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Ein neuer Schliessungssatz fur Beruhrstrukturen.

1 Einleitung

In der Theorie der Benz-Ebenen (oder allgemeiner Beruhrstrukturen) hat man gerne eine gewisse Analogie des Buschelsatzes zum Satz von Desargues sowie des Satzes von Miquel zum Satze von Pappos gesehen. Nun konnte man fragen, ob es in Beruhrstrukturen nicht auch ein Analogon zum Satz von Veblen-Young gibt? Die zu diesem Schliessungssatz gehorige Konfiguration besteht aus vier Geraden, die sich paarweise schneiden. Dieser Schliessungssatz fur lineare Raume hat zur Folge, dass dort jede Ebene eine projektive Ebene ist. In Beruhrstrukturen gibt es eine Konfiguration aus drei Ketten, die sich paarweise in zwei Punkten schneiden. Der zugehorige Schliessungssatz, den wir mit (Z) bezeichnen mochten, soll in dieser Arbeit untersucht werden. In der Tat gelangen wir mit einer Reichhaltigkeitsbedingung und einer einleuchtenden Zusatzvorausetzung zu dem Ergebnis, dass jeder 4-Raum, der eine Kette enthalt, bereits eine Benz-Ebene ist.

Allerdings wird auf dem Wege dorthin ein erstes Ergebnis sein, dass Beruhrstrukturen mit (Z) bereits Kettenraume sind, also eine bedeutend reichere Struktur tragen.

Wie im 6. Abschnitt naher erlautert, ergibt die "Geometrie der zulassigen ebenen Schnitte" einer quadratischen Menge eine Kettengeometrie, deren Ketten enthaltende 4-Raume Benz-Ebenen sind, also auch den Schliessungssatz (Z) erfullen. Hauptergebnis dieser Arbeit wird die Umkehrung dieses Satzes sein: Aus dem Schliessungssatz (Z) fur eine Beruhrstruktur und daraus folgernd, dass jeder eine Kette enthaltende 4-Raum bereits eine Benz-Ebene ist, ergibt sich bereits, dass diese Beruhrstruktur isomorph zur Geometrie der zulassigen ebenen Schnitte einer quadratischen Menge ist. Vorlaufer dieses Ergebnisses sind Arbeiten von Heise [9] bzw. Buekenhout [6] uber Kreisraume, d.h. Kettengeometrien bzw. Beruhrstrukturen, in denen jeder 4-Raum eine Mobius-Ebene ist. Diese sind bis auf Isomorphie eine Geometrie der ebenen Schnitte eines Ovoids. Beide Arbeiten beziehen sich auf Maurer [12], deren Vorgehensweise auch fur unsere Arbeit massgebend war. Als nachstes wird sich ergeben, dass die 4-Raume sich so verhalten, wie man das von Benz-Ebenen gewohnt ist: Zwei Ketten, die sich treffen, schneiden sich in zwei Punkten oder beruhren sich.

In [4],[5] nennt Buekenhout Kreisraume miquelsch, wenn sie viele Inversionen besitzen. Sie sind bis auf Isomorphie Geometrien der ebenen Schnitte einer elliptischen Quadrik. Analog erweist Schaffrath in [14] miquelsche Kettenraume als isomorph zur Geometrie der zulassigen ebenen Schnitte einer Quadrik. Auch er benotigt ein Zusatz-Axiom, aus dem folgt, dass die Ketten enthaltenden 4Raume Benz-Ebenen sind. An die Stelle der Existenz vieler Kettenverwandtschaften tritt in unserer Arbeit der einfache Schliessungssatz (Z).

Wie in [14] muss auch in unserer Arbeit der Verband der Unterraume von [SIGMA] studiert werden. Er wird als geometrischer Verband erwiesen (4. Abschnitt). Im 5. Abschnitt wird der Verband durch weitere Elemente, die Tangentialraume, so erweitert, dass ein halbmodularer lokal projektiver Verband entsteht, mit dessen Hilfe sich ein einbettender projektiver Raum konstruieren lasst. Diese Einbettung wird im 6. Abschnitt betrachtet. Hilfsmittel und Grundbegriffe aus der Verbandstheorie liefern z.B. Aigner [1] und Szasz [16]. Einen allgemeinen Uberblick liefert Delandtsheer [8], in 4 planare Raume, 4.7 Einbettbarkeit.

Die Bezeichnungen richten sich weitgehend nach [2], werden aber in knapper Form dargestellt. Ansonsten gibt [10] einen kurz gefassten Uberblick.

2 Stark zusammenhangende Beruhrstrukturen mit (Z)

Eine Beruhrstruktur [SIGMA] (P, C, [DELTA], ([[rho].sub.p])p[member of]P) besteht aus einer Menge P, deren Elemente wir Punkte nennen, einer Menge C, die aus Teilmengen von P besteht, die wir Ketten nennen, einer Relation D auf P. Fur Punkte p,q schreiben wir pOq, und sagen p und q sind distant. Dabei gilt:

[for all] p, g [member of] P : p [DELTA] q [left and right arrow] p [not equal to] q, und [there exists] C [member of] C mit p, q [member of] C. (1.1)

Dabei gilt:

Zu je drei paarweise distanten Punkten gibt es genau eine Kette, die diese enthalt. (1.2)

Ist C die Kette, die die drei paarweise distanten Punkte x, y, z enthalt, so schreiben wir C = (xyz).

Ferner ist [[rho].sub.p] eine Aquivalenzrelation auf (p) = {C [member of] C: p [member of] C}. Statt [[rho].sub.p] (A, B) schreiben wir ApB und sagen A beruhrt B in p, A und B beruhren sich in p und dergleichen. Dabei gilt:

(i) ApB [left and right arrow] A [intersection] B = {p} oder A = B

(ii) Zu p [member of] A und q [member of] P mit p [DELTA] q gibt es genau eine Kette B mit q [member of] B und ApB.

Sei [DELTA](p) = {x [member of] P : p[DELTA]x} und [C.sub.p] = {C\{p} : C [member of] (p)} sowie [[SIGMA].sub.p] = ([DELTA](p), [C.sub.p]). Dann heisst [[SIGMA].sub.p] Residuum von [SIGMA] im Punkte p und ist ein partieller linearer Raum mit [DELTA] (p) als Punktmenge und [C.sub.p] als Geradenmenge: Durch je zwei distante Punkte x,y [member of] [DELTA](p) geht genau eine Gerade (xy) = (pxy)\{p}. Ferner besitzt [[SIGMA].sub.p] einen Parallelismus [parallel]:

X[parallel]Y [left and right arrow] [[rho].sub.p] (X [union] {p}, Y [union] {p}).

Zu G [member of] [C.sub.p] und q [member of] [DELTA] (p) gibt es genau eine Gerade H [member of] [C.sub.p] mit q [member of] H und G[parallel]H. Wir schreiben dann H = [pi](q, G).

Die Beruhrstruktur [SIGMA] heisst Kettenraum, falls fur alle p [member of] P das Residuum [[SIGMA].sub.p] ein partieller affiner Raum ist, d.h. [C.sub.p] besteht aus lauter vollen Parallelklassen von Geraden eines affinen Raumes, diese heissen die eigentlichen Geraden von [[SIGMA].sub.p]. Die Geraden aus den fehlenden Parallelklassen heissen isotrope Geraden. Fur M [subset or equal to] [DELTA](p) ist [(M).sub.p] der von M im zugrunde liegenden affinen Raum [[SIGMA].sub.p] aufgespannte affine Unterraum, entsprechend fur U [subset] [DELTA] (p) und q [member of] [DELTA] (p) versteht sich die Bezeichnung [<U,q>.sub.p] usw.

Eine Punktmenge U C_ P heisst Unterraum, falls gilt:

(i) Sind x, y, z paarweise distante Punkte von U, so gilt (xyz) [subset] U

(ii) Ist A eine in U enthaltene Kette, ist q [member of] U mit q [DELTA] p [member of] A, ist B die Kette mit q [member of] BpA, so gilt B [subset] U.

Ist M [subset] P so ist [M] der kleinste Unterraum, der M enthalt: [M]= [intersection] {X : X ist Unterraum mit M [subset] X}. Schreibe [U,p] statt [U [union] {p}] usw. Wir verwenden kursive eckige Klammern, weil wir spater einen geanderten Unterraumbegriff benotigen, fur den wir dann die normalen eckigen Klammern verwenden, vgl S.12.

Der Rang von U, geschrieben rU, ist die Minimalzahl von erzeugenden Punkten, d.h. es ist rU = n, falls U = [M] mit [absolute value of M] = n, und fur jedes N [subset] P mit [N] = U gilt [absolute value of N] [greater than or equal to] n. Nenne dann U einen n-Raum. Unterraume (von [SIGMA]) vom Rang 1, 2, 3 heissen der Reihe nach 1-Raum: Punkt, 2-Raum: Gerade und 3-Raum: Ebene.

Eine Menge M von Punkten heisst stark zusammenhangend (Abk: sz), falls M [not equal to] [empty set] ist, und zu x, z [member of] M ein y [member of] M existiert mit x[DELTA]y[DELTA]z. Dies entspricht dem Begriff stark in [14, 1.1.3]. Jede Kette ist sz. Wir nennen die Beruhrstruktur [SIGMA] sz, falls P sz ist.

Fur M [subset] P und p [member of] P schreibe p[DELTA]M, falls q [member of] M existiert mit p[DELTA]q. Fur Kette C besagt p[DELTA]C zusatzlich, dass p [member of] P\C ist. Von besonderem Interesse sind die sz Unterraume.

Von jetzt an sei [SIGMA] =_ (P, C, [DELTA], [([rho].sub.p]).sub.p[member of]] P) eine sz Beruhrstruktur vom Range [greater than or equal to] 5, d.h. P ist sz und rP [greater than or equal to] 5.

In [SIGMA] soll die folgende Reichhaltigsbedingung gelten:

(R1) Ist C [member of] C, so ist [absolute value of C] 5. Ist p [DELTA] C, und ist k die Anzahl der Punkte von C, die zu p nicht distant sind, so ist k < 1/5 ([absolute value of C] - 1).

Einige einfache Folgerungen fur sz Unterraum U sind:

Zu p [member of] U bzw. p, q [member of] U mit p[DELTA]q gibt es immer eine Kette C von U mit p [member of] C bzw. p, q [member of] C. (1.3)

Beweis. Zu p [member of] U gibt es q [member of] U mit p[DELTA]q[DELTA]p, und zu p, q [member of] U mit p[DELTA]q gibt es r [member of] U mit p[DELTA]r[DELTA]q. Es geht um die Existenz von Ketten. Wir sagen dann auch: "Es gibt eine Kette durch p bzw. durch p und q", wobei sich deren Lage aus dem Kontext ergibt. Dann ist C = (pqr) die gesuchte Kette.

