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EXPERIENCIA DE LA INCORPORACION DEL APRENDIZAJE COLABORATIVO, DOBLADO DE PAPEL Y TICS EN LA ENSENANZA DE LAS SECCIONES CONICAS.

I. INTRODUCCION

En la reflexion en la que se enmarca el proceso de ensenanza y aprendizaje, la creacion de conexiones y experiencias son fundamentales para cumplir con los objetivos educativos, en particular en la clase de matematicas. Asi, los diversos factores que influyen directamente en este proceso, como lo son el contexto, la naturaleza de los contenidos y los conocimientos previos de los estudiantes, deben ponerse a disposicion de las estrategias didacticas para permitir a los educandos tener un papel mas significativo. Es necesario comprender la formacion como un proceso que va mas alla de una cultura transmisora o reproductiva, sino que se refiere a evolucionar del paradigma de la ensenanza hacia el paradigma de aprendizaje, con el fin de promover un papel mas protagonico de los estudiantes en la construccion de su proceso de formacion (Cascante y Marin, 2012).

Sin embargo, la ensenanza de la matematica en el nivel universitario inicial, como lo son los cursos de Calculo para carreras aplicadas como ingenierias, tradicionalmente se ha realizado mediante un modelo magistral, en el que los estudiantes adquieren la informacion desde el docente y luego la aplican en la resolucion de ejercicios y problemas, de forma pasiva y sin darse una reflexion verdadera del fundamento de conceptos y origen de formulas. Ademas, la comunicacion entre pares no siempre es estimulada, de manera que valiosos aportes en el lenguaje entre estudiantes no son explotados para el aprendizaje.

De forma particular en el tema de Secciones Conicas, la realidad del proceso ensenanza y aprendizaje no es muy diferente a lo mencionado antes, por lo que se han propuesto una serie de experiencias didacticas en las que se exploran los conceptos del contenido relacionados a la definicion, origen, construccion, caracteristicas geometricas y algebraicas, graficas y aplicaciones. Para ello, se propone una estrategia del estudio de las Secciones Conicas con multiples actividades fundamentadas en el aprendizaje colaborativo, doblado de papel y Tecnologias de la Informacion y Comunicacion (TICs), de manera que contribuya a un aprendizaje menos memoristico por parte de los estudiantes y que a su vez, favorezcan la reflexion y la construccion del conocimiento mediante el intercambio de razonamientos.

Fundamentacion teorica

El trabajo colaborativo se refiere a la actividad que efectuan pequenos grupos de estudiantes dentro de las aulas de clase; estos se forman despues de las indicaciones explicadas por el docente y durante el inicio de la actividad y al interior del grupo, los integrantes intercambian informacion, tanto la que activan (conocimientos previos), como la que investigan. Posteriormente trabajan en la tarea propuesta hasta que han concluido y comprendido a fondo todos los conceptos de la tematica abordada, aprendiendo asi a traves de la cooperacion (Glinz, 2005). El trabajo colaborativo como estrategia de aprendizaje se basa en el trabajo en grupos de personas heterogeneas pero con niveles de conocimiento similares para el logro de metas comunes y la realizacion de actividades de forma conjunta, existiendo una interdependencia positiva entre ellas (Marin-Juarros, Negre-Bennasar y Perez-Garcias, 2014).

Ademas, como aporta Calzadilla (2002), con el trabajo colaborativo se estimula la desaparicion de observadores pasivos y receptores repetitivos, superando los tradicionales habitos de memorizacion utilitaria, para promover procesos dialogicos que conduzcan a la confrontacion de multiples perspectivas. Asi, a la accion de aprender se le reconoce su caracter social, donde el esquema que establecia al profesor como el que ensena y al estudiante como el que aprende de forma exclusiva, no tiene cabida y en su lugar se presenta el aprendizaje como un proceso social que se construye en la interaccion no solo con el profesor, sino tambien con los companeros, con el contexto y con el significado que se le asigna a lo que se aprende (Maldonado, 2007).

Los cinco componentes del aprendizaje colaborativo son la interdependencia positiva, la responsabilidad individual, la interaccion fomentadora cara a cara, las habilidades interpersonales, y el procesamiento por el grupo (Glinz, 2005), los cuales complementan el paradigma de aprendizaje como una actividad de asimilacion o incorporacion de la informacion, no por memoria, sino en esquemas que poseen una informacion previamente organizada en patrones, asi como funciones cognoscitivas que ajustan o acomodan la informacion nueva y la previamente adquirida (Maldonado, 2007).

