naturales. Segun observo, la mayoria de los fenomenos naturales no son regulares; por el contrario, poseen propiedades complicadas, impredecibles y caprichosas. Mas aun, la irregularidad es la caracteristica distintiva de las creaciones de la naturaleza. Las representaciones y construcciones humanas, en contraste, se caracterizan por el uso de formas, procesos y patrones regulares.

Los trabajos de los que se ocupo la desigual carrera de Mandelbrot abordaron una gran variedad de temas: de las interferencias en las lineas telefonicas, pasando por los cambios en los niveles de los rios, llego a lo que denomino "(mal)comportamiento" de los mercados financieros especulativos. El estudio de estos fenomenos aparentemente no relacionados revelo, sin embargo, la presencia obstinada de patrones similares. Mas especificamente, de patrones que se repiten a variadas escalas de observacion. De manera que Mandelbrot intuyo que esta complejidad comun no era resultado del azar; no era accidental.

Tal vez la mas notable de sus observaciones, derivada de los patrones similares observados a diferentes escalas, es la propiedad de auto semejanza. Lo que pudo verificar Mandelbrot es que muchos objetos y fenomenos naturales manifiestan un patron comun que se hace presente tanto al observar sus partes como al observar su totalidad. Es como si la esencia de las formas y los fenomenos fuese la repeticion de un mismo motivo. Este hecho se convertiria precisamente en el principio unificador de su teoria de la aspereza. Ademas, la principal implicacion de la auto-semejanza es que evidencia, a traves de esa repeticion primordial e incesante, la formacion de una especie de continuo en las creaciones de la naturaleza.

Antes de Mandelbrot muchos cientificos y autores ya habian insinuado o usado la propiedad de auto-semejanza, incluso sin tener conciencia de ello. El filosofo y matematico aleman Gottfried Leibniz imagino que una gota de agua contenia un completo y proliferante universo que, a su tumo, contenia gotas de agua con nuevos universos en su interior. William Blake tambien parece al tanto del fenomeno cuando escribe: "To see a world in a grain of sand", el primer verso de su poema "Auguries of Innocence". En su cuento "El Aleph", Borges, como ya se vera en mas detalle, sostiene que el Aleph es un punto en el espacio que contiene todos los otros puntos: cualquier persona que lo contemple con cuidado podra ver simultaneamente todo cuanto existe en el universo desde todos los posibles angulos, sin distorsiones, superposiciones ni confusiones.

Mandelbrot, al tanto de que la caracteristica distintiva de las creaciones de la naturaleza es la repeticion y de que sus productos poseen un continuo de la propiedad de auto semejanza, utilizo lo mejor de la tecnologia disponible entonces para producir versiones de algunos objetos naturales. Esto resulta fundamental para comprender que uno de los aspectos centrales de la teoria fractal es que proporciona una forma de replicar artificialmente los procesos que sigue la naturaleza para confeccionar sus creaciones. (6) Asi lo explica: "One of the most striking features of fractals is that they enable us to imitate nature. After the first general idea of coastlines, I thought of constructing random coastlines from a simple formula, and then random landscapes. Without computer graphics, it would have been a herculean task" (Mandelbrot 212). Como resultado de esta observacion, Mandelbrot quiso explotar mas este principio por lo que diseno una formula, simple e inocente en apariencia, y empezo a iterarla, a usarla repetidamente hasta el cansancio, buscando la creacion de un objeto artificial pero tratando de imitar, de reproducir, los procedimientos de la naturaleza:

Z [approximately equal to] [Z.sup.2] + C

Con la ayuda decidida de los computadores--la parte esencial de este trabajo fue realizada durante la primavera de 1980--, consiguio evaluar la formula para una considerable cantidad de valores. Luego, con mucha paciencia, tuvo que esperar para ver la impresion de una imagen computarizada de la grafica de esos valores. Anos despues, gracias a sustanciales avances en las tecnicas de impresion, fue posible ver la version mas familiar, colorida e impactante de la grafica. Lo que esa imagen representa se conoce ahora como el conjunto de Mandelbrot, o el conjunto M, y ha sido considerado el objeto mas complicado de las matematicas.

Los aspectos mas notables del conjunto M pueden ser resumidos en los siguientes puntos:

* Su formula consta de solo tres simbolos: Z, C y 2.

