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Development of didactical knowledge of a future mathematics teacher of 7th to 9th grade: the confrontation with the classroom in the preparation and analysis of mathematical modeling tasks/Desenvolvimento do conhecimento didatico de uma futura professora de matematica do 3. ciclo: o confronto com a sala de aula na preparacao e analise de tarefas de modelacao matematica.

1. INTRODUCAO

A pratica letiva e a reflexao sobre essa pratica constituem um binomio fundamental da formacao de professores (Menezes & Ponte, 2009; Ponte & Chapman, 2008; Viseu, 2008; Viseu & Ponte, 2012). A atividade que resulta dessa interacao e particularmente importante na formacao inicial de professores, porque corresponde, habitualmente, a primeira oportunidade em que os futuros professores confrontam a realidade da sala de aula com as suas teorias pessoais, tanto as que se formam por processos experienciais (enquanto alunos) como por processos de formacao de natureza estruturada ao longo do curso de formacao de professores. Estes processos formativos, que incluem conhecimentos de diversas areas disciplinares (em particular, da Matematica e da sua Didatica), trabalhados ao longo do curso, e tambem o conhecimento que resulta da pratica profissional, na situacao de estagio, interrelacionam-se para formar o conhecimento didatico do professor, donde se destacam o conhecimento do conteudo matematico e o conhecimento da pratica letiva. Esses dois tipos de saber refletem o conhecimento que o professor tem do curriculo e tambem o conhecimento que o professor tem da forma como os alunos aprendem (Ponte, 1999, 2012).

Na aprendizagem dos alunos, a atividade matematica, incluindo os processos de abstracao reflexiva, assume um papel decisivo (Sierspinska, 1998). Para que haja atividade matematica rica, que permita que os alunos resolvam problemas, raciocinem e comuniquem matematicamente, e fundamental que estes sejam confrontados com tarefas desafiantes (Canavarro, Oliveira & Menezes, 2012; Simon & Tzur, 2004). As tarefas de modelacao matematica, recorrendo a tecnologia, constituem exemplos de propostas didaticas que reunem essas carateristicas, incorporando uma forte componente experimental (Stein & Smith, 1998). A relevancia que este tipo de tarefas adquire nos documentos curriculares oficiais (Ministerio da Educacao, 2007), em publicacoes dirigidas a professores (por exemplo, Matos & Carreira, 1996) e a investigadores (Blum, Galbraith, Henn & Niss, 2007), faz com que os professores, em geral, e os futuros professores, em particular, devam conhece-las e experimenta-las, para poderem vir a integra-las nas suas praticas de ensino.

O estudo que aqui se apresenta surge na confluencia dessas duas vertentes: a formacao inicial de professores de Matematica e as tarefas de modelacao matematica enquanto recurso para a aprendizagem da Matematica. Em particular, este estudo tem como objetivo compreender o papel que uma experiencia de ensino, baseada na preparacao e analise de tarefas de modelacao, recorrendo a tecnologia, tem no desenvolvimento profissional de uma futura professora de Matematica, quando esta se encontra no seu ano de estagio profissional, numa escola portuguesa do 3. ciclo do ensino basico (EB). Com essa finalidade, este estudo propoe-se responder a questao: Como se desenvolve o conhecimento didatico (do conteudo matematico e da pratica letiva) de uma futura professora em resultado da sua participacao numa experiencia de ensino, durante o seu estagio profissional, com alunos do 3. ciclo do EB, baseada na utilizacao de tarefas de modelacao matematica com recurso ao uso de tecnologia?

2. CONHECIMENTO DO PROFESSOR E PROCESSOS DE FORMACAO

A investigacao em educacao matematica tem dado um destaque especial ao conhecimento que o professor precisa para ensinar, a partir da posicao critica de Shulman (1986), em face a tendencia da investigacao para se preocupar mais com o conhecimento dos aspetos pedagogicos do que com o conhecimento do conteudo. Ao reconhecer a existencia de um conhecimento especifico para ensinar, o autor organiza esse conhecimento em conhecimento do conteudo, conhecimento pedagogico geral, conhecimento do curriculo e conhecimento pedagogico do conteudo. Destes conhecimentos, Shulman da particular destaque ao conhecimento pedagogico do conteudo, que consiste nas formas de representar e formular o assunto, de modo a torna-lo compreensivel ao aluno. O interesse por este tipo de conhecimento deriva da ligacao que e estabelecida entre o conhecimento do conteudo e a pratica de ensino, o que significa que as discussoes sobre o conteudo devem ser relevantes para o ensino e que as discussoes sobre o ensino devem garantir que se de atencao ao conteudo (Ball, Thames & Phelps, 2008). Ponte e Chapman (2006) consideram que essa definicao de Shulman remete mais para uma concecao declarativa do conhecimento do professor do que para uma concecao de conhecimento orientado para a acao ou inserido na pratica. Face a esta polaridade entre pedagogia e conteudo matematico, alguns autores adotam uma posicao integradora e de sintese do conhecimento do professor, apresentando a ideia de conhecimento didatico (Azcarate, 1999; Canavarro, 2003; Ponte, 1999, 2012; Viseu, 2008). Seguindo esta linha conceptual, Ponte (2012) assevera que esse conhecimento do professor de Matematica e orientado para a atividade de ensinar, apoiando-se em conhecimentos de natureza teorica e tambem de natureza social e experiencial, integrando quatro vertentes fundamentais: (i) conhecimento da matematica; (ii) conhecimento dos alunos e da aprendizagem; (iii) conhecimento do curriculo; e (iv) conhecimento da pratica letiva. O autor considera que este modelo do conhecimento do professor (ver figura 1) e diferente de outros aparentemente semelhantes, pois assume claramente a existencia de um nucleo central, o conhecimento da pratica letiva. O modelo, em vez de separar as diversas vertentes, distinguindo umas das outras, chama a atencao para o facto de que elas estao sempre presentes, de uma forma ou de outra, na atividade de um professor quando ensina Matematica.

A primeira vertente do conhecimento didatico diz respeito a disciplina que se vai ensinar. O conhecimento do conteudo, similar ao proposto por Shulman (1986), e determinante na selecao das tarefas matematicas, na tomada de decisoes sobre como e quando abordar um dado topico, estabelecer conexoes entre topicos, orientar as atividades dos alunos, ouvir e comentar as ideias destes e determinar a validade de um argumento matematico. O conhecimento didatico inclui tambem uma vertente que se refere aos processos de aprendizagem dos alunos, mais especificamente das formas como eles aprendem. A este respeito, conhecer os interesses dos alunos, os seus gostos, as suas referencias culturais e como aprendem e decisivo para o trabalho de ensinar do professor.

Das outras duas vertentes do modelo de Ponte (2012), o conhecimento do curriculo, tal como para Shulman (1986), diz respeito ao saber que o professor possui relativamente aos programas da sua area disciplinar, a variedade de materiais que pode ser utilizada no ensino, assim como as vantagens e desvantagens do uso desses programas e materiais na sua atividade profissional. Por ultimo, o nucleo, o conhecimento da pratica letiva, refere-se a preparacao, conducao e avaliacao do processo de ensino-aprendizagem. Esse conhecimento do professor, com uma forte dimensao acional e que esta bastante diluido na proposta de Shulman (1986), envolve a capacidade para planificar uma aula, selecionando topicos matematicos dos documentos curriculares, e organizar situacoes didaticas que permitam a aprendizagem dos alunos. Ponte (2012) reforca nesse conhecimento, ao qual tambem chama de relativo a instrucao ou instrucional, o papel das tarefas matematicas, organizadas em sequencias didaticas, por permitirem o trabalho autonomo dos alunos e momentos de discussao e sistematizacao de conhecimentos. Em todo este tipo de ensino, o professor desempenha um papel ativo, mas com uma atividade completamente diferente da de um estilo de ensino transmissivo.