En este sentido, existe un reto de incorporar alternativas no basadas en la memoria para el estudio de las matematicas en el que se logren generar ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas, comprensivas y que posibiliten avanzar a niveles de competencia mas y mas complejos (Perez, 2012). Para ello, es importante la implementacion de estrategias didacticas que impulsen el desarrollo de competencias por parte de los estudiantes, como lo menciona Tobon (2007), quien se refiere al aprendizaje en equipo como una estrategia que favorece la cooperacion, y que se lleva a cabo en diferentes etapas: (i) seleccion de una actividad o problema, (ii) organizacion de estudiantes en pequenos grupos de acuerdo con la tarea y planeacion del trabajo por realizar, (iii) ejecucion de las acciones y (iv) supervision del trabajo de cada uno de los grupos y ofrecimiento de asesoria puntual.

En la busqueda de alternativas para el estudio de contenidos matematicos de una forma mas activa por los estudiantes y en un contexto de trabajo colaborativo, tanto el doblado de papel como la introduccion de las TICs ofrecen una oportunidad a implementar en el aula. Respecto al doblado de papel, se puede afirmar que se consolida como una propuesta didactica alternativa para mejorar el proceso de ensenanza y aprendizaje de la geometria, en particular mediante la axiomatica del doblado (Santa y Jaramillo, 2010). Asi, se logra la ensenanza intuitiva de la geometria y un acercamiento al conocimiento del mundo exterior en las denominadas "lecciones de cosas", donde se aprovecha la figura resultante del plegado en papel para generar una dinamica de preguntas y respuestas, por parte del profesor y los estudiantes entre si, sirviendo todo ello para desarrollar el sentido de observacion y el sentido critico (Aznar, 2011).

En conjuncion del aprendizaje colaborativo, el doblado de papel logra que el nivel de conocimiento migre de lo concreto a lo abstracto, y que en todo el proceso se vaya desarrollando una vida de relacion, de afectos, de emociones, y de comunicacion social, donde la psicomotricidad es quien subraya la importancia de este proceso y ofrece las claves para entenderlo mediante coordinacion, control de la motricidad voluntaria, organizacion espacio-temporal, la representacion mental en el espacio, grafomotricidad y la relacion con los objetos y la comunicacion (Aznar, 2011), (Rius, 1989).

Por otra parte, de forma complementaria al doblado de papel, las actividades fundamentadas en el uso de las Tecnologias de la Informacion y la Comunicacion (TICs) ofrecen alternativas a explorar para el desarrollo de contenidos matematicos. En general, la introduccion de las TICs en educacion matematica ha sido cada vez mas frecuente, en parte, como respuesta de los grandes avances del software matematico en la ultimas dos decadas, asi como la diversidad de estudios en los que se demuestra el papel del uso de paquetes computacionales para obtener cambios significativos en la forma de ensenar y aprender, incluyendo la matematica universitaria, con el desarrollo de competencias, conocimientos y valores fundamentales (Gatica y Ares, 2012), (Molina, 2015).

Ademas, el desarrollo de las nuevas tecnologias y su utilizacion en el proceso educativo, requiere del soporte que proporciona el aprendizaje colaborativo, para optimizar su intervencion y generar verdaderos ambientes de aprendizaje que promuevan el desarrollo integral de los aprendices y sus multiples capacidades (Calzadilla, 2002). Debido al acceso a la tecnologia que posee la sociedad actual en diferentes ambitos de la vida cotidiana, el uso de las TICs en el aula podria funcionar como impulsor de rasgos motivacionales (Alfaro, Alpizar y Chaves, 2012), donde los estudiantes acceden a un ambiente de aula con cierto sentido de pertenencia o incluso familiaridad, asi como generar una actitud afectiva y positiva hacia la matematica (Chavarria-Arroyo, 2014).

Un proceso de aprendizaje colaborativo basado en TICs brinda oportunidad de (i) estimular la comunicacion interpersonal, que es uno de los pilares fundamentales dentro de los entornos de aprendizaje virtual, sincronica o asincronica, (ii) facilitar el trabajo colaborativo, al permitir que los estudiantes compartan informacion, trabajen con documentos conjuntos y faciliten la solucion de problemas y toma de decisiones, (iii) brindar seguimiento del progreso del grupo, a nivel individual y colectivo, (iv) accesar a informacion y contenidos de aprendizaje, (v) gestionar y acceso a toda aquella informacion vinculada con el expediente del estudiante, (vi) crear de ejercicios de evaluacion y autoevaluacion para evaluar el desempeno grupal e individual (Calzadilla, 2002).