* Su construccion es el resultado de un proceso de iteracion, repeticion sin fin. El signo "[ approximately equal to]" es el que indica la iteracion. La parte mas destacada de los procesos de iteracion es su faceta ciclica: una vez que se usa una cantidad inicial, se genera una nueva cantidad, la cual, a su turno, se convierte en la nueva cantidad inicial que generara la siguiente. Y asi, sucesivamente. "Como un perro que persigue su cola", ilustraria el propio Mandelbrot.

* Tiene tanto una faceta finita como una infinita: ocupa una cantidad finita de espacio en el plano bidimensional, pero su perimetro es infinito.

* Es auto semejante: sin importar la escala de observacion que se haga, reduccion o magnificacion, el mismo patron aparece una y otra vez.

Mandelbrot supo de inmediato que estaba descubriendo un nuevo conjunto de objetos. Para identificarlos acuno el termino "fractal". Segun el, la palabra "fractal" era una combinacion ideal de las palabras "fracturado" y "fraccionar, las cuales, a su vez, condensaban muy bien las principales propiedades de tales objetos. "Fracturado", por lo irregular y sinuoso de sus bordes, y "fraccionar porque encontro que la dimension de la mayoria de ellos puede ser un numero fraccionario, o un complicado numero decimal, en lugar de un convencional numero entero como i, 2 o 3. Esta ultima propiedad de dimension no entera esta mas alla de los propositos de discusion de este trabajo, pero baste senalar que es uno de los aspectos mas contraintuitivos de la teoria.

III

Hay incontables ejemplos de intersecciones entre objetos literarios y fractales. Ya se han mencionado aca algunos ejemplos de estos textos. Uno de ellos, "El Aleph" de Borges, publicado originalmente en 1945, presenta inquietantes referencias fractales asociadas concretamente a la propiedad de auto-semejanza y a la nocion de repeticion continua e infinita. Borges propone la existencia de una singularidad, un punto en el espacio que contiene a todos los otros puntos, lo cual sugiere la proyeccion de un continuo entre las partes y el todo en la estructura del universo.

El cuento posee lo que parece ser una indeterminada cantidad de niveles textuales alternos. Estos niveles reproducen los extranos comportamientos que suceden, mental y textualmente, al bordear los limites del infinito. Esto se consigue por medio de proyecciones y repeticiones, explicitas y sugeridas, y a traves de los problemas de escritura y de lectura que plantea. Cuando el narrador del cuento, llamado Borges, puede ver a traves del Aleph, "una pequena esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor" (OC 1: 1068) cuyo diametro, a pesar de ser solo de dos o tres centimetros, contiene todo el espacio cosmico, se enfrenta a lo que denomina el problema central, "el inefable centro de mi relato" (OC 1:1067): dar cuenta del infinito Aleph. Tal problema, segun el propio Borges, es en principio irresoluble pues implica, ni mas ni menos, la enumeracion, siquiera parcial, de un conjunto infinito. Asi, en este punto de la narracion, confluyen la vision desbordada y deslumbrante del infinito y las limitaciones y precariedades del convencional mundo finito, en particular las atinentes a las herramientas linguisticas del lenguaje escrito para dar cuenta de este. Daniel Balderston afirma que el problema que confronta Borges es como transmitir el infinito Aleph en un numero finito de simbolos. Por tal razon, presta atencion a la forma en que el narrador consigue tanto reproducir el planteamiento de su problema como proponer su solucion literaria por medio de una de las mas notables y extensas oraciones de las que se tengan noticia en la historia de la literatura. Es por medio de las particularidades estructurales y retoricas de esa oracion, se infiere del planteamiento de Balderston, que se puede dar cuenta de la solucion al problema. Pero tambien, acudiendo a registros y manuscritos del propio autor, Balderston puede rastrear el proceso de escritura de esta oracion; como Borges va modificando y ampliando esta parte del texto de "El Aleph" hasta llegar al producto final, el cual, a su turno, representa todo el centro del relato en tanto que el vertigo de la descripcion, paradojicamente finita y secuencial, y el efecto de las herramientas retoricas utilizadas--que, como bien senala Balderston, no son exclusivas de esta historia, sino que aparecen en otros textos del argentino--, consiguen imitar al infinito. Esquema similar, sobre todo en lo atinente a la mimica, al que sigue Mandelbot en el conjunto M. De esta forma, la estructura del relato en este fragmento corresponde magistralmente al tema que propone: la larga oracion es, en si misma, un Aleph.

