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Descripcion matematica de la funcion Gompertz aplicada al crecimiento de animales.

MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE GOMPERTZ FUNCTION APPLIED TO ANIMALS GROWTH

INTRODUCCION

Desde su aparicion en 1825 (1), la curva sigmoidea propuesta por Benjamin Gompertz ha sido aplicada en diferentes campos, aunque por mucho tiempo fue de interes solamente en actuaria (?) (2). En ciencias animales es una de las funciones mas empleadas para describir el crecimiento de los individuos (3).

El desconocimiento de las curvas de crecimiento y de parametros productivos de interes economico ha limitado la implementacion de programas de mejoramiento zootecnico que permitan aumentar la productividad (3), por tanto, resulta importante hacer uso de este tipo de herramientas en los sistemas de produccion animal.

Ante la necesidad de un conocimiento adecuado de las funciones empleadas en la modelacion de fenomenos biologicos y de los procesos matematicos mediante los cuales se obtiene informacion acerca de las mismas, en el presente trabajo se describe matematicamente la funcion de Gompertz y se muestra en detalle la construccion de los parametros que de esta se derivan, los cuales brindan importante informacion acerca del fenomeno biologico que se esta modelando. Dichos parametros son: tasa de crecimiento, asintotas horizontales, aceleracion del crecimiento, punto de inflexion, tasa maxima de ganancia de peso, valor delta, tasa relativa de crecimiento, tasa de madurez sexual y grado de madurez absoluta.

LA FUNCION GOMPERTZ

La funcion esta definida de la siguiente manera:

f : [R.sup.+][flecha diestra] [R.sup.+]

x [flecha diestra] f(x)

Al ser aplicada para describir el crecimiento desde el nacimiento (edad 0) hasta la edad adulta la funcion es la siguiente:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

En donde y corresponde al peso en el tiempo x,; [x.sub.m] es la edad a la madurez, mientras que a, b y c son constantes definidas asi:

0 < a [elemento de] R, corresponde al peso adulto o asintotico.

1 < b [elemento de] R, es un parametro de ajuste cuando [desigual a] 0 o [desigual a] 0.

0 < c < 1, c [elemento de] R, es el indice de madurez.

Teniendo en cuenta la informacion anterior se tiene que 0 < y [elemento de] R

El recorrido de la funcion es [PN,a), en donde PN es el peso al nacimiento y a el peso adulto, esta es una funcion es inyectiva.

Como se menciono previamente, el parametro a se conoce como peso asintotico debido a que corresponde a una asintota horizontal de la funcion. A continuacion se prueba este hecho. Para encontrar esta asintota horizontal se calcula [lim.sub.x[flecha diestra][infinito]] f(x) (4), pero antes de aplicar el limite se hace una modificacion algebraica de la funcion, como sigue:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Por tanto, a es una asintota horizontal de la funcion.

PUNTOS CRITICOS

La primera derivada de la funcion que corresponde a la velocidad de crecimiento es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

como [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]; la primera derivada puede escribirse como dy/dx = [cye.sup.b-cx], que es una de las formas en las que mas comunmente aparece referenciada (1-2). Esta derivada puede transformarse mediante manipulacion algebraica, llegando a otra de sus formas mas conocidas, dy/dx = -cyln(y/a) = cyln(a/y). El siguiente es el procedimiento para llegar a esta expresion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Al igualar la primera derivada a cero se evidencia que no existen puntos criticos puesto que [e.sup.b-cx] [desigual a] 0 [atane a todos]x [elemento de] R, de donde dy/dx [desigual a] 0 y por consiguiente no existen puntos criticos.

Punto de inflexion

Para encontrar el punto en donde cambia la concavidad de la funcion se obtiene la segunda derivada, la cual corresponde a la aceleracion del crecimiento, esta se iguala a cero y se soluciona la ecuacion resultante en terminos de x para hallar la abscisa al punto de inflexion, luego se calcula la imagen de la misma para llegar a las coordenadas de dicho punto (4), esto es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

[d.sup.2]y/[dx.sup.2] = [c.sup.2][y.sup.eb-cx]([e.sup.b-cx] - 1) = 0, implica que [e.sup.b-cx] -1 = 0, por tanto:

[e.sub.b-cx] = 1

[lne.sup.b-cx] = ln1 (b - cx) lne = 0

b - cx = 0 de donde x = b/c

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Por consiguiente, el punto de inflexion es (b/c, a/e).