Por otra parte, el contenido de Secciones Conicas, en particular, se caracteriza por la aplicacion de muchas formulas para la realizacion de los ejercicios y su fundamentacion normalmente es muy limitada (Ramirez, 2013). Algunos autores se han referido a estrategias aplicadas para el estudio de este tema; tal es el caso de un estudio del ano 2013, en el que un grupo de estudiantes de secundaria participaron de una experiencia didactica dividida en varias etapas. Primero, se les brindo informacion general sobre la historia y aplicaciones de la Secciones Conicas, y luego se les solicito construir conos en plastilina y realizarles cortes con un bisturi, para identificar la elipse, la parabola y la hiperbola. Posteriormente, se les pidio identificar las figuras estudiadas en revistas y periodicos. Una vez finalizada esta etapa, se les oriento para que trazaran conicas por medio de doblado de papel. Despues, los estudiantes fueron guiados por el docente para tomar mediciones que les permitieron deducir propiedades de las diferentes figuras. El autor concluye que la tecnica realizada facilita la comprension de los elementos geometricos, permite que el estudiante aprenda a su ritmo y fomenta la motivacion, ademas de que esta es una propuesta metodologica sencilla con la que se puede apreciar tanto interactividad con conceptos geometricos como su visualizacion, de una manera natural que facilita el proceso de ensenanza y de aprendizaje de la geometria (Calderon, 2013).

El trabajo realizado por Perez (2012) muestra el diseno y aplicacion de una Unidad Didactica para conceptualizar las Secciones Conicas desde una version geometrica hacia una analitica, en la cual estudiantes entre los catorce y dieciseis anos de edad trabajaron en grupos resolviendo diferentes actividades que la autora denomina "situaciones problema". En la primera actividad los estudiantes trabajaron con plastilina, como tambien lo hizo Calderon, para conocer las diferentes Secciones Conicas. En la siguiente actividad, se le facilita a los estudiantes fotocopias con las figuras para que realicen mediciones y deduzcan propiedades. En la tercera se estudia la parabola por medio de chorros de agua que se generan con ayuda de una manguera, en diferentes angulos, toman fotografias y analizan simetrias; tambien identifican las Secciones Conicas sosteniendo una linterna para formar un area iluminada en el suelo. Finalmente, los grupos utilizaron el programa Graph para representar Secciones Conicas centradas en el origen, y luego hicieron cambios en las ecuaciones para generar desplazamientos de las figuras. La autora senala que dicho software permite integrar la tecnologia con el proceso de modelacion al realizar procedimientos de visualizacion acompanados de medicion, verificacion de propiedades y traduccion del lenguaje grafico al algebraico y viceversa (Perez, 2012).

Ramirez (2013) realizo una propuesta en la que hace un recorrido historico por las Secciones Conicas desde sus origenes, incluyendo distintos enfoques teoricos y practicos que fueron utilizados en su tratamiento, para luego presentar un analisis didactico de un texto escolar aportando nuevas ideas para el abordaje del tema, con ayuda de los programas Winplot y Geogebra. En Winplot se construyeron conos y planos para visualizar, mediante intersecciones, las diferentes Secciones Conicas. Del libro de texto se extraen algunos ejercicios que se resuelven mediante analisis, pero que se visualizan graficamente con ayuda de Geogebra. El autor senala que un tratamiento mas tradicional o clasico que innovador, pero con la insercion de nuevas herramientas como el software de geometria dinamica, promueven un mejor entendimiento y construccion de conceptos, a la vez que invitan a la exploracion, en busqueda de propiedades y caracteristicas singulares de cada conica o de sus elementos, tambien destaca que la utilizacion de las TICs en la resolucion de problemas geometricos (y analiticos) facilita la interpretacion y afianza la relacion del estudiante con el conocimiento (Ramirez, 2013).