Neste estudo, utilizamos como marco teorico para estudar o conhecimento do professor de Matematica este modelo de Ponte (2012) que, embora inspirado em Shulman (1986), tem uma natureza mais dinamica e explicativa, colocando o conhecimento da pratica letiva no centro, em torno do qual surgem o conhecimento da matematica, o dos alunos e da sua aprendizagem e o do curriculo.

Embora a preparacao dos professores seja um desiderato de uma vida, e no periodo da formacao inicial que e dado um impulso decisivo para a construcao do conhecimento didatico (Viseu, 2008). Os cursos de formacao inicial de professores seguem modelos diversificados, desde aqueles que integram a pratica e a teoria ao longo do curso, ate aos modelos sequenciais, nos quais primeiro sao tratadas as materias teoricas (da Matematica e da Didatica) e so depois ha o estagio pedagogico. Em Portugal, a formacao inicial de professores do comeco do ensino basico (feita pelas Escolas Superiores de Educacao e por algumas Universidades) adotava, ate meados da primeira decada de 2000, o modelo integrado, enquanto a formacao de professores para o final do ensino basico e para o ensino secundario (feita exclusivamente por universidades) adotava um modelo sequencial. Atualmente, como resultado da adaptacao do ensino superior portugues as determinacoes do processo de Bolonha, a formacao inicial de professores de Matematica de todos os niveis de ensino e obtida atraves da realizacao de dois cursos sequenciais, o primeiro de licenciatura (com seis semestres) e o segundo de mestrado (com dois a quatro semestres). O curso de licenciatura fornece ao futuro professor o conhecimento na area de docencia, neste caso, da Matematica. O curso de mestrado e orientado para a preparacao dos licenciados em areas de formacao educacional geral, de didaticas especificas e de pratica de ensino supervisionado. Ou seja, proporciona sobretudo o conhecimento relativo ao curriculo, aos alunos e a aprendizagem, e a pratica letiva. O estudo que agora se apresenta incide sobre o conhecimento didatico no contexto de um tipo de formacao inicial de professores pre-Bolonha, realizada atraves de um curso unico de licenciatura (cinco anos, dez semestres), que incluia no quinto ano a pratica de ensino (estagio).

3. TAREFAS DE MODELACAO MATEMATICA

O papel das tarefas e cada vez mais reconhecido como impulsionador da atividade dos alunos e da dinamica da sala de aula (Stein & Smith, 1998; Viseu & Ponte, 2009). As recentes reformulacoes, em Portugal, dos programas da disciplina de Matematica dos diferentes anos de escolaridade, dao conta da importancia que a diversidade do tipo de tarefas tem na inducao das interacoes na sala de aula. Na dinamizacao dessas interacoes, o professor tem ao seu dispor, em funcao dos objetivos que pretende atingir, diferentes tipos de tarefas. Ponte (2005) distingue as tarefas a partir do grau de desafio (elevado/reduzido) e de estrutura (aberta/ fechada), da duracao (curta/media/longa) e do contexto (realidade/semirealidade/ matematica pura).

Quanto ao contexto, as tarefas podem enquadrar situacoes da realidade, puramente matematicas ou situacoes aparentemente reais. Ponte refere que as tarefas de contexto semirealidade tendem a nao considerar a maior parte das propriedades reais das situacoes, centrando a sua atencao nas propriedades "que interessam a quem enunciou o problema" (2005, p. 19), acabando por possuir um contexto quase tao abstrato como o contexto matematico.

Um tipo de tarefa que e consignada de contexto de realidade sao as tarefas de modelacao. Trata-se de tarefas de natureza problematica e desafiante, sob a forma de problema ou investigacao, conforme o grau de estrutura do seu enunciado, e que procuram identificar a Matematica presente numa situacao do dia-a-dia e dar resposta as questoes que vao sendo formuladas (Ponte, 2005). Atendendo as suas caracteristicas--elas tem que ser para os alunos um problema e nao um exercicio e tem que ser extraidas do mundo real (Barbosa, 2006)--, as tarefas de modelacao sao, muitas vezes, designadas por aplicacoes da Matematica (Kaiser & Sriraman, 2006). Kaiser e Maa|3 (2007) descrevem a modelacao como um processo no qual uma problematica e resolvida atraves da aplicacao da Matematica, o que Barbosa (2002) chama de utilizacao de "ideias e/ou metodos matematicos para compreender e resolver situacoes-problema oriundas de outras areas de conhecimento que nao a matematica" (p. 1). Para Silva e Barbosa (2011), a modelacao matematica tem o proposito de desenvolver a compreensao dos alunos de como a matematica e utilizada nas praticas sociais, atraves da analise critica da cultura dominante atraves da matematica. Um ambiente de aprendizagem que incentiva a questionar e a investigar situacoes com origem noutras areas da realidade envolve os alunos em atividades de "esquematizar, desenvolver operacoes aritmeticas, gerar equacoes, fazer desenhos, tracar graficos, e, principalmente, produzir discursos" (Silva & Barbosa, 2011, p. 199).

O que se entende por modelacao matematica nao e consensual na literatura (Barbosa, 2006; Blum, 1993; Kaiser & Sriraman, 2006). Partindo do pressuposto de que os alunos e os modeladores profissionais possuem diferentes condicoes e interesses e que as praticas conduzidas por eles sao diferentes, Barbosa (2006) distingue a modelacao matematica feita por modeladores profissionais da atividade de modelacao que e realizada na sala de aula. Na sala de aula, a atividade de modelar consiste em analisar e evidenciar os elementos e as relacoes presentes numa dada situacao, solucionar a situacao com base na Matematica, interpretar os resultados e confronta-los com o fenomeno em estudo e tirar as respetivas conclusoes. Nessa atividade, Verschaffel, Greer e De Corte (2000) identificam uma sequencia de fases, que podem ser repetidas tantas vezes quantas forem necessarias, para se obter o modelo mais proximo da situacao em estudo:

Fase 1: Compreensao da situacao em estudo: analisar uma dada situacao para considerar e decidir que elementos sao relevantes e que relacoes e condicoes podem ser estabelecidas (como por exemplo, atraves da recolha de dados experimentais, com recurso a calculadora e aos sensores);

Fase 2: Construcao de um modelo matematico: analisar os elementos relevantes, as relacoes e as condicoes disponiveis na situacao para traduzir a situacao na forma matematica;

Fase 3: Trabalhar com o modelo: obter alguns resultados;

Fase 4: Interpretacao dos resultados: chegar a uma solucao para a situacao que deu origem ao modelo matematico;

Fase 5: Avaliar o modelo: verificar se a solucao e matematicamente adequada e razoavel para o problema original;

Fase 6: Comunicar a solucao do problema original.