Ist U [not equal to] P, so gibt es p [member of] P\U mit p[DELTA]U. (1.4)

Beweis. Es gibt wenigstens q [member of] P\U und r [member of] U. Sei s [member of] P mit q[DELTA]s[DELTA]r. Ist s [member of] U, so ist p = q[DELTA]U, ist s [member of] P\U, so p = s[DELTA]U.

Sei U [not equal to] P. Zu [x.sub.1], ..., [x.sub.4][DELTA]U gibt es p [member of] P\U mit [x.sub.1], ..., [x.sub.4][DELTA]p. (1.5)

Beweis. Jedenfalls gibt es q [member of] P\U mit q[DELTA]U und dann s [member of] U mit q[DELTA]s und [x.sub.1], ..., [x.sub.4][DELTA]s. Sei C eine Kette durch q und s. Dann ist [absolute value of U [intersection] C] [less than or equal to] 2. Mit (R1) findet man p [member of] C\U mit [x.sub.1], ..., [x.sub.4][DELTA]p.

Hilfssatz 1. Aufbau von W = [U,p], aus Folge partieller Beruhrstrukturen.

Sei M [subset] P. Dann wird U = [M] folgendermassen rekursiv aufgebaut. Sei [W.sub.0] = M. Ist schon [W.sub.i] gefunden, so wird [W.sub.i+1] aus [W.sub.i] konstruiert, indem zu je drei paarweise distanten x, y, z [member of] [W.sub.i] die Kette (xyz) zu [W.sub.i] hinzugefugt wird, und man ebenso zur Kette A von [W.sub.i] und q E [W.sub.i] mit q[DELTA]p [member of] [W.sub.i] die Kette B mit q [member of] BpA zu [W.sub.i] hinzufugt. Dann ist [??] [W.sub.i] ein Unterraum, also gleich U.

Im Falle dass die Folge [W.sub.0], [W.sub.1], ..., bei [W.sub.N], N eine naturliche Zahl, abbricht, erhalt man [W.sub.N] = U.

Ist bereits [W.sub.1] = U, so nenne U eingliedrige Erweiterung von M.

Satz 2. Sei der Unterraum U eingliedrige Erweiterung der sz Teilmenge M von P. Dann ist auch U sz.

Beweis. Sei p, q [member of] [W.sub.1] = U. Dann gibt es Ketten durch p bzw. q, die mit [W.sub.0] = M einen Punkt [p.sub.0] bzw. [q.sub.0] gemeinsam haben. In [W.sub.0] gibt es einen Punkt [r.sub.0] mit [p.sub.0][DELTA][r.sub.0][DELTA][q.sub.0].

[ILLUSTRATION OMITTED]

1. Fall: [p.sub.0][DELTA][q.sub.0]. Dann gibt es mit (R1) einen Punkt r [member of] ([p.sub.0][r.sub.0][q.sub.0]), fur welchen p[DELTA]r[DELTA]q gilt.

2. Fall: Sonst. In [W.sub.1] gibt es eine Kette A durch [q.sub.0], [r.sub.0]. Mit (R1) erhalten wir einen Punkt q' [member of] A mit [p.sub.0][DELTA][q.sup.'][DELTA]q. Wegen [W.sub.1] = [[W.sub.0]] existiert in [W.sub.1] die Kette B = ([p.sub.0][r.sub.0][q.sup.']), und mit (R1) erhalten wir einen Punkt r [member of] B mit p[DELTA]r[DELTA]q.

In Konfigurationen von Ketten, die sich paarweise in zwei Punkten schneiden, kommt immer wieder als Grenzfall vor, dass sich diese stattdessen beruhren. In abkurzender Redeweise sagen wir von zwei Ketten C und D, dass sie sich "inten siv treffen", geschrieben C@D, falls [absolute value of C [intersection] D] = 2 ist, oder CpD gilt fur geeignetes p [member of] P.

Jetzt endlich konnen wir das fur unsere Untersuchungen grundlegende Axiom (Z) einfuhren. In [SIGMA] soll gelten:

(Z) Drei Ketten mogen sich paarweise treffen. Treffen sie sich dann in zwei Fallen intensiv, so auch im dritten.

Dies entspricht dem Schliessungssatz ([Z.sub.3]) in [2,7.1.9].

Beispiel 3. Seien A, B, C Ketten mit [absolute value of A [intersection] B] = 2 und [absolute value of A [intersection] C] = 2 und B [intersection] C [not equal to] [empty set]. Dann ist [absolute value of B [intersection] C] = 2 oder B [intersection] C = {p} und BpC.

[ILLUSTRATION OMITTED]

Satz 4. Sei [SIGMA] eine Beruhrstruktur mit (R1) vom Range [greater than or equal to] 5. Gilt dann (Z) in [SIGMA], so ist [SIGMA] ein Kettenraum.

Beweis. Es ist [[SIGMA].sub.p] vom Range [greater than or equal to] 4. Nach einem Satz von Meuren ([13],(6.2)) ist dann mit einer Reichhaltigkeitsbedingung, die aus (R1) folgt, [[SIGMA].sub.p] schon dann partieller affiner Raum, wenn das Lenz-Axiom gultig ist:

(L) Sind q, r, s [member of] [DELTA](p) paarweise distant, ist <qr> [not equal to] <qs> und [r.sup.'] [member of] <qr>, so trifft [pi]([r.sup.'], (rs)) die Gerade <qs>.

Wir beweisen (L) unter viermaliger Anwendung von (Z):

Es gibt w [member of] [pi]([r.sup.'], <rs>) mit w [not equal to] r', g[DELTA]w[DELTA]r. Sei C = (qwr), [C.sub.p] = C [intersection] [DELTA] (p).

1. (pqr)@C & (pqr)@([pwr.sup.']) [right arrow] C@([pwr.sup.']); etwa w [not equal to] <[w.sup.']> [member of] ([wr.sup.']) [intersection] [C.sub.p].

2. C@([pwr.sup.']) & ([pwr.sup.'])@(prs) [right arrow] C@(prs); etwa r [not equal to] [r.sup."] [member of] <rs> [intersection] [C.sub.p].

3. C@(prs) & (prs)@(pqs) [right arrow] C@(pqs); etwa q [not equal to] [s.sup."] [member of] <qs> [intersection] [C.sub.p], (hier konnen auch s, [r.sup.'], [r.sup."] zusammenfallen)

[ILLUSTRATION OMITTED]

4. C@([pwr.sup.']) & C@(pqs) [right arrow] ([pwr.sup.'])@(pqs), also [s.sup.'] [member of] [pi]([r.sup.'], (rs)) [intersection] <qs>, da sich ([pwr.sup.']) und (pqs) nicht (in p) beruhren.

Fur alle p [member of] P haben die [[SIGMA].sub.p] zugrunde liegenden affinen Raume die gleiche Ordnung m, d.h. die Geraden besitzen genau m Punkte und daher die Ketten m + 1 Punkte. Wir sagen auch dass [SIGMA] die Ordnung m hat. Die Reichhaltigkeitsbedingung (R1) die wir weiterhin voraussetzen, erhalt jetzt die Form

(R) Es ist m [greater than or equal to] 4, und ist C [member of] C und p[DELTA]C, so gilt fur die Anzahl k der zu p nicht distanten Punkte von C die Bedingung k < m/5.

Von jetzt an ist [SIGMA] = (P, C, [DELTA]) ein sz Kettenraum vom Rang [greater than or equal to] 5, der (R) und (Z) erfullt.

Fur einen Unterraum U und x [DELTA] U setzt man [U.sub.x] = U [intersection] [DELTA](x). Fur eine Kette C und x [member of] C ist dann [C.sub.x] = C\{x}.

Sei C eine Kette, sei p [member of] P\C und q [member of] C mit p[DELTA]q. In [SIGMA].sub.q] ist E [<[C.sub.q],p>.sub.q>] eine Ebene und [C.sub.q] darin eine Gerade.

Das Buschel der Ketten (pqx), x [member of] C und p[DELTA]x, gibt in E das Buschel eigentlicher Geraden durch p. Gibt es k Punkte von C, die zu p nicht distant sind, so gehen durch p in E genau k isotrope Geraden. Also besitzt E genau k Parallelklas sen von isotropen Geraden. Denn in [[SIGMA].sub.q] sind die Verbindungsgeraden distanter Punkte genau die eigentlichen Geraden und die Verbindungsgeraden nichtdistanter Punkte die isotropen Geraden. Dabei entspricht [pi](p, [C.sub.q]) der Kette durch p, die C in q beruhrt.

Satz 5. Es ist U schon dann Unterraum, wenn mit je drei paarweise distanten Punkten x, y, z die ganze Kette (xyz) in U liegt.

Beweis. Wir haben zu zeigen: Ist A in U enthaltene Kette, ist q [member of] U mit q[DELTA]p [member of] A und B die Kette mit q [member of] BpA, so gilt auch B [subset] U. In [[SIGMA].sub.p] sind [A.sub.p] und [B.sub.p] parallele (eigentliche) Geraden. Aus der Lenzfigur erhalten wir mit (R) zwei eigentliche Schnittgeraden von [A.sub.p] und [B.sub.p], die sich ausserhalb in einem Punkt z treffen, wobei eine dieser Schnittgeraden durch q geht. Die Schnittpunkte mit [A.sub.p] seien x bzw y, und die Schnittpunkte mit [B.sub.p] seien q bzw r. Wir erhalten der Reihe nach: z [member of] (pqx) [subset] U, r [member of] (pzy) [subset] U, also B = (pqr) [subset] U.

3 Die sz 4-Raume

Wie bisher wird [SIGMA] = (P, C, [DELTA]) als sz Kettenraum von Rang [greater than or equal to] 5 angenommen, der (R) und (Z) erfullt.

Fur einen Unterraum U konnen wir ebenfalls das Residuum [U.sub.p] bilden fur p [member of] U. Es ist [U.sub.p] = (U [intersection] [DELTA](p), [C.sub.p](U)), mit [C.sub.p](U) = {C\{p} : p [member of] C [member of] C und C [subset] U}. Ein Unterraum U heisst eben, falls je zwei Ketten C, D von U mit C [intersection] D [not equal to] [empty set] sich schon intensiv treffen. (Fur einen ebenen Unterraum ist (Z) trivialerweise erfullt.) Unser nachstes Ziel ist es, zu zeigen, dass jeder sz 4-Raum eben ist.

Definition 6. Sei r [DELTA] C, D, C@D, d.h. C und D treffen sich intensiv. Wir sagen C und D treffen sich intensiv in [DELTA](r), falls r[DELTA]C n D; genauer: ist C [intersection] D = {p,q}, so p[DELTA]r[DELTA]q.

Satz 7. Ein sz 4-Raum U ist genau dann eben, wenn fur alle p E U das Residuum [U.sub.p] eine Ebene ist.

Beweis. Seien C, D Ketten von U mit p [member of] C [intersection] D. Ist nun [U.sub.p] eine Ebene, so schneiden sich die Geraden [C.sub.p] und [D.sub.p] oder sind parallel, d.h. C und D treffen sich intensiv Treffen sich umgekehrt je zwei den Punkt p enthaltende Ketten C, D von U intensiv, so schneiden sich in [U.sub.p] die Geraden [C.sub.p] und [D.sub.p] oder sind parallel; es gibt also verschiedene Geraden, aber keine, die zueinander windschief sind. Also ist [U.sub.p] eine Ebene.