De esta manera, entre diversidad de opciones y con las potencialidades de cada una, se seleccionaron el doblado de papel y las TICs como elementos basicos para una estrategia de trabajo colaborativo en matematicas, especificamente para el contenido de Secciones Conicas. Con esto, se esperaba estimular el razonamiento y explotar las propiedades visuales y experimentales durante el estudio del tema, asi como crear una clase que permita intercambiar ideas en un ambiente libre de competencia, seguro, estimulante y, con una coordinacion adecuada, se logre crear un espacio abierto y de confianza en los que los estudiantes se vean motivados a especular, innovar, preguntar y comparar ideas conforme resuelven problemas, segun a como ha sido reportado (Vicerrectoria Academica Instituto Tecologico y de Estuidos Superiores de Monterrey [ITESM], 2000).

II. ESTRATEGIA DIDACTICA

Contexto

La experiencia de la incorporacion del aprendizaje colaborativo, doblado de papel y TICs en la ensenanza de las Secciones Conicas se realizo con un grupo de treinta estudiantes del curso Calculo II (MA1002), que corresponde a una materia de servicio de la Escuela de Matematica de la Universidad de Costa Rica. Este curso forma parte del curriculo de estudiantes de las carreras de Ingenieria, Ensenanza de las Ciencias, Quimica, Fisica y Geologia. En los planes de estudio, el curso se encuentra en el segundo ciclo del primer ano o el primer ciclo del segundo ano. Los conocimientos previos con los que cuentan los estudiantes son los adquiridos en el curso Precalculo y Calculo I. Los conceptos que los estudiantes deben utilizar para el abordaje del tema de Secciones Conicas son de algebra y geometria basica. Para el desarrollo de las diferentes actividades, los estudiantes se organizaron en grupos de tres personas, debido a la disposicion de los computadores en el laboratorio. Ademas, se conto con una guia de trabajo general para cada una de las actividades realizadas.

Actividades de introduccion

A modo de introduccion al tema de Secciones Conicas, se presentaron aplicaciones concretas de las mismas mediante las Leyes de Kepler, que describen el movimiento de los planetas en sus orbitas elipticas, y la trayectoria de cometas en torno al sol, las cuales se modelan mediante elipses, parabolas o hiperbolas. Al mismo tiempo, se presentaron las Secciones Conicas como la interseccion de un cono de dos mantos y un plano. Para ello, la guia de trabajo contaba con instrucciones para que, en el programa Geogebra, los estudiantes pudieran realizar una representacion tridimensional y manipular la posicion del plano por medio de deslizadores, con lo cual visualizaron los diferentes cortes. La construccion se realizo con los modulos automaticos disponibles en el programa, iniciando por el cono, luego un plano (con un punto dependiente de un deslizador) y finalmente la interseccion de superficies.

Deduccion de las Secciones Conicas en el plano

Una estrategia basada en el doblado de papel fue usada para la generacion de las Secciones Conicas en el plano. Para ello, se les explico rapidamente los diferentes axiomas de esta geometria (Cuadro 1). Se entregaron hojas delgadas, regla, escuadra y la guia de trabajo con las instrucciones de como realizar los dobleces para obtener cada curva. Dichas instrucciones fueron las presentadas por Santa y Jaramillo (2010).

Deduccion de propiedades geometricas y ecuacion canonica

Con el fin de determinar las caracteristicas geometricas en las Secciones Conicas, la guia de trabajo incluyo instrucciones para que los estudiantes tomaran medidas con regla en las figuras construidas, y pudieran deducir la definicion de las Secciones Conicas como lugar geometrico. Por ejemplo, en el caso de la elipse, se solicito a los estudiantes seleccionar un punto de la misma, medir su distancia a cada uno de los focos y sumarlas, lo mismo para cualquier otro punto de la elipse, con el fin de que conjeturaran que dicha cantidad es constante (tomando en consideracion un cierto margen de error). Posteriormente se visualizo esa misma propiedad haciendo uso del programa Geogebra: Con la guia del docente, lo estudiantes utilizaron los modulos de creacion automatica de Secciones Conicas para crear la elipse, agregaron un punto cualquiera sobre ella y el programa calculo la distancia a los focos. Manualmente se incluyo un parametro obtenido como la suma de la distancias de dicho punto a los focos. Moviendo el punto sobre la elipse, verificaron con detalle las conjeturas realizadas en papel. De manera analoga se dedujeron las definiciones geometricas para las Secciones Conicas restantes. A continuacion, usando la definicion de distancia y las observaciones realizadas en papel y en el software, el docente explico la deduccion de la ecuacion de la elipse y posteriormente se solicito a los estudiantes realizar el proceso para la parabola y la hiperbola de forma analoga.