A forma como as tarefas de modelacao sao trabalhadas na sala de aula levou Barbosa (2003) a classifica-las, do ponto de vista teorico, em tres casos. No caso 1, e o professor quem apresenta o problema, com dados qualitativos e quantitativos, competindo aos alunos a sua investigacao. No caso 2, perante o problema que lhes e proposto, os alunos tem que recolher dados fora da sala de aula. No caso 3, integram-se os projetos a serem desenvolvidos a partir de temas 'nao matematicos', que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos.

A inclusao de tarefas de modelacao na sala de aula de matematica coloca questoes ao ensino, ao aluno e ao professor, umas que resultam em dificuldades e outras em elementos catalisadores. Em relacao ao ensino, a dificuldade mais notoria e o cumprimento do programa (Carreira, 2011), uma vez que, para se desenvolverem tarefas dessa natureza na sala de aula, e necessario tempo para as compreender, executar e avaliar. Quanto ao aluno, visto que na construcao de um modelo matematico e necessario ter em conta varios aspetos simultaneamente, aumenta a complexidade na compreensao da experiencia e na interpretacao de resultados. Relativamente ao professor, exige-se capacidade para gerir conhecimentos matematicos e tambem relativos a outras ciencias, de modo a assegurar a transdisciplinaridade de saberes. As tarefas de modelacao constituem, assim, desafios para o professor, principalmente pela dinamica da aula de matematica perante a diversidade de estrategias que os alunos podem gerar (Oliveira & Barbosa, 2011). A imprevisibilidade de processos e de respostas situa o professor, segundo estes autores, numa zona de risco. Para alem dessas razoes, Oliveira e Barbosa (2011) enumeram outras que condicionam o professor na integracao de tais tarefas na sala de aula:

"Dilemas relacionados a compreensao das fases do processo de modelacao, como considera-las separadamente ou conjuntamente no desenvolvimento dos projetos; a compreensao do objetivo da modelacao, como um objetivo educacional em si ou para os alunos aprenderem matematica; insegurancas em relacao a tomada de decisoes na organizacao e conducao da modelacao em sala de aula; incertezas em relacao a maneira como os professores podem proceder diante das solucoes dos alunos na resolucao dos problemas." (p. 268)

Em termos de elementos catalisadores, Junior e Santo (2006) apontam a modelacao matematica como um instrumento para a "desfragmentacao dos curriculos matematicos tradicionais" (p. 5) na introducao de temas, favorecendo o curriculo flexivel e transdisciplinar. O desenvolvimento de um curriculo compartimentado e assente na imitacao do que o professor faz da lugar, atraves desse tipo de propostas, a um curriculo baseado na conexao de saberes e em atividades de exploracao e investigacao. No que concerne ao aluno, o contacto com situacoes que sao geradas a partir da realidade desponta maior curiosidade, capacitando-o para estabelecer relacoes entre essa realidade e a Matematica. A atividade do aluno com tarefas de modelacao matematica fomenta habitos de trabalho, bem como o espirito critico nas situacoes com as quais se depara. Na promocao de uma formacao critica do aluno em aulas de matematica, Barbosa (2002), Santana (2010), Oliveira e Barbosa (2011) e Ruiz-Higueras e Garcia (2011) defendem que os alunos devem ter a oportunidade de refletir e discutir sobre os modelos matematicos que lhes sao impostos na sociedade e sobre as implicacoes dos resultados matematicos decorrentes de uma situacao-problema na sociedade. Relativamente ao professor, a modelacao matematica promove a evolucao intelectual, bem como a sua formacao atraves da troca de experiencias com os alunos e o seu meio social (Junior & Santo, 2006). Todo este processo valoriza o ambiente criado dentro da sala de aula, enquanto pratica social, sendo assim propicio a implementacao de tarefas de modelacao matematica com os alunos. Trata-se de uma forma de compreender a Matematica como uma ciencia que e relevante para a vida quotidiana, com significados proprios, que se (re)constroem no contexto da atividade atraves da interacao com os outros (Cantoral, Farfan, Lezama & Martinez-Sierra, 2012). Nesta perspetiva, a aprendizagem da Matematica proporciona um meio para compreender o mundo, enfrentar problemas do dia-a-dia e preparar para futuras profissoes. Em termos epistemologicos, a aula de Matematica e vista como um espaco de construcao de conhecimento uns com os outros, em detrimento de praticas que induzem no aluno a aceitar conceitos, factos ou tecnicas matematicas como um campo de conhecimento estabelecido.

A relevancia dada pela educacao matematica a atividade decorrente do uso de tarefas de modelacao faz com que esse tipo de tarefas seja incluido nos cursos de formacao inicial de professores. Em termos educativos, procura-se aplicar o que se aprende na disciplina de matematica em situacoes do quotidiano. Porem, Barbosa (2002) considera que os futuros professores tendem a manifestar ceticismo quanto a possibilidade de implementar tarefas de modelacao na sala de aula. Tal ceticismo despertou a atencao deste autor, no sentido de estudar como futuros professores concebem a modelacao nas suas futuras praticas de ensino. O autor trabalhou com um grupo de 10 futuros professores, os quais frequentavam pelo menos o 2. ano da Licenciatura em Matematica. Durante onze sessoes, Barbosa (2002) envolveu os candidatos a professor em atividades de modelacao e de reflexao sobre a sua utilizacao em sala de aula. Conjuntamente com essas atividades, os participantes desenvolveram projetos de modelacao em grupo sobre temas nao matematicos, recolheram informacoes, formularam e resolveram problemas matematicos e criaram uma historia de sala de aula que englobasse o seu tema. Embora considerem que as tarefas de modelacao sao desejaveis nas aulas de matematica, por motivar os alunos e os formar para a cidadania, os futuros professores manifestam inseguranca em trabalhar em sala de aula tarefas dessa natureza, devido as dificuldades que antecipam na conducao das atividades de modelacao, no acompanhamento dos alunos e no dominio do conteudo matematico, a organizacao da escola, as condicoes de trabalho do professor e as expetativas e possiveis reacoes dos diferentes intervenientes no processo educativo. O autor conclui que para se ganhar seguranca com tarefas de modelacao e preciso acumular experiencia e familiaridade com o ambiente de aprendizagem que resulta da integracao deste tipo de tarefas na sala de aula.

Num outro estudo, Doerr (2007) examina o conhecimento de modelacao de futuros professores numa disciplina de um curso de formacao, que teve por finalidade introduzir ideias e tecnicas basicas de modelacao matematica. Ao longo da disciplina, os futuros professores efetuaram leituras e discussoes sobre modelacao, fundamentalmente sobre as fases de modelacao. Inicialmente, viam essas fases como uma descricao nao problematica de como a modelacao era processada. Eles concebiam essas fases como uma sequencia. Durante a experiencia, os futuros professores alteraram esta concecao, passando da atividade sequencial para ciclica, nao linear. Nem sempre os futuros professores efetuaram uma analise de regressao dos dados e aplicaram muitas vezes de forma acritica o ajuste de uma dada curva aos dados que trabalharam. Mesmo com software disponivel para efetuarem esse ajuste, os futuros professores raramente usaram esse recurso e quando ajustavam os dados com uma curva atendiam ao significado das equacoes resultantes. Este resultado sugere que a natureza das tarefas de modelacao, as ferramentas disponiveis, as normas para a argumentacao e os padroes de qualidade de uma solucao foram decisivos para influenciar os tipos de modelacao que ocorreram em cada configuracao. A autora conclui que atraves da reflexao sobre a propria atividade de modelacao, os futuros professores compreenderam a natureza do ciclo do processo de modelacao. O uso de modelos de regressao parece depender do tipo de atividades que os futuros professores experimentaram, o que implica que precisam de contactar com atividades de modelacao que oferecam oportunidades para explicar e justificar as decisoes tomadas. A discussao sobre o modelo de regressao que melhor se ajusta aos dados experimentais sustenta a perspetiva de modelacao adotada neste estudo. Seguindo as fases delineadas por Verschaffel et al (2000), a modelacao e vista como um processo de resolucao de problemas, cujo enunciado e aberto a recolha de dados, a procura do modelo que melhor se ajuste a esses dados e a discussao dos resultados em funcao do contexto do problema.