Satz B. (Planaritat der affinen Ketten.) Sei C eine Kette und p [member of] P\C mit p [DELTA] C. Seien x, y, z drei verschiedene Punkte von [C.sub.p]. Ist E die von x, y, z in [[SIGMA].sub.p aufgespannte Ebene, dann ist [C.sub.p] [subset] E.

Beweis. Die Punkte x,y,z sind nicht kollinear, sonst ware p [member of] C. Sei w [member of] [C.sub.p], w von x,y,z verschieden. Betrachte die eigentlichen Geraden <xy> und <zw>. Die Ketten (pxy) und (pzw) treffen beide C intensiv und haben nichtleeren Durchschnitt. Nach (Z) treffen sich also die Geraden <xy> und <zw> oder sind parallel. Wegen x, y, z [member of] E folgt in beiden Fallen (zw) [subset] E, also insbesondere w [member of] E.

Bemerkung 9. Wir konnen die Lage von [C.sub.p] in E noch naher beschreiben. Dazu wird definiert: Sekante (von [C.sub.p]) heisst jede eigentliche Gerade, die [C.sub.p] in zwei Punkten trifft, und Tangente jede eigentliche Gerade, die mit [C.sub.p] genau einen Punkt gemeinsam hat. Aus den Regeln des Kettenraumes ergibt sich dann Folgendes: Fur jedes w [member of] [C.sub.p] besteht das Buschel (w) aller eigentlichen Geraden durch w (in E) aus genau einer Tangente und sonst lauter Sekanten. (Die eine Tangente kommt von der Kette durch p, die C in w beruhrt; dass diese wirklich in E liegt, folgt jetzt mittels (Z).) Insbesondere sind keine drei Punkte von [C.sub.p] kollinear. [C.sub.p] kann als Pseudo-Oval bezeichnet werden.

Hilfssatz 10. Fur q [member of] P\C, q [DELTA] C sei [C.sup.q] = [union] (qxy)\{q}. (Hier bedeutet (qxx) die Kette durch q, die C in x beruhrt. [C.sup.q] ist also die um q verminderte Vereinigung aller Ketten durch q, die C intensiv treffen.) Dann ist [C.sup.q] die von C [intersection] [DELTA] (q) in [SIGMA].sub.q] aufgespannte Ebene.

Beweis. Sei [C.sub.q] = C [intersection] [DELTA](q) und E die von [C.sub.q] in [[SIGMA].sub.q] aufgespannte Ebene. Sicher liegt [C.sup.q] in E, denn [C.sup.q] ist die Vereinigung aller Sekanten und Tangenten von [C.sub.q]. Sei umgekehrt x [member of] E\C. Dann gibt es nur k Punkte von C, die zu x nicht distant sind, also auch y [member of] [C.sub.q] mit x[DELTA]y. Die eigentliche Gerade (xy) ist Sekante oder Tangente, liegt also in [C.sup.q].

Satz 11. (Zusatz zu Satz 8) Sei C, [C.sub.p], p, E wie in Satz 5. Sei r [member of] [C.sub.p] und q [member of] E mit q [DELTA] r. Sei D die Kette durch q, die C in r beruhrt. Dann gilt [D.sub.p] = D [intersection] [DELTA] (p) [subset] E.

Beweis. Aus Hilfssatz 10 schliessen wir E [subset] [DELTA](p); da q[DELTA]p, gibt es eine eindeutig bestimmte Kette durch p, die D in r beruhrt, d.h. es gibt in [SIGMA].sub.q] genau eine eigentliche Gerade T durch r, die Tankente an [D.sub.p] ist.

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Mit (R) finden wir eine von T verschiedene Sekante S von [C.sub.p] durch r. Wegen (Z) und S [not equal to] T hat S mit [D.sub.p] noch einen weiteren Schnittpunkt s. Da [D.sub.p] die drei verschiedenen Punkte q, r, s [member of] E besitzt, folgt mit Satz 8 die Behauptung.

Hilfssatz 12. Seien C, D Ketten, die sich intensiv treffen, sei q [member of] D\C und w [member of] [C.sup.q], h [DELTA] C, r [member of] D, r [DELTA] w. Dann gibt es eine Kette A durch r und w, die C in [DELTA] (h) intensiv trifft.

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In der affinen Ebene [C.sup.q] gibt es eine Gerade durch w, die [C.sup.q] in Punkten aus [DELTA] (r) schneidet bzw. beruhrt. Dise Gerade zusammen mit q gibt eine Kette A, so dass [A.sub.r] in [C.sup.r] durch q geht und [C.sub.r] intensiv trifft. Wegen q [member of] [C.sup.r] ist daher [A.sub.r] [subset] [C.sup.r], also wegen w [member of] [A.sub.r] auch w [member of] [C.sup.r]. Mittels (R) findet man auf [C.sub.r] einen Punkt aus [DELTA](h), so dass die eigentliche Gerade durch w und diesen zu einer Sekante bzw. Tangente wird, und falls Sekante, [C.sub.r] noch in einem weiteren Punkt aus [DELTA](h) trifft. Diese eigentliche Gerade erganzt durch r ist dann die gesuchte Kette A.

Hilfssatz 13. Seien C, D Ketten, die sich intensiv treffen, sei q, r [member of] D\C. Dann ist [C.sup.q] [intersecstion] [DELTA](r) [subset] [C.sup.r].

Beweis. Sei w [member of] [C.sup.q] [intersection] [DELTA](r). Dann liegt w nach Hilfssatz 12 (fur h = r) auf einer Kette A durch r, und A trifft C in [DELTA] (r) intensiv. Das besagt aber gerade w [member of] [C.sup.r].

Satz 14. Sei C eine Kette, p [DELTA] C, sei D eine Kette durch p, die C intensiv trifft. Sei W = [??] [C.sup.q]. Dann ist [C,p] = W

Beweis. Sicher ist W [subset] [C, p] und umgekehrt C [subset] W, p [member of] W. Nach Satz 5 genugt es zu zeigen, dass fur paarweise distante x, y, z [member of] W auch (xyz) [subset] W gilt. Seien also solche x, y, z vorgegeben, x [member of] [C.sup.u], y [member of] [C.sup.v], z [member of] [C.sup.w], u, v, w [member of] D\C. Es ist [C.sub.z] [subset] [D.sup.Z]; denn es gibt verschiedene Punkte [r.sub.i], i = 1, 2, 3 von [D.sub.z] und dann mit Hilfssatz 10 Ketten [A.sub.i] durch [r.sub.i] die C intensiv in [DELTA] (z) treffen. Da [C.sup.z] in [[SIGMA].sub.z] affine Ebene ist, folgt mit der Planaritat der affinen Ketten [D.sub.z] = ([r.sub.1], [r.sub.2], [r.sub.3]) [subset] [C.sup.z]. Nach Hilfssatz 12 gibt es Ketten A, B mit x [member of] A, y [member of] B und A, B und [D.sub.z] treffen C in [DELTA] (z) intensiv, woraus x, y [member of] [C.sup.z] folgt. Sei w [member of] (xyz), w von x, y, z verschieden. In [[SIGMA].sub.z] ist dann w ein Punkt der Geraden (xy), liegt also in [C.sup.z]. Wegen [D.sub.z] [subset] [C.sup.z] ergibt das w, x, y, z [DELTA]D. Es gibt v [member of] D mit x, y, z, w[DELTA]v. Nach Hilfssatz 12 folgt x, y, z [member of] [C.sup.v], mithin gilt w [member of] [(xyz).sub.v] [subset] [C.sup.v] [subset] W.

Satz 15. Sei C, p, D wie in Satz 14. Dann gilt: W = [C, p] ist eben.

Beweis. Zu zeigen [W.sub.r], r [member of] W, ist (affine) Ebene. Nach Hilfssatz 13 ist,

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Andererseits ist sicher [C.sup.r] [subset] [C, p] und [C.sup.r] [subset] [DELTA](r). Es folgt [W.sub.r] = [C.sup.r].

Satz 16. (Austauschsatz) Fur w [member of] W\C ist [C, w] = W.

Beweis. Sicher ist [C, w] [subset] [C, p]. Nun liegt w auf einer Kette, die C und D intensiv trifft. Also ist p [member of] D [subset] [C, w], mithin W = [C, p] [subset] [C, w].

Satz 17. Fur Kette C und p [member of] P\C ist U = [C, p] sz.

Beweis. Es gibt Kette D durch p, die C intensiv trifft. Ersichtlich ist C [union] D sz, und nach Satz 14 ist U eingliedrige Erweiterung von C [union] D. Nach Satz 2 ist damit U sz.

Zur Erleichterung der Ausdruckweise fuhren wir statt nicht distant den Ausdruck adjazent ein, wie er z.B. in der Theorie der Polarraume verwendet wird mit der diese Uberlegungen etwas zu tun haben (vgl. [17]). Wir schreiben "~" (x ~ y) statt nicht distant". Eine Punktmenge M heisst Clique, falls die Punkte von M paarweise adjazent sind, d.h. [for all] x [member of] M, [for all] y [member of] M : x ~ y. Sei A [subset] B [subset] P. Nenne A maximale Clique von B, falls A Clique ist, aber A [union] {x} keine Clique, fur alle x [member of] B\A. Fur p [member of] P und M [subset] P ist p(M) = {x [member of] M : p ~ x}. Es ist p ~ M falls p ~ x fur alle x [member of] M, d.h. p(M) = M. Ferner sei p = {x [member of] P : p ~ x}, also p = p(P). Offensichtlich sind die isotropen Geraden von [[SIGMA].sub.p] Cliquen.

Zur Erinnerung: Fur M [subset] [DELTA](z) ist <M> (genauer [<M>.sub.z]) der von M in [[SIGMA].sub.z] als affinem Raum aufgespannte affine Unterraum, ebenso <pq> usw.

Sei U ein sz 4-Raum, sowie z [member of] P\U, aber z[DELTA]U. Wir betrachten [U.sub.z] in [[SIGMA].sub.z]. Fur p [member of] U betrachte auch [U.sub.p] in [[SIGMA].sub.p]. Fur ein k (im Sinne von (R)) gebe es in [U.sub.p] k Parallelklassen von isotropen Geraden. In [U.sub.p] sind die isotropen Geraden sogar maximale Cliquen. Wir schliessen, dass auch [U.sub.z] k Scharen von isotropen Geraden besitzt. Durch jeden seiner Punkte gehen k isotrope Geraden, von jeder Schar eine. Je zwei Geraden verschiedener Scharen schneiden sich. (Hier sind noch evtl. Punkte von z(U) zu erganzen.)