Construccion de Secciones Conicas a partir de elementos dados

Se utilizo el programa Winlab y la guia de trabajo para obtener la ecuacion canonica de las Secciones Conicas a partir de elementos geometricos dados (focos, vertices, centro o directriz, segun corresponda). Para ello, en la plataforma bidimensional del programa se asignaron los elementos geometricos con los modulos de "Conicas" y luego, sin graficar, se realizaron los analisis visuales para determinar el tipo de conica, determinar parametros (coordenadas, semiejes, distancias) y finalmente establecer manualmente la ecuacion. La construccion de la grafica con dichos elementos y la obtencion automatica de la ecuacion se realizo posterior a la obtencion manual, de manera que sirvio para validar la solucion obtenida.

Generacion de solidos de revolucion a partir de Secciones Conicas

Con el objetivo de visualizar mas aplicaciones de las Secciones Conicas, se hizo una introduccion al concepto de solidos de revolucion. Posteriormente, cada uno de los grupos genero este tipo de superficies a partir de las Secciones Conicas con ayuda del programa Mathematica y un codigo de programacion preestablecido. A partir de esto, se usaron las superficies obtenidas para referirse a aplicaciones concretas, como lo es el elipsoide WGS84 que representa el planeta tierra, usado por topografos y geologos, y su aplicacion para la descripcion de trayectorias alrededor del planeta. Ademas se presento el ejemplo de la construccion del puente hiperbolico en calle Corporation en Manchester (Inglaterra) y el uso de las propiedades del paraboloide en el caso de una cocina solar parabolica, misma que es usada en la poblacion de Isla Venado, Costa Rica.

III. RESULTADOS Y DISCUSION

La propuesta didactica presentada para el estudio de las Secciones Conicas se fundamenta en el aprendizaje colaborativo, mediado con actividades de doblado de papel y TICs. El aprendizaje colaborativo busca generar el aprendizaje mediante la interaccion grupal con base en la seleccion de una actividad o problema, la organizacion de los estudiantes en pequenos grupos de acuerdo con la tarea y planeacion del trabajo por realizar, la ejecucion de las acciones, la supervision del trabajo y el ofrecimiento de asesoria puntual (Tobon, 2007).

La implementacion se ha realizado en Calculo II, un curso de matematica universitaria inicial, y de forma gradual a lo largo de 4 anos. Dado que el aprendizaje colaborativo es el hilo conductor de la propuesta, los estudiantes logran explorar, discutir y deducir propiedades y ecuaciones de las figuras, tomando un papel protagonico en su proceso de aprendizaje, y dejando al docente la labor de guia durante todo el proceso.

Entre las actividades que se deben realizar en cada uno de los grupos, el doblado de papel se usa para visualizar y conjeturar algunos conceptos geometricos mediante la manipulacion de materiales concretos y, con la utilizacion de las TICs, se permite la comprobacion o extension de conjeturas, resolucion de ejercicios complejos y una manipulacion detallada, entre otros.

La estrategia comienza con el reconocimiento de algunas aplicaciones de las Secciones Conicas, las cuales se refieren al uso de las leyes de Kepler (Figura 1-A) y la trayectoria de cometas alrededor del sol (Figura 1-B). Ademas, con ayuda del programa Geogebra se generan la circunferencia, elipse, parabola e hiperbola a partir de la interseccion de un cono de dos mantos y un plano (Figura 1-C). En este caso, la manipulacion lograda con el programa permite apreciar desde todos los angulos las diferentes curvas obtenidas por la interseccion del cono y el plano, lo cual da el valor de la visualizacion como elemento clave para la interiorizacion de conceptos basicos, la generacion de conjeturas y estudios de casos (Gatica y Ares, 2012).

Posteriormente, se utilizo la tecnica de doblado de papel, basada en axiomas de esta geometria, para que los estudiantes puedan construir las Secciones Conicas, tomar mediciones y deducir su definicion como lugar geometrico. En la Figura 2 se aprecia como surgen la elipse, la hiperbola y la parabola con el doblado de papel. Esta propuesta ya ha sido explorada anteriormente y se le ha brindado valor como elemento de empoderamiento por parte del estudiante en la construccion del concepto, ademas de permitir el establecimiento de conexiones complejas, pues la obtencion en el plano o de forma bidimensional es contrastada con la obtencion tridimensional por el cono y el plano (Santa y Jaramillo, 2010) (Calderon, 2013). Adicionalmente, las curvas en papel y el estudio de propiedades geometricas es contrastada con la geometria dinamica, al hacer uso del programa Geogebra, que permite el reconocimiento de las caracteristicas de cada una de las Secciones Conicas, de forma mas general, para diversidad de puntos y sin margenes de error en las mediciones (Figura 3-A). Ademas, esa informacion fue usada de forma directa para la deduccion de las ecuaciones cartesianas, en el que se da la interconexion de la geometria y el algebra para el estudio del mismo objeto. Por facilidad y sin perdida de generalidad, se consideraron Secciones Conicas con centro en el origen para los analisis algebraicos (Figura 3-B).