El critico cubano Roberto Gonzalez Echevarria destaca como la eleccion de la palabra "Aleph" como titulo de la coleccion y del cuento, responde a las caracteristicas esenciales de la ficcion de Borges de resumir o condensar y de presentar continuidad en los temas, las estructuras y los personajes. Gonzalez Echevarria alude a la logica relacion de la palabra aleph, la primera letra del alfabeto hebreo, con "a mysterious object possessing the magical power to produce such a vision, which an epilogue to the story attributes to Kabbalistic interpretations" (125). Sin embargo, no profundiza en esta conexion con la Cabala, ni mucho menos en la referencia que, en la misma posdata, hace Borges a la Mengenlehre, termino aleman que corresponde a teoria de conjuntos. Tampoco a la mencion de los "numeros transfinitos". Muchisimo menos al hecho de que aparezcan lado a lado la Cabala y la teoria de conjuntos. Especificamente escribe el narrador en la "Posdata del primero de marzo de 1943":

Dos observaciones quiero agregar: una sobre la naturaleza del Aleph; otra, sobre su nombre. Este, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicacion al disco de mi historia no parece casual. Para la Cabala, esa letra significa En Soph, la ilimitada y pura divinidad; tambien se dijo que tiene la forma de un hombre que senala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el simbolo de los numeros transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de sus partes. (OC 1: 1069)

Borges consigue entonces poner inquietantemente juntos al aleph de la Cabala, a su propio aleph y al aleph de Cantor. La palabra aleph esta asociada en los tres casos con versiones del infinito y con la experiencia de su contemplacion. Como primera letra del alfabeto hebreo, en la Cabala representa la deslumbrante luz de la divinidad infinita; en la teoria de conjuntos es el simbolo del infinito mas pequeno que se puede establecer concretamente; y en el cuento de Borges, como ya se senalo, es un punto en el espacio que contiene todos los otros puntos.

Esta contemplacion se produce tanto a nivel de la mistica esoterica como de la fascinacion intelectual por las matematicas, como se desprende de la posdata. Lo cual nos lleva a precisar lo que se podria entender como el aleph de Cantor, el simbolo de los numeros transfinitos. Es hacia el ultimo cuarto del siglo XIX, en el esplendor de las matematicas en Alemania, lo que se ha dado en llamar "escuela de Berlin", que Georg Cantor (1845-1918) empieza a desarrollar lo que terminaria siendo conocido como la teoria de conjuntos. Su trabajo, con fuertes motivaciones e implicaciones filosoficas, parte del estudio del concepto de infinito. Dice Stephen Hawking que "Georg Cantor scaled the peales of infinity and then plunged into the deepest abysses of the mind: mental depression" (1131), aludiendo al triste final del aleman, quien paso los ultimos veinticinco anos de su vida entrando y saliendo de sanatorios mentales: un destino parecido al que le espera al protagonista de "El Zahir", otra de las historias de El Aleph.

Lo esencial del razonamiento de Cantor empieza con la aplicacion efectiva de la distincion entre el infinito potencial y el infinito concreto, lo cual equivaldria a hablar del contraste entre un infinito imaginario y un infinito real. Hasta que se dieron a conocer sus trabajos, la nocion de infinito era predominantemente asumida en su variante potencial, es decir, como una convencion o idea, un limite abstracto al cual se aproximaban valores muy pequenos o muy grandes que resultaban de efectuar algunas operaciones con cantidades finitas. Pero Cantor, por medios que privilegian procedimientos logicos, se ocupa del infinito concreto, o sea, del infinito como una cantidad real, que incluso puede ser manipulada aritmeticamente. (7) Cantor puntualiza los errores que se derivan de la confusion entre las dos nociones de infinito potencial y concreto, y establece el principio de que, al contrario de lo estipulado segun la tradicion aristotelica, todas las cosas finitas e infinitas son definidas y pueden ser determinadas por el entendimiento. En efecto, uno de los argumentos mas socorridos por filosofos y matematicos tiene que ver con los limites que posee el entendimiento humano para abordar, operacional y conceptualmente, la idea del infinito, razon por la cual encontraron pertinente desechar su existencia y abandonar su estudio.