4. METODOLOGIA

Este estudo de caso, qualitativo e de natureza interpretativa, foca-se numa futura professora de Matematica, a quem foi atribuido o nome ficticio de Vera, durante o seu quinto e ultimo ano do curso de formacao inicial. Vera foi escolhida por diversas razoes: (i) pertencia ao grupo de estagio que tinha como supervisor o primeiro autor deste artigo; (ii) foi um dos elementos deste grupo de estagio em que mais foi patente o confronto entre a teoria e a pratica de sala de aula; (iii) mostrou disponibilidade e interesse em participar na investigacao. Neste quinto ano, Vera realizou o seu estagio profissional numa escola da zona norte de Portugal, no 3. ciclo do EB, do qual fazia parte, e alem da pratica profissional na escola, a realizacao de um trabalho de projeto que incidisse em atividades relativas a Matematica e sua Didatica que realcassem as relacoes da Matematica com outras ciencias. O trabalho de projeto de Vera consistiu em analisar a aplicacao de sete tarefas de modelacao, com recurso a tecnologia, no ensino da Matematica no 3. ciclo e a sua extensao no ensino secundario (ver Quadro 2 e anexo). Neste artigo, so nos debrucamos sobre duas tarefas do 3. ciclo (Matematica por um canudo e Bola saltitante).

Algumas tarefas foram trabalhadas na sala de aula, nas turmas atribuidas ao orientador (2) da escola que acompanhou a pratica pedagogica de Vera, e em turmas de 8. e 9. ano de outros professores que cederam um bloco de Estudo Acompanhado (3). As tarefas foram elaboradas com base nas orientacoes dos programas de Matematica do 3. ciclo do EB e do ensino secundario e na analise de publicacoes sobre experiencias com tarefas de modelacao com recurso a tecnologia, como por exemplo o trabalho do Grupo de Trabalho [T.sup.3] (Associacao Professores de Matematica, 2002). As tarefas escolhidas (em anexo) envolvem modelacao matematica em situacoes do quotidiano dos alunos do 3. ciclo do EB, tocando diversas areas disciplinares, promovendo assim a interdisciplinaridade. No ambito deste trabalho, recorreu-se a varios meios tecnologicos como calculadora grafica, CBR (Calculator-Based RangerTM), CBL (CalculatorBased LaboratoryTM) e folha de calculo.

Os dados recolhidos neste estudo resultam: (i) do relatorio do trabalho de projeto desenvolvido pela estagiaria; (ii) da planificacao e reflexao de uma aula; e (iii) da entrevista realizada a Vera apos a conclusao do estagio. Com o relatorio, conseguiu-se uma descricao e fundamentacao das situacoes de modelacao, para alem das que foram trabalhadas com os alunos nas aulas. Com a planificacao e reflexao, obtiveram-se dados relativos a preparacao, execucao e avaliacao da utilizacao de uma tarefa de modelacao matematica em contexto de sala de aula. Com a entrevista, obtiveram-se dados relativos ao impacto que este trabalho teve no seu conhecimento didatico, em particular no conhecimento de conteudo matematico e no conhecimento da pratica letiva.

A analise de dados assentou na analise de conteudo de todo o material escrito, tomando como referencia o quadro teorico relativo ao conhecimento didatico (em particular, duas das vertentes consideradas por Ponte (2012), o conhecimento matematico e o conhecimento relativo a pratica letiva) e as tarefas de modelacao matematica.

5. A ESTAGIARIA VERA

5.1. A futura professora e as tarefas de modelacao

Vera e uma futura professora de Matematica que inicia o seu estagio pedagogico sem ter qualquer experiencia de ensino como professora. O estagio, que corresponde ao ultimo ano do curso, ocorre quando Vera esta prestes a completar 23 anos.

Vera relata que, durante todo o seu percurso escolar, "nunca trabalhei com tarefas de modelacao, nunca me foram dadas a conhecer enquanto aluna do basico, do secundario ou do superior" (Entrevista (E), Nov. 2009). A aplicacao e analise de tarefas de modelacao no estudo de topicos matematicos do 3. ciclo, durante o seu estagio pedagogico, constituiu, como refere, "um grande desafio, uma vez que para mim foi uma autentica descoberta, o que levou a uma grande pesquisa e trabalho" (E). Este trabalho contribuiu para que a futura professora se apercebesse que a natureza das tarefas de modelacao aponta, como sublinha, para estrategias de "ensinar Matematica de uma forma experimental e aberta (...) metodo que motiva os alunos e os torna mais participativos e empenhados" (E). Esta relacao que a estagiaria estabelece entre a natureza das tarefas e o tipo de estrategias de ensino reflete algumas das orientacoes metodologicas dos atuais programas de Matematica do ensino basico (PMEB) (4).

A atividade experimental que e proporcionada aos alunos pelas tarefas de modelacao leva Vera a afirmar que, atraves dela, os alunos realizam uma aprendizagem da Matematica mais solida, e comprometida: "As tarefas de modelacao permitem que os alunos, atraves de um trabalho experimental, construam as suas proprias aprendizagens, o que os motiva muito mais do que quando e o professor a transmitir-lhes os conteudos" (E). Na perspetiva da futura professora, um estilo de ensino baseado nas tarefas de modelacao, alem de robustecer o envolvimento dos alunos nas atividades da aula, favorece o desenvolvimento do espirito critico, a predisposicao para aprender e ajuda a compreender a utilidade do que aprendem:

Com este metodo de ensino, os alunos desenvolvem o seu espirito critico e estao mais predispostos para aprender conceitos novos. Este metodo permite mostrar aos alunos como a Matematica lhes e util no seu quotidiano. Os alunos nao ficam com uma visao tao limitada dos conteudos matematicos e atraves das tarefas de modelacao articulam o que aprendem na sala de aula e colocam em pratica na sua propria vida. (E)

Esta visao global que a estagiaria desenvolve sobre o papel das tarefas de modelacao no ensino da Matematica e resultado da sua experiencia de estagio, ao longo de um ano letivo, em particular a forma como mobiliza e gera duas das principais componentes do seu conhecimento didatico: conhecimento do conteudo matematico e conhecimento da pratica letiva.