Para la obtencion de las ecuaciones canonicas de las Secciones Conicas a partir de puntos de la curva, focos y directriz, se uso el programa Winlab. Inicialmente, con una integracion de la visualizacion, el conocimiento de las propiedades geometricas y la ecuacion canonica general, se obtuvieron manualmente los parametros especificos del ejemplo y luego se establecio la grafica como comprobacion, asi como la obtencion de la ecuacion con el software (Figura 4-A). Esta integracion fue de gran valor para retomar los multiples conceptos y establecer elementos esenciales que permiten diferenciar geometrica (disposicion de puntos, focos o vertices) o algebraicamente (presencia de elementos cuadraticos o signos) las diferentes Secciones Conicas.

Finalmente, para extender las posibles aplicaciones en el espacio tridimensional y brindar conocimiento adicional, se uso el programa Mathematica para la obtencion de superficies de revolucion y se explicaron las caracteristicas basicas (Figura 4-B). Ese nuevo conocimiento fue usado para presentar aplicaciones concretas de superficies tridimensionales y en las que las caracteristicas (equivalentes a las conicas) son explotadas, como por ejemplo: (i) el modelado del planeta Tierra en el area de la Geodesia y su uso para el estudio de trayectorias alrededor del planeta (Figura 5-A); (ii) el puente hiperbolico en calle Corporation en Manchester-Inglaterra como aplicacion en la arquitectura e ingenieria (Figura 5-B), y (iii) la cocina solar parabolica usada por la poblacion que vive en Isla Venado (Costa Rica) y que usa las propiedades de reflexion de la luz a un foco.

Estos ultimos ejemplos son de vital importancia para contextualizar la matematica, lo cual es una tarea regularmente pendiente en el curriculo. La presentacion de casos concretos en areas profesionales permite al estudiante dar importancia al contenido en su formacion, logrando que se compensen las ideas generalizadas sobre aplicaciones nulas o poco reales de la matematica en el mundo real o profesional (Molina, 2015). Ademas, la presentacion de diferentes formas de aplicaciones logra generar competencias matematicas asi como una vision, reflexion y exploracion diferente del uso de la matematica dadas las necesidades de la sociedad (Perez, 2012). Esto es congruente con el paradigma del trabajo colaborativo, en las que no existe una unica respuesta correcta, sino que hay diversas maneras de llegar al resultado y para ello los estudiantes deben compartir y llegar a acuerdos, hecho que les ayuda a ser mas autonomos y maduros social e intelectualmente (Marin-Juarros et al., 2014).

Por otra parte, posterior a la finalizacion de actividades, se realizo una evaluacion a los estudiantes participantes para determinar su apreciacion con respecto al trabajo colaborativo, las actividades de doblado de papel y uso de las TICs. Los resultados de dicha encuesta se presentan en la Figura 6. En la encuesta se solicito a los estudiantes indicar su nivel de acuerdo o desacuerdo en diversos topicos, como lo son la suficiencia de los conocimientos previos para el desarrollo de las actividades, el papel del docente, la claridad de la guia de trabajo impresa, la interaccion con los companeros en funcion de la formulacion de conjeturas, discusion y comprension de los contenidos, la pertinencia del aprendizaje colaborativo en general y del doblado de papel y uso de las TICs especificamente, asi como la utilidad de los contenidos en su area de estudio.

Como puede observarse en la Figura 6, la mayoria de los estudiantes se mostro muy de acuerdo o de acuerdo con las afirmaciones que fueron proporcionadas, lo cual evidencia un alto grado de satisfaccion con la propuesta. A parte de esto, algunos estudiantes manifestaron haberse sentido comodos al interactuar con sus companeros y disfrutaron tener un papel protagonico en la construccion de su conocimiento, pues, como ellos mismos indicaron, es una forma no tradicional de apropiarse de los contenidos.