Cantor parte tambien del reconocimiento de los numeros enteros, Z = {1, 2, 3,...}, como modelo de conjunto infinito y de una connotacion ampliada del concepto de numero. Asimismo, provee maneras de extender este conjunto de los enteros hasta precisas regiones del infinito y de generar nuevos numeros, hasta entonces completamente desconocidos. A partir del examen de este conjunto de los numeros enteros y de su relacion con otros subconjuntos de el--como por ejemplo los pares, {2,4,6,...}, los impares, {1,3,5,...}, los multiplos de 3, {3,6,9,...},etc--, Cantor postula que un conjunto es infinito cuando se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto de el. Por ejemplo, en el caso de los naturales y los pares, la correspondencia seria:

1 [right arrow] 2

2 [right arrow] 4

3 [right arrow] 6, etcetera.

Borges comprende esto muy bien; se siente fascinado por el resultado y ademas lo refiere con propiedad y precision. En el texto "La doctrina de los ciclos", de 1934, un muy lucido intento por refutar la nocion del eterno retorno de Nietzsche, acude especificamente a Cantor y a la definicion de infinito a partir de los conjuntos numericos para construir su argumentacion. La estrategia para esta refutacion consiste en senalar el caracter infinito del tiempo y del espacio, lo cual hace imposible la repeticion de los eventos. (8)

El hecho de que un conjunto con infinitos elementos, como el de los numeros enteros, pueda ser equiparado elemento a elemento con uno de sus subconjuntos, como lo que acaba de mostrarse entre los enteros y los pares, trae aparejada la equiparacion del todo con sus partes. De hecho, se desprende de lo que proponen Cantor y Richard Dedeldnd, otro de los matematicos de la escuela de Berlin, esa es precisamente la senal distintiva del infinito. Borges lo explica con mucho mas belleza y suficiencia de la siguiente manera en "La doctrina de los ciclos":

Cantor destruye el fundamento de la tesis de Nietzsche. Afirma la perfecta infinitud del numero de puntos del universo, y hasta de un metro del universo, o de una fraccion de ese metro. La operacion de contar no es otra cosa para el que la de equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogenitos de todas las casas de Egipto fueran matados por el Angel, salvo los que habitaban en casa que tenia en la puerta una senal roja, es evidente que tantos se salvaron como senales rojas habia, sin que esto importe enumerar cuantos fueron. Aqui es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los numeros naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares. (OC 1: 721)

Mas adelante, despues de aludir a la demostracion de que "son tantos los impares como los pares", afirma que:

Una genial aceptacion de estos hechos ha inspirado la formula de que una coleccion infinita--verbigracia, la serie natural de los numeros enteros--es una coleccion cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas. (Mejor, para eludir toda ambiguedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.) La parte, en esas elevadas latitudes de la numeracion, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro, o en decimetro, o en la mas honda trayectoria estelar. (OC 1:721-22)

En efecto, la evidente equiparacion de un todo con sus partes, en los dominios infinitos, produce resultados desconcertantes, por decirlo menos, sobre todo en cuanto a la propiedad, verificada por Cantor, de la invariabilidad dimensional: la cantidad de puntos que hay en toda la recta numerica es la misma que hay en el intervalo [0, 1]. En otras palabras, hay tantos numeros entre 0 y 1 como numeros en "total". Pero tambien hay tantos puntos en ese intervalo, un segmento de recta de longitud 1, como en la superficie interior de un cuadrado con lados de longitud uno. O en el espacio interior de un cubo con lados de longitud uno. Por eso dice Borges que "la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro, o en decimetro, o en la mas honda trayectoria estelar" (OC l: 721-22).