5.2. Conhecimento do conteudo matematico

A experiencia que Vera realizou com as tarefas de modelacao no seu estagio incidiu sobre varios topicos matematicos, tais como tratamento e analise de dados, proporcionalidade direta e inversa e funcoes (afim e quadratica). Para a estagiaria, a experimentacao pelos alunos das diversas fases do trabalho numa tarefa de modelacao "favorece a compreensao dos topicos matematicos que sao trabalhados" (E). Essa compreensao matematica resulta da atividade que se desenvolve desde a fase da recolha de dados ate a discussao do modelo que melhor se ajusta aos pontos experimentais que traduzem esses dados. A integracao destas tarefas na sala de aula faz com que, na perspetiva de Vera, o professor, alem de ter bem presente os conteudos matematicos, saiba esclarecer os alunos de como encontrar esse modelo. Para o ilustrar, apoiandose nas representacoes que coloca no relatorio, Vera invoca um exemplo de uma aula relativo a constante de proporcionalidade inversa:

O professor ao conduzir a tarefa tem que estar bem seguro do que esta a fazer. Aconteceu comigo, por exemplo, numa aula sobre proporcionalidade inversa (5). Levei para a aula uns tubos com o mesmo diametro e comprimentos diferentes. O que se pretendia era que o aluno observasse atraves dos diferentes tubos uma fita metrica que estava colocada numa parede a um metro. A medida que o comprimento do tubo diminuia o campo de visao aumentava, o que indicia estarmos perante uma situacao de proporcionalidade inversa. Admitindo que fosse este o melhor modelo que se ajustava aos dados experimentais, procuramos o valor da constante de proporcionalidade inversa. Ate este momento funcionou tudo bem o problema foi a seguir. Os alunos fizeram o produto entre as grandezas e nao obtiveram nem um valor igual.

A possibilidade que tinhamos para encontrar o modelo foi considerar a media dos produtos. Foi dessa forma que contornei a situacao no momento. E um pouco desgostoso no final de uma tarefa que pensamos que executamos tudo na perfeicao nao encontrarmos o modelo pretendido, mas com a pratica havera sempre uma forma de contornar a situacao. (E)

Na verdade, o trabalho que se realiza nas aulas de Matematica, ao longo do EB, habitualmente com tarefas de natureza fechada, leva os alunos a construir a concecao de que a atividade matematica se resume a aplicacao de algoritmos, regras e propriedades para se obter um resultado. Vera, mesmo depois de ter frequentado grande parte do seu curso de Matematica, indicia alguma perplexidade e inseguranca por a tarefa "Matematica por um canudo" nao lhe fornecer resultados com a precisao que esperava: "experimentei esta atividade diversas vezes e nunca consegui chegar a constante de proporcionalidade inversa. Sabendo que corria este risco, levei avante esta atividade muito por incentivo dos meus orientadores que acreditam que e necessario inovar e correr riscos" (Reflexao (R), Dez. 2008).

Por se tratar de uma tarefa de natureza experimental, fatores como a sensibilidade do oculo visual e tambem a precisao de manter o tubo de observacao na horizontal podem influenciar os valores registados. A tarefa nao gerou valores que permitissem obter um produto constante, como esperaria. O valor medio dos produtos obtidos foi a solucao encontrada por Vera para resolver este problema matematico. Posteriormente, na discussao com o seu supervisor sobre a forma como explorou esta tarefa na aula, a estagiaria ve-se confrontada com a possibilidade de alargar esta abordagem com a determinacao do erro entre os valores experimentais e os valores gerados pelo modelo atraves da soma dos quadrados dos desvios entre estes valores:

Figura 2. Determinacao do erro entre os valores experimentais e os
valores teoricos (Relatorio (Rel)).

X    V    k=y*x             f(x)=k/x       [f(Xi)-yi]^2

10   32   320                     32,16          0,0256
16   21   336                      20,1            0,81
23   14   322                13,9826087     0,000302457
33   10   330               9,745454545     0,064793388
50    6   300                     6,432        0,186624

          321,6   K media                   0,900695846    Somatorio


Com recurso a folha de calculo, Vera apercebeu-se da atividade que a tarefa proporcionaria na discussao de formas de minimizar o erro entre os valores gerados pelo modelo e os experimentais. Para alem da exploracao do valor medio dos produtos entre os valores das variaveis, o que fez na sala de aula com os seus alunos, o trabalho que realiza no contexto de supervisao permite-lhe compreender que a riqueza da tarefa proposta esta na discussao sobre o efeito da variacao da constante que se procura no erro entre os valores experimentais e os teoricos:

Como nao tinha a certeza que este modelo seria o melhor que se ajustasse aos dados experimentais, procurei encontrar outros modelos que minimizassem o erro entre os valores determinados e os valores experimentais. Recorri entao ao Excel para apurar a variabilidade do somatorio dos erros. (Rel, Junho 2009)

Em vez de aplicar o metodo dos minimos quadrados para cada valor que considerasse como constante, para poder comparar a soma dos quadrados dos desvios, a funcao solver da folha de calculo permitiu-lhe encontrar o valor da constante que minimiza o erro dos quadrados de tais desvios. O conhecimento que adquire dessa abordagem permite que Vera trate os dados que recolhe com outras tarefas de modelacao que realizou. A folha de calculo fez emergir o significado de conhecimentos, em detrimento da componente instrumental, que Vera adquiriu durante o seu curso de formacao inicial:

O trabalho passou por analisar cada uma das tarefas e estabelecer conexoes entre os diferentes temas. Em todas elas me auxiliei na Estatistica para encontrar o modelo pretendido, atraves do metodo dos minimos quadrados. Para fazer este estudo pesquisei sobre o assunto para perceber o significado do que estava a utilizar. Trabalhar no Excel o metodo dos minimos quadrados foi uma grande aprendizagem. Este era um conteudo que tinha aprendido numa cadeira de Analise Numerica mas que nao estava presente, muito menos trabalha-lo com o auxilio do computador. Foi esta a forma que me permitiu discutir qual era o modelo que melhor se aproximava do modelo pretendido. (E)

Em complemento, Vera destaca a aprendizagem de conceitos matematicos que as tarefas de natureza aberta lhe proporcionaram, especialmente aqueles que tem incidencia direta em temas matematicos dos anos de escolaridade onde ira lecionar futuramente:

Como nao tive um ensino baseado em tarefas abertas posso dizer que os conteudos abordados ao longo do meu curso me permitiu adquirir conhecimento acerca dos conteudos que sao necessarios ensinar na pratica pedagogica. Reconheco que apos o trabalho com as tarefas de modelacao, a visao de cada conceito abordado atraves de uma tarefa e muito mais abrangente. E mais compreensivel que os conteudos nao sejam tratados de forma muito abstrata e tentando, sempre que possivel, aproximar a matematica da realidade. (E)

Depreende-se, pois, que Vera desenvolveu, regra-geral, ate ao seu estagio, o seu conhecimento matematico atraves de um ensino direto, com recurso a tarefas fechadas, seguindo um padrao baseado na repeticao do apresentado e explicado previamente pelo professor.

Na tarefa 'Bola Saltitante' (anexo), que Vera analisou no seu relatorio do trabalho de projeto, com o auxilio de uma calculadora grafica, um CBR e uma bola, sao recolhidos dados referentes a queda vertical da bola, colocada a uma altura inicial de aproximadamente 0.7 m (Figura 4). Com os dados recolhidos representa graficamente a altura da bola em relacao ao solo em funcao do tempo. Vera considera que "esta representacao nao e linear porque se trata de um movimento uniformemente acelerado; a velocidade da bola aumenta ao longo do movimento descendente e diminui no movimento ascendente" (Rel, Junho 2009).