Tasa maxima de ganancia

Corresponde al valor de la primera derivada (razon de cambio instantanea) en el punto de inflexion, esto es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Valor delta

Es un parametro de utilidad ya que indica el final de la fase de estructuracion del animal, tambien conocida como fase Lag. Matematicamente corresponde al punto de corte con la abscisa de la recta tangente al punto de inflexion, por tanto se debe encontrar la ecuacion de dicha recta, labor para la cual se conoce la pendiente de la misma, es decir, la tasa maxima de ganancia y un punto por el cual pasa, correspondiente al punto de inflexion.

En la funcion Gompertz la pendiente de la recta [b.sup.*] es:

[b.sup.*] = a/e - (ac/e)(b/c) = a/e(1 - b)

Al analizar la anterior expresion se advierte que [b.sup.*] < 0, ya que b > 1, por tanto, para el caso de la funcion bajo estudio el valor delta es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

La anterior expresion se puede simplificar llegando a una mucho mas sencilla.

VD = b - l/c

Tasa relativa de crecimiento

Este parametro proporciona datos que no dependen de la dimension, es util para comparar lineas o especies y se define como (1/y)(dy/dx) (2-3). Esto es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

La TRC tambien puede se puede expresar como:

TRC = (1/y)cyln(1/y) = c(lna - lny)

Expresada en la primera forma se conoce como tasa relativa en funcion del tiempo, y en la segunda se conoce como tasa relativa de crecimiento en funcion del tamano (2).

Tasa de madurez sexual

Segun Agudelo et al. (3), este parametro fue propuesto por Taylor en 1971. Es el cociente entre el peso en el tiempo t y el peso adulto, si el valor del mismo se multiplica por cien se obtiene el porcentaje del peso adulto que se ha alcanzado en el tiempo t.

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Grado de madurez absoluta

Definida como (1/a)(dy/dx) (3), descomponiendo esta expresion se tiene:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Existen varios trabajos con datos de campo empleando la funcion Gompertz para modelar el crecimiento de animales, como el de Davidson (5) en bovinos, Agudelo-Gomez et al. (6) en bufalos, Helmink et al. (7) con perros, entre otros.

CONSIDERACIONES

En ciencias animales se deben seguir empleando diferentes tipos de funciones para estudiar los fenomenos biologicos relacionados con la produccion ya que este conocimiento se ha convertido en una poderosa herramienta que contribuye al desarrollo de tecnologias para el sector pecuario. Para quienes trabajan en modelacion resulta necesario tener un conocimiento claro, desde el punto de vista matematico, de las diferentes funciones con las cuales trabajan, esto implica la definicion formal y los pasos mediante los cuales se obtienen los diferentes parametros de las mismas.

Recibido 01/02/2010 y aprobado 9/04/2010

REFERENCIAS

(1.) Gompertz B. On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode on determining the value of live contingencies. Philosophical transactions of the Royal Society of London 1825; 115: 513-585.

(2.) Winsor CP. The gompertz curve as a growth curve. Proceedings of the national academy of sciences 1932; 18: 1-8.

(3.) Agudelo-Gomez DA, Ceron-Munoz MF, Restrepo LF. Modelacion de funciones de crecimiento aplicadas a la produccion animal. Rev Col Cien Pec 2007; 20: 157-173.

(4.) Stewart J. Calculo de una variable. Trascendentes tempranas. 6 ed. Mexico DF: Cengage Learning; 2008. p. 270-347.

(5.) Davidson FA. Growth and senescence in Purebred Jersey Cows. Agr Exp Sta Bull 1928; 302: 192-199.

(6.) Growth Curves and Genetic Parameters in Colombian Buffaloes (Bubalus bubalis Artiodactyla, Bovidae). Rev Colom Cien Pecu 2009; 22: 178-188.

(7.) Helmink SK, Shanks RD, Leighton EA. Breed and sex differences in growth curves for two breeds of dog guides. J Anim Sci 2000; 78: 27-32.

C. A. Martinez [1], A. P Rodriguez [2], A. Jimenez [3], C. Manrique [4]

Grupo de Estudio en Mejoramiento y Modelacion Animal GEMMA, Departamento de Ciencias para la Produccion Animal, Facultad de Medicina Veterinaria y de Zootecnia, departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia sede Bogota.

[1.] camartinezn@unal.edu.co

[2.] anprodriguezza@unal.edu.co

[3.] ajimenezro@unal.edu.co

[4.] cmanriquep@unal.edu.co
COPYRIGHT 2010 Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Medicina Veterinaria y de Zootecnia
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Title Annotation:Reflexion
Author:Martinez, C.A.; Rodriguez, A.P.; Jimenez, A.; Manrique, C.
Publication:Revista Facultad de Medicina Veterinaria y de Zootecnia
Article Type:Report
Date:Jan 1, 2010
Words:1570
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