Del trabajo de Cantor tambien se desprende la distincion entre grados de infinito. Hay diferentes tamanos de infinitud. En realidad, Cantor destaco dos: el correspondiente a la cantidad de numeros enteros--que, segun demostro el, es el mismo de los racionales-; y el de los numeros reales. Siendo este ultimo "mas grande" que el primero. Esta dicotomia tiene relacion tambien con la distincion entre lo discreto, aquello que consta de unidades separadas unas de otras, y lo continuo, aquello que consta de unidades o partes que no estan separadas unas de otras. Un problema todavia no resuelto completamente es su "hipotesis del continuo", que postula que no hay otro tipo de infinito entre estos dos. (9) Estas medidas de infinitud, a su turno, conectan con otro nivel de numeracion que resulta ser una especie de extension o agregado de la ya conocida recta numerica y que propicio la adopcion de la nocion de "numero transfinito", a la que alude Borges en su posdata de "El Aleph". El menor de estos numeros, el correspondiente a la infinita cantidad de enteros, fue precisamente llamado por Cantor [0.sup.*] o "aleph cero". El de los numeros reales fue llamado [1.sup.*], "aleph uno", o simplemente c, en alusion al continuo. Pero, mas alla de la existencia de estos dos numeros, [0.sup.*] y [1.sup.*], es preciso insistir que Cantor reconoce una nueva region en la recta numerica en donde se encuentran infinitos numeros de este tipo. Antes de Cantor, el conjunto de los numeros enteros era descrito simbolicamente como Z = {1, 2,3,...}, en donde los puntos suspensivos indicaban que su proyeccion era mas hacia un infinito de tipo potencial. Despues de el, se implica que el conjunto en realidad deberia ser descrito como Z = {1, 2, 3, .... [2.sup.*], [1.sup.*], [0.sup.*], ...}, en donde [2.sup.*], [1.sup.*], [0.sup.*] ,etc., son ya nuevos numeros, numeros transfinitos, y en donde se hace uso explicito de la faceta concreta del infinito.

IV

El camino del infinito, que conecta a Borges con Cantor, conduce precisamente a los terrenos de los fractales. Un trabajo particular de Cantor, la formulacion del conjunto de Cantor en 1883, o conjunto C,--uno de los "monstruos" o "patologias" matematicas, complicados y extranos objetos de dificil definicion y visualizacion, y con propiedades contradictorias--, es reconocido como uno de los antepasados mas distinguidos de los fractales. (10) De manera que el infinito no solo conecta decididamente a la Cabala, a Borges y a Cantor, sino que tambien situa a estos dos ultimos como precursores y ejecutores de principios fractales. Veamos como se puede observar en concreto esto en el caso de "El Aleph".

En primer termino, segun Gonzalez Echevarria, toda la obra de Borges cuenta con el uso de diferentes niveles de marcos lo que, en su opinion, es como si alguien "other than the writer or teller had intervened in the telling: an editor who, in footnotes or epilogues, clarifies certain points or actually disputes others" (135). Gonzalez Echevarria anade que "Borges assumes the roles both of writer and reader, enclosing, as in a tightly sealed vacuum chamber, the acts of writing and reading" (135). La tesis principal de Mary Lusky Friedman, de otro lado, es que Borges construye cada uno de sus textos alrededor de la repeticion de un unico paradigma narrativo y que, a su turno, este texto primordial/original expresa aspectos de su vida psiquica. (11) Lusky Friedman sostiene que el final que Borges inventa para la historia de "La viuda Ching, pirata", en el apartado de "El dragon y la zorra", texto incluido en Historia universal de la infamia (1935) se asemeja emblematicamente a su propio contenido. Pero ademas, sugiere ella, aqui se encuentra el germen de un elemento tipico de Borges: la idea de que existen multiples versiones de un concepto o de una historia. Lo que explica Lusky Friedman, al intentar sustentar su hipotesis, conecta con una relacion no convencional del todo con las partes que esta en sintonia con la propiedad de auto semejanza de los objetos fractales. La sensacion de que cada uno de los cuentos de Borges replica a los demas; incrustada en cada una de las historias yace el mismo proceso de estructuracion narrativa, "a story that coexists with the plot but does not necessarily coincide with it" (3); y que Borges actua tal como el emperador chino que envia en sus hermosas cometas multiples versiones de un mismo texto, es lo que justifica su postulacion del paradigma. Este paradigma, a su turno, hace que toda su obra pueda verse como la reiteracion de un mismo patron. (12)