Da analise dos dados, a estagiaria apercebe-se que "os pontos maximos de cada uma das parabolas descritas pelo movimento da bola descrevem uma funcao exponencial" (Rel). Para averiguar a altura maxima que a bola atinge num determinado intervalo de tempo, Vera regista no seu relatorio:

Restringi o dominio da experiencia de modo a analisar uma das curvas que traduz o movimento da bola nesse intervalo. Fisicamente, a curva e uma parabola porque se trata do movimento de um corpo sujeito apenas a aceleracao da gravidade.

Para este tipo de movimento verifica-se que e uma funcao representada por uma expressao do tipo y(t) = a [t.sup.2] + bt+c. Recolhendo tres pontos do grafico obtido--(0.4; 0.301), (0.65; 0.632) e (0.9; 0.371)--e substituindo na expressao geral das funcoes do 2. grau encontrei, atraves de um sistema com tres equacoes a tres incognitas, a expressao y (t) = -4.74[t.sup.2] + 6.3t-1.46. Esta expressao permite evidenciar o grau da funcao, a distincao das funcoes quadraticas completas das incompletas, a designacao da sua imagem geometrica (parabola) e as unidades das variaveis. Permite ainda determinar, atraves da formula resolvente, os zeros da funcao e discutir o seu significado. (Rel)

A concretizacao de tarefas de modelacao despertou em Vera alguns receios, devidos principalmente a imprevisibilidade dos resultados encontrados que dificultam a construcao do modelo:

O meu maior receio surgiu ao nivel pratico, os resultados nem sempre sao os pretendidos. Por exemplo, nas tarefas em que se pretendia estudar a proporcionalidade direta ou inversa, nem sempre as experiencias nos davam valores constantes. Esta abordagem obrigou-me a um trabalho de pesquisa e de revisao de conceitos. Senti que alguns conceitos estavam esquecidos pelo facto de nao serem trabalhados diariamente, como por exemplo conceitos das funcoes e de estatistica ao nivel do secundario. (E)

A imprevisibilidade dos resultados e do modelo mais adequado fez com que Vera sentisse a necessidade de rever e, sobretudo, de acomodar conceitos matematicos abordados no estudo das funcoes e da organizacao e tratamento de dados. Esta acomodacao de conceitos, aprendidos durante o seu curso, traduziuse na atribuicao de significado na interacao teoria/pratica.

5.3. Conhecimento da pratica letiva

A tarefa "Matematica por um canudo" foi uma das que foram trabalhadas com os alunos na sala de aula, no estudo da funcao de proporcionalidade inversa. Na planificacao da aula, Vera identifica os conhecimentos previos dos alunos -"o conceito de funcao, representacao de pontos no referencial cartesiano e operar com expressoes com variaveis" (Plano de Aula (PA), Nov. 2008)---e formula um enunciado de um problema que pretende que desencadeie a atividade dos alunos:

A Rita ao visitar um museu de arte sentou-se diante de um quadro para descansar. Como tinha varios folhetos de diferentes comprimentos mas com a mesma largura resolveu contemplar um dos quadros com os tubos que formou com esses folhetos de igual diametro. Sera que existe alguma relacao entre o comprimento dos tubos e a porcao do quadro contemplada pela Rita? (PA)

Para que os alunos pudessem resolver o problema, a futura professora proposlhes uma experiencia atraves do seguimento de um conjunto de procedimentos:

   Um elemento segura a fita metrica verticalmente encostada a parede;
   um outro elemento coloca-se a 1 metro dessa parede e olha atraves
   do tubo colocado paralelamente ao chao; um outro elemento regista o
   comprimento da fita visualizada. Alterando o comprimento do tubo,
   repetir o procedimento ate preencher a tabela seguinte):

Comprimento t do tubo (cm)   10   16   23   33   50   (PA)
Comprimento f da fita (cm)


Vera adota uma abordagem exploratoria, convidando os alunos a "recolher os dados, identificar e justificar as variaveis dependente e independente, recorrer a diferentes representacoes das funcoes, conjeturar e a generalizar" (PA). Refletindo sobre a acao instrucional do professor, Vera confronta esta sua estrategia de ensino com outras estrategias que remetem o aluno para um papel passivo e que dao prevalencia a tarefas fechadas:

Quando o ensino e fechado, as proprias tarefas sao fechadas. Neste tipo de ensino, o professor chega a sala de aula, transmite os conceitos que o aluno tem que ser capaz de reproduzir, faz alguns exercicios tipo e a aula termina. Desta forma, o aluno nao tem tempo sequer de assimilar os conceitos. E esta a diferenca entre este ensino e o ensino que aposta nas tarefas de modelacao. (...) Na minha opiniao e muito mais enriquecedor um ensino baseado em tarefas do que um ensino fechado que a maioria das vezes apenas recorre ao manual escolar. (E)

Por os alunos estarem mais habituados a tarefas fechadas, e tambem por ter ponderado sobre as suas proprias dificuldades no momento de preparacao da tarefa, Vera sentiu necessidade de os alertar para a natureza dos resultados que poderiam obter:

Comecei a aula a dizer aos alunos que iamos colocar em pratica uma atividade experimental mas que eles tinham de ter em atencao que esta poderia afastarse um pouco daquilo que pretendiamos. Ja tinha experimentado esta tarefa antes de a levar para a sala de aula e nunca tinha conseguido chegar a constante de proporcionalidade inversa que se pretendia. (R)

Este seu receio, que ja vinha da fase de preparacao da aula, levou-a a conduzir os alunos, orientando-os fundamentalmente a seguirem procedimentos, perdendo as potencialidades que tais valores divergentes poderiam trazer para a discussao coletiva:

Apos o registo dos valores fizemos o produto entre os valores do comprimento do tubo e da fita observada e os alunos foram-se apercebendo que o valor nao era constante. Sugeri que fizessem a media dos valores obtidos. Os alunos introduziram os dados na calculadora grafica e efetuaram a representacao grafica da expressao cuja constante de proporcionalidade inversa era esse valor da media. Observamos que o grafico so passava em apenas dois pontos. (...) Quanto ao que correu menos bem nao posso dizer que tenha sido negativo o facto de nao termos conseguido obter uma constante com o produto das variaveis. No entanto, se tivessemos obtido uma constante ou valores muito proximos teria sido muito mais gratificante. (R)

Alem de identificar vantagens das tarefas de modelacao nas estrategias de ensino, Vera assume que existem obstaculos que dificultam esta integracao curricular, tais como a necessidade de cumprimento dos programas, o ritmo de aprendizagem dos alunos e a sua propria inexperiencia profissional:

Na minha opiniao, e um pouco dificil apostar a cem por cento num ensino baseado em tarefas de modelacao devido ao cumprimento dos programas. O mais certo e que dentro da sala de aula existam alunos com diferentes ritmos de aprendizagem. Uns precisam de mais tempo para assimilar os conteudos que outros. Quando se levam tarefas de modelacao para a sala de aula ja se sabe de antemao que a execucao da tarefa pode nao correr como planificada. Todos estes fatores exigem tempo, mais tempo do que se pensar numa forma de transmitir um conceito mesmo que seja atraves de um exemplo da vida real. Se o programa nao fosse tao extenso devia-se apostar muito mais neste tipo de ensino. (E)