Wir mochten nun voraussetzen, dass fur verschiedene Punkte x, y [member of] [U.sub.z] [intersection] [DELTA] (p) die Geraden [<px>.sub.z] und [<py>.sub.z] verschieden sind, dass also das Residuum durch eine Art stereographischer Projektion gewonnen wird. Es folgt dim [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] = 3. Damit kommen nur die Werte k = 0,1, 2 infrage: Ware k > 2, so musste [U.sub.z] in einer Ebene von [SIGMA].sub.z] liegen im Widerspruch zu dim[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] = 3. Mit anderen Worten: Jeder sz 4-Raum von [SIGMA] ist eine Benz-Ebene.

4 Der Verband der Unterraume von [SIGMA]

Wir setzen voraus, dass [SIGMA] ein Kettenraum vom Rang [greater than or equal to] 5 ist, wobei jeder sz 4-Raum eine Benz-Ebene ist, d.h. k = 0,1, 2. Wie vorher betrachten wir einen 4-Raum U und z [member of] P\U mit z[DELTA]U. Jetzt sei U aber eine Laguerre- oder Minkowski-Ebene, also hat U genau k Parallelklassen von isotropen Geraden fur k = 1 oder k = 2. Ferner wird vorausgesetzt dass fur p [member of] U, x,y [member of] [U.sub.z] [intersection] [DELTA] (p) die Geraden [<px>.sub.z] und [<py>.sub.z] verschieden sind. Daher ist dim[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] = 3.

Wir wollen nun vergleichen, wie die Schnitte von Ebenen durch p von [U.sub.z] in [[SIGMA].sub.z] im Residuum [U.sub.p] dargestellt werden.

Es ist U = [C, p] fur eine Kette C und p [member of] P\C, p[DELTA]C, p[DELTA]z. Nun sei noch q [member of] [C.sub.z] mit p[DELTA]q. Wir vergleichen die Schnitte der (affinen) Ebenen durch [<pq>.sub.z] mit [U.sub.z] mit dem Geradenbuschel durch p von [U.sub.q] in Eq.

[ILLUSTRATION OMITTED]

Ist x [member of] [C.sub.z] [intersection] [DELTA](p), so schneidet die Ebene [<qpx>.sub.z] aus [U.sub.z] die Kette (qpx) aus. (Wegen (R) konnen wir die Punkte aus z(U) erganzen.) Dem entspricht in [[SIGMA].sub.q] die eigentliche Gerade [<px>.sub.q]. Nun sei y [member of] p([C.sub.z]). Dann liegt jedenfalls [<py>.sub.z] in [E.sub.z] = [<pgy>.sub.z]. In [[SIGMA].sub.q] ist das die isotrope Gerade [<py>.sub.q]. Wenn wir hier aber q und y ihre Rollen vertauschen lassen, erkennen wir, dass E aus [U.sub.z] auch eine weitere isotrope Gerde [G.sub.z] durch q aus [U.sub.z] schneidet. Diese konnte wegen [G.sub.z] [subset or equal to] q(U) in [U.sub.q] nicht erscheinen. Wir zeigen dass es eine Ebene E von [SIGMA] gibt mit [E.sub.z] = [<pgy>.sub.z], namlich E = U [intersection] [U.sup.']. Hierzu wahle einen Punkt r [member of] P\U, r[DELTA]q, y, was nach (1.5) moglich ist, setze [C.sup.'] = (qry) und [U.sup.'] = [[C.sup.'], p]. Wir konnen also schreiben E = (pqy). Damit lasst sich auch eine Gerade L als Unterraum von [SIGMA] definieren mit [L.sub.z] = [<p,y>.sub.z], L = E [intersection] [E.sup.'] mit [E.sup.'] = ([p.sup.']qy) fur geeignetes [p.sup.'] [member of] P\E. Wir haben in [SIGMA] also, zwei Arten von Geraden:

a) G = {x, y}, x, y [member of] P, x[DELTA]y, reelle Gerade

b) G = (xy), x, y [member of] P, x ~ y, virtuelle Gerade (bildet eine Clique)

Drei Arten von Ebenen: a) Ketten

b) Geradenpaare (verallgemeinerte Ketten)

c) Virtuelle Ebenen E = (xyz) mit x [not equal to] y, x ~ y, z ~ x, y, z [??] (xy).

Hier besitzt E die drei verschiedenen Geraden (xy), (xz), (yz), kann also nicht von der Form a) oder b) sein, also ist E eine Clique.

Wir mussen aber zwei Arten von virtuellen Geraden unterscheiden.

In U als Laguerre-Ebene (k = 1) haben wir eine Schar von Geraden (maximalen Cliquen), die in [U.sub.p] als Parallelklasse von isotropen Geraden erscheint. Da in [[SIGMA].sub.z] eine Ebene, die durch eine Gerade von [U.sub.z] geht und mit [U.sub.z] einen weiteren Punkt gemeinsam hat, bereits eine weiter Gerade enthalt, muss die Schar der Geraden von [U.sub.z] ebenfalls aus lauter Parallelen bestehen.

[ILLUSTRATION OMITTED]

Also ist hier die verallgemeinerte Kette ein Paar von Geraden, die sich nicht schneiden, aber in einer Ebene liegen. Wir nennen diese Geraden affin.

In U als Minkowski-Ebene (k = 2) haben wir zwei Scharen von Geraden (maximalen Cliquen), die in [U.sub.p] als zwei Parallelklassen von Geraden erscheinen. Jede Gerade der einen Schar trifft jede Gerade der anderen Schar. Die zugehorigen verallgemeinerten Ketten sind also Paare von sich schneidenden Geraden. Wir nennen diese Geraden projektiv.

Ist L eine projektive Gerade und p[DELTA]L, so gibt es genau ein q [member of] L mit p ~ q. Denn in [[SIGMA].sub.p] erscheint L als Gerade des affinen Raumes, hat also einen Punkt q verloren. Fur diesen gilt also p ~ q. Also ist [L, p] ein Paar sich schneidender projektiver Geraden.

Sei nun A eine affine Gerade und p[DELTA]A. Angenommen, es gibt q [member of] A mit p ~ q. Dann ware [A, p] ein Paar sich schneidender Geraden, liesse sich also zu einer Minkowski-Ebene erweitern, im Widerspruch dazu, dass A affin ist. Also ist [A, p] ein Paar affiner Geraden, die in einer Ebene liegen.

Wir nennen die affinen Geraden A,B parallel, geschrieben A[parallel]B, wenn A = B gilt oder A [intersection] B = [empty set] und [A [union] B] eine Ebene ist. Diese Relation [parallel] ist eine Aquivalenz-relation. Dies sieht man daran, dass fur geeignetes [[SIGMA].sub.p] die Relation [parallel] den naturlichen Parallelismus des affinen Raumes ergibt. Zur affiner Geraden A und Punkt p ist B = [pi](p, A) die Parallele zu A durch p: Es ist A[parallel]B und p [member of] B.

Wir mussen nun den Unterraumbegriff neu fassen. Es gibt u.U. Laguerre-Kegel: Ein solcher wird durch eine Kette C und einen Punkt p mit p ~ C erzeugt. Die Punktmenge ist U = [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (px). Hier ware U\{p} abgeschlossen bezgl. Kettenbildung, aber kein Unterraum.

Wir definieren nun [SIGMA] als planare Geometrie, d.h. eine Punktmenge U ist Unterraum, wenn fur je drei paarweise verschiedene Punkte p, q, r auch (pqr) [subset] U gilt. (Dabei kann (pqr) Kette, verallgemeinerte Kette, virtuelle Ebene oder virtuelle Gerade sein.)

Nach den bisherigen Ergebnissen vereinfacht sich diese Definition zu folgendem Unterraumkriterium.

Sei U [subset or equal to] P. Es ist U genau dann Unterraum, wenn U die folgenden Bedingungen (1), (2), (3) erfullt:

(1) Sind p, q, r paarweise distante Punkte von U, so gilt (pqr) [subset or equal to] U.

(2) Sind p, q verschiedene Punkte von U mit p ~ q, so gilt auch (pq) [subset or equal to] U.

(3) Ist A eine affine Gerade mit A [subset or equal to] U, so gilt fur p [member of] U auch [pi] (p, A) [subset or equal to] U.

Fur diesen neuen Unterraumbegriff verwenden wir jetzt die normalen eckigen Klammern [ ]. Fur eine Punktmenge X ist [X] der von X erzeugte Unterraum, also der Durchschnitt uber alle Unterraume, die X enthalten.

Bemerkung 18. In Polarraumen hat man die Eigenschaft: Ist G eine Gerade und p ein Punkt ausserhalb G, so gibt es entweder genau eine Gerade [G.sup.'] durch p, die G trifft, oder alle Punkte von G liegen auf Geraden durch p, vgl. L71. Dieselbe Eigenschaft findet man in der Charakterisierung der Geometrie der ebenen Schnitte von Schultze in L15]. Dass bei beiden keine affinen Geraden vorkommen, beruht darauf, dass unter f 7] nur nichtausgeartete Quadriken betrachtet werden und unter L15] die quadratischen Mengen mit Spitzenraum. Dagegen wird sich herausstellen, dass [SIGMA] als Geometrie der ebenen Schnitte einer quadratischen Menge ohne ihren Spitzenraum erscheint, daher die affinen Geraden. Bei Schaffrath L14] werden schon vor der projektiven Einbettung zusatzlich Spitzen eingefuhrt, um nur eine Art von Geraden zu haben, wahrend hier dagegen die Unterscheidung von affinen und projektiven Geraden bestehen bleibt.

Wir nennen virtuellen Unterraum (virtuelle Ebene usw.) eine Clique U, die Unterraum ist, d.h.

a) Fur p, q [member of] U, p [not equal to] q ist (pq) [subset or equal to] U,

b) Ist A eine affine Gerade mit A [subset or equal to] U, ist p [member of] U so [pi] (p, A) [subset or equal to] U.

Der virtuelle Unteraum A heisst affin, wenn alle Geraden von A affin sind.

Satz 19. Sei U ein virtueller Unterraum und A eine affine Gerade, die U in genau einem Punkt trifft. Dann ist W = [U [union] A] ein virtueller Unterraum.

Beweis. Sei p [member of] U [intersection] A, sei G eine (virtuelle) Gerade mit p [member of] G [subset or equal to] U. Dann ist [G [union] A] eine virtuelle Ebene, da A affin ist. Nun ist W = [union]{ [G [union] A] G ist Gerade mit p [member of] G [subset or equal to] U}. Dann ist W aber eine Clique: Seien x, y [member of] W, so dass (pxy) eine Ebene bildet. Dann gehen durch p in (pxy) lauter virtuelle Geraden, mehr als zwei, woraus folgt, dass (pxy) eine virtuelle Ebene ist.

Satz 20. Seien A, B affine Geraden mit A [intersection] B = {p}. Dann ist [A [union] B] eine affine Ebene.

Beweis. Angenommen, es gibt in U = [A [union] B] eine projektive Gerade G. Es gibt q [member of] P\U mit q[DELTA]G. Dann ist E = [G, q] = G [union] [G.sup.'] ein projektives Geradenpaar. O.B.d.A. konnen wir p [member of] G [intersection] [G.sup.'] annehmen.