Es asi como se evidencia que la propuesta implementada ha permitido que los estudiantes se involucren socialmente en la construccion del conocimiento referente al estudio de las Secciones Conicas, asi como la adquisicion de criterios para gestionar dicho contenido, reconocer y validar sus propias ideas con los demas y validar las ideas de pares, generar ideas del colectivo como aporte de cada individual y adoptar nuevas perspectivas como consenso grupal. Desde la perspectiva del docente, las principales ventajas derivadas del uso de estrategias de aprendizaje colaborativo llevan al desarrollo y mejora continua de las competencias del docente para ejercer el apoyo y acompanamiento responsables y creativos (Calzadilla, 2002). Entre las limitaciones de la propuesta se destaca el acceso que pueden tener los estudiantes a una computadora o a los programas utilizados fuera del horario del curso, y la gran cantidad de tiempo que requiere la implementacion de las distintas actividades.

En el caso de la axiomatica del doblado de papel, se pueden seguir proponiendo estrategias didacticas para la construccion de cada seccion conica y su definicion como lugar geometrico, y que se complementen con las actividades TICs para una mejor visualizacion y comprobacion de conjeturas. En este sentido, se resalta la idea de que las competencias matematicas no se alcanzan por generacion espontanea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia mas y mas complejos (Perez, 2012). Por lo tanto, se intenta colocar a los participantes del proceso educativo en una situacion de mutuo aprendizaje y de construccion del pensamiento matematico.

IV. CONCLUSIONES

Se presento una experiencia de la integracion del aprendizaje colaborativo para el estudio de las Secciones Conicas, en el cual se involucro el doblado de papel y las TICs como medio para la formulacion de conjeturas, deduccion de propiedades y reconocimiento de aplicaciones un curso de Calculo intermedio, logrando un papel protagonico por parte del estudiante en la construccion de su conocimiento. Sin embargo, el estudio no es de caracter inferencial, sino que pretende describir la estrategia que se ha implementado.

Se comprobo que el trabajo en equipo, la manipulacion de materiales concretos, como es el caso del doblado de papel y la toma de medidas en las figuras, asi como el uso de herramientas tecnologicas, contribuyen a la visualizacion espacial, la comprobacion de conjeturas y la deduccion de propiedades que permiten al estudiante no solo comprender a profundidad los conceptos que aplicara en la resolucion de ejercicios, sino tambien adentrarse en el estudio de las Secciones Conicas para resolver problemas y reconocer aplicaciones de las mismas en la vida cotidiana, lo cual genera motivacion en el estudiantado. Todo esto en un marco de colaboracion entre pares que modela el trabajo de los profesionales en el campo en el cual se desarrollan. En conjunto, las diferentes actividades planteadas en la estrategia buscan integrar los contextos, los tipos de pensamiento con los conceptos, su representacion, visualizacion y formacion de conjeturas a fin de dar paso a procesos generales de la actividad matematica.

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Alejandra Alvarado Alvarado (1) y Jose Arturo Molina Mora (1) ([cruz doble]).

(1) Escuela de Matematica, Universidad de Costa Rica.

Recibido: 22/Jun/2017; Aceptado: 17/Oct/2018

([cruz doble]) Autor para correspondencia: JOSE.MOLINAMORA@ucr.ac.cr

Leyenda: Figura 1. Actividades de estudio general de la elipse como introduccion al estudio de las Secciones Conicas.

Leyenda: Figura 2. Construccion de Secciones Conicas por doblado de papel (Santa y Jaramillo, 2010).

Leyenda: Figura 3. Caracterizacion de propiedades geometricas y algebraicas de la elipse.

Leyenda: Figura 4. Utilizacion de programas especializados para la construccion de Secciones Conicas y superficies de revolucion asociadas.

Leyenda: Figura 5. Aplicaciones de superficies de revolucion asociadas a las Secciones Conicas.

Leyenda: Figura 6. Valoracion realizada por los estudiantes respecto a estrategia implementada con trabajo colaborativo, doblado de papel y TICs.
Cuadro 1. Axiomas de la geometria del doblado de papel

Axiomas de la geometria
del doblado de papel        Explicacion                      Dibujo
                                                             (Lineas p
                                                             represen-
                                                             tan
                                                             dobleces)

AXIOMA #1: Dados dos        El doblez representa a la        [expresion
puntos distintos            unica recta que contiene a dos   matematica
[P.sub.1] y [P.sub.2],      puntos distintos [P.sub.1] y     irreprodu-
existe un unico doblez      [P.sub.2] dados.                 cible]
que pasa a traves de
ellos.