Vera tem consciencia que, apesar dessas dificuldades, que sao agravadas pela sua condicao de estagiaria, e possivel e desejavel seguir um estilo de ensino que equilibre o trabalho dos alunos com tarefas de modelacao e tarefas de natureza mais fechada:

Enquanto estagiaria foi muito importante ter trabalhado com estas tarefas porque me fez ver o ensino com outros olhos mas tambem percebi que para ter a possibilidade desta pratica letiva, outros conceitos tiveram que ser trabalhados de forma mais fechada para ser possivel cumprir o programa. E certo que se o professor ja tiver alguma pratica, mais facilmente conseguira gerir o programa de forma a implementar tarefas de modelacao matematica com os seus alunos. (E)

Apesar de reconhecer que as tarefas de estrutura aberta tornam mais dificil a gestao da aula, Vera considera que as aulas sao mais desafiantes quando os alunos se envolvem intensamente nas atividades de aprendizagem:

Acredito que para os alunos foram muito mais interessantes as aulas em que eles puderam participar de forma ativa na aula. Enquanto estagiaria, posso afirmar que mesmo com toda a minha inexperiencia e pelo facto de ter conduzido umas aulas de forma mais aberta (ou pelo menos essa era a minha intencao) e outras nao tao conseguidas, as aulas em que foram os proprios alunos a tirarem as suas proprias conclusoes foram muito mais satisfatorias. Mesmo por vezes ter-me sentido insegura por nao saber o que um aluno me pudesse perguntar, achei muito mais desafiantes estas aulas. (E)

A estagiaria tem consciencia dos riscos que corre quando se trabalha na sala de aula com tarefas cujos resultados sao inesperados. Ao assumir esse risco, identifica vantagens que essas tarefas tem na atividade matematica que os alunos realizam. Para alem disso, desenvolve um conhecimento sobre a instrucao em que repensa o papel do professor e dos alunos no ensino e na aprendizagem e o papel que as tarefas matematicas, e a atividade que decorre da sua proposta, podem ter na aprendizagem dos alunos.

6. Conclusoes

O confronto com a sala de aula, ao longo do seu estagio, atraves de uma pratica baseada em tarefas de modelacao matematica constitui para a futura professora uma ocasiao de desenvolvimento profissional, tanto ao nivel do seu conhecimento do conteudo matematico para ensinar como do conhecimento do relativo a pratica letiva (Ponte, 2012).

No ambito do conhecimento do conteudo matematico, a futura professora confronta o seu conhecimento matematico, aprendido durante a formacao inicial (declarativo e axiomaticamente fundado) com situacoes da realidade, representadas por modelos matematicos. Este choque provocado pelas tarefas de modelacao matematica colocou a futura professora, em termos do conhecimento do conteudo matematico, num terrento adverso de conflito cognitivo que rompeu com algumas das suas concecoes sobre a matematica. A sua concecao da matematica-ciencia, caracterizada por modelos puros e verdades objetivas e absolutas--evidencia disso e a situacao de proporcionalidade inversa em que o modelo matematico nao se ajusta perfeitamente aos dados da realidade--da lugar a uma matematica enquanto um corpo de conhecimentos em construcao que resulta da interacao entre os intervenientes, na qual a duvida da lugar a certeza e esta a novas duvidas (Davis & Hersh, 1995). Alem disso, as tarefas de modelacao matematica trabalhadas no estagio colocam igualmente a futura professora numa situacao desconfortavel e de conflito cognitivo, porque elas mobilizam a matematica em situacoes abertas, onde impera a imprevisibilidade (ao contrario do que experienciou na sua formacao inicial), o que para Oliveira e Barbosa (2011) coloca o professor numa zona de risco. A inexperiencia profissional do futuro professor tende a determinar a preferencia por tarefas que lhe permita antever processos e resultados.

A preparacao, aplicacao e analise das tarefas de modelacao matematica tiveram impacto significativo no conhecimento do conteudo matematico da futura professora, fazendo com que ganhasse em termos da sua propria compreensao matematica e tambem da melhor forma de o apresentar e tornar inteligivel aos alunos, no sentido que Shulman (1986) da quando se refere ao conhecimento pedagogico de conteudo. Esses resultados reforcam estudos anteriores que dao conta da importancia de os professores, durante a sua formacao inicial, terem contacto com tarefas de modelacao matematica, visando o desenvolvimento do conhecimento matematico e da concecao da propria matematica (Barbosa, 2002; Doerr, 2007; Junior & Santo, 2006; Oliveira & Barbosa, 2011). Os resultados deste estudo mostram que isso deve acontecer desde cedo no curso de formacao de professores e nao no ano terminal (como foi o caso com esta futura professora). Em termos matematicos, o estudo permite destacar o desenvolvimento do conhecimento relativo ao proprio processo de modelacao matematica. Neste estudo, tal como em Doerr (2007), a futura professora evolui de uma concecao da modelacao como uma atividade sequencial para uma concetualizacao em que esta surge como uma atividade nao linear, o que parece resultar da formulacao dos problemas que propoe nas aulas e da sua consciencializacao de fatores que condicionam a recolha de dados, a problematizacao do modelo e dos resultados obtidos e a minimizacao do erro entre os valores teoricos e experimentais.

Em paralelo com este desenvolvimento no seu conhecimento do conteudo matematico, a futura professora questiona a sua concecao sobre a forma de ensinar matematica, ou seja, o seu conhecimento da pratica letiva (Ponte, 2012), inicialmente muito marcado pela sua experiencia enquanto aluna (no ensino secundario e depois no ensino superior). Assim, reconhece que a utilizacao de tarefas de modelacao matematica permite que os alunos tenham uma experiencia matematica completamente diferente daquela que resulta de um ensino direto (Canavarro et al, 2012; Simon & Tzur, 2004), havendo no primeiro um ganho significativo em termos da qualidade da sua aprendizagem. Este reconhecimento resulta daquilo que observou nos seus alunos durante as aulas em que utilizou tarefas de modelacao matematica, mas tambem de um certo isomorfismo entre o seu proprio processo de desenvolvimento do seu conhecimento matematico (a compreensao que ganhou de determinados topicos matematicos em resultado da preparacao, realizacao e reflexao das aulas com tarefas de modelacao), e aquilo que os seus alunos tambem experienciaram em termos da sua aprendizagem da Matematica (Viseu & Ponte, 2009, 2012).

A futura professora, apesar de reconhecer os meritos das tarefas matematicas de modelacao para a aprendizagem dos alunos, revela: (i) inseguranca na sua capacidade para gerir este tipo de aulas; (ii) duvidas sobre a possibilidade de cumprir o programa curricular de Matematica recorrendo assiduamente a tarefas de modelacao matematica, dado serem muito exigentes em termos de necessidade de tempo. Trata-se de fatores de tensao da pratica letiva que tambem foram salientados no estudo de Oliveira e Barbosa (2011) e na metaanalise de Silveira e Caldeira (2012). O facto de ser estagiaria, faz com estes dois aspetos estejam muito ligados. O confronto com a pratica, nas fases de preparacao, execucao e reflexao das aulas, e um momento importante da formacao dos futuros professores (Cochran-Smith & Lytle, 1999; Viseu, 2008; Viseu & Ponte, 2012).

