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Diseno e implementacion de controladores analogos para un seguidor solar.

Design and implementation of analog controllers for a solar tracker

Introduccion

Los requerimientos de la vida moderna estan originando que la humanidad sea mas dependiente de los recursos energeticos empleados en iluminacion, refrigeracion, calefaccion y transporte. Lo anterior ha traido un alto consumo de combustibles fosiles ocasionando una aceleracion del calentamiento global del planeta, una elevacion del nivel de los oceanos y un agotamiento de las reservas de combustibles fosiles [1].

Los problemas de contaminacion, riesgo y deterioro del medio ambiente son el motivo por el cual es importante buscar fuentes alternativas de energia a la nuclear y la derivada de combustibles fosiles.

Los sistemas de energia solar aprovechan la radiacion solar incidente sobre la tierra para generar energia electrica o calefaccion. El aprovechamiento de la energia solar presenta ciertas dificultades sobre las cuales se esta investigando para lograr de forma adecuada su aprovechamiento [1].

En Colombia existen muy pocos ejemplos de aplicaciones de energia solar, estos desarrollos se dieron durante la crisis energetica de los anos ochenta. Esta crisis energetica resulta ser un llamado de alerta para la investigacion en fuentes alternas de energia que puedan ser aprovechadas en el pais. Particularmente Colombia posee buena localizacion geografica para la explotacion de energia solar [1].

En los sistemas de aprovechamiento de energia solar es de gran importancia tener la capacidad de realizar un seguimiento adecuado del sol, con la finalidad de poder adquirir la maxima cantidad de radicacion en todo momento del dia [2]-[4].

Sobre las tecnicas empleadas, comunmente para los sistemas de seguimiento solar se tiene: control on-off [5], control analogo [5], control difuso [6] y redes neuronales [7].

[FIGURA 1 OMITIR]

En este articulo se muestra el diseno e implementacion de diferentes controladores analogos para un seguidor solar. Los controladores analogos implementados son del tipo on-off proporcional y un compensador, el cual es optimizado mediante algoritmos bioinspirados.

1. Seguidor solar

La configuracion fisica del seguidor solar puede apreciarse en la figura 1.

Un modelo lineal para este sistema resulta al considerar un motor D.C. acoplado con una inercia [J.sub.e] en la presencia de friccion [B.sub.e].

Para realizar el modelo del sistema se considera inicialmente la parte electrica y posteriormente la parte mecanica.

[FIGUA 2 OMITIR]

1.1 Parte electrica

El motor es una parte fundamental del modelo dinamico puesto que este proporciona el torque necesario para que el reflector parabolico gire. La figura 2 muestra el aspecto fisico del motor como tambien el diagrama electrico.

Para este modelo inicialmente se tiene que el torque del motor es proporcional a la corriente de armadura, tal como se presenta en la siguiente ecuacion:

[T.sub.M] = [K.sub.t][i.sub.a] (t) (1)

La fuerza contra-electromotriz es proporcional a la velocidad angular del motor segun la ecuacion (2).

e(t) = [K.sub.e][omega](t) (2)

Por otro lado, al realizar el respectivo balance de energia del esquema electrico se tiene:

[V.sub.a](t) = [V.sub.R](t) + [V.sub.L](t) + e(t)

[V.sub.a] (t) = [R.sub.a][i.sub.a] (t) + [L.sub.a] [di.sub.a](t)/di + e(t)

[V.sub.a] (t) - e(t) = [R.sub.a][i.sub.a] (t) + [L.sub.a] [di.sub.a](t)/di (3)

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (3)

1.2 Parte mecanica

El modelo de esta parte se obtiene si se realiza la sumatoria de torques presentes en el rotor del motor. La figura 3 muestra el esquema propuesto para la parte mecanica del seguidor solar.