AXIOMA #2: Dados dos        El doblez representa a la        [expresion
puntos distintos            mediatriz de                     matematica
[P.sub.1] y [P.sub.2],      [bar.[P.sub.1][P.sub.2], es      irreprodu-
existe un unico doblez      decir, la unica recta            cible]
que lleva a [P.sub.1]       perpendicular a
sobre [P.sub.2].            [bar.[P.sub.1][P.sub.2] que
                            contiene a su punto medio

AXIOMA #3: Dados dos        Si [L.sub.1] es paralela a       [expresion
dobleces distintos          [L.sub.2], entonces se hace      matematica
[L.sub.1] y [L.sub.2],      referencia a una paralela que    irreprodu-
existen dos dobleces o un   equidista de los dos dobleces.   cible]
doblez que pone a           El doblez en este caso seria
[L.sub.1] exactamente       unico. Si [L.sub.1] no es
sobre [L.sub.2].            paralela a [L.sub.2], entonces
                            se hace referencia a la
                            bisectriz del angulo que
                            forman los respectivos
                            dobleces al intersecarse. Si
                            estos se intersecan en la hoja
                            de papel, se pueden encontrar
                            dos dobleces. Si estos no se
                            intersecan en la hoja de
                            papel, existen los dos
                            dobleces, pero uno de ellos
                            esta por fuera de la hoja.

AXIOMA #4: Dado un doblez   El doblez representa a la        [expresion
[L.sub.1] y un punto        unica perpendicular a una        matematica
[P.sub.1], existe un        recta dada, que contiene a un    irreprodu-
unico doblez que pone       punto dado, el cual puede ser    cible]
[L.sub.1] sobre si misma    exterior o pertenecer a la
y pasa por [P.sub.1]"       recta.

AXIOMA #5: Dados un         El punto [P.sub.2] se mantiene   [expresion
doblez [L.sub.1] y dos      fijo, mientras que [P.sub.1]     matematica
puntos distintos            debe recorrer una trayectoria    irreprodu-
[P.sub.1] y [P.sub.2], se   circular hasta coincidir con     cible]
puede encontrar un          un punto que pertenezca a
doblez, dos dobleces o      [L.sub.1]; luego, [P.sub.2] es
ningun doblez, si se        el centro de una
lleva el punto [P.sub.1]    circunferencia hipotetica de
sobre [L.sub.1] y se        radio [bar.[P.sub.1][P.sub.2].
garantiza que el doblez
pase por [P.sub.2]"

                             En la busqueda del doblez, se
                             presentan entonces tres
                             posibilidades de acuerdo
                             con las posiciones relativas
                             de la circunferencia y el
                             doblez [L.sub.1]: que e
                             doblez sea secante, sea
                             tangente o que simplemente no
                             interseque a la
                             circunferencia.

AXIOMA #6: Dados dos        La cantidad de dobleces          [expresion
dobleces [L.sub.1] y        depende de las posiciones        matematica
[L.sub.2] y dos puntos      relativas de los dobleces        irreprodu-
[P.sub.1] y [P.sub.2]       y de los puntos.                 cible]
exteriores a [L.sub.1] y
[L.sub.2]
respectivamente, se puede
encontrar un doblez, dos
dobleces, tres dobleces o
ningun doblez, si se pone
el punto [P.sub.1] sobre
el doblez [L.sub.1] y a
su vez, el punto
[P.sub.2] sobre el doblez
[L.sub.2].

AXIOMA #7: Dados dos        Si los dobleces [L.sub.1] y      [expresion
dobleces [L.sub.1] y        [L.sub.2] son paralelos, no      matematica
[L.sub.2] y un punto        es posible encontrar el          irreprodu-
[P.sub.1] exterior a        doblez. Si los dobleces          cible]
[L.sub.1], se puede         [L.sub.1] y [L.sub.2] no
encontrar un doblez o       son paralelos,existe un
ningun doblez, que sea      unico doblez.
perpendicular a [L.sub.2]
y que ponga el punto
[P.sub.1] sobre el doblez
[L.sub.1]. el doblez
[L.sub.1].
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Author:Alvarado Alvarado, Alejandra; Molina Mora, Jose Arturo
Publication:Ciencia y Tecnologia
Date:Jul 1, 2018
Words:6601
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