Nun ist W = [A [union] [G.sup.']] eine virtuelle Ebene, und V = [W [union] B] ein virtueller 4-Raum. Wegen E [subset or equal to] V ist dann E virtuelle Ebene im Widerspruch zu E = G [union] [G.sup.'].

In Karzel/Piper [11] werden lineare Raume, deren Geraden nur affin oder projektiv sind, regular genannt, falls jede Ebene, die zwei sich schneidende affine Geraden enthalt, schon affin ist. In diesem Sinne sind unsere virtuellen Unterraume regular. Sie sind dann geschlitzte (projektive) Raume, entstehen aus projektiven Raumen durch Herausnehmen der Punkte eines projektiven Unterraumes.

Satz 21. Sei X eine maximale Clique des Unterraumes U. Dann ist X ein Unterraum.

Beweis. Seien p, q [member of] X, p [not equal to] q. Dann ist (pq) eine in U enthaltene Clique. Da X maximal, folgt (pq) [subset or equal to] X, da x [member of] X, x ~ p und x ~ q impliziert x ~ (pq). Sei A affine Gerade mit A [subset or equal to] X, sei p [member of] X. Dann ist B = [pi] (p, A) [subset or equal to] U, also auch B [subset or equal to] X; denn fur x [member of] X impliziert x ~ p bereits x ~ B.

Satz 22. Sei U ein Unterraum. p [member of] U und A = [union] {L : L ist affine Gerade von U mit p [member of] L}. Dann ist A der maximale affine Unterraum von U, der p enthalt.

Beweis. Analog zum Beweis von Satz 21. Fur affine Geraden L, [L.sup.'] von U mit L [intersection] [L.sup.'] = p ist ja [L U L'] affine Ebene.

Es folgt: Jeder Unterraum ist die disjunkte Vereinigung seiner maximalen affinen Unterraume.

Wir erweitern den Parallelismus auf affine Unterraume: Fur affine Unterraume A, B ist A[parallel]B falls A = B oder A [intersection] B = [empty set] und es gilt: [A [union] B] ist oberer Nachbar von A und oberer Nachbar von B. In jedem Residuum ist dies der gewohnliche Parallelismus des affinen Raumes. Schreibe wieder B = [pi] (p, A) falls A[parallel]B und p [member of] B.

Satz 23. Sei A ein affinen Raum, sei p[DELTA]A. Dann ist [A, p] = A [union] [pi](p, A).

Beweis. Sei B = [pi](p, A), q [member of] A, U = [A, p]. Es ist B = [union] {[pi](p, L) : L ist Gerade von A durch q}, also A [union] B [subset or equal to] U. Umgekehrt ist A [union] B = [A U B], denn fur x [member of] A, y [member of] B gilt x[DELTA]y.

Wir nennen einen virtuellen Unterraum projektiv, wenn alle seine Geraden projektiv sind. Ist G eine projektive Gerade und p[DELTA]G, so soll [pi](p, G) die zweite (projektive) Gerade von U = [G, p] sein: U = G [union] [pi](p, G).

Satz 24. Sei W ein projektiver Unterraum, sei p [DELTA] W. Dann ist H = p (W ) eine Hyperebene von W. Sei [W.sup.'] = [H, p] = [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (px). Dann ist U = [W, p] = W [union W'.

Beweis. In [[SIGMA].sub.p] erscheint [W.sub.p] als affiner Unterraum. Also ist p (W ) eine Hyperebene von W. Sei q [member of] W mit p [DELTA] q. Dann ist [W.sup.'] = U {[pi](p, L) : L ist Gerade von W durch q} = [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (px) [subset or equal to] U. Anderseits ist W [union] {p} [subset or equal to] W [union] [W.sup.'] = [W [union] [W.sup.']], denn fur x [member of] W\H, y [member of] [W.sup.']\H gilt x[DELTA]y.

Hilfssatz 25. Sei E eine virtuelle Ebene, p [DELTA] E und q [member of] E mit p [DELTA] q. Sei [E.sup.'] = [union] {[pi](p, L) : L ist Gerade von E durch q}. Dann ist [E, p] = E [union] [E.sup.'].

Beweis. Ist E affin oder projektiv, so folgt die Behauptung mit Satz 23 bzw. Satz 24. Es gibt noch eine dritte Moglichkeit, namlich dass E eine punktierte Ebeneist, d.h. E enthalt genau eine Parallelklasse von affinen Geraden; alle anderen Geraden sind projektiv.

Wir betrachten diesen Fall genauer. Seien [L.sub.1] und [L.sub.2] verschiedene projektive Geraden durch q. Sei [L.sup.'.sub.i] = [pi](p, [L.sub.i]), sei [s.sub.i] [member of] [L.sub.i] [intersection] [L.sup.'.sub.i], A = ([s.sub.1][s.sub.2]). Fur x [member of] A ist dann (px) [union] (qx) eine verallgemeinerte Kette von [E, p]. Ware A eine projektive Gerade, so waren alle Geraden durch q projektiv Also ist A affine Gerade, und [E.sup.'] = [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (px) [union] [pi] (p, A) ist ebenfalls punktierte Ebene.

Satz 26. Sei W ein virtueller Unterraum vom Rang n, sei p [DELTA] Wund q [member of] W mit p [DELTA] q. Sei [W.sup.'] = [union]{[pi](p, L) : L ist Gerade von W mit q [member of] L}. Dann ist [W, p] = W [union] [W.sup.'] ein n-Raumpaar.

Beweis. [W.sup.'] ist Unterraum: Seien x, y [member of] [W.sup.'], x [member of] [pi] (p, [L.sub.1]), y [member of] [pi](p, [L.sub.2]), o.B.d.A. [L.sub.1] [not equal to] [L.sub.2]. Betrachte die Ebene E = [[L.sub.1] [union] [L.sub.2]] und wende Hilfssatz 25 an. Sei [A.sup.'] affine Gerade durch p in [W.sup.'], sei z [member of] [W.sup.'], z [member of] [pi](p, L). Es folgt A = [pi]c(q, A) [subset or equal to] W. Betrachte E = [A, L] und wende Hilfssatz 25 an. W [union] [W.sup.'] = [W [union] [W.sup.']] : Abgeschlossenheit fur affine Geraden folgt leicht aus dem Bisherigen. Abgeschlossenheit fur Bildung isotroper Geraden folgt leicht, wenn man beachtet dass x [member of] W\(W [intersection] [W.sup.']) und y [member of] [W.sup.']\(W [intersection] [W.sup.']) impliziert x [DELTA] y.

Sei W ein virtueller n-Raum, also ein Unterraum, der eine Clique bildet. Sei p[DELTA]W und [W, p] = W [union] [W.sup.'] das zugehorige n-Raumpaar. Setze dann [pi](p,W) = [W.sup.']. Fur q [member of] W mit q[DELTA][W.sup.'] ist ersichtlich [pi](q,[W.sup.']) = W.

Fur einen Unterraum U wird definiert der Spitzenraum S(U) von U als {x [member of] U x ~ U}. Die Punkte von S(U) heissen die Spitzen von U. Ersichtlich ist U ein virtueller Unterraum. Ist S(U) [not equal to] [empty set], so heisst U Kegel mit Spitzenraum S(U). Beispiele fur S(U) = [empty set] sind die sz Unterraume und die (n + 1)-Raume, die aus Paaren von affinen n-Raumen bestehen. Ist W [union] [W.sup.'] ein Raumpaar, bei dem W nicht affin ist, so ist W [intersection] [W.sup.'] der Spitzenraum von W [union] [W.sup.']. Ist S(U) = U, so ist U gewiss virtuell, und umgekehrt.

Hilfssatz 27. Sei U ein Unterraum und p [member of] U. Dann ist auch der Kegel p(U) = {x [member of] U : p ~ x} ein Unterraum.

Beweis. Seien x, y, z [member of] p(U) paarweise distant. Wegen k [less than or equal to] 2 folgt dann auch p ~ (xyz). Seien x,y [member of] p(U), x [not equal to] y aber x ~ y. Dann ist auch p ~ (xy). Ist A affine Gerade von U und z [member of] p(U), so gilt auch p ~ [pi](z, A).

Satz 28. Sei U ein Unterraum und p, q [member of] U mit p [DELTA] q. Sei

L(p, U) = {X : X ist virtueller Unterraum von U mit p [member of] X},

entsprechend L(q, U). Dann ist die Abbildung

[p,q]: L(p,U) [right arrow] L(q,U) : X [right arrow] (q, X)

bijektiv. Insbesondere sind p(U) und q(U) vom selbem Typ".

Beweis. Ersichtlich ist [p, q] [q, p] = [id.sub.L(p,U)] und [q, p] [p, q] = [id.sub.L(q,U)].

Satz 29. Sei U ein Unterraum, sei p [member of] U\S(U). Dann ist [U.sub.p] ein Unterraum in [[SIGMA].sub.p]. Umgekehrt: Sei [U.sup.'] ein Unterraum in [[SIGMA].sub.p], sei q [member of] [U.sup.']. Dann ist U = [U.sup.'] [union] ([union][bar.L] (q, [U.sup.']) [q, p]) ein Unterraum von [SIGMA]. Hierbei ist L (q, [U.sup.']) die Menge der virtuellen Unterraume X, so dass [X.sub.p] isotroper Unterraum von [U.sup.'] durch q ist.

Beweis. [U.sub.p] ist Unterraum von [[SIGMA].sub.p]: Seien x, y [member of] [U.sub.p] verschiedene Punkte. Ist x[DELTA]y so ist x[DELTA]p[DELTA]y und damit die Gerade (pxy)\{p} in [U.sub.p]. Ist x ~ y, so ist gewiss die Gerade [(xy).sub.p] in [U.sub.p]. Da die Geraden in [[SIGMA].sub.p] mindestens 4 Punkte haben, brauchen wir uns um Parallelen nicht zu kummern.

Nun sei [U.sup.'] ein Unterraum von [[SIGMA].sub.p], sei U = [U.sup.'] [union] [U.sup."] mit [U.sup."] = [union]L(q, [U.sup.']) [q, p]. Zu zeigen ist, dass U ein Unterraum von [SIGMA] ist. Zu bemerken ist, dass fur r [member of] [U.sup.'] gilt

L(q,[U.sup.'])[q,p] = L(r,[U.sup.'])[r,p].