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (4)

Donde:

[J.sub.e] = [J.sub.m]/[N.sup.2] + [J.sub.r]; [B.sub.e] = [B.sub.m]/[N.sup.2] + [B.sub.r] (5)

[FIGURA 3 OMITIR]

Aplicando transformada de Laplace para las ecuaciones (1)-(4) se tiene la funcion de transferencia:

[THETA](S)/[V.sub.a](S) = [k.sub.t]/[k.sub.t], [k.sub.e]S + ([L.sub.a]S + [R.sub.a]) ([J.sub.e]S+ [.B.sub.e])s (6)

1.3 Modelo simplificado

Para el sistema en consideracion, la parte mecanica presenta tiempos de respuesta mas lentos que la componente electrica. Por lo anterior es posible considerar como dominante la parte mecanica de forma que se obtiene un modelo simplificado de primer orden con un integrador [5].

G(s) = [K.sub.m]/S([.J.sub.e]S + [.B.sub.e]) (7)

Por otra parte, la medicion de los parametros del modelo puede ser un proceso poco practico por la dificultad tecnica que esto involucra, por lo tanto, se lleva a cabo una identificacion de parametros del modelo simplificado mostrado en la figura 4.

[FIGURA 4 OMITIR]

1.4 Parametros del modelo

Tal como se menciono anteriormente el modelo considerado del sistema es:

G(s) = K/s([tau]s + 1) (8)

Para este tipo de sistema el parametro K puede obtenerse como la relacion de la entrada y la salida en estado estable, para el caso es:

K = [DELTA][omega]/[DELTA][V.sub.a] (9)

Donde [omega] es la velocidad angular. Con un voltaje de 12 V los tiempos gastados por el sistema para recorrer un angulo de [pi]/2 se relacionan en la siguiente tabla.

La velocidad promedio del sistema fue de 0,06 rad/s, para una alimentacion de 12 V, por lo tanto el valor del parametro K es de 0,005 rad/(Vs).

Por otro lado, el parametro [tau] puede determinarse como la cuarta parte del tiempo de establecimiento del sistema. Los tiempos de establecimiento del sistema para diferentes mediciones pueden apreciarse en la tabla 2.

En promedio el tiempo de establecimiento del sistema es de 1,53 s, por lo tanto el parametro [tau] es de 0,38 s. Finalmente el modelo de la planta es:

G(s) = 0,005/s(0,38 s+1) (10)

2. Controladores

En la presente seccion se muestran los controladores implementados, los cuales consisten en un control on-off, un control proporcional y un compensador del tipo cero, polo y ganancia. Originalmente el seguidor presentaba el sistema de control on-off, por lo cual se elaboraron disenos adicionales para mejorar su funcionamiento.

2.1 Control on-off

Una primera estrategia de control implementada se basa en la diferencia de voltaje que se tiene sobre un arreglo de dos sensores, que en este caso son fotorresistencias. En la figura 5 puede apreciarse el diagrama para este arreglo de sensores como tambien su disposicion fisica.

Con este tipo de controlador se obtiene una accion de tipo todo o nada sobre el motor, es decir, que se conecta y desconecta dependiendo de la informacion suministrada por el sensor. El circuito consta de un amplificador operacional conectado como inversor donde se presenta una referencia dada por el divisor resistivo que se encuentra en su entrada no inversora. La etapa potencia es manejada por cuatro transistores, los cuales permiten el encendido y apagado del motor con la opcion de inversion de giro. El circuito empleado para el control on-off puede apreciarse en la figura 6.

[FIGURA 5 OMITIR]

[FIGURA 6 OMITIR]

En este caso, el circuito genera una ventana de umbral permitiendo que el sistema se estabilice en un rango correspondiente a la diferencia de iluminacion presente en los sensores.

El circuito consta de un ajuste de referencia correspondiente al potenciometro de 1 K (R) y un ajuste de ganancia, la cual esta dada por el potenciometro de 100 K (K). La localizacion fisica de los anteriores potenciometros puede apreciarse en la figura 7.