Ciertamente, cualquier lectura de "El Aleph" puede dar cuenta de los diferentes niveles de marcos y de las relaciones textuales que acertadamente apunta Gonzalez Echevarria y del paradigma que postula Lusky Friedman. Asi, la estructura de "El Aleph" evoca en mucho la del conjunto M. Hecha a partir de procedimientos que sugieren una iteracion, repite un mismo patron en cualquier direccion de su disposicion en que se haga un examen; y ademas conlleva la imitacion de procesos mentales de lectura y escritura. Si el enfoque se dirige hacia el interior del cuerpo del cuento, se verifica la presencia de dos epigrafes; varios extractos de un poema (La Tierra) que al interior de la historia esta en pleno proceso de escritura por parte del personaje Carlos Argentino Daneri; la alusion al poema topografico Polyolbion, de Michael Drayton; dos notas a pie de pagina; y, finalmente, la mencionada posdata, "escrita" el primero de marzo de 1943. Los contenidos de estos subtextos poseen ademas una clara conexidad tematica y funcional dentro de la arquitectura propuesta por Borges. Ambos epigrafes, el primero tomado de la segunda escena del segundo acto de Hamlet de William Shakespeare ("O God, I could be bounded in a nutshell and count myself a King of infinite space"), y el segundo, del capitulo 46 del Leviatan de Thomas Hobbes ("But they will teach us that Eternity is the Standing still of the Present. Time, a Nunc-stans (as the Schools call it); which neither they, nor any else understand, no more than they would a Hic-stans for an Infinite greatness of Place"), refieren una inquietante relacion de simetria entre las partes y el todo del espacio y del tiempo. El poema de Daneri, por su parte, segun la explicacion del propio Borges, "se proponia versificar toda la redondez del planeta" (OC 1: 1063), mientras que el Polyolbion, un poema que consta de quince mil dodecasilabos, es una "epopeya topografica en la que Michael Drayton registro la fauna, la flora, la hidrografia, la orografia, la historia militar y monastica de Inglaterra" (OC 1: 1063). De manera que estos dos poemas poseen, cuando menos, un comun afan de cifra totalizadora. Se puede en consecuencia teorizar el efecto del aleph como "cifra totalizadora" que incluye hacia el interior intertextos que a su vez remiten a cifras totalizadoras.

Cuando, en cambio, se concentra la atencion en el cuerpo exterior del cuento, en una suerte de magnificacion de escala o alejamiento, aparecen los otros cuentos del volumen El Aleph, el propio volumen, la obra completa de Borges e incluso, si se continua en esta direccion, todo el espacio de la literatura, con Dante Alighieri y La divina comedia como referencias mas visibles. De nuevo, una trayectoria continua y totalizadora. Gonzalez Echevarria senala correspondencias puntuales entre "El Aleph" y otras historias del volumen, como "Deutsches Requiem", "Emma Zunz" y "El inmortal" Pero, segun el, es "El Zahir" la mas cercana tematica y estructuralmente a "El Aleph", pues "The Zahir is like an Aleph to the narrator because it allows him to ponder and obsess on the infinite" (129)." La palabra zahir, prosigue Gonzalez Echevarria, representa mucho mas objetos que la ficcional moneda argentina de veinte centavos a la que en principio alude. De hecho, es lo que lleva al narrador de la historia a enloquecer. De esta manera, se refuerza otra arista de continuidad, ya no solo entre lectura y escritura, sino entre vivir y sonar, haciendo que la diferencia entre la cordura y la demencia, entre la realidad y la ficcion, sea completamente irrelevante. Lo cual se refuerza en "El Aleph" con la inclusion de un texto ficticio, "La tierra", y otro real, Polyolbion.

Un poco mas extraterritorial en apariencia, pero igualmente contundente, es la continuidad que se da entre la obra de Borges y las de otros autores y otros tiempos. Es lo que sucede en particular con concretos puntos de interseccion entre "El Aleph" y La divina comedia de Dante Alighieri. Gonzalez Echevarria acentua la presencia de personajes llamados Beatriz en ambas obras, asi como, reforzando el continuo entre ficcion y realidad, paralelos entre los personajes Borges y Carlos Argentino Daneri en la historia, y Dante y el propio Borges en el plano "real". En este ultimo caso, sostiene Gonzalez Echeverria, se perfila la relacion entre un aspirante a escritor, o un escritor "menor", y un escritor formado, que en el cuento son Daneri y Borges, respectivamente, y en el plano extra ficcional son el "mortal" Borges y el gran Dante.