1. Es seien x, y Punkte mit x [not equal to] y, aber x ~ y, und x [not equal to] p [not equal to] y.

a) x,y [member of] [U.sup.']. Dann [(xy).sub.p] = [<x,y>.sub.p] [subset or equal to] [U.sup.']. Ist (xy) projektive Gerade, so ist der fehlende Punkt der Schnittpunkt mit [pi](p, (xy)) = [pi](p, [pi](q, (xy))), liegt also in [U.sup."].

b) x [member of] [U.sup.'], y [member of] [U.sup."]. Es gibt virtuelle Gerade L durch p mit y [member of] L. Dann [(xp).sub.p] = [pi][(x,L).sub.p] [subset or equal to] [U.sup.'].

c) x, y [member of] [U.sup."]. O.B.d.A (px) [not equal to] (py). Dann ist (pxy) virtuelle Ebene in [U.sup."]. Sei E = [pi](q, (pxy)), dann ist [E.sub.p] [member of] L(q, [U.sup.']), also E [member of] L(q, [U.sup.']) [q, p], d.h. (xy) [subset or equal to] (pxy) [subset or equal to] [U.sup."].

2. Sei nun A eine (in [SIGMA]) affine Gerade.

a) A liegt in [U.sup.']. Dann geht durch jeden Punkt von [U.sup.'] eine parallele von A, denn [U.sup.'] ist affiner Unterraum. Durch p geht [pi](p, [pi](q, A)) [subset or equal to] [U.sup."]. Sei p [not equal to] x [member of] [U.sup."]. Dann ist (px) virtuelle Gerade, also ist E = [p, [pi](x, A)] virtuelle Ebene. Fur (qy) = [pi](q, (px)) und [E.sup.'] = [q, [pi](y, A)] ist E = [E.sup.'] [q, p], also [pi](x, A) [subset or equalt o] E [subset or equal to] [U.sup."].

b) A liegt in [U.sup."]. Durch analoge Uberlegungen findet man Parallele von A in [U.sup.'] und ist damit bei a).

3. Schliesslich seien x, y, z paarweise distante Punkte, die jeweils verschieden von p genommen werden.

a) x, y, z [member of] [U.sup.']. Dann ist [(xyz).sub.p] [subset or equal to] [<x,y,z>.sub.p] [subset or equal to] [U.sup.']. Ist p[DELTA]u fur alle u [member of] (xyz), so ist [(xyz).sub.p] = (xyz), und wir sind fertig. Gibt es genau ein u [member of] (xyz) mit p ~ u, so ist [<x,y,z>.sub.p] Laguerre Ebene, die eine Parallelklasse von isotropen Ge raden enthalt. Ist L eine von diesen, so L [subset or equal to] [U.sup.'] und (pu) = [pi](p, L) [subset or equal to] [U.sup."], d.h. (xyz) [subset or equal to] [U.sup.'] [union] [U.sup."]. Schliesslich ist noch der Fall moglich, dass es genau zwei Punkte [u.sub.1], [u.sub.2] [member of] (xyz) gibt mit p ~ [x.sub.i], i = 1, 2. Dann ist [<x, y, z>.sub.p] eine Minkowski-Ebene, besitzt also zwei Parallelklassen von isotropen Geraden. Sind [L.sub.1], [L.sub.2] Geraden dieser beiden Parallelklassen, so ist bei geeigneter Nummerierung ([pu.sub.i]) = ~[pi](p, [L.sub.i]) [subset or equal to] [U.sup."], also wiederum (xyz) [subset or equal to] [U.sup.'] [union] [U.sup."].

b) x, y [member of] [U.sup.'], z [member of] [U.sup."]. Es gibt virtuelle Gerade L durch p mit z [member of] L, o.B.d.A z [not equal to] p. Dann liegt [(xyz).sub.p] in der Ebene [<[pi][(x, L).sub.p] [union] [pi][(y, L).sub.p]>.sub.p] . Ist [(xyz).sub.p] Minkowski-Ebene, wende man a) an.

c) x [member of] [U.sup.'], y, z [member of] [U.sup."]. Es gibt virtuelle Geraden [L.sub.1], [L.sub.2] durch p mit y [member of] [L.sub.1], z [member of] [L.sub.2]. Dann liegt [(xyz).sub.p] in der Ebene [<[pi](x, [L.sub.1]) [union] [pi](y, [L.sub.2])>.sub.p]. .

d) x, y, z [member of] [U.sup."]. Wir wollen zeigen, dass der Laguerre-Kegel K = [p, x, y, z] in [U.sup."] liegt.

Nun haben zwei Laguerre-Kegel K, M mit verschiedenen Spitzenpunkten, welche drei distante Punkte u, v, w gemeinsam haben, die Kette (uvw) zu ihrem genauen Durchschnitt. Dazu betrachtet man in [[SIGMA].sub.u] die (Laguerre-)Ebenen [K.sub.u], Mu, und sieht, dass ihr Durchschnitt die reelle Gerade (vw) ist. Um dies anzuwenden, wird x = [x.sub.1], y = [x.sub.2] und z = x3 gesetzt. Es ist ([px.sub.i]) projektive Gerade, andersfalls waren die [x.sub.i] nicht paarweise distant.

Es gibt eine projektive Gerade [L.sup.(i)] durch q mit [pi](p,[L.sup.(i)]) = ([px.sub.i]). Sei [y.sub.i] der Schnittpunkt von [L.sup.(i)] und ([px.sub.i]). Wir wahlen paarweise distante Punkte [z.sub.i] [member of] [L.sup.(i).sub.p]. Nach 3a) ist ([z.sub.1][z.sub.2][z.sub.3]) [subset or equal to] [U.sup.'] [union] [U.sup."], und nach 1 ist dann auch der Laguerre-Kegel M = [q,[z.sub.1][z.sub.2][z.sub.3] [subset or equal to] [U.sup.'] [union] [U.sup."].

Nach dem vorher Bemerkten ist ([y.sub.1][y.sub.2][y.sub.3]) der genaue Durchschnitt von K und M, das heisst aber (xyz) [subset or equal to] K [subset or equal to] [union]L(q, [U.sup.']) [q, p] = [U.sup."].

Hilfssatz 30. Sei U ein virtueller Unterraum und A ein affiner Unterraum mit A [intersection] U [not equal to] [empty set]. Dann ist W = [A [union] U] ein virtueller Unterraum.

Beweis. Betrachte die Menge M aller virtuellen Unterraume X mit U [subset or equal to] X [subset or equal to] W. Jede Kette von M hat eine obere Schranke, namlich ihre mengentheoretische Vereinigung. Nach dem Lemma von Zorn (1) besitzt M ein maximales Element B. Angenommen B [not equal to] W. Dann ist A\B [not equal to] [empty set]. Es gibt p [member of] B [intersection] A und q [member of] A\B. Nach Satz 19 ist [B.sup.'] = [B [union] (pq)] ein virtueller Unterraum. Und es ist U [subset or equal to] [B.sup.'] [subset or equal to] W und [B.sup.'] [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] b B im Widerspruch zur Maximalitat von B.

Folgerung 31. Sei A affiner Unterraum und p [member of] P\A.

a) Ist p [DELTA] A, so p [DELTA] x fur alle x [member of] A.

b) Ist p ~ z fur ein z [member of] A, so ist p ~ A.

Hilfssatz 32. Sei U [not equal to] [empty set] ein Unterraum und p [member of] P\U, p ~ U. Ist A ein maximaler affiner Unterraum von U, ist B = [pi](p, A) und W = [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (px) [union] B, so ist W = [U,p].

Dabei ist B [subset or equal to] S(W).

Beweis. Dass B C S(W) ist, ist trivial. Wir zeigen W = [U, p].

1. Fall: U ist virtueller Unterraum. Dann folgt die Behauptung aus dem entsprechenden Satz uber projektive Raume (B = {p}), da U jedenfalls geschlitzter projektiver Raum ist.

2. Fall: Sonst. Sei zuerstbemerkt, dass fur x [member of] U\S(U) die Gerade (px) projektiv ist, denn fur affine Gerade (px) folgt aus p ~ U schon x ~ U, also x [member of] S(U). Fur festes q [member of] U\S(U) ist [W.sup.'] = W [intersection] [DELTA](q) ein affiner Unterraum in [[SIGMA].sub.q], der aus [U.sub.q] entsteht durch Hinzufugen einer Schar paralleler (isotroper) Geraden von [[SIGMA].sub.q], durch jeden Punkt von [U.sub.q] eine dieser Geraden. Fur r [member of] [U.sub.q] enthallt [bar.L] (r, [W.sup.']) auch S ( W ) und p, die zu q gehoren.

Man uberzeugt sich, dass [W.sup.'] [union] ([union][bar.L] (r, [W.sup.']) [r, q] = W ist. Mit Satz 29 zweiter Teil schliessen wir, dass W ein Unterraum ist.

Wegen W [subset or equal to] [U, p] und U [subset or equal to] W, p E W ist also [U, p] = W.

Satz 33. (HAUPTSATZ) Der Verband der Unterraume von [SIGMA] erfullt die Austauschbedingung: Ist U Unterraum, p [member of] P\U und q [member of] [U, p] \U so p [member of] [U, q].

Beweis. Sei U ein Unterraum von [SIGMA] , o.B.d.A U [not equal to] [empty set]. Sei p [member of] P\U.

1. Fall: p ~ U. Nach Hilfssatz 32 ist [U, p] = [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.](xp) [union] [pi] (p,A), wo A maximaler affiner Unterraum von U. Nun sei q [member of] [U, p]\U. Entweder ist dann q [member of] (ap) fur ein a [member of] U, q [not equal to] a, also p [member of] (qa) [subset or equal to] [U, q], oder q [member of] [pi](p, A), also p [member of] [pi](q, A) [subset or equal to] [U, q].

2. Fall: p[DELTA]U.

a) U ist virtueller Unterraum, also [U, p] = U [union] [pi](p, U). Ist q [member of] [U, p]\U, so q [member of] [pi](p, U)\U, also p [member of] [pi](q, U) [subset or equal to] [U, q].

b) U sonst. Es gibt a [member of] U\S (U) mit p[DELTA]a: Angenommen p[DELTA]b fur b [member of] S (U). Sei c [member of] U\S(U). Es gibt hochstens einen Punkt d [member of] (bc) mit p ~ d. Also gibt es b [not equal to] a [member of] (bc) mit p[DELTA]a. Wir benutzen die Darstellung von U und [U, p] in [[SIGMA].sub.a]. Betrachte [[U, p].sub.a] = [<U, p>.sub.a]. Ist q [member of] [<U, p>.sub.a]\U, so nach affiner Geometrie [<U, q>.sub.a] = [<U, p>.sub.a], also p [member of] [U, q] . Bleibt die Moglichkeit q [member of] a [U, p]\U. Es ist dann q [not equal to] a und liegt auf einer virtuellen Geraden X durch a, so class [pi][(p, X).sub.a] nicht in der Parallelen von U durch p (in [[SIGMA].sub.a]) liegt; also gibt es x [member of] U, so dass [pi][(p, X).sub.a] = (px). Ist X = (aq) projektive Gerade, so gibt es y [member of] X mit (px) = (xy). Folglich ist p [member of] (xy) [subset or equal to] (aq) [union] U [subset or equal to] [U, q]. Ist X = (aq) affine Gerade, so p [member of] [pi](x, (aq)) [subset or equal to] [U,9].