[FIGURA 7 OMITIR]

2.2 Control proporcional

El diseno propuesto para implementar el control proporcional cuenta con un acople de impedancia, el cual toma la senal entregada por el sensor y la suministra a un amplificador inversor que la amplifica para luego ser entregada a la etapa de potencia. Adicionalmente, se cuenta con un circuito que genera un voltaje de referencia para los amplificadores operacionales con el fin de lograr una accion proporcional sobre el motor sin necesidad de emplear una fuente dual. El circuito implementado para el control proporcional puede apreciarse en la figura 8.

[FIGURA 8 OMITIR]

[FIGURA 9 OMITIR]

La implementacion de este controlador consta de un ajuste de referencia correspondiente al potenciometro de 1 K (R) y un ajuste de ganancia de amplificacion, el cual esta dado por el potenciometro de 100 K (K). La localizacion fisica de los anteriores potenciometros puede apreciarse en la figura 9.

El valor de K se escoge de tal forma que no se tenga una saturacion del sistema superior al 10 % para una referencia de 0[grados] a 30[grados], con un voltaje maximo de 6 V. Considerando lo anterior se toma K = 11.

2.3 Controlador cero polo y ganancia

El compensador de cero, polo y ganancia se implementa mediante el circuito mostrado en la figura 10. En este caso, al circuito del controlador proporcional se le adiciona un amplificador operacional en modo de inversor, el cual consta de dos impedancias compuestas por resistencias y condensadores. Estas impedancias permiten tener un polo y un cero en la funcion de transferencia del controlador.

[FIGURA 10 OMITIR]

La funcion de transferencia del compensador esta dada por la ecuacion (11).

C(s) [R.sub.4]/[R.sub.3] [C.sub.1](s + 1/[R.sub.1][C.sub.1])/[C.sub.2](S + 1/[R.sub.2][C.sub.2]) = [R.sub.4]/[R.sub.3] [R.sub.2]([R.sub.1][C.sub.1]s + 1)/[R.sub.1]([R.sub.2][C.sub.2]s + 1) (11)

El circuito implementado del compensador puede apreciarse en la figura 11. En este caso se emplea parte del controlador proporcional para la implementacion del compensador, lo cual permite ahorrar componentes y espacio.

3. Optimizacion bioinspirada

La naturaleza es una fuente de inspiracion para el planteamiento de soluciones en ingenieria, especialmente en optimizacion. Un ejemplo de optimizacion presente en la naturaleza se aprecia cuando animales o seres vivos con mejores tecnicas para la busqueda de alimento desarrollan una mayor posibilidad de sobrevivir [8].

[FIGURA 11 OMITIR]

Una de las tecnicas de optimizacion bioinspirada se basa en el comportamiento de las hormigas [9]-[11]. Tambien las colonias de abejas sirven de inspiracion para solucionar problemas de busqueda y exploracion [12].

Otra de las tecnicas de optimizacion inspirada en la biologia consiste en el comportamiento presentado por seres unicelulares como las bacterias al momento de buscar el alimento. Lo anterior es fundamento para la optimizacion basada en quimiotaxis bacteriana, siendo la bacteria E. coli de las mas estudiadas [8]. Por otro lado, los algoritmos geneticos y la evolucion diferencial buscan emular el proceso que desarrolla la naturaleza al mejorar una especie a lo largo del tiempo [13]. Otros algoritmos de optimizacion se basan en el comportamiento de enjambres de animales como aves y peces, lo que da origen a la optimizacion centrada en enjambres de particulas.