Sin importar cual sea la direccion de observacion, pues, es posible comprobar una armonica continuidad y reiteracion de estructuras, palabras, conceptos, personajes y temas, tal como ocurre con una caja china o una matrioska rusa. O con en el conjunto M. La continuidad intratextual y metatextual no parece ser accidental y bien podria reivindicarse como parte esencial de la propuesta poetica de Borges. Esta continuidad, ademas, esta ligada con otro aspecto fundamental de dicha poetica. Mas alla de que su obra presente patrones de reiteraciones tematicas y estructurales -resultado de su obsesion por el tema del infinito y por la ya mencionad a busqueda del conocimiento absoluto o de un codigo secreto de la creacion--, es posible postular la "mimica" o imitacion de los procesos de lectura y escritura como uno de los ejes centrales de su propuesta. En un plano tanto intuitivo como abstracto, los actos de escribir y de leer pueden ser asumidos como intrincados, irregulares, incesantes y conexos procesos mentales de los cuales es muy dificil dar cuenta. Es posible, por lo menos en teoria, que por medio de complejas e interminables simulaciones artificiales, y quizas con la ayuda de sofisticados recursos tecnologicos, se pueda replicar el comportamiento de estos procesos. Pero se puede afirmar que, al margen precisamente de esos plausibles recursos tecnologicos, la obra de Borges consigue de manera poetica reproducir con inquietante fidelidad estos comportamientos.

El constatar este hecho apoya la afirmacion de que la complejidad y la naturaleza irregular y sinuosa de los procesos de lectura y escritura, y la continuidad que existe entre ellos-su caracteristica distintiva--, son un tema pivote de la poetica de Borges. Esto es lo que permite que algunos textos clasicos puedan aspirar a replicar "artificialmente" los principios de los textos sagrados. Tal como el aspecto visual de la letra aleph, la lectura y la escritura representan a un hombre que senala el cielo y la tierra, pues cada una es el espejo y el mapa de la otra. Por ultimo, de acuerdo a como se despliega, su obra es, ni mas ni menos, una aceitada maquina fractal, que anticipa--otra vez las consecuencias anteceden a las causas--a la teoria misma de los fractales.

Es comun que en los estudios sobre Borges se de una especie de compartimentacion de los saberes. Para acercarse a su obra, por ejemplo, algunos acuden exclusivamente a la Cabala, otros a las matematicas, unos mas a las ciencias. Pero para entender "El Aleph", como se ha propuesto aca, es necesario integrar muchos saberes: la Cabala, los fractales y la Mengenlehre, en las elevadas latitudes de la escritura y la lectura que propone Borges, invocan misterios insondables de procesos continuos, repetidos, infinitos y auto semejantes. Tal vez, si fuese posible determinar la forma de la poetica de Borges, siguiendo el espiritu de los procedimientos de Mandelbrot, la grafica que se obtendria de "El Aleph" seria como la del conjunto M. "El Aleph" es una singularidad, un texto en el espacio-tiempo de Borges que contiene a todos los otros textos y que es contenido por ellos, lo cual reafirma la proyeccion de un continuo entre las partes y el todo en la estructura de ese infinito universo poetico que el postula. El cual, en ultimas, resulta ser, ni mas ni menos, todo el universo posible e imposible.

Omar Vargas

University of Miami

OBRAS CITADAS

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(1) Muchas de estas ideas fueron expuestas por Borges en diversos momentos de su produccion literaria, tanto escrita como oral, en un periodo de mas cincuenta anos. Por ejemplo, en 1926, publico "Historia de angeles"; en 1932, "Una vindicacion de la Cabala"; y en 1977 dio una conferencia llamada "La Cabala" en el teatro Coliseo de Buenos Aires, que en 1980, junto con otras seis conferencias, seria recogido en el volumen Siete noches.

(2) En "In the Mirror of the Dream: Borges and the Poetics of Kabbalah", Wolfson cita como ejemplo alrededor de diez trabajos sobre Borges y la Cabala, distribuidos en un intervalo de tiempo que va desde 1964 hasta 2009.

(3) Un buen ejemplo de esta afirmacion es el libro The Unimaginable Mathematics of Borges' Library of Babel, de Willian Goldbloom Bloch. Bloch se plantea problemas como los de determinar la cantidad de libros que hay en la biblioteca, explorar el significado de un catalogo para la coleccion y determinar las formas geometricas del recinto en que estan dispuestos los libros. Para lograr esto, ademas de logicamente basarse en el contenido de la historia de Borges, acude al uso de sofisticadas herramientas matematicas como la teoria combinatoria, la teoria de la informacion, la teoria de grafos y la topologia.