Insgesamt ist der Verband der Unterraume von [member of] also ein geometrischer Verband, erfullt so z.B. fur Unterraume U, W: r[U [union] W] + r[U [intersection] W] [less than or equal to] r(U) + r(W), usw. vgl. Aigner [1].

5 Tangentialraume

Hilfssatz 34. Fur p,q [member of] P, p [not equal to] q ist [DELTA](p) = [DELTA](q) genau dann, wenn (pq) eine affine Gerade ist.

Beweis. (i) Ist p[DELTA]q, so ist p [member of not equal to] [DELTA](p) und q [member of not equal to] 0(q), dagegen p [member of] [DELTA](q) und Q [member of] [DELTA](p).

(ii) Ist (pq) eine projektive Gerade, so gibt es genau eine weitere projektive Gerade (pr) durch p, so dass die Ebene (pqr) das Geradenpaar (pq) [union] (pr) ist. Dann ist aber q[DELTA]x fur alle p [not equal to] x [member of] (pr). Es folgt p [not equal to] q, mithin [DELTA](p) [not equal to] [DELTA](q).

(iii) Nun sei (pq) eine affine Gerade. Mit Folgerung 31 folgt sofort p = q bzw. [DELTA](p) = [DELTA](q).

Der Verband L ([SIGMA]) der Unterraume wird durch ideale Elemente (die Tangentialraume) so erganzt, dass ein lokal projektiver atomarer halbmodularer Verband entsteht.

Fur p [member of] P sei [SIGMA]/p die Menge aller Unterraume X mit p [member of] X\S (X). Auf [SIGMA]/p wird eine Aquivalenzrelation [parallel] wie folgt erklart:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.]

Wir sagen dann, X und Y beruhren sich in p (langs pX = pY).

Fur U [member of] [SIGMA]/p ist [T.sub.p](U) = {X [member of] [SIGMA]/p : [U.sub.p] [parallel] X}. Wir nennen [T.sub.p](U) Beruhrbundel und auch Tangentialraum. Es wird gesetzt

r[T.sub.p](U) = rU - 1.

In [[SIGMA].sub.p] wird [T.sub.p](U) zu einer Parallelklasse affiner Unterraume, und alle solchen Parallelklassen werden so erhalten. Die zugehorige Ordnungsrelation [less than or equal to] wird in [[SIGMA].sub.p] in bekannter Weise erklart, so dass damit in [[SIGMA].sub.p] eine projektive Geometrie entsteht: [T.sub.p] (U) ist der Fernraum von U usw. Fur einen Unterraum Z von [SIGMA] wird festgesetzt Z [less than or equal to] [T.sub.p] (U) genau dann, wenn Z [subset or equal to] p (U) gilt. Deshalb wird p (U) auch der Trager von [T.sub.p] (U) genannt.

Ist schon rp(U) = rU -1, so wird [T.sub.p] (U) durch seinen Trager p (U) dargestellt, denn dann ist [T.sub.p](U) = {[p(U), x] : x [member of] [DELTA](p)}. Ist umgekehrt W ein Unterraum von [SIGMA] und p [member of] S(W), U = [W, q] fur ein q[DELTA]p, so stellt W den Tangentialraum [T.sub.p] (U) dar. Im Falle rp (U) = rU - 1 ist die Ordnungsrelation von [T.sub.p] (U) durch die seines Tragers p(U) bestimmt. Die Halbordnung (L([SIGMA]), [less than or equal to]), deren Elemente aus den Unterraumen zusammen mit den Tangentialraumen bestehen, lasst sich zu einem vollstandigen Verband machen:

Fur eine Menge M von Unterraumen lasst sich die grosste untere Schranke ^M auf Durchschnitte von Mengen zuruckfuhren, ebenso die kleinste obere Schranke [down arrow]M als grosste untere Schranke der Menge der oberen Schranken von M. Fur zwei Elemente X, Y von L([SIGMA]) verstehen sich die Ausdrucke X ^ Y bzw. X [down arrow] Y entsprechend.

Satz 35. Sei U [member of] [SIGMA]/p [intersection] [SIGMA]/q, p [not equal to] q.

a) Ist rp(U) = rU - 1, so ist [T.sub.p](U) = [T.sub.q](U) genau dann, wenn p(U) = q(U) ist.

b) Ist rp(U) < rU - 1, so ist [T.sub.p](U) = [T.sub.q](U) genau dann, wenn (pq) eine affine Gerade ist.

Beweis. a) ist trivial (aber nicht banal).

b) Jetzt impliziert [T.sub.p](U) = [T.sub.q](U) bereits [DELTA](p) = [DELTA](q) und damit nach Hilfssatz 34, dass (pq) eine affine Gerade ist. Sei also (pq) eine affine Gerade und damit [DELTA](p) = [DELTA](q). Sei U [member of] [SIGMA]/r. Es ist U[parallel]X genau, falls r(U) = r(X), und ausserdem fur U [not equal to] X noch r (U [union] X ) = rU + 1 gilt. In unserem Falle ist aber p(U) = q(U) und p(X) = q(X), und die zweite Bedingung ist unabhangig von p bzw. q.

Bemerkung 36. Man kann schrittweise zu Unterraumen mit immer grosserem Spitzenraum gelangen, bis man zum Schluss bei einem virtuellen Unterraum angelangt ist. (Naturlich, fur p = {p} ist das schon beim ersten Schritt der Fall!) Dazu sei [U.sub.0] ein sz Unterraum (z.B. [U.sub.0] = P). Hat man schon [U.sub.i] konstruiert, und [U.sub.i] ist nicht virtueller Raum, so wahle [p.sub.i] [member of] [U.sub.i]\S([U.sub.i]) und setze [U.sub.i+1] = [p.sub.i]([U.sub.i]). Dann ist S([U.sub.i]) [subset] S([U.sub.i+1]) und [p.sub.i] [member of] S([U.sub.i+1]), also rS([U.sub.i+1]) > rS([U.sub.i]).

Fur Elemente X, Y von L([SIGMA]) bezeichne X [??] Y die Aussage: X ist unterer Nachbar von Y bzw. Y ist oberer Nachbar von X. Zum Beweis, dass L ([SIGMA]) halbmodular ist, genugt es zu zeigen, dass fur alle Elemente X, Y von L([SIGMA]) gilt:

X ^ Y [??] X und X ^ Y [??] Y (1.6)

impliziert

X [??] X [down arrow] Y und Y [??] X [down arrow] Y,

(vgl. Szasz[16].)

Satz 37. Der Verband L ([SIGMA]) ist halbmodular.

Beweis. Nachweis, dass (1.6) gilt.

1. X und Y sind Unterraume.

a) Auch X ^ Y ist ein Unterraum, also X ^ Y = X [intersection] Y. Dann gilt (1.6) ohnehin, da L (W) ein geometrischer Verband ist.

b) X ^ Y ist Tangentialraum. Dann gibt es p [member of] P, so dass X, Y [member of] [SIGMA]/p ist und X[parallel]Y gilt. Dann ist aber rX = rY und r [X [union] Y] = rX + 1, d. h. (1.6) ist erfullt.

2. X = [T.sub.p](U), Y = [T.sub.p](W), o.B.d.A. q [member of] U [intersection] W mit q[DELTA]p.

a) Ist X ^ Y ebenfalls Tangentialraum, so X ^ Y = [T.sub.p] (U [intersection] W ) und X v Y = [T.sub.p]([U [union] W] ). Wie unter 1a) gilt damit (1.6).

b) Ist X ^ Y Unterraum, so sind die Tangentialraume X und Y von ihren Tragern dargestellt. Siehe 3.

3. X = [T.sub.p] (U), Y = [T.sub.q] (W), p [not equal to] q, (pq) keine affine Gerade.

Die Bedingung X ^ Y [??] X, Y erzwingt, dass diese Tangentialraume von ihren Tragern dargestellt sind: X = p(U), Y = q(W), X ^ Y = X [intersection] Y und Z = X v Y = [X [union] Y], also nach 1) X, Y [??] Z.

a) Es gibt r [member of] Z mit p[DELTA]r[DELTA]q, also [T.sub.p](U) = [T.sub.p](Z) und [T.sub.q](W) = [T.sub.q](Z). Es gilt aber [T.sub.p] (Z) [??] Z und [T.sub.q] (Z) [??] Z, also ist (1) erfullt.

b) p [member of] S(Z), aber r [member of] Z mit r[DELTA]q. Wie oben schliesst man [T.sub.q] (W) = [T.sub.q] (Z) [??] Z. Sei s[DELTA]p und V = [Z, s], d.h. Z ist Trager von [T.sub.p] (V). Dann wird X [??] Z gedeutet als [T.sub.p](U) [??] [T.sub.p](V).

c) (pq) [member of] S(Z). Sei s gegeben mit p[DELTA]s[DELTA]q, V = [Z, s]. Dann wird X, Y [??] Z gedeutet als [T.sub.p] (U) [??] [T.sub.p] (V) und [T.sub.q] (W) [??] [T.sub.q] (V), denn nach Satz 35 ist [T.sub.p] (V) = p(V) = Z = q(V) = [T.sub.q](V).

4. X = [T.sub.p] (U) und Y ist Unterraum. X ^ Y [??] X, Y erzwingt wieder, dass [T.sub.p](U) durch seinen Trager dargestellt wird: X = p(U). Dann ist wieder X ^ Y = p (U) [intersection] Y und Z = X [union] Y = [p (U) [union] Y] und X, Y [??] Z ist erfullt.

a) Es gibt r [member of] Z mit r[DELTA]p. Dann ist wieder [T.sub.p](U) = [T.sub.p](Z) und wir haben [T.sub.p](Z) [??] Z.

b) p [member of] S(Z). Wahle s mit s[DELTA]p und setze V = [Z,s]. Dann ist Z Trager von [T.sub.p](V) und wir haben [T.sub.p](U) [??] [T.sub.p](V).

Damit kann L([SIGMA]) dazu dienen, den projektiven Raum zu konstruieren, in den sich [SIGMA] einbetten lasst.

6 Die Einbettung

Mittels L([SIGMA]) wird nun der einbettende projektive Raum P konstruiert. Und zwar sind die n-Raume von P gegeben durch Bundel von (n + 1)-Raumen. Das sind maximale Mengen von (n + 1)-Raumen mit der Eigenschaft, dass fur je zwei verschiedene X und Y von ihnen gilt rX v Y = n + 2, vgl. Maurer [12]. Durch jeden Punkt von [SIGMA] geht ein (n + 1)-Raum des Bundels. Sind X und Y wieder verschiedene (n + 1)-Raume des Bundels und ist z ein Punkt, der nicht in X V Y liegt, so ist Z = (X v z) ^ (Y v z) der (n + 1)-Raum des Bundels durch z. Man sieht daraus: Das Bundel ist durch je zwei zugehorige (n + 1)-Raume X und Y bestimmt, und ist p ein Punkt von X ^ Y, so ist p ein Punkt jedes (n + 1)-Raumes des Bundels. Dass uberhaupt Bundel existieren, beruht auf dem Buschelsatz fur Geraden, der sich beweisen lasst, da [SIGMA] einen Rang [greater than or equal to] 5 hat.