3.1 Algoritmo de optimizacion basado enjambres

El concepto de optimizacion basada e n enjambres de particulas fue propuesto por James Kennedy y Russell Eberhart, quienes desarrollaron un algoritmo de busqueda a partir del comportamiento social de bandadas de aves [14]. Bajo esta orientacion el objetivo principal de estudiar el comportamiento colectivo de los animales es encontrar un eficiente y simple algoritmo de optimizacion. El algoritmo basico de optimizacion basada en enjambres de particulas (PSO, Particle Swarm Optimization) es el siguiente:

1. Inicializar el enjambre en el espacio solucion.

2. Evaluar el desempeno de cada individuo (fitness).

3. Encontrar el mejor desempeno individual y colectivo.

4. Determinar la velocidad de cada individuo.

5. Realizar el desplazamiento de cada individuo a la nueva posicion.

6. Repetir desde el segundo paso hasta tener convergencia o hasta cumplir algun criterio de finalizacion.

Un algoritmo basico PSO esta regido por las ecuaciones de velocidad y posicion. Para la velocidad de cada individuo se tiene:

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (12)

Para actualizar la posicion de cada particula se emplea la ecuacion (13).

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (13)

Donde i es el indice de caa individuo, n el indice de tiempo dis eto, [[??].sub.i] la velocidad del i-esimo individuo, [[??].sub.i] la posicion del i-esimo individuo, [P.sub.i] la mejor evaluacion encontrada por el i -esimo individuo, g la m or evaluacion encontrada por el enjambre, [[??].sub.pi] la mejor posicion encontrada por el i-esimo individuo, [[??].sub.g] la mejor posicion encontrada por el enjambre y, finalmente, [[beta].sub.1], [[beta].sub.2] son numeros aleatorios en el intervalo [0,1].

Un algoritmo PSO mas elaborado incorpora un factor de inercia para el calculo de la velocidad de la siguiente forma:

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (14)

Siendo [fi] una funcion de inercia y [[alfa].sub.1], [[alfa].sub.2] constantes de aceleracion.

3.2 Algoritmos geneticos

Esta tecnica de busqueda se basa en la forma como las especies evolucionan para adaptarse a su medio ambiente [13]. Los algoritmos geneticos (AG) con frecuencia son empleados en problemas con espacios de busqueda muy grandes y donde pueden presentarse multiples extremos locales. La eficiencia de los AG reside en su modo de operacion puesto que trabajan con criterios estocasticos derivados de la seleccion natural de las especies, los cuales son combinados con toma de decisiones deterministas proporcionando de esta forma la capacidad de evitar minimos locales [13].

Un aspecto importante sobre la implementacion de los algoritmos geneticos consiste en la respectiva codificacion utilizada para representar los individuos. Por lo general, la codificacion empleada consiste en secuencias binarias de la misma longitud.

El primer paso al desarrollar un AG radica en generar una poblacion inicial, comunmente de forma aleatoria. Luego se define un conjunto simple de operaciones que tomen esa poblacion inicial y generen poblaciones sucesivas que se espera sean mejores a medida que avanza el tiempo. Los operadores basicos en un AG simple son: elitismo, cruce y mutacion [13].

El elitismo es un proceso con el cual las cadenas individuales tienen la probabilidad de pasar a la siguiente generacion teniendo como criterio su desempeno. En el proceso de cruce se toma la codificacion de dos individuos y mediante criterios de seleccion estocasticos se combinan para generar nuevos individuos [13]. El proceso de mutacion consiste en cambiar parte de la codificacion de un individuo bajo algun criterio probabilistico.

Los pasos basicos involucrados en un algoritmo genetico son:

1. Generar la poblacion inicial de forma aleatoria.

2. Evaluar el desempeno de cada individuo (fitness).

3. Seleccionar los mejores individuos de forma probabilistica.

4. Aplicar el operador de elitismo de forma probabilistica.

5. Aplicar el operador de cruce de forma probabilistica.

6. Aplicar el operador de mutacion de forma probabilistica.

7. Bajo un criterio de parada detener el algoritmo o regresar al segundo paso.

3.3 Criterio de optimizacion

Cuando se realiza la optimizacion de sistemas de control pueden considerarse diferentes indices de control optimo, los cuales pueden ser [15]:

[EXPRESSION MATHEMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (15)

Considerando que la alimentacion del sistema se efectua mediante una bateria de 12 V, entonces, un indice de desempeno adecuado debe incorporar la informacion de la energia suministrada al sistema. Segun lo presentado en [5], [16], un indice de desempeno que incorpora la senal de error y la energia suministrada es:

J = [[integral].sup.T.sub.0] q[[e(t)].sup.2] + r[[u(t)].sup.2]dt (16)

Donde p, r [elemento de] [R.sup.+] son dos constantes que ponderan respectivamente el error y la accion de control. En el ambito computacional, el anterior indice de desempeno se aproxima como:

J(X) = [N.suma de (n=0)](q[[e(n,X)].sup.2] + r[[u(n,X)].sup.2]) (17)

Donde X es el conjunto de parametros del controlador, e(n, X) la senal de error, u(n, X) la energia suministrada, n es el indice de tiempo discreto y N corresponde al numero total de datos tomados.

3.4 Implementacion del proceso de optimizacion

Para llevar a cabo el proceso de optimizacion primero se crea una funcion en la cual se describe el sistema de control considerando el comportamiento dinamico de la planta y el controlador, incluyendo el lazo de realimentacion; esta funcion tiene como entrada los parametros del compensador y como salida la respuesta del sistema de control. Con los datos obtenidos del sistema de control se construye la funcion objetivo, la cual implementa el criterio de optimizacion seleccionado. Finalmente se realiza la optimizacion de la funcion objetivo empleando GA y PSO.

4. Resultados de optimizacion

Las poblaciones iniciales para GA y PSO se toman aleatorias con una distribucion uniforme de 0 a 200. Se realizan 20 corridas tanto para GA como para PSO. La implementacion de AG y PSO se realiza en Matlab mediante la herramienta especializada que este posee.

Los parametros considerados para el AG son:

* Generaciones: 100

* Poblacion: 20

* Factor de cruce: 0,8

* Elitismo: 5

* Factor de mutacion: 0,05

Los parametros del algoritmo PSO son:

* Numero de particulas: 20

* Velocidad maxima: 10

* Aceleracion constante: 20

* Inercia inicial y final: 0,9 y 0,6

* Epocas de entrenamiento: 100

4.1 Resultados

Los resultados para 20 ejecuciones de los algoritmos pueden apreciarse en la tabla 3. Los datos consignados en esta tabla corresponden al valor de la funcion objetivo.

4 .2 Analisis de resultados

Para determinar si existe una diferencia significativa en los resultados del proceso de optimizacion se establece una comparacion estadistica de dos grupos independientes. Para este fin se recurre a la opcion de pruebas parametricas y no parametricas dependiendo si se cumplen los supuestos de normalidad y homocedasticidad (igualdad de varianza) [17].

Como alternativa parametrica se tiene la prueba t de Student, para la cual deben comprobarse los supuestos de normalidad y de igualdad de varianza; en el caso de no cumplirse estos supuestos puede implementarse la prueba no parametrica de U Mann-Whitney, la cual es equivalente a la prueba de suma de rangos de Wilcoxon [17].

Para determinar si el grupo de muestras presenta normalidad se realiza la prueba de Kolmogorov-Smirnov y mediante la prueba de Levene se determina si los datos cumplen con el supuesto de homocedasticidad [17].

Las hipotesis para este caso son:

* Hipotesis nula (Ho): las diferencias observadas entre los metodos de optimizacion se deben al azar.

* Hipotesis alterna (Ha): los resultados de optimizacion, segun el metodo empleado, son diferentes.

Para aceptar o rechazar la hipotesis nula se considera el respectivo p-value que entrega la prueba. Considerando un nivel de significancia de 0,005 se tiene que para todo valor de probabilidad mayor que 0,05 se acepta Ho y se rechaza Ha.