(4) Los trabajos sobre el infinito y los cardinales transfinitos de Cantor, que desembocaron en la formulacion de la teoria de conjuntos, fueron publicados en las decadas de los anos 70 y 80 del siglo XIX; los de Mandelbrot sobre la teoria fractal, en las decadas de los anos 70 y 80 del siglo XX.

(5) James Gleick escribio un articulo para la edicion del 8 de diciembre de 1985 del New York Times titulada "Notes on the Man who Reshaped Geometry", en el que intenta presentar al publico mas general algunos detalles sobre la teoria fractal y sobre Mandelbrot. La popularidad de los fractales desbordo entonces los exclusivos ambitos academicos y cientificos y se situo en la orbita de los intereses de la cultura popular. El articulo de Gleick, junto con otras muchas notas publicadas en el periodico en los ultimos cien anos, fue incluido en el volumen Book of Mathematics. More than 100 Years of Writing by the Numbers.

(6) En The Fractalist, entre las paginas 142 y 143, se incluye una variedad de ilustraciones que, en su primera parte, bajo el subtitulo "?Real or fractal?", presenta versiones de objetos reales junto a su contraparte fractal producida por procedimientos computarizados: helechos, grupos de nubes, costas, paisajes. Todo bajo la premisa de que la imitacion es el primer paso para la comprension de la fractalidad.

(7) Joseph Warren Dauben, en Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, de 1979, explica detalladamente las particularidades matematicas y filosoficas de la obra, de Cantor.

(8) Borges, en la parte final de su texto, incluso se aparta del territorio matematico para rematar su analisis invocando la segunda ley de la termodinamica. En su libro Borges y la matematica, de otra parte, el autor argentino Guillermo Martinez hace consideraciones sobre la relacion dela obra de Borges con algunos temas puntuales de esta ciencia. En el caso de Cantor y el infinito, sus consideraciones se pueden encontrar en las paginas 15-24.

(9) Si bien, tal como se sugiere en "El Aleph", la contemplacion del infinito constituye una experiencia privilegiada y poderosa, tambien puede acarrear consecuencias fatales. Las circunstancias de vida y de trabajo academico de Cantor constituyen una inquietante resonancia del peligro que significa lidiar con el infinito, bien sea como concepto o como divinidad. No solo sus trabajos fueron, en general, mal recibidos por la comunidad matematica de su tiempo-en particular por Leopold Kronecker (1823-1891), influyente colega y principal opositor de Cantor, quien se encargo de bloquearlo laboralmente y de influir para que sus articulos no fuesen publicados--, sino que Cantor fracaso una y otra vez en la demostracion de la hipotesis del continuo. La combinacion de las frustraciones intelectuales y personales fue demasiado para Cantor y termino clinicamente loco. Con relacion a la hipotesis del continuo, dos trabajos posteriores terminaron por, en cierta forma, cerrar el problema y por comprobar hasta que punto Cantor habia afrontado un problema irresoluble. Kurt Godel en 1940 y Paul Cohen en 1963 demostraron que tal hipotesis no puede probarse ni refutarse.

(10) Mandelbrot destaco la declaracion hecha por Cantor en el sentido de que la esencia de las matematicas reside en su libertad. Motivados por esta afirmacion algunos matematicos inventarian o desarrollarian formas que serian conocidas como "monstruos" o "patologias", como por ejemplo las asociadas a los conjuntos de Gaston Julia o Pierre Fatou (Mandelbrot xv).

(11) Segun Lusky Friedman, Borges retoma una y otra vez a este paradigma, con la tenacidad dela obsesion, porque cada vez que lo practica intenta resolver conflictos que surgen de su ambivalencia con su padre, y algo cambia en el paradigma despues de la muerte de su padre.

(12) Lusky Friedman distingue dos niveles textuales en la ficcion de Borges: un nivel exterior, con una historia mas o menos convencional, y un subtexto que se asimilan, segun lo propuesto por Freud con relacion a los suenos, a los contenidos manifiesto y latente de un sueno, respectivamente. Es en el subtexto que ella afirma la presencia de un paradigma.
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Author:Vargas, Omar
Publication:Variaciones Borges
Article Type:Critical essay
Geographic Code:3ARGE
Date:Jul 1, 2016
Words:7454
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