Die Punkte werden durch Geradenbundel dargestellt. Ist p ein solches Geradenbundel und ist fur verschiedene Geraden X und Y der Punkt p in beiden enthalten, also in jeder Geraden des Bundels, so schreiben wir p = (p), denn es handelt sich um das Bundel aller Geraden durch p. Durch die Abbildung p [right arrow] (p) wird [SIGMA] in P eingebettet. Es sei B das Bild von P, also B = {(p) : p [member of] P}.

Von besonderem Interesse sind die Spitzen, gegeben durch die Parallelklassen affiner Geraden; alle affinen Geraden einer Parallelklasse bekommen so einen gemeinsamen Punkt, genannt Spitze oder Spitzenpunkt und sind damit zu projek tiven Geraden geworden. Sei U das Bundel der maximalen affinen Unterraume von [SIGMA]. Der Unterraum U heisst Spitzenraum; seine Punkte sind die samtlichen Spitzen.

Wir betrachten die Punktmenge D = U [union] B und wollen zeigen, dass D eine quadratische Menge ist. Zur Definition vergleiche Buekenhout [3]: Eine Punktmenge Q eines projektiven Raumes heisst quadratische Menge, wenn folgendes gilt: Jede Gerade, die Q in genau zwei Punkten trifft, heisst Sekante. Jede Gerade, die Q trifft, aber keine Sekante ist, trifft Q in genau einem Punkt oder ist in Q enthalten. Solche Geraden heissen Tangenten. Fur jeden Punkt p von Q fullen die Tangenten genau eine Hyperebene aus (dann heisst p einfacher Punkt), oder alle Geraden durch p sind Tangenten (dann heisst p Doppelpunkt).

Wir zeigen nun:

a) Jede Gerade durch einen Spitzenpunkt ist eine Tangente,

b) Zu jedem Punkt (p) von B gibt es eine Hyperebene, so dass alle Geraden durch (p), die in dieser Hyperebene liegen, Tangenten sind, und alle anderen Geraden durch (p) sind Sekanten.

Dann ist damit Q als quadratische Menge nachgewiesen, wobei U die Menge seiner Doppelpunkte und B die Menge seiner einfachen Punkte ist. Zur Vereinfachung der Schreibweise identifizieren wir (p) mit p und betrachten die n-Raume von P als Punktmengen.

a) Sei A eine affine Gerade von [SIGMA] und [A] die Parallelklasse von A, die wir als Spitzenpunkt in U untersuchen wollen. Eine Gerade durch [A] ist ein Bundel von Ebenen, die samtlich Parallele von A enthalten.

1. Fall. Je zwei dieser Ebenen haben keinen Punkt gemeinsam. [alpha]) Alle Ebenen sind affine Ebenen. Dann handelt es sich um eine Gerade, die ganz in U liegt, also eine Tangente.

[beta]) Das ist nicht der Fall. Dann sind alle Ebenen Paare von zu A parallelen affinen Geraden oder Tangentialebenen, die eine zu A parallele Gerade enthalten. Dann handelt es sich um eine Gerade, die mit Q nur den Punkt [A] gemeinsam hat, also eine Tangente.

2. Fall. Zwei verschiedene Ebenen haben einen Punkt gemeinsam. Dann haben sie bereits eine zu A parallele Gerade gemeinsam, o.B.d.A. sei dies A. Bei der Geraden handelt es sich dann um A, erganzt um den Punkt [A]; also liegt diese Gerade ganz in Q, ist also eine Tangente.

b) Sei p [member of] B Es ist [T.sub.p] (P) eine Hyperebene. Die in [T.sub.p] (P) liegenden Geraden durch p sind Beruhrbundel von Ebenen durch p. Enthalt ein solches Beruhrbundel Ketten, so hat die zugehorige Gerade mit Q nur den Punkt p gemeinsam, ist also eine Tangente. Enthalt das Beruhrbundel dagegen Ebenen, die eine Gerade gemeinsam haben, so ist diese die gesuchte Gerade; sie liegt ganz auf Q (falls affine Gerade A, dann noch erganzt um [A] ) , ist also Tangente.

Nun sei B ein Bundel von Ebenen durch p, das eine Gerade durch p darstellt, die nicht in [T.sup.p] (P) liegt. In [[SIGMA].sub.p] erscheinen diese Ebenen als Geraden, aus jeder Parallelklasse eine. Daher sind auch reelle Geraden dabei. Wir haben also zwei Ketten C und D, die einen 4-Raum aufspannen und sich in p treffen, d.h. C und D treffen sich intensiv Da sie sich nicht beruhren, mussen sie noch einen zweiten Schnittpunkt q besitzen. Dann besitzen alle Ebenen des Bundels die Punkte p und q gemeinsam, aber nicht mehr. Die zugehorige Gerade ist also Sekante von Q.

Jeder Durchschnitt der quadratischen Menge [bar.Q] mit einem projektiven Unterraum ist wieder eine quadratische Menge. Wir betrachten nun die Geometrie der zulassigen ebenen Schnitte von [bar.Q]. Dabei heisst eine Ebene E des zugehorigen pro jektiven Raumes zulassig, wenn E die quadratische Menge Q in (wenigstens) drei Punkten aber in keiner Geraden schneidet. Hier genugt es die Menge B der einfachen Punkte von [bar.Q] zu betrachten, denn der Durchschnitt einer zulassigen Ebene mit [bar.Q] ist eine ebene quadratische Menge aus lauter einfachen Punkten, also ein Oval. Man sieht, dass [bar.B] mit den samtlichen so erhaltenen Ovalen als Ketten einen Kettenraum ergibt:

Zwei Punkte von [bar.B] heissen distant, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen; die Ebene E durch drei paarweise distante Punkte X, Y, Z ist zulassig, denn ebene Schnitte von [bar.Q] die eine Gerade besitzen, sind diese Gerade oder ein Gera denpaar, haben also keine drei paarweise distante Punkte. Die durch X, Y, Z bestimmte Kette ist also der Durchschnitt von E mit [bar.Q], ein Oval.

Ist O ein Oval, p [member of] O = [bar.Q] [intersection] E und q [member of], q distant zu p, so erhalt man die Kette [O.sup.'] durch q, die O in p beruhrt, als Durchschnitt der Ebene [E.sup.'] mit [bar.Q]. Dabei wird [E.sup.'] von q und der Tangenten T von O in p aufgespannt. Sicher ist [E.sup.'] zulassig, denn T ist auch Tangente der ebenen quadratischen Menge [bar.Q] [intersection] [E.sup.'] und ist nicht in [bar.Q] enthalten. Eine solche gabe es nicht, wenn [bar.Q] [intersection] [E.sup.'] eine Gerade enthielte. Damit wird auch deutlich, dass jede Ebene durch T-ausser der in der Tangentialhyperebenen von p gelegenen-zulassig ist. Also ist das Residuum in p ein partieller affiner Raum. SchliesBlich sei noch bemerkt, dass die Schnitte von projektiven 4-Raumen mit [bar.Q], die eine Kette und einen weiteren Punkt enthalten, nur die drei Arten Ovoid, Kegel uber einem Oval und hyperbolische Quadrik ergeben, deren Geometrie der zulassigen ebenen Schnitte die Mobius-, Laguerreund Minkowski Ebene sind. Es ist [bar.B] genau dann stark zusammenhangend, wenn [bar.B] nicht in der Vereinigung zweier Hyperebenen (des umgebenden projektiven Raumes) enthalten ist. Denn fur p [member of] [bar.B] liegen die zu p adjazenten Punkte in der Tangentialhyperebene an p.

Wir haben nun zu zeigen, dass [SIGMA] die Geometrie der zulassigen ebenen Schnitte von B ist: Wenn wir auf B Punkte distant nennen, die nicht auf einer Geraden liegen, bekommen wir den ursprunglichen Begriff von "distant"wieder zuruck. Seien nun x, y, z [member of] B, paarweise distant, sei E die von x, y, z aufgespannte Ebene in P. Dann ist E gegeben durch das Bundel der 4-Raume von E, die x, y, z enthalten, und diesen 4- Raumen ist die Kette (xyz) gemeinsam, aber nicht mehr, d.h. (xyz) ist der genaue Durchschnitt von E mit B.

Bemerkung 38. Allgemeiner gilt: Ist U ein n-Raum von [SIGMA] und <U> der von U in P aufgespannte Unterraum, so ist <U> ein n-Raum in P und <U> [intersection] B = U. Dazu betrachtet man das Bundel der (n + 1)-Raume von [SIGMA], die U enthalten.

Dass die Beruhrrelation [[rho].sub.p] in der zuvor beschriebenen Weise auf dem Teil B der quadratischen Menge Q wiedergefunden wird, sei nun dem Leser als Ubung uberlassen. Man kann auch die "Geometrie der ebenen Schnitte"von B betrach ten (vgl. [2]) und bekommt so alle moglichen Ebenen von [SIGMA] (auch die Trager von Tangentialebenen) wieder zuruck.

Zum Abschluss sei erwahnt, dass aus Buekenhout [3], Theoreme 3 folgt: Enthalt [SIGMA] projektive Geraden, so ist Q eine Quadrik. Nach [2], Kapitel s ist dann [SIGMA] isomorph zu [SIGMA](K, R, J) fur geeigneten (kommutativen) Korper K sowie K-Algebra R und Jordansystem J von R, also eine Kettemgeometrie, in besonderen Fallen auch in der einfacheren Form [SIGMA](K, R) fur kinematische Algebra R. Literatur

Received by the editors September 2008. Communicated by J. Thas.

[1] Aigner, M.: Kombinatorik, II. Matroide und Transversaltheorie, Berlin Heidelberg New York, Springer 1976.

[2] Blunck, A. und Herzer, A.: Kettengeometrien, Shaker Verlag, Aachen, 2005.

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[4] Buekenhout, F.: Inversions in locally affine circular spaces I, Math. Z. 119 189-202 (1971).

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[12] Maurer, H.: Ein axiomatischer Aufbau der mindestens 3-dimensionalen Mobius-Geometrie, Math. Z. 103, 282-305 (1968).

[13] Meuren, S.: Projektive und affine Einbettung partieller linearer Raume, Dissertation, Giessen 1996.

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(1) Ein Beweis ohne Lemma von Zorn ist moglich, wenn man schon vorher voraussetzt, dass ein maximaler affiner Unterraum von [SIGMA] von endlichem Rang ist.

Munevver, Ozcan

Eskisehir Osmangazi University,

26480-Eskisehir, Turkey

mozcan@ogu.edu.tr

Armin Herzer

Im Gries 13, 78351 Bodman-Ludwigshafen,

Deutschland

herzer.bodman@t-online. de
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Author:Ozcan, Munevver; Herzer, Armin
Publication:Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin
Article Type:Formula
Geographic Code:7TURK
Date:Aug 1, 2009
Words:12814
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