Al realizar la prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov se obtiene un p-value de 0,0023 y un p-value de 0,000052434 para la prueba de homocedasticidad de Levene. Considerando lo anterior para comparar los resultados entregados por los dos algoritmos se implementa la prueba de suma de rangos de Wilcoxon, la cual entrega un p-value de 1.9177 x [10.sup.-7]. Este valor muestra que el resultado obtenido con los dos algoritmos es diferente, por lo cual se escoge la configuracion de parametros que entrego un mejor indice de desempeno. Segun lo anterior, la funcion de transferencia del controlador que se va a implementar es:

C(s) = 4 s + 284/s + 50 = 22,72 0,0035s + 1/0,02s + 14 (18)

Para la implementacion fisica del compensador se emplean condensadores de [C.sub.1] = [C.sub.2] = 470Fn. lo cual implica resistencias de [R.sub.1] = 749 K[OMEGA] y [R.sub.2] = 42,55 K[OMEGA], las cuales se ajustan con una resistencia fija de 6,8K[OMEGA] y un potenciometro 2K[OMEGA] para [R.sub.1] y para [R.sub.2] se emplea una resistencia fija de 39 K[OMEGA] y un potenciometro de 5K[OMEGA]. Considerando que el ajuste de la ganancia total se realiza mediante un amplificador inversor con resistencias de [R.sub.3] = 10 K[OMEGA] y [R.sub.4] = 40 K[OMEGA], entonces, para [R.sub.4] se emplea una resistencia fija de 39K[OMEGA] y un potenciometro de 5 K[OMEGA] (se puede constatar que ([R.sub.2] [R.sub.4])/([R.sub.1] [R.sub.3]) = 22,7236.

5. Resultados de los controladores implementados

Luego de llevar a cabo la implementacion fisica de los controladores disenados se obtienen los resultados mostrados en la figura 12. En ellos puede apreciarse que el controlador on-off presenta el menor tiempo de establecimiento; sin embargo, para el circuito implementado se observa un error en estado estacionario de cinco grados. Adicionalmente, es de apreciar que tanto el controlador proporcional como el compensador en atraso no tienen error en estado estacionario, ahora bien, el compensador en atraso presenta un tiempo de establecimiento menor que el controlador proporcional.

6. Conclusiones

En la practica los tres controladores implementados logran realizar el seguimiento deseado. El controlador on-off implementado presenta un tiempo de respuesta menor pero un mayor error en estado estacionario. El controlador proporcional y el compensador muestran comportamientos similares, sin embargo, el compensador evidencia un menor tiempo de respuesta que el controlador proporcional.

[FIGURA 12 OMITIR]

El analisis mostro que los resultados obtenidos con GA son estadisticamente diferentes a los obtenidos con PSO, esto debido a la diferencia de varianza de los resultados obtenidos para estos dos metodos.

Considerando que el modelo del seguidor solar presenta incertidumbres, en un trabajo futuro se puede realizar el diseno e implementacion de un controlador robusto.

Fecha de envio: julio de 2012

Fecha de recepcion: agosto de 2012

Fecha de aceptacion: marzo de 2013

Referencias

[1] F. Sierra, E. Caro, F. Mejia, Tecnologias para el aprovechamiento de la energia solar. Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 2008.

[2] S. Lakeou, E. Ososanya, O. Latigo, W. Mahmoud, G. Karanga, W. Oshumare, "Design of a low-cost digital controller for a solar tracking photo-voltaic (PV) module and wind turbine combination system", in 21st European Photovoltaic Solar Energy Conference. Dresden, Germany, 2006.

[3] Bill Lane. Solar Tracker. Department of Electrical and Computer Engineering Cleveland State University. Cleveland, Ohio. EEC 517. 2008. [En linea] disponible en http://www.8051projects.net/ e107_files/public/1242614085_16317_ FT0_using_pic_complete_tracker. pdfB. Lane, "Solar tracker", EEC 517, 2008.

[4] B. Plesz, P. Sagi, V. Timar-Horvath, "Enhancement of solar panels power generation by the usage of solar tracking", Proceedings of ECOpole, vol. 3, no 1, 2009.

[5] K. Ogata, Ingenieria de Control Moderna. 4a. ed. Madrid: Pearson Prentice Hall, Cuarta edicion, 2003.

[6] M. A. Panait, T. Tudorache, "A simple neural network solar tracker for optimizing conversion efficiency in off-grid solar generators", in International Conference on Renewable Energies and Power Quality, March. Bucharest, Romania, 2008.

[7] Y. J. Huang, B. C. Wu, C. Y. Chen, C. H. Chang, T. C. Kuo, "Solar tracking fuzzy control system design using FPGA", Proceedings of the World Congress on Engineering. Vol. I. London, U.K., july, 2009. [En linea] disponible en http:// www.iaeng.org/publication/WCE2009/ WCE2009_pp340-344.pdfIEEE, 2009.

[8] K. Passino, "Biomimicry of bacterian foragin for distributed optimization and control", IEEE Control Systems Magazine, june, 2002.

[9] M. Birattari, P. Pellegrini, M. Dorigo, "On the invariance of ant colony optimization", IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol. 11, no. 6, december, 2007.

[10] M. Dorigo, M. Birattari, T. Stutzle, "Ant colony optimization. Artificial ants as a computational intelligence technique", IEEE Computational Intelligence Magazine, november, 2006.

[11] A. C. Zecchin, A. R. Simpson, H. R. Maier, J. B. Nixon, "Parametric study for an ant algorithm applied. Water distribution system optimization", IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol. 9, no 2, april 2005.

Helbert E. Espitia *

Fabio E. Sierra **

* Ingeniero Electronico y Mecatronico, especialista en Telecomunicaciones Moviles, magister en Ingenieria Industrial, magister en Ingenieria Mecanica. Docente de la Univer sidad Distrital Francisco Jose de Caldas (Colombia). heespitiac@ udistrital.edu.co

** Ingeniero Mecanico, Esp. en Informatica, Esp. en Negocios Internacionales, magister en Automatizacion Industrial--Procesos Termicos, PhD. En Ingenieria--Energias Renovables--Biomasa--Energia Solar. Docente Universidad Nacional de Colombia. fesierrav@ unal.edu.co
Tabla 1. Velocidad angular del sistema

Tiempo    Velocidad angular

26,43 s    0,059432 rad/s
26,37 s    0,059567 rad/s
24,30 s    0,064641 rad/s
27,85 s    0,056402 rad/s

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 2. Tiempos de establecimiento del sistema

Medicion       1      2      3      4      5

Tiempo (s)   1.73   1.49   1.38   1.54   1.67

Medicion       6      7      8      9     10

Tiempo (s)   1.43   1.49   1.41   1.40   1.76

Fuente: elaboracion propia.

Tabla 3. Resultados de los algoritmos de optimizacion

Ejecucion     GA      PSO     Ejecucion     GA         PSO

1           5,1718     5,1245
2           5,2618     5,1268
3           5,1530     5,1373
4           5,1372     5,1305
5           5,4351     5,1277
6           5,2567     5,1302
7           5,1758     5,1305
8           5,1732     5,1266
9           5,2557     5,1355
10          5,2867     5,1359
11          5,1793     5,1277
12          5,1726     5,1320
13          5,2467     5,1254
14          5,1348     5,1301
15          5,1909     5,1314
16          5,1705     5,1358
17          5,5661     5,1385
18          5,3868     5,1333
19          5,2367     5,1278
20          5,1524     5,1309
Media       5,2372     5,1309
Varianza    0,0123   0,000016565

Fuente: elaboracion propia.
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Author:Espitia, Helbert E.; Sierra, Fabio E.
Publication:Vision Electronica
Date:Jan 1, 2013
Words:4195
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