Neste estudo, a futura professora coloca em causa algumas das suas concecoes sobre o modo de organizar a instrucao, problematizando o papel do professor, dos alunos e das tarefas matematicas. A questao do cumprimento do programa e um aspeto recorrente na gestao curricular, que esta futura professora coloca no outro prato da balanca, neste momento de finalizacao da sua formacao. O conhecimento relativo a pratica letiva, que permite gerir a aula e promover a aprendizagem da Matematica, e um dominio em que os primeiros anos de carreira tem um papel fundamental (Viseu & Ponte, 2009, 2012).

Os resultados deste estudo, no qual foram registados progressos significativos no conhecimento do futuro professor em termos do conteudo matematico (incluindo neste conhecimento, tanto o conhecimento matematico propriamente dito como o conhecimento relativo aos processos de trabalho matematico, como sejam a modelacao matematica) e da instrucao, consequencia do confronto com a pratica, na preparacao, execucao e reflexao de tarefas de modelacao matematica, levam-nos a concluir da importancia de proporcionar aos futuros professores experiencias formativas que incluam desde cedo a possibilidade de ensinar. O modelo positivista que inspira modelos de formacao inicial de professores sequenciais, em que a pratica profissional deve ser precedida pela teoria (neste caso, o conhecimento didatico, nas suas diversas vertentes) e apresentada de maneira formal, e seriamente questionado por este estudo, tanto no desenvolvimento do conhecimento da pratica letiva, onde seria expectavel, como, e sobretudo, no conhecimento matematico dos futuros professores.

ANEXO

Tarefa1. Desenhar o Grafico

O Tome estava na aula de Matematica a resolver os exercicios propostos e precisou de ir afiar o Iapis. Concedida a autorizacao, levantou-se, dirigiu-se ao caixote do lixo, afiou o Iapis e voltou para o seu lugar! Como foi o seu percurso? Em que intervalo de tempo andou mais rapido? Aos 10 segundos, a que distancia se encontrava do seu lugar?

Tarefa2. Pilhas em Serie

O Nelson precisa de quatro pilhas de tamanho AAA (cada uma delas tem 1,5 volts) para o seu mp3. Sabendo que um aparelho eletronico so funciona quando se cria uma diferenca de potencial entre os pontos em que estao ligados, que e dada pela voltagem das pilhas, o Nelson procurou encontrar a relacao que existe entre essa diferenca de potencial e o numero de pilhas. Que relacao encontrou o Nelson?

Tarefa3. Matematica por um canudo

A Rita cansada da visita a um museu de arte, sentou-se diante de um quadro. Como tinha varios folhetos de diferentes comprimentos resolveu contemplar o quadro com os tubos que formou com esses folhetos de igual diametro. Sera que existe alguma relacao entre o comprimento dos tubos e a porcao do quadro contemplada pela Rita?

Tarefa4. Alavanca lnterfixa

Nos parques infantis existem baloicos para os mais pequenos se divertirem. Se o Joao se sentar numas das extremidades do baloico e a Joana se sentar na outra extremidade, em determinadas condicoes, um deles pode ter dificuldades em movimentar o baloico de modo que o outro suba. Que condicoes serao essas?

Tarefa5. Sob Pressao

Quando se comprime um gas contido num recipiente, o volume e a pressao variam. Pressionando o pistao de uma seringa, isolando o orificio de saida do ar, a pressao aumenta. Sera que o volume contido na seringa depende da pressao que se exerce?

Tarefa6. Temperatura

A Susana estava a preparar um cha quente quando recebeu uma visita de uma amiga. Ao oferecer a sua amiga uma chavena de cha, esta pediu-lhe umas pedras de gelo para o arrefecer, o que fez com que a Susana tambem quisesse experimentar em beber o cha frio. Como sao boas alunas em Fisico-Quimica, decidiram medir a temperatura do cha, em graus Celsius e em graus Fahrenheit, ao longo do seu arrefecimento. Sera que elas encontraram a relacao que converte as temperaturas em graus Celsius em graus Fahrenheit?

Tarefa7. Bola Saltitante

A Vanda ao jogar basquetebol com os seus colegas de turma apercebeu-se que ao deixar cair a bola, a distancia entre esta e o chao vai diminuindo com o tempo. Que altura maxima atinge a bola num determinado

intervalo de tempo?

DOI: 10.12802/relime.13.1734

Recepcion: Septiembre 13, 2013 / Aceptacion: Octubre 18, 2013

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(1) O sistema de ensino portugues engloba 12 anos antes da entrada no ensino superior, assim como a generalidade dos paises do mundo. Desses anos, os primeiros nove correspondem ao ensino basico e os tres ultimos ao ensino secundario. No ensino basico (formado por tres ciclos: o primeiro de quatro anos, e com professor unico, o segundo de dois anos, e o terceiro ciclo de tres anos), o curriculo da disciplina de Matematica e igual para todos os alunos. Nos tes anos de ensino secundario, no qual os alunos comecam a ser encaminhados para um grupo de cursos do ensino superior, os curriculos da disciplina de Matematica divergem, de acordo com os cursos de Ciencias, Humanisticos, Tecnologicos ou de Artes.

(2) Os estagiarios lecionam numa turma do professor orientador da escola, na qual realizam o estagio. Alem deste orientador, contam tambem com um supervisor da universidade.

(3) Trata-se de uma area nao curricular que tem por finalidade promover a apropriacao, por parte dos alunos, de metodos de organizacao, de trabalho e de estudo, assim como o desenvolvimento de atitudes e de capacidades que favorecam a sua a autonomia.

(4) O Ministerio da Educacao de Portugal aprovou em 2007 um novo programa de Matematica do ensino basico (PMEB). O trabalho de preparacao deste documento, que comecou a ser implementado a titulo experimental em 2008/09 e generalizado em 2010/11, foi coordenado por Joao Pedro da Ponte e Lurdes Serrazina e contou ainda com a participacao de sete professores e investigadores portugueses.

(5) Tarefa "Matematica por um canudo".

Autores

Floriano Viseu. Centro de Investigacao em Educacao-Universidade do Minho, Portugal. fviseu@ie.uminho.pt

Luis Menezes. CI&DETS--Escola Superior de Educacao de Viseu, Portugal. menezes@esev.ipv.pt

QUADRO II
Tarefas analisadas e os respetivos conteudos e materiais utilizados.

Tarefas                             Conteudos           Materiais

Desenhar o grafico             Analise de graficos         CBR
Pilhas em serie             Proporcionalidade direta    CBL, Excel
Matematica por um canudo    Proporcionalidade inversa     Excel
Alavanca interfixa          Proporcionalidade inversa     Excel
Sob pressao                 Proporcionalidade inversa      CBL
Temperatura                        Funcao afim             CBL
Bola saltitante                 Funcao quadratica          CBR

Figura 3. Minimizacao do erro entre os dados teoricos e os
experimentais e o respetivo grafico (Rel).

X    V    k=y*x                  f(x)=k/x

10   32   320                    32,45147462
16   21   336                    20,28217164
23   14   322                    14,10933679
33   10   330                    9,833780188
50   6    300                    6,490294924

          3,245,147   K solver

     Metodo dos Minimos Quadrados

X    [f(Xi)-yi]^2   Somatorio

10   0,203829332
16   0,515277558
23   0,011954534
33   0,027629026
50   0,240389112    0,75869045
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Title Annotation:articulo en portugues
Author:Viseu, Floriano; Menezes, Luis
Publication:Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa
Article Type:Ensayo
Date:Nov 1, 2014
Words